Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ (ΑΠΟ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ (ΑΠΟ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ)"

Transcript

1 Η ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΣΤΑ ΣΧΟΛΙΚΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΑ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΤΟΥΣ ΕΞΕΛΙΞΗ (ΑΠΟ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΣΤΟ ΛΥΚΕΙΟ) Π ΛΙΝΑΡ ΑΚΗΣ ρ. ιδακτικής των Μαθηµατικών Καθηγητής Αρσακείου Περίληψη Στόχος της ανακοίνωσης αυτής είναι : Η σκιαγράφηση της σχέσης ανάµεσα στην ιστορική εξέλιξη των Τριγωνοµετρικών εννοιών και του τρόπου πού οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραµµα και στα σχολικά βιβλία. Η περιγραφή των εµποδίων που συναντούν οι µαθητές στην κατανόηση των Τριγωνοµετρικών εννοιών και η επιστηµολογική σχέση αυτών των εµποδίων µε την ιστορική εξέλιξη των εννοιών αυτών. Θα παρουσιάσουµε τις βασικές ιστορικές στιγµές που έχουν επηρεάσει την εξέλιξη της Τριγωνοµετρίας από τους Αιγυπτίους και τους Αρχαίους Έλληνες µέχρι σήµερα.παράλληλα θα αποδείξουµε ότι αυτές οι ιστορικές στιγµές επηρεάζουν τον τρόπο που οι έννοιες αυτές παρουσιάζονται στα σχολικά βιβλία Τέλος θα καταδείξουµε τα επιστηµολογικά και διδακτικά εµπόδια πού εµφανίζονται όταν κανείς διδάσκει Τριγωνοµετρία στην Ελλάδα σήµερα. Α ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο στόχος της εργασίας αυτής είναι να ερευνήσει την σχέση που διαµορφώνεται ανάµεσα στην ιστορική εξέλιξη των τριγωνοµετρικών εννοιών και του τρόπου που αυτές παρουσιάζονται στο Αναλυτικό πρόγραµµα και τα σχολικά βιβλία Τα συµπεράσµατα από αυτή την εργασία θα συµβάλλουν στη διερεύνηση των ερωτηµάτων: 1. Υπάρχουν προβλήµατα κατανόησης των τριγωνοµετρικών εννοιών από πλευράς των µαθητών που να είναι αντίστοιχα µε τις δυσκολίες που εµφανίστηκαν στην ιστορική τους εξέλιξη; (επιστηµολογικά εµπόδια)

2 2. Υπάρχουν οι αναγκαίοι διδακτικοί µετασχηµατισµοί στην παρουσίαση ώστε να µειωθούν αντίστοιχα προβλήµατα; Και ποιοι άλλοι µετασχηµατισµοί πρωτογενείς ή δευτερογενείς µπορούν να γίνουν για την βελτίωση της παρουσίασης;. Στο ισχύον Αναλυτικό πρόγραµµα για το Γυµνάσιο και το Λύκειο, οι τριγωνοµετρικές έννοιες παρουσιάζονται στις Β και Γ Γυµνασίου και Α και Β Λυκείου. Επίσης, στην Γ Λυκείου, στ πλαίσια της Ανάλυσης,αντιµετωπίζονται πιο διεξοδικά οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις.. Β ΕΠΙΣΤΗΜΟΛΟΓΙΑ ΚΑΙ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Είναι γνωστό ότι η επιστηµολογία είναι ο επιστηµονικός χώρος που µελετά τη συγκρότηση και εξέλιξη των επιστηµονικών γνώσεων, τόσο όσον αφορά την ιστορική τους γέννηση όσο και τον τρόπο που αυτές αναδοµούνται εξελισσόµενες κάτω από συγκεκριµένες ιστορικές και κοινωνικές συνθήκες. Για την διδακτική των Μαθηµατικών η µελέτη των διαφορετικών αντιλήψεων που δηµιουργείται για µία µαθηµατική έννοια (concepts) αποτελεί ουσιαστικό σηµείο ερευνητικής ενασχόλησης. Η Michele Artigue στο Cahier de didireun no o 3 (1989) αναδεικνύει την σπουδαιότητα της επιστηµολογικής θεµελίωσης (fondements epistemologiques) µίας έννοιας σε κάθε µελέτη της διδακτικής των Μαθηµατικών, θέτοντας τρεις κατευθύνσεις: i. Την µελέτη της ιστορικής προέλευσης των µαθηµατικών εννοιών και των ιστορικών συνθηκών. ii. Την εργασία που συσχετίζει την διαδικασία που αυτές δοµήθηκαν και τον τρόπο που αυτές µαθαίνονται. iii. Την µελέτη της λειτουργίας των εννοιών αυτών στο καθαρά µαθηµατικό πλαίσιο και τις σχέσεις που αναπτύσσονται ανάµεσα στις διαφορετικές αντιλήψεις αυτών των εννοιών. Αυτές οι τρεις κατευθύνσεις εµφανίζονται και στο βιβλίο των Jean Pierre Astofli και Michel Develay la didactique des sciences experimentales και ειδικά στο σηµείο που έχει τον τίτλο Epistemologie et questions didactiques και στο οποίο γίνεται προσπάθεια να υπάρξει συσχέτιση ανάµεσα στην επιστηµολογική προσέγγιση των Μαθηµατικών εννοιών και του τρόπου που αυτές πρόκειται να διδαχθούν. Παραθέτουµε από την ενδιαφέρουσα αυτή συσχέτιση το εξής:

3 «Στην ιστορία των επιστηµών, η δηµιουργία των επιστηµονικών εννοιών δεν είναι γραµµική ούτε προϊόν µίας κάποιας έµπνευσης. Είναι τις περισσότερες φορές δεµένη µε τους συγκεκριµένες κοινωνικές λειτουργίες και έρχεται να απαντήσει σε συγκεκριµένα, διαφόρων τύπου προβλήµατα (επιστηµονικά, φυσικά, κοινωνικά κ.λ.π.)». Η διδασκαλία κατά συνέπεια των εννοιών αυτών µπορεί να µην είναι προσανατολισµένη στην ανάδειξη αυτών των συνθηκών στα µάτια των παιδιών.έχουµε σκεφτεί,όµως, αν µπορούν να γεννηθούν ξανά αυτές οι έννοιες στη διάρκεια της διδασκαλίας µέσα από συγκεκριµένα προβλήµατα; ηλαδή αν µπορούν να επανατεθούν τά ίδια ερωτήµατα πού οδήγησαν στην γέννηση των εννοιών αυτών; Είναι βέβαια σαφές ότι ο κάθε διδάσκων αναπτύσσει στην διδασκαλία του πρακτικές που συναρτώνται άµεσα µε τις προσωπικές του αντιλήψεις για τα Μαθηµατικά και που έχουν κατ αρχήν σχέση µε την βασική του µόρφωση. Όµως η µεγάλη διαφορά του διδάσκοντα από άλλους εργαζόµενους (π.χ. έναν µηχανικό), είναι ότι η συνολική του συγκρότηση στις διαφορετικές διαστάσεις, επιστηµονική - µορφωτική - πολιτιστική - κοινωνική κ.λ.π., παίζει ενεργό ρόλο στην αποτελεσµατικότητα της εργασίας του. Για την διδακτική των Μαθηµατικών λοιπόν η επιστηµολογική συνιστώσα είναι σηµαντική τόσο στην δηµιουργία Αναλυτικών προγραµµάτων και την συγγραφή σχολικών βιβλίων όσο και στην καθηµερινή παρουσία του διδάσκοντα στην σχολική αίθουσα. Ένα σηµαντικό λοιπόν ζήτηµα για την έρευνα είναι το πως η ιστορική διάσταση µίας µαθηµατικής έννοιας και η επιστηµολογική της τεκµηρίωση ενυπάρχουν και εµφανίζονται στο αντικείµενο διδασκαλίας, δεδοµένης της επιστηµολογίας του διδάσκοντα. Ο Yves Chevallard τόσο στο άρθρο του «Les programmes et la transposition didactique» όσο και στο βιβλίο του που έγραψε µαζί µε την Marie-Alberte Joshua La transposition didactique ασχολείται συγκεκριµένα µε τους διδακτικούς µετασχηµατισµούς που υφίστανται Μαθηµατικές έννοιες ή και ολόκληρες ενότητες των Μαθηµατικών από την επιστηµονική τους διάσταση ή την ιστορική τους εξέλιξη ώστε να γίνουν αντικείµενο διδασκαλίας. Ο Yves Chevallard δίνει έµφαση σε αυτό που ακριβώς προαναφέραµε για τις αναπαραστάσεις που υπάρχουν στον διδάσκοντα και πόσο επηρεάζουν τους διδακτικούς µετασχηµατισµούς που ο ίδιος ενσυνείδητα ή υποσυνείδητα επιχειρεί κατά τη διάρκεια της διδασκαλίας.

4 Για µας είναι σηµαντικό να ξεχωρίσουµε τους διδακτικούς µετασχηµατισµούς σε δύο διαφορετικούς τύπους που σχηµατικά θα αναφέρουµε ως πρωτογενείς και δευτερογενείς. Πρωτογενείς ονοµάζουµε αυτούς που γίνονται από αυτούς που εκπονούν τα Αναλυτικά προγράµµατα και συγγράφουν τα σχολικά βιβλία και δευτερογενείς αυτούς που επιλέγει ο διδάσκων έχοντας ως δεδοµένους τους πρωτογενείς. Γ ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ ΜΕ ΤΗΝ ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΕΞΕΛΙΞΗ Στηριζόµενοι στην Ιστορία των Μαθηµατικών των C. 1)Bayer-Uta Merzbach καθώς και του 2)G. Loria θα παρουσιάσουµε τις κυριότερες φάσεις της ιστορικής εξέλιξης των τριγωνοµετρικών εννοιών, συγκρίνοντάς την µε την παρουσίαση στο Αναλυτικό πρόγραµµα. Γ.1.ΚΛΙΣΗ ΓΩΝΙΑΣ Σύµφωνα µε τους (1) και (2), καθώς και τον Gillings στο Mathematics in the time of the Pharaohs, η έννοια της κλίσης µίας γωνίας, αυτό που σήµερα θα ονοµάζαµε εφω, ω (0,π/2), ήτανε η πρώτη ιστορικά εµφανιζόµενη τριγωνοµετρική έννοια στο πρόβληµα 56 του παπύρου του Rhind. Στο πρόβληµα αυτό εµφανίζεται η απαίτηση, κατά την κατασκευή, µίας πυραµίδας, της διατήρησης της ίδιας κλίσης στις έδρες της. Ίσως αυτό να οδήγησε τους Αιγυπτίους να εισάγουν µία έννοια αντίστοιχη µε αυτήν της εφαπτοµένης µίας γωνίας (ακριβέστερα της συνεφαπτοµένης). Οι Αιγύπτιοι χρησιµοποιούσαν την λέξη σεκτ που περιέγραφε την οριζόντια απόσταση µίας πλάγιας ευθείας από τον κατακόρυφο άξονα για κάθε µονάδα µεταβολής του ύψους. Αυτό δηλαδή που χρησιµοποιούν οι αρχιτέκτονες σήµερα για να δώσουν την εσωτερική κλίση ενός υποστρώµατος ή ενός βάθρου. Το πρόβληµα αυτό εµπεριέχει, υπονοούµενα, στοιχεία της θεωρίας των οµοίων τριγώνων. Η εµφάνιση,δηλαδή, των τριγωνοµετρικών αριθµών µίας οξείας γωνίας µεσω των λόγων των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου στο οποίο ανήκει η γωνία αυτή, ιστορικά προηγείται της συσχέτισης χορδών και τόξων ενός κύκλου. Στο Γυµνάσιο έχει επιλεγεί αυτός ο τρόπος ορισµού των τριγωνοµετρικών εννοιών οξείας γωνίας. Βέβαια στο Γυµνάσιο δεν έχει οριστεί η οµοιότητα των τριγώνων και αυτό έχει ως αποτέλεσµα την ελλειπή τεκµηρίωση της µονοσήµαντης διάστασης του ορισµού. εν εξηγείται,δηλαδή, στον

5 µαθητή το γιατί είµαστε βέβαιοι ότι οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί µίας οξείας γωνίας είναι σταθεροί και ανεξάρτητοι από το ορθογώνιο στο οποίο ανήκει η ω Επανερχόµενοι στο πρόβληµα 56 του παπύρου του Rhind, βλέπουµε ότι ο ορισµός του σεκτ αποτελεί την απάντηση σε ένα συγκεκριµένο πρόβληµα των ανθρώπων της εποχής εκείνης. Αντίστοιχα κατασκευαστικά προβλήµατα της σηµερινής εποχής καθιστούν, για µία τουλάχιστον οµάδα ανθρώπων που ασχολείται µε αυτά, τις αντιλήψεις για την έννοια της κλίσης συναφείς µε εκείνες των Αιγυπτίων. Κατά την γνώµη µας, η επιλογή του ορισµού της εφαπτόµενης στην Β Γυµνασίου µε το παράδειγµα της κλίσης ενός δρόµου είναι επιτυχής ακριβώς διότι µε απλό τρόπο απαντάει στο ίδιο ακριβώς ερώτηµα που οδήγησε στην ιστορική γέννηση της έννοιας αυτής. Αυτό βέβαια δεν σηµαίνει ότι θεωρούµε αυτή την αντιστοιχία ως νόµο ούτε καν ως κανόνα για την διδασκαλία των Μαθηµατικών. Οι τριγωνοµετρικές έννοιες σήµερα έχουν διαφορετικές σηµασίες σε διαφορετικά επίπεδα,αποτέλεσµα των διαφορετικών αναγκών και προσεγγίσεων στην ιστορική τους εξέλιξη. Αυτό καθιστά αδύνατη την γραµµική συσχέτιση της ιστορικής τους εξέλιξης και της διδασκαλίας τους. Γ..ΧΟΡ ΕΣ ΚΑΙ ΤΟΞΑ ΚΥΚΛΟΥ Μετά το πρόβληµα 56 του παπύρου του Rhind η σηµαντικότερη φάση για τις τριγωνοµετρικές έννοιες είναι η Ελληνιστική περίοδος (150 π.χ.-160 µ.χ. περίπου) και η ακµή της τριγωνοµετρίας µέσω των Αστρονοµικών µελετών. Πριν όµως από αυτήν και ενώ ήταν σε πλήρη ακµή η Ευκλείδεια Γεωµετρία, συναντάµε γεωµετρικές προτάσεις που είναι συναφείς µε γνωστές τριγωνοµετρικές προτάσεις. Οι προτάσεις ΙΙ12 και 13 των στοιχείων του Ευκλείδη που είναι γνωστές ως επέκταση του Πυθαγορείου Θεωρήµατος σε οξυγώνιο και αµβλυγώνιο τρίγωνο, είναι σαφές ότι εκφράζουν µε γεωµετρική γλώσσα τον νόµο των συνηµίτονων σε οξυγώνιο ή αµβλυγώνιο τρίγωνο. Αναφέρουµε ειδικά αυτό το παράδειγµα γιατί κατά τη γνώµη µας έχει σηµαντικό διδακτικό ενδιαφέρον. Στην σελίδα 37 του σχολικού βιβλίου της Β Λυκείου παρουσιάζεται ο νόµος των συνηµίτονων και η απόδειξή του, η οποία παρουσιάζεται µε οικονοµικό τρόπο (λόγω του ορθοκανονικού συστήµατος δεν χρειάζεται διάκριση περιπτώσεων για το είδος της γωνίας Α) και κάνει χρήση του

6 διευρυµένου ορισµού (σελ του σχολικού βιβλίου της Α Λυκείου) για τους τριγωνοµετρικούς αριθµούς µίας οποιασδήποτε γωνίας. Παρότι δηλαδή ιστορικά ο νόµος αυτός σχετίζεται άµεσα µε τα συγκεκριµένα θεωρήµατα της γεωµετρίας, ο πρωτογενής διδακτικός µετασχηµατισµός αφορά µία πιο σύγχρονη και πιο οικονοµική παρουσίασή του. Η διαφωνία µας έγκειται στο ότι τα συγκεκριµένα γεωµετρικά θεωρήµατα τα έχει διδαχθεί ο µαθητής της Β Λυκείου στο ίδιο περίπου χρονικό διάστηµα, πράγµα που είναι διδακτικό πλεονέκτηµα αναφορικά µε την κατανόηση εννοιών και προτάσεων κάτω από διαφορετικά πλαίσια. Είναι χαρακτηριστικό ότι η εναλλακτική απόδειξη µε βάση τα γεωµετρικά θεωρήµατα,παρότι λιγότερο οικονοµική (διάκριση σε οξυγώνιο-αµβλυγώνιο-ορθογώνιο τρίγωνο), προτιµάται από σηµαντικό κοµµάτι των µαθητών σε ανάλογη εξέταση. Επανερχόµενοι στην ιστορική αναφορά, πρέπει να σηµειώσουµε ότι πριν την Ελληνιστική περίοδο σηµαντική παρουσία στην µετέπειτα εξέλιξη της Τριγωνοµετρίας ήταν αυτή του Αρχιµήδη. Είναι γνωστό ότι ο Αρχιµήδης έδειξε την υπολογιστική του δεξιότητα και στην προσέγγιση του π, του λόγου δηλαδή του µήκους ενός κύκλου προς την διάµετρό του. Ίσως αυτό αποτελεί, µαζί µε κάποιες προσπάθειες του Αρίσταρχου ( π.χ.) και του Ερατοσθένη ( π.χ.), την αρχή για µία πιο σηµαντική σχέση ανάµεσα στα τόξα και τις χορδές. Στην σελίδα 152 της Ιστορίας των Μαθηµατικών των (1), παρουσιάζεται µία απόδειξη που έκανε ο Αρχιµήδης, γνωστή ως το πρόβληµα της σπασµένης χορδής, που µε την σηµερινή γλώσσα της τριγωνοµετρίας, πρόκειται για την απόδειξη του γνωστού τύπου ηµ(χ-ψ)=ηµχσυνψ-συνχηµψ. Ο Πτολεµαίος στην Αλµαγέστη το επανέφερε µέσω του θεωρήµατος εγγραψίµων τετραπλεύρων: ΑΒ.Γ +Α.ΒΓ=ΑΓ.Β. Η υπέρβαση των τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας αποτελεί όπως καταλαβαίνουµε σηµαντικό πρόβληµα τόσο από επιστηµολογικά όσο και από διδακτική σκοπιά. Τα διδακτικά προβλήµατα που παρουσιάζονται έχουν σαφέστατα επιστηµολογικό χαρακτήρα. Στην σελίδα του σχολικού βιβλίου της Α Λυκείου υπάρχει, µε περιληπτικό τρόπο, η παρουσίαση των τριγωνοµετρικών αριθµών οποιασδήποτε γωνίας, όπως αυτός έχει παρουσιασθεί στο σχολικό βιβλίο της Γ Γυµνασίου, και αυτό είναι πού µας ενδιαφέρει στην µετάβαση από το Γυµνάσιο στο Λύκειο.

7 Μπορούµε να παρατηρήσουµε µία ρήξη του διδακτικού συµβολαίου contract didactique (Guy Brousseau RDM Vol 9 n o 3). Ο µαθητής κατανοεί τον ορισµό του ηµίτονου µίας οξείας γωνίας σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, ως τον λόγο: απέναντι κάθετη πλευρά προς υποτείνουσα Όταν θέλουµε να ορίσουµε το ηµίτονο µίας µη οξείας γωνίας, ο µαθητής καλείται να αναδιοργανώσει τον εννοιολογικό χώρο µέσα στον οποίο έχει συγκροτήσει αρχικά τις έννοιες των τριγωνοµετρικών αριθµών Το καινούριο εποπτικό πλαίσιο είναι ένα ορθοκανονικό σύστηµα αξόνων και το ηµω= ψ ρ, όπου ψ δεν είναι κατ ανάγκη µήκος αφού είναι η τεταγµένη του σηµείου Μ,και αυτό προβλέπεται να συµβεί στην Γ Γυµνασίου και να επαναληφθεί στο Λύκειο Αυτή η υπέρβαση δηµιουργεί εµπόδια και οδηγεί σε συγκεκριµένα λάθη. Ενδεικτικά αναφέρουµε εδώ ότι όταν στο τεστ ζητούσαµε την απόδειξη του θεµελιώδους θεωρήµατος της τριγωνοµετρίας για οποιαδήποτε γωνία: ηµ 2 ω+συν 2 ω=1, ένας σηµαντικός αριθµός µαθητών έδινε την απάντηση σε ορθογώνιο τρίγωνο. Κατά τη γνώµη µας το επιστηµολογικό εµπόδιο πού σχετίζεται µε τις δυσκολίες µε τις οποίες περιγράψαµε αναδεικνύεται µέσα από την ιστορική τους διαδροµή: Οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί γωνιών που υπερβαίνουν τις 90 ο σχετίζονται ιστορικά µε όσα προαναφέραµε για την συσχέτιση χορδών και τόξων ενός κύκλου. Η ύπαρξη βέβαια του ορθοκανονικού συστήµατος απλώς διευκολύνει τα πράγµατα, αφού µέσω των συντεταγµένων απλοποιούνται οι ορισµοί και δίνεται η δυνατότητα να µιλάµε για οποιαδήποτε γωνία µε προσανατολισµό. Η σύγκρουση στο αντιληπτικό επίπεδο οφείλεται στο ότι προσπαθούµε να δώσουµε την αίσθηση της συνέχειας σε δύο προσεγγίσεις που ιστορικά φαίνεται να µην έχουν συνεχή εξέλιξη. Από την µία του ορισµού των τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ως λόγο πλευρών ορθογωνίου τριγώνου που ιστορικά έχει τις ρίζες του στο πρόβληµα 56 του παπύρου του Rhind και στην κατασκευή των πυραµίδων µέσω της έννοιας της κλίσης και από την άλλη της συσχέτισης χορδών και τόξου ενός κύκλου που έχει τις ρίζες του στους Αρχαίους Έλληνες και µορφοποιείται από τον Πτολεµαίο στήν Αλµαγέστη.

8 Κλείνοντας αυτή την σηµαντική περίοδο της ιστορικής συγκρότησης της τριγωνοµετρίας, πρέπει να αναφέρουµε ότι µετά τον Πτολεµαίο σηµαντικές εργασίες έχουµε από τους Ινδούς και τους Άραβες. Οι Ινδοί, σύµφωνα µε τους (1), (2), ήτανε αυτοί που εισήγαγαν τους πίνακες ηµίτονων που αντικατέστησαν τους πίνακες χορδών των Ελλήνων. Θεωρείται ότι οι παλαιότεροι πίνακες ηµίτονων που διασώζονται είναι αυτοί των Σιντάντας και της Αριαµπατίγια *. Γ.3. Η ΕΠΟΧΗ ΤΟΥ EULER-OI ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ.3.1. Η ΕΠΟΧΗ ΤΟΥ VIETE ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Πριν από τον Euler, σηµαντική εποχή για την µορφοποίηση της σηµερινής τριγωνοµετρίας είναι τα µέσα του 16 ου αιώνα και το έργο του Viete. Εκείνη την εποχή, σε όλα τα µέρη της Ευρώπης εµφανίζονται οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες, υπάρχει δηλαδή µία µετατόπιση της έµφασης από τους υπολογισµούς της επίλυσης τριγώνων στις αναλυτικές συναρτησιακές σχέσεις. Ο Viete αποδεικνύει διαφόρους τύπους προσθαφαίρεσης όπως π.χ. ηµχ+ηµψ= ηµ( χ+ψ 2 ). συν( χ-ψ ) και 2 µαζί µε τις προηγούµενες εργασίες που αναφέραµε, συγκροτούν το γνωστό και επικίνδυνο για τους µαθητές τυπολόγιο της τριγωνοµετρίας.. Στο σηµείο αυτό θεωρούµε ότι αναδεικνύονται δύο σηµεία που έχουν τόσο διδακτικό όσο και επιστηµολογικό ενδιαφέρον: 1. Σε µία πρώτη ανάγνωση του βιβλίου παρατηρούµε µία ασάφεια από πλευράς των συγγραφέων αναφορικά µε την δυνατότητα ή µη χρήσης τριγωνοµετρικών πινάκων εκ µέρους των µαθητών. Παρατηρούµε ασκήσεις της µορφής (σελ. 15 1Α' Οµάδας): Να υπολογίσετε χωρίς την χρήση υπολογιστών τσέπης (οι υπολογιστές τσέπης µπορούν να θεωρηθούν οι σύγχρονοι πίνακες του Πτολεµαίου και των µεταγενέστερων), την τιµή των παραστάσεων:. Τον υπολογισµό δηλαδή µε ακρίβεια, χωρίς πίνακες, των τριγωνοµετρικών αριθµών κάποιων γωνιών. * Σιντάντας είναι κύκλος έργων γύρω από την Αστρονοµία των Ινδών Μαθηµατικών περίπου 400 µ.χ. Η Αραµπατίγια είναι έργο του Ινδού Αριαµπάτα και για την Ινδική τριγωνοµετρία έχει το βάρος της Αλµαγέστης.

9 Σε αντίθεση µε αυτό στο ίδιο βιβλίο λίγο αργότερα στην σελίδα 36, στις εφαρµογές του νόµου του ηµίτονου από την σχέση ηµα 0,4255 προκύπτει (προφανώς µε την χρήση πινάκων) ότι.. Αυτό έχει σαν αποτέλεσµα για τον µαθητή να µην είναι σαφές αν σε κάποιο επαναληπτικό διαγώνισµα ο αριθµός ηµ15 ο οφείλει να γραφεί µε άλλη µορφή και το αν αυτή η άλλη µορφή οφείλει να είναι αυστηρή ή κατά προσέγγιση µέσω πινάκων. 2. Οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες λειτουργούν για τους περισσότερους µαθητές ως διδακτικό εργαλείο που πρέπει να αποστηθίσουν για να χρησιµοποιηθεί στις πράξεις. Οι προσπάθειες να αναδειχθεί η φυσική σηµασία της χρήσης τους (εφαρµογή 5 σελ. 14), δεν βρίσκει διδακτική υπόσταση εφόσον, αφενός η µελέτη των αντίστοιχων συναρτήσεων έπεται, αφετέρου δεν υπάρχει στις ασκήσεις κανένα αντίστοιχο πρόβληµα. Τα δύο αυτά σηµεία-παρατηρήσεις έχουν ίσως ιστορική προέλευση στα µέσα του 16 ου αιώνα και κυρίως το έργο του Viete. H ασάφεια µεταξύ ακριβούς υπολογισµού ενός τριγωνοµετρικού αριθµού και χρήσης των τριγωνοµετρικών πινάκων (µε όλα τα προσεγγιστικά µειονεκτήµατα), έχει ιστορικά και επιστηµολογικά αίτια. Η εµφάνιση των τριγωνοµετρικών ταυτοτήτων σαφώς λειτούργησαν βελτιωτικά στην ακρίβεια υπολογισµών των τριγωνοµετρικών αριθµών γωνιών όπως 15 ο, 22,5 ο.. Όµως, η χρήση τους δεν ήταν πάντα ανεξάρτητη των τριγωνοµετρικών πινάκων. Στην σελίδα 346 των (1), (2) δίνεται ένα παράδειγµα µε το οποίο ο πολλαπλασιασµός των αριθµών µε το ανάγεται στην εύρεση (µέσω των πινάκων) δύο γωνιών Α, Β µε συνα=0,98436 και συνβ=0,79253 και την χρήση της ταυτότητας συνα.συνβ= συν( Α+Β ) + συν( Α-Β ) 2 2 Βλέπουµε δηλαδή ότι υπάρχει ένας διδακτικός µετασχηµατισµός στις παραγράφους αυτές. Βέβαια, και θέλουµε να το τονίσουµε αυτό, ο µετασχηµατισµός αυτός είναι, ίσως, αναγκαίος. Η τριγωνοµετρία τουλάχιστον µέχρι το 1000 µ.χ. εξελίσσεται σχεδόν αποκλειστικά σε σχέση µε τις Αστρονοµικές µελέτες.

10 Στον αιώνα που διανύουµε και µε έναν ανθρώπινο πολιτισµό που ανιχνεύει µε τους σύγχρονους τρόπους το διάστηµα είναι πραγµατικά εξαιρετικά δύσκολο ένας µαθητής να θέσει στον εαυτό του τα στοιχειώδη ερωτήµατα αγωνίας του Κοπέρνικου και του Πτολεµαίου. Οι τριγωνοµετρικές ταυτότητες, όπως προαναφέραµε, λειτουργούν καθαρά αλγεβρικά και ο µαθητής τις νιώθει αποκοµµένες από τον τρόπο µε τον οποίο ορίστηκαν οι τριγωνοµετρικοί αριθµοί. Όπως προαναφέραµε, θεωρούµε πολύ δύσκολο, ειδικά στο θέµα της Αστρονοµίας να επανέλθουν στους µαθητές του σήµερα ερωτήµατα που η ανθρωπότητα έχει προ καιρού απαντήσει. Σε αντίθεση µε αυτό που µόλις υποστηρίξαµε, υπάρχει µία έννοια που επιστηµολογικά συνενώνει τις σκέψεις (έστω και µε διαφορετική µορφή) και τις παρατηρήσεις του ανθρώπου τότε και τώρα: Η περιοδικότητα και τα περιοδικά φαινόµενα. Γ.3.2. Ο EULER ΚΑΙ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΩΣ ΠΕΡΙΟ ΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Για τους περισσότερους, ίσως όλους, ιστορικούς των µαθηµατικών, οι βάσεις της σύγχρονης Ανάλυσης τίθενται στην Introductio inalysin infinitorum το 1748 από τον Euler. Η µελέτη αυτή έπαιξε σηµαντικό ρόλο στα δεύτερα µισά του δεκάτου ογδόου αιώνα. Ανεξάρτητα µε τις σηµαντικές δουλειές στην Αναλυτική Γεωµετρία των Fermat και Descartes και του απειροστικά λογισµού των Newton, Leinbniz το έργο αυτό του Euler θεµελιώνει την έννοια της συνάρτησης και την κάνει επίκεντρο αναφοράς για τα Μαθηµατικά µετέπειτα. Τώρα πια το ηµίτονο δεν ήταν πλέον ένα ευθύγραµµο τµήµα, ήταν απλώς ένας αριθµός. ιαπιστώνουµε λοιπόν εδώ µία τεράστια επιστηµολογική τοµή, όπου η έκφραση ηµ3 δεν διπλώνει τίποτε άλλο από την εικόνα του πραγµατικού αριθµού 3 µέσω της συνάρτησης f: f(x)=ηµx, x IR. Η τοµή που προαναφέραµε µαζί µε την περιοδικότητα των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων, αποτελεί ένα σηµείο που κατά την γνώµη µας, έχει διδακτικό ενδιαφέρον.

11 Η στρατηγική επιλογή των συγγραφέων του σχολικού βιβλίου, άρα και του Αναλυτικού προγράµµατος, φαίνεται καθαρά στις σελίδες 209, 210, 211. Οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις ορίζονται αυθαίρετα : ηµχ=ηµ(χrad) µε την αιτιολογία ότι πολλές εφαρµογές της τριγωνοµετρίας εµπεριέχουν τριγωνοµετρικούς αριθµούς πραγµατικών αριθµών (π.χ. ηµωt), επιφέροντας το εύλογο ερώτηµα των µαθητών πρώτα ανακαλύφθηκε η ταλάντωση και µετά το ηµίτονο καθαρού αριθµού;. Ο µαθητής την κατάκτηση χρόνων εξέλιξης της τριγωνοµετρίας καλείται να την κατανοήσει σε 45 λεπτά. Σε ένα µήνα µέσα (αρχές Β Λυκείου), το ηµω από λόγος πλευρών ορθογωνίου τριγώνου, µε το ω να είναι γωνία, έγινε ένας αφηρηµένος αριθµός µε το ω να είναι αριθµός όπως επίσης και στην Γ Γυµνασίου. Τα προβλήµατα που παρουσιάζονται οφείλονται σε δύο λόγους: i. εν υπάρχει σαφής επιλογή από τους εκπονούντες το αναλυτικό πρόγραµµα για το είδος των διδακτικών µετασχηµατισµών που µπορούν να συγκροτήσουν µία διδακτική στρατηγική στη διδασκαλία των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. ii. ιαπιστώνουµε την έλλειψη µίας αντίληψης ενιαίας ως προς την επιστηµολογική προσέγγιση της παρουσίασης αυτής. Όπως είπαµε και πριν, δεν είναι δυνατόν να αναζητάµε µία απόλυτα γραµµική σχέση µεταξύ ιστορικής εξέλιξης των εννοιών και τρόπου παρουσίασης τους στο σχολικό περιβάλλον. Κατά τη γνώµη µας όµως οποιοιδήποτε διδακτικοί µετασχηµατισµοί (µιλάµε για τους πρωτογενείς), πρέπει να δηµιουργούν τους όρους ενός διδακτικού συµβολαίου µεταξύ διδάσκοντα και διδασκόµενου χωρίς αντιφάσεις. Στην κατεύθυνση αυτή θα µπορούσαµε να δούµε δύο διαφορετικές αλλά κατά τη γνώµη µας συνεπείς επιλογές: α) Την επιλογή της προσέγγισης που θεωρείται πιο κοντινή στην ιστορική εξέλιξη της τριγωνοµετρίας. Όπως προαναφέραµε, ήδη από τους πρώτους πίνακες, το ηµίτονο λειτουργούσε συναρτησιακά αφού παρακολουθούσαν τις µεταβολές του, µεταβαλλόµενων των γωνιών.

12 Στο προηγούµενο Αναλυτικό πρόγραµµα (πριν το 1987) οι τριγωνοµετρικές συναρτήσεις παρουσιάζονταν µέσω της κανονικής απεικόνισης του IR στον τριγωνοµετρικό κύκλο. ηλαδή, ο τριγωνοµετρικός κύκλος θεωρείτο ένας διπλωµένος άξονας αριθµών και έτσι η απεικόνιση του x στο ηµx ήταν, κατά τη γνώµη µας, πιο ορατή στους µαθητές. Αυτός ο τρόπος συνάδει, µε τον συνολικό τρόπο που εξελίσσεται η παρουσίαση των τριγωνοµετρικών εννοιών στο τωρινό Αναλυτικό πρόγραµµα. Στην σελίδα 193 του βιβλίου της Α Λυκείου, παρουσιάζεται ο τριγωνοµετρικός κύκλος µε τις γωνίες εκφρασµένες σε µοίρες. Ενώ στην σελίδα 211, στην µελέτη της συνάρτησης ηµx χρησιµοποιείται ο τριγωνοµετρικός κύκλος για να γίνει µε εποπτικό τρόπο κατανοητή η µονοτονία της συνάρτησης αυτής. Αυτή λοιπόν η πρώτη επιλογή (ο ορισµός των τριγωνοµετρικών συναρτήσεων µέσω της κανονικής απεικόνισης του IR στον τριγωνοµετρικό κύκλο), θα ήταν πιο συνεπής στον τρόπο που έχει επιλεγεί για παρουσίαση των τριγωνοµετρικών εννοιών. Όπως θα δούµε, αυτή η επιλογή είναι συναφής µε την άποψη µίας µερίδας Φυσικών να ορίζεται η αρµονική ταλάντωση ως η κίνηση που κάνει στον άξονα των ηµίτονων η προβολή ενός σώµατος που κινείται στον κύκλο µε οµαλή κυκλική κίνηση. β) Την επιλογή εξ αρχής να οριστεί εισαγωγικά η τριγωνοµετρία ως ο κλάδος των Μαθηµατικών (σε σχολικό επίπεδο), που εκφράζει το µοντέλο της περιοδικότητας. Η έννοια της περιοδικότητας µέσω της Φυσικής µελετάται στο Γυµνάσιο χωρίς να συνδυαστεί µε την Τριγωνοµετρία (ουσιαστικά µέχρι την Β Λυκείου). Ο µαθητής, τα περιοδικά φαινόµενα τα ζει καθηµερινά. Η ηµιτονοειδής καµπύλη θα µπορούσε να εκφράσει ως µοντέλο το καθηµερινό φως (µέρα-βράδυ) ή ακόµα την σχέση ανάµεσα στις εποχές µε τα ηλιοστάσια και τις ισηµερίες. Η επιλογή αυτή, ουσιαστικά, θα ήταν σε πλήρη αντιστοιχία µε την ιστορική εξέλιξη, αλλά όχι ως προς την επιστηµολογική θεµελίωση. Πιο συγκεκριµένα: όπως προαναφέραµε, η αγωνία των ανθρώπων στην αρχαιότητα να κατανοήσουν την φύση, την περιοδικότητα των φαινοµένων, τις εκλείψεις κ.λ.π., οδήγησαν σε αστρονοµικές µελέτες, µε την γνωστή εξέλιξη για την τριγωνοµετρία. Αν θεωρήσουµε αυτή την παρατήρηση των περιοδικών φαινοµένων ως το βασικό κοινό χαρακτηριστικό µε το σήµερα, η δεύτερη συνεπής κατά τη γνώµη µας επιλογή θα ήταν η ακόλουθη: 1. Εισαγωγή του µοντέλου της ηµιτονοειδούς συνάρτησης ως µοντέλο περιγραφής περιοδικών φαινοµένων.

13 2. Αντιµετώπιση της µεταβολής των τόξων κατά την κίνηση της επιβατικής ακτίνας στον κύκλο ως περίπτωση περιοδικού φαινοµένου. 3. Τον ορισµό των τριγωνοµετρικών αριθµών των γωνιών µε βάση τον τριγωνοµετρικό κύκλο και τις συντεταγµένες σηµείων (όπως γίνεται και τώρα στην σελίδα 192 του βιβλίου της Α Λυκείου). 4. Την αντιµετώπιση των τριγωνοµετρικών αριθµών οξείας γωνίας ως ειδική περίπτωση των προηγουµένων που καταλήγει να συσχετίζεται µε τους συγκεκριµένους λόγους των πλευρών στο ορθογώνιο τρίγωνο. Βιβλιογραφία Artigue, M. «Epistemologie et didactique». Cahier de didactique. No 3, IREM, Paris 7, Arsac, G. La transposition didactique en mathématiques. Cours de DEA.Univercité de Lyon, Bouveresse, J - Itard, J. - Sallé, E. Histoire des Matématiques. Librairie Larousse, Paris,1977. Boyer, C.B. Vietes s Use of Decimal Fractions. Mathematics Teacher, No 55, 1962, pp Boyer, C.B et Merzbach U.C. A History of Mathematics (2 nd edition) Ελληνική έκδοση Πνευµατικού, Brousseau, G. «Les obstacles épistemologiques et les problèmes en Mathématiques». R.DM. vol 4 No 2, Chevallard, Y. «Les programmes et la transposition didactique: Illusions, contraintes et possibles». Bulletin de l APMEP. No 352 Fev IREM d Aix Marseille. Gillings, R. J., Mathematics in the Time of the Pharaohs. MIT Press, Cambridge, Henry, M. Didactique des Mathématiques. IREM de Besançon, Loria, G. Storia delle Matematiche.Ελληνική µετάφραση. Εκδοση της Ελληνικής Μαθηµατικής Εταιρείας Περίληψη στα Αγγλικά The object of our presentation is: 1. The relation between the historical evolution of trigonometrical notions and the way that these notions are presented in the analytical program and the schoolbooks in Greece.

14 2. The obstacles that students have in understanding the trigonometrical notions and the epistimological connection of these obstacles with the historical evolution of the notions. We will present the basic historical moments that have influenced the evolution of trigonometry from the Egyptians and the Greeks up to the present. At the same time we will show that these moments are in accordance with the general way that the notions are presented in the schoolbook. Finally we will present through very specific examples the epistimological didactic obstacles that appear when trying to teach trigonometry in Greece.

Διδακτικές ενότητες Στόχος

Διδακτικές ενότητες Στόχος Η διδασκαλία του τριγωνομετρικού κύκλου με τον παραδοσιακό τρόπο στον πίνακα, είναι μία διαδικασία όχι εύκολα κατανοητή για τους μαθητές, με αποτέλεσμα τη μηχανική παπαγαλίστικη χρήση των τύπων της τριγωνομετρίας.

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο

2.4 ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 30 Ο 45 Ο 60 Ο .4 ΤΡΙΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ 0 Ο 45 Ο 60 Ο ΘΕΩΡΙ. Τριγωνοµετρικοί αριθµοί 0 ο, 45 ο, 60 ο : ηµίτονο συνηµίτονο εφαπτοµένη 0 ο 45 ο 60 ο ΣΚΗΣΕΙΣ. Στο διπλανό πίνακα, σε κάθε πληροφορία της στήλης, να επιλέξετε

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ

Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση. Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Θεωρητικές και μεθοδολογικές προσεγγίσεις στη μελέτη της περιοδικότητας: Μια συστημική προσέγγιση Δέσποινα Πόταρη, Τμήμα Μαθηματικών, ΕΚΠΑ Δομή της παρουσίασης Δυσκολίες μαθητών γύρω από την έννοια της

Διαβάστε περισσότερα

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε.

«Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. «Εισαγωγή στον Τριγωνομετρικό Κύκλο» Διδάσκοντας Μαθηματικά με Τ.Π.Ε. Μπολοτάκης Γιώργος Μαθηματικός, Επιμορφωτής Β επιπέδου, Διευθυντής Γυμνασίου Αγ. Αθανασίου Δράμας, Τραπεζούντος 7, Άγιος Αθανάσιος,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Το ακτίνιο ως μονάδα μέτρησης γωνιών: Το ακτίνιο (ή rad) είναι η γωνία που, όταν γίνει επίκεντρη κύκλου (Ο, ρ), βαίνει σε τόξο που έχει μήκος ίσο με την ακτίνα

Διαβάστε περισσότερα

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010.

B) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Β Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ. Παπασταυρίδη, Γ. Πολύζου και Α. Σβέρκου, έκδοση Ο.Ε..Β. 2010. Β Τάξη Ηµερήσιου Γενικού Λυκείου Μ α θ ή µ α τ α Γ ε ν ι κ ή ς Π α ι δ ε ί α ς Άλγεβρα Γενικής Παιδείας I. ιδακτέα ύλη A) Από το βιβλίο «Άλγεβρα Α Γενικού Λυκείου» των Σ. Ανδρεαδάκη, Β. Κατσαργύρη, Σ.

Διαβάστε περισσότερα

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση

Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Τα Προγράµµατα υναµικής Γεωµετρίας και η Χρήση τους στη ιδασκαλία της Άλγεβρας και της Ανάλυσης στη Μέση Εκπαίδευση Αριστοτέλης Μακρίδης Μαθηµατικός, Επιµορφωτής των Τ.Π.Ε Αποσπασµένος στην ενδοσχολική

Διαβάστε περισσότερα

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και

αντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο

Διαβάστε περισσότερα

μαθηματικά β γυμνασίου

μαθηματικά β γυμνασίου μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:

Διαβάστε περισσότερα

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»

ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα» 1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους.

Να υπολογίζουν αποστάσεις με τη βοήθεια ημ. και συν. Να είναι σε θέση να χρησιμοποιούν τους τριγωνομετρικούς πίνακες στους υπολογισμούς τους. ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Νίκος Γ. Τόμπρος Ενότητα : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ Περιεχόμενα ενότητας Τριγωνομετρικοί οξείας γωνίας αριθμοί Διδακτικοί στόχοι Διδακτικές οδηγίες - επισημάνσεις Πρέπει οι μαθητές να γνωρίζουν:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ

ΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην

Διαβάστε περισσότερα

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012.

ημερήσιων και εσπερινών ΕΠΑ.Λ. για το σχολικό έτος 2011-2012. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ B ----- Να διατηρηθεί μέχρι... Βαθμός

Διαβάστε περισσότερα

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2

0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Βασικός Πίνακας Μοίρες (Degrees) Ακτίνια (Radians) ΓΩΝΙΕΣ 0 0 30 π/6 45 π/4 60 π/3 90 π/2 Έστω ότι θέλω να μετατρέψω μοίρες σε ακτίνια : Έχω μία γωνία σε φ μοίρες. Για να την κάνω σε ακτίνια, πολλαπλασιάζω

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς:

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ. Δημήτρης Σπαθάρας Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών. Λαμία, 19 Απριλίου 2013 Αριθ. Πρωτ.: 317. Προς: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ Δ/ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΝΟΜΟΥ ΦΘΙΩΤΙΔΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA

ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΞΙΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΥ ΜΕΡΟΥΣ ΤΟΥ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ GEOGEBRA ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ Για να κάνουμε Γεωμετρία χρειαζόμαστε εργαλεία κατασκευής, εργαλεία μετρήσεων και εργαλεία μετασχηματισμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΜΑ ο _6950 α) Να κατασκευάσετε ένα γραμμικό σύστημα δυο εξισώσεων με δυο αγνώστους με συντελεστές διάφορους του

Διαβάστε περισσότερα

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος

Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή

2 Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ. Εισαγωγή Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Εισαγωγή Η ιδέα της χρησιμοποίησης ενός συστήματος συντεταγμένων για τον προσδιορισμό της θέσης ενός σημείου πάνω σε μια επιφάνεια προέρχεται από την Γεωγραφία και ήταν γνωστή στους

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ

Τριγωνομετρία ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΙΠΙΔΗΣ 2 ΑΝΘΟΥΛΑ ΣΟΦΙΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΤΟ ΒΑΣΙΚΟ ΘΕΩΡΗΜΑ: ημ χ+συν χ= ημ χ=-συν χ συν χ=- ημ χ εφχ + σφ χ = εφχ ημχ συνχ = σφχ = ημ χ εφχσφχ σφχ = = συνχ ημχ + εφ χ = συν χ Γωνία χ Τριγωνομετρικοί Αριθμοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδακτέα - εξεταστέα ύλη των µαθηµάτων Β τάξης Ηµερησίου Γενικού Λυκείου και Γ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α ----- Ταχ. /νση: Ανδρέα Παπανδρέου 37 Τ.Κ. Πόλη: 15180

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από µία σχισµή.

Περίθλαση από µία σχισµή. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 71 7. Άσκηση 7 Περίθλαση από µία σχισµή. 7.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης είναι η γνωριµία των σπουδαστών µε την συµπεριφορά των µικροκυµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ

Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Η ΠΑΡΟΥΣΙΑ ΤΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 Η Ευκλείδεια Γεωμετρία στην εκπαίδευση και στην κοινωνία. Κώστας Μαλλιάκας, Καθηγητής Δ.Ε., 1 ο ΓΕΛ Ρόδου, kmath@otenet.gr

Διαβάστε περισσότερα

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις

Γεωµετρία Α Γυµνασίου. Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Γεωµετρία Α Γυµνασίου Ορισµοί Ιδιότητες Εξηγήσεις Ευθεία γραµµή Ορισµός δεν υπάρχει. Η απλούστερη από όλες τις γραµµές. Κατασκευάζεται µε τον χάρακα (κανόνα) πάνω σε επίπεδο. 1. ύο σηµεία ορίζουν την θέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου

ΑΛΓΕΒΡΑ. Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΑΛΓΕΒΡΑ Α' τάξης Γενικού Λυκείου ΣΥΓΓΡΑΦΕΙΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΜΟΡΦΩΣΗΣ Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ

1.5 ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ.. ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Αν είναι δυο μη μηδενικά διανύσματα τότε ονομάζουμε εσωτερικό γινόμενο των και τον αριθμό : όπου φ είναι η γωνία των

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο

Διδάσκοντας Φυσικές Επιστήμες στο Γυμνάσιο και στο Λύκειο Το Πυθαγόρειο θεώρημα: μία διάσημη μαθηματική σχέση στον εργαστηριακό πάγκο της Φυσικής Παναγιώτης Μουρούζης Το Πυθαγόρειο θεώρημα, το οποίο συνήθως περιγράφεται φορμαλιστικά από μία σχέση της μορφής 2

Διαβάστε περισσότερα

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά

Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά 1 Αφαίρεση και Γενίκευση στα Μαθηματικά Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ3 www.p-theodoropoulos.gr ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην εργασία αυτή εξετάζεται εντός του πλαισίου της Διδακτικής των

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας

Κεφάλαιο 5. Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας Κεφάλαιο 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. 5 Θεμελιώδη προβλήματα της Τοπογραφίας. Στο Κεφάλαιο αυτό περιέχονται: 5.1 Γωνία διεύθυνσης. 5. Πρώτο θεμελιώδες πρόβλημα. 5.3 εύτερο θεμελιώδες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ I. ΣΥΝΟΛΑ 1.Τι ονοµάζεται σύνολο; Σύνολο ονοµάζεται κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχονται από την εµπειρία µας ή την διανόηση µας, είναι καλά ορισµένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014-2015 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04-05 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ Θεωρούμε τους μιγαδικούς C για τους οποίους ισχύει: - = + Im() και τη συνάρτηση f : w f ( w), όπου w C, w - και f (w) = w ) Να

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Ιωάννης Λιακόπουλος 1, Χαράλαμπος Λυπηρίδης 2 1 Μαθητής B Λυκείου, Εκπαιδευτήρια «Ο Απόστολος Παύλος» liakopoulosjohn0@gmail.com, 2 Μαθητής

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Τράπεζα Θεμάτων Διαβαθμισμένης Δυσκολίας-Μαθηματικά Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΔΙΑΒΑΘΜΙΣΜΕΝΗΣ ΔΥΣΚΟΛΙΑΣ Σχολικό έτος : 04-05 Τα θέματα εμπλουτίζονται με την δημοσιοποίηση και των νέων θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ

Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ Τριγωνομετρικός κύκλος Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΜΑΘΗΜAΤΙΚΟΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ Β ημφ, εφφ σφφ Μ Δ συνφ Α www.commonmaths.weebly.com Σελίδα 1 N Β, 90 ο Α, ο H O 1ο 3ο E Σ Δ, 180 ο 360 ο Ν, 70 ο 4ο 1 ο Τεταρτημόριο

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( )

Κ ε φ α λ ά ( ) ( ) ηµθ + = ( ) ΑΣΚΗΣΗ ίνονται οι µιγαδικοί αριθµοί z + 0i για τους οποίους ισχύει: z 4 =. z i. Να δείξετε ότι z =. ii. Αν επιπλέον ισχύει Re( z) Im( z) iii. = να υπολογίσετε τους παραπάνω µιγαδικούς αριθµούς. Για τους

Διαβάστε περισσότερα

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων

Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Κατασκευή Προγράμματος για επίλυση Φυσικομαθηματικών συναρτήσεων Λιακόπουλος Ιωάννης1 και Λυπηρίδης Χαράλαμπος2 1liakopoulosjohn@gmail.com, 2xarislip@hotmail.com Επιβλέπων Καθηγητής: Λάζαρος Τζήμκας tzimkaslazaros@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος

1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η απόσταση του σώµατος 1. Ένα σώµα ταλαντώνεται κατακόρυφα στο άκρο ενός ελατηρίου. Η αόσταση του σώµατος αό το έδαφος (σε cm), δίνεται αό την συνάρτηση f(t)=1ηµ t +13, όου t ο χρόνος σε ώρες. α) Να βρείτε την ερίοδο της ταλάντωσης.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011.

ΘΕΜΑ: ιαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηµατικών Γ τάξης Ηµερήσιου και τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος 2010 2011. ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΙΑ ΒΙΟΥ ΜΑΘΗΣΗΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ /ΥΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α Να διατηρηθεί µέχρι... Βαθµός Ασφαλείας...

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων

Περιεχόμενο διδασκαλίας Στόχοι Παρατηρήσεις. υπολογίζουν το λόγο δύο λόγο δύο τμημάτων Νίκος Γ. Τόμπρος ΣΧΕΔΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΩΝ Ενότητα : ΟΜΟΙΟΤΗΤΑ (ΛΟΓΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΑ) Σκοποί: Η ανάπτυξη ενδιαφέροντος για το θέμα, η εξοικείωση με τη χρήση τεχνολογίας, η παρότρυνση για αναζήτηση πληροφοριών (εδώ σε

Διαβάστε περισσότερα

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο.

Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. ρ. Χ. Βοζίκης Εργαστήριο Φυσικής ΙΙ 63 6. Άσκηση 6 Περίθλαση από ακµή και από εµπόδιο. 6.1 Σκοπός της εργαστηριακής άσκησης Σκοπός της άσκησης αυτής, καθώς και των δύο εποµένων, είναι η γνωριµία των σπουδαστών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008

ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 2008 ΣΤΡΑΤΗΣ ΑΝΤΩΝΕΑΣ ΣΠΑΡΤΗ 008 Κάθε γνήσιο αντίτυπο έχει την ιδιόχειρη υπογραφή του συγγραφέα Γενική επιμέλεια : Στράτης Αντωνέας Copyright : Στράτης Αντωνέας e-mail: stranton@otenet.gr Τηλέφωνα επικοινωνίας

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 108 Θέματα - 24/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 08 Θέματα - 4//05 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσανατολισμού Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Μαθηματικά Προσαν. Κεφάλαιο

Διαβάστε περισσότερα

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή

Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τι ονομάζουμε Φυσική; Φυσική ονομάζουμε την επιστήμη η οποία μελετά τα φυσικά φαινόμενα. ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Ξ εκινώντας τη προσπάθεια μου να γράψω αυτό το βιβλίο αναρωτιόμουν πως

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 10 Ο ΕΜΒΑΔΑ 10.4 ΑΛΛΟΙ ΤΥΠΟΙ ΓΙΑ ΤΟ ΕΜΒΑΔΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1 Έστω ΑΒΓ ένα τρίγωνο με πλευρές α, β και γ. Συμβολίζουμε με τα την ημιπερίμετρο α + β + γ του ΑΒΓ, δηλαδή: τ =. 2 Το εμβαδόν Ε του

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της

Ερωτήσεις ανάπτυξης. α) να βρείτε το σηµείο x 0. β) να αποδείξετε ότι η κλίση της εφαπτοµένης της Ερωτήσεις ανάπτυξης. ** Η συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη στο R και η ευθεία (ε) είναι εφαπτοµένη της C στο σηµείο (0, (0)). Μετακινούµε τη C παράλληλα προς τους άξονες, όπως φαίνεται στο σχήµα, και ονοµάζουµε

Διαβάστε περισσότερα

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου

Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου Στοιχεία εισαγωγής για τη Φυσική Α Λυκείου 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΠΡΑΞΕΩΝ 1.1 Προτεραιότητα Πράξεων Η προτεραιότητα των πράξεων είναι: (Από τις πράξεις που πρέπει να γίνονται πρώτες,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1 ΑΝΔΡΕΑΣ Λ. ΠΕΤΡΑΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΥΧΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΔΙΔΑΚΤΩΡ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΑ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ ΤΩΝ ΓΡΑΦΙΚΩΝ ΤΟΥΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ, ΑΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ, ΒΡΙΣΚΟΝΤΑΙ ΜΟΝΟ ΠΑΝΩ ΣΤΗΝ ΕΥΘΕΙΑ y = x ΔΕΥΤΕΡΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΙΚΟΣ ΣΥΜΒΟΥΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΠΕΡΙΦ. ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΜΕ ΕΔΡΑ

Διαβάστε περισσότερα

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων

Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr. Σενάριο : Μοντελοποίηση ταυτοτήτων σε στατικά και δυναμικά μέσα παραγοντοποίηση πολυωνύμων Σταυρούλα Πατσιομίτου spatsiomitou@sch.gr Τάξη: Γ Γυμνασίου A Λυκείου Μάθημα : Άλγεβρα Διδακτική ενότητα: Αξιοσημείωτες Ταυτότητες, Παραγοντοποίηση αλγεβρικών παραστάσεων Εισαγωγή Σενάριο : Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η διδασκαλία της λογικής και της απόδειξης στο Λύκειο Μαθηματικών Δυτικής Θεσσαλονίκης gthom@otenet.gr ΕΙΣΑΓΩΓΗ Έχουν γίνει αρκετές απόπειρες στο παρελθόν για τη διδασκαλία στοιχείων της μαθηματικής λογικής

Διαβάστε περισσότερα

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις

Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές προσεγγίσεις Έργο: «Ένταξη παιδιών παλιννοστούντων και αλλοδαπών στο σχολείο - για τη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση (Γυμνάσιο)» Επιμορφωτικό Σεμινάριο Η διαπολιτισμική διάσταση των φιλολογικών βιβλίων του Γυμνασίου: διδακτικές

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΕΤΡΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΣΥΓΧΡΟΝΗ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΗΣ ΠΡΩΤΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Απευθύνεται: Σε κάθε εκπαιδευτικό που ενδιαφέρεται να βελτιώσει και να εκσυγχρονίσει τη διδασκαλία του/της. Στους/ις υποψήφιους/ες

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:...

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015. ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΑΚΡΟΠΟΛΕΩΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2014 2015 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2015 ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΑΘΜΟΣ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 5/06/2015 ΤΑΞΗ: A Αριθμητικά... ΧΡΟΝΟΣ: 2 ώρες ΥΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗ:... Ολογράφως:...

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012 ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΘΤ(ε) ΤΑΞΗ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ / ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Ηµεροµηνία: Κυριακή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι,

ΘΕΜΑ : «ιδακτικό υλικό Μαθηµατικών Γ Γυµνασίου» Aγαπητοί συνάδελφοι, ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ /ΝΣΗ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΚΡΗΤΗΣ ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΩΝ ΣΥΜΒΟΥΛΩΝ.Ε. Ν. ΗΡΑΚΛΕΙΟΥ ηµήτριος Μπουνάκης Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Χάρτης Ιστοσελίδας. Υπηρεσίες Συνδέσεις Εγκύκλιοι Έντυπα Downloads

Χάρτης Ιστοσελίδας. Υπηρεσίες Συνδέσεις Εγκύκλιοι Έντυπα Downloads Το Υπουργείο Το Eκπαιδευτικό Σύστημα Πρόσβαση στη Γνώση Θρησκεύματα Μηχανή Αvαζήτησης Επικοινωνία Συχνές Ερωτήσεις Χάρτης Ιστοσελίδας Προκηρύξεις/ Νέα Διαγωνισμοί Συνέδρια/ Ημερίδες Εποπτευόμενοι Φορείς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14

ΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Καθορισμός και διαχείριση διδακτέας ύλης των Μαθηματικών των Επαγγελματικών Λυκείων, για το σχολικό έτος 2013-14 Βαθμός Ασφαλείας: ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ----- ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ Δ/ΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΟΥΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥΣ. Δίνεται η συνάρτηση f (). Να βρείτε για ποιες τιμές του δεν ορίζεται η συνάρτηση f. Να βρείτε τον αριθμό f ( ). Να δείξετε ότι f () I. Δίνεται η εξίσωση με η οποία έχει ρίζες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ 1. α. Τι γνωρίζετε για την Ευκλείδεια διαίρεση; Πότε λέγεται τέλεια; β. Αν σε μια διαίρεση είναι Δ=δ, πόσο είναι το πηλίκο και

Διαβάστε περισσότερα

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο

6.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕ Ο 6. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΩΝ ΣΤ ΕΠΙΠΕ ΘΕΩΡΙΑ. Σύστηµα καθέτων ηµιαξόνων: Είναι δύο κάθετες µεταξύ τους ηµιευθείες µία οριζόντια και µία κατακόρυφη. Την οριζόντια την ονοµάζουµε και την λέµε ηµιάξονα των ή ηµιάξονα

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ

Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την 1 η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αναλυτικά Λυμένες Βασικές Ασκήσεις κατάλληλες για την η επανάληψη στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης της Β ΛΥΚΕΙΟΥ Κάνε τα πράγματα με μεγαλοπρέπεια, σωστά και με στυλ. ΦΡΕΝΤ ΑΣΤΕΡ Θέμα Σε ένα σύστημα αξόνων οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...

ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 20, Νίκαια (210-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2013 ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ... Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΘΕΜΑ 1 ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 Α. Να αποδείξετε ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσα του ισούται με το γινόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2

Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,

Διαβάστε περισσότερα

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης

εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Μιχάλης Ενσωμάτωση των ΤΠΕ στην εκπαίδευση Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Λύκειο Ιδαλίου - Π.Ι. Κύπρου Τιμοθέου Σάββας & Χριστοφορίδης Μιχάλης Μελέτη και γραφική Παράσταση Συνάρτησης Τμήμα:Γ6 ( με 18 μαθητές)

Διαβάστε περισσότερα

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας

Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Περίληψη ιπλωµατικής Εργασίας Θέµα: Εναλλακτικές Τεχνικές Εντοπισµού Θέσης Όνοµα: Κατερίνα Σπόντου Επιβλέπων: Ιωάννης Βασιλείου Συν-επιβλέπων: Σπύρος Αθανασίου 1. Αντικείµενο της διπλωµατικής Ο εντοπισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΤΩΝ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ- ΠΡΑΞΕΙΣ ΑΥΤΩΝ 1.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ασχολήθηκα 30 χρόνια με τη διδασκαλία των Μαθηματικών του Γυμνασίου, τόσο στην Μέση Εκπαίδευση όσο και σε Φροντιστήρια. Η μέθοδος που χρησιμοποιούσα για τη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου

Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Μαθηματικά Θετικής Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Λυκείου Κεφάλαιο ο : Κωνικές Τομές Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ. Ο ΚΥΚΛΟΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ένας κύκλος ορίζεται αν

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ,

ΘΕΜΑ 4 Ο ΑΒ 3 ΕΓ Α ΑΒ, ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο - ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΘΕΜΑ Ο Άσκηση (_8975) Θεωρούμε τρίγωνο ΑΒΓ ΑΒ=9 και ΑΓ=5. Από το βαρύκεντρο Θ του τριγώνου, φέρουμε ευθεία ε παράλληλη στην πλευρά ΒΓ, που τέμνει τις ΑΒ και ΑΓ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση )

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΠΡΟΫΠΗΡΕΣΙΑΚΗΣ ΚΑΤΑΡΤΙΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ (Απογευματινή φοίτηση ) Ι ΑΚΤΙΚΟ ΣΥΜΒΟΛΑΙΟ,ΕΙΚΟΝΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Η ΕΠΙ ΡΑΣΗ ΤΩΝ ΕΙΚΟΝΩΝ ΣΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ ΡΕΑΛΙΣΤΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015

Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 21/1/2015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα 1 Επιμέλεια: Σακαρίκος Ευάγγελος 133 Θέματα - 1/1/015 Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Β Λυκείου Άλγεβρα Κεφάλαιο 1 ο : Συστήματα 3 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 014-015 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1. ΘΕΜΑ ΚΩΔΙΚΟΣ_18556 Δίνονται τα διανύσματα α και β με ^, και,. α Να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ

(t) x (t) t t t t. ΘΕΜΑ Α Α 1. Σχολικό βιβλίο σελ. 150 Α 2. Σχολικό βιβλίο σελ. 56 Α 3. Σχολικό βιβλίο σελ. 149 Α 4. i) Λ ii) Σ iii) Λ iv) Λ v) Σ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ Α Α Σχολικό βιβλίο σελ Α Σχολικό βιβλίο σελ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελ 9 Γ ΤΑΞΗ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΚΥΡΙΑΚΗ // - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις

Διαβάστε περισσότερα

Να φύγει ο Ευκλείδης;

Να φύγει ο Ευκλείδης; Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω

Διαβάστε περισσότερα

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.

Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της. 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη Γ 1 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου-Ιουνίου στα Μαθηματικά Τάξη Γ ΘΕΜΑ 1 0 Η εξίσωση αχ + βχ +γ = 0 είναι βαθμού εξίσωση και λύνεται χρησιμοποιώντας τους τύπους Δ =.. χ 1 =. χ =.. Η διακρίνουσα Δ της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου)

Θέµατα Καγκουρό 2007 Επίπεδο: 5 (για µαθητές της Β' και Γ' τάξης Λυκείου) Kangourou Sans Frontières Καγκουρό Ελλάς Επώνυµο: Όνοµα: Όνοµα πατέρα: e-mail: ιεύθυνση: Τηλέφωνο: Εξεταστικό Κέντρο: Σχολείο προέλευσης: Τάξη: Θέµατα Καγκουρό 007 Επίπεδο: (για µαθητές της ' και ' τάξης

Διαβάστε περισσότερα

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179

8.1 8.2. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 177 179 8. 8. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 77 79 ρωτήσεις Κατανόησης. i) ν δύο τρίγωνα είναι ίσα τότε είναι όµοια; ii) ν δύο τρίγωνα είναι όµοια προς τρίτο τότε είναι µεταξύ τους όµοια πάντηση i) Προφανώς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε

Διαβάστε περισσότερα