ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων

Transcript

1 ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω

2 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ αριθμώ. Ειδικότερα η εξίσωση x = 1 δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ αριθμώ, αφού το τετράγωο κάθε πραγματικού αριθμού είαι μη αρητικός αριθμός. Για α ξεπεράσουμε τη αδυαμία αυτή, διευρύουμε το σύολο R σε έα σύολο C, το οποίο α έχει τις ίδιες πράξεις με το R, τις ίδιες ιδιότητες τω πράξεω αυτώ και στο οποίο α υπάρχει μία τουλάχιστο ρίζα της εξίσωσης x = 1, δηλαδή έα στοιχείο i, τέτοιο, ώστε i = 1. Σύμφωα με τις παραδοχές αυτές το διευρυμέο σύολο C θα έχει ως στοιχεία: Όλους τους πραγματικούς αριθμούς Όλα τα στοιχεία της μορφής β i, που είαι γιόμεα τω στοιχείω του R με το i, δηλαδή τους φαταστικούς αριθμούς, το σύολο τω οποίω θα συμβολίζουμε με Ι, δηλ. Ι={βi/β R}, και Όλα τα αθροίσματα της μορφής α + βi, με α και β, πραγματικούς αριθμούς. Τα στοιχεία του C λέγοται μιγαδικοί αριθμοί και το C σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ. Επομέως: Το σύολο C τω μιγαδικώ αριθμώ είαι έα υπερσύολο του συόλου R τω πραγματικώ αριθμώ, στο οποίο: Επεκτείοται οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού έτσι, ώστε α έχου τις ίδιες ιδιότητες όπως και στο R, με το μηδέ (0) α είαι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης και το έα (1) το ουδέτερο στοιχείο του πολλαπλασιασμού, Υπάρχει έα στοιχείο i τέτοιο, ώστε i = 1, Κάθε στοιχείο z του C γράφεται κατά μοαδικό τρόπο με τη μορφή z = α + βi, όπου αβ, R. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Κάθε αριθμός της μορφής α+ βi, αβ, R λέγεται μιγαδικός αριθμός. Η μορφή α+βi εός μιγαδικού αριθμού z λέγεται καοική μορφή του z.

3 Κάθε μιγαδικός αριθμός z=α+βi είαι άθροισμα δυο αριθμό του πραγματικού α και του φαταστικού βi. Ο α λέγεται πραγματικό μέρος του z και σημειώεται Re( z ), εώ ο β (και όχι ο βi) λέγεται φαταστικό μέρος του z και σημειώεται Im( z ). Κάθε πραγματικός αριθμός α γράφεται σε καοική μορφή ως α+0i. Κάθε φαταστικός αριθμός βi γράφεται σε καοική μορφή ως 0+βi. Έας μιγαδικός αριθμός z=α+βi, με α,β 0 λέγεται καθαρά μιγαδικός αριθμός. Ο αριθμός 0 είαι και φαταστικός αφού 0=0i αλλά και μιγαδικός με καοική μορφή 0+0i. Στη συέχεια, ότα λέμε ο μιγαδικός z=α+βi, εοούμε ότι οι α και β είαι πραγματικοί αριθμοί και το γεγοός αυτό δε θα τοίζεται ιδιαίτερα. Έας μιγαδικός αριθμός z R Im(z)=0 Έας μιγαδικός αριθμός z I Re(z)=0 Προσοχή!!!! Οι δύο παραπάω ισοδυαμίες είαι πάρα πολύ χρήσιμες για τις ασκήσεις!!!! ΙΣΟΤΗΤΑ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Επειδή κάθε μιγαδικός αριθμός z γράφεται με μοαδικό τρόπο στη μορφή α+βi, δύο μιγαδικοί αριθμοί α + βi και γ + δi είαι ίσοι, α και μόο α α = γ και β = δ. Δηλαδή ισχύει: α + βi= γ + δi α = γ και β = δ. Επομέως, επειδή 0= 0+ 0i, έχουμε α + βi = 0 α = 0 και β = 0. Στη επέκταση, όμως, από το R στο C εώ οι πράξεις και οι ιδιότητες αυτώ που ισχύου στο R εξακολουθού α ισχύου και στο C, ε τούτοις η διάταξη και οι ιδιότητές της δε μεταφέροται.

4 3 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Κάθε μιγαδικό αριθμό z= α + βi μπορούμε α y το ατιστοιχίσουμε στο σημείο M ( αβ, ) εός καρτεσιαού επιπέδου. β Αλλά και ατιστρόφως, κάθε σημείο M ( αβ, ) του καρτεσιαού αυτού επιπέδου μπορούμε α το ατιστοιχίσουμε στο μιγαδικό α + βi. Το σημείο M ( αβ, ) λέγεται εικόα του μιγαδικού z= α + βi, και το συμβολίζουμε με M( z ). Έα καρτεσιαό επίπεδο του οποίου τα σημεία είαι εικόες μιγαδικώ αριθμώ θα ααφέρεται ως μιγαδικό επίπεδο. Ο άξοας xx λέγεται πραγματικός άξοας, αφού αήκου σε αυτό τα σημεία M ( α,0) που είαι εικόες τω πραγματικώ αριθμώ α = α + 0i. Ο άξοας yy λέγεται φαταστικός άξοας, αφού αήκου σε αυτό τα σημεία M (0, β ) που είαι εικόες τω φαταστικώ βi= 0 + βi. Έας μιγαδικός z = α + βi παριστάεται επίσης και με τη διαυσματική ακτία, OM, του σημείου M ( αβ, ). ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ(+,-,, ) Σύμφωα με το ορισμό του C η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο Rόπου βέβαια ατί για x έχουμε i. Έτσι: Για τη πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ α + βi και γ + δi έχουμε: ( α + βi) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β + δ) i. Για τη αφαίρεση του μιγαδικού αριθμού γ + δi από το α + βi, επειδή ο ατίθετος του μιγαδικού γ + δi είαι ο μιγαδικός γ δi, έχουμε: ( α + βi) ( γ + δi) = ( α + βi) + ( γ δi) = ( α γ) + ( β δ) i. Δηλαδή: ( α + βi) ( γ + δi) = ( α γ) + ( β δ) i. Ο a x 1 M(α,β) ή Μ(z) Δηλαδή: z+w=re(z+w)+im(z+w)i με: Re(z+w)=Re(z)+Re(w) και : Im(z+w)=Im(z)+Im(w) Και: z-w=re(z-w)+im(z-w)i με: Re(z-w)=Re(z)-Re(w) και : Im(z-w)=Im(z)-Im(w)

5 Γραφική παράσταση πρόσθεσης: Α M ( αβ, ) και M (, ) 1 γδ είαι οι εικόες τω α + βi και γ + δi ατιστοίχως στο μιγαδικό επίπεδο, τότε το άθροισμα ( α + βi) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β + δ) i παριστάεται με το σημείο M ( α + γ, β + δ). Επομέως, OM = OM1+ OM, δηλαδή: y M(α+γ, β+δ) M (γ,δ) M 1 (α,β) Ο x Η διαυσματική ακτία του αθροίσματος τω μιγαδικώ α + βi και γ + δi είαι το άθροισμα τω διαυσματικώ ακτίω τους. 4 Γραφική παράσταση διαφοράς: Επίσης, η διαφορά ( α + βi) ( γ + δi) = ( α γ) + ( β δ) i παριστάεται με το σημείο N( α γ, β δ). Επομέως, ON = OM1 OM, δηλαδή: y Ο Μ (γ,δ) Μ 1 (α,β) Ν(α γ,β δ) 3 x Η διαυσματική ακτία της διαφοράς τω μιγαδικώ α + βi και γ + δi είαι η διαφορά τω διαυσματικώ ακτίω τους. Για το πολλαπλασιασμό δύο μιγαδικώ α + βi και γ + δi έχουμε: ( α + βi)( γ + δi) = α( γ + δi) + βi( γ + δi) = αγ + αδi+ βγi+ ( βi)( δi) = = αγ + αδ + βγ + βδ = αγ + αδ + βγ βδ = αγ βδ + αδ + βγ Δηλαδή: ( α + βi)( γ + δi) = ( αγ βδ ) + ( αδ + βγ ) i. i i i i i ( ) ( ) i Ειδικότερα, έχουμε: ( α + βi)( α βi) = α + β. Ο αριθμός α βi λέγεται συζυγής του α + βi και συμβολίζεται με α + βi. Δηλαδή: α + βi = α βi. Μ 3 ( γ, δ) Επειδή είαι και α βi= α + βi, οι α + βi, α βi λέγοται συζυγείς μιγαδικοί. α + βi Τέλος, για α εκφράσουμε το πηλίκο, όπου γ + δi 0, γ + δi στη μορφή κ + λi, πολλαπλασιάζουμε τους όρους του κλάσματος με το συζυγή του παροομαστή και έχουμε:

6 α + βi ( α + βi)( γ δi) ( αγ + βδ ) + ( βγ αδ ) i αγ + βδ βγ αδ = = = + i γ + δi ( γ + δi)( γ δi) γ + δ γ + δ γ + δ α + βi αγ + βδ βγ αδ Δηλαδή, = + i. γ + δi γ + δ γ + δ ΔΥΝΑΜΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Οι δυάμεις εός μιγαδικού z με εκθέτη ακέραιο ορίζοται όπως ακριβώς οι δυάμεις τω πραγματικώ. Δηλαδή: 0 z = 1, µε z 0 1 z = z z = z z, 5 z = z z... z φορές 1 z =, όπου Ν *,z 0. z ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Παρότι οι δυάμεις με ακέραιο εκθέτη στους μιγαδικούς αριθμούς ορίζοται όπως ακριβώς ορίζοται και στους πραγματικούς, η αλήθεια είαι ότι με τη καοική μορφή εός μιγαδικού πολύ λίγες περιπτώσεις μιγαδικώ υψωμέω σε δύαμη μπορούμε α υπολογίσουμε (χρειάζεται α ξέρουμε τη τριγωομετρική μορφή μιγαδικού που όμως είαι εκτός ύλης για τις εξετάσεις). Για το λόγο που ααφέραμε παραπάω θα δώσουμε θεωρητικά μερικές περιπτώσεις μιγαδικώ που μπορούμε α βρούμε τη δύαμή τους. 0 1 Για τις δυάμεις του i έχουμε: i = 1, i = i, i = 1, 3 i = ii= i. Στη συέχεια, παρατηρούμε ότι είαι: i = ii = 1, i = ii= 1 i= i, i = ii = 1 i = 1, i = ii = 1 i = i δηλαδή, μετά το i 4 οι τιμές του i επααλαμβάοται. Άρα, για α υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύαμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή = 4ρ + υ, όπου ρ το πηλίκο και υ το υπόλοιπο της ευκλείδειας διαίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:

7 6 1 α, 0υ = 4ρ+ υ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ iυ,α 1= i = i = i i = ( i ) i = 1 i = i = -1 α, υ = i,α υ3= Για κάθε φαταστικό αριθμό z=βi μπορούμε α βρούμε οποιαδήποτε δύαμή του αφού ( β i) κ κ κ = β i Για τις δυάμεις z, z, z, z,μπορούμε α τις υπολογίσουμε (θεωρητικά εύκολα αλλά πρακτικά με πολλές πράξεις) για κάθε μιγαδικό αριθμό z=α+βi, χρησιμοποιώτας τις ταυτότητες : x ± y = x ± xy + y, ( ) x ± y = x ± 3x y + 3xy y, και τη ( ) 4 παρατήρηση ότι : x = ( x ) και x 6 ( x ) 3 =. Μπορούμε α υπολογίσουμε δυάμεις μιγαδικώ που είαι υψωμέοι σε άρτιο εκθέτη και ισχύει Re(z)=±Im(z). ( ) Για παράδειγμα : ( i) α + α αφού ( i) α + α = ( α αi) ( α + α αi+ ( αi) ) =( α + α i α ) =( i) + = α i. α =( ) ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Επειδή οι συζυγείς μιγαδικοί, όπως θα δούμε στις επόμεες παραγράφους, μας διευκολύου στη μελέτη τω μιγαδικώ αριθμώ, θα ααφερθούμε ιδιαιτέρως σε αυτούς. ΟΡΙΣΜΟΣ Για έα μιγαδικό αριθμό z=α+βi ορίζουμε ως συζυγή του αριθμού z το μιγαδικό z = α βi. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ y Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόες M ( αβ, ) και M ( α, β) δύο συζυγώ μιγαδικώ z = α + βi και z = α βi είαι σημεία συμμετρικά ως Ο προς το πραγματικό άξοα. M(z) 4 x Ισχύει: ( z) ορισμού) = z (αφού ( α βi) = α + βi με εφαρμογή του M (z)

8 7 Για δύο συζυγείς μιγαδικούς αριθμούς z = α + βi και z = α βi ισχύει : z+ z = α z z = βi. Συήθως στις ασκήσεις οι δυο πιο πάω ιδιότητες θα χρησιμοποιούται με τη μορφή: z+ z = Re( z), z z = Im ( z) i, και πιο σπάια στη μορφή z+ z z z Re( z) =, Im ( z) = i Α z1 = α + βi και z = γ + δi είαι δυο μιγαδικοί αριθμοί, τότε: 1. z1+ z = z1+ z. z1 z = z1 z 3. z1 z = z1 z z z = z z Οι ιδιότητες αυτές μπορού α αποδειχτού με εκτέλεση τω πράξεω. Για παράδειγμα έχουμε: Απόδειξη της 1: z1+ z = ( α + βi) + ( γ + δi) = ( α + γ) + ( β + δ) i = ( α + γ) ( β + δ)i = ( α βi) + ( γ δi) = z1+ z. 5. z + z + + z = z + z + + z (Γείκευση της 1) z1 z... z = z1 z... z. (Γείκευση της 3). 7. ( z ) = ( z) (α είαι z1 = z =... = z = z, και εφαρμόσουμε τη ιδιότητα 6) ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ: αz + βz+ γ = 0με α,β,γ R, α 0. Επειδή i = 1 και ( i) = i = 1,εύκολα, μπορούμε α διαπιστώσουμε ότι και κάθε εξίσωση δεύτερου βαθμού με πραγματικούς συτελεστές έχει πάτα λύση στο σύολο C. Πράγματι, έστω η εξίσωση αz + βz+ γ = 0, με αβγ R,, και α 0.

9 8 Εργαζόμαστε όπως στη ατίστοιχη περίπτωση στο R και τη μετασχηματίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης τετραγώω, στη β μορφή: z + =, όπου = β 4αγ η διακρίουσα της α 4α εξίσωσης. Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: > 0. Tότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές λύσεις: β ± z1, = α β = 0. Tότε έχει μια διπλή πραγματική λύση: z = α < 0. Tότε, επειδή = = =, ( 1)( ) i ( ) i 4α 4 α ( α) α β i η εξίσωση γράφεται: z + =. α α β ± i Άρα οι λύσεις της είαι: z1, =, οι οποίες είαι α συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Παρατηρούμε ότι και εδώ ισχύου οι σχέσεις: β γ z1 + z = και z1 z = Τύποι του Vieta. α α Χρησιμοποιούται συήθως ότα σε μια ου βαθμού εξίσωση με πραγματικούς συτελεστές ξέρουμε μια μιγαδική λύση και έχουμε άγωστο συτελεστή στη εξίσωση! Προσοχή!!!! Α σε μια εξίσωση δευτέρου βαθμού έχουμε μιγαδικούς συτελεστές (έστω κι έα) ή το συζυγή του άγωστου μιγαδικού δε μπορούμε α χρησιμοποιήσουμε ούτε τη διακρίουσα ούτε τους τύπους του Vieta. Τότε καταφεύγουμε στη παλιά καλή συταγή της ατικατάστασης του άγωστου μιγαδικού με x+yi.

10 ΜΕΤΡΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω Mxy (, ) η εικόα του μιγαδικού z = x + yi στο μιγαδικό επίπεδο. Ορίζουμε ως μέτρο του z τη απόσταση του M από τη αρχή O, δηλαδή z = OM = x + y Ότα ο μιγαδικός z είαι της πραγματικός, δηλαδή της μορφής z = x+ 0i= x R, τότε z = x + 0 = x, που είαι η γωστή μας απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού x. Α z = x + yi, τότε z = x yi, z = x yi και z = x + yi, και άρα z = z = z = z, και ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ z = x + y επίσης z z = x + y άρα Δύο προφαείς ιδιότητες από τα παραπάω είαι: z = z = z = z z = z z y β Ο z z a = zz. 9 5 M(x,y) x Δύο πολύ σηματικές ιδιότητες για τις ασκήσεις παρακάτω, ειδικά για δύσκολα θέματα!!!!! Οι επόμεες ιδιότητες ααφέροται στις σχέσεις που συδέου το γιόμεο και το πηλίκο μιγαδικώ με τα μέτρα τους και είαι ίδιες με τις ατίστοιχες ιδιότητες τω απόλυτω τιμώ πραγματικώ αριθμώ. z, z είαι μιγαδικοί αριθμοί, τότε Α 1 z z = z z 1 1 z1 z1 = z z Απόδειξη: Πράγματι, έχουμε: z z = z z z z = z z ( z z )( z z ) = z z z z z1 z z1 z = z1 z1 z z

11 10 και, επειδή η τελευταία ισότητα ισχύει, θα ισχύει και η ισοδύαμη αρχική. Αάλογα αποδεικύεται και η δεύτερη ιδιότητα. Γεικά, αποδεικύεται ότι : zz... z = z z... z και 1 1 = z z Από τη γωστή μας τριγωική αισότητα και από τη γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος z1+ z και της διαφοράς z1 z δύο μιγαδικώ προκύπτει ότι: z1 z z1+ z z1 + z αλλά και ότι z z z z z + z Επίσης, είαι φαερό ότι το μέτρο του διαύσματος ON είαι ίσο με το μέτρο του διαύσματος MM 1. Επομέως: Το μέτρο της διαφοράς δύο μιγαδικώ είαι ίσο με τη απόσταση τω εικόω τους. Δηλαδή: ( MM 1 ) = z1 z y Ο M 3 ( z ) M (z ) M 1 (z 1 ) N(z 1 z ) M(z 1 +z ) x 6 Η εξίσωση z z0 = ρ, με ρ>0 και z0 = x0 + yi 0 παριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο Κ ( z0) και ακτία ρ. Ειδικά η εξίσωση z = ρ, με ρ>0 παριστάει κύκλο με κέτρο τη αρχή τω αξόω Ο(0,0) και ακτία ρ. y Ο K(x 0,y 0 ) 7 x Η εξίσωση z z1 = z z, όπου z1 = x1+ yi 1, z = x + yi, παριστάει τη μεσοκάθετο του Β. τμήματος με άκρα τα σημεία Α ( ) και ( ) z 1 z B(x,y ) y 8 A(x 1,y 1 ) Ο x

12 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ z R Im( z) = 0, z I Re( z) = 0 Απόδειξη: z = z α + βi= α βi βi= 0 β = 0 z R z R z = z, z I z = z Απόδειξη: z = z α + βi= α + βi a= 0 a= 0 z Ι (τις δυο παραπάω σχέσεις ότα τις χρησιμοποιούμε πρέπει α αποδεικύοται) ρ z = ρ > 0 zz = ρ z = z f z, z = 0 f z, z = 0, Α z 1, z C και ισχύει ( 1 ) ( 1 ) Α z 1, z C και ισχύει f ( z, z ) = f ( z, z ) 1 1 f ( z) = g( z) f ( z) = g( z) f ( z) f ( z) = g( z) g( z) z = z z = z z = z v v v ΒΑΣΙΚΟΙ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΟΙ ΤΟΠΟΙ Γεικά ότα θέλουμε α βρούμε έα γεωμετρικό τόπο εός μιγαδικού z, τότε θέτουμε z=x+yi και προσπαθούμε μέσα από τη σχέση που μας δίου α βρούμε τη σχέση που συδέει τα x,y. Όμως υπάρχου και μερικές σχέσεις οι όποιες μας φαερώου αμέσως το γεωμετρικό τόπο. Αυτές οι σχέσεις είαι: z =ρ, ρ>0 Ο γεωμετρικός τόπος είαι κύκλος Κ(0,0) και ακτία ρ. 11

13 1 z-z 0 =ρ, ρ>0 Ο γεωμετρικός τόπος είαι κύκλος κέτρου Κ(z 0 ) και ακτίας ρ. z-z 0 ρ Ο γεωμετρικός τόπος είαι ο κυκλικός δίσκος Κ(z 0 ) και ακτίας ρ. z-z 0 >ρ Ο γεωμετρικός τόπος είαι όλα τα εξωτερικά σημεία του κύκλου Κ(z 0 ) και ακτίας ρ.

14 13 z-z 1 = z-z Ο γεωμετρικός τόπος είαι η μεσοκάθετος του τμήματος ΑΒ με Α( ) και Β( ). z-z 1 + z-z =α, με α>0 Ο γεωμετρικός τόπος είαι έλλειψη με εστίες Ε 1 ( ),E( ) και σταθερό άθροισμα α. z-z 1 - z-z =α,α>0 Ο γεωμετρικός τόπος είαι υπερβολή με εστίες Ε 1 ( ), E( ) και σταθερή διαφορά α.

15 ΜΕΓΙΣΤΟ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΤΟΥ z ΚΑΙ ΤΟΥ z 1 z Έστω Μ, Μ 1, Μ οι εικόες τω μιγαδικώ z 1, z, z 3 στο μιγαδικό επίπεδο. Για α βρούμε το μέγιστο και το ελάχιστο του μέτρου του z και της διαφοράς του μέτρου z 1 - z πρέπει α γωρίζουμε τους γεωμετρικούς τόπους πάω στους οποίους βρίσκοται οι εικόες τω μιγαδικώ. Συγκεκριμέα : Α το Μ βρίσκεται σε ευθεία ε τότε: min z =d(ο,ε) 14 Α το Μ βρίσκεται σε κύκλο (Κ,ρ) τότε: min z =(ΟΑ)= (ΟΚ)-ρ max z =(ΟΒ)=(ΟΚ)+ρ A το Μ βρίσκεται στη έλλειψη C: x y + = 1,β =α γ τότε: α β min z =(OB)=(OΒ )=β max z =(OA)=(OΑ )=α

16 15 Α οι εικόες τω μιγαδικώ z 1 και z βρίσκοται ατίστοιχα στους κύκλους (Κ 1,ρ 1 ) και (Κ, ρ ) με Κ 1 Κ > ρ 1 +ρ τότε : min z 1 -z =( Κ 1 Κ )-ρ 1 -ρ max z 1 -z =( Κ 1 Κ )+ρ 1 +ρ Α οι εικόες τω μιγαδικώ z 1 και z βρίσκοται ατίστοιχα στο κύκλο (Κ, ρ) και στη ευθεία ε τότε: min z 1 -z = d(k,ε)-ρ