6. Klein-Gordon-Gleichung und Elektrodynamik

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1 Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik 6. Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik Grundgleichungen (diese werden im Folgenden begründe) Klein-Gordon-Gl. Maxwell-Gl. (äquvivalen) ( ) + + m ie e ie Nomenklaur Vierer-Vekoren (invarian uner Lorenz-Transformaionen) (, c x) (, c x) ( E, ) c Herleiung Klein-Gordon-Gleichung Koninuiä des wahrscheinlichen Wirkungssromes: ( S ) 0 Zusammenfassung von Wahrscheinlichkeisfunkion und Wirkungsfunkion S zur Quanenwellenfunkion : is / e S ln i 5. Mai 004

2 K. Bräuer: Comuersimulaion hysikalischer Phänomene mi Finien-Elemenen S ( ) i i 0 i i ( S ) ( ) ( ) freie Konsane mc mc i + 0 mc mc i 0 0 Klein-Gordon- Klein-Gordon- Gleichung Gleichung Klein-Gordon-Gleichung Relaivisischer Energiesaz Nebenrechung i e + S e is / is / i i i i ( ) + ( ) ( S) + ( S) + ( )( S) + ( S)( S) e i i ( ) + ( ) + i( ) + ( ) e + + i ( ) ( ) ( ) i is ( ) ( ) ( ) / is / e i i e / is / e e e + + is i ( ) + ( ) + ( ) ( ) is / is / is / also (6-)

3 Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik 3 Re 0 Beirag zur Energiefunkion Im 0 ( Koninuiäsgleichung) dami ergib sich aus der Klein-Gordon-Gleichung mc 0 m c e also Kausaldruck + aus Koninuiäsgleichung ( ) m c m c relaivisischer Energiesaz is / Elekrodynamik: ufeilung der Wirkung auf Maerie und Wechselwirkung S + e klassisch: Imuls eines Obeks ( beobache) Imulsaneil der Wechselwirkung ( )( ) + + mc e e relaivisischer Energiesaz + e + e ( el) E + + e E + + e oder ( E/ c, ) ( el) ( ) 4 E c + m c + e E + c + e c Mechanik Wechselwirkung Ele krodynamik Klein-Gordon-Gleichung mi elekromagneischer Wechselwirkung Koninuiäsgleichung mi elekromagneischem Feld S ( e ) 0 + wahrscheinlicher Wirkungssrom + ( ) + i e e 5. Mai 004

4 4 K. Bräuer: Comuersimulaion hysikalischer Phänomene mi Finien-Elemenen Koninuiä des Sromes 0 + e mc mc i + e e + e + e + e + e mc mc e e i ( ( e + e ) + ( e + e ) ) mc e e e + i i + i Klein-Gordon-Gleichung mc e e e i i Klein-Gordon-Gleichung Energiefunkion der Klein-Gordon-Gleichung mi elekromagneischer Wechselwirkung Klein-Gordon-Gleichung mc e e i ( + ) + Nach Gleichung (6-): i + und

5 Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik 5 ( ) e e i ( + ) i ( ) + e is / e i i ( ) + ( ) + e e e e + i + zusammen: mc e e 0 + i ( + ) mc e e ( ) + e e + i + + e also Energiefunkion: ( ) is / ( ) m c e e Mechanik Elekrodynamik Wechselwirkung Quanenmechanik Koninuiä: 0 + e Maxwell-Gleichungen Koninuiäsgleichung des elekromagneischen Feldes: ν ν Srom des EM-Feldes Nomenklaur ν ν ( c 0, ) ( ) ( ) Quellsrom ( wahrscheinlicher Wirkungssrom) c + c + mi Mai 004

6 6 K. Bräuer: Comuersimulaion hysikalischer Phänomene mi Finien-Elemenen E 0 c B und folg Lorenz-Bedingung bleien der Koninuiäsgleichung nach : + ν ν 0 c 0 0 Koninuiäsgleichung Lorenz-Bedingung des wahrscheinlichen Wirkungssromes mögliche Konsanen werden durch Randbedingungen unerdrück: 0 Coulomb-Gesez und mere-gesez c E c c + c 0 E c 0 c + B c ( + c 0 ) E 0 0 ( Lorenz-Bedingung) c + B 0 ( Lorenz-Eichung, siehe unen) E 0 Coulomb-Gesez B mere-gesez weierhin B ( ) B 0 mere-gesez r

7 Klein-Gordon-Gleichung und Elekrodynamik 7 Indukionsgesez E 0 c 0 c 0 B E c B Lorenz-Eichung: Indukionsgesez Eine Eichransformaion der Wirkungsfunkion änder nichs an den Bewegungsgleichungen S S' + χ S S' + χ ' ' + + χ dies nuzen wir aus: ' ' c + c + c ( + χ) + ( + χ) c + c χ + χ für edes ' + χ exisier χ, so dass c + 0 is Lorenz-Eichung 5. Mai 004