Αφιέρωση Στα παιδιά µας Στους µαθητές που ατενίζουν µε αισιοδοξία το µέλλον
|
|
- Ζεβεδαῖος Δεσποτόπουλος
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Αφιέρωση Σταπαιδιάµας Στουςµαθητέςπουατενίζουν µεαισιοδοξίατοµέλλον
2 Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταμαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα- θύτερα,ναβελτιώσειςτηνεπίδοσήσουαλλάκαινατααγαπήσειςπε- ρισσότερο. Τοβιβλίοακολουθεί,γιαδιδακτικούςλόγους,πιστάτηδοµήτουσχολι- κούβιβλίου.κάθεενότηταπεριέχει: τηθεωρίασεµορφήερωτήσεων-απαντήσεων,µεσχόλιακαιπαρατη- ρήσεις, υποδειγµατικάλυµένεςασκήσειςπουσυνοδεύονταισυχνάαπόχρήσι- µεςµεθόδους, προτεινόµενεςασκήσειςκαιερωτήσειςκατανόησηςµεσκοπότηναυτε- νέργειακαιτηναπόκτησηαυτοπεποίθησης. Στοτέλοςτουβιβλίουπεριέχονταιυποδείξειςήαπαντήσειςσεόλεςτις προτεινόµενεςασκήσεις,καθώςκαιοιλύσειςόλωντωνασκήσεωντου σχολικούβιβλίου,κάτιπουκαθιστάτοβιβλίοιδιαίτεραφιλικόαλλάκαι εξαιρετικάχρήσιµο. Θέλουµεναευχαριστήσουµετηνειδικήσυνεργάτηµας,µαθηµατικό, ΙωάνναΣτεργίουγιατιςπολύτιµεςπαρεµβάσειςτηςστοπεριεχόµενοτου βιβλίουκαιτονσυνάδελφο ηµήτρητσάκοπουείχετηνεπιµέλειατης έκδοσης. Οισυγγραφείς
3 Περιεχόµενα Α Μέρος:Άλγεβρα Ενότητα1: Ηέννοιατηςµεταβλητής-Αλγεβρικέςπαραστάσεις...11 Ενότητα2: Εξισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...40 Ενότητα3: Επίλυσητύπων...41 Ενότητα4: Επίλυσηπροβληµάτωνµετηχρήσηεξισώσεων οΚριτήριοΑξιολόγησης...57 Ενότητα5: Ανισώσειςα βαθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...71 Ενότητα6: Τετραγωνικήρίζαθετικούαριθµού οΚριτήριοΑξιολόγησης...84 Ενότητα7: Άρρητοιαριθµοί-Πραγµατικοίαριθµοί...85 Ενότητα8: Προβλήµατα...93 Ενότητα9: Ηέννοιατηςσυνάρτησης...99 Ενότητα10: Καρτεσιανέςσυντεταγµένες-Γραφικήπαράστασησυνάρτησης Ενότητα11: Ησυνάρτηση y=αx Ενότητα12: Ησυνάρτηση y=αx+β Ενότητα13: Ησυνάρτηση y= α -Ηυπερβολή x 5οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα14: ΒασικέςέννοιεςτηςΣτατιστικής:Πληθυσµός- είγµα Ενότητα15: Γραφικέςπαραστάσεις Ενότητα16: Κατανοµήσυχνοτήτωνκαισχετικώνσυχνοτήτων Ενότητα17: Οµαδοποίησηπαρατηρήσεων Ενότητα18: Μέσητιµή- ιάµεσος Β Μέρος:Γεωµετρία Ενότητα19: Εµβαδόνεπίπεδηςεπιφάνειας Ενότητα20: Μονάδεςµέτρησηςεπιφανειών οΚριτήριοΑξιολόγησης...206
4 Ενότητα21: Εµβαδάεπίπεδωνσχηµάτων οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα22: Πυθαγόρειοθεώρηµα οΚριτήριοΑξιολόγησης οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα23: Εφαπτοµένηοξείαςγωνίας Ενότητα24: Ηµίτονοκαισυνηµίτονοοξείαςγωνίας Ενότητα25: Μεταβολέςηµιτόνου,συνηµιτόνουκαιεφαπτοµένης Ενότητα26: Οιτριγωνοµετρικοίαριθµοίτωνγωνιών30,45 και οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα27: Ηέννοιατουδιανύσµατος Ενότητα28: Άθροισµακαιδιαφοράδιανυσµάτων Ενότητα29: Ανάλυσηδιανύσµατοςσεδύοκάθετεςσυνιστώσες Ενότητα30: Εγγεγραµµένεςγωνίες Ενότητα31: Κανονικάπολύγωνα Ενότητα32: Μήκοςκύκλου Ενότητα33: Μήκοςτόξου Ενότητα34: Εµβαδόνκυκλικούδίσκου Ενότητα35: Εµβαδόνκυκλικούτοµέα οΚριτήριοΑξιολόγησης Ενότητα36: Ευθείεςκαιεπίπεδαστοχώρο Ενότητα37: Στοιχείακαιεµβαδόνπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα38: Όγκοςπρίσµατοςκαικυλίνδρου Ενότητα39: Ηπυραµίδακαιταστοιχείατης Ενότητα40: Οκώνοςκαιταστοιχείατου Ενότητα41: Ησφαίρακαιταστοιχείατης οΚριτήριοΑξιολόγησης ΣυµπληρωµατικέςασκήσειςστηνΆλγεβρα Γ Μέρος:Απαντήσεις Απαντήσεις-ΛύσειςΠροτεινόµενωνΑσκήσεων Απαντήσεις-ΛύσειςΑσκήσεωνΣχολικούΒιβλίου...554
5
6 Α. Η έννοια της µεταβλητής - Παραστάσεις Τι ονοµάζεται µεταβλητή και πώς συµβολίζεται; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Μεταβλητή ονοµάζεται ένα γράµµα, το οποίο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθµό. Οι µεταβλητές συµβολίζονται µε γράµµατα της Ελληνικής ή Λατινικής αλφαβήτου, για παράδειγµα µε α, β, γ, δ, x, y, z, t, κ.λπ. Σχόλιο Τις µεταβλητές τις χρησιµοποιούµε για να διατυπώσουµε µε µαθηµατικό τρόπο διάφορες προτάσεις ή ιδιότητες των αριθµών. α) Τι λέγεται αριθµητική παράσταση; β) Τι λέγεται αλγεβρική παράσταση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ α) Αριθµητική παράσταση λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθ- µούς. Τον αριθµό που θα βρούµε, αν εκτελέσουµε όλες τις πράξεις σε µια αριθ- µητική παράσταση, τον λέµε τιµή της παράστασης. 11
7 Για παράδειγµα, η παράσταση Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) είναι αριθµητική και η τιµή της είναι ίση µε: Α = 8 ( 2)(+3) ( 3) 2 : ( 9) = 8 ( 6) (+9) : ( 9) = = ( 1) = = 15 β) Αλγεβρική λέγεται µια παράσταση που περιέχει πράξεις µε αριθµούς και µεταβλητές. Για παράδειγµα, η παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 είναι αλγεβρική. Αν σε µια αλγεβρική παράσταση αντικαταστήσουµε τις µεταβλητές της µε αριθµούς, τότε η τιµή της αριθµητικής παράστασης που προκύπτει λέγεται τιµή της αλγεβρικής παράστασης. Για παράδειγµα, η τιµή της παράστασης Α = α 2 + β 2 α + β + 1 για α = 2 και β = 3 είναι: Α = ( 3) ( 3) + 1 = = 9 Οι προσθετέοι της αλγεβρικής παράστασης λέγονται όροι της παράστασης. Για παράδειγµα, στην παράσταση Α = α 2 + β 2 α + β + 1 οι όροι είναι οι α 2, β 2, α, β, 1. Εφαρµογή1.1 Ναεκφραστούνοιπαρακάτωπροτάσειςµετηβοήθειαµεταβλητών: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατάπέντε. β) Τοάθροισµακαιηδιαφοράδύοαριθµών. γ) Τοδιπλάσιοτηςδιαφοράςδύοαριθµών. δ) Τοκόστοςγιανααγοράσουµεδύοκιλάµήλακαιτρίακιλάροδάκινα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότετοτριπλάσιότουείναι3x.Εποµένως,το τριπλάσιοτουαριθµού,αυξηµένοκατά5,εκφράζεταιµετηνπαράσταση 3x+5. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνεκφράζεταιµετηνπαράσταση α+β καιηδιαφοράτους µε α β, όπουακαιβείναιοιαριθµοίαυτοί. γ) Ανα,βείναιοιδύοαριθµοί,τότεηδιαφοράτουςείναιηπαράσταση α β. Άρατο διπλάσιοτηςδιαφοράςτουςεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2(α β). δ) Αντοένακιλόµήλακοστίζει x καιτοένακιλόροδάκινακοστίζει y, τότεη αξίαδύοκιλώνµήλακαιτριώνκιλώνροδάκιναεκφράζεταιµετηνπαράσταση 2x+3y. 12 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
8 Εφαρµογή1.2 ίνεταιηπαράσταση Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β α) ΠοιεςείναιοιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑ; β) ΠοιοιείναιοιόροιτηςπαράστασηςΑ; γ) ΠοιαείναιητιµήτηςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1; ΛΥΣΗ α) ΟιµεταβλητέςτηςπαράστασηςΑείναιοιακαιβ. β) ΟιόροιτηςπαράστασηςΑείναιοια 3, 3α 2 β,3αβ 2, β 3,10. γ) ΓιαναβρούµετηντιµήτηςαλγεβρικήςπαράστασηςΑ,για α= 2 και β= 1, θα αντικαταστήσουµετιςµεταβλητέςα,βµετιςτιµέςτους 2και 1αντίστοιχα.Θέτου- µελοιπόν α= 2 και β= 1, οπότεπαίρνουµε: Α=α 3 3α 2 β+3αβ 2 β 3 +10=( 2) 3 3( 2) 2 ( 1)+3( 2)( 1) 2 ( 1) 3 +10= = 8 3(+4)( 1)+3( 2) 1 ( 1)+10= 8 3( 4) = = = =23 14=9 Β. Επιµεριστική ιδιότητα - Αναγωγή όµοιων όρων Να γραφεί η επιµεριστική ιδιότητα. ΑΠΑΝΤΗΣΗ Η επιµεριστική ιδιότητα διατυπώνεται µε µεταβλητές ως εξής: α(β + γ) = αβ + αγ Επειδή το σύµβολο του πολλαπλασιασµού, δηλαδή η τελεία ( ), µπορεί να παραλειφθεί, η επιµεριστική ιδιότητα γράφεται και µε τη µορφή α(β + γ) = αβ + αγ ή ακόµα και µε τη µορφή (α + β)γ = αγ + βγ. Επειδή η επιµεριστική ιδιότητα ισχύει και ως προς την αφαίρεση, γενικότερα έχουµε: α(β + γ) = αβ + αγ και α(β γ) = αβ αγ Αξίζει επίσης να τονίσουµε ότι κατά την επιµεριστική ιδιότητα το πρόσηµο που βρίσκεται µπροστά από την παρένθεση παίζει σηµαντικό ρόλο: α(β + γ) = αβ αγ, α(β γ) = αβ + αγ α(β + γ δ) = αβ + αγ αδ, α(β γ δ) = αβ + αγ + αδ 13
9 Για παράδειγµα είναι 2(α 3) = 2α + 6 και όχι 2α 6, διότι ( 2)( 3) = +6. Αν έχουµε περισσότερες από δύο µεταβλητές, ισχύει ότι: Σχόλιο Σε ορισµένες περιπτώσεις την επιµεριστική ιδιότητα την εφαρµόζουµε από την αντίθετη κατεύθυνση, «βγάζοντας» έναν κοινό παράγοντα. Γράφουµε δηλαδή ότι: Για παράδειγµα είναι: αβ + αγ = α(β + γ) και αγ + βγ = (α + β)γ 2x + 2y = 2(x + y), 3α 3β = 3(α β) 5κ + 5λ = 5(κ λ), 3α 6β = 3(α + 2β) Βλέπουµε λοιπόν ότι αν ο κοινός παράγοντας είναι αρνητικός αριθµός, τότε το πρόσηµο των όρων που µένουν στην παρένθεση αλλάζει: 5κ + 5λ = 5(κ λ) Τι λέγεται αναγωγή όµοιων όρων; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Αναγωγή όµοιων όρων λέγεται η διαδικασία µε την οποία µια αλγεβρική παράσταση γράφεται σε απλούστερη µορφή. Αυτό γίνεται µε τη βοήθεια της επι- µεριστικής ιδιότητας. Για παράδειγµα είναι: 3α + 5α = (3 + 5)α = 8α, 4α 7α = (4 7)α = 3α 2α 4α + 3α = ( )α = 1 α = α, 6y + 3y 10y = ( )y = 1y = y Τονίζουµε ότι µπορούµε να γράψουµε: (1 x = x και 1 x = x) ή (x = 1 x και x = 1 x) ανάλογα µε την περίπτωση. 14 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
10 Εφαρµογή1.3 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 8α 3α+α β)7x 8x x γ) 2(α 2β) 3(2α β) δ) 3(x 2y)+2(3x y)+1 ΛΥΣΗ α) Επειδή α=1 α, είναι8α 3α+α=(8 3+1)α=6α. β) Επειδή x= 1 x είναι7x 8x x=(7 8 1)x= 2x. γ) Χρησιµοποιούµεπρώτατηνεπιµεριστικήιδιότητα α(β+γ)=αβ+αγ: 2(α 2β) 3(2α β) = 2α 4β 6α + 3β = 2α 6α 4β + 3β = δ) Μετονίδιοτρόποέχουµε: =(2 6)α+( 4+3)β= 4α β 3(x 2y)+2(3x y)+1= 3x+6y+6x 2y+1=( 3+6)x+(6 2)y+1=3x+4y+1 Εφαρµογή1.4 Ναυπολογιστείητιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5,αν α+β= 1. β) Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β),αν α+β= 2. ΛΥΣΗ α) ΠρώταθααπλοποιήσουµετηνπαράστασηΑµετηβοήθειατηςεπιµεριστικήςιδιό- τηταςκαικάνονταςτηναναγωγήτωνόµοιωνόρων: Α=2(α 2) 3(β 1) ( α 6β)+5=2α 4 3β+3+α+6β+5= =2α+α 3β+6β 4+3+5=(2+1)α+( 3+6)β+4=3α+3β+4= =3(α+β)+4=3( 1)+4= 3+4=1 Τονίζουµεότιµπορούµεαπευθείαςναγράψουµε: 2α+α=3ακαι 3β+6β=3β διότι: 2+1=3και 3+6=3 β) Όπωςκαιστοερώτηµα(α),απλοποιούµεπρώτατηνπαράσταση: Β=3(α 2β) 2(3α β) (5 β)=3α 6β 6α+2β 5+β= =3α 6α 6β+2β+β 5= 3α 3β 5= 3(α+β) 5= = 3( 2) 5=6 5=1 15
11 1.5 Ναχρησιµοποιηθούνµεταβλητέςγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρικήπα- ράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούαυξηµένοκατά12. β) Τοάθροισµαδύοαριθµώνπολλαπλασιασµένοεπί9. γ) Ηπερίµετροςενόςορθογωνίου,πουτοµήκοςτουείναι 2m µεγαλύτε- ροαπότοπλάτοςτου. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτοναριθµό,τότε: Τοτριπλάσιοαυτούτουαριθµούείναι3x. Το3xαυξηµένοκατά12είναι 3x+12. β) Ανσυµβολίσουµεµεxτονέναναριθµόκαιµεyτονάλλοναριθµό,τότε: Τοάθροισµατωνδύοαριθµώνείναι x+y. Το x+y πολλαπλασιασµένοµετο9είναι 9(x+y). γ) Αν συµβολίσουµε µε y m τοπλάτοςτουορθογωνίου,τότετοµήκοςτουείναι (y+2)m (αφούτοµήκοςαυτούτουορθογωνίουείναι 2m µεγαλύτεροαπότοπλά- τοςτου).εποµένως,ηπερίµετρόςτουείναι: Π=y+(y+2)+y+(y+2)=2y+2(y+2)=2y+2y+4=(4y+4)m 1.6 Ναχρησιµοποιηθείµιαµεταβλητήγιαναεκφραστούνµεµιααλγεβρική παράστασηοιπαρακάτωφράσεις: α)τοσυνολικόποσόπουθαπληρώσουµεγιανααγοράσουµε5κιλάπα- τάτες,ανγνωρίζουµετηντιµήτουενόςκιλού. β)τηντελικήτιµήενόςπροϊόντος,ανγνωρίζουµεότιαυτήείναιηανα- γραφόµενητιµήσυν19%φπα. ΛΥΣΗ α) Ανσυµβολίσουµεµεxτηντιµήτουενόςκιλού,τότεητιµήτων5κιλώνείναι 5x. β) Ανσυµβολίσουµεµεyτηναναγραφόµενητιµή,τότεοΦΠΑπουαναλογείσεαυ- τήτηντιµήείναι: 16 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
12 19 y = 0,19y 100 Εποµένως,ητελικήτιµήτουπροϊόντοςείναιy+0,19y=(1+0,19)y=1,19y. 1.7 Nααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 20x 4x+x β) 7α 8α α γ) 14y+12y+y δ)14ω 12ω ω+3ω ε) 6x+3+4x 2 στ)β 2β+3β 4β ΛΥΣΗ Εφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητα αγ+βγ=(α+β)γ καικάνουµεαναγωγή όµοιωνόρων. α) 20x 4x+x=(20 4+1)x=17x. β) 7α 8α α=( 7 8 1)α= 16α. γ) 14y+12y+y=( )y=27y. δ) 14ω 12ω ω+3ω=( )ω=4ω. ε) 6x+3+4x 2= 6x+4x+3 2=( 6+4)x+(3 2)= 2x+1. στ)β 2β+3β 4β=( )β= 2β. 1.8 Νααπλοποιηθούνοιπαραστάσεις: α) 2x 4y+3x+3y β) 6ω 2ω+4α+3ω+α γ)x+2y 3x 4y δ) 8x+ω+3ω+2x x ΛΥΣΗ Παρατηρούµεότιοιαλγεβρικέςπαραστάσειςδενέχουνµίαµόνοµεταβλητή.Εφαρµό- ζουµετηνεπιµεριστικήιδιότηταστουςόρουςπουέχουντηνίδιαµεταβλητή. =5x+( 1)y=5x y. =7ω+5α. = 2x 2y. 17
13 = 7x+4ω. 1.9 NααπλοποιηθούνοιπαραστάσειςA,Bκαιστησυνέχειαναυπολογιστεί ητιµήτους: α)α=3(x+2y) 2(2x+y),ότανx=1, y= 2. β)β=5(2α 3β)+3(4β α),ότανα= 3, β=5. ΛΥΣΗ α) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΑ: Α=3(x+2y) 2(2x+y)=3x+6y 4x 2y=3x 4x+6y 2y= =(3 4)x+(6 2)y=( 1)x+4y= x+4y ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΑ,όταν x=1 και y= 2: Α= 1+4( 2)= 1 8= 9 β) ΑπλοποιούµετηνπαράστασηΒ: Β=5(2α 3β)+3(4β α)=10α 15β+12β 3α=10α 3α 15β+12β= =(10 3)α+( 15+12)β=7α+( 3)β=7α 3β ΥπολογίζουµετηντιµήτηςπαράστασηςΒ,όταν α= 3 και β=5: Β=7( 3) 3 5= 21 15= 36 Βασικέςασκήσεις 1.10 Ναχρησιµοποιήσετεµεταβλητέςγιαναεκφράσετεµεµιαπαράστασητιςεπό- µενεςφράσεις: α) Τοτριπλάσιοενόςαριθµούελαττωµένοκατά10. β) Τοδιπλάσιοτουαθροίσµατοςδύοαριθµών. γ) Τοµισότηςδιαφοράςδύοαριθµών. 18 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
14 δ) Ηπερίµετροςενόςισοσκελούςτριγώνου. ε) Τοεµβαδόνενόςορθογωνίουµεµήκος5. στ)ηδιαφοράτουαθροίσµατοςδύοαριθµώναπότο Ναγράψετεµετηβοήθειαµεταβλητώντιςφράσεις: α) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνακέραιωναριθµών. β) Ητιµήενόςπροϊόντοςµετάαπόέκπτωση 20%. γ) Οµέσοςόροςδύοαριθµώνείναι5. δ) Τοκόστοςδύοίδιωντετραδίωνκαιτριώνίδιωνβιβλίων Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α) 3x+2x+5x β) 5α+3α+α γ) 7x 3x x δ)6α+α 5α ε) 4y y+2y στ) 10β+3β+6β 1.13 Νακάνετεαναγωγήτωνόµοιωνόρων: α)5α 3β+2β 4α β) 2α β+3α 2β γ) 3x 4y 2x+3y δ) 5β+3γ+7β 4γ 1.14 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α+α+α β)α α α γ)3α+3α+3α δ)3α 3α 3α ε) α 2α 3α στ)( α)( 2α)( 3α) 1.15 Αν α= 1 και β= 2, ναυπολογίσετετιςπαραστάσεις: α)α=α 2 β βα 3 β)β=β 3 :α 5 β( 3 2α) Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=3α 2β+3γ,ανα=2, β= 3, γ= 2 β)β=2(α β) 5(β+α),ανα=3, β= Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2(3α 2β 1) 3(2α 3β 2) β)β= 3(x 2y+3)+2(3x 3y+5) 19
15 1.18 Νααπλοποιήσετετιςπαραστάσεις: α)α= [ ( 2α β) (α β)] (α 2β) β)β= [ 2(α β) (β α)] (α β) 1.19 Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α)α=2(x y) 3(2x 5y) 2,ανx= 5, y= 2 β)β= 3(α 2β)+2( 2α+3β)+5,ανα= 3, β= Ναβρείτετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) Α=3α 3β,ανα β=10 β) Β= 2α 2β,ανα+β=5 3 3 γ) Γ= x+ y, ανx+y= Αν α+β= 7 και x y= 3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α=7 [ α (β+3)] [2+(y x)] 1.22 Αν x y= 5 και α β+γ=3, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= x α+y+β γ 1.23 Ναεκφράσετεµετηβοήθειαµιαςµεταβλητήςτιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνάρτιων. β) Τοάθροισµαδύοδιαδοχικώνπεριττώναυξηµένοκατά10. γ) Έναςπεριττόςαριθµόςαυξηµένοςκατάτοδιπλάσιοτουεπόµενούτουαριθ- µού Ναεκφράσετεµεµιαισότητατιςπαρακάτωπροτάσεις: α) Τοάθροισµατριώνδιαδοχικώνπεριττώναριθµών,απότουςοποίουςοµεσ- σαίοςείναιο 2x+1, είναιίσοµε15. β) ΟΜιχάληςείναι4χρόνιαµεγαλύτεροςαπότονΓιώργοκαιτοµισότηςηλι- κίαςτουμιχάληισούταιµετο 1 6 τηςηλικίαςτουγιώργουαυξηµένοκατά8 χρόνια Απόποιαγινόµεναπροέκυψανοιπαρακάτωαλγεβρικέςπαραστάσεις; α) 2x+2y β) 3α 3β γ) 5x+5y δ) 4α 4β ε) 2x+4y στ) 3α+6β 20 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
16 1.26 Αν α+β=3, νααποδείξετεότι: α)3α (α 2β)=6 β)2(α β) 3(2α+β)+β= Ναυπολογίσετετηντιµήτωνπαραστάσεων: α) { [ ] [ ]} β) [ ] A = 3 ( 4+ 3) + 2 ( 7+ 4) ( 2+ 7) { } B= 3 + ( 5+ 4) (6+ 3 7) ( 2+ 7) 1.28 Ναβρείτετηντιµήτωνπαρακάτωαριθµητικώνπαραστάσεων: α)α=( 2)(+3) ( 8):( 4) ( 3) 2 β)β=( 1)( 2) 2 ( 3) 2 :( 9) ( 5+3)( 2) γ)γ=( 3)( 2) ( 4+3) 2008 ( 1) 3 ( 4) δ) =( 8+7) ( 25):( 5) 2 3( 4+5) 1.29 Αν Α= ( 2α+β) (α+2β) και Β=2(α β) 3(α 2β), ναυπολογίσετετις παραστάσεις: α)α Β β)2β 3Α+5(α 3β) 1.30 Νααπλοποιήσετετιςπαρακάτωπαραστάσεις: α)α=2( 3x+2y)+3(2x 3y) (x 2y) β)β= 3(α 2β)+2( 3α+β) (2α β)+11α γ)γ= 2(α 2β γ)+3(2α β 3γ) (2α β 3γ) 2(β 2γ) δ) =4(2α β+2γ) 2(α β+γ) 3(2α β γ) 9γ 1.31 Αν α β γ= 1, ναυπολογίσετετηντιµήτηςπαράστασης: Α= 3(α+β+γ) 4(β α γ)+2(3α 4γ) 1.32 Ναβρείτετηνπερίµετροτωνπαρακάτωσχηµάτων: 21
17 1.33 Ναβρείτετηνπλευράαενόςτετραγώνου,του οποίου το εµβαδόν ισούται µε το άθροισµα τωνεµβαδώντωνδιπλανώνορθογωνίων Αντοτρίγωνοέχειπερίµετρο 10cm, ναβρείτετηνπερίµετροτουορθογωνίου Ναβρείτετοεµβαδόντουδιπλανούορθογω- νίου. 22 ΗΕΝΝΟΙΑΤΗΣΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
18 Α. Ισότητες - Ιδιότητες Ποια σχέση µπορεί να υπάρχει ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Ανάµεσα σε δύο αριθµούς α και β ισχύει πάντα µόνο µία από τις σχέσεις: α= β ή α< β ή α> β Η σχέση α = β λέγεται ισότητα, ενώ καθεµία από τις σχέσεις α < β, α > β λέγεται ανισότητα. Το σύµβολο «<» διαβάζεται «µικρότερο» και το «>» διαβάζεται «µεγαλύτερο». Ποιες ιδιότητες συνδέουν τις πράξεις και τις ισότητες; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Σε µια ισότητα µπορούµε να κάνουµε µία τουλάχιστον από τις επόµενες ενέργειες και να πάρουµε πάλι ισότητα. 23
19 Ιδιότητα 1η Αν στα δύο µέλη µιας ισότητας προσθέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α + γ = β + γ Ιδιότητα 2η Αν και από τα δύο µέλη µιας ισότητας αφαιρέσουµε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 3η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας πολλαπλασιαστούν µε τον ίδιο αριθµό, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α γ = β γ Ιδιότητα 4η Αν και τα δύο µέλη µιας ισότητας διαιρεθούν µε τον ίδιο αριθµό, που δεν είναι µηδέν, τότε προκύπτει και πάλι µια ισότητα. ηλαδή: Αν α = β, τότε α = β, γ γ γ 0 Σχόλιο Από τις παραπάνω ιδιότητες µπορούµε να συµπεραίνουµε επίσης ότι: Αν α + γ = β + γ, τότε α = β. Αν α γ = β γ, τότε α = β. Αν αβ = αγ και α 0, τότε β = γ. α α β γ Αν = ή =, τότε β = γ. β γ α α Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γνωστές ως ιδιότητες της διαγραφής. 24 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
20 Εφαρµογή2.1 ίνονταιοιµεταβλητέςα,βκαιγ.νααποδειχθείότι: α) Αν α+β 3=γ+β 3, τότε α=γ. β) Αν 2α 3β+7=2α 3γ+7, τότε β=γ. γ) Αν αβ 8=αγ 8 και α 0, τότε β=γ. ΛΥΣΗ α) Κάνουµεδιαδοχικάτιςπαρακάτωενέργειες: α+β 3=γ+β 3 Προσθέτουµεσταδύοµέλητο3 α+β 3+3=γ+β 3+3ή α+β=γ+β Αφαιρούµεαπόταδύοµέλητοβ α+β β=γ+β βήα=γ β) Έχουµε: 2α 3β+7=2α 3γ+7 Αφαιρούµεσταδύοµέλητο7 2α 3β+7 7=2α 3γ+7 7ή 2α 3β=2α 3γ Αφαιρούµεσταδύοµέλητο2α 2α 3β 2α=2α 3γ 2αή 3β= 3γ ιαιρούµεκαιταδύοµέληµε 3 3β 3γ = 3 3 ήβ=γ γ) Έχουµε αβ 8=αγ 8. Προσθέτουµεκαισταδύοµέλητο8καιπαίρνουµε: αβ 8+8=αγ 8+8ήαβ=αγ Αφού α 0, διαιρούµεκαιταδύοµέληµεακαιπαίρνουµε: αβ αγ = ή β= γ α α Β. Πώς λύνουµε εξισώσεις Τι είναι εξίσωση; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Εξίσωση είναι µια ισότητα που περιέχει έναν άγνωστο αριθµό x. 25
21 Σχόλια Ο άγνωστος µπορεί να συµβολίζεται και µε οποιοδήποτε άλλο γράµµα. Για παράδειγµα οι 3x + 2 = 17 2x, 2y 7 = 15 + y είναι εξισώσεις. Η πρώτη έχει άγνωστο τον x και η δεύτερη έχει άγνωστο τον y. Κάθε εξίσωση έχει δύο µέλη. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x, α µέλος είναι η παράσταση 3x + 2 και β µέλος είναι η παράσταση 17 2x. Τι λέγεται λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Λύση ή ρίζα µιας εξίσωσης λέγεται ο αριθµός που πρέπει να βάλουµε στη θέση του αγνώστου, ώστε η ισότητα που προκύπτει να αληθεύει. Για παράδειγµα, στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x ο αριθµός x = 3 είναι λύση, διότι: = ή = 17 6 ή 11 = 11 Η διαδικασία µε την οποία διαπιστώνουµε ότι κάποιος αριθµός είναι λύση µιας εξίσωσης λέγεται επαλήθευση. Ποια γενική αρχή εφαρµόζουµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Όταν λύνουµε µια εξίσωση, χρησιµοποιούµε την εξής γενική αρχή: Σε µια εξίσωση µπορούµε να µεταφέρουµε όρους από το ένα µέλος στο άλλο, αλλάζοντας όµως το πρόσηµό τους. Για παράδειγµα στην εξίσωση 3x + 2 = 17 2x µπορούµε να φέρουµε τους άγνωστους όρους στο α µέλος και τους γνωστούς στο β µέλος ως εξής: 3x + 2x = 17 2 Αφού το 2x ήταν στο β µέλος και ήρθε στο α, έγινε +2x ενώ το +2 που ήταν στο α µέλος και πήγε στο β έγινε 2. Οι όροι 3x και 17 παρέµειναν στο µέλος που βρίσκονταν αρχικά, οπότε δεν άλλαξαν πρόσηµο. 26 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
22 Ποια βήµατα ακολουθούµε για τη λύση µιας εξίσωσης; ΑΠΑΝΤΗΣΗ Στην πορεία λύσης µιας εξίσωσης ακολουθούµε µε τη σειρά τα εξής βήµατα: 1ο Βήµα Απαλείφουµε, αν υπάρχουν, τους παρονοµαστές, πολλαπλασιάζοντας κάθε όρο, και στα δύο µέλη, µε το ΕΚΠ των παρονοµαστών αυτών. 2ο Βήµα Εκτελούµε τις πράξεις, συνήθως µε τη βοήθεια της επιµεριστικής ιδιότητας. 3ο Βήµα Χωρίζουµε γνωστούς από αγνώστους, µεταφέροντας στο ένα µέλος όλους τους όρους που έχουν τον άγνωστο και στο άλλο µέλος αυτούς που είναι γνωστοί. 4ο Βήµα Κάνουµε αναγωγή όµοιων όρων. 5ο Βήµα ιαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε το συντελεστή του αγνώστου. 6ο Βήµα Απλοποιούµε τα κλάσµατα και βρίσκουµε τη λύση. Σχόλιο Πολλές φορές, όταν λύνουµε µια εξίσωση, καταλήγουµε σε εξισώσεις της µορφής: 0x = 5, 0x = 7, 0x = 0 κ.λπ. Εξισώσεις, όπως για παράδειγµα οι 0x = 5, 0x = 7 λέγονται αδύνατες. Η εξίσωση 0x = 0 λέγεται ταυτότητα. 27
23 Συνοψίζοντας, έχουµε τα ακόλουθα: Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = α, µε α 0 λέγεται αδύνατη. Κάθε εξίσωση που έχει ή παίρνει τη µορφή 0x = 0 λέγεται ταυτότητα (ή αόριστη). Εφαρµογή2.2 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 5x 7=3x+13 β) 2x+5=5x+17 γ) 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5) δ) 3(x 5)+7=9 2(x 1) ΛΥΣΗ Αφούδενυπάρχουνκλάσµαταδεναπαιτείταιπουθενάαπαλοιφήπαρονοµαστών. Ακολουθούµελοιπόνταυπόλοιπαβήµαταπουπεριγράψαµεπροηγουµένως: α) 5x 7 = 3x + 13 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 5x 3x=13+7 Αναγωγήόµοιωνόρων 2x=20 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου 2x 20 = 2 2 ή x = 10 Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςείναιη x=10. β) Εργαζόµαστεµετονίδιοτρόπο: 2x+5=5x+17 Χωρίζουµεγνωστούςαπόαγνώστους 2x 5x=17 5 Αναγωγήόµοιωνόρων 3x=12 ιαιρούµεµετονσυντελεστήτουαγνώστου = 3 3 ή x = Ηλύσηλοιπόντηςεξίσωσηςαυτήςείναιη x= 4. Σχόλιο Μπορούµε να βεβαιωθούµε ότι η λύση που βρήκαµε είναι σωστή, κάνοντας επαλήθευση: 2x + 5 = 5x + 17 ή 2( 4) + 5 = 5( 4) + 17 ή = ή 3 = 3 Αφού η τελευταία ισότητα είναι σωστή, η λύση x = 4 είναι η σωστή. 28 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
24 γ) Εδώπρέπειπρώταναεκτελέσουµετιςπράξεις,ώστενααπαλλαχτούµεαπότιςπα- ρενθέσεις: 2(x 3) 3(x 2)=4(x 5)ή2x 6 3x+6=4x 20ή 2x 3x 4x= 20ή 5x= 20ή 5x = 20 ή x = δ) Εργαζόµαστεακριβώςµετονίδιοτρόπο: 3(x 5)+7=9 2(x 1)ή 3x+15+7=9 2x+2ή 3x+2x= ή x= 11ή x = 11 ή x = Τονίζουµεότιαφού x= 11, οxείναιοαντίθετοςτου 11,δηλαδήο11.Εποµένως ηδιαίρεσηµετο 1µπορείκαιναπαραλειφθεί. Εφαρµογή2.3 Ναλυθούνοιεξισώσεις: α) 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x) β) 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x) ΛΥΣΗ α) Ακολουθούµεταβήµαταπουπεριγράψαµεστηθεωρία: 3(x 2) 5(1 2x)=2(4x 4) 5(2 x)ή 3x x=8x xή 3x+10x 8x 5x= ή 0x= 7 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. β) Εκτελούµεαρχικάτιςπράξεις: 3(x 1) 2(3 x)=4(x+2) (17 x)ή 3x 3 6+2x=4x+8 17+xή 3x+2x 4x x= ή 0x=0 Ηεξίσωσηαυτήείναιταυτότητα,δηλαδήαληθεύειγιαόλεςτιςτιµέςτουx. 29
25 Εφαρµογή2.4 Ναλυθούνοιπαρακάτωεξισώσεις: 2x x x+2 2x+5 α) = β) 3= γ) = x 2 1 x+2 1 x 2 1 x 4 δ) +2 4 = ΛΥΣΗ Όλεςοιεξισώσειςέχουνκλάσµατα,οπότεπρώτακάνουµεαπαλοιφήπαρονοµαστών. 2x x α) = 5 3 Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=15 2x x 15 = 15 ή 5 3 Απαλείφουµετουςπαρονοµαστές 3(2x+3)=5(4 x)ή Εκτελούµετιςπράξειςκατάταγνωστά 6x+9=20 5xή 6x+5x=20 9ή 11x = 11 ή 11x 11 = ή x = 1 Άλλοςτρόπος A Γ Ότανέχουµεεξίσωσητηςµορφής =, B δηλαδήµεδύοµόνοόρουςπουείναικλά- σµατα,τότεπροτιµάµετηµέθοδοτουχιαστί: Έχουµελοιπόν: 2x x = ή 3(2x + 3) = 5(4 x) ή6x+9=20 5xή 5 3 6x+5x=20 9ή11x=11ήx=1 β) Εδώείναι ΕΚΠ=12, οπότεπολλαπλασιάζουµεόλουςτουςόρουςκαισταδύοµέ- ληµετο12: x+ 2 2x = ή3(x+2) 36=12 4(2x+5)ή 4 3 3x+6 36=12 8x 20ή3x+8x= ή 11x 22 11x=22ή = ή x = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
26 γ) ΤοΕΚΠτωναριθµών2,3,4,6είναιτο12.Άρα: 3x 2 x 2 x 2 x = ή (3x 2) 4(x 2)=3(x 2) 2(x 14)ή 18x 12 4x+8=3x 6 2x+28ή 18x 4x 3x+2x= ή 13x 26 13x = 26 ή = ή x = x+ 2 δ) Οόρος + 2 µαςεπιβάλλειναεκτελέσουµετονπολλαπλασιασµό.τοίδιο x 2 καιοόρος 4, διότιδιαφορετικάηαπαλοιφήπαρονοµαστώνείναιαρκετά 4 2 δύσκολη.μετηνεπιµεριστικήιδιότηταπαίρνουµελοιπόν: 1 x+ 2 1 x 2 1 x = ή x+ 2 x 2 x = ή Πολλαπλασιάζουµεµετο ΕΚΠ=24 x+ 2 x 2 x = ή 4(x+2)+3(x 2)=2(x 4)ή 4x+8+3x 6=2x 8ή4x+3x 2x= 8 8+6ή 5x = 10 ή 5x 10 = 5 5 ή x = 2 ΣΥΝΗΘΙΣΜΕΝΑΛΑΘΗ Σωστήπράξη 5 2(x 3) = 5 2x+ 6= = 11 2x x 2 = 3 1(x 2) = 6 = 3 x+ 2= 5 x Λάθοςπράξη 5 2(x 3) = 5 2x 6= = 1 2x x 2 = 3 x 2= 6 = 1 x 31
27 3 1 6 Σωστήπράξη x 5 = 1 3(x 5) = 2 = 1 3x+ 15= 16 3x Λάθοςπράξη x 5 = 1 3 x 5= 2 = 1 5 3x= 4 3x Απόταπαραπάνωσυµπεραίνουµεότι: Ότανεφαρµόζουµετηνεπιµεριστικήιδιότητακαιοαριθµόςµετονοποίοπολ- λαπλασιάζουµεέχειµπροστάπλην,τότετοπρόσηµοτωνγινοµένωναλλάζει: α(β+γ)= αβ αγ, α(β γ)= αβ+αγ Αν,κατάτηναπαλοιφήπαρονοµαστών,τοΕΚΠκαιοπαρονοµαστήςκάποιου κλάσµατοςείναιίσοι(άραδιαγραφόµενοιδίνουν1),οαριθµητήςτουκλάσµα- τοςπρέπειναµπεισεπαρένθεση. Γ. Η εξίσωση αx = β Για τη λύση της εξίσωσης αx = β µπορούµε να διακρίνουµε τις παρακάτω περιπτώσεις: 1η περίπτωση Αν α 0, τότε διαιρούµε και τα δύο µέλη της εξίσωσης µε α, οπότε: αx = β ή 2η περίπτωση αx = β α α ή x = β α Αν α = 0, τότε προφανώς, δεν µπορούµε να διαιρέσουµε µε α. ιακρίνουµε, λοιπόν, περιπτώσεις για το β. Αν β 0, τότε η εξίσωση είναι αδύνατη, διότι δεν υπάρχει αριθµός που να πολλαπλασιάζεται µε το µηδέν (α = 0) και να δίνει αποτέλεσµα κάποιον µη µηδενικό αριθµό (β 0). 32 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
28 Αν β = 0, τότε η εξίσωση παίρνει τη µορφή 0x = 0 και επαληθεύεται για κάθε τιµή του x. Η εξίσωση σ αυτή την περίπτωση λέµε ότι είναι αόριστη ή ταυτότητα. Σχόλια Τα παραπάνω συµπεράσµατα µπορούν να συγκεντρωθούν στον παρακάτω πίνακα: β Αν α 0 τότε x =. α αx = β Αν α = 0 και β 0, τότε είναι αδύνατη. Αν α = 0 και β = 0, τότε είναι αόριστη ή ταυτότητα. Μια εξίσωση πρώτου βαθµού µπορεί να έχει µοναδική λύση, να είναι αδύνατη ή να έχει άπειρο πλήθος λύσεων. Αν σε µια άσκηση ζητούνται οι τιµές των α, β, ώστε: η εξίσωση αx = β να είναι αόριστη ή ταυτότητα, τότε απαιτούµε: α = 0 και β = 0 η εξίσωση αx = β να είναι αδύνατη, τότε απαιτούµε α = 0 και β 0. Εφαρµογή2.5 ίνεταιηεξίσωση (λ 1)x=8. α) Ναλυθείηεξίσωσηγια λ=3. β) Ναλυθείηεξίσωσηόταν λ 1. γ) Τισυµπεραίνετεγιατηνεξίσωσηαν λ=1; δ) Γιαποιατιµήτουληεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό2; ΛΥΣΗ α)για λ=3 ηεξίσωση (λ 1)x=8 γίνεται: 2x 8 (3 1)x= 8 ή 2x= 8 ή = ή x= β)όταν λ 1 είναι λ 1 0. Μπορούµελοιπόνναδιαιρέσουµεκαιταδύοµέλητης εξίσωσηςµε λ 1, οπότεπαίρνουµε: 33
29 (λ 1)x 8 8 = ή x= λ 1 λ 1 λ 1 γ)αν λ=1, τότεαντικαθιστώνταςστηνεξίσωση (λ 1)x=8 τολµετο1,βρίσκουµε: (1 1)x=8ή0x=8 Ηεξίσωσηαυτήείναιαδύνατη. δ) Αφούθέλουµεηεξίσωσηναέχειλύσητοναριθµό2,πρέπειηεξίσωση (λ 1)x=8 ναεπαληθεύεταιγια x=2. Πρέπειδηλαδή: (λ 1)2=8ή2(λ 1)=8ή2λ 2=8ή2λ=8+2ή 2λ 10 2λ = 10 ή = ή λ = Στοδιπλανότρίγωνονασυµπληρωθούντακυ- κλάκιαµεαριθµούςέτσι,ώστετοάθροισµατων αριθµώνπουβρίσκονταιστιςκορυφέςκαθενός απότατρίγωναπουσχηµατίζονταιναείναιπά- ντοτετοίδιο. ΛΥΣΗ Αςβάλουµεταγράµµαταα,β,γστακυκλάκιαπουείναι κενά.πρέπει: 13+α+γ=β+α+γή13=βήβ=13 διότιοιόροια,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 19+α+β=γ+α+βή19=γήγ=19 διότιοιόροια,βπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδια- γράφονται. 15+γ+β=α+γ+βή15=αήα=15 διότιοιόροιβ,γπουβρίσκονταικαισταδύοµέληδιαγράφονται. 34 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
30 Αφούλοιπόν α=15, β=13 και γ=19, τοµαγικόαυτό τρίγωνοσυµπληρώνεταιόπωςφαίνεταιστοσχήµα. 2.7 Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)5+ =30 β)9 =20 γ)5 =35 δ) 12=30 ε) 3 4=17 δ)5 9 = Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: α)αν β 0, τότεηεξίσωση 0x=β είναι β)αν α=β=0, τότεηεξίσωση αx=β είναι γ)αν α+β=α+γ, τότε Αν αβ=αγ και α 0, τότε δ)αν α=β, τότεηεξίσωση (α β)x=β 2 α 2 είναι ε) Ανηεξίσωση (λ 1)x=3 δενείναιαδύνατη,τότε 2.9 Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςήµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. α) Ηεξίσωση 2x 7=5x+20 έχειλύσητοναριθµό 9. β) Ηεξίσωση 7x=42 έχειλύσητοναριθµό 6. γ) Ηεξίσωση 3x=18 έχειλύσητοναριθµό6. δ) Ηεξίσωση 3x 5=4+3x είναιταυτότητα. ε) Ηεξίσωση x+3=1+x+2 είναιταυτότητα. στ)ηεξίσωση 0x=2 είναιαδύνατη. ζ) Ηεξίσωση 0y=0 είναιταυτότητα. 35
31 Βασικέςασκήσεις 2.10 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 2x+21=4+x β)3(x 4)+2(x+5)=2x+25+4(x 8) γ) 2(2x 1)+11=4(x+1)+5 δ)x+18 4(x+6)=3(6 x) 2.11 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) 3x+7=4x+5 β) 3x+6+2x=5x 6 6x+12 γ) 2x+4=6x 7 4x δ)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) ε) 4(5x+12) 2(19x+6)=18(2 x) στ)8x 4(3x 1)=1 (4x+1) 2.12 Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: x 2 1 x α) + 1 = β) x x + = γ) x x 10 5 x + + = δ) x x = + x Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: 2x + 1 5x 8 α) = β) Ναλύσετετιςεπόµενεςεξισώσεις: x 2 2 x x 2 α) = x 5 β) (x 1) (x 8) = 2 3 5x + 2 x + 1 2x 1 + = ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
32 γ) ε) 2(x + 1) x + 2(x + 2) x x + = + δ) 25x [ ] (5 6x) = 3x + 19 (4x 5) 3 x 1 x x 1 = στ) x x = x Νααποδείξετεότιοιπαρακάτωεξισώσειςεπαληθεύονταιγιακάθετιµήτουαριθ- µούx. α) 3(x+5) (5 6x)=2(4x+3)+x+4 β) 2x 3 x 3 3x + = Νααποδείξετεότιδενυπάρχειαριθµόςxπουναεπαληθεύειτιςπαρακάτωεξι- σώσεις: α) 2(x+3) (x+7)=x 5 5x + 1 3x 1 5 2x β) = x 1 γ) 3 4x + 1 2x = δ)(x 1)x=x 2 (x+2) 2.17 ίνεταιηεξίσωση λ(x+3) 4=(2λ 3)x+8. α)αν λ=2, νααποδείξετεότιηεξίσωσηέχειλύση x=6. β) Ανηεξίσωσηέχειλύσητοναριθµό x=4, ναβρείτετηντιµήτουλ. γ) Ναλύσετετηνεξίσωσηγια λ= Ναβρείτετιςτιµέςτουα,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαδύνατες: α)(α 3)x=5 β) [ 3(α 1) + 6] x = Ναβρείτετιςτιµέςτουλ,ώστεοιπαρακάτωεξισώσειςναείναιαόριστεςήταυ- τότητες: α)(λ 4)x=0 β) [ 2(1 λ) + 4] x = Ναβρείτεταx,yσταπαρακάτωσχήµατα: Στησυνέχειαναυπολογίσετετηνπερίµετροτουκάθεσχήµατος. 37
33 2.21 Ναεξετάσετεανυπάρχειτιµήτουx,ώστετοτρίγωνοΑΒΓ ναείναιισόπλευρο. Συµπληρωµατικέςασκήσεις 2.22 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x 3 2x 3 3x 1 3 x x 2 2x 1 α) = + x β) = x x 3x 5 x+ 6 x γ) + = δ) x+ 4 x 4 3x 1 = ΤοτραπέζιοΑΒΓ είναιισοσκελέςκαιτούψος τουείναιίσοµε8.ναβρείτε: α) τοx, β) τηβάση Γ,αν ΕΓ=26, γ) τηνπερίµετροκαιτοεµβαδόντουαβγ Ναλύσετετιςεξισώσεις: 6 3x 2x 1 x 4 α) = β) (x 3) 4 1 2(x 3) 6 3(x 3) = ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκη τωνπλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ, ναβρείτετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ Ναλύσετετιςεξισώσεις: α) 3x 3(x+1)=x+2(x+1)+1 2(x 1) 2 1 5x β) = 2 4 x+ 4 x 4 1 3x γ) = 2 δ) 1 1 x (x + 5) 7 = (1 x) ΕΞΙΣΩΣΕΙΣα ΒΑΘΜΟΥ
34 2.27 Ναλύσετετιςεξισώσεις: x+ 1 3x+ 2 7x 2 x+ 1 3x x x+ 2 α) = 3 x β) = x 2 3 2x 5+ x 9+ 4x 1 1 γ) + = δ) 2x (19 2x) = (2x 11) Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α) x 1 x x = 3 12 β) 1 x 8 2 x 5 6 3x 3(x 5) = x x 7 γ) 5 4x 7x = 9x x 1 x + 3 δ) 3 x 1 2 x = 5x Ναλύσετετιςεξισώσεις: 7+ x α) = 26 3 β) {[ ] } 3+ 5 (x+ 7): = ίνεταιηεξίσωση λx 5=2x+7. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετηντιµήτουλ,ώστεηεξίσωσηναείναιαδύνατη ίνεταιηεξίσωση αx+3µ=x+6. α) Ναγράψετετηνπαραπάνωεξίσωσηστηµορφή Αx=Β. β) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαόριστηήταυ- τότητα. γ) Ναβρείτετιςτιµέςτωνα,µ,ώστεηαρχικήεξίσωσηναείναιαδύνατη. 39
35 Θέµα1ο α) Τιονοµάζεταιεξίσωση; β) Νασυµπληρώσετετακενάστιςπαρακάτωπροτάσεις: i) Αν α=β, τότε α+γ= + ii) Αν α=β και γ 0, τότε α γ = iii)ηεξίσωση 0x=5 είναι iv)ηεξίσωση 0x= είναιταυτότητα. γ) Ναχαρακτηρίσετετιςπαρακάτωπροτάσειςµε(Σ)ανείναισωστέςκαιµε(Λ)αν είναιλανθασµένες. i)αν α=β, τότε α γ=β γ. ii) Αν x=y και α 0, τότε x = y. α α iii)αν αγ=βγ, τότε α=β. iv)ηεξίσωση 0x=β είναιπάντααδύνατη. Θέµα2ο Ναλύσετετιςπαρακάτωεξισώσεις: α)4(x 1) 8x+1=10(x 9) 9(x 8) β) 8x 4(3x 1)=1 (4x+1) γ) 3 x x 2 x 2x = Θέµα3ο ΣτοδιπλανόσχήµαδίνεταιένατρίγωνοΑΒΓκαιταµήκητων πλευρώντου. α) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηΒΓ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνου. β) ΑντοτρίγωνοΑΒΓείναιισοσκελές,µεβάσητηνΑΒ,ναβρεί- τετηνπερίµετροπτουτριγώνουαβγ. γ) ΝαεξετάσετεαντοτρίγωνοΑΒΓµπορείναείναιισοσκελέςµεβάσηΑΓ. 40 1οΚΡΙΤΗΡΙΟΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ
Φίλη µαθήτρια, φίλε µαθητή
Φίληµαθήτρια,φίλεµαθητή Τοβιβλίοαυτόέχειδιπλόσκοπό: Νασεβοηθήσειστηνάρτιαπροετοιµασίατουκαθηµερινούσχολικού µαθήµατος. Νασουδώσειόλατααπαραίτηταεφόδια,ώστενααποκτήσειςγερές βάσειςσταμαθηµατικά,κάτιπουθασεκάνεινατακατανοήσειςβα-
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων
Αλγεβρικές παραστάσεις - Αναγωγή οµοίων όρων 1. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις µόνο µε αριθµούς, λέγεται αριθµητική παράσταση. Παράδειγµα: + + 1 =. είναι µια αριθµητική παράσταση, το αποτέλεσµα των
Διαβάστε περισσότερα1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1.2 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού Διδακτικοί Στόχοι: Θα μάθουμε: Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία. Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο. Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ - ΚΑΝΟΝΕΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΩΝ
Κεφάλαιο o : Εξισώσεις - Ανισώσεις ΜΑΘΗΜΑ Υποενότητα.: Ανισώσεις ου Βαθµού Θεµατικές Ενότητες:. Ανισότητες - Κανόνες Ανισοτήτων.. Η έννοια της ανίσωσης.. Τρόπος επίλυσης ανισώσεων ου βαθµού. Α. ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Γ'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Γ'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Γ Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν ίσως το αποκορύφωµα των
Διαβάστε περισσότεραΑπαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος)
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Απαντήσεις θεωρίας Κεφάλαιο 1ο. (α μέρος) 1. Πως προσθέτουμε δυο πραγματικούς αριθμούς; Για να προσθέσουμε δύο ομόσημους αριθμούς, προσθέτουμε τις απόλυτες τιμές τους και στο άθροισμά
Διαβάστε περισσότερα2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0
1 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx + β = 0 ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση 1 ου βαθµού µε άγνωστο x Κάθε εξίσωση που έχει ή µπορεί να πάρει τη µορφή αx + β = 0. Tο x είναι ο άγνωστος, το α ο συντελεστής του αγνώστου και το β ο σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΌταν λύνοντας μια εξίσωση καταλήγουμε στην μορφή 0x=0,τότε λέμε ότι
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ 9. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ Χρήσιμες ιδιότητες πράξεων Αν αβ τότε α+γβ+γ Αν αβ τότε α-γβ-γ Αν αβ τότε α γ α β γ β Αν αβ τότε γ γ με γ 0 Η έννοια της εξίσωσης Μια ισότητα, που αληθεύει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
1 2.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ανισότητα : Είναι µία σχέση µεταξύ δύο αριθµών που δεν είναι ίσοι µεταξύ τους 2. ιάταξη δύο πραγµατικών αριθµών που έχουµε παραστήσει µε σηµεία στον
Διαβάστε περισσότεραAπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.
ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις.
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Αλγεβρικές παραστάσεις. Μέρος Α Θεωρία. 1. Πως προσθέτουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 2. Πως πολλαπλασιάζουμε δύο πραγματικούς αριθμούς; 3. Ποιες είναι οι ιδιότητες
Διαβάστε περισσότερα2ay κλάσµα πρέπει πάντα ο παρανοµαστής να είναι διάφορος το µηδενός δηλαδή στο παράδειγµα
Θεωρία για τα µονώνυµα-πολυώνυµα Σελ. 1 1. Εκφράσεις στις οποίες συνδυάζονται πράξεις µεταξύ αριθµών και µεταβλητών (γραµµάτων) τις ονοµάζουµε αλγεβρικές παραστάσεις. Πχ. -3x+4ψ, 3 x4 α 3 x + y, 3z α.
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ.3 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Α. Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Ποια εξίσωση λέγεται εξίσωση ου βαθμού
Διαβάστε περισσότερα4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ
1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΜ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ
Α λ γ ε β ρ α Μ α θ η μ α τ ι κ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Α λ γ ε β ρ α Γ Γ υ μ ν α σ ι ο υ Με πολυ μερακι Για τους μικρους φιλους μου Τακης Τσακαλακος Κερκυρα
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ
ΡΗΤΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΘΕΩΡΙΑ Α. ΟΡΙΣΜΟΙ Θετικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο το + (πολλές φορές το + παραλείπεται) π.χ. +3, +105, +, + 0,7, 326. Αρνητικοί αριθµοί είναι οι αριθµοί που έχουν πρόσηµο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
ο κεφάλαιο: Πραγματικοί αριθμοί ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 014 Περιεχόµενα
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ-ΜΟΝΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ- ΒΑΣΙΚΕΣΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 9 40 4 ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ 4 4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Να βρείτε την αριθµητική τιµή των παραστάσεων. i) α -α 6α, ii) 4α, για α iii) αβ α β (αβ),
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότεραΜάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β)
ΜΑΘΗΜΑ 5 Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Κλασµατικές Εξισώσεις Θεµατικές Ενότητες:. Κλασµατικές Εξισώσεις (Μέρος Β). Α. ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ (ΜΕΡΟΣ Β) ΟΡΙΣΜΟΙ Κλασµατική εξίσωση λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ - ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΟ ΠΑΡΟΝΟΜΑΣΤΗ
ΜΑΘΗΜΑ Κεφάλαιο o : Αλγεβρικές Παραστάσεις Υποενότητα.: Πράξεις Ρητών Παραστάσεων. Θεµατικές Ενότητες:. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων µε Κοινό Παρονοµαστή.. Πρόσθεση - Αφαίρεση Ρητών Παραστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι
Διαβάστε περισσότερα2 Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 016-017 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΡΗΤΟΙ λέγονται οι αριθµοί : ΟΙ ΠΕΡΙΟ ΙΚΟΙ αριθµοί είναι :. ΑΡΡΗΤΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Β Γυμνασίου
Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΗ Έννοια της εξίσωσης:
Η Έννοια της εξίσωσης: Θεωρία και λυμένα παραδείγματα Εξίσωση με έναν άγνωστο λέμε μια ισότητα η οποία περιέχει αριθμούς και έναν άγνωστο γράμμα ( μεταβλητή). Εξισώσεις είναι οι: χ+=8, χ-21=4,χ+1, 8χ=26.
Διαβάστε περισσότερα1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων
Διαβάστε περισσότεραΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ
ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΑΞΕΙΣ Να δείξετε ότι (x 2) 3 + (3x 4) 3 + (6 4x) 3 = 3(x 2)(3x 4)(6 4x). Λύση Στο 1 0 μέλος βλέπουμε άθροισμα κύβων 3 αριθμών, εξετάζουμε αν έχουν άθροισμα 0, (x 2) + (3x 4) + (6
Διαβάστε περισσότεραΕξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος
1 Παραδείγματα (επανάληψη) Συντελεστής του αγνώστου x. Εξίσωση 1 η 1 ο μέλος 2 ο μέλος Ε ξ ι σ ώ σ εις 1 ο υ β α θ μ ο ύ 2x + 2 = x - 1 Άγνωστος x Γνωστός Eπίλυση 1 ος τρόπος Μπορούμε να γράψουμε την εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ
ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο :.2 -.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων Πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoocom Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ-ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 1 ï. ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò. ÂéâëéïìÜèçìá 2 ï Ñßæåò ÄéÜôáîç
ÊåöÜëáéï ï ÂéâëéïìÜèçìá ï ÐñÜîåéò ìåôáîý ðñáãìáôéêþí áñéèìþí ÄõíÜìåéò ÂéâëéïìÜèçìá ï Ñßæåò ÄéÜôáîç Τι ονοµάζουµε σύνολο πραγµατικών αριθµών; Πως συµβολίζουµε το σύνολο των πραγµατικών α- ριθµών; Τι παριστάνει
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)
6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,
Διαβάστε περισσότερα11. Ποιες είναι οι άμεσες συνέπειες της διαίρεσης;
10. Τι ονομάζουμε Ευκλείδεια διαίρεση και τέλεια διαίρεση; Όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε υπάρχουν δύο άλλοι φυσικοί αριθμοί π και υ, έτσι ώστε να ισχύει: Δ = δ π + υ. Ο αριθμός Δ λέγεται
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
. ΑΛΓΕΒΡΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέθοδοι επίλυσης : Οι βασικές µέθοδοι αλγεβρικής επίλυσης ενός γραµµικού συστήµατος δύο εξισώσεων µε δύο αγνώστους είναι δύο η µέθοδος της αντικατάστασης
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων
ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα( ) λ( ) ( ) ( ) 2. 3α β 27αβ 10. x x αx αy βx βy x y y x x x x. 4 x x x y x y x y y. B Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: x y x y x x y a x a x
A Να παραγοντοποιηθούν οι παραστάσεις: 1. kx x kx x kx x kx x x 8 x 5x 10 x x x x x x. λ 5x 10x 5 x x 10 x x x κ x x κ ( x ) λ( x ). ( α 1 )( x ) α ( x ) ( α 1)( x ) α ( x ) ( α )( x ) α ( x ). 1x 1 kx
Διαβάστε περισσότεραΠεριληπτικά, τα βήματα που ακολουθούμε γενικά είναι τα εξής:
Αυτό που πρέπει να θυμόμαστε, για να μη στεναχωριόμαστε, είναι πως τόσο στις εξισώσεις, όσο και στις ανισώσεις 1ου βαθμού, που θέλουμε να λύσουμε, ακολουθούμε ακριβώς τα ίδια βήματα! Εκεί που πρεπει να
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ
3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις
2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 Αν x = -4-7 και y = 7-4 να βρεθεί η τιµή της παράστασης Α = x + y - 2xy ( ) ( )
Τηλ 106176-7 /10600 1 Να βρεθούν τα αναπτύγµατα : i i i x x x x x + x x x x + x 16x x + 9 x 16x x + 9 x 8 + 6 8 6 6 i i 6x + x 6x + 6x x + x 6 x + 6 x x + x 6x + 60x + x 6x + 60x + x 6 + + 6 6 6 i i Αν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 3: Εξισώσεις και Ανισώσεις 1 ου βαθμού Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Ενότητα 2 η Πράξεις με μονώνυμα και πολυώνυμα Σκοπός Ο σκοπός της 2 ης
Διαβάστε περισσότερα7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ
1 7.5 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΡΗΤΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κανόνας πολλαπλασιασµού : Το γινόµενο δύο οµοσήµων αριθµών είναι θετικός ενώ το γινόµενο δύο ετεροσήµων είναι αρνητικός ηλαδή (+) (+) = + και ( ) ( ) = + Ενώ (+) (
Διαβάστε περισσότεραÊåöÜëáéï 1 ï. Ïé ñçôïß áñéèìïß
ÊåöÜëáéï 1 ï Ïé ñçôïß áñéèìïß ÂéâëéïìÜèçìá 1 ï ÅðáíÜëçøç âáóéêþí åííïéþí Ðñüóèåóç ñçôþí áñéèìþí èñïéóìá ðïëëþí ðñïóèåôýùí ÁðáëïéöÞ ðáñåíèýóåùí ÂéâëéïìÜèçìá ï Ðïëëáðëáóéáóìüò ñçôþí áñéèìþí Ãéíüìåíï ðïëëþí
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. ικανοποιούν την ανίσωση 2x 3 < 11; (E) µεταξύ των απαντήσεων Α D δεν υπάρχει
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Αν α =β, τότε η τιµή της παράστασης κ= α β +β α είναι: ( ) 4 ( Β )0, ( )4 δίνονται. Α, C, ( D ), (Ε) δεν µπορεί να προσδιοριστεί από τις πληροφορίες που. Πόσα στοιχεία του συνόλου { 5,,0,4,6,7}
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ) Copyright 2015 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com Αδεια χρήσης 3η Εκδοση, Ιωάννινα, Σεπτέµβριος 2015 Περιεχόµενα 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ....................................................
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραεξίσωση πρώτου βαθμού
κεφάλαιο 2 Α1 εξίσωση πρώτου βαθμού επίλυση της εξίσωσης πρώτου βαθμού Εξίσωση, είναι κάθε ισότητα που περιέχει κάποιον άγνωστο, την τιμή του οποίου καλούμαστε να προσδιορίσουμε. Ο βαθμός μιας εξίσωσης
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Β'Γυμνασίου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Β'Γυμνασίου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της B Γυµνασίου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν βάση των µαθηµατικών του
Διαβάστε περισσότεραΑπό το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46
ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................
Διαβάστε περισσότεραΠολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...
3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΓΕΛ ΠΤΟΛΕΜΑΙΔΑΣ ΠΟΛΥΧΡΟΝΙΑΔΗΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ
ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ορισμός Ταυτότητα σε ένα σύνολο,καλείται μια μαθηματική πρόταση που χαρακτηρίζεται αληθής για οποιαδήποτε τιμή και αν πάρουν από το σύνολο αυτό, οι παράμετροι που αυτή περιέχει Έτσι ταυτότητες
Διαβάστε περισσότερα1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ
ΜΕΡΟΣ Α 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΛΗΤΗΣ-ΑΛΓΕΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Μεταβλητή Ένα γράμμα π.χ x,y,z,ω, ( ελληνικό ή λατινικό) πο παριστάνει έναν οποιοδήποτε αριθμό,
Διαβάστε περισσότερα( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Διαβάστε περισσότεραΣύνολα. 1) Με αναγραφή των στοιχείων π.χ. 2) Με περιγραφή των στοιχείων π.χ.
Σύνολα Ορισµός συνόλου (κατά Cantor): Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειµένων, που προέρχεται από το µυαλό µας ή την εµπειρία µας, είναι καλά ορισµένο και τα αντικείµενα ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο, δηλαδή
Διαβάστε περισσότερα4. Να βρείτε τον βαθμό των πολυωνύμων ως προς χ, ως προς ψ και ως προς χ και ψ μαζί
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να εκτελέσετε τις προσθέσεις, όπου αυτό είναι δυνατόν α) χ 3 +5ψ 3 β) χ 3 +6χ 3 γ) 4χ 5 ω-7ωχ 5 δ) 3χ 5 +4χ ε) χ 4 +3χ 4 ζ) χ -χ η) χ +χ θ) χ +χ ι) χ+χ 3 κ) χ -χ λ) 3χ 4-4χ 4 μ) 3χ-3χ 3.
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότεραΟρισμένες σελίδες του βιβλίου
Ορισμένες σελίδες του βιβλίου 7. Θεωρούμε το σύνολο αναφοράς 0,,. Να οριστούν τα σύνολα: Α. των τριψηφίων αριθμών που σχηματίζουν τα στοιχεία του Ω. Β. των τριψηφίων αριθμών με διαφορετικά ψηφία Γ. των
Διαβάστε περισσότερα7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
Διαβάστε περισσότερα3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού
1 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού 1. Να διερευνήσετε την εξίσωση. Ισχύει: Διακρίνουμε τώρα τις περιπτώσεις: Αν τότε: ΘΕΩΡΙΑ Απάντηση Επομένως, αν η εξίσωση έχει ακριβώς μία λύση, την. Αν, τότε η εξίσωση γίνεται,
Διαβάστε περισσότεραΔ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και
Διαβάστε περισσότεραΗ εξίσωση 0 x = 0 επαληθεύεται για οποιαδήποτε τιμή του x και ο- νομάζεται ταυτότητα ή αόριστη.
ΜΕΡΟΣ Α 2.1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 16 2. 1 Η ΕΞΙΣΩΣΗ ΑX+Β=0 Η εξίσωση αx+β=0 Κάθε εξίσωση της μορφής αx+β=0 όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις x- 2=0, 4x=-,2x-2=x+6 ονομάζεται εξίσωση 1ου βαθμού με έναν άγνωστο
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ
1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»
1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου. Μεθοδική Επανάληψη
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Μεθοδική Επανάληψη Στέλιος Μιχαήλογλου www.askisopolis.gr Η επανάληψη των Μαθηματικών βήμα - βήμα Άλγεβρα Κεφάλαιο 1ο: Αλγεβρικές παραστάσεις 1.1. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ A ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 04 Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΆΛΓΕΒΡΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: M Τετάρτη 6 Απριλίου 04 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία Σχολικό Βιβλίο (έκδοση 0) σελίδα Ε_ΜλΓΑ(α)
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΠρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί
Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΘ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς
Θ έ µ α τ α Τ ύ π ο υ Σ ω σ τ ό Λ ά θ ο ς Να χαρακτηρίσετε µε Σ (Σωστό) ή Λ (Λάθος) τους παρακάτω ισχυρισµούς:. Για κάθε α R ισχύει ότι : α =α.. Για κάθε α R ισχύει ότι : α = α.. Για κάθε α R ισχύει ότι
Διαβάστε περισσότεραΠερί εξισώσεων με ένα άγνωστο
1 ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΧΑΝΙΩΝ 19 Φεβρουαρίου 013 ΤΑΞΗ Α Σημειώσεις Άλγεβρας Περί εξισώσεων με ένα άγνωστο Εξίσωση με ένα άγνωστο λέμε την ισότητα δύο παραστάσεων μιας μεταβλητής. Πχ f(x) = g(x) όπου x μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερα1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο
1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από
Διαβάστε περισσότεραΧαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ)
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ ΕΥΘΕΙΑ Χαρακτηρίστε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) 1. Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία με τον
Διαβάστε περισσότεραΑνισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις
1 Ανισώσεις Α Βαθμού -Εφαρμογές στις Ανισώσεις Ανίσωση με έναν άγνωστο ονομάζουμε κάθε ανισότητα που περιέχει μια μεταβλητή και η οποία αληθεύει για ορισμένες τιμές της μεταβλητής. Πχ: Οι x + > 7, 2(y
Διαβάστε περισσότερα