ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο () =, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. Η είνι συνεχής στο [, ] ως γινόμενο συνεχών συνρτήσεων Επίσης () = > γι κάθε [, ] οπότε το ζητούμενο εμδόν θ δίνετι πό το ()d. Άρ E( ) ()d Ω = = d = ( ) d = [ ] () d = d = = ( ) = + = Άρ E( Ω ) = τ.μ. Μεθοδολογί Αν η είνι συνεχής στο [, ] με () γι κάθε [, ] τότε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον κι τις ευθείες = κι = θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ: ()d.

2 Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο () = ln, τον άξον κι την ευθεί =. Επειδή μς δίνετι μόνο η μί κτκόρυφη ευθεί, η άλλη προκύπτει πό την λύση της εξίσωσης () =, δηλδή ln = =. Επομένως η δεύτερη ευθεί είνι η = κι ισχύει () γι κάθε ln ln ln () Η είνι συνεχής στο, ως λογριθμική. Συνεπώς το ζητούμενο εμδόν θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ,, διότι: [ ] [ ] E( Ω ) = () d = ln + = + ln d = =. ( ) ln d = ln ( ) d = Άρ ΕΩ ( ) = τ.μ. Μεθοδολογί Αν η είνι συνεχής στο [, ] με () γι κάθε [, ] τότε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον κι τις ευθείες = κι = θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ: [ ()] d.

3 Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της με τύπο () = + + κι τον άξον. Οι εξισώσεις των δύο κτκόρυφων ευθειών θ δίνοντι πό τις λύσεις της εξίσωσης () = οι οποίες είνι = κι =. To πρόσημο της φίνετι στον πίνκ: H είνι συνεχής στο [, ] ως πολυωνυμική κι () στο [, ]. Επομένως το ζητούμενο εμδόν θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ. E( Ω ) = ()d = ( + + )d = + + = = 9 Άρ 9 ΕΩ ( ) = τ.μ. Μεθοδολογί Αν ζητείτι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την Τότε: ον Λύνουμε την εξίσωση () = κι έστω ρίζες = κι =. C, κι τον άξον. ον Το ζητούμενο εμδόν θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ ()d ν () στο [, ] ή πό το [ ()] d ν () στο [, ], με την προϋπόθεση η ν ορίζετι στο [, ] κι ν είνι συνεχής σε υτό.

4 Πράδειγμ 4. Δίνετι η συνάρτηση () = +. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της κι τον άξον. () = + = ( + ) = =, = ή =. To πρόσημο της φίνετι στον πρκάτω πίνκ Η είνι συνεχής στο [,] ως πολυωνυμική. Το ζητούμενο εμδόν θ δίνετι πό το ολοκλήρωμ () d. Επομένως [ ] E( Ω ) = ()d + () d = ( )d + ( )d + = = =. Επομένως 7 ΕΩ ( ) = τ.μ. Μεθοδολογί Αν ζητείτι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, τον άξον κι τις ευθείες = κι =( < ) κι η δεν διτηρεί στθερό πρόσημο στο [, ] τότε, ρίσκουμε τις ρίζες,,,k της στο [, ] με < < < k κι κτσκευάζουμε πίνκ προσήμων της. Έτσι θ ισχύει: ΕΩ = + ( ) () d () d () d κ Αν ζητείτι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C, τον άξον κι δεν δίνοντι οι εξισώσεις των κτκόρυφων ευθειών, τότε το ζητούμενο εμδόν θ είνι: ΕΩ ( ) = () d + () d κ κ () d 4

5 Πράδειγμ , Δίνετι η συνάρτηση με τύπο () = +, > Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. H είνι συνεχής στο [,) (, ]. Θ εξετάσουμε τη συνέχει της στο =. Είνι: lim () = lim( + 4) = 6 = () Κι = + = = lim () lim( ) 6 () + + Επομένως lim() = lim() = () = 6, άρ η είνι συνεχής στο = άρ θ είνι + συνεχής κι στο [, ]. Επίσης ισχύουν δηλδή () > γι κάθε [,] > > > + > 6 > δηλδή () > γι κάθε [, ] Επομένως () γι κάθε [, ]. Οπότε: E ( 4)d ( )d 4 = = = 8 + = 8 τ.μ. Μεθοδολογί Αν ζητείτι το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, τον άξον κι τις ευθείες = κι =( < ) κι η λλάζει τύπο στο [, ] τότε, εξετάζουμε τη συνέχει της στο κι το πρόσημό της στ διστήμτ [, ] κι [, ]. Το ζητούμενο εμδόν τότε θ δίνετι πό: o Ω = + E( ) () d () d o 5

6 Πράδειγμ 6. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις κι g όπου () = κι g() = 7 6. Θεωρούμε συνάρτηση h() = () g(). Βρίσκουμε τ κοινά σημεί των h() = δηλδή της λύσεις =, =, =. C κι C g τ οποί δίνοντι πό τη λύση της εξίσωσης = η οποί με τη οήθει του σχήμτος Hornr μς δίνει τις Στη συνέχει ρίσκουμε το πρόσημο της h(). Οι κι g είνι συνεχείς ως πολυωνυμικές στο [, ], οπότε κι η h = ( g) θ είνι συνεχής στο [, ]. Το ζητούμενο εμδόν θ είνι: [ ] ΕΩ ( ) = h() d = h()d + h() d = ( 7 6)d ( 7 6)d + = = ( ) = τ.μ. Μεθοδολογί Αν ζητείτι ν ρεθεί το εμδόν ενός χωρίου Ω που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δύο συνεχών συνρτήσεων, g τότε ρχικά λύνουμε την h() = () g() =. Αν, με < είνι οι ρίζες της h(), τότε θ ισχύει: 6

7 E( Ω ) = h()d ν h() στο [, ] Ω = [ ] E( ) h() d ν h() στο [, ] E( Ω ) = h() d ν η h() δε διτηρεί πρόσημο στο [, ] 7

8 Πράδειγμ 7. Ν ρεθεί το εμδόν E( Ω ) του γρμμοσκισμένου χωρίου του πρκάτω σχήμτος. ( τρόποι επίλυσης) Α Τρόπος: E( Ω ) = ( ΑΒΓ ) + ( ΑΓ ) () ( ) ( E) ( ) d = ( + ) = τ.μ. () ΑΒΓ = ΟΓΒ ΟΑΒΕ = = τ.μ. () ( ΑΓ ) = ( ΟΓ Ζ ) ( ΟΑ Ζ ) = d = = ( ) = Από την () λόγω των () κι () έχουμε E( Ω ) = + = τ.μ. Β Τρόπος: Επειδή οι γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ως προς τον yy, τότε θ ισχύει: () = κι g() = είνι συμμετρικές τ.μ. E( Ω ) = ( ΑΓ ) = ( )d = = Μεθοδολογί Ότν μς έχει δοθεί σχήμ κι μέσ πό υτό ζητείτι εμδόν χωρίου, ρίσκουμε τ εμδά των επιμέρους χωρίων κι το ζητούμενο εμδόν προκύπτει πό το άθροισμ ή τη διφορά των εμδών των χωρίων υτών. 8

9 Πράδειγμ 8. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της ( ) = +, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. Η έχει πεδίο ορισμού όλο το κι είνι συνεχής σ υτό, ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων. Επιπλέον γι τη συνάρτηση ισχύει ( ) χωρίου που περικλείετι πό τη με: > γι κάθε [,] ( ) ( ) τ.μον. E = d = + d = + = +, οπότε το εμδόν του C, τον άξον κι τις ευθείες = κι =, ισούτι Μεθοδολογί Ότν γι μι συνεχή συνάρτηση, με ( ) γι κάθε [, ] το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη d. =, τότε υτό ισούτι με ( ), ζητείτι ν υπολογιστεί C, τον άξον κι τις ευθείες = κι 9

10 Πράδειγμ 9. Δίνετι η ( ) = Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, τον άξον κι τις ευθείες = κι =. Η συνάρτηση ορίζετι κι είνι συνεχής στο, ως πολυωνυμική. Η ( ) = έχει ρίζες τις = 5 κι =, οπότε το πρόσημό της δίνετι στον πρκάτω πίνκ: οπότε ( ) γι κάθε [,] κι ( ) χωρίου που περικλείετι πό τη Σχήμ) ισούτι: ( ) ( ) ( ) E = d = d d = γι κάθε [,]. Έτσι το εμδόν του C, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (λέπε = 4 τ.μον.

11 Μεθοδολογί Το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση μις συνάρτησης, τον άξον κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι = με < ισούτι με ( ) d, οπότε γι ν υπολογίσουμε το τελευτίο ρίσκουμε το πρόσημο της στο [, ] κι σπάμε το διάστημ υτό σε διστήμτ όπου η έχει στθερό πρόσημο. Έστω γι πράδειγμ ότι [, ] = [,] [,] [,, ] όπου ( ) στ [, ], [, ] κι ( ),, τότε το εμδόν θ ισούτι: ( ) ( ) ( ) ( ) E = d = d d + d στο [ ]

12 Πράδειγμ. Ν υπολογιστεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = 9 κι τον άξον. Η συνάρτηση ορίζετι κι είνι συνεχής στο ως πολυωνυμική. Βρίσκουμε σε ποι σημεί η γρφική πράστση της τέμνει τον άξον : ( ) = 9 = =± κι σχημτίζουμε τον πίνκ προσήμου της. Οπότε το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης ( ) = 9 κι τον άξον, ισούτι με: E ( Ω ) = ( 9 ) d = 9 = 6 τ.μον.

13 Μεθοδολογί Βρίσκουμε πρώτ τ σημεί που τέμνει η C τον άξον κι κτόπιν φτιάχνουμε τον πίνκ προσήμου της. Αν η γρφική πράστση μις συνεχούς συνάρτησης τέμνει τον άξον στ σημεί, κι στο διάστημ [, ] ισχύει ( ), τότε το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη C κι τον άξον, ισούτι με: ( ) d

14 Πράδειγμ. Ν ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων ( ) = + + κι g( ) = + 4. Οι συνρτήσεις, g ορίζοντι κι είνι συνεχείς στο ως πολυωνυμικές. Βρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς ( ) g( ). ( ) ( ) ( ) ( )( ) g = = = ( ) 4 = 4, οπότε ( ) g( ) ( ή ή ) πρκάτω πίνκ: = = = =. Γι το πρόσημο σχημτίζουμε τον Το εμδόν θ ισούτι με: ( ) ( ) ( ) ( ) g d = d d = = 4 6 τ.μον. Μεθοδολογί Ότν μς ζητείτι ν υπολογίσουμε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις δυο συνρτήσεων, g, χωρίς ν μς δίνοντι κτκόρυφες ευθείες, τότε ρίσκουμε τις ρίζες κι το πρόσημο της διφοράς των δυο συνρτήσεων. Τ χωρί των οποίων θ υπολογίσουμε τ εμδά είνι υτά που περικλείοντι νάμεσ στ κοινά σημεί των γρφικών πρστάσεων κι τις γρφικές πρστάσεις. Το συνολικό εμδόν ισούτι με το άθροισμ των ολοκληρωμάτων ( ) ( ) διφοράς ( ) g( ). ρ g d γι όλες τις διδοχικές ρίζες ρ, ρ της ρ 4

15 ΘΕΜΑ Γ Πράδειγμ. Δίνετι ο μιγδικός z γι τον οποίο ισχύει z 4 = z κι η συνάρτηση )Ν ρείτε το μέτρο του z κι τον τύπο της συνάρτησης. () = z. )Ν δείξετε ότι οι εικόνες του μιγδικού w ν w = 4 λ+ (6λ )i, όπου λ, κινούντι σε ευθεί η οποί είνι η εφπτομένη της C στο σημείο της A(, ). γ)n ρείτε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της, την εφπτομένη της στο A(, ) κι τον άξον. ) z 4 = z z 4 = 4 z (z 4)(z 4) = 4(z )(z ) zz 4z 4z + 6 = 4zz 4z 4z + 4 zz = 4 z = 4 z = Επομένως ο τύπος της είνι: () = ) Έστω M(, y) η εικόν του w. Θ έχουμε: = 4λ κι y = 6λ πό όπου προκύπτει: y = 4 Δηλδή η εικόν του w ρίσκετι στην ευθεί (ε): y = 4 Έχουμε: () = κι ' () = 4, άρ ' () = 4, οπότε η ευθεί (ε): y = 4 () εφάπτετι της C στο σημείο A(, ). γ) Βρίσκουμε το σημείο στο οποίο τέμνει η (ε) τον. Η () γι y= δίνει = δηλδή η (ε) τέμνει τον στο σημείο B,. 5

16 Το ζητούμενο εμδόν είνι: Ε( Ω ) = ( ΟΓΑΟ) ( ΒΑΓ ) = = 6 ()d = ( )d = = Άρ το εμδόν του χωρίου Ω είνι ΕΩ ( ) = τ.μ. 6 Μεθοδολογί Αν ζητείτι ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C κι την εφπτομένης της σε έν σημείο της, σχεδιάζουμε τις δύο γρφικές πρστάσεις κι στη συνέχει υπολογίζουμε το εμδόν του ζητούμενου χωρίου μέσω του θροίσμτος ή της διφοράς των εμδών των επιμέρους χωρίων τ οποί προκύπτουν. 6

17 Πράδειγμ. Θεωρούμε τη συνάρτηση () = κι έστω ε η εφπτομένη της C στο σημείο A ( 9, ). Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη ευθεί ε. C, τον άξον κι την Το πεδίο ορισμού της είνι το διάστημ [,+ ) κι είνι συνεχής σ υτό. Βρίσκουμε πρώτ την εξίσωση της εφπτομένης. Είνι () =, >, άρ ( 9) =, οπότε η εξίσωση της εφπτομένης της C στο 6 σημείο A( 9, ) είνι η εξής: y = ( 9), άρ 6 ε :y= + 6 Το χωρίο που περικλείετι πό τη C, τον άξον κι την ευθεί ε, ποτελείτι πό δυο χωρί Ω κι Ω. (λέπε Σχήμ). Το χωρίο Ω είνι το τρίγωνο ΟΒΓ κι έχει εμδόν: 7 E 9 4 Γ, ). ( Ω ) = = τ.μον. (φού η ευθεί ε, τέμνει τους άξονες στ σημεί ( 9,) Το χωρίο Ω που περικλείετι πό την ευθεί ε, τη κι = 9 έχει εμδόν: Β κι C κι τις κτκόρυφες ευθείες = 7

18 9 9 E( Ω ) = d + = + = τ.μον (Στον προηγούμενο υπολογισμό χρησιμοποιήσμε το γεγονός ότι η είνι κοίλη, άρ η εφπτομένη ε ρίσκετι «πάνω» πό τη C.) Άρ το συνολικό εμδόν είνι 7 9 E= + = 9 τ.μον. 4 4 Μεθοδολογί Ότν μς ζητείτι το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση μις συνάρτησης, την εφπτομένη της ε σε έν σημείο της κι τον άξον, τότε θ πρέπει ν σχεδιάσουμε τη C κι την εφπτομένη ε, κι ν χωρίσουμε το χωρίο σε δυο μέρη, πό τ οποί το έν είνι συνήθως τρίγωνο. Στο άλλο μέρος, δηλδή στο χωρίο που περικλείετι πό τη C, την εφπτομένη ε κι δυο κτκόρυφες ευθείες το εμδόν υπολογίζετι με έν ορισμένο ολοκλήρωμ. Γι το τελευτίο είνι σημντικό ν ξέρουμε το πρόσημο της διφοράς της με την ευθεί. Σ υτό μς οηθάει ν γνωρίζουμε ν η είνι κυρτή οπότε η C είνι «πάνω» πό την εφπτομένη ή κοίλη οπότε η C είνι «κάτω» πό την εφπτομένη. 8

19 Πράδειγμ. π Θεωρούμε την εφπτομένη ε της ( ) = συν στο σημείο A,. Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, την ευθεί ε κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι = π. Η συνάρτηση ορίζετι κι είνι συνεχής σε όλο το. π Το σημείο A, είνι σημείο κμπής γι τη τον πρκάτω πίνκ C στο [, π ], φού ( ) = συν κι πό π π προκύπτει ότι η είνι κοίλη στο, κι κυρτή στο, π κι ορίζει εξίσωση π εφπτομένης στο =. π Επίσης ( ) = ηµ, άρ π =, οπότε η εξίσωση της εφπτομένης στο A, είνι: π y = ή π ε :y= +. π Η ε είνι «πάνω» πό τη C στο,, γιτί εκεί η είνι κοίλη κι «κάτω» πό τη C στο π, π γιτί εκεί η είνι κυρτή. (λέπε Σχήμ) 9

20 Επομένως το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη κτκόρυφες ευθείες = κι = π ισούτι με: C, την ευθεί ε κι τις π π π π π π π E = + συν d + d συν + = + ηµ + ηµ = π π π π 4 τ.μον. Μεθοδολογί Ότν ζητείτι το εμδόν ενός χωρίου που περικλείετι νάμεσ στη γρφική πράστση μις συνάρτησης κι στην εφπτομένη της σε έν σημείο Α, τότε μελετάμε τη συνάρτηση ως προς την κυρτότητ. Αν επιπλέον το σημείο Α είνι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης, τότε ως γνωστόν η εφπτομένη «διπερνά» τη C, το οποίο σημίνει ότι ριστερά του σημείου κμπής η εφπτομένη είνι «πάνω» πό τη C κι δεξιά «κάτω» ή ντίστροφ. ( ), είνι Σ.Κ. της,,, τότε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, την εφπτομένη ε :y=λ +κ στο Έτσι γι την πρώτη περίπτωση ν το ( ) ( ( ) ), κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι = ισούτι με: ( ( )) ( ( ) ). E = λ +κ d + λ κ d C στο [ ] κι ( )

21 Πράδειγμ 4. Δίνοντι οι πργωγίσιμες συνρτήσεις,g με ( ) ( ) = g + γι κάθε κι ( ) =, g( ) =. Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C, κι ευθείες = κι =. C g Οι συνρτήσεις, g είνι πργωγίσιμες, άρ κι συνεχείς στο, οπότε κι η συνάρτηση g είνι συνεχής στο, ως διφορά συνεχών συνρτήσεων. Ισχύει ( ) = ( ) + ( ) ( ) = ( ) g g, οπότε σύμφων με γνωστό πόρισμ, θ υπάρχει πργμτική στθερά c, τέτοι ώστε : ( ) g( ) = + c, γι κάθε. Γι = η προηγούμενη σχέση γίνετι: ( ) g ( ) = + c c=, άρ ( ) g( ) Επίσης στο [,] περικλείετι πό τις κι C, =, γι κάθε. στο [, ], οπότε το εμδόν του χωρίου που C g κι ευθείες = κι = ισούτι με E = ( ) g ( ) d = d + d = 4 + = 4 4 τ.μον. Μεθοδολογί Ότν μς δίνετι μι σχέση της μορφής ( ) = g ( ) + h( ) γι κάθε (, ), g, h συνεχείς συνρτήσεις στο [,, ] τότε τη μετσχημτίζουμε ως εξής:, όπου, όπου H μι ρχική συνάρτηση της h, οπότε σύμφων με γνωστό ( ) g( ) = H( ) πόρισμ υπάρχει μι πργμτική στθερά c : ( ) g( ) = H( ) + c γι κάθε [, ] Τέλος το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις ισούτι με ( ) ( ) ( ). E = g d = H + c d C,. C g κι ευθείες = κι =

22 Πράδειγμ 5. Δίνετι η συνάρτηση ( ) =. i. Ν ποδείξετε ότι η εφπτομένη ε της C στο σημείο A (, ) έχει εξίσωση y ii. Ν ρείτε το εμδόν E ( λ ) του χωρίου που περικλείετι πό τη άξον κι την ευθεί = λ με λ<. iii. Ν ρείτε το lim E ( ) λ λ. =. C, την ευθεί ε, τον Η συνάρτηση ορίζετι κι είνι συνεχής κι πργωγίσιμη σε όλο το. = =, οπότε ( ) i. ( ) ( ) y = ( ) y= = κι η εξίσωση της εφπτομένης είνι: ii. Το χωρίο που περικλείετι πό τη C, την εφπτομένη ε, τον άξον κι την ευθεί = λ με λ<, χωρίζετι στο χωρίο Ω που περικλείετι πό τη C, τον άξον κι τις κτκόρυφες ευθείες = λ κι =, κι στο χωρίο Ω που περικλείετι πό τη C, την εφπτομένη ε κι τις κτκόρυφες ευθείες = κι =. (λέπε Σχήμ) Επίσης ισχύει ( ) εμδόν ισούτι: > γι κάθε κι η είνι κυρτή, άρ «πάνω» πό την ε, οπότε το

23 E E E d d λ λ ( λ ) = ( Ω ) + ( Ω ) = + ( ) = + = λ τ.μον. λ lim E λ = lim =, λ iii. ( ) λ λ φού lim =. λ Ημερομηνί τροποποίησης: 5/9/