Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον"

Transcript

1 Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον

2 Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταμαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα- θύτερα,ναβελτιώσειςτηνεπίδοσήσουαλλάκαινατααγαπήσειςπε- ρισσότερο. Τοβιβλίοακολουθεί,γιαδιδακτικούςλόγους,πιστάτηδοµήτουσχολι- κούβιβλίου.κάθεενότηταπεριέχει: τηθεωρίασεµορφήερωτήσεων-απαντήσεων,µεσχόλιακαιπαρατη- ρήσεις, υποδειγµατικάλυµένεςασκήσειςπουσυνοδεύονταισυχνάαπόχρήσι- µεςµεθόδους, προτεινόµενεςασκήσειςκαιερωτήσειςκατανόησηςµεσκοπότηναυτε- νέργειακαιτηναπόκτησηαυτοπεποίθησης. Στοτέλοςτουβιβλίουπεριέχονταιυποδείξειςήαπαντήσειςσεόλεςτις προτεινόµενεςασκήσεις,καθώςκαιοιλύσειςόλωντωνασκήσεωντου σχολικούβιβλίου,κάτιπουκαθιστάτοβιβλίοιδιαίτεραφιλικόαλλάκαι εξαιρετικάχρήσιµο. Θέλουµεναευχαριστήσουµετηνειδικήσυνεργάτηµας,µαθηµατικό, ΙωάνναΣτεργίουγιατιςπολύτιµεςπαρεµβάσειςτηςστοπεριεχόµενοτου βιβλίουκαιτονσυνάδελφο ηµήτρητσάκοπουείχετηνεπιµέλειατης έκδοσης. Οισυγγραφείς

3 Περιεχόµενα Α Μέρος:Άλγεβρα Ενότητα1: Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις...11 Ενότητα2: Εξισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...40 Ενότητα3: Επίλυσητύπων...41 Ενότητα4: Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων οΚριτήριοΑξιολόγησης...57 Ενότητα5: Ανισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...71 Ενότητα6: Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...84 Ενότητα7: Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί...85 Ενότητα8: Προβλήµατα...93 Ενότητα9: Ηέννοιατηςσυνάρτησης...99 Ενότητα10: Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης Ενότητα11: Ησυνάρτηση y=αx Ενότητα12: Ησυνάρτηση y=αx+β Ενότητα13: Ησυνάρτηση y= α -Ηυπερβολή x 5οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα14: ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα Ενότητα15: Γραφικέςπαραστάσεις Ενότητα16: Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων Ενότητα17: Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων Ενότητα18: Μέσητιµή- ιάµεσος Β Μέρος:Γεωµετρία Ενότητα19: Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας Ενότητα20: Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών οΚριτήριοΑξιολόγησης...206

4 Ενότητα21: Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα22: Πυθαγόρειοθεώρηµα οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα23: Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας Ενότητα24: Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας Ενότητα25: Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης Ενότητα26: Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα27: Ηέννοιατουδιανύσµατος Ενότητα28: Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων Ενότητα29: Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες Ενότητα30: Εγγεγραµµένεςγωνίες Ενότητα31: Κανονικάπολύγωνα Ενότητα32: Μήκοςκύκλου Ενότητα33: Μήκοςτόξου Ενότητα34: Εµβαδόνκυκλικούδίσκου Ενότητα35: Εµβαδόνκυκλικούτοµέα οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα36: Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο Ενότητα37: Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα38: Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα39: Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης Ενότητα40: Οκώνοςκαιταστοιχείατου Ενότητα41: Ησφαίρακαιταστοιχείατης οΚριτήριοΑξιολόγησης ΣυµπληρωµατικέςασκήσειςστηνΆλγεβρα Γ Μέρος:Απαντήσεις Απαντήσεις-ΛύσειςΠροτεινόµενωνΑσκήσεων Απαντήσεις-ΛύσειςΑσκήσεωνΣχολικούΒιβλίου...554

5

6 Α. Η έννοια της µεταβλητής - Παραστάσεις Τι ονοµάζεται µεταβλητή και πώς συµβολίζεται; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα, το οποίο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής αλφαβήτου, για παράδειγµα µε α, β, γ, δ, x, y, z, t, κ.λπ. Σχόλιο Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό τρόπο διάφορες προτάσεις ή ιδιότητες των αριθµών. α) Τι λέγεται αριθµητική παράσταση; β) Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθ- µούς. Τον αριθµό που θα βρούµε, αν εκτελέσουµε όλες τις πράξεις σε µια αριθ- µητική παράσταση, τον λέµε τιµή της παράστασης. 11

7 Για παράδειγµα, η παράσταση Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) είναι αριθµητική και η τιµή της είναι ίση µε: Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) = 8 ( 6) (+9) : ( 9) = = ( 1) = = 15 β) Αλγεβρική λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. Για παράδειγµα, η παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 είναι αλγεβρική. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές της µε αριθµούς, τότε η τιµή της αριθµητικής παράστασης που προκύπτει λέγεται τιµή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγµα, η τιµή της παράστασης Α = α 2 + β 2 α + β + 1 για α = 2 και β = 3 είναι: Α = ( 3) ( 3) + 1 = = 9 Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστασης. Για παράδειγµα, στην παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 οι όροι είναι οι α 2, β 2, α, β, 1. Εφαρµογή1.1 Ναεκφραστούνοιπαρακάτωπροτάσειςµετηβοήθειαµεταβλητών: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατάπέντε. β) Τοάθροισµακαιηδιαφοράδύοαριθµών. γ) Τοδιπλάσιοτηςδιαφοράςδύοαριθµών. δ) Τοκόστοςγιανααγοράσουµεδύοκιλάµήλακαιτρίακιλάροδάκινα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότετοτριπλάσιότουείναι3x.Εποµένως,το τριπλάσιοτουαριθµού,αυξηµένοκατά5,εκφράζεταιµετηνπαράσταση 3x+5. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνεκφράζεταιµετηνπαράσταση α+β καιηδιαφοράτους µε α β, όπουακαιβείναιοιαριθµοίαυτοί. γ) Ανα,βείναιοιδύοαριθµοί,τότεηδιαφοράτουςείναιηπαράσταση α β. Άρατο διπλάσιοτηςδιαφοράςτουςεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2(α β). δ) Αντοένακιλόµήλακοστίζει x καιτοένακιλόροδάκινακοστίζει y, τότεη αξίαδύοκιλώνµήλακαιτριώνκιλώνροδάκιναεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2x+3y. 12 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

8 Εφαρµογή1.2 ίνεταιηπαράσταση Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β α) ΠοιεςείναιοιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑ; β) ΠοιοιείναιοιόροιτηςπαράστασηςΑ; γ) ΠοιαείναιητιµήτηςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1; ΛΥΣΗ α) ΟιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑείναιοιακαιβ. β) ΟιόροιτηςπαράστασηςΑείναιοια 3, 3α 2 β,3αβ 2, β 3,10. γ) ΓιαναβρούµετηντιµήτηςαλγεβρικήςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1, θα αντικαταστήσουµετιςµεταβλητέςα,βµετιςτιµέςτους 2και 1αντίστοιχα.Θέτου- µελοιπόν α= 2 και β= 1, οπότεπαίρνουµε: Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β 3 +10=( 2) 3 3( 2) 2 ( 1)+3( 2)( 1) 2 ( 1) 3 +10= = 8 3(+4)( 1)+3( 2) 1 ( 1)+10= 8 3( 4) = = = =23 14=9 Β. Επιµεριστική ιδιότητα - Αναγωγή όµοιων όρων Να γραφεί η επιµεριστική ιδιότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η επιµεριστική ιδιότητα διατυπώνεται µε µεταβλητές ως εξής: α(β + γ) = αβ + αγ Επειδή το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία ( ), µπορεί να παραλειφθεί, η επιµεριστική ιδιότητα γράφεται και µε τη µορφή α(β + γ) = αβ + αγ ή ακόµα και µε τη µορφή (α + β)γ = αγ + βγ. Επειδή η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και ως προς την αφαίρεση, γενικότερα έχουµε: α(β + γ) = αβ + αγ και α(β γ) = αβ αγ Αξίζει επίσης να τονίσουµε ότι κατά την επιµεριστική ιδιότητα το πρόσηµο που βρίσκεται µπροστά από την παρένθεση παίζει σηµαντικό ρόλο: α(β + γ) = αβ αγ, α(β γ) = αβ + αγ α(β + γ δ) = αβ + αγ αδ, α(β γ δ) = αβ + αγ + αδ 13

9 Για παράδειγµα είναι 2(α 3) = 2α + 6 και όχι 2α 6, διότι ( 2)( 3) = +6. Αν έχουµε περισσότερες από δύο µεταβλητές, ισχύει ότι: Σχόλιο Σε ορισµένες περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα την εφαρµόζουµε από την αντίθετη κατεύθυνση, «βγάζοντας» έναν κοινό παράγοντα. Γράφουµε δηλαδή ότι: Για παράδειγµα είναι: αβ + αγ = α(β + γ) και αγ + βγ = (α + β)γ 2x + 2y = 2(x + y), 3α 3β = 3(α β) 5κ + 5λ = 5(κ λ), 3α 6β = 3(α + 2β) Βλέπουµε λοιπόν ότι αν ο κοινός παράγοντας είναι αρνητικός αριθµός, τότε το πρόσηµο των όρων που µένουν στην παρένθεση αλλάζει: 5κ + 5λ = 5(κ λ) Τι λέγεται αναγωγή όµοιων όρων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αναγωγή όµοιων όρων λέγεται η διαδικασία µε την οποία µια αλγεβρική παράσταση γράφεται σε απλούστερη µορφή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της επι- µεριστικής ιδιότητας. Για παράδειγµα είναι: 3α + 5α = (3 + 5)α = 8α, 4α 7α = (4 7)α = 3α 2α 4α + 3α = ( )α = 1 α = α, 6y + 3y 10y = ( )y = 1y = y Τονίζουµε ότι µπορούµε να γράψουµε: (1 x = x και 1 x = x) ή (x = 1 x και x = 1 x) ανάλογα µε την περίπτωση. 14 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

10 Εφαρµογή1.3 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 8α 3α+α β)7x 8x x γ) 2(α 2β) 3(2α β) δ) 3(x 2y)+2(3x y)+1 ΛΥΣΗ α) Επειδή α=1 α, είναι8α 3α+α=(8 3+1)α=6α. β) Επειδή x= 1 x είναι7x 8x x=(7 8 1)x= 2x. γ) Χρησιµοποιούµεπρώτατηνεπιµεριστικήιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ: 2(α 2β) 3(2α β) = 2α 4β 6α + 3β = 2α 6α 4β + 3β = δ) Μετονίδιοτρόποέχουµε: =(2 6)α+( 4+3)β= 4α β 3(x 2y)+2(3x y)+1= 3x+6y+6x 2y+1=( 3+6)x+(6 2)y+1=3x+4y+1 Εφαρµογή1.4 Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5,αν α+β= 1. β) Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β),αν α+β= 2. ΛΥΣΗ α) ΠρώταθααπλοποιήσουµετηνπαράστασηΑµετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιό- τηταςκαικάνονταςτηναναγωγήτωνόµοιωνόρων: Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5=2α 4 3β+3+α+6β+5= =2α+α 3β+6β 4+3+5=(2+1)α+( 3+6)β+4=3α+3β+4= =3(α+β)+4=3( 1)+4= 3+4=1 Τονίζουµεότιµπορούµεαπευθείαςναγράψουµε: 2α+α=3ακαι 3β+6β=3β διότι: 2+1=3και 3+6=3 β) Όπωςκαιστοερώτηµα(α),απλοποιούµεπρώτατηνπαράσταση: Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β)=3α 6β 6α+2β 5+β= =3α 6α 6β+2β+β 5= 3α 3β 5= 3(α+β) 5= = 3( 2) 5=6 5=1 15

11 1.5 Ναχρησιµοποιηθούνµεταβλητέςγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρικήπα- ράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Ηπερίµετροςενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτε- ροαπότοπλάτοςτου. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxτονέναναριθµόκαιµεyτονάλλοναριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Το x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Αν συµβολίσουµε µε y m τοπλάτοςτουορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότοπλά- τοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 1.6 Ναχρησιµοποιηθείµιαµεταβλητήγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρική παράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α)τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπα- τάτες,ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β)τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηανα- γραφόµενητιµήσυν19%φπα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι 5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσεαυ- τήτηντιµήείναι: 16 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

12 19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναιy+0,19y=(1+0,19)y=1,19y. 1.7 Nααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα αγ+βγ=(α+β)γ καικάνουµεαναγωγή όµοιωνόρων. α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=( )y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=( )ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=( )β= 2β. 1.8 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ)x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x ΛΥΣΗ Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµίαµόνοµεταβλητή.Εφαρµό- ζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. 17

13 = 7x+4ω. 1.9 NααπλοποιηθούνοιπαραστάσειςA,Bκαιστησυνέχειαναυπολογιστεί ητιµήτους: α)α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β)β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. ΛΥΣΗ α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 Βασικέςασκήσεις 1.10 Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιαπαράστασητιςεπό- µενεςφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούελαττωµένοκατά10. β) Τοδιπλάσιοτουαθροίσµατοςδύοαριθµών. γ) Τοµισότηςδιαφοράςδύοαριθµών. 18 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

14 δ) Ηπερίµετροςενόςισοσκελούςτριγώνου. ε) Τοεµβαδόνενόςορθογωνίουµεµήκος5. στ)ηδιαφοράτουαθροίσµατοςδύοαριθµώναπότο Ναγράψετεµετηβοήθειαµεταβλητώντιςφράσεις: α) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνακέραιωναριθµών. β) Ητιµήενόςπροϊόντοςµετάαπόέκπτωση 20%. γ) Οµέσοςόροςδύοαριθµώνείναι5. δ) Τοκόστοςδύοίδιωντετραδίωνκαιτριώνίδιωνβιβλίων Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 3x+2x+5x β) 5α+3α+α γ) 7x 3x x δ)6α+α 5α ε) 4y y+2y στ) 10β+3β+6β 1.13 Νακάνετεαναγωγήτωνόµοιωνόρων: α)5α 3β+2β 4α β) 2α β+3α 2β γ) 3x 4y 2x+3y δ) 5β+3γ+7β 4γ 1.14 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α+α+α β)α α α γ)3α+3α+3α δ)3α 3α 3α ε) α 2α 3α στ)( α)( 2α)( 3α) 1.15 Αν α= 1 και β= 2, ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις: α)α=α 2 β βα 3 β)β=β 3 :α 5 β( 3 2α) Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=3α 2β+3γ,ανα=2, β= 3, γ= 2 β)β=2(α β) 5(β+α),ανα=3, β= Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2(3α 2β 1) 3(2α 3β 2) β)β= 3(x 2y+3)+2(3x 3y+5) 19

15 1.18 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α= [ ( 2α β) (α β)] (α 2β) β)β= [ 2(α β) (β α)] (α β) 1.19 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=2(x y) 3(2x 5y) 2,ανx= 5, y= 2 β)β= 3(α 2β)+2( 2α+3β)+5,ανα= 3, β= Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=3α 3β,ανα β=10 β) Β= 2α 2β,ανα+β=5 3 3 γ) Γ= x+ y, ανx+y= Αν α+β= 7 και x y= 3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α=7 [ α (β+3)] [2+(y x)] 1.22 Αν x y= 5 και α β+γ=3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= x α+y+β γ 1.23 Ναεκφράσετεµετηβοήθειαµιαςµεταβλητήςτιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνάρτιων. β) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνπεριττώναυξηµένοκατά10. γ) Έναςπεριττόςαριθµόςαυξηµένοςκατάτοδιπλάσιοτουεπόµενούτουαριθ- µού Ναεκφράσετεµεµιαισότητατιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνπεριττώναριθµών,απότουςοποίουςοµεσ- σαίοςείναιο 2x+1, είναιίσοµε15. β) ΟΜιχάληςείναι4χρόνιαµεγαλύτεροςαπότονΓιώργοκαιτοµισότηςηλι- κίαςτουμιχάληισούταιµετο 1 6 τηςηλικίαςτουγιώργουαυξηµένοκατά8 χρόνια Απόποιαγινόµεναπροέκυψανοιπαρακάτωαλγεβρικέςπαραστάσεις; α) 2x+2y β) 3α 3β γ) 5x+5y δ) 4α 4β ε) 2x+4y στ) 3α+6β 20 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

16 1.26 Αν α+β=3, νααποδείξετεότι: α)3α (α 2β)=6 β)2(α β) 3(2α+β)+β= Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) { [ ] [ ]} β) [ ] A = 3 ( 4+ 3) + 2 ( 7+ 4) ( 2+ 7) { } B= 3 + ( 5+ 4) (6+ 3 7) ( 2+ 7) 1.28 Ναβρείτετηντιµήτωνπαρακάτωαριθµητικώνπαραστάσεων: α)α=( 2)(+3) ( 8):( 4) ( 3) 2 β)β=( 1)( 2) 2 ( 3) 2 :( 9) ( 5+3)( 2) γ)γ=( 3)( 2) ( 4+3) 2008 ( 1) 3 ( 4) δ) =( 8+7) ( 25):( 5) 2 3( 4+5) 1.29 Αν Α= ( 2α+β) (α+2β) και Β=2(α β) 3(α 2β), ναυπολογίσετετις παραστάσεις: α)α Β β)2β 3Α+5(α 3β) 1.30 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2( 3x+2y)+3(2x 3y) (x 2y) β)β= 3(α 2β)+2( 3α+β) (2α β)+11α γ)γ= 2(α 2β γ)+3(2α β 3γ) (2α β 3γ) 2(β 2γ) δ) =4(2α β+2γ) 2(α β+γ) 3(2α β γ) 9γ 1.31 Αν α β γ= 1, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= 3(α+β+γ) 4(β α γ)+2(3α 4γ) 1.32 Ναβρείτετηνπερίµετροτωνπαρακάτωσχηµάτων: 21

17 1.33 Ναβρείτετηνπλευράαενόςτετραγώνου,του οποίου το εµβαδόν ισούται µε το άθροισµα τωνεµβαδώντωνδιπλανώνορθογωνίων Αντοτρίγωνοέχειπερίµετρο 10cm, ναβρείτετηνπερίµετροτουορθογωνίου Ναβρείτετοεµβαδόντουδιπλανούορθογω- νίου. 22 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

18 Α. Ισότητες - Ιδιότητες Ποια σχέση µπορεί να υπάρχει ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β ισχύει πάντα µόνο µία από τις σχέσεις: α= β ή α< β ή α> β Η σχέση α = β λέγεται ισότητα, ενώ καθεµία από τις σχέσεις α < β, α > β λέγεται ανισότητα. Το σύµβολο «<» διαβάζεται «µικρότερο» και το «>» διαβάζεται «µεγαλύτερο». Ποιες ιδιότητες συνδέουν τις πράξεις και τις ισότητες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σε µια ισότητα µπορούµε να κάνουµε µία τουλάχιστον από τις επόµενες ενέργειες και να πάρουµε πάλι ισότητα. 23

19 Ιδιότητα 1η Αν στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α + γ = β + γ Ιδιότητα 2η Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 3η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 4η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, που δεν είναι µηδέν, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α = β, γ γ γ 0 Σχόλιο Από τις παραπάνω ιδιότητες µπορούµε να συµπεραίνουµε επίσης ότι: Αν α + γ = β + γ, τότε α = β. Αν α γ = β γ, τότε α = β. Αν αβ = αγ και α 0, τότε β = γ. α α β γ Αν = ή =, τότε β = γ. β γ α α Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γνωστές ως ιδιότητες της διαγραφής. 24 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

20 Εφαρµογή2.1 ίνονταιοιµεταβλητέςα,βκαιγ.νααποδειχθείότι: α) Αν α+β 3=γ+β 3, τότε α=γ. β) Αν 2α 3β+7=2α 3γ+7, τότε β=γ. γ) Αν αβ 8=αγ 8 και α 0, τότε β=γ. ΛΥΣΗ α) Κάνουµεδιαδοχικάτιςπαρακάτωενέργειες: α+β 3=γ+β 3 Προσθέτουµεσταδύοµέλητο3 α+β 3+3=γ+β 3+3ή α+β=γ+β Αφαιρούµεαπόταδύοµέλητοβ α+β β=γ+β βήα=γ β) Έχουµε: 2α 3β+7=2α 3γ+7 Αφαιρούµεσταδύοµέλητο7 2α 3β+7 7=2α 3γ+7 7ή 2α 3β=2α 3γ Αφαιρούµεσταδύοµέλητο2α 2α 3β 2α=2α 3γ 2αή 3β= 3γ ιαιρούµεκαιταδύοµέληµε 3 3β 3γ = 3 3 ήβ=γ γ) Έχουµε αβ 8=αγ 8. Προσθέτουµεκαισταδύοµέλητο8καιπαίρνουµε: αβ 8+8=αγ 8+8ήαβ=αγ Αφού α 0, διαιρούµεκαιταδύοµέληµεακαιπαίρνουµε: αβ αγ = ή β= γ α α Β. Πώς λύνουµε εξισώσεις Τι είναι εξίσωση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό x. 25

21 Σχόλια Ο άγνωστος µπορεί να συµβολίζεται και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Για παράδειγµα οι 3x + 2 = 17 2x, 2y 7 = 15 + y είναι εξισώσεις. Η πρώτη έχει άγνωστο τον x και η δεύτερη έχει άγνωστο τον y. Κάθε εξίσωση έχει δύο µέλη. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x, α µέλος είναι η παράσταση 3x + 2 και β µέλος είναι η παράσταση 17 2x. Τι λέγεται λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης λέγεται ο αριθµός που πρέπει να βάλουµε στη θέση του αγνώστου, ώστε η ισότητα που προκύπτει να αληθεύει. Για παράδειγµα, στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x ο αριθµός x = 3 είναι λύση, διότι: = ή = 17 6 ή 11 = 11 Η διαδικασία µε την οποία διαπιστώνουµε ότι κάποιος αριθµός είναι λύση µιας εξίσωσης λέγεται επαλήθευση. Ποια γενική αρχή εφαρµόζουµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν λύνουµε µια εξίσωση, χρησιµοποιούµε την εξής γενική αρχή: Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό τους. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x µπορούµε να φέρουµε τους άγνωστους όρους στο α µέλος και τους γνωστούς στο β µέλος ως εξής: 3x + 2x = 17 2 Αφού το 2x ήταν στο β µέλος και ήρθε στο α, έγινε +2x ενώ το +2 που ήταν στο α µέλος και πήγε στο β έγινε 2. Οι όροι 3x και 17 παρέµειναν στο µέλος που βρίσκονταν αρχικά, οπότε δεν άλλαξαν πρόσηµο. 26 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

22 Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην πορεία λύσης µιας εξίσωσης ακολουθούµε µε τη σειρά τα εξής βήµατα: 1ο Βήµα Απαλείφουµε, αν υπάρχουν, τους παρονοµαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο, και στα δύο µέλη, µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών αυτών. 2ο Βήµα Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. 3ο Βήµα Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, µεταφέροντας στο ένα µέλος όλους τους όρους που έχουν τον άγνωστο και στο άλλο µέλος αυτούς που είναι γνωστοί. 4ο Βήµα Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων. 5ο Βήµα ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του αγνώστου. 6ο Βήµα Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση. Σχόλιο Πολλές φορές, όταν λύνουµε µια εξίσωση, καταλήγουµε σε εξισώσεις της µορφής: 0x = 5, 0x = 7, 0x = 0 κ.λπ. Εξισώσεις, όπως για παράδειγµα οι 0x = 5, 0x = 7 λέγονται αδύνατες. Η εξίσωση 0x = 0 λέγεται ταυτότητα. 27

23 Συνοψίζοντας, έχουµε τα ακόλουθα: Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α, µε α 0 λέγεται αδύνατη. Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 λέγεται ταυτότητα (ή αόριστη). Εφαρµογή2.2 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 5x 7=3x+13 β) 2x+5=5x+17 γ) 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5) δ) 3(x 5)+7=9 2(x 1) ΛΥΣΗ Αφούδενυπάρχουνκλάσµαταδεναπαιτείταιπουθενάαπαλοιφήπαρονοµαστών. Ακολουθούµελοιπόνταυπόλοιπαβήµαταπουπεριγράψαµεπροηγουµένως: α) 5x 7 = 3x + 13 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 5x 3x=13+7 Αναγωγήόµοιωνόρων 2x=20 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου 2x 20 = 2 2 ή x = 10 Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςείναιη x=10. β) Εργαζόµαστεµετονίδιοτρόπο: 2x+5=5x+17 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 2x 5x=17 5 Αναγωγήόµοιωνόρων 3x=12 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου = 3 3 ή x = Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςαυτήςείναιη x= 4. Σχόλιο Μπορούµε να βεβαιωθούµε ότι η λύση που βρήκαµε είναι σωστή, κάνοντας επαλήθευση: 2x + 5 = 5x + 17 ή 2( 4) + 5 = 5( 4) + 17 ή = ή 3 = 3 Αφού η τελευταία ισότητα είναι σωστή, η λύση x = 4 είναι η σωστή. 28 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

24 γ) Εδώπρέπειπρώταναεκτελέσουµετιςπράξεις,ώστενααπαλλαχτούµεαπότιςπα- ρενθέσεις: 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5)ή2x 6 3x+6=4x 20ή 2x 3x 4x= 20ή 5x= 20ή 5x = 20 ή x = δ) Εργαζόµαστεακριβώςµετονίδιοτρόπο: 3(x 5)+7=9 2(x 1)ή 3x+15+7=9 2x+2ή 3x+2x= ή x= 11ή x = 11 ή x = Τονίζουµεότιαφού x= 11, οxείναιοαντίθετοςτου 11,δηλαδήο11.Εποµένως ηδιαίρεσηµετο 1µπορείκαιναπαραλειφθεί. Εφαρµογή2.3 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x) β) 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x) ΛΥΣΗ α) Ακολουθούµεταβήµαταπουπεριγράψαµεστηθεωρία: 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x)ή 3x x=8x xή 3x+10x 8x 5x= ή 0x= 7 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. β) Εκτελούµεαρχικάτιςπράξεις: 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x)ή 3x 3 6+2x=4x+8 17+xή 3x+2x 4x x= ή 0x=0 Ηεξίσωσηαυτήείναιταυτότητα,δηλαδήαληθεύειγιαόλεςτιςτιµέςτουx. 29

25 Εφαρµογή2.4 Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις: 2x x x+2 2x+5 α) = β) 3= γ) = x 2 1 x+2 1 x 2 1 x 4 δ) +2 4 = ΛΥΣΗ Όλεςοιεξισώσειςέχουνκλάσµατα,οπότεπρώτακάνουµεαπαλοιφήπαρονοµαστών. 2x x α) = 5 3 Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=15 2x x 15 = 15 ή 5 3 Απαλείφουµετουςπαρονοµαστές 3(2x+3)=5(4 x)ή Εκτελούµετιςπράξειςκατάταγνωστά 6x+9=20 5xή 6x+5x=20 9ή 11x = 11 ή 11x 11 = ή x = 1 Άλλοςτρόπος A Γ Ότανέχουµεεξίσωσητηςµορφής =, B δηλαδήµεδύοµόνοόρουςπουείναικλά- σµατα,τότεπροτιµάµετηµέθοδοτουχιαστί: Έχουµελοιπόν: 2x x = ή 3(2x + 3) = 5(4 x) ή6x+9=20 5xή 5 3 6x+5x=20 9ή11x=11ήx=1 β) Εδώείναι ΕΚΠ=12, οπότεπολλαπλασιάζουµεόλουςτουςόρουςκαισταδύοµέ- ληµετο12: x+ 2 2x = ή3(x+2) 36=12 4(2x+5)ή 4 3 3x+6 36=12 8x 20ή3x+8x= ή 11x 22 11x=22ή = ή x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

26 γ) ΤοΕΚΠτωναριθµών2,3,4,6είναιτο12.Άρα: 3x 2 x 2 x 2 x = ή (3x 2) 4(x 2)=3(x 2) 2(x 14)ή 18x 12 4x+8=3x 6 2x+28ή 18x 4x 3x+2x= ή 13x 26 13x = 26 ή = ή x = x+ 2 δ) Οόρος + 2 µαςεπιβάλλειναεκτελέσουµετονπολλαπλασιασµό.τοίδιο x 2 καιοόρος 4, διότιδιαφορετικάηαπαλοιφήπαρονοµαστώνείναιαρκετά 4 2 δύσκολη.μετηνεπιµεριστικήιδιότηταπαίρνουµελοιπόν: 1 x+ 2 1 x 2 1 x = ή x+ 2 x 2 x = ή Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=24 x+ 2 x 2 x = ή 4(x+2)+3(x 2)=2(x 4)ή 4x+8+3x 6=2x 8ή4x+3x 2x= 8 8+6ή 5x = 10 ή 5x 10 = 5 5 ή x = 2 ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΑΛΑΘΗ Σωστήπράξη 5 2(x 3) = 5 2x+ 6= = 11 2x x 2 = 3 1(x 2) = 6 = 3 x+ 2= 5 x Λάθοςπράξη 5 2(x 3) = 5 2x 6= = 1 2x x 2 = 3 x 2= 6 = 1 x 31

27 3 1 6 Σωστήπράξη x 5 = 1 3(x 5) = 2 = 1 3x+ 15= 16 3x Λάθοςπράξη x 5 = 1 3 x 5= 2 = 1 5 3x= 4 3x Απόταπαραπάνωσυµπεραίνουµεότι: Ότανεφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητακαιοαριθµόςµετονοποίοπολ- λαπλασιάζουµεέχειµπροστάπλην,τότετοπρόσηµοτωνγινοµένωναλλάζει: α(β+γ)= αβ αγ, α(β γ)= αβ+αγ Αν,κατάτηναπαλοιφήπαρονοµαστών,τοΕΚΠκαιοπαρονοµαστήςκάποιου κλάσµατοςείναιίσοι(άραδιαγραφόµενοιδίνουν1),οαριθµητήςτουκλάσµα- τοςπρέπειναµπεισεπαρένθεση. Γ. Η εξίσωση αx = β Για τη λύση της εξίσωσης αx = β µπορούµε να διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν α 0, τότε διαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε α, οπότε: αx = β ή 2η περίπτωση αx = β α α ή x = β α Αν α = 0, τότε προφανώς, δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε α. ιακρίνουµε, λοιπόν, περιπτώσεις για το β. Αν β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθµός που να πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν (α = 0) και να δίνει αποτέλεσµα κάποιον µη µηδενικό αριθµό (β 0). 32 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

28 Αν β = 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη µορφή 0x = 0 και επαληθεύεται για κάθε τιµή του x. Η εξίσωση σ αυτή την περίπτωση λέµε ότι είναι αόριστη ή ταυτότητα. Σχόλια Τα παραπάνω συµπεράσµατα µπορούν να συγκεντρωθούν στον παρακάτω πίνακα: β Αν α 0 τότε x =. α αx = β Αν α = 0 και β 0, τότε είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε είναι αόριστη ή ταυτότητα. Μια εξίσωση πρώτου βαθµού µπορεί να έχει µοναδική λύση, να είναι αδύνατη ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν σε µια άσκηση ζητούνται οι τιµές των α, β, ώστε: η εξίσωση αx = β να είναι αόριστη ή ταυτότητα, τότε απαιτούµε: α = 0 και β = 0 η εξίσωση αx = β να είναι αδύνατη, τότε απαιτούµε α = 0 και β 0. Εφαρµογή2.5 ίνεταιηεξίσωση (λ 1)x=8. α) Ναλυθείηεξίσωσηγια λ=3. β) Ναλυθείηεξίσωσηόταν λ 1. γ) Τισυµπεραίνετεγιατηνεξίσωσηαν λ=1; δ) Γιαποιατιµήτουληεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό2; ΛΥΣΗ α)για λ=3 ηεξίσωση (λ 1)x=8 γίνεται: 2x 8 (3 1)x= 8 ή 2x= 8 ή = ή x= β)όταν λ 1 είναι λ 1 0. Μπορούµελοιπόνναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέλητης εξίσωσηςµε λ 1, οπότεπαίρνουµε: 33

29 (λ 1)x 8 8 = ή x= λ 1 λ 1 λ 1 γ)αν λ=1, τότεαντικαθιστώνταςστηνεξίσωση (λ 1)x=8 τολµετο1,βρίσκουµε: (1 1)x=8ή0x=8 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. δ) Αφούθέλουµεηεξίσωσηναέχειλύσητοναριθµό2,πρέπειηεξίσωση (λ 1)x=8 ναεπαληθεύεταιγια x=2. Πρέπειδηλαδή: (λ 1)2=8ή2(λ 1)=8ή2λ 2=8ή2λ=8+2ή 2λ 10 2λ = 10 ή = ή λ = Στοδιπλανότρίγωνονασυµπληρωθούντακυ- κλάκιαµεαριθµούςέτσι,ώστετοάθροισµατων αριθµώνπουβρίσκονταιστιςκορυφέςκαθενός απότατρίγωναπουσχηµατίζονταιναείναιπά- ντοτετοίδιο. ΛΥΣΗ Αςβάλουµεταγράµµαταα,β,γστακυκλάκιαπουείναι κενά.πρέπει: 13+α+γ=β+α+γή13=βήβ=13 διότιοιόροια,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 19+α+β=γ+α+βή19=γήγ=19 διότιοιόροια,βπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 15+γ+β=α+γ+βή15=αήα=15 διότιοιόροιβ,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδιαγράφονται. 34 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

30 Αφούλοιπόν α=15, β=13 και γ=19, τοµαγικόαυτό τρίγωνοσυµπληρώνεταιόπωςφαίνεταιστοσχήµα. 2.7 Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)5+ =30 β)9 =20 γ)5 =35 δ) 12=30 ε) 3 4=17 δ)5 9 = Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)αν β 0, τότεηεξίσωση 0x=β είναι β)αν α=β=0, τότεηεξίσωση αx=β είναι γ)αν α+β=α+γ, τότε Αν αβ=αγ και α 0, τότε δ)αν α=β, τότεηεξίσωση (α β)x=β 2 α 2 είναι ε) Ανηεξίσωση (λ 1)x=3 δενείναιαδύνατη,τότε 2.9 Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςήµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. α) Ηεξίσωση 2x 7=5x+20 έχειλύσητοναριθµό 9. β) Ηεξίσωση 7x=42 έχειλύσητοναριθµό 6. γ) Ηεξίσωση 3x=18 έχειλύσητοναριθµό6. δ) Ηεξίσωση 3x 5=4+3x είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση x+3=1+x+2 είναιταυτότητα. στ)ηεξίσωση 0x=2 είναιαδύνατη. ζ) Ηεξίσωση 0y=0 είναιταυτότητα. 35

31 Βασικέςασκήσεις 2.10 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 2x+21=4+x β)3(x 4)+2(x+5)=2x+25+4(x 8) γ) 2(2x 1)+11=4(x+1)+5 δ)x+18 4(x+6)=3(6 x) 2.11 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 3x+7=4x+5 β) 3x+6+2x=5x 6 6x+12 γ) 2x+4=6x 7 4x δ)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) ε) 4(5x+12) 2(19x+6)=18(2 x) στ)8x 4(3x 1)=1 (4x+1) 2.12 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: x 2 1 x α) + 1 = β) x x + = γ) x x 10 5 x + + = δ) x x = + x Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: 2x + 1 5x 8 α) = β) Ναλύσετετιςεπόµενεςεξισώσεις: x 2 2 x x 2 α) = x 5 β) (x 1) (x 8) = 2 3 5x + 2 x + 1 2x 1 + = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

32 γ) ε) 2(x + 1) x + 2(x + 2) x x + = + δ) 25x [ ] (5 6x) = 3x + 19 (4x 5) 3 x 1 x x 1 = στ) x x = x Νααποδείξετεότιοιπαρακάτωεξισώσειςεπαληθεύονταιγιακάθετιµήτουαριθ- µούx. α) 3(x+5) (5 6x)=2(4x+3)+x+4 β) 2x 3 x 3 3x + = Νααποδείξετεότιδενυπάρχειαριθµόςxπουναεπαληθεύειτιςπαρακάτωεξι- σώσεις: α) 2(x+3) (x+7)=x 5 5x + 1 3x 1 5 2x β) = x 1 γ) 3 4x + 1 2x = δ)(x 1)x=x 2 (x+2) 2.17 ίνεταιηεξίσωση λ(x+3) 4=(2λ 3)x+8. α)αν λ=2, νααποδείξετεότιηεξίσωσηέχειλύση x=6. β) Ανηεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό x=4, ναβρείτετηντιµήτουλ. γ) Ναλύσετετηνεξίσωσηγια λ= Ναβρείτετιςτιµέςτουα,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαδύνατες: α)(α 3)x=5 β) [ 3(α 1) + 6] x = Ναβρείτετιςτιµέςτουλ,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαόριστεςήταυ- τότητες: α)(λ 4)x=0 β) [ 2(1 λ) + 4] x = Ναβρείτεταx,yσταπαρακάτωσχήµατα: Στησυνέχειαναυπολογίσετετηνπερίµετροτουκάθεσχήµατος. 37

33 2.21 Ναεξετάσετεανυπάρχειτιµήτουx,ώστετοτρίγωνοΑΒΓ ναείναιισόπλευρο. Συµπληρωµατικέςασκήσεις 2.22 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x 3 2x 3 3x 1 3 x x 2 2x 1 α) = + x β) = x x 3x 5 x+ 6 x γ) + = δ) x+ 4 x 4 3x 1 = ΤοτραπέζιοΑΒΓ είναιισοσκελέςκαιτούψος τουείναιίσοµε8.ναβρείτε: α) τοx, β) τηβάση Γ,αν ΕΓ=26, γ) τηνπερίµετροκαιτοεµβαδόντουαβγ Ναλύσετετιςεξισώσεις: 6 3x 2x 1 x 4 α) = β) (x 3) 4 1 2(x 3) 6 3(x 3) = ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκη τωνπλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ Ναλύσετετιςεξισώσεις: α) 3x 3(x+1)=x+2(x+1)+1 2(x 1) 2 1 5x β) = 2 4 x+ 4 x 4 1 3x γ) = 2 δ) 1 1 x (x + 5) 7 = (1 x) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

34 2.27 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x+ 1 3x+ 2 7x 2 x+ 1 3x x x+ 2 α) = 3 x β) = x 2 3 2x 5+ x 9+ 4x 1 1 γ) + = δ) 2x (19 2x) = (2x 11) Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) x 1 x x = 3 12 β) 1 x 8 2 x 5 6 3x 3(x 5) = x x 7 γ) 5 4x 7x = 9x x 1 x + 3 δ) 3 x 1 2 x = 5x Ναλύσετετιςεξισώσεις: 7+ x α) = 26 3 β) {[ ] } 3+ 5 (x+ 7): = ίνεταιηεξίσωση λx 5=2x+7. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετηντιµήτουλ,ώστεηεξίσωσηναείναιαδύνατη ίνεταιηεξίσωση αx+3µ=x+6. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαόριστηήταυ- τότητα. γ) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαδύνατη. 39

35 Θέµα1ο α) Τιονοµάζεταιεξίσωση; β) Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: i) Αν α=β, τότε α+γ= + ii) Αν α=β και γ 0, τότε α γ = iii)ηεξίσωση 0x=5 είναι iv)ηεξίσωση 0x= είναιταυτότητα. γ) Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςκαιµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. i)αν α=β, τότε α γ=β γ. ii) Αν x=y και α 0, τότε x = y. α α iii)αν αγ=βγ, τότε α=β. iv)ηεξίσωση 0x=β είναιπάντααδύνατη. Θέµα2ο Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) β) 8x 4(3x 1)=1 (4x+1) γ) 3 x x 2 x 2x = Θέµα3ο ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκητων πλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ. 40 1οΚΡΙΤΗΡΙΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων

Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)

Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά

Διαβάστε περισσότερα

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι

Όταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0

2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 1 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση 1 ου βαθµού µε άγνωστο x Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή αx + β = 0. Tο x είναι ο άγνωστος, το α ο συντελεστής του αγνώστου και το β ο σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.

Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

2ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα

2ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα Θεωρία για τα µονώνυµα-πολυώνυµα Σελ. 1 1. Εκφράσεις στις οποίες συνδυάζονται πράξεις µεταξύ αριθµών και µεταβλητών (γραµµάτων) τις ονοµάζουµε αλγεβρικές παραστάσεις. Πχ. -3x+4ψ, 3 x4 α 3 x + y, 3z α.

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ

1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ . A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q

Διαβάστε περισσότερα

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ

ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα

Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:

Διαβάστε περισσότερα

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ

2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος

Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος 1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç

ÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ

3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ . ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( ) Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης

Διαβάστε περισσότερα

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ

7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ 1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

εξίσωση πρώτου βαθμού

εξίσωση πρώτου βαθμού κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μεταβλητή Ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω, ( ελληνικό ή λατινικό) πο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα... Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß

ÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.

Η εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη. ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.

Σύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ. Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί

4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)

Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ε ΝΟΤΗΤΑ 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Μαθηματικές Προτάσεις Πλοηγηθείτε: http://www.youtube.com/watch?v MtmJ3BArAgA Διαβάστε: Λ. Κάρολ, Η Αλίκη στη Χώρα των Θαυμάτων, Εκδόσεις Πατάκη Δείτε: Alice in

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

1.2 Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1 1. Α. ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ MΟΝΩΝΥΜΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Αριθµητική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών. Αλγεβρική παράσταση : Είναι η παράσταση που περιέχει πράξεις µεταξύ αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού)

2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 2ο video (επίλυση ανίσωσης 1 ου βαθμού) 1 Γεια σας και πάλι! Συγχαρητήρια για την επιτυχία σας στην πρώτη ενότητα! 2 Σε αυτό το video θα θυμηθούμε τη διαδικασία επίλυσης πρωτοβάθμιας ανίσωσης, δηλαδή όλα

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή,

Ρητοί αριθμοί είναι αυτοί που έχουν (ή μπορεί να πάρουν) κλασματική μορφή, ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ Οι αριθμοί 0,1,,,4, είναι οι Φυσικοί αριθμοί. Οι Φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετούς τους αποτελούν τους Ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή ακέραιοι είναι οι αριθμοί,-,-,-1,0,1,,,

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο

Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο 1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

2.4 ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ. Κλασµατική εξίσωση : Ονοµάζουµε κλασµατική εξίσωση κάθε εξίσωση η οποία έχει τον άγνωστο σ έναν τουλάχιστον παρονοµαστή. ΣΧΟΛΙΟ ιαδικασία επίλυσης : i) Αναλύουµε τους παρονοµαστές

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις

Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις 1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!!

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ. Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΠΕΡΙΕΧΕΙ: ΘΕΩΡΙΑ ΤΥΠΟΥΣ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ Τώρα τα κατάλαβα όλα...και τα θυµάµαι όλα!!! ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info τηλ. 6977-85-58 1 ΛΑΖΑΡΙ Η ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ www.lzridi.info

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον;

3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; EΞΙΣΩΣΕΙΣ Ε ξ ι σ ω σ η ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 0 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Εστω η εξισωση: α+β=0 () Λυση η ριζα. της Aν εξισωσης α, β θετικοι λεγεται, να συγκρινεται κάθε τιμη τους του πραγματικου

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών

Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα

Διαβάστε περισσότερα

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

1.5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ .5 ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ταυτότητα : Λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει µεταβλητές και αληθεύει για οποιεσδήποτε τιµές των µεταβλητών της.. Αξιοσηµείωτες ταυτότητες : Είναι ταυτότητες που χρησιµοποιούµε

Διαβάστε περισσότερα

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς

Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ Κάθε εξίσωση της µορφής α + β = γ όπου α + β 0 ( α, β όχι συγχρόνως 0) παριστάνει ευθεία. (Η εξίσωση λέγεται : ΓΡΑΜΜΙΚΗ) ΕΙ ΙΚΑ γ Αν α = 0 και β 0έχουµε =. ηλαδή µορφή = c.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Α. Άλγεβρα ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ στα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Άλγεβρα 1. Τι ονομάζεται ακέραια αλγεβρική παράσταση και τι είναι μονώνυμο; Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι μονώνυμα; 3xa,, 5, x 3, 5 x a (σελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 51 1. ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Πολυώνυμα Όπως είδαμε στην προηγούμενη ενότητα Το άθροισμα όμοιων μονώνυμων είναι ένα μονώνυμο όμοιο

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα