Topologija električnih mreža

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Topologija električnih mreža"

Transcript

1 Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina njihovog povezivanja su nezavisni i moraju važiti jednovremeno. U prethodnim poglavljima bilo je dosta govora o karakteristikama elemenata, a sada ćemo posvetiti pažnju modeliranju veza elemenata. Model veza elemenata uključuje jednačine kojima su povezani naponi i struje u granama kola i koje važe bez obzira na prirodu elemenata koji se nalaze u tim granama. Slijedi da je moguće proučavati model veza elemenata samo korištenjem geometrijskih osobina električne mreže. Ovaj pristup analizi električnih mreža je predmet proučavanja topologije električnih mreža. Topološka analiza električnih mreža omogućava definisanje algoritma za formiranje sistema nezavisnih jednačina kojima su opisane veze elemenata električne mreže. Ona predstavlja osnov softvera za simulaciju električnih mreža. Sa topološkom analizom je povezana i analiza osjetljivosti električne mreže na varijacije vrijednosti elemenata. Kada se apstrahuju elementi, električna mreža je odredena čvorovima i granama mreže. Dakle, električnu mrežu je moguće predstaviti njenim grafom. Graf se definiše kao uredeni par skupa čvorova i skupa grana 1. Svaka grana je podskup sa dva elementa skupa čvorova. Dakle, možemo reći da grana grafa povezuje dva čvora. Čvorovi koji su povezani granom su susjedni čvorovi. Dva susjedna čvora su krajnje tačke svake grane koja ih povezuje. Za granu kojoj je neki čvor krajnja tačka kažemo da se stiče u tom čvoru. Čvor i grana su tada susjedni ili incidentni. Jedan čvor može biti incidentan sa proizvoljnim brojem grana, a grana može biti incidentna sa najviše dva čvora. Broj grana koje se stiču u čvoru je stepen čvora. Dvije grane su susjedne ako imaju zajednički čvor. Dakle, čvorovi električne mreže odgovaraju čvorovima grafa, a grane mreže odgovaraju granama grafa. Prilikom formiranja grafa električne mreže 1 Dragoš Cvetković, Diskretna matematika 1

2 svaki pristup elementu odreduje jednu granu grafa. Dakle, za elemente sa jednim pristupom grana odgovara samom elementu (grani mreže), a za elemente sa više pristupa, svaki pristup predstavljamo jednom granom. Graf se može prikazati dijagramom u kojem su čvorovi označeni tačkama, a grane linijama koje povezuju čvorove. Na Slici 1 je dat primjer električnog kola i odgovarajućeg grafa. Čvorove grafa ćemo označiti brojevima kao na Slici. Takode, i grane grafa ćemo označiti brojevima, kao na Slici 1. Uočiti na slici incidentne grane i čvorove. Može se primjetiti da se izmedu čvorova 2 i 4 nalaze dvije grane. Ovakav graf ne odgovara datoj definiciji grafa i u matematici se naziva multigraf 2. U teoriji električnih kola ćemo u termin graf uključiti i multigrafove. Slika 1: Električna mreža i odgovarajući graf. Dati graf se može predstaviti dijagramom u ravni i za njega kažemo da je planaran. Graf na Slici 2 nije planaran. Ovaj graf nije moguće predstaviti dijagramom u ravni bez obzira na način preuredivanja rasporeda njegovih čvorova i grana, kao npr. na Slici 2. Topološka svojstva grafa se ne mijenjaju pri elastičnim deformacijama grafa. Planarnost grafova električnih mreža je važno pitanje u elektronici. Naime, tehnologije izrade štampanih ploča i integrisanih kola ne omogućavaju ukrštanje veza što ograničava realizibilnost samo na mreže čiji su grafovi planarni. U datoj definiciji čvorovi koje grana povezuje čine neureden par, odnosno, njihov redoslijed nije bitan. Sa druge strane, ukoliko je redoslijed čvorova od značaja, grana se definiše kao uredeni par čvorova, a graf postaje orijentisani graf ili digraf (directed graph). Orijentacije grana se označavaju strelicama kao na Slici 3. U grafu električne mreže orijentacija grane je često odredena referentnim smjerom struje, odnosno, napona na pristupu kojem grana odgovara. Podgraf grafa (digrafa) je graf čiji je skup čvorova podskup skupa čvorova 2 Dragoš Cvetković, Diskretna matematika, str

3 Slika 2: Neplanaran graf. Slika 3: Orijentisani graf. polaznog grafa, a grane podskup skupa grana polaznog grafa. Graf dobijen zadržavanjem čvorova polaznog grafa, a grane su podskup skupa grana polaznog grafa naziva se djelimični graf datog grafa. Put u grafu je niz grana, u 1, u 2,..., u k, u kojem prva grana, u 1, polazi iz proizvoljnog čvora grafa, a svaka grana, u i, i = 2,..., k polazi iz čvora u kojem se završava grana u i 1. Put može da se definiše i kao niz čvorova kroz koje prolazi. U opštem slučaju, put može prolaziti istom granom, odnosno, kroz isti čvor više puta. Put koji kroz svaki čvor prolazi najviše jednom naziva se elementarni put. U nastavku ćemo isključivo razmatrati elementarne puteve u grafu. Put kod kojeg je početni čvor jednak završnom naziva se zatvoreni put, petlja 3 ili kontura. Konturi je moguće pridružiti orijentaciju definisanjem redoslijeda 3 U teoriji grafova uobičajeno se petlja koristi za granu koja počinje i završava se u istom čvoru. U TEK-u takve grane nemaju puno smisla i termin petlja se koristi za zatvoren put. 3

4 grana, odnosno, čvorova. Graf je povezan ako postoji put izmedu bilo koja dva njegova čvora. Ako postoje čvorovi izmedu kojih ne postoji put, graf je nepovezan. Nepovezani grafovi se javljaju u slučaju kada električno kolo sadrži, npr. transformator. Povezani podgraf koji sadrži sve čvorove povezanog grafa (djelimični graf datog grafa) i koji ne sadrži nijednu konturu naziva se stablo grafa. Jednom grafu može odgovarati više stabala. Na Slici 4 je prikazan jedan graf i odgovarajuća stabla. Broj stabala grafa zavisi od njegove topologije. Grane grafa koje pripadaju stablu nazivaju se grane stabla. U povezanom grafu sa c čvorova broj grana stabla je n = c 1. (1) Stablo grafa se može formirati polazeći od skupa čvorova i dodavanjem grana dok se ne povežu svi čvorovi pri čemu ne smije da se formira ni jedna kontura 4. Grane grafa koje ne pripadaju stablu nazivaju se spojnice. U povezanom grafu sa c čvorova i b grana broj spojnica je m = b n = b c + 1. (2) Čvorovi polaznog grafa i spojnice čine komplementarno stablo ili ko-stablo. Ako se stablu grafa doda jedna spojnica formiraće se kontura. Kontura, µ, koja sadrži grane stabla i samo jednu spojnicu naziva se glavna ili fundamentalna kontura. Broj glavnih kontura u grafu je jednak broju spojnica. U orijentisanom grafu, glavna kontura se orijentiše kao spojnica. Slika 4: Graf i stabla. Ako je graf nepovezan onda se za svaki njegov povezani podgraf može odrediti stablo. Skup tih stabala se naziva šuma. Komplement šume je ko-šuma. 4 Ili uklanjanjem grana koje čine konture, v. Cvetković, str

5 Na Slici 5 je prikazano jedno električno kolo i odgovarajući graf. Na Slici 6 su prikazani jedno stablo i odgovarajuće ko-stablo. Vidimo da se dodavanjem proizvoljne grane ko-stabla u stablo grafa formira kontura. (a) (b) Slika 5: Električno kolo i odgovarajući graf. (a) (b) Slika 6: Stablo i kostablo grafa. Ako se iz grafa na Slici 5 uklone grane 1 i 7 dobija se graf na Slici 7a. Uklanjanje grana podrazumijeva isključivanje odgovarajućih pristupa iz električne mreže. Rezultujući graf je još uvijek povezan. Ako, medutim, uklonimo i grane 2 i 6 dobijamo graf na Slici 7b koji je nepovezan. Presjek grafa je skup grana, ν, povezanog grafa koje kada uklonimo iz grafa on prestaje da bude povezan, uz uslov da uklanjanjem bilo kojeg pravog podskupa tog skupa grana graf ostaje povezan. U prikazanom primjeru presjek grafa je skup grana {1, 2, 6, 7}. Presjek je i skup grana {1, 5, 7}. U ovom slučaju jedan podgraf je sačinjen samo od čvora 1. Skup grana {1, 5, 7, 4} nije presjek iako će graf biti podijeljen na dva dijela, jer nakon uklanjanja skupa grana 5

6 {1, 5, 7} graf ne ostaje povezan. Presjek se može prikazati kao površ ili linija (u slučaju planarnog grafa) kao na Slici 8a 5. Presjek dijeli graf na dva podgrafa i krajnje tačke svake grane koja pripada presjeku se nalaze u različitim podgrafovima. Pošto će uklanjanjem svih grana incidentnih jednom čvoru odvojiti taj čvor od ostatka grafa, skup grana koje se stiču u čvoru dijeli graf na medusobno nepovezane podgrafove. Medutim ovaj skup grana će biti presjek pod uslovom da ostatak grafa nije podijeljen u više od jednog podgrafa. Posmatrajmo primjer na Slici 8b. Uklanjanjem grana koje se stiču u čvoru 1 graf će biti podijeljen na tri podgrafa, od kojih će čvor 1 biti jedan podgraf. Zbog toga ovaj skup grana uopšte nije presjek. Ali, graf na Slici 8b je neobičan i čvor 1 je neobičan čvor. Presjek se može orijentisati tako što se izabere orijentacija od jednog podgrafa ka drugom. Orijentacija se može prikazati na dijagramu kao na Slici 8a. (a) (b) Slika 7: Uklanjanje grana iz grafa i presjek grafa. (a) (b) Slika 8: Električno kolo i odgovarajući graf. Čvorni presjek siječe sadrži sve grane koje su incidentne jednom čvoru. Glavni ili fundamentalni presjek je presjek koji sadrži tačno jednu granu stabla i spojnice. Presjek {1, 5, 7} je glavni presjek. Broj glavnih presjeka u 5 Iako, u opštem slučaju, linija može sjeći granu više puta, data definicija presjeka povlači da će svaka grana na dijagramu biti presječena jednom. 6

7 grafu je jednak broju grana stabla. Glavni presjeci se mogu pronaći ako se pode od stabla grafa. Uklanjanjem jedne grane stablo će biti podijeljeno na dva dijela. Sve grane polaznog grafa (uključujući i uklonjenu granu stabla) koje spajaju ta dva dijela stabla čine jedan fundamentalni presjek. Glavni presjek u orijentisanom grafu se orijentiše isto kao grana stabla koju sadrži. 1 Osnovne topološke matrice Grafovi, presjeci i konture u grafu se mogu prikazati u matričnom obliku. 1.1 Matrica incidencija Orijentisani graf se u potpunosti može opisati informacijom o incidenciji čvorova i grana, kao i orijentacija grana. Elegantan način za ovo je potpuna matrica incidencija čvorova i grana, odnosno, potpuna matrica incidencija, A a, gdje a u indeksu znači da se uzimaju u obzir svi (engl. all) čvorovi. Matrica A a je pravougaona matrica kod koje je broj redova jednak broju čvorova grafa, a broj kolona broju grana grafa. Elementi ove matrice, a ij su, prema konvenciji 6, jednaki a ij = 1, ako je grana j incidentna čvoru i i orijentisana ka njemu 1, ako je grana j incidentna čvoru i i orijentisana od njega, ako grana j nije incidentna čvoru i. (3) Za graf na Slici potpuna matrica incidencija je data na Slici (a) (b) Slika 9: Primjer matrice incidencija. Vidimo da svaka kolona matrice A a sadrži tačno jedan element jednak 1 i jedan element jednak 1. Ovo je posljedica činjenice da je svaka orijentisana 6 Moguće je izabrati i obrnutu orijentaciju koja bi bila uskladena sa konvencijom za KZS u OET. 7

8 grana incidentna sa dva čvora grafa grana je orijentisana od jednog od čvorova ka drugom. Prema tome, sabiranjem vrsta matrice A a dobija se nula vektor-vrsta. To znači da je rang matrice A a jednak rangu matrice A koja se dobija uklanjanjem jedne vrste iz matrice A a i može se pokazati da je jednak n = c 1, gdje je c broj čvorova. Matrica A naziva se redukovana matrica incidencija ili samo matrica incidencija čvorova i grana. Čvor koji odgovara uklonjenoj vrsti matrice A a naziva se referentni čvor grafa (kola). Neka je i 1 (t) i 2 (t) i (t) =., (4) i b (t) vektor struja pristupa elemenata koji odgovaraju granama grafa (koristićemo termin struje grana). Tada se KZS može napisati u matričnom obliku Ai (t) =, (5) za svako t. Pošto su jednačine u ovom sistemu linearno nezavisne, matrica A se naziva i matrica nezavisnih čvorova. Takode, ako je v 1 (t) v 2 (t) v (t) =., (6) v n (t) vektor potencijala čvorova, a u (t) = u 1 (t) u 2 (t). u b (t), (7) vektor napona pristupa elemenata koji odgovaraju granama grafa (napona grana), vrijedi u (t) = A T v (t). (8) Vidimo da je broj elemenata vektora potencijala čvorova za jedan manji od ukupnog broja čvorova, odnosno, jedan čvor je izostavljen. Taj čvor se smatra za referentni i njegov potencijal je jednak nuli. 8

9 1.2 Matrica presjeka Potpuna matrica presjeka Q a je matrica čije vrste odgovaraju presjecima, a kolone granama grafa. Indeks a znači da se uzimaju u obzir svi presjeci. Vrijednosti elemenata matrice presjeka su 1, ako grana j pripada presjeku i i njihove orijentacije se podudaraju q ij = 1, ako grana j pripada presjeku i i njihove orijentacije se ne podudaraju, ako grana j ne pripada presjeku i (9) Graf na Slici 1, osim presjeka koji odgovaraju granama incidentnim svakom čvoru ima i presjeke {1, 3, 4, 5}, {2, 3, 5, 6} i {1, 2, 4, 6}. Potpuna matrica presjeka je data na Slici 1 (smatramo da su čvorni presjeci orijentisani ka čvoru).. (a) (b) Slika 1: Primjer potpune matrice presjeka. Potpuna matrica presjeka ima više vrsta od matrice incidencija. Ukoliko ograničimo skup presjeka samo na glavne presjeke dobijamo matricu glavnih presjeka, Q f. Ako u primjeru izabreremo stablo grafa koje čine grane {1, 2, 3}, kao na Slici 11, glavni presjeci su {ν 1, ν 2, ν 3 }, prikazani na Slici. Matrica glavnih presjeka za ovaj slučaj je Vidimo da je kvadratna podmatrica koju čine prve tri kolone (koje odgovaraju granama stabla), u stvari, jedinična matrica pa je rang ove matrice jednak 3. Ovaj rezultat se može generalizovati i pokazati da je rang matrice glavnih presjeka povezanog grafa sa c čvorova jednak broju grana stabla n = c 1. Neka je i (t) vektor struja grana. Tada iz KZS slijedi Q a i (t) =. (1) 9

10 (a) (b) Slika 11: Primjer matrice glavnih presjeka. Pošto je rang matrice Q a jednak n ove jednačine nisu linearno nezavisne pa vrijedi da je Q f i (t) =, (11) jer je rang matrice Q f jednak n. Drugim riječima, algebarski zbir struja svih grana presjeka jednak je nuli. Pridružimo, dalje, svakom glavnom presjeku ν k, napon v k koji odgovara naponu grane stabla koja pripada posmatranom presjeku. Označimo sa v t vektor tako odredenih napona presjeka v t (t) = Tada je vektor napona grana jednak Matrica kontura v 1 (t) v 2 (t). v n (t). (12) u (t) = Q T f v t (t). (13) Neka je dat orijentisan graf kao na Slici 12 i neka su konture u grafu orijentisane. Orijentacija kontura se može naznačiti strelicom u grafu ili navodenjem redoslijeda čvorova. Matrica kontura sadrži informaciju o medusobnom odnosu grana i kontura u grafu. Potpuna matrica kontura, B a, ima onoliko vrsta koliko postoji kontura u grafu i b kolona. Element matrice kontura ima 7 Ovo važi i za skup nezavisnih presjeka, ali to nismo definisali. Razmotriti ovo pitanje za sljedeću verziju. 1

11 vrijednost 1, ako grana j pripada konturi i i njihove orijentacije se podudaraju b ij = 1, ako grana j pripada konturi i i njihove orijentacije se ne podudaraju, ako grana j ne pripada konturi i (14) U grafu na Slici 12 se može formirati sedam kontura.. (a) (b) Slika 12: Konture u grafu. Potpuna matrica kontura je Ukoliko konture formiramo tako što stablu grafa dodamo jednu spojnicu, dobijamo skup glavnih kontura. Matrica glavnih kontura ima m = b n = b c+1 vrsta i b kolona. U posmatranom primjeru postoje tri glavne konture koje su prikazane na Slici. Orijentacije kontura odgovaraju orijentaciji spojnice koju sadrže. Matrica glavnih kontura B f je Kvadratna podmatrica koju čine poslednje tri kolone ove matrice (odgovaraju spojnicama) je jedinična matrica pa nije singularna i rang matrice glavnih kontura je m = b n. Neka je u (t) vektor napona grana. Tada iz KZN slijedi Bu (t) =, (15) gdje je B matrica kontura. Ako su napišu jednačine po KZN za sve konture u kolu onda imamo B a u (t) =. (16) Medutim, rang matrice B a je b n pa ove jednačine neće biti linearno nezavisne. Linearno nezavisan skup jednačina se dobija za matricu B čiji je rang jednak b n. Jedna mogućnost je matrica glavnih kontura B f B f u (t) =. (17) 11

12 Slika 13: Potpuna matrica kontura (a) (b) (c) Slika 14: Glavne konture u grafu. Drugim rijeˇcima, algebarski zbir napona svih grana koje ˇcine konturu jednak je nuli. Pri ovome se sa znakom plusom uzimaju naponi grana ˇcija se orijentacija podudara sa orijentacijom konture, a sa znakom minus naponi grana ˇcija se orijentacija ne podudara sa orijentacijom konture. 12

13 Slika 15: Matrica glavnih kontura Ako je i (t) = i1 (t) i2 (t)..., (18) ib (t) vektor struja grana, moˇze se pokazati da je i (t) = BTf il (t), (19) gdje je il (t) = il1 (t) il2 (t)..., (2) ilm (t) vektor struja spojnica. Dakle struje spojnica za dato stablo predstavljaju bazne struje preko kojih se mogu izraziti sve struje u kolu. Kao bazne struje se mogu koristiti i konturne struje. Konturne struje su fiktivne struje koje teku konturama mreˇze. Neka je dat graf sa c ˇcvorova i b grana. Neka je B matrica kontura ˇciji je rang b c + 1 i neka je dat vektor konturnih struja za konture koje odgovaraju matrici B J1 (t) J2 (t) J (t) =.., (21). Jb (t) 13

14 Vektor struja grana je sada i (t) = B T J (t). (22) Specijalno, ako se posmatraju glavne konture onda u jednačini figuriše matrica glavnih kontura B f. U datom primjeru je i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 i 6 = J 1 J 2 J 3 (23) 2 Algebarske metode analize električnih mreža Jednačine napisane po KZS i KZN koje daju relacije koje moraju zadovoljavati naponi i struje grana u električnom kolu su nezavisne od prirode elemenata čiji pristupi čine grane grafa mreže. One vrijede bez obzira na to da li su mreže linearne ili nelinearne, vremenski promjenljive ili nepromjenljive. Karakteristike elemenata daju veze izmedu napona i struja grana. Dosadašnja razmatranja nisu dala nikakve smjernice o tome kako izabrati grane grafa. Moguće je, na primjer, da svaki element (pristup u slučaju elemenata sa više pristupa) zasebno čini jednu granu. Sa druge strane, moguće je smatrati da redno vezani elementi čine jednu granu, odnosno, da paralelno vezani elementi čine jednu granu. Na primjer, u kolu na Slici 16 redno vezani elementi R a i L a se mogu smatrati zasebnim granama ili jednom granom. Analogno vrijedi za paralelno vezane elemente R c i C c. Prilikom izbora grana grafa posebnu pažnju treba posvetiti idealnim naponskim i strujnim generatorima. U kolu na Slici 16 postoje idealni naponski i strujni generator. Pošto je u grani odredenoj idealnim generatorom napon ili struja generatora poznata veličina, ukoliko se idealni generatori posmatraju kao grane, nije moguće uspostaviti vezu izmedu napona i struje posmatrane grane. Zbog toga u graf nećemo dodavati grane oderedene idealnim generatorima već ćemo transformisati kolo tako da grana bude odredena rednom vezom idealnog naponskog generatora i pasivnog elementa, odnosno, paralelnom vezom idealnog strujnog generatora i pasivnog elementa. U slučaju da u kolu figuriše idealni naponski generator, moguće ga je premjestiti u grane koje se stiču u čvoru u koji je spojen jedan od njegovih priključaka, pri čemu se priključci ranije pozicije idealnog naponskog generatora kratko 14

15 Slika 16: Pomjeranje naponskih i strujnih generatora. spajaju, kao na Slici 16. Ova transformacija rezultuje ekvivalentnim kolom jer će jednačine dobijene primjenom KZN biti nepromijenjene. Medutim, u rezultujućem kolu je svaki idealni naponski generator redno vezan sa nekim pasivnim elementom što omogućava da se odredi veza izmedu napona i struje odgovarajuće grane grafa. Analogno, idealni strujni generator je moguće premjestiti paralelno svim granama koje sa polaznom pozicijom idealnog strujnog generatora čine konturu, pri čemu se polazni priključci strujnog generatora ostavljaju otvoreni, kao što je prikazano na Slici 16. Dobijeno kolo je ekvivalentno polaznom jer će jednačine dobijene primjenom KZS biti nepromijenjene, ali će paralelno svakom idealnom strujnom generatoru biti vezan jedan pasivni element što omogućava da se odredi veza izmedu napona i struje odgovarajuće grane. Ove transformacije se nazivaju pomjeranje naponskog, odnosno, strujnog generatora, respektivno. U nastavku razmatranja u nekim slučajevima će biti neophodno da se kolo transformiše pomjeranjem naponskih ili strujnih generatora, dok u nekim slučajevima neće biti potrebe za transformacijom. Sada ćemo formirati jednačine kojima je opisano električno kolo korištenjem ranije izvedenih topoloških relacija karakteristika elemenata. Posmatraćemo kolo u ustaljenom prostoperiodičnom režimu i za analizu ćemo koristiti kompleksne predstavnike napona i struja u kolu. Takode, ograničićemo analizu na kola koja osim nezavisnih generatora sadrže pasivne i recipročne elemente. Kako bismo došli do algoritma kojim se jednoznačno formira graf električnog kola definisaćemo generalisanu granu u obliku prikazanom na Slici 17. Generalisana grana sadrži naponski generator redno vezan sa pasivnom granom i strujni generator vezan paralelno ovoj rednoj vezi. Na primjer, na Slici 16 jednu generalisanu granu može sačinjavati redna veza R a, L a, naponskog generatora i strujnog generatora. Na Slici 17 su naznačeni usaglašeni referentni smjerovi napona i struje. Pogodno je odabrati orijentaciju grane 15

16 Slika 17: Generalisana grana. grafa tako da odgovara referentnom smjeru napona na posmatranom pristupu generalisanoj grani. Za generalisanu granu vrijedi U l + U gl = Z l ( Igl + I l ), (24) I l + I gl = Y l ( U gl + U l ). (25) Ako sa U označimo vektor napona generalisanih grana, sa I vektor struja generalisanih grana, sa U g vektor napona naponskih generatora koji se nalaze u generalisanim granama, a sa I g vektor struja strujnih generatora koji se nalaze u generalisanim granama, imamo U + U g = Z (I + I g ), (26) I + I g = Y (U + U g ). (27) Matrica Z je matrica impedansi grana, a matrica Y je matrica admitansi grana. Za pasivnu recipročnu mrežu, matrice impedansi i admitansi grana su simetrične. Kao primjer posmatrajmo kolo na Slici 18. Grane 1 i 2 su induktivno spregnute. Matrica Z je oblika Matrica Y je inverzna matrici Z. Vidimo da zahvaljujući pogodno izabranoj numeraciji grana, dobijena matrica ima karakterističnu strukturu radi se o blok-dijagonalnoj matrici. Pošto je numeracija grana proizvoljna onda je uvijek moguće pogodno izabrati numeraciju grana i iskoristiti pogodnosti rada sa blok-dijagonalnom matricom. Na primjer, inverznu matricu blok-dijagonalne matrice je moguće izračunati po blokovima. Kada u kolu ne bi postojale induktivno spregnute grane, matrice Z i Y bi bile dijagonalne i elementi na dijagonali bi bili 16

17 Slika 18: Primjer. jednaki impedansama, odnosno, admitansama pojedinih grana, respektivno. Sada vidimo da bi postojanje idealnih generatora u mreˇzi predstavljalo problem pri formiranju matrice impedansi grana, odnosno, admitansi. Naime, impedansa grane sa idealnim strujnim generatorom je beskonaˇcno velika pa ne bi bilo mogu ce formirati matricu impedansi. Analogno vrijedi za granu sa idealnim naponskim generatorom i matricu admitansi grana. 2.1 Metoda nezavisnih struja Ve c smo pokazali da je algebarska suma napona grana u glavnim petljama jednaka nuli. U ustaljenom prostoperiodiˇcnom reˇzimu ovaj sistem od m = 17

18 b c + 1 jednačina ima oblik B f U =. (28) Uvrštavanjem vrijednosti za napone grana iz jednačine dobijamo U + U g = Z (I + I g ), (29) B f ZI = B f (U g ZI g ). (3) Struje grana se mogu izraziti pomoću konturnih struja glavnih kontura pa imamo ili Matrica I = B T f J, (31) B f ZB T f J = B f (U g ZI g ). (32) Z m J = V g. (33) Z m = B f ZB T f (34) se naziva matrica impedansi kontura. Za pasivnu recipročnu mrežu, matrica impedansi kontura je simetrična. Vektor V g = B f (U g ZI g ) (35) je vektor ekvivalentnih naponskih izvora kontura. Za primjer sa Slike 18 sistem izabranih kontura je prikazan na Slici??. Tada je matrica kontura oblika Slika 19: Glavne konture u grafu. 18

19 1 Bf = Matrica impedansi kontura je Vidimo da je elemente matrice impedansi kontura mogu ce interpretirati na sljede ci naˇcin. Svaki element na glavnoj dijagonali je suma impedansi grana koje pripadaju odgovaraju coj pelji, s tim ˇsto je potrebno posvetiti paˇznju induktivno spregnutim granama. Svaki element koji ne pripada glavnoj dijagonali jednak je sumi impedansi u granama koje su zajedniˇcke odgovaraju cim petljama sa predznakom plus ako se orijentacije kontura u zajedniˇckoj grani podudaraju, a sa predznakom minus, ako se orijentacije kontura u zajedniˇckoj grani ne podudaraju. Vektori generatora su Ug = U 19

20 i I g = I. Vektor ekvivalentnih naposkih generatora kontura je V g = B f (U g ZI g ) = = = U I jωc 7. U I jωc 7 = Veličina I jωc 7 je napon ekvivalentnog Tevenenovog generatora za strujni generator vezan u paralelu sa kondenzatorom C 7. Dakle, elementi vektora ekvivalentnih naponskih izvora kontura su algebarske sume napona naponskih generatora (uključujući i Tevenenove generatore) u odgovarajućoj konturi, sa referentnim smjerovima izabranim tako da budu usaglašeni sa orijentacijom konture. Rješenje sistema jednačina formiranog po metodi nezavisnih struja se može dobiti u obliku 2.2 Metoda potencijala čvorova Z m J = V g, (36) J = Z 1 m V g. (37) Algebarska suma struja grana u svakom čvoru mreže je, prema KZS, jednaka nuli. U ustaljenom prostoperiodičnom režimu ovaj sistem od c jednačina 2

21 se može napisati u obliku A a I =, (38) gdje je A a potpuna matrica incidencija, a I vektor struja grana mreže. Pošto je rang potpune matrice incidencija jednak n = c 1, jednačine u ovom sistemu nisu linearno nezavisne. Ako jedna čvor u mreži izaberemo za referentni, jednačine po KZS za ostale čvorove su linearno nezavisne AI =, (39) gdje je A matrica incidencija za ostale čvorove mreže. Uvrštavanjem vrijednosti za struje grana iz jednačine dobijamo I + I g = Y (U + U g ), (4) AYU = A (I g YU g ). (41) Naponi grana grafa se mogu izraziti preko potencijala čvorova U = A T V, (42) gdje je V vektor potencijala čvorova u odnosu na odabrani referentni čvor. Sada je AYA T V = A (I g YU g ) (43) ili Y n V = J g. (44) Ovom matričnom jednačinom je predstavljen sistem od n jednačina sa n nepoznatih. Matrica Y n = AYA T, (45) se naziva matrica admitansi čvorova. Za pasivnu recipročnu mrežu, matrica admitansi čvorova je simetrična. Elementi matrice admitansi čvorova se mogu interpretirati na sljedeći način. Vrijednosti elemenata na glavnoj dijagonali su jednake sumi admitansi svih grana incidentnih u odgovarajućem čvoru. Elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali su jednaki negativnoj admitansi grane koja se nalazi izmedu dva čvora. Vektor J g = A (I g YU g ) (46) se naziva vektor ekvivalentnih strujnih generatora čvorova. Vrijednosti elemenata ovog vektora su algebarske sume strujnih generatora, uključujući i ekvivalentne Nortonove generatore, u granam incidentnim odgovarajućem čvoru sa referentnim smjerom izabranim prema čvoru. 21

22 Slika 2: Primjer. Slika 21: Orijentisani graf uz primjer. 22

23 Kao ilustraciju postupka postavljanja jednačina po metodi potencijala čvorova posmatraćemo istu mrežu kao i u prethodnom primjeru, Slika 2. Graf ove mreže dat je na Slici 21 Matrica incidencija je A = Matrica admitansi grana je gdje je = L 11 L 22 L 12 L 21. Matrica admitansi. čvorova je Matrice U g i I g su iste kao u prethodnom primjeru pa je vektor ekvivalentnih strujnih generatora čvorova J g = A (I g YU g ) = G 5 U I I. 23

24 2.3 Metoda napona nezavisnih presjeka Već je pokazano da je algebarski zbir struja svih grana presjeka jednak nuli pa se može pisati Q a I =. (47) Pošto je rang potpune matrice presjeka jednak n = c 1, odnosno, rangu matrice glavnih presjeka, dovoljno je posmatrati sistem od n jednačina Uvrštavanjem vrijednosti za struje grana iz jednačine dobijamo Q f I =. (48) I + I g = Y (U + U g ), (49) Q f YU = Q f (I g YU g ). (5) Naponi grana grafa se mogu izraziti preko napona glavnih presjeka, pri čemu smo napon glavnog presjeka definisali kao napon grane grafa koja pripada tom presjeku. U = Q T f V t, (51) gdje je V t vektor napona glavnih presjeka. Sada je odnosno, Q f YQ T f V t = Q f (I g YU g ), (52) Y t V t = J t (53) Ovom matričnom jednačinom je predstavljen sistem od n jednačina sa n nepoznatih. Matrica Y t = Q f YQ T f, (54) se naziva matrica admitansi glavnih presjeka. Elementi matrice admitansi glavnih presjeka se mogu interpretirati na sljedeći način. Vrijednosti elemenata na glavnoj dijagonali su jednake sumi admitansi svih grana koje pripadaju posmatranom presjeku. Elementi koji se ne nalaze na glavnoj dijagonali su jednaki plus ili minus admitansi grane koja je zajednička za dva posmatrana presjeka. Znak plus se koristi kada je orijentacija grane podudarna sa orijentacijama oba presjeka, a minus u suprotnom. Vektor J t = Q f (I g YU g ) (55) se naziva vektor ekvivalentnih strujnih generatora glavnih presjeka. Vrijednosti elemenata ovog vektora su algebarske sume strujnih generatora, 24

25 uključujući i ekvivalentne Nortonove generatore, u granama koje pripadaju odgovarajućem presjeku sa referentnim smjerom koji odgovara orijentaciji presjeka. Na Slici 22 je dato električno kolo i odgovarajući graf zajedno sa presjecima. Matrica glavnih presjeka je Q f = Slika 22: Primjer Matrica admitansi grana je ista kao u prethodnom primjeru uz izuzetak induktivne sprege izmedu grana pa je sistem jednačina nezavisnih presjeka. 25

26 26

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE

2. METODE RJEŠAVANJA STRUJNIH KRUGOVA ISTOSMJERNE STRUJE 2. METOE RJEŠVNJ STRUJNH KRUGOV STOSMJERNE STRUJE U svrhu lakšeg snalaženja u analizi složenih strujnih krugova i električnih mreža uvode se nazivi za pojedine dijelove mreže. Onaj dio električne mreže

Διαβάστε περισσότερα

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA

ISTOSMJERNE STRUJE 3 ANALIZA LINEARNIH ELEKTRIČNIH MREŽA STOSMJN STUJ ANALZA LNANH LKTČNH MŽA Saržaj preavanja. Uvo. zravna primjena Kirchhoffovih zakona. Metoa napona čvorova. Metoa konturnih struja 5. Metoa superpozicije. Theveninov teorem. Nortonov teorem

Διαβάστε περισσότερα

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu

Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu Snage u ustaljenom prostoperiodičnom režimu 13. januar 016 Posmatrajmo kolo koje se sastoji od dvije podmreže M i N, kao na Slici 1. U kolu je uspostavljen ustaljeni prostoperiodični režim i ulazni napon

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Metode rješavanja električnih strujnih krugova

Metode rješavanja električnih strujnih krugova Sveučilište J. J. Strossmayera u sijeku lektrotehnički fakultet sijek Stručni studij snove elektrotehnike Metode rješavanja električnih strujnih krugova snovni pojmovi rana električne mreže (g) dio mreže

Διαβάστε περισσότερα

Odredivanje odziva u električnim kolima

Odredivanje odziva u električnim kolima Odredivanje odziva u električnim kolima 28. oktobar 2015 Kada se u električno kolo uključe naponski ili strujni generatori dolazi do promjene stanja kola. Na elementima kola se javljaju naponi, a kroz

Διαβάστε περισσότερα

Snage u kolima naizmjenične struje

Snage u kolima naizmjenične struje Snage u kolima naizmjenične struje U naizmjeničnim kolima struje i naponi su vremenski promjenljive veličine pa će i snaga koja se isporučuje potrošaču biti vremenski promjenljiva Ta snaga naziva se trenutna

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje

Analiza linearnih mreža istosmjerne struje . Analiza linearnih mreža istosmjerne struje.. Električna mreža i njezini elementi Složen strujni krug koji se sastoji od više različitih pasivnih i aktivnih elemenata zove se mreža. Pasivni elementi mreže

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11.

OSNOVE ELEKTROTEHNIKE II Vježba 11. OSNOVE EEKTOTEHNKE Vježba... Za redno rezonantno kolo, prikazano na slici. je poznato E V, =Ω, =Ω, =Ω kao i rezonantna učestanost f =5kHz. zračunati: a) kompleksnu struju u kolu kao i kompleksne napone

Διαβάστε περισσότερα

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul.

Trofazno trošilo je simetrično ako su impedanse u sve tri faze međusobno potpuno jednake, tj. ako su istog karaktera i imaju isti modul. Zadaci uz predavanja iz EK 500 god Zadatak Trofazno trošilo spojeno je u zvijezdu i priključeno na trofaznu simetričnu mrežu napona direktnog redoslijeda faza Pokazivanja sva tri idealna ampermetra priključena

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1 { fiziqka hemija

Matematika 1 { fiziqka hemija UNIVERZITET U BEOGRADU MATEMATIQKI FAKULTET Matematika 1 { fiziqka hemija Vektori Tijana Xukilovi 29. oktobar 2015 Definicija vektora Definicija 1.1 Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih dui koje imaju

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA

OM2 V3 Ime i prezime: Index br: I SAVIJANJE SILAMA TANKOZIDNIH ŠTAPOVA OM V me i preime: nde br: 1.0.01. 0.0.01. SAVJANJE SLAMA TANKOZDNH ŠTAPOVA A. TANKOZDN ŠTAPOV PROZVOLJNOG OTVORENOG POPREČNOG PRESEKA Preposavka: Smičući napon je konsanan po debljini ida (duž pravca upravnog

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016.

VJEROJATNOST I STATISTIKA Popravni kolokvij - 1. rujna 2016. Broj zadataka: 5 Vrijeme rješavanja: 120 min Ukupan broj bodova: 100 Zadatak 1. (a) Napišite aksiome vjerojatnosti ako je zadan skup Ω i σ-algebra F na Ω. (b) Dokažite iz aksioma vjerojatnosti da za A,

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

Elektronički Elementi i Sklopovi

Elektronički Elementi i Sklopovi Sadržaj predavanja: 1. Strujna zrcala pomoću BJT tranzistora 2. Strujni izvori sa BJT tranzistorima 3. Tranzistor kao sklopka 4. Stabilizacija radne točke 5. Praktični sklopovi s tranzistorima Strujno

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda

Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica malog reda V Hari i V Zadelj-Martić: Kosinus-sinus dekompozicija, mathe 10, veljača 007 1/14 Hrvatski matematički elektronski časopis mathe Broj 10 http://emathhr/ Kosinus-sinus dekompozicija ortogonalnih matrica

Διαβάστε περισσότερα

Unipolarni tranzistori - MOSFET

Unipolarni tranzistori - MOSFET nipolarni tranzistori - MOSFET ZT.. Prijenosna karakteristika MOSFET-a u području zasićenja prikazana je na slici. oboaćeni ili osiromašeni i obrazložiti. b olika je struja u točki, [m] 0,5 0,5,5, [V]

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva

2. Data je žičana otpornička mreža na slici. Odrediti ekvivalentnu otpornost između krajeva 1. U kolu stalne struje sa slike 1 poznato je R1 = 2R = 200 Ω, Rp> R1, E1 =-E2 = 10 V i E3 = E4 = 10 V. izračunati Ig (Ig 0) tako da snage koje razvijaju idealni naponski generator E3 i idealni strujni

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović

RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA POLUPROVODNIČKE KOMPONENTE (IV semestar modul EKM) II deo. Miloš Marjanović Univerzitet u Nišu Elektronski fakultet RAČUNSKE VEŽBE IZ PREDMETA (IV semestar modul EKM) II deo Miloš Marjanović Bipolarni tranzistor kao prekidač BIPOLARNI TRANZISTORI ZADATAK 16. U kolu sa slike bipolarni

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα