Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

Transcript

1 Εαρινό εξάμηνο Χ. Χαραλάμπους ΑΠΘ

2 Αρχαία Ελληνικά Μαθηματικά 7 ο αιώνα π.χ 44 ο αιώνα μ.χ.

3

4 Διχοτόμηση Τα παράδοξα του Ζήνωνα ( ) στην υπεράσπιση του Παρμενίδη οι ιδέες του απείρου και του συνεχούς Εάν ένα ευθύγραμμο τμήμα είναι απείρως διαιρετό τότε η κίνηση είναι αδύνατη: για να διανύσει ένας δρομέας ένα ευθύγραμμο τμήμα, πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του, πριν από αυτό, πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου, και για να το κάνει αυτό πρέπει πρώτα να περάσει από το μέσο του μέσου του μέσου, κ.ο.κ., επ άπειρον. Ο δρομέας πρέπει να πλησιάσει μία άπειρη ομάδα σημείων μέσα σε ένα πεπερασμένο χρονικό διάστημα. Είναι όμως αδύνατο να εξαντλήσει μία άπειρη συλλογή και κατά συνέπεια η κίνηση είναι αδύνατη.

5 Ο Αχιλλέας και η χελώνα Αν ο Αχιλλέας αφήσει μια χελώνα να ξεκινήσει από ένα σημείο που βρίσκεται πιο μπροστά απ αυτόν, τότε ο Αχιλλέας δεν θα φτάσει ποτέ την χελώνα: πρέπει πρώτα να φτάσει το σημείο απ' όπου ξεκίνησε ή χελώνα. Μέχρι τότε όμως, η χελώνα θα έχει πάει σε ένα άλλο σημείο, πιο μπροστά. Ο Αχιλλέας τότε θα πρέπει να πάει σ αυτό το σημείο, αλλά πάλι ή χελώνα θα έχει πάει πιο μπροστά. Έτσι η χελώνα πάντα θα προπορεύεται. Τα παράδοξα της διχοτόμησης και του Αχιλλέα δείχνουν ότι η κίνηση είναι αδύνατη αν δεχθούμε τις άπειρες υποδιαιρέσεις του χώρου και χρόνου.

6 Το Βέλος και το Στάδιο (έστω ότι δεν υπάρχει άπειρη υποδιαίρεση του χώρου και του χρόνου) Η περίοδος κατά την διάρκεια της οποίας ένα βέλος κινείται, συνίσταται από έναν αριθμό διαδοχικών χρονικών στιγμών. Σε κάθε μία από αυτές τις στιγμές, το βέλος είναι στη θέση πού είναι, και την επόμενη στιγμή είναι κάπου άλλου. Πότε κινήθηκε? Άρα το βέλος δεν μετακινείται και ηκίνηση ηείναι μία οφθαλμαπάτη. Ο κόσμος των αριθμών είχε την διακριτότητα. Για τα συνεχή μεγέθη ήταν αναγκαία η μελέτη με άλλες μεθόδους. Έτσι κυριάρχησε η γεωμετρία.

7 Πλάτων ( ) Αθήνα Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Ακαδημία (387 π.χ μ.χ.) ) Αθήνα Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα έχουν την τέλεια μορφή. Στον κόσμο των αισθήσεων τα αντικείμενα προσπαθούν να μοιάσουν την τέλεια μορφή τους. Τι είναι λοιπόν απόδειξη?

8 Πλατωνικά στερεά Κύβος (γη) Τετράεδρο (φωτιά) Οκτάεδρο (αέρας) Εικοσάεδρο (νερό) ωδεκάεδρο (σύμπαν)

9 «Θεός αεί γεωμετρείν» Νόμος 747b, (Πλάτων) Ουδέν ούτω δύναμιν έχει παίδειον μάθημα μεγάλην ως η περί τους αριθμούς διατριβή. Το δε μέγιστον ότι τον νυστάζοντα και αμαθή φύσει εγείρει και ευμαθή και αγχίνουν απεργάζεται. Kανένα μάθημα δεν έχει τόσο μεγάλη παιδευτική δύναμη όσο η ενασχόληση ημε τους αριθμούς. Το πιο σημαντικό απ όλα είναι ότι τον κοιμισμένο στο μυαλό, τον χωρίς κλίση για μάθηση τον διεγείρει και τον κάνει να μαθαίνει και του αυξάνει την αντιληπτική ικανότητα.

10 Δήλιο πρόβλημα Ο χρησμός που δόθηκε στους Δηλίους κατά τη διάρκεια λοιμού, περίπου το 430 π.χ. συμβούλευε να κατασκευάσουν ένα κυβικό βωμό διπλάσιου μεγέθους από αυτόν που ήδη υπήρχε. Η κατασκευή έπρεπε να γίνει με κανόνα και διαβήτη. Ισοδύναμο με το να βρεθεί x έτσι ώστε Πολλοί μαθηματικοί της αρχαιότητας (Πυθαγόρειοι, Πλάτωνας, Αρχύτας, Εύδοξος) ) επιχείρησαν να λύσουν το πρόβλημα χωρίς επιτυχία. Ο Αρχύτας για παράδειγμα βρήκε μία λύση που όμως δεν χρησιμοποιούσε κανόνα και διαβήτη. Υπάρχει λύση? Γενικώτερα, ποιοι αριθμοί είναι κατασκευάσιμοι με κανόνα και διαβήτη? ερμηνεία του Πλάτωνα: οι θεοί θέλουν οι Έλληνες να ασχοληθούν περισσότερο ρ με τη ηγεωμετρία και τα μαθηματικά.

11 Εύδοξος από την Κνίδο ( ) μαθηματικός, φλό φιλόσοφος, φ αστρονόμος, γεωγράφος. Πριν: διαχωρισμός ανάμεσα στο μέγεθος (π.χ. ρίζα του 2) και στους αριθμούς. Ορισμός: δύο μεγέθη σχηματίζουν λόγο όταν (ακέραιο) πολλαπλάσιο του ενός ξεπερνά το άλλο. Παράδειγμα: 1. ευθύγραμμα τμήματα και εμβαδά δεν συγκρίνονται. 2. Το 1 με το ρίζα 2 σχηματίζουν λόγο. Στοιχεία του Ευκλείδη: Βιβλίο 5, ορισμός 4 : αξίωμα του Αρχιμήδη (ο Αρχιμήδης όμως το αποδίδει στον Εύδοξο). ) Θα συμβολίσουμε τον λόγο ανάμεσα στα a και b με a:b.

12 Έστω δύο λόγοι, a:b και c:d. Πότε a:b =c:d? Για να είναι a:b =c:d θα πρέπει για κάθε m, n ακεραίους να ισχύει αν ma<nb τότε mc<nd αν ma=nb τότε mc=nd αν ma>nb τότε mc>nd Στοιχεία του Ευκλείδη: Βιβλίο 5, ορισμός 5: σύγκριση με τον ορισμό του Dedekind (19 ος αιώνα) για τους άρρητους Εύκολο παράδειγμα: 3: 6 = 4:8 αφού αν m 3<n 6 τότε m<2 n και m 4<n 8 αν m 3=n 6 τότε m=2 n και m 4=n 8 αν m 3>n 6 τότε m>2 n και m 4>n 8 Δύσκολο παράδειγμα : κύκλοι c και C, με διαμέτρους d και D, εμβαδά a και A. Τότε a: A= d : D 2 2

13 Τομές του Dedekind ( ) 1916) στους ρητούς: δημιουργία των άρρητων (αξιωματική θεμελίωση) Ξεκινάμε από το σύνολο των ρητών. Τομή για την ρίζα του 2: Έστω Α το σύνολο όλων των ρητών που το τετράγωνό τους είναι μικρότερο ρ του 2 μαζί με όλους τους αρνητικούς. Έστω Δ το σύνολο των ρητών που το τετράγωνό τους είναι μεγαλύτερο του 2 και που ταυτόχρονα είναι θετικοί. (κάθε στοιχείο του Α είναι μικρότερο του Δ) Τη δυάδα υποσυνόλων του Q {Α,Δ} την ονομάζουμε ρίζα του 2. Για κάθε πραγματικό αριθμό μπορούμε να φτιάξουμε τέτοια δυάδα. Οι πραγματικοί λοιπόν μπορούν λοιπόν να θεμελιωθούν θ ως τέτοιες δυάδες, δ (πράξεις ανάμεσα στις δυάδες?)

14 m m m A= m n n n n Δ= m 2 2 m { : m 2 n, 0} n > n > 2 2 { : 2 } { : 0}

15 Ερμηνεία για τον ορισμό του Ευδόξου: Ο Εύδοξος χωρίζει τους ρητούς σε δύο υποσύνολα: 2 = 2 1 A = { m n : m 2 n } B = { m n : m > 2 n }

16 Έστω κύκλοι c και C, με διαμέτρους d και D, εμβαδά a και A. Τότε a : A= d : D 2 2 Πρώτα αποδεικνύουμε την αντίστοιχη εύκολη πρόταση για τα κανονικά πολύγωνα με n ακμές και εμβαδά Για τον λόγο a:a έχουμε τρείς περιπτώσεις Θα αποκλείσουμε τις δύο τελευταίες.

17 Έστω ότι Τότε υπάρχει a έτσι ώστε Θέτουμε e=a-a. Εγγράφουμε κανονικά πολύγωνα στους κύκλους. Κάθε φορά που διπλασιάζουμε τον αριθμό των πλευρών, το εμβαδόν της περιοχής ανάμεσα στο κύκλο και στο πολύγωνο μικραίνει. Κάποια στιγμή για n αριθμό ακμών θα έχουμε Όμως Άρα άτοπο Η άλλη περίπτωση γίνεται με τον ίδιο τρόπο (άσκηση)

18 Στη προηγούμενη απόδειξη χρησιμοποιήθηκε η «ιδιότητα της εξάντλησης». Πρόταση [Εύδοξος](Στοιχεία, βιβλίο 10, πρόταση 1): Αν από ένα μέγεθος αφαιρέσουμε ένα τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο του μισού του, και από το υπόλοιπο αφαιρέσουμε πάλι τμήμα μεγαλύτερο ή ίσο του μισού του και αν συνεχίσουμε αυτή τη διαδικασία των αφαιρέσεων, θα καταλήξουμε σε μέγεθος μικρότερο από οποιοδήποτε προκαθορισμένο μέγεθος του ίδιου είδους. Απόδειξη: αξίωμα του Ευδόξου. (άσκηση) Εύδοξος: ο πατέρας του ολοκληρωτικού λογισμού? Πατέρας της επιστημονικής αστρονομίας. (ιπποπέδης)

19 Εύδοξος και οι πλανήτες (Μεταφυσική του Αριστοτέλη) μοντέλο για τη σελήνη Καμπύλη ιπποπέδης Σφαίρες που ο άξονας της μίας είναι η διάμετρος της άλλης. Όταν περιστρέφεται η μία, περιστρέφεται και ο άξονας της άλλης.

20 Αριστοτέλης 384 π.χ. 322 π.χ. O Αριστοτέλης ήταν κυρίως Η ταξινόμηση, η φιλόσοφος και παρατήρηση, το πείραμα, βιολόγος. η ανάλυση αποτέλεσαν Η μεγάλη συνεισφορά του στην εξέλιξη των μαθηματικών είναι οι βάσεις της λογικής που έθεσε και οι συνεχείς αναφορές σε μαθηματικές έννοιες και θεωρήματα. τον άξονα της θεώρησής του για τον κόσμο. Η αριστοτέλεια μεθοδολογία θα υιοθετηθεί απ τον Ευρωπαϊκό ιαφωτισμό

21 Ευκλείδης ( π.χ.), (Αλεξάνδρεια) Έργα Στοιχεία εδομένα Φαινόμενα ή Σφαιρικά Οπτικά Κατοπτρικά Στοιχεία Μουσικής Βιβλίο περί διαιρέσεων Πορίσματα Κωνικά Τόποι προς επιφάνειες Ψευδάρια Μηχανική Περί βαρέων και ελαφρών σωμάτων

22 Στοιχεία βιβλίο 2, πρόταση 5 (100 μ.χ. Ὀξύρρυγχος )

23 Στοιχεία του Ευκλείδη («εισαγωγή στα μαθηματικά») Συλλογή από 13 βιβλία-κεφάλαια: ββλί στόχος του: η παρουσίαση με λογική σειρά των βάσεων των στοιχειωδών μαθηματικών: αριθμητική (θεωρία αριθμών), γεωμετρία (σημεία, ευθείες, επίπεδα, κύκλοι, σφαίρες), γεωμετρική άλγεβρα. Στηρίχτηκε κατά ένα μεγάλο μέρος στο έργο προηγούμενων μαθηματικών. Πιστεύουμε ότι η διάταξη δά των προτάσεων είναι δική του και κάποιες από τις αποδείξεις. Τα βιβλία 1-6 αναφέρονται στη στοιχειώδη γεωμετρία του επιπέδου Τα βιβλία ββ 7-9 αναφέρονται φρ στη θεωρία των αριθμών. Το βιβλίο 10 αναφέρεται στους άρρητους. Τα βιβλία αναφέρονται στη στερομετρία.

24 Ορισμοί α. Σημεῖόν ἐστιν,, οὗ μέρος οὐθέν. β. Γραμμὴ δὲ μῆκος ἀπλατές. γ. Γραμμῆς δὲ πέρατα σημεῖα. δ. Εὐθεῖα γραμμή ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου τοῖς ἐφ' ἑαυτῆς σημείοις κεῖται. ε. Ἐπιφάνεια δέ ἐστιν, ὃ μῆκος καὶ πλάτος μόνον ἔχει. ς. Ἐπιφανείας δὲ πέρατα γραμμαί. ζ. Ἐπίπεδος ἐπιφάνειά ἐστιν, ἥτις ἐξ ἴσου ταῖς ἐφ' ἑαυτῆς εὐθείαις κεῖται. η. Ἐπίπεδος δὲ γωνία ἐστὶν ἡἐν ἐπιπέδῳ δύο γραμμῶν ἁπτομένων ἀλλήλων καὶ μὴἐπ' εὐθείας κειμένων πρὸς ἀλλήλας τῶν γραμμῶν κλίσις. θ. Ὅταν δὲ αἱ περιέχουσαι τὴν γωνίαν γραμμαὶ εὐθεῖαι ὦσιν, εὐθύγραμμος καλεῖται ἡ γωνία. ι.ὅταν δὲ εὐθεῖα ἐπ' εὐθεῖαν σταθεῖσα τὰς ἐφεξῆς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ποιῇ, ὀρθὴἑκατέρα τῶν ἴσων γωνιῶν ἐστι, καὶἡἐφεστηκυῖα εὐθεῖα κάθετος καλεῖται, ἐφ' ἣν ἐφέστηκεν. ια.ἀμβλεῖα γωνία ἐστὶν ἡ μείζων ὀρθῆς. ιβ.ὀξεῖα δὲἡἐλάσσων ὀρθῆς. ιγ.ὅρος ἐστίν, ὅ τινός ἐστι πέρας. ιδ. Σχῆμά ἐστι τὸὑπό τινος ἤ τινων ὅρων περιεχόμενον. Ιε. Κύκλος ἐστὶ σχῆμα ἐπίπεδον ὑπὸ μιᾶς γραμμῆς περιεχόμενον [ἣ καλεῖται περιφέρεια], πρὸς ἣν ἀφ' ἑνὸς σημείου τῶν ἐντὸς τοῦ σχήματος κειμένων πᾶσαι αἱ προσπίπτουσαι εὐθεῖαι [πρὸς τὴν τοῦ κύκλου περιφέρειαν] ἴσαι ἀλλήλαις εἰσίν. ις. Κέντρον δὲ τοῦῦ κύκλου τὸὸ σημεῖον ῖ καλεῖται. ῖ ιζ.διάμετρος δὲ τοῦ κύκλου ἐστὶν εὐθεῖά τις διὰ τοῦ κέντρου ἠγμένη καὶ περατουμένη ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ὑπὸ τῆς τοῦ κύκλου περιφερείας, ἥτις καὶ δίχα τέμνει τὸν κύκλον. ιη.ἡμικύκλιον δέ ἐστι τὸ περιεχόμενον σχῆμα ὑπό τε τῆς διαμέτρου καὶ τῆς ἀπολαμβανομένης ὑπ' αὐτῆς περιφερείας. κέντρον δὲ τοῦ ἡμικυκλίου τὸ αὐτό, ὃ καὶ τοῦ κύκλου ἐστίν. ιθ.σχήματα εὐθύγραμμά ἐστι τὰὑπὸ εὐθειῶν περιεχόμενα, τρίπλευρα μὲν τὰὑπὸτριῶν, τετράπλευρα δὲ τὰὑπὸ τεσσάρων, πολύπλευρα δὲ τὰ ὑπὸ πλειόνων ἢ τεσσάρων εὐθειῶν περιεχόμενα. κ.τῶν δὲ τριπλεύρων σχημάτων ἰσόπλευρον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸ τὰς τρεῖς ἴσας ἔχον πλευράς, ἰσοσκελὲς δὲ τὸ τὰς δύο μόνας ἴσας ἔχον πλευράς, σκαληνὸν δὲ τὸ τὰς τρεῖς ἀνίσους ἔχον πλευράς. κα.ἔτι δὲ τῶν τριπλεύρων σχημάτων ὀρθογώνιον μὲν τρίγωνόν ἐστι τὸἔχον ὀρθὴν γωνίαν, ἀμβλυγώνιον δὲ τὸἔχον ἀμβλεῖαν γωνίαν, ὀξυγώνιον δὲ τὸ τὰς τρεῖς ὀξείας ἔχον γωνίας. κβ.τῶν δὲ τετραπλεύρων σχημάτων τετράγωνον μέν ἐστιν, ὃἰσόπλευρόν τέ ἐστι καὶὀρθογώνιον, ἑτερόμηκες δέ, ὃὀρθογώνιον μέν, οὐκ ἰσόπλευρον δέ, ῥόμβος δέ, ὃ ἰσόπλευρον μέν, οὐκ ὀρθογώνιον δέ, ῥομβοειδὲς δὲ τὸ τὰς ἀπεναντίον πλευράς τε καὶ γωνίας ἴσας ἀλλήλαις ἔχον, ὃ οὔτε ἰσόπλευρόν ἐστιν οὔτε ὀρθογώνιον: τὰ δὲ παρὰ ταῦτα τετράπλευρα τραπέζια καλείσθω. κγ.παράλληλοί εἰσιν εὐθεῖαι, αἵτινες ἐν τῷ αὐτῷἐπιπέδῳ οὖσαι καὶἐκβαλλόμεναι εἰς ἄπειρον ἐφ' ἑκάτερα τὰ μέρη ἐπὶ μηδέτερα συμπίπτουσιν ἀλλήλαις.

25 Αἰτήματα α. Αιτήσθω ἀπὸ παντὸς σημείου ἐπὶ πᾶν σημεῖον εὐθεῖαν γραμμὴν ἀγαγεῖν. β. Καὶ πεπερασμένην εὐθεῖαν κατὰ τὸ συνεχὲς ἐπ' ' εὐθείας ἐκβαλεῖν. γ. Καὶ ὶ παντὶὶ κέντρῳ καὶὶ διαστήματι κύκλον γράφεσθαι. δ. Καὶ πάσας τὰς ὀρθὰς γωνίας ἴσας ἀλλήλαις εἶναι. ε. Καὶἐὰν εἰς δύο εὐθείας εὐθεῖα ἐμπίπτουσα τὰς ἐντὸς καὶ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη γωνίας δύο ὀρθῶν ἐλάσσονας ποιῇ, ἐκβαλλομένας τὰς δύο εὐθείας ἐπ' ἄπειρον συμπίπτειν, ἐφ' ἃ μέρη εἰσὶν αἱ τῶν δύο ὀρθῶν ἐλάσσονες.

26 Αίτημα 5 Αν μία ευθεία τέμνει δύο άλλες και σχηματίζει με αυτές ένα ζεύγος «εντός και επί τα αυτά» γωνιών με άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές, τότε οι ευθείες τέμνονται προς το μέρος που είναι αυτές οι γωνίες.

27 Είναι το 5 ο αίτημα όντως αίτημα και όχι πρόταση? μήπως στη πραγματικότητα το 5 ο αίτημα προκύπτει από τα άλλα 4 και έτσι είναι πρόταση? το 5 ο αίτημα είναι ισοδύναμο με τα εξής: 1. από σημείο εκτός ευθείας διέρχεται μόνο μία παράλληλος 2. οι γωνίες σε ένα τρίγωνο έχουν άθροισμα 180 μοίρες. (και άλλες πολλές προτάσεις κυρίως με παράλληλες ευθείες) Προσοχή: στις μη ευκλείδειες γεωμετρίες, όπως ςη υπερβολική γεωμετρία του Lobachevski ( ) και η σφαιρική γεωμετρία του Riemann ( ) από σημείο εκτός ευθείας διέρχονται περισσότερες ή καμιά παράλληλος αντίστοιχα.

28 Κοινές έννοιες (5) 1. Τα προς τρίτο ίσα είναι και μεταξύ τους ίσα. 2. Και αν σε ίσα προστεθούν ίσα, τα αθροίσματα είναι ίσα. Και αν από ίσα αφαιρεθούν ίσα, τα υπόλοιπα είναι ίσα. Και όσα εφαρμόζουν το ένα πάνω στο άλλο, είναι μεταξύ τους ίσα. Και το ολόκληρο μεγαλύτερο από το μέρος.

29 Πρότασις μζ Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸἀπὸτῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις. Ἔστω τρίγωνον ὀρθογώνιον τὸ ΑΒΓ ὀρθὴν ἔχον τὴν ὑπὸ ΒΑΓ γωνίαν λέγω, ὅτι τὸἀπὸτῆς ΒΓ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ,, ΑΓ τετραγώνοις. Ἀναγεγράφθω γὰρ ἀπὸ μὲν τῆς ΒΓ τετράγωνον τὸ ΒΔΕΓ, ἀπὸ δὲ τῶν ΒΑ, ΑΓ τὰ ΗΒ, ΘΓ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΔ, ΓΕ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΛ καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΔ, ΖΓ. καὶ ἐπεὶὀρθή ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΑΓ, ΒΑΗ γωνιῶν, πρὸς δή τινι εὐθείᾳ τῇ ΒΑ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Α δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΓ, ΑΗ μὴ ἐπὶ τὰ αὐτὰ μέρη κείμεναι τὰς ἐφεξῆς γωνίας δυσὶν ὀρθαῖς ἴσας ποιοῦσιν ἐπ' εὐθείας ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑ τῇ ΑΗ. διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ ἡ ΒΑ τῇ ΑΘ ἐστιν ἐπ' εὐθείας. καὶ ἐπεὶἴση ἐστὶν ἡὑπὸδβγ γωνία τῇὑπὸζβα ὀρθὴ γὰρ ἑκατέρα κοινὴ προσκείσθω ἡὑπὸαβγ ὅλη ἄρα ἡὑπὸδβα ὅλῃ τῇ ὑπὸ ΖΒΓ ἐστιν ἴση. καὶ ἐπεὶἴση ἐστὶν ἡ μὲν ΔΒ τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΖΒ τῇ ΒΑ, δύο δὴ αἱ ΔΒ, ΒΑ δύο ταῖς ΖΒ, ΒΓ ἴσαι εἰσὶν ἑκατέρα ἑκατέρᾳ καὶ γωνία ἡὑπὸδβα γωνίᾳ τῇὑπὸ ΖΒΓ ἴση ηβάσις ἄρα ρ ἡ ΑΔ βάσει τῇ ΖΓ [ἐστιν] ἴση, η καὶ τὸ ΑΒΔ τρίγωνον τῷ ΖΒΓ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον καὶ [ἐστὶ] τοῦ μὲν ΑΒΔ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον βάσιν τε γὰρ τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΒΔ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΒΔ, ΑΛ τοῦ δὲ ΖΒΓ τριγώνου διπλάσιον τὸ ΗΒ τετράγωνον βάσιν τε γὰρ πάλιν τὴν αὐτὴν ἔχουσι τὴν ΖΒ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς εἰσι παραλλήλοις ταῖς ΖΒ, ΗΓ. [τὰ δὲ τῶν ἴσων διπλάσια ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν ] ἴσον ἄρα ἐστὶ καὶ τὸ ΒΛ παραλληλόγραμμον τῷ ΗΒ τετραγώνῳ. ὁμοίως δὴ ἐπιζευγνυμένων τῶν ΑΕ, ΒΚ δειχθήσεται καὶ τὸ ΓΛ παραλληλόγραμμον ἴσον τῷ ΘΓ τετραγώνῳ ὅλον ἄρα τὸ ΒΔΕΓ τετράγωνον δυσὶ τοῖς ΗΒ, ΘΓ τετραγώνοις ἴσον ἐστίν. καί ἐστι τὸ μὲν ΒΔΕΓ τετράγωνον ἀπὸ τῆς ΒΓ ἀναγραφέν, τὰ δὲ ΗΒ, ΘΓ ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ. τὸἄρα ἀπὸ τῆς ΒΓ πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν ΒΑ, ΑΓ πλευρῶν τετραγώνοις. Ἐν ἄρα τοῖς ὀρθογωνίοις θ τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν θ γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν [γωνίαν] περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις ὅπερ ἔδει δεῖξαι.

30

31 Ραφαήλ ( ) 1520) «ΗΗ σχολή των Αθηνών» (~1510)

32 Ας παύση η πραγματεία των μαθηματικών. ιότι εάν τις δημοσία ή κατ' ιδίαν, καθ' ημέραν ή νύκτωρ συλληφθή αναστρεφόμενος εν τη απαγορευμένη πλάνη, αμφότεροι ας πληγούν δια κεφαλικής ποινής. ιότι δεν είναι διάφορον αμάρτημα το δδά διδάσκεσθαι κεκωλυμένα ή το διδάσκειν». δδά Κώδιξ Θεοδοσιανός (Ουαλεντιανού λ ύ και Ουάλεντος), ΙΧ, 16, 8. (438μ.Χ.) «Οι μαθηματικοί, εάν μή ώσιν έτοιμοι, καυθέντων των κωδίκων της ιδίας πλάνης υπό τα όμματα των Επισκόπων, να δώσουν πίστιν εις την λατρείαν της καθολικής πίστεως, ότι δεν θα επανέλθουν εις την παλαιάν πλάνην, ου μόνον από της πόλεως Ρώμης, αλλά και εκ πασών των πόλεων αποφασίζομεν να εκδιωχθούν. Εάν δε δεν κάμνουν τούτο και παρά την σωτηρίαν απόφασιν της ημετέρας επιεικείας, συλληφθούν εν ταις πόλεσιν είτε παρεισάγουν τα μυστικά της πλάνης, θα τύχωσι της ποινής της εξορίας». Αυτοκράτορες Ονώριος και Θεοδόσιος προς τον Καικιλιανό Ύπαρχο. «ΗΗ μαθηματική τέχνη αξιόποινος ούσα απαγορεύεται».. Ιουστινιάνειος Κώδιξ, ΙΧ, 18, 2.

33