Συµπαγείς τελεστές. Κεφάλαιο Τελεστές πεπερασµένης τάξης. n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε

Transcript

1 Κεφάλαιο 3 Συµπαγείς τελεστές 3.1 Τελεστές πεπερασµένης τάξης Ορισµός Μια γραµµική απεικόνιση T : E F µεταξύ δύο γραµµικών χώρων E, F λέγεται τάξης n (n N) αν ο υπόχωρος T (E) = im T έχει διάσταση n. Γράφουµε rank(t ) = n. Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα, συµβολίζουµε µε F(E, F ) το σύνολο των ϕραγµένων γραµµικών απεικονίσεων T : E F που έχουν πεπερασµένη τάξη (finite rank), δηλαδή F(E, F ) = {T B(E, F ) : rank(t ) < + }. Ειδικότερα, γράφουµε F(E) = F(E, E). Παρατηρήσεις (ι) Τονίζουµε ότι, αν E, F είναι χώροι µε νόρµα, το σύνολο F(E, F ) περιέχεται εξ ορισµού στο σύνολο B(E, F ) των ϕραγµένων γραµµικών απεικονίσεων από τον E στον F. Θυµίζουµε ότι πάντα υπάρχουν γραµµικές απεικονίσεις T : E F πεπερασµένης τάξης που δεν είναι ϕραγ- µένες, όταν ο E είναι απειροδιάστατος (Παράδειγµα 2.1.7). (ιι) Αν οι E, F είναι χώροι µε νόρµα και ένας (τουλάχιστον) από τους δυο έχει πεπερασµένη διάσταση, τότε F(E, F ) = B(E, F ). Ειδικότερα, F(E, C) = B(E, C) = E. 105

2 106 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Ορισµός Αν E, F είναι χώροι µε νόρµα και E ο (τοπολογικός) δυικός του E, για κάθε x F και y E ορίζουµε τον τελεστή x y : E F από τον τύπο (x y )(z) = y (z)x (z E). Ειδικότερα, αν E = F = H είναι χώρος Hilbert, τότε κάθε y H είναι της µορφής y (z) = z, y για µοναδικό y H (Θεώρηµα Riesz, 1.6.3), συνεπώς ο τελεστής x y : H H ορίζεται για x H και y H από τον τύπο (x y )(z) = z, y x (z H). Παρατήρηση Ο τελεστής x y είναι ϕραγµένος, και x y = x. y. Κάθε T F(E, F ) πρώτης τάξης (rank(t ) = 1) είναι αυτής της µορφής (µε x, y µη µηδενικά). Απόδειξη Επειδή η γραµµική µορφή y είναι συνεχής, είναι ϕανερό ότι ο x y είναι ϕραγµένος τελεστής. Επειδή im(x y ) [x], ο x y είναι τελεστής πρώτης τάξης (αν ϐέβαια τα x, y είναι µη µηδενικά). Εχουµε x y = sup{ (x y )(z) :z E, z 1} = sup{ y (z)x :z E, z 1}=sup{ y (z) :z E, z 1} x = y x. Αντίστροφα, αν T F(E, F ) και rank(t ) = 1, επιλέγοντας ένα µη µηδενικό x im T, παρατηρούµε ότι για κάθε z E το T z ανήκει στον im T = [x], άρα υπάρχει λ(z) C ώστε T z = λ(z)x. Η απεικόνιση z λ(z) : E C είναι γραµµική, επειδή ο T είναι γραµµικός, και συνεχής, επειδή ο T είναι συνεχής (Άσκηση 3.1). Εποµένως, η απεικόνιση y : z λ(z) ανήκει στον E και έχουµε T = x y. είξαµε λοιπόν ότι οι ϕραγµένοι τελεστές πρώτης τάξης (το πολύ) είναι ακριβώς οι τελεστές της µορφής T = x y. Παρατηρούµε όµως ότι τα x, y δεν καθορίζονται µονοσήµαντα από τον T, εφόσον x y = (λx) (λ 1 y ) για κάθε µη µηδενικό λ C. Στην περίπτωση χώρου Hilbert, η αντίστοιχη ισότητα είναι x y = ( λx) (λ 1 y).

3 3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ 107 Πρόταση Εστω E, F χώροι µε νόρµα, T : E F γραµµική απεικόνιση και n N. Ο T είναι ϕραγµένος τελεστής τάξης n αν και µόνον αν υπάρχουν γραµµικά ανεξάρτητα x 1, x 2,..., x n F και γραµµικά ανεξάρτητα y1, y 2,..., y n E ώστε T = Τότε im T = [x 1, x 2,..., x n ] και x i yi. T x i. yi. (3.1) Ειδικότερα, αν E = F = H είναι χώρος Hilbert, τότε y i H, rank(t ) = rank(t ) και T = y i x i. Μπορούµε τότε να επιλέξουµε µια από τις οικογένειες {x i } ή {y i } ορθοκανονική στον H. Σηµείωση Οι οικογένειες x 1, x 2,..., x n F και y 1, y 2,..., y n E δεν καθορίζονται µοναδικά από τον T. Μάλιστα, όπως ϑα ϕανεί στην απόδειξη, για κάθε (αλγεβρική) ϐάση x 1, x 2,..., x n του im T υπάρχουν y 1, y 2,..., y n στον E ώστε T = n x i y i. Απόδειξη της Πρότασης (ι) Εστω T = n x i y i όπου {x i}, {y i } γραµ- µικά ανεξάρτητα υποσύνολα των F, E αντίστοιχα. Οτι ο T είναι ϕραγµένος και η νόρµα του ικανοποιεί την (3.1) έπεται από την την τριγωνική ανισότητα και την Παρατήρηση Θα δείξω ότι im T = [x 1, x 2,..., x n ]. Επειδή, για κάθε z E, το T (z) = n y i (z)x i ανήκει στον (n-διάστατο) υπόχωρο M [x i : 1 i n] που παράγουν τα {x i }, ο υπόχωρος im T περιέχεται σ αυτόν : im T [x i : 1 i n] = M. Θα δείξω ότι ισχύει ισότητα, οπότε rank(t ) = n.

4 108 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Πράγµατι, έστω f : M C γραµµική απεικόνιση ώστε f im T = 0. Θα δείξω ότι f = 0. Για κάθε y E έχουµε f(t (y)) = 0, δηλαδή ( ) 0 = f yi (y)x i = f(x i )yi (y). Αυτό δείχνει ότι η γραµµική µορφή n f(x i)y i E είναι η µηδενική. Αλλά τα {y i } είναι γραµµικά ανεξάρτητα στον E, συνεπώς f(x i ) = 0 για i = 1,... n. Εφόσον η f είναι γραµµική και µηδενίζει µια ϐάση του M, έπεται ότι f = 0. ηλαδή κάθε γραµµική µορφή που µηδενίζει τον im T µηδενίζει ολόκληρο τον M, συνεπώς ο im T δεν µπορεί να είναι γνήσιος υπόχωρος 1 του M. (ιι) Εστω, αντίστροφα, T : E F ϕραγµένος µε rank(t ) = n < +. Επιλέγουµε ένα γραµµικά ανεξάρτητο σύνολο {x i : i = 1,..., n} που παράγει τον υπόχωρο im T του F (δηλαδή µια (αλγεβρική) ϐάση του im T ). Τότε για κάθε z E, το T (z) είναι κάποιος γραµµικός συνδυασµός των {x i }, υπάρχουν δηλαδή µιγαδικοί αριθµοί λ 1 (z),..., λ n (z) ώστε T (z) = λ i (z)x i. Θα δείξω ότι οι απεικονίσεις z λ i (z) : E C είναι γραµµικές και συνεχείς. Παρατηρούµε ότι κάθε x j (j = 1,..., n) είναι γραµµικά ανεξάρτητο από τα υπόλοιπα {x i }, δεν ανήκει δηλαδή στον υπόχωρο M j [x i : i j], ο οποίος έχει πεπερασµένη διάσταση, άρα είναι κλειστός. Από το ϑεώρηµα Hahn- Banach έπεται ότι υπάρχει µια γραµµική µορφή wj F ώστε wj (x j) = 1 και wj M j = 0, δηλαδή wj (x i) = 0 για κάθε i j. Οµως w j (T (z)) = λ i (z)wj (x i ) = λ j (z) 1 Αν ήταν, και {z 1,..., z k } ήταν µια ϐάση του, επεκτείνοντάς την σε ϐάση {z 1,..., z n } του M ϑα έβρισκα µια µη µηδενική µορφή φ στον M που να µηδενίζει τον im T, π.χ. ϑέτοντας φ(z i ) = 0 για i = 1,... n 1 και φ(z n ) = 1.

5 3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ 109 για κάθε z E, δηλαδή η απεικόνιση z λ j (z) ισούται µε w j γραµµική και συνεχής. Αν ϑέσουµε T άρα είναι y j w j T : E C : z w j (T (z)) = λ j (z) το yj ανήκει στον E. είξαµε ότι, για κάθε z E, ( ) T (z) = yi (z)x i = x i yi (z), και µένει να δείξουµε ότι τα {yi } είναι γραµµικά ανεξάρτητα. Πράγµατι, αν µ 1,..., µ n είναι µιγαδικοί αριθµοί τέτοιοι ώστε n µ iyi = 0 τότε, για κάθε z E ϑα ισχύει 0 = µ i yi (z) = µ i wi (T z). Επειδή κάθε x j ανήκει στον im T, υπάρχει z j E ώστε T z j = x j, οπότε εραρµόζοντας την παραπάνω σχέση για z = z j συµπεραίνουµε ότι 0 = µ i wi (x j ) = µ j για j = 1,..., n, άρα τα {yi } είναι γραµµικά ανεξάρτητα. (ιιι) Ερχόµαστε τώρα στην ειδική περίπτωση όπου ο E = F = H είναι χώρος Hilbert. Αν δοθεί T F(H) µε rank(t ) = n, µπορούµε να επιλέξουµε µία ορθοκανονική ϐάση {x i } του υπόχωρου im T, και να ορίσουµε y i = T x i (i = 1,..., n). Επεται τώρα απευθείας (χωρίς την χρήση του ϑεω- ϱήµατος Hahn-Banach), αφού η {x i } είναι ορθοκανονική ϐάση του im T ότι, για κάθε z H, T (z) = T z, x i x i = z, T x i x i = ( ) z, y i x i = x i yi (z) και η γραµµική ανεξαρτησία των {y i } αποδεικνύεται όπως προηγουµένως. Αν T = n x i yi, η σχέση T = n y i x i αποδεικνύεται άµεσα από τον ορισµό του συζυγούς τελεστή. Πράγµατι, αν T = x y τότε για κάθε z, w H έχουµε z, T (w) = z, (x y )(w) = z, w, y x = z, x w, y

6 110 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ και άρα (y x )(z), w = z, x y, w = z, x y, w (y x )(z), w = z, T (w) = T (z), w συνεπώς T = y x. Εποµένως, αν rank(t ) = n, οπότε τα {x i } και τα {y i } µπορούν να επιλεγούν γραµµικά ανεξάρτητα, έπεται ότι rank(t ) = n, και αντίστροφα. είξαµε προηγουµένως ότι τα {x i } µπορούν να επιλεγούν ορθοκανονικά (τα y i = T x i δεν είναι τότε κατ ανάγκην ορθοκανονικά - δες την επόµενη Παρατήρηση). Για να ϐρούµε µια παράσταση T = i w i zi του T όπου τα z i είναι ορθοκανονικά, εφαρµόζουµε τους ίδιους συλλογισµούς στον τελεστή T : Επιλέγουµε µια ορθοκανονονική ϐάση {z i } του im T, και ϑέτοντας w i = T z i = T z i (τα οποία δεν ϑα είναι όµως κατ ανάγκην ορθοκανονικά), ϐρίσκουµε T = z i wi, άρα T = w i zi όπου τα z i είναι ορθοκανονικά. Παρατήρηση Αν T F(H) όπου H είναι χώρος Hilbert και z i είναι τυχαία ορθοκανονική ϐάση του im T = (ker T ), δεν έπεται εν γένει ότι τα διανύσµατα T (z i ) αποτελούν ορθοκανονική ϐάση 2 του im T. Οπως όµως ϑα δείξουµε στο επόµενο κεφάλαιο (Θεώρηµα ), µπορεί κανείς πάντα να επιλέξει κατάλληλη ορθοκανονική ϐάση y i του (ker T ) ώστε τα T y i να είναι κάθετα ανά δύο. Παραδείγµατα (Πρβλ. Παράγραφο 2.1.1) (2.1.8) Ενας διαγώνιος τελεστής D a (a l ) στον l 2 είναι πεπερασµένης τάξης αν και µόνον αν a c oo (Άσκηση 3.2). Παρατηρούµε ότι τότε ο D a γράφεται D a = n a n e n e n 2 Αυτό συµβαίνει αν και µόνον αν ο T (ker T ) είναι ισοµετρία (Άσκηση 2.19).

7 3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ 111 όπου το άθροισµα είναι πεπερασµένο, αφού a c oo. ηλαδή ο D a είναι (πεπερασµένος) γραµµικός συνδυασµός των προβολών e n e n που προβάλλουν πάνω στους µονοδιάστατους υπόχωρους [e n ]. Οι προβολές αυτές είναι επίσης της µορφής D b όπου b k = δ kn (k N). εν είναι ϐέβαια αλήθεια ότι κάθε T F(l 2 ) είναι της µορφής D a. Πα- ϱαδείγµατος χάριν, ο τελεστής T = x x όπου x = ( 1 2, 1 4, 1 8,...) δεν είναι διαγώνιος ως προς την {e n }, γιατί T e n, e m = 0 για κάθε m, n N, µολονότι ο T είναι η προβολή στον µονοδιάστατο υπόχωρο [x]. Παρατήρησε όµως ότι ο T είναι διαγώνιος ως προς µια άλλη ορθοκανονική ϐάση, που προκύπτει επεκτείνοντας την {x} σε ορθοκανονική ϐάση του l 2. (2.1.8) Αν {x i }, {y i } είναι δυο ορθοκανονικές οικογένειες στον χώρο Hilbert H και λ i > 0, ο τελεστής T = λ i x i yi που ϐέβαια έχει τάξη n, έχει νόρµα T = max λ i (Άσκηση 3.3). [Θα δείξουµε αργότερα (Θεώρηµα ), ως συνέπεια του Φασµατικού ϑεωρήµατος, ότι κάθε T F(H) µπορεί να γραφεί στη µορφή αυτή.] Το παράδειγµα αυτό δείχνει ότι η ανισότητα (3.1) της Πρότασης είναι συνήθως γνήσια όταν n > 1 (στην συγκεκριµένη περίπτωση το δεξιά µέλος της είναι n λ i). Για n = 1 ϐεβαίως η (3.1) γίνεται ισότητα (Παρατήρηση 3.1.2). (2.1.11) Ενας τελεστής πρώτης τάξης στον H = L 2 ([0, 1]) είναι της µορ- ϕής T = f g µε f, g H. Ειδικότερα, αν f, g C([0, 1]), τότε, για κάθε h C([0, 1]), ( 1 (T h)(t) = 0 ) h(s)g(s)ds f(t) (t [0, 1]). Παρατηρούµε ότι η προηγούµενη ισότητα µπορεί να γραφεί (T h)(t) = 1 0 k(t, s)h(s)ds (t [0, 1]) όπου k(t, s) = f(t)g(s), (t, s) [0, 1] [0, 1].

8 112 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Γενικότερα, κάθε τελεστής T = n f i g i πεπερασµένης τάξης µε f i, g i συνεχείς στο [0, 1] είναι ένας ολοκληρωτικός τελεστής µε πυρήνα k C([0, 1] [0, 1]) όπου k(t, s) = f i (t)g i (s) (t, s) [0, 1] [0, 1]. Βεβαίως, οι συνεχείς συναρτήσεις k της παραπάνω µορφής δεν εξαντλούν τον C([0, 1] [0, 1]). Εποµένως, δεν έχουν όλοι οι ολοκληρωτικοί τελεστές πεπε- ϱασµένη τάξη (Άσκηση 3.4). Θα δούµε όµως αργότερα ότι «προσεγγίζονται» από τελεστές πεπερασµένης τάξης. (2.1.10) Αν f C([0, 1]), ο πολλαπλασιαστικός τελεστής M f στον L 2 ([0, 1]) δεν είναι ποτέ πεπερασµένης τάξης, εκτός αν είναι 0 (Άσκηση 3.5). Παρατηρήσεις (ι) Είναι ϕανερό ότι κάθε γραµµικός συνδυασµός τελεστών πεπερασµένης τάξης είναι τελεστής πεπερασµένης τάξης. (ιι) Αν E είναι χώρος µε νόρµα και x, y E, x 1, y 1 E, τότε, για κάθε z E, (x y )(x 1 y1)z = (x y )(y1(z)x 1 ) = y (x 1 )y1(z)x = y (x 1 ).(x y1)z, δηλαδή Ειδικότερα, (x y ) (x 1 y 1) = y (x 1 ).(x y 1). (x y ) 2 = y (x).(x y ). Το γινόµενο λοιπόν δυο τελεστών πρώτης τάξης είναι τελεστής πρώτης τάξης, εκτός αν είναι µηδέν, ισοδύναµα αν y (x 1 ) = 0. Ειδικότερα, σε χώρους Hilbert, αυτό συµβαίνει αν και µόνον αν y x 1. Γενικότερα, αν T F(E) και S B(E), τότε οι T S και ST ανήκουν στο F(E). Αυτό έπεται άµεσα από το γεγονός ότι, αν M είναι υπόχωρος του E, τότε dim S(M) dim(m). Αν µάλιστα ο T είναι πρώτης τάξης, T = x y τότε (ST )z = S((x y )z) = S(y (z)x) = y (z)sx = (Sx y )z

9 3.1. ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΞΗΣ 113 για κάθε z E, άρα S(x y ) = Sx y και (T S)z = (x y )(Sz) = y (Sz)x = (x w )z για κάθε z E, όπου w η συνεχής γραµµική µορφή w = y S, άρα T S = x w. Ειδικότερα, όταν ο E είναι χώρος Hilbert, έχουµε (T S)z = (x y )(Sz) = Sz, y x = z, S y x = (x (S y) )z οπότε (x y )S = x (S y). (ιιι) Το όριο µιας ακολουθίας {T n } τελεστών πεπερασµένης τάξης δεν είναι κατ ανάγκη τελεστής πεπερασµένης τάξης. T n, n N είναι οι τελεστές στον l 2 που ορίζονται από τον τύπο δηλαδή T n = k=1 1 k e k e k Παραδείγµατος χάριν, αν T n (x 1, x 2,..., x n, x n+1,...) = (x 1, x 2 2,..., x n, 0, 0,...), n τότε κάθε T n είναι τάξης n και η ακολουθία {T n } συγκλίνει, ως προς την νόρµα του B(l 2 ), στον τελεστή D a όπου a k = 1 k (k N). [Πράγµατι, D a T n = D bn όπου b n = (0, 0,..., 0, άρα D a T n = b n = 1 n+1 0.] Ο D a δεν είναι όµως πεπερασµένης τάξης, γιατί a k δείκτες k. 1 n + 1, 1 n + 2,...) 0 για άπειρους Συνοψίζουµε τις παρατηρήσεις αυτές µε την

10 114 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Πρόταση Αν E είναι χώρος µε νόρµα, το σύνολο F(E) των ϕραγµένων τελεστών πεπερασµένης τάξης του E είναι γραµµικός χώρος, είναι µάλιστα (αµφίπλευρο) ιδεώδες (ideal) της άλγεβρας B(E), δηλαδή T F(E) και S B(E) T S F(E) και ST F(E). Αν ο E είναι χώρος Hilbert, τότε το F(E) είναι αυτοσυζυγές, δηλαδή T F(E) T F(E). Επίσης ισχύουν οι σχέσεις (x y ) (x 1 y1) = y (x 1 ).(x y1) S(x y ) = Sx y όπου x, x 1 E, y, y1 E και S B(E) και, αν ο E είναι χώρος Hilbert, (x y )S = x (S y) (x y ) = y x όπου x, y E και S B(E). 3.2 Συµπαγείς τελεστές : ορισµοί και πρώτες ιδιότητες Εισαγωγή (ι) Η µελέτη των τελεστών πεπερασµένης τάξης ανάγεται στην µελέτη τελεστών µεταξύ χώρων πεπερασµένης διάστασης. Παραδείγµατος χάριν, αν ο H είναι χώρος Hilbert και T F(H), τότε ο H διασπάται σε ευθύ άθροισµα H = (ker T ) (ker T ), όπου ο (ker T ) έχει πεπερασµένη διάσταση 3, και ο T περιγράφεται πλήρως από τον περιορισµό του T o : (ker T ) im T. (ιι) Οι τελεστές µεταξύ χώρων πεπερασµένης διάστασης περιγράφονται µε αρκετή πληρότητα από τη γραµµική άλγεβρα : για παράδειγµα, ένα «σύστηµα 3 γιατί ο im(t ) έχει πεπερασµένη διάσταση, άρα είναι κλειστός, και από την Άσκηση 2.28 έχουµε (ker T ) = im(t ).

11 3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 115 γραµµικών εξισώσεων» της µορφής T x = y (όπου τα x, y ανήκουν σε χώρους πεπερασµένης διάστασης E, F αντίστοιχα και T είναι µια γραµµική απεικόνιση από τον E στον F ) ή ϑα έχει µοναδική λύση (αν ο T είναι ένα προς ένα) ή αλλιώς η «αντίστοιχη οµογενής εξίσωση» T x = 0 ϑα έχει πεπερασµένο πλή- ϑος γραµµικά ανεξάρτητων λύσεων x 1,..., x n, οπότε, αν υπάρχει µια λύση x 0 της T x = y (αν δηλαδή y im T ), κάθε άλλη λύση ϑα είναι της µορφής x = x 0 + λ 1 x λ n x n, λ i C. Στα προβλήµατα όµως της Ανάλυσης οι γραµµικοί χώροι που εµφανίζονται είναι συνήθως απειροδιάστατοι, και δεν αναµένει κανείς αποτελέσµατα όπως το προηγούµενο να ισχύουν για τυχαίους τελεστές. Στην παράγραφο αυτή ϑα αποµονώσουµε µια κλάση τελεστών, τους συµπαγείς τελεστές, που είναι αρκετά ευρεία ώστε να περιλαµβάνει τελεστές που ενδιαφέρουν στις εφαρµογές (π.χ. τους ολοκληρωτικούς τελεστές), ενώ ταυτόχρονα διατηρεί, έστω «προσεγγιστικά», αρκετές από τις ιδιότητες των τελεστών πεπερασµένης τάξης. (ιιι) Οι τελεστές πεπερασµένης τάξης ορίσθηκαν κατά αλγεβρικό τρόπο: από την απαίτηση να είναι πεπερασµένη η διάσταση του πεδίου τιµών τους. Εχουν όµως µια τοπολογική ιδιότητα, που ϑα αποδειχθεί το κλειδί για την γενίκευση που επιχειρούµε σ αυτήν την παράγραφο : κάθε T F(E, F ) απεικονίζει την µοναδιαία σφαίρα B E του E σε ένα σχετικά συµπαγές 4 υποσύνολο του F (γιατί το T (B E ) είναι ϕραγµένο υποσύνολο του im T, που είναι χώρος πεπερασµένης διάστασης). Την ιδιότητα αυτή δεν την έχουν µόνον οι τελεστές πεπερασµένης τάξης : όπως ϑα δείξουµε, την έχουν παραδείγµατος χάριν όλοι οι ολοκληρωτικοί τελεστές. Ορισµός Εστω E, F χώροι Banach. Μια γραµµική απεικόνιση T : E F λέγεται συµπαγής (compact) αν απεικονίζει την κλειστή µοναδιαία σφαίρα B E = {x E : x 1} του E σε ένα. -σχετικά συµπαγές υποσύνολο του F (αν δηλαδή το T (B E ) είναι συµπαγές υποσύνολο του F ). Παρατήρηση Κάθε συµπαγής τελεστής είναι ϕραγµένος, γιατί αν το σύνολο T (B E ) είναι συµπαγές, είναι ϐέβαια ϕραγµένο. 4 δηλαδή ένα σύνολο µε συµπαγή κλειστή ϑήκη

12 116 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Θα χρησιµοποιήσουµε τους εξής γνωστούς χαρακτηρισµούς της συµπάγειας σε µετρικούς χώρους: Λήµµα (ϐλ. π.χ. [13] Θεώρηµα 5.18) Αν A είναι υποσύνολο ενός µετρικού χώρου (X, d), τα εξής είναι ισοδύναµα : (α) Το A είναι συµπαγές. (ϐ) Το A είναι ακολουθιακά συµπαγές (δηλαδή κάθε ακολουθία στοιχείων του A έχει υπακολουθία που συγκλίνει σε στοιχείο του A). (γ) Το A είναι αριθµήσιµα συµπαγές (δηλαδή κάθε αριθµήσιµο ανοικτό κάλυµ- µα του A έχει πεπερασµένο υποκάλυµµα). (δ) Κάθε άπειρο υποσύνολο του A έχει σηµείο συσσώρευσης που ανήκει στο A. (ε) Το A είναι πλήρες και ολικά ϕραγµένο. [ Ενα σύνολο B X λέγεται ολικά ϕραγµένο (totally bounded) αν, για κάθε ɛ > 0, το B καλύπτεται από πεπερασµένο πλήθος ανοικτών σφαιρών µε κέντρα στο B και ακτίνες το πολύ ɛ.] Θεώρηµα Εστω E, F χώροι Banach, T : E F γραµµική απεικόνιση. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (i) Ο T είναι συµπαγής. (ii) Για κάθε ϕραγµένο υποσύνολο A E, το T (A) είναι σχετικά συµπαγές. (iii) Για κάθε ϕραγµένη ακολουθία {x n } του E, η ακολουθία {T x n } έχει. -συγκλίνουσα υπακολουθία. (iv) Το σύνολο T (B E ) είναι ολικά ϕραγµένο. Απόδειξη (i) (ii): Ενα σύνολο A E είναι ϕραγµένο αν και µόνον αν υπάρχει r > 0 ώστε x r για κάθε x A, δηλαδή A rb E. Τότε το T (A) περιέχεται στο σχετικά συµπαγές σύνολο rt (B E ), άρα είναι σχετικά συµπαγές. (ii) (iii): Αφού το σύνολο {x n : n N} E είναι ϕραγµένο, το σύνολο {T x n : n N} είναι συµπαγές υποσύνολο του F. Εποµένως η ακολουθία {T x n } έχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία. (iii) (iv): Αν το T (B E ) δεν είναι ολικά ϕραγµένο, υπάρχει ένα ɛ > 0 ώστε το T (B E ) να µην καλύπτεται από πεπερασµένο πλήθος ανοικτών σφαιρών της

13 3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 117 µορφής B(T x, ɛ) = {y F : y T x < ɛ}. Μπορούµε τότε να κατασκευάσουµε επαγωγικά µια ακολουθία {x n } στην B E ώστε T x m T x n ɛ για κάθε m n, οπότε η {T x n } δεν ϑα έχει συγκλίνουσα υπακολουθία : Ξεκινώντας από οποιοδήποτε σηµείο x 1 της B E, επειδή η B(T x 1, ɛ) δεν καλύπτει το T (B E ), υπάρχει x 2 B E ώστε T x 2 T x 1 ɛ. Επειδή η ένωση B(T x 1, ɛ) B(T x 2, ɛ) δεν καλύπτει το T (B E ), υπάρχει x 3 B E ώστε T x 3 / B(T x 1, ɛ) B(T x 2, ɛ), δηλαδή T x 3 T x 1 ɛ και T x 3 T x 2 ɛ. Και ούτω καθεξής. (iv) (i): Για να δείξουµε ότι το T (B E ) είναι συµπαγές υποσύνολο του F, αρκεί να δείξουµε ότι είναι ολικά ϕραγµένο (γιατί είναι πλήρης µετρικός χώρος, ως κλειστό υποσύνολο του πλήρους µετρικού χώρου F ). Εστω λοιπόν ɛ > 0. Επειδή το T (B E ) είναι ολικά ϕραγµένο, υπάρχουν x i B E, i = 1,..., n ώστε n T (B E ) B(T x i, ɛ/2). (3.2) Ισχυρίζοµαι ότι n T (B E ) B(T x i, ɛ). Πράγµατι, αν y T (B E ), υπάρχει x B E ώστε y T x ɛ/2. Από την 3.2, υπάρχει i, 1 i n, ώστε T x B(T x i, ɛ/2), οπότε y B(T x i, ɛ) από την τριγωνική ανισότητα. Ορισµός Μια ακολουθία {x n } σ έναν χώρο µε νόρµα E συγκλίνει w ασθενώς στο x E (γράφουµε x n x) αν limn y (x n ) = y (x) για κάθε y E. Παρατηρήσεις (i) Αν µια ακολουθία {x n } σ έναν χώρο µε νόρµα E έχει την ιδιότητα, για κάθε y E η ακολουθία µιγαδικών αριθµών {y (x n )} να συγκλίνει 5, τότε η {x n } είναι. -ϕραγµένη. Ειδικότερα, κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {x n } είναι κατ ανάγκη. -ϕραγµένη. Αυτό έπεται ουσιαστικά από την Αρχή Οµοιόµορφου Φράγµατος : 5 Εν γένει, δεν έπεται ότι η {x n} είναι ασθενώς συγκλίνουσα. Ενα παράδειγµα είναι η ακολουθία {x n } στον c o, όπου x n = e 1 + e e n. ες όµως και την (ii).

14 118 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Απόδειξη Για κάθε y E, η ακολουθία πραγµατικών αριθµών { y (x n ) } συγκλίνει, άρα είναι ϕραγµένη : sup n y (x n ) M(y ) < +. ηλαδή κάθε y E ανήκει σε κάποιο από τα σύνολα F k = {y E :M(y ) k} (k N). Καθένα από αυτά τα σύνολα είναι όµως. -κλειστό (γιατί αν M(y i ) k και y i y 0, τότε y (x n ) = lim i y i (x n) k για κάθε n N, άρα M(y ) k). Εποµένως ο πλήρης µετρικός χώρος E είναι ένωση αριθµήσιµου πλήθους κλειστών συνόλων : E = k=1 F k. Από το ϑεώρηµα Baire ([13], Πόρισµα 2.25) έπεται ότι κάποιο F ko ϑα έχει µη κενό εσωτερικό, ϑα περιέχει δηλαδή µια ανοικτή σφαίρα B(y o, 2ɛ) = {y E : y y o < 2ɛ}. z E µε z = 1. n N, (y o + ɛz )(x n ) k o και συνεπώς Εστω τώρα Τότε y o + ɛz B(y o, 2ɛ) F ko, άρα, για κάθε z (x n ) k o + y o(x n ) ɛ 2k o ɛ. Αλλά, από το ϑεώρηµα Hahn-Banach ([13], Πόρισµα 3.26 (ii)) έπεται ότι x n = sup{ z (x n ) : z E, z = 1} εποµένως x n 2k o /ɛ για κάθε n N. (ii) Αν µια ακολουθία {x n } σ έναν χώρο Hilbert H έχει την ιδιότητα, για κάθε y H η ακολουθία µιγαδικών αριθµών { x n, y } να συγκλίνει, τότε η {x n } είναι ασθενώς συγκλίνουσα. Απόδειξη Πρέπει να ϐρεθεί x H ώστε lim n y, x n = y, x για κάθε y H. Από την υπόθεση, για κάθε y H το όριο f(y) lim n y, x n υπάρχει. Ορίζεται έτσι µια απεικόνιση f : H C. Η f είναι γραµµική απεικόνιση, επειδή κάθε απεικόνιση y y, x n είναι γραµµική. Είναι όµως και ϕραγ- µένη : Πράγµατι, από το (i) υπάρχει M < ώστε x n M για κάθε n N, οπότε f(y) sup y, x n y M. n Επειδή ο χώρος H είναι Hilbert, από το Θεώρηµα Riesz (Θεώρηµα 1.6.3) υπάρχει µοναδικό x H ώστε f(y) = y, x για κάθε y H.

15 3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 119 Πρόταση Εστω E, F χώροι Banach και T : E F συµπαγής τελεστής. Αν x n w x στον E, τότε T xn T x 0. Απόδειξη Επειδή ο T είναι γραµµικός, µπορώ να υποθέσω ότι x = 0. Ας υποθέσουµε ότι η T x n δεν τείνει στο µηδέν. Τότε ϑα υπάρχει ɛ > 0 και υπακολουθία {z n } της {x n } ώστε T z n ɛ για κάθε n N. Επειδή η {z n } είναι ασθενώς µηδενική, είναι. -ϕραγµένη από την Παρατήρηση 3.2.4(i). Επειδή ο T είναι συµπαγής, η {z n } ϑα έχει µια υπακολουθία {z nk } ώστε η {T z nk } να συγκλίνει στην τοπολογία της νόρµας, έστω στο y. Τότε, για κάθε y F, ϑα έχουµε y (y) = lim k y (T z nk ) (γιατί η y είναι. -συνεχής) = lim k (y T )(z nk ). Αλλά η {z nk } είναι ασθενώς µηδενική, ως υπακολουθία της {x n }, και η γραµ- µική µορφή y T είναι συνεχής. Εποµένως, από τον ορισµό της ασθενούς σύγκλισης, lim k (y T )(z nk ) = 0 άρα y (y) = 0 για κάθε y E. Εποµένως y = 0 (Θεώρηµα Hahn - Banach), πράγµα που αντιφάσκει µε την ανισότητα y = lim k T z nk ɛ. Παρατήρηση (i) Η Πρόταση δεν ισχύει για δίκτυα 6. Παραδείγ- µατος χάριν, αποδεικνύεται (Άσκηση 3.11) ότι αν οι E, F είναι χώροι Banach, µια απεικόνιση T : E F απεικονίζει ασθενώς µηδενικά δίκτυα σε. - µηδενικά αν και µόνον αν είναι πεπερασµένης τάξης (και ϕραγµένη). (ii) Το αντίστροφο της Πρότασης δεν ισχύει γενικά σε χώρους Banach 7, ισχύει όµως σε χώρους Hilbert. Για την απόδειξη, ϑα χρειασθεί το 6 Η έννοια του δικτύου είναι γενίκευση της έννοιας της ακολουθίας δες π.χ. [13, 8.5, 8.6]. ίκτυα δεν ϑα µας χρειασθούν στις σηµειώσεις αυτές. 7 Για παράδειγµα, στον l 1 (N), αν x w n 0 τότε x n 1 0 (ϐλ. [1, V.5.2], αλλά ο ταυτοτικός τελεστής δεν είναι συµπαγής, εφόσον ο χώρος είναι απειροδιάστατος (Πρόταση 3.3.6). Το Λήµµα (άρα και η Πρόταση 3.2.8) αληθεύει και όταν ο H είναι αυτοπαθής χώρος Banach (ϐλ. π.χ. [1, VI.3.3]).

16 120 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Λήµµα Κάθε. -ϕραγµένη ακολουθία σ έναν χώρο Hilbert έχει µια α- σθενώς συγκλίνουσα υπακολουθία. Απόδειξη Εστω (y n ) µια ϕραγµένη ακολουθία στον H. Είναι ϐέβαια αλήθεια ότι, για κάθε x H, η ( y n, x ) n είναι ϕραγµένη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, άρα έχει µια υπακολουθία ( y x n, x ) n που συγκλίνει. Αυτό όµως δεν αρκεί : πρέπει να δείξουµε ότι υπάρχει µια υπακολουθία (z n ) της (y n ) ώστε η ακολουθία µιγαδικών αριθµών ( z n, x ) n να συγκλίνει για όλα τα x H. (α) Υποθέτουµε πρώτα ότι ο H είναι διαχωρίσιµος. Εστω X = {x 1, x 2,...} ένα αριθµήσιµο πυκνό υποσύνολο του H. M = sup n { y n }, παρατηρούµε ότι, για κάθε x X και n N, έχουµε y n, x y n. x M. x. Η ακολουθία ( y 1, x 1, y 2, x 1,..., y n, x 1,...) είναι ϕραγµένη ακολουθία µιγαδικών αριθµών, άρα έχει µία συγκλίνουσα υπακολουθία, έστω ( y 1 1, x 1, y 1 2, x 1,..., y 1 n, x 1,...). Θεωρούµε τώρα την υπακολουθία (y 1 n) της (y n ). Εφόσον y 1 n, x 2 M x 2 για κάθε n N, η ακολουθία ( y 1 n, x 2 ) n έχει συγκλίνουσα υπακολουθία ( y 2 1, x 2, y 2 2, x 2,..., y 2 n, x 2,...). (Βεβαίως, η ακολουθία ( y 2 n, x 1 )n επίσης συγκλίνει, αφού είναι υπακολουθία της ( y 1 n, x 1 )n ). Επαγωγικά κατασκευάζουµε, για κάθε k N, µια υπακολουθία (yn) k n της (yn k 1 ) n ώστε η ( yn, k x k ) n να συγκλίνει (οπότε, για κάθε m k, η ( yn, k x m ) n επίσης ϑα συγκλίνει). Ονοµάζουµε τώρα (z n ) n την διαγώνια ακολουθία, z n = (y n n) n : (z n ) n = (y 1 1, y 2 2,..., y n n,...). Παρατηρούµε ότι για κάθε k N η ακολουθία (z n ) n k είναι υπακολουθία της (y k n) n k. Εποµένως, αφού η ( y k n, x k ) n συγκλίνει έπεται ότι η ( z n, x k ) n επίσης ϑα συγκλίνει. Αν

17 3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 121 Εστω τώρα x H και ɛ > 0. Επειδή το X είναι πυκνό στον H, υπάρχει k N ώστε x x k < ɛ/4m. Επειδή η ( z n, x k ) n συγκλίνει, υπάρχει n k N ώστε z n, x k z m, x k < ɛ/2 όταν m, n n k. Εχουµε τότε, z n, x z m, x z n, x k z m, x k + z n z m, x x k < ɛ/2 + z n z m. x x k ɛ/2 + ( z n + z m ) x x k ɛ/2 + 2M x x k < ɛ. είξαµε λοιπόν ότι για κάθε x H η ακολουθία µιγαδικών αριθµών ( z n, x ) n είναι ϐασική, άρα συγκλίνει. Σύµφωνα µε την Παρατήρηση ii, έπεται ότι η (z n ) είναι ασθενώς συγκλίνουσα. (ϐ) Γενική περίπτωση. Ονοµάζουµε H o την κλειστή γραµµική ϑήκη των {y n }, που είναι ένας διαχωρίσιµος χώρος Hilbert (γιατί ;). Από το (α) προκύπτει ότι η {y n } έχει µια υπακολουθία {z n } που συγκλίνει ασθενώς ως ακολουθία του H o, δηλαδή υπάρχει z H o ώστε z n, y o z, y o για κάθε y o H o. Αν y H, γράφουµε y = y o + y b όπου y o H o και y b Ho. Τότε z n z, y = z n z, y o άρα z n, y z, y. Συνεπώς η {z n } είναι ασθενώς συγκλίνουσα ως ακολουθία του H. Πρόταση Εστω H χώρος Hilbert, F χώρος Banach και T : H F γραµµική απεικόνιση. Η T είναι συµπαγής αν και µόνον αν T x n 0 για κάθε ασθενώς µηδενική ακολουθία {x n } στον H. Απόδειξη Αν η T είναι συµπαγής, τότε απεικονίζει ασθενώς µηδενικές ακολουθίες σε. -µηδενικές (Πρόταση 3.2.5). Εστω, αντίστροφα, ότι η T απεικονίζει ασθενώς µηδενικές ακολουθίες σε. -µηδενικές. Αν {y n } είναι µια ϕραγµένη ακολουθία, πρέπει να δείξουµε ότι η {T y n } έχει µια. -συγκλίνουσα υπακολουθία (Θεώρηµα 3.2.3). Από το Λήµµα, υπάρχει µια υπακολουθία {z n } της {y n } που να συγκλίνει ασθενώς, έστω στο z. Από την υπόθεση, ϑα έχουµε T (z n z) 0, δηλαδή η ακολουθία (T (z n )) είναι. -συγκλίνουσα.

18 122 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Λήµµα Αν H χώρος Hilbert, F χώρος µε νόρµα και T B(H, F ), τότε ο T απεικονίζει την κλειστή µοναδιαία σφαίρα B H του H σε κλειστό υποσύνολο του F. Παρατήρηση. εν ισχυριζόµαστε ότι ο T απεικονίζει κλειστά υποσύνολα σε κλειστά υποσύνολα. Για παράδειγµα, ο τελεστής D a B(l 2 ) όπου a n = 1 n απεικονίζει τον l 2 σε ένα πυκνό υποσύνολο του (αφού e n T (l 2 ) για κάθε n N), δεν είναι όµως επί (Άσκηση 3.7), άρα το T (l 2 ) δεν είναι κλειστό. Απόδειξη Αν y T (B H ), υπάρχει ακολουθία {x n } στην B H ώστε T x n y 0. Η {x n } είναι ϕραγµένη, εποµένως από το Λήµµα έχει µια υπακολουθία {u n } που συγκλίνει ασθενώς, έστω στο x. Παρατηρούµε ότι x 1, γιατί x 2 = x, x = lim u n, x x αφού u n 1. Θα δείξουµε ότι T x = y. Πράγµατι, αν y F, η γραµµική µορφή y w T ανήκει στον δυικό του H, εποµένως (αφού u n x) έχουµε (y T )(u n ) (y T )(x), δηλαδή y (T u n T x) 0. Από την άλλη µεριά όµως y (T u n y) y. T u n y 0 αφού η {T u n } είναι υπακολουθία της {T x n }. Εποµένως y (y) = lim n y (T u n ) = y (T x) για κάθε y F, άρα (Θεώρηµα Hahn - Banach) y = T x T (B H ). Μπορούµε τώρα να συνοψίσουµε τους χαρακτηρισµούς της συµπάγειας ενός τελεστή σ έναν χώρο Hilbert ως εξής : Θεώρηµα Αν H είναι χώρος Hilbert και T : H H γραµµική απεικόνιση, τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (i) Ο T είναι συµπαγής τελεστής. (ii) Για κάθε ϕραγµένο υποσύνολο A H, το T (A) είναι σχετικά συµπαγές. (iii) Για κάθε ϕραγµένη ακολουθία {x n } του H, η ακολουθία {T x n } έχει. -συγκλίνουσα υπακολουθία.

19 3.2. ΟΡΙΣΜΟΙ ΚΑΙ ΠΡΩΤΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ 123 (iv) Το σύνολο T (B H ) είναι ολικά ϕραγµένο. (v) Το σύνολο T (B H ) είναι συµπαγές. (vi) Αν x n w 0, τότε T xn 0. Απόδειξη (i) (ii) (iii) (iv) : Θεώρηµα (i) (v): Από τον ορισµό και το Λήµµα (v) (i): προφανές. (i) (vi): Πρόταση Ο επόµενος χαρακτηρισµός εφαρµόζεται πολλές ϕορές στην πράξη, και επιπλέον η απόδειξή του δεν χρησιµοποιεί την έννοια της ασθενούς σύγκλισης : Θεώρηµα Αν H είναι χώρος Hilbert και T B(H), τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα : (ι) Ο T είναι συµπαγής. (ιι) Για κάθε ορθοκανονική ακολουθία {x n } του H, ισχύει T x n, x n 0. (ιιι) Υπάρχει µια ακολουθία {F n } από ϕραγµένους τελεστές πεπερασµένης τάξης ώστε T F n 0. Απόδειξη (ι) (ιι) 8 Αν δεν ισχύει το (ιι), ϑα υπάρχει d > 0 και ορθοκανονική ακολουθία {x n } ώστε το σύνολο {n N : T x n, x n 2d} να είναι άπειρο. Περνώντας εν ανάγκη σε µια υπακολουθία, µπορώ να υποθέσω ότι T x n, x n 2d για κάθε n N. (3.3) Επειδή ο T είναι συµπαγής και η {x n } είναι ϕραγµένη, η {T x n } ϑα έχει µια υπακολουθία {T x nk } που συγκλίνει, έστω στο x H. Παραλείποντας πεπερασµένο πλήθος όρων της, µπορώ λοιπόν να υποθέσω ότι T x nk x < d για κάθε k N. Τότε T x nk, x nk x, x nk = T x nk x, x nk T x nk x < d, 8 Αν κανείς χρησιµοποιήσει την έννοια της ασθενούς σύγκλισης, το (ι) (ιι) έπεται και από την Πρόταση 3.2.5, γιατί µια ορθοκανονική ακολουθία είναι ασθενώς µηδενική, όπως προκύπτει από την ανισότητα Bessel,

20 124 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ άρα, χρησιµοποιώντας και την σχέση (3.3), έχουµε x, x nk d για κάθε k N. Αλλά η {x nk } είναι ορθοκανονική, εποµένως από την ανισότητα Bessel (1.2.7) έχουµε άτοπο. ώστε x, x nk 2 x 2 k (ιι) (ιιι) Εστω n N. Θα κατασκευάσουµε έναν τελεστή F n F(H) T F n 1 n. Θεωρούµε την οικογένεια A που έχει ως στοιχεία το κενό σύνολο και όλες τις ορθοκανονικές οικογένειες A H για τις οποίες ισχύει T a, a 1 για κάθε a A. 4n Από την υπόθεση, κάθε A A είναι πεπερασµένο σύνολο. Η οικογένεια A είναι µερικά διατεταγµένη από την σχέση του περιέχεσθαι. Ισχυρίζοµαι ότι η A έχει ένα µεγιστικό στοιχείο, δηλαδή ότι υπάρχει ένα στοιχείο της A που κανένα άλλο στοιχείο της A δεν το περιέχει γνήσια. Πράγµατι, αν όχι, τότε ϑα υπήρχε µια γνήσια αύξουσα άπειρη ακολουθία A 1 A 2... στοιχείων της A. Αν A o = k A k, η A o είναι ορθοκανονική οικογένεια και ικανοποιεί T a, a 1 4n για κάθε a A o, συνεπώς A A. Άρα το A o είναι πεπερασµένο σύνολο, εποµένως η ακολουθία A 1 A 2... δεν είναι άπειρη. Εστω B ένα µεγιστικό στοιχείο της A και M H ο υπόχωρος του H που παράγεται από την ορθοκανονική οικογένεια B. Ο M είναι πεπερασµένης διάστασης, αφού η B είναι πεπερασµένη. Παρατηρώ ότι, αν x M και x = 1, τότε T x, x < 1 4n, γιατί διαφορετικά ϑα είχαµε B {x} A, ενώ η B είναι µεγιστικό στοιχείο της A. Αν τώρα u, v M και u 1, v 1, ισχυρίζοµαι ότι T u, v 1 n. Πράγµατι, έχουµε u ± v 2, u ± iv 2, εποµένως T u, v = = T u + v 2 T u + v 2 < 4 1 4n = 1 n., u + v 2, u + v 2 T u v 2 + T u v 2, u v 2, u v 2 + i T u + iv 2 + T u + iv 2, u + iv 2, u + iv 2 i T u iv 2 + T u iv 2, u iv 2, u iv 2

21 3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 125 Εστω x, y H µε x 1, y 1. Αν P είναι η προβολή στον υπόχωρο M, τότε u = (I P )x M και v = (I P )y M. Αντικαθιστώντας στην προηγούµενη ανισότητα, ϐρίσκουµε λοιπόν (I P )T (I P )x, y = T (I P )x, (I P )y < 1 n για κάθε x, y B H. Εποµένως, παίρνοντας supremum ως προς x και y στην B H, (I P )T (I P ) 1 n. Επειδή dim(im P ) = dim M < +, ο P είναι (ϕραγµένος) τελεστής πεπερασµένης τάξης. Το ίδιο λοιπόν ισχύει και για τους P T, T P, P T P, άρα και για τον P T + T P P T P. Θέτοντας λοιπόν F n = P T + T P P T P, έχω T F n = (I P )T (I P ) 1 n. (ιιι) (ι) Θα δείξουµε σε λίγο ότι το όριο, στην τοπολογία της νόρµας του B(H), µιας ακολουθίας συµπαγών τελεστών είναι συµπαγής τελεστής (Πρόταση 3.3.3). Αν λοιπόν η F n είναι ακολουθία (ϕραγµένων) τελεστών πεπερασµένης τάξης και T F n 0 τότε, επειδή κάθε F n είναι, ϕυσικά, συµπαγής, ο T ϑα είναι και αυτός συµπαγής. Η απόδειξη είναι πλήρης. Το επόµενο άµεσο Πόρισµα του Θεωρήµατος χρησιµοποιείται πολύ συχνά στις εφαρµογές : Πόρισµα Εστω H χώρος Hilbert και A B(H). Ο A είναι συµπαγής αν και µόνον αν για κάθε ɛ > 0 υπάρχει B F(H) και C B(H) ώστε C < ɛ και A = B + C. Λέµε ότι «ο A είναι µικρή διαταραχή ενός τελεστή πεπερασµένης τάξης». 3.3 Ο χώρος των συµπαγών τελεστών Αν E, F είναι χώροι Banach, ονοµάζουµε K(E, F ) το σύνολο των συµπαγών τελεστών T : E F. Ειδικότερα, γράφουµε K(E) = K(E, E). Στην

22 126 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ παράγραφο αυτή ϑα µελετήσουµε αλγεβρικές και τοπολογικές ιδιότητες του K(E, F ). Εχουµε ήδη δείξει ότι F(E, F ) K(E, F ) B(E, F ). Λήµµα Αν E, F είναι χώροι Banach, T, S K(E, F ) και λ C, τότε T + λs K(E, F ). Απόδειξη Αν {x n } είναι ϕραγµένη ακολουθία στον E, ϑα δείξω ότι η {(T + λs)(x n )} έχει συγκλίνουσα υπακολουθία. Επειδή ο T είναι συµπαγής, η {T x n } έχει µια υπακολουθία {T y n } που συγκλίνει. Επειδή η {y n } είναι ϕραγµένη και ο S είναι συµπαγής, η {Sy n } έχει υπακολουθία {Sz n } που συγκλίνει. Επίσης η {T z n } είναι υπακολουθία της {T y n }, άρα συγκλίνει. Συνεπώς η ακολουθία {(T + λs)(z n )} = {T z n + λsz n } συγκλίνει. Λήµµα Αν E, F, G είναι χώροι Banach, T K(E, F ) και S B(F, G) ST K(E, G), και A B(E, F ) και B K(F, G) BA K(E, G). Απόδειξη Είναι άµεση εφαρµογή των ορισµών : Αν X E είναι ϕραγµένο σύνολο, επειδή ο T είναι συµπαγής το σύνολο T (X) είναι σχετικά συµπαγές υποσύνολο του F. Επειδή ο S είναι συνεχής, το σύνολο S(T (X)) είναι σχετικά συµπαγές υποσύνολο του G. Άρα ο τελεστής ST είναι συµπαγής. Επειδή ο Α είναι ϕραγµένος, το σύνολο A(X) είναι ϕραγµένο υποσύνολο του F, συνεπώς, επειδή ο Β είναι συµπαγής, το σύνολο B(A(X))) είναι σχετικά συµπαγές υποσύνολο του G. Άρα ο τελεστής BA είναι συµπαγής. Πρόταση Αν E, F είναι χώροι Banach, ο K(E, F ) είναι κλειστός υπόχωρος του χώρου Banach B(E, F ), άρα χώρος Banach. Απόδειξη Εστω T n K(E, F ) και T B(E, F ) ώστε T n T 0. Θα δείξουµε ότι ο T είναι συµπαγής. Εστω ɛ > 0. Επιλέγουµε k N ώστε T k T < ɛ/3.

23 3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 127 Επειδή ο T k είναι συµπαγής, το T k (B E ) είναι ολικά ϕραγµένο, εποµένως καλύπτεται από πεπερασµένο πλήθος ανοικτών σφαιρών µε ακτίνα ɛ/3. ηλαδή υπάρχουν x 1,..., x n B E ώστε για κάθε x B E να υπάρχει i, 1 i n µε T k x S(T k x i, ɛ/3). Τότε όµως T x T x i T x T k x + T k x T k x i + T k x i T x i T T k. x + T k x T k x i + T T k. x i < ɛ x 3 + ɛ 3 + ɛ x i 3 ɛ άρα T x S(T x i, ɛ). είξαµε ότι το T (B E ) καλύπτεται από τις ανοικτές σφαί- ϱες S(T x i, ɛ), i = 1,..., n, άρα, επειδή το ɛ είναι αυθαίρετο, δείξαµε ότι το T (B E ) είναι ολικά ϕραγµένο, εποµένως ο T είναι συµπαγής. Λήµµα Η µοναδιαία σφαίρα B E = {x E : x 1} ενός χώρου µε νόρµα E είναι -συµπαγής αν και µόνον αν ο E έχει πεπερασµένη διάσταση. Απόδειξη Αν dim E = n <, ο E είναι (τοπολογικά) ισόµορφος µε τον (C n, 2 ). Εποµένως η B E είναι οµοιοµορφική µε ένα (κλειστό και ϕραγµένο, άρα) συµπαγές υποσύνολο του C n, και συνεπώς είναι συµπαγής. Αν ο E είναι απειροδιάστατος, ϑα δείξουµε ότι υπάρχει µια ακολουθία {x n } στην B E ώστε x n x m 1 για κάθε m n, οπότε η {x n } δεν µπορεί να έχει -συγκλίνουσα υπακολουθία, εποµένως η B E δεν είναι συµπαγής. Στην περίπτωση που ο E είναι χώρος Hilbert, οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {x n } έχει την απαιτούµενη ιδιότητα : αν m n, τότε x n x m, εποµένως, από το Πυθαγόρειο ϑεώρηµα, έχουµε x n x m 2 = x n 2 + x m 2 = 2. Για την γενική περίπτωση, ϑα χρειασθεί ο Ισχυρισµός : Αν F E είναι πεπερασµένης διάστασης υπόχωρος του Ε, υπάρχει x E µε x =1 και d(x, F )=1 (όπου d(x, F )=inf{ x y : y F }). Απόδειξη Ισχυρισµού : Ο F είναι γνήσιος, κλειστός υπόχωρος του E, αφού έχει πεπερασµένη διάσταση. Εστω z / F, και d = d(z, F ) (οπότε d > 0). Για κάθε n N, υπάρχει y n F ώστε z y n < d + n 1. Η ακολουθία {y n } είναι ϕραγµένη, άρα, επειδή dim F <, έχει ένα σηµείο συσσώρευσης, έστω

24 128 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ y o F, οπότε z y o = d. Θέτοντας x = d 1 (z y o ), έχουµε x = 1 και d(x, F ) = 1, γιατί για κάθε y F, x y = d 1 (z y o ) y = d 1 z (y o + dy) d 1 d 1 d = 1 εφόσον (y o +dy) F, συνεπώς d(x, F ) 1, και επίσης d(x, F ) x 0 = 1, άρα ισχύει ισότητα. Κατασκευάζουµε τώρα την {x n } επαγωγικά ως εξής : Θεωρούµε ένα αυ- ϑαίρετο x 1 E µε x 1 = 1 και, αν F 1 = [x 1 ], από τον Ισχυρισµό ϐρίσκουµε x 2 E µε x 2 = 1 και d(x 2, F 1 ) = 1. Αν τα x 1,..., x n έχουν κατασκευασθεί, ϑέτουµε F n = [x 1,..., x n ] και, πάλι από τον Ισχυρισµό, ϐρίσκουµε x n+1 E µε x n+1 = 1 και d(x n+1, F n ) = 1. Συνεπώς αν n > m, τότε x m F n 1 άρα x n x m d(x n, F n 1 ) = 1. Πόρισµα Ενας ταυτοδύναµος τελεστής T σ έναν χώρο Banach E είναι συµπαγής αν και µόνον αν είναι πεπερασµένης τάξης. Ειδικότερα, αυτό ισχύει για µια προβολή σ έναν χώρο Hilbert. Πράγµατι, αν ο (κλειστός) υπόχωρος F = im T είναι απειροδιάστατος, η κλειστή µοναδιαία σφαίρα του F 1 δεν είναι συµπαγής, άρα το T (F 1 ) = F 1 δεν είναι συµπαγές. Πρόταση Αν ο E είναι χώρος Banach, το σύνολο K(E) των συµπαγών τελεστών E E είναι -κλειστό, (αµφίπλευρο) ιδεώδες της άλγεβρας Banach B(E). Είναι γνήσιο ιδεώδες αν και µόνον αν ο E είναι απειροδιάστατος. Ειδικότερα, είναι άλγεβρα Banach (χωρίς µονάδα, αν ο E είναι απειροδιάστατος). Απόδειξη Από το Λήµµα προκύπτει ότι ο K(E) είναι γραµµικός χώρος, και από το Λήµµα ότι αν T K(E) και S B(E) τότε T S, ST K(E), άρα το K(E) είναι (αµφίπλευρο) ιδεώδες της B(E). Η Πρόταση δείχνει ότι είναι. -κλειστό. Παρατηρώ ότι επειδή το K(E) είναι ιδεώδες της B(E), η ισότητα K(E) = B(E) ισχύει αν και µόνον αν ο ταυτοτικός τελεστής I ανήκει στο K(E), είναι

25 3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 129 δηλαδή συµπαγής. Αυτό όµως συµβαίνει αν και µόνον αν ο I είναι πεπερασµένης τάξης (Πόρισµα 3.3.5), δηλαδή dim E < +. Ειδικότερα αυτό δείχνει ότι αν ο E είναι απειροδιάστατος, η άλγεβρα Banach K(E) δεν έχει µονάδα. Γιατί, αν υπήρχε U K(E) ώστε UT = T U = T για κάθε T K(E), τότε, για κάθε x E και y E ϑα είχαµε U(x y ) = x y, αφού ο x y είναι συµπαγής. Άρα (Ux x) y = 0, εποµένως Ux = x για κάθε x E, δηλαδή U = I. είξαµε όµως προηγουµένως ότι ο I δεν είναι συµπαγής. Παρατηρήσεις (ι) Αν ο E είναι απειροδιάστατος χώρος Banach, ο K(E) δεν περιέχει κανέναν αντιστρέψιµο τελεστή (Άσκηση 3.13). Αυτό ό- µως δεν σηµαίνει ότι δεν υπάρχουν συµπαγείς τελεστές που είναι ένα προς ένα : Παραδείγµατος χάριν, ο τελεστής V του Volterra στον L 2 ([0, 1]) είναι συµπαγής και ένα προς ένα (Άσκηση 3.15). Το ίδιο ισχύει για τον διαγώνιο τελεστή D a, όταν η a {a n } είναι µηδενική ακολουθία µε a n 0 για κάθε n N (Άσκηση 3.14). Οι τελεστές αυτοί δεν είναι όµως επί (Άσκηση 3.13). (ιι) Από την Πρόταση προκύπτει ότι το -όριο µιας ακολουθίας τελεστών πεπερασµένης τάξης σ έναν χώρο Banach (αν υπάρχει) είναι συµπαγής τελεστής. Υπάρχουν άραγε άλλοι συµπαγείς τελεστές, ή µήπως κάθε συµπαγής τελεστής προσεγγίζεται, στην τοπολογία της νόρµας, από τελεστές πεπερασµένης τάξης ; Είδαµε (Θεώρηµα ) ότι το δεύτερο αληθεύει σε χώρους Hilbert. Το ίδιο ισχύει και για τους περισσότερους κλασσικούς χώρους Banach. Το ερώτηµα, αν αυτό ισχύει για κάθε χώρο Banach, ήταν ανοιχτό για πολλά χρόνια. Απαντήθηκε τελικά αρνητικά µόλις το 1973 από τον P. Enflo 9. Θα δείξουµε τώρα ότι, σε χώρους Hilbert, το ιδεώδες K(H) είναι αυτοσυζυγές, δηλαδή ότι ένας ϕραγµένος τελεστής T είναι συµπαγής αν και µόνον αν ο συζυγής του είναι συµπαγής. Η απλή απόδειξη που ακολουθεί χρησιµοποιεί, ίσως απροσδόκητα, τον τελεστή T T. 9 A counterexample to the approximation problem in Banach spaces, Acta Math., 130, 1973.

26 130 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Πρόταση Αν H είναι χώρος Hilbert και T B(H) τότε T K(H) T T K(H) T K(H). Απόδειξη Αν ο T είναι συµπαγής, τότε ο T T είναι συµπαγής (Λήµµα 3.3.2). Εστω, αντίστροφα, ότι ο T T είναι συµπαγής. Αν {x n } είναι µια ϕραγµένη ακολουθία, τότε η {T T x n } έχει µια συγκλίνουσα υπακολουθία {T T y n }. Αλλά T y n T y m 2 = T (y n y m ), T (y n y m ) = T T (y n y m ), y n y m T T (y n y m ) y n y m T T (y n y m ) ( y n + y m ) 2M T T y n T T y m όπου M = sup x n < +. Εποµένως η {T y n } είναι ϐασική, άρα συγκλίνει. Συνεπώς ο T είναι συµπαγής. Αν ο T είναι συµπαγής, τότε ο T T είναι συµπαγής επειδή ο T είναι ϕραγµένος. Οπως µόλις δείξαµε, έπεται ότι ο T είναι συµπαγής. Αν αντίστροφα ο T είναι συµπαγής, τότε, ϑέτοντας S = T, έχουµε ότι ο S = T = T είναι συµπαγής. Εποµένως, όπως µόλις δείξαµε, ο S = T είναι συµπαγής! Πόρισµα Εστω H χώρος Hilbert και A B(H). Αν ο A είναι συµπαγής, τότε οι υπόχωροι im A και (ker A) είναι διαχωρίσιµοι. Απόδειξη Υπάρχει ακολουθία (F n ) από τελεστές πεπερασµένης τάξης ώστε A F n 0. Εφόσον για κάθε x H έχουµε Ax = lim n F n x, έπεται ότι ο χώρος im A περιέχεται στον κλειστό υπόχωρο που παράγεται από τους im F n, που καθένας είναι πεπερασµένης διάστασης. Συνεπώς ο im A είναι διαχωρίσιµος, άρα το ίδιο ισχύει και για τον im A. Εφόσον ο A είναι συµπαγής, ο im A είναι διαχωρίσιµος. Αλλά (ker A) = im A (Άσκηση 2.28). Παραδείγµατα (ι) Ενας διαγώνιος τελεστής D a (a l ) στον l 2 είναι συµπαγής αν και µόνον αν a = (a(n)) c 0. Πράγµατι, ο D a καθορίζεται από

27 3.3. Ο ΧΩΡΟΣ ΤΩΝ ΣΥΜΠΑΓΩΝ ΤΕΛΕΣΤΩΝ 131 τις σχέσεις D a e n = a(n)e n (n N) όπου {e n } η συνηθισµένη ορθοκανονική ϐάση του l 2. Αν ο D a είναι συµπαγής, ϑα πρέπει από το Θεώρηµα να ισχύει a(n) = D a e n, e n 0 όταν n, εποµένως ϑα πρέπει η a να είναι µηδενική ακολουθία. Αντίστροφα, αν a c 0 και ονοµάσω T n τον τελεστή D an όπου a n = (a(1), a(2),..., a(n), 0, 0,...), παρατηρούµε ότι κάθε T n είναι πεπερασµένης τάξης και ότι D a T n = a a n = sup{ a(k) : k > n} k εποµένως D a T n 0 όταν n, άρα ο D a είναι συµπαγής ως όριο τελεστών πεπερασµένης τάξης (Πρόταση 3.3.3). (ιι) Παρατηρούµε ότι οι τελεστές T n του προηγούµενου Παραδείγµατος µπορούν να γραφούν Εποµένως T n = a(k)e k e k. k=1 D a = - lim n T n = a(k)e k e k. Γενικότερα, αν {x n }, {y n } είναι δυο ορθοκανονικές ακολουθίες σ έναν χώρο k=1 Hilbert H και {a(n)} είναι µια µηδενική ακολουθία, οι τελεστές A n = a(k)x k yk k=1 είναι πεπερασµένης τάξης και, αν m > n, A m A n = max{ a(k) : n < k m} (Άσκηση 3.3) εποµένως η {A n } είναι ϐασική ακολουθία στον χώρο Banach K(H), άρα συγκλίνει στον συµπαγή τελεστή A = a(k)x k yk. k=1 (Ισοδύναµα, ϑα µπορούσαµε να ορίσουµε τον A από τις σχέσεις Ay n = a(n)x n στον υπόχωρο M [y n : n N] και A M = 0 και να αποδείξουµε (όπως στο (ι)) ότι A A n 0.) Θα αποδείξουµε αργότερα ότι κάθε συµπαγής τελεστής σ έναν χώρο Hilbert µπορεί να γραφεί σ αυτήν την µορφή.

28 132 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ 3.4 Τελεστές Hilbert-Schmidt Μια ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κλάση συµπαγών τελεστών σε χώρους Hilbert προκύπτει από την ακόλουθη Πρόταση. Πρόταση Ας υποθέσουµε ότι ένας τελεστής A B(H) έχει την ιδιότητα να υπάρχει µια ορθοκανονική ϐάση {e i } στον H τέτοια ώστε 10 Ae i 2 < +. i I Τότε ο A είναι συµπαγής. Απόδειξη Θα κατασκευάσουµε µια ακολουθία {A k } F(H) ώστε A k A 0. Εφόσον i Ae i 2 < +, το σύνολο J {e i I : Ae i 0} είναι αριθµήσιµο έστω {e n : n N} µια αρίθµηση του. Κάθε x H γράφεται x = n λ ne n + x o όπου λ n = x, e n και x o e n για κάθε n N, άρα Ax o = 0. Για κάθε k N, ονοµάζουµε P k την προβολή στον [e 1,..., e k ] και ϑέτουµε A k = AP k. Αφού ο A είναι ϕραγµένος, είναι ϕανερό ότι A k F(H). Για κάθε x = n λ ne n + x o H, έχουµε (I P k )x = λ n e n + x o άρα, αφού Ax o = 0, (A A k )(x) = A(I P k )(x) = A (διότι ο A είναι συνεχής) εποµένως n=k+1 ( ) λ n e n = λ n A(e n ) n=k+1 n=k+1 [ ] 1/2 [ ] 1/2 (A A k )x λ n. Ae n λ n 2. Ae n 2 n=k+1 n=k+1 n=k+1 10 Θυµίζουµε ότι το άθροισµα της σειράς είναι το supremum των µερικών αθροισµάτων.

29 3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT 133 (από την κλασσική ανισότητα Cauchy-Schwarz), άρα [ (A A k )x x. n=k+1 Ae n 2 ] 1/2. Εποµένως [ A A k n=k+1 ] 1/2 Ae n 2. Η υπόθεση όµως λέει ότι το δεξιά µέλος της ανισότητας τείνει στο µηδέν όταν k, άρα A A k 0 όταν k 0. Ορισµός Ενας ϕραγµένος τελεστής A σ έναν χώρο Hilbert H λέγεται τελεστής Hilbert-Schmidt αν υπάρχει µια ορθοκανονική ϐάση {e i : i I} του H ώστε Ae i 2 < +. i Παρατηρήσεις (ι) Το κριτήριο Hilbert- Schmidt είναι πολύ ευκολότε- ϱο να ελεγχθεί στην πράξη από τα γενικά κριτήρια συµπάγειας, γιατί αναφέ- ϱεται σε µια ορθοκανονική ϐάση. (ιι) Εφόσον κάθε τελεστής Hilbert- Schmidt A είναι συµπαγής, οι χώροι im A και (ker A) είναι διαχωρίσιµοι (Πόρισµα 3.3.9). Εποµένως, περιορι- Ϲόµενοι εν ανάγκη στον κλειστό υπόχωρο που παράγουν, µπορούµε να υπο- ϑέσουµε ότι ο A δρα σε διαχωρίσιµο χώρο. Θα περιορισθούµε λοιπόν στα επόµενα σε διαχωρίσιµους χώρους Hilbert. (ιιι) εν είναι όλοι οι συµπαγείς τελεστές Hilbert- Schmidt: για παράδειγ- µα, ο τελεστής D a στον l 2 όπου a n = 1/ n για κάθε n N είναι συµπαγής, αφού a c o, αλλά δεν ικανοποιεί το κριτήριο Hilbert- Schmidt ως προς την συνήθη ϐάση {e n } του l 2, γιατί D a e n 2 = 1/n = +. Μήπως όµως το ικανοποιεί ως προς κάποια άλλη ϐάση ; Αυτό δεν µπορεί να συµβεί :

30 134 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Πρόταση Αν A B(H), ο αριθµός [ ] 1/2 A h Ae n 2 [0, + ] όπου {e n } ορθοκανονική ϐάση του H, δεν εξαρτάται από την {e n }. Επίσης, A h = A h A. Απόδειξη Αν {e n }, {f n } είναι δυο ορθοκανονικές ϐάσεις του H, ϑα δείξουµε ότι A f m 2 = Ae n 2 = A e n 2 = Af m 2. m=1 m=1 Για κάθε n N, το Ae n H γράφεται συναρτήσει της ϐάσης {f n }: Ae n = Ae n, f m f m άρα Ae n 2 = Ae n, f m 2 m=1 m=1 (ταυτότητα Parseval, Θεώρηµα 1.7.4). Εποµένως, για κάθε k N, k Ae n 2 = = k k Ae n, f m 2 = Ae n, f m 2 m=1 m=1 m=1 k e n, A f m 2. (3.4) Επειδή όµως η {e n } είναι ορθοκανονική ακολουθία, από την ανισότητα Bessel έχουµε άρα, από την (3.4), k e n, A f m 2 A f m 2 k Ae n 2 A f m 2 m=1 συνεπώς, αφού η ανισότητα αυτή ισχύει για κάθε k N, Ae n 2 A f m 2 m=1

31 3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT 135 Επαναλαµβάνοντας τα ίδια επιχειρήµατα µε την {e n } στην ϑέση της {f m } και τον A στην ϑέση του A, καταλήγουµε στην ανισότητα A f m 2 A e n 2 = Ae n 2 m=1 εποµένως A f m 2 = Ae n 2. (3.5) m=1 Εφαρµόζοντας την ισότητα αυτή για {f n } = {e n }, έχουµε A e n 2 = Ae n 2. (3.6) Από τις (3.5) και (3.6) έχουµε A f m 2 = Ae n 2 = A e n 2 = Af m 2. m=1 m=1 Ετσι δείξαµε τους δυο πρώτους ισχυρισµούς ταυτοχρόνως. Τέλος, για κάθε x = n λ ne n H µε x = 1, έχουµε Ax = λ n Ae n λ n Ae n λ n 2 n n n n Ae n 2 = A h άρα A A h. Παρατήρηση Αν ονοµάσουµε C 2 (H) το σύνολο των τελεστών Hilbert- Schmidt σ έναν διαχωρίσιµο χώρο Hilbert H, παρατηρούµε ότι, εξαιτίας της Πρότασης 3.4.3, αν επιλέξουµε οποιαδήποτε ορθοκανονική ϐάση {e n } του H, έχουµε ( ) 1/2 C 2 (H) = A B(H) : A h = Ae n 2 < +. εν είναι τώρα δύσκολο να διαπιστώσει κανείς ότι, αν A, B C 2 (H) και λ C, τότε A+λB h A h + λ B h, εποµένως το C 2 (H) είναι γραµµικός χώρος

32 136 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ και η h είναι νόρµα στον C 2 (H) (γιατί αν A h = 0, τότε A = 0 από την Πρόταση 3.4.3). Εξάλλου, αν A, B C 2 (H), έχουµε ( ) 1/2 ( ) 1/2 Ae n, Be n Ae n. Be n Ae n 2 Be n 2 εποµένως η παράσταση A, B h Ae n, Be n είναι καλά ορισµένη. Είναι τώρα εύκολο να δείξει κανείς ότι το, h είναι εσωτερικό γινόµενο στον χώρο C 2 (H), και ϕυσικά A, A h = A 2 h. Εποµένως ο αριθµός A, B h δεν εξαρτάται από την ορθοκανονική ϐάση {e n }. Το αξιοσηµείωτο είναι ότι ο χώρος (C 2 (H),. h ) είναι πλήρης, άρα χώρος Hilbert. Η απόδειξη είναι ανάλογη µε εκείνη της πληρότητας του l 2 : Εστω {A n } µια ακολουθία στον C 2 (H) που είναι ϐασική ως προς την νόρµα h. Η ανισότητα A A h (Πρόταση 3.4.3) δείχνει ότι η {A n } είναι ϐασική ως προς την νόρµα του B(H). Επειδή ο B(H) είναι πλήρης, υπάρχει A B(H) ώστε A A n 0 (µάλιστα ο A είναι συµπαγής). Αν δοθεί ɛ > 0, υπάρχει k N ώστε m, n k A n A m h ɛ. Αν λοιπόν {e i } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του H, για κάθε N N έχουµε N (A n A m )e i 2 A n A m 2 h άρα m, n k N (A n A m )e i 2 ɛ 2. (3.7) Επειδή A A n 0, ισχύει lim n (A A n )e i = 0 για κάθε i N. Εποµένως, παίρνοντας όριο ως προς n στην (3.7) έχουµε N m k (A A m )e i 2 ɛ 2.

33 3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT 137 Επειδή η σχέση αυτή ισχύει για κάθε N N, έπεται ότι m k (A A m )e i 2 ɛ 2 πράγµα που δείχνει ότι ο τελεστής A A m είναι Hilbert-Schmidt για κάθε m k, οπότε A = (A A m ) + A m C 2 (H) και m k A A m h ɛ εποµένως A A m h 0. Παρατήρηση Αν A C 2 (H) και x, y H, A, x y h = Ay, x. Απόδειξη Επειδή ο ισχυρισµός αληθεύει τετριµένα όταν y = 0, πολλαπλασιά- Ϲοντας µε µια σταθερά µπορούµε να υποθέσουµε ότι y = 1, οπότε το {y} είναι ορθοκανονικό σύνολο, επεκτείνεται λοιπόν σε ορθοκανονική ϐάση {e n } του H µε πρώτο στοιχείο e 1 = y. Τότε A, x y h = Ae n, (x y )e n = Ae n, e n, y x = Ae 1, x = Ay, x. Πρόταση Αν H είναι διαχωρίσιµος χώρος Hilbert, το σύνολο C 2 (H) των τελεστών Hilbert-Schmidt του H είναι (διαχωρίσιµος) χώρος Hilbert ως προς την νόρµα h. Επιπλέον, αν {e n } είναι µια ορθοκανονική ϐάση του H, τότε οι τελεστές πρώτης τάξης e n e m, n, m N, αποτελούν ορθοκανονική ϐάση του C 2 (H). Κατά συνέπεια, το σύνολο F(H) των τελεστών πεπερασµένης τάξης είναι πυκνό στον C 2 (H) ως προς την νόρµα. h. Απόδειξη Το µόνο που δεν έχει αποδειχθεί είναι η τελευταία παράγραφος. Ισχυρίζοµαι πρώτα ότι το σύνολο {e n e m : n, m N 2 } είναι ορθοκανονικό. Πράγµατι, αν A = e i e j και B = e k e l, τότε ϐέβαια A, B C 2(H) και (από την Παρατήρηση 3.4.5) A, B h = A, e k e l h = Ae l, e k = (e i e j)e l, e k = e l, e j e i, e k = δ ik δ jl,

34 138 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3. ΣΥΜΠΑΓΕΙΣ ΤΕΛΕΣΤΕΣ δηλαδή A, B h = 0 όταν A B και A, A h = 1. Αν όµως ένας K C 2 (H) είναι κάθετος σ αυτό το σύνολο, τότε 0 = K, e i e k h = Ke k, e i για κάθε i, k N. Επειδή η γραµµική ϑήκη της {e n } είναι πυκνή στον H και K B(H), έπεται ότι Kx, y = 0 για κάθε x, y H, άρα K = 0. Συνεπώς ο γραµµικός χώρος F που παράγει το σύνολο {e i e k : (i, k) N 2 } είναι πυκνός στον C 2 (H). Συµπεραίνουµε ότι η {e i e k : (i, k) N2 } είναι ορθοκανονική ϐάση του C 2 (H), αλλά και ότι οι τελεστές πεπερασµένης τάξης είναι πυκνοί στον C 2 (H), γιατί ο υπόχωρος F αποτελείται από τελεστές πεπερασµένης τάξης. Η απόδειξη της Πρότασης είναι πλήρης. Σηµείωση Ο υπόχωρος F = [e i e k : (i, k) N2 ] του C 2 (H) που χρησιµοποιήσαµε στην τελευταία απόδειξη εξαρτάται από την επιλογή της ϐάσης {e n }. Μάλιστα τα στοιχεία του F είναι ειδικής µορφής : για κάθε A F υπάρχουν n, m N ώστε ο A να απεικονίζει τον H στον [e 1,..., e n ] και επιπλέον να µηδενίζεται στον [e 1,..., e m ]. Ας σταθεροποιήσουµε µια ορθοκανονική ϐάση {e n } του H. Κάθε ϕραγ- µένος τελεστής A : H H αντιστοιχεί σ έναν «πίνακα» µιγαδικών αριθµών (a nm ) µέσω της σχέσης Ae m, e n = a nm. εν είναι αλήθεια όµως ότι κάθε «πίνακας» ορίζει έναν ϕραγµένο τελεστή. Παραδείγµατος χάριν, δεν υπάρχει τελεστής A : H H ώστε Ae m, e n = 1 για κάθε n, m N (Άσκηση 3.16). Η επόµενη πρόταση δίνει µια ικανή (καθόλου όµως αναγκαία) συνθήκη ώστε ένας «πίνακας» να ορίζει έναν ϕραγµένο τελεστή. Πρόταση Εστω {e n } µια ορθοκανονική ϐάση του χώρου Hilbert H. Αν A C 2 (H) και a nm = Ae m, e n, τότε a nm 2 = A 2 h <. m=1 Αντίστροφα, αν ένας «πίνακας» (a nm ) µιγαδικών αριθµών ικανοποιεί a nm 2 < ( ) m=1

35 3.4. ΤΕΛΕΣΤΕΣ HILBERT-SCHMIDT 139 τότε υπάρχει µοναδικός A C 2 (H) ώστε Ae m, e n =a nm για κάθε (n, m) N 2. Απόδειξη Ο χώρος των «πινάκων» (a nm ) µιγαδικών αριθµών που ικανοποιούν τη σχέση n,m a nm 2 (a nm ) 2 2 < ( ) δεν είναι άλλος από τον (διαχωρίσιµο) χώρο Hilbert l 2 (N 2 ). Το άπειρο άθροισµα στην ( ) είναι ϐεβαίως το supremum των πεπερασµένων αθροισµάτων. Εφόσον η {e n e m : (n, m) N 2 } είναι ορθοκανονική ϐάση του χώρου Hilbert C 2 (H), για κάθε A C 2 (H) η οικογένεια Ã { A, e n e m h : (n, m) N 2 } ανήκει στον l 2 (N 2 ) και µάλιστα η απεικόνιση A Ã είναι γραµµική ισοµετρία του χώρου C 2 (H) επί του l 2 (N 2 ) (Θεώρηµα 1.8.1) µε αντίστροφη την (a nm ) a nm e n e m. n,m Αλλά, από την Παρατήρηση 3.4.5, αν A C 2 (H) τότε A, e n e m h = Ae m, e n. Εποµένως η Πρόταση είναι στην ουσία άµεση συνέπεια του Θεωρήµατος Σηµείωση (i) εν είναι δύσκολο να δείξει κανείς απευθείας ότι, αν ισχύει η ( ), η ακολουθία (A N ) των τελεστών πεπερασµένης τάξης N N A N = a nm e n e m m=1 είναι ϐασική, άρα συγκλίνει ως προς την νόρµα. h. (ii) είξαµε ότι η ανισότητα a nm 2 < + m=1