Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων"

Transcript

1 Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων

2 Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Επίλυση Δυναμικών Εξισώσεων του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται σε άδεια χρήσης Creative Commons. Για υλικό όπως εικόνες, που υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να αναφέρεται ρητώς.

3 Γενική περίπτωση Δυναμικές Εξισώσεις Σύστημα μη-γραμμικών συνήθη διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ) ΜΜ qq qq + CC qq qq + KK qq = ξξ ggggggvv (qq) + ξξ nnnnnnnnnnnn (qq, qq ) + ξξ Γραμμικά δυναμικά συστήματα Σύστημα Γραμμικών ΣΔΕ με σταθερούς συντελεστές ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ Συνήθως πολύπλοκα δυναμικά συστήματα απλοποιούνται σε αυτή τη μορφή διότι μπορούν να αναλυθούν αναλυτικά Αυτό το μάθημα εστιάζει σε γραμμικά δυναμικά συστήματα 3

4 Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή Μητρώων Μάζας-Ελαστικότητας Κλασσική θεωρεία ταλαντώσεων ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ Μητρώο αδράνειας Μητρώο απόσβεσης Μητρώο ελαστικότητας Εξωτερική διέγερση 9 4

5 Δυναμικές Εξισώσεις Μορφή μεταβλητών κατάστασης Αριθμητική ολοκλήρωση Αυτόματος Έλεγχος xx = AA xx + bb uu xx = qq qq uu = ξξ Μεταβλητές κατάστασης Διεγέρσεις συστήματος AA = bb = OO MM 1 KK OO MM 1 II MM 1 CC 5

6 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων H κατάσταση του συστήματος xx(tt) (ισοδύναμα οι Β.Ε. qq(tt)) μεταβάλεται ως συνάρτηση του χρόνου Υπολογισμός απόκρισης: Πρόβλημα ΣΔΕ αρχικών συνθηκών ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq qq () = qq qq(tt) xx = AA xx + bb uu xx() = xx uu(tt) = ξξ(tt) xx(tt) 6

7 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση Ομογενής λύση Απόκριση όταν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις (ξξ = ) Απόκριση σε «αρχικές συνθήκες» Ιδιότητα του συστήματος! Ειδική λύση Απόκριση σε εξωτερικές δυνάμεις ξξ Εξαρτάται από τα χαρακτηριστικά της διέγερσης 12 7

8 Απόκριση Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση Ομογενής λύση ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq qq () = qq ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq qq () = qq ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ(tt) qq() = qq () = qq h (tt) qq pp (tt) 8

9 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ομογενής λύση) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq 1 qq () = qq 1 ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = qq 2 qq () = qq 2 qq h1 (tt) qq h2 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq = qq 1 + qq 2 qq = qq 1 + qq 2 qq h1 (tt) + qq h2 (tt) 9

10 Επίλυση ομογενούς ΣΔΕ Παράδειγμα (1 Β.Ε.) qq + 3qq + 2qq = qq() = 2 qq () = 1 qq + 3qq + 2qq = qq() = 1 qq () = 1 qq h tt = 5ee tt 3ee 2tt qq h tt = 3ee tt 2ee 2tt qq + 3qq + 2qq = qq = 3 qq = 2 qq h tt = 8ee tt 5ee 2tt 1

11 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Αρχή της επαλληλίας (ειδική λύση) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 2 (tt) qq() = qq () = qq pp2 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 tt + ξξ 2 tt qq() = qq () = qq pp1 (tt)+ qq pp2 (tt) 11

12 Παράδειγμα (1 Β.Ε.) qq + 3qq + 2qq = uu ss (tt) qq() = qq () = qq + 3qq + 2qq = qq() = qq () = 1 qq tt =.5uu ss tt ee tt +.5ee 2tt qq tt = 2ee tt ee 2tt qq + 3qq + 2qq = uu ss (tt) qq = qq = 1 qq tt =.5uu ss tt + ee tt.5ee 2tt 12

13 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Χρονική ανεξαρτησία ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp (tt) = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt ττ) qq(ττ) = qq (ττ) = qq pp tt = qq pp1 (tt ττ) 13

14 Ιδιότητες Γραμμικών Δυναμικών Συστημάτων Παραγώγιση & ολοκλήρωση ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ξξ 1 (tt) qq() = qq () = qq pp (tt) = qq pp1 (tt) ΜΜ qq + CC qq + KK qq = ddξξ 1(tt) dddd qq(ττ) = qq (ττ) = qq pp tt = ddqq pp1(tt) dddd tt ΜΜ qq + CC qq + KK qq = qq() = ττ= ξξ 1 ττ dτ qq pp tt = tt ττ= qq pp1 ττ ddττ qq () = 19 14

15 Βηματική διέγερση (heavyside) Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: ανάρτηση που συναντά ένα πεζούλι Κρουστική διέγερση (impulse) πχ: σφυρί που χτυπά μια κατασκευή 15

16 Αρμονική διέγερση Εξωτερικές Διεγέρσεις πχ: αρμονική δύναμη λόγω αζυγοσταθμίας Τυχαία διέγερση πχ: διέγερση σε σκάφος λόγω κυμματισμού 16

17 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Μοντέλο: m xx + cc xx + kk xx = ff(tt) xx + cc mm xx + kk mm xx = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ωω = kk mm Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζζ ωω = cc mm 22 17

18 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Ομογενής λύση xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = xx() = xx xx () = uu xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt λλ 1, λλ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + 2ζζζζλλ + ωω 2 = Οι σταθερές cc 1, cc 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες xx, uu 23 18

19 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί xx h tt = λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ [xx λλ 1 λλ ( λλ 2 ee λλ1tt + λλ 1 ee λλ 2tt )+vv (ee λλ1tt ee λλ 2tt )]

20 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj xx h tt = ee ζζζζtt [xx cos (ωω nn tt)+ vv + ζζωω nn xx ωω nn sin(ωω nn tt)] ωω nn = ωω 1 ζζ 2 Συχνότητα αποσβενόμενων ταλαντώσεων 25 2

21 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Η απόκριση γράφεται και ως: xx h tt = Αee ζζζζtt sin(ωω nn tt+φ) Μέτρο απόσβεσης 26 21

22 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Εκτίμηση m, c, k 27 22

23 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ=: Κίνηση χωρίς απόσβεση λλ 1, λλ 2 είναι φανταστικοί αριθμοί λλ 1,2 = ±ωωjj xx h tt = xx cos (ωωtt)+ vv ωω sin(ωωtt) Θεωρητικό ενδιαφέρον μόνο! Στην πράξη όλα τα συστήματα έχουν κάποια απόσβεση 28 23

24 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ<: Ασταθές δυναμικό σύστημα Ρίζες λλ 1, λλ 2 είναι θετικοί πραγματικοί αριθμοί Το σύστημα τείνει να απομακρυνθεί από την θέση ισορροπίας xx = xx = 29 24

25 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο <ζ<1 Im(s) x ζ= ζ< ζ>1 x x x x x x Re(s) x Ευστάθεια Αστάθεια 3 25

26 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Im(s) Ταχύτερο ω Re(s) Ταχύτερο ω Ευστάθεια Αστάθεια 31 26

27 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο Λιγότερη απόσβεση Im(s) Re(s) Λιγότερη απόσβεση Ευστάθεια Αστάθεια 32 27

28 Δυναμικές Εξισώσεις Εξισώσεις μεταβλητών κατάστασης με εξόδους xx = AA xx + ΒΒ uu yy = CC xx + DD uu xx = qq qq Μεταβλητές κατάστασης uu = ξξ Διεγέρσεις συστήματος yy Διάνυσμα εξόδου (οποιαδήποτε σύνολο μεταβλητών ενδιαφέροντος) 6 28

29 Συνάρτηση Μεταφοράς Για γραμμικές διαφορικές εξισώσεις Περιγραφή του συστήματος μέσω του μητρώου μεταφοράς HH(ss) YY(s) = HH(ss) UU(ss) Στην περίπτωση μιας εισόδου και μιας εξόδου HH ss = ββ mm ss mm + ββ mm 1 ss mm ββ 1 ss + ββ ss nn + αα nn 1 ss nn αα 1 ss + αα Υπολογίζεται μέσω του μ/χ Laplace Περισσότερα σε επόμενη παράδοση 29

30 Ιδιότητες Γραμμικών Συστημάτων Επαλληλία qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) Απόκριση Ειδική λύση (διέγερση, μηδενικές αρχικές συνθήκες) Χρονική ανεξαρτησία Η απόκριση δεν εξαρτάται από πότε έγινε η διέγερση Ευστάθεια Ομογενής λύση (χωρίς διέγερση, αρχικές συνθήκες) Απόκριση σε αρχικές συνθήκες καταλήγει στο qq tt = 3

31 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Μοντέλο: m xx + cc xx + kk xx = ff(tt) xx + cc mm xx + kk mm xx = Αδιάστατοποιημένο μοντέλο xx + 2 ζζ ωω xx + ωω 2 xx = ωω = kk mm Λόγος απόσβεσης Φυσική κυκλική συχνότητα 2 ζζ ωω = cc mm 9 31

32 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = xx() = xx xx () = uu xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt λλ 1, λλ 2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + 2ζζζζλλ + ωω 2 = Σταθερές cc 1, cc 2 προκύπτουν από αρχικές συνθήκες xx, uu Το σημείο ισορροπίας του συστήματος είναι το xx = Η μοναδική λύση που προκύπτει θέτοντας xx = xx = 1 32

33 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι πραγματικοί αρνητικοί αριθμοί = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 = 1.2, = λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω ζζ 2 1 = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 = 1.2, = 4 x(t) xx (tt) u(t) time Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη (χρειάζεται λιγότερος χρόνος για να καταλήξει το σύστημα στο σημείο ισορροπίας x=) x(t) 11 33

34 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση x(t) time = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 u(t) x(t) = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 Καθώς αυξάνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στο σημείο ισορροπίας x=) xx (tt) 12 34

35 Βηματική Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση ζ>1: Υπερκρίσιμη απόσβεση 4 x(t) = 1.2, =.5 = 1.2, = 1 = 1.2, = 2 x(t) = 1.2, = 1 = 1.5, = 1 = 3., = time Καθώς αυξάνεται ο ζ ή ελατώνεται η ω, η απόκριση γίνεται πιο αργή (χρειάζεται περισσότερος χρόνος για να καταλήξει στην τελική τιμή). Η τελική τιμή xx ssss = ωω 2 υπολογίζεται θέτωντας xx = xx = στην ΣΔΕ που περιγράφει την απόκριση xx + 2ζζζζxx + ωω 2 xx = 1 time 13 35

36 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: =.4, = 1 =.4, = 2 =.4, = λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj =.4, = 1 =.4, = 2 =.4, = 4 x(t).4.2 xx (tt) u(t) time Καθώς αυξάνεται η φυσική συχνότητα (για σταθερό ζ), η απόκριση γίνεται πιο γρήγορη και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερα xx ) x(t) 14 36

37 Ομογενής λύση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj 1 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = x(t) xx (tt) u(t) time Καθώς μειώνεται ο λόγος απόσβεσης ζ (για σταθερό ω), η απόκριση γίνεται πιο αργή και χαρακτηρίζεται από πιο έντονες ταλαντώσεις (μεγαλύτερη υπερακόντηση, μεγαλύτερα xx x(t) 15 37

38 Βηματική Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. Περίπτωση <ζ<1: Υποκρίσιμη απόσβεση Τα λλ 1, λλ 2 είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω 1 ζζ 2 jj 6 5 =.4, =.5 =.4, = 1 =.4, = =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = xx(tt) u(t) 3 xx(tt) u(t) x(t) tttttttt x(t) tttttttt 16 38

39 Συνολική Απόκριση qq tt = qq h (tt) + qq pp (tt) 2 = 1, = x(t) x()=u()=, step input x()=1 u()=2, no input x()=1 u()=2, step input time 17 39

40 Ρίζες συστήματος m-c-k στο μιγαδικό επίπεδο = 1, = 1 = 1.5, = 1 = 3, = 1 <ζ<1 Im(s).6 x(t) x time ζ>1 x x Re(s) 1.5 =.9, = 1 =.5, = 1 =.25, = 1 x x(t) time Ευστάθεια Αστάθεια 18 4

41 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Ο μοναδιαίος παλμός διάρκειας Τ ορίζεται ως uu pp,tt tt = Ιδίοτητες:, tt < 1, tt < TT TT, tt TT 1/T Μπορεί να εκφραστεί σαν γραμμική επαλληλία δύο βηματικών εισόδων τις στιγμές t= και t=t Καθώς Τ τότε η uu pp,tt tt τείνει στην συνάρτηση Dirac (κρουστική είσοδο) To χρονικό ολοκλήρωμα απο - έως ισούται με 1 uu pp,tt tt = 1 TT uu ss tt 1 TT uu ss tt TT uu pp,tt ττ dτ T lim uu pp,tt tt Τ + = uu pp,tt ττ dτ t = δδ tt =

42 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Μοναδιαίο Παλμό Λόγω επαλληλίας, η απόκριση h pp,tt tt ενός γραμμικού συστήματος σε μοναδιαίο παλμό εύρους Τ μπορεί να εκφραστεί μέσω της απόκρισης h ss tt του ίδιου συστήματος σε βηματική είσοδο h pp,tt tt = 1 TT h ss tt 1 TT h ss tt TT Καθώς Τ τότε η απόκριση h pp,tt tt τείνει στην απόκριση h tt του συστήματος σε κρουστική είσοδο Η h tt υπολογίζετε ως η παράγωγος της απόκρισης h ss tt σε βηματική είσοδο lim Τ h pp,tt tt = 1 TT h ss tt h ss tt TT 1 TT ddh ss tt dddd TT = ddh ss tt dddd = h(tt) 42

43 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο Η απόκριση h tt σε κρουστική είσοδο είναι χαρακτηριστικό μέγεθος του συστήματος Μπορεί να μετρηθεί πειραματικά Σε πραγματικά συστήματα h tt = για t< Μπορεί να εκφραστεί σαν (για 2 ο -βάθμιο σύστημα) h tt = cc 1 ee λλ1tt + cc 1 ee λλ 2tt όπου λ 1,2 : ρίζες χαρακτηριστικού πολυωνύμου του συστήματος Ο μετασχηματισμός Laplace της h tt είναι η συνάρτηση μεταφοράς H(s) του συστήματος LL{h tt } = H(s) 43

44 Απόκριση Γραμμικού Συστήματος σε Κρουστική Είσοδο.5.4 T = 4 sec T = 2 sec T = 1 sec T =.2 sec T =.5 sec h p,t (t) Απόκριση του συστήματος xx + 1.4xx + xx = ff (ζζ =.7, ωω = 1) σε μοναδιαίους παλμούς ff = uu pp,tt (tt). Καθώς η διάρκεια Τ μικραίνει κάτω από κάποιο όριο (το οποίο εξαρτάται από το σύστημα) η απόκριση h pp,tt (tt) δεν μεταβάλεται, και ταυτίζεται με την απόκριση σε κρουστική είσοδο h(tt) time 44

45 Απόκριση σε τυχαία είσοδο H απόκριση yy tt ενός γραμμικού συστήματος σε μια οποιαδήποτε είσοδο u tt μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης yy tt = h tt uu tt = uu tt h tt = Απόκριση συστήματος σε κρουστική είσοδο Τυχαία είσοδος h ττ uu tt ττ ddττ = h tt ττ uu ττ ddττ 45

46 Ολοκλήρωμα Συνέλιξης: Φυσική Σημασία Oποιαδήποτε είσοδος u(t) μπορεί να εκφραστεί σαν ένα άθροισμα παλμών πλάτους Τ (το Τ είναι αρκετά μικρό) uu tt = TT uu pp,tt (tt kk TT) uu(kk TT) kk= Αναγκαίο διότι το u p,t περιέχει το 1/Τ ώστε το εμβαδόν του να είναι 1 Η απόκριση του συστήματος σε αυτή την είσοδο (λόγω επαλληλίας) είναι το άθροισμα αποκρίσεων σε παλμούς: yy tt = TT h pp,tt (tt kk TT) uu(kk TT) kk= Όταν η διάρκεια T είναι αρκετά μικρή, τότε h pp,tt h ενώ το άθροισμα καταλήγει σε ολοκλήρωμα yy tt = h tt ττ uu ττ ddττ 24 46

47 Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης To ολοκλήρωμα της συνέλιξης μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt yy tt = h tt uu tt = h ττ uu tt ττ ddττ = h ττ uu tt ττ ddττ Η αλλαγή στα όρια της ολοκλήρωσης προκύπτει διότι h(t)=u(t)= για t< Διαδικασία υπολογισμού της yy tt Ξεκινώντας από την u(τ), η u(t-τ) προκύπτει γραφικά σε δύο βήματα 1. Η u(-τ) είναι ο «καθρέπτης» της u(τ) ως προς τον άξονα t= 2. Η u(t-τ) προκύπτει μετακινώντας την u(-τ) δεξιά κατά t Υπολογισμός της φφ ττ = uu(tt ττ) h ττ Η τιμή yy tt υπολογίαζεται ως το ολοκλήρωνα της φφ ττ από τ= έως τ=t 47

48 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Παράδειγμα: Nα υπολογιστεί αναλυτικά η απόκριση του συστήματος xx + xx + xx = uu (ζζ =.5, ωω = 1) στην είσοδο u(t) όταν xx = xx = uu(tt) =, tt < sin ππ uu(tt) 1 tt, tt < 1 1, tt DD 1 t Λύση O υπολογισμός της απόκρισης μέσω συνέλιξης χρειάζεται την απόκριση h(tt) σε κρουστική είσοδο. Η απόκριση h(tt) θα υπολογιστεί μέσω της απόκρισης σε βηματική είσοδο h ss (tt) 48

49 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε βηματική είσοδο h ss (tt) h ss (tt) ονομάζουμε την απόκριση xx(tt) σε βηματική είσοδο x tt = xx h tt + xx pp tt Η ειδική λύση xx pp tt, είναι η λύση της ΣΔΕ xx + xx + xx = 1 Δοκιμάζουμε (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ) λύσεις της μορφής xx pp tt = cc Αντικαθιστώντας την xx pp tt στην ΣΔΕ προκύπτει cc = 1 οπότε η ειδική λύση είναι xx pp tt = 1 49

50 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η ομογενής λύση xx h tt ισούται με (βλέπε θεωρεία ΣΔΕ): xx h tt = cc 1 ee λλ 1tt + cc 2 ee λλ 2tt Όπου τα λλ 1,2 είναι οι ρίζες του χαρακτηριστικού πολυωνύμου λλ 2 + λλ + 1 = Επειδή <ζ<1, οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί: λλ 1,2 = ζζζζ ± ωω nn jj =.5 ± 3 2 jj Επειδή οι ρίζες είναι μιγαδικοί αριθμοί, η ομογενής λύση γράφεται ως xx h tt = ee.5tt AA sin ( 3 2 tt + φφ) 5

51 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η συνολική λύση (ομογενής + ειδική) είναι: xx tt = ee.5tt AA sin 3 2 tt + φφ + 1 Οι σταθερές Α και φ υπολογίζονται από τις αρχικές συνθήκες: xx = AA sin φφ = 1 xx =.5 AA sin φφ AA cos φφ Συνδιάζοντας της δύο συνθήκες προκύπτει το σύστημα: AA sin φφ = 1 AA cos φφ = 3 3 Eπειδή το πλάτος Α>, τότε τα sin φφ και cos φφ είναι αρνητικοί αριθμοί, οπότε η γωνία φφ βρίσκεται στο 3 ο τεταρτημόριο. H λύση δίνει AA = και φφ = 2ππ/3 51

52 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Οπότε η ομογενής λύση είναι: xx h (tt) = ee tt/ sin ( 3 2 tt 2ππ/3) Η συνολική λύση είναι το άθροισμα της ομογενούς και της ειδικής λύσης xx tt = xx pp tt + xx h tt = 1 + ee tt/ sin ( 3 2 tt 2ππ/3) Η απόκριση ενός συστήματος σε βηματική είσοδο (μηδενικές αρχικές συνθήκες) ονομάζεται (για λόγους συμβολισμού) h ss (tt): h ss tt = 1 + ee tt/ sin ( 3 2 tt 2ππ/3) 52

53 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Υπολογισμός της απόκρισης σε κρουστική είσοδο h(tt) Η απόκριση σε κρουστική είσοδο h(tt) προκύπτει από την χρονική παράγωγο της απόκρισης h ss (tt) h tt = ddh ss tt dddd = ee tt 2 sin 3 2 tt 2ππ ee tt 2 cos 3 2 tt 2ππ 3 Οπότε προκύπτει η έκφραση για την h(tt) h tt = ee tt 2 [.568 sin 3 2 tt 2ππ cos 3 2 tt 2ππ 3 ] 53

54 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Συνέλιξης Τα επόμενα σχήματα δείχνουν τις γραφικές παραστάσεις για τις απόκρισεις h ss (tt), h(tt) του συστήματος σε βηματική και κρουστική είσοδο αντίστοιχα h s (t) h(t) time time Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση Μεταβατική (transient) απόκριση Μόνιμη (steady state) απόκριση 32 54

55 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Η απόκριση xx tt την στιγμή t> μπορεί να υπολογιστεί μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt για τον υπολογισμό του ολοκληρώματος διακρίνουμε 2 περιπτώσεις Κάθε περίπτωση διαφέρει στο εύρος του ολοκληρώματος, δηλαδή στο εύρος των τιμών του τ όπου το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μη-μηδενικό Βλέπε επόμενα 2 slides 55

56 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν tt < 1, το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μη-μηδενικό για ττ < tt Η απόκριση xx tt για οποιαδήποτε tt < 1 μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt h ττ sin ( ππ (tt ττ))ddττ 1 Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(4) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(4) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = u( ) u(- ) h( ) u(4- ) h( )*u(4- ) time 34 56

57 Παράδειγμα: Αναλυτικός Υπολογισμός Aπόκρισης Μέσω Συνέλιξης Όταν tt 1, το γινόμενο h ττ uu tt ττ είναι μημηδενικό για t 1 ττ < tt Η απόκριση xx tt για οποιαδήποτε tt 1 μπορεί να υπολογιστεί αναλυτικά ως: tt xx tt = h ττ uu tt ττ ddττ tt tt 1 tt 1 h ττ sin ( ππ (tt ττ))ddττ 1 Παράδειγμα υπολογισμού της απόκρισης x(15) μέσω του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Η τιμή x(15) ισούται με το ολοκλήρωμα της u(t-τ)*h(τ) (τέταρτη εικόνα) = u( ) u(- ) h( ) u(15- ) time h( )*u(15- ) 35 57

58 Χρηματοδότηση Το Έργο Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΕΜΠ υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρηματικού Προγράμματος Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε.

Δυναμική Μηχανών Ι. Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης. Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση Συστημάτων 1 ου Βαθμού Ελευθερίας, που περιγράφονται από Σ.Δ.Ε. 1 ης τάξης Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση

Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Απόκριση σε Αρμονική Διέγερση του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB

Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Προσομoίωση Απόκρισης Συστήματος στο MATLAB του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας

Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών Βαθμών Ελευθερίας Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Πολλών

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 11. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 11 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Γραμμικοποίηση Ευστάθεια Απόκριση Συστημάτων 1 Β.Ε. που περιγράφονται από ΣΔΕ 1 ης τάξης 2 Πρόβλημα/Ερώτημα

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 9. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 9 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Η διάλεξη σε MATLAB/simulink για όσους δήλωσαν συμμετοχή θα γίνει στις 16/1/2014 στο PC LAB Δεν θα γίνει διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #9: Σύστημα ης τάξης: Χρονική Απόκριση και Χαρακτηριστικά Μεγέθη (Φυσικοί Συντελεστές) Δημήτριος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #4: Μαθηματική εξομοίωση συστημάτων στο επίπεδο της συχνότητας Μετασχηματισμός Laplace και

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών

Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Εισαγωγή στη Δυναμική Μηχανών του καθ. Ιωάννη Αντωνιάδη και υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων

Δυναμική Μηχανών I. Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής. Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων Δυναμική Μηχανών I Εισαγωγή στον Υπολογισμό της Χρονικής 5 1 Απόκρισης Δυναμικών Εξισώσεων 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 6: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΤΥΧΟΥΣΑ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ DUHAMEL Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών. σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών 6 1 σε Συστήματα Συνήθων Διαφορικών Εξισώσεων με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 12. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 12 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Απόκριση Συστημάτων N Β.Ε. Σε αρχικές συνθήκες Συστήματα χωρίς απόσβεση Εισαγωγή στην ιδιοανυσματική ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #7: Άλγεβρα Βαθμίδων (μπλόκ) Ολική Συνάρτηση Μεταφοράς Δημήτριος Δημογιαννόπουλος Τμήματος

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ενότητα #10: Σύστηματα και Απόκριση Συχνότητας - Λογαριθμικά Διαγράμματα BODE Δημήτριος Δημογιαννόπουλος

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 3&4: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗΣ ΔΙΕΓΕΡΣΗΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς Δυναμική Μηχανών I 7 2 Συνάρτηση και Μητρώο Μεταφοράς 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Αναπαραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 10: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΔΥΟ ΒΑΘΜΩΝ ΕΛΕΥΘΕΡΙΑΣ (-ΒΕ) Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική Ι. Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική Ι. Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική Ι Ενότητα 2: Κίνηση σε επίπεδο Υλικό σημείο Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Επανάληψη θεωρίας διανυσμάτων Εξοικείωση με τη χρήση τους στην περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων

Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Δυναμική Μηχανών Ι Διδάσκων: Αντωνιάδης Ιωάννης Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων Άδεια Χρήσης Το παρόν υλικό βασίζεται στην παρουσίαση Διακριτή Μοντελοποίηση Μηχανικών Συστημάτων του καθ. Ιωάννη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 12&13: ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΦΑΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Τυχαία Φόρτιση (Ολοκλήρωμα Duhamel) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Τυχαία Φόρτιση: Απόκριση σε Τυχαία Φόρτιση: Βασική Ιδέα Δ10-2 Το πρόβλημα της κίνησης μονοβάθμιου συστήματος σε τυχαία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 8. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 8 έκδοση DΥΝI-EXC08-016b Copyright Ε.Μ.Π. - 016 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση

Δυναμική Μηχανών I. Ιδιοανυσματική Ανάλυση Δυναμική Μηχανών I 6 3 Ιδιοανυσματική Ανάλυση 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Ιδιοανυσματική

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών

Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Δυναμική Ηλεκτρικών Μηχανών Ενότητα 4: Μέθοδος Μικρών Μεταβολών Επ. Καθηγήτρια Τζόγια Χ. Καππάτου Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα

Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΠΡΟΤΥΠΟΠΟΙΗΣΗ 1 η ΣΕΙΡΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Προβλήματα Αδιαστατοποίησης - Δυναμικής Πληθυσμών Άσκηση 3.3, σελίδα 32 από

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Απόκριση Συχνότητας Αναλογικών Σ.Α.Ε Διαγράμματα BODE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

website:

website: Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ

ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΑΡΧΕΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Ενότητα #4: Ο Μετασχηματισμός Fourier Χ. ΚΑΡΑΪΣΚΟΣ Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Περιγραφή συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων

Παράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης. Συστήματος με το Περιβάλλον του

Δυναμική Μηχανών I. Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης. Συστήματος με το Περιβάλλον του Δυναμική Μηχανών I Μοντελοποίηση της Αλληλεπίδρασης 3 4 Συστήματος με το Περιβάλλον του 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 5: ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΣΕ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΠΛΗΓΜΑΤΟΣ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93

ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 93 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΠΟΛΥΒΑΘΜΙΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 5.. Εισαγωγή Η παρουσία εξωτερικών διεγέρσεων σε ένα σύστηµα πολλών Β.Ε. δηµιουργεί σ'

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού

Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Ιδιότητες της Συνέλιξης Η συνέλιξη μετατοπισμένων σημάτων

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b

ΑΣΚΗΣΗ 7. έκδοση DΥΝI-EXC b ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 7 έκδοση DΥΝI-EXC07-06b Copyright Ε.Μ.Π. - 06 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 7: Χρονική απόκριση συστημάτων Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I 7 3 Συνάρτηση Απόκρισης Συχνότητας 215 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να:

Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Όταν θα έχουµε τελειώσει το Κεφάλαιο αυτό θα µπορούµε να: ορίσουµε το Μετασχηµατισµό Laplace (ML) και το Μονόπλευρο Μετασχηµατισµό Laplace (MML) και να περιγράψουµε

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015)

Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου (Ιούνιος 2015) Λύσεις θεμάτων Α εξεταστικής περιόδου εαρινού εξαμήνου 204 5 (Ιούνιος 205) ΘΕΜΑ Ο (4,0 μονάδες) Στο παρακάτω σχήμα δίνεται το δομικό (λειτουργικό) διάγραμμα ενός συστήματος. α. Να προσδιοριστούν οι τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικό και Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα σε καθοριστική και τυχαία πρόκληση (8.1.3)

Γραμμικό και Χρονικά Αμετάβλητο Σύστημα σε καθοριστική και τυχαία πρόκληση (8.1.3) Επιχειρησιακό Πρόγραμμα Εκπαίδευση και ια Βίου Μάθηση Πρόγραμμα ια Βίου Μάθησης ΑΕΙ για την Επικαιροποίηση Γνώσεων Αποφοίτων ΑΕΙ: Σύγχρονες Εξελίξεις στις Θαλάσσιες Κατασκευές Α.Π.Θ. Πολυτεχνείο Κρήτης

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ. Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 1: δυναμικά φορτία Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Ευστάθεια Συστημάτων Ελέγχου Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου

Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Εισαγωγικές έννοιες θεωρίας Συστημάτων Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα 5 η : ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Επ. Καθηγητής Γαύρος Κωνσταντίνος ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Καταστατικές Εξισώσεις Επιμέλεια: Πέτρος Π. Γρουμπός, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t)

Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου v 3 (t) - i 2 (t) Λύσεις θεμάτων εξεταστικής περιόδου Ιουνίου 2015 ΘΕΜΑ 1 Ο (6,0 μονάδες) Δίνεται το κύκλωμα του σχήματος, όπου v 1 (t) είναι η είσοδος και v 3 (t) η έξοδος. Να θεωρήσετε μηδενικές αρχικές συνθήκες. v 1

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΑΝΩΜΑΛΑ ΣΗΜΕΙΑ, ΠΟΛΟΙ ΚΑΙ ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΙΠΩΝ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9 η : Σχεδίαση ελεγκτών με το γεωμετρικό τόπο ριζών Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 4: Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μελέτη των Γραμμικών και Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων Η Κρουστική Απόκριση

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα : Συστήματα Διακριτού Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Συστήματα Διακριτού Χρόνου Εξισώσεις Διαφορών Επίλυση Εξισώσεων Διαφορών με Γραμμικούς Συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες.

Πίνακες Ορίζουσες. Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. 1 Πίνακες Ορίζουσες Πίνακας: ορθογώνια διάταξη αριθμών που αποτελείται από γραμμές και στήλες. Παράδειγμα (χορήγηση Βαλασικλοβιρης (αντιυπερτασικό) σε νήπια) Ηλικία (μήνες) Μέσο Cmax (μg/ml) Μέσο βάρος

Διαβάστε περισσότερα

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος

Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας

Διαβάστε περισσότερα

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Σύστημα και Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Όταν μελετούμε έναν συγκεκριμένο μηχανισμό η μια φυσική διεργασία επικεντρώνουμε το ενδιαφέρον μας στα φυσικά μεγέθη του μηχανισμού τα οποία μας ενδιαφέρει να

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ

ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: ΣΥΝΕΛΙΞΗ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔ ΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ Μεθοδολογία Κλεομένης Γ. Τσιγάνης Λέκτορας ΑΠΘ Πρόχειρες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 10. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 10 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Προσομοίωση απόκρισης συστήματος στο MATLAB μέσω της συνάρτησης ode45 (Runge-Kutta) Προσομοίωση απόκρισης

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...)

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση (...) Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Αρμονική Ταλάντωση με Απόσβεση (...) π / ω π / ω D E = f du = ( cu ) udt = cu dt D Δ9- Απώλεια ενέργειας Η απώλεια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Μετασχηματισμός Laplace και ΓΧΑ Συστήματα Συνάρτηση μεταφοράς αιτιατών και ευσταθών συστημάτων Συστήματα που περιγράφονται από ΔΕ Διαγράμματα Μπλοκ Μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2.

υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος : Ε. Μ. Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι - 2. υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 ΥΝΑΜΙΚΗ ΜΗΧΑΝΩΝ Ι -. - υναµική Μηχανών Ι Ακαδηµαϊκό έτος: 00-0 Cpyright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 00. Με επιφύλαξη

Διαβάστε περισσότερα

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα 11: ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ Ενότητα : ΟΡΘΟΓΩΝΙΚΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΙΔΙΟΜΟΡΦΩΝ Διδάσκων: Κολιόπουλος Παναγιώτης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Κίνησης

Έλεγχος Κίνησης ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 1501 - Έλεγχος Κίνησης Ενότητα: Ελεγκτές - Controller Μιχαήλ Παπουτσιδάκης Τμήμα Αυτοματισμού Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 3 η : Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων. Παναγιώτης Σεφερλής

Αυτόματος Έλεγχος. Ενότητα 3 η : Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων. Παναγιώτης Σεφερλής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Δυναμικά Χαρακτηριστικά Τυπικών Συστημάτων Ευστάθεια Δυναμικών Συστημάτων Παναγιώτης Σεφερλής Εργαστήριο Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου 2015 1 / 78 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a

ΑΣΚΗΣΗ 19. έκδοση DΥΝI-EXC a ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΑΣΚΗΣΗ 19 έκδοση DΥΝI-EXC19-2017a Copyright Ε.Μ.Π. - 2017 Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 6: Έννοια της συνάρτησης μεταφοράς Παραδείγματα εφαρμογής σε φυσικά συστήματα Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ & ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE έκδοση DΥΝI-TFLT_016b

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική IΙ. Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών

Φυσική IΙ. Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή. Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Φυσική IΙ Ενότητα 10: Ηλεκτρομαγνητική επαγωγή Κουζούδης Δημήτρης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Χημικών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εισαγωγή στην έννοια της μαγνητικής ροής και ορισμός του μαθηματικού τύπου της

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 7: Μη Πεπερασμένα Όρια Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης

Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες. Δομή της παρουσίασης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη 3 η Τα Συστήματα στις Τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα ΙΙ

Σήματα και Συστήματα ΙΙ Σήματα και Συστήματα ΙΙ Ενότητα 6: Απόκριση Συχνότητας-Φίλτρα Α. Ν. Σκόδρας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας,

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα