Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον"

Transcript

1 Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον

2 Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταμαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα- θύτερα,ναβελτιώσειςτηνεπίδοσήσουαλλάκαινατααγαπήσειςπε- ρισσότερο. Τοβιβλίοακολουθεί,γιαδιδακτικούςλόγους,πιστάτηδοµήτουσχολι- κούβιβλίου.κάθεενότηταπεριέχει: τηθεωρίασεµορφήερωτήσεων-απαντήσεων,µεσχόλιακαιπαρατη- ρήσεις, υποδειγµατικάλυµένεςασκήσειςπουσυνοδεύονταισυχνάαπόχρήσι- µεςµεθόδους, προτεινόµενεςασκήσειςκαιερωτήσειςκατανόησηςµεσκοπότηναυτε- νέργειακαιτηναπόκτησηαυτοπεποίθησης. Στοτέλοςτουβιβλίουπεριέχονταιυποδείξειςήαπαντήσειςσεόλεςτις προτεινόµενεςασκήσεις,καθώςκαιοιλύσειςόλωντωνασκήσεωντου σχολικούβιβλίου,κάτιπουκαθιστάτοβιβλίοιδιαίτεραφιλικόαλλάκαι εξαιρετικάχρήσιµο. Θέλουµεναευχαριστήσουµετηνειδικήσυνεργάτηµας,µαθηµατικό, ΙωάνναΣτεργίουγιατιςπολύτιµεςπαρεµβάσειςτηςστοπεριεχόµενοτου βιβλίουκαιτονσυνάδελφο ηµήτρητσάκοπουείχετηνεπιµέλειατης έκδοσης. Οισυγγραφείς

3 Περιεχόµενα Α Μέρος:Άλγεβρα Ενότητα1: Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις...11 Ενότητα2: Εξισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...40 Ενότητα3: Επίλυσητύπων...41 Ενότητα4: Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων οΚριτήριοΑξιολόγησης...57 Ενότητα5: Ανισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...71 Ενότητα6: Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...84 Ενότητα7: Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί...85 Ενότητα8: Προβλήµατα...93 Ενότητα9: Ηέννοιατηςσυνάρτησης...99 Ενότητα10: Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης Ενότητα11: Ησυνάρτηση y=αx Ενότητα12: Ησυνάρτηση y=αx+β Ενότητα13: Ησυνάρτηση y= α -Ηυπερβολή x 5οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα14: ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα Ενότητα15: Γραφικέςπαραστάσεις Ενότητα16: Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων Ενότητα17: Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων Ενότητα18: Μέσητιµή- ιάµεσος Β Μέρος:Γεωµετρία Ενότητα19: Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας Ενότητα20: Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών οΚριτήριοΑξιολόγησης...206

4 Ενότητα21: Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα22: Πυθαγόρειοθεώρηµα οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα23: Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας Ενότητα24: Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας Ενότητα25: Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης Ενότητα26: Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα27: Ηέννοιατουδιανύσµατος Ενότητα28: Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων Ενότητα29: Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες Ενότητα30: Εγγεγραµµένεςγωνίες Ενότητα31: Κανονικάπολύγωνα Ενότητα32: Μήκοςκύκλου Ενότητα33: Μήκοςτόξου Ενότητα34: Εµβαδόνκυκλικούδίσκου Ενότητα35: Εµβαδόνκυκλικούτοµέα οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα36: Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο Ενότητα37: Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα38: Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα39: Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης Ενότητα40: Οκώνοςκαιταστοιχείατου Ενότητα41: Ησφαίρακαιταστοιχείατης οΚριτήριοΑξιολόγησης ΣυµπληρωµατικέςασκήσειςστηνΆλγεβρα Γ Μέρος:Απαντήσεις Απαντήσεις-ΛύσειςΠροτεινόµενωνΑσκήσεων Απαντήσεις-ΛύσειςΑσκήσεωνΣχολικούΒιβλίου...554

5

6 Α. Η έννοια της µεταβλητής - Παραστάσεις Τι ονοµάζεται µεταβλητή και πώς συµβολίζεται; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα, το οποίο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής αλφαβήτου, για παράδειγµα µε α, β, γ, δ, x, y, z, t, κ.λπ. Σχόλιο Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό τρόπο διάφορες προτάσεις ή ιδιότητες των αριθµών. α) Τι λέγεται αριθµητική παράσταση; β) Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθ- µούς. Τον αριθµό που θα βρούµε, αν εκτελέσουµε όλες τις πράξεις σε µια αριθ- µητική παράσταση, τον λέµε τιµή της παράστασης. 11

7 Για παράδειγµα, η παράσταση Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) είναι αριθµητική και η τιµή της είναι ίση µε: Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) = 8 ( 6) (+9) : ( 9) = = ( 1) = = 15 β) Αλγεβρική λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. Για παράδειγµα, η παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 είναι αλγεβρική. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές της µε αριθµούς, τότε η τιµή της αριθµητικής παράστασης που προκύπτει λέγεται τιµή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγµα, η τιµή της παράστασης Α = α 2 + β 2 α + β + 1 για α = 2 και β = 3 είναι: Α = ( 3) ( 3) + 1 = = 9 Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστασης. Για παράδειγµα, στην παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 οι όροι είναι οι α 2, β 2, α, β, 1. Εφαρµογή1.1 Ναεκφραστούνοιπαρακάτωπροτάσειςµετηβοήθειαµεταβλητών: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατάπέντε. β) Τοάθροισµακαιηδιαφοράδύοαριθµών. γ) Τοδιπλάσιοτηςδιαφοράςδύοαριθµών. δ) Τοκόστοςγιανααγοράσουµεδύοκιλάµήλακαιτρίακιλάροδάκινα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότετοτριπλάσιότουείναι3x.Εποµένως,το τριπλάσιοτουαριθµού,αυξηµένοκατά5,εκφράζεταιµετηνπαράσταση 3x+5. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνεκφράζεταιµετηνπαράσταση α+β καιηδιαφοράτους µε α β, όπουακαιβείναιοιαριθµοίαυτοί. γ) Ανα,βείναιοιδύοαριθµοί,τότεηδιαφοράτουςείναιηπαράσταση α β. Άρατο διπλάσιοτηςδιαφοράςτουςεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2(α β). δ) Αντοένακιλόµήλακοστίζει x καιτοένακιλόροδάκινακοστίζει y, τότεη αξίαδύοκιλώνµήλακαιτριώνκιλώνροδάκιναεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2x+3y. 12 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

8 Εφαρµογή1.2 ίνεταιηπαράσταση Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β α) ΠοιεςείναιοιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑ; β) ΠοιοιείναιοιόροιτηςπαράστασηςΑ; γ) ΠοιαείναιητιµήτηςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1; ΛΥΣΗ α) ΟιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑείναιοιακαιβ. β) ΟιόροιτηςπαράστασηςΑείναιοια 3, 3α 2 β,3αβ 2, β 3,10. γ) ΓιαναβρούµετηντιµήτηςαλγεβρικήςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1, θα αντικαταστήσουµετιςµεταβλητέςα,βµετιςτιµέςτους 2και 1αντίστοιχα.Θέτου- µελοιπόν α= 2 και β= 1, οπότεπαίρνουµε: Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β 3 +10=( 2) 3 3( 2) 2 ( 1)+3( 2)( 1) 2 ( 1) 3 +10= = 8 3(+4)( 1)+3( 2) 1 ( 1)+10= 8 3( 4) = = = =23 14=9 Β. Επιµεριστική ιδιότητα - Αναγωγή όµοιων όρων Να γραφεί η επιµεριστική ιδιότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η επιµεριστική ιδιότητα διατυπώνεται µε µεταβλητές ως εξής: α(β + γ) = αβ + αγ Επειδή το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία ( ), µπορεί να παραλειφθεί, η επιµεριστική ιδιότητα γράφεται και µε τη µορφή α(β + γ) = αβ + αγ ή ακόµα και µε τη µορφή (α + β)γ = αγ + βγ. Επειδή η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και ως προς την αφαίρεση, γενικότερα έχουµε: α(β + γ) = αβ + αγ και α(β γ) = αβ αγ Αξίζει επίσης να τονίσουµε ότι κατά την επιµεριστική ιδιότητα το πρόσηµο που βρίσκεται µπροστά από την παρένθεση παίζει σηµαντικό ρόλο: α(β + γ) = αβ αγ, α(β γ) = αβ + αγ α(β + γ δ) = αβ + αγ αδ, α(β γ δ) = αβ + αγ + αδ 13

9 Για παράδειγµα είναι 2(α 3) = 2α + 6 και όχι 2α 6, διότι ( 2)( 3) = +6. Αν έχουµε περισσότερες από δύο µεταβλητές, ισχύει ότι: Σχόλιο Σε ορισµένες περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα την εφαρµόζουµε από την αντίθετη κατεύθυνση, «βγάζοντας» έναν κοινό παράγοντα. Γράφουµε δηλαδή ότι: Για παράδειγµα είναι: αβ + αγ = α(β + γ) και αγ + βγ = (α + β)γ 2x + 2y = 2(x + y), 3α 3β = 3(α β) 5κ + 5λ = 5(κ λ), 3α 6β = 3(α + 2β) Βλέπουµε λοιπόν ότι αν ο κοινός παράγοντας είναι αρνητικός αριθµός, τότε το πρόσηµο των όρων που µένουν στην παρένθεση αλλάζει: 5κ + 5λ = 5(κ λ) Τι λέγεται αναγωγή όµοιων όρων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αναγωγή όµοιων όρων λέγεται η διαδικασία µε την οποία µια αλγεβρική παράσταση γράφεται σε απλούστερη µορφή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της επι- µεριστικής ιδιότητας. Για παράδειγµα είναι: 3α + 5α = (3 + 5)α = 8α, 4α 7α = (4 7)α = 3α 2α 4α + 3α = ( )α = 1 α = α, 6y + 3y 10y = ( )y = 1y = y Τονίζουµε ότι µπορούµε να γράψουµε: (1 x = x και 1 x = x) ή (x = 1 x και x = 1 x) ανάλογα µε την περίπτωση. 14 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

10 Εφαρµογή1.3 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 8α 3α+α β)7x 8x x γ) 2(α 2β) 3(2α β) δ) 3(x 2y)+2(3x y)+1 ΛΥΣΗ α) Επειδή α=1 α, είναι8α 3α+α=(8 3+1)α=6α. β) Επειδή x= 1 x είναι7x 8x x=(7 8 1)x= 2x. γ) Χρησιµοποιούµεπρώτατηνεπιµεριστικήιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ: 2(α 2β) 3(2α β) = 2α 4β 6α + 3β = 2α 6α 4β + 3β = δ) Μετονίδιοτρόποέχουµε: =(2 6)α+( 4+3)β= 4α β 3(x 2y)+2(3x y)+1= 3x+6y+6x 2y+1=( 3+6)x+(6 2)y+1=3x+4y+1 Εφαρµογή1.4 Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5,αν α+β= 1. β) Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β),αν α+β= 2. ΛΥΣΗ α) ΠρώταθααπλοποιήσουµετηνπαράστασηΑµετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιό- τηταςκαικάνονταςτηναναγωγήτωνόµοιωνόρων: Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5=2α 4 3β+3+α+6β+5= =2α+α 3β+6β 4+3+5=(2+1)α+( 3+6)β+4=3α+3β+4= =3(α+β)+4=3( 1)+4= 3+4=1 Τονίζουµεότιµπορούµεαπευθείαςναγράψουµε: 2α+α=3ακαι 3β+6β=3β διότι: 2+1=3και 3+6=3 β) Όπωςκαιστοερώτηµα(α),απλοποιούµεπρώτατηνπαράσταση: Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β)=3α 6β 6α+2β 5+β= =3α 6α 6β+2β+β 5= 3α 3β 5= 3(α+β) 5= = 3( 2) 5=6 5=1 15

11 1.5 Ναχρησιµοποιηθούνµεταβλητέςγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρικήπα- ράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Ηπερίµετροςενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτε- ροαπότοπλάτοςτου. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxτονέναναριθµόκαιµεyτονάλλοναριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Το x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Αν συµβολίσουµε µε y m τοπλάτοςτουορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότοπλά- τοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 1.6 Ναχρησιµοποιηθείµιαµεταβλητήγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρική παράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α)τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπα- τάτες,ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β)τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηανα- γραφόµενητιµήσυν19%φπα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι 5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσεαυ- τήτηντιµήείναι: 16 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

12 19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναιy+0,19y=(1+0,19)y=1,19y. 1.7 Nααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα αγ+βγ=(α+β)γ καικάνουµεαναγωγή όµοιωνόρων. α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=( )y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=( )ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=( )β= 2β. 1.8 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ)x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x ΛΥΣΗ Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµίαµόνοµεταβλητή.Εφαρµό- ζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. 17

13 = 7x+4ω. 1.9 NααπλοποιηθούνοιπαραστάσειςA,Bκαιστησυνέχειαναυπολογιστεί ητιµήτους: α)α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β)β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. ΛΥΣΗ α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 Βασικέςασκήσεις 1.10 Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιαπαράστασητιςεπό- µενεςφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούελαττωµένοκατά10. β) Τοδιπλάσιοτουαθροίσµατοςδύοαριθµών. γ) Τοµισότηςδιαφοράςδύοαριθµών. 18 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

14 δ) Ηπερίµετροςενόςισοσκελούςτριγώνου. ε) Τοεµβαδόνενόςορθογωνίουµεµήκος5. στ)ηδιαφοράτουαθροίσµατοςδύοαριθµώναπότο Ναγράψετεµετηβοήθειαµεταβλητώντιςφράσεις: α) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνακέραιωναριθµών. β) Ητιµήενόςπροϊόντοςµετάαπόέκπτωση 20%. γ) Οµέσοςόροςδύοαριθµώνείναι5. δ) Τοκόστοςδύοίδιωντετραδίωνκαιτριώνίδιωνβιβλίων Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 3x+2x+5x β) 5α+3α+α γ) 7x 3x x δ)6α+α 5α ε) 4y y+2y στ) 10β+3β+6β 1.13 Νακάνετεαναγωγήτωνόµοιωνόρων: α)5α 3β+2β 4α β) 2α β+3α 2β γ) 3x 4y 2x+3y δ) 5β+3γ+7β 4γ 1.14 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α+α+α β)α α α γ)3α+3α+3α δ)3α 3α 3α ε) α 2α 3α στ)( α)( 2α)( 3α) 1.15 Αν α= 1 και β= 2, ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις: α)α=α 2 β βα 3 β)β=β 3 :α 5 β( 3 2α) Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=3α 2β+3γ,ανα=2, β= 3, γ= 2 β)β=2(α β) 5(β+α),ανα=3, β= Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2(3α 2β 1) 3(2α 3β 2) β)β= 3(x 2y+3)+2(3x 3y+5) 19

15 1.18 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α= [ ( 2α β) (α β)] (α 2β) β)β= [ 2(α β) (β α)] (α β) 1.19 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=2(x y) 3(2x 5y) 2,ανx= 5, y= 2 β)β= 3(α 2β)+2( 2α+3β)+5,ανα= 3, β= Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=3α 3β,ανα β=10 β) Β= 2α 2β,ανα+β=5 3 3 γ) Γ= x+ y, ανx+y= Αν α+β= 7 και x y= 3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α=7 [ α (β+3)] [2+(y x)] 1.22 Αν x y= 5 και α β+γ=3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= x α+y+β γ 1.23 Ναεκφράσετεµετηβοήθειαµιαςµεταβλητήςτιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνάρτιων. β) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνπεριττώναυξηµένοκατά10. γ) Έναςπεριττόςαριθµόςαυξηµένοςκατάτοδιπλάσιοτουεπόµενούτουαριθ- µού Ναεκφράσετεµεµιαισότητατιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνπεριττώναριθµών,απότουςοποίουςοµεσ- σαίοςείναιο 2x+1, είναιίσοµε15. β) ΟΜιχάληςείναι4χρόνιαµεγαλύτεροςαπότονΓιώργοκαιτοµισότηςηλι- κίαςτουμιχάληισούταιµετο 1 6 τηςηλικίαςτουγιώργουαυξηµένοκατά8 χρόνια Απόποιαγινόµεναπροέκυψανοιπαρακάτωαλγεβρικέςπαραστάσεις; α) 2x+2y β) 3α 3β γ) 5x+5y δ) 4α 4β ε) 2x+4y στ) 3α+6β 20 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

16 1.26 Αν α+β=3, νααποδείξετεότι: α)3α (α 2β)=6 β)2(α β) 3(2α+β)+β= Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) { [ ] [ ]} β) [ ] A = 3 ( 4+ 3) + 2 ( 7+ 4) ( 2+ 7) { } B= 3 + ( 5+ 4) (6+ 3 7) ( 2+ 7) 1.28 Ναβρείτετηντιµήτωνπαρακάτωαριθµητικώνπαραστάσεων: α)α=( 2)(+3) ( 8):( 4) ( 3) 2 β)β=( 1)( 2) 2 ( 3) 2 :( 9) ( 5+3)( 2) γ)γ=( 3)( 2) ( 4+3) 2008 ( 1) 3 ( 4) δ) =( 8+7) ( 25):( 5) 2 3( 4+5) 1.29 Αν Α= ( 2α+β) (α+2β) και Β=2(α β) 3(α 2β), ναυπολογίσετετις παραστάσεις: α)α Β β)2β 3Α+5(α 3β) 1.30 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2( 3x+2y)+3(2x 3y) (x 2y) β)β= 3(α 2β)+2( 3α+β) (2α β)+11α γ)γ= 2(α 2β γ)+3(2α β 3γ) (2α β 3γ) 2(β 2γ) δ) =4(2α β+2γ) 2(α β+γ) 3(2α β γ) 9γ 1.31 Αν α β γ= 1, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= 3(α+β+γ) 4(β α γ)+2(3α 4γ) 1.32 Ναβρείτετηνπερίµετροτωνπαρακάτωσχηµάτων: 21

17 1.33 Ναβρείτετηνπλευράαενόςτετραγώνου,του οποίου το εµβαδόν ισούται µε το άθροισµα τωνεµβαδώντωνδιπλανώνορθογωνίων Αντοτρίγωνοέχειπερίµετρο 10cm, ναβρείτετηνπερίµετροτουορθογωνίου Ναβρείτετοεµβαδόντουδιπλανούορθογω- νίου. 22 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

18 Α. Ισότητες - Ιδιότητες Ποια σχέση µπορεί να υπάρχει ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β ισχύει πάντα µόνο µία από τις σχέσεις: α= β ή α< β ή α> β Η σχέση α = β λέγεται ισότητα, ενώ καθεµία από τις σχέσεις α < β, α > β λέγεται ανισότητα. Το σύµβολο «<» διαβάζεται «µικρότερο» και το «>» διαβάζεται «µεγαλύτερο». Ποιες ιδιότητες συνδέουν τις πράξεις και τις ισότητες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σε µια ισότητα µπορούµε να κάνουµε µία τουλάχιστον από τις επόµενες ενέργειες και να πάρουµε πάλι ισότητα. 23

19 Ιδιότητα 1η Αν στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α + γ = β + γ Ιδιότητα 2η Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 3η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 4η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, που δεν είναι µηδέν, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α = β, γ γ γ 0 Σχόλιο Από τις παραπάνω ιδιότητες µπορούµε να συµπεραίνουµε επίσης ότι: Αν α + γ = β + γ, τότε α = β. Αν α γ = β γ, τότε α = β. Αν αβ = αγ και α 0, τότε β = γ. α α β γ Αν = ή =, τότε β = γ. β γ α α Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γνωστές ως ιδιότητες της διαγραφής. 24 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

20 Εφαρµογή2.1 ίνονταιοιµεταβλητέςα,βκαιγ.νααποδειχθείότι: α) Αν α+β 3=γ+β 3, τότε α=γ. β) Αν 2α 3β+7=2α 3γ+7, τότε β=γ. γ) Αν αβ 8=αγ 8 και α 0, τότε β=γ. ΛΥΣΗ α) Κάνουµεδιαδοχικάτιςπαρακάτωενέργειες: α+β 3=γ+β 3 Προσθέτουµεσταδύοµέλητο3 α+β 3+3=γ+β 3+3ή α+β=γ+β Αφαιρούµεαπόταδύοµέλητοβ α+β β=γ+β βήα=γ β) Έχουµε: 2α 3β+7=2α 3γ+7 Αφαιρούµεσταδύοµέλητο7 2α 3β+7 7=2α 3γ+7 7ή 2α 3β=2α 3γ Αφαιρούµεσταδύοµέλητο2α 2α 3β 2α=2α 3γ 2αή 3β= 3γ ιαιρούµεκαιταδύοµέληµε 3 3β 3γ = 3 3 ήβ=γ γ) Έχουµε αβ 8=αγ 8. Προσθέτουµεκαισταδύοµέλητο8καιπαίρνουµε: αβ 8+8=αγ 8+8ήαβ=αγ Αφού α 0, διαιρούµεκαιταδύοµέληµεακαιπαίρνουµε: αβ αγ = ή β= γ α α Β. Πώς λύνουµε εξισώσεις Τι είναι εξίσωση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό x. 25

21 Σχόλια Ο άγνωστος µπορεί να συµβολίζεται και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Για παράδειγµα οι 3x + 2 = 17 2x, 2y 7 = 15 + y είναι εξισώσεις. Η πρώτη έχει άγνωστο τον x και η δεύτερη έχει άγνωστο τον y. Κάθε εξίσωση έχει δύο µέλη. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x, α µέλος είναι η παράσταση 3x + 2 και β µέλος είναι η παράσταση 17 2x. Τι λέγεται λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης λέγεται ο αριθµός που πρέπει να βάλουµε στη θέση του αγνώστου, ώστε η ισότητα που προκύπτει να αληθεύει. Για παράδειγµα, στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x ο αριθµός x = 3 είναι λύση, διότι: = ή = 17 6 ή 11 = 11 Η διαδικασία µε την οποία διαπιστώνουµε ότι κάποιος αριθµός είναι λύση µιας εξίσωσης λέγεται επαλήθευση. Ποια γενική αρχή εφαρµόζουµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν λύνουµε µια εξίσωση, χρησιµοποιούµε την εξής γενική αρχή: Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό τους. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x µπορούµε να φέρουµε τους άγνωστους όρους στο α µέλος και τους γνωστούς στο β µέλος ως εξής: 3x + 2x = 17 2 Αφού το 2x ήταν στο β µέλος και ήρθε στο α, έγινε +2x ενώ το +2 που ήταν στο α µέλος και πήγε στο β έγινε 2. Οι όροι 3x και 17 παρέµειναν στο µέλος που βρίσκονταν αρχικά, οπότε δεν άλλαξαν πρόσηµο. 26 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

22 Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην πορεία λύσης µιας εξίσωσης ακολουθούµε µε τη σειρά τα εξής βήµατα: 1ο Βήµα Απαλείφουµε, αν υπάρχουν, τους παρονοµαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο, και στα δύο µέλη, µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών αυτών. 2ο Βήµα Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. 3ο Βήµα Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, µεταφέροντας στο ένα µέλος όλους τους όρους που έχουν τον άγνωστο και στο άλλο µέλος αυτούς που είναι γνωστοί. 4ο Βήµα Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων. 5ο Βήµα ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του αγνώστου. 6ο Βήµα Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση. Σχόλιο Πολλές φορές, όταν λύνουµε µια εξίσωση, καταλήγουµε σε εξισώσεις της µορφής: 0x = 5, 0x = 7, 0x = 0 κ.λπ. Εξισώσεις, όπως για παράδειγµα οι 0x = 5, 0x = 7 λέγονται αδύνατες. Η εξίσωση 0x = 0 λέγεται ταυτότητα. 27

23 Συνοψίζοντας, έχουµε τα ακόλουθα: Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α, µε α 0 λέγεται αδύνατη. Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 λέγεται ταυτότητα (ή αόριστη). Εφαρµογή2.2 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 5x 7=3x+13 β) 2x+5=5x+17 γ) 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5) δ) 3(x 5)+7=9 2(x 1) ΛΥΣΗ Αφούδενυπάρχουνκλάσµαταδεναπαιτείταιπουθενάαπαλοιφήπαρονοµαστών. Ακολουθούµελοιπόνταυπόλοιπαβήµαταπουπεριγράψαµεπροηγουµένως: α) 5x 7 = 3x + 13 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 5x 3x=13+7 Αναγωγήόµοιωνόρων 2x=20 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου 2x 20 = 2 2 ή x = 10 Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςείναιη x=10. β) Εργαζόµαστεµετονίδιοτρόπο: 2x+5=5x+17 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 2x 5x=17 5 Αναγωγήόµοιωνόρων 3x=12 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου = 3 3 ή x = Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςαυτήςείναιη x= 4. Σχόλιο Μπορούµε να βεβαιωθούµε ότι η λύση που βρήκαµε είναι σωστή, κάνοντας επαλήθευση: 2x + 5 = 5x + 17 ή 2( 4) + 5 = 5( 4) + 17 ή = ή 3 = 3 Αφού η τελευταία ισότητα είναι σωστή, η λύση x = 4 είναι η σωστή. 28 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

24 γ) Εδώπρέπειπρώταναεκτελέσουµετιςπράξεις,ώστενααπαλλαχτούµεαπότιςπα- ρενθέσεις: 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5)ή2x 6 3x+6=4x 20ή 2x 3x 4x= 20ή 5x= 20ή 5x = 20 ή x = δ) Εργαζόµαστεακριβώςµετονίδιοτρόπο: 3(x 5)+7=9 2(x 1)ή 3x+15+7=9 2x+2ή 3x+2x= ή x= 11ή x = 11 ή x = Τονίζουµεότιαφού x= 11, οxείναιοαντίθετοςτου 11,δηλαδήο11.Εποµένως ηδιαίρεσηµετο 1µπορείκαιναπαραλειφθεί. Εφαρµογή2.3 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x) β) 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x) ΛΥΣΗ α) Ακολουθούµεταβήµαταπουπεριγράψαµεστηθεωρία: 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x)ή 3x x=8x xή 3x+10x 8x 5x= ή 0x= 7 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. β) Εκτελούµεαρχικάτιςπράξεις: 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x)ή 3x 3 6+2x=4x+8 17+xή 3x+2x 4x x= ή 0x=0 Ηεξίσωσηαυτήείναιταυτότητα,δηλαδήαληθεύειγιαόλεςτιςτιµέςτουx. 29

25 Εφαρµογή2.4 Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις: 2x x x+2 2x+5 α) = β) 3= γ) = x 2 1 x+2 1 x 2 1 x 4 δ) +2 4 = ΛΥΣΗ Όλεςοιεξισώσειςέχουνκλάσµατα,οπότεπρώτακάνουµεαπαλοιφήπαρονοµαστών. 2x x α) = 5 3 Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=15 2x x 15 = 15 ή 5 3 Απαλείφουµετουςπαρονοµαστές 3(2x+3)=5(4 x)ή Εκτελούµετιςπράξειςκατάταγνωστά 6x+9=20 5xή 6x+5x=20 9ή 11x = 11 ή 11x 11 = ή x = 1 Άλλοςτρόπος A Γ Ότανέχουµεεξίσωσητηςµορφής =, B δηλαδήµεδύοµόνοόρουςπουείναικλά- σµατα,τότεπροτιµάµετηµέθοδοτουχιαστί: Έχουµελοιπόν: 2x x = ή 3(2x + 3) = 5(4 x) ή6x+9=20 5xή 5 3 6x+5x=20 9ή11x=11ήx=1 β) Εδώείναι ΕΚΠ=12, οπότεπολλαπλασιάζουµεόλουςτουςόρουςκαισταδύοµέ- ληµετο12: x+ 2 2x = ή3(x+2) 36=12 4(2x+5)ή 4 3 3x+6 36=12 8x 20ή3x+8x= ή 11x 22 11x=22ή = ή x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

26 γ) ΤοΕΚΠτωναριθµών2,3,4,6είναιτο12.Άρα: 3x 2 x 2 x 2 x = ή (3x 2) 4(x 2)=3(x 2) 2(x 14)ή 18x 12 4x+8=3x 6 2x+28ή 18x 4x 3x+2x= ή 13x 26 13x = 26 ή = ή x = x+ 2 δ) Οόρος + 2 µαςεπιβάλλειναεκτελέσουµετονπολλαπλασιασµό.τοίδιο x 2 καιοόρος 4, διότιδιαφορετικάηαπαλοιφήπαρονοµαστώνείναιαρκετά 4 2 δύσκολη.μετηνεπιµεριστικήιδιότηταπαίρνουµελοιπόν: 1 x+ 2 1 x 2 1 x = ή x+ 2 x 2 x = ή Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=24 x+ 2 x 2 x = ή 4(x+2)+3(x 2)=2(x 4)ή 4x+8+3x 6=2x 8ή4x+3x 2x= 8 8+6ή 5x = 10 ή 5x 10 = 5 5 ή x = 2 ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΑΛΑΘΗ Σωστήπράξη 5 2(x 3) = 5 2x+ 6= = 11 2x x 2 = 3 1(x 2) = 6 = 3 x+ 2= 5 x Λάθοςπράξη 5 2(x 3) = 5 2x 6= = 1 2x x 2 = 3 x 2= 6 = 1 x 31

27 3 1 6 Σωστήπράξη x 5 = 1 3(x 5) = 2 = 1 3x+ 15= 16 3x Λάθοςπράξη x 5 = 1 3 x 5= 2 = 1 5 3x= 4 3x Απόταπαραπάνωσυµπεραίνουµεότι: Ότανεφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητακαιοαριθµόςµετονοποίοπολ- λαπλασιάζουµεέχειµπροστάπλην,τότετοπρόσηµοτωνγινοµένωναλλάζει: α(β+γ)= αβ αγ, α(β γ)= αβ+αγ Αν,κατάτηναπαλοιφήπαρονοµαστών,τοΕΚΠκαιοπαρονοµαστήςκάποιου κλάσµατοςείναιίσοι(άραδιαγραφόµενοιδίνουν1),οαριθµητήςτουκλάσµα- τοςπρέπειναµπεισεπαρένθεση. Γ. Η εξίσωση αx = β Για τη λύση της εξίσωσης αx = β µπορούµε να διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν α 0, τότε διαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε α, οπότε: αx = β ή 2η περίπτωση αx = β α α ή x = β α Αν α = 0, τότε προφανώς, δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε α. ιακρίνουµε, λοιπόν, περιπτώσεις για το β. Αν β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθµός που να πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν (α = 0) και να δίνει αποτέλεσµα κάποιον µη µηδενικό αριθµό (β 0). 32 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

28 Αν β = 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη µορφή 0x = 0 και επαληθεύεται για κάθε τιµή του x. Η εξίσωση σ αυτή την περίπτωση λέµε ότι είναι αόριστη ή ταυτότητα. Σχόλια Τα παραπάνω συµπεράσµατα µπορούν να συγκεντρωθούν στον παρακάτω πίνακα: β Αν α 0 τότε x =. α αx = β Αν α = 0 και β 0, τότε είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε είναι αόριστη ή ταυτότητα. Μια εξίσωση πρώτου βαθµού µπορεί να έχει µοναδική λύση, να είναι αδύνατη ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν σε µια άσκηση ζητούνται οι τιµές των α, β, ώστε: η εξίσωση αx = β να είναι αόριστη ή ταυτότητα, τότε απαιτούµε: α = 0 και β = 0 η εξίσωση αx = β να είναι αδύνατη, τότε απαιτούµε α = 0 και β 0. Εφαρµογή2.5 ίνεταιηεξίσωση (λ 1)x=8. α) Ναλυθείηεξίσωσηγια λ=3. β) Ναλυθείηεξίσωσηόταν λ 1. γ) Τισυµπεραίνετεγιατηνεξίσωσηαν λ=1; δ) Γιαποιατιµήτουληεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό2; ΛΥΣΗ α)για λ=3 ηεξίσωση (λ 1)x=8 γίνεται: 2x 8 (3 1)x= 8 ή 2x= 8 ή = ή x= β)όταν λ 1 είναι λ 1 0. Μπορούµελοιπόνναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέλητης εξίσωσηςµε λ 1, οπότεπαίρνουµε: 33

29 (λ 1)x 8 8 = ή x= λ 1 λ 1 λ 1 γ)αν λ=1, τότεαντικαθιστώνταςστηνεξίσωση (λ 1)x=8 τολµετο1,βρίσκουµε: (1 1)x=8ή0x=8 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. δ) Αφούθέλουµεηεξίσωσηναέχειλύσητοναριθµό2,πρέπειηεξίσωση (λ 1)x=8 ναεπαληθεύεταιγια x=2. Πρέπειδηλαδή: (λ 1)2=8ή2(λ 1)=8ή2λ 2=8ή2λ=8+2ή 2λ 10 2λ = 10 ή = ή λ = Στοδιπλανότρίγωνονασυµπληρωθούντακυ- κλάκιαµεαριθµούςέτσι,ώστετοάθροισµατων αριθµώνπουβρίσκονταιστιςκορυφέςκαθενός απότατρίγωναπουσχηµατίζονταιναείναιπά- ντοτετοίδιο. ΛΥΣΗ Αςβάλουµεταγράµµαταα,β,γστακυκλάκιαπουείναι κενά.πρέπει: 13+α+γ=β+α+γή13=βήβ=13 διότιοιόροια,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 19+α+β=γ+α+βή19=γήγ=19 διότιοιόροια,βπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 15+γ+β=α+γ+βή15=αήα=15 διότιοιόροιβ,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδιαγράφονται. 34 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

30 Αφούλοιπόν α=15, β=13 και γ=19, τοµαγικόαυτό τρίγωνοσυµπληρώνεταιόπωςφαίνεταιστοσχήµα. 2.7 Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)5+ =30 β)9 =20 γ)5 =35 δ) 12=30 ε) 3 4=17 δ)5 9 = Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)αν β 0, τότεηεξίσωση 0x=β είναι β)αν α=β=0, τότεηεξίσωση αx=β είναι γ)αν α+β=α+γ, τότε Αν αβ=αγ και α 0, τότε δ)αν α=β, τότεηεξίσωση (α β)x=β 2 α 2 είναι ε) Ανηεξίσωση (λ 1)x=3 δενείναιαδύνατη,τότε 2.9 Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςήµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. α) Ηεξίσωση 2x 7=5x+20 έχειλύσητοναριθµό 9. β) Ηεξίσωση 7x=42 έχειλύσητοναριθµό 6. γ) Ηεξίσωση 3x=18 έχειλύσητοναριθµό6. δ) Ηεξίσωση 3x 5=4+3x είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση x+3=1+x+2 είναιταυτότητα. στ)ηεξίσωση 0x=2 είναιαδύνατη. ζ) Ηεξίσωση 0y=0 είναιταυτότητα. 35

31 Βασικέςασκήσεις 2.10 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 2x+21=4+x β)3(x 4)+2(x+5)=2x+25+4(x 8) γ) 2(2x 1)+11=4(x+1)+5 δ)x+18 4(x+6)=3(6 x) 2.11 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 3x+7=4x+5 β) 3x+6+2x=5x 6 6x+12 γ) 2x+4=6x 7 4x δ)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) ε) 4(5x+12) 2(19x+6)=18(2 x) στ)8x 4(3x 1)=1 (4x+1) 2.12 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: x 2 1 x α) + 1 = β) x x + = γ) x x 10 5 x + + = δ) x x = + x Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: 2x + 1 5x 8 α) = β) Ναλύσετετιςεπόµενεςεξισώσεις: x 2 2 x x 2 α) = x 5 β) (x 1) (x 8) = 2 3 5x + 2 x + 1 2x 1 + = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

32 γ) ε) 2(x + 1) x + 2(x + 2) x x + = + δ) 25x [ ] (5 6x) = 3x + 19 (4x 5) 3 x 1 x x 1 = στ) x x = x Νααποδείξετεότιοιπαρακάτωεξισώσειςεπαληθεύονταιγιακάθετιµήτουαριθ- µούx. α) 3(x+5) (5 6x)=2(4x+3)+x+4 β) 2x 3 x 3 3x + = Νααποδείξετεότιδενυπάρχειαριθµόςxπουναεπαληθεύειτιςπαρακάτωεξι- σώσεις: α) 2(x+3) (x+7)=x 5 5x + 1 3x 1 5 2x β) = x 1 γ) 3 4x + 1 2x = δ)(x 1)x=x 2 (x+2) 2.17 ίνεταιηεξίσωση λ(x+3) 4=(2λ 3)x+8. α)αν λ=2, νααποδείξετεότιηεξίσωσηέχειλύση x=6. β) Ανηεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό x=4, ναβρείτετηντιµήτουλ. γ) Ναλύσετετηνεξίσωσηγια λ= Ναβρείτετιςτιµέςτουα,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαδύνατες: α)(α 3)x=5 β) [ 3(α 1) + 6] x = Ναβρείτετιςτιµέςτουλ,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαόριστεςήταυ- τότητες: α)(λ 4)x=0 β) [ 2(1 λ) + 4] x = Ναβρείτεταx,yσταπαρακάτωσχήµατα: Στησυνέχειαναυπολογίσετετηνπερίµετροτουκάθεσχήµατος. 37

33 2.21 Ναεξετάσετεανυπάρχειτιµήτουx,ώστετοτρίγωνοΑΒΓ ναείναιισόπλευρο. Συµπληρωµατικέςασκήσεις 2.22 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x 3 2x 3 3x 1 3 x x 2 2x 1 α) = + x β) = x x 3x 5 x+ 6 x γ) + = δ) x+ 4 x 4 3x 1 = ΤοτραπέζιοΑΒΓ είναιισοσκελέςκαιτούψος τουείναιίσοµε8.ναβρείτε: α) τοx, β) τηβάση Γ,αν ΕΓ=26, γ) τηνπερίµετροκαιτοεµβαδόντουαβγ Ναλύσετετιςεξισώσεις: 6 3x 2x 1 x 4 α) = β) (x 3) 4 1 2(x 3) 6 3(x 3) = ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκη τωνπλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ Ναλύσετετιςεξισώσεις: α) 3x 3(x+1)=x+2(x+1)+1 2(x 1) 2 1 5x β) = 2 4 x+ 4 x 4 1 3x γ) = 2 δ) 1 1 x (x + 5) 7 = (1 x) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ

34 2.27 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x+ 1 3x+ 2 7x 2 x+ 1 3x x x+ 2 α) = 3 x β) = x 2 3 2x 5+ x 9+ 4x 1 1 γ) + = δ) 2x (19 2x) = (2x 11) Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) x 1 x x = 3 12 β) 1 x 8 2 x 5 6 3x 3(x 5) = x x 7 γ) 5 4x 7x = 9x x 1 x + 3 δ) 3 x 1 2 x = 5x Ναλύσετετιςεξισώσεις: 7+ x α) = 26 3 β) {[ ] } 3+ 5 (x+ 7): = ίνεταιηεξίσωση λx 5=2x+7. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετηντιµήτουλ,ώστεηεξίσωσηναείναιαδύνατη ίνεταιηεξίσωση αx+3µ=x+6. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαόριστηήταυ- τότητα. γ) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαδύνατη. 39

35 Θέµα1ο α) Τιονοµάζεταιεξίσωση; β) Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: i) Αν α=β, τότε α+γ= + ii) Αν α=β και γ 0, τότε α γ = iii)ηεξίσωση 0x=5 είναι iv)ηεξίσωση 0x= είναιταυτότητα. γ) Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςκαιµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. i)αν α=β, τότε α γ=β γ. ii) Αν x=y και α 0, τότε x = y. α α iii)αν αγ=βγ, τότε α=β. iv)ηεξίσωση 0x=β είναιπάντααδύνατη. Θέµα2ο Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) β) 8x 4(3x 1)=1 (4x+1) γ) 3 x x 2 x 2x = Θέµα3ο ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκητων πλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ. 40 1οΚΡΙΤΗΡΙΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού

1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος

Μαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του

Διαβάστε περισσότερα

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:

Περιληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής: Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

B Γυμνασίου. Ενότητα 9

B Γυμνασίου. Ενότητα 9 B Γυμνασίου Ενότητα 9 Γραμμικές εξισώσεις με μία μεταβλητή Διερεύνηση (1) Να λύσετε τις πιο κάτω εξισώσεις και ακολούθως να σχολιάσετε το πλήθος των λύσεων που βρήκατε σε καθεμιά. α) ( ) ( ) ( ) Διερεύνηση

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a

Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... b a Κεφ. εξισώσεις ανισώσεις εξάσκησηεπανάληψη Τhe Ds that make a champion: Devotion, Desire, Discipline Η Θεωρία που πρέπει να θυμάσαι!!!... Μορφές Εξισώσεων Λύση ή ρίζα εξίσωσης Εξίσωση ου βαθμού ax + b

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò

ÊåöÜëáéï 1 ï. -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí. -Ç Ýííïéá ôçò åîßóùóçò ÊåöÜëáéï 1 ï Öõóéêïß êáé Äåêáäéêïß áñéèìïß âéâëéïììüèçìá 1: -Öõóéêïß áñéèìïß -Ïé äåêáäéêïß áñéèìïß -Óýãêñéóç äýï áñéèìþí -Óôñïããõëïðïßçóç ôùí áñéèìþí âéâëéïììüèçìá : -Ç Ýííïéá ôçò ìåôáâëçôþò -Ç Ýííïéá

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr

ΑΚΑΗΜΙΑ ΚΥΒΟΣ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 100% www.kivosacademy.gr 11 ΟΗΓΙΕΣ 1. Το ebook περιέχει εργασίες δραστηριότητες για µαθητές που θα πάνε στη Γ Λυκείου και θα επιλέξουν µαθηµατικά κατεύθυνσης ή γενικής παιδείας.. Για την επίλυση θα χρειαστούν όλα τα βιβλία µαθηµατικών

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες

εξισώσεις-ανισώσεις Μαθηματικά α λυκείου Φροντιστήρια Μ.Ε. ΠΑΙΔΕΙΑ σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal, ελλ. μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο σε άπειρο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ

1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ 1 1.2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Πρόσθεση : Είναι µία πράξη, µε την οποία όταν µας δώσουν δύο φυσικούς αριθµούς α και β βρίσκουµε έναν τρίτο αριθµό γ που τον συµβολίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

- 1 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΡΟΥΓΑΣ ΑΘΑΝΑΣΙΟΣ http://mathhmagic.blogspot.com - ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ν Μονώνυμο του χ ονομάζουμε κάθε αλγεβρική παράσταση της μορφής α χ με χ R και ν Ν. Πολυώνυμο του χ

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια του Κλάσµατος

Η Έννοια του Κλάσµατος Η Έννοια του Κλάσµατος Κεφάλαιο ο. Κλασµατική µονάδα λέγεται το ένα από τα ίσα µέρη, στα οποία χωρίζουµε την ακέραια µονάδα. Έχει τη µορφή, όπου α µη µηδενικός φυσικός αριθµός (α 0, α διάφορο του µηδενός).

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε

Παραδείγµατα : Έστω ότι θέλουµε να παραστήσουµε γραφικά την εξίσωση 6χ-ψ=3. Λύση 6χ-ψ=3 ψ=6χ-3. Άρα η εξίσωση παριστάνει ευθεία. Για να τη χαράξουµε Άλγεβρα υκείου επιµ.: άτσιος ηµήτρης ΣΣΤΗΜΤ ΜΜΩΝ ΞΣΩΣΩΝ Μ ΝΩΣΤΣ ΣΩΣ ΝΝΣ ρισµός: Μια εξίσωση της µορφής αχ+βψ=γ ονοµάζεται γραµµική εξίσωση µε δυο αγνώστους. ύση της εξίσωσης αυτής ονοµάζεται κάθε διατεταγµένο

Διαβάστε περισσότερα

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ

5.2 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ 5. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟ ΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Μια ακολουθία λέγεται αριθµητική πρόοδος, αν και µόνο αν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούµενο του µε πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθµού.. Μαθηµατική έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Óõíåéñìüò ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 011 1 Β' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ο α. I. Σχολικό βιβλίο σελ. 41. ΙΙ. Σχολικό βιβλίο σελ. 89. β. Σχολικό βιβλίο σελ. 71. γ. Σχολικό βιβλίο σελ.60. δ. Σ, Λ,

Διαβάστε περισσότερα

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα;

µηδενικό πολυώνυµο; Τι ονοµάζουµε βαθµό του πολυωνύµου; Πότε δύο πολυώνυµα είναι ίσα; ΘΕΩΡΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 1. Τι ονοµάζουµε µονώνυµο Μονώνυµο ονοµάζεται κάθε γινόµενο το οποίο αποτελείται από γνωστούς και αγνώστους (µεταβλητές ) πραγµατικούς αριθµούς. Ο γνωστός πραγµατικός αριθµός ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B

Γενικό Ενιαίο Λύκειο Μαθ. Κατ. Τάξη B 151 Θέματα εξετάσεων περιόδου Μαΐου - Ιουνίου στα Μαθηματικά Κατεύθυνσης Τάξη - B Λυκείου 15 Α. Αν α, β, γ ακέραιοι ώστε α/β και α/γ, να δείξετε ότι α/(β + γ). Μονάδες 13 Β. α. Δώστε τον ορισμό της παραβολής.

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Λογάριθµοι ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟΥΣ ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΥΣ Παραθέτουµε αρχικά τις βασικές ιδιότητες των δυνάµεων µε βάση έ- ναν θετικό πραγµατικό αριθµό και εκθέτη έναν ρητό αριθµό. α x.α y = α x+y (α.β) x = α x.β x α x :α

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ . ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ. Γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους, y Λέγεται κάθε εξίσωση της µορφής α + βy = γ, µε α 0 ή β 0. Γραφική παράσταση γραµµικής εξίσωσης Κάθε γραµµική εξίσωση α + βy = γ παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 2 η ΕΚΑ Α 11. Έστω η παράσταση Α = [(30 : 6) 2] 2 [(15 5) : 3 + 2 2 6] 3 (2 5 3 3 + 2 1 ) Να υπολογίσετε την τιµή της παράστασης Α Αν Α = 30, i) να αναλύσετε τον αριθµό Α σε γινόµενο

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ η Κατηγορία : Ο Κύκλος και τα στοιχεία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ασκήσεις. Επιµέλεια.: Κάτσιος ηµήτρης. Μεθοδολογία Παραδείγµατα Ασκ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ 1 εθοδολογία Παραδείγµατα σκ σκήσεις πιµέλεια.: άτσιος ηµήτρης Ρ ια να προσθέσουµε (ή να αφαιρέσουµε) δύο µιγαδικούς, προσθέτουµε (ή αφαιρούµε) τα πραγµατικά και τα φανταστικά τους µέρη, δηλαδή: ± = [Re

Διαβάστε περισσότερα

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής

Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η γεωµετρική εποπτεία στην παρουσίαση της απόλυτης τιµής Η µέθοδος άξονα-κύκλου: µια διδακτική πρόταση για την επίλυση εξισώσεων και ανισώσεων µε απόλυτες τιµές στην Άλγεβρα της Α Λυκείου ηµήτριος Ντρίζος

Διαβάστε περισσότερα

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.

α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν β) γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ - ΑΚΡΟΤΑΤΑ - ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ Μια συνάρτηση f λέγεται: α) γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της (Σχ.α), όταν για οποιαδήποτε χ,χ Δ με χ

Διαβάστε περισσότερα

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

2.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 1.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΣΧΟΛΙΟ Για να λύσουµε ένα πρόβληµα, αφού το διαβάσουµε καλά, εντοπίζουµε τον άγνωστο και τον συµβολίζουµε µε µία µεταβλητή. Με βάση τα δεδοµένα του προβλήµατος καταστρώνουµε την

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 =

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο. Πίνακας διερεύνησης της εξίσωσης Εξίσωση: αx 2 +βx+γ=0 (α 0) (Ε) Έχει ΥΟ ρίζες άνισες που δίνονται από τους τύπους x 1,2 = ΕΞΙΩΕΙ-ΑΝΙΩΕΙ ου ΒΑΘΜΟΥ - 38 - ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΑΙΟ 4 ο Εξισώσεις - Ανισώσεις β βαθµού 5.1. Μορφή και διερεύνηση της εξίσωσης β βαθµού Άθροισµα και γινόµενο των ριζών της Κάθε εξίσωση β βαθµού πριν τη λύσουµε,

Διαβάστε περισσότερα

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ

Εκφωνήσεις και λύσεις των ασκήσεων της Τράπεζας Θεμάτων στην Άλγεβρα Α ΓΕΛ Κοίταξε τις µεθόδους, τις λυµένες ασκήσεις και τις ασκήσεις προς λύση των ενοτήτων 6, 7 του βοηθήµατος Μεθοδολογία Άλγεβρας και Στοιχείων Πιθανοτήτων Α Γενικού Λυκείου των Ευσταθίου Μ. και Πρωτοπαπά Ελ.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας µε τη βοήθεια και του ερωτήµατος α). ii) Να αποδείξετε ότι ισχύει η ανισότητα 1+α < 1+ α. α+α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114

4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114 1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑ Ι ΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 4 ΛΥΣΗ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ α + β + γ = 0 α 0 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑΣ 1. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις ως προς ή y: α) - 4 = 0 β) 3 = 4 γ) + - 15 = 0 δ) 5-18 -

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΛΥΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Στις φυσικές επιστήµες για να λύσουµε προβλήµατα ακολουθούµε συνήθως τα εξής βήµατα: 1. Μαθηµατική διατύπωση. Για να διατυπώσουµε µαθηµατικά ένα πρόβληµα

Διαβάστε περισσότερα

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

9o Γεν. Λύκειο Περιστερίου ( 3.1) ΚΥΚΛΟΣ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙ 3 ο : KΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ ( 3.) ΚΥΚΛΣ Γνωρίζουµε ότι ένας κύκλος (, ρ) είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου τα οποία απέχουν µια ορισµένη απόσταση ρ από ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. 3.1 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΑΘΜΟΥ. Οι ανισώσεις: αx + β > 0 και αx + β < 0 3 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 31 ΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 ου ΒΘΜΟΥ Οι ανισώσεις: α + β > 0 και α + β < 0 Γνωρίσαμε στο Γυμνάσιο τη διαδικασία επίλυσης μιας ανίσωσης της μορφής α β 0 ή της μορφής α β 0, με α και β συγκεκριμένους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΘΗΜΤΙΚ ΓΥΜΝΣΙΟΥ ΜΙ ΠΡΟΕΤΟΙΜΣΙ ΓΙ ΤΙΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 11 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και τρείς ασκήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις

3 ο βήμα: Βγάζουμε παρενθέσεις 4 ο βήμα: Προσθέσεις και αφαιρέσεις 24 Κεφάλαιο ο. Να κάνετε τις πράξεις : α) 2 + 3 4-2 : (-4) + γ) -3 (-2) -5 +4: (-2) -6 β) 2 +3 (4-2): (-4 +) δ) -8 : (-3 +5) -4 (-2 + 6) Για να κάνουμε τις πράξεις ακολουθούμε τα εξής βήματα: ο βήμα: Πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Επιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α

β) Αν κάποιος αριθµός α επαληθεύει την παραπάνω ανίσωση, να αποδείξετε ότι 1 1 1 9 < α ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ, ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1. α) Να λύσετε τις ανισώσεις: x 5 3 και x x 1 0. β) Να βρείτε τις κοινές λύσεις των ανισώσεων του ερωτήµατος (α). x 1. ίνονται οι ανισώσεις: 3x 1

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ-

4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- Κεφάλαιο 4 ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ 4.1 Το αόριστο ολοκλήρωµα - Βασικά ολοκληρώ- µατα Ορισµός 4.1.1. Αρχική ή παράγουσα συνάρτηση ή αντιπαράγωγος µιας συνάρτησης f(x), x [, b], λέγεται κάθε συνάρτηση F (x) που επαληθεύει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2012. Ηµεροµηνία: Κυριακή 1 Απριλίου 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_3.ΜλΑ(ε) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α A.. Α.. Α.3. ΘΕΜΑ Β Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Ηµεροµηνία: Κυριακή Απριλίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ αγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός ΛΙΑ ΛΟΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 0, δηλαδή το σύνολο των μονάδων των απολυτήριων

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 7. 2.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 7.3 Μέτρο µιγαδικού Ασκήσεις Γεωµετρικών τόπων. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των µιγαδικών z, για τους οποίους οι εικόνες των µιγαδικών z, i, iz είναι συνευθειακά σηµεία. Έστω z = x + i,

Διαβάστε περισσότερα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα

Τεύχος 6. Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Περιεχόμενα Περιοδική έκδοση για τα Μαθηματικά Γυμνασίου https://mathsgymnasio.wordpress.com/ Τεύχος 6 Περιεχόμενα Σελίδα 5: Σελίδα 17: Α Γυμνασίου, Μέρος Α, Κεφάλαιο 7, Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί, Α.7.8. Δυνάμεις

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4 x2 - x1. x = x2 x1 . . 1

1.1.3 t. t = t2 - t1 1.1.4  x2 - x1. x = x2 x1 . . 1 1 1 o Κεφάλαιο: Ευθύγραµµη Κίνηση Πώς θα µπορούσε να περιγραφεί η κίνηση ενός αγωνιστικού αυτοκινήτου; Πόσο γρήγορα κινείται η µπάλα που κλώτσησε ένας ποδοσφαιριστής; Απαντήσεις σε τέτοια ερωτήµατα δίνει

Διαβάστε περισσότερα

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης

Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Η έννοια της γραμμικής εξίσωσης Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ Η εξίσωση αx+βy = γ Λύση της εξίσωσης α x + β y = γ ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός.

ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ. Βαγγέλης. Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός. 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παρον φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2013 ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Η ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός http://cutemaths.wordpress.com/ ΛΙΓΑ ΛΟΓΑ Η παρούσα εργασία μου δεν στοχεύει απλά στο κυνήγι του 20,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( )

Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών. ( ) ΚΕΦΑΛΑΙ 6 ΕΥΘΕΙΑ-ΕΠΙΠΕ 6 Γεωµετρικοί τόποι και εξισώσεις στο χώρο Στην παράγραφο αυτή θα δούµε τις διάφορες µορφές εξισώσεων των κα- µπύλων του χώρου και των επιφανειών ρισµός 6 Θεωρούµε τη συνάρτηση F:Α,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στις ανισότητες

Εισαγωγή στις ανισότητες Σελίδα 1 από ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ Εισαγωγή στις ανισότητες Μπάμπης Στεργίου, 004 Το άρθρο αυτό είχε την τύχη να ολοκληρωθεί σε βιβλίο, το οποίο κυκλοφορεί με τον τίτλο : Μπάμπης Στεργίου Νίκος Σκομπρής

Διαβάστε περισσότερα

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0.

β± β 4αγ 2 x1,2 x 0. Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω

Διαβάστε περισσότερα

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ.

2. Αν ΑΒΓΔ είναι ένα τετράπλευρο περιγεγραμμένο σε κύκλο ακτίνας ρ, να δείξετε ότι ισχύει: ΑΒ + ΓΔ 4ρ. Θαλής Β' Λυκείου 1995-1996 1. Έστω κύκλος ακτίνας 1, στον οποίο ορίζουμε ένα συγκεκριμένο σημείο Α 0. Στη συνέχεια ορίζουμε τα σημεία Α ν ως εξής: Το μήκος του τόξου Α 0 Α ν (όπου αυτό μπορεί να είναι

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Μέθοδοι επίλυσης γραμμικού συστήματος χ Γραφική επίλυση Σχεδιάζουμε τις ευθείες που αντιπροσωπεύουν οι εξισώσεις του συστήματος. Αν: - οι δύο ευθείες τέμνονται, τότε το σύστημα έχει

Διαβάστε περισσότερα

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1

222223 444441 222220+ 2. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 Να αποδείξετε ότι ο αριθµός 222223 444441 222220+ 222216 2 222222 είναι ακέραιος. Να βρεθεί ο ακέραιος αυτός. Θαλής 1998 Β Γυµνασίου Να αποδειχθεί ότι ο αριθµός Α= 1998 1997 + 1996 1995 + + 2 1 είναι πολλαπλάσιο

Διαβάστε περισσότερα