12/3/2012. Εργαστήριο Αλγόριθμοι Γραμμικής Βελτιστοποίησης. Lab03 1. Διανυσματοποίηση Βρόχων. Αρχικοποίηση μητρών (preallocating)

Transcript

1 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ 8 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΣΑΜΑΡΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ, ΕΠ. ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Βελτίωση Απόδοσης ιανυσματοποίηση βρόχων Αρχικοποίηση μητρών (preallocating) Χρήση κατάλληλων λογικών τελεστών Χρήση ενσωματωμένων συναρτήσεων Χρήση συναρτήσεων Load και Save Αποφυγή εκτέλεσης μεγάλων και πολλών διεργασιών 2 Διανυσματοποίηση Βρόχων ιανυσματοποίηση σημαίνει μετατροπή των βρόχων for και while σε ισοδύναμα διανύσματα και χρήση σε πράξεις μητρών. Πριν τη διανυσματοποίηση i=0; for k=0:0.1:8000 i=i+1; y(i)=cos(k); end Time= sec Μετά τη διανυσματοποίηση k=0:0.1:8000; y=cos(k); Time= sec 41 φορές καλύτερη η τεχνική με τη χρήση της διανυσματοποίησης. 3 Lab03 1

2 Αρχικοποίηση Μητρών Πριν την αρχικοποίηση x(1)=0; for k=2:0000 x(k)=x(k-1)^2+x(k-1); end Μετά την αρχικοποίηση x=zeros(1,0000-1); for k=2:0000 x(k)=x(k-1)^2+x(k-1); end Time= sec Time= sec 1351 φορές καλύτερη η τεχνική με τη χρήση της αρχικοποίησης. 4 Χρήση Κατάλληλων Λογικών Τελεστών Τελεστής &, &&, Περιγραφή Χρήση λογικού AND και OR σε μήτρες (σύγκριση στοιχείο με στοιχείο) Χρήση λογικού AND και OR σε αριθμούς Παράδειγμα if (nargin>=3) &&(ischar(varargin(3))) 5 Άλλα Tips Χρήση ενσωματωμένων συναρτήσεων Χρήση ενσωματωμένων συναρτήσεων έχει ως αποτέλεσμα τη βελτίωση της υπολογιστικής συμπεριφοράς. Χρήση functions και όχι script αρχείων. Χρήση των συναρτήσεων Load και Save Χρήση των συναρτήσεων Load και Save αντί των συναρτήσεων fread and fwrite. Αποφυγή εκτέλεσης μεγάλων διεργασιών Αποφυγή εκτέλεσης μεγάλων διεργασιών κατά την εκτέλεση κωδίκων του MATLAB. 6 Lab03 2

3 Κλιμάκωση σε Γ.Π. (1) ΕΦΑΡΜΟΖΕΤΑΙ Σε Γ.Π. μεγάλης διάστασης Σε Γ.Π. με μεγάλη διαφορά μεγέθους των τιμών των στοιχείων της μήτρας των συντελεστών Α. ΑΝΤΙΜΕΤΩΠΙΣΗ Χρήση τεχνικών κλιμάκωσης (scaling techniques). Οι πρώτες από αυτές και οι πιο καθιερωμένες αναπτύχθηκαν από τον Tomlin. Η τεχνική αυτή είναι γνωστή ως τεχνική της ισορρόπησης (equilibration technique). 7 Κλιμάκωση σε Γ.Π. (2) ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ Η δημιουργία Γ.Π. των οποίων οι τιμές των στοιχείων της μήτρας Α περιλαμβάνει στοιχεία των οποίων οι τιμές δεν διαφέρουν σημαντικά σε μέγεθος. Τέτοιεςμήτρεςονομάζονται καλά-κλιμακωμένες (well-scaled). Τέτοια Γ.Π. με μήτρες καλά-κλιμακωμένες προάγουν την αριθμητική ακρίβεια (arithmetic accuracy) των αλγορίθμων και μειώνουν δραματικά την υπολογιστική προσπάθεια που απαιτείται για την επίλυσή τους 8 Κλιμάκωση σε Γ.Π. (3) Εύρεση του μεγαλύτερου κατά απόλυτη τιμή στοιχείου κάθε στήλης της μήτρας Α από τη σχέση colmax(j) = max { a ij : i = 1, 2,..., m}, j = 1, 2,..., n και πολλαπλασιασμός της στήλης Α.j, j = 1, 2,..., n με τον αριθμό 1/colmax(j) έτσι ώστε το μεγαλύτερο στοιχείο της να είναι +1 ή -1. Στη συνέχεια γίνεται έλεγχος αν κάθε γραμμή της μήτρας Α περιλαμβάνει τη μονάδα ως μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο. 9 Lab03 3

4 Κλιμάκωση σε Γ.Π. (4) Αν δεν την περιλαμβάνει τότε επαναλαμβάνεται η ίδια διαδικασία με την κλιμάκωση κατά στήλες. Το μεγαλύτερο κατά απόλυτη τιμή στοιχείο κάθε γραμμής βρίσκεται από τη σχέση rowmax(i) =max { a ij :j =1 1, 2,..., n}, i =1 1, 2,..., n Η εύρεση του μεγαλύτερου κατά απόλυτη τιμή στοιχείου κάθε στήλης (γραμμής) γίνεται από τη μήτρα Α, οπολλαπλασιασμός με τον αριθμό 1/colmax (1/rowmax) περιλαμβάνει και τα διανύσματα κόστους (δεξιού μέρους). Κλιμάκωση σε Γ.Π. (5) Ηβέλτιστηλύσηενόςκλιμακωμένου γραμμικού προβλήματος (scaled linear problem) διαφέρει από τη βέλτιστη λύση του αρχικού. Η διαφορά αυτή προκύπτει από το γεγονός ότι η βέλτιστη λύση ενός κλιμακωμένου προβλήματος είναι και αυτή κλιμακωμένη. Η μετατροπή από την κλιμακωμένη βέλτιστη λύση σ αυτήν του αρχικού προβλήματος γίνεται από τη σχέση (colmulti) T x και (rowmulti) T x όπου συμβολίζει τον πολλαπλασιασμό του Hadamard και colmulti είναι ένα διάνυσμα διαστάσεων (1xn), τα στοιχεία του οποίου είναι οι πολλαπλασιαστές των στηλών της μήτρας Α 11 Μεταβλητές Εισόδου/Εξόδου (1) ΟΝΟΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: scaling_eq ΟΝΟΜΑ ΑΡΧΕΙΟΥ: scaling_eq.m ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΙΣΟΔΟΥ: Α mxn μήτρα συντελεστών b mx1 μήτρα δεξιού μέρους c 1xn μήτρα συντελεστών αντικειμενικής συνάρτησης global_max Δείχνει το μέγιστο στοιχείο του Γ.Π. 12 Lab03 4

5 Μεταβλητές Εισόδου/Εξόδου (2) ΟΝΟΜΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ: scaling_eq ΟΝΟΜΑ ΑΡΧΕΙΟΥ: scaling_eq.m ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ ΕΞΟΔΟΥ: Α mxn μήτρα συντελεστών b mx1 μήτρα δεξιού μέρους c 1xn μήτρα κόστους αντικειμενικής συνάρτησης global_max Δείχνει το μέγιστο στοιχείο του Γ.Π. col_multi 1xn μήτρα με τους πολ/στές των στηλών του Γ.Π. row_multi 1xm μήτρα με τους πολ/στές των γραμμών του Γ.Π. 13 Παράδειγμα (1) Να εφαρμοστεί κλιμάκωση στο παρακάτω Γ.Π. με τη μέθοδο της ισορρόπησης. c = [ ] A = b = Παράδειγμα (2) c = [ ] A = b = col_multi = [ ] row_multi = [ ] 15 Lab03 5

6 Άσκηση (1) Να εφαρμοστεί κλιμάκωση στο παρακάτω Γ.Π. c =[ ] A =[ ] b =[ ] 16 Άσκηση (2) c =[ ] A = b = 1.0e+003 * col_multi=[ ] row_multi=[ ] 17 Άσκηση (1) Να εφαρμοστεί κλιμάκωση στο παρακάτω Γ.Π. c =[ ] A =[ ] b =[ ] 18 Lab03 6

7 Άσκηση (2) c =[ ] A = b = col_multi=[ ] row_multi=[ ] 19 Lab03 7