Udhëzues për mësuesin për tekstin shkollor. Matematika 12. Botime shkollore Albas

Transcript

1 Udhëzues për mësuesin për tekstin shkollor Matematika Botime shkollore Albas

2 Shënim. K Udhëzues do të plotësohet me modele mësimi për çdo temë mësimore; për projekte dhe veprimtari praktike. Këtë material mund ta shkarkoni falas nga faqja jonë e internetit:

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

8 8

9 9

10

11 HYRJE Nga se ndrshojnë d disiplinat e matematikës të quajtura algjebër dhe analizë? D fjalët statike dhe dinamike e përshkruajnë më së miri ndrshimin ndërmjet tre. Në algjebër, ne zgjidhin ekuacione për një vlerë të veçantë të ndrshores një situatë statike. Në analizë interesohemi se si ndrshimi i një variabëli (ndrshoreje) ndikon te një tjetër ndrshore një situatë dinamike. Tri problemet bazë të analizës. Gjetja e ekuacionit të tangjentes së vijës = f() në pikën M( ; ). (, ) = f(). Gjetja e sipërfaqes e kufi zuar nga vija = g(); = a; = b dhe = (boshti ). = f() a b 3. Shpejtësia e çastit e rënies së një objekti Sado të ndrshme që të duken, këto problema janë matematikisht të lidhura. Zgjidhjet e këtre problemave dhe zbulimi i lidhjes mes tre krijuan një matematikë të re: analizën matematike. Isak Njuton (64 77) nga Anglia dhe Gotfrid Uilhelm Leibnic (646 76) nga Gjermania, njëkohësisht dhe pavarësisht nga njëri-tjetri, zhvilluan këtë matematikë të re të quajtur analizë. Fillimisht, analiza u përdor (dhe përdoret) në shkencën e fi zikës, por tani ajo është një mjet i dobishëm për zgjidhjen e mjaft problemave dhe në shkenca të tjera. Bazë për studimin e analizës është kuptimi i limitit të funksionit i trajtuar në klasën XI.

12 Kreu I - VAZHDUESHMËRIA E FUNKSIONIT. Limitet e njëanshme të funksionit në një pikë Konceptet e trajtuara: - limiti i funksionit në një pikë të fundme, - limiti i djathtë, - limiti i majtë, - grafi ku i funksionit, - funksione elementare, - funksione joelementare. Vetitë kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i ekzistencës së limitit të funksionit në një pikë Objektivat. Në fund të orës së mësimit nënësi:. a. të përshkruajë kuptimin për limitin e funksionit në një pikë të fundme, për limitin e majtë, limitin e djathtë; b. të gjejë lim f( ); lim f( ); lim f( ) nga grafi ku a a + a. - të gjejë limitet e njëanshme lim f( ); lim f( ), nëse: a + a a. f() është polinomi; a + b b. f() është thesë racionale a E, = ; c + d l( ) > a c. f( ) = është funksion pjesor. m( ) a Udhëzime për zhvillimin e temës Në këtë kapitull do të përdoret kuptimi i limitit të funksionit për të përshkruar një veti të rëndësishme të shumë funksioneve (siç është vazhdueshmëria). Ndaj del e domosdoshme që ora e mësimit të fi llojë me një përsëritje (apo riaktivizim) i njohurive të trajtuara në klasën e mbi limitin e funksionit (pa kaluar në përkufi zime të sakta). Duhet të vihet në dukje kuptimi i limitit të funksionit na ndihmon të përshkruajmë sjelljen e f(), ku vlerat e -it janë afër (por jo të barabarta) me një vlerë të caktuar a, në të dja anët e a-së. U jepet nënësve të punojnë ushtrimin e të diskutojnë së bashku.. Shqrtoni grafi kun e funksionit. a) Tregoni pikat ku funksioni nuk është i përcaktuar. Cila është bashkësia e përcaktimit E? -3 - b) Gjkoni për lim f( ); lim f( ); lim f( ); lim f( ).. Si gjendet limiti i një funksioni elementar në një pikë = a, nëse: a. a E; b. a E? 4 4 lim( 5 + 6); lim ; lim ; 3 f l f g g 3. Skiconi grafi kun e funksionit dhe përdorni grafi kun për të gjetur limitet e kërkuara. (Ndihmon për trajtimin e njohurive të reja). < I. = + ; > II. = III. = = - a )lim f ( ) b) lim f ( ) lim f( ) = lim f( ) = > < a ) lim f ( ) b) lim f ( )

13 Diskutohen rastet I, II dhe kalohet në shtjellimin e njohurive të reja duke njerrë gradualisht përfundimet. Pas diskutimit të rastit III, formohet kushti i nevojshëm dhe i mjaftueshëm i ekzistencës së limitit të funksionit në = a.. lim f( ) = l lim f( ) = lim f( ) = l (është kushti i nevojshëm). a a + a. lim f( ) = lim f( ) = l lim f( ) = l (është kushti i mjaftueshëm). a + a a Shembujt, dhe 4 duhen punuar patjetër, pasi ato përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit. Ushtrime plotësuese I. Në ushtrimet - 4 gjeni limitet e funksioneve në pikat e kërkuara, nëse ato ekzistojnë ( = ; = ; = 3). Skiconi për çdo rast grafikun. - <. f( ) = < <. f( ) = < < 5 a) lim f( ) b ) lim f( ) c ) lim f( ) f( ) = - < < 4. f( ) = - - < < - II. Për ç vlerë të a-së ekziston lim f() në pikën e kërkuar? < < a + 3. f( ) = a - < për =. f( ) = a 4. Funksioni i vazhdueshëm në një pikë për = a Konceptet e trajtuara: - limiti i funksionit, - limite të njëanshme, - funksion i vazhdueshëm në një pikë, - funksion i vazhdueshëm në një interval (segment), - pikë këputjeje, - shtesë e funksionit Δ (Δ) në një pikë, - shtesë e ndrshores Δ. Vetitë funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësinë e tre të përcaktimit. Objektivat. Në fund të orës së mësimit nënësi:. - të përcaktojë nëse një funksion është i vazhdueshëm në një pikë të dhënë = a, nëse ai jepet: a) grafi kisht, b) analitikisht (me formulë) në situata të thjeshta, duke u mbështetur në përkufi zimin të vazhdueshmërisë.. - të studiojë vazhdueshmërinë e funksioneve të trajtës: g( ) < a f( ) = l( ) a në = a të gjejë bashkësinë ku është i vazhdueshëm një funksion elementar i dhënë. Udhëzime për zhvillimin e temës Mendojmë që trajtimi i kësaj teme të fi llojë me diskutimin e d shembujve, për të bërë të natrshme futjen e kuptimit të ri. Shembull. Në tabelë jepet ndrshimi i temperaturës për çdo orë nga mesnata në mesditë. Ora Temperaturat (në gradë) o 9 o 6 o 5 o 4 o 5 o 8 o o o 8 o o 5 o 8 o 3

14 Këto të dhëna mund të paraqiten grafi kisht me anë të pikave. Meqenëse ndrshimi nga një temperaturë në tjetrën ndodh gradualisht, pikat bashkohen me një vijë të lakuar si në fi gurë. Vija mund të vizatohet në vijim, pra, pa e shkëputur lapsin nga letra. T orët pas mesnate kurbë Themi se kjo është një vijë e vazhduar (kurbë). Shumica e paraqitjeve grafi ke të dukurive natrore janë si më sipër, ndërsa shumë paraqitje grafi ke në biznese, ekonomi etj. nuk janë të tilla. Shembull. Grafi ku i mëposhtëm ilustron varësinë e taksës që duhet të paguash, nga pesha e valihes në një udhëtim. Taksa në para. Përkufizimi. Për të shkuar në mënrë të natrshme te përkufi zimi i vazhdueshmërisë së funksionit, u jepen nënësve si punë përgatitore ushtrimet e mëposhtme.. Jepen funksionet: a) = b ) = c ) = a. Skiconi grafi kët. 3 Pesha në kg b. Gjeni f() (nëse ekziston), lim f( ) dhe krahasojini. < ç ) = d) = + ; R = a) b) c) ç) d) Pas diskutimit të këtij ushtrimi, duke e parë si të veçantë rastin e fundit jepet përkufi zimi i vazhdueshmërisë f në një pikë = a. Duke shtjelluar përkufi zimin dhe duke vënë në dukje se përkufi zimet japin kushte të nevojshme dhe të mjaftueshme, theksohen hapat që ndiqen për të studiuar vazhdueshmërinë. Të trajtohen në fi llim shembulli grafi k dhe pastaj të dhënat me formulë. Përkufi zimi i vazhdueshmërisë të jepet duke ilustruar grafi kisht se ç është Δ, Δ. 4

15 f() f() Δ Δ Jepet f: = f() i vazhdueshëm në = a Kur = a vlera e funksionit është f(a); a vlera e funksionit f(). a Shënojmë: = f = f( ) f( a) dhe e quajmë shtesë të f në = a. = a shtesë e ndrshores. Në këtë orë jepet pa vërtetim teorema: Funksionet elementare janë të vazhdueshme në bashkësinë e tre të përcaktimit. Kjo mund të jepet dhe në mësimin.3, pas veprimeve me funksione të vazhdueshme. Më parë duhet vënë në dukje se ç janë: - funksionet elementare themelore dhe - funksionet elementare..6 Një veti e rëndësishme e funksionit të vazhdueshëm në segment Konceptet e trajtuara: -- funksioni i vazhdueshëm në një segment; - limiti i funksionit në ± ; - funksioni elementar; - zgjidhja e ekuacionit. Objektiva: Në fund të orës së mësimit nënësi:. të formulojë teoremat që japin vetitë e funksionit të vazhdueshëm në segment dhe t i interpretojë ato grafi kisht;. të plotësojë kushtet e teoremave (vazhdueshmëria) para se t i zbatojë në ushtrime; 3. të zbatojë teoremën për të provuar ekzistencën e zgjidhjes së ekuacionit f() = ; 4. a) të studiojë shenjën e një funksioni pasi të ketë gjetur vlerat e tij. b) të zgjidhin ekuacionin (f() < ), duke përdorur veti të funksionit të vazhdueshëm në segment. Udhëzime për zhvillimin e temës Ora nuk është e ngarkuar teorikisht. Është formuluar një veti e shprehur me anë të një teoreme, që mund ta paraqesim skematikisht. Vetitë Formulohen veti të funksionit të vazhdueshëm në një segment (vetia mbi ekzistencën e zgjidhjes së ekuacionit f()=. Teoremë f : = f( ) i vazhdueshëm në [ab] c f(a) f(b) < Grafi kisht: a ] a; b[ f( c) = b Udhëzojmë që të trajtohet dhe një teoremë tjetër, si rrjedhimi i teoremës së formuluar në tekst, e cila mund të përdoret gjerësisht për studimin e shenjave së funksioneve të vazhdueshme. Teoremë (rrjedhim i teoremës ) Në qoftë se f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[ dhe f(), ]a, b[, atëherë vlerat e f() kanë të njëjtën shenjë d.m.th. f() >, ]a,b[ ose () <, ]a, b[. Supozojmë se ekzistojnë numrat e në intervalin ]a,b[, të tillë që f( ) dhe f( ) nuk të mos kenë të njëjtën shenjë. P.sh., f( ) < dhe dhe f( ) >, a < < < b. Nga teorema, c ], [ f( c) = pra, grafi ku pret boshtin. Meqenëse është dhënë që f(), ], [ d.m.th. grafi ku i tij nuk mund ta presë boshtin. a [ f( )] [ f( )] 5 b

16 Shembuj. Zbatimi i teoremës. Shembull. Zgjidhni inekuacionin: ( ) <. 5 ( ) 3 ( + 4) - Shqrtojmë: f( ) = <, R [ ], për. 5 ( ) - Funksioni është i vazhdueshëm në R - [], për. - Funksioni nuk është i vazhdueshëm në =. (Pse?) ( + 4) 3 f() = + 4 = = 4 f() In. = f() në ]- ; -4[; ]-4; [; ]; + [ dhe i vazhdueshëm. Prandaj ai nuk ndrshon shenjë në këto intervale. Shenjën e f() mund ta gjenimë, duke marrë nga një numër provë në secilin prej 3 6 intervaleve: f( 3) = >, f( ) >, f( ) = <. 45 Zgjidhja e inekuacionit është në ]; + [. Ushtrime plotësuese. Jepet =. Zbatoni teoremën për të studiuar shenjën. 3 + a) Pikat ku f nuk është i vazhdueshëm: 3 + = = ose =. b) f() = - = = ± dhe c) f() In Jepet f: = +. a) Tregoni që f është i vazhdueshëm në R. b) Zgjidhni ekuacionin f() =. c) Studioni shenjën. 3. Studioni shenjën e f() = sin + cos ; [, π]. 4. Tregoni që ekuacioni = ka të paktën një rrënjë reale. 5. A ka zgjidhje ekuacioni + sin =? 6

17 .7 Ushtrime për kreun I (Përsëritje) Kjo orë mësimore shërben për një sistemimin e përforcimin e njohurive të marra në këtë kapitull. Është mirë që nënësve t u lihet detrë një orë më parë të bëjnë një përmbledhje të njohurive teorike të marra gjatë kapitullit. I. f: = f() i vazhdueshëm në = a, atëherë dhe vetëm atëherë kur plotësohen: ) f i përcaktuar në = a (ekziston f(a)) ) ekziston lim f ( ) a 3) lim f ( ) = f ( a ) a Nëse të paktën njëra nga këto kërkesa nuk plotësohet, funksioni f nuk është i vazhdueshëm në = a. II. Në qoftë se f nuk është i vazhdueshëm në = a, ajo quhet pikë këputjeje. Ndeshen tri lloje pikash këputjeje. a) Pikë këputja e mënjanueshme, nëse lim f ( ) = l (numri i fundëm) a ( ). b) Pikë këputjeje e pamënjanueshme, nëse nuk ekziston lim f( ) lim f( ) lim f( ) a a + a c) Pikë këputjeje e pamënjanueshme, nëse f pmm në = a, d.m.th. lim f ( ) = ±. a a a a III. a) Në qoftë se f është i vazhdueshëm ] a b[, thuhet se f është i vazhdueshëm në intervalin ]a, b[. lim ) = ) b) Nëse f është i vazhdueshëm në ]a, b[ dhe lim f( ) f( a) f( f( b a = dhe b thuhet se f është i vazhdueshëm në segment (në segmentin [ab]). IV. Në qoftë se f e g janë d funksione të vazhdueshme në = a, atëherë janë gjithashtu të vazhdueshme në = a dhe funksionet: a) f + g; b) f g c) f (c R) ç) f g e) f ( g g( a) ) V. Vazhdueshmëria e disa funksioneve a) Një funksion polinomial P: = P () është i përcaktuar R dhe lim f ( ) = P ( a ) prandaj P është i a vazhdueshëm R. b) Një funksion racional f() = P ( ) është i vazhdueshëm Q( ) R Q( ). 7

18 c) n Z + h funksioni f( ) = P( ) është i vazhdueshëm në bashkësinë E = { R P( ) }. hh - funksioni g( ) = P( ) është i vazhdueshëm R. ç) Funksioni logaritmik f() = log p(), < a është i vazhdueshëm në E = { R P() }. d) Funksioni eksponencial f() = a P() < a është i vazhdueshëm R. e) Funksionet = sin; = cos janë të vashdueshme në R. Funksioni = tg është i vazhdueshëm kπ + π. VI. Teoremë. f : [ab] R. Në qoftë se f është i vazhdueshëm në [ab]; atëherë f nerr në këtë segment vlerën më të madhe dhe vlerën më të vogël. VII. a) Teoremë. Në qoftë se f është i vazhdueshëmë në [ab], f(a) f(b) <, atëherë c ] ab[ f( c) =. b) Rrjedhim. Në qoftë se f është i vazhdueshëm në ]ab[ dhe R] a, b[, f(), atëherë R] a, b[ f ruan shenjën, d.m.th. f() >, ] a, b[, ( f( ) < R] a, b[). Ushtrime plotësuese për përsëritje. Studioni vazhdueshmërinë e f të dhënë grafi kisht në pikat: = - = - = = = 3 = për -. Jepet f( ). A është ai i vazhdueshëm në = -? Pse? 3 5 për > Funksioni f( ) = ka pikë këputjeje në = 4. Sa duhet marrë f(4), në mënrë që ai të jetë i 3 4 vazhdueshëm në = 4? 4. Funksioni f( ) = log ( a) është i vazhdueshëm R Gjeni a-në. a Funksioni f( ) = nuk është i vazhdueshëm me =. Gjeni a-në. + a 6. a) Gjeni bashkësinë ku f( ) = log + lg është i vazhdueshëm. b) Gjeni bashkësinë ku f( ) = 5 është i vazhdueshëm. a + b për > 7. Jepet f( ) = 5 për = b për < i vazhdueshëm në = -. Gjeni a + b. 3 5 nëse < 8. Funksioni f( ) = është i vazhdueshëm në =. Gjeni m-në. 3m + 4 nëse 8

19 + nëse < - 9. Gjeni vlerat e -it, për të cilat funksioni f: R R, f( ) = nëse - < nuk është i vazhdueshëm. + nëse >. Gjeni bashkësinë, ku funksioni f( ) = ln + nuk është i vazhdueshëm. 3 nëse < 3. Për ç vlera të k-së funksioni f( ) = 3 ( k) 3 është i vazhdueshëm R? >. Jepet f( ) = + nëse i vazhdueshëm në =. Gjeni vlerën e parametrit a. a - nëse > 3. Për ç vlera të m-së, funksioni f( ) = + nëse a - nëse është i vazhdueshëm R? 4. Tregoni që ekuacioni = ka një rrënjë në [] (ose tregoni që ekuacioni 3 - = ka të paktën një rrënjë në ]; [). 5. Tregoni që ekziston ] ; [ = Gjeni bashkësinë ku funksionet e mëposhtme janë të vazhdueshme. 3 + a) = b) f( ) = c) f( ) = ç) = 5 d) = dh) f( ) = log ( 4) 3 + sin e) f( ) = lg ë) f( ) = f) f( ) = sin cos Vlerësimi i nënësve sipas nivelit të veprimtarisë matematike Specialistët e matematikës janë të mendimit që standardet e arritjes së nënësve të jepen në tri nivele. Sipas një artikulli të Edmond Lulës (të botuar në Kurrikula dhe shkolla, Matematika, Tiranë ), këto tri nivele përcaktohen si më poshtë: Niveli I është niveli i përgatitjes minimum (të domosdoshme) që duhet të arrijnë të gjithë nënësit kalues. Ai duhet të jetë i përcaktuar qartë dhe në mënrë unike, në mënrë që të mund të verifi kohet drejtpërdrejt realizimi i tij dhe mbi këtë bazë të vlerësohet nënësi që e arrin atë (nota 5-6). Një rrugë e mundshme për të konkretizuar këtë nivel është dhënia e shembujve të ushtrimeve tipike (në dokumentacionin zrtar) Niveli III fi kson ato kërkesa për përvetësimin e kursit të matematikës, që duhet të parashtrohen para nënësve të mirë (nota 7-8). Niveli III I është niveli më i lartë (maksimumi) i përgatitjes së nënësve (nota 9-). Tri kategoritë kresore të shkathtësive (shprehive) në matematikë janë:. zgjidhja e problemave;. arsetimi matematik; 3. komunikimi matematik. Sipas këtre tri kategorive, tre nivelet e arritjeve dhe vlerësimit të nënësve në matematikë E. Lule i përcakton si në vijim. 9

20 Niveli I (notat 5-6), nënësi zgjidh probleme: - me ndihmën e mësuesit; - me anë të një numri të kufi zuar metodash; - me gabime të shumta. Nënësi përdor arsetime matematike - me ndihmën e mësuesit; - që janë të thjeshta; - me gabime. Nënësi i komunikon njohuritë matematikore: - me ndihmën e mësuesit; - me një mënrë të paqartë dhe të pasaktë; - duke përdorur rrallë terminologjinë e përshtatshme matematike. Niveli II (notat 7-8), nënësi zgjidh problema: - me ndihmën e kufi zuar të mësuesit; - me anën e një numri jo të madh strategjisë bazale; - me gabime të vogla. Nënësi përdor arsetime matematikore: - me ndihmën e kufi zuar të mësuesit - të përshtatshme për zgjidhjen e problemave - me disa gabime të vogla Ushtrime të nivelit I për kreun I Nënësi komunikon njohuritë matematike: - në mënrë të pavarur; - përgjithësisht i qartë dhe i saktë me termologji; - duke përdorur herë pas here simbolikën e përshtatshme. Niveli III I (notat 9 ), nënësi zgjidh problema: - në mënrë të pavarur; - duke përdorur strategji të reja e të ndrshme; - zakonisht me saktësi. Nënësi përdor arsetime matematikore: - në mënrë të pavarur; - të përshtatshme për zgjidhjen e problemave, duke shpjeguar zgjidhjen që jep vetë. Nënësi komunikon njohuritë matematike: - në mënrë të pavarur; - qartë dhe saktë; - duke përdorur terminologjinë dhe simbolikën e përshtatshme. Më poshtë është një përpjekje për të konkretizuar r të tria nivelet e arritjeve të ushtrimeve tipike. I. Përdorni grafi kun f për t iu përgjigjur petjeve Gjeni: a) lim f( ). Gjeni: a) lim f( ) 3. Gjeni: a) lim f( ) 4. Gjeni: a) lim f( ) 5. Gjeni: a) lim f( ) b) f() c) A është f i vazhdueshëm në =? b) f(-) c) A është f i vazhdueshëm në = -? b) f() c) A është f i vazhdueshëm në =? b) f() c) A është f i vazhdueshëm në =? b) f(-) c) A është f i vazhdueshëm në = -?. Përdorni teoremën për vazhdueshmërinë e funksioneve elementare për të përcaktuar ku janë të vazhdueshme funksionet. a) f() = 3; g() = 3-5; h() = b) ; h()= -5 = ; = +5 (-3)(-) 3 +5 (-3)(-) c) ç) 3 c) = 3 = 3 - = + = 4 - ç) = 5 3. Skiconi grafi kun e funksionit dhe tregoni pikat ku ai është i vazhdueshëm. Argumentoni përgjigjen! + a) f( ) = b) f( ) = 5 > >

21 + c) f( ) = ç) f( ) = 5 > > < < d) f( ) = = dh) f( ) = = > + > 4. Gjeni pikat e këputjes dhe tregoni llojin e tre. 3 a) = b) = c) = + 5. Gjeni bashkësinë ku janë të vazhdueshme funksionet. a) = 4 b) = 9 c) = ç) = + 6 d) = dh) = Studioni vazhdueshmërinë: 3 f : = 3. a) Gjeni f(3). 5 3 b) Gjeni lim f( ) Jepen: f( ) = ; h( ) = ; h( ) = - < 4 < + > a) A janë të përcaktuara funksionet në =? b) A janë të vazhdueshme funksionet në =? Ushtrime të nivelit II. a) Shkruani një funksion me d pika këputjeje të pamënjanueshme. b) Shkruani një funksion me d pika këputjeje, një të mënjanueshme e një të pamënjanueshme. c) Shkruani një funksion me d pika këputjeje të mënjanueshme.. Studioni vazhdueshmërinë e funksioneve. < për a) = b) = + 4 3; në = dhe në = 3 5 = 4 + > 3 3. Caktoni vlerën e parametrit A, që funksioni të jetë i vazhdueshëm a) = + A - = - në = - 3 A + 3 b) = 3 në = 3 c) = + > A = Funksionet e mëposhtme nuk janë të përcaktuara në = c. Skiconi grafi kun e funksionit f dhe përcaktoni nëse mund të mënjanohet kjo pikë këputjeje c. a) f( ) = c = b) f( ) = c = ( ) c) f( ) = c = ç) f( ) = c =

22 KREU II DERIVATI I FUNKSIONIT. Problema që çuan në kuptimin e derivatit Konceptet e trajtuara: - ndrshesë (shtesë) e funksionit ( f); - ndrshesë (shtesë) e -it, - shpejtësi e çastit të lëvizjes së një pikë materiale; - shpejtësi e ndrshimit të vlerave Objektiva: Në fund të orës së mësimit nënësi:. të gjenië,, për një funksion të dhënë dhe për një vlerë të dhënë të -it;. të gjenië shpejtësinë në çastin t të një pike materiale, që lëviz sipas një lim s lim s( t + h) s( t) ligji të dhënë, si: V( t ) = = ; t h t h 3. të gjenië koefi cientin këndor të tangjentes ndaj vijës = f() në =. Udhëzime për zhvillimin e temës të funksionit Në këtë kapitull do të përdoret koncepti i limitit për të zgjidhur d nga tre. problemet bazë të analizës matematike: - shpejtësia e çastit e pikës materiale; - koefi cienti këndor i tangjentes në M( ; f( )) të vijës = f() (tangjentja në një pikë të vijës). Për këtë veprohet me kuptimet: - ndrshesë e funksionit = h, - shpejtësi mesatare e ndrshimit të vlerave të funksionit. Prandaj, pasi të punohen shembulli, të tekstit të jepen përkufi zimet për,,. Jepet f: = f(); I, I, I. Shënojmë = - (ose h = - ), M (, ) që tregon ndrshesën e -it në [, ]; = + ; apo = + h). Δ Kur -i ndrshon me funksioni ndrshon me = f ( ) f ( ). Δ = f ( ) - f ( ) Raporti f( + h) f( = ) paraqet ndrshimin mesatar të funksionit në [ h, ]. Të theksohet që raporti f( + h) f( = ) varet nga: h a) funksioni f; b) pika ; c) dhe nga shtesa (ndrshesa h( )). Pastaj të kalohet te problema. Problema. Shpejtësia e çastit e pikës materiale që lëviz sipas ligjit s = s(t). Përcaktohet S(t +h) - S(t ) V që çon në shpejtësinë në çastin t m. h S(t +h) - S(t ) V(t ) = lim Vm = lim V. m h h h Problema. Si problemë e dtë mund të trajtohet problema i tangjentes në M ( f( )) ndaj vijës = f(), si një nga problemat që ka çuar te kuptimi i derivatit. Prerësja (M, M ) e ka koefi cientin këndor: f( + h) f( ) k( M M ) = = = h = f( ) = f( + h) t M (, ) M (, ) = + h

23 Në qoftë se M M d.m.th. ; h = të gjitha prerëset tentojnë te një pozicion kufi, te tangjentja ndaj vijës dhe k M M k. t k = f h f k = + t lim M M lim ( ) ( ) t M h h f + h Pr a, kt = lim ( ) f( ) h + h = lim h h h h lim lim f( + h) f( ) k t = = t h h Shembull. Jepet f() =. Gjeni koefi cientin këndor të tangjentes në pikën =. k t f + h f h + h = lim ( ) ( ) = lim t h h h k t = lim ( + h) = t.5 Kuptimi gjeometrik i derivatit f() = f( + h) = + h + h f = f( + h) f () = h + h Konceptet e trajtuara: Koefi cient këndor i drejtëzës, - limiti i funksionit, - grafi ku i funksionit - shtesa: ; ; - derivati i funksionit në një pikë. Objektivat: Në fund të orës së mësimit nënësi:. të gjenië koeficientin këndor të tangjentes në pikën A(a, f(a)) të vijës = f();. të dallojë pikën ku funksioni f i dhënë grafi kisht ka apo nuk ka derivate; 3. të gjenië pikën e vijës me ekuacion = f(), ku duhet të hiqet tangjentja që plotëson një kusht të dhënë. Udhëzime për zhvillimin e temës Para shtjellimit të njohurive të reja të bëhet një riaktivizim i njohurive të kaluara që do të përdoren gjatë trajtimit të tre dhe gjatë zbatimit në ushtrime.. Drejtëza në plan me ekuacionin e saj më të thjeshtë: Vetitë k-koefi cienti këndor, nëse d pika të drejtëz = k + t k + t =. d v r = d k ( ) k = tgα, k koefi cienti këndor i drejtëzës. α ( K = ) K = tgα. r α = ( d; i). - kushte të paralelizmit, apo të pingultisë së d drejtëzave.. M (, ) d, M (, ) d. ( d o) d M uuuuu M r = K ; = 3. d d k = k d d k k = -. d d M M d α α v v d 3

24 Për trajtimin e njohurive të reja të ndiqet rruga e përshkruar në tekst dhe pastaj të punohen shembujt e rekomanduar. Kujdes! Shtesa = h, që merr vlera = a mund të jetë pozitive ose negative: h <. (D.m.th. pika Q [a + h; f (a + h)] i afrohet P(a, f (a)) nga të dja anët). Ushtrimet dhe përfaqësojnë nivelin minimal të përvetësimit. Për ta bërë më të plotë të kuptuarin e interpretimit gjeometrik të derivatit të përqendrohet vëmendja te petja: Si të dallojmë pikën në grafi kun e funksionit f: = f(), ku nuk ekziston derivati apo ka derivat? f D.m.th. kur nuk ekziston dhe kur ekziston: lim ( a + h ) f ( a ) h h? Ilustroni grafi kisht. a a a a f jo i vazhdueshëm në = a nuk ekziston f (a) Në = a nuk ka një pozicion të vetëm kufi i prerëseve. (Grafi ku ka majë (cep) apo vija nuk është e lakuar). Tangjentja në = a është pingule me O. ((t) () në = a ((t) () në = a Pra, në qoftë se f është i derivueshëm në intervalin ]a, b[, atëherë asnjëra nga situatat e mësipërme nuk ndodh. Me fjalë të tjera, grafi ku i një funksioni të derivueshëm është një vijë e vazhduar pa cepa (maja) dhe pa tangjente pingule me boshtin. Ushtrime plotësuese Ushtrimi. Shqrtoni grafi kun e f: = f() dhe përcaktoni në ekziston f () në pikat e dhëna. a b c ç d dh e f Ushtrimi. Skiconi grafi kun e funksionit f dhe tregoni ku f është i derivueshëm dhe ku jo.8 Ushtrime. Ushtrimi. Gjkoni nëse funksionet e mëposhtme janë të derivueshme në =, duke u bazuar te f përkufi zimi i derivatit (pra, tek ekzistenca e lim ( ) f ( a ) f lim ( ) f ( = ) në a =.) a a a 3 a) = + ; b) = c) = 3 ç) = d) = 3 dh) = + Ushtrimi. 6 8 a) Jepet: f( ) A është i derivueshëm funksioni në = 8? Pse? 9 4 > 8 f + 7 ( ) 9 4 > b) Jepet. A është i derivueshëm funksioni në =? + 6 < 3 c) Jepet f( ) = 3. Gjeni f (3). 3 6 > 3 4

25 Ushtrimi 3. Jepet = -. Gjeni f (); f (); f (3). Ushtrimi 4. Jepet = Gjeni: a) f (), f (), f (4); b) f (), f (3). Ilustrojini grafi kisht..4 Derivatet e funksioneve trigonometrike Konceptet e trajtuara: limiti i funksionit, derivati i funksionit, funksion i përbërë, vlerë e funksionit Vetitë lim sin n = n n - vazhdueshmëria e funksionit të përbërë; - rregulla e derivimit të funksionit të përbërë; - identiteti trigonometrik. sinα α β cos α + β. Objektivat: Nënësi:. të shkruajë formulat që japin funksionet derivate të f: = sin; = tg; = ; = cotg dhe ato që japin derivatet e përbërjeve të funksioneve trigonometrike me funksione të tjera;. të gjejë derivate të funksioneve trigonometrike në situata të kombinuara. Udhëzime për zhvillimin e orës së mësimit Ora e mësimit mund të fi llojë me riaktivizimin e njohurive të kaluara për funksionet trigonometrike. Mund t u caktohet nënësve një orë më parë për të bërë një përmbledhje të tillë dhe në fi llim të orës të bëhet duke iu drejtuar nënësve petjet:. Ç është funksioni sinus? R M e vetme në rrethin trigometrik i tillë që: AM =, M( M, M ). M A funksioni sin: M shënohet = sin; funksioni cos: M shënohet = cos; funksioni tg: M shënohet = tg. M. Cila është bashkësia e përcaktimit e f: = sin; = cos; = tg? 3. Çiftësia e funksioneve trigonometrike. sin(-) = -sin cos(-) = cos tg(-) = tg 4. Periodiciteti i funksioneve. sin(+ π) = sin cos( + π) = cos tg(+ π) = tg 5. Ç mund të thoni për derivueshmërinë e funksioneve trigonometrike? Të gjitha këto janë elemente të studimit të variacionit të funksionit. Në këtë mësim do të studiohet derivueshmëria e funksioneve trigonometrike. Për këtë kujtojmë: a) Ç është f ()? f h f f '( ) lim ( + ) = ( ) h o h α β α + β b) sinα sinβ = sin cos c) lim sin n =, n = n() n n ç) Derivati i funksionit të përbërë = f [u()]. [f[u()]] = f n u. Në vijim të ndiqet ecuria e orës siç është trajtuar në tekst. Ushtrimet e të nivelit minimal janë ushtrimet dhe në fund të mësimit dhe ushtrimet, të paragrafi t.6. 5

26 .7/.8 Ushtrime për kreun II Këto orë janë përsëritje të njohurive të marra në kapitull; përpunimi dhe përforcimi të shprehive të fi tuara. Është mirë që mësuesi t u japë paraprakisht, si detrë shtëpie nënësve përsëritjen e njohurive dhe fakteve kresore gjë që mund ta bëjnë duke iu përgjigjur petjeve:. Formuloni përkufi zimin e derivatit të funksionit f ().. Cili është kuptimi gjeometrik i derivatit? 3. Cili është kuptimi kinematik (në shkencën e fi zikës) i derivatit të funksionit? 4. Ç kuptim ka shprehja kur = 3, vlera e funksionit është? 5. Ç kuptim ka shprehja kur = 3, vlera e derivatit të funksionit është? 6. Ç kuptim ka shprehja f është i diferencueshëm në = a? 7. Ç lidhje ka ndërmjet derivueshmrisë dhe vazhdueshmërisë së një funksioni? 8. Formuloni (shkruani) rregullat e derivimit të funksioneve. 9. Çfarë rregullash duhen zbatuar për të gjetur derivatet e funksioneve të mëposhtme? ( f( ) g( ) ) ' f() + m( ) n( ) g() ' { } f g(h()). A është e mundur që derivati i një funksioni të jetë i barabartë me vetë funksionin? Jepni shembuj. Ushtrime të nivelit të I (Notat 5-6). Gjeni f () për funksionet e dhëna.. f() = f() = 5 3. f( ) = 3 4. f( ) = + 5. f() = ( - )(3 + ) 6. f() = ( - ) ( ) 7. f( ) = b 4ac 8. f( ) = f( ) =. f() = ( - 3) 3. f( ) = + +. Për funksionin = f() = + 4 gjeni: a) koefi cientin këndor të tangjentes në = ; b) ekuacionin e tangjentes ndaj grafi kut në =. ' ( ) 3. Gjeni vlerën e -it, për të cilën tangjentja ndaj vijës është horizontale (paralele me boshtin ).. f() = - ;. f() = ( + 3)( - 5); 3 f( ) = Një pikë materiale kren lëvizje sipas ligjit = f(t) = 6t - 4t (t në sekonda). Gjeni: a) funksionin që jep shpejtësinë e lëvizjes në çdo çast; b) shpejtësinë e lëvizjes në çastin t = 3s. 6

27 Teste për kreun II Varianti A f. Jepet f() = 3 +. Gjeni vlerën e lim ( ) f ( ). Çfarë paraqet kjo vlerë? a. b. 3 c. 4 ç. 5 + d Gjeni koefi cientin këndor të tangjentes ndaj vijës = 4 (ln) në pikën me abshisë =. a. 4 b. 4 c. 4 ç. d Gjeni ekuacionin e tangjentes ndaj vijës, ndërtoni grafikun e funksionit f() = 3cos - në pikën M π ; 4. a. = b. = c. = -4 ç. = d. = - 4. Jepet f() = a dhe f () = 8. Gjeni vlerën e a-së. a. 3 b. 4 c. 7 ç. d Në fi gurë jepet grafi ku i parabolës = a + b + c. Në pikën M( ; ) është hequr drejtëza tangjente me vijën. Duke përdorur të dhënat në fi gurë, gjeni a + b+ c. a) - b) c) ç) d) Jepet f() = e. Gjeni f (). - a) e ( + ) b) (e + ) c) e ( +) ç) e d) e 7. Jepet f() = sin dhe g() = + 3. Gjeni derivatin e f[g()]. a) cos ( + 3) b) sin c) ( +sin) ç) sin ( + 3) d) cos ( + 3) 8. Jepet f 3 ( ). Gjeni f (). 3 > a) b) c) ç) 3 d) nuk ekziston 9. Jepet f() = 3 +. Gjeni f (). a) 8 b) 6 c) 4 ç) 3 d). Jepet f() = tg cotg. Gjeni f (). 4 3 a) b) sin sin c) tg ç)tg + cotg d) sin. Jepet f( ) =. Gjeni f (5).. Gjen df ( ) (f ()) për f() ln(cos ). d a) tg b) cos c) cotg ç) d) sin cos 7

28 Varianti B e. Jepet f( ) =. Gjeni f (). e + a) e b) e (e e e e -) c) ç) d) e + ( e ) ( e + ) f. Jepet f() =3, lim ( ) f ( 3 ) = 6 dhe h() = 3 f(). Gjeni h (). a) 3 b) 6 c) 5 ç) 8 d) 3. Jepet f(3 5) = +. Gjeni vlerën e shprehjes f () + f(). a) b) c) 4 ç) 6 d)8 4. Grafi ku i f: = a është tangjent me drejtëzën t: =. Gjeni a-në. a) 5 b) 4 c) 3 ç) d) 5. f() = +. Gjeni vlerën e shprehjes f () + f (3). a) b) c) ç) 3 d) Në fi gurë jepet grafi ku i funksionit f: = f(). f( ) Në qoftë se g( ) =. Gjeni g (), duke parë të dhënat në fi gurë. a) b) c) ç) d) = f() 7. Jepet f( ) = 3 3. Gjeni f (9). a) 9 b) 3 c) d) e) Gjeni f () për funksionin f() = sin(e ). 9 a) e sin b) e (cos e sine ) c) e (cose sine ) ç) e (sin e cose ) d) e (cos e e sine ) 9. Gjeni f () për f() = (sin+cos). a) (cos sin) b) (sin-cos) c) sin cos ç) cos d) 4 sin Jepet f( ) = ln. Gjeni f () a) b) e c) ln ç) d) 8 5

29 Varianti C Gjeni lim. a) b) c) ç) d) Jepet f( ) = +. Gjeni f (). > a) b) c) ç) 3 d) nuk ekziston Jepet f( ) = df( 3). Gjeni d. a) 3 b) - c) -5 ç) -9 d) -4 f( ) 4. Drejtëza t është tangjente me vijën = f() në pikën M(3, ). Në qoftë se h( ) =, gjeni h (3). 5 a) b) c) ç t M 4 ç) d) = f() Gjeni koefi cientin këndor të normales (pingules) ndaj grafi kut të funksionit f() = sin(cos 5) në pikën = π. 4 4 a) b) c) ç) d) Jepet f() = (-) ( t) dhe f () =. Gjeni vlerën e parametrit t. a) 4 b) c) ç) - d) Jepet f( ) = +. Gjeni f (4). a) b) 4 c) ç) d) Jepet vija f : = 3. Në pikat me abshisa = a dhe = -a hiqet tangjentet ndaj saj. Rrethoni pohimin e vërtetë? a) Ato janë pingule me njëra-tjetrën. b) Ato janë paralele me njëra-tjetrën. c) Këndi ndërmjet tre është 3. ç) Ato janë paralele me boshtin. d) Ato janë paralele me boshtin. 9. Tangjentja ndaj vijës = 3 në M(, 8) pret vijën në një pikë tjetër B(, ). Gjeni. a) 3 5 b) c) -3 ç) -4 d) -5. Jepet f() = ln ( ). Gjeni derivatin e rendit n. (n)( ) =? n+ n+ n ( ) ( n )! ( ) ( n )! ( ) ( n ) a) b) c) n n n ( ) ( ) ( ) + n+ ( ) ( n ) ( ç) d) n ) ( n + )! n n ( ) ( ) 9

30 Test për kreun III. Gjeni intervalin në të cilin funksionin f() = është zbritës. a. ]- ;3[ b. ]-3; 3[ c. ]-3; 3[ ç. ];+ [ d. ]- ; 6[. Gjeni vlerën më të madhe të funksionit f() = e 4. a. b. e c. e ç. e 4 d. e 8 3. Cili nga pohimet e mëposhtme është i gabuar për grafi kun e funksionit të dhënë = f()? a. f() = b. f (-) = c. f () > ç. f (-) > d. f () < Gjeni ekstremumet e funksionit f() = Gjeni intervalin, kur funksioni = ( + ) 3 është konkav (i lugët). a. ]-; + [ b. ]- ; -[ c. ]-; -[ d. ]- ; + [ e) ]; + [ 6. Cila nga fjalitë e mëposhtme është e vërtetë për funksionin f() = ? a. f ka minimum në =. b. f ()<. c. f është i lugët në ]- ; [; ç. f është rritës në R; d. f ka maksimum në = Gjeni pikën e prerjes së asimptotave të grafi kut të f : = Për ç vlerë të parametrit k funksioni f() = 3 + (k +) është rritës në R? a. k ]-6; 3[ b. k > c. k ]-4; [ ç. k ]-3; [ d. k ]-4; [ 9. Për ç vlerë të m-së funksioni f() = (m - ) ka një pikë infl eksioni në = -? a. -3 b. - c. - ç. d. 3

31 . Në fi gurë jepet grafi ku i funksionit derivat të f() = 3 + a + b +. Gjeni a + b. a. 7 b. c. 5 ç. -7 d = f(). Le të jenë, rrënjë të ekuacionit (m + ) + m - =. Për ç vlerë të m-së shuma s = + merr vlerën më të vogël? a. b. c. - ç. d. -. Gjeni pikën e parabolës = që është më afër pikës A 3 ;. a. M ; b. ; c. (; ) ç. d. ; ; 8 8 3

32 Kreu IV Gjatë studimit të matematikës në vitet e kaluara (kl. X, XI) është treguar që drejtëza, në lidhje me një sistem kënddrejtë koordinativ o në plan, paraqitet me ekuacionin a + b + c, ana e majtë e të cilit është polinom i fuqisë së parë i ndrshoreve dhe. Prandaj dhe drejtëza shpesh quhet vijë e fuqisë së parë. Në kreun IV studiohet me metodën e koordinatave disa vija të tjera, ana e majtë e ekuacioneve të të cilave është polinom i fuqisë së dtë i ndrshimeve dhe. Vija të tilla quhen vija të fuqisë së dtë. Këto janë rrethi, elipsi, hiperbola dhe parabola, të cilat njihen me nj emër të përbashkët Konikë. Konikët njiheshin që nga grekët e lashtë dhe ndoshta jo vetëm prej tre.apoloni, nga fundi i shekullit III p.e.r, në veprën e tij : Konika prej tetë librash i trajton gjerësisht këto vija. Ai i përftronte ato si prerje të një sipërfaqeje konike me një plan, mjafton që plani prerës të ndrshonte pjerrësinë në mënrë të caktuar. Konkretisht: (fi gura).. Nëse plani prerës është pingul me boshtin e sipërfaqes konike, prerja është RRETH.. Nëse plani prerës nuk është paralel me ndonjë përftuese të sipërfaqes konike, atëherë prerja është ELIPS. 3. Nëse plani prerës është paralel me njërën nga përftuesit e sipërfaqes konike, atëherë prerja është PARABOLË. 4. Nëse plani prerës është paralel me boshtin e sipërfaqes konike, atëherë prerja është HIPERBOLË. Studimi i prerjebe konike mori zhvilli me krijimin e metodës së koordinatave nga Dekarti e Ferma. Kjo metodë është mjaft e përshtatshme,e për studimin e tre dhe ka bërë që këto vija të bëhen ndër objektet kresore të Gjeometrisë analitike. Duke zgjidhur sisteme koordinatave të përshtatshme, arrihet që ekuacionet e tre të jena të përshtatshme, arrihet që ekuacionet e tre të jenë sa më të thjeshta dhe studimi të krhet me lehtë. 4. Ekuacioni i tangjentes dhe i pingules të ndërtuar në një pikë të elipsit a Konceptet e trajtuara: ekuacion i elipsit tangjente në një pikë të vijës pingule në një pikë të vijës koefi cienti këndor i drejtëzës kuptimi gjeometrike i derivatit ekuacion i drejtëzës funksion + = b Objektivat: Në fund të orës së mësimit nënësi:.të shkruajnë ekuacionin e pingules + = në pikën M a b (, ) E;.të shkruajë ekuacionin e pingules në një pikë M (, ) të elipsit; 3.të gjeninë pikën e tangjencës së drejtëzës tangjente me elipsin; 4.të punojnë ushtrime ku kombinohen njohuritë e marra. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Udhëzojmë që ora e mësimit të fi llojë me një riaktivizim të njohurive të kaluara që do të përdoren gjatë shtjellimit të njohurive të reja.. Cili është ekuacioni i d:. kalon M (, ). Me koefi cenmt këndor k d: = k(- ).. Elipsi ka ekuacionin + =. Ç do të thotë kjo? a b M (, ) E + = barazim numerik i vërtetë. a b a + = V M b (, ) E 3. Cili është kuptimi gjeometrik i koefi cientit këndor k = tgα? α 3

33 4. Për të gjetur k(koefi cientin këndor) të tangjentes është përdorur kuptimin gjeometrik të derivatit. Të vihet në dukje se funksioni që derivohet është ai t që jep varësinë e ordinatës së pikës nga abshisa b = a a a V = - b a (vija që paraqet elipsin në planin o nuk paraqet grafi k të një funksioni) Por për të gjetur derivatin e funksionit në tekst është përdorur një mënrë indirekte. Nuk derivohet = f() = b ± a a por katrori i funksionit = b ± ( a ). a 5. Prandaj gjatë derivimit përdoret rregulla e derivimit të funksionit të përbërë. ( ) = = () Gjetja e ekuacionit të pingules në M (, ) dhe është pingul me një drejtëz. Ushtrimet e përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit. Ushtrimi 3. Për të gjetur pikën e tangjentes së drejtëzës me elipsin mund të veprohet në mënra. = f() Mënra e parë. Zgjidhet sistemi: Mënra e dtë + = 4 = 4 Shndërrohet ekuacioni = 4 në trajtën a + = d.m.th. b + = 4 = = ( ) + = = ( ) = Pika e tangjentes M 4 (3;-) Ushtrime plotësuese. Vërtetoni se tangjentet me elipsin + = të hequra në skajet e çdo korde të tij që kalon a b nëpër qendrë janë paralele.. Jepet elipsi + = dhe M(; <) në të. 4 a. Gjeni ekuacioni e tangjentes së hequr në pikën M. b. Gjeni sipërfaqen e figurës së kufizuar nga boshtet koordinatave dhe tangjentja e hequr në pikën M. 3. Jepet elipsi + = dhe pika M(4; ) a) Tregoni se M është pikë e elipsit. Shkruani ekuacionet e tangjenteve me elipsin në pikën M dhe në skajet A e A të boshtit të madh të tij. b) Tregoni se segmenti i tangjentes në pikën M, i cili i ka skajet në tangjentet me elipsin në pikat A dhe A, shihet nën një kënd të drejtë nga vatrat e elipsit. 4. Jepet elipsi 6 + =. a. Provoni se M(,3) është pikë e elipsit dhe gjeni ekuacioni i tangjentes me elipsin në pikën m. b. Provoni se kjo tangjente formon kënde të barabarta me rrezet vatrore të pikës M. 33

34 5. Gjeni ekuacionin e tangjentes së elipsit =45, largësia e së cilës nga qendra e tij është e barabartë me 3. P. ± 3 ± ) 6. Gjeni ekuacionet e brinjëve të një katrori të jashtëshkruar elipsit me ekuacion + = Gjeni ekuacionet e asaj tangjenteje të elipsit + =, e cila, raportin e largësive nga d 5 9 vatrat e ka 9. Ushtrime kontrolli për kreun IV. Shkruani ekuacionin e rrethit në qoftë se skajet e një diametri të tij janë: A(;4) dhe B(-3; ). Gjeni tangjentet e përbashkëta të elipsave + = dhe + = Shkruani ekuacionin e hiperbolës që kalon nëpër vatrat e elipsit = dhe i ka vatrat në kulmet e këtij elipsi. *. Shkruani ekuacionin e rrethit që e ka qendrën në pikën M(9;5) dhe është tangjent me drejtëzën =. *. Shkruani ekuacionin e elipsit që kalon nga pika M( ; 5 ) dhe e ka jashtëqendërsinë e = *. Shkruani ekuacionet e tangjenteve të parabolës = 4 në pikat e prerjes së saj me drejtëzën =. 4*. *. Jepet elipsi: + = 8 a) Në kuadratin e parë gjendet pika A e elipsit, ku tangjentja të jetë paralele me drejtëzën + =. b) Shkruani ekuacionin e parabolës me kulm në origjinën e koordinatave, simetrike me boshtin dhe që kalon nga pika A. 34

35 Kreu VI Shumë probleme në matematikë kanë të bëjnë me radhitjen e objekteve në një grup të dhënë apo me numrin e grupeve të ndrshme, që mund të formohen prej një bashkësie të dhënë objektivash. Pra janë probleme të numërimit. Kështu p.sh petja: Sa trekëndësha mund të ndërtohen me 7 pika të dhëna në një plan, në qoftë se çdo tre prej tre nuk ndodhen në një vijë të drejtë? Kthehet në problemin e kombinatorikës. Në sa mënra mund të zgjidhen tre pika midis 7 pikave të dhëna. Në këtë pjesë të kreut trajtohen kuptime të tilla si: dispozicionet, përkëmbimet, kombinacionet që lidhen me bashkësi që kanë një numër të fundmë elementesh dhe me formimin e sistemeve të radhitura apo jo të k objekteve nga këto bashkësi. Numërimi i këtre sistemeve prej k elementesh nga një bashkësi bëhet duke u mbështetur në d parime bazë njehsimi: parimi i mbledhjes dhe parimi i shumëzimit. Parimi i mbledhjes Le të jenë a dhe b d veprime që nuk mund të krhen njëherësh. Në qoftë se veprimi a mund të krhet në n mënra dhe veprimi b në n mënra, atëherë veprimi a dhe b do të krhet në n + n mënra. Parimi i shumëzimit Në qoftë se veprimi a mund të krhet në n mënra dhe për secilën nga këto mënra veprimi b mund të krhet në n mënra, atëherë të d veprimet së bashku krhen njëri pas tjetrit në n n mënra. Shembuj. Sa numra dshifrorë mund të formohen me shifrat,, 3, 4, 5, 6? Shënojmë A = {,, 3, 4, 5, 6}. Çdo numër dshifrorë është një çift i radhitur shifrash ku shifra e parë dhe e dtë janë elementë të A-së, pra është element i prodhimit hartezian A A = A. Atëherë n(a A) = n (A) n(a) = 6 6 = 36.. Një restorant ofron 4 lloj supash, 3 lloj gjellësh dhe 5 lloj ëmbëlsirash. Sa mundësi servirjeje ka, nëse çdo servirje ka një supë, një gjellë dhe një ëmbëlsirë? 35

36 6. Dispozicionet Objektivat. Nënësit të jenë të aftë të: - të tregojnë dispozicione me k elementë nga bashkësia e dhënë me n-elemente - të njehsojnëd n k sipas formulës përkatëse, për vlera të dhëna të n-së dhe k-së. - të dallojnë në situata të thjeshta praktike, nëse kemi të bëjmë me dispozicione. Udhëzime për zhvillimin e mësimit Për të ardhur tek kuptimi i dispozicionit si një sistem i radhitur elementësh, të ndrshëm nga n të dhënë gjithsej është mirë të trajtohen shembuj dhe jo të jepen direkt përfundimi. Shembull. Është dhënë bashkësia A={a, b, c, d}. a) Tregoni treshe të radhitura me elemente nga kjo bashkësi. abc, bac, cba, acb, bcd etj. Çdo treshe e tillë është një dispozicion me 3 elemente nga bashkësia me 4 elemente. b) Sa treshe të radhitura formohen me elemente të kësaj bashkësie? Për të llogaritur numrin e tresheve të radhitura mund të përdoret parmimi i shumëzimit ose metoda e pemës. Shembull. Në sa mënra të ndrshme mund të vendosen njëra pas tjetrës 4 piktura nga 7 të tilla në murin e ekspozitës. Pas trajtimit të shembujve të jepet përkufi zimi. Për të gjetur numrin e dispozicioneve të ndrshme me k elemente nga bashkësia A prej n elementesh, të përdoret parimi i shumëzimit. n n n... n (k ) Dhe prej këtej formula D n k = n (n ) (n )... [n (k-)] e cila është më e përshtatshme për t u n përdorur në krahasim me D k! n = ( n k)!. Ushtrimet,, 3 përbëjnë nivelin minimal të përvetësimit të njohurive. Ushtrime plotësuese. Në sa mënra të ndrshme mund të ulen 7 njerëz në një stol që ka 3 vende?. Janë dhënë shifrat,,, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. a) Sa numra 4 shifrorë mund të formohen? b) Sa numra 4 shifrorë formohen me kusht që shifrat të mos përsëriten? c) Sa prej tre fi llojnë me? Sa mbarojnë me zero? 36

37 3. Janë dhënë shifrat,, 3, 4, 5, 6, 7. a. Sa numra 4 shifrorë çift mund të formohen. b. Sa numra 4 shifrorë çift mund të formohen me kusht që shifrat të mos përsëriten? 4. Sa numra tej me 4 shifra mund të formohen duke përdorur shifrat pa përsëritje. 5. Sa numra më të vegjël se 8 formohen me shifrat 3, 5, 6, 7? 6. Vërtetoni që: = 6D5 b) D n = ndn c) D 6 n, 3 Dn = ( n 4) D a) Dn, = 6 b) Dn, + 3 = Dn, c) = D n+, 5 4 n 7. Zgjidhni ekuacionet në lidhje me n, : 5 4 ç) D D D = d) D = 8D N, 4, 3, ; 8. Gjeni bashkësinë e përcaktimi dhe bashkësinë e vlerave të funksionit: - f()=d N. 8-37

38 38

39 39

40 4