ÊÉÍÇÓÇ ÓÅ Ó ÇÌÁÔÁ (ANIMATIONS) ME TH MATHEMATICA
|
|
|
- Ἰορδάνης Βιλαέτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 animations.nb à Notebook E22 (ΑΚΟΜΗ ΣΕ ΠΑΡΑ ΠΟΛΥ ΠΡΟΧΕΙΡΗ ΜΟΡΦΗ... ) ÊÉÍÇÓÇ ÓÅ Ó ÇÌÁÔÁ (ANIMATIONS) ME TH MATHEMATICA ¼ðùò Þäç ãíùñßæïõìå, ìå ôç Mathematica ìðïñïýìå íá äçìéïõñãþóïõìå ðïéêßëá ó Þìáôá, ãéá ðáñüäåéãìá ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò óõíáñôþóåùí ðïõ åßíáé óõ íü ñþóéìåò óôïí Ðïëéôéêü Ìç áíéêü. Óôï notebook áõôü èá äåßîïõìå ðþò áêñéâþò ìðïñïýìå íá äçìéïõñãïýìå êßíçóç óå ó Þìáôá (Þ êéíïýìåíá ó Þìáôá, óôá ÁããëéêÜ animations). ¼ðùò óõìâáßíåé êáé óôïí êéíçìáôïãñüöï, ôýôïéá äõíáôüôçôá äåí õðüñ åé áðåõèåßáò. ÕðÜñ åé üìùò ç äõíáôüôçôá óå ìéá óõãêåêñéìýíç èýóç ôçò ïèüíçò íá ðáñïõóéüæïíôáé äéáöïñåôéêü ó Þìáôá ôï Ýíá áìýóùò ìåôü ôï Üëëï. Áõôü ôï õðïóôçñßæåé ç Mathematica ìå ôç ñþóç ôçò åðéëïãþò Cell -> Animate Selected Graphics áðü ôéò åðéëïãýò Cell ôùí menus. Áðüëõôá éóïäýíáìç êáé öõóéêü êüðùò ðéï åý ñçóôç åßíáé ç óõíôüìåõóç Ctrl Y ôçò åðéëïãþò áõôþò Cell -> Animate Selected Graphics. Ôüóï åýêïëï! Ãéá íá åñãáóèåß ç Mathematica ìå ôïí ðéï ðüíù ôñüðï èýôïíôáò óå ìéá èýóç ôçò ïèüíçò ðåñéóóüôåñá áðü Ýíá ó Þìáôá ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï ìáò æçôüåé ðñþôá íá Ý ïõìå äçìéïõñãþóåé ôá ó Þìáôá áõôü êáé íá ôá Ý ïõìå óáí áðïôýëåóìá ìéáò åíôïëþò ôçò, ðïõ óõ íü (áëë' ü é âýâáéá áíáãêáóôéêü) âáóßæåôáé óôçí åíôïëþ Plot. Áò äïýìå Ýíá ó åôéêü áðëü ðáñüäåéãìá: In[]:= 8Plot@Sin@D, 8,, 6 π<d, Plot@ 3, 8,, 2 π<d< Out[]= 8 Graphics, Graphics < ñá äçìéïõñãþóáìå äýï ùñéóôýò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò (ìå äýï êëþóåéò ôçò åíôïëþò Plot, áëëü óôçí ßäéá óýíèåôç åíôïëþ): ìßá ãéá ôçí çìéôïíéêþ óõíüñôçóç sin êáé ìßá ãéá ôçí ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç 3 -. ÁõôÝò ðáñïõóéüæïíôáé ç ìßá êüôù áðü ôçí Üëëç. Áí ôþñá åìåßò ðáôþóïõìå ìå ôï ðïíôßêé áðëü Cell -> Animate Selected Graphics áðü ôéò åðéëïãýò Þ ðïëý ðéï áðëü Ctrl Y áðü ôï ðëçêôñïëüãéï, ôßðïôå áðïëýôùò äå èá óõìâåß. Áí ôþñá åðéëýîïõìå ôçí ðñþôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ìáõñßæïíôáò ìå
2 animations.nb 2 ðüôçìá ôïõ ðïíôéêïý ôç ìðëå ãñáììþ áêñéâþò äåîéü ôçò (äåîéü óôçí ðñþôçðéï ðüíù ãñáöéêþ ðáñüóôáóç: ôçí åóùôåñéêþ ìðëå ãñáììþ) êáé ðáôþóïõìå Ctrl Y, ðüëé ôßðïôå äå èá óõìâåß. Ôü ßäéï êáé áí ìáõñßóïõìå ôçí åóùôåñéêþ ìðëå ãñáììþ ðïõ áíôéóôïé åß óôç äåýôåñç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç: ðüëé ôßðïôå äå èá óõìâåß. Åßíáé ëïãéêü áõôü, ãéáôß äå ìðïñïýìå íá ðüñïõìå êßíçóç ìå ôç ñþóç åíüò ìüíï ó Þìáôïò. Ôþñá áò åðéëýîïõìå êáé ôéò äýï ðéï ðüíù ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò (ôáõôü ñïíá êáé ãéá ôçí çìéôïíéêþ êáé ãéá ôçí ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç) ìáõñßæïíôáò ôç ëßãï ðéï Ýîù ìðëå ãñáììþ ðïõ áíôéóôïé åß êáé óôéò äýï áõôýò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò, äçëáäþ óå ïëüêëçñç ôçí Ýîïäï ôçò ðáñáðüíù óýíèåôçò åíôïëþò Plot (ëßóôá ìå ñþóç äýï öïñýò ôçò åíôïëþò Plot). ôóé óçìáäýøáìå ôáõôü ñïíá êáé ôéò äýï ðéï ðüíù ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò: êáé ôá äýï ó Þìáôá. ÐáôÜìå ôþñá Cell -> Animate Selected Graphics Þ ðéï áðëü Ctrl Y êáé ôï èáýìá Ýãéíå: ôç èýóç ôçò ðñþôçò ãñáöéêþò ðáñáóôüóåùò (áí åßíáé ïñáôþ óôçí ïèüíç ìáò) ôçí ðáßñíåé ìéá ç çìéôïíéêþ óõíüñôçóç (ç ðñþôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç) ìéá ç ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç (ç äåýôåñç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç). ÅíáëëÜóóïíôáé ëïéðüí ïé äýï áõôýò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò óôçí ßäéá èýóç ôçò ïèüíçò. Ôï ó Þìá êéíåßôáé! ÁñêåôÜ ùñáßá. (Áò óçìåéþóïõìå åäþ üôé áí ç ðñþôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç äåí åßíáé ïñáôþ óôçí ïèüíç, äçëáäþ åßíáé ëßãï ðéï ðüíù, ôüôå èá áñ ßóåé íá êéíåßôáé ôï ó Þìá ðïõ áöïñü óôçí ðñþôç ïñáôþ óôçí ïèüíç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç. ËåðôïìÝñåéá âýâáéá, áëë' áò ôçí Ý ïõìå õðüøç ìáò.) Áí ôýëïò èýëïõìå íá äéáêüøïõìå áõôþí ôçí ôüóï ìéêñþ ôáéíßá ðïõ äçìéïõñãþóáìå ìý ñé Ýíá ìéêñü âáèìü (êáé åäþ ìå äýï ìüíï ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ðïõ åíáëëüóóïíôáé óôçí ßäéá èýóç ôçò ïèüíçò), áðëü ðáôüìå ôï ðïíôßêé êüðïõ óôçí ïèüíç êáé ôýñìá ç ïðôéêþ áõôþ ðáñüóôáóç. ÔÝëïò! Ìðïñïýìå íá ôçí îáíááñ ßóïõìå ìå Cell -> Animate Selected Graphics Þ ðéï áðëü Ctrl Y, üðùò êáé ðñéí. Áðü 'äþ êáé ðýñá èá ãñüöïõìå ìüíï Ctrl Y åííïþíôáò âýâáéá üôé ìðïñåß åíáëëáêôéêü íá ñçóéìïðïéçèåß êáé ç åðéëïãþ Cell -> Animate Selected Graphics áðü ôá menus/ Áò óçìåéþóïõìå óôï óçìåßï áõôü üôé áí ìáõñßóïõìå ôçí áêüìç ðéï ìåãüëç êáôáêüñõöç ìðëå ãñáììþ ðïõ áöïñü óå ïëüêëçñç ôçí ðéï ðüíù åíôïëþ, äçëáäþ ðåñéëáìâüíåé êáé üëç ôçí åßóïäï (input) êáé üëç ôçí Ýîïäï (output) ôçò åíôïëþò, áêüìç êáé ôéò åíäåßîåéò Graphics óôç ëßóôá óôï ôýëïò ôçò åíôïëþò, êáé ðüëé üëá ðüíå ìéá áñü. Ç êßíçóç ôïõ åíüò ó Þìáôïò (óõíþèùò ôïõ ðñþôïõ) åßíáé êáé ðüëé ãåãïíüò. Ôï äßäáãìá åßíáé üôé ðáôüìå üðïéá ìðëå êáôáêüñõöç ìðëå ãñáììþ ìáò áñýóåé, áñêåß áõôþ ç êáôáêüñõöç ìðëå ãñáììþ íá ðåñéëáìâüíåé ðüíù áðü ìßá ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò. (Ìå ìßá ìüíï ãñáöéêþ ðáñüóôáóç äåí õðüñ åé êßíçóç!) Ôüôå ç ðñþôç óôçí ïèüíç (ç ðéï øçëü óôçí ïèüíç) ãñáöéêþ ðáñüóôáóç èá áñ ßóåé íá åíáëëüóóåôáé ìå üëåò áíåîáéñýôùò ôéò õðüëïéðåò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò ðïõ Ý ïõìå óçìáäýøåé ìå ôï ìáýñéóìá ôçò êáôüëëçëçò ìðëå ãñáììþò äåîéü óôï notebook. à ΚΙΝΗΣΗ ΗΜΙΤΟΝΙΚΗΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ Ùñáßá ùò åäþ, áëëü ôß ìáò íïéüæïõí üëá áõôü; Äåí êáôáöýñáìå êáé ôßðïôå óçìáíôéêü! ÌÜëëïí æáëéóôþêáìå ìå äýï åíôåëþò äéáöïñåôéêýò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò (ç ðñþôç ãéá ìéá çìéôïíéêþ óõíüñôçóç, åíþ ç äåýôåñç ãéá ìéá ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç) íá åíáëëüóóïíôáé óôï ßäéï ó Þìá. Óå ôß ìáò âïçèüåé ìéá ôýôïéá åíáëëáãþ ðýñá áðü ôï íá ìáò æáëßæåé; Ç áðüíôçóç åßíáé áðëþ. Ôï ðéï ðüíù áðëïúêü êáé ïõóéáóôéêü Ü ñçóôï ðáñüäåéãìá ìáò Ýäåéîå êáèáñü ôïí ôñüðï åñãáóßáò ôçò Mathematica óôçí êßíçóç óå ó Þìáôá (animation). Áðü 'äþ êáé êüôù ç éäýá åßíáé ôá ó Þìáôá ôá ïðïßá åìöáíßæïõìå óôçí ßäéá èýóç ôï Ýíá áìýóùò ìåôü ôï Üëëï ìå ôçí åðéëïãþ Ctrl Y íá ìçí åßíáé Üó åôá ìåôáîý ôïõò, áëëü ó åôéêü ìå ðïëý ìéêñýò äéáöïñýò ôï Ýíá áðü ôï áìýóùò åðüìåíü ôïõ (Þ ðñïçãïýìåíü ôïõ). Ôüôå áíôß íá áðëü íá æáëéæüìáóôå èá Ý ïõìå ôçí áßóèçóç ôçò êéíþóåùò ôïõ ó Þìáôïò. Äå èá åßíáé âýâáéá áëçèéíþ êßíçóç, èá óõíå ßóåé íá åßíáé åíáëëáãþ ó çìüôùí, áëëü èá ìáò äßíåé ôçí øåõäáßóèçóç êéíþóåùò, áêñéâþò üðùò óõìâáßíåé êáé óôïí êéíçìáôïãñüöï. Áò äïýìå Ýíá ó åôéêü, áëëü êáé ðüëé ðïëý áðëü ðüñáäåéãìá, ðïõ áöïñü îáíü óôçí çìéôïíéêþ óõíüñôçóç ( ùñßò üìùò ðëýïí ðáñýá ôçò ìéá ðïëõùíõìéêþ óõíüñôçóç):
3 animations.nb 3 In[2]:= 8Plot@Sin@D, 8,, 6 π<d, Plot@Sin@ πê D, 8,, 6 π<d, Plot@Sin@ 2 π ê D, 8,, 6 π<d, Plot@Sin@ πê D, 8,, 6 π<d< Out[2]= 8 Graphics, Graphics, Graphics, Graphics < ïõìå ôþñá ðüñåé ôýóóåñéò ãñáöéêýò ðáñáóôüóåéò: ôçò áñ éêþò çìéôïíéêþò óõíáñôþóåùò ç ðñþôç êáé ìå ìåôáôïðßóåéò ôçò êáôü ð/ (óáí íá åêéíåßôï ðñïò ôá äåîéü) êáé ðßóù ìåôü. Áí åðïìýíùò ìáõñßóïõìå ôç ó åôéêþ êáôáêüñõöç ìðëý ãñáììþ äåîéü ìå ôï ðïíôßêé (åßôå ôç ìðëå ãñáììþ ìå ôá ôýóóåñá áõôü
4 animations.nb 4 ó Þìáôá åßôå ôçí áìýóùò åðüìåíç ðñïò ôá Ýîù ìðëå ãñáììþ ìå ïëüêëçñç ôçí ðéï ðüíù åíôïëþ (êáé ôçí åßóïäü ôçò) êáé ðáôþóïõìå Ctrl Y, ôüôå èá ðáñáôçñþóïõìå ôçí êßíçóç ôçò ãñáöéêþò ðáñáóôüóåùò (ôçò ðñþôçò ãñáöéêþò ðáñáóôüóåùò óôçí ïèüíç ìáò) ðñïò ôá äåîéü êáé ìåôü ðñïò ôá áñéóôåñü. ïõìå ëïéðüí êßíçóç óôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç; ¼ é âýâáéá, äåí Ý ïõìå áëçèéíþ êßíçóç, áëë' Ý ïõìå øåõäáßóèçóç êéíþóåùò ëüãù ôçò åíáëëáãþò ôùí ôåóóüñùí ðéï ðüíù ãñáöéêþí ðáñáóôüóåùí (ç äåýôåñç ìüëéóôá åßíáé ßäéá ìå ôçí ôýôáñôç) ìå ãñþãïñï ñõèìü ðüíù óôçí ïèüíç ìáò. ïõìå ëïéðüí ðåôý åé ôçí øåõäáßóèçóç êéíþóåùò ôçò ãñáöéêþò ìáò ðáñáóôüóåùò êé áõôþí ôçí øåõäáßóèçóç èá ôçí áðïêáëïýìå áðü 'äþ êáé ìðñïò êßíçóç ôçò ãñáöéêþò ðáñáóôüóåùò. Óôï óçìåßï áõôü áò ðáñáôçñþóïõìå üôé åßíáé ìüëëïí êïõôü íá äßíïõìå ìáêñýò óýíèåôåò åíôïëýò óôç Mathematica, üðùò ç ðéï ðüíù åíôïëþ óå ëßóôá ìå ôýóóåñá óôïé åßá: ôýóóåñéò ùñéóôýò ãñáöýò ôçò åíôïëþò Plot. Áêñéâþò ôï ßäéï ìðïñïýìå íá ðåôý ïõìå ìå ôç ñþóç ìßá Þ ôï ðïëý äýï öïñýò ôçò åíôïëþò Table. ÁõôÞ äçìéïõñãåß ôá ßäéá áêñéâþò ó Þìáôá ìå ìßá Þ äýï ìüíï åìöáíßóåéò ôçò. Áò êüíïõìå Ýíá ðáñüäåéãìá êéíþóåùò ðñïò ôá áñéóôåñü ôçò çìéôïíéêþò êáìðýëçò. In[3]:= P = Table@Plot@Sin@ + k π ê D, 8, 2 π, 2 π<d, 8k,, 9<D; - - -
5 animations.nb
6 animations.nb
7 animations.nb
8 animations.nb
9 animations.nb 9 - Ãéá íá ìç óðáôáëüìå þñï, èá óâþóïõìå (ü é áêüìç, óôï ìýëëïí) ôá ó Þìáôá ðïõ ðñïýêõøáí áðü ôçí åíôïëþ áõôþ åêôüò áðü ôï ðñþôï. ÓõãêåêñéìÝíá ðñïýêõøáí 2 ó Þìáôá, ëßãï äéáöïñåôéêü ôï Ýíá áðü ôï Üëëï êáé ç åíôïëþ Ctrl Õ ãéá ôçí êßíçóç ôçò ãñáöéêþò ðáñáóôüóåùò (åäþ ôçò çìéôïíéêþò óõíáñôþóåùò sin ) äïõëåýåé ìéá áñü. ïõìå êßíçóç ôçò çìéôïíéêþò ìáò êáìðýëçò ðñïò ôá áñéóôåñü. Áí üìùò åß áìå âüëåé áíôß ãéá + óôïí üñï kð/, ôüôå ç êßíçóç èá Þôáí öõóéêü ðñïò ôá äåîéü. à ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ Ôï åðüìåíï ó Þìá óêïðåýåé íá ìáò äåßîåé ôçí êßíçóç åíüò êýêëïõ áêôßíáò.3 ðüíù óôïí Üîïíá O áðü = ìý ñé =. ñçóéìïðïéïýìå ôçí åíôïëþ Table ìáæß ìå ôéò åíôïëýò Disk, Graphics êáé Show. ÐÜåé ëïéðüí ìå Ctrl Y äåîéü ôï êõêëüêé, êéíåßôáé. ¼ôáí âýâáéá ôåëåéþóåé ç ðáñüóôáóç êáé öèüóåé óôï óçìåßï =, ôüôå îáíáñ ßæåé íá êéíåßôáé áðü ôçí áñ Þ, áðü ôï óçìåßï =. ÄïêéìÜóôå ôï ìå Ctrl Y. In[4]:= t = Table@Show@Graphics@Disk@8, <,.3D, Aes True, AspectRatio.2 ê., PlotRange 88.5,.5<, 8.,.<<, Ticks NoneDD, 8,,,.<D
10 animations.nb Out[4]= 8 Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics < Íá êáé ç áíôßóôïé ç êßíçóç ðñïò ôá áñéóôåñü. Êáé áõôþ åíåñãïðïéåßôáé ìå Ctrl Y, áñêåß âýâáéá íá åðéëåãïýí üëá ôá ó Þìáôá, üëåò ïé èýóåéò ôïõ êýêëïõ. Áõôü ìðïñåß íá ãßíåé åßôå ìå ìáýñéóìá ôçò êáôáêüñõöçò ìðëå ãñáììþò óôçí Ýîïäï ôçò ðéï êüôù åíôïëþò åßôå ìå ìáýñéóìá ôçò åðüìåíçò (ðñïò ôá Ýîù) ìðëå ãñáììþò ðïõ ðåñéëáìâüíåé êáé ôçí åßóïäï ôçò ßäéáò åíôïëþò. In[5]:= t2 = Table@Show@Graphics@Disk@8, <,.3D, Aes True, AspectRatio.2 ê., PlotRange 88.5,.5<, 8.,.<<, Ticks NoneDD, 8,,,.<D
11 animations.nb Out[5]= 8 Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics, Graphics < Ìå ëßãç ðñïóï Þ ìðïñïýìå íá ìáõñßóïõìå êáé ôéò äýï ðéï ðüíù åíôïëýò ìå ôá áðïôåëýóìáôá t êáé t2 ôáõôü ñïíá (êáé ôçí åíäéüìåóç ðáñüãñáöï êåéìýíïõ): ôñåéò óõíïëéêü äéáäï éêýò ìðëý ãñáììýò êáé íá ðáôþóïõìå ðüëé Ctrl Õ. Ôþñá ç êßíçóç èá åßíáé êáé ðñïò ôá äåîéü êáé ðñïò ôá áñéóôåñü, óõíå Þò êßíçóç. ( íá ìéêñü äéáëåéììáôüêé ðïõ ãßíåôáé óôá óçìåßá = êáé =, üðïõ äþóáìå äéðëýò êáìðýëåò îåöåýãåé áðü ôçí ðñïóï Þ ìáò.) ÁõôÜ! à Ι ΙΟ Ðñï ùñüìå ôþñá óå Ýíá ðïëý ðéï åíäéáöýñïí ðáñüäåéãìá êéíþóåùò ó Þìáôïò (animation) ìå ôç Mathematica. Áõôü áöïñü óôéò éäéïôáëáíôþóåéò óõíþèïõò áìöéýñåéóôçò äïêïý. Ïé ó åôéêýò éäéïìïñöýò åßíáé, üðùò ãíùñßæïõìå, çìéôïíéêýò: X n HL = sinhn ð ê LL. Ôï áëçèéíü âýëïò êüìøåùò ôçò áìöéýñåéóôçò äïêïý èá åßíáé ôçò ìïñöþò v(, t) = X n HL T n HtL ìå ôç ñïíéêþ óõíüñôçóç T n HtL íá åßíáé åßôå óõíçìéôïíéêþ åßôå çìéôïíéêþ (ìå êáôüëëçëç äéáöïñü öüóåùò á). Åìåßò åäþ ôçí ðþñáìå óõíçìéôïíéêþ T n HtL = cos t ìå êõêëéêþ óõ íüôçôá ù =, õðïôßèåôáé ãéá êáôüëëçëç ôéìþ ôïõ ëüãïõ ÅÉ/(ñÁ) äõóêáìøßáò ðñïò ãñáììéêþ ðõêíüôçôá, êáé ìå äéáöïñü öüóåùò á =. Åðßóçò ðþñáìå ôï ìþêïò ôçò áìöéýñåéóôçò äïêïý L = êáé åðéëýîáìå ôçí ôñßôç éäéïìïñöþ X 3 HL áõôþ ìå n = 3. ÄçìéïõñãÞóáìå óåéñü ó çìüôùí ìå ôç ñþóç ôçò åðüìåíçò åíôïëþò, üðïõ ìüëéóôá ñçóéìïðïééþóáìå ðëáßóéï óå êüèå ó Þìá, ôßôëï ôïõ ó Þìáôïò, ðá éýò ãñáììýò êáé ãñüììáôá êáé ìåôáâáëëüìåíï ñþìá. ¼ëá ôá ó Þìáôá ðïõ äçìéïõñãþèçêáí åßíáé 6 ( ñïíéêýò óôéãìýò áíü ð/8). Äõóôõ þò ãéá ëüãïõò ïéêïíïìßáò þñïõ èá äåß íïõìå óôï ìýëëïí (ü é áêüìç) ìüíï ôï ðñþôï ó Þìá. (Ôá õðüëïéðá èá ôá óâþóïõìå ìå ôï Ýñé, ü é áêüìç, ñåéüæïíôáé üìùò ãéá ôçí êßíçóç áõôþò ôçò áìöéýñåéóôçò äïêïý ìå Ctrl Y. Èá ôá óâþóïõìå ìåôü, áöïý ðñþôá èá äïýìå üëç ôçí êßíçóç: ðþò ôáëáíôþíåôáé ç ðáñïýóá áìöéýñåéóôç äïêüò óôçí ôñßôç éäéïìïñöþ ôáëáíôþóåþò ôçò: In[6]:= pictures = Table@Plot@Sin@3 π D Cos@tD, 8,, <, PlotRange 8, <, PlotStyle 8Thickness@.2D, Hue@t ê 8D<, AesLabel 8"", "v"<, PlotLabel > "", DefaultFont 8"Arial Bold", <, Frame TrueD, 8t,, 2 π π ê 8, π ê 8<D;
12 animations.nb
13 animations.nb
14 animations.nb
15 animations.nb Ï áñéèìüò ôùí ðéï ðüíù ó çìüôùí pictures åßíáé In[7]:= Length@picturesD Out[7]= 6 Óôç óõíý åéá ìå ôçí åíôïëþ Eport Ýãéíå ç áðïèþêåõóç óå áñ åßï GIF, åäþ óôï áñ åßï Beam- Vibrations.gif ôïõ áðïôåëýóìáôïò pictures, äçëáäþ üëùí ìáæß ôùí ðñïçãïýìåíùí ó çìüôùí. íá
16 animations.nb 6 ôýôïéï áñ åßï ìüëéò êëçèåß ìå ðüôçìá ôïõ ðïíôéêïý ðüíù ôïõ áðü ôïí õðïëïãéóôþ (ð.. áðü ôï My Computer) Þ áíüëïãá (ìå ðüôçìá ôïõ ðïíôéêéïý ðüíù ôïõ) óå Ýíá áñ åßï HTML áìýóùò ðáñïõóéüæåé ôï ó åôéêü êéíïýìåíï ó Þìá, ùñßò íá ñåéüæåôáé êáèüëïõ ôç Mathematica. ÁõôÞ áðëü äçìéïýñãçóå ôï áñ åßï GIF. Ôï áñ åßï BeamVibrations.gif ðåñéëáìâüíåôáé óôçí éóôïóåëßäá ôïõ ìáèþìáôïò êáé ìðïñåß íá êëçèåß êáé áðü åêåß. ¹ áêüìç êáé íá êáôåâáóèåß óå Ýíáí õðïëïãéóôþ áðü ôïí åíäéáöåñüìåíï öïéôçôþ/ôçí åíäéáöåñüìåíç öïéôþôñéá Ðïëéôéêü Ìç áíéêü êáé íá ñçóéìïðïéçèåß ôïðéêü. Åíôïýôïéò ï ðéï ðüíù êþäéêáò ôçò Mathematica ðïõ ôï äçìéïýñãçóå äå óõìðåñéëáìâüíåôáé óôï áñ åßï áõôü GIF. Áêïëïõèåß ç ó åôéêþ åíôïëþ Eport. Äåí ðñýðåé âýâáéá ìå êáíýíáí ôñüðï íá ëçóìïíçèåß ç åðéëïãþ ôçò ConversionOptions óôï ôýëïò, áêñéâþò üðùò äßíåôáé åäþ: ùñßò êáìßá áëëáãþ óôçí åðéëïãþ áõôþ: {"Loop" Æ True}. Áëëéþò äå èá õðüñîåé êßíçóç óôï ó Þìá! In[8]:= Out[8]= Eport@"d:\cemb\animations\BeamVibrations.gif", pictures, ConversionOptions 8"Loop" True<D d:\cemb\animations\beamvibrations.gif Åð' åõêáéñßá äåß íïõìå åäþ óôï ôýëïò êáé üëá ìáæß ôá ó Þìáôá (ðïõ èá ôá ðáñáëåßøïõìå äõóôõ þò óôï ìýëëïí ðéï ðüíù) óå Ýíá åíéáßï ó Þìá. Áõôü üìùò äåí åßíáé êßíçóç, äå äåß íåé êáìßá êßíçóç ôçò ôáëáíôïýìåíçò áìöéýñåéóôçò äïêïý ìáò. In[9]:= Show@picturesD Out[9]= Graphics
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á
ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.
55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð
2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr
2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé
( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ
. Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim
3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =
å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé
ÅÍÏÔÇÔÁ 6ç ÑÏÍÏÓ-ÄÉÁÄÏ Ç
Ενότητα 6 Μάθημα 45 Πρώτος-τελευταίος 1. Íá êáôáíïþóïõí ôéò Ýííïéåò ðñþôïò êáé ôåëåõôáßïò. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôï ñüíï êáé ôç äéáäï Þ ãåãïíüôùí. 1. Íá áêïýóïõí ôï ðáñáìýèé
ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá
ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ
28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ
Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X
V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò
ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)
44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá
Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí
ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â
ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...
ÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï. Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå. Åóåßò, ðáéäéü, èá ìáò áêïëïõèþóåôå;
Αυτό το καλοκαίρι η παρέα των παιδιών βρέθηκε στην παραλία, αναζητώντας ξεχωριστές... μαγικές... περιπέτειες. ÁñéÜäíç ÉÜóïíáò Ñßêé ÐÜïëï Åêåß âëýðù ìéá óðçëéü. ÐÜìå íá ôçí åîåñåõíþóïõìå; Ñßêé, öýãáìå.
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí
Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò
Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!
ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò
ÅÍÏÔÇÔÁ 5ç ÔÁ Ó ÇÌÁÔÁ
Ενότητα 5 Μάθημα 38 Ο κύκλος 1. Ná êáôáíïþóïõí ôçí Ýííïéá ôïõ êýêëïõ. 2. Ná ìüèïõí íá ñùôïýí êáé íá áðáíôïýí ó åôéêü ìå ôïí êýêëï. 1. Íá ðáßîïõí êáé íá ôñáãïõäþóïõí ôï «Ãýñù-ãýñù üëïé» êáé «To ìáíôçëüêé».
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò.
9. ÁíÜðôõîç ðñïãñáììüôùí ìå ñïíéêýò ëåéôïõñãßåò. 9.1 ÃåíéêÜ. Ôá ðåñéóóüôåñá PLC äéáèýôïõí óçìáíôéêýò åõêïëßåò üóïí áöïñü óôïí ðñïãñáììáôéóìü ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí ìå ñçóéìïðïßçóç ôùí ñïíéêþí ëåéôïõñãéþí
ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ
55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,
B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí
B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò
ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)
1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï
5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò
Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...
ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï
ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá
1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ
1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)
ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá
5Ô Ô ÚÓÔ. ðüóï 15 ðüóï 1/ ðüóï 2/ ðüóï 4/ ðüóï ðüóï ðüóï. 13 ðüóï 33 ðüóï ðüóï ðüóï. ðüóï 26 ðüóï 2XA ðüóï 3XA ¼ëïé ðüóï
5Ô Ô ÚÓÔ ª ıëùòó Bã ÎÏÔ ¼ëïé óôçí ðñþôç / K 2 Ìïßñáóå ï  3 Q 10 6 2 6 J 8 7 6 3 5 7 2 / 10 8 5 4 / A J 9 7 3 A 9 7 3 K J 5 6 Q 4 6 K 10 5 A Q 9 3 5 J 10 5 4 / Q 6 3 3 8 4 3 6 A 9 5 2 5 K 8 6 ðüóï 15 ðüóï
ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ
66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí
ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ
ÏñãÜíùóç ÐñïãñÜììáôïò
ÊåöÜëáéï 4 ÏñãÜíùóç ÐñïãñÜììáôïò Åðéäéùêüìåíïé óôü ïé: ¼ôáí ïëïêëçñþóåôå ôç ìåëýôç áõôïý ôïõ êåöáëáßïõ, èá åßóôå éêáíïß: é íá ðåñéãñüöåôå ôéò åíôïëýò ðïõ ñçóéìïðïéïýíôáé óôá õðïðñïãñüììáôá êáé óôï êýñéï
Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò
50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé
3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ
.1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé
Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ
ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.
ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé
ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ
ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ
Chi-Square Goodness-of-Fit Test*
Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá
ΜΑΘΗΜΑ 1. Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ -
ΜΑΘΗΜΑ 1 Βαρυτικές και Μαγνητικές Μέθοδοι Γεωφυσικής Διασκόπησης ΝΟΜΟΣ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ NEWTON ΓΗΙΝΟ ΠΕΔΙΟ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ ΠΥΚΝΟΤΗΤΕΣ ΠΕΤΡΩΜΑΤΩΝ- ΟΡΥΚΤΩΝ ΜΕΤΡΟΥΜΕΝΑ ΜΕΓΕΘΗ - ΜΟΝΑΔΕΣ ΜΕΤΡΗΣΗΣ ΣΤΡΕΠΤΟΣ ΖΥΓΟΣ- ΕΚΚΡΕΜΕΣ
Estimation Theory Exercises*
Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò
ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß
ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ. Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012
ΔΙΗΜΕΡΟ ΚΙΝΗΤΟΠΟΙΗΣΕΩΝ ΤΩΝ ΔΗΜΩΝ ΤΗΣ ΧΩΡΑΣ Αναστολή λειτουργίας των δήμων στις 12 και 13 Σεπτεμβρίου 2012 Τετάρτη, 12 Σεπτεμβρίου, Πανελλαδική Συγκέντρωση στη Πλατεία Κλαυθμώνος, στις 11.00 π.μ. Πορεία
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ
Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá
245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí
¼ñãáíá Èåñìïêñáóßáò - ÓõóêåõÝò Øõêôéêþí Ìç áíçìüôùí ÈåñìïóôÜôçò ÓõíôÞñçóçò REF-DF-SM ÅëÝã åé Ýíá èåñìïóôïé åßï PTC Êëßìáêá èåñìïêñáóßáò: -19? +99 C ëåã ïò áðüøõîçò - dfrst Ôñßá ñåëý: óõìðéåóôþò (30Á, 2ÇÑ),
16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò
62 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò Óýíôïìç ðåñéãñáöþ ôçò äñáóôçñéüôçôáò Óôç äñáóôçñéüôçôá áõôþ êáëïýíôáé ïé ìáèçôýò íá ìåëåôþóïõí ôéò óõíáñôþóåéò çìßôïíï (y=çìx) êáé
ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò
Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí
Αποκαλύπτουµε το µυστικό υπερόπλο του Μεσαίωνα
ΣΗΜΕΙΑ-ΚΛΕΙΔΙΑ 1 Στον Ατλαντικό Κώδικα ο Λεονάρντο Ντα Βίντσι έκρυψε τις οδηγίες για την κατασκευή µιας στρατιάς από ροµπότ. 2 Η ανακάλυψη ανήκει στην οµάδα του Μάριο Ταντέι. Προηγουµένως πιστευόταν ότι
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç
1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;
Ïäçãßåò ÅãêáôÜóôáóçò
Ïäçãßåò ÅãêáôÜóôáóçò Ðßíáêáò Ðåñéå ïìýíùí Ôá âþìáôá óõíïðôéêü...3 Õðï ñåùôéêü ÂÞìáôá...3 ÅãêáôÜóôáóç ðñïáðáéôïýìåíùí (åüí ñåéüæïíôáé)...3 ÅãêáôÜóôáóç ÂÜóçò ÄåäïìÝíùí óôïí Server...3 ÅãêáôÜóôáóç Galaxy
3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).
ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ
138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 5551 ÔÅÕ ÏÓ ÔÅÔÁÑÔÏ Áñ. Öýëëïõ 647 7 Áõãïýóôïõ 2001 ÐÅÑÉÅ ÏÌÅÍÁ ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Ôñïðïðïßçóç åãêåêñéìýíïõ ó åäßïõ ðüëçò ÄÞìïõ Çñáêëåßïõ, óôçí ðïëåïäïìéêþ åíüôçôá
ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT
ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αποδεικτικό Σύστημα.
Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αποδεικτικό Σύστημα Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description Grade Level Curriculum Keywords
Κίνδυνοι στο facebook WebQuest Description: Το Facebook είναι ένας ιστοχώρος
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò
4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï
ÏÄÇÃÏÓ Ó ÅÄÉÁÃÑÁÌÌÁÔÙÍ
v ÅÉÓÃÙÃÇ Ï áñ éêüò óêïðüò áõôþò ôçò äïõëåéüò Þôáí ç ðáñïõóßáóç ìéáò óåéñüò ãñþãïñùí åðéèåôéêþí óõóôçìüôùí ðïõ èá êáôáëþãïõí óå óïõô ìåôü áðï ìßá Þ äýï ðüóåò. Ìå ôï ðýñáóìá ôïõ ñüíïõ, üìùò, ôï âéâëßï åîåëß
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò
Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
: Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ.
µ µ : 430223-151 2007 Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ. µ µ µ µ ÐñïóèÞêç ìéáò ìïíüäáò ìíþìçò óôçí õðïäï Þ ìïíüäáò åðýêôáóçò ìíþìçò......................
SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá
ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé
ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá
ÓÔÁÔÉÊÏÓ ÇËÅÊÔÑÉÓÌÏÓ Ðåñéå üìåíá Íüìïò ôïõ Coulomb Çëåêôñéêü Ðåäßï - íôáóç ÄõíáìéêÝò ÃñáììÝò Äõíáìéêü - ÄéáöïñÜ Äõíáìéêïý ÐõêíùôÝò ÃéÜííçò Ãáúóßäçò - ÅÊÖÅ ßïõ Äéáôýðùóç ôïõ Íüìïõ F F - F r F Ç HëåêôñïóôáôéêÞ
* ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ. EL Eνωμένη στην πολυμορφία EL 2014/0321(NLE)
ΕΥΡΩΠΑΪΚΟ ΚΟΙΝΟΒΟΥΛΙΟ 2014-2019 Επιτροπή Πολιτικών Ελευθεριών, Δικαιοσύνης και Εσωτερικών Υποθέσεων 23.3.2015 2014/0321(NLE) * ΣΧΕΔΙΟ ΕΚΘΕΣΗΣ σχετικά με τη σύσταση για απόφαση του Συμβουλίου για την προσχώρηση
11. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ
. ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ΕΠΙΠΛΩΝ 1 . ΜΕΝΤΕΣΕΔΕΣ ÅÐÉÐËÙÍ Σύντομη αναδρομή στην ιστορία της. Η εταιρία Salice, πρωτοπόρος στον τομέα των χωνευτών μεντεσέδων επίπλων, παράγει μια πολύ μεγάλη γκάμα μεντεσέδων και μηχανισμών
Artwork Package GK Issue 2.0
,QWXLW\Œ/RGJLQJ Artwork Package 585-310-739GK Issue 2.0 &RPFRGH October 1997 Copyright 1997, Lucent Technologies All Rights Reserved Printed in U.S.A. v ± º Ÿ «¼± Ÿ³µ² ³ ² ³ «µ² ²µ º³²¼³ µ ž»²± ²ž± ¼³²
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ. 2. Βασικοί Ορισμοί. P / A o. Ονομαστική ή Μηχανική Τάση P / A. Πραγματική Τάση. Oνομαστική ή Μηχανική Επιμήκυνση L o
ΠΕΙΡΑΜΑ ΕΦΕΛΚΥΣΜΟΥ 1. Εισαγωγή Σε ένα πείραμα εφελκυσμού, ένα δοκίμιο μήκους L και εγκάρσιας διατομής A υφίσταται συνεχώς αυξανόμενη μονοαξονική επιμήκυνση [συνήθως χρησιμοποιώντας σταθερή ταχύτητα v (crss-head
6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)
F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò
ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåô
11544 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) ÖÅÊ 816 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 11545 ÏÄÇÃÉÅÓ ÐÁ ÔÇ ÓÕÌÐËÇÑÙÓÇ ÔÇÓ ÁÉÔÇÓÇÓ ÅÃÊÅÊÑÉÌÅÍÏÕ ÁÐÏÈÇÊÅÕÔÇ Ï ÇÌÁÔÙÍ 1. ÇÌÅÑÏÌÇÍÉÁ: ÁíáãñÜöåôáé
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé
Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη, Πρώτη έκδοση: Νοέμβριος 2012 ISBN
ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Ελάτε να διαβάσουμε παραμύθια ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Γαλάτεια Γρηγοριάδου-Σουρέλη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΟΡΘΩΣΗ: Χρυσούλα Τσιρούκη ΕΙΚΟΝΟΓΡΑΦΗΣΗ: Κατερίνα Χαδουλού ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΣΕΛΙΔΟΠΟΙΗΣΗ: Ραλλού Ρουχωτά ΕΚΤΥΠΩΣΗ:
ATHINA COURT. ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá
ATHINA COURT ÐïëõôåëÞ Äéáìåñßóìáôá ΣΥΓΚΡΟΤΗΜΑ ΙΑΜΕΡΙΣΜΑΤΩΝ ΑΘΗΝΑ Το συγκρότημα διαμερισμάτων AΘΗΝΑ βρίσκεται σε μια ήσυχη περιοχή στην Έγκωμη, Γωνία Γρηγόρη Αυξεντίου & Αρχιεπισκόπου Λεοντίου και αποτελείται
: Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ.
µ µ : 419435-151 2007 Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ. µ µ µ µ ÐñïóèÞêç ìïíüäáò ìíþìçò óôçí õðïäï Þ ìïíüäáò åðýêôáóçò ìíþìçò......................
Ενότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός
Συμβολικές Γλώσσες Προγραμματισμού Ενότητα 7: Διαδικασιακός Προγραμματισμός Νικόλαος Καραμπετάκης Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης è Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
ÓÕÃ ÑÏÍÇ ÅËËÇÍÉÊÇ ÐÅÆÏÃÑÁÖÉÁ
ÓÕÃ ÑÏÍÇ ÅËËÇÍÉÊÇ ÐÅÆÏÃÑÁÖÉÁ 13 Íåïé ÓõããñáöåéΣ, Äéáãùíéóìüò ÄéçãÞìáôïò 12,48 13,28 Åëåõèåñïôõðßáò, 2001 2002, óåë. 140, ISBN: 960-211-645-5 Γιώργος ΑΛΕΞΑΝΔΡΙΝΟΣ Σενάριο για Μια χαμένη αγάπη 15,81 16,84
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο.
ΕΝΔΟΣΚΟΠΙΚΕΣ ΚΑΙ ΧΕΙΡΟΥΡΓΙΚΕΣ ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΙΑΣ ΚΙΝΗΤΙΚΩΝ ΔΙΑΤΑΡΑΧΩΝ ΓΑΣΤΡΟΟΙΣΟΦΑΓΙΚΗΣ ΣΥΜΒΟΛΗΣ Εκπαιδευτικό Σεμινάριο Τελικό Πρόγραμμα Β Χειρουργική και Γαστρεντερολογική κλινική, Ναυτικού Νοσοκομείου
ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ
ΔΗΜΟΣ: ΣΕΡΙΦΟΣ ΣΕΡΙΦΟΥ ΓΑΛΑΝΗΣ ΟΙΚΙΣΜΟΣ: ΠΑΡΑΔΟΣΙΑΚΟΣ ÏÉÊÉÓÌÏÓ ÐÑÏÓÏ Ç: ÄåäïìÝíïõ üôé ðñüêåéôáé ãéá ðáñáäïóéáêü ïéêéóìü, ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò áîßáò ôùí áêéíþôùí äåí åöáñìüæïíôáé ïé óõíôåëåóôýò ðñüóïøçò:
[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.
![[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.](/thumbs/61/46104077.jpg "[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.")
ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε.
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝ. ΠΑΙ ΕΙΑΣ & ΘΡΗΣΚ/ΤΩΝ ΕΝΙΑΙΟΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ ΣΠΟΥ ΩΝ ΕΠΙΜΟΡΦΩΣΗΣ ΚΑΙ ΚΑΙΝΟΤΟΜΙΩΝ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ Π.Ε. Τµήµα Α Αν. Παπανδρέου 37 151 80 Μαρούσι Πληροφορίες: Ρ. Γεωργακόπουλος
(Á 154). Amitraz.
ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) 13641 ñèñï 4 (Üñèñï 3 ôçò Ïäçãßáò 2001/99/ÅÊ) Ïé äéáôüîåéò ôçò ðáñïýóáò áðüöáóçò éó ýïõí áðü ôçí 1ç Éïõëßïõ 2002. Ç ðáñïýóá áðüöáóç íá äçìïóéåõèåß óôçí Åöçìåñßäá
: Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ.
µ µ : 419585-151 2007 Ï ïäçãüò áõôüò åîçãåß ôïí ôñüðï áíôéêáôüóôáóçò êáé áíáâüèìéóçò ôçò ìíþìçò óôïí õðïëïãéóôþ. µ µ µ µ ÐñïóèÞêç ìéáò ìïíüäáò ìíþìçò óôçí õðïäï Þ ìïíüäáò åðýêôáóçò ìíþìçò......................
ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ
ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò
1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï
ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé
ELECTRONIC ACCESSORIES WALKIE-TALKIE (PMR) WT-401
ELECTRONIC ACCESSORIES WALKIE-TALKIE (PMR) WT-401 Êåñáßá Áêïõóôéêü ÊÜëåóìá ÐëÞêôñï ïìéëßáò ÐëÞêôñï åðéëïãþò ñáäéïöþíïõ/ Walkie-Talkie(PMR) Ìéêñüöùíï Ïèüíç ÐëÞêôñá ðüíù/êüôù ÐëÞêôñï Åðéâåâáßùóçò / Ëåéôïõñãßáò
ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ. Åõèýãñáììç êßíçóç. ôçò ìåôáôüðéóþò ôïõ êáé íá âñåßôå ôçí ôéìþ ôçò. Ðüóï åßíáé ôï äéüóôçìá ðïõ äéüíõóå ôï êéíçôü óôç äéáäñïìþ áõôþ;
63 63 ÅÑÙÔÇÓÅÉÓ 1. Íá áíáöýñåôå ðïéá áðü ôá óþìáôá ðïõ öáßíïíôáé óôçí åéêüíá êéíïýíôáé A. Ùò ðñïò ôç Ãç B. Ùò ðñïò ôï áõôïêßíçôï. 5. íá êéíçôü ìåôáôïðßæåôáé áðü ôç èýóç Ì 1 óôç èýóç Ì 2. Íá ó åäéüóåôå
Ρένα Ρώσση-Ζα ρη, Ðñþôç Ýêäïóç: Ιανουάριος 2010, αντίτυπα ÉSBN
TÉÔËÏÓ ÂÉÂËÉÏÕ: Το ψαράκι που φορούσε γυαλιά ÓÕÃÃÑÁÖÅÁÓ: Ρένα Ρώσση-Ζα ρη ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΙΟΡΘΩΣΗ ÊÅÉÌÅÍÏÕ: Χρυσούλα Τσιρούκη ÅÉÊÏÍÏÃÑÁÖÇÓÇ ΕΞΩΦΥΛΛΟ: Λιάνα ενεζάκη ÇËÅÊÔÑÏÍÉÊÇ ÓÅËÉÄÏÐÏÉÇÓÇ: Μερσίνα Λαδοπούλου
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá
Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: ÔáéñéÜóìáôá ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email: fotakis@aegean.gr 1 Âáóéêïß Ïñéóìïß êáé Ïñïëïãßá
Ç ÅÔÁÉÑÉÁ ÔÁ ÐÑÏÚÏÍÔÁ. Ç åôáéñßá ðáñüãåé, åìðïñåýåôáé êáé åîüãåé ôá ðáñáêüôù ðñïúüíôá:
Ç ÅÔÁÉÑÉÁ Ç åôáéñßá Áöïß ÊÜìôóç ÁÅ éäñýèçêå ôï 1991 ìåôü áðï óõã þíåõóç ôçò åôáéñßáò Ê.ÊÜìôóçò & Óßá ÏÅ êáé ôçò åôáéñßáò Áöïß ÊÜìôóç ÏÅ. äñá ôçò åôáéñßáò åßíáé ç Èåóóáëïíßêç. Ôï äßêôõï ðùëþóåùí ôçò åôáéñßáò
Üóêçóç 9. Ðñïãñáììáôéóìüò ìåôñçôþí êáé óõíäõáóìüò ìåôñçôþ-óõãêñéôþí
Ðñïãñáììáôéóìüò ìåôñçôþí êáé óõíäõáóìüò ìåôñçôþ-óõãêñéôþí Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá åðéëýãïõí ôá êáôüëëçëá üñãáíá êáé
ÈÅÌÁ 1ï. ÈÅÌÁ 2ï. ÈÅÌÁ 3ï. Óåë. 1 ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ:
ÃÕÌÍÁÓÉÏ ÈÅÌÁÔÁ ÃÑÁÐÔÙÍ ÅÎÅÔÁÓÅÙÍ ÐÅÑÉÏÄÏÕ ÌÁÚÏÕ-ÉÏÕÍÉÏÕ Ó ÏËÉÊÏ ÅÔÏÓ ÔÁÎÇ: Â ÌÁÈÇÌÁ: ÖÕÓÉÊÇ ÅÉÓÇÃÇÔÇÓ: Çì/íßá: ÈÅÌÁ 1ï Äýï áõôïêßíçôá Á êáé Â êéíïýíôáé ìå ìýóåò ôá ýôçôåò 60km/h êáé 90km/h êáé äéáíýïõí
ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ
ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç
Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 2ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας
Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 2ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
ÅñãáóôÞñéï 1. ÄïìÝò ÄåäïìÝíùí. 1.1 Óôü ïé. 1.2 Áðáñáßôçôï Õëéêü
1 ÅñãáóôÞñéï 1 ÄïìÝò ÄåäïìÝíùí ôìþìá: Äéá åßñéóçò Ðëçñïöïñéþí, ÔÅÉ ÊáâÜëáò äéäüóêùí: Äñ. Âáóßëåéïò áôæþò, Åð. ÊáèçãçôÞò ôï êåßìåíï áõôü âñßóêåôáé óôï äéáäßêôõï óôç óåëßäá www.it.teithe.gr/ chatzis 1.1
ΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ
ΙΣΤΙΟΠΛΟΪΚΟΣ ΑΓΩΝΑΣ : ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ Ο ΗΓΙΕΣ ΠΛΟΥ 1. ΩΡΑ Η επίσημη ώρα για τον αγώνα "ΑΣΠΡΟΝΗΣΟΣ 2007" είναι 9η του αστεροσκοπείου Αθηνών. Η πληροφόρηση γίνεται με τηλεφωνική κλήση του αριθμού 141. 2. ΠΡΟΓΝΩΣΗ
Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý
algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá