ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ α 3 +β 3 =(α+β)(α 2 -αβ+β 2 ) α 3 +β 3 =(α+β) 3-3αβ(α+β) α 3 -β 3 =(α-β)(α 2 +αβ+β 2 ) (α+β+γ) 2 =α 2 +β 2 +γ 2 +2αβ+2βγ+2γα"

Transcript

1 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΘΗΜΤΙΚΝ (+) = ++ (-) = -+ - = (-)(+) (+) 3 = (-) 3 = =(-)( ) πριττός + =(+)( ) ΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ = - < γι θ>: <θ -θ<<θ >θ >θ ή <-θ =θ =θ ή =-θ = = ή =- d(,)= - ++γ=, = -4γ >,= -± - = = < δ έχι πργμτικές ρίζς ΤΥΤΟΤΗΤΕΣ =(+)( -+ ) =(+) 3-3(+) 3-3 =(-)( ++ ) (++γ) = + +γ ++γ+γ γ 3-3γ= (++γ)[(-) +(-γ) +(γ-) ] ++γ= τότ γ 3 =3γ Γι,, ΤΡΙΝΥΜΟ = = = = = κ = μ = μκ S= + = - = μ μ ΡΙΖΕΣ γ P= = F()= ++γ > F()=(- ) (- ) = F()= + < δ πργτπιίτι ΤΡΙΓΝΟΜΕΤΡΙΚΟΣ ΠΙΝΚΣ Τόξ ημ συ φ σφ ή 3 ή π/6 / 3 / 3 / ή π/4 6 ή π/3 / / 3 / / 3 3 /3 9 ή π/ ή π/3 3 / -/ /3 35 ή 3π/4 5 ή 5π/6 / / - / / - 3 /3-3 8 ή π - 7 ή 3π/ - 36 ή π Η Ε B Ο Σ B ημ=ημθ =κπ+θ ή =κπ+π-θ συ=συθ =κπ+θ ή =κπ-θ φ=φθ =κπ+θ σφ=σφθ =κπ+θ μ κ Ζ. ημ +συ = ΣΙΚΕΣ ΤΡΙΓΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΤΥΤΟΤΗΤΕΣ. φ= ημ 3. σφ= συ 4. φσφ= 5. συ = συ ημ +φ 6.ημ φ = +φ

2 ΤΡΙΓΝΟΜΕΤΡΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ ΘΡΟΙΣΜΤΟΣ ΓΝΙΝ συ(+)=συσυ-ημημ, ημ(+)=ημσυ+ημσυ, φ + φ φ(+)=, σφ(+)= φφ ημ = -συ σφσφ σφ + σφ συ(-)=συσυ+ημημ, ημ(-)=ημσυ-ημσυ, φ φ φ(-)=, σφ(-)= + φφ ΤΥΠΟΙ ΤΟΥ ΤΥΠΟΙ ΠΟΤΕΤΡΓΝΙΣΜΟΥ ημ=ημσυ συ = +συ ΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ + = + (ρισμός) = + - (διφρά) = +(-) (γικός όρς) = +γ (ριθμητικός μέσς) S = ( + ) ή S = [ +(-)] Εκθτική Συάρτηση συ -ημ συ = συ - -ημ φ = -συ +συ ΠΡΟΟ ΟΙ ΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΛΟΓΡΙΘΜΙΚΕΣ φ φ= φ φ ημ= +φ σφσφ + σφ - σφ -φ συ= +φ ΓΕΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ + = λ (ρισμός) (λ ) + λ= (λόγς) = λ - (γικός όρς) ( ) = γ (γμτρικός μέσς) S = λ - λ - (λ ) λ= τότ S = Λγριθμική Συάρτηση f()=,> f()=, << f()=log, > f()=log, << log = = γι >, κι >. log =, log =, γι κάθ >, 3. log =, log = 4. log ()=log +log, γι κάθ,> κι < 5. log =log -log, γι κάθ,> κι < 6. log κ =κ log, γι κάθ > κ R κι < Τ σύμλ: log έχι όημ ότ > κι < Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΛΟΓΡΙΘΜΙΚΗΣ Σημτικός τύπς γι κάθ * +, ln - *, + eln = = e ln, > γι κάθ *, + =e ln κδικί Λγάριθμι Φυσικί Λγάριθμι logθ= =θ lnθ= e =θ λλγή άσης logθ,> μ,, τότ θ> ισχύι: log θ= log

3 Κ Μ = μέσ Κ ΙΝΥΣΜΤ Μ uuu uu uuu Κ + Κ =ΚΜ uuu uu uuu Κ -Κ = = λ, λ > = λ, λ < ψ ψ j uuu = ( - ) + ( ψ - ψ ) j ψ A(,ψ) uu = +ψ ψ ψ ψ Μ(,) Μ=μέσ + ψ + ψ =, ψ = Πρλή ιύσμτς σ ιάυσμ Μ Μ uuuu OM = πρ Ο = πρ uu uu = συ = = = πρ ( + γ ) = + γ = + μ =,, =, = ή λ λ =- + συ(, ) = = + + (,ψ ) (,ψ ) = (- ) +(ψ- ψ ) π λ =φ Η ΕΥΘΕΙ ( ψ ) - ( ψ ) λ = λ = // λ = λ - λ λ =- Y (, ψ ) - ψ - ψ = o A( o,ψ o ) 3 (,ψ ) 3 uuu uuu Γ = det,γ Γ (, ) B(, ) Γ( 3, 3 ) ψ - ψ = λ ( - )

4 ΚΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ Κύκλς A B + -4Γ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ + +A+B+Γ = μ + -4Γ > ΚΕΝΤΡΟ Κ -,- κι ρ = + =ρ (, ) Κ o o =ρ =ρ, ρ> ρ Ε, ρ Ε, Πρλή =ρ, ρ< ρ Ε +, ρ Ε, + = ρ Γ(,) E =ρ, ρ> =ρ, ρ< =ρ(+) Έλλιψη Ε (,γ) Γ(, ) Ε (-γ,) Ε (γ,) Ε (,-γ) Ε Ε = +γ =, > + Υπρλή + = + = Ε Ε Ε Ε Ε Ε γ + - = - = - =, =κ+υ υ Άρτις: =Κ Πριττός: =Κ+ : πριττός τότ =8λ+, λ / =κ ή =πλ κ / / = ή = - ΘΕΡΙ ΤΝ ΡΙΘΜΝ / /λ / κι /γ /(λ+μγ) /, / κι /γ /γ λ,μ Επιτρπτές πράξις + + =+ λ (+ )=+, λ> + +λ=+ λ (+ )=-, λ< - - =- λ (- )=-, λ> (- )+λ=- λ (- )=+, λ< (+ )(- )=- (- )(- )=+ (+ )(+ )=+ ΟΡΙ Μη πιτρπτές πράξις (+ )+(- ) - +,,, (- )+(+ ) + - (- )-(- ) - (+ ) (- ) +, - + Συμπριφρά συρτήσ στ άπιρ Γι κάθ φυσικό ισχύυ: lm = + + lm = ± +, =ΡΤΙΟΣ lm = -, =ΠΕΡΙTΤΟΣ

5 =e lm e = + =ln + lm e = lm (ln) = + + lm (ln) = - + ΠΡΓΓΟΣ Συάρτηση Πράγγς τίστιχη σύθτη Πράγγς. f()=c, c f ()=. f()=, f ()= - f()=g () f ()= g - () g () 3. F()=, f ()=,> f()= g( ), g() f ()= g', g()> g 4. f()ημ f ()=συ f()=ημ (g()) f ()=συ(g()) g () 5. f()=συ f ()=-ημ f()=συ g() f ()=-ημg() g () 6. f()=e f ()=e f()=e g() f ()= e g() g () f()=ln, > f()=φ, συ f()=σφ, ημ f()= f ()= f ()= συ f ()= - ημ f ()= - f()=lng(), g()> f()=φg(), συg() f()=σφg(), ημg() f()= g ( ) f ()= g f ()= συ g - f ()= ημ g g () g () g () f ()= - g g (). f()=, > f ()= ln f()= g() f ()= g() ln g (). f()=, > f ()=(e ln ) f()=[h()] g() f ()=(e g()lnh() ) (f()±g()) =f ()±g () (c f()) =c f () (f() g()) =f () g()+ f() g () ' -g = g ( g ) Κός Πργώγισης : -f( o )=f ( o )(- o ) ' f f g - f g ( ) = o g ( g ) (gof) ()=g (f()) f () ΘΕΡΗΜ FERMAT ΘΕΡΗΜ ROLLE ΘΕΡΗΜ LAGRANCE (M.T) ΥΠΟΘ.: Υπάρχι η f ( o ) o σ. σημί τυ =( o δ, o +δ) f( o ): τπικό κρόττ ΣΥΜΠ.: f ( o )= ΥΠΟΘ.: Η f συχής στ [, ] Η f πργγίσιμη τυλάχιστ στ (, ) f()=f() ΣΥΜΠ.: Υπάρχι τυλάχιστ έ o (,) τέτι ώστ f ( o )= C f f = (, ) ΥΠΟΘ.: Η f συχής στ [, ] Η f πργγίσιμη τυλάχιστ στ (,) ΣΥΜΠ.: Υπάρχι τυλάχιστ έ o (,) τέτι ώστ f ( o )= f -f -

6 :=f f() :=f( ) Cf f() -δ -δ Cf f() = f() o f() o ΠΙΝΚΣ ΟΡΙΣΤΝ ΟΛΟΚΛΗΡΜΤΝ. d=c 5. συd = ημ+c. d = + c 6. ημd = -συ+c 9. e d = e +c 3. d = ln + c 4. + d = +c, d = φ+c συ 8. d = -σφ+c ημ. d = +c ln ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ z=+=(,),, R (,) =. = τότ z= I. = τότ z= R (,)= + = =- + = +, = 4κ, = 4κ + -, = 4κ + -, = 4κ +3 ΜΙΓ ΙΚΟΙ (,)+(,ψ)=(+,+ψ) (,)-(,ψ)=(-,-ψ) (,)(,ψ)=(-ψ,ψ+) (,):(,ψ)= +ψ -ψ, +ψ +ψ z=z z, z=-z z Ι, z =z z ±z =z ±z, z z =z z z z () =, =, z = z, z z z z z, z = z = -z, z - z z + z z + z z z = z, =, = z z z z z,zz =z z

7 ΣΤΤΙΣΤΙΚΗ f= f f = f + f +...f = = =Ν κ =Nκ -N κ- f =F -F N κ = κ Σt = t +t +...+t = Σ κκ = = F κ =f +f +...+fκ =Σf o = 36 = f 36 o R = μγλύτρη πρτήρηση μικρότρη πρτήρηση (γ) σύμτρς (δ) (γ) μ θτική συμμτρί (δ) μ ρητική συμμτρί () μιόμρφη () κική f=f κ κ κ- w +w +...+w = w + w +...w S = Σ( t- ) ( Σt ) Σt S = Σt - = - S = Σ( -) ( Σ) S = Σ - Σ S S = - CV = ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ A = =- ={,,, κ } P( ) Ρ( )+Ρ( )+ +Ρ( κ )= = {,,..., ρ} Ρ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) +...Ρ( ρ ) P()= P(Ø)= (-) (-) ή ( ) ( ) ( ) = ( ) = Ρ( ) = Ρ( ) + Ρ - Ρ( ) = Ρ( ) = Ρ( ) + Ρ( ) Ρ( ' ) +Ρ( ) = Ρ( - ) = Ρ - Ρ( ) τότ Ρ Ρ( ) ΚΛΣΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Πλήθς υϊκώ πριπτώσ Ρ( ) = Πλήθς δυτώ πριπτώσ

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη

Ορισμοί των εννοιών και θεωρήματα χωρίς απόδειξη ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ http://ddethr Ορισμοί τω εοιώ κι θεωρήμτ χωρίς πόδειξη ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Τι είι το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ; Το σύολο τω μιγδικώ ριθμώ είι έ υπερσύολο του συόλου τω πργμτικώ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΞΕΠΑΠΑΔΕΑΣ ΓΙΑΝΝΙΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΛΥΣΕΙΣ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Αν Α κι Β είνι δύο σύνο ν ποδείξετε ότι Α Β c BB Α c B Εφρμόζοντς την επιμεριστική ιδιότητ της ένωσης

Διαβάστε περισσότερα

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 1 2 3 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 31 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω δύο σύνολα Α και Β ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ του συνόλου Α στο Β είναι η διμελής σχέση f A B για την οποία A αντιστοιχεί ένα και μόνο ένα y B δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις ακολουθίες

Σηµειώσεις στις ακολουθίες Σηµειώσεις στις κολουθίες Η έννοι της κολουθίς Ας ρίξουµε µι µτιά στην επόµενη πράθεση ριθµών: 7,, 5, 9,, 7,, Όπως κτλβίνει κνείς, υπάρχουν άπειροι ριθµοί που διδέχοντι ο ένς τον άλλο, µε κάποι λογική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΛΑ Σηµείωση. Γράφουµε νν ντί του ν κι µόνον ν.. Προλεγόµεν. Σε ότι κολουθεί, ο νγνώστης θ έρθει σε επφή µε έννοιες πό την Μθηµτική Λογική, την Θεωρί Συνόλων, κι την Άλγεβρ. Σύµφων µε την Πλτωνική ντίληψη

Διαβάστε περισσότερα

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών

3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών . Χαρακτηριστικές Παράμετροι Κατανομών - Αναμενόμενη ή μέση τιμή μιας διακριτής τυχαίας μεταβητής. Θα ήταν αρκετά χρήσιμο να γνωρίζουμε γύρω από ποια τιμή «κυμαίνεται» η τ.μ. Χ. γύρω από την οποία «απώνεται»

Διαβάστε περισσότερα

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ

4.1 ΕΥΘΕΙΕΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ Α ΣΤΟ ΧΩΡΟ 1 4.1 ΥΙΣ ΚΙ Ι ΣΤΟ ΧΩΡΟ ΩΡΙ 1. Το πίπδο: ίναι έννοια πρωταρχική για τα µαθηµατικά δηλαδή έννοια που δν πιδέχται ορισµό. H ικόνα του πιπέδου ίναι γνωστή από την µπιρία µας. Την έχουµ ταυτίσι µ τη µορφή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( ))

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να εξετάσετε αν ισχύουν οι υποθέσεις του Θ.Μ.Τ. για την συνάρτηση στο διάστημα [ 1,1] τέτοιο, ώστε: C στο σημείο (,f( )) ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης

Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ. Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Βασικές γνώσεις Μαθηµατικών Α και Β Λυκείου που πρέπει να ξέρουµε για να ξεκινήσουµε τις σπουδές µας στο ΕΑΠ Επιµέλεια Όµηρος Κορακιανίτης Άλγερα και πράξεις: (ή το µυστικό της επιτυχίας) - Όταν ένα γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου

Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ.Λυκείου Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΙΔΕΙΣ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου Π Ι Θ Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ ΟΡΙΣΜΟΙ Πείραμα τύχης λέγεται το πείραμα το οποίο όσες φορές και αν επαναληφθεί (φαινομενικά τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ ΘΕΩΡΙ 1. ιάνυσµα Λέγεται κάθε πρσανατλισµέν ευθύγραµµ τµήµα. (έχει αρχή και πέρας) A B 2. Μηδενικό διάνυσµα 0 Λέγεται τ διάνυσµα τυ πίυ η αρχή και τ πέρας συµπίπτυν. AA= 0 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ.

ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α και Β ΛΥΚΕΙΟΥ για τις παν.εξετ. των ΕΠΑ.Λ. Μια συνοπτική παρουσίαση της Άλγεβρας, για όσους θέλουν να προετοιμαστούν για τις Πανελλαδικές Εξετάσεις των ΕΠΑ.Λ. Για απορίες στο www.commonmaths.weebly.com

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των ασκήσεων. Φυσική Β'Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

Λύσεις των ασκήσεων. Φυσική Β'Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΏΝ ΒΙΒΛΊΩΝ Φυσική Β'Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Α ύ σ ε ι ς τ ω ν α σ κ

Διαβάστε περισσότερα

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας

78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1

Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1. Μιγαδικοί αριθμοί. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Μιγαδική Ανάλυση Α 1 Μιγαδική ανάλυση Μέρος Α Πρόχειρες σημειώσεις 1 Μιγαδικοί αριθμοί Τι είναι και πώς τους αναπαριστούμε Οι μιγαδικοί αριθμοί είναι μια επέκταση του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B

Γυμνάσιο Μαθηματικά Τάξη B 113 Θέματα εξετάσεω περιόδου Μαΐου-Ιουίου στα Μαθηματικά Τάξη B! 114 a. Να διατυπώσετε το ορισμό της δύαμης α με βάση το ρητό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό > 1. b. Να συμπληρωθού οι παρακάτω τύποι, δυάμεις

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου

Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Πρόχειρες Σηµειώσεις Φυσικής Γ Λυκείου Θετικής & Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Μιχάλης Ε. Καραδηµητριου MSc Φυσικός Ηράκλειο Κρήτης 2η Εκδοση - Ιούλης 2013 2 Μιχάλης Ε. Καραδηµητρίου Περιεχόµενα 1 Ταλαντώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γ" Λυκείου Θετική άάίτεχνολογική Κατεύθυνση. ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΆΤΩΝ Ί ΑΙΔ ΑΓΩΓΙ ΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ

Γ Λυκείου Θετική άάίτεχνολογική Κατεύθυνση. ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΆΤΩΝ Ί ΑΙΔ ΑΓΩΓΙ ΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΊΟ ΕΘΝΙΚΉς ΠΑΙΔΕΊΑς ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΆΤΩΝ Ί ΑΙΔ ΑΓΩΓΙ ΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ U ίβ»ι I ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΏΝ ΒΙΒΛΊΩΝ Γ" Λυκείου Θετική άάίτεχνολογική Κατεύθυνση Αύσεις των ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 27 MAΪΟΥ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 3 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση 3

Διαβάστε περισσότερα

4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο

4.1. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο .- øª ƒπ (99-0) 9--0 00:0 ÂÏ 0.. Ευθείες και επίπεδα στο χώρο p p A A B B ε ε Ευθείες και Επίπεδα Οι πρωταρχικές έννοιες του χώρου - γωστές ήδη από την εμπειρία μας - είναι το σημείο, η ευθεία και το επίπεδο.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ & ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΤΥ -ΗΣ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΗΜΑΘΙΑ

ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ & ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΤΥ -ΗΣ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΗΜΑΘΙΑ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΤΟΥΡΙΣΜΟΥ & ΠΡΟΟΠΤΙΚΕΣ ΑΝΑΠΤΥ -ΗΣ ΤΟΥΣ ΣΤΗΝ ΗΜΑΘΙΑ το υ Νίκου Ι. Πάζη πτυχιούχου Του ρ ιστικών Επ ιχε ιρή σεων Ε ΙΣΑΓΩ ΓΉ στα θ έματα του περιβάλλοντο ς και δεύ τε ρ ον γιατί από τη

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. και f= 1 T. Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ. D = m. Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ.

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ. και f= 1 T. Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. υναμική προσέγγιση της Α.Α.Τ. D = m. Ενεργειακή προσέγγιση της Α.Α.Τ. ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Χαρακτηριστικά μεγέθη της Α.Α.Τ. Συχνότητα f Ν t και f T Γωνιακή συχνότητα ω π και ωπf Τ. Απομάκρυνση: Κινητική προσέγγιση της Α.Α.Τ. χ Α ημ(ωt + φ 0 ) όταν φ 0

Διαβάστε περισσότερα

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις

Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Σύντομη Εισαγωγή στις Στοχαστικές Ανελίξεις Αν το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος είναι - ένας αριθμός R, τότε μπορεί να εκφραστεί με μία τ.μ. Χ R - αριθμοί R τότε μπορεί να εκφραστεί με ένα τ.δ. Χ

Διαβάστε περισσότερα

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i

είναι n ανεξάρτητες τυποποιημένες κανονικές τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή, αν Z i Οι Κτνομές χ, t κι F Οι Κτνομές χ, t κι F Σε υτή την ενότητ προυσιάζουμε συνοπτικά τρεις συνεχείς κτνομές οι οποίες, όπως κι η κνονική κτνομή, είνι πολύ χρήσιμες στη Σττιστική Συμπερσμτολογί Είνι ξιοσημείωτο,

Διαβάστε περισσότερα

α,. J α12 α22... α2η Στα παρακάτω, εκτός εάν αναφέρεται ρητά, οι πίνακες θα είναι πραγματικοί, δηλ. όλα τα στοιχεία τους θα είναι πραγματικοί αριθμοι

α,. J α12 α22... α2η Στα παρακάτω, εκτός εάν αναφέρεται ρητά, οι πίνακες θα είναι πραγματικοί, δηλ. όλα τα στοιχεία τους θα είναι πραγματικοί αριθμοι Α ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Α.Ι. Πράξεις πινάκων Ένας mxn πίνακας Α είναι η διάταξη m ' n στοιχείων από κάποιο αλγεβρικό σώμα, σε m γραμμές και η στήλες, και αν συμβολίσουμε με aij το στοιχείο που βρίσκεται στην

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το

ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Όταν το χ τότε το. στο,µπορούµε να θεωρήσουµε ότι το ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ Όταν στα µαθηµατικά λέµε ότι το τείνει στο και συµβολίζεται, εννοούµε ότι οι τιµές προσεγγίζουν την τιµή, είτε µε από τιµές µικρότερες του δηλ από αριστερά του, είτε από τιµές µεγαλύτερες

Διαβάστε περισσότερα