Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΚΠΑΙΓΔΥΣΗ ΩΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ. (Οκηιία γηα ηελ ηειεηή απνλνκήο ηνπ βξαβείνπ Ξαλζόπνπινπ Πλεπκαηηθνύ )

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΚΠΑΙΓΔΥΣΗ ΩΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ. (Οκηιία γηα ηελ ηειεηή απνλνκήο ηνπ βξαβείνπ Ξαλζόπνπινπ Πλεπκαηηθνύ 11-12-2009)"

Transcript

1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΚΠΑΙΓΔΥΣΗ ΩΣ ΣΥΜΒΟΛΗ ΣΤΗΝ ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΚΑΙ ΤΟΝ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟ (Οκηιία γηα ηελ ηειεηή απνλνκήο ηνπ βξαβείνπ Ξαλζόπνπινπ Πλεπκαηηθνύ ) Δπραξηζηώ ζεξκά ηελ επηηξνπή γηα ηελ ηδηαίηεξα κεγάιε ηηκή, πνπ κνπ έθαλε κε ην λα κε επηιέμεη γηα απηό ην βξαβείν. Αηζζάλνκαη όκσο θαη ηδηαίηεξε ζπγθίλεζε, γηαηί εδεζα από αξθεηά θνληά ηα ηξαγηθά γεγνλόηα, πνπ ζπλέβεζαλ ζην Παλεπηζηήκηό καο πξηλ 19 ρξόληα. Η νκηιία κνπ αθνξά ηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε δηαθόξσλ κνξθώλ: καζεκαηηθή εθπαίδεπζε ζηα πιαίζηα ηεο εγθύθιηαο παηδείαο, παλεπηζηεκηαθή εθπαίδεπζε ησλ καζεκαηηθώλ, εθπαίδεπζε άιισλ επηζηεκόλσλ ζηα Μαζεκαηηθά. ηόρνο θάζε εθπαίδεπζεο δελ πξέπεη λα είλαη ε ζπζζώξεπζε γλώζεσλ, αιιά ε θαηαλόεζε ελλνηώλ, ζρέζεσλ, θαηλνκέλσλ θαη ε απόθηεζε δεμηνηήησλ. ην πιαίζην απηό ζα αλαθεξζώ ζηνπο θύξηνπο θαηά ηε γλώκε κνπ ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο. Έλαο από απηνύο είλαη ε ηθαλόηεηα ρεηξηζκνύ ησλ πνζνηήησλ. Οη πνζόηεηεο εθθξάδνληαη κε αξηζκνύο. Ννκίδσ όηη δελ ρξεηάδεηαη λα επηρεηξεκαηνινγήζσ γηα ηνλ θεληξηθό ξόιν, πνπ παίδνπλ νη αξηζκνί ζηελ θαζεκεξηλή δσή, ζηελ επηζηήκε, ζηελ ηερλνινγία, αιιά θαη ζηελ ηέρλε θαη ηελ θηινζνθία. Αο ζπκεζνύκε ην ζηίρν ηνπ Αηζρύινπ από ηελ ηξαγσδία Πξνκεζεύο δεζκώηεο, εθεί πνπ ν Πξνκεζέαο θαξθσκέλνο ζην βξάρν απαξηζκεί ηα αγαζά πνπ έρεη ραξίζεη ζηνπο αλζξώπνπο. ε έλα ζεκείν αλαθέξεη: θαη κελ αξηζκόλ, έμνρνλ ζνθηζκάησλ, εμεύξνλ απηνίο γξακκάησλ ηε ζπλζέζεηο. (ε κεηάθξαζε Γξππάξε: Κη εγώ ηνλ αξηζκό, ηελ πην ηξαλή ζνθία, θαη ησλ γξακκάησλ ηα ζπλζέκαηα ηνπο βξήθα.) Η ηθαλόηεηα ρεηξηζκνύ ησλ αξηζκώλ, πνπ πξέπεη λα απνθηήζεη ν καζεηήο ή ν θνηηεηήο, έρεη δύν ζπληζηώζεο: ηελ ηθαλόηεηα ππνινγηζκώλ κε αξηζκνύο, αιιά θαη ηελ ηθαλόηεηα δηαηύπσζεο ελόο πξνβιήκαηνο ζηε γιώζζα ησλ αξηζκώλ. Απηό ην ηειεπηαίν έρεη δηάθνξα επίπεδα πνιππινθόηεηαο. Δθηείλεηαη από ηελ αληηκεηώπηζε πξνβιεκάησλ πξαθηηθήο αξηζκεηηθήο, πνπ καζαίλεη θαλείο ζην ζρνιείν, κέρξη π.ρ. ηελ πεξηγξαθή ελόο ζύλζεηνπ πξνβιήκαηνο θπζηθήο, βηνινγίαο ή νηθνλνκίαο κέζσ ελόο ζπζηήκαηνο δηαθνξηθώλ εμηζώζεσλ (δειαδή ελόο ζπζηήκαηνο ζρέζεσλ κεηαμύ ησλ δηαθόξσλ πνζνηήησλ, πνπ ππεηζέξρνληαη ζε έλα πξόβιεκα, θαη ησλ ξπζκώλ, κε ηνπο νπνίνπο απηέο κεηαβάιινληαη). Αο κνπ επηηξαπεί λα αλαθέξσ όηη θαηά ηε γλώκε κνπ ζηα Σκήκαηα Μαζεκαηηθώλ ηεο ρώξαο καο ε εθπαίδεπζε ησλ θνηηεηώλ καο ζε απηό ην ζέκα, ζηε καζεκαηηθή κνληεινπνίεζε, ζπλήζσο δελ είλαη επαξθήο. Θα πξέπεη λα εληζρπζεί ώζηε νη απόθνηηνί καο λα είλαη απνδνηηθόηεξνη ζηελ εθαξκνγή ησλ καζεκαηηθώλ ηνπο γλώζεσλ θαηά ηελ επαγγεικαηηθή ηνπο ελαζρόιεζε. Αο δνύκε όκσο ηη είλαη νη αξηζκνί. Θα πξνζπαζήζσ λα δείμσ θάπνηεο πιεπξέο ηεο ζεκαζίαο ησλ αξηζκώλ, ε νπνία δελ είλαη κόλν ρξεζηηθή, αιιά θαη αηζζεηηθή θαη θηινζνθηθή. Τπάξρνπλ δηάθνξεο θαηεγνξίεο αξηζκώλ. Καη' αξρήλ νη ιεγόκελνη θπζηθνί αξηζκνί, νη 1, 2, 3 θ.ι.π. Με απηνύο κεηξάκε ην πιήζνο ησλ ζηνηρείσλ ελόο ζπλόινπ, πνπ κπνξεί λα είλαη ην πιήζνο ησλ αηόκσλ ζε απηή ηελ αίζνπζα (έλαο ηξηςήθηνο αξηζκόο) ή ην πιήζνο ησλ άζηξσλ ηνπ γαιαμία καο (πεξίπνπ 100 δηζεθαηνκκύξηα). Τπάξρνπλ όκσο θαη άιινη αξηζκνί. (Γελ ζα κηιήζσ γηα ηνπο αξλεηηθνύο.) Τπάξρνπλ π.ρ. ηα θιάζκαηα, νπσο 1/3 ή 12/5. Τπάξρνπλ όκσο θαη αξηζκνί πνπ δελ κπνξνύλ λα γξαθνύλ σο θιάζκαηα κε αθέξαηνπο όξνπο. Απνδεηθλύεηαη π. ρ. όηη ν αξηζκόο δελ κπνξεί λα γξαθεί σο θιάζκα. Τπάξρνπλ όκσο θαη πνιππινθόηεξνη αξηζκνί. Γηα λα βξνύκε ην κήθνο ηεο πεξηθέξεηαο ελόο θύθινπ ή ην εκβαδόλ ηνπ ρξεζηκνπνηνύκε ηνλ αξηζκό π. Ο αξηζκόο απηόο δελ κπνξεί λα γξαθεί σο

2 θιάζκα, αιιά νύηε κε ρξήζε άιισλ πξάμεσλ επί αθεξαίσλ (όπσο π. ρ. σο ηεηξαγσληθή ξίδα αθεξαίνπ). Λέκε ζπλήζσο όηη ν αξηζκόο π είλαη ίζνο κε 3,14. Απηό όκσο είλαη κόλν κηα πξνζέγγηζε ηνπ π. Γηα λα δώζνπκε ηελ αθξηβή ηηκή ηνπ, ζα πξέπεη κεηά ηελ ππνδηαζηνιή λα γξάςνπκε άπεηξα δεθαδηθά ςεθία. Αλ ζηακαηήζνπκε θάπνπ, έρνπκε κηά πνιύ θαιή πξνζέγγηζε ηνπ π, αιιά όρη ηελ αθξηβή ηηκή ηνπ. Έρνπλ βξεζεί κε ρξήζε ππνινγηζηή έλα ηξηζεθαηνκκύξην ςεθία ηνπ π. Ο Νηθόιανο Υαηδεδαθεο, θαζεγεηεο ηνπ Παλεπηζηεκίνπ Αζελώλ ζηηο αξρέο ηνπ 20νύ αηώλα, είρε ζπληάμεη ην παξαθάησ θείκελν σο κλεκνληθό θαλόλα γηα ηα πξώηα 22 δεθαδηθά ςεθία ηνπ π: Αεί ν Θεόο ν κέγαο γεσκεηξεί ην θύθινπ κήθνο ίλα νξίζε δηακέηξσ, παξήγαγελ αξηζκόλ απέξαληνλ θαη νλ θεπ νπδέπνηε όινλ ζλεηνί ζα εύξσζη. Σν πιήζνο ησλ γξακκάησλ θάζε κηάο από ηηο ιέμεηο δίλεη δηαδνρηθά ηα ςεθία ηνπ π. Γελ έρεη ηδηαίηεξε ζεκαζία λα γλσξίδνπκε όζν ην δπλαηόλ πεξηζζόηεξα ςεθία ηνπ π. Πνιύ ελδηαθέξνλ είλαη όκσο ην γεγνλόο όηη ν αξηζκόο απηόο, ηνπ νπνίνπ δελ κπνξνύκε λα γξάςνπκε ηελ αθξηβή ηηκή, πεξηγξάθεη κηά αθξηβή ζρέζε κεηαμύ δύν γεσκεηξηθώλ κεγεζώλ, ηεο δηακέηξνπ θαη ηεο πεξηθέξεηαο ελόο θύθινπ. Πηό εληππσζηαθό είλαη όκσο ην εμήο: Ο αξηζκόο π εκθαλίδεηαη θαη ζε πνιιά άιια πξνβιήκαηα, πνπ θαηλνκεληθά δελ ζρεηίδνληαη κε ηνλ θύθιν. Π. ρ. είλαη γλσζηό ζε όζνπο αζρνινύληαη κε ηε ηαηηζηηθή όηη ην π ππεηζέξρεηαη ζηνλ ππνινγηζκό πηζαλνηήησλ, πνπ αθνξνύλ ηελ θαλνληθή θαηαλνκή. Οη θπζηθνί αξζκνί ινηπόλ είλαη πνιύ απινύζηεξνη από άιινπο αξηζκνύο. Θα κπνξνύζε θαλείο λα λνκίζεη όηη δελ ππάξρνπλ ελδηαθέξνληα πξνβιήκαηα ζρεηηθά κε ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο. Απηό δελ αιεζεύεη. Ο θιάδνο ησλ Μαζεκαηηθώλ, πνπ κειεηά ηνπο θπζηθνύο αξηζκνύο θαη έρεη ην όλνκα Θεσξία Αξηζκώλ, ραξαθηεξίδεηαη από ην γεγνλόο όηη έρεη πνιιά πξνβιήκαηα, πνιύ απιά ζηε δηαηύπσζή ηνπο, αιιά πνιύ δύζθνια ζηε ιύζε ηνπο. Θεσξώ όηη ε γλσξηκία κε ηέηνηα πξνβιήκαηα έρεη ηδηαίηεξε παηδεπηηθή αμία. Έλα δηάζεκν ηέηνην πξόβιεκα είλαη ην αλαθεξόκελν σο ηειεπηαίν ζεώξεκα ηνπ Fermat. Η δηαηύπσζή ηνπ κπνξεί λα γίλεη εύθνια θαηαλνεηή θαη από κε καζεκαηηθνύο. ύκθσλα κε ην Ππζαγόξεην ζεώξεκα ππάξρεη ε εμήο ζρέζε κεηαμύ ησλ πιεπξώλ ελόο νξζνγσλίνπ ηξηγώλνπ. Αλ πάξνπκε ηα κήθε ησλ δύν θαζέησλ πιεπξώλ, ηα πςώζνπκε ζην ηεηξάγσλν θαη πξνζζέζνπκε απηά ηα δύν ηεηξάγσλα, ην άζξνηζκα, πνπ βξίζθνπκε είλαη ίζν κε ην ηεηξάγσλν ηνπ κήθνπο ηεο ππνηείλνπζαο. Αλ π.ρ. ηα κήθε ησλ δύν θαζέησλ πιεπξώλ είλαη αληίζηνηρα 3 θαη 4, ην κήθνο ηεο ππνηείλνπζαο είλαη 5 ( 9+16 = 25). Γειαδε, νη θπζηθνί αξηζκνί 3, 4, 5 ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε = 5 2. Τπάξρνπλ άπεηξεο ηέηνηεο ηξηάδεο θπζηθώλ αξηζκώλ, νη νπνίεο νλνκάδνληαη Ππζαγόξεηεο ηξηάδεο. Σίζεηαη ην εμήο πξόβιεκα: Τπάξρνπλ ηξηάδεο θπζηθώλ αξηζκώλ, πνπ ηθαλνπνηνύλ κηά αλάινγε ζρέζε, ζηελ νπνία αληί ησλ ηεηξαγώλσλ εκθαλίδνληαη άιιεο δπλάκεηο; Π.ρ. ππάξρνπλ θπζηθνί αξηζκνί α, β, γ γηα ηνπο νπνίνπο ηζρύεη α 3 + β 3 = γ 3 ; Ο Fermat, Γάιινο καζεκαηηθόο ηνπ 17νπ αηώλα, πίζηεςε όηη βξήθε κηα απόδεημε όηη απηό δελ γίλεηαη. εκείσζε ζην πεξηζώξην ελόο βηβιίνπ: Έρσ βξεη κηά πξαγκαηηθά ζαπκάζηα απόδεημε, αιιά απηό ην πεξηζώξην είλαη πνιύ κηθξό γηα λα ηε ρσξέζεη. Δπί 3,5 αηώλεο πνιινί καζεκαηηθνί πξνζπάζεζαλ λα απνδείμνπλ απηό, πνπ ν Fermat ηζρπξίζζεθε όηη απέδεημε, έσο ην 1994, νπόηε έλαο Βξεηαλόο καζεκαηηθόο, ν Andrew Wiles, έδσζε πξάγκαηη κηά απόδεημε. Σίζεηαη βέβαηα ην εξώηεκα: Γηαηί έρεη ζεκαζία λα μέξνπκε αλ ππάξρνπλ ηέηνηεο ηξηάδεο; Δδώ ζα κπνξνύζακε θαη' αξρελ λα δώζνπκε ηελ απάληεζε, πνπ έδσζε ν Δπθιείδεο ζε έλα καζεηή ηνπ, όπσο αλαθέξεηαη ζην Αλζνιόγηνλ ηνπ ηνβαίνπ. (Πξόθεηηαη γηα ζπγγξαθέα ηνπ 5νπ κ. Υ. αηώλα, πνπ ζπλέηαμε κηα ζπιινγή από 500 απνζπάζκαηα θηινζόθσλ θαη πνηεηώλ.) Παξαζέησ ην ζρεηηθό θείκελν ζε κεηάθξαζε: Κάπνηνο άξρηζε λα καζαίλεη γεσκεηξία κε ηνλ Δπθιείδε θαη, όηαλ έκαζε ην πξώην ζεώξεκα, ξώηεζε ηνλ Δπθιείδε: Ση θέξδηζα, πνπ ην έκαζα απηό; Καη ν Δπθιείδεο θάιεζε ην δνύιν θαη ηνπ είπε: Γώζε ηνπ έλα ηξηώβνινλ, αθνύ πξέπεη λα θεξδίδεη θάηη από απηά, πνπ καζαίλεη. Δίλαη πνιύ ζεκαληηθό ζηνηρείν θάζε εθπαίδεπζεο ε θαιιηέξγεηα ηεο εθηίκεζεο ηεο γλώζεο θαζ' εαπηήλ. Όκσο ε αμία ηεο απόδεημεο ηνπ ηειεπηαηνπ ζεσξήκαηνο ηνπ Fermat δελ έγθεηηαη κόλν ζην όηη έδσζε ηελ απάληεζε ζην εξώηεκα, πνπ είρε ηεζεί. Η έξεπλα, πνπ νδήγεζε ζηελ απόδεημε, έθεξε θαη ηελ αλάπηπμε ζεκαληηθόηαησλ ζεσξηώλ θαη εξγαιείσλ ζηε Θεσξία Αξηζκώλ.

3 Δίλαη εύθνιν (θαη από απηά πνπ είπακε εδώ) λα λνκίζεη θαλείο όηη ε Θεσξία Αξηζκώλ έρεη κόλν ζεσξεηηθό ελδηαθέξνλ εληόο ησλ Μαζεκαηηθώλ. Απηό δελ αιεζεύεη. Έρεη βξεη πνιιέο εθαξκνγέο, π.ρ. ζηελ Κξππηνγξαθία, ηνλ θιάδν πνπ αζρνιείηαη κε ηελ θξππηνγξάθεζε θαη ηελ απνθξππηνγξάθεζε δηαθόξσλ πιεξνθνξηώλ. Σν θίλεηξν γηα ηελ αλάπηπμε απηνύ ηνπ θιάδνπ, όπσο δπζηπρώο ζπκβαίλεη αξθεηέο θνξέο, έδσζαλ νη πόιεκνη. Αλαπηύρζεθε θπξίσο θαηά ην δεύηεξν παγθόζκην πόιεκν, πξνθεηκέλνπ νη εκπόιεκεο πιεπξέο λα απνθξππηνγξαθνύλ ηνπο κπζηηθνύο θώδηθεο ησλ αληηπάισλ ηνπο. εκαληηθή ζπκβνιή είρε ν πνιύ γλσζηόο θαη άηπρνο Alan Turing, Βξεηαλόο καζεκαηηθόο θαη κε θάπνηα έλλνηα παηέξαο ηεο Πιεξνθνξηθήο. ήκεξα ε θξππηνγξαθία είλαη απαξαίηεηε ζηελ θαζεκεξηλή καο δσή, αθνύ έρνπλ γεληθεπζεί ηόζν πνιύ νη απηνκαηνπνηεκέλεο δηαδηθαζίεο (π.ρ. ειεθηξνληθέο πιεξσκέο), νη νπνίεο απαηηνύλ αλεπηπγκέλα ζπζηήκαηα αζθαιείαο. Οη θπζηθνί αξηζκνί, όπσο είπακε, δίλνπλ ην πιήζνο ησλ ζηνηρείσλ ελόο ζπλόινπ. Αλ όκσο ξσηήζνπκε πνηό είλαη ην πιεζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ, ε απάληεζε βέβαηα είλαη: άπεηξν. Αλ ξσηήζνπκε πνηό είλαη ην πιεζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο, ε απάληεζε βέβαηα είλαη πάιη: άπεηξν. Μπνξνύκε ινηπόλ λα πνύκε όηη, όζνη είλαη νη θπζηθνί αξηζκνί, ηόζα είλαη θαη ηα ζεκεία κηάο επζείαο; Ο Cantor, Γεξκαλόο καζεκαηηθόο ηνπ 19νπ αηώλα, αλέπηπμε κηα αξηζκεηηθή ησλ απείξσλ, δειαδή κηα ζεσξία, ζηελ νπνία ππάξρνπλ δηάθνξα άπεηξα θαη ζπγθξίλνληαη κεηαμύ ηνπο κε θπζηνινγηθό ηξόπν. (Γελ είλαη δπλαηόλ λα πνύκε εδώ πηό ζπγθεθξηκέλα πσο γίλεηαη απηό.) ύκθσλα κε ηε ζεσξία απηή ην πιήζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ εηλαη κηθξόηεξν από ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο, ην νπνίν όκσο είλαη ην ίδην κε ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ ελόο επηπέδνπ. Η ζεσξία απηή είλαη ζεκαληηθή εληόο ησλ Μαζεκαηηθώλ, αιιά δελ έρεη εθαξκνγέο ζε άιινπο θιάδνπο. Θα αλαθέξσ όκσο θάηη ζρεηηθά κε απηή ηε ζεσξία, ην νπνίν ζεσξώ όηη έρεη κεγάιε θηινζνθηθή ζεκαζία. Σέζεθε ην εμήο εξώηεκα: Τπάξρεη ζύλνιν, ηνπ νπνίνπ ην πιήζνο είλαη κεγαιύηεξν από ην πιήζνο ησλ θπζηθώλ αξηζκώλ θαη κηθξόηεξν από ην πιήζνο ησλ ζεκείσλ κηάο επζείαο; Η απάληεζε δόζεθε από ηνλ Paul Cohen, Ακεξηθαλό καζεκαηηθό, ην 1963: Σν εξώηεκα απηό δελ κπνξεί λα απαληεζεί. Γελ είλαη δπλαηόλ λα απνδεηρζεί όηη ππάξρεη ηέηνην ζύλνιν, νύηε λα απνδεηρζεί όηη δελ ππάξρεη. Έλαο άιινο από ηνπο θύξηνπο ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο είλαη ε αληίιεςε ηνπ ρώξνπ. Ννκίδσ όηη έλα ζνβαξό κεηνλέθηεκα ηεο δηδαζθαιίαο ησλ Μαζεκαηηθώλ ζηε Μέζε Δθπαίδεπζε ζηε ρώξα καο (αιιά όρη κόλνλ) είλαη ε έιιεηςε επαξθνύο έκθαζεο ζηελ Δπθιείδεηα Γεσκεηξία. Ννκίδσ όηη δελ έρεη ηε ζέζε, πνπ ζα έπξεπε λα έρεη. Μηά ζνβαξή έιιεηςε ζε απηό ην πιαίζην είλαη όηη δηδάζθεηαη ειάρηζηα ε ζηεξενκεηξία, ε γεσκεηξία ηνπ ηξηδηάζηαηνπ ρώξνπ. Σα πξνβιήκαηα ηεο γεσκεηξίαο ηνπ επηπέδνπ είλαη επθνιόηεξν λα αληηκεησπηζζνύλ, αθνύ κπνξνύλ λα ζρεδηαζζνύλ ζην ραξηί. Γηα ηελ αληηκεηώπηζε ηξηδηάζηαησλ πξνβιεκάησλ ρξεηάδεηαη άζθεζε ηεο θαληαζίαο, ε νπνία δελ πξνζθέξεηαη επαξθώο ζηνπο λένπο καο. Έρσ δεη π.ρ. πόζε δπζθνιία έρνπλ θνηηεηέο καο λα δηαπηζηώζνπλ πνηό ζηεξεό ζρεκαηίδεηαη όηαλ έλα ηξίγσλν πεξηζηξαθεί γύξσ από κηά πιεπξά ηνπ. Γελ λνκίδσ όηη ρξεηάδεηαη λα αλαθεξζώ δηεμνδηθά ζηε ζεκαζία, πνπ έρεη ε ηθαλόηεηα αληίιεςεο ηνπ ρώξνπ ζε δηάθνξεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηεο, όπσο ε ηερλνινγία ή νη εηθαζηηθέο ηέρλεο. Οη καζεκαηηθνί όκσο δελ πεξηνξίδνληαη ζηηο έλλνηεο, πνπ βξίζθνληαη άκεζα κέζα ζηηο εκπεηξίεο καο, αιιά επεθηείλνληαη πέξα από απηέο. Γεκηνπξγνύλ δηαλνεηηθά νηθνδνκήκαηα, γεληθόηεξα θαη πνιππινθόηεξα από απηά πνπ ζπλδένληαη άκεζα κε ηηο εκπεηξίεο καο. Απηά όκσο, ελώ θαίλνληαη εληειώο ζεσξεηηθά θαη αθεξεκέλα, έρνπλ ζπρλά ζπγθεθξηκέλεο εθαξκνγέο. Γελ πεξηνξίδνληαη ινηπόλ νη καζεκαηηθνί ζηε κειέηε ηνπ ηξηδηάζηαηνπ επθιείδεηνπ ρώξνπ. Μειεηνύλ π.ρ. γεληθόηεξνπο ρώξνπο, νη νπνίνη δελ πεξηγξάθνληαη κε επζείεο θαη επίπεδα, αιιά είλαη θαηά θάπνην ηξόπν θακππισκέλνη. Καη νη θπζηθνί βξίζθνπλ απηνύο ηνπο ρώξνπο σο ην θαηάιιειν κνληέιν γηα ηελ πεξηγξαθή ηνπ ζύκπαληνο ζηα πιαίζηα ηεο γεληθήο ζεσξίαο ηεο ζρεηηθόηεηαο.

4 Δπίζεο, νη καζεκαηηθνί δελ εμεηάδνπλ κόλνλ ρώξνπο 2, 3 ή 4 δηαζηάζεσλ, αιιά ρώξνπο νπνηαζδήπνηε δηάζηαζεο. Απηή ε κειέηε δελ έρεη κόλν ζεσξεηηθή ζεκαζία. Αιιά θαη πξαθηηθή. Όηαλ π.ρ. ζε έλα πξόβιεκα ππεηζέξρνληαη 10 παξάκεηξνη, ην πξόβιεκα κπνξεί λα αλαρζεί ζε έλα πξόβιεκα ζην ρώξν 10 δηαζηάζεσλ. Έλα εληππσζηαθό γεγνλόο είλαη ην όηη κεξηθέο θνξέο δηάθνξα γεσκεηξηθά πξνβιήκαηα ιύλνληαη επθνιόηεξα ζηηο κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο παξά ζηηο κηθξόηεξεο. 'Δλα δηάζεκν ηέηνην πξόβιεκα είλαη ε εηθαζία ηνπ Poincare (Γάιινο καζεκαηηθόο, πνπ έδεζε ζηα ηέιε ηνπ 19νπ θαη ηηο αξρέο ηνπ 20νπ αηώλα). Θα δώζσ κηά (όρη πνιύ αθξηβή) πεξηγξαθή απηνύ ηνπ πξνβιήκαηνο. Αο ζεσξήζνπκε έλα κπαιόλη, ην νπνίν λα είλαη αξθεηά ειαζηηθό, ώζηε λα κπνξνύκε λα ηνπ δίλνπκε δηάθνξα ζρήκαηα πηέδνληάο ην ή εθηείλνληάο ην ζε δηάθνξα ζεκεία. Σόηε, αλ απηό έρεη ηε κνξθή ζθαίξαο, ζα κπνξνύκε λα ηνπ δώζνπκε ηε κνξθή απγνύ ή, ιπγίδνληαο ην, λα ηνπ δώζνπκε ηε κνξθή κπαλάλαο. Αλ όκσο έρεη ηε κνξθή ζακπξέιιαο, δελ κπνξνύκε λα ην θέξνπκε ζε κνξθή κπάιαο παξά κόλνλ αλ ην θόςνπκε θάπνπ θαη ην θνιιήζνπκε εθ λένπ. Γύν κπαιόληα, ηέηνηα ώζηε λα κπνξνύκε λα θέξνπκε ην έλα ζηε κνξθή ηνπ άιινπ ρσξίο λα θόςνπκε ή λα θνιιήζνπκε, αο ηα ιέκε ηζνδύλακα. Η εηθαζία ηνπ Poincare αθνξά κηά ζπλζήθε, ε νπνία εμαζθαιίδεη όηη έλα κπαιόλη είλαη ηζνδύλακν κε κηά κπάια. Γηα ηα κπαιόληα, πνπ βιέπνπκε ζην ρώξν καο, δειαδή ηα δηδηάζηαηα κπαιόληα, ήηαλ γλσζηό από παιαηόηεξα όηη ε ζπλζήθε απηή είλαη πξάγκαηη ηθαλή γηα λα είλαη απηά ηζνδύλακα. Ο Poincare έζεζε ην 1904 ην εξώηεκα αλ ην αλάινγν ζπκπέξαζκα ηζρύεη γηα κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο, δειαδή γηα κπαιόληα δηάζηαζεο 3 (κέζα ζηνλ ηεηξαδηάζηαην ρώξν) ή κεγαιύηεξεο. Σν εξώηεκα απηό απαληήζεθε ζεηηθά, αιιά πξώηα γηα ηηο κεγαιύηεξεο δηαζηάζεηο θαη κεηά γηα ηηο κηθξόηεξεο. Από ην 1960 έσο ην 1985 δόζεθε απόδεημε δηαδνρηθά γηα δηαζηάζεηο 7, 5, 4. Η πεξίπησζε ησλ ηξηδηάζηαησλ κπαινληώλ αληηζηεθόηαλ κέρξη ην 2002, νπόηε δόζεθε απόδεημε από έλα Ρώζν καζεκαηηθό, ηνλ Grisha Perelman. Δίλαη ελδηαθέξνλ ην εμήο πεξηζηαηηθό ζρεηηθά κε απηό ην επίηεπγκα ηνπ Perelman. Όπσο είλαη γλσζηό, δελ ππάξρεη βξαβείν Nobel γηα ηα Μαζεκαηηθά. Μέγηζηε δηάθξηζε γηα ηελ έξεπλα ζηα Μαζεκαηηθά (ε κόλε κέρξη πξηλ κεξηθά ρξόληα, ηώξα έρεη πξνζηεζεί θαη ην βξαβείν Abel), είλαη ην κεηάιιην Fields, ην νπνίν απνλέκεηαη θάζε 4 ρξόληα ζε καζεκαηηθνύο θάησ ησλ 40 εηώλ. Σν 2006 πξνθάιεζε αίζζεζε ζηε δηεζλή καζεκαηηθή θνηλόηεηα ην εμήο γεγνλόο: Δπειέγε γηα ην βξαβείν απηό ν Perelman (γηα ηελ απόδεημε ηεο εηθαζίαο ηνπ Poincare) θαη ηξεηο άιινη καζεκαηηθνί. Ο Perelman δελ ην απεδέρζε, πξάγκα πνπ ζπλέβε γηα πξώηε θνξά ζηελ ηζηνξία ηνπ βξαβείνπ. Αλέθεξε ζε κηά δήισζή ηνπ: Σν βξαβείν δελ είρε θακκηά αμία γηα κέλα. Καζέλαο θαηαιαβαίλεη όηη, αλ ε απόδεημε πνπ έδσζα είλαη ζσζηή, δελ ρξεηάδεηαη θακκηά άιιε αλαγλώξηζε. 'Δλαο ηξίηνο ζηόρνο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο είλαη ε άζθεζε ζηε ινγηθή ζπλεπαγσγή, ε θαιιηέξγεηα ηεο δεμηόηεηαο λα ζπλδπάδεη θαλείο δεδνκέλα, ηα νπνία γλσξίδεη, θαη κε ινγηθή ζθέςε λα θαηαιήγεη ζε λέα ζπκπεξάζκαηα. ηα Μαζεκαηηθά είλαη αλαγθαία απηή ε κέζνδνο γηαηί ηα καζεκαηηθά ζπκπεξάζκαηα δελ είλαη ζηαηηζηηθά ή πεηξακαηηθά δεδνκέλα, αιιά ηζρπξηζκνί γεληθνί θαη αθξηβείο. Όηαλ π.ρ. ηζρπξηδόκαζηε όηη ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ θάζε ηξηγώλνπ είλαη 180 κνίξεο, δελ ελλννύκε όηη πήξακε έλα πνιύ κεγάιν αξηζκό ηξηγώλσλ, κεηξήζακε ηηο γσλίεο ηνπο, πξνζζέζακε ηα κέηξα ηνπο θαη βξήθακε πάληα άζξνηζκα 180. Αλ είρακε θάλεη θάηη ηέηνην, δελ ζα κπνξνύζακε λα είκαζηε βέβαηνη όηη δελ κπνξεί θάπνηνο λα ζρεδηάζεη έλα ηξίγσλν, ζην νπνίν απην λα κελ ηζρύεη. Ούηε ζα κπνξνύζακε λα είκαζηε βέβαηνη όηη ην απνηέιεζκα ησλ κεηξήζεώλ καο ήηαλ αθξηβώο 180 θαη όρη π.ρ. 179,99. Όηαλ ηζρπξηδόκαζηε ην παξαπάλσ, ελλννύκε όηη έρνπκε κηά ινγηθή απόδεημε όηη γηα θάζε ηξίγσλν ην άζξνηζκα ησλ γσληώλ είλαη αθξηβώο 180 κνίξεο. Η ηθαλόηεηα ηεο ινγηθήο ζπλεπαγσγήο θαίλεηαη ίζσο σο θάηη απηνλόεην, γηα ην νπνίν δελ ρξεηάδεηαη εθπαίδεπζε. Γελ αιεζεύεη όκσο απηό. Πξόθεηηαη βέβαηα γηα κηά έκθπηε ηθαλόηεηα ηνπ αλζξώπηλνπ κπαινύ. Υξεηάδεηαη όκσο θαιιηέξγεηα θαη εμάζθεζε. Η εκπεηξία δείρλεη όηη καζεηέο θαη θνηηεηέο έρνπλ ζπρλά κεγάιεο δπζθνιίεο ζηελ νξζή θαη απνηειεζκαηηθή ρξήζε ηεο. Δδώ είλαη άιιν έλα ζεκείν, ζην νπνίν γίλεηαη θαλεξό ην κεηνλέθηεκα ηεο έιιεηςεο έκθαζεο ζηε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία ζηε κέζε εθπαίδεπζε. Καηά ηε γλώκε κνπ ε Δπθιείδεηα Γεσκεηξία έρεη ηε ζσζηή αλαινγία επνπηείαο θαη αθαίξεζεο πξνθεηκέλνπ έλα παηδί ηεο ειηθίαο ηνπ Λπθείνπ λα αζθεζεί

5 ζηελ ηέρλε ηεο ινγηθήο απόδεημεο. Φαλεξά ε δεμηόηεηα ζηε ινγηθή ζπλεπαγσγή έρεη κεγάιε ρξεζηκόηεηα ζηελ θαζεκεξηλή δσή θαη ζηηο δηάθνξεο αλζξώπηλεο δξαζηεξηόηεηεο. Αθνύ απηή θαιιηεξγείηαη κε ηελ εθπαίδεπζε ζηα Μαζεκαηηθά, λνκίδσ όηη ζα ήηαλ ρξήζηκν λα ζπκπεξηιακβάλεηαη ε δηδαζθαιία ησλ Μαζεκαηηθώλ θαη ζε άιια παλεπηζηεκηαθά πξνγξάκκαηα πέξαλ απηώλ, ζηα νπνία ήδε ππάξρεη, π.ρ. ζηα πξνγξάκκαηα Ννκηθήο, Φπρνινγίαο, Γισζζνινγίαο. Σειεηώλνληαο ζπλνςίδσ επηγξακκαηηθά ηνπο θαηά ηε γλώκε κνπ θύξηνπο ζηόρνπο ηεο καζεκαηηθήο εθπαίδεπζεο: Καηαλόεζε ησλ ελλνηώλ θαη ησλ καζεκαηηθώλ ζπκπεξαζκάησλ κε έκθαζε όρη κόλν ζηε ρξεζηηθή αμία ηνπο, αιιά θαη ζηελ αηζζεηηθή θαη θηινζνθηθή αμία ηνπο. ύλδεζε ησλ Μαζεκαηηθώλ κε ηηο άιιεο επηζηήκεο (όρη κόλνλ ζεηηθέο, επηζηήκεο ηνπ κεραληθνύ, νηθνλνκηθέο). Καιιηέξγεηα ηεο ινγηθήο ζθέςεο. Απηνί νη ζηόρνη δελ επηηπγράλνληαη κε παζεηηθή παξαθνινύζεζε δηδαζθαιίαο, αιιά κε ελεξγό ζπκκεηνρή θαη πξνζσπηθή άζθεζε. Αλέθεξα δηάθνξα ειιείκκαηα ζηε καζεκαηηθή εθπαίδεπζε ζηε ρώξα καο. Ννκίδσ όηη ρξεηάδεηαη βειηίσζε ζε όιεο ηηο βαζκίδεο ηεο εθπαίδεπζεο. Όκσο παξ' όια ηα ειιείκκαηα, κεηαμύ ησλ απνθνίησλ ησλ ειιεληθώλ παλεπηζηεκίσλ ππάξρεη έλαο αξηζκόο ιακπξώλ επηζηεκόλσλ, πνπ εμειίζζνληαη ζε ηδηαίηεξα αλεγλσξηζκέλνπο δηεζλώο εξεπλεηέο ζηα Μαζεκαηηθά. Σειεηώλσ κε ηελ επρή ε πνιηηεία λα παξέρεη ζηνπο λένπο εξεπλεηέο ηελ απαηηνύκελε ελίζρπζε, ώζηε λα παξακέλνπλ ζηε ρώξα καο, γηα ηελ νπνία απνηεινύλ ζεκαληηθόηαην θεθάιαην. νπδάλλα Παπαδνπνύινπ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ H ΜΑΓΕΙΑ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Φξεζηκόηεηα καζεκαηηθώλ Αξρή θαηακέηξεζεο Όζα έδσζαλ νη Έιιελεο... Τξίγσλνη αξηζκνί Τεηξάγσλνη αξηζκνί Δπηκήθεηο αξηζκνί Πξώηνη αξηζκνί Αξηζκνί κε μερσξηζηέο ηδηόηεηεο Γίδπκνη πξώηνη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΣΚΥΤΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2015 ΓΙΑ ΤΟ ΓΥΜΝΑΣΙΟ Τεηάπηη 28 Ιανουαπίου 2015 ΛΔΥΚΩΣΙΑ Τάξη: Α Γυμναζίου ΠΡΟΒΛΗΜΑ Σε έλα ηνπξλνπά βόιετ δήισζαλ ζπκκεηνρή νκάδεο Γπκλαζίσλ ηεο Κύπξνπ.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ

ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ ΠΑΡΑΡΣΗΜΑ Δ. ΔΤΡΔΗ ΣΟΤ ΜΔΣΑΥΗΜΑΣΙΜΟΤ FOURIER ΓΙΑΦΟΡΩΝ ΗΜΑΣΩΝ Εδώ ζα ππνινγίζνπκε ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier κεξηθώλ αθόκα ζεκάησλ, πξνζπαζώληαο λα μεθηλήζνπκε από ην κεηαζρεκαηηζκό Fourier γλσζηώλ ζεκάησλ

Διαβάστε περισσότερα

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα!

Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Cpyright 2013 Λόγος & Επικοινωνία // All rights Reserved Παιχνίδι γλωζζικής καηανόηζης με ζχήμαηα! Αυηό ηο παιχνίδι έχει ζηόχους: 1. ηελ εθγύκλαζε ηεο αθνπζηηθήο κλήκεο ησλ παηδηώλ 2. ηελ εμάζθεζε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12

Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 2011-12 Απνηειέζκαηα Εξσηεκαηνινγίνπ 2o ηεηξάκελν 11-12 Project 6: Ταμίδη κε ηε Μεραλή ηνπ Φξόλνπ Υπεύζπλνη Καζεγεηέο: Ε. Μπηιαλάθε Φ. Αλησλάηνο Δρώηηζη 3: Πνηα από ηα παξαθάησ ΜΜΕ ηεξαξρείηε από πιεπξάο ζεκαζίαο;

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο :

ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ. Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη Εήηημα 1 ο : ΓΗΑΓΩΝΗΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΖΜΑΤΗΚΑ Ον/μο:.. Γ Λσκείοσ Ύλη: Μιγαδικοί-Σσναρηήζεις-Παράγωγοι Θεη.-Τετν. Καη. 11-1-11 Εήηημα 1 ο : Α. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f, λα βξείηε ην δηάζηεκα ζην νπνίν είλαη παξαγσγίζηκε θαζώο θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ

ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ ΘΔΚΑ ΡΖΠ ΑΛΑΓΛΩΟΗΠΖΠ 1.Απηόο πνπ ζα αλαγλσξηζηεί απνπζηάδεη γηα πνιύ θαηξό. 2.Δπηζηξέθεη κε πιαζηή ηαπηόηεηα ή κεηακνξθσκέλνο. 3.Απνκνλώλνληαη ηα δύν πξόζσπα 4.Άξζε κεηακόξθσζεο 5.Απνθάιπςε 6.Ακθηβνιίεο-απνδεηθηηθά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Α Γυμνασίου έλαξμεο 09.30 ιήμεο 09.45 Σην παξαθάησ ζρήκα θαίλεηαη ηκήκα ελόο πνιενδνκηθνύ ζρεδίνπ κηαο πόιεο. Οη ζθηαζκέλεο

Διαβάστε περισσότερα

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ

Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Αιγόξηζκνη 2.2.7.4 Γοκή επαλάιευες Δληοιές Όζο & Μέτρης_όηοσ Εηζαγσγή ζηηο Αξρέο ηεο Επηζηήκεο ησλ Η/Υ 1 Άζθεζε 34 ζει 53 Έλα ςεθηαθό θσηνγξαθηθό άικπνπκ έρεη απνζεθεπηηθό ρώξν N Mbytes. Να αλαπηύμεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP

ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ΑΛΛΑΓΗ ΟΝΟΜΑΣΟ ΚΑΙ ΟΜΑΔΑ ΕΡΓΑΙΑ, ΚΟΙΝΟΥΡΗΣΟΙ ΦΑΚΕΛΟΙ ΚΑΙ ΕΚΣΤΠΩΣΕ ΣΑ WINDOWS XP ηότοι εργαζηηρίοσ ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηνύλ βαζηθέο ιεηηνπξγίεο ησλ Windows XP πνπ ζρεηίδνληαη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ

ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΑΠΑΝΤΗΣΔΙΣ ΓΙΚΤΥΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ II ΔΠΑΛ ΘΔΜΑ Α Α1. α. Σ β. Σ γ. Λ δ. Λ ε. Λ ζη. Σ Α2. Γ Α3. 1. γ 2. ε 3. δ 4. α Β1. ΘΔΜΑ Β Οη ηειηθνί ππνινγηζηέο παίξλνπλ απνθάζεηο δξνκνιόγεζεο κόλν γηα ηα δηθά ηνπο απηνδύλακα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_3207/391 1. Τελ άιιε κέξα νη Τξηάθνληα, πνιύ ηαπεηλσκέλνη θαη ληώζνληαο εγθαηαιειεηκκέλνη, ζπγθεληξώζεθαλ ζην ρώξν ησλ ζπλεδξηάζεσλ παξάιιεια, νη «ηξεηο ρηιηάδεο», ζε όια ηα ζεκεία όπνπ είραλ ηνπνζεηεζεί,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά:

ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ. Η Μηκή ζθέθηεθε έλαλ ηξόπν, γηα λα ζπγθξίλεη κεξηθά δηαθνξεηηθά αληειηαθά πξντόληα. Απηή θαη ν Νηίλνο ζπλέιεμαλ ηα αθόινπζα πιηθά: ΑΝΤΗΛΙΑΚΑ Η Μηκή θαη ν Νηίλνο αλαξσηήζεθαλ πνην αληειηαθό πξντόλ παξέρεη ηελ θαιύηεξε πξνζηαζία ζην δέξκα ηνπο. Τα αληειηαθά πξντόληα έρνπλ έλα δείθηε αληειηαθήο πξνζηαζίαο (SPF), ν νπνίνο δείρλεη πόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΙΑ ΓΙΑ ΟΛΤΜΠΙΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΗ ΦΤΥΑ 2009 ελίδα 2 από 9 ΔΤΘΔΙΔ SIMSON 1 ΒΑΙΚΔ ΠΡΟΣΑΔΙ 1.1 ΔΤΘΔΙΑ SIMSON Γίλεηαη ηξίγσλν AB θαη ηπρόλ ζεκείν ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ. Αλ 1, 1 θαη 1 είλαη νη πξνβνιέο ηνπ ζηηο επζείεο πνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH

ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KARNAUGH ΑΠΛΟΠΟΙΗΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΤΝΑΡΣΗΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕ KRNUGH Γηα λα θάλνπκε απινπνίεζε κηαο ινγηθήο ζπλάξηεζεο κε πίλαθα (ή ράξηε) Karnaugh αθνινπζνύκε ηα παξαθάησ βήκαηα:. Η ινγηθή ζπλάξηεζε ζα πξέπεη λα είλαη ζε πιήξε

Διαβάστε περισσότερα

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2

ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ. Σρήκα 1. Σρήκα 2 ΛΙΜΝΗ ΤΣΑΝΤ Τν Σρήκα 1 δείρλεη ηελ αιιαγή ηεο ζηάζκεο ηεο Λίκλεο Τζαλη, ζηε Σαράξα ηεο Βόξεηαο Αθξηθήο. Η Λίκλε Τζαλη εμαθαλίζηεθε ηειείσο γύξσ ζην 20.000 π.χ., θαηά ηε δηάξθεηα ηεο ηειεπηαίαο επνρήο ησλ

Διαβάστε περισσότερα

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση

Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Κευάλαιο 8 Μονοπωλιακή Συμπεριφορά- Πολλαπλή Τιμολόγηση Πώς πρέπει να τιμολογεί ένα μονοπώλιο; Μέρξη ζηηγκήο ην κνλνπώιην έρεη ζεσξεζεί ζαλ κηα επηρείξεζε ε νπνία πσιεί ην πξντόλ ηεο ζε θάζε πειάηε ζηελ

Διαβάστε περισσότερα

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ.

Μονοψϊνιο. Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Μονοψϊνιο Ολιγοψώνιο Αγνξά κε ιίγνπο αγνξαζηέο. Δύναμη μονοψωνίος Η ηθαλόηεηα πνπ έρεη ν αγνξαζηήο λα επεξεάζεη ηελ ηηκή ηνπ αγαζνύ. Οπιακή αξία Δπηπξόζζεηα νθέιε από ηελ ρξήζε/θαηαλάισζε κηαο επηπξόζζεηε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1379/50 1. Όηαλ ινηπόλ ήξζαλ [νη πξέζβεηο ζηελ Αζήλα], αθνύ ζπλέιαβαλ νη Αζελαίνη θαη ηνπο πξέζβεηο σο ππνθηλεηέο ζηάζεο θαη όζνπο έπεηζαλ [νη πξέζβεηο], ηνπο ζπγθέληξσζαλ γηα αζθάιεηα ζηελ Αίγηλα.

Διαβάστε περισσότερα

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis

Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training. Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Αζθήζεηο 5 νπ θεθαιαίνπ Crash course Step by step training Dipl.Biol.cand.med. Stylianos Kalaitzis Stylianos Kalaitzis Μνλνϋβξηδηζκνο 1 Γπν γνλείο, εηεξόδπγνη γηα ηνλ αιθηζκό θάλνπλ παηδηά. Πνία ε πηζαλόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) =

ΔΦΑΡΜΟΜΔΝΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΣΗ ΧΗΜΔΙΑ Ι ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 2009. 1. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(x,y) = ΘΔΜΑΣΑ Α επηέκβξηνο 9. Να ππνινγηζηνύλ νη κεξηθέο παξάγσγνη πξώηεο ηάμεο ηεο ζπλάξηεζεο f(,y) = y.. Να ππνινγηζηνύλ ηα νινθιεξώκαηα: a) ln b) a) 3cos b) e sin 4. Να ππνινγηζηεί ην νινθιήξσκα: S ( y) 3

Διαβάστε περισσότερα

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο

α) ηε κεηαηόπηζε x όηαλ ην ζώκα έρεη κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ζέζεο δ) ην κέγηζην ξπζκό κεηαβνιήο ηεο ηαρύηεηαο Έξγν ελέξγεηα 3 (Λύζε) Σώκα κάδαο m = 4Kg εξεκεί ζηε βάζε θεθιηκέλνπ επηπέδνπ γσλίαο θιίζεο ζ κε εκζ = 0,6 θαη ζπλζ = 0,8. Τν ζώκα αξρίδεη λα δέρεηαη νξηδόληηα δύλακε θαη μεθηλά λα αλεβαίλεη ζην θεθιηκέλν

Διαβάστε περισσότερα

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ.

ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΛΘΤΑΗΚΘΔΗΡ Τ. ΑΓΩΜΘΡΘΙΞΘ ΤΩΠΞΘ ΡΘΡ ΛΘΙΠΕΡ ΗΚΘΙΘΕΡ ΟΑIΤΜΘΔΘ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ 11V11 ΗΚΘΙΘΑ 6-10 ΤΠΞΜΩΜ ΛΕΘΞΜΕΙΗΛΑΑ ΞΣ ΟΑΘΤΜΘΔΘΞΣ ΡΕ ΛΕΓΑΚΞ ΓΗΟΕΔΞ ΓΘΑ ΟΑΘΙΕΡ ΗΚΘΙΘΑΡ 6-10 ΕΩΜ Η ΔΘΑΔΠΞΛΗ ΑΟΞ Η ΛΘΑ ΕΡΘΑ ΡΗΜ ΑΚΚΗ ΕΘΜΑΘ ΛΕΓΑΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη

iii. iv. γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ: f (1) 2 θαη ΔΠΑΝΑΛΗΠΣΙΚΑ ΘΔΜΑΣΑ ΣΟ ΓΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΜΟ Μάρτιος 0 ΘΔΜΑ Να ππνινγίζεηε ηα όξηα: i ii lim 0 0 lim iii iv lim e 0 lim e 0 ΘΔΜΑ Γίλεηαη ε άξηηα ζπλάξηεζε '( ) ( ) γηα θάζε 0 * : R R γηα ηελ νπνία ηζρύνπλ:

Διαβάστε περισσότερα

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2

Α. Εηζαγσγή ηεο έλλνηαο ηεο ηξηγσλνκεηξηθήο εμίζσζεο κε αξρηθό παξάδεηγκα ηελ εκx = 2 ΣΡΙΓΩΝΟΜΔΣΡΙΚΔ EΞΙΩΔΙ Πνηα παξαδείγκαηα εμηζώζεσλ ή θαη πξνβιεκάησλ πηζηεύεηαη όηη είλαη θαηάιιεια γηα ηελ επίιπζε ηνπο θαηά ηελ δηάξθεηα ηεο δηδαθηηθήο δηαδηθαζίαο κέζα ζηελ ηάμε; 1 ε ΓΙΓΑΚΣΙΚΗ ΩΡΑ Α.

Διαβάστε περισσότερα

3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10

3. Τα ΑΒΓΓ θαη ΔΒΕΖ είλαη ηεηξάγσλα, ΑΔ=2cm θαη ΔΒ=5cm. Τν εκβαδόλ ηνπ γξακκνζθηαζκέλνπ ζρήκαηνο είλαη: είλαη: (Γ) 10 Α, υμναςίου η Κυπριακή Μαθηματική Ολυμπιάδα Απρίλιοσ 0. Πνηνο από ηνπο πην θάησ αξηζκνύο είλαη ν κεγαιύηεξνο; (Α) 0 0 () 00 () ( 0) ( 0) () 0 0 () ( 0) ( 0). Σην πην θάησ ζρήκα νη επζείεο ε θαη ε είλαη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ..

ΚΤΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΕΣΑΙΡΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ΥΟΛΕΙΟ.. ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΗ ΚΤΣΑΛΟΓΡΟΜΙΑ 2007 ΓΙΑ ΣΟ ΓΤΜΝΑΙΟ Παπασκευή 26 Ιανουαπίου 2007 Σάξη: Γ Γυμνασίου ιήμεο 11.00 Κάπνηνο άξρηζε λα δηαβάδεη έλα βηβιίν ηελ 1 ε Δεθεκβξίνπ. Κάζε κέξα δηάβαδε ηνλ ίδην αξηζκό ζειίδσλ

Διαβάστε περισσότερα

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2

TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΠΡΟΑΡΜΟΓΗ: ΒΑΛΚΑΝΙΩΣΗ ΔΗΜ. ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 TOOLBOOK ΜΑΘΗΜΑ 2 TOOLBOOK (μάθημα 2) Δεκηνπξγία βηβιίνπ θαη ζειίδσλ ΕΚΠΑΙΔΕΤΣΙΚΟ ΠΕ19 1 Δημιουργία σελίδων και βιβλίων Έλα θαηλνύξην βηβιίν πεξηέρεη κία άδεηα ζειίδα κε έλα άδεην background. Δελ κπνξνύκε λα μερσξίζνπκε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ

ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΜΑΘΗΜΑ : ΑΡΧΑΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΑ ΣΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΣΩΝ Α ΛΤΚΕΙΟΤ Α/Α : 0_1382/153 1. Καη όηαλ έγηλε ε ππνρώξεζε αξγά ην απόγεπκα, επεηδή θνβήζεθαλ νη νιηγαξρηθνί κήπσο νη δεκνθξαηηθνί, αθνύ θάλνπλ επίζεζε, θαηαιάβνπλ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP

ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ. Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία. Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP ΜΑΘΗΜΑΣΑ ΦΩΣΟΓΡΑΦΙΑ Ειζαγωγή ζηη Φωηογραθία Χριζηάκης Σαζεΐδης EFIAP 1 ΜΑΘΗΜΑ 6 ο Προγράμμαηα θωηογραθικών μηχανών Επιλογέας προγραμμάηων Μαο δίλεη ηε δπλαηόηεηα λα ειέγμνπκε ην άλνηγκα δηαθξάγκαηνο θαη

Διαβάστε περισσότερα

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016

Βάσεις Δεδομέμωμ. Εξγαζηήξην V. Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 Βάσεις Δεδομέμωμ Εξγαζηήξην V Τκήκα Πιεξνθνξηθήο ΑΠΘ 2015-2016 2 Σκοπός του 5 ου εργαστηρίου Σθνπόο απηνύ ηνπ εξγαζηεξίνπ είλαη: ε κειέηε ζύλζεησλ εξσηεκάησλ ζύλδεζεο ζε δύν ή πεξηζζόηεξεο ζρέζεηο ε κειέηε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ

ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ ΙΣΤΟΡΙΑ ΤΟΥ ΑΡΧΑΙΟΥ ΚΟΣΜΟΥ Α ΛΤΚΕΙΟΤ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Σχολικό έτος: 2011-2012 Καθηγήτριες: Κεφαλληνού Λουκία- Καλλία Αθηνά ΙΙ. ΟΙ ΑΧΑΙΟΙ ΕΛΛΗΝΕΣ ΑΠΟ ΣΟΤ ΠΡΟΙΣΟΡΙΚΟΤ ΥΡΟΝΟΤ ΕΩ ΚΑΙ ΣΟ Μ. ΑΛΕΞΑΝΔΡΟ 1. ΕΛΛΗΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις

ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις ΔΙΑΚΡΙΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Αθροίσματα, Γινόμενα και Ασσμπτωτικές Εκτιμήσεις Ο Δηζνδεκαηίαο Σην ηειεπαηρλίδη «Ο Δηζνδεκαηίαο» ν Αξλανύηνγινπ γηα πξώηε θνξά δίλεη δύν επηινγέο: Να πάξεηο 50.000 Δπξώ θάζε ρξόλν

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000.

ΔΕΟ 13. Ποσοτικές Μέθοδοι. θαη λα ππνινγίζεηε ην θόζηνο γηα 10000 παξαγόκελα πξντόληα. Να ζρεδηαζηεί γηα εύξνο πξντόλησλ έσο 30000. ΔΕΟ 13 Ποσοτικές Μέθοδοι Σσνάρηηζη Κόζηοσς C(), μέζο κόζηος C()/. Παράδειγμα 1 Μηα εηαηξεία δαπαλά γηα θάζε πξντόλ Α πνπ παξάγεη 0.0 λ.κ. Τα πάγηα έμνδα ηεο εηαηξείαο είλαη 800 λ.κ. Ζεηείηαη 1) Να πεξηγξάςεηε

Διαβάστε περισσότερα

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ

Η/Υ A ΤΑΞΕΩΣ ΑΕ 2010-2011. Συστήματα Αρίθμησης. Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ Συστήματα Αρίθμησης Υποπλοίαρχος Ν. Πετράκος ΠΝ 1 Ειζαγωγή Τν bit είλαη ε πην βαζηθή κνλάδα κέηξεζεο. Είλαη κία θαηάζηαζε on ή off ζε έλα ςεθηαθό θύθισκα. Άιιεο θνξέο είλαη κία θαηάζηαζε high ή low voltage

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Δ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ. ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΗΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΗΑ ΔΚΠΑΗΓΔΤΖ ΔΝΟΣΖΣΑ 2 ε : ΤΛΗΚΑ ΩΜΑΣΑ ΔΡΓΑΛΔΗΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Ογθνκεηξηθό δνρείν Καηαζθεπάδνπκε έλα νγθνκεηξηθό δνρείν από πιαζηηθό κπνπθάιη λεξνύ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ 4 ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1. ρεδίαζε πλδπαζηηθνύ Κπθιώκαηνο Έλα ζπλδπαζηηθό θύθισκα (Κ) έρεη ηξεηο εηζόδνπο A, B θαη C θαη κία έμνδν Y Y=A B+AC Να θαηαζθεπάζεηε ην ράξηε Karnaugh. B 0

Διαβάστε περισσότερα

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή

Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ. Καξθηά 3 θηιά πεξίπνπ κε κήθνο ηξηπιάζην από ην πάρνο ηνπ μύινπ θπξί κεγάιν θαη ππνκνλή Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΩΝ ΠΡΩΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 10 ε : ΜΗΥΑΝΙΚΗ ΜΔΡΟ Β ΠΙΔΗ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Καξέθια θαθίξε Όξγαλα Τιηθά Κόληξα πιαθέ ζαιάζζεο κε δηαζηάζεηο 40Υ40 εθ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/2014 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΚΠ. ΕΤΟΥΣ 204-205 ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑ/Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 08/09/204 A ΟΜΑΓΑ Οδηγία: Να γράυεηε ζηο ηεηράδιο ζας ηον αριθμό κάθε μιας από ηις παρακάηφ ερφηήζεις Α.-Α.8 και

Διαβάστε περισσότερα

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου.

όπου R η ακηίνα ηου περιγεγραμμένου κύκλου ηου ηριγώνου. ΕΩΜΕΤΡΙ ΛΥΚΕΙΟΥ - ΕΜΔ ΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΣ Ι ΤΗΝ ΛΥΣΗ ΣΚΗΣΕΩΝ ΕΜΔ Πρόηζε Ίζ πολυγωνικά χωρί έχουν ίζ εμβδά Το νηίζηροθο δεν ιζχύει ηλδή δύο ιζοεμβδικά χωρί δεν είνι κηά νάγκη ίζ Εκβδόλ ηεηργώλοσ πιεσράς Εκβδόλ

Διαβάστε περισσότερα

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots)

Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) Σημεία Ασύπματηρ Ππόσβασηρ (Hot-Spots) 1.1 Σςνοπτική Πεπιγπαυή Hot Spots Σα ζεκεία αζύξκαηεο πξόζβαζεο πνπ επηιέρζεθαλ αλαθέξνληαη ζηνλ επόκελν πίλαθα θαη παξνπζηάδνληαη αλαιπηηθά ζηηο επόκελεο παξαγξάθνπο.

Διαβάστε περισσότερα

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ

Σήκαηα Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) ΕΙΣΑΓΨΓΗ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΨΝΙΕΣ Σήκαηα 1 Β Α Γ Γ Δ Λ Η Σ Ο Ι Κ Ο Ν Ο Μ Ο Υ Γ Ι Α Λ Δ Ξ Η - ( 2 ) Σήκαηα Οξηζκόο ζήκαηνο Ταμηλόκεζε ζεκάησλ Σεηξέο Fourier Μεηαζρεκαηηζκόο Fourier Σπλέιημε Σπζρέηηζε θαη Φαζκαηηθή Ππθλόηεηα 2 Οξηζκόο Σήκαηνο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ

ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ ΑΞΙΟΘΕΑΣΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ β. ΣΟ ΠΝΕΤΜΑΣΙΚΟ ΜΑ ΚΕΝΣΡΟ γ. Η ΠΑΝΟΡΑΜΙΚΗ ΘΕΗ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ α. Η ΕΚΚΛΗΙΑ ΣΟΤ ΥΩΡΙΟΤ ΜΑ. Η Εθθιεζία ηνπ ρσξηνύ καο, ε Αγία Άλλα, είλαη θηηζκέλε πξηλ πνιιά

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ.

Απαντήσεις θέματος 2. Παξαθάησ αθνινπζεί αλαιπηηθή επίιπζε ησλ εξσηεκάησλ. Απαντήσεις θέματος 2 Απηά πνπ έπξεπε λα γξάςεηε (δελ ρξεηαδόηαλ δηθαηνιόγεζε εθηόο από ην Γ) Α return a*b; Β 0:acegf2, 1: acegf23, 2: acegf234, 3:acegf2345, 4:acegf23456, 5:acegf234567, 6:acegf2345678,

Διαβάστε περισσότερα

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε:

Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: 1 ΟΡΙΜΟΙ MONOTONIA AKΡOTATA Μηα ζπλάξηεζε κε πεδίν νξηζκνύ ην Α, ζα ιέκε όηη παξνπζηάδεη ηοπικό μέγιζηο ζην, αλ ππάξρεη δ>0, ηέηνην ώζηε: Σν ιέγεηαη ζέζε ή ζεκείν ηνπ ηνπηθνύ κεγίζηνπ θαη ην ( ηνπηθό κέγηζην.

Διαβάστε περισσότερα

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν.

B-Δέλδξα. Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. B-Δέλδξα Τα B-δέλδξα ρξεζηκνπνηνύληαη γηα ηε αλαπαξάζηαζε πνιύ κεγάισλ ιεμηθώλ πνπ είλαη απνζεθεπκέλα ζην δίζθν. Δέλδξα AVL n = 2 30 = 10 9 (πεξίπνπ). 30

Διαβάστε περισσότερα

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013

ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 27 ΜΑΪΟΥ 2013 ΔΝΓΔΙΚΤΙΚΔΣ ΛΥΣΔΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΔΙΟΥ ΓΔΥΤΔΡΑ 7 ΜΑΪΟΥ 13 ΘΔΜΑ Α : (Α1) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 33-335 (Α) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα 6 (Α3) Σρνιηθό βηβιίν ζειίδα (Α) α) Λάζνο β) Σωζηό γ) Σωζηό

Διαβάστε περισσότερα

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ

ΓΔΧΜΔΣΡΗΑ ΓΗΑ ΟΛΤΜΠΗΑΓΔ ΒΑΓΓΔΛΖ ΦΤΥΑ 011 1 ΒΑΗΚΟΗ ΟΡΗΜΟΗ 11 ΓΤΝΑΜΖ ΖΜΔΗΟΤ Έζησ P ηπρόλ ζεκείν ηνπ επηπέδνπ θύθινπ C (O,R ) (πνπ βξίζθεηαη εθηόο ηνπ θπθιηθνύ δίζθνπ C (O,R ) ) θαη PT ε εθαπηνκέλε από ην P (T ην ζεκείν επαθήο )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ(1) ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΔΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΔΦΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΔΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΔΙΟΥ ΤΔΣΤ() ΣΤΑ ΓΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΔΜΑ : Αλ ηζρύεη 3 3, λα δείμεηε όηη ηα ζεκεία Μ, Ν ηαπηίδνληαη. ΘΔΜΑ : Α Β Μ Γ Σην παξαπάλσ ζρήκα είλαη 3. α) Γείμηε όηη

Διαβάστε περισσότερα

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο:

Σύνθεζη ηαλανηώζεων. Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Σύνθεζη ηαλανηώζεων Α. Σύλζεζε δύν α.α.η ηεο ίδιας ζστνόηηηας Έζησ έλα ζώκα πνπ εθηειεί ηαπηόρξνλα δύν αξκνληθέο ηαιαληώζεηο ηεο ίδηαο ζπρλόηεηαο πνπ πεξηγξάθνληαη από ηηο παξαθάησ εμηζώζεηο: Η απνκάθξπλζε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2

ΑΡΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΡΙΑ ΛΤΔΙ ΓΙΑΓΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 ΑΥΔ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΔΩΙΑ ΛΤΔΙ ΙΑΩΝΙΜΑΣΟ ΚΔΦΑΛΑΙΟΤ 2 1: Λάζος (είλαη ηζνζθειήο ππεξβνιή) Α2: Λάζος (ην ζεηηθό πξόζεκν ζεκαίλεη όηη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Δηζνδήκαηνο θαη ε Πνζνζηηαία Μεηαβνιή Πνζόηεηαο ήηαλ

Διαβάστε περισσότερα

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ

T A E K W O N D O. Δ. ΠπθαξΨο. ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ T A E K W O N D O Δ. ΠπθαξΨο ΔπΫθνπξνο ΘαζεγεηΪο ΑζιεηηθΪο ΦπζηθνζεξαπεΫαο ΡΔΦΑΑ - ΑΞΘ ΦΠΗΘΝΘΔΟΑΞΔΗΑ Ο Ρ Ι Μ Ο Φπζη(θ)νζεξαπεΫα εϋλαη ε επηζηϊκε, ε νπνϋα κόλν κε θπζηθψ κωζα θαη κεζόδνπο πξνζπαζεϋ λα ζεξαπεύζεη

Διαβάστε περισσότερα

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n

επαξθήο ζηαηηζηηθή ζπλάξηεζε, β) Έζησ η.δ. είλαη αλεμάξηεην ηνπ. Άξα πξόθεηηαη γηα 1 n . ΜΑΚΡΑ ΣΟΑ 7 & ΕΘΝ. ΑΝΣΙΣΑΕΩ (ΠΕΙΡΑΙΑ),. ΔΕΛΗΓΙΩΡΓΗ 06 Α (ΠΕΙΡΑΙΑ), 3. ΠΤΡΓΟ ΑΘΗΝΩΝ, ΑΜΠΕΛΟΚΗΠΟΙ (ΑΘΗΝΑ). ΣΗΛ 040970,,, www.vtal.gr Επιλεγμένες Ασκήσεις. α) Έζησ η.δ. Ep. Να δεηρζεί όηη ε T,..., ~, 0

Διαβάστε περισσότερα

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών

Παλαιοσλαβική Γλώσσα. Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων. Αλεξάνδρα Ιωαννίδου. Τμήμα Σλαβικών Σπουδών Παλαιοσλαβική Γλώσσα Ενότητα 9: Το σύστημα των συμφώνων Αλεξάνδρα Ιωαννίδου Τμήμα Σλαβικών Σπουδών (11) Σνλ 9ν-10ν αηώλα κ.υ. ηα πγξά θαη είραλ ζαθή ζπιιαβνπνηεηηθή ιεηηνπξγία ζαλ θη απηή πνπ εκθαλίδεηαη

Διαβάστε περισσότερα

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε.

Δπηιέγνληαο ην «Πξνεπηινγή» θάζε θνξά πνπ ζα ζπλδέεζηε ζηελ εθαξκνγή ζα βξίζθεζηε ζηε λέα ρξήζε. ΑΝΟΙΓΜΑ ΝΔΑ ΥΡΗΗ 1. Γεκηνπξγείηε ηε λέα ρξήζε από ηελ επηινγή «Παξάκεηξνη/Παξάκεηξνη Δηαηξίαο/Γηαρείξηζε Δηαηξηώλ». Πιεθηξνινγείηε ηνλ θσδηθό ηεο εηαηξίαο ζαο θαη παηάηε Enter. Σηελ έλδεημε «Υξήζεηο» παηάηε

Διαβάστε περισσότερα

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS

ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ηότοι εργαζηηρίοσ ΡΤΘΜΙΕΙ ΔΙΚΣΤΟΤ ΣΑ WINDOWS ην πιαίζην ηνπ ζπγθεθξηκέλνπ εξγαζηεξίνπ ζα παξνπζηαζηεί ε δηαδηθαζία ηωλ ξπζκίζεωλ δηθηύνπ ζε ιεηηνπξγηθό ζύζηεκα Windows XP. Η δηαδηθαζία ζε γεληθέο γξακκέο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα

Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Πολυεπίπεδα/Διασυμδεδεμέμα Δίκτυα Κοιμωμικά δίκτυα (multiplex network) Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Facebook? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην LinkedIn? Έρεηε ινγαξηαζκό ζην Twitter? Αεροπορικές γραμμές της Ευρώπης(multiplex

Διαβάστε περισσότερα

Constructors and Destructors in C++

Constructors and Destructors in C++ Constructors and Destructors in C++ Σύνθεζη Πνιύ ζπρλά ζηε C++ κία θιάζε κπνξεί λα πεξηέρεη ζαλ κέιεδεδνκέλα αληηθείκελα άιισλ θιάζεσλ. Πνηα είλαη ε ζεηξά κε ηελ νπνία δεκηνπξγνύληαη θαη θαηαζηξέθνληαη

Διαβάστε περισσότερα

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ

Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική ΑΔ Άζκηζη ζτέζης κόζηοσς-τρόνοσ (Cost Time trade off) Καηαζκεσαζηική Δίζηε μησανικόρ διοίκηζηρ μεγάληρ καηαζκεςαζηικήρ εηαιπείαρ και καλείζηε να ςλοποιήζεηε ηο έπγο πος πεπιγπάθεηαι από ηον Πίνακα 1. Κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84

Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα. Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Κώδικες 28, 78 και 84 Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα Οη Διαηιμήζεις για Αιολικά Πάρκα εθαξκόδνληαη γηα ηελ απνξξνθνύκελε ελέξγεηα από Αηνιηθά Πάξθα πνπ είλαη ζπλδεδεκέλα ζην

Διαβάστε περισσότερα

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( )

1. Άζξνηζκα. Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: ( ) ( ) 1. Άζξνηζκα Να ππνινγηζηεί ην άζξνηζκα κε ηελ ηερληθή ηεο εμίζσζεο αζξνίζκαηνο. Χξεζηκνπνηνύκε ηνλ ηύπν: Θέινπκε λα εθθξάζνπκε ην άζξνηζκα ζαλ ζπλάξηεζε ηνπ. Δπνκέλσο έρνπκε: 2. Άζξνηζκα Ξεθηλάκε κε δύν

Διαβάστε περισσότερα

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε.

Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή. Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Η επιζκόπηζη ηης έμμιζθης ενηολής ζηην Αλλοδαπή Καηεξίλα Γαιαλνπνύινπ, Intellectual Property Manager, Microsoft Ειιάο Α.Ε. Παξάκεηξνη πξνο αμηνιόγεζε Ννκνζεηηθή ζσξάθηζε Κνηλόο Σύιινγνο Ακνηβή Καηαγγειία/Λύζε

Διαβάστε περισσότερα

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων

Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων Image J Plugin particle tracker για παρακολούθηση της κίνησης σωματιδίων (https://weeman.inf.ethz.ch/particletracker/) Τν Plugin particle tracker κπνξεί λα αληρλεύζεη απηόκαηα ηα ζσκαηίδηα πνπ θηλνύληαη,

Διαβάστε περισσότερα

Διδακτική των Μαθηματικών Ι. Εηζαγσγή

Διδακτική των Μαθηματικών Ι. Εηζαγσγή Διδακτική των Μαθηματικών Ι Εηζαγσγή Σύντομα ζα θιεζείηε λα δηδάμεηε καζεκαηηθά ζηελ ηάμε ηνπ λεπηαγσγείνπ Ο ηξόπνο πνπ ζρεδηάδνπκε ηε δηδαζθαιία ησλ καζεκαηηθώλ, νη εξσηήζεηο πνπ ζέηνπκε, νη απαληήζεηο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ

ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΜΕΛΕΣΗ E.O.K. ΜΕ ΑΙΘΗΣΗΡΑ ΘΕΗ ΦΤΛΛΟ ΕΡΓΑΙΑ (Θεοδώρα Γιώηη, Νικόλας Καραηάζιος- Τπεύθσνη εκ/κος Λ. Παπαηζίμπα) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΤΜΗΜΑ:.., ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.// Σε ακαμίδην πνπ κπνξεί λα θηλείηαη ρσξίο ηξηβέο πάλσ

Διαβάστε περισσότερα

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ.

ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΞΟΝΠΔΓΓΗΕΥ ΡΝ ΞΑΗΓΗ ΓΗΑ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΝΗ ΓΗΔΟΓΑΠΗΔΠ ΡΝ ΞΔΛΘΝΠ. ΓΑΘΡΙΑ Π. 1,2, ΓΑΘΡΙΑΠ Θ. 1, ΚΖΡΠΗΝ- ΓΑΘΡΙΑ Γ. 1,3,4, ΘΑΡΠΗΑΟΓΑΛΖΠ Ι. 1,5, Α ΛΑΠΡΑΠΗΝ Α. 1,4,6, ΛΗΘΝΙΑΝΠ ΠΘΔΛΡΔΟΖΠ 6. 1. Δ Ρ Α Η Ο Δ Η Α Φ Ο

Διαβάστε περισσότερα

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H )

Α Ο Κ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η ( S E A R C H ) Ξ G O O G L E S C H O L A R Α Ο Ξ Ε Κ Ε Θ Λ Θ Α Λ Η Τ Α Μ Η Α Μ Α Ζ Η Η Ρ Η Ρ Οξαγκαηνπνηώληαο αλαδήηεζε ζην GoogleScholar (http://scholar.google.com/) ν ρξήζηεο κπνξεί λα εληνπίζεη πιηθό αθαδεκαϊθνύ θαη

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1.

ΠΛΗ36. Άσκηση 1. Άσκηση 2. Οη δηεπζύλζεηο ησλ 4 σλ ππνδηθηύσλ είλαη νη αθόινπζεο. Υπνδίθηπν Α: 10.101.1.64/27 Υπνδίθηπν Β: 10.101.1. Άσκηση 1 ΠΛΗ36 1. Η κόλε πεξίπησζε λα έρνπκε ζύγθξνπζε κεηαμύ παθέησλ ησλ δύν θόκβσλ είλαη λα ζηείιεη ν δεύηεξνο πξηλ πξνιάβεη λα πιεξνθνξεζεί γηα ηελ θαηάιεςε ηνπ δηάπινπ από ηνλ άιιν. Από ηε ζηηγκή πνπ

Διαβάστε περισσότερα

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ

Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ MENU ΑΝΑΦΟΡΕΣ Ηλεκηπονικά Απσεία και Διεπαθέρ Σε απηό ην ζεκείν ηεο εθαξκνγήο δεκηνπξγνύκε ηα δηάθνξα Ηιεθηξνληθά Αξρεία έηζη ώζηε λα ηα ππνβάινπκε ζηνπο δηάθνξνπο θνξείο. Γηα λα επηιέμνπκε έλα είδνο αξρείνπ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ

ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ ΔΡΓΑΙΑ ΣΡΙΣΟΤ ΣΡΙΜΗΝΟΤ ΣΗΝ ΟΓΤΔΙΑ Α.Να γξάςεηε ηα ηππηθά ζηάδηα ηεο αλαγλώξηζεο ζηελ Οδύζζεηα. Το θέμα της αναγνώρισης είναι συχνό, ιδιαίτερα στις τελευταίες ραψωδίες του έπους, δηλαδή από τότε που ο Οδυσσέας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ.

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΚΑΙ ΤΕΦΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ Μάθημα: Πιθανόηηηες και Σηαηιζηική Διδάζκων: Σ. Γ. ΤΕΛΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Τρίπολη 06/07/2007 Τα θέμαηα 1-5 είναι σποτρεωηικά και έτοσν ηοσς ίδιοσς (ίζοσς) ζσνηελεζηές βαρύηηηας Το θέμα 6 δίνει επιπλέον βαθμούς με βαρύηηηα 10% για βεληίωζη ηης βαθμολογίας ΘΕΜΑΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα.

Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο κεηά ηηο γηνξηέο ηνπ Πάζρα. Οι Πανελλαδικέρ Δξεηάζειρ για ηην ειζαγωγή ζηην ηπιηοβάθμια εκπαίδεςζη θα ππαγμαηοποιηθούν ππιν ηιρ απολςηήπιερ ενδοζσολικέρ εξεηάζειρ ηων μαθηηών και ηων μαθηηπιών. Τν Πξόγξακκα ζα αλαθνηλσζεί, ακέζσο

Διαβάστε περισσότερα

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ

IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ IV Ο ΕΛΛΗΝΙΜΟ ΣΗ ΔΤΗ,ΠΟΛΙΣΙΜΟΙ Δ.ΜΕΟΓΕΙΟΤ ΚΑΙ ΡΩΜΗ Να σαπακηηπίζεηε ηιρ πποηάζειρ, πος ακολοςθούν, υρ ππορ ηην οπθόηηηά ηοςρ, με ηην ένδειξη Σωστό ή Λάθος 1. ηελ αξραία Ρώκε νη πιεβείνη δελ είραλ αξρηθά

Διαβάστε περισσότερα

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο.

7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 3. Έλαο θαηαρσξεηήο SISO ησλ 4 bits έρεη: α) Μία είζνδν, β) Δύν εηζόδνπο, γ) Σέζζεξεηο εηζόδνπο. 7. ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ση είλαη έλαο θαηαρσξεηήο; O θαηαρσξεηήο είλαη κηα νκάδα από flip-flop πνπ κπνξεί λα απνζεθεύζεη πξνζσξηλά ςεθηαθή πιεξνθνξία. Μπνξεί λα δηαηεξήζεη ηα δεδνκέλα ηνπ

Διαβάστε περισσότερα

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο

Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Πως να δημιουργήσετε ένα Cross-Over καλώδιο Τν crossover καλώδιο ρξεζηκνπνηείηαη γηα λα ζπλδεζνύλ δπν ππνινγηζηέο κεηαμύ ηνπο θαη αλ θηηάμνπλ έλα κηθξό ηνπηθό δίθηπν(lan). Έλα LAN κπνξεί λα είλαη ηόζν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43

ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 ΕΞΟΡΤΞΗ & ΚΑΣΑΚΕΤΕ ΣΗΝ ΕΤΡΩΠΗ ΜΑΘΗΜΑ 43 Κα ακαθένεηε 5 εονςπασθέξ πώνεξ θαη κα βνείηε ημ είδμξ ημο μνοθημύ ημοξ πιμύημο. Πμημη πανάγμκηεξ επηηνέπμοκ ηεκ θαηαζθεοή μεγάιςκ ηεπκηθώκ ένγςκ; Ε ελόνολε (ελαγςγή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ

ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ ΔΛΔΓΥΟ ΔΜΒΟΛΙΑΣΙΚΗ ΚΑΛΤΦΗ Δ ΠΑΙΓΙΑ ΠΡΟΥΟΛΙΚΗ ΚΑΙ ΥΟΛΙΚΗ ΗΛΙΚΙΑ ΣΟΤ ΝΟΜΟΤ ΚΔΡΚΤΡΑ 24 ο ΠΑΝΔΛΛΗΝΙΟ ΤΝΔΓΡΙΟ ΔΛΛΗΝΙΚΗ ΔΣΑΙΡΔΙΑ ΚΟΙΝΧΝΙΚΗ ΠΑΙΓΙΑΣΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΡΟΑΓΧΓΗ ΣΗ ΤΓΔΙΑ ΠΙΝΟΤΛΑ ΔΤΡΤΓΙΚΗ ΒΑΡΚΑΡΗ ΠΟΛΤΚΡΙΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων

Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οργάνωση και Δομή Παρουσιάσεων Οη παξνπζηάζεηο κε βνήζεηα ηνπ ππνινγηζηή γίλνληαη κε πξνγξάκκαηα παξνπζηάζεσλ, όπσο ην OpenOffice.org Impress [1] θαη ην Microsoft Office PowerPoint [2]. Απηά ηα πξνγξάκκαηα

Διαβάστε περισσότερα

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα.

Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Σάμε Σ Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ. ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ. Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα. Δξγαιεία Καηαζθεπέο 1 Δ.Κ.Φ.Δ. ΥΑΝΙΧΝ ΠΡΧΣΟΒΑΘΜΙΑ ΔΚΠΑΙΓΔΤΗ ΔΝΟΣΗΣΑ 11 ε : ΦΧ ΔΡΓΑΛΔΙΑ ΚΑΣΑΚΔΤΔ Καηαζθεπή 1: Φαθόο κε ζσιήλα Γηαθξάγκαηα Δξγαιεία Καηαζθεπέο 2 Η θαηαζθεπή πεξηγξάθεηαη ζηελ αληίζηνηρε ελόηεηα

Διαβάστε περισσότερα

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε

γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα ηνλ Άξε Κσλζηαληηλίδε γηα «ην θνηλό θαη ην θύξην» (Γ.νισκόο) γηα λα ρηίδω πάληα κε ηνλ ίδηνλε ηξόπν, κε ηηο ίδηεο θαηαζθεπαζηηθέο θαη πιαζηηθέο πξννπηηθέο, κε ηελ ίδηαλε πάληνηε πίζηε θαη αγάπε.. Α.Κ.

Διαβάστε περισσότερα

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ

Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ Βιομησανικόρ ζσεδιαζμόρ πποϊόνηων από ανακςκλωμένερ ζςζκεςαζίερ ΤΕΙ Δσηικής Μακεδονίας Τμήμα Βιομητανικού Στεδιαζμού Εργαζηήριο C 3 www.c3.teiwm.gr C 3 LAB www.c3.teiwm.gr 1 Εηζαγσγή Πεπιεσόμενα ύκβνια

Διαβάστε περισσότερα

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access)

Άμεσοι Αλγόριθμοι: Προσπέλαση Λίστας (list access) Έρνπκε απνζεθεύζεη κηα ζπιινγή αξρείσλ ζε κηα ζπλδεδεκέλε ιίζηα, όπνπ θάζε αξρείν έρεη κηα εηηθέηα ηαπηνπνίεζεο. Μηα εθαξκνγή παξάγεη κηα αθνινπζία από αηηήκαηα πξόζβαζεο ζηα αξρεία ηεο ιίζηαο. Γηα λα

Διαβάστε περισσότερα

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ

Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Διαςτήματα εμπιςτοςφνησ για την ευθεία παλινδρόμηςησ Έλαο από ηνπο βαζηθνύο ζηόρνπο ηεο παιηλδξόκεζεο είλαη ε πξόβιεςε ηεο αλακελόκελεο ηηκήο ηεο εμαξηεκέλεο κεηαβιεηήο Υ γηα δεδνκέλε ηηκή ηεο αλεμάξηεηεο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1

ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ. Δρώτηση 1 ΑΙΟΛΙΚΑ ΠΑΡΚΑ Πνιινί άλζξσπνη πηζηεύνπλ όηη ν άλεκνο ζα έπξεπε λα αληηθαηαζηήζεη ην πεηξέιαην θαη ην θάξβνπλν σο πεγή ελέξγεηαο γηα ηελ παξαγσγή ειεθηξηζκνύ. Οη θαηαζθεπέο πνπ θαίλνληαη ζηελ εηθόλα είλαη

Διαβάστε περισσότερα

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1.

Master Class 3. Ο Ν.Ζανταρίδης προτείνει θέματα Μαθηματικών Γ Λσκειοσ ΘΕΜΑ 1. ΘΕΜΑ. Γηα ηελ ζπλάξηεζε f : IR IR ηζρύεη + f() f(- ) = γηα θάζε IR. Να δείμεηε όηη f() =, ΙR. Να βξείηε ηελ εθαπηόκελε (ε) ηεο C f πνπ δηέξρεηαη από ην ζεκείν (-,-) 3. Να βξείηε ην εκβαδόλ Δ(α) ηνπ ρωξίνπ

Διαβάστε περισσότερα

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ

Κεθάλαιο 7. Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ Μ. ΨΥΛΛΑΚΗ Κεθάλαιο 7 Πξνζθνξά ηνπ θιάδνπ 1 Προζθορά ανηαγωνιζηικού κλάδοσ Πώο πξέπεη λα ζπλδπαζηνύλ νη απνθάζεηο πξνζθνξάο ησλ πνιιώλ επηκέξνπο επηρεηξήζεσλ ελόο αληαγσληζηηθνύ θιάδνπ γηα λα βξνύκε ηελ θακπύιε πξνζθνξάο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ

ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ Α. Αεπόβια ικανόηηηα: ΑΣΚΗΣΔΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΓΗΠΔΓΟ 1. Φόλλοος ζηα δύο καλάθια: νη αζιεηέο είλαη απέλαληη από ηα ηακπιώ ζε δπν γξακκέο. Οη πξώηνη έρνπλ από κηα κπάια. Με ην ζύλζεκα θάλνπλ θόιιννπ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. καινούργιο σχολ. σελ 35 / παλιό σχολ. 53 Α. Ψευδής, σελ.99 / παλιό σχολ. σελ. 7 αντιπαράδειγμά, f ( ) Α3. σελ 73, παλιό σχολ. σελ. 9 Α. α) Λάθος β)

Διαβάστε περισσότερα

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report.

Case Study. Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Case Study Παξαθάηω παξνπζηάδνπκε βήκα - βήκα κε screenshots έλα παξάδεηγκα ππνβνιήο κηαο εξγαζίαο θαη ηελ παξαγωγή ηνπ Originality Report. Βήκα 1 ο : Login ζηο Turnitin. Κάλεηε είζνδν ζην Turnitin κε

Διαβάστε περισσότερα

Εξγαζηήξην Πιεξνθνξηθήο

Εξγαζηήξην Πιεξνθνξηθήο Εξγαζηήξην Πιεξνθνξηθήο «Λογικές παραστάσεις (Boolean expressions)» Τμήμα Εκπαιδεςηικών Πολιηικών Δομικών Έπγυν (Α4) Ραούλησ Δημήτριοσ Αθήνα, 16 Ιανουαρίου 2013 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 5... 2 Λογικζσ παραςτάςεισ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] ΕΡΓΑΣΙΑ 1 Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν στον

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών

ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών τοιχεία του μαθήματοσ (ημζρα εβδομάδασ, ώρεσ, ζτοσ): ΣΕΙ Δυτικήσ Μακεδονίασ, Παράρτημα Καςτοριάσ Τμήμα Πληροφορικήσ και Τεχνολογίασ Υπολογιςτών Εργαςτηριακή ομάδα αςκήςεων 2 για το μάθημα «ΑΡΧΙΣΕΚΣΟΝΙΚΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ)

ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) ΣΑΞΗ Α - ΜΑΘΗΜΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΣΑ ΘΕΩΡΙΑ (ΓΙΑ ΣΗΝ ΣΕΛΙΚΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Α ΜΕΡΟ- ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΡΩΣΗΗ 1 Πνηνη αξηζκνί νλνκάδνληαη πξώηνη θαη πνηνη ζύλζεηνη; Να δώζεηε παξαδείγκαηα. ΑΠΑΝΣΗΗ 1 Όηαλ έλαο αξηζκόο δηαηξείηαη

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c.

ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) v t. αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mickelson-Morley είλαη c =c. ΥΔΣΙΚΟΣΗΣΑ Μεηαζρεκαηηζκνί Γαιηιαίνπ. (Κιαζηθή ζεώξεζε) y y z z t t Σν νπνίν νδεγεί ζην όηη = - π.(άηνπν), αθνύ ζύκθσλα κε ηα πεηξάκαηα Mikelson-Morley είλαη =. Δπίζεο y = y, z = z, t = t Σν νπνίν ( t

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014

ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 ΠΑΡΔΜΒΑΔΙ ΔΤΑΙΘΗΣΟΠΟΙΗΗ ΚΑΙ ΠΡΟΛΗΨΗ ΓΙΑ ΣΟΝ HIV/AIDS ΣΗΝ ΑΚΣΟΓΡΑΜΜΗ ΣΩΝ ΠΔΡΙΦΔΡΔΙΑΚΩΝ ΔΝΟΣΗΣΩΝ ΣΗ ΚΔΝΣΡΙΚΗ ΜΑΚΔΓΟΝΙΑ ΑΤΓΟΤΣΟ 2014 Σν ΚΔ.ΔΛ.Π.ΝΟ., Γξαθείν Θεζζαινλίθεο θαη ε Γηεύζπλζε Γεκόζηαο Τγείαο ηεο

Διαβάστε περισσότερα

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ

Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ. 14 Σεπηεκβξίνπ Η Ύςσζε ηνπ Τηκίνπ Σηαπξνύ 14 Σεπηεκβξίνπ Ση γηνξηάδνπκε ηελ εκέξα ηεο ύςσζεο ηνπ Σηκίνπ ηαπξνύ (1/6) Τν έηνο 326 ε Αγία Ειέλε πήγε ζηελ Ιεξνπζαιήκ γηα λα πξνζθπλήζεη ηνπο Αγίνπο Τόπνπο θαη λα επραξηζηήζεη

Διαβάστε περισσότερα

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π

Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Τ ξ ε ύ ο ξ π ς ξ σ ξ ο ί ξ σ _ Ι ε ο α μ ε ι κ ό π Α ο υ ι ς ε κ ς ξ μ ι κ ή ρ ύ μ θ ε ρ η 6 Τ ξ μ έ α π ΘΘΘ, X ώ ο ξ π κ α ι Δ π ι κ ξ ι μ χ μ ί α Η έ μ α : Διδάρκξμςεπ: Τξ εύοξπ ςξσ ξοίξσ Ιεοαμεικόπ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ

ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ ΠΡΩΣΟΚΟΛΛΑ ΓΙΑΥΔΙΡΗΗ ΣΩΝ ΣΔΡΗΓΟΝΙΚΩΝ ΒΛΑΒΩΝ Δ ΔΝΗΛΙΚΔ Σν ζύγρξνλν πξόηππν αληηκεηώπηζεο ηεο ηεξεδόλαο ελειίθσλ δελ εζηηάδεηαη κόλν ζηελ απνθαηάζηαζε ησλ ηεξεδνληθώλ βιαβώλ πνπ έρνπλ εθδεισζεί, αιιά έρεη

Διαβάστε περισσότερα

Θέμαηα Καγκοσρό 2009 Δπίπεδο: 3 (γηα καζεηέο ηεο Α' θαη Β' ηάμεο Γπκλαζίνπ)

Θέμαηα Καγκοσρό 2009 Δπίπεδο: 3 (γηα καζεηέο ηεο Α' θαη Β' ηάμεο Γπκλαζίνπ) Μιτάλης Λάμπροσ Νίκος Κ. Σπαοσδάκης Θέμαηα Καγκοσρό 009 Δπίπεδο: (γηα καζεηέο ηεο Α' θαη Β' ηάμεο Γπκλαζίπ) Δξσηήζεηο βαζκώλ: ) Πηο από ηπο παξαθάησ αξηζκύο είλαη δπγόο (δειαδή άξηηο); 009 9 Β) 008 009

Διαβάστε περισσότερα