Висока техничка школа струковних студија Београд Математика 2 Вероватноћа предавач: др Мићо Милетић

Transcript

1 1. Поток воде. а) Водоводна међа између гадова А и В шематски је пиказана на сликама 1, 2, 3 и 4. Сваки квадант педставља неки елемент, а бој у кваданту веоватноћу кваа тог апаата. Кваови азличитих елемената су независни. Ако је апаат у квау, коз њега не потиче вода. Одедити веоватноћу поласка воде коз межу. (Ова и сличне ваијанте задатка се могу пименити на поток електичне стује коз електично коло, где кваданти педстављају пекидаче, или се може пименти на поузданост неког система итд). I 1 0,1 I 1 0,1 0,1 А I 2 0,3 0,2 В А В I 3 0,2 0,1 0,2 I 2 I 4 0,4 0,2 Слика 1. Слика 2. А I 1 I 2 0,25 0,25 В А В 0,25 Слика 3. 0,25 Слика 4. б). Дата је следеће схема: Х а Полаз /а/ је отвоен са веоватноћом. Полаз /b/ је са веоватноћом 1 отвоен ако је полаз /а / отвоен, а са веоватноћом 1 отвоен ако је полаз /а / затвоен. Полаз /с / је независно од полаза /а / и /b/ отвоен са веоватноћом. Одедити веоватноћу да се из Х стигне у У. c b У У задацима су дате шеме елемената, које чине уеђај са једним улазом и једним излазом. Петпоставка је да су откази елемената независни једни од дугих. Отказ било ког елемента поузокује отказ сигнала те гане у којој се налази дати елемент. Веоватноће отказа елемената 1, 2, 3, 4, 5 су едом једнаке q 1 =0,1; q 2 =0,2; q 3 =0,3; q 4 =0,4; q 5 =0,5 q 6 =0,6. Одеди веоватноћу, да сигнал пође коз уеђај од улаза до излаза, чија је шема дата. 1

2 2.8 2

3 3

4 4

5 3. У једној гупи студената има а-одличних, b-посечних и с-слабих. Одличан студент на педстојећем испиту добија једино одличну оцену; посечан студент са једнаком веоватноћом добија одличну или добу оцену; слаб студент са једнаким веоватноћама добија, добу, задовољавајућу или слабу оцену. а) На испиту се случајно позива студент. Наћи веоватноћу да он добије добу или одличну оцену. б) На испиту се случајно позивају два студента. Наћи веоватноћу да од њих један добије добу оцену, а један задовољавајућу оцену. 4. У кутији се налазе ти куглице од којих свака може бити бела или цна. Све петпоставке о боји куглица су једнаковеоватне. Из кутије се четии пута извлаче по једна куглица тако што се извучена куглица ваћа у кутију пе следећег извлачења. Једном је извучена куглица цне боје, а ти пута куглица беле боје. Одеди апостеионе веоватноће о боји куглица у кутији. 5. Да би сте добили нагаду, теба да одигате ти патије стоног тениса са шампионом (Ш) и слабим игачем (С) по једној од шема: Ш С Ш или С Ш С. Нагаду добијате ако победите две патије узастопце. Какву бисте статегију изабали: Ш С Ш или С Ш С? 6. Педузеће у једној смени поизведе атикала једне всте. Веоватноћа да је атикал дефектан износи 0,05; дефектност једног атикла не зависи од дефектности дугих атикала. по завшетку смене, атикли се контолишу, пи чему се сви дефектни атикли, и само они, стављају у складиште К. За колики бој атикала теба напавити складиште да би се веоватноћа да оно после контоле нијењ испуњено износила 0,99? 7. Купац је купио 15 сијалица и то: 7 сијалица од 40 свећа, 5 сијалица од 60 свећа и 3 сијалице од 100 свећа. Успут је азбио 3 сијалице. Наћи веоватноћу да те ти сијалице укупно имају 180 свећа. 8. У једној фабици 25% атикала се поизводи на машини А, 35% на машини В и 40% на машинис, од којих је 5%, 4%, 2% неиспавно, тим едом. а) Изачунати веоватноћу да је случајно изабани атикал неиспаван. б) Ако је случајно изабани атикал неиспаван, изачунати веоватноћу да је поизведен на машини А. 9. У кутији се налази 15 тениских лопти, од којих је 9 нових. За пву игу се на случајан начин биају 3 лопте из кутије и после иге се ваћају натаг у кутију. За дугу игу такође на случајан начин биамо 3 лопте из кутије. наћи веоватноћу да ће две лопте које су узете за дугу игу бити нове. 10. Две машине поизводе атикле исте всте. Веоватноћа да атикал буде пве класе износи 0,92 за пву машину, а 0,80 за дугу машину. Сви поизведени атикли се налазе у истом складишту и нису сотиани пема машини на којој су поизведени. Познато је да пва машина поизводи ти пута више него дуга машина. Одедити веоватноћу да међу пет случајно изабаних атикала (са ваћањем) из складишта, буде тачно два атикла пве класе. 11. У кутији су ти новчића од којих су два номална, а тећи је искован тако да на обе стане има писмо. Случајно се узима један новчић и баца 4 пута. Наћи веоватноћу да је узет номалан новчић, ако је у сва четии бацања пало писмо. 12. Игачи А и В имају подједнаке шансе да освоје бод. Побеђује онај који пви освоји 6 бодова. Пи стању 4:2 за игача А одедити веоватноћу да ће он и да победи. Одедити веоватноћу да, пи таквом стању бодова победи игач В. (ово је један облика задатка италијанског математичаа Луке Пачолија, 15. век) 13. Два лица А и В се се договоили да се сетну на одеђеном месту између 12 и 13 часова. Пви који дође чека дугог 20 минута и ако дуги не дође - одлази. Одедити веоватноћу сусета лица А и В, ако су њихови доласци на место сусета независни. 5

6 14. У свакој патији између игача А и В А побеђује са веоватноћом, а губи са веоватноћом q ( p + q = 1). Ига таје све док игач А не добије m патија (тада је А победник), или док не изгуби n патија (тада је В победник. Наћи веоватноћу да је игач А победник. 15. Ига се састоји у следећем: неки апаат за игу, када се икључи, може да избаци сваки бој 1 e k {0,1, 2,...} са веоватноћом p( k) =. Ако избаци паан бој, игач добије 1 дина, ако k! избаци непаан бој, игач губи 1 дина. Одедити асподелу случајне поменљиве. 16. Телегафска саопштења се састоје од сигнала тачка и цта. Познато је да је међу педаним сигналима однос тачака и цта 5:3. Такође је познато да су статистичка својства сметњи таква да мењају смисао у седњем 2/5 саопштења тачка и 1/3 саопштења цте. Одедити веоватноћу тога да је пимљен педати сигнал, ако је: а) пимљен сигнал тачка б) пимљен сигнал цта. 17. Имамо 8 кутија. У свакој је а куглица од којих је b белих. Из пве кутије на случајан начин биамо куглицу и пебацујемо у дугу кутију, затим из дуге на случајан начин биамо куглицу и пебацујемо у тећу и тако едом. Колика је веоватноћа да после таквог пебацивања из осме кутије извучемо белу куглицу? 18. У кутији имамо k - белих, l - цних и m - цвених куглица, које извлачимо на случајан начин по једну и то: а) без ваћања б) са ваћањем. Одедити у оба случаја веоватноћу да бела куглица буде извучена пе цне. 19. Случајан догађај А се са истом веоватноћом може еализовати у сваком моменту вемена ( 0, T ). Веоватноћа да се догађај А еализује за тај интевал је једнака. Познато је да се за веме t T догађај А није ализовао. Одедити веоватноћу да се А еализује за пеостало веме до момента Т. 20. Ти стелца независно један од дугог гађају у циљ, погађајући са веоватноћама 4/5, 3/4, и 2/3 еспективно. Сва тојица су гађала истовемено, пи чему је егистован 1 погодаак и 2 помашаја. Наћи веоватноћу да је тећи селац помашио. 21. Подавац односи обу на четии пијаце у гаду: А, В, С, D са истим веоватноћама. Веоватноћа да ће асподати сву обу на пијаци на коју је обу однео зависи од тенутне понуде и потажње и износи за пијацу А 0, 6; за пијацу В 0,65; за пијцу С 0,75; и за пијацу D 0,75. Наћи веоватноћу да је обу подавао на пијаци А, ако се зна да је није сву асподао. 22. Нека се на адиолокационој станици РЛС - адау, једнаковеоватно могу егистовати или шум (нема циља), или појава сигнала са шумом (има циља). Познато је да се ада РЛС појавом шума може погешити и егистовати циљ са веоватноћом 0.1; а да пи појави сигнала са шумом павилно егистујемо циљ са веоватноћом 0.7. Нека је ада егистовао циљ. Колика је веоватноћа да ада није погешио? 23. У гупи од 30 студената има једнак бој одличних, влодобих и добих студената. Одличан студент на испиту обавезно добија оцену 10; вло доба једнаковеоватно 10 или 9; а доба једнаковеоватно 9, 8 или 7. Нови педавач случајно биа студента. Која је веоватноћа, да ће студент добити 9 или 10? 24. У гупи од 30 студентов има једнак бој одличних, влодобих и добих студената.. Одличан студент на испиту обавезно добија оцену 10; вло доба једнаковеоватно 10 или 9; а доба једнаковеоватно 9, 8 или 7. Нови педавач случајно биа студента., и студент добија оцену 9. Која је веоватноћа, да је то студент из подгупе добих студената? 6

7 25. Од слова азбуке (која су на засебним катицама) састављена је еч АНАНАС. Дете азбацује слова ечи, а затим их на случајан начин спаја. Која је веоватноћа да ће дете поново добити исту еч? 26. Радник на машини поизводи са веоватноћом 0.9 испавне поизводе и са веоватноћом 0.09 поизводе са отклоњивом гешком. Радник је поизвео 5 поизвода. Колика је веоватноћа да међу њима буде 4 испавна и један са отклоњивом гешком, а да не буде поизвода са нетклоњивом гешком? 27. Аутобус гадског саобаћаја бој 15 полази сваких 5 минута. Сматајући да је случајна поменљива Х веме чекања аутобуса на станици аспоеђено авномено, на датом интевалу, одеди седње веме чекања, диспезију вемена чекања и изачунај веоватноћу да ће веме чекања пемашити 3 минута. 28. Скала ампемета је подељена на једнаке делове по 0,4А. Пиликом очитавања ведности заокужујемо на ближу целу ведност. Одеди веоватноћу да пиликом очитавања ведности стује на ампемету не напавимо гешеку већу од 0,02а. 29. Вештачки сателит можемо видети (када није облачно) над неким местом са веоватноћом p = 0, 1 (када нема облачности) сваки пут, када сателит пелети дато место. Колико пута теба да пелети сателит над местом посматања да би са веоватноћом не мањом од 0,9975 могли видети сателит више од четии пута? 30. Мајка је дала Аци 3 баклаве и 2 тулумбе, а Пеи 4 баклаве и 4 тулумбе и изашла из кухиње. Аца је згабио 2 колача из Пеиног тањиа и ставио у свој тањи. Пеа је онда из Ациног тањиа узео један колач (не обавезно свој). Када се мајка ватила, за казну је из Ациног тањиа појела један колач. Колика је веоватноћа да је мајка појела баклаву? 31. Аутобус гадског саобаћаја бој 15 полази сваких 5 минута. Сматајући да је случајна поменљива Х веме чекања аутобуса на станици аспоеђено авномено, на датом интевалу, одеди седње веме чекања, диспезију вемена чекања и изачунај веоватноћу да ће веме чекања пемашити 3 минута. 32. Ти испитивача из неког педмета испитују гупу од 30 студената и то пви испитивач испитује 6 студената, дуги испитивач 3 студента, а тећи испитивач 21 студента (избо студената је случајан). Однос испитивача пема студентима који су слабо спемили испит је азличит: шансе да слабо пипемљени студент положи испит код пвог испитивача су 40%, код дугог, свега 10%, а код тећег испитивача, 70%. Одедити веоватноћу да слабо пипемљен студент положи испит. 33. У великој екламној компанији 21 % адника има велику плату. Познато је такође да су 40 % адника компаније жене, а 6,4 % адника жена, има велику зааду - плату. Може ли се твдити да у компанији постоји дискиминација жена пиликом плаћања заада 34. Веоватноћа да потошач уочи екламу одеђеног поизвода на телевизији је једнака 0,06. Веоватноћа да потошач уочи екламу на билбоду је 0,08. Петпоставка је да су оба догађаја независна. Одедити веоватноћу да потошач уочи: а) обе екламе; б) ба једну екламу. 35. На благајни позоишта у једном тенутку је остало: 1 ката педставу балета, 2 кате за дамску педставу и 3 кате за комедију. Сваки едован купац купује једну кату за педставу са једнаким веоватноћама. Два човека купују кате један за дугим. Одеди веоватноће следећих догађаја: 1) А = «купљене су кате за азличите педставе»; 2) В = «купљене су кате за једну педставу»; 3) С = «све кате за балет су асподане»; 4) D = «ката за комедију је купљена пе (аније) од кате за балет» 7

8 36. Студент излази на испит и зна од 30 питања само 24. Испитивач задаје ти питања. Испит је положен ако се одговои ба на два питања од ти задата. Колика је веоватноћа да ће студент положити испит. 37. Са покетањем ачунаа 20% поблема је повезано са гешкама компаније Microsoft, и у једном од 50 случајева је потебно сушити систем, 35% поблема са покетањем ачунаа је повезано са утицајем виуса, а ушење система у том случају се дешава једном од 20 случајева. У осталим случајевима поблеми настају непавилним коишћењем коисника ачунаа, а ушење система је тада једно у 30 случајева. Ваш ачуна је немогуће покенути. Колика је веоватноћа да је кив Microsoft и да ће вам се Бил Гејтс извинути? 38. Шахисти. Двојица шахиста су се договоила да одигају меч по следећим условима: Победник ће бити шахиста А, ако освоји 12, односно шахиста В ако освоји 6 поена (пи чему се ачунају само патије које нису завшене поделом поена). Веоватноћа да у једној патији победи шахиста А једнака је 2/3. Меч је пекинут пи езултату 8:4 за шахисту А, и не може бити настављен. Како теба поделити нагадни фонд? 39. Уна Poly-a. У уни се налази n1 бела и n2 цне куглице. На случајан начин се биа једна куглица. Ако је беле боје, ваћа се у уну, а ако је цне боје, уместо ње се у кутију ставља а белих куглица. Која је веоватноћа да ћемо у дугом (односно тећем) извлачењу изабати белу куглицу? 40. Лапласов закон наслеђивања. Имамо M + 1 кутију нумеисану од 0 до M, пи чему се у кутији са бојем k налази k белих и M k цних куглица. Експеимент се састоји у томе да на случајан начин изабеемо једну кутију, па да затим из те кутије биамо по једну куглицу (са ваћањем). а) Која је веоватноћа да у пвих n извлачења добијемо увек белу куглицу? Шта је ганична ведност те веоватноће када M? б) Ако смо у пвих n извлачења добили сваки пут белу куглицу, која је веоватноћа да ћемо и у следећем извлачењу изабати белу куглицу. Шта је ганична ведност те веоватноће када M? 41. Банахов поблем са шибицама. Да би запалио цигаету пушач је узимао случајно из џепа, у коме је имао две кутије шибица, једну од кутија. После извесног вемена пиметио је да у једној од кутија нема више палидваца. Наћи веоватноћу да је тада у дугој било k палидваца, ако се зна да је на почетку у свакој кутији било по n палидваца. 42. Поблеми де Мееа. а) Штаје веоватније пи бацању ти коцке: да се добије зби 11 или да се добије зби 12? б) Паадокс де Мееа. Шта је веоватније: да се у четии бацања једне коцке ба једном појави шестица или да се у 24 бацања две коцке ба једном појаве две шестице? 43. Поблем Џона Смита. Да ли су једнаке шансе за успех код тојице људи који бацају коцку, ако је пвом потебно да добије ба једну шестицу од шест бацања, дугом ба две шестице од 12 бацања, а тећем ба ти шестице од 18 бацања? 44. Лутија. Подавац има n лозова, од којих m ( m < n) са добитком. У току недеље је n лица случајно биало један лоз. Да ли су исте шансе за добитак за сваког од њих? Кад је најпогодније купити лоз: уочи извлачења или чим су пуштени у подају? 45. Бифонов поблем. У авни су нацтане паалелне паве на међусобном одстојању 2a. Игла дужине 2l баца се на аван. Одеди веоватноћу да ће игла песећи једну од павих ако је l < a. 46. На ивици повалије. На ивици повалије стоји пијаница, који са веоватноћом p чини један коак напед (и упада у повалију), а са веоватноћом 1 p чини коак уназад (ка сигуности). Одедити веоватноћу да он неће упасти у повалију. 8

9 47. Тачку случајно бацамо на сегмент [0; 2]. Одедити веоватноћу да ће тачка пасти на сегмент [0,5; 1,4]. 48. Нека је X : P(5), обележје са Поасоновом асподелом чији је паамета λ = 5. Изачунати P{ X = 2 }, P{ X = 5}, P{ X < 3}, P{ X > 4}. 49. Телефонска центала опслужује 1000 коисника. Веоватноћа да један коисник позвони у току једног сата је 0,005. Наћи веоватноћу да ће у току једног сата позвонити 4 коисника, као и то да неће позвонити више од 20 њих. 50. Рецепција хотела пима у посеку два телефонска позива на час. Изачунати веоватноћу да ће бити 0, 1, 2, 3, 4 позива током једног часа. 51. Телефонска центала посечно добија 90 позива на сат. Телефонисткиња у току једног минута не може да пими све позиве. Наћи веоватноћу да за то веме неће бити више од два позива. 52. У неком посматаном пеиоду вемена је посечно 6 погешних повезивања помоћу телефонске центале. Наћи веоватноћу да неће бити више од два повезивања. 53. Посечно је 1% у сеији атикала дефектно. Наћи веоватноћу да од 200 испитиваних атикала не буде ниједан дефектан. 54. Коектуа у 1000 станица саджи 1000 гешака. Наћи веоватноћу да су на једној станици ба ти гешке. 55. Игамо кате са непознатим потивником.ига се тако сто се извлаце кате из комплета од 32 кате и пи том потивник увек пви извлаци кату.веоватноца да нам је потивник ваалица износи 0.1 и ако је ваалица,веоватноца да извуце кеца је а) ако је потивник у пвој патији извукао кеца (најјацу кату) одедити веоватноцу да је ваалица б) ако је потивник и у дугој патији извукао кеца,одедити веоватноцу да је ваалица 56. Веоватноћа да ће стелац погодити мету када је ветовито је 0.4; када није ветовито, његова веоватноћа погађања мете је 0.7. Код сваког гађања, веоватноћа изненадног удаа вета је 0.3. Понађите веововатноћу да: а) За дато гађање, дође до удаа вета и он погоди мету. б) Он погоди мету у пвом гађању. в) Он погоди мету тачно једном у два гађања. г) Није било налета вета у случају када је помашио 57. Један машински елемент се поизводи у ти сеије од по 20 комада. У пвој сеији је 15, у дугој 18 и тећој 16 испавних комада. На случајан начин се биа сеија И из ње један елемент. Показало се да је он испаван. Затим се извучени елемент ваћа у сеију из које је извучен и из те сеије се поново на случајан начин биа један елемент. Колика је веоватноћа да је он испаван? 58. У копи се налази 8 тениских лоптица, од којих су 4 нове. За пву патију се на случајан начин биају ти лопте које се после иге ваћају у копу, па се за дугу патију поново на случајан начин биају ти лопте. Колика је веоватноћа да се дуга патија ига само новим лоптама? 59. У једној згади станује пет поодица са по једним дететом, ти поодице са по тоје деце и две поодице са по петоо деце. Ради анкетиања, на случајан начин биају се ти поодице. Одедити веоватноћу да мака две изабане поодице имају исти бој деце. 60. Баца се коцка. Ако се на коцки појави 1 или 6 тачака узима се куглица из пве кутије, у супотном се узима куглица из дуге кутије. Пва кутија саджи 8 белих и 3 цне куглице, а дуга 5 белих и 4 цне куглице. Колика је веоватноћа да извучена куглица буде бела? 9

10 Одедити веоватноћу да у поодици која има (n) деце буде: а) (m) дечака; б) не мање од (p) дечака Ваианта n m p Дате су густине асподеле p(x) случајне поменљиве Х. Одеди паамета γ, математичко очекивање МХ, диспезију DX, функцију асподеле случајне поменљиве Х, веоватноћу да је x 1 <Х<x 2 ако је: 1, x [ a, b] a, x [ γ, b] Ваијанте 1-8: p(x) = γ - a, Ваијанте 9-16: p(x) = 0, x [ a, b] 0, x [ γ, b] [ ] γ, x a, b Ваијанте 17-24: p(x) = Ваијанте 25-30: 0, x [ a, b] b γ b + γ a, x, 2 2 p(x) = b γ b + γ 0, x, 2 2 Ваијанта a 2,5 1,5 1, , b 4 3 2,5 3, ,5 1,8 2,4 3,5 x ,7-1, ,3 1,5 2,5 x 2 3,3 2,6 2,3 2,8 1,1 0, ,6 2 3 Ваијанта a b 2,8 2,8 2,6 3 4, ,5 1,5 x 1 2,1-1 1,5 1 4, x 2 2, ,5 1 Ваијанта a -1,5-1,5 0,5 0,2 0,5 0,4 ¼ 0,02 b x x , На основу датог закона асподеле случајне поменљиве, одеди математичко очекивање и диспезију случајне поменљиве: k k n k ваијанте 1-10: Биномна асподела P ( X = k) = Cn p (1 p), 0 < p < 1, k = 0,1, K, n. Ваијанта n p 0,37 0,28 0,53 0,46 0,18 0,67 0,32 0,87 0,25 0,41 a k a a ваијанте 11-20: Пуасонова асподела P ( X = k) = e, k! a > 0, k = 0,1,2, K Ваијанта n p a 0,026 0,38 0,033 0,218 0,65 0,816 0,74 0,015 0,671 0,324 10