ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π. ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ΘΕΜΑ Β Β1. Σωστή η γ) Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής αδράνειας στερεού σώματος ως προς άξονα

Transcript

1 Κανάρη 36, Δάφνη Τηλ & ΦΥΣΙΚΗ ΟΠ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Ι Δ Α 3 Γ 4 Γ ΙΙ Σ Λ 3 Λ 4 Σ 5 Σ ΘΕΜΑ Β Β Σωστή η γ) Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής αδράνειας στερεού σώματος ως προς άξονα ( I = m r + m r + m3 r3 + ) σημαντικό ρόλο έχει η απόσταση των υλικών σημείων από τον άξονα περιστροφής Οι στοιχειώδεις μάζες που συγκροτούν τον σκελετό () είναι περισσότερο εντοπισμένες κοντά στον άξονα περιστροφής από ότι στους άλλους σκελετούς Άρα λόγω κατανομής της μάζας m ως προς τον άξονα περιστροφής ισχύει για κάθε σκελετό, οπότε και για κάθε τροχό I < I < I3 () Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για την κίνηση του συστήματος «Ποδήλατο- Αναβάτης» από την ηρεμία μέχρι την απόκτηση μεταφορικής ταχύτητας u = u Επειδή οι τροχοί κυλίονται u ισχύει u = ω ω = () Ονομάζουμε m ολ την μάζα του συστήματος W = K W = Kτελ Kαρc W = mολ u + I ω 0 u W W = mολu + I u (3) = I mολ + Από την τελευταία σχέση (3) βλέπουμε ότι η μεγαλύτερη μεταφορική ταχύτητα προκύπτει από την μικρότερη ροπή αδράνειας I Β Σωστή η β) Όταν το κύμα από την πηγή Π φτάνει στην πηγή Π μια απόσταση ίση με 0m τότε κάθε κύμα από κάθε πηγή θα έχει διανύσει στο επίπεδο προς όλες τις κατευθύνσεις απόσταση

2 ίση με 0m Στο σχήμα φαίνονται τα σημεία Γ και Δ της μεσοκαθέτου του ΠΠ που μόλις φτάνει το κύμα την δεδομένη χρονική στιγμή t=t Σε όλα τα σημεία του τμήματος ΓΔ έχουν φτάσει και τα δυο κύματα οπότε εκεί συμβάλλουν Από την γεωμετρία του σχήματος στο τρίγωνο ΠΜΓ: ΠΓ =ΠΜ +ΜΓ 0 = 5 + ΜΓ ΜΓ = 5 3m Π 0m 0m 5m Γ Μ 0m 0m Π Όμοια Μ = 5 3m οπότε Γ = 0 3m Δ Β3 Σωστή η α) Περίπτωση η u u fa = f () u+ a t Περίπτωση η u a t fa = f () u+ u Από την εκφώνηση την χρονική στιγμή t=t : fa = fa u u u a t f = f ( u u)( u+ u) = ( u a t)( u+ a t) u+ a t u+ u u u ηχ u u = u a t u = a t u = a t a = a = t 0 t 340 Με αντικατάσταση a = = m/ a = m/ 0 8,5 ΘΕΜΑ Γ Γ Από την εξίσωση της ταλάντωσης του συστήματος «ελατήριο σταθεράς k συσσωμάτωμα» προκύπτει ότι : A= 0,3m και k = D = ( m + m ) ω 400 = ( m + m ) 0 kg + m = 4kg m = 3kg 3 3 = 3kg m Η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση είναι η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης γιατί το συσσωμάτωμα την αποκτά στην θέση ισορροπίας ταλάντωσης Vk = umax = ω Α= 0 0,3 = 3 m/ Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για τα σώματα Σ και Σ3 κατά την κρούση τους με θετική φορά προς τα

3 αριστερά p = p m u + 0 = ( m + m ) V 3 u = 43 u = 4 m/ pριν mετα 3 k u = 4 m/ Γ Το σύστημα Σ,Σ, ελατήριο σταθεράς k είναι μονωμένο και κάθε χρονική στιγμή ισχύει η διατήρηση της ορμής Η αρχική ορμή του συστήματος είναι ίση με το μηδέν οπότε οι ορμές των σωμάτων Σ,Σ είναι συνεχώς αντίθετες Εφαρμόζουμε ΑΔΟ για το σύστημα από την αρχική στιγμή που κόβεται το νήμα μέχρι το ελατήριο να αποκτήσει το φυσικό του μήκος Τα σώματα έχουν αποκτήσει ταχύτητες μέτρου u, uκαι επιλέγουμε θετική φορά ορμής προς τα δεξιά p = p 0 = m u + m u m u = m u () pριν mετα Σύμφωνα με την εκφώνηση το 75% της U έχει αποδοθεί στο σώμα Σ κατά την εκδήλωση του συστήματος Εφαρμόζουμε ΑΔΜΕ για το σύστημα : EΑΡΧ = EΤEΛ UΑΡΧ + KΑΡΧ = UΤEΛ + KΤEΛ U + 0 = 0 + K+ K U = K+ K() Από την σχέση () και την εκφώνηση βλέπουμε ότι : K = 3K m u = 3 m u m u = 3m u (3) Με την χρήση της σχέσης () η (3) γράφεται διαδοχικά: m u = 3 m u ( m u) u = 3( m u) u u = 3 u = m/ (4) m Τελικά από τις σχέσεις (),(4) προκύπτει ότι : m = = kg 3 Γ3 Α L/-h Α φ L/ h ω=0 Σ u u ω Γ Γ Από εκφώνηση: ' ' ' K = J m u = J u = m/ με φορά προς τα δεξιά Εφαρμόζουμε αρχή διατήρησης στροφορμής για το σύστημα «Ράβδος- Σώμα Σ» ως προς τον άξονα περιστροφής της ράβδου για να βρούμε την γωνιακή ταχύτητα ω της ράβδου αμέσως μετά την κρούση Επιλέγουμε θετική φορά στροφορμής αυτή τους σώματος Σ ελάχιστα πριν την κρούση

4 L = L m u L= I + m u L πrιν mετa A ω ' ( L m u L= ML + M ) ' ω + m u L = 6 ω+ 0= ω ω = 5 rad / 3 Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για την ράβδο από την στιγμή που αποκτά ταχύτητα ω μέχρι να σταματήσει στιγμιαία για να βρούμε την ανύψωση h του κέντρου μάζας της 5 Σ W = Κ Μg h= 0 IA ω 60 h= 5 h= mαπό το ορθογώνιο L 6 5 h τρίγωνο του σχήματος : συνϕ = = = συνϕ = L Γ4 Από την ΑΔΜΕ για την κίνηση της ράβδου : de dk du dk du du dk E = K + U = + 0 = + = dt dt dt dt dt dt dt Τελικά ο ζητούμενος ρυθμός L/-H x du dk είναι = = Σt ω () dt dt όπου Στ η ροπή που δέχεται η L/ 30 ράβδος στη θέση αυτή και ω η 0 γωνιακή ταχύτητα της ράβδου H στην ίδια θέση Ο ζητούμενος ρυθμός είναι θετικός γιατί η ράβδος περνά για Mg πρώτη φορά από την ω Mg συγκεκριμένη θέση και ανεβαίνει οπότε αυξάνει την δυναμική της ω ενέργεια Στη σχέση () η ροπή και η γωνιακή ταχύτητα έχουν αντίθετο αλγεβρικό πρόσημο Για το μέτρο της ροπής στην ζητούμενη θέση: L 0 L Σ τ =Μ g x=μ g ηm30 Σ τ =Μ g = 5N m () 4 Για να βρούμε την γωνιακή ταχύτητα στην ίδια θέση εργαζόμαστε ως εξής: L H 0 3 0,5 H συν 30 = = H = 0, 075m L 0,5 Εφαρμόζουμε ΘΜΚΕ για την ράβδο από την στιγμή που αποκτά ταχύτητα ω μέχρι να φτάσει σε θέση που σχηματίζει γωνία 30 0 με την κατακόρυφη από το σημείο Α Σ W = Κ Μg H = IA ω IA ω 60 0, 075 = ω 5 4,5 = ω 5 ω = 0,5 rad / (3) Από τις σχέσεις (),(3) η () δίνει :

5 du = dk = Σt ω = ( 5) 0,5 = 5 0,5 J dt dt ΘΕΜΑ Δ Δ Ονομάζουμε Β το κατώτερο σημείο του δίσκου που έρχεται σε επαφή με την πλάκα Το σημείο αυτό είναι ακίνητο ως προς την πλάκα λόγω της κύλισης του τροχού Αν σε απειροστό χρονικό διάστημα dt η πλάκα έχει μετατοπιστεί κατά dx Π και το σημείο Β έχει μετακινηθεί κατά dxb ισχύει dxb = dx Π () Από την αρχή της επαλληλίας για την σύνθετη κίνηση του τροχού αν dx είναι η μετατόπιση του κέντρου μάζας και ds το απειροστό τόξο λόγω της περιστροφικής κίνησης, αυτά ως διανύσματα έχουν αντίθετη φορά και ισχύει κατά μέτρο : dxb = dx ds και λόγω τις () : dx = dx Π ds () Παραγωγίζουμε ως προς τον χρόνο την σχέση () και έχουμε διαδοχικά: dxπ dx ds dxπ = dx ds = uπ = u uγρ ( Β) uπ = u ω dt dt dt uπ u ω uπ = u ω = aπ a aγ aπ a aγ dt dt dt = () Δ L w α F Τ N B Τ α Π M Η συνισταμένη δύναμη των F,T επιταχύνει το κέντρο μάζας του δίσκου Η αντίδραση της Τ η T επιταχύνει την πλάκα Η ροπή της T επιταχύνει στροφικά τον δίσκο Μεταφορική κίνηση δίσκου : F T= ma ()

6 Στροφική κίνηση δίσκου : T = I a γ T = m aγ T = m ( aγ ) (3) Μεταφορική κίνηση πλάκας: T' = T = M a Π (4) Από την σχέση () : a = a a γ Π και από τις (3),(4) : ( M + m) aπ m ( a aπ) = M aπ a = (5) m Τελικά με αντικατάσταση στη σχέση () της (5): F M a = ( M + m) a 8 = 8 a Π Αποτελέσματα : a π m/ a =, π Π Δx Π = 5 m/ και a = γ 0 rad / L Δx Δ3 Έστω ότι την χρονική στιγμή t=t το κέντρο μάζας του δίσκου έχει μετατοπιστεί κατά x και το κέντρο μάζας της πλάκας (η απλά η πλάκα) κατά x Π Μέχρι ο δίσκος να φτάσει στο άκρο της πλάκας το κέντρο μάζας του δίσκου θα έχει διανύσει απόσταση μεγαλύτερη από την πλάκα και μάλιστα η απόσταση αυτή από το σχήμα είναι ίση με d = L = 4,7 0, = 4,5m Ισχύει η εξίσωση (από το σχήμα) : x + = xπ + L x xπ = L a t aπ t = 4,5 t = 45 t =,5 θ α t 45 Δ4 α) N γ = = = περιστροφές π π 4π β) WF = F x συν 0 = F a t = 57,5J WF = 57,5J Δ5 Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας το κέντρο μάζας του τροχού εκτελεί: Άξονας x: Μεταφορική ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα u = u0 = a t = 5,5= 7,5 m/ και επιτάχυνση που προκύπτει από τον τύπο : Σ Fx = m ax 8 = 4 ax ax = 7 m/ Άξονας y: Ελεύθερη πτώση χωρίς αρχική ταχύτητα Η επιτάχυνση κίνησης είναι ίση με g και η ταχύτητα κάθε χρονική στιγμή uy = g t Η στροφική κίνηση του δίσκου ως προς τον άξονα συμμετρίας του είναι ομαλή (ούτε το βάρος ούτε η F ασκούν ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής) και η σταθερή στροφική κινητική ενέργεια δίνεται από τον τύπο Kσtρ = I ω = I ( αγ t) = 36J

7 Για την νέα αρχή μέτρησης των χρόνων έχει παρέλθει χρονικό διάστημα t = 0,5 και οι συνιστώσες ταχύτητες δίνονται από τον τύπο : ux = u0 + ax t = 7, = m/ u = g t = 0 0,5 = 5 m/ y m Η ολική μεταφορική ταχύτητα ικανοποιεί τη σχέση: u = ux + uy = 46 Η ολική κινητική ενέργεια είναι : K = Kmετ + Kστρ = m u + Kστρ = m ( ux + uy ) + Kστρ K = 38J ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΔΗΜΗΤΡΙΟΥ ΑΡΗΣ ΚΑΤΣΑΡΟΥ ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΧΡΥΣΟΒΕΡΓΗΣ ΘΑΝΑΣΗΣ