Προσεγγιστικά Σχήµατα για Προβλήµατα Χρονοδροµολόγησης
|
|
|
- Ἄρτεμις Αργυριάδης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Προσεγγιστικά Σχήµατα για Προβλήµατα Χρονοδροµολόγησης Γιώργος Ζώης Οικονοµικό Πανεπιστήµιο Αθηνών Τµήµα Πληροφορικής Απρίλιος 2010
2 Σκιαγράφηση Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
3 Σκιαγράφηση Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης 2 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
4 Σκιαγράφηση Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης 2 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου 3 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
5 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης 2 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου 3 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
6 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Ο ϱόλος της χρονοδροµολόγησης Χρονοπρογραµµατισµός της εκτέλεσης ενός συνόλου δραστηριοτήτων έχοντας περιορισµένους πόρους. Πόροι: µηχανές ενός εργοστασίου, CPUs ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος κ.ο.κ ραστηριότητες: λειτουργίες παραγωγής, προγράµµατα ενός υπολογιστή κ.ο.κ Στόχοι: ελαχιστοποίηση του χρόνου ολοκλήρωσης όλων των δραστηριοτήτων κ.ο.κ Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
7 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Ο ϱόλος της χρονοδροµολόγησης Χρονοπρογραµµατισµός της εκτέλεσης ενός συνόλου δραστηριοτήτων έχοντας περιορισµένους πόρους. Πόροι: µηχανές ενός εργοστασίου, CPUs ενός υπολογιστικού περιβάλλοντος κ.ο.κ ραστηριότητες: λειτουργίες παραγωγής, προγράµµατα ενός υπολογιστή κ.ο.κ Στόχοι: ελαχιστοποίηση του χρόνου ολοκλήρωσης όλων των δραστηριοτήτων κ.ο.κ Θεωρία Προβληµάτων Χρονοδροµολόγησης (1950) Οικονοµία (Επιχειρησιακή Ερευνα), Πληροφορική (Βάσεις εδοµένων, Θεωρητική Πληροφορική) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
8 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Μοντελοποίηση Ενα τυπικό πρόβληµα χρονοδροµολόγησης αποτελείται από ένα σύνολο J, n διεργασιών και ένα σύνολο M, m µηχανών. Κάθε διεργασία j J διαθέτει έναν χρόνο επεξεργασίας p j καθώς και κάποιες προαιρετικές ιδιότητες (π.χ. ένα ϐάρος w j, έναν χρόνο αποδέσµευσης r j, µία προθεσµία d j κ.ο.κ). Οι µηχανές µπορεί να είναι πανοµοιότυπες ενώ η εκτέλεση των διεργασιών σ αυτές ενδεχοµένως να υπόκειται σε περιορισµούς (π.χ. preemption, περιορισµοί προτεραιότητας κ.ο.κ). Ο στόχος είναι να χρονοδροµολογήσουµε τις διεργασίες στις µηχανές έτσι ώστε να ϐελτιστοποιήσουµε κάποια αντικειµενική συνάρτηση. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
9 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Περιβάλλον µηχανών Μοναδική µηχανή Παράλληλες πανοµοιότυπες µηχανές Γενικό πλήθος Σταθερό πλήθος m > 1 Παράλληλες σχετιζόµενες µηχανές δεδοµένης ταχύτητας Παράλληλες µη σχετιζόµενες µηχανές Flow shop, Job shop Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
10 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Makespan C max = max{c 1, C 2,..., C n }, όπου C j ο χρόνος ολοκλήρωσης της διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
11 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Makespan C max = max{c 1, C 2,..., C n }, όπου C j ο χρόνος ολοκλήρωσης της διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. j p j M 1 : p 3 p 2 p 1 p C max = C 4 = 13 C 3 C 2 C 1 C 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
12 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Makespan C max = max{c 1, C 2,..., C n }, όπου C j ο χρόνος ολοκλήρωσης της διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση j p j p 3 p 4 M 1 : 3 4 C p 3 2 p1 M 2 : 2 1 C 4 C max = C 4 = 7 C 2 C 1 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
13 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Μέσος ϐεβαρηµένος χρόνος ολοκλήρωσης n j=1 w jc j n j=1 C j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
14 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Μέσος ϐεβαρηµένος χρόνος ολοκλήρωσης n j=1 w jc j n j=1 C j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης) j p j w j M 1 : p 3 p 2 p 1 p C 3 C 2 C 1 C 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
15 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Μέσος ϐεβαρηµένος χρόνος ολοκλήρωσης n j=1 w jc j n j=1 C j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης) j p j w j M 1 : 4j=1 C j = = 30 p 3 p 2 p 1 p C 3 C 2 C 1 C 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
16 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Τυποποίηση προβληµάτων Ενδεικτικές αντικειµενικές συναρτήσεις Μέσος ϐεβαρηµένος χρόνος ολοκλήρωσης n j=1 w jc j n j=1 C j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης) j p j w j j=1 w j C j = = 1230 p 3 p 2 p 1 p 4 M 1 : C 3 C 2 C 1 C 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
17 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα των προβληµάτων χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
18 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα των προβληµάτων χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης Τα περισσότερα ενδιαφέροντα προβλήµατα χρονοδροµολόγησης είναι υπολογιστικά δύσβατα (NP-hard) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
19 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Πολυπλοκότητα των προβληµάτων χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα Συνδυαστικής Βελτιστοποίησης Τα περισσότερα ενδιαφέροντα προβλήµατα χρονοδροµολόγησης είναι υπολογιστικά δύσβατα (NP-hard) Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
20 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Ορισµός Θεωρούµε ένα πρόβληµα ϐελτιστοποίησης Π και έστω συνάρτηση ρ : Z + Q +, µε ρ 1. Ενας πολυωνυµικός αλγόριθµος A καλείται ρ-προσεγγιστικός αλγόριθµος για το πρόβληµα Π, αν για κάθε στιγµιότυπο I του Π ϐρίσκει µία εφικτή λύση f κόστους c(f) τέτοια ώστε, c(f) ρ( I ) OPT(I), αν το Π είναι πρόβληµα ελαχιστοποίησης c(f) 1 ρ( I ) OPT(I), αν το Π είναι πρόβληµα µεγιστοποίησης Η τιµή ρ( I ) καλείται παράγοντας (ή λόγος) προσέγγισης του προσεγγιστικού αλγορίθµου A. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
21 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι Ορισµός Θεωρούµε ένα πρόβληµα ελαχιστοποίησης (αντίστοιχα µεγιστοποίησης) Π. Μία οικογένεια A ɛ από (1 + ɛ)-προσεγγιστικούς αλγορίθµους για το Π, για κάθε σταθερά 0 < ɛ < 1, αποτελεί ένα προσεγγιστικό σχήµα για το πρόβληµα. Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου (PTAS) για το πρόβληµα Π είναι ένα προσεγγιστικό σχήµα µε πολυπλοκότητα χρόνου πολυωνυµική ως προς το µέγεθος της εισόδου. Ενα πλήρες πολυωνυµικό προσεγγιστικό σχήµα (FPTAS) για το πρόβληµα Π είναι ένα προσεγγιστικό σχήµα µε πολυπλοκότητα χρόνου πολυωνυµική, τόσο ως προς το µέγεθος της εισόδου, όσο και ως προς το 1 ɛ. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
22 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Περίληψη της µελέτης Περίληψη της µελέτης Ελαχιστοποίηση του makespan PTAS σε δύο παράλληλες πανοµοιότυπες µηχανές [WoegingerS01] γενικό πλήθος παράλληλων πανοµοιότυπων µηχανών [HochbaumS87] γενικό πλήθος παράλληλων πανοµοιότυπων µηχανών [WoegingerS01] Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
23 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Περίληψη της µελέτης Περίληψη της µελέτης Ελαχιστοποίηση του makespan PTAS σε δύο παράλληλες πανοµοιότυπες µηχανές [WoegingerS01] γενικό πλήθος παράλληλων πανοµοιότυπων µηχανών [HochbaumS87] γενικό πλήθος παράλληλων πανοµοιότυπων µηχανών [WoegingerS01] Ελαχιστοποίηση του µέσου ϐεβαρηµένου χρόνου ολοκλήρωσης FPTAS σε δύο παράλληλες πανοµοιότυπες µηχανές [WoegingerS01] PTAS στην περίπτωση που οι διεργασίες διαθέτουν δεδοµένους χρόνους αποδέσµευσης σε µοναδική µηχανή (µοναδιαία ϐάρη) [Afrati et al.99] παράλληλες πανοµοιότυπες µηχανές (preemptive, non-preemptive) [Afrati et al.99] Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
24 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Περίληψη της µελέτης Περίληψη της µελέτης Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες σε µοναδική µηχανή Ακριβείς ψευδοπολυωνυµικοί αλγόριθµοι για τα προβλήµατα ελαχιστοποίησης του συνολικού ϐάρους των καθυστερηµένων διεργασιών [LawlerM69] µεγιστοποίησης της συνολικής ϐεβαρηµένης πρόωρης ολοκλήρωσης [LawlerM69] ελαχιστοποίησης της συνολικής ϐεβαρηµένης καθυστέρησης, όταν οι διεργασίες διαθέτουν µία κοινή προθεσµία [LawlerM69] ελαχιστοποίησης της συνολικής καθυστέρησης (µοναδιαία ϐάρη) [Lawler77] FPTAS για τα προβλήµατα ελαχιστοποίησης του συνολικού ϐάρους των καθυστερηµένων διεργασιών [WoegingerS01] ελαχιστοποίησης της συνολικής καθυστέρησης (µοναδιαία ϐάρη) [Lawler82] Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
25 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης 2 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου 3 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
26 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Γνωστά αποτελέσµατα σε µοναδική µηχανή Αν δεν υπάρχουν περιορισµοί και επιπλέον ιδιότητες για τις διεργασίες Βέλτιστη λύση σε πολυωνυµικό χρόνο [Smith56]. Κανόνας SPT (Shortest Processing Time) Εκτέλεσε τις διεργασίες σε αύξουσα διάταξη ως προς το χρόνο επεξεργασίας τους: p 1 p 2... p n. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
27 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Γνωστά αποτελέσµατα σε µοναδική µηχανή Αν κάθε διεργασία διαθέτει έναν χρόνο αποδέσµευσης Το πρόβληµα είναι strongly NP-hard [LenstraKB77] e/(e 1) 1.58-προσεγγιστικός αλγόριθµος [ChekuriMNS97] PTAS [Afrati et al.99] ([Afrati, Bampis, Chekuri, Karger, Kenyon, Khanna, Milis, Queyranne, Skutella, Stein, and Sviridenko 1999]) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
28 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Γνωστά αποτελέσµατα σε µοναδική µηχανή Αν κάθε διεργασία διαθέτει έναν χρόνο αποδέσµευσης Το πρόβληµα είναι strongly NP-hard [LenstraKB77] e/(e 1) 1.58-προσεγγιστικός αλγόριθµος [ChekuriMNS97] PTAS [Afrati et al.99] ([Afrati, Bampis, Chekuri, Karger, Kenyon, Khanna, Milis, Queyranne, Skutella, Stein, and Sviridenko 1999]) Η preemptive εκδοχή επιλύεται ϐέλτιστα σε πολυωνυµικό χρόνο [Baker74]: Κανόνας SRPT (Shortest Remaining Processing Time) Εκτελείται όπως ο SPT µε τη διαφορά ότι µία εκτελούµενη διεργασία διακόπτει την εκτέλεση της όταν µία διεργασία µικρότερου χρόνου επεξεργασίας αποδεσµευθεί. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
29 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Η κεντρική ιδέα του προσεγγιστικού σχήµατος [Afrati et al.99] Είσοδος: Ενα σύνολο J, n διεργασιών. Κάθε διεργασία j J διαθέτει έναν χρόνο επεξεργασίας p j και έναν χρόνο αποδέσµευσης r j. Αντικειµενική Συνάρτηση: ολοκλήρωσης n j=1 C j. Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου Κεντρική ιδέα Απλοποιούµε το αρχικό στιγµιότυπο εισόδου εφαρµόζοντας διάφορους µετασχηµατισµούς έτσι ώστε να χρονοδροµολογήσουµε το µεγαλύτερο µέρος των διεργασιών ϐάσει του κανόνα SPT. Οι εναποµείνασες διεργασίες ϑα είναι σταθερές στο πλήθος και εποµένως µπορούµε να απαριθµήσουµε τις εφικτές χρονοδροµολογήσεις τους σε σταθερό χρόνο. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
30 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετασχηµατισµοί εισόδου ιακριτοποιούµε τις τιµές των χρόνων αποδέσµευσης και επεξεργασίας. Λήµµα (Γεωµετρική Στρογγυλοποίηση) Θεωρούµε µία ϑετική σταθερά ɛ, 0 < ɛ < 1. Με απώλεια 1 + ɛ µπορούµε να υποθέσουµε ότι κάθε χρόνος επεξεργασίας και κάθε χρόνος αποδέσµευσης είναι ακέραια δύναµη του 1 + ɛ. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
31 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετασχηµατισµοί εισόδου ιακριτοποιούµε τις τιµές των χρόνων αποδέσµευσης και επεξεργασίας. Λήµµα (Γεωµετρική Στρογγυλοποίηση) Θεωρούµε µία ϑετική σταθερά ɛ, 0 < ɛ < 1. Με απώλεια 1 + ɛ µπορούµε να υποθέσουµε ότι κάθε χρόνος επεξεργασίας και κάθε χρόνος αποδέσµευσης είναι ακέραια δύναµη του 1 + ɛ. Κάθε χρόνος αποδέσµευσης ϑα είναι της µορφής R x = (1 + ɛ) x, για κάποιο x Z + ιαµερίζουµε το χρονικό ορίζοντα [0, j p j + r max ] σε γεωµετρικά αυξανόµενα διαστήµατα Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
32 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετασχηµατισµοί εισόδου I 1 I 2 I x I k R 1 R 3 R x+1 R 2 R x R k R k+1 I x = [R x, R x+1 ), x = 1,..., k, όπου R k+1 j p j + r max R x+1 = (1 + ɛ)r x I x = R x+1 R x = ɛr x Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
33 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετασχηµατισµοί εισόδου Θέλουµε οι χρόνοι επεξεργασίας των διεργασιών να µην είναι αυθαίρετα µεγάλοι σε σύγκριση µε το µήκος του διαστήµατος στο οποίο αποδεσµεύονται. Λήµµα Με απώλεια 1 + ɛ µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι r j διεργασία j. ɛp j για κάθε Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
34 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετασχηµατισµοί εισόδου Θέλουµε οι χρόνοι επεξεργασίας των διεργασιών να µην είναι αυθαίρετα µεγάλοι σε σύγκριση µε το µήκος του διαστήµατος στο οποίο αποδεσµεύονται. Λήµµα Με απώλεια 1 + ɛ µπορούµε να εξασφαλίσουµε ότι r j διεργασία j. ɛp j για κάθε Πόρισµα Κατά την εκτέλεσή της, κάθε διεργασία διασχίζει το πολύ s = log 1+ɛ (1 + 1 ɛ ) διαστήµατα. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
35 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογή του κανόνα SPT Οµαδοποιούµε τις διεργασίες σε µικρές: p j ɛi x και µεγάλες: p j > ɛi x, όπου I x είναι το διάστηµα στο οποίο αποδεσµεύεται η j Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
36 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογή του κανόνα SPT Οµαδοποιούµε τις διεργασίες σε µικρές: p j ɛi x και µεγάλες: p j > ɛi x, όπου I x είναι το διάστηµα στο οποίο αποδεσµεύεται η j Λήµµα Αν σε µία ϐέλτιστη χρονοδροµολόγηση κάθε διεργασία είναι µικρή, τότε ο κανόνας SPT δίνει µία (1 + ɛ)-προσεγγιστική λύση στο πρόβληµα. Σκιαγράφηση Απόδειξης. Θεωρούµε µία ϐέλτιστη χρονοδροµολόγηση για την preemptive εκδοχή του προβλήµατος όπου όλες οι διεργασίες είναι µικρές και µε απώλεια 1 + ɛ την µετατρέπουµε σε non-preemptive. επιστροφή Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
37 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογή του κανόνα SPT SRPT I x R x R x+1 M : k l k Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
38 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογή του κανόνα SPT SPT I x ɛi x R x R x+1 M : k l Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
39 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετατόπιση των µεγάλων διεργασιών OPT : συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης της ϐέλτιστης χρονοδροµολόγησης Χρονικό κατώφλι: t = ɛ 7 OPT Παρατήρηση: το πολύ 1 ɛ διεργασίες µπορούν να ολοκληρώσουν την 7 εκτέλεση τους µετά το πέρας του χρόνου t Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
40 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετατόπιση των µεγάλων διεργασιών OPT : συνολικός χρόνος ολοκλήρωσης της ϐέλτιστης χρονοδροµολόγησης Χρονικό κατώφλι: t = ɛ 7 OPT Παρατήρηση: το πολύ 1 ɛ διεργασίες µπορούν να ολοκληρώσουν την 7 εκτέλεση τους µετά το πέρας του χρόνου t Ιδέα Ολες οι µεγάλες διεργασίες που εκτελούνται πριν τη χρονική στιγµή t σε µία ϐέλτιστη χρονοδροµολόγηση, µπορούν να καθυστερήσουν την εκτέλεση-αποδέσµευσή τους, µε µικρή απώλεια (1 + 3ɛ), έως ότου γίνουν µικρές. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
41 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Μετατόπιση των µεγάλων διεργασιών p j > ɛi x I x I x+k ɛi x+k R x R x+1 R x+k R x+k+1 t = OPTɛ 7 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
42 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Απαρίθµηση εναποµεινασών διεργασιών 1 Με απώλεια 1 + 3ɛ µετασχηµατίζουµε το στιγµιότυπο εισόδου ώστε οι µεγάλες διεργασίες να αποδεσµεύονται µετά το t 2 Με απώλεια 1 + ɛ επαναχρονοδροµολογούµε όλες τις µικρές διεργασίες εφαρµόζοντας τον κανόνα SPT Λήµµα 3 Η συνολική απώλεια µέχρι τη χρονική στιγµή t ϑα είναι το πολύ (1 + ɛ)(1 + 3ɛ) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
43 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Απαρίθµηση εναποµεινασών διεργασιών 1 Με απώλεια 1 + 3ɛ µετασχηµατίζουµε το στιγµιότυπο εισόδου ώστε οι µεγάλες διεργασίες να αποδεσµεύονται µετά το t 2 Με απώλεια 1 + ɛ επαναχρονοδροµολογούµε όλες τις µικρές διεργασίες εφαρµόζοντας τον κανόνα SPT Λήµµα 3 Η συνολική απώλεια µέχρι τη χρονική στιγµή t ϑα είναι το πολύ (1 + ɛ)(1 + 3ɛ) Πόρισµα Μετά το t ϑα έχουν αποµείνει να χρονοδροµολογηθούν το πολύ (1 + ɛ)(1 + 3ɛ) 1 ɛ 7 3 ɛ 7 διεργασίες. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
44 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου Ο Αλγόριθµος [Karger, Stein] Αλγόριθµος 1 Ενας προσεγγιστικός αλγόριθµος πολυωνυµικού χρόνου. 1. Εκτέλεσε τον κανόνα SPT έως ότου αποµείνουν 3 ɛ 7 διεργασίες. 2. Απαρίθµησε όλες τις εφικτές χρονοδροµολογήσεις των εναποµεινασών διεργασιών και επέλεξε την καλύτερη δυνατή. Θεώρηµα Ο Αλγόριθµος 1 ϐρίσκει µία (1 + ɛ)-προσεγγιστική λύση στο πρόβληµα ελαχιστοποίησης του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης µε δεδοµένους χρόνους αποδέσµευσης, σε χρόνο O(n log n + (3/ɛ 7 )!). Κατά συνέπεια, αποτελεί ένα PTAS για το πρόβληµα. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
45 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Σκιαγράφηση 1 Θεωρία Χρονοδροµόλογησης Προβλήµατα χρονοδροµολόγησης Τυποποίηση προβληµάτων Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Περίληψη της µελέτης 2 Ελαχιστοποίηση του συνολικού χρόνου ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Επισκόπηση του προβλήµατος Ενα προσεγγιστικό σχήµα πολυωνυµικού χρόνου 3 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
46 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Εισαγωγή προθεσµιών Παρατήρηση Τίθενται περιορισµοί όσον αφορά το χρόνο ολοκλήρωσης κάθε διεργασίας ατοµικά. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
47 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Εισαγωγή προθεσµιών Παρατήρηση Τίθενται περιορισµοί όσον αφορά το χρόνο ολοκλήρωσης κάθε διεργασίας ατοµικά. Συναρτήσεις απώλειας Κάθε διεργασία j έχει µία προθεσµία d j και µία συνάρτηση απώλειας που εκφράζει το κόστος από την ολοκλήρωση της j εκτός της προθεσµίας της. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
48 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη καθυστέρηση n j=1 w jt j, όπου T j = max {C j d j, 0} η καθυστέρηση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. n j=1 w jt j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολική καθυστέρηση). Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
49 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη καθυστέρηση n j=1 w jt j, όπου T j = max {C j d j, 0} η καθυστέρηση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. n j=1 w jt j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολική καθυστέρηση) j p j d j w j M : C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
50 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη καθυστέρηση n j=1 w jt j, όπου T j = max {C j d j, 0} η καθυστέρηση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. n j=1 w jt j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολική καθυστέρηση) j p j d j w j M : T2 = 2 T4 = C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
51 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη καθυστέρηση n j=1 w jt j, όπου T j = max {C j d j, 0} η καθυστέρηση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. n j=1 w jt j, w j = 1 για κάθε διεργασία j (συνολική καθυστέρηση) j p j d j w j M : 4j=1 w j T j = = 242 T2 = 2 T4 = C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
52 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολικό ϐάρος των καθυστερηµένων διεργασιών n j=1 w ju j, όπου, για δεδοµένη χρονοδροµολόγηση, U j = { 0, αν C j d j, 1, αλλιώς. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
53 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολικό ϐάρος των καθυστερηµένων διεργασιών n j=1 w ju j, όπου, για δεδοµένη χρονοδροµολόγηση, U j = { 0, αν C j d j, 1, αλλιώς. j p j d j w j επιστροφή M : T2 = 2 T4 = 3 C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
54 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολικό ϐάρος των καθυστερηµένων διεργασιών n j=1 w ju j, όπου, για δεδοµένη χρονοδροµολόγηση, U j = { 0, αν C j d j, 1, αλλιώς. j p j d j w j επιστροφή M : j=1 w j U j = = 97 T2 = 2 T4 = 3 C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
55 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη πρόωρη ολοκλήρωση n j=1 w je j, όπου E j = max {d j C j, 0} η πρόωρη ολοκλήρωση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
56 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Συναρτήσεις απώλειας Ενδεικτικές συναρτήσεις απώλειας Συνολική ϐεβαρηµένη πρόωρη ολοκλήρωση n j=1 w je j, όπου E j = max {d j C j, 0} η πρόωρη ολοκλήρωση µίας διεργασίας j σε δεδοµένη χρονοδροµολόγηση j p j d j w j j=1 w j E j = 51 1 = 51 E 3 = 1 M : C 3 C 2 C 1 C 4 d 3 d 2 d 1 d 4 Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
57 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Ενα γενικό πρόβληµα ελαχιστοποίησης της συνολικής απώλειας σε µοναδική µηχανή [LawlerM69] ιαθέτουµε n διεργασίες οι οποίες πρόκειται να χρονοδροµολογηθούν διαδοχικά, ϐάσει µίας προκαθορισµένης διάταξης, 1, 2,..., n. Κάθε διεργασία j µπορεί να χρονοδροµολογηθεί µε δύο διαφορετικούς τρόπους: 1 Η επεξεργασία της j διαρκεί a j µονάδες χρόνου, ενώ η απώλεια που δηµιουργείται κατά την ολοκλήρωση της j τη χρονική στιγµή t, ισούται µε (t) l (1) j 2 Η επεξεργασία της j διαρκεί b j µονάδες χρόνου και η αντίστοιχη απώλεια ισούται µε l (2) j (t) Ποιά ανάθεση διαφορετικών τρόπων πρέπει να κάνουµε στις n διεργασίες έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουµε τη συνολική απώλεια της χρονοδροµολόγησης; Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
58 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Αλγόριθµος δυναµικού προγραµµατισµού f(j, t) = η ελάχιστη συνολική απώλεια για τη χρονοδροµολόγηση των πρώτων j διεργασιών, υπό τον περιορισµό ότι η διεργασία j ολοκληρώνεται το πολύ µέχρι τη χρονική στιγµή t f(0, t) = 0, (t 0), f(j, t) = +, (j = 0, 1,..., n; t < 0), f(j, t 1), f(j, t) = min l (1) j (t) + f(j 1, t a j ),, (j = 1,..., n; t 0). l (2) j (t) + f(j 1, t b j ) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
59 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Ενα δυναµικό πρόγραµµα ψευδοπολυωνυµικού χρόνου Αλγόριθµος δυναµικού προγραµµατισµού f(j, t) = η ελάχιστη συνολική απώλεια για τη χρονοδροµολόγηση των πρώτων j διεργασιών, υπό τον περιορισµό ότι η διεργασία j ολοκληρώνεται το πολύ µέχρι τη χρονική στιγµή t f(0, t) = 0, (t 0), f(j, t) = +, (j = 0, 1,..., n; t < 0), f(j, t 1), f(j, t) = min l (1) j (t) + f(j 1, t a j ),, (j = 1,..., n; t 0). l (2) j (t) + f(j 1, t b j ) Πολυπλοκότητα χρόνου: O(nT), όπου T σταθερά (T = n j=1 max{a j, b j }) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
60 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Ελαχιστοποίηση του συνολικού ϐάρους των καθυστερηµένων διεργασιών σε µοναδική µηχανή Είσοδος: Ενα σύνολο J, n διεργασιών. Κάθε διεργασία j J διαθέτει έναν χρόνο επεξεργασίας p j, µία προθεσµία d j και ένα ϐάρος w j. Στόχος: Η εύρεση µίας διάταξης χρονοδροµολόγησης που ελαχιστοποιεί την ποσότητα n j=1 w ju j. ϐλ. συνάρτηση Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
61 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Ελαχιστοποίηση του συνολικού ϐάρους των καθυστερηµένων διεργασιών σε µοναδική µηχανή Είσοδος: Ενα σύνολο J, n διεργασιών. Κάθε διεργασία j J διαθέτει έναν χρόνο επεξεργασίας p j, µία προθεσµία d j και ένα ϐάρος w j. Στόχος: Η εύρεση µίας διάταξης χρονοδροµολόγησης που ελαχιστοποιεί την ποσότητα n j=1 w ju j. NP-hard υπό τη συνήθη έννοια [Karp72] Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
62 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Συνάφεια µε το γενικό πρόβληµα ιαθέτουµε n διεργασίες οι οποίες πρόκειται να χρονοδροµολογηθούν σε µία µηχανή, ϐάσει προκαθορισµένης διάταξης, µε απώλειες l (1) j (t) = 0, αν t d j, l (2) j (t) = w j, αλλιώς, ή ισοδύναµα l j (t) = { 0, αν t d j, w j, αλλιώς. Για δεδοµένη χρονοδροµολόγηση κατά την οποία µία διεργασία j ολοκληρώνει την εκτέλεσή της σε χρόνο C j, ϑα ισχύει ότι l j (C j ) = w j U j Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
63 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Συνάφεια µε το γενικό πρόβληµα ιαθέτουµε n διεργασίες οι οποίες πρόκειται να χρονοδροµολογηθούν σε µία µηχανή, ϐάσει προκαθορισµένης διάταξης, µε απώλειες l (1) j (t) = 0, αν t d j, l (2) j (t) = w j, αλλιώς, ή ισοδύναµα l j (t) = { 0, αν t d j, w j, αλλιώς. Για δεδοµένη χρονοδροµολόγηση κατά την οποία µία διεργασία j ολοκληρώνει την εκτέλεσή της σε χρόνο C j, ϑα ισχύει ότι l j (C j ) = w j U j Ερώτηµα Με ποιά σειρά πρέπει να χρονοδροµολογήσουµε τις διεργασίες έτσι ώστε να ελαχιστοποιήσουµε τη συνολική απώλεια n j=1 l j(c j ); Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
64 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Κριτήριο ϐελτιστοποίησης Παρατήρηση [Moore68, Rothkopf64] Σε µία υποτιθέµενη ϐέλτιστη διάταξη οι διεργασίες µπορούν να διαχωριστούν σε δύο διαφορετικές οµάδες: η πρώτη περιέχει τις πρόωρες διεργασίες σε EDD διάταξη και η δεύτερη τις καθυστερηµένες διεργασίες σε αυθαίρετη διάταξη. Οι διεργασίες της πρώτης οµάδας προηγούνται όλων των διεργασιών της δεύτερης. Κανόνας EDD (Earliest Due Date) [Jackson55, Smith56] Οι διεργασίες χρονοδροµολογούνται σε αύξουσα διάταξη ως προς τις προθεσµίες τους: d 1 d 2... d n. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
65 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Κριτήριο ϐελτιστοποίησης Παρατήρηση [Moore68, Rothkopf64] Σε µία υποτιθέµενη ϐέλτιστη διάταξη οι διεργασίες µπορούν να διαχωριστούν σε δύο διαφορετικές οµάδες: η πρώτη περιέχει τις πρόωρες διεργασίες σε EDD διάταξη και η δεύτερη τις καθυστερηµένες διεργασίες σε αυθαίρετη διάταξη. Οι διεργασίες της πρώτης οµάδας προηγούνται όλων των διεργασιών της δεύτερης. EDD e 1 e e k t 1 t l C e1 C e2 C ek C t1 C tl d e1 d e2 d ek d t1 d tl Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
66 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Εφαρµογή του δυναµικού προγράµµατος ϑέτουµε a j = p j, l (1) j (t) = 0, b j = 0, l (2) j (t) = w j. Ισοδύναµη µορφή του δυναµικού προγράµµατος f(0, t) = 0, (t 0), f(j, t) = +, (j = 0, 1,..., n; t < 0), f(j, t 1), f(j, t) = min f(j 1, t p j ),, (j = 1,..., n; t 0). w j + f(j 1, t) Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
67 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Πώς εξάγουµε µία ϐέλτιστη διάταξη χρονοδροµολόγησης; C e1 C ej C ek 0 d 1 d 2 d 3 d i d n p sum e 1 e j e k C ek 0 d 1 d 2 d 3 p sum d i d n Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
68 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Επιπλέον εφαρµογές Εύρεση ϐέλτιστων ψευδοπολυωνυµικών αλγορίθµων [LawlerM69] Ελαχιστοποίηση της συνολικής ϐεβαρηµένης καθυστέρησης σε µοναδική µηχανή, όταν οι διεργασίες διαθέτουν µία κοινή προθεσµία Μεγιστοποίηση της συνολικής ϐεβαρηµένης πρόωρης ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
69 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Επιπλέον εφαρµογές Εύρεση ϐέλτιστων ψευδοπολυωνυµικών αλγορίθµων [LawlerM69] Ελαχιστοποίηση της συνολικής ϐεβαρηµένης καθυστέρησης σε µοναδική µηχανή, όταν οι διεργασίες διαθέτουν µία κοινή προθεσµία Μεγιστοποίηση της συνολικής ϐεβαρηµένης πρόωρης ολοκλήρωσης σε µοναδική µηχανή Με µικρές τροποποιήσεις χρησιµοποιούνται στο σχεδιασµό FPTAS. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
70 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Ανοιχτά προβλήµατα Ελαχιστοποίηση του makespan σε γενικό αριθµό παράλληλων µη σχετιζόµενων µηχανών Γνωστά αποτελέσµατα: 2-προσεγγιστικός αλγόριθµος [LenstraST90]. εν µπορεί να προσεγγιστεί µε παράγοντα µικρότερο από 3/2, εκτός και αν P = NP [LenstraST90]. Ανοιχτό ερώτηµα: Εύρεση προσέγγισης µε παράγοντα ρ (3/2, 2). Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
71 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Ανοιχτά προβλήµατα Ελαχιστοποίηση του makespan σε γενικό αριθµό παράλληλων µη σχετιζόµενων µηχανών Γνωστά αποτελέσµατα: 2-προσεγγιστικός αλγόριθµος [LenstraST90]. εν µπορεί να προσεγγιστεί µε παράγοντα µικρότερο από 3/2, εκτός και αν P = NP [LenstraST90]. Ανοιχτό ερώτηµα: Εύρεση προσέγγισης µε παράγοντα ρ (3/2, 2). Ελαχιστοποίηση του µέσου ϐεβαρηµένου χρόνου ολοκλήρωσης µε δεδοµένους περιορισµούς προτεραιότητας για τις διεργασίες Γνωστά αποτελέσµατα: 2-προσεγγιστικοί αλγόριθµοι [HallSSW96, ChekuriM99]. Ειδική περίπτωση του προβλήµατος Vertex Cover [AmbühlM06]. Ανοιχτό ερώτηµα: Βελτίωση του λόγου προσέγγισης, APX-hardness. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
72 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Εφαρµογές του δυναµικού προγράµµατος Ανοιχτά προβλήµατα Ελαχιστοποίηση του makespan σε γενικό αριθµό παράλληλων µη σχετιζόµενων µηχανών Γνωστά αποτελέσµατα: 2-προσεγγιστικός αλγόριθµος [LenstraST90]. εν µπορεί να προσεγγιστεί µε παράγοντα µικρότερο από 3/2, εκτός και αν P = NP [LenstraST90]. Ανοιχτό ερώτηµα: Εύρεση προσέγγισης µε παράγοντα ρ (3/2, 2). Ελαχιστοποίηση του µέσου ϐεβαρηµένου χρόνου ολοκλήρωσης µε δεδοµένους περιορισµούς προτεραιότητας για τις διεργασίες Γνωστά αποτελέσµατα: 2-προσεγγιστικοί αλγόριθµοι [HallSSW96, ChekuriM99]. Ειδική περίπτωση του προβλήµατος Vertex Cover [AmbühlM06]. Ανοιχτό ερώτηµα: Βελτίωση του λόγου προσέγγισης, APX-hardness. Ελαχιστοποίηση της συνολικής ϐεβαρηµένης καθυστέρησης Γνωστά αποτελέσµατα: Ανοιχτό ερώτηµα: (n 1)-προσεγγιστικός αλγόριθµος [ChengNYL05]. Βελτίωση του λόγου προσέγγισης. Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
73 Χρονοδροµολόγηση µε δεδοµένες προθεσµίες Βιβλιογραφία Ενδεικτικές Αναφορές F. Afrati, E. Bampis, C. Chekuri, D. Karger, C. Kenyon, S. Khanna, I. Milis, M. Queyranne, M. Skutella, C. Stein, and M. Sviridenko. Approximation schemes for minimizing average weighted completion time with release dates. In Proceedings of the 40th Annual IEEE Symposium on Foundations of Computer Science, pages , D. S. Hochbaum and D. B. Shmoys. Using dual approximation algorithms for scheduling problems: theoretical and practical results. Journal of the ACM, 34: , E. L. Lawler. A pseudopolynomial" algorithm for sequencing jobs to minimize total tardiness. Annals of Discrete Mathematics, 1: , E. L. Lawler. A fully polynomial approximation scheme for the total tardiness problem. Operations Research Letters, 1: , E. L. Lawler and J. M. Moore. A functional equation and its application to resource allocation and sequencing problems. Management Science, 16:77--84, P. Schuurman and G. J. Woeginger. Approximation schemes--a tutorial. START Project Woe-65, TU Graz, January Γιώργος Ζώης (µ λ ) Προσεγγιστικά Σχήµατα στη Χρονοδροµολόγηση Απρίλιος / 43
74 Ευχαριστώ για την προσοχή σας!
Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις
Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 7.1.2 Παράδειγμα προβλήματος χρονικού προγραμματισμού
Ακέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών
ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Προγραµµατισµός Παραγωγής Εισαγωγή Ορισµοί Προβλήµατα µίας µηχανής Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Ορισµός Προγραµµατισµού Παραγωγής Είδη προβληµάτων
Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής. Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις
Προγραμματισμός & Έλεγχος Παραγωγής Κεφ. 7 Χρονικός Προγραμματισμός Συμπληρωματικές Σημειώσεις Στέλλα Σοφιανοπούλου Καθηγήτρια Πειραιάς 2012 Ενότητα 7.1.2 Παράδειγμα προβλήματος χρονικού προγραμματισμού
Αξιολόγηση Ευριστικών Αλγορίθµων
Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές ϕορές η εύρεση της ϐέλτιστων λύσεων προβληµάτων ακέραιου γραµµικού προγραµµατισµού είναι µια χρονοβόρα διαδικασία (εκθετική πολυπλοκότητα) Προσεγγιστικοί Αλγόριθµοι Πολλές
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Κεφάλαιο 12 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι 12.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης Σε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης σε κάθε στιγμιότυπο του προβλήματος αντιστοιχούν κάποιες εφικτές (feasible) -δηλαδή επιτρεπτές- λύσεις,
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα. Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιµότητα Χρησιµοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβληµα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβληµα αναζήτησης είναι ένα πρόβληµα στο
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Εισαγωγή στην Πληροφορική. Αντώνης Σταµατάκης
Εισαγωγή στην Πληροφορική Α σ κ ή σ ε ι ς σ τ η ν Χ ρ ο ν ο δ ρ ο µ ο λ ό γ η σ η ς Αντώνης Σταµατάκης Αλγόριθµοι Χρονοδροµολόγησης (1/5) Υπάρχουν διάφοροι αλγόριθµοι χρονοδροµολόγησης της κεντρικής µονάδας
Approximation Algorithms for the k-median problem
Approximation Algorithms for the k-median problem Ζακυνθινού Λυδία Παυλάκος Γεώργιος Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Θεωρία Υπολογισμού 2011-2012 Το πρόβλημα
Χρονοπρογραμματισμός (scheduling)
Πανεπιστήμιο Μακεδονίας Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Διαχείριση Έργων Πληροφορικής Χρονοπρογραμματισμός (scheduling) Ηλίας Σακελλαρίου Χρονοπρογραμματισμός Τι είναι χρονοπρογραμματισμός; Παραδείγματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι ένα πρόβλημα στο
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Αλγόριθμοι Προσέγγισης για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: E. Ζάχος, Α. Παγουρτζής Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο
Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι για οµαδοποίηση στοιχείων από συγκρίσεις
Προσεγγιστικοί αλγόριθµοι για οµαδοποίηση στοιχείων από συγκρίσεις Γιάννης Γιώτης Universitat Politècnica de Catalunya http://www.cs.upc.edu/~igiotis/soda06.pdf Σε αυτή την οµιλία Παρουσίαση του προβλήµατος
Εργαστήριο Λειτουργικών Συστημάτων - Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμού. Εργαστηριακή Άσκηση
Εργαστηριακή Άσκηση Οι Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμού First Come First Serve (FCFS), Shortest Job First (SJF), Round Robin (RR), Priority Weighted (PRI) Επιμέλεια: Βασίλης Τσακανίκας Περιεχόμενα Αλγόριθμοι
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι
Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. http://xkcd.com/287/ Πολλά NP-πλήρη προβλήματα έχουν μεγάλο πρακτικό ενδιαφέρον. Πως μπορούμε να αντιμετωπίσουμε το γεγονός ότι είναι απίθανη(;)
Επιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R. η f(n) είναι fi( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C 1, C 2 και n 0, τέτοιες ώστε:
Συµβολισµός Ω( ) Τάξη των Συναρτήσεων () Εκτίµηση Πολυπλοκότητας Αλγορίθµων Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R η f(n) είναι Ω( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C
για NP-Δύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP-Δύσκολα Προβλήματα Διδάσκοντες: Σ. Ζάχος, Δ. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών: Δ. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Μοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Επιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 28 Μαΐου 2015 1 / 45 Εισαγωγή Ο δυναµικός
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι για το Generalized Min-Sum Set Cover
ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΣΤΗΜΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσεγγιστικοί αλγόριθμοι
Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι.
Προηγμένα Θέματα Αλγορίθμων (ΣΗΜΜΥ ΕΜΠ) Αλγόριθμοι Δικτύων και Πολυπλοκότητα (ΕΜΠ - ΑΛΜΑ) Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Άρης Παγουρτζής Άνοιξη 2018 Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Αφορούν κυρίως σε προβλήματα βελτιστοποίησης:
Μάθημα 7 ο. Αλγόριθμοι Χρονοδρομολόγησης
Μάθημα 7 ο Αλγόριθμοι Χρονοδρομολόγησης Σκοπός του μαθήματος Στην ενότητα αυτή θα εξηγήσουμε το ρόλο και την αξιολόγηση των αλγορίθμων χρονοδρομολόγησης, και θα παρουσιάσουμε τους κυριότερους. Θα μάθουμε:
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Άπληστοι Αλγόριθµοι. Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1
Άπληστοι Αλγόριθµοι Αλγόριθµοι & Πολυπλοκότητα (Χειµώνας 2011) Άπληστοι Αλγόριθµοι 1 Άπληστοι Αλγόριθµοι... για προβλήµατα βελτιστοποίησης: Λειτουργούν σε βήµατα. Κάθε βήµα κάνει µια αµετάκλητη επιλογή
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα
Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική πολυπλοκότητα αλγόριθµου Α: Ποσότητα υπολογιστικών πόρων που απαιτεί Α ως αύξουσα συνάρτηση µεγέθους στιγµιότυπου εισόδου. Χρόνος, µνήµη, επεξεργαστές, επικοινωνία,
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΩΝ ΚΑΙ ΑΥΤΟΜΑΤΩΝ Ενότητα 13: Πολυωνυμική αναγωγή Ρεφανίδης Ιωάννης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας
Στοιχεία Αλγορίθµων και Πολυπλοκότητας Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Πολυπλοκότητα 1 / 16 «Ζέσταµα» Να γράψετε τις συναρτήσεις
Χρονοδρομολόγηση Ι Μοντέλα διεργασιών, Προθεσμίες και Αλγόριθμοι
Λειτουργικά Συστήματα Πραγματικού Χρόνου 2006-07 Χρονοδρομολόγηση Ι Μοντέλα διεργασιών, Προθεσμίες και Αλγόριθμοι Μ.Στεφανιδάκης Χρονοδρομολόγηση (scheduling) αλγόριθμος επιλογή (init) READY RUNNING (terminate)
Βασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Λειτουργικά Συστήματα (Λ/Σ)
Λειτουργικά Συστήματα (Λ/Σ) Διαχείριση Κεντρικής Μονάδας Επεξεργασίας (CPU) Βασίλης Σακκάς 4/12/2013 1 Xρονοδρομολόγηση Διεργασιών 1 Η χρονοδρομολόγηση σε ένα Λ/Σ αποφασίζει ποια διεργασία θα χρησιμοποιεί
Dartmouth College, Ph.D. in Computer Science, Dartmouth College, M.S. in Computer Science,, Architecture of Computers and Multiprocessors.
ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΚΑΙ ΚΑΠΟΔΙΣΤΡΙΑΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΕΙΣΗΓΗΤΙΚΗ ΕΚΘΕΣΗ για την πλήρωση μιας θέσης Αναπληρωτή Καθηγητή του Τμήματος Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών του Εθνικού
ΧΡΟΝΟ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ
ΧΡΟΝΟ-ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Η/Υ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Διοίκηση Παραγωγής & Συστημάτων Υπηρεσιών ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ Περιεχόμενα
ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ. μπλ 2014
ΑΙΚΑΤΕΡΙΝΗ-ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΣΤΟΥΚΑ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΛΑΜΠΡΟΥ μπλ 2014 Έχουμε G = (V,E) μη κατευθυνόμενο γράφο με μη αρνητικές χωρητικότητες c e για κάθε e E. {(s 1, t 1 ),..., (s k, t k )} διακριτά διατεταγμένη ζεύγη
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι Απόδοση χειρότερης
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών
ιοίκηση Παραγωγής και Υπηρεσιών Προγραµµατισµός Παραγωγής Προβλήµατα µε πολλές µηχανές Γιώργος Ιωάννου, Ph.D. Αναπληρωτής Καθηγητής Σύνοψη διάλεξης Προβλήµατα Παράλληλων Μηχανών Ελαχιστοποίηση χρόνου ροής
Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός
Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις
ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004
ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ Λ03Β ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΔΙΚΤΥΩΝ & ΠΟΛΥΠΛΟΚΟΤΗΤΑ ΦΛΕΒΑΡΗΣ 2004 Παρουσίαση του paper: Increasing the Weight of Minimum Spanning Trees Greg N. Frederickson and Roberto Solis- Oba Journal of Algorithms
Scheduling on Unrelated Parallel Machines
Scheduling on Unrelated Parallel Machines Problem Formulation Given a set J of jobs, a set M of machines, and for each j J and i M, pij Z+, is the time taken to process job j on machine i, the problem
Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Κεφάλαιο 1. Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα. Έκδοση 1.4, 30/10/2014. Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne.
Κεφάλαιο 1 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα Έκδοση 1.4, 30/10/2014 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 1.2 Πέντε Αντιπροσωπευτικά Προβλήματα 1. Χρονοπρογραμματισμός Διαστημάτων
ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Μάθημα: Λειτουργικά Συστήματα Ι ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Διδάσκων: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης clam@unipi.gr 1 Χρονοδρομολογητής ή χρονοπρογραμματιστής (scheduler) είναι το τμήμα του Λ.Σ.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι για NP- ύσκολα Προβλήματα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι αλγόριθμος
Κεφάλαιο 8. NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα. Παύλος Εφραιμίδης V1.1,
Κεφάλαιο 8 NP και Υπολογιστική Δυσεπιλυσιμότητα Παύλος Εφραιμίδης V1.1, 2015-01-19 Χρησιμοποιήθηκε υλικό από τις αγγλικές διαφάνειες του Kevin Wayne. 1 πρόβλημα αναζήτησης (search problem) Ένα πρόβλημα
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αντιμετώπιση NP- υσκολίας Αν P NP, όχι
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων
Κεφάλαιο 5 Ανάλυση Αλγορίθμων 5.1 Επίδοση αλγορίθμων Τα πρωταρχικά ερωτήματα που προκύπτουν είναι: 1. πώς υπολογίζεται ο χρόνος εκτέλεσης ενός αλγορίθμου; 2. πώς μπορούν να συγκριθούν μεταξύ τους οι διάφοροι
P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (1995)
ΘΕΩΡΙΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ 8ο Εξάμηνο ΕΡΓΑΣΙΑ P. Chretienne, E. Coffman, J. Lenstra, Z. Liu Scheduling Theory and its Applications John Wiley & Sons, New York, (995) CHAPTER (μέχρι και..) Scheduling with Communication
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Σημειώσεις. Β. Ζησιμόπουλος
Συνδυαστική Βελτιστοποίηση Σημειώσεις Β. Ζησιμόπουλος Ιανουάριος 2007 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στη Συνδυαστική Βελτιστοποίηση 3 1.1 Προβλήματα Βελτιστοποίησης.................. 5 1.2 Πρόβλημα Πλανόδιου Πωλητή
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό
Προσεγγιστικοί Αλγόριθμοι βασισμένοι σε Γραμμικό Προγραμματισμό ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γενική Προσέγγιση ιατυπώνουμε το πρόβλημα
a 1d L(A) = {m 1 a m d a d : m i Z} a 11 a A = M B, B = N A, k=1
Α44 ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ #12 ΘΕΟ ΟΥΛΟΣ ΓΑΡΕΦΑΛΑΚΗΣ 1 Πλεγµατα Εστω ο διανυσµατικός χώρος R d διάστασης d Ο χώρος R d έρχεται µε ένα εσωτερικό γινόµενο x, y = d i=1 x iy i και τη σχετική νόρµα x = x,
ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μάθημα: ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Διδάσκoντες: Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης (clam@unipi.gr) Δρ. Α. Γαλάνη (agalani@unipi.gr) 1 Συμβαίνει συχνά πολλές διεργασίες να ανταγωνίζονται για τον έλεγχο
Υπολογιστικό Πρόβληµα
Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις
Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)
Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex
Επιχειρησιακή Έρευνα Θεωρητική Θεμελίωση της Μεθόδου Simplex Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος 2006-07
Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43
Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι
ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Μάθημα: Λειτουργικά Συστήματα Ι ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Διδάσκων: Επ. Καθ. Κ. Λαμπρινουδάκης clam@unipi.gr 1 Χρονοδρομολογητής ή χρονοπρογραμματιστής (scheduler) είναι το τμήμα του
Αδιέξοδα Ανάθεση Πόρων (Deadlocks Resource Allocation)
Αδιέξοδα Ανάθεση Πόρων (Deadlocks Resource Allocation) Το Πρόβλημα του Αδιεξόδου Ένα σύνολο από διεργασίες σε αναμονή, όπου η κάθε μια κατέχει έναν αριθμό από πόρους και περιμένει να αποκτήσει και έναν
Εισαγωγικές Έννοιες. ημήτρης Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών. Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο
Εισαγωγικές Έννοιες ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό. Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί)
Εισαγωγή στον Προγραµµατισµό Αριθµητική Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί Υπολογισµοί) ιδάσκοντες: Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 8 εκεµβρίου 04 Ανάλυση (ή Επιστηµονικοί8 Υπολογισµοί) εκεµβρίου
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός
Ασυμπτωτικός Συμβολισμός ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ενότητα 5 υναµικός Προγραµµατισµός Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα - Ενότητα 5 1 / 49 Εισαγωγή
Μάθημα 7: Αλγόριθμοι Χρονοδρομολόγησης
Μάθημα 7: Αλγόριθμοι Χρονοδρομολόγησης 7.1 Ορισμός Στόχοι Αλγόριθμο χρονοδρομολόγησης (scheduling algorithm) ονομάζουμε την μεθοδολογία την οποία χρησιμοποιεί ο κάθε χρονοδρομολογητής (βραχυχρόνιος, μεσοχρόνιος
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΙΤΣΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΜ:4576 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΟΣΜΑΣ ΠΑΞΙΝΟΣ OFFICE ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ
ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΡΙΤΣΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΑΜ:4576 ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΚΟΣΜΑΣ ΠΑΞΙΝΟΣ OFFICE ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΑΣ 5 Περιεχόµενα Πρόλογος...3 1. Προγραµµατισµός και έλεγχος παραγωγής 1.1.
Αδιέξοδα Ανάθεση Πόρων (Deadlocks Resource Allocation)
Αδιέξοδα Ανάθεση Πόρων (Deadlocks Resource Allocation) Εισαγωγή Μοντέλο συστήματος Χαρακτηρισμός και ορισμός κατάστασης αδιεξόδου Μέθοδοι χειρισμού αδιεξόδων Αποτροπή αδιεξόδου (Deadlock Prevention) Αποφυγή
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και 31 Μαρτίου Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδο / 17
Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα) Επαναληπτικές µέθοδοι και Ηµι-Επαναληπτικές Μέθοδοι Πανεπιστήµιο Αθηνών 31 Μαρτίου 2017 Επιστηµονικοί Υπολογισµοί (Αρ. Γρ. Αλγεβρα)Επαναληπτικές µέθοδοι και
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι
KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Εργαστηριακή Άσκηση. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Εργαστηριακή Άσκηση Εργαστήριο Λειτουργικών Συστημάτων Οι First Come First Serve (FCFS), Shortest Job First (SJF), Round Robin (RR), Priority Weighted (PRI) Β. Τσακανίκας Β. Ταμπακάς Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής
Αριθµητική Ανάλυση. 27 Οκτωβρίου Αριθµητική Ανάλυση 27 Οκτωβρίου / 72
Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 Αριθµητική Ανάλυση 7 Οκτωβρίου 06 / 7 Επαναληπτικές Μέθοδοι για την επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων ίνεται το γραµµικό σύστηµα Ax = b όπου A R n n είναι µη ιδιάζων πίνακας
NP-πληρότητα. Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων
NP-πληρότητα Λεωνίδας Παληός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων Πολυωνυμικός μετασχηματισμός Ένας πολυωνυμικός μετασχηματισμός από την L 1 Σ 1 * στην L 2 Σ 2 * είναι μια συνάρτηση
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ
ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Dr. Christos D. Tarantilis Associate Professor in Operations Research & Management Science http://tarantilis.dmst.aueb.gr/ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ Ι - 1- ΕΠΙΛΥΣΗ
Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 6 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Αριθµητική Ολοκλήρωση
Κεφάλαιο 5 Αριθµητική Ολοκλήρωση 5. Εισαγωγή Για τη συντριπτική πλειοψηφία των συναρτήσεων f (x) δεν υπάρχουν ή είναι πολύ δύσχρηστοι οι τύποι της αντιπαραγώγου της f (x), δηλαδή της F(x) η οποία ικανοποιεί
5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΜΠ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗN ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5 η ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μ. Καρλαύτης Ν. Λαγαρός Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Άπληστοι Αλγόριθμοι. ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης. Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών
Άπληστοι Αλγόριθμοι ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Άπληστοι Αλγόριθμοι... για προβλήματα
ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων
ιεργασίες και Επεξεργαστές στα Κατανεµηµένων Συστηµάτων Μαρία Ι. Ανδρέου ΗΜΥ417, ΗΜΥ 663 Κατανεµηµένα Συστήµατα Χειµερινό Εξάµηνο 2006-2007 Τµήµα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Πανεπιστήµιο
ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ. Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ Ενότητα 12: Αντιμετώπιση Περιορισμών Αλγοριθμικής Ισχύος Ιωάννης Μανωλόπουλος, Καθηγητής Αναστάσιος Γούναρης, Επίκουρος Καθηγητής
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 8η Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άπληστοι Αλγόριθμοι Χρονοπρογραμματισμός
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 31 Μαΐου 2019 1 / 10 Ελάχιστα τετράγωνα
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ
ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕΤΡΑ ΑΠΟ ΟΣΗΣ & ΕΞΙΣΟΡΡΟΠΗΣΗ ΦΟΡΤΟΥ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΥΨΗΛΩΝ ΕΠΙ ΟΣΕΩΝ ΒΑΘΜΟΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΙΣΜΟΥ Η υλοποίηση
Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης
- Γ. Κορίλη Αλγόριθµοι ροµολόγησης http://www.seas.upenn.edu/~tcom50/lectures/lecture.pdf ροµολόγηση σε ίκτυα εδοµένων Αναπαράσταση ικτύου µε Γράφο Μη Κατευθυνόµενοι Γράφοι Εκτεταµένα έντρα Κατευθυνόµενοι
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 30 Απριλίου 2015 1 / 48 Εύρεση Ελάχιστου