ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ"

Transcript

1 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

2 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ

3 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΑΔΑΜΟΠΟΥΛΟΣ ΛΕΩΝΙΔΑΣ ΔΑΜΙΑΝΟΥ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ ΣΒΕΡΚΟΣ ΑΝΔΡΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Γ' Τάξη Γενικού Λυκείου ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

4 ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΤΗ Το τεύχος που κρατάς έχει μια ιδιομορφία: σου δίνεται με τη σύσταση να μη το διαβάσεις τουλάχιστο με την έννοια που διαβάζεις ένα άλλο βιβλίο για να κατανοήσεις το περιεχόμενο του. Πράγματι, οι ασκήσεις που σου δίνει ο καθηγητής σου είναι για να εργαστείς μόνος. Γιατί το να λύσεις μια άσκηση σημαίνει πολλές φορές όχι μόνο ότι έχεις κατανοήσει την αντίστοιχη θεωρητική ύλη αλλά και ότι ξέρεις να τη χρησιμοποιήσεις για να δημιουργείς, να ανακαλύπτεις ή να επιβεβαιώνεις κάτι καινούργιο. Και αυτό έχει ιδιαίτερη σημασία για σένα τον ίδιο. Δεν μπορεί παρά να έχεις και συ τη φιλοδοξία να λύνεις μόνος χωρίς βοήθεια τις ασκήσεις, για να νιώθεις τη χαρά αυτής της δημιουργίας, της ανακάλυψης. Πρέπει να ξέρεις ότι όταν δυσκολεύεσαι στη λύση μιας άσκησης, τις πιο πολλές φορές υπάρχει κάποιο κενό στη γνώση της αντίστοιχης θεωρίας. Πήγαινε πίσω λοιπόν στο διδακτικό βιβλίο κάθε φορά που χρειάζεται να εντοπίσεις και να συμπληρώσεις τέτοια κενά. Οπωσδήποτε πριν καταπιαστείς με τη λύση των ασκήσεων πρέπει να αισθάνεσαι κάτοχος της θεωρίας που διδάχτηκες. Εκτός από την κατανόηση της θεωρίας μπορεί να βοηθηθείς στη λύση μιας ά- σκησης από τα παραδείγματα και τις εφαρμογές που περιέχει το διδακτικό σου βιβλίο. Αν παρόλ' αυτά δε μπορείς να προχωρήσεις, στο τέλος του βιβλίου σου θα βρεις μια σύντομη υπόδειξη που ασφαλώς θα σε διευκολύνει. Στις ελάχιστες περιπτώσεις που έχοντας εξαντλήσει κάθε περιθώριο προσπάθειας δε βρίσκεται η πορεία που οδηγεί στη λύση της άσκησης τότε και μόνο τότε μπορείς να καταφύγεις σ' αυτό το τεύχος και μάλιστα για να διαβάσεις εκείνο το τμήμα της λύσης που σου είναι απαραίτητο για να συνεχίσεις μόνος. Ουσιαστικά λοιπόν δεν το 'χεις ανάγκη αυτό το τεύχος. Σου παρέχεται όμως για τους εξής λόγους: α) Για να μπορείς να συγκρίνεις τις λύσεις που εσύ βρήκες. β) Γία να σε προφυλάξει από ανεύθυνα «λυσάρια». γ) Γι α να απαλλάξει τους γονείς σου από αντίστοιχη οικονομική επιβάρυνση, δ) Για να έχεις εσύ και οι συμμαθητές σου την ίδια συλλογή ασκήσεων που είναι έτσι επιλεγμένες ώστε να εξασφαλίζουν την εμπέδωση της ύλης. ε) Για να εργάζεσαι χωρίς το άγχος να εξασφαλίσεις οπωσδήποτε για κάθε μάθημα τις λύσεις των ασκήσεων. Το τεύχος που κρατάς είναι λοιπόν φίλος. Να του συμπεριφέρεσαι όπως σ' έ- ναν φίλο που έχει δει πριν από σένα την ταινία που πρόκειται να δεις μη του επιτρέψεις να σου αποκαλύψει την «υπόθεση» πριν δεις και συ το έργο. Μετά μπορείτε, να συζητήσετε. Η σύγκριση των συμπερασμάτων θα είναι ενδιαφέρουσα και προπαντός επωφελής. (Από το Τμήμα Μ.Ε. του Π.Ι.)

5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. /(I) = I = 1-3 = -2 /(2) = = 8-6 = 2 /(-I) = (-Ό 3-3(-1) = = φ(ϋ) = 6 ^(1) = = 2. Έχουμε διαδοχικά: φ(ί) = 0 t 2-5ί + 6 = 0 / = 5 ± 1 2 ί=2 ή ί=3. /?(0) = συνο - ημο = 1-0 = 1 Έχουμε διαδοχικά: h{9) = 0 αννθ - ημ$ = 0 ημ0 = συνθ εψθ = 1 Ο 71 α π 5π θ - η θ = 7Γ + - = /(1) = -1π1 2 =- 0 = /(e) = In e 2 = 2 In e = 1 2 2

6 5. Πρέπει (χ - 1)(χ - 2) Φ Ο ή ισοδύναμα χ Φ 1 και χ Φ 2. Άρα Λ = R-{1, 2}. 6. Έχουμε διαδοχικά /(χ) < 0 (χ - 3)(χ - 7) < 0 3 < χ <7. Πρέπει (χ - 3)(χ - 7) > 0, οπότε χ < 3 ή χ > 7. Αρα Α = (-οο, 3]u[7, + οο). 7. /(x) + g(x) = 3χ 2-2χ-1 + 2χ-1 = 3χ Έχουμε /Ο) g(*) = (3x 2-2χ - 1)(2χ -1) = 6χ 3-3χ 2-4χ 2 + 2χ - 2χ +1 = 6Α: 3-1 χ 1 +1 /(χ) _ 3χ 2-2χ-ί 1 g(x) 2λ: -1 ' 2 i) lim(x 2-3x + 4) = = 4 χ >0 ii) lim [(2χ - 1)(χ + 4)] = (-4-1)( 2 + 4) = -5 2 = -10 Χ-+-2 iii) lim jc-»4 V^+ ι =Vi + -^ = 2 + i 1 = ^ 5 fx) λ/4 2 2 iv) 1ίηι(2ημχ + 3συνχ) = 2 ημο + 3 συνο = =3 χ >0 π π ν) 1ίηι(3ημχ + συνχ) = 3 ημ + συν = 3 + = 2-ν/2. " Α' 4 9. Έχουμε 0 i i m ^ = i = ^ = ^ = - ^ = o *->-2 3(χ-Ζ) 3(-2-2) ,. 5x 2 5( I) ιι) lim χ +1 (-1) iii) lim[(x +1)συνχ] = (0 +1) συν0 = 1 χ->0

7 ν η λ Λ * 2 -!6 (JC-4)(JC + 4) ιν) Για χ φ 4 εχουμε = = χ + 4 και επομενως χ - 4 χ - 4 χ 2-16 lim = lim (χ + 4) = = 8. χ >4 χ 4 jc >4 χ 2-25 (x + 5)(χ - 5) ν) Για χ φ -5 εχουμε = τ = χ - 5 και επομενως χ+5 χ+5 χ 2-25 lim = lim (χ -5) = -5-5 = -10. χ->-5 χ χ 2-3χ - 2 (2χ + 1)(χ -2), νι) Για χ φ 2 εχουμε = = 2x +1 και επομενως χ - 2 χ - 2 lim2χ Jx 2_ jj m^2x + ]) = = = 5. *->2 χ 2 χ->2 Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Έχουμε /(x) + /(-x) = ^ e x 1 + e χ 1 1 I, 1 \ + e x 1+ ι 1 ι l + e x \_ \ + e x, ι l + e x e' \ ι 1 + e x 2. Αφού οι τρεις πλευρές του ορθογώνιου που θα περιφραχτούν έχουν μήκος 100m και η μια πλευρά του είναι χ, η άλλη πλευρά του θα είναι 100 χ χ ί χλ = 50 και το εμβαδόν του θα είναι (χ) = χ 50 με 2 2 V 2 0 < χ < 100.

8 10 3. Το μήκος της βάσης του κυλίνδρου είναι 2πτ και σύμφωνα με τα δεδομένα έχουμε 2nr + h = 20. (1) 4. Ο όγκος του κυλίνδρου είναι V - nr A. (2) Λ /n ' 20-A.. Απο την (1) εχουμε r =, οποτε η (2) γίνεται 2π (20-Α V =π - I 2π Α, άρα V(h) = π\ 20-Λ Η επιφάνεια του ανοικτού κυλίνδρου είναι 2π Α με 0 < Λ < 20 Ε = τττ~ + 2τττ Α. Όμως Α = 20-2πτ, οπότε (r) = πτ (20-27rr), με r>0 και 20-2πτ > 0, δηλαδή 0 < r <. π Άρα E(r) = nr 2 + 2nr (20-2πr), 0 < r <. π Αν η γωνία θ είναι οξεία ή αμβλεία έχουμε ημθ = ή ημ(180 - Θ) = αντιστοίχως, οπότε σε κάθε περίπτωση ισχύει ημ$ = j^, άρα υ = 10 ημ0. (1) Έχουμε Ε(θ) = - 10 υ = j ημ<9 ή Ε{0) = 50ημ6>. (2) Οι τύποι (1), (2) ισχύουν και στην περίπτωση που θ = 90. λ/χ-λ/5 λ/χ-λ/j 1 5. i) Για χ φ 5 έχουμε, οποτε ' 5 (λ/χ λ/^)(λ/χ + λ/^) y[x + \Ι~5,. λ/χ-λ/ lim = lim = -= = ~η= ρ = γ=. Χ-+5 χ-5 χ->5 -Jχ + yj5 V5 + v5 2ν5

9 11 ii) Για Α Φ Ο έχουμε VTfA-1 VT+A-1 J\ + h-\ 1 = =, =,, οποτε A (1 + Α) -1 (Vl + A-lXVl + A + l) V1 + A + 1,. ΤΪΤΑ-1, lim = lim == = == =. x-> o Α *-»ο Vl + A +1 VI Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) /(3 + Α) - /(3) = 3(3 + Α) (3 3 +1) = 9 + 3Α = 3Α Γ., Α - /(3 + Α) - /(3) 3Α, Για Α * 0 εχουμε = = 3. Α Α Άρα /'(3) = lim ^(3 + = lim 3 = 3. α->ο Α λ-> ο ii) g(-2 + A)-g(-2) = (-2 +A) 2 +5-[(-2) 2 + 5] = 4 +A 2-4A = A(A-4). r- ; a - g(-2 + A) - g(-2) A(A-4) Για Α Φ 0 εχουμε L = i L = A - 4. A A Άρα g'(-2) = lim g( ~ 2 + ^ - g( ~ 2) = lim (A - 4) = -4. A-»0 h h->0 iii) σ(4 + A)-σ(4) = (4 + A) 2 +2(4 + A)-( ) = A +A A-16-8 = A A = A(A + 10) r. a - σ(4 + Α)-σ(4) A(A + 10) Για A * 0 εχουμε = = A +10. A A Άρα σ'(4) = lim + ^ = lim(a +10) = 10. a-> ο A A->O 2. /(I + A) - /(l) = A A 2 2(2 + A) Για A ^ 0 έχουμε /(I + A) - /(l) 1 A A 2(2 + A) 2(2 + A) 1

10 12 Άρα./"(!)= lim ^(1 + /?) /(1) = Ι.η /,-»ο h 2(2 -f Λ) 3. i) Έχουμε L(r) = 2πr L(3 + A) - L(3) = 2π (3 + A) - 2n 3 = 6π + 27r/? - 6π = 2nh. Για Α φ 0 έχουμε L(3 + h)-l(3) 2nh A h - ΐπ ο. -λ τίι\ r L(3 + h)-l(3).. Αρα Ζ. (3)= lim - = lim 2π = 2π. Λ >0 h h-> 0 ii) Έχουμε E(r) = nr 2 (2 + A) - (2) = π(2 + Α) 2 -π 2 2 = π(4 + 4h + h 2-4) = π(4 + h)li Γ,., (2 +A)- (2) n{4 + h)h, Λ, Για A * 0 εχουμε = - = π(4 + A) N. A A Άρα '(2) = lim (2 + ^ " (2) = lim ττ(4 + A) = 4?r. /?-> 0 h Λ >0 4. i) Έχουμε E{x) = x 2 (5 + A) - (5) = (5 + A) = A + A 2-25 = A(10 + A). r,. (5 + A) - (5) A(10 + A) ΙΛ, Για A * 0 εχουμε = = 10 + A. Άρα '(5)= lim (5 + /?) (5) = lim(10 + A) = 10. /.-> ο A h->o ii) Έχουμε V(x) = a" 1 K(10 + A)-F(10) = (10 + A) = /? /? 2 +A = A( A + A 2 ) Για Α Φ 0 έχουμε K(10 +A)-F(IO) A( A + A 2 ), = = J A + A 7. A A

11 13 ; Άρα F'(10)= lim K(1Q + ;?) " K(10) = lim( /i + /i 2 ) = 300. Λ >0 h h^o 5. i) Πρέπει να υπολογίσουμε το /'(3). f(3 + h)-f(3) = (3 + h) =9 + 6h + h 2-9 = h(6 + h) Γ, η, /(3 + Α)-/(3) Α(6 + Α),. I ια // ^ 0 εχουμε ^ = = 6 + h. h h Άρα /'(3) = lim ^^ + ^ = lim(6 + h) = 6. Λ->0 /; Λ->0 Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα έχει τη μορφή y = 6χ + β. Η εφαπτομένη αυτή όμως θα διέρχεται και από το σημείο Α(3,/(3)), δηλαδή από το Λ(3,9) και επομένως θα ισχύει 9 = /?, οπότε β = -9. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι _y = 6.ν - 9. ii) Πρέπει να υπολογίσουμε το /'(4). /(4 + h) -/(4) = 2Λ/4 + Α - 2Λ/4 = 2(Λ/4 + h - 2). ^ Λ, /(4 + Λ)-/(4) y y w 2(λ/4 + Λ - 2) λ/4 + h - 2 Για Λ ^ 0 έχουμε = - = 2- A h (4 + A) Λ/4 + h (Λ/4 + A - 2)(Λ/4 + A + 2) Λ/4 + Λ + 2 -λ ν /(4 + Λ)-/(4), Άρα / (4) = lim = lim. = = = =. Α Λ-^0 V4 + A + 2 Λ/ Επομένως η εξίσωση της εφαπτομένης θα έχει τη μορφή 1 y - χ + β. «Η εφαπτομένη αυτή όμως θα διέρχεται και από το σημείο Λ(4,/(4)), δηλαδή από το >4(4,4) και επομένως θα ισχύει 4 = 4 + β, οπότε β ~2. Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης είναι j =.ν + 2.

12 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. ί) (-5)' = 0 ii) (χ 4 )' = 4χ 3 iii) (χ 9 )' = 9χ i) r 7 ν / iii) (χ -5 )' = -5χ 3 = χ 2 3 ' = χ 2 II) (χ 3 )' = -3Χ 3 1 =-3χ V_ c - 6-5χ 3. i) (Vx j = 3 Λ: V J 1 1 = -X* 1 Γ 1 = -x 1 ~f' = F= /Γ2 r i_\ _2 f' _2 ~ _2 1 R 5 ii) (V?) = χ ν y _ 5 X "5^/7 4. i) Γ ι ϊ Γ 1 1 ^ 1 -I-, 1 = 2 =_i* 2 = = ο/*, v, X-y/j ϋ) r, Λ ί Λ J _L,, ^4 3 3 X = --x =--x 3 = v y ^7 iii) / \ ( 2 λ 1 X? = X 2 -f-i 5 = 2 X / 2 W* J ν y 5' 5 5/7 5 X^ i) (4x 3 )'= 4(x 3 )'= 4 3χ 2 =12x 2 ii) (6x~ 5-5 )' = 6 (x > -6 )' = 6 (-5)x -30x" iii) -^x 20 j = - j 20 x 19 = -8x i) /(x) = f= = -6x 4 και επομένως Vx

13 15 ί 1 > ( ι Λ /'(*)= -6x4 = -6 χ" 5 ν > ν / = Ι /'"' = -χ~* =- Κ= 4 J 2 2 χχγχ ii) f{x) = 6xy[x = 6χ -χ 1 = 6χ 2 και επομένως /'(*) = ( ι\ 6χ 2 ν ν = 6 χ 2 =9Χ 2 =9Λ/Χ i) (χ 4 +3χ 2 )'= (χ 4 )'+(3χ 2 )'= 4χ 3 +6χ ii) χ = (χ 2 )' + (5)' + =2x y = 2x-- 2 χ~ -4-2jc 1 χ~ 2χ 1 1 iii) Έχουμε = ; + = χ + 2 και επομένως χ χ χ χ χ χ 2 +2Χ-' Λ Χ = y = 1+ Γ χ) χ- χ 8. i) (8χ 3 -ημχ + 5)'= (8χ 3 )'-(ημχ)'+ (5)'= 24χ 2 -συνχ ii) [6συνχ -8(χ 2 + χ)]' = (6συνχ)' -(8(χ 2 +χ))' = -6ημχ-8(2χ + 1) 9. i) ((χ 3 + 1)(χ 4 +1)) = (χ 3 + 1)'(χ 4 + 1) + (χ 3 + 1)(χ 4 +1)' = 3Χ 2 (Χ 4 +1) + 4Χ 3 (Χ 3 +1) = 3χ 6 + 3χ 2 + 4χ 6 + 4χ 3 = 7χ 6 +4χ 3 +3χ 2. ii) (ημχ(1 - συνχ))' = (ημχ)'(ι - συνχ) + ημχ(1 - συνχ)' = συνχ(1 - συνχ) + ημχ ημχ = συνχ - συν 2 χ + ημ 2 χ = συνχ - συν2ν. 10. i) (χσυνχ + 3(χ + 1)(χ -1))' = (χσυνχ)'+ (3(χ + 1)(χ 1))' = συνχ - χημχ + 3(χ -1 + χ + 1) = συνχ - χημχ + 6χ

14 16 ii) (4χ 2 ημχ - 3χ 2 συνχ)' = (4χ 2 ημχ)' - (3χ 2 συνχ)' = 4(2χημχ + χ 2 συνχ) - 3(2χσυνχ - χ 2 ημχ) = 8χημχ + 4χ 2 συνχ - 6χσυνχ + 3χ 2 ημχ = (8χ + 3χ 2 )ημχ + (4χ 2-6χ)συνχ 11.ο ϋ) ( \ χ 2 ^ χ +1 r \ ι Ιημ*; (χ 2 )'(χ +1) - χ 2 (χ + 1)' _ 2χ(χ+ 1) - χ 2 _ χ 2 + 2χ (χ + 1) 2 (χ+1) 2 (χ + 1) 2 (χ)'ημχ - χ(ημχ)' ημχ-χσυνχ Τ ~~ 1 ημ χ ημ~* iii) 'χ χ + ημχ _ (χ + ημχ) Ό + συνχ) - (χ + ημχ)(1 + συνχ)'. 1 + συνχ (1 + συνχ) 2 (1 + συνχ)(1 + συνχ) - (χ + ημχ)(-ημχ) (1 + συνχ) συνχ + συν 2 χ + χημχ + ημ 2 χ (1 + συνχ) συνχ + χημχ (1 + συνχ) i) -(1 + συνχ)'_ ημχ 1 +συνχ J (1 + συνχ)' (1 + συνχ) ϋ) < 3 ^.(χ + 1) 2, 3((χ +1) )' -3 2(χ + 1) (χ + ΐ) 4 (χ + ΐ) 4 (χ + ΐ) i) ((χ -1) 5 )' = 5(χ -1) 4 (χ -1)' = 5(χ -1) 4 ii) ((2χ +1) 5 )' = 5(2χ +1) 4 (2χ +1)' = 10(2χ +1) 4 iii) ((2χ 2-3χ) 5 )' = 5(2χ 2-3χ) 4 (2χ 2-3χ)' - 5(2χ 2-3χ) 4 (4χ - 3) 14. i) (ημ 3 χ)' = 3 ημ 2 χ (ημχ)' = 3ημ 2 χσυνχ ii) (ημχ 3 )' = συνχ 3 - (χ 3 )' = 3χ 2 συνχ 3

15 17 iii) (χημ4χ)' = (χ)' ημ4χ + χ(ημ4χ)' = ημ4χ + χ συν4χ (4χ)' = ημ4χ + 4χσυν4χ 3 iv) (εφ3χ)' : (3χ)' = - συν 2 3χ συν 2 3χ 15. i) (V2χ 2 -χ)' = 2^2χ' -χ (2χ 2 χ)' 2^2χ 1 -; (4χ 1) ii) (71 +ημχ)'= 1 2yj\ + ημχ (1 + ημχ)' συνχ 2yjl + ημχ 16. i) (e 3jt )' = e 3x -(3χ)' = 3e 3χ ii) (e χ ) = e χ -(-χ 2 )' = -2x-e iii) (ΰ' α+β γ = e'" +/f -(OX +β)'= a-e m+l> iv) f ι (e x )'(e x +e~ x )-e x (e x + e~ x )' (e x +e' x ) 2 e x (e x +e- x )-e x (e x -e~ x ) e x -2e x (,e x +e~ x ) 2 (e x + e _JC ) 2 (e'+e") i) (In 2x)' = (2x)' = = 2x 2x χ ii) Έχουμε In = In 1 - In x 3 = -3 In x και επομένως In τ Ι = (-31nx)' = V x y a iii) (ln(ax + /?))' = ~(αχ + β)' = αχ + β αχ + β x iv) (In λ/χ-ι)' = -yi= (^fx-\)' = -j== 1 = J χ-i -Jx-\ 2Vx-l 2(x-l) i) lnx^j _ (lnx)'-x-lnx-(x)' _ x X ' nx _l-lnx ii) (e x In x)' = (β*)'1ηχ + e' v (lnx)' = e x In χ + e x = e x \ + In χ χ ix

16 i) Ο συντελεστής διεύθυνσης είναι λ = /'(3). Έχουμε: /'(') = ί.3 Λ \' 2 + b 3t 2 (t 2 + 1)-< J -2t t" +3r. και επομενως («+1) (' + Ο λ = '(3 + 1) (3 2 +l) 2 ΙΟ 2 = = 1, ii) Έχουμε /'(#) = ημ6> ημ$ + συνβ _ συν0 (ημ$ + συν#) - ημ0(συν$ - ημ6>) (ημ# + συν0) 2 επομενως ημ0συν# + συν 0 - ημ6>συνί> + ημ 2 # (ημ6> + συν#) 2 (ημ0 + συν#) 2 / π Λ π π ημ- + συν J 3 S 1 1_ 2 2 (1 + Λ/3) Λ/3 2 ( 2 - Α, 2(2-V3) = 2(2 V5) 2 + λ/3 (2 + Λ/3)(2 - Λ/3) i) B'(t) =!+ (; + 2) Ι =- 2(/ + 2) = -(/ + 2). ii) Έχουμε: β'(1) = Ι(1 + 2) = β'( 2) = -(2+ 2) = 2 β'(8) = (8 + 2) = Έχουμε ί/(χ) = ΑΒ = -J(x-O) 2 +(0-3) 2 = V-V και επομένως d'(x) = (Jx 2 +9)' = ' (χ 2 +9/ = 2 * =. * 2λ/Χ Λ/Χ 2 +9 Λ/Χ 2 +9 Άρα ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης όταν x = 10 είναι </'(10) = Λ/ Λ/Ϊ09

17 Επειδή η εφαπτομένη της καμπύλης της / θα σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία 60 θα ισχύει /'(Ο) = εφ60 = V3. Έχουμε /'(χ) = (αχ(1 - χ))' = (αχ -αχ 2 )' = α- 2 αχ και επομένως /'(Ο) = α. Αρα «= V3. Β' ΟΜΑΔΑΣ 1. Αφού η εφαπτομένη της καμπύλης της/θα είναι παράλληλη με την ευθεία y = 3χ + 5, θα πρέπει ο συντελεστής της εφαπτομένης να είναι ίσος με 3. Έχουμε /'(χ) = (χ + 1) 2 f 3χ ^ 1 3(χ + 1)-3χ 3, - -. Επομενως πρεπει χ + \) (χ + 1) 2 (* + 1) 2 = 3ο(χ + 1) 2 =1οχ + 1 = 1 ή χ + 1 = -1οχ = 0 ή χ = -2. Για χ = 0 έχουμε /(Ο) = 0 και για x =-2 ζητούμενα σημεία είναι τα (0, 0) και (-2, 6). έχουμε /(-2) = 6. Αρα τα 2. Τα ζητούμενα σημεία (x,/(x)) είναι εκείνα για τα οποία ισχύει /'(χ) = 0. Εχουμε /'(χ) = (χ 3-6χ 2 +9χ + 4)' = 3χ 2-12χ + 9. Επομένως /'(χ) = 0 ο 3χ 2-12χ + 9 = 0 ο χ 2-4χ + 3 = , -^3 ο χ =. 2 ^ 1 Γιαχ = 1 είναι /(I) = 8 καιγιαχ = 3 είναι /(3) = = 4. Αρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα (1, 8) και (3, 4). 3. Επειδή ο συντελεστής διεύθυνσης της διχοτόμου ν = x είναι ίσος με 1, τα ζητούμενα σημεία (χ, /(χ)) είναι εκείνα για τα οποία ισχύει /'(x) = 1. Έχουμε / '(χ) = ί = * + ' f =. Επομένως ν χ +' J (χ + 1) 2 (χ + 1) 2 /'(χ) = I - ί γ = 1 <=> (χ +1) 2 = 1 (χ + 1) 2 οχ + 1=1 ή χ + 1 = -Ιο χ = 0 ή χ =-2. I Ία Λ 0 είναι /(Ο) 0 και για χ = -2 είναι /(-2) = 2. Αρα τα ζητούμενα σημεία είναι τα (0, 0) και (-2, 2).

18 4. Η ταχύτητα του σώματος είναι υ(ί) = χ'(ί) = (γ 3-2t 2 + t)' = 3t 2-4t +1. To σώμα είναι ακίνητο όταν x'(t) = 0. Έχουμε 4 ± 2 x'(t) = 0θ3/"-4( + 1 = 0«/= ν-1 1/3 1 Αρα το σο')μα είναι (στιγμιαία) ακίνητο όταν t = και όταν t = 1. Η επιτάχυνση του σώματος είναι a(l) = υ'(ί) = (3Ι 2-4/ + \)' = 6t-4. Για / = - είναι α^-j = = 2-4 =-2 και για ί είναι α(1) = 61-4 = Έχουμε /'(χ) = (Λσυνωχ + Βημωχ)' = (Λσυνωχ)' + (βημωχ)' = Λ(συνωχ)' + β(ημωχ)' = Λ(-ημωχ) (ωχ)' + Β(συνωχ) (ωχ)' Επομένως /'(χ) = -Λωημωχ + Βωσυνωχ /"(χ) = (-Λωημωχ + Βωσυνωχ)' = (-Λωημωχ)' + (Βωσυνωχ)' = -Λω συνωχ ω + Βω(-ημωχ) ω - -Αω 2 συνωχ- Βω 2 ημωχ = -ω 2 (Λσυνωχ + 5ημωχ). Επομένως /"(χ) = -ω 2 /(χ), άρα /"(χ) + ω 2 f(x) = Έχουμε f'(x) = (ae px + ββ ρχ )' = a ε ρχ ρ + β ε ρχ (-ρ), δηλαδή /'(x) = ape px - βρε~ ρχ, οπότε /"(x) = (αρε ρχ - βρε~ ρχ )' = αρ e px - ρ - βρ ε~ ρχ (-ρ) = ap 2 e px + βρ 2 ε' ρχ = p 2 (ae px + βε~ ρχ ) = p 2 f(x).

19 21 7. Έχουμε Γ(χ) = (β μχ γ = β μχ μ = με*" και Γ\χ) = (μβ^)' = μ β^ μ = μ 2 β^. Επομένως έχουμε διαδοχικά /'(*)-3/'(*)-4/(*) = 0 μ 2 β μχ - 3μβ μχ - 4^ = 0 (e" 1 * 0) μ 2-3μ-4 = 0 3±5.. * 4 ~ 2 " - 1 ' Αρα μ= 1 ή μ=4. Vff ν / 8. Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης στο σημείο της είναι 1 = /' Γ'ί 7Γ " Έχουμε /'(χ) = (2ημχσυνχ)' = (ημ2χ)' = συν2χ 2 = 2συν2χ. Επομένως /'( 1 = 2 συν = -2συν = -2 = -1, οπότε η εξίσωση της V3; εφαπτομένης θα έχει τη μορφή y = -\ χ + β. Όμως το σημείο /I j 11, δηλαδή το π λ/3 3 2 ανήκει στην εφαπτόμενη. Επομένως = + που σι 1Ι αα^νει ότι + Ί ε ξί σωσι 1 τι 1ζ εφαπτόμενης είναι λ/3 π ~Χ Η i) Έχουμε Ρ\Ι) = ' / S να + βΐ J I' (α + βΐ) -/ («(,ι + βΐ) 2 + βΐ)' α + βΐ-βΐ (α + βΐ) 2 '

20 22 Επομένως Ρ'(Ι) = (α + βΐ) και Ρ'(0) = =. ii) Έχουμε -[ι -βρ(ΐ)] 2 = α + βΐ λ α + βΐ-βΐ λ2 α + βΐ / α (α + βΐγ (α + βΐ) - = /"(Ο- ΙΟ. i) Έχουμε υ(/) = ν'(0 = (Λημωί)' = Λ συνω/ ω = Αωσυ\ωί και α(ί) - ii'(r) = (Αωσυνωΐ)' - Λω (-ημωί) ω-- Αω 2 ι\μινΐ. ii) Έχουμε «(/) = -Αω 2 ημωί = -ω 2 Λημωί = -ω 2 y, δηλαδή a(t) = -ω 2 y που δηλώνει ότι η επιτάχυνση α είναι ανάλογη της απομάκρυνσης y. iii) Όταν a(t) - -Αω 2 ημωί = 0, τότε ημωί = 0, οπότε συνωΐ = 1 ή συνω/ = -1. Όμως το μέτρο της ταχύτητας υ(ι) = Αωσυνωί είναι ίσο με Αω συνω/1 και γίνεται μέγιστο όταν σννωί = ±1, δηλαδή όταν a(t) = ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ Α' ΟΜΑΔΑΣ 1. i) f'(x) = 2χ-2 = 2(x-1) /'(χ) = 0 ο 2(χ -1) = 0 ο χ = 1 /'(χ) > 0 <=> 2(χ -1) > 0 <=> χ > 1 Χ -00 ] +00 Γ(χ) 0 + /(*) φθίνουσα αύξουσα Άρα για χ = 1 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με f(l) = -1.») /'(x) = -6x /'(χ) = 0 <=> -6χ = 0 ο χ = 0 f\x) > 0 ο -6χ > 0 ο χ < 0 Χ f\x) + 0 /(*) αύξουσα φθίνουσα Άρα για χ = 0 η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο ίσο με /(Ο) = 6.

21 I I 23 iii) /'(x) = 2x-2 /'(χ) = 0 o 2(x-1) = 0 <=> χ = 1 /'(x) > Ο ο 2(x -1) > Ο ο χ > fix) 0 + fix) φθίνουσα αύξουσα Άρα για χ = 1 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με /(I) = i) /'(*) = 3χ 2-12Χ /'(Χ) = 0 <=> 3x 2-12x = 0 o3x(x-4) = 0» χ = 0 ή χ = 4 /'(Χ) > 0 Ο 3Χ(Χ - 4)>0«Χ<0 ή χ>4 Χ -οο 0 4 +οο fix) Αχ) αύξουσα φθίνουσα αύξουσα Άρα για χ = 0 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με /(Ο) = 5 και για χ = 4 παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με /(4) = -27. ϋ) /'(*) - _ 3χ /'(χ) = 0 ο 3(χ 2-1) = 0 ο χ =-1 ή χ = 1 /'(χ)>0 ο-3(χ + 1)(χ-1)>0 <=> (χ + 1)(χ-1)<0ο-1<χ<1 Χ -οο οο /'(*) ο + ο /(χ) φθίνουσα αύξουσα φθίνουσα Άρα για χ = -1 η συνάρτηση παρουσιάζει τοπικό ελάχιστο ίσο με /(-I) = -1 και για χ = 1 παρουσιάζει τοπικό μέγιστο ίσο με /(I) = ί) /'(Χ) = 6χ 2. Παρατηρούμε ότι για χ = 0 είναι/'(ο) = 0, αλλά f \x) = 0 για χ < 0 και για χ > 0. Επομένως (βλ. σχόλιο σελ. 40) η /είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. ii) /'(χ) = - 3 jr. Παρατηρούμε ότι /"(Ο) = 0, αλλά /'(χ) < 0 για χ < 0 και για χ > 0. Επομένως η / είναι γνησίως φθίνουσα και άρα δεν έχει ακρότατα. iii) /'(x) = 3x 2-6χ + 3(χ 2-2χ + 1) = 3(χ- I) 2. Παρατηρούμε ότι/'(1) = 0, αλλά f (χ) > 0 για χ < 1 και για χ > 1. Επομένως η /είναι γνησίως αύξουσα και άρα δεν έχει ακρότατα.

22 24 iv) /'(*) = -3x 2 + 6x-5. Η διακρίνουσα του τριωνύμου αυτού είναι Δ = 36-4 ( 3)( 5) = -24 < 0. Επομένως f\x)< 0 για κάθε Λ-E R. Λρα η / είναι γνησίως φθίνουσα στο R και δεν έχει ακρότατα. 4. Έστω x και y οι δυο αριθμοί με χ + γ = 40. Για το γινόμενο τους έχουμε xy = x(40-x) =40x-x 2. Ζητάμε το μέγιστο της συνάρτησης Ε(χ) = 40χ χ 2. Έχουμε Ε'(χ) = 40-2χ. Επομένως Ε'(χ) = 0 ο χ = 20 και Ε'(χ) > 0 <=> 40-2χ > 0 Ο 2χ < 40 ο χ < 20. Άρα η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο για χ = 20. Όταν όμως χ = 20, τότε και y = 20. Δηλαδή το γινόμενο γίνεται μέγιστο όταν χ = y = 20, και είναι ίσο με = 400. Χ CO Ε'(χ) + - Ε (x) αύξουσα φθίνουσα 5. Έστω χ και y οι διαστάσεις του ορθογωνίου. Τότε χ^ = 100 με χ > 0 και y > 0. Η περίμετρος του ορθογωνίου αυτού είναι 2χ + 2y = 2χ + 2. χ Ζητάμε το ελάχιστο της συνάρτησης Ζ,(χ) = 2χ +, χ > 0. Έχουμε χ L'(χ) = 2-^. Επομένως Ζ,'(χ) = 0 <=> x = 10 και Ζ,'(χ) > 0 <=> 2-^ρ > 0 <s> 2χ 2 > 200 οχ 2 > 100 ο χ > 10, αφού χ > 0. χ Άρα για χ = 10 η συνάρτηση χ co παρουσιάζει ελάχιστο. Όταν όμως L\x) = 10, τοτε και y = 1Π L(x) φθίνουσα αύξουσα Δηλαδή το ορθογώνιο με τη μικρότερη περίμετρο είναι αυτό που έχει ίσες διαστάσεις x = y = 10 m. 6. Έστω x η πλευρά της βάσης και y το ύψος του. Έχουμε x 2 _y = 32. Ελάχιστο υλικό κατασκευής χρειάζεται εκείνο το κουτί που έχει την ελάχιστη επιφάνεια. Η επιφάνεια του κουτιού είναι ίση με 2. 2 λ 32 χ + 4xy = χ + 4χ χ 128 = χ 2 +- χ 128 Ζητάμε επομένως το ελάχιστο της συνάρτησης Ε(χ) = χ 2 +, x > 0. χ 128 Έχουμε Ε'(χ) = 2χ. Επομένως Ε'(χ) = 0 Ο χ = 4,

23 ενώ Ε'(χ) > Ο c$2x > Ο ο 2χ 3 > 128 ο χ 3 > 64 <=> χ > 4. Αρα για χ = 4 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο. Όταν όμως 32 χ = 4, τότε y = - = 2. Δηλαδή το Χ 0 4 +οο Ε\χ) 0 + Ε(χ) φθίνουσα αύξουσα κουτί που χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό είναι εκείνο που έχει πλευρά βάσης 4dm και ύψος 2 dm. 7. Έστω- x η πλευρά της βάσης του και y το ύψος του. Τότε έχουμε χ + 4xy = 12.0 όγκος του κουτιού είναι χ χ 1 y = χ χ(12-χ ). 4χ ~ 4 Ζητάμε επομένως το μέγιστο της συνάρτησης V(χ) = χ(12 - χ 2 ) = 3χ - χ 3 χ > Ο ι Έχουμε V'(x) = 3 - -x. Επομένως V'(x) = Ο ο χ = 2 αφού χ > Ο, 4 ενώ V'(x) > Ο ο 3 χ 2 > Ο «12-3χ 2 > Ο ο 4 > χ 2 ο0<χ<2. Αρα ο μέγιστος δυνατός όγκος του κουτιού είναι ίσος με Κ(2) = = 6-2 = 4dm 3. 4 χ 0 2 +οο V'(x) + 0 V(x) αύξουσα φθίνουσα 8. Έστω Μ (χ, 2χ - 3) ένα σημείο της ευθείας. Τότε η απόσταση του Μ από την αρχή (9(0,0) είναι ^/χ 2 +(2χ-3) 2. Ζητάμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης αυτής. Αρκεί να βρούμε την ελάχιστη τιμή της συνάρτησης /(Χ) = χ 2 + (2χ - 3) 2. Έχουμε /'(χ) = 2χ + 2(2χ - 3) 2 = ΙΟχ -12. Επομένως /'(χ) = 0 ο χ = -, ενώ /'(χ) > 0 ο χ > ^. Δηλαδή η συνάρτηση έχει ελάχιστη 6 τιμή για x = -, και αρα το πλησιέστερο σημείο της ευθείας στην αρχή των αξόνων είναι το Χ 6 -CO f'(x) fix) φθίνουσα αύξουσα I 5 5

24 26 λ c 9. Έχουμε την ελάχιστη ταχύτητα όταν η ποσότητα + είναι ελάχιστη. Αρκεί c λ λ c επομένως να βρούμε το ελάχιστο της συνάρτησης /'(>1) = +, λ > 0. c λ Έχουμε Επίσης /'W = - j και = c λ 1 λ /'(Α) = 0 <=> --4- = 0 <=> Ί 2 =c 2 <=> A = c, αφού c > 0 και f\ c ) = ^- = > 0 C λ c c 2 Άρα για λ-c η συνάρτηση / παρουσιάζει ελάχιστο που σημαίνει ότι για λ = c η ταχύτητα υ είναι ελάχιστη. 10. Αν χ είναι ο ένας αριθμός, τότε ο άλλος θα είναι 10 - x και το άθροισμα των τετραγώνων τους θα είναι χ 2 +(10-χ) 2. Ζητάμε λοιπόν το ελάχιστο της συνάρτησης /(x) = x 2 +( 10-χ) 2, 0 < χ < 10. Έχουμε /'(*) = 2x + 2(10 - χ)(-1) = 2χ χ. Επομένως /'(χ) = 4χ - 20 και /"(χ) = 4 > 0. Έχουμε f\ x ) = 0 o4x-20 = 0 ox = 5. Άρα για χ = 5 η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο. Όταν όμως x = 5, τότε ο άλλος αριθμός είναι 10 - χ = 5. Άρα οι ζητούμενοι αριθμοί είναι ίσοι και καθένας είναι ίσος με 5. Β ΟΜΑΔΑΣ 1. Επειδή ρ και q σταθερές, το υ είναι συνάρτηση του r, δηλαδή i)(r) = 100/?(1 + In r) -1 OOqr, r> 0. Έχουμε Ι/(Λ ) = 100/? -loog r ι v'(r) = 0 o 100/7 100<7 = 0 «r =. r q Επίσης ισχύει v"(r) = -100/?-y < 0, για κάθε / >0,αφού ρ> 0. r Ρ Άρα, όταν r = το υ εχει τη μέγιστη τιμή του.

25 27 2. Έχουμε υ(χ) = κχ 1η,ϊ = κχ (In 1 - lnx) = -κχ lnx, χ > 0. Επομένως υ\χ) = (-κχ 1 1η χ)' = -κ 2χ1ηχ + χ 2 Ι = -κ(2χ1ηχ + χ) χ, και υ'(χ) = 0 ο -κ(2χ1ηχ + χ) = 0ο2χ1ηχ + χ = 0ο1ηχ = - -οχ = 4=. 2 -Γε Όμως υ"(χ) = -κ(2χ 1η χ + χ)' = -κί 21η χ + 2χ +1J = -κ(21η χ + 3), οπότε ' 1 -η= = -κ(-1 + 3) = -2κ < 0, αφού κ > 0. -Je. Αρα για χ = -J= το υ γίνεται μέγιστο. Ve 3. Αν χ είναι το μήκος της πλευράς των τετραγώνων που θα αποκοπούν, τότε ο όγκος V(x) του δοχείου θα είναι Κ(χ) = (60-2χ) 2 χ, 0<χ<30. Έχουμε V'(x) = 2(60-2x)(-2) χ + (60-2χ) 2 = (60-2χ)(-4χ χ), δηλαδή και V\x) = (60-2jc)(60-6jc) F"(x) = -2(60-6χ) + (60-2χ)(-6) = χ χ, δηλαδή F"(x) = 24λ: Έχουμε V'(x) = 0<=>x = 10 ή χ = 30.Η τιμή χ = 30 απορρίπτεται, αφού δεν ανήκει στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Για χ = 10 έχουμε V "(10) = = -240 < 0. Άρα το δοχείο με το μεγαλύτερο όγκο είναι εκείνο για το οποίο x = 10, οπότε η πλευρά της βάσης του δοχείου είναι = 40cm και το ύψος 10cm. 4. Αν χ το πλάτος και y το μήκος του ορθογωνίου, τότε το ζητούμενο κόστος είναι Κ = (2x + 2y) 9 + 6x. Όμως xy = 16000, οπότε ν= και το κόστος γίνεται χ Α'(χ) = 6x + Ι8(χ + ), χ > 0. χ Έχουμε Κ (χ) = ( ) = ( * 2 ) χ

26 28 και Κ\χ) = 18( χ')> Είναι Κ{χ) = 0 Ci> (1 ) = 0, <=>1 + 3(1 ) = ο 4 = ο 1 = 0 Επειδή Κ"(χ)> ο χ 2 = ο χ 2 = ο χ = 20λ/?0 =109,5. 0, προκύπτει ότι για * = loyflo έχουμε το ελάχιστο κόστος. Δηλαδή οι διαστάσεις του ορθογωνίου με το ελάχιστο κόστος περίφραξης και χωρίσματος είναι / χ - 20Λ/30 = 109,5 και y = = 146m. 109,5 5. Αν χ και y είναι οι πλευρές του ορθογωνίου, τότε το εμβαδόν του είναι E = x-y. Όμως από το Πυθαγόρειο Θεώρημα έχουμε x 2 +y 2 =4p 2, οποτε y = yflp 2 x 2 Επομένως το εμβαδόν του ορθογο)νίου εκφράζεται ως συνάρτηση του x με τον τύπο: Ε(χ) = χ^4ρ 2 - χ 2, 0<χ<2ρ. Έχουμε Ε'(χ) = (χ ^4ρ 2 - χ 2 )' = ^4ρ 2 -χ 2 +χ 2^4ρ 2 - ( 2χ) = 2 χ 2 4ρ 2 - χ 2 - χ 2 ^4ρ 2 - χ 2 ^4ρ 2 - χ 2 Επομένως Ε\χ) 4ρ 2-2χ 2 2 χ 2

27 29 Έχουμε: Ε'(χ) = 0 ο 4ρ 2-2χ 2 = 0 οι 3 = 2ρ 2 ο χ = ρ42 (αφού Ε'(χ) > 0 Ο 4ρ χ 2 > 0 ο χ 2 < 2ρ 2 ο χ < ρ42 (αφού Ή V Ο Χ ν ο χ 0 ρ42 2ρ Ι I Ε\χ) + 0 Επομένως για χ = ρ42 το οθρογώνιο έχει το μέγιστο εμβαδόν. Όταν όμως x = ρ42, τότε και y = ^4ρ 2-2ρ~ = ρ42. Αρα, από όλα τα ορθογώνια που μπορούν να εγγραφούν σε έναν κύκλο ακτίνας ρ, το τετράγωνο έχει το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν. 6. Αν χ είναι το μήκος του κύκλου, τότε λ - χ χ χ_ χ είναι η περίμετρος του τετραγώνου. '«χ 1 J Αν ρ είναι η ακτίνα του κύκλου με μήκος χ, χ χ 2 χ 2 τότε 2πρ = x, οπότε ρ = - και το εμβαδό του θα είναι πρ 2 = π =. 2π 4π~ 4π Επειδή το τετράγωνο θα έχει περίμετρο λ-χ, η πλευρά του θα είναι λ χ (λ χϋ α = - και το εμβαδόν του ί ^ I. Επομένως το άθροισμα των δύο εμβαδών είναι Ε^ τα ί o s ' s ; - Έχουμε Ε\χ) = 2 χ + 2 ^ ^ Χ j ~j, δηλαδή Ε'(χ) = χ- και "(χ) = + ->0. 2π 8 2π 8 1 λ χ Έχουμε Ε'(χ) = 0 ο x = 0 Ο 4χ - π(λ - χ) = 0 2π 8 <=> 4χ - λπ + πχ = 0 <=> (4 + π)χ = λπ Ο χ =. 4 + π Επομένως όταν λπ χ = 4 + π έχουμε το ελάχιστο εμβαδόν. Όταν όμως χ λ π,, 2 λπ λ, τοτε η διάμετρος του κυκλου είναι ο = 2ρ = = και 4 + π 2π 4 + π 4 + π η πλευρά του τετραγώνου είναι επίσης

28 30 λ-χ If, λπ \ 1 4λ + λπ - λπ λ α = = λ π) π 4 + π 7. Έχουμε y ' { t ) = K ] l +K 2 e * 2 ') και κ 2 - AC, /ω= 4 (κϊβ-*> -κ 2 2β- κ ή. κ 2 -κ χ Επομένως: /(ί) = 0οκ,«λ2 ' =K,e Μ ' (1) κ \ f \ κ <=> (κ 2 -λ:,)ί = 1η ν*ι ; 1 ο t κ 2 - Κ] 1η / \ κ 2 Για t n = 1η ισχύει κ 2 ε * 2 ' 0 =κ χ β~ Κχ ' 0, οπότε 2 ι ν Λ ι y /('ο) = (' κ, e ι " - κ η κ,β κ 0 -κ. K \h) λκ- ρ~ κ ι'! (κ, - κ 2 ) = -Ακ.\β κ '' < 0. κ 2 - κ, ί \ κ Άρα για 1 1η το φάρμακο παρουσιάζει τη μεγαλύτερη ν*./ συγκέντρωση στο αίμα του ασθενούς. 8. ί)για να διανύσει το όχημα την απόσταση των 1000 km με ταχύτητα υ km/h, χρειάζεται χρόνο 122 ώρες, και αφού σε κάθε ώρα καταναλώνει υ 6 + 0,00 lu 3 λίτρα, χρειάζεται συνολικά Κ (υ) = (6 + 0,0001 υ 3 ) 1222 λί Χ ρ α καύσιμα.

29 Π)Έχουμε Κ(υ) ιλ1 2 Γ, η ,1 υ. Επομένως Κ (υ) = 0,2υ -^r και Κ "{ι>) = 0,2 + > 0. Είναι Κ'(d) = 0 ο υ 3 = ο υ = V30000 ή υ υ = 31. Αρα για υ = 31 km έχουμε την οικονομικότερη κατανάλωση καυσίμων, η οποία είναι ίση με Κ(31) ξ 300 λίτρα. Δεν είναι εφαρμόσιμη, διότι το όχημα θα χρειάζεται περίπου = 32 ώρες, δηλαδή πολύ μεγάλο χρόνο. 9. Έχουμε /?, + R 2 =450. Για την ολική αντίσταση R των R l και R 2 όταν συνδεθούν εν παραλλήλω έχουμε /?,+/?, 1 R,R 2 + = ο - = ο R =. Λ, R-, R R^R-y R R] + R-> Επομένως R = ^ συνάρτηση της Λ, είναι = ~ R\ Ώστε η ολική αντίσταση ως Έχουμε R(R i ) = R ] - R{ 450 Λ'(Λ,) = 1- Λ, και «"(/?,) = <0. 1 Έχουμε R'(R,) = 0ο\ Λ, = 0οϋ, = ' ' Οταν όμως Λ, = 225, τότε και R 2 = = 225. Άρα για να έχουμε τη μέγιστη ολική αντίσταση πρέπει οι δύο αντιστάσεις να είναι ίσες, δηλαδή πρέπει Λ, = R 2 = 225 Ω. 10. Αν / και Φ είναι οι θέσεις των δύο πλοίων ύστερα από t ώρες τότε ΟΙ = 20-40ί και ΟΦ = 201, οπότε /Φ = ^/(20-40/) 2 + (20ί) 2 Η ελάχιστη απόσταση θα παρουσιαστεί όταν το υπόριζο (20-40ί) 2 +(20/) 2 γίνει ελάχιστο. Θεωρούμε τη συνάρτηση /(/) = (20-40/) 2 + (20/) 2, ί>0. 40km/h 20 n y Ο 401 \d \Φ 20/ 20km/h

30 32 Έχουμε /'(/) = 2(20-40/)(-40) ? 20 = /+ 800/, δηλαδή /'(Ζ) = 4000/-1600 και /"(/) = 4000 > Έχουμε / (/) = 0 <=> 4000/ = 0 ο / = = = 0, Επομένως σε χρόνο / = h (24 λεπτά) η απόσταση των δύο πλοίων θα είναι ελάχιστη και ίση με ΙΦ = J^ j + ^20 ^) =V = λ/80. Επειδή Λ/80 < Λ/Ϊ00 = 10 συμπεραίνουμε ότι οι άνθρωποι των δύο πλοίων θα έχουν κάποια στιγμή οπτική επαφή. γενικεσ ασκησεισ, λέ,. / (1,21) / (1) VuT-Vl 1,1-1 0,1 1. ι) Εχουμε: μεση πυκνότητα = = = = _ι_ Ξ 0,476 1,21-1 0,21 0,21 0,21 ii) Γραμμική πυκνότητα ρ = lim + Α-> ο h = f'{\). Όμως / ' ( Χ ) = (Λ/Χ)' = τ= Επομένως /'(I) = = - = 0,5. Αρα ρ=0,5. 2Vx 2VI 2 2. Έχουμε C'(x) = 3x 2-6νχ, C"(x) = 6χ - 6ν. Επομένως C'(x) = 0 ο 3χ 2-6νχ = 0 ο 3χ = 6ν ο χ = 2ν C"(2v) = 12ν - 6ν = 6ν > 0. και Αρα για χ = 2ν μονάδες το κόστος γίνεται ελάχιστο. Το κέρδος από την παραγωγή 2ν μονάδων είναι ίσο με Ρ(ν) = 2ν (16 - ν), δηλαδή Ρ(ν) = 32ν - 2ν 2. Έχουμε Ρ'(ν) = 32-4ν και Ρ "(ν) = -4 < 0. Είναι Ρ'(ν) = 0 ο 32-4ν = 0 ο ν=8. Άρα, όταν παράγονται ημερησίως x = 2 8 = 16 μονάδες από ν = 8 εργάτες έχουμε το ελάχιστο κόστος και το μέγιστο κέρδος.

31 33 3. Ο συντελεστής διεύθυνσης της καμπύλης της συνάρτησης/σε ένα σημείο της (χ, /(χ)) είναι Λ = /'0) = (x 3 + 3χ 2-2χ-1)' = 3χ 2 +6χ-2 Αναζητούμε τις τιμές του χ για τις οποίες η συνάρτηση λ(χ) = 3χ 2 +6χ-2 έχει ελάχιστο. Έχουμε Επομένο)ς λ'(χ) = 6χ + 6 και λ"(χ) = 6 > 0. λ'(χ) = 0Ο6Χ + 6 = 0 Ο Χ = -1. Άρα για χ = -1 η συνάρτηση έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης. Όμως για χ = -1 είναι /(-Ο = ("I) 3 + 3(-1) 2-2(-1) -1 = = 3. Άρα το ζητούμενο σημείο είναι το (-1, 3). 4. Αν λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε, τότε η εξίσωσή της είναι y = λχ + κ. Επειδή το σημείο Λ(α, β) ανήκει στην ε έχουμε β = λ α + κ, οπότε κ = β -λα. Επομένως η εξίσωση της ε γίνεται y = λχ + β - λα. Για χ = 0, έχουμε y = β-λα, Ο Α(α,β) δηλαδή q = β - λα και για y = 0, έχουμε 0 = λχ + β - λα, οπότε x = ^ δηλαδή ρ-α-. Επομένως λ β ρ + ς = α- +β-λα = (α + β)- αλ + β Θεωρούμε τη συνάρτηση και έχουμε /(Α) = (α + /?)-\σλ +?- λ f\x) = -[ α - J- j = JL - α και /"(λ) = -2β.

32 34 β Είναι f\x) = 0ο^--α = 0οΓ =, οπότε λ = ~^η= αφού λ < 0. Για α yfa λ = - J - έχουμε f \ X ) = 2 β ν«v ν r y συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ίσο με Γ ρ \3 V«1 η Γ ι ~ \[β > 0. Επομένως για λ = ~ η \/α Λ ~(α + β) + : "Γ λ/λ + /? 77 jjj - (α + β) + (-/αβ + -Jo-β) = α + β + 2^αβ = (Va + -^β)". 5. Αν <5 η διάμετρος και υ το ύψος του κυλίνδρου θα έχουμε δ + υ = 20 και V = π X- ί~\ υ = π '~- (20-δ) = 5πό δ 3. Άρα V(δ) = 5πδ 2 -~δ\ 0<<S<20. 4 Έχουμε V'(<$) = \0πδ δ 2 και ν"(δ) = \0π δ τγ ) 3ί5 2 τ ν'(δ) = 0 ο ]0πδ - δ = 0 ο 1 Οδ - = 0 ο 40(5-3δ 2 = <=> (40 3<5)f5 = 0 <=> c5 = Γ,α<5 = είναι C"f 1 =,0*- --ΙΟκΟ. 3 1, 3 J Αρα -λ για ό js = και υ = 1π = 20, ' εχουμε το μέγιστο ογκο του κυλίνδρου. 6. Το κόστος θα είναι ελάχιστο όταν η επιφάνεια του δοχείου θα είναι ελάχιστη. Αν ρ και υ είναι η ακτίνα και το ύψος του κυλινδρικού δοχείου σε cm, τότε η ολική του επιφάνεια είναι ίση με Ε = 2πρ 2 + 2πρ υ. Όμως V = π ρ 2 υ = 1000, οπότε υ = 1222 κοα η επιφάνεια π ρ" 1000 γίνεται Ε(ρ) = 2πρ + 2 πρ Ί π ρ-

33 35 Θα βρούμε επομένως το ελάχιστο της συνάρτησης Ε(ρ) = 2πρ 2 ρ >0. Έχουμε Επομένως Ε Γ; (ρ) λ = 4πρ και Ε L-, (ρ) Λ -Απ, Λ > n 0. Ρ Ρ Ε'(ρ) = 0 <=> \πρ - = ο ο πρ 3 = 500 ο ρ 3 = -^2 οποτε > = 3 Άρα για ρ = 2ί - V π έχουμε την ελάχιστη επιφάνεια του δοχείου. Οταν,[500, ,ί500 ρ = 3, TOXe υ = ^ = -jjj = 23J = 2ρ. 7Γ πρ ι ^500 V ττ Άρα το κόστος ελαχιστοποιείται όταν η ακτίνα του δοχείου είναι ρ = \ = 5,42 και το ύψος του διπλάσιο από την ακτίνα, δηλαδή ίσο με τη V π διάμετρο της βάσης. 7. Ο όγκος του κωνικού ποτηριού είναι -πρ υ όπου ρ είναι η ακτίνα της βάσης του και υ το ύψος του. Όμως υ 2 + ρ 2 = R 2. Επομένως ο όγκος του ποτηριού είναι V (υ) = - n(r 2 -υ 2 ) υ =-πr 2 υ - - πυ 3, ν > 0. Έχουμε Είναι V'(v) = ^πη 2 - πυ 2 και V"(u) =-2πυ < 0. Ν\Υ) = 0 Ο 7Τ/? 2-7TD 2 = 0 Ο ΠR 2 = 37ΓΙΓ 3 Ο 3D 2 = R 2 Ο» 2 = R 2 Ο Υ = R^-.

34 36 pv3, Αρα για υ = R εχουμε τη μέγιστη χωρητικότητα που είναι ιση με /?V3 (1)2 1 2 ^ Λ / 3 Ι 2R 2 Ryl3 2 J T, -7Γ /ν /ν = -7Γ = R \ { 3 J Λ/3. 8. α) Έχουμε c(x): C(x) C'(x) x - C(x) c'(x) = Αφού όμως το μέσο κόστος είναι ελάχιστο Οα έχουμε: * c'(x) = 0 ο xc'(x)-c(x) = 0 ο C'(x) = C(x) β) i) Έχουμε C(x) = ^ qqq και επομένως το μέσο κόστος είναι C(x) 2600, 1 χ και το οριακο κοστος C (χ) = χ + 2. Ετσι χ 1000 χ 500 έχουμε τον επόμενο πίνακα Αριθμός μονάδων Λ" Κόστος C{x) Μέσο κόστος.υ Οριακό κόστος C'(x) ,87 8 >. π,,, s C(x) ιι) ΓΙρεπει c (x) =, οηλαοη χ+ 2 = χ+ 2 +, οποτε χ χ χ ^ = και άρα x s χ Το ότι το επίπεδο αυτό παραγωγής δίνει πράγματι το ελάχιστο μέσο κόστος προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε x-c'(x)-c(x) c'(x) = - C'(x) C(x) x X x" δηλαδή c'(x) = 100 χ χ 1000 χ χ και άρα c"(x) = > ο. χ 3 Η αντίστοιχη ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους για x = 1612 είναι c(1612) = , Η 5,

35 37 9. α) Έχουμε Ρ(χ) = R(x) - C(x) Ρ'(χ) = R\x)-C\x). Αν / > (x) μέγιστο, τότε /"(χ) = 0 και επομένως R'(x)-C'(x) = 0. Άρα = C'(x). β) Πρέπει /?'(*) = C'(x) (x(50-0,0 lx))' = ( χ - 0,00\χ 2 )' 50-0,02χ = 5-0,002Λ 45 = 0,018χ χ = 4S = ,018 Το ότι το επίπεδο αυτό παραγωγής δίνει πράγματι το μέγιστο κέρδος, προκύπτει από το γεγονός ότι έχουμε P(x) = R(x)-C(x) = xp(x)-c(x) = 50x-0,01 ν χ + 0,001χ 2 = 45χ ,009χ 2, οπότε Ρ'(χ) = 45-0,018χ και Ρ"(χ) = -0,018 < ί) Έχουμε AT = -Jd 2 + χ 2, οπότε ο απαιτούμενος χρόνος στον αέρα είναι Jell + χ" Ι λ 2. Επίσης Β Γ = ^d 2 +(d-x), οπότε ο απαιτούμενος χρόνος στο "ι yjdi+id-χ) 2 νερο είναι. υ 2 Επομένως ο χρόνος που χρειάζεται το φως για τη διαδρομή ΑΓΒ είναι -Jx 2 + d 2 ^-J(d ~ χ) 2 + d 2 υ, Uf ii) Έχουμε t'(x) = 2x + 2 (d-χ)(-1) ι 2-Jx 2 + d\ D i 2j(d-x) 2 +d 2 2

36 38 1 χ 1 d-x υ ΐ -Jχ 2 + d 2 J(d - χ) 2 + dj iii) To ελάχιστο του χρόνου το έχουμε όταν t'(x) = 0. I χ 1 d-x Επομένως, υ ι y]χ 2 + d 2 "2 Jid-x) 2 +d : ημα = ημ^ υ, υ 2 ημα D, ημβ»ι'

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2.1 βασικεσ εννοιεσ 1. Ποιοτικές: γ, δ, στ, ζ Ποσοτικές - διακριτές: β, η, Θ, ι Ποσοτικές - συνεχείς: α, ε 2. α) Μισθός (ποσοτική), ηλικία (διακριτή), φύλο (ποιοτική),ικανοποίηση από τη δουλειά (ποιοτική), κτλ. β) Βάρος (ποσοτική), ποιότητα (ποιοτική), κτλ. γ) Χρόνος παρακολούθησης τηλεόρασης (ποσοτική), σταθμός προτίμησης (ποιοτική) κτλ. δ) Χρόνος συμμετοχής (ποσοτική-συνεχής), αριθμός πόντων (ποσοτικήδιακριτή), κτλ. 3. (ε). Πρέπει το δείγμα να είναι αντιπροσωπευτικό του πληθυσμού. Επομένως πρέπει να πάρουμε άτομα (των δύο φύλων και διαφόρο)ν ηλικιών) από διάφορες περιοχές του πληθυσμού για τον οποίο αναφερόμαστε. 4. α) Με το σχέδιο αυτό θα έχουμε υπερεκτίμηση του αριθμού των ανδρών, β) Πιθανόν να έχουν τις ίδιες πολιτικές πεποιθήσεις. γ) Θα έχουμε υπερκτίμηση του εισοδήματος. δ) Νέοι δεν είναι μόνο οι μαθητές Λυκείου. Ελλάδα δεν είναι μόνο η Αττική. ε) Οι λόγοι απουσίας των μαθητών διαφέρουν κατά τη διάρκεια του έτους. Το Νοέμβριο μπορεί να απουσιάζουν λόγω κρυολογήματος, το Μάϊο λόγω συμμετοχής σε εξετάσεις. 2.2 παρουσιαση στατιστικων δεδομενων α' ομαδασ 1. α) Παριστάνουμε με Χ τη βαθμολογία των φοιτητών. Ο πίνακας κατανομής των συχνοτήτων και των σχετικών συχνοτήτων της μεταβλητής Χ είναι ο εξής:

38 40 Σχετική Αθροιστ. Αθρ. Σχετ. Βαθμολογία Διαλογή Συχνότ. συχνότητα συχνότητα Συχν. v / fi% Ν, F,% 1 III II utr III m ιι W1 Mil IM1II II II Σύνολο β) i) Από τον παραπάνω πίνακα παρατηρούμε ότι από τους 50 φοιτητές 13 έχουν βαθμό κάτω από τη βάση. Άρα για Χ <4 το αντίστοιχο ποσοστό είναι 13/50 = 0,26 = 26% (βλ. τελευταία στήλη / ",%). ii) Για Χ >9 το αντίστοιχο ποσοστό είναι (5 + 2)/50 = 7/50 = 0,14 = 14%. Ισοδύναμα από την τελευταία στήλη το ποσοστό είναι 100% - 86% = 14%. iii) Ομοίως, για 7 < Χ < 9 έχουμε τους φοιτητές με βαθμό 7,8 ή 9. Συνεπώς το αντίστοιχο ποσοστό είναι ( )/50 = 19/50 = 0,38 = 38%. Ισοδύναμα από την τελευταία στήλη το ποσοστό αυτό είναι 96% - 58% = 3 8%. Βαθμ( )λογία Φύλο <5 >5 Σύνολο Α Κ Σύνολο α) Διαιρούμε τις συχνότητες των "κελλιών" του πίνακα της άσκησης 2 με το συνολικό αριθμό φοιτητών ν = 50. Βαθμολογία Φύλο <5 >5 Σύνολο Α 11/50=22% 36% 58% Κ 18% 24% 42% Σύνολο 40% 60% 100% Δηλαδή το 22% των φοιτητών είναι αγόρια με βαθμό < 5, κτλ.

39 41 β) Διαιρούμε τις συχνότητες των "κελλιών" κάθε γραμμής με το αντίστοιχο σύνολο της γραμμής. Βαθμολογία Φύλο <5 >5 Σύνολο Α 11/29=37,93% 62,07% 100% Κ 42,86% 57,14% 100% Σύνολο Δηλαδή το 37,93% των αγοριών έχουν βαθμό < 5, κτλ. γ) Διαιρούμε τις συχνότητες των "κελλιών" κάθε στήλης με το αντίστοιχο σύνολο της στήλης. Βαθμολογία Φύλο <5 >5 Σύνολο Α 11/20=55% 60% Κ 45% 40% Σύνολο 100% 100% Δηλαδή το 55% των φοιτητών με βαθμό < 5 είναι αγόρια, κτλ.. 4. Παριστάνουμε με Χ τις ημέρες απουσίας: α)είναι Χ>\. Άρα έχουμε = 38 εργάτες, δηλαδή το 38/50 = 0,76 = 76% των εργατών απουσίασαν τουλάχιστον μια ημέρα. Ισοδύναμα αυτό μπορεί να βρεθεί αν από τους 50 εργάτες αφαιρέσουμε τους 12 που δεν απουσίασαν ποτέ από την εργασία τους. β) Είναι Χ > 5. Άρα έχουμε = 8 εργάτες, δηλαδή 8/50 = 0,16 = 16%. γ)είναι 3< Χ <5. Άρα έχουμε = 17 εργάτες, δηλαδή 17/50 = 0,34 = 34%. δ) Είναι Χ <5. Άρα έχουμε = 42 εργάτες, δηλαδή 42/50 = 0,84 = 84%. ε) Είναι Χ = 5. Άρα έχουμε 8 εργάτες, δηλαδή 8/50 = 0,16 = 16%. 5. Ακολουθούμε, για παράδειγμα, τα παρακάτω βήματα: α) ν: = 20 δ) / 4 = ^ = = 0, fi 0,20 β) Ν χ =Ν 2 -ν 2 = 6-4 = 2 = Vj ε) ν 6 =ν-ν 5 =20-19 = 1 γ) f 3 =F 3 -F 2 = 0,60-0,30 = 0,30.

40 42 Επομένο)ς ο πίνακας συχνοτήτων είναι: Χ j ν, / Ν, 1 7,./,% / ;% , ,20 6 0, , , , , , , , Σύνολο 20 1, Αν εργαστούμε όπως στον πίνακα 5 έχουμε τον πίνακα συχνοτήτων του βαθμού στα Μαθηματικά για τα αγόρια και τα κορίτσια: Βαθμός στα Αγό )ΐα Κορίτσια Μαθηματικά, χ, Διαλογή ν Α Διαλογή ν κ I I 1 III 3 13 I II 2 III 3 15 II 2 ΙΗί I 6 16 III 3 III 3 17 III 3 I 1 18 II 2 Ι 1 19 II 2 III I 1 Σύνολο Επομένοις το αντίστοιχο διάγραμμα συχνοτήτοιν είναι: V 6 - Α ' Κ II βαθμός

41 43 7. Κατασκευάζουμε προ'πα τον πίνακα συχνοτήτων: Μουσικό συγκρότημα, χ, v i /,% Metallica 5 27,8 Iron Maiden 3 16,7 Scorpions Oasis 1 5,5 Rolling Stones 2 11,1 Άλλο 3 16,7 Σύνολο ,0 α) Επομένως το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων είναι: β) To αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα σχετικίόν συχνοτήτων είναι: Metallica 27,8% I Metallica 27,8% Iron Maiden 16,7% Scorpions Oasis Rolling Stones Άλλο 5.5% 1 : 11,1% 1 16,7% 22.2% ί% Iron Maiden 16.7% Scorpions 22.2% Oasis 5.5% Άλλο 16,7% Rolling Stones 11,1% 8. Αν ν = 450 το πλήθος των μαθητών, ν,, i = 1,2,3,4 οι συχνότητες, /, οι σχετικές συχνότητες και α,, ; = 1,2,3,4 τα τόξα του κυκλικού διαγράμματος για τις τέσσερις κατηγορίες Άριστα, Αίαν Καλώς, Καλώς και Σχεδόν Καλώς, αντιστοίχως, θα έχουμε ν 2 = fi ν = 0, = 135 και α3 ν , ν, = = = 180. Στη συνεχεία Βρίσκουμε τη συχνότητα ν, της ' τιμής χ ] = "Άριστα", χρησιμοποιώντας και το γεγονός ότι ν Α = 2ν, : ν, ν 4 =450 Ο ν, ν, =450 Άρα και ν 4 = 90. Έτσι ο πίνακας συχνοτήτων είναι: Ο ν, = ( )/3 = 45. i ν, /,% 1 Άριστα Αίαν Καλώς Καλώς Σχεδόν Καλώς Σύνολο ν= ν, ν

42 44 Οπότε το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα και το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων είναι: Σχεδόν καλώς 20% Αριστα 10% Αριστα Λίαν καλώς Καλώς Καλώς 'iz/ai'mlfi., ' ' 40% I 40% ι Σχεδόν καλώς Β ' 20% Γ ] ι 1 Λίαν καλώς % /% Τουλάχιστον λίαν καλώς έχει το 40%, δηλαδή 180 μαθητές. 9. Κατασκευάζουμε πρώτα τον πίνακα συχνοτήτων: 10% Ομάδα v i /,% ΑΕΚ 9 23,1 Λάρισα 1 2,6 Ολυμπιακός 12 30,8 ΠΑΟ 15 38,4 ΠΑΟΚ 2 5,1 Σύνολο ,0 Συνεπώς το ραβδόγραμμα σχετικών συχνοτήτων και το αντίστοιχο κυκλικό διάγραμμα σχετικών συχνοτήτων είναι: Ολυμπιακός ΠΑΟΚ Λαρισα Ολυμπιακός 30. ΓΙΑΟ 38,4% 30% ; i Λάρισα 2,6% ΠΑΟΚ 5,1% ΑΕΚ. 23,1% 10. Εργαζόμαστε όπως στο παράδειγμα στο σχήμα 1(γ): 9η χρυσά αργυρα χάλκινα Γερμανία Πολωνία Ουκρανία Πορτογαλία Γαλλία Μ. Βρετανία Ρωσία Ρουμανία Ιταλία Ισπανία Ελλάδα

43 Τα χρονογράμματα των δύο λοιμωδών νόσων δίνονται παρακάτω: 400 γ j L I 250 L η 200 I Γ150 : 100 Ηπατίτιδα Λ Ερπης ζωστήρ ν~! ', έτος Έρπης ζωστήρ: Έχουμε ανοδική τάση μέχρι το 1995 και μετά ελαφρά πτώση'. Ηπατίδιδα Α : Έχουμε καθοδική τάση μέχρι το 1993, σημαντική αύξηση τα έτη 1994 και 1995 και μετά πτώση στα επίπεδα του α) Ο πίνακας συχνοτήτων της επίδοσης Χ των 50 υποψηφίων είναι: Χι Διαλογή Vi f% N, Fj% 0 II ' ΙΙΙΙ Mil wt W+f mi mi ii m II m t ι Ml Σύνολο β) Τα διαγράμματα σχετικών και αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων είναι: " ~ 0 f/% επίδοση +F, ' ) επίδοση

44 46 γ) Θέλουμε επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του 8, Χ > 8. Άρα η σχολή θα πάρει = 11 άτομα, δηλαδή το 22% των υποψηφίων. δ) Αφού η σχολή θα πάρει το 36% των υποψηφίων σημαίνει ότι το 64% των υποψηφίων δεν θα επιλεγούν, δηλαδή όσοι έχουν επίδοση μικρότερη ή ίση του 6. Άρα θα επιλεγούν όσοι έχουν επίδοση μεγαλύτερη ή ίση του Επειδή στον κατακόρυφο άξονα έχουμε το ποσοστό του εισοδήματος ανά χιλιάδες ευρώ, έχουμε: /% y ο /% = / C = 10 (20-15) = 10 5 = 50% Άρα το 50% των οικογενειών της περιοχής έχουν εισόδημα από 15 έως 20 χιλιάδες ευρώ. 14. Πρέπει το εμβαδόν του πολυγώνου σχετικών συχνοτήτων να είναι 100 (τοις εκατό). Όμως αυτό που έκανε ο μαθητής είναι περίπου ένα τρίγωνο με βάση ( ) = 40 και ύψος 10. Άρα έχει εμβαδόν (40 10) / 2 = 200. Συνεπώς είχε δίκιο ο καθηγητής. β ομαδασ 1. Παρατηρούμε ότι: Για τη Λέσβο υπάρχει πτωτική τάση. Για τη Θάσο υπάρχει περίπου σταθερή κατάσταση. Για τη Σαλαμίνα υπάρχει ανοδική τάση. ΙΟΟτ S έτος απογραφής ο Λέσβος Σαλαμίνα Θάσος 2. Οι βεβαιωθέντες θάνατοι από χρήση ναρκωτικών για τα έτη αναφορικά με την ηλικιακή ομάδα είναι: Ηλικία Έτος < >31 Σύνολο * Μέχρι 8 Απριλίου. I Ιηγή: ΟΚΛΝΑ

45 47 3. Οι βεβαιωθέντες θάνατοι από χρήση ναρκωτικοί για τα έτη αναφορικά με το φύλο είναι: Φύλο Έτος Γυναίκες Ανδρες Σύνολο * * Μέχρι 8 Απριλίου. Πηγή: ΟΚΑΝΑ 4. α) Παρατηρούμε ότι ολοένα και περισσότερο το ποσοστό των πτυχιούχων γυναικών Μαθηματικών πλησιάζει σημαντικά το αντίστοιχο ποσοστό των ανδρών. Ενώ δηλαδή το 1930 ο λόγος ανδρών-γυναικών Μαθηματικών ήταν 90% προς 10% το 1995 ο λόγος αυτός έγινε 55% προς 45%, αντίστοιχα. β) Γυναίκες = 45% 789 ξ 355 Ανδρες = 55% 789 = 434. γ) Το ποσοστό των πτυχιούχων γυναικών το 1974 ήταν 20% και εφόσον αυτές ήταν 173 συμπεραίνουμε ότι το σύνολο των πτυχιούχων ήταν ( )/ 20 = 865. Αρα οι άνδρες ήταν 692 (ποσοστό 80%). δ) Γνωρίζουμε μόνο τα αντίστοιχα ποσοστά, άρα δεν μπορούμε να ξέρουμε τον αριθμό ανδρών και γυναικών που πήραν πτυχίο Μαθηματικού το έτος αυτό. Παρατηρούμε ότι ο αριθμός των παιδιών από 0-14 ετών μειώνεται σημαντικά ενώ αυξάνει ο αριθμός των ηλικιωμένων (>65 ετών) και των ατόμων μεταξύ 15 και 64 ετών

46 48 6. α) Φάρμακο A: ( )/150 = ; 150 0,173 «17,3%. Φάρμακο Β: ( )/200 = = 0,26 = 26%. 200 β) Επειδή η μεταβλητή "συστολική πίεση" είναι συνεχής η ομαδοποίηση σε κλάσεις της μορφής [, ) είναι: 94,5-99,5 99,5-104,5 κτλ. Επομένως τα πολύγωνα αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων για τη συστολική πίεση των γυναικών που λαμβάνουν τα φάρμακα Α και Β είναι: F,%.α' ο OOniael' Λ a- OOniaei Α 109,5 114,5 119,5 124,5 129,5 134,5 Συστολική πίεση (σε mm Hg) 149,5 Παρατηρούμε ότι η συστολική πίεση των γυναικών που παίρνουν το φάρμακο Β είναι εν γένει μεγαλύτερη από ότι των γυναικών που παίρνουν το φάρμακο Α. Για παράδειγμα, το 40% των γυναικών που παίρνουν το φάρμακο Α έχουν συστολική πίεση μεγαλύτερη των 119,5 mm Hg, ενώ το ίδιο ποσοστό γυναικών που παίρνουν το φάρμακο Β έχουν συστολική πίεση μεγαλύτερη των 124,5 mm Hg. Με τα δεδομένα αυτά όμως δεν μπορούμε να ξέρουμε αν το φάρμακο Β προκαλεί την αύξηση της πίεσης ή οι γυναίκες με υψηλή πίεση παίρνουν το φάρμακο Β. 7. α) Επειδή ν = 55 χρησιμοποιούμε κ = 7 ισοπλατείς κλάσεις. Το εύρος είναι Λ = 13,8-1,3 = 12,5 συνεπώς το πλάτος των κλάσεων είναι c = R = 12,5 = 1,786 ~ 1,8. κ 7 β) Ο πίνακας συχνοτήτων είναι: Κλάσεις ι - ) Διαλογή v, f% N, F,% 1,3-3,1 m m ιιιι 14 25, ,5 2,2 3,1-4,9 m m m , ,0 4,0 4,9-6,7 III 4 7, ,3 5, ,5 m i 6 10, ,2 7,6 8,5-10,3 Mil 4 7, ,5 9,4 10,3-12,1 III 3 5, ,9 11,2 12,1-13,9 Mil 5 9, ,0 13,0 Σύνολο: ,0

47 49 2,2 4 5,8 7,6 9,4 11,2 13 χρόνος (σε λεπτά) Πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. 1,3 3,1 4,9 6,7 8,5 10,3 12,1 13,9 χρόνος (σε λεπτά) Πολύγωνο αθροιστικο')ν σχετικοί συχνοτήτων. 2.3 μετρα θεσησ και διασπορασ α' ομαδασ 1. Αν χ είναι ο πρώτος άρτιος, τότε οι ζητούμενοι άρτιοι αριθμοί θα είναι: χ χ + 2 χ + 4 χ + 6 χ + 8 χ Επειδή η μέση τιμή τους είναι ίση με 15 έχουμε Χ + Χ Χ Χ Χ Χ χ = 15 ο = 15 Ο χ = Άρα οι αριθμοί είναι οι: 10, 12, 14, 16, 18, 20. Η διάμεσος τους είναι η δ = ^ + ^ = α) Ναι, όταν και οι δέκα τιμές είναι ίσες με 1. β) Όχι, η μέση τιμή είναι πάντα ανάμεσα στη μικρότερη και τη μεγαλύτερη παρατήρηση. γ) Ναι, για παράδειγμα οι τιμές: , χ = = = 8,25% α) χ = = = 206,1 cm β) 9 ' 2Q5 + X =208ox = 235cm. 10

48 5. Αν παραστήσουμε με Χ την ηλικία TOJV μαθητών, τότε έχουμε τα παρακάτω δεδομένα: ν Λ =18, ν λ, = 12, ν = ν Α + ν κ = 30, χ Α = 15,8, χ = 15,4. Αν χ κ είναι η μέση ηλικία των κοριτσιών, τότε θα είναι χ = - οπότε αντικαθιστώντας τα δεδομένα έχουμε: ir 18-15, ?^ 15,4 = ' ^<=> χ κ = 14,8. λ α) Έχουμε ΙΑ, 2Μ, 3Κ και 4Π μπάλες. Αν παραστήσουμε με Χ το βάρος (σε gr) για τις μπάλες διαφορετικού χρώματος, θα έχουμε τις τιμές 10, 11, 12 και 13 για τις άσπρες, μαύρες, κόκκινες και πράσινες μπάλες, αντίστοιχα, με συχνότητες όπως δίνονται στον παρακάτω πίνακα: Χι ν,,/; , , ,40 Σύνολο 10 1,00 Α 10% 10gr Μ 20% 11 gr Κ 30% 12gr Π 40% 13gr Αρα = 12 «r ίο ~ Το" «5 = ^ = 12^ Λ/ ο = 13 gr β)έχουμε 2Α, 4Μ, 6Κ και 8Π μπάλες. Αν εργαστούμε όπως στην προηγούμενη περίπτωση, ο πίνακας συχνοτήτων είναι: λ", ν, ί , , , Σύνολο 20 1,00 Αρα χ = = 12»r 20 δ = Μ 0 = 13 gr. = 12 gr και γ) J = X J\ =10-0, , , ,40 = 12 gr /=! Οι μισές από τις μπάλες έχουν βάρος μικρότερο των I ' gr και οι άλλες μισές μεγαλύτερο των 12gr, άρα <5 = 12gr.

49 51 7. α) Ο αριθμητικός μέσος είναι _ ,, χ = = 14 5 β) Ο σταθμικός μέσος είναι _ Γ16 + Γ18 + 3Ί4 130 χ = = = Για να μεγαλώσει ο σταθμικός μέσος πρέπει να έχει μεγάλους βαθμούς στα μαθήματα που έχουν και μεγαλύτερους συντελεστές. Έπρεπε λοιπόν ο μαθητής να δώσει ιδιαίτερη προσοχή στα μαθήματα με τους συντελεστές στάθμισης Είναι = 1249 ευρώ, χ β = 1280 ευρο') και x t = 1360 ευρώ. Αρα = 1291 ευρώ Εφόσον οι αριθμοί είναι πέντε, η διάμεσος θα είναι ο μεσαίος αριθμός. Επειδή όμως δ=6 προκύπτει ότι ένας από τους αριθμούς που ζητούμε είναι το 6. Επειδή όμως η μέση τιμή είναι επίσης 6, αν χ είναι ο πέμπτος αριθμός θα χ εχουμε: = 6 ο χ = 2. Επομένως οι άλλοι δύο αριθμοί είναι οι 2 και 6.. _ Υ Λ* ν, ( I ν, α) χ - ο 4,4 = ^ Σ ν, ν 5 +1 <=> 4,4(8 + ν 5 ) = 6ν ν 5 = 2. β) Οι τιμές σε αύξουσα σειρά είναι: Επειδή η <5 = 4,5 =, όσες τιμές έχουμε αριστερά της (δηλαδή 5) άλλες τόσες θα έχουμε προς τα δεξιά της. Άρα πρέπει να έχουμε ακόμη δύο 6. γ) 1 ία να έχουμε δύο επικρατούσες τιμές πρέπει το ν 5 = 3, οπότε οι επικρατούσες τιμές θα είναι το 3 και το 6.

50 πίνακας συχνοτήτων της μεταβλητής Χ που παριστά τον βαθμό στα Μαθηματικά των 40 μαθητών του πίνακα 4, είναι: Επομένως α ) χ = ^ ^ = ^ = 15,45 Σ ν, 40 ^ _ 20ή παρ.+ 21η παρ. _ _ χ. ν, χ, ν, Ν, I I Σύνολο " 2 2 ~~ ' δηλαδή το πολύ 50% των μαθητών και μαθητριών έχουν βαθμό στα Μαθηματικά κάτω από 15 και το πολύ 50% πάνω από 15. γ) Μ 0 =15 10η παρ.+ 11η παρ δ) Q, = '! = = q _ 30ή παρ. + 31η παρ ^ 13 Συγκεκριμένα εδώ έχουμε = 32,5% με βαθμό μικρότερο του 15 και 19 = 47,5% με βαθμό μεγαλύτερο του πίνακας συχνοτήτων είναι: Επισκέψεις [ - ) ν, χ, ν, Ν, F, % ΟΟ Ο Σύνολο

51 53. Τ χ, ν, 172 α) * = Τ-, = = 4,3. Σ ν, 40 ρ> Μ 0» 3, i 4 6 Α/ο 3, επισκέψεις τ) 100 _Λ* βι «2,33 c5 = 4 ρ 3 = ρ,.2,33 i 4 ρ 3 =6 επΐσκέψ ΐς λ α) χ = «169,66 cm β) χ = = 170cm 31 _ γ) χ = «169,67 cm. 14. α) Διακύμανση ή διασπορά ορίζεται ο μέσος όρος των τετραγώνων το)ν αποκλίσεων των χ, από τη μέση τιμή τους. Μικρότερες (κατ'απόλυτη τιμή) αποκλίσεις έχουμε στη δεύτερη λίστα και μεγαλύτερες αποκλίσεις στην τρίτη λίστα. Άρα μικρότερη διασπορά έχουν οι τιμές της 2ης λίστας και μεγαλύτερη διασπορά της 3ης λίστας. β) Όχι, γιατί έχουν το ίδιο εύρος. 15. Οι τιμές της βαθμολογίας σε αύξουσα σειρά είναι: II

52 54 Ν lft α) χ = = = Μ 0 = 11, δ = = 11. β) Το >, είναι η διάμεσος των: Άρα Q ] = 7. Το <2 3 ε^ναι Π διάμεσοςτων: II Άρα > 3 = 13. γ) «= 15-3 = 12 2 (3-10) s = 2 + (4-10) (15-10) ,, = i = VT5 «3,87 5 3,87 cv = = = 3 8,7%. χ Από τον πίνακα της άσκησης 12 βρίσκουμε: χ, ν, χ, ν,./ν, ' ' - ; F 1 ν, (Σχ ι ν,υ ± 984-^1 40 [ 40 J JL ^ 1 = ^ = 6,1, Αρα s = -y/6,11 = 2, Έχουμε χ = 10 και s = 2. Άρα: στο διάστημα (8, 12) έχουμε το 68% στο διάστημα (6,14) έχουμε το 95% στο διάστημα (4,16) έχουμε το 99,7%. Συνεπώς το ποσοστό των μαθητών που χρειάζονται: α) κάτω από 8 λεπτά είναι το 100%-68%,. 0/ Ιο/ο 2 β) πάνω από 14 λεπτά είναι το 100%-95% = 2,5% ι«- 68% -W ι 1 99,7%- γ) το πολύ 10 λεπτά είναι το 50% δ) μεταξύ 6 και 12 λεπτά είναι το + 68% = 81,5%

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ. Μαθηματικά. Β μέρος. Λύσεις των ασκήσεων ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ Μαθηματικά Β μέρος Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Οικονομίας & Πληροφορικής Λύσεις

Διαβάστε περισσότερα

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν

Λύση α) Μετά από την σχετική διαλογή ο πίνακας των συχνοτήτων και σχετικών συχνοτήτων είναι ο παρακάτω. Aθρ. Συχν N. συχν 1 2.2 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 78 83 Α ΟΜΑ ΑΣ 1. Η βαθµολογία 5 φοιτητών στις εξετάσεις ενός µαθήµατος είναι: 3 4 5 8 9 7 6 8 7 1 8 7 6 5 9 3 8 5 6 6 6 3 5 6 4 2 9 8 7 7 1 6 3 1 5 8 1 2 3 4 5 6 7 9

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

( x)( x) x ( x) 2. 2x< 60 x< 30 και τελικά 0 < x < 30. = x = (παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης)

( x)( x) x ( x) 2. 2x< 60 x< 30 και τελικά 0 < x < 30. = x = (παραγώγιση σύνθετης συνάρτησης) Β3. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 6 cm θα κατασκευαστεί ένα δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε - ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΚΥΚΛΟΥ Τ.Ε.Ε ΟΜΑΔΑ Α ΕΠΑ.Λ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού ΑΣΚΗΣΗ Το βάρος μαθητών σε κιλά είναι : 5, 5, 57, 5, 6, 5, 5, 5, 57, 5 Να υπολογίσετε : α ) τη μέση τιμή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1.

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; α) Να βρεθεί η τιμή του α, ώστε η τιμή της f στο χ 0 =2 να είναι 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1.Δίνεται η συνάρτηση f()= 4 1 α) Το σημείο (-1,1) ανήκει στη γραφική παράσταση της f; β) Αν χ=, ποια είναι η τιμή της f; γ) Αν f()=1, ποια είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4

1.4. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f(x) = x 2x ii) f(x) = 3 x iii) f(x) = x 2x + 4 .4 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 45 47 A ΟΜΑ ΑΣ. Να βρείτε τα ακρότατα των συναρτήσεων i) f() ii) f() + 6 iii) f() i) Πεδίο ορισµού είναι το R f () f () 0 0 f () > 0 > 0 > > + 4 Το πρόσηµο της f και η µονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w

f x g x f x g x, x του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 είναι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν και w ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1 Αν οι συναρτήσεις f,g

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7

P(A ) = 1 P(A). Μονάδες 7 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο. x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.Να συμπληρωθούν οι πίνακες x i v i f i f i % x 1 7 x 2 5 x 3 15 x 4 14 x 5 9 Άθροισμα 50 x i v i f i f i % 1 12 2 3 24 40 5 0,05 Σύνολο x i v i f i % N i F i -1 4 0,1 0 30 2 3 6 Άθροισμα 40

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) 5 1 1 1η σειρά ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ( ΘΕΡΙΝΑ ) ΘΕΜΑ 1 Α. Ας υποθέσουμε ότι x 1,x,...,x κ είναι οι τιμές μιας μεταβλητής X, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R

(f(x)+g(x)) =f (x)+g (x), x R ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις, g είναι παραγωγίσιµες στο IR, να αποδείξετε ότι (()+g()) ()+g (), R Μονάδες 7 Α.

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ.Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων: ( ) 6+ 9, g ( ), h ( ) 5 +, k

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ

ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2013 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ ΚΥΠΡΙΑΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ Στασίνου 6, Γραφ. 102, Στρόβολος 200, Λευκωσία Τηλ. 57-2278101 Φαξ: 57-2279122 cms@cms.org.cy, www.cms.org.cy ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 201 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΟΙΝΟΥ ΚΟΡΜΟΥ Ημερομηνία:

Διαβάστε περισσότερα

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ.

Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η 2. 1. Β Α Σ Ι Κ Ε Σ Ε Ν Ν Ο Ι Ε Σ. Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Στατιστική έρευνα : Πρόκειται για ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών με αντικείμενο : 1) το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων. Κλάδος της στατιστικής που ασχολείται : Σχεδιασμός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2012 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 0 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο, να αποδείξετε ότι (f() + g ()) f () + g (),. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραµα µε ισοπίθανα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ»

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 2ο «ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ» ΕΠΝΛΗΠΤΙΚΕΣ ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΘΗΜΤΙΚΩΝ ΥΜΝΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο «ΕΩΜΕΤΡΙ». 1. Να υπολογίσετε τα εμβαδά των σχημάτων,, χρησιμοποιώντας ως μονάδα μέτρησης εμβαδών το. Τι παρατηρείτε; ρίσκουμε ότι τα εμβαδά των,, είναι : 5,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο.

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ. Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. ΘΕΜΑ (ΙΟΥΝΙΟΣ 000) ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Να γράψετε στο τετράδιο σας τον πίνακα των τιμών της μεταβλητής Χ σωστά συμπληρωμένο. Τιμές Μεταβλητής Συχνότητα σχετική Σχετική Αθροιστική f % f N 0

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2014 ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c σταθερός πραγματικός αριθμός, να αποδείξετε με τη χρήση του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li

3. lim [f(x) g(x)] = lim f(x) lim g(x) x xo x xo x xo x xo x xo v f(x) lim f(x) x xo lim = x xo g(x) lim g(x) x xo v lim [f(x)] = lim f(x) 6. li Μετά το τέλος της µελέτης του 1ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει να γνωρίζει: Τον ορισµό της συνάρτησης και τον τρόπο εύρεσης του πεδίου ορισµού της. Τις πράξεις µεταξύ συναρτήσεων, τις γραφικές παραστάσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2016 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέματα και Απαντήσεις Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών www.othisi.gr 2 Παρασκευή, 20 Μαΐου 2016 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17

15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17 ΜΕΡΟΣ 1 0 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ 1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών στο µάθηµα της Στατιστικής στο τέλος του β τετραµήνου. Πήραµε τις ακόλουθες βαθµολογίες: 15,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ

ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ. Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΗΛΙΑΣΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΥΨΗΛΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ Γενικής Παιδείας Μαθηματικά Γ Λυκείου Στατιστική Επιμέλεια: ΑΝΔΡΕΑΣ ΓΚΟΥΡΤΖΟΥΝΗΣ ΣΤΕΦΑΝΟΣ ΗΛΙΑΣΚΟΣ e-mail: info@iliaskos.gr www.iliaskos.gr 1) Να

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 2014 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 MAΪΟΥ 04 Λύσεις των θεμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους;

ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο. Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα και πότε χρησιµοποιείται; 5) Α2. Σε τι διακρίνονται οι µεταβλητές και τι είναι οι τιµές τους; ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 1 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΖΗΤΗΜ Α 1 Ο Α1. Τι είναι το ραβδόγραµµα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f( 1 2 ), f(α+1), f( α) και f(x+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών. β. f(x) = ε. f(x) = x - 4. κ.

Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(1), f( 1 2 ), f(α+1), f( α) και f(x+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών. β. f(x) = ε. f(x) = x - 4. κ. συναρτήσεις ο κεφάλαιο: διαφορικός λογισμός. Δίνεται η συνάρτηση f() = +, * Î. Να υπολογίσετε τις τιμές f(), f( ), f(α+), f( α) και f(+α), για τις κατάλληλες τιμές των μεταβλητών.. Να βρείτε το πεδίο ορισμού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2014 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 04 ΘΕΜΑ ο : * Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς της μορφής xxi,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10

x, όπου c σταθερός πραγματικός αριθμός. Μονάδες 10 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ - ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 23 ΜΑΪΟΥ 2012 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο: 7. f ( x) x x x, x α. Να βρείτε τη μονοτονία της συνάρτησης καθώς και τις θέσεις και το είδος των τοπικών ακρότατων που παρουσιάζει.

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 4 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Σ Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) o ΘΕΜΑ A. Aν n

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f =

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 2016 (version ) είναι: ( ) f = ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΙΟΥΝΙΟΥ 16 (version 9-6-16) 1. A Να δώσετε τον ορισμό της παραγώγου μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο ορισμού της. Απάντηση: Παράγωγος μιας συνάρτησης σε ένα σημείο x του πεδίο

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1 ο δείγμα Α1 Αν α> με α 1 τότε για οποιουσδήποτε θ1, θ> να αποδείξετε ότι ισχύει: logα(θ1θ) = logαθ1 + logαθ Α Πότε ένα πολυώνυμο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Στατιστική. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Στατιστική Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 1 7 / 5 / 2 0 1 6 Γενικής κεφάλαιο 2 154 ασκήσεις και τεχνικές σε 24 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο Τα πάντα για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii)

ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ α α (ii) ΤΑΞΗ Β ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΟΔΗΓΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1-13 1 Ποιοι αριθμοί ονομάζονται ομόσημοι και ποιοι ετερόσημοι; 1 Δίνονται οι αριθμοί: 1,,.1,,, 9, + 3, 3 3.1 Ποιοι από αυτούς είναι θετικοί και ποιοι αρνητικοί;.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ).

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν και είναι δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι για τις πιθανότητές τους ισχύει: ( ) 1 ( ). ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΜΑΪΟΥ 016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ() ΘΕΜΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1 ο Αχαρνών 197 Αγ. Νικόλαος 210.8651962. 2 ο Αγγ. Σικελιανού 43 Περισσός 210.2718688. Ε. ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 1 ο Αχαρνών 97 Αγ Νικόλαος 086596 ο Αγγ Σικελιανού Περισσός 078688 Ε ΛΙΑΤΣΟΣ Μαθηµατικός 7 t t 5 Ο πληθυσµός µιας κοινωνίας βακτηριδίων δίνεται από τον τύπο P(t) = e e σε δεκάδες µικρόβια και t 0 Α Να αποδειχθεί

Διαβάστε περισσότερα

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Άλγεβρα Β-Λυκείου (2ο πακέτο ασκήσεων) 1 22630 Δίνεται η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) = 3 x με x R. α) Στο ίδιο σύστημα αξόνων να χαράξετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η

Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 2 0 1 5 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Π Α Ν Ε Λ Λ Η Ν Ι Ε Σ 0 Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α K A I Σ Τ Ο Ι Χ Ε Ι Α Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Ε π ι μ ε λ ε ι α : Τ α κ η ς Τ σ α κ α λ α κ ο ς o ΘΕΜΑ Π α ν ε λ λ α δ ι κ ε ς Ε ξ ε τ α σ ε ι ς ( 0 ) A. Aν οι συναρτησεις

Διαβάστε περισσότερα

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Θέμα εξετάσεων 2000 Εξετάσαμε 50 μαθητές ως προς τα βιβλία που έχουν διαβάσει και διαπιστώσαμε ότι: 5 μαθητές δεν έχουν διαβάσει κανένα βιβλίο, 15 μαθητές έχουν

Διαβάστε περισσότερα

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x).

(f(x) + g(x)) = f (x) + g (x). ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ 1o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 1 ΙΟΥΛΙΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2010 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω t, t,..., t ν οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής Χ ενός δείγµατος µεγέθους ν, που έχουν µέση τιµή x. Σχηµατίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i.

Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι. της απαντήσεις τους κατασκευάστηκε το παρακάτω ραβδόγραμμα. κανάλι α i. συχνότητα ν i. Γ. ΛΥΚ. ΘΡΑΚΟΜΑΚΕΔΟΝΩΝ (2014-15) Λ. Γρίλλιας Σ Υ Λ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Ι Π Ρ Ο Β Λ Η Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Ι 1) Σε ένα σχολείο ρωτήθηκαν 70 μαθητές για την προτίμησή τους σε ποδοσφαιρικές ομάδες. Από της απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x )

ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ. i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( x ) () Μονοτονία ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ- ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΚΟΙΛΟΤΗΤΑ ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΜΠΗΣ i) Για την εύρεση µονοτονίας µιας συνάρτησης υπολογίζω την f ( ) και βρίσκω το πρόσηµό της ii) Αν προκύψει να είναι αύξουσα ή φθίνουσα,

Διαβάστε περισσότερα

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Φύλλα Αξιολόγησης Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Χρήστος Π. Μουρατίδης 2014 2015 Πρότυπο Πειραματικό Γυμνάσιο Αγίων Αναργύρων Τάξη Β 2 ΦΥΛΛΟ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ A ΕΝΟΤΗΤΑ : Πράξεις Ρητών αριθμών 1. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO 1o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΤO o ΚΕΦΑΛΑΙΟ ( ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ) ΜΕ ΛΥΣΕΙΣ 000 ΘΕΜΑ ο Α.α) Δίνεται η συνάρτηση F f g αποδείξετε ότι: F f g. cf,. Αν οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Α) Συµπληρώστε τα κενά στις παρακάτω προτάσεις: 1) Ο κύκλος µε κέντρο Κ(α, β) και ακτίνα ρ > έχει εξίσωση... ) Η εξίσωση του κύκλου µε κέντρο στην αρχή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 01 ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός 4 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ 1 0 i) Πρέπει Άρα πεδίο ορισμού της είναι το ii) Αφού η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα

ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1 ο δείγμα ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ B ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1 ο δείγμα Α. Θεωρία Α) Πότε ένα πολύγωνο λέγεται κανονικό; Β) Να δώσετε τον ορισμό της εγγεγραμμένης γωνίας σε κύκλο (Ο, ρ). (Να γίνει σχήμα) Γ) Ποια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο.

( ) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ 2 = ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. 1) Να βρεθεί το Π.Ο. ΜΑΘΗΜΑ : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΛΥΚΕΙΟ ΑΓΙΑΣ ΦΥΛΑΞΕΩΣ ΤΑΞΗ : Β Λυκείου κατ. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 1) Να βρεθεί το Π.Ο. των συναρτήσεων : α) f ( ) β) f ( ) + 5 + 6 ln( + 1) γ) f ( ) δ) 1 f( ) 4 ) Να βρεθεί

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ

ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΟΣ ΣΑΡΑΚΗΝΟΣ Άσκηση 1 Οι βαθμοί 5 φοιτητών που πέρασαν το μάθημα της Στατιστικής ήταν: 6 5 7 5 9 5 6 6 8 10 8 5 6 7 5 6 5 7 8 9 5 6 7 5 8 i. Να κάνετε πίνακα κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Κ: Κορίνθου 55 Κ: Κανακάρη 0, Τηλ. 60 65.60 Fa. 60 65.66 ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Α)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν

Διαβάστε περισσότερα

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ÈÅÌÁÔÁ 2007 ÏÅÖÅ ( ) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α.Τι λέγεται δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης; Μονάδες. Πώς ορίζεται η διάµεσος ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων; (ν θετικός ακέραιος) Μονάδες 4 B. Αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική είναι ο κλάδος των μαθηματικών ο οποίος ως έργο έχει την συγκέντρωση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8.

ΘΕΜΑ 1ο. Στήλη ΙΙ Παράγωγος f (x) 1. -ημx. 2. x ρ-1 3. συνx 4. 1 Γ. x ρ, x > 0 και ρ ρητός. Β. x, x > ρ x ρ-1. Δ. ημx. Ε. συνx. 8. ΘΕΜΑ 1ο ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2001 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ(4)

Διαβάστε περισσότερα

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου

Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Β Περιφερειακό Γυμνάσιο Λευκωσίας Σχολική Χρονιά: 014-015 Επαναληπτικές ασκήσεις Β Γυμνασίου Ενότητα 1: Πραγματικοί αριθμοί 1. Να υπολογίσετε τις πιο κάτω παραστάσεις: α) 5 = β) (-10) - = γ) + 3 δ) ( 7

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚΑ Α 1 ΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΝΛΗΨΗΣ 5 η ΕΚ 1. Οι πλευρές ενός τριγώνου σε cm είναι = 3x 3, = 3x + 1 και = x και η περίµετρος Π του τριγώνου είναι Π = 8cm. Να βρείτε τα µήκη των πλευρών του τριγώνου. Να δείξτε ότι το τρίγωνο

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=..

Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = -1,5 : ψ =..=.. Συναρτήσεις. 5.1 Η έννοια της συνάρτησης. 1. Να συμπληρώσετε τις τιμές των παρακάτω συναρτήσεων : α) ψ = 2χ + 6 o Για χ = 1 : ψ =..=.. = o Για χ = -1 : ψ =..=.. = o Για χ = 0 : ψ =..=.. = o Για χ = 2 :

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 04/ 01/ 2010 ΕΠΩΝΥΜΟ:........................ ΟΝΟΜΑ:........................... ΤΜΗΜΑ:........................... ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 270727 222594 ΑΡΤΑΚΗΣ 12 Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 919113 949422 www.syghrono.gr

Διαβάστε περισσότερα

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h

F(x h) F(x) (f(x h) g(x h)) (f(x) g(x)) F(x h) F(x) f(x h) f(x) g(x h) g(x) h h h. lim lim lim f (x) g (x). h h h ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 MAΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A1. Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ Σελίδα 1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι ασκήσεις του φυλλαδίου δεν είναι ανά κεφάλαιο, αλλά τυχαία με σκοπό την τελική επανάληψη, και είναι θέματα εξετάσεων από διάφορα σχολεία του νομού Σερρών Σέρρες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ-ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4_095. Δίνονται οι ευθείες ε 1: λx + y = 1 και ε : x + λy = λ α) Να βρείτε για ποιες τιμές του λ οι δύο ευθείες τέμνονται και να γράψετε τις συντεταγμένες του κοινού τους σημείου συναρτήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς

Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Φ ρ ο ν τ ι σ τ ή ρ ι α δ υ α δ ι κ ό 1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙ δυαδικό Γ ε ν ι κ έ ς εξ ε τ ά σ ε ι ς 2 0 1 6 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ λυκείου γ ε ν ι κ ή ς π α ι δ ε ί α ς Τα θέματα επεξεργάστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. 1. 2( x 1) 3(2 x) 5( x 3) 2. 4x 2( x 3) 6 2x 3. 2x 3(4 x) x 5( x 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Α. Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 1. ( x 1) ( x) 5( x ). x ( x ) 6 x. x ( x) x 5( x 1) x 1 (1 x) x ( x) x x. 1 x 5. x 6 1 1 ( ) 1 1 6. x 1 x 7. 1 x

Διαβάστε περισσότερα

15% % % 30% ********************************************************

15% % % 30% ******************************************************** ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΝΩΤΕΡΗΣ ΚΑΙ ΑΝΩΤΑΤΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΓΙΑ ΠΡΟΣΛΗΨΗ ΕΙ ΙΚΩΝ ΑΣΤΥΝΟΜΙΚΩΝ ΣΥΜΦΩΝΑ ΜΕ ΤΟ NOMO ΠΕΡΙ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΥΠΟΨΗΦΙΩΝ ΓΙΑ ΙΟΡΙΣΜΟ

Διαβάστε περισσότερα

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται

2.5. Τα 16 τµήµατα ενός Λυκείου έχουν τους Οι αποστάσεις (σε Km) των Σε ένα κυκλικό διάγραµµα παριστάνονται .1. Σε ένα Λύκειο θέλουµε να εξετάσουµε την επίδοση 10 µαθητών, στη Στατιστική στο τέλος του β τριµήνου. Πήραµε τις επόµενες βαθµολογίες: 15, 11, 10, 10, 14, 16, 19, 18, 13, 17. Να βρείτε: α) Ποιος είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα