ιαφάνειες ιαλέξεων 1-1 Απλό γραµµικό υπόδειγµα

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ιαφάνειες ιαλέξεων 1-1 Απλό γραµµικό υπόδειγµα"

Transcript

1 ιαφάνειες ιαλέξεων - Εφαρµοσµένη Στατιστική Έρευνα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Tο ο Απλό Γραµµικό Υπόδειγµα Παράδειγµα Συγκέντρωση όζοντος στη Ν. Υόρκη. εδοµένα ηµερών (Μάιος Σεπτ. 973) ozoe (Y) Συγκέντρωση όζοντος (ppb) rad () Ηλιακή ακτινοβολία (lagleys) temp () Μέγιστη ηµερ.θερµοκρασία ( F) wd () Ταχύτητα ανέµου (mph) Γραµµική σχέσηανάµεσα στην Υ και την Χ? Παράδειγµα Παράδειγµα: ιαγράµµατα διασποράς () rad 9 8 temp wd ozoe Απλό γραµµικό υπόδειγµα Απλό γραµµικό υπόδειγµα Με το απλό γραµµικό υπόδειγµα παλινδρόµησης εκτιµούµε µια γραµµική (ως προς τις παραµέτρους) σχέση ανάµεσα σε δύο ποσοτικές µεταβλητές Χ («ανεξάρτητη µεταβλητή») και Υ («εξαρτηµένη µεταβλητή»). Η ανεξάρτητη µεταβλητή Χ συνήθως είναι υπό τον έλεγχο του ερευνητή. Στόχος είναι να µελετήσουµε πώς οι (συνήθως ελεγχόµενες) µεταβολές των τιµών της Χεπιδρούν γραµµικά στις τιµές που παίρνει η Υ, δηλ. πώς «η Υ εξαρτάται γραµµικά από την Χ» Με ένα εκτιµηµένο γραµµικό µοντέλο για την σχέση των Χ και Υ µπορούµε να: εξετάσουµε στατιστικά αν υπάρχει γραµµική σχέση ανάµεσα στις Χ,Υ διεξάγουµε προβλέψεις των τιµών της Υ δεδοµένης της τιµής της Χ Η Συνάρτηση Παλινδρόµησης στον Πληθυσµό Y β + β + u β Y β u τοµή της ευθείας µε τον άξονα των Υ σχέση µεταξύ της εξαρτηµένης και της ανεξάρτητης µεταβλητής στον πληθυσµό. κλίση της ευθείας παλινδρόµησης διαταρακτικός όρος ή σφάλµα,..., 5 6 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης PDF processed wth CutePDF evaluato edto

2 ιαφάνειες ιαλέξεων - Η Συνάρτηση Παλινδρόµησης στον Πληθυσµό E Y ( Y ) β E( Y ) Y β + β + u + u + β ειγµατική Συνάρτηση Παλινδρόµησης Περιγράφει τη σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη και την ανεξάρτητη µεταβλητή στο δείγµα Απαιτεί την εκτίµησητων παραµέτρων του υποδείγµατος (τοµή και κλίση) από τα δειγµατικά δεδοµένα, β, β, Y β + β + β + β Οι εκτιµήσεις των αντίστοιχων ποσοτήτων ή 7 8 Η Συνάρτηση Παλινδρόµησης στον Πληθυσµό και οι ειγµατικές Παρατηρήσεις Οι συναρτήσεις παλινδρόµησης: (α) στον πληθυσµό και (β) στο δείγµα ειγµατική συνάρτηση παλινδρόµησης Συνάρτηση παλινδρόµησης στον πληθυσµό 9 Παραδοχές του κλασσικού υποδείγµατος παλινδρόµησης Είναι ιδανικές µαθηµατικές συνθήκες που εξασφαλίζουν πως οι εκτιµηµένες παράµετροι είναι: (α) αµερόληπτοι (ubased) (β) συνεπείς (cosstet), και (γ) πιο αποτελεσµατικοί (ecet) δηλαδή έχουν την µικρότερη διακύµανση -από κάθε άλλον γραµµικό αµερόληπτο εκτιµητή. Παραδοχή η: γραµµικότητα Η σχέση ανάµεσα στην εξαρτηµένη και την ανεξάρτητη µεταβλητή είναι γραµµική: Y β + β + u ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

3 ιαφάνειες ιαλέξεων -3 Παραδοχή η: Το σφάλµα uέχει µέση τιµή. E(u) Παραδοχή 3η: Οµοσκεδαστικότητα Τα σφάλµατα σε κάθε παρατήρηση έχουν σταθερή και ίση διακύµανση : E( u ) var ( u ) σ Επίπτωση: E( Y ) β + β Επίπτωση: var ( Y) σ, ανεξάρτητα των τιµών Χ 3 4 Οµοσκεδαστικά και ετεροσκεδαστικά σφάλµατα Παραδοχή 4η: Απουσία αυτοσυσχέτισης Τα σφάλµατα µεταξύ παρατηρήσεων είναι ανεξάρτητα corr ( u, u ) ή cov( u, u ), j j j δεν είναι στοχαστικά, cov( Y, Y ) Επίπτωση: Αφού τα Χ δεν είναι στοχαστικά, j Θετική αυτοσυσχέτιση ης τάξεως Αρνητική αυτοσυσχέτιση ης τάξεως Οµοσκεδαστικά σφάλµατα Ετεροσκεδαστικά σφάλµατα 5 6 Παραδοχή 5η: Κανονικότητα σφάλµατος Παραδοχή 5η: Κανονικότητα σφάλµατος Ο διαταρακτικός όρος (σφάλµα) ακολουθεί την κανονική κατανοµή u ~ N (, σ ) Κατανοµή τουyδεδοµένου τουx β β Επίπτωση: Αφού το Υείναι γραµµική συνάρτηση των u τότε Y ~ N E( Y ), σ ( ) x x x 3 x 4 όπου E( Y ) β + β 7 8 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

4 ιαφάνειες ιαλέξεων -4 Παραδοχή 6η: Μη στοχαστικά Οι τιµές δεν είναι στοχαστικές (µητυχαίες ή πλήρως προσδιορισµένες) Συχνές παραβιάσεις: Σφάλµατα µέτρησης Ενδογενείς µεταβλητές Η παραδοχή αυτή εξασφαλίζει πως η συνδιακύµανση ανάµεσα στην ανεξάρτητη µεταβλητή και στο σφάλµα είναι µηδέν. cov (, u ) Παραβίαση της 6ης Παραδοχής Εκτιµηµένη σχέση Πραγµατική σχέση 9 Παραδοχή 7η µεταβλητότητα στην Υπάρχει κάποιος βαθµός µεταβλητότητας στην ανεξάρτητη µεταβλητή (). Εκτίµηση ελαχίστων τετραγώνων (OLS estmato) Εκτίµηση µε τη συνήθη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων: β β Επιλογή των και ώστε να ελαχιστοποιείται το άθροισµα των τετραγώνων των καταλοίπων (ή σφαλµάτων εκτίµησης, SSE) ( ) ( β ) β SSE u Y Y Y,,, SSE SSE και β β Εκτίµηση ελαχίστων τετραγώνων (OLS estmato) Εκτίµηση µε τη συνήθη µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων: ι, ι, ( Y β β ) SSE - β ( β β ) SSE - Y β Κανονικές εξισώσεις: (ένα σύστηµα δύο εξισώσεων) Y β + β ι, ι, Y β + β ι, ι, ι, Εκτιµητές ελαχίστων τετραγώνων (OLS estmators) Από τις κανονικές εξισώσεις µε λίγη άλγεβρα: β ( ( Y Y ), ( ), β Y β 3 4 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

5 ιαφάνειες ιαλέξεων -5 Ιδιότητεςεκτιµητών ελαχίστων τετραγώνων Κάτω από τις συνθήκες του κλασικού γραµµικού υποδείγµατος οι εκτιµητές OLS είναι: αµερόληπτοι συνεπείς ελάχιστης διακύµανσης Ισχύει: ιακύµανση του εκτιµητή του συντελεστή τοµής var ( β ) E( β β ) σ +, ηλαδή είναι: βέλτιστοι γραµµικοί αµερόληπτοι εκτιµητές (BLUE) (Θεώρηµα Gauss-Markov) 5 Εκτίµηση του σ :, σ Συνεπώς: var ( ) β σ β + ), 6 Ισχύει: ιακύµανση του εκτιµητή του συντελεστή κλίσης var ( β ) E( β β ), σ Συνεπώς: var ( ) β β σ ), Συνδιακύµανση των συντελεστών τοµής και κλίσης cov ( β, β ) ), 7 8 Παράδειγµα Εκτιµηµένη Εξίσωση Παλινδρόµησης Παράδειγµα: Πωλήσεις Αυτοκινήτων Αριθµός Πωλήσεις TV σϖοτ (Χ) Αυτοκινήτων (Υ) , Y sales tvspots Κλίση της εξίσωσης ( ) β ( Y Y), β 5 4, var β σ.68 β 4 ),.68.8, σ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

6 ιαφάνειες ιαλέξεων -6 Εκτιµηµένη Εξίσωση Παλινδρόµησης y-τοµή της εξίσωσης β Y β 5() ( var β) β + + ) 4 5, β Εκτιµηµένη εξίσωση παλινδρόµησης + 5 (.366) (.8) (τυπικά σφάλµατα των εκτιµήσεων) 3 sales 6 6 ιάγραµµα διασποράς και ευθεία παλινδρόµησης tvspots 5+ 3 Aνάλυση µεταβλητότητας της y Ανάλυση µεταβλητότηταςτης y: y y + Με λίγη άλγεβρα προκύπτει η σχέση για τη µεταβλητότητα της y ( y ) ( ) ( y y y + y y) Εξηγούµενη και µη εξηγούµενη µεταβλητότητα SST SSR + SSE (µη εξηγούµενη µεταβ.) (εξηγούµενη µεταβλητότητα) (συνολική µεταβλητότητα) SST ολικό άθροισµα τετραγώνων (µεταβλητότητα της y) SSR άθροισµα τετραγώνων παλινδρόµησης (µεταβλητότητα που ερµηνεύεται από την παλινδρόµηση) SSE άθροισµα τετραγώνων καταλοίπων (µεταβλητότητα που δεν ερµηνεύεται) y y κατάλοιπα (resduals) ή σφάλµατα εκτίµησης Συντελεστής Προσδιορισµού R O συντελεστής προσδιορισµού είναι: R SSR/SST όπου: SSR άθροισµα τετραγώνωνπαλινδρόµησης SST ολικό άθροισµα τετραγώνων Συντελεστής Προσδιορισµού R R SSR/SST /4.877 Περίπου 88% της µεταβλητότητας των πωλήσεων ερµηνεύεταιγραµµικάαπό από τον αριθµό των TV σποτ. Μεγάλη ερµηνευτική ικανότητα της εξίσωσης παλινδρόµησης Εύρος τιµών: R Εκφράζει το ποσοστό (αναλογία) της µεταβλητότητας της y που ερµηνεύεταιαπό από την x ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

7 ιαφάνειες ιαλέξεων -7 R R εξηγούµενη µεταβλητότητα συνολική µεταβλητότητα µη εξηγούµενη µεταβλητότητα συνολική µεταβλητότητα Παρατηρήσεις για το R Ο R υπολογίζεται ως SSR/SST µόνο αν υπάρχει ο συντελεστής τοµής στο υπόδειγµα παλινδρόµησης Το R δεν είναι στατιστική συνάρτηση που να µπορεί να χρησιµοποιηθεί απευθείας για έλεγχο υποθέσεων Αν η διαδικασία που γεννά τα δεδοµένα είναι σε µεγάλο βαθµό τυχαία, τότε το R θα είναι µικρό, ακόµη και όταν το υπόδειγµα έχει εξειδικευτεί σωστά Το R είναι µέτρο συσχέτισης και όχι αιτιότητας r r r ειγµατικός Συντελεστής Συσχέτισης xy xy xy όϖου: s s Y r xy s β s Y τυϖική αϖόκλιση των τιµών της Χ τυϖική αϖόκλιση των τιµών της Υ > θετική γραµµική σχέση ανάµεσα στις Χ και Υ < αρνητική γραµµική σχέση ανάµεσα στις Χ και Υ απουσία γραµµικής σχέσης ανάµεσα στις Χ και Υ 39 4 ειγµατικός Συντελεστής Συσχέτισης ειγµατικός Συντελεστής Συσχέτισης xy ( πρ σηµο β) r ό R όϖου: β κλίση της εκτιµηµένης εξίσωσης ϖαλινδρόµησης β + βχ Θετικό ϖρόσηµο τουβ στην β 5 s s Y ( πρ σηµο β) r xy s β s rxy ό R xy Y r xy.877 r.9366 xy r y + 5 x 4 4 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

8 ιαφάνειες ιαλέξεων -8 Έλεγχοι Σηµαντικότητας ΕΛΕΓΧΟΙ ΣΗΜΑΝΤΙΚΟΤΗΤΑΣ Για να ελέγξουµε τη σηµαντικότητα µιας εξίσωσης ϖαλινδρόµησης διεξάγουµε στατιστικό έλεγχο για την υϖόθεση Η : β. Τύϖοι ελέγχων: t - έλεγχος και F - έλεγχος Και οι δύο έλεγχοι αϖαιτούν µια εκτίµηση του σ, της διακύµανσης του διαταρακτικού όρου u Έλεγχοι Σηµαντικότητας Έλεγχοι Σηµαντικότητας Μια εκτίµηση του σ Το µέσο τετραγωνικό σφάλµα (mea square error - MSE) είναι µια εκτίµηση του σ. Συµβολίζεται και ωςs. όϖου: ( ) s MSESSE SSE ( Y ) ( Y β β ) Μια εκτίµηση του σ Τυπικό σφάλµα της εκτίµησης (stadard error o estmate) SSE, s MSE Παραδοχή Κανονικότητας Κάθε γραµµικός συνδυασµός κανονικά κατανεµηµένων τ.µ. ακολουθεί την κανονική κατανοµή. Αν ο διαταρακτικός όρος ακολουθεί την κανονική κατανοµή, οι εκτιµητές των συντελεστών κλίσης και τοµής θα είναι και αυτοί κανονικά κατανεµηµένοι (επειδή είναι γραµµικοί εκτιµητές): β ( ) ~ N β, σβ N β, σ + ( ), β ~ N ( β, σ ) β Nβ, σ ( ), 47 Μη κανονικά σφάλµατα και µεγάλα δείγµατα Αν ο διαταρακτικός όρος δεν ακολουθεί την κανονική κατανοµή, από το κεντρικό οριακό θεώρηµα προκύπτει ότι οι συντελεστές τοµής και κλίσης συγκλίνουν σεµια κανονική κατανοµή όσο το µέγεθος του δείγµατος τείνει στο άπειρο (δηλαδήασυµπτωτικά) 48 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

9 ιαφάνειες ιαλέξεων -9 Η t -στατιστική Η στατιστική Ζ κατανέµεται ως β j β j Z ~ N,, σ β j ( ) j, Αφού το σ είναι άγνωστο, χρησιµοποιούµε την t στατιστική: β j β j t ~ t, σ β j j, Παρατηρείστε ότι οι βαθµοί ελευθερίας της κατανοµής t- studetείναι (αριθµός εκτιµώµενων παραµέτρων) 49 Υποθέσεις Έλεγχοι Σηµαντικότητας : t Έλεγχος Στατιστική Ελέγχου β ) H : β H : β a β t β Τυπική απόκλιση του β 5 Έλεγχοι Σηµαντικότητας : t Έλεγχος Κανόνας Απόρριψης Απόρριψη της H αν p-τιµή <α ή αν t < -t -,α/ ή t > t -,α/ όπου: t -,α/ η κριτική τιµή της t - κατανοµής µε - βαθµούς ελευθερίας 5 Έλεγχοι Σηµαντικότητας : t Έλεγχος Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων. Εξειδίκευση Υποθέσεων. β t H : β H α : β. Καθορισµός επιπέδου σηµαντικότητας. 3. Στατιστική ελέγχου. 4. Κανόνας απόρριψης. σ β α.5 Απόρ. H αν p-τιµή <.5 ή t 3.8 (µε 3 β.ε.) 5 Έλεγχοι Σηµαντικότητας : t Έλεγχος ιάστηµα εµπιστοσύνης για τοβ 5. Τιµή της στατιστικής ελέγχου. β 5 t σ β 6. Αϖόφαση για την H. Μπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το 95%.Ε. τουβ για τον έλεγχο της προηγούµενης υπόθεσης. Η υπόθεση H απορρίπτεται αν η υποτιθέµενη τιµή του β είναι εκτός του.ε. για το β. Η τιµή t 4.54 αντιστοιχείσε σε εµβαδόν. στην δεξιά ουρά της κατανοµής. Άραη p-τιµή είναι κάτω από.. (Επίσης, t 4.63 > 3.8.) Απορρίπτουµε την H ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

10 ιαφάνειες ιαλέξεων - ιάστηµα εµπιστοσύνης για το β ιάστηµα εµπιστοσύνης για το β (-α)%.ε. για το β : Κανόνας απόρριψης: Απόρριψη της H αν το.ε. του β δεν περιέχει την τιµή. όπου: t -,,α/ β ± t, a/ β α/ η κριτική τιµή της t - κατανοµής µε - βαθµούς ελευθερίας 95%.Ε. τουβ β Απόφαση ± t, a / σ β 5 ± 3.8(.8) 5 ± 3.44 ή.56 έως 8.44 H απορρίπτεται Υποθέσεις Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος Στατιστική ελέγχου H : β H α : β Το υπόδειγµα δεν έχει καλή προσαρµογή Το υπόδειγµα έχει καλή προσαρµογή MSR SSR / ( k ) F MSE SSE / ( k ) Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος Κατανοµή δειγµατοληψίας της στατιστικής F MSR SSR / ( k ) R / ( k ) F ~ F( k, k) MSE SSE / ( k) ( R ) / ( k) (x) k πλήθος εκτιµώµενων παραµέτρων (k στην Α.Γ.Π.) MSR Μέσο άθροισµα τετραγώνων παλινδρόµησης SSR / (β.ε. παλινδρόµησης) SSR / (πλήθος ανεξάρτητων µεταβλητών) Στην απλή γραµµική παλινδρόµηση MSR SSR 57 Κατανοµή Fµε k- β.ε του αριθµητή - k β.ε. του παρονοµαστή F(k-,,-k) MSR SSR στην Α.Γ.Π. 58 Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος (x) Κανόνας Απόρριψης Απόρριψη της H αν p-τιµή <α ή F > F α όπου: F α η κριτική τιµή της F κατανοµής µε β.ε του αριθµητή (k- - ) και - β.ε. του παρονοµαστή (-k k -) 59 F α(k-,-) α F(k-,-) εξιόπλευρος έλεγχος: Για δεδοµένο επίπεδο σηµαντικότητας α η µηδενική υπόθεση Η θα απορρίπτεται ότανηfξεπερνά µια κριτική τιµή, δηλαδή όταν F F α (k-,-). Μικρότερα α αντιστοιχούν σε µεγαλύτερες τιµές του R και µεγαλύτερες κριτικέςτιµές. ίνει το ίδιο αποτέλεσµα µε τον t-έλεγχο 6 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

11 ιαφάνειες ιαλέξεων - Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων. Εξειδίκευση Υποθέσεων. H : β H α : β. Καθορισµός επιπέδου σηµαντικότητας. 3. Στατιστική ελέγχου. 4. Κανόνας απόρριψης. F MSR/MSE α.5 Απόρ. H αν η p-τιµή <.5 ή F >.3 (µε και 3 β.ε.) Έλεγχος ΚαλήςΠροσαρµογής: F Έλεγχος 5. Τιµή της στατιστικής ελέγχου. F MSR/MSE / Αϖόφαση για την H. Η τιµή F.43 >.3.. Απορρίπτουµε την H. ή Ακόµη η p-τιµή.9 <.5. Απορρίπτουµε την H. Υπάρχει ένδειξη στατιστικά σηµαντικής γραµµικής σχέσης ανάµεσα στον αριθµό των TV σποτκαι στις πωλήσεις. 6 6 Παρατηρήσεις Στατιστικά σηµαντικές συσχετίσεις δε σηµαίνουν αιτιακή σχέση. Στατιστικά σηµαντικά αποτελέσµατα δεν σηµαίνουν απαραίτητα πως η σχέση των Χ και Υ είναι γραµµική. Μπορεί να είναι µη-γραµµική µε κάποια γραµµική συνιστώσα. Στατιστικά σηµαντικά αποτελέσµατα µπορεί να µην έχουν ουσιαστική σηµασία αν το µέγεθος των επιδράσεων είναι τετριµµένο (πολύ µικρό). Αποτελέσµατα που δεν είναι στατιστικά σηµαντικά µπορεί να έχουν ουσιαστική σηµασία αν το µέγεθος των επιδράσεων είναι µεγάλο. 63 Εκτίµηση αναµενόµενης τιµής της Υ ιάστηµα εµπιστοσύνης (-α)%για την Ε(Υ ) όπου σ σ + ( ) β + β E Y Y ± t ( ( ),, a/ και, σ 64 Εκτίµηση µιας µεµονωµένης τιµής της Υ πρόβλεψητης Υ ( ) β + β E Y Y ιάστηµα εµπιστοσύνης (-α)%για τηνπρόβλεψητης Υ ± t, a/ Συνεπώς, β + β, Y β + β + u ( β β) ( β β) e Y + u ( ) E e δηλαδή η πρόβλεψη είναι αµερόληπτη κάτω από τις παραδοχές OLS όπου ( + + ( ) σ, η διακύµανση της πρόβλεψης και µε αλγεβρικές πράξεις Var e Var Y σ + + σ ( ) ( ) ( ( ), Τώρα η αβεβαιότητα είναι µεγαλύτερη καθώς συνυπολογίζεται και ο διαταρακτικός όρος u : το σφάλµα πρόβλεψης Y εξαρτάται και από το u 65 Το.Ε. για την πρόβλεψη είναι µεγαλύτερο από αυτό για την αναµενόµενη τιµή 66 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

12 ιαφάνειες ιαλέξεων - Το.Ε. για την πρόβλεψη είναι µεγαλύτερο από αυτό για την αναµενόµενη τιµή 99%.Ε. για τις προβλέψεις 99%.Ε. για τις εκτιµήσεις (αναµενόµενες τιµές) Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων Σηµειακή εκτίµηση πωλήσεων: Αν τρέξουµε 3 TV-σποτς, η αναµενόµενη τιµή του αριθµού των αυτοκινήτων που πωλούνται είναι β + β Οι προβλέψεις έχουν µικρότερη διακύµανση όταν: Η διακύµανση του διαταρακτικού όρου είναι µικρότερη, Το δείγµα είναι µεγαλύτερο Ητιµήτης είναι κοντά στο δειγµατικό µέσο Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων ιάστηµα εµπιστοσύνης (codece terval)για τις αναµενόµενες πωλήσεις: 3,, 5,.6 ) ( ), 4, ( σ +.449, / Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων ιάστηµα εµπιστοσύνης για τις αναµενόµενες πωλήσεις: 95%.Ε. : α.5 ± t, a/ t a / t3,. 5, ± ± 4.68 (.39,9.6) 69 7 Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων ιάστηµα πρόβλεψης (predcto terval) για τις πωλήσεις: 3,, 5,.6 ) ( ), 4, (.63 Y + + ), / Παράδειγµα πωλήσεων αυτοκινήτων ιάστηµα πρόβλεψης για τις πωλήσεις: 95%.Π. : α.5 ± t, a/ t a / t3,. 5, ± ± (6.7,33.8) 7 7 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

13 ιαφάνειες ιαλέξεων -3 Παραβιάσεις Παραδοχών Παραβιάσεις Παραδοχών Γραµµικότητα Επιπτώσεις: µεροληψία και ασυνέπεια εκτιµητών και τυπικών σφαλµάτων, µεροληπτικές προβλέψεις ιδιαίτερα εκτός εύρους παρατηρούµενων τιµών Ανίχνευση: ιάγραµµα διασποράς (α) παρατηρούµενων τιµών - προβλέψεων και (β) σφαλµάτων προβλέψεων Αντιµετώπιση: Κατάλληλος µη-γραµµικός µετασχηµατισµός της εξαρτηµένης ή/και ανεξάρτητων µεταβλητών Ανεξαρτησία (σε υποδείγµατα χρονοσειρών ) Είναι µερικές φορές αποτέλεσµα λανθασµένης εξειδίκευσης της συναρτησιακής µορφής της εξίσωσης (π.χ. λόγω µη-γραµµικότητας) Επιπτώσεις: Μεροληψία στην εκτίµηση των διακυµάνσεων των συντελεστών κλίσεως, µη αποτελεσµατικοί εκτιµητές παραµέτρων Ανίχνευση: ιάγραµµα αυτοσυσχετίσεων των σφαλµάτων, έλεγχος Durb-Watso για AR(), άλλοι έλεγχοι (Breusch-Godrey, Rus, Box-Perce, κ.α.) Αντιµετώπιση: Προσθήκη υστερήσεων της εξαρτηµένης ή/και ανεξάρτητων µεταβλητών, χρήση διαφορών κάποιας τάξης ( ης, ης κ.ο.κ - derecg), εξειδίκευση ARMA ARIMA,αλλαγή συναρτησιακής µορφής, άλλες µέθοδοι εκτίµησης (Feasble GLS) Παραβιάσεις Παραδοχών Παραβιάσεις Παραδοχών Οµοσκεδαστικότητα Είναι µερικές φορές αποτέλεσµα λανθασµένης εξειδίκευσης της συναρτησιακής µορφής της εξίσωσης ή/και αυτοσυσχέτισης Επιπτώσεις: µεροληψία και ασυνέπεια τυπικών σφαλµάτων εκτιµητών, µη αποτελεσµατικότητα εκτιµητών και συνεπώς πρόβληµα στην διεξαγωγή ελέγχων σηµαντικότητας και κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης για τις προβλέψεις Ανίχνευση: ιάγραµµα διασποράς (α) σφαλµάτων προβλέψεων και (β) σφαλµάτων χρόνου (για χρονοσειρές). Έλεγχοι (π.χ. έλεγχος Whte) Αντιµετώπιση: Κατάλληλος µη-γραµµικός µετασχηµατισµός της εξαρτηµένης µεταβλητής που σταθεροποιεί τη διακύµανση των σφαλµάτων (varace stablsg trasormato) π.χ. λογάριθµος, τετραγωνική ρίζα, αντιστροφή /Υ, κ.ά. Εκτίµηση GLS µε κατάλληλη εξειδίκευση του πίνακα διακύµανσης-συνδιακύµανσης Κανονικότητα Είναι συνήθως αποτέλεσµα µη-κανονικότητας της κατανοµής της εξαρτηµένης ή/και ανεξάρτητων µεταβλητών, µη-γραµµικότητας ή παρουσίας ακραίων τιµών. Επιπτώσεις: µεροληψία και ασυνέπεια τυπικών σφαλµάτων εκτιµητών, µη αποτελεσµατικότητα εκτιµητών και συνεπώς πρόβληµα στην διεξαγωγή ελέγχων σηµαντικότητας και κατασκευή διαστηµάτων εµπιστοσύνης για τις προβλέψεις Ανίχνευση: ιάγραµµα Kανονικής Πιθανότητας (Normal probablty plot). Ανίχνευση παρατηρήσεων υψηλής µόχλευσης. Έλεγχοι (π.χ. έλεγχος Kolmogorov-Smrov) Αντιµετώπιση: Κατάλληλος µη-γραµµικός µετασχηµατισµός της εξαρτηµένης ή και ανεξάρτητων µεταβλητών. Αποκοπή ακραίων σηµείων αν αυτά προκύπτουν από σφάλµατα συλλογής ή καταγραφής Ανάλυση καταλοίπων για τον έλεγχο της ισχύος των παραδοχών για το u Αν οι παραδοχές (assumptos) για τον διαταρακτικό όρο δεν είναι βάσιµες, τότε οι έλεγχοι υποθέσεων για τη σηµαντικότητα της εξίσωσης παλινδρόµησης και τα διαστήµατα εµπιστοσύνης και πρόβλεψης δεν είναι αξιόπιστα Τα κατάλοιπα παρέχουν την καλύτερη πληροφορία για τον διαταρακτικό όρο u Κατάλοιπο της -παρατήρησης u Y Γράφηµα καταλοίπων έναντι της Χ Αν η παραδοχή της οµοσκεδαστικότητας του διαταρακτικού όρου είναι βάσιµη, και αν το γραµµικό υπόδειγµα είναι µια καλή προσέγγιση της σχέσης των Χ και Υ, τότε Το γράφηµα των καταλοίϖων έναντι των τιµών της Χ θα ϖρέϖει να κατανέµονται ϖερίϖου γύρω αϖό µια µϖάντα ϖαράλληλη στον άξονα των Χ Η ανάλυση καταλοίπων σε µεγάλο βαθµό βασίζεται στην εξέταση γραφηµάτων των καταλοίπων ως συνάρτηση της επεξηγηµατικής µεταβλητής Χ (ή των εκτιµηµένων τιµών της Y) ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

14 ιαφάνειες ιαλέξεων -4 Γράφηµα καταλοίπων έναντι της Χ Γράφηµα καταλοίπων έναντι της Χ Εϖιθυµητή κατάσταση Ετεροσκεδαστικά κατάλοιϖα Κατάλοιϖα Κατάλοιϖα Χ Χ 79 8 Γράφηµα καταλοίπων έναντι της Χ Γράφηµα καταλοίπων έναντι της Χ Ακατάλληλη συναρτησιακή σχέση Γραµµική σχέση µε ασυνήθιστη ϖαρατήρηση Κατάλοιϖα Κατάλοιϖα Γραµµικά κατάλοιϖα ϖου εξισορροϖούν την ασυνήθιστη ϖαρατήρηση Χ Χ 8 8 Κανονικότητα των καταλοίπων Κανονικότητα των καταλοίπων Αναµενόµενη Αθροιστική Πιθανότητα Normal Probablty Plot Παρατηρούµενη Αθροιστική Πιθανότητα z u Έλεγχος καλής προσαρµογής Kolmogorov Smrov (KS-test) H : Τα δεδοµένα ακολουθούν την συγκεκριµένη κατανοµή Η : Τα δεδοµένα δεν ακολουθούν την συγκεκριµένη κατανοµή z u Συγκρίνει τις παρατηρούµενες σχετικές αθροιστικές συχνότητες µε αυτές που αναµένονται µε βάση την κατανοµή της µηδενικής υπόθεσης Για τον έλεγχο κανονικότητας των καταλοίπων συγκρίνεται η παρατηρούµενη αθροιστική κατανοµή τους µε την τυπική κανονική κατανοµή: H : Z ~ N(, ) u ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

15 ιαφάνειες ιαλέξεων -5 Αναγνώριση ασυνήθιστων παρατηρήσεων Αναγνώριση παρατηρήσεων µε υψηλή επιρροή Οι ασυνήθιστες παρατηρήσεις (outlers) outlers)είναι σηµεία µακριά από την ευθεία παλινδρόµησης Στην απλή παλινδρόµηση φαίνονται στο διάγραµµα διασποράς, καθώς και στα διαγράµµατα καταλοίπων. Οι z-τιµές των καταλοίπων µπορούν να χρησιµοποιηθούν για την αναγνώρισή τους. Κατάλοιπα µε απόλυτες z-τιµές >.96 µπορούν να θεωρηθούν ως ασυνήθιστες παρατηρήσεις. Είναι παρατηρήσεις µε σηµαντική επίδραση στους συντελεστές της παλινδρόµησης (luetal observatos). Μπορεί να είναι ασυνήθιστες παρατηρήσεις (outlers) outlers)που οφείλονται σε ακραίες τιµές στην Υ ή στην Χ ή και στις δυο. Στην απλή παλινδρόµηση φαίνονται στο διάγραµµα διασποράς, καθώς και στα διαγράµµατα καταλοίπων. Μπορεί να οφείλονται σε σφάλµα καταγραφής Μπορεί να είναι σωστές τιµές που χρειάζονται περαιτέρω µελέτη Υ Αναγνώριση παρατηρήσεων µε υψηλή επιρροή Γραµµική σχέση µε ασυνήθιστη ϖαρατήρηση ασυνήθιστη ϖαρατήρηση Χ Αναγνώριση παρατηρήσεων µε υψηλή επιρροή Παρατηρήσεις µε ακραίες τιµές στην Χ ονοµάζονται σηµεία υψηλής µόχλευσης (hgh leverage pots) Leverage της -παρατήρησης: h + ( j j, Όσο περισσότερο απέχει από τον µέσο τόσο µεγαλύτερη η τιµή του leverage. 87 Κάποια προγράµµατα θέτουν τιµή leverageίση µε 6/ως κατώφλι για τις παρατηρήσεις υψηλής επιρροής 88 Έλεγχος ετεροσκεδαστικότητας Έλεγχος Whte Εκτιµηµένη εξίσωση παλινδρόµησης Y β + β +,,..., k k, k Εκτιµήστε την παλινδρόµηση και καταγράψτε την τιµή του K R γ + δz + ν, όπου Z {υποσύνολο των,..., }, έστω µεγέθους p (περιλαµβάνει τα τετράγωνα και τις αλληλεπιδράσεις των Χ) K Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση Έλεγχος Durb-Watso Έλεγχος AR() χωρίς υστερήσεις της εξαρτηµένης µεταβλητής στο δεξί σκέλος της εξίσωσης παλινδρόµησης ( t ut ) t d t t ( R ) d () Στατιστική DW µε τιµές p R( p ) Cov ( ut, ut p) t σ u p d 4 t t t p t ειγµατικός συντελεστής αυτοσυσχέτισης Κάτω από την µηδενική υπόθεση της απουσίας ετεροσκεδαστικότητας R ~ χ p δηλ. ο έλεγχος είναι ένας έλεγχος µε την κατανοµή χ µε p β.ε. 89 Τιµές d αποτελούν ένδειξη απουσίας αυτοσυσχέτισης Όταν υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση, τότε d< Όταν υπάρχει αρνητική αυτοσυσχέτιση, τότε d > 9 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

16 ιαφάνειες ιαλέξεων -6 Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση Έλεγχος Durb-Watso (συνέχεια) Για να ελέγξουµε για θετική αυτοσυσχέτιση σε επίπεδο σηµαντικότητας α, η στατιστική ελέγχου d συγκρίνεται µε την κάτω και άνω κριτική τιµή (d L,α και d U,α )που δίνονται από ειδικούς πίνακες ως συναρτήσεις του µεγέθους δείγµατος και του αριθµού των επεξηγηµατικών µεταβλητών k : Αν d < d L,α, υπάρχει στατιστικά σηµαντική ένδειξη θετικής αυτοσυσχέτισης Αν d > d U,α, υπάρχει στατιστικά σηµαντική ένδειξη απουσίαςθετικής αυτοσυσχέτισης Αν d L,α < d < d U,α, ο έλεγχος δεν παρέχει σαφές συµπέρασµα Έλεγχος για αυτοσυσχέτιση Έλεγχος Durb-Watso (συνέχεια) Για να ελέγξουµε για αρνητική αυτοσυσχέτιση σε επίπεδο σηµαντικότητας α : Αν (4-d) < d L,α, υπάρχει στατιστικά σηµαντική ένδειξη αρνητικής αυτοσυσχέτισης Αν (4-d) > d U,α, υπάρχει στατιστικά σηµαντική ένδειξη απουσίαςαρνητικής αυτοσυσχέτισης Αν d L,α < (4-d) < d U,α, ο έλεγχος δεν παρέχει σαφές συµπέρασµα 9 9 ΤΕΛΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 93 ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ -3 Χρήστος Εµµανουηλίδης

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 4.1 Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Γενικεύοντας τη διμεταβλητή (Y, X) συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενά Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 3η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ιδιότητες εκτιμώμενης ευθείας παλινδρόμησης με τη μέθοδο των ελαχίστων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης

Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών. Εξίσωση παλινδρόμησης. Πρόβλεψη εξέλιξης Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Αντικείμενο του κεφαλαίου είναι: Ανάλυση συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών Εξίσωση παλινδρόμησης Πρόβλεψη εξέλιξης Διμεταβλητές συσχετίσεις Πολλές φορές χρειάζεται να

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ 7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Εισαγωγικές Έννοιες 13 1.1. Εισαγωγή 13 1.2. Μοντέλο ή Υπόδειγμα 13 1.3. Η Ανάλυση Παλινδρόμησης 16 1.4. Το γραμμικό μοντέλο Παλινδρόμησης 17 1.5. Πρακτική χρησιμότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 5: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: ageliki.papaa@gmail.com, agpapaa@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapaa

Διαβάστε περισσότερα

ιαφάνειες ιαλέξεων 1-1 Πολυµεταβλητό γραµµικό υπόδειγµα

ιαφάνειες ιαλέξεων 1-1 Πολυµεταβλητό γραµµικό υπόδειγµα ιαφάνειες ιαλέξεων - ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΚΛΑΣΙΚΟ ΠΟΛΥΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Tο Πολυµεταβλητό Γραµµικό Υπόδειγµα Πολυµεταβλητό γραµµικό υπόδειγµα Το Κλασικό Υπόδειγµα Πολυµεταβλητό γραµµικό

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7ο μάθημα: Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο

Πολλαπλή παλινδρόµηση. Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση Μάθηµα 3 ο Πολλαπλή παλινδρόµηση (Multivariate regression ) Η συµπεριφορά των περισσότερων οικονοµικών µεταβλητών είναι συνάρτηση όχι µιας αλλά πολλών µεταβλητών Y = f ( X, X 2, X

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 10: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Β μέρος: Ετεροσκεδαστικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 6.1 Ετεροσκεδαστικότητα: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της σταθερής διακύμανσης των όρων σφάλματος,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 05 Έλεγχος διακυμάνσεων Μας ενδιαφέρει να εξετάσουμε 5 δίαιτες που δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

x y max(x))

x y max(x)) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Εισαγωγή Οικονοµετρία (Econometrics) είναι ο τοµέας της Οικονοµικής επιστήµης που περιγράφει και αναλύει

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Βιολέττα Δάλλα. Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Βιολέττα Δάλλα Τµήµα Οικονοµικών Επιστηµών Εθνικό και Καποδιστριακό Πανεπιστήµιο Αθηνών 1 Αυτοσυσχέτιση Αν τα σφάλµατα δεν συσχετίζονται µεταξύ τους, Corr(u t, u s ) = 0 για κάθε t s, t, s

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 12: Σφάλματα μέτρησης στις μεταβλητές Η μέθοδος των βοηθητικών μεταβλητών Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 11: Αυτοσυσχέτιση Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Περιεχόμενο ενότητας

Διαβάστε περισσότερα

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression)

Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) ΜΑΘΗΜΑ 3 ο 1 Πολλαπλή παλινδρόμηση (Multivariate regression) Η συμπεριφορά των περισσότερων οικονομικών μεταβλητών είναι συνάρτηση όχι μιας αλλά πολλών μεταβλητών Υ = f ( X 1, X 2,... X n ) δηλαδή η Υ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗ ιαφάνειες για το µάθηµα Information Management ΑθανάσιοςΝ. Σταµούλης 1 ΠΗΓΗ Κονδύλης Ε. (1999) Στατιστικές τεχνικές διοίκησης επιχειρήσεων, Interbooks 2 1 Γραµµική παλινδρόµηση Είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία

ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ. Οικονομετρία ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ Οικονομετρία 5.1 Αυτοσυσχέτιση: Εισαγωγή Συχνά, η υπόθεση της μη αυτοσυσχέτισης ή σειριακής συσχέτισης

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις)

Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) Ερωτήσεις κατανόησης στην Οικονομετρία (Με έντονα μαύρα γράμματα είναι οι σωστές απαντήσεις) 1. Έχοντας στη διάθεσή μας ένα δείγμα, προκύπτει ότι το 95% διάστημα εμπιστοσύνης για το μέσο μ ενός κανονικού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 2 Μαΐου /23 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 2 Μαΐου 2017 1/23 Ανάλυση Διακύμανσης. Η ανάλυση παλινδρόμησης μελετά τη στατιστική σχέση ανάμεσα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 13: Επανάληψη Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1 Γιατί μελετούμε την Οικονομετρία;

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ MSc Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Στις βασικές υποθέσεις των γραμμικών υποδειγμάτων (απλών και πολλαπλών), υποθέτουμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση (autocorrelation

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση II . Ο Συντελεστής Προσδιορισμού Η γραμμή Παλινδρόμησης στο δείγμα, αποτελεί μία εκτίμηση της γραμμής παλινδρόμησης στον πληθυσμό. Αν και από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων προκύπτουν εκτιμητές που έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Π E Ρ IEXOMENA Πρόλογος... xiii ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Εισαγωγή... 3 1.2 Ορισµός και αντικείµενο της στατιστικής... 3

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΧΡΗΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΜΟΝΤΕΛΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΠΑΛΙΝ ΡΟΜΗΣΗΣ 6.1 Εισαγωγή Σε πολλές στατιστικές εφαρµογές συναντάται το πρόβληµα της µελέτης της σχέσης δυο ή περισσότερων τυχαίων µεταβλητών. Η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21

Πρόλογος Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 Περιεχόμενα Πρόλογος... 15 Μέρος Ι: Απλό και πολλαπλό υπόδειγμα παλινδρόμησης... 19 1 Αντικείμενο της οικονομετρίας... 21 1.1 Τι είναι η οικονομετρία... 21 1.2 Σκοποί της οικονομετρίας... 24 1.3 Οικονομετρική

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 6: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Πολυμεταβλητή παλινδρόμηση (2 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage:

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΦΥΛΛΑΔΙΟ Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι Πανεπιστημίου Πειραιώς) Τηλ.: 4..97,,, Fax : 4..634 URL : www.vtal.gr emal: f@vtal.gr Παράρτημα Πανεπιστημίου: Δεληγιώργη 6 Α (έναντι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ II ΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΩΜΑΚΟΣ Ερώτηση : Εξηγείστε τη διαφορά µεταξύ του συντελεστή προσδιορισµού και του προσαρµοσµένου συντελεστή προσδιορισµού. Πώς µπορεί να χρησιµοποιηθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι)

ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ (Ι) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΧΩΡΟΤΑΞΙΑΣ, ΠΟΛΕΟΔΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ ΠΜΣ «ΕΠΕΝΔΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΡΙΦΕΡΕΙΑΚΗ ΑΝΑΠΤΥΞΗ» ΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΥΕΝΑΣ ΔΙΑΛΕΞΗ 5: ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 5: Παλινδρόμηση Συσχέτιση θεωρητική προσέγγιση Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ. Κεφάλαιο 16. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116)

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙI (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) Σελίδα 1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΙΙ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ) (ΟΔΕ 2116) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΟΣ ΥΠΟΤΡΟΦΟΣ ΠΑΝΑΓΙΩΤΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 4: Διάστημα Εμπιστοσύνης - Έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 2: Ανάλυση γραμμικού υποδείγματος Απλή παλινδρόμηση (1 ο μέρος) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Βασικές έννοιες ΜΑΘΗΜΑ 3ο Βασικές έννοιες Εισαγωγή Βασικές έννοιες Ένας από τους βασικότερους σκοπούς της ανάλυσης των χρονικών σειρών είναι η διενέργεια των προβλέψεων. Στα υποδείγματα αυτά η τρέχουσα τιμή μιας οικονομικής

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ. ΜΑΘΗΜΑ 4ο ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ 4ο Διαδικασία των συντελεστών αυτοσυσχέτισης Ονομάζουμε συνάρτηση αυτοσυσχέτισης (autocorrelation function) και συμβολίζεται με τα γράμματα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β

Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Στατιστική για Πολιτικούς Μηχανικούς Λυμένες ασκήσεις μέρους Β Κουγιουμτζής Δημήτρης Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 4 Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα. Παπάνα Αγγελική ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 9: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ Καθ Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 5 Έστω για την σύγκριση δειγμάτων συλλέγουμε παρατηρήσεις Υ =,,, από

Διαβάστε περισσότερα

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης

Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ιδιότητες της ευθείας παλινδρόµησης Ηευθεία παλινδρόµησης περνάει από το σηµείο αφού a b, a b ( b ) b b ( + + + ) ( ) + b u u a b a b Αυτό όµως προϋποθέτει την ύπαρξη του a. Αν δηλαδή υποχρεώσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ

ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΜΕΣΟΛΟΓΓΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΤΗ ΙΟΙΚΗΣΗ ΚΑΙ ΣΤΗΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ Α εξεταστική περίοδος χειµερινού εξαµήνου 4-5 ιάρκεια εξέτασης ώρες και 45 λεπτά Θέµατα Θέµα (α) Τα υποδείγµατα που χρησιµοποιούνται στην οικονοµική θεωρία ονοµάζονται ντετερµινιστικά ενώ τα οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΩΝ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΠΑΛΑΙΟΤΕΡΩΝ ΕΤΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό διερευνούµε αν το να είναι κανείς υποψήφιος παλαιοτέρων ετών, που έχει δώσει τουλάχιστον µια φορά εξετάσεις, του προσδίδει

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής

Οικονομετρία Ι. Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov. Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Οικονομετρία Ι Ενότητα 3: Θεώρημα των Gauss Markov Δρ. Χαϊδώ Δριτσάκη Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ

ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ ΤΟ ΔΕΙΓΜΑ ΣΤΟΝ ΠΛΗΘΥΣΜΟ Το ενδιαφέρον επικεντρώνεται πάντα στον πληθυσμό Το δείγμα χρησιμεύει για εξαγωγή συμπερασμάτων για τον πληθυσμό π.χ. το ετήσιο εισόδημα των κατοίκων μιας περιοχής Τα στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή

Στασιμότητα χρονοσειρών Νόθα αποτελέσματα-spurious regression Ο έλεγχος στασιμότητας είναι απαραίτητος ώστε η στοχαστική ανάλυση να οδηγεί σε ασφαλή Χρονικές σειρές 12 Ο μάθημα: Έλεγχοι στασιμότητας ΑΝΑΚΕΦΑΛΑΙΩΣΗ: Εκτίμηση παραμέτρων γραμμικών μοντέλων Συνάρτηση μερικής αυτοσυσχέτισης Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων

Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια. Γραμμικά Μοντέλα. Λύσεις Ασκήσεων Ελένη Κανδηλώρου Αναπλ. Καθηγήτρια Αθήνα, 6-4-7 Γραμμικά Μοντέλα Λύσεις Ασκήσεων η Άσκηση: (α) Eίναι η σχέση μεταξύ των δύο μεταβλητών γραμμική; Διάγραμμα Διασποράς Για το Υψόμετρο & τις Αρνητικές Τιμές

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2)

Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Χρονικές σειρές 6 Ο μάθημα: Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα (2) Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα,

Διαβάστε περισσότερα

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή

) = a ο αριθµός των µηχανών n ο αριθµός των δειγµάτων που παίρνω από κάθε µηχανή Ανάλυση Συνδιακύµανσης Alsis of Covrice Η ανάλυση συνδιακύµανσης είναι µία άλλη τεχνική για να βελτιώσουµε την ακρίβεια της προσέγγισης του µοντέλου µας στο πείραµα. Ας υποθέσουµε ότι σ ένα πείραµα εκτός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΤΙΣ ΕΠΕΞΗΓΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μέχρι τώρα τα προβλήματα που δημιουργούνται από την παραβίαση των υποθέσεων που πρέπει να ισχύουν ώστε οι OLS εκτιμητές να είναι BLUE

Διαβάστε περισσότερα

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη

Ύλη 1 ης Εβδομάδας. Σχέσεις Μεταβλητών ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Σχέση μεταξύ Μεταβλητών Παραδείγματα. 2 η Διάλεξη ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ 2 η Διάλεξη Ελένη Κανδηλώρου (Αναπλ. Καθηγήτρια) Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Στατιστικής Ύλη 1 ης Εβδομάδας Γραμμική Παλινδρόμηση-Έννοια Παλινδρόμισης 1. Σχέση μεταξύ μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου /32 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 30 Μαρτίου 2017 1/32 Ανάλυση Παλινδρόμησης: Γενικά. Με την ανάλυση παλινδρόμησης εξετάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης Kozani GR 50100 Ποσοτικές Μέθοδοι Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR 50100 Απλή Παλινδρόμηση Η διερεύνηση του τρόπου συμπεριφοράς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδηµαϊκό Έτος 01-013 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 10 Ο μάθημα: Μη στάσιμα μοντέλα ARIMA Μεθοδολογία Box-Jenkins Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ.

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

Αναλυτική Στατιστική

Αναλυτική Στατιστική Αναλυτική Στατιστική Συμπερασματολογία Στόχος: εξαγωγή συμπερασμάτων για το σύνολο ενός πληθυσμού, αντλώντας πληροφορίες από ένα μικρό υποσύνολο αυτού Ορισμοί Πληθυσμός: σύνολο όλων των υπό εξέταση μονάδων

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas

ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ. Συσχέτιση (Correlation) - Copulas ΕΙΔΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗΣ ΚΙΝΔΥΝΟΥ Συσχέτιση (Correlation) - Copulas Σημασία της μέτρησης της συσχέτισης Έστω μία εταιρεία που είναι εκτεθειμένη σε δύο μεταβλητές της αγοράς. Πιθανή αύξηση των 2 μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ 1. Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ 2 =Ε(Χ 2 )-µ 2 ΑΣΚΗΣΗ 2 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ ΙΙ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι Ι ΑΣΚΩΝ : ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΙΚΑΙΟΣ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : σ =Ε(Χ )-µ ΑΣΚΗΣΗ Ν'αποδειχθεί η σχέση : Cov(X,Υ)=Ε(ΧΥ)-Ε(Χ)Ε(Υ) ΑΣΚΗΣΗ 3 Να δείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση I. Εισαγωγή Έστω ότι θέλουμε να ερευνήσουμε εμπειρικά τη σχέση που υπάρχει ανάμεσα στις δαπάνες κατανάλωσης και στο διαθέσιμο εισόδημα, των οικογενειών. Σύμφωνα με την Κεϋνσιανή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης

ΜΑΘΗΜΑ 3ο. Υποδείγματα μιας εξίσωσης ΜΑΘΗΜΑ 3ο Υποδείγματα μιας εξίσωσης Οι βασικές υποθέσεις 1. Ο διαταρακτικός όρος u t είναι μια τυχαία μεταβλητή με μέσο το μηδέν. Eu t = 0 για t = 1,2,3..n 2. Η διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής u t είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν

Αν έχουμε δύο μεταβλητές Χ και Υ και σύμφωνα με την οικονομική θεωρία η μεταβλητή Χ προσδιορίζει τη συμπεριφορά της Υ το ερώτημα που τίθεται είναι αν ΜΑΘΗΜΑ 12ο Αιτιότητα Ένα από τα βασικά προβλήματα που υπάρχουν στην εξειδίκευση ενός υποδείγματος είναι να προσδιοριστεί η κατεύθυνση που μία μεταβλητή προκαλεί μία άλλη σε μία εξίσωση παλινδρόμησης. Στην

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. Πρόλογος... 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ / 7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος... 13 Κεφάλαιο 1: Περιγραφική Στατιστική... 15 1.1 Περιγραφική και Συμπερασματική Στατιστική... 15 1.2 Μεταβλητές - Τιμές - Παρατηρήσεις... 19 1.3 Είδη μεταβλητών...

Διαβάστε περισσότερα

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος

1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος Έλεγχοι Υποθέσεων 1. Εισαγωγή Ο έλεγχος υποθέσεων αναφέρεται στις ιδιότητες µιας άγνωστης παραµέτρους του πληθυσµού: Ο κατηγορούµενος είναι αθώος µ = 100 Κάθε υπόθεση συνοδεύεται από µια εναλλακτική: Ο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Τα υποδείγματα του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης (simple linear regression

Διαβάστε περισσότερα