Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična."

Transcript

1 Sličnost trouglova i Talesova teorema Definicija sličnosti trouglova Dva trougla ABC i A B C su slična ako su im sva tri ugla redom podudarna i ako su im a odgovarajuće stranice proporcionalne tj. = b = c a b c. Stav 1 (slič. UUU) Ako u dva trougla ABC i A B C imamo sva tri ugla redom podudarna tada su ta dva trougla slična. Stav 2 (slič. SSS) Ako u trouglovima ABC i A B C imamo tri stranice redom proporcionalne tada su ta dva trougla slična. Stav 3 (slič. SUS) Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao izme du njih tada su ta dva trougla slična. Stav 4 (slič. SSU) Ako dva trougla imaju dvije stranice proporcionalne i podudaran ugao nasprem veće stranice tada su ta dva trougla slična. 1. U trouglu ABC date su tačke B AB i C AC takve da je p(b, C ) p(a, B). Dokazati da su stranice AB i AC proporcionalne sa AB i AC redom. 2. U trouglu ABC date su dvije tačke E AB i F AC takve da je AB AE = AC AF. Dokazati da je tada p(e, F ) p(b, C). Talesova teorema Neka se prave p i q sijeku u tački S i neka su a i a dvije prave koje ne sadrže tačku S i sijeku, redom, prave p i q u tačkama P, Q i P i Q. Ako su a i a dvije me dusobno paralelne prave tada vrijedi SP = SQ = P Q SP SQ P Q. Posljedice Talesova teorema SP = SP SQ SQ, SP P P = SQ Q Q, SP P P = SQ Q Q, SP P Q = SP P Q Obrat Talesove teoreme SP SP = SQ SQ = P Q P Q a a.

2 3. Neka je I centar upisanog kruga ABC (AB < BC), tačka S centar opisanog kruga k oko trougla ABC, M sredina stranice AC i neka je tačka P na luku AC (kojem ne pripada tačka B) kruga k takva da je P AI jkk, da važi poredak P M S i da je P M AC. Ako je tačka N presječna tačka poluprave pp[p, S) i kruga k dokazati da je AMP NAP i da je P IN P MI. 4. Dat je trougao ABC u kome su poznate dvije visine AA = h a, CC = h c i težišnica CC 1 = t c. Ako je data tačka D na duži BA takva da C 1 D BC dokazati da je C 1 D = 1 2 h a. Tvrdnju dokazati bez primjene teoreme o srednjoj liniji trougla. 5. Neka je ABCD paralelogram. Na polupravoj DB uzeta je tačka E tako da je poluprava AB simetrala ugla CAE. Neka je F tačka presjeka pravih CE i AB. Dokazati da je EC = AB. EF BF 6. U pravoulom trouglu ABC, duž AD je visina na hipotenuzu AB. Ako uvedemo oznake da je AD = p, BD = q dokazati da je CD = pq. 7. U pravouglom trouglu ABC, a i b su kraci a c je hipotenuza (BC = a, AC = b, AB = c). Dokazati da je a 2 + b 2 = c Neka su AC i BD dvije duži koje se sijeku u tački S. Dokazati da je četverougao ABCD tetivni akko je SA SC = SB SD. Posljedica zadatka: Potreban i dovoljan uslov da četverougao bude tetivni je SA SC = SB SD. 9. Neka je S tačka izvan kruga, prava p(s, T ) tangenta na krug u tački T i neka prava SCD siječe krug u tačkama C i D. Dokazati da je ST 2 = SC SD. Napomena: Proizvod SC SD, gdje je tačka S unutar ili izvan kružnice i prava SCD siječe krug u tačkama C i D, zovemo stepen ili potencija tačke S u odnosu na datu kružnicu. 10. U četverouglu ABCD dijagonale se sijeku u tački S. Ako je SA SC = SB SD, ABD = 60 i DAC = 50 odrediti ugao ADC. 11. Neka je S centar kružnice opisane oko trougla ABC, M tačka takva da je M A B. Ako je MA MB = MC 2, odrediti SCM. 12. Dokazati da težišnica trougla dijeli težišnice u omjeru 2: Dokazati da simetrala unutrašnjeg ugla u trouglu dijeli naspremnu stranicu trougla u omjeru druge dvije stranice. 14. Neka je C proizvoljna tačka kružnice k, a B tačka na prečniku AA 1 kružnice takva da je AC = BA 1. Dokazati da se u trouglu ABC simetrala ugla kod A, visina iz B i težišna linija iz C sijeku u istoj tački. 15. Dokazati da je ugao izme du tangente i tetive jednak periferiskom uglu nad tom tetivom. 16. Dokazati da je rastojanje proizvoljne tačke kružnice od njene tetive jednako geometriskoj sredini rastojanja od te tačke do tangenti u krajnjim tačkama iste tetive. 17. U pravougaoniku ABCD tačka M je sredina stranice AD, a N je sredina strane BC. Neka je {Q} = p(p, M) p(a, C). Dokazati da je QNM = MNP, gdje je P proizvoljna tačka na pravoj p(c, D) takva da je C D P. 18. U trougao ABC upisan je paralelogram ADEF tako da tjemena D, E i F leže redom na stranicama AB, BC i CA. Kroz središte A 1 stranice BC konstruisana je prava AA 1 koja siječe pravu EF u tački G. Dokazati da je četverougao BGF D paralelogram.

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19 Konstrukcija duži. Homotetija. Trigonometrija. Razni zadaci. Konstrukcija duži 1. U trouglu ABC date su tačke B AB i C AC takve da je p(b, C ) p(a, B). Dokazati da su stranice AB i AC proporcionalne sa AB i AC redom. Dokazati i obrnuto, ako su date dvije tačke E AB i F AC takve da je AB AE = AC tada je p(e, F ) p(b, C). AF 2. Neka se prave p i q sijeku u tački S i neka su a i a dvije prave koje ne sadrže tačku S i sijeku, redom prave p i q u tačkama P, Q i P, Q. Ako su a i a dvije me dusobno paralelne prave dokazati da je SP SQ = SP SQ, SP = SQ P P QQ, SP = SQ SP i = SP P P QQ P Q P Q. 3. Dat je konveksan četverougao ABCD. Neka je {S} = p(a, D) p(b, C). Ako je SA : SD = SB : SC i BAD = 80 izračunati ADC. 4. Dat je trapez ABCD kod koga se osnovice AB i CD odnose kao 2:1. Neka je {S} = p(a, D) p(b, C). Ako je SD = 3 cm izračunati AD. 5. Date su duži a i b. Konstruisati duž x = a b. 6. Data je duž a. Konstruisati duž x = a Date su duži a i b. Konstruisati duž x = a 2 + b Date su duži a i b. konstruisati duž x ako se zna da je x : (b a) = (2b a) : (b + a). 9. Datu duž a podjeliti u omjeru 2: Datu duž b podjeliti u omjeru 1: Dati su trouglovi ABC i A B C čije su odgovarajuće stranice proporcionalne u omjeru 2:1. Ako je ABC = 80 izračunati uglove A B C i B A C. 12. Na stranicama AB i AC trougla ABC uzete su tačke D i E takve da je AD : DB = AE : EC = 2 : 3. Ako je P ADE = 2 cm 2 odrediti P ABC. 13. Na stranicama AB i AC trougla ABC uzete su tačke D i E takve da je AD : DB = AE : EC = 4 : 3. Ako je O ADE = 8 cm odrediti O ABC Homotetija 14. Data je tačka A i duž MN. Duž MN preslikati homotetično s centrom u tački A i koeficijentom a) k=2 b) k= Dat je trougao ABC i tačka O u unutrašnjosti trougla. Trougao preslikati homotetično sa centrom u tački O i koeficijentom a) k= 2 5

20 b) k= 1 3 Ako je P ABC = 56 cm 2 i O ABC = 30 cm izračunati P i O novodobijenog trougla. 16. Data je kružnica k i tačka A. Preslikati datu kružnicu homotetično sa centrom u A i koeficijentom (a) k= 1 2 (b) k= 2 3 Odrediti omjer površina i obima kružnica. 17. U pravouglom trouglu ABC, a i b su kraci a c je hipotenuza (BC = a, AC = b, AB = c). Dokazati da je a 2 + b 2 = c U pravoulom trouglu ABC, duž AD je visina na hipotenuzu AB. Ako uvedemo oznake da je AD = p, BD = q dokazati da je CD = pq. 19. Konstruisati duž Data je duž a. Konstruisati duž a. 21. Konstruisati duž x = ab, ako su a i b date duži. a Trigonometrija 22. (Kosinusna teorema) Dat je raznostraničan trougao ABC sa stranicama a, b, c i uglom α = BAC. Dokazati da je a 2 = b 2 + c 2 2bc cosα. 23. (Sinusna teorema) Dat je raznostraňični trougao ABC sa stranicama a, b, c i uglovima α = CAB, β = ABC, γ = BCA. Dokazati da je sin α = sin β = sin γ. a b c 24. Dat je raznostraničan trougao ABC sa stranicama a, b, c i uglovima α = CAB, β = ABC, γ = BCA. Dokazati da je a = 2R sinα, b = 2R sinβ i c = 2R sinγ. 25. Neka je ABC oštrougli trougao sa centrom opisane kružnice u tački S. Tačka P BC je ortogonalna projekcija tačke A. Pretpostavimo da je BCA ABC Dokazati da je CAB + CSP < Neka je AD visina trougla ABC i R poluprečnik opisane kružnice tog trougla. Neka su tačke E i F podnožja normala iz tačke D na stranice AB i AC. Ako je AD = R 2, dokazati da prava EF prolazi kroz centar opisane kružnice. Razni zadaci 27. (Menelaus-ova teorema) Neka je dat trougao ABC i neka prava p siječe stranice trougla AB, BC i AC (po potrebi produžiti stranice) redom u tačkama D, E i F. Tada je AD BD BF CF CE = 1. Dokazati. AE 28. Neka je AA 1 simetrala ugla kod A trougla ABC, a I centar upisane kružnice. Dokazati da je AI : IA 1 = (AB + AC) : BC. 29. A 1, B 1, C 1 i D 1 su tačke koje su redom sredine stranica BC, CD, AD i AB kvadrata

21 ABCD. Dokazati da se duži AA 1, BB 1, CC 1 i DD 1 sijeku tako da obrazuju kvadrat sa stranicom jednakom 2 5 dužine svake od tih duži. 30. U oštrouglom trouglu ABC je CH : HC 1 = 3 : 1, gdje je H ortocentar a C 1 podnožje visine iz vrha C. Neka je K sredina visine CC 1. Kokazati da je AKB = Date su kružnice k 1 i k 2 koje se sijeku u tačkama M i N i imaju zajedničku tangentu p(a, B) (A k 1, B k 2 ). M je tačka na pravoj p(c, D) (C k 1, D k 2 ) takva da je C M D i p(c, D) p(a, B). Tetive NA i CM se sijeku u tački P, tetive NB i MD se sijeku u tački Q, a prave p(a, C) i p(b, D) se sijeku u tački E. Dokazati da je P E = QE. 32. U trouglu ABC, AP polovi ugao BAC, sa P na BC, i duž BQ polovi ABC sa Q na CA. Zna se da je BAC = 60 i da je AB + BP = AQ + QB. Koje su moguće veličine za uglove u trouglu ABC. 33. (zadatak 25, drugi put) Neka je ABC oštrougli trougao sa centrom opisane kružnice u tački S. Tačka P BC je ortogonalna projekcija tačke A. Pretpostavimo da je BCA ABC Dokazati da je CAB + CSP < (Menelaus-ova teorema, drugi put) Neka su A 1, B 1 i C 1 tačke na stranicama BC, CA i AB trougla ABC ili na njihovim produžecima tako da dvije tačke pripadaju stranici a jedna na produžetku. Dokazati da su tačke A 1, B 1 i C 1 kolinearne ako i samo ako vrijedi AC 1 BA 1 CB 1 = 1. BC 1 CA 1 AB Kroz tjemena A i B jednakostraničnog trougla ABC konstruisane su normale n 1 i n 2 na AB u istoj poluravni u kojoj je tačka C. Kroz tjeme C konstruisana je prava koja siječe n 1 u M i n 2 u N. Simetrala duži MN siječe pravu AB u tački S. (a) Dokazati da je M SN jednakostraničan. (b) Površinu trougla M SN izraziti kao funkciju dužine stranice ABC i ugla ACS. 36. U kružnicu je upisan trougao ABC. Tačke M, N i P su središta lukova BC, CA i AB. Tačka M se nalazi sa one strane prave BC sa koje nije tačka A, tačka N se nalazi sa one strane prave AC sa koje nije tačka B i tačka P se nalazi sa one strane prave AB sa koje nije tačka C. Tetiva MN siječe stranicu BC i tački K, a NP siječe stranicu AB u tački L. Dokazati da je KL AC. 37. (Teorema Čevija) Neka tačke A 1, B 1 i C 1 pripadaju stranicama BC, AC i AB trougla ABC redom. Dokazati da se duži AA 1, BB 1 i CC 1 sijeku u istoj tački ako i samo ako vrijedi AC 1 BA 1 CB 1 = 1. BC 1 CA 1 AB Dokazati da se (a) težišnice (b) visine (c) simetrale uglova trougla sijeku u istoj tački. 39. Neka su p(a, A 1 ), p(b, B 1 ) i p(c, C 1 ) tri prave trougla ABC koje se sijeku u R. Dokazati da vrijedi RA 1 AA 1 + RB 1 BB 1 + RC 1 CC 1 = Dokazati da je rastojanje vrha trougla od ortocentra dva puta veće od rastojanja centra opisane kružnice od stranice trougla naspram tog vrha. 41. (Ojlerova prava) Dokazati da su ortocentar, težište i centar opisane kružnice trougla kolinearne tačke pri čemu težište T dijeli duž HS u omjeru 2:1. Napomena: Prava kroz H, T i S se zove Ojlerova prava.

22 42. Dokazati da sredine stranica, podnožja visina i sredine duži koje spajaju ortocentar sa tjemenima trougla pripadaju jednoj kružnici. Napomena: Kružnica koja prolazi kroz navedenih devet tačaka zove se Ojlerova kružnica ili Kružnicadevet tačaka. 43. Dokazati da kružnica 9 tačaka ima centar na sredini duži SH (S centar opisane kružnice, H ortocentar trougla) a poluprečnik je dužine 1 R (R poluprečnik opisane kružnice). 2 Zadaci za vježbu 44. U trouglu ABC duž DE AC, T DE (T je težište trougla), E AB i D BC. Ako je P ABC = 1 cm 2 izračunati P BDE. 45. Visina i težišna linija povučene iz istog tjemena trougla dijele ugao trougla pri tom tjemenu na četiri podudarna ugla. Odrediti uglove trougla. 46. Simetrale uglova A, B i C trougla ABC sijeku se u tački S i sijeku opisanu kružnicu oko trougla redom u tačkama A 1, B 1 i C 1. Dokazati da je: (a) AB 1 = B 1 C = B 1 S; (b) prava B 1 C 1 je simetrala duži AS. 47. Duž koja spaja sredine lukova AB i AC kružnice opisane oko trougla ABC siječe stranice AB i AC u tačkama K i L, redom. Dokazati da su tačke A, K, L i centar upisane kružnice u trougao ABC - tjemena jednog romba. 48. Tačka M je sredina jednog od lukova AC kružnice opisane oko trougla ABC, a D je druga tačka presjeka prave BC i kružnice sa centrom u tački M i poluprečnikom MA. Dokazati da je CD = BC AB. 49. U kružnicu je upisan konveksni petougao čiji su svi uglovi me dusobno podudarni. Dokazati da su i sve stranice tog petougla podudarne. 50. Pravilan desetougao ABCDEF GHIJ upisan je u kružnicu poluprečnika r. Dokazati da je AD AB = r. 51. U trougao ABC (AB BC) upisan je kvadrat, tako da mu dva tjemena pripadaju stranici AB. Dokazati da je trougao ABC pravougli, sa pravim uglom kod C, ako i samo ako simetrala ugla kod tjemena C prolazi kroz centar kvadrata. 52. Dokazati da su u pravouglom trouglu ABC rastojanja tjemena oštrog ugla A od centra dvije spolja upisane kružnice, od kojih jedna dodiruje hipotenuzu AB, a druga katetu BC -me dusobno jednaka. 53. Dokazati da kružnica opisana oko trougla polovi duži koje spajaju centar upisane sa centrima spolja upisanih kružnica. 54. Kružnica sa centrom O na osnovici AC jednakokrakog trougla ABC dodiruje krake trougla. Povučena je tangenta kružnice koja siječe krake AB i BC redom u tačkama M i N. Dokazati da su trouglovi AMO, MON i NOC me dusobno slični. 55. Dokazati da je trapez tangentan ako i samo ako se kružnice konstruisane nad njegovim bočnim stranicama kao nad prečnicima dodiruju. 56. Dvije kružnice se dodiruju spolja. Dokazati da je četverougao čija su tjemena tačke dodira zajedničkih spoljašnjih tangenti te dvije kružnice tangentan. 57. Dokazati da su duži odre dene tačkama dodira naspremnih stranica tangentnog četverougla i

23 njemu upisane kružnice podudarne ako i samo ako su u tom četverouglu podudarna dva naspramna ugla. 58. Ako neka kružnica dodiruje produžetke stranica konveksnog četverougla, tada je razlika jednog para naspramnih stranica tog četverougla jednaka razlici drugog para naspramnih stranica. 59. Konveksan četverougao ima osobinu da postoji kružnica koja dodiruje njegove stranice (upisana kružnica) i postoji kružnica koja dodiruje produžetke njegovih stranica. Dokazati da su dijagonale toga četverougla uzajamno normalne. 60. Duž AB je prečnik kružnice k. Neka je k 1 kružnica sa centrom u tački A koja siječe kružnicu k u tačkama C i D. Neka je M proizvoljna tačka kružnice k 1, a N, P i Q redom druge tačke presjeka pravih MB, MC i MD sa kružnicom k. Dokazati da je četverougao MP BQ paralelogram.

24 2 Euklidska geometrija 2 1. Za dva trougla kažemo da su slična akko... Nabrojati četri stava o sličnosti trouglova! O čemu moramo voditi računa kada se pozivamo na sličnost SSU? 2. Kako glasi treći potreban i dovoljan uslov da bi četverougao bio tetivni (AS CS =..., gdje je S...). 3. Ugao izme du tangente i tetive jednak je peri Talesova teorema glasi: Neka su... (vidi sliku)... Ako su a i a dvije me dusobno paralelne prave tada vrijedi SP SP = = P Q. 5. Poljedica talesove teoreme: SP SQ =, SP P P =, SP P P = i SP 6. Obrat Talesove teoreme glasi: SP SP = = P Q a a. P Q =. 7. Neka je prava p(p, T ) tangenta na krug k. U kakvom su odnosu duži P T, P A i P B sa slike ispod? 8. Neka su date dvije prave koje se sijeku u tački S i koje sijeku krug k u tačkama A, B, C i D. U kakvom su odnosu duži SA, SB, SC i SD sa slike ispod?

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

49

50

51

52

53

54

Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II

Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Elementarni zadaci iz Euklidske geometrije II Sličnost trouglova 1. Neka su dati krugovi k 1 (O 1, r 1 ), k 2 (O 2, r 2 ) i k 3 (O 3, r 3 ) takvi da k 1 dodiruje krug k 2 u tački P, k 2 dodiruje krug k

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Aksiome podudarnosti

Aksiome podudarnosti Aksiome podudarnosti Postoji pet aksioma podudarnosti (tri aksiome podudarnosti za duži + dvije aksiome podudarnosti za uglove) III 1 Za svaku polupravu a sa početnom tačkom A i za svaku duž AB, postoji

Διαβάστε περισσότερα

Sli cnost trouglova i Talesova teorema

Sli cnost trouglova i Talesova teorema Sli cnost trouglova i Talesova teorema Denicija. Dva trougla ABC i A B C su sli cna ako su im sva tri ugla redom podudarna a i ako su im odgovaraju ce stranice proporcionalne tj. a = b b = c c. Stav 1.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1

Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Elementarni zadaci iz predmeta Euklidska geometrija 1 Trougao Računanje uglova u trouglu 1. Težišnica i visina iz vrha A u ABC djele ugao α na tri jednaka dijela. Koliki su uglovi trougla ABC. 2. U trouglu

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1

Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Zenica, 27.01.2010. Pismeni ispit iz predmeta Euklidska geometrija 1 Zadatak br. 1 a) U oštrouglom trouglu ABC (AC < BC) visina

Διαβάστε περισσότερα

Euklidska geometrija II (1. dio)

Euklidska geometrija II (1. dio) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Odsjek: Matematika i informatika Akademska 2012/2013. (sveska je skinuta sa stranice pf.unze.ba\nabokov U svesci je mogu a pojava grešaka. Za uo ene greške pisati

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A

Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Analitička geometrija 1. Tačka 1. MF000 Neka su A(1, 1) i B(,11) tačke u koordinatnoj ravni Oxy. Ako tačka S deli duž AB

Διαβάστε περισσότερα

1. APSOLUTNA GEOMETRIJA

1. APSOLUTNA GEOMETRIJA 1. APSOLUTNA GEOMETRIJA Euklidska geometrija izvedena sintetičkim metodom zasniva se na aksiomama koje su podeljene u pet grupa i to: aksiome rasporeda, aksiome incidencije, aksiome podudarnosti, aksiome

Διαβάστε περισσότερα

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *)

2.7. DEVET RJEŠENJA JEDNOG ZADATKA IZ GEOMETRIJE *) .7. DEVET RJEŠENJ JEDNOG ZDTK IZ GEOMETRIJE *) Riječ je o sljedećem zadatku iz geometrije: Oko jednakostraničnog trougla Δ opisana je kružnica. Dokazati da svaka tačka M luka ima osobinu M+ M = M. Daćemo

Διαβάστε περισσότερα

9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar

9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar 9 Elementarni zadaci: Prizma i kvadar Elementarna pitanja: 1. Kako glasi formula za računanje površine prizme? 2. Kako glasi formula za računanje zapremine prizme? [V = B H] 3. Kako glasi formula za računanje

Διαβάστε περισσότερα

6 Primjena trigonometrije u planimetriji

6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6 Primjena trigonometrije u planimetriji 6.1 Trgonometrijske funkcije Funkcija sinus (f(x) = sin x; f : R [ 1, 1]); sin( x) = sin x; sin x = sin(x + kπ), k Z. 0.5 1-6 -4 - -0.5 4 6-1 Slika 3. Graf funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.)

Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Univerzitet u Zenici Pedagoški fakultet Matematika i informatika Sadržaj sveske sa vježbi iz predmeta Euklidska geometrija 1 (akademska 2011/2012.) Sedmica broj 1 i 2 (Osnovi pojmovi iz geometrije) Uvod

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJA TROKUTA

TRIGONOMETRIJA TROKUTA TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane

Διαβάστε περισσότερα

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK

OBRTNA TELA. Vladimir Marinkov OBRTNA TELA VALJAK OBRTNA TELA VALJAK P = 2B + M B = r 2 π M = 2rπH V = BH 1. Zapremina pravog valjka je 240π, a njegova visina 15. Izračunati površinu valjka. Rešenje: P = 152π 2. Površina valjka je 112π, a odnos poluprečnika

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE

LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE LEKCIJE IZ ELEMENTARNE GEOMETRIJE BANJA LUKA, 2010. i ii Sadržaj: 1 Prva lekcija 1 1.1 O Euklidovim Elementima................... 1 1.2 Osnovni pojmovi u geometriji................... 3 1.3 Aksiome incidencije

Διαβάστε περισσότερα

EUKLIDSKA GEOMETRIJA

EUKLIDSKA GEOMETRIJA EUKLIDSKA GEOMETRIJA zadaci za vežbe AKSIOMATSKO ZASNIVANJE EUKLIDSKE GEOMETRIJE 1. Ako dve razne ravni imaju zajedničku tačku tada je njihov presek prava. Dokazati. 2. Za svake dve prave koje se seku

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4

( ) ( ) 2 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET. Zadaci za pripremu polaganja kvalifikacionog ispita iz Matematike. 1. Riješiti jednačine: 4 UNIVERZITET U ZENICI POLITEHNIČKI FAKULTET Riješiti jednačine: a) 5 = b) ( ) 3 = c) + 3+ = 7 log3 č) = 8 + 5 ć) sin cos = d) 5cos 6cos + 3 = dž) = đ) + = 3 e) 6 log + log + log = 7 f) ( ) ( ) g) ( ) log

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost

Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet. Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Predmet:Metodika nastave i računarstva Tema:Sličnost Profesor Student Nebojša Ikodinović Marina Stanković 270/2011 Anđela Milijašević 132/2011 Datum:15.12.2014

Διαβάστε περισσότερα

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija

12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija 12 Elementarni zadaci: Računanje površine tijela u ravni i trigonometrija Elementarna pitanja: 1. Nabrojati sve geometriske figure prikazane na slici ispod. [kocka, kvadar, četverostrana piramida, sfera

Διαβάστε περισσότερα

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije

Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije Aksiomatsko zasnivanje euklidske geometrije 1. Postoji jedna i samo jedna prava koja sadrži dve razne tačke A i B. 2. Postoji jedna i samo jedna ravan koja sadrži tri nekolinearne tačke A, B, C. 3. Ako

Διαβάστε περισσότερα

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1

Ispit održan dana i tačka A ( 3,3, 4 ) x x + 1 Ispit održan dana 9 0 009 Naći sve vrijednosti korjena 4 z ako je ( ) 8 y+ z Data je prava a : = = kroz tačku A i okomita je na pravu a z = + i i tačka A (,, 4 ) Naći jednačinu prave b koja prolazi ( +

Διαβάστε περισσότερα

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika

Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Univerzitet u Nišu, Prirodno-matematički fakultet Prijemni ispit za upis OAS Matematika Rešenja. Matematičkom indukcijom dokazati da za svaki prirodan broj n važi jednakost: + 5 + + (n )(n + ) = n n +.

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

4 Sukladnost i sličnost trokuta

4 Sukladnost i sličnost trokuta 4 Sukladnost i sličnost trokuta 4.1 Sukladnost trokuta Neka su ABC i A B C trokuti sa stranicama duljina a b c odnosno a b c. Kažemo da su ti trokuti sukladni ako postoji bijekcija f : {A B C} {A B C }

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje

Zbirka zadataka iz geometrije. Elektronsko izdanje Zbirka zadataka iz geometrije . Predrag Janičić ZBIRKA ZADATAKA IZ GEOMETRIJE Sedmo izdanje (treći put ponovljeno četvrto izdanje) Matematički fakultet Beograd, 2007 Autor: dr Predrag Janičić, docent

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar)

Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Zadaci iz Nacrtne geometrije (drugi semestar) Srdjan Vukmirović August 19, 2003 Aksiome projektivne geometrije P1 Za ma koje 2 tačke A i B postoji tačno jedna prava a = AB kojoj pripadaju tačke A i B.

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ

RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ RIJEŠENI ZADACI I TEORIJA IZ LOGARITAMSKA FUNKCIJA SVOJSTVA LOGARITAMSKE FUNKCIJE OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA - DEFINICIJA TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKCIJA

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.

Pismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1. Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana.

Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 1 Dokazati da simetrala ugla u trouglu deli naspramnu stranu u odnosu susednih strana. Zadatak 2 Dokazati da se visine trougla seku u jednoj tački ortocentar. 1 Dvostruki vektorski proizvod Važi

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/

Geometrija II. Elvis Baraković siječnja Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Geometrija II Elvis Baraković 1 10. siječnja 2018. 1 Prirodno-matematički fakultet Univerziteta u Tuzli, Odsjek matematika, Univerzitetska 4 75000 Tuzla;http://pmf.untz.ba/staff/elvis.barakovic/ Sažetak

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Geometrije 4

Zadaci iz Geometrije 4 Zadaci iz Geometrije 4 - za rad na vežbama - 3. maj 2017. 1 Stereometrija 1. Data je kocka ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ivice a. Dokazati da je tetraedar ACB 1 D 1 pravilan i odrediti mu dužinu ivice. 2. Dat je

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je

VEKTORI. Nenad O. Vesi 1. = α, ako je VEKTORI Nenad O. Vesi 1 1 Uvod Odnos vektora AB, jednak je α CD ( AB CD ) = α, ako je AB = αcd. Teorema 1 (TEOREME BLIZANCI) Dat je trougao ABC i ta ke P i Q na pravama BC, CA redom i ta ke R i S na pravoj

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije

Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Univerzitet u Nišu Prirodno - matematički fakultet Departman za matematiku Geometrijska mesta tačaka i primena na konstrukcije Master rad Mentor: Prof. dr Mića Stanković Student: Ivana Gavrilović Niš,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijski trikovi i metode bez imena

Geometrijski trikovi i metode bez imena Geometrijski trikovi i metode bez imena Matija Bašić lipanj 2016. U ovom tekstu želimo na jednom mjestu navesti vrlo klasične ideje u rješavanju planimetrijskih zadataka. Primjeri variraju od jednostavnih

Διαβάστε περισσότερα

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA

POVRŠINA TANGENCIJALNO-TETIVNOG ČETVEROKUTA POVRŠIN TNGENIJLNO-TETIVNOG ČETVEROKUT MLEN HLP, JELOVR U mnoštvu mnogokuta zanimljiva je formula za površinu četverokuta kojemu se istoobno može upisati i opisati kružnica: gje su a, b, c, uljine stranica

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II

1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II 1 UPUTSTVO ZA IZRADU GRAFIČKOG RADA IZ MEHANIKE II Zadatak: Klipni mehanizam se sastoji iz krivaje (ekscentarske poluge) OA dužine R, klipne poluge AB dužine =3R i klipa kompresora B (ukrsne glave). Krivaja

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija

Analitička geometrija 1 Analitička geometrija Neka su dati vektori a = a 1 i + a j + a 3 k = (a 1, a, a 3 ), b = b 1 i + b j + b 3 k = (b 1, b, b 3 ) i c = c 1 i + c j + c 3 k = (c 1, c, c 3 ). Skalarni proizvod vektora a i

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. Geometrija 1. dio. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović

DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK

Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Kantonalno takmičenje iz matematike učenika srednjih škola sa područja TK Živinice 1.4.014. ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA TUZLANSKOG KANTONA PEDAGOŠKI ZAVOD TUZLA Takmičenje učenika srednjih škola Tuzlanskog

Διαβάστε περισσότερα

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C.

1.1.** Dokaži da tvrdnja vrijedi ako su točke E i D na produžecima dužina AC i BC kroz C. 1.1. U trokutu ABC na dužinama AC i BC odabrane su točke E i D. Simetrale kutova CAD i CBE sijeku se u točki F. Dokaži da vrijedi: AEB + ADB = 2 AF B. 1.1.* Dokaži da tvrdnja 1.1. vrijedi ako je E=C. 1.1.**

Διαβάστε περισσότερα

Elementi spektralne teorije matrica

Elementi spektralne teorije matrica Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo,

UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE. Sarajevo, ZADACI UDRUŽENJE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUŽENjE MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE UDRUGA MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE BOSNIA-HERZEGOVINA MATHEMATICAL SOCIETY BHMS Zmaja od Bosne 35, 7000

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta

Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Udaljenosti karakterističnih točaka trokuta Kristijan Kilassa Kvaternik 1 U trokutu postoje četiri karakteristične točke: težište G, ortocentar H, središte upisane kružnice I i središte opisane kružnice

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

Sličnost trouglova i primene

Sličnost trouglova i primene Univerzitet u Beogradu, Matematički fakultet Seminarski rad iz metodike nastave matematike i računarstva Sličnost trouglova i primene Autori: Aleksandra Obradović Aleksandra Radulović Milica Pješčić Mirjana

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP

PROJEKTIVNA GEOMETRIJA ANALITIČKI PRISTUP PROJEKTIVNA GEOMETRIJA oktobar 2010. godine ANALITIČKI PRISTUP Homogene koordinate i dvorazmera 1. Tačke 0, i 1 afinog sistema koordinata uzete su redom za bazne tačke A 1 (1 : 0), A 2 (0 : 1) i jedinicu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio

MATEMATIKA I 1.kolokvij zadaci za vježbu I dio MATEMATIKA I kolokvij zadaci za vježbu I dio Odredie c 0 i kosinuse kueva koje s koordinanim osima čini vekor c = a b ako je a = i + j, b = i + k Odredie koliki je volumen paralelepipeda, čiji se bridovi

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije Prvi razred A kategorija 18.02006. Prvi razred A kategorija Dokazati da kruжnica koja sadrжi dva temena i ortocentar trougla ima isti polupreqnik kao i kruжnica opisana oko tog trougla. Na i najve i prirodan broj koji je maƭi

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Primene kompleksnih brojeva u geometriji

Primene kompleksnih brojeva u geometriji Primene kompleksnih brojeva u geometriji Radoslav Dimitrijević 07.1.011. 1 Neki osnovni geometrijski pojmovi 1.1. Rastojanje izmed u tačaka Neka su tačke A i B u kompleksnoj ravni odred ene kompleksnim

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne teoreme diferencijalnog računa

Osnovne teoreme diferencijalnog računa Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT

PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT PRIPREMNI ZADACI ZA PRIJEMNI ISPIT GRAĐEVINSKI FAKULTET UNIVERZITETA U SARAJEVU Ovo je Izbor zadataka koji su namjenjeni budućim studentima za lakše pripremanje prijemnog ispita na Građevinskom fakultetu

Διαβάστε περισσότερα

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1)

Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Inženjerska grafika geometrijskih oblika (5. predavanje, tema1) Prva godina studija Mašinskog fakulteta u Nišu Predavač: Dr Predrag Rajković Mart 19, 2013 5. predavanje, tema 1 Simetrija (Symmetry) Simetrija

Διαβάστε περισσότερα

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih:

Zdaci iz trigonometrije trokuta Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: Zdaci iz trigonometrije trokuta... 1. Izračunaj ostale elemente trokuta pomoću zadanih: a) a = 1 cm, α = 66, β = 5 ; b) a = 7.3 cm, β =86, γ = 51 ; c) b = 13. cm, α =1 48`, β =13 4`; d) b = 44.5 cm, α

Διαβάστε περισσότερα

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke.

Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA. Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. Ĉetverokut - DOMAĆA ZADAĆA Nakon odgledanih videa trebali biste biti u stanju samostalno riješiti sljedeće zadatke. 1. Duljine dijagonala paralelograma jednake su 6,4 cm i 11 cm, a duljina jedne njegove

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija - vežbe

Analitička geometrija - vežbe Analitička geometrija - vežbe Milica Žigić May 25, 2017 1 Pravougli koordinatni sistem i rastojanje izmed u tačaka 1. Na brojnoj osi ucrtati tačke A( 3), B( 8 3 ) i C(0). 2. (a) Na brojnoj osi ucrtati

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

5 Ispitivanje funkcija

5 Ispitivanje funkcija 5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:

Διαβάστε περισσότερα

2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P =

2n 2, 2n, 2n + 2. a = 2n 2, b = 2n, c = 2n + 2. a b c. a P = Zadatak (Tomislav gimnazija) Nađite sve pravokutne trokute čije su stranice tri uzastopna parna roja Rješenje inačica pća formula za parne rojeve je n n N udući da se parni rojevi povećavaju za možemo

Διαβάστε περισσότερα

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0:

Paskalova teorema, pol i polara verzija 2.0: askalova teorema, pol i polara verzija 2.0: 10.2.2015. uxan uki Teoreme kojima se ovde bavimo su u stvari tvrđenja iz projektivne geometrije, tako da imaju i dokaze unutar projektivne geometrije. Ipak,

Διαβάστε περισσότερα

Potencija taqke. Duxan uki

Potencija taqke. Duxan uki Potencija taqke Duxan uki Neka su dati krug k i taqka u ravni. Posmatrajmo proizvoljnu pravu l kroz i njene preseqne taqke B i sa krugom k. Proizvod B ne zavisi od izbora prave l. Zaista, ako sa D oznaqimo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki

Matematiqka gimnazija u Beogradu Vektori. Milivoje Luki Matematiqka gimnazija u Beogradu 30.01.2007. Vektori Milivoje Luki 1. Linearne kombinacije vektora Vektor v je linearna kombinacija vektora v 1, v 2,..., v n ako postoje skalari (odn. realni brojevi) λ

Διαβάστε περισσότερα

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI

PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Nišu, Srbija http://wwwpmfniacrs/mii Matematika i informatika (1) (013), 19-74 PRIMENA KOMPLEKSNIH BROJEVA U PLANIMETRIJI Mihailo Krstić, Student Departmana

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

Vektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika:

Vektori. Ukoliko biste kasnije te godine poželeli da odete iz Beograda na Zlatar, vaš put bi obrazovao vektor b: #slika: Vektori Zamislite da živite u Beogradu I da želite da odete avionom u Herceg Novi na more. Ukoliko biste povezali trenutno nalazište i željenu destinaciju, obrazovali biste vektor: #slika: Pošto biste

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla

XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti. 4. Stabla XI dvoqas veжbi dr Vladimir Balti 4. Stabla Teorijski uvod Teorijski uvod Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Definicija 5.7.1. Stablo je povezan graf bez kontura. Primer 5.7.1. Sva stabla

Διαβάστε περισσότερα

Računarska grafika. Rasterizacija linije

Računarska grafika. Rasterizacija linije Računarska grafika Osnovni inkrementalni algoritam Drugi naziv u literaturi digitalni diferencijalni analizator (DDA) Pretpostavke (privremena ograničenja koja se mogu otkloniti jednostavnim uopštavanjem

Διαβάστε περισσότερα

Dirihleov princip. Goran Popivoda. Prirodno matematički fakultet.

Dirihleov princip. Goran Popivoda. Prirodno matematički fakultet. Dirihleov princip Goran Popivoda goc@t-com.me Prirodno matematički fakultet Pretpostavimo da je jato golubova doletjelo u golubarnik. U svojoj originalnoj verziji, Dirihleov princip kaže da ako ima više

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα