Η Θεωρία σε 99 Ερωτήσεις

Transcript

1 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Η Θεωρί σε 99 Ερωτήσεις Ορισμοί, Θεωρήμτ 4

2 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Μ Ππγρηγοράκης

3 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ Πότε δύο μιγδικοί ριθμοί i κι γ δi με,, γ, δ R είι ίσοι κι πότε ές μιγδικός ι- σούτι με μηδέ; Απάτηση σελ 87 Δύο μιγδικοί ριθμοί ισχύει: i κι δi γ με,, γ, δ R είι ίσοι, κι μόο γ κι δ Δηλδή i γ δi γ κι δ Επομέως, επειδή i, έχουμε : i κι Πως ορίζοτι οι πράξεις στους μιγδικούς ; Απάτηση σελ Γι τη πρόσθεση τω i κι γ δi, με,, γ, δ R έχουμε: i γ δi γ δ i Γι τη φίρεση τω i κι γ δi, με,, γ, δ R έχουμε: i γ δi γ δ i Γι το πολ/σμό δυο μιγδικώ με,, γ, δ R έχουμε: i γ δi γ δ δ γ i Γι το πηλίκο i γ δi i γ δ γ δ με,, γ, δ R κι γ δi i έχουμε: i γ δi γ δ γ δ 3 Πως ορίζετι η δύμη μιγδικού ; Απάτηση σελ 9 Ορίζουμε: z z, z z z,, κι γεικά z z z, γι κάθε κέριο, με Α z, ορίζουμε z, z γι κάθε θετικό κέριο z 3 Ισχύει : i, i i, i, i i i i Γεικά : i i 4 ρυ i i 4 ρ υ 4 ρ i υ ρ υ i i i υ i - i,,,, υ υ υ υ 3 4 Ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί της πρόσθεσης δύο μιγδικώ ριθμώ Απάτηση σελ 88 Η διυσμτική κτί του θροίσμτος τω μιγδικώ i κι γ δi με,, γ, δ R είι το άθροισμ τω διυσμτικώ κτίω τους Α M, κι M γ, δ είι οι εικόες τω i κι γ δi με,, γ, δ R τιστοίχως στο μιγδικό επίπεδο, τότε το άθροισμ i γ δi γ δ i πριστάετι με το σημείο M γ, δ Επομέως, OM OM OM Ο Mγ,δ M, M+γ,+δ 5 Ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί της φίρεσης δύο μιγδικώ ριθμώ Απάτηση σελ 89 Η διυσμτική κτί της διφοράς τω μιγδικώ i κι γ δi με,, γ, δ R είι η διφορά τω διυσμτικώ κτίω τους Επίσης, η διφορά i γ δi γ δ i Μγ,δ 3 Μ, πριστάετι με το σημείο N γ, δ Ο Επομέως, ON OM OM Μ3γ,δ Νγ,δ Μ Ππγρηγοράκης 3

4 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 6 Ποιές είι οι ιδιότητες τω συζυγώ μιγδικώ ; Απάτηση σελ 9 Α z i με, R τότε ισχύου ότι: z z Re z z z i Im zi 3 z z z z 4 z z z z z z 5 z z z z 6 z z v 7 z z v 7 Ποιές είι οι ρίζες εός τριωύμου Δ< ; Ποιές σχέσεις τις συδέου ; Απάτηση σελ 9-93 i Δ Το τριώυμο z z z γ με,, γ R, με Δ έχει λύσεις λύσεις τις : z, κι ισχύει : γ z z κι z z 8 Πως ορίζετι το μέτρο μιγδικού ; Απάτηση σελ 97 Έστω M, η εικό του μιγδικού z i με, R στο μιγδικό επίπεδο Ορίζουμε ως μέτρο του z τη πόστση του Μ πό τη ρχή O, δηλδή z OM 9 Ποιες είι οι ιδιότητες του μέτρου ; Απάτηση σελ z z z z z z 3 z z z z 4 z z z v v 5 z z z 6 z z z v z z z v 7 z z z z z z τριγωική ισότητ 7 MM z z, δηλδή : το μέτρο της διφοράς δύο μιγδικώ είι ίσο με τη πόστση τω εικόω τους, Τι πριστάου γεωμετρικά οι εξισώσεις : z zo ρ κι z z z z z z z ; z Απάτηση σελ 99 Η εξίσωση z z ρ, ρ πριστάει το κύκλο με κέτρο το σημείο K z κι κτί ρ, εώ η εξίσωση z z z z, τη μεσοκάθετο του ευθύγρμμου τμήμτος με άκρ τ A z κι B z ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Τι οομάζουμε πργμτική συάρτηση ; Απάτηση σελ 33 Έστω Α έ υποσύολο του R Οομάζουμε πργμτική συάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μι διδικσί, με τη οποί κάθε στοιχείο A τιστοιχίζετι σε έ μόο πργμτικό ριθμό Το οομάζετι τιμή της στο κι συμολίζετι με Τι οομάζουμε σύολο τιμώ μις συάρτησης που είι ορισμέη σε έ σύολο Α; Απάτηση σελ 33 Το σύολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές της σε όλ τ A, λέγετι σύολο τιμώ της κι συμολίζετι με A Είι δηλδή: A γι κάποιο A 3 Τι οομάζουμε γρφική πράστση συάρτησης; Απάτηση σελ 34 Έστω συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι O έ σύστημ συτετγμέω στο επίπεδο Το σύολο τω σημείω M, γι τ οποί ισχύει, δηλδή το σύολο τω σημείω M,, A, λέγετι γρφική πράστση της κι συμολίζετι με 4 Πότε δυο συρτήσεις λέγοτι ίσες Απάτηση σελ 4 Δύο συρτήσεις κι g λέγοτι ίσες ότ: έχου το ίδιο πεδίο ορισμού Α κι γι κάθε A ισχύει g C Μ Ππγρηγοράκης 4

5 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 5 Πως ορίζοτι οι πράξεις μετξύ συρτήσεω ; Απάτηση σελ 4 Ορίζουμε ως άθροισμ, διφορά, γιόμεο κι πηλίκο, τίστοιχ, δύο συρτήσεω, g τις συρτήσεις με τύπους : g g, g g, g g, g Το g πεδίο ορισμού τω g, g κι g είι η τομή A B τω πεδίω ορισμού Α κι Β τω συρτήσεω κι g τιστοίχως, εώ το πεδίο ορισμού της g είι το σύολο { A κι B, με g } 6 Τι οομάζουμε σύθεση τω συρτήσεω κι g; Απάτηση σελ 43 Α, g είι δύο συρτήσεις με πεδίο ορισμού Α, Β τιστοίχως, τότε οομάζουμε σύθεση της με τη g, κι τη συμολίζουμε με go, τη συάρτηση με τύπο A A go g A g Το πεδίο ορισμού της go ποτελείτι πό όλ τ στοιχεί του πεδίου ορισμού της γι τ οποί το ήκει στο πεδίο ορισμού της g Δηλδή είι το σύολο A {A B} Είι φερό ότι η go ορίζετι A, δηλδή A B 7 Πότε μι συάρτηση λέγετι γησίως ύξουσ κι πότε γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ ; Απάτηση σελ 49 Μι συάρτηση λέγετι : γησίως ύξουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: γησίως φθίουσ σ έ διάστημ Δ του πεδίου ορισμού της, ότ γι οποιδήποτε, Δ με ισχύει: 8 Πότε μι συάρτηση προυσιάζει μέγιστο κι πότε ελάχιστο ; Απάτηση σελ 5 Μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α θ λέμε ότι: Προυσιάζει στο A ολικό μέγιστο, το, ότ γι κάθε A Προυσιάζει στο A ολικό ελάχιστο, το, ότ γι κάθε A 9 Πότε μι συάρτηση λέγετι ; Απάτηση σελ 5 Μι συάρτηση : A R λέγετι συάρτηση, ότ γι οποιδήποτε,, τότε B g gb g 4 A ισχύει η συεπγωγή: Τι οομάζουμε τίστροφη συάρτηση; Απάτηση σελ Έστω μι συάρτηση : A R Tότε γι κάθε στοιχείο του συόλου τιμώ, A, της υπάρχει μοδικό στοιχείο του πεδίου ορισμού της Α γι το οποίο ισχύει Επομέως ορίζετι μι συάρτηση g : A R με τη οποί κάθε A τιστοιχίζετι στο μοδικό A γι το οποίο ισχύει H g λέγετι τίστροφη συάρτηση της κι συμολίζετι με γρφικές πρστάσεις τω κι είι συμμετρικές ως προς τη ευθεί Επομέως έχουμε Oι Μ Ππγρηγοράκης 5

6 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις ΟΡΙΑ Ποιες ισότητες ισχύου στ όρι ; όριο κι διάτξη Απάτηση σελ Α lim, τότε κοτά στο εώ lim, τότε, κοτά στο Α οι συρτήσεις,g έχου όριο στο κι ισχύει g κοτά στο, τότε lim limg Ποιες είι οι ιδιότητες τω ορίω το χ τείει στο χ ; Απάτηση σελ 66 Α υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω κι g στο, τότε: lim g lim lim g lim κ κ lim, γι κάθε κ R 3 lim lim g lim lim g 4 lim, εφόσο lim g g lim g 5 lim lim 6 lim lim, κοτά στο 7 lim[] k k 3 Ν διτυπώσετε το κριτήριο πρεμολής Απάτηση σελ 69 Έστω οι συρτήσεις, g, h Α h g κοτά στο κι lim h lim g, τότε lim lim, * N 4 Ποι είι τ σικά τριγωομετρικά όρι ; Απάτηση σελ 7 ημ συ lim lim εώ ισχύει ημ με τη ισότητ ισχύει μόο στο μηδέ 5 Πως υπολογίζουμε το όριο σύθετης συάρτησης ; Απάτηση σελ 73 Γι υπολογίσουμε το lim g Θέτουμε u g κι υπολογίζουμε το u, της σύθετης συάρτησης g στο σημείο εργζόμστε ως εξής limg κι το lim u υπάρχου Αποδεικύετι ότι, uu g u κοτά στο, τότε το ζητούμεο όριο είι ίσο με, δηλδή ισχύει: 6 Ποι είι τ όρι τω εκθετικώ κι λογριθμικώ συρτήσεω Απάτηση σελ 85 Α τότε,, lim log, lim lim lim log lim g lim u uu Α τότε lim, lim, lim log, lim log 7 Ποιος είι ο ορισμός της κολουθίς; Απάτηση σελ 86 Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση * : N R 8 Πότε θ λέμε ότι μι κολουθί έχει όριο το R Απάτηση σελ 86 Θ λέμε ότι η κολουθί * N τέτοιο, ώστε γι κάθε έχει όριο το R κι θ γράφουμε lim ισχύει ε 9 Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής στο του πεδίου ορισμού της;, ότ γι κάθε ε, υπάρχει Απάτηση σελ 88 Εστω μι συάρτηση κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της Θ λέμε ότι η είι συεχής στο, ότ: lim 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής στο πεδίο ορισμού της ; Απάτηση σελ 89 Ότ η είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της Μ Ππγρηγοράκης 6

7 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής σε έ οικτό διάστημ, ; Απάτηση σελ 9 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, 3 Πότε μι συάρτηση λέγετι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ] ; Απάτηση σελ 9 Μι συάρτηση θ λέμε ότι είι συεχής σε έ κλειστό διάστημ [, ], ότ είι συεχής σε κάθε σημείο του, κι επιπλέο : lim κι lim 33 Τι γωρίζετε γι τις πράξεις μετξύ συεχώ συρτήσεω; Απάτηση σελ 9 Α οι συρτήσεις κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: g, c, όπου c R, g, g, κι, με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε διάστημ που περιέχει το Α η συάρτηση είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο, τότε η σύθεσή τους go είι συεχής στο 34 Ν διτυπώσετε το θεώρημ Bolzano Απάτηση σελ 94 Έστω μι συάρτηση, ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [,] Α η είι συεχής στο [,] κι, επιπλέο, ισχύει, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο,, τέτοιο, ώστε 35 Ν δώσετε τη γεωμετρική ερμηεί του θεωρήμτος Bolzano Απάτηση σελ 94 Στο διπλό σχήμ έχουμε τη γρφική πράστση μις συεχούς συάρτησης στο [,] Επειδή τ σημεί A, κι B, ρίσκοτι εκτέρωθε του άξο, η γρφική πράστση της τέμει το άξο σε έ τουλάχιστο σημείο O a a Α, 36 Πως σχετίζετι η συέχει με τ διστήμτ ; Απάτηση σελ 94 Η εικό Δ εός διστήμτος Δ μέσω μις συεχούς κι μη στθερής συάρτησης είι διάστημ 37 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέγιστης - Ελάχιστης τιμής Απάτηση σελ B, Α είι συεχής συάρτηση στο [,], τότε η πίρει στο [,] μι μέγιστη τιμή Μ κι μι ελάχιστη τιμή m Δηλδή, υπάρχου, [,] τέτοι, ώστε, m κι M, ισχύει m M, γι κάθε [,] 38 Ποιο είι το σύολο τιμώ μις συεχούς συάρτησης ορισμέης σε διάστημ ; Απάτηση σελ 96 A μι συάρτηση είι γησίως ύξουσ κι συεχής σε έ οικτό διάστημ,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ Α,Β, όπου Α lim κι B lim Α, όμως, η είι γησίως φθίουσ κι συεχής στο,, τότε το σύολο τιμώ της στο διάστημ υτό είι το διάστημ B,A Αάλογ συμπεράσμτ έχουμε κι ότ μι συάρτηση είι συεχής κι γησίως μοότοη σε διστήμτ της μορφής [,], [, κι,] Μ Ππγρηγοράκης 7

8 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ 39 Πως ορίζετι η εφπτομέη στο σημείο A, της C ; Απάτηση σελ Έστω μι συάρτηση κι A, έ σημείο της C Α υπάρχει το lim κι είι ές πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομέη της C στο σημείο της Α, τη ευθεί ε που διέρχετι πό το Α κι έχει συτελεστή διεύθυσης λ Επομέως, η εξίσωση της εφπτομέης στο σημείο A, είι ' 4 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο χ κι τι οομάζουμε πράγωγο της στο ; Απάτηση σελ 3 Μι συάρτηση λέμε ότι είι πργωγίσιμη σ έ σημείο του πεδίου ορισμού της, υπάρχει το lim κι είι πργμτικός ριθμός Το όριο υτό οομάζετι πράγωγος της στο κι συμολίζετι με Δηλδή: lim 4 Ποι είι η γεωμετρική ερμηεί του πράγωγου ριθμού σε έ σημείου χ ο,χ ο της γρφικής πράστσης μι συάρτησης Απάτηση σελ 4 Ο συτελεστής διεύθυσης της εφπτομέης της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης στο σημείο χ ο,χ ο είι η πράγωγος της συάρτησης στο σημείο χ ο 4 Τι οοάζουμε κλίση της γρφικής πράστσης μις πργωγίσιμης συάρτησης σε έ σημείο της Αχ ο,χ ο Απάτηση σελ 4 Τη κλίση της εφπτομέης στο Α ο, ο μις πργωγίσιμης συάρτησης θ τη λέμε κλίση της γρφικής πράστσης της στο Α ή κλίση της στο Α 43 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη στο πεδίο ορισμού της ; Απάτηση σελ Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού έ σύολο Α Θ λέμε ότι: H είι πργωγίσιμη στο Α ή, πλά, πργωγίσιμη, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο A 44 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της ; Απάτηση σελ Η είι πργωγίσιμη σε έ οικτό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη σε κάθε σημείο, 45 Πότε μι συάρτηση λέγετι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ [, ] ; Απάτηση σελ Η είι πργωγίσιμη σε έ κλειστό διάστημ, του πεδίου ορισμού της, ότ είι πργωγίσιμη στο, κι επιπλέο ισχύει lim R κι lim R 46 Τι είι η πράγωγος συάρτηση ; Απάτηση σελ Έστω μι συάρτηση με πεδίο ορισμού Α κι A τo σύολο τω σημείω του Α στ οποί υτή είι πργωγίσιμη Ατιστοιχίζοτς κάθε A στο, ορίζουμε τη συάρτηση : A R, ωστε : η οποί οομάζετι πράγωγος της 47 Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση =, τι οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο ; Απάτηση σελ 4 Μ Ππγρηγοράκης 8

9 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Α δύο μετλητά μεγέθη, συδέοτι με τη σχέση, ότ είι μι συάρτηση πργωγίσιμη στο, τότε οομάζουμε ρυθμό μετολής του ως προς το στο σημείο τη πράγωγο 48 Πως πργωγίζετι μι σύθετη συάρτηση ; Απάτηση σελ 34 Α η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι η είι πργωγίσιμη στο g, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει g g g 49 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Rolle Απάτηση σελ 46 Α μι συάρτηση είι συεχής στο κλειστό διάστημ [, ], πργωγίσιμη στο οικτό, κι τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ 5 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Rolle Απάτηση σελ 46 Το Θ Rolle γεωμετρικά, σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της C στο M ξ, ξ είι πράλληλη στο άξο τω 5 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Μέσης Τιμής Διφορικού Λογισμού ΘΜΤ Απάτηση σελ 46 Α μι συάρτηση είι: συεχής στο κλειστό διάστημ [, ] κι πργωγίσιμη στο οικτό διάστημ, τότε υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε: ξ O Μξ,ξ Α, ξ ξ Β, 5 Ν ερμηεύσετε γεωμετρικά το Θεώρημ Μέσης Τιμής Απάτηση σελ 47 Γεωμετρικά, το ΘΜΤ σημίει ότι υπάρχει έ, τουλάχιστο, ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομέη της γρφικής πράστσης της στο σημείο M ξ, ξ είι πράλληλη της ευθείς ΑΒ Mξ,ξ A, Β, 53 Τι οομάζουμε τοπικό μέγιστο κι τι τοπικό ελάχιστο της ; Απάτηση σελ Μι συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο δ, τέτοιο ώστε : γι κάθε A δ, δ Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού μεγίστου, εώ το τοπικό μέγιστο της Μί συάρτηση, με πεδίο ορισμού Α, θ λέμε ότι προυσιάζει στο δ, τέτοιο ώστε :, γι κάθε A δ, δ A τοπικό μέγιστο, ότ υπάρχει Το λέγετι θέση ή σημείο τοπικού ελχίστου, εώ το τοπικό ελάχιστο της A τοπικό ελάχιστο, ότ υπάρχει 54 Ν διτυπώσετε το Θεώρημ Fermat Απάτηση σελ 6 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι έ εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη στο σημείο υτό, τότε: 55 Ποιες είι οι πιθές θέσεις τω τοπικώ κροτάτω μις συάρτησης ορισμέης σε έ διάστημ Δ; Απάτηση σελ 6 Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η πράγωγος της μηδείζετι Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι Τ άκρ του Δ ήκου στο πεδίο ορισμού της Ο a ξ ξ Μ Ππγρηγοράκης 9

10 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 56 Ποιες είι τ κρίσιμ σημεί μις συάρτησης ορισμέης σε έ διάστημ Δ; Απάτηση σελ 6 Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η δε πργωγίζετι ή η πράγωγός της είι ίση με το μηδέ, λέγοτι κρίσιμ σημεί της στο διάστημ Δ 57 Πότε μι συάρτηση οομάζετι κυρτή ή κοίλη ; Απάτηση σελ 73 Έστω μί συάρτηση συεχής σ έ διάστημ Δ κι πργωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ Θ λέμε ότι: Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ άω ή είι κυρτή στο Δ, η είι γησίως ύξουσ στο εσωτερικό του Δ Η συάρτηση στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω ή είι κοίλη στο Δ, η είι γησίως φθίουσ στο εσωτερικό του Δ 58 Τι οομάζουμε σημείο κμπής της γρφικής πράστσης μις συάρτησης ; Απάτηση σελ 75 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του Α η είι κυρτή στο, κι κοίλη στο,, ή τιστρόφως, κι η C έχει εφπτομέη στο σημείο A,, τότε το σημείο A, οομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της 59 Πότε η ευθεί o λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της Απάτηση σελ 79 Α έ τουλάχιστο πό τ όρι lim, lim είι ή, τότε η ευθεί λέγετι κτκόρυφη σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της 6 Πότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τίστοιχ στο Απάτηση σελ 8 Α lim τιστοίχως lim, τότε η ευθεί λέγετι οριζότι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τιστοίχως στο 6 Πότε η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο τίστοιχ στο Απάτηση σελ 8 Η ευθεί λ λέγετι σύμπτωτη της γρφικής πράστσης της στο, lim[ λ ] κι στο lim[ λ ] 6 Ν διτυπώσετε τους κόες de l Hospital Απάτηση σελ 8-83 Α lim, limg, R {, } κι υπάρχει το lim πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: g lim lim g g Α lim, limg lim lim g g, R {, } κι υπάρχει το lim πεπερσμέο ή άπειρο, τότε: g Μ Ππγρηγοράκης

11 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 63 Έστω μι ορισμέη συάρτηση σε έ διάστημ Δ τι οομάζετι ρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ Απάτηση σελ 33 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Αρχική συάρτηση ή πράγουσ της στο Δ οομάζετι κάθε συάρτηση F που είι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει F, γι κάθε Δ 64 Τι οομάζουμε ορισμέο ολοκλήρωμ της στο [,] ; Απάτηση σελ 33 Α η είι συεχής στο [,] τότε ορίζουμε : d lim ξ κ Δ κ Επίσης ορίζουμε : d d κι d 65 Ποιες είι οι ιδιότητες του ορισμέου ολοκληρώμτος ; Απάτηση σελ 33 Έστω,g συεχείς συρτήσεις στο [,] κι λ,μ R Τότε ισχύου [ g]d d gd 3 λd λ d [λ μg]d λ d μ gd 4 Α η είι συεχής σε διάστημ Δ κι,,γ Δ, τότε ισχύει : γ d d d γ 5 Έστω μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ [,] Α γι κάθε [,] κι η συάρτηση δε είι πτού μηδέ στο διάστημ υτό, τότε d ΠΡΟΣΟΧΗ!!! < 66 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης κτά πράγοτες στ ορισμέ ολοκληρώμτ; Απάτηση : σελ 336 g d [g] gd όπου,g είι συεχείς συρτήσεις 67 Ποιος είι ο τύπος της Ολοκλήρωσης με τικτάστση στ ορισμέ ολοκληρώμτ; Απάτηση: σελ 337 u Ισχύει : gg d udu, όπου,g είι συεχείς συρτήσεις, u g, du g d κι u g, u g u Μ Ππγρηγοράκης

12 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Θεωρήμτ με ποδείξεις 68 Α z i κι z γ δi με,, γ, δ R είι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: z z z z Απόδειξη σελ 9 z z i γ δi γ δ i γ δ i i γ δi z z i γ δ γ δ i γ δi γ δ γ δ 69 N ποδείξετε ότι Απόδειξη σελ 89, όπου γ δi, Πολλπλσιάζουμε τους όρους του κλάσμτος με το συζυγή του προομστή κι έχουμε: i i γ δi γ δ γ δ i γ δ γ δ i γ δ γ δ i Δηλδή, i γ δi γ δi γ δi γ δ γ δ γ δ γ δi γ δ γ δ v u 7 Ν ποδείξετε ότι i i όπου v θετικός κέριος κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4 Απόδειξη σελ 9 Γι υπολογίσουμε συγκεκριμέη δύμη του i, γράφουμε το εκθέτη στη μορφή 4 ρ υ, όπου ρ το πηλίκο κι υ το υπόλοιπο της ευκλείδεις διίρεσης του με το 4, οπότε έχουμε:, υ 4ρυ 4ρ υ 4 ρ υ ρ υ υ i, υ i i i i i i i i -, υ i, υ 3 7 Α z, z είι μιγδικοί ριθμοί, τότε ποδείξετε ότι z z z z Απόδειξη σελ 98 Πράγμτι, έχουμε: z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z z κι, επειδή η τελευτί ισότητ ισχύει, θ ισχύει κι η ισοδύμη ρχική 7 Ν ποδείξετε ότι κάθε εξίσωση δεύτερου θμού με πργμτικούς συτελεστές έχει πάτ λύση στο σύολο C Απόδειξη σελ 9 Πράγμτι, έστω η εξίσωση z z γ, με,, γ R κι Εργζόμστε όπως στη τίστοιχη περίπτωση στο R κι τη μετσχημτίζουμε, με τη μέθοδο συμπλήρωσης Δ τετργώω, στη μορφή: z 4, όπου Δ Δ Tότε η εξίσωση έχει δύο πργμτικές λύσεις: z, Δ Tότε έχει μι διπλή πργμτική λύση: Δ 4γ Έτσι, έχουμε τις εξής περιπτώσεις: z Δ Δ i Δ ι Δ i Δ Δ Tότε επειδή 4 4, η εξίσωση γράφετι: z i Δ Άρ οι λύσεις της είι: z,, οι οποίες είι συζυγείς μιγδικοί ριθμοί 73 Α P είι πολυώυμο τότε ποδείξετε ότι ότι : lim P P Απόδειξη σελ 67 Έστω το πολυώυμο P κι R Σύμφω με τις ιδιότητες τω ορίω έχουμε: lim P lim lim lim lim lim lim lim P Μ Ππγρηγοράκης

13 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 74 Α P κι Q είι πολυώυμ τότε ποδείξετε ότι P P, εφόσο Q lim Q Q Απόδειξη σελ 67 P Έστω η ρητή συάρτηση, όπου P, Q πολυώυμ του κι R με Q Τότε, Q P lim P P lim lim Q lim Q Q 75 Ν ποδείξετε ότι lim ημ ; Απόδειξη σελ 7 γι έχουμε ημ ημ, οπότε ημ Επειδή lim lim, σύμφω με το κριτήριο πρεμολής έχουμε: ημ3 76 Ν ποδείξετε ότι lim 3 Απόδειξη σελ Είι ημ3 3 ημ3 3 lim ημ Έτσι, θέσουμε u 3, τότε lim u lim 3, οπότε ημ3 ημ3 ημu lim 3lim 3lim u u 77 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι ορισμέη σε έ κλειστό διάστημ [,] Α: η είι συεχής στο [,] κι δείξετε ότι, γι κάθε ριθμό η μετξύ τω κι υπάρχει ές, τουλάχιστο,, ώστε η Απόδειξη σελ 94 Ας υποθέσουμε ότι Τότε θ ισχύει η Α θεωρήσουμε τη συάρτηση g η, [,], πρτηρούμε ότι: η g είι συεχής στο [,] κι gg, φού g η κι g η Επομέως, σύμφω με το θ Bolzano, υπάρχει, τέτοιο, ώστε g η, οπότε η 78 Ν ποδείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο σημείο, τότε είι κι συεχής σ υτό Απόδειξη σελ 7 Γι έχουμε, Οπότε lim[ ] lim lim lim, φού η είι πργωγίσιμη στο Αρ, lim, δηλδή η είι συεχής στο 79 Εστω η στθερή συάρτηση c, c R Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή c = Απόδειξη σελ 3 c c Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: lim, δηλδή c Επομέως, 8 Έστω η συάρτηση Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή = Απόδειξη σελ 3 Μ Ππγρηγοράκης 3

14 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει: Επομέως, lim lim, δηλδή 8 Έστω η συάρτηση, N {, } Δείξετε ότι η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει, δηλδή Απόδειξη σελ 4 Πράγμτι, είι έ σημείο του R, τότε γι ισχύει:, οπότε: lim lim, δηλδή 8 Έστω Δείξετε ότι γι κάθε, ισχύει Απόδειξη σελ 4 Πράγμτι, είι έ σημείο του,, τότε γι ισχύει: Οπότε lim lim, δηλδή, 83 Α οι συρτήσεις,g είι πργωγίσιμες στο, τότε η συάρτηση g είι πργωγίσιμη στο κι ισχύει: g g Απόδειξη σελ 9 Γι,ισχύει: g g g g g g Επειδή οι συρτήσεις,g είι πργωγίσιμες στο, έχουμε: g g g g lim lim lim g, Δηλδή : g g 84 Na ποδείξετε ότι γι τρείς πργωγίσιμες συρτήσεις ισχύει ότι: gh gh g h gh Απόδειξη σελ 3 Έχουμε: gh g h g h g h g g h gh gh g h gh 85 Έστω η συάρτηση, δηλδή Απόδειξη σελ 3-3 Πράγμτι, γι κάθε, * R έχουμε: * Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο R* κι ισχύει κ κ Είδμε, όμως, πιο πρι ότι γι κάθε φυσικό Επομέως, κ N {, }, τότε: κ 86 Έστω η συάρτήση εφ Η συάρτηση είι πργωγίσιμη στο D R { συ } κι ισχύει, δηλδή : εφ συ συ Απόδειξη σελ 3 ημ ημ συ ημσυ συσυ ημημ συ ημ εφ συ συ συ συ συ Μ Ππγρηγοράκης 4

15 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 87 Η συάρτηση, δηλδή είι πργωγίσιμη στο, κι ισχύει, R Z Απόδειξη σελ 34 ln Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e 88 Η συάρτηση ln, Απόδειξη σελ 34 ln Πράγμτι, e κι θέσουμε u ln, τότε έχουμε u u ln e e u e ln ln 89 Η συάρτηση ln, u e Επομέως, είι πργωγίσιμη στο R κι ισχύει ln, δηλδή : u e * R είι πργωγίσιμη στο Επομέως, * R κι ισχύει Απόδειξη σελ 35 Πράγμτι :, τότε ln ln, εώ, τότε : ln ln, οπότε, θέσουμε ln κι u, έχουμε ln u Επομέως, ln u u κι άρ u ln ln 9 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α η είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι στθερή σε όλο το διάστημ Δ Απόδειξη σελ 5 Αρκεί ποδείξουμε ότι γι οποιδήποτε, Δ ισχύει Πράγμτι Α, τότε προφώς Α, τότε στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις υποθέσεις του θεωρήμτος μέσης τιμής Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ Επειδή το ξ είι εσωτερικό σημείο του Δ, ισχύει ξ, οπότε, λόγω της, είι Α, τότε ομοίως ποδεικύετι ότι Σε όλες, λοιπό, τις περιπτώσεις είι 9 Έστω δυο συρτήσεις,g ορισμέες σε έ διάστημ Δ Α οι,g είι συεχείς στο Δ κι g γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει: g c Απόδειξη σελ 5 Η συάρτηση g είι συεχής στο Δ κι γι κάθε εσωτερικό σημείο Δ ισχύει g g Επομέως, σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση g είι στθερή στο Δ Άρ, υπάρχει στθερά C τέτοι, ώστε γι κάθε Δ ισχύει g c, οπότε g c 9 Έστω μι συάρτηση, η οποί είι συεχής σε έ διάστημ Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γ ύξουσ σε όλο το Δ Α σε κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η είι γ φθίουσ σε όλο το Δ Απόδειξη σελ 53 Αποδεικύουμε το θεώρημ στη περίπτωση που είι Έστω, Δ με Θ δείξουμε ότι Πράγμτι, στο διάστημ [, ] η ικοποιεί τις προϋποθέσεις του ΘΜΤ Επομέως, υπάρχει ξ, τέτοιο, ώστε ξ, οπότε έχουμε ξ Επειδή ξ κι, έχουμε, οπότε Στη περίπτωση που είι εργζόμστε λόγως Μ Ππγρηγοράκης 5

16 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις 93 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σ έ διάστημ Δ κι εσωτερικό σημείο του Δ Α η προυσιάζει τοπικό κρόττο στο κι είι πργωγίσιμη σ υτό, τότε: Απόδειξη σελ 6-6 Ας υποθέσουμε ότι η προυσιάζει στο τοπικό μέγιστο Επειδή το είι εσωτερικό σημείο του Δ κι η προυσιάζει σ υτό τοπικό μέγιστο, υπάρχει δ τέτοιο, ώστε δ, δ Δ κι, γι κάθε δ, δ Επειδή, επιπλέο, η είι πργωγίσιμη στο, ισχύει lim lim Επομέως, δ,, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε lim, δ, τότε, λόγω της, θ είι, οπότε θ έχουμε lim 3 Έτσι, πό τις κι 3 έχουμε Η πόδειξη γι τοπικό ελάχιστο είι άλογη 94 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό μέγιστο της Απόδειξη σελ 6-63 Eπειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως ύξουσ στο, ] Έτσι έχουμε, γι κάθε, ] Επειδή γι κάθε, κι η είι συεχής στο, η είι γησίως φθίουσ στο [, Έτσι έχουμε:, γι κάθε [, > < > < 35a O a O a Επομέως, λόγω τω κι, ισχύει:, γι κάθε,, που σημίει ότι το είι μέγιστο της στο, κι άρ τοπικό μέγιστο υτής 95 Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής Α στο, κι στο,, τότε το είι τοπικό ελάχιστο της Απόδειξη σελ 6-63 Εργζόμστε λόγως με το προηγούμεο ερώτημ Έστω μι συάρτηση πργωγίσιμη σ έ διάστημ,, με εξίρεση ίσως έ σημείο του, στο οποίο όμως η είι συεχής A η διτηρεί πρόσημο στο,,, τότε το δε είι τοπικό κρόττο κι η είι γησίως μοότοη στο, Απόδειξη σελ 6-63 Έστω ότι, γι κάθε,, > > 35γ > > O a O a Μ Ππγρηγοράκης 6

17 Μθημτικά Κτεύθυσης Γ Λυκείου Ερωτήσεις Θεωρίς Ορισιμοί θεωρήμτ με πτήσεις Επειδή η είι συεχής στο θ είι γησίως ύξουσ σε κάθε έ πό τ διστήμτ, ] κι [, Επομέως, γι ισχύει Άρ το δε είι τοπικό κρόττο της Θ δείξουμε, τώρ, ότι η είι γησίως ύξουσ στο, Πράγμτι, έστω, με Α, ], επειδή η είι γησίως ύξουσ στο, ], θ ισχύει, Α [,, επειδή η είι γησίως ύξουσ στο [,, θ ισχύει, Τέλος,, τότε όπως είδμε, Επομέως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει, οπότε η είι γησίως ύξουσ στο, Ομοίως, γι κάθε,, 97 Έστω μι συάρτηση ορισμέη σε έ διάστημ Δ Α F είι μι πράγουσ της στο Δ, τότε: A όλες οι συρτήσεις της μορφής G F c, c R, είι πράγουσες της στο Δ κι B κάθε άλλη πράγουσ G της στο Δ πίρει τη μορφή G F c, c R Απόδειξη σελ 34 A κάθε συάρτηση της μορφής G F c, όπου c R, είι μι πράγουσ της στο Δ, φού G F c F, γι κάθε Δ B Έστω G είι μι άλλη πράγουσ της στο Δ Τότε γι κάθε Δ ισχύου F κι G, οπότε G F, γι κάθε Δ Άρ, σύμφω με το πόρισμ της 6, υπάρχει στθερά c τέτοι, ώστε G F c, γι κάθε Δ 98 Α είι μι συεχής συάρτηση σε έ διάστημ Δ κι είι έ σημείο του Δ, τότε η συάρτηση F t dt, Δ, είι μι πράγουσ της στο Δ Δηλδή ισχύει: t dt, γι a κάθε Δ σελ 334 Εποπτικά το συμπέρσμ του πρπάω θεωρήμτος προκύπτει ως εξής: h F h F t dt Εμδό του χωρίου Ω h, γι μικρά h Άρ, γι μικρά h είι F h F F h F,οπότε F lim h h h 99 Έστω μι συεχής συάρτηση σ έ διάστημ [, ] Α G είι μι πράγουσ της στο [, ], τότε t dt G G Απόδειξη σελ Σύμφω με το προηγούμεο θεώρημ, η συάρτηση F t dt είι μι πράγουσ της στο [, ] Επειδή κι η G είι μι πράγουσ της στο [, ], θ υπάρχει c R τέτοιο, ώστε : G F c Από τη, γι, έχουμε G F c t dt c c, οπότε c G Επομέως, G F G, οπότε, γι, έχουμε G F G t dt G κι άρ t dt G G O F = Μ Ππγρηγοράκης 7