Στάσιμα Κύματα. Εξίσωση κύματος που διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα xox :

Transcript

1 Στάσιμα Κύματα Εξίσωση κύματος που διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα xox : y 1 = Aημ2π( t x ) Εξίσωση κύματος που διαδίδεται προς την αρνητική φορά του άξονα xox : y 2 = Aημ2π( t + x ) Η συμβοή των δύο προηγούμενων κυμάτων δημιουργεί στάσιμο κύμα με εξίσωση: y = 2Aσυν 2πx ημ 2πt Τ Α = 2Α συν 2πx (πάτος ταάντωσης κάθε υικού σημείου του μέσου) Παρατηρούμε ότι το πάτος ταάντωσης του κάθε σημείου εξαρτάται ΜΟΝΟ από τη θέση x του σημείου. Την απόυτη τιμή τη χρησιμοποιούμε μόνο όταν βρίσκουμε το πάτος ξεχωριστά και όχι όταν γράφουμε χρονική εξίσωση (σε χρονική εξίσωση μπορεί να προκύψει και αρνητικό πρόσημο). Το σημείο Ο (x=0) δεν είναι η πηγή παραγωγής κυμάτων, απά είναι το σημείο που τη χρονική στιγμή t=0 τα δύο κύματα συμβάουν στο Ο και αποτεεί την αρχή μέτρησης των αποστάσεων. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 1

2 Κάθε σημείο του μέσου εκτεεί μία απή αρμονική ταάντωση που έχει την ίδια συχνότητα με αυτή των δύο επιμέρους κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα, αά διαφορετικό πάτος ταάντωσης το οποίο κυμαίνεται από 0 έως 2Α. Χρονική εξίσωση ταχύτητας σημείου: υ = υ max συν 2πt ή υ = ωα συν 2πt ή υ = ω2ασυν 2πx 2πt συν Χρονική εξίσωση επιτάχυνσης σημείου: α = α max ημ 2πt ή α = ω2 Α ημ 2πt ή α = ω2 2Ασυν 2πx 2πt ημ Περιπτώσεις πάτους ταάντωσης 1. Ορισμένα σημεία του άξονα xox εκτεούν ταάντωση με το μέγιστο δυνατό πάτος 2Α και ονομάζονται κοιίες. Για τα σημεία αυτά ισχύει ότι: Α = 2Α 2Α συν 2πx = 2Α συν 2πx = 1 συν 2πx = ±1 2πx = κπ x = k 2 με κ = 0, 1, 2, 3 Συνεπώς κοιίες είναι όα τα σημεία που απέχουν από το Ο απόσταση ίση με ακέραιο ποαπάσιο του μισού μήκους κύματος, όπως επίσης 2 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 2

3 κοιία είναι και το ίδιο το σημείο Ο, καθώς αν θέσουμε κ=0, προκύπτει χ=0. Ακόμη, η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιιών είναι /2. 2. Ορισμένα σημεία του άξονα xox παραμένουν συνεχώς ακίνητα και ονομάζονται δεσμοί του στάσιμου κύματος. Για τα σημεία αυτά ισχύει ότι: Α = 0 2Α συν 2πx = 0 συν 2πx = 0 2πx = (2κ + 1) π 2 x = (2κ + 1) 4 με κ = 0, 1, 2, 3 Συνεπώς δεσμοί είναι τα σημεία που απέχουν από το Ο αποστάσεις που είναι ίσες με περιττά ποαπάσια της ποσότητας 4. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών ισούται με 2. Η απόσταση μεταξύ ενός δεσμού και της πησιέστερης κοιίας (της επόμενης ή της προηγούμενης) είναι Όα τα υπόοιπα σημεία του άξονα που δεν είναι ούτε κοιίες, ούτε δεσμοί, δηαδή οι θέσεις τους στον άξονα xox δεν ικανοποιούν ούτε τη σχέση x = k 2, ούτε τη σχέση x = (2κ + 1) 4 αντίστοιχα, εκτεούν τααντώσεις με πάτος 0 < Α < 2Α, το οποίο καθορίζεται από τη θέση x. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 3

4 Προσοχή: Η 1 η κοιία είναι αυτή με κ=0, η 2 η κοιία αυτή με κ=1 κτ. Όμως η 1 η κοιία μετά το Ο είναι η κοιία με κ=1. Φάση και διαφορά φάσης σημείων του άξονα xox Η φάση των σημείων του στάσιμου κύματος δίνεται από τη σχέση: φ = 2πt 2πt = ωt ή φ = + π = ωt + π Είναι προφανές ότι η διαφορά φάσης μεταξύ δύο σημείων του στάσιμου κύματος θα είναι 0 ή π (τίποτα άο!!). Αν 2Ασυν 2πx 2πx > 0, τότε y = 2Aσυν 2πt ημ Aν 2Ασυν 2πx 2πx 2πt < 0, τότε y = 2A συν ημ y = 2A συν 2πx ημ(2πt + π) Όα τα σημεία, εκτός των δεσμών, διέρχονται ταυτόχρονα από τις θέσεις ισορροπίας τους και φτάνουν ταυτόχρονα στις ακραίες τους Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 4

5 θέσεις. (Πού απά, όα τα σημεία κάνουν την «ίδια κίνηση», αά με διαφορετικό πάτος ταάντωσης, ταχύτητα και επιτάχυνση). Δφ = 0, παρουσιάζουν δύο σημεία που διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους και φτάνουν ταυτόχρονα στις μέγιστες θετικές ή αρνητικές απομακρύνσεις τους (εκτεούν ακριβώς την «ίδια ταάντωση»). Μεταξύ των σημείων αυτών μεσοαβεί άρτιο πήθος δεσμών. Δφ = π rad, παρουσιάζουν δύο σημεία που διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους με αντίθετη κατεύθυνση και φτάνουν ταυτόχρονα το ένα στη μέγιστη θετική και το άο στη μέγιστη αρνητική απομάκρυνση. Μεταξύ των σημείων αυτών μεσοαβεί περιττό πήθος δεσμών. Τα σημεία Α,Δ,Ε,Η βρίσκονται σε συμφωνία φάσης (Δφ=0), καθώς και τα σημεία Β,Γ,Ζ. Κάθε σημείο από το γκρουπ των Α,Δ,Ε,Η είναι σε αντίθεση φάσης με κάθε σημείο του γκρουπ των Β,Γ,Ζ (Δφ=π rad). Τα σημεία Α και Ε έχουν Δφ=0, αφού μεταξύ τους μεσοαβούν 2 δεσμοί (άρτιο πήθος δεσμών) Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 5

6 Τα σημεία Β και Η έχουν Δφ=π rad (το ένα βρίσκεται πάνω από τον άξονα x και το άο από κάτω) και παρατηρούμε ότι μεταξύ τους μεσοαβούν 3 δεσμοί (περιττό πήθος δεσμών). Άρα ο τρόπος για να βρίσκουμε τη διαφορά φάσης μεταξύ σημείων είναι: ή με αντικατάσταση των θέσεων x1 και x2 στην εξίσωση του κύματος και αναόγως με το αν το συνημίτονο βγει θετικό ή αρνητικό, βρίσκουμε τη διαφορά φάσης. ή βρίσκοντας τις θέσεις των δεσμών x = (2κ + 1) 4 και εέγχοντας αν μεταξύ των σημείων μας υπάρχει περιττός αριθμός δεσμών ή βρίσκονται εκατέρωθεν ενός δεσμού οπότε Δφ=π rad, ενώ αν τα σημεία μας βρίσκονται μεταξύ δύο δεσμών ή μεταξύ τους παρεμβάεται άρτιο πήθος δεσμών τότε θα έχουμε Δφ=0. Προσδιορισμός πήθους κοιιών μεταξύ των θέσεων x1 και x2 Για τις κοιίες ισχύει x = κ 2, αά πρέπει να ισχύει και : x 1 < x < x 2 x 1 < κ 2 < x 2 ( 2) 2x 1 < κ < 2x 2 2x 1 < κ < 2x 2 ( ), με κ Ζ Παράδειγμα: Αν =0,8m, να βρείτε το πήθος κοιιών ανάμεσα στις θέσεις x 1 = 1,5m και x 2 = 2,5m. x κοιιών = κ 2 και x 1 < x < x 2 1,5 < κ < 2,5 ( 2) 2 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 6

7 3 < κ 0,8 < 5 ( 0,8) 3,75 < κ < 6,25 και αφού κ Ζ, προκύπτει κ = 3, 2, 1,0,1,2,3,4,5,6 Δηαδή υπάρχουν 10 κοιίες μεταξύ των σημείων αυτών. Προσδιορισμός πήθους δεσμών μεταξύ των θέσεων x1 και x2 Για τους δεσμούς ισχύει x = (2κ + 1), αά πρέπει να ισχύει και: 4 x 1 < x < x 2 x 1 < (2κ + 1) 4 < x 2 ( 4) 4x 1 < (2κ + 1) < 4x 2 4x 1 < 2κ + 1 < 4x 2 ( ) ( 1) 4x 1 1 < 2κ < 4x 2 1 ( 2) 2x < κ < 2x με κ Ζ Παράδειγμα: Αν =1m, να βρείτε το πήθος των δεσμών ανάμεσα στις θέσεις x 1 = 0 και x 2 = 2,5m. x δεσμών = (2κ + 1) 4 και x 1 < x < x 2 0 < (2κ + 1) 1 < 2,5 ( 4) 4 0 < 2κ + 1 < 10 ( 1) 1 < 2κ < 9 ( 2) 0,5 < κ < 4,5 και αφού κ Ζ, προκύπτει κ = 0,1,2,3,4 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 7

8 Δηαδή υπάρχουν 5 δεσμοί μεταξύ των σημείων αυτών. Στιγμιότυπο στάσιμου κύματος Βρίσκουμε πρώτα τις θέσεις των κοιιών και των δεσμών μεταξύ των σημείων που θέουμε να σχεδιάσουμε το στιγμιότυπο. Εντοπίζουμε την απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας ενός σημείου για το οποίο διαθέτουμε κάποιες πηροφορίες για την αντίστοιχη χρονική στιγμή (όχι απαραίτητα το σημείο Ο, αά οποιοδήποτε σημείο του άξονα). Αν όα τα σημεία του άξονα τη δεδομένη χρονική στιγμή βρίσκονται στη θέση ισορροπίας τους, δηαδή έχουν μηδενική απομάκρυνση, σχεδιάζουμε βεάκια που μας δείχνουν την κατεύθυνση που θα κινηθούν τα σημεία την αμέσως επόμενη χρονική στιγμή (τα βεάκια δε θα έχουν το ίδιο μήκος, αφού τα σημεία δεν έχουν ίδιο μέτρο ταχύτητας). Προσέχουμε ότι: Τα σημεία που είναι δεσμοί δεν τααντώνονται, ενώ τα σημεία που είναι κοιίες τααντώνονται με πάτος 2Α. Όα τα σημεία που τααντώνονται φτάνουν ταυτόχρονα σε μέγιστη απομάκρυνση, με τις διαδοχικές κοιίες να φτάνουν ταυτόχρονα σε αντίθετες απομακρύνσεις. Όα τα σημεία περνούν ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους, με τις διαδοχικές κοιίες να περνούν με αντίθετες μέγιστες ταχύτητες. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 8

9 Παράδειγμα 1: Να σχεδιαστεί στιγμιότυπο στάσιμου κύματος με εξίσωση y = 8συν(0,25πx)ημ(0,5πt) για τη χρονική στιγμή t=3s,από x1=0 έως x2=10m. Από την εξίσωση προκύπτει ότι =8m. Για t=3s: y = 8συν(0,25πx)ημ(1,5π) = 8συν(0,25πx)ημ 3π 2 = 8συν(0,25πx) Πήθος Κοιιών x 1 < x κ < x 2 0 < κ 2 < 10 0 < κ 8 2 < 10 0 < 4κ < 10 0 < κ < 2,5 με κ Ζ κ = 1, 2 Δηαδή 2 κοιίες, χωρίς την κοιία στη θέση x1=0. Πήθος Δεσμών x 1 < x Δ < x 2 0 < (2κ + 1) 4 < x 2 0 < (2κ + 1) 2 < 10 0 < 2κ + 1 < 5 1 < 2κ < 4 0,5 < κ < 2 με κ Ζ κ = 0, 1 Δηαδή 2 δεσμοί χωρίς το δεσμό στη θέση x2=10m. Για x1=0: y = 8συν0,25π 0 = 8συν0 = 8m = 2A Kοιία Για x2=10m: y = 8συν0,25π 10 = 8συν2,5π = 8συν (2π + π ) = 8 0 = 0 Δεσμός 2 Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 9

10 Τη χρονική στιγμή t=3s, το σημείο με x=0 ήταν στη μέγιστη αρνητική του απομάκρυνση, άρα και όα τα σημεία θα βρίσκονται σε μέγιστες απομακρύνσεις. Προσοχή όμως, αν ζητείται στιγμιότυπο μια χρονική στιγμή που τα σημεία του μέσου βρίσκονται σε κίνηση (δηαδή σε κάθε άη θέση εκτός των μέγιστων απομακρύνσεων), πρέπει να σχεδιάσουμε και τη φορά της ταχύτητας των σημείων. Παράδειγμα 2: Να σχεδιαστεί το στιγμιότυπο κύματος με εξίσωση y = 0,02συν(2,5πx)ημ(5πt), τη χρονική στιγμή t=1s, από x1=0 έως x2=0,3m. Από την εξίσωση προκύπτει ότι =0,8m. Για t=1s: y = 0,02συν(2,5πx)ημ5π = 0,02συν(2,5πx)ημ(4π + π) = = 0,02συν(2,5πx) 0 = 0 Συμπεραίνουμε οιπόν, ότι για οποιαδήποτε τιμή του x, η απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας για κάθε σημείο θα είναι μηδέν, δηαδή όα τα σημεία θα διέρχονται από τη θέση ισορροπίας του (εκτός των δεσμών που είναι συνεχώς ακίνητοι). Για x1=0: A 1 = 0,02συν2,5π 0 = 0,02συν0 = 0,02m = 2A Koιία Για x2=0,3m: Α 2 = 0,02 συν2,5π 0,3 = 0,02 συν0,75π = 0,02 συν 3π = 4 = 0,01 2m υχαίο σημείο Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 10

11 Τέος υποογίζουμε και την ταχύτητα ενός σημείου, πχ του σημείου με x1=0: υ = υ max συν5π = υ max συν(4π + π) = υ max συνπ = υ max ( 1) = υ max Αρνητική μέγιστη ταχύτητα για την κοιία στη θέση x=0. Πήθος Κοιιών 0 < x κ < 0,3 0 < κ 2 < 0,3 0 < κ 0,8 2 < 0,3 0 < κ 0,4 < 0,3 0 < κ < 0,75 με κ Ζ Καμία κοιία (εκτός του Ο) Πήθος Δεσμών 0 < x Δ < 0,3 0 < (2κ + 1) 4 < 0,3 0 < (2κ + 1) 0,8 4 < 0,3 0 < (2κ + 1)0,2 < 0,3 0 < 2κ + 1 < 1,5 1 < 2κ < 0,5 0,5 < κ < 0,25 κ = 0, δηαδή 1 δεσμός Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 11

12 Όσο μειώνεται το πάτος ταάντωσης, τόσο μειώνεται και η μέγιστη ταχύτητα, κάτι που το δείχνουμε με το μήκος του βέους. Τη χρονική στιγμή t=1s, όα τα σημεία διέρχονται από τη θέση ισορροπίας τους, άρα απαιτείται ο σχεδιασμός των βεών, έτσι ώστε να γνωρίζουμε τη φορά κίνησης των σημείων του μέσου. Δημιουργία στάσιμου κύματος σε χορδή 1 η Περίπτωση: χορδή μήκους L με ακόνητα άκρα, δηαδή και τα δύο να είναι δεσμοί. Το μήκος της χορδής θα δίνεται από: L = κ 2 με κ = 1,2,3 Και αντιστρέφονται οι σχέσεις που δίνουν τις θέσεις των κοιιών και των δεσμών, δηαδή θα ισχύει: x κοιιών = (2κ + 1) 4 x δεσμών = κ 2 Το μήκος της χορδής του σχήματος θα είναι L = 3 2 (L = κ 2 ) Παρατηρούμε επίσης ότι η 1 η κοιία βρίσκεται σε απόσταση από το 4 αριστερό άκρο της χορδής. Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 12

13 2 η Περίπτωση: χορδή μήκους L με ένα ακόνητα στερεωμένο άκρο, δηαδή το ένα άκρο του να είναι δεσμός και το άο κοιία. Το μήκος της χορδής θα δίνεται από: L = κ με κ = 0,1,2 y Παρατηρούμε ότι το δεξί άκρο της χορδής είναι ακόνητα στερεωμένο και το αριστερό άκρο Α είναι κοιία. Επίσης, το μήκος της χορδής θα δίνεται από τη σχέση: L = κ = Οδός Φυσικής Δημήτριος Γ. Φαδάκης Σείδα 13