Σχόλιο. Παρατηρήσεις. Παρατηρήσεις. p q p. , p1 p2
|
|
- Κυρία Ρέντης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 A. ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Στα Μαθηµατικά χρησιµοποιούµε προτάσεις οι οποίες µπορούν να χαρακτηριστούν ως αληθείς (α) ή ψευδείς (ψ). Τις προτάσεις συµβολίζουµε µε τα τελευταία µικρά γράµµατα του Λατινικού αλφαβήτου: p,, r, s,.. Κάθε πρόταση που χαρακτηρίζεται αληθής, λέµε ότι έχει τιµή αλήθειας α και κάθε πρόταση που χαρακτηρίζεται ψευδής, λέµε ότι έχει τιµή αλήθειας ψ. ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Οι λογικές πράξεις που χρησιµοποιούµε στα Μαθηµατικά είναι: I. Η ΑΡΝΗΣΗ Άρνηση µιας πρότασης p λέγεται η πρόταση «όχι p», συµβολίζεται p η οποία είναι: Αληθής όταν η p είναι ψευδής Ψευδής όταν η p είναι αληθής p α ψ p ψ α II. Η ΙΑΖΕΥΞΗ ιάζευξη (ή εγκλειστική διάζευξη) δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p ή», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν µία τουλάχιστον από τις προτάσεις p, είναι αληθής Ψευδής όταν η p και η είναι ψευδείς. III. Η ΣΥΖΕΥΞΗ Σύζευξη δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p και», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν και οι δύο προτάσεις p, είναι αληθείς Ψευδής σε άλλη περίπτωση. p p α α α α ψ α ψ α α ψ ψ ψ p p α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ ψ p p α α α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 1
2 IV. Η ΣΥΝΕΠΑΓΩΓΗ Συνεπαγωγή δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «αν p τότε», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Ψευδής όταν η p είναι αληθής και η είναι ψευδής Αληθής σε άλλη περίπτωση. α ψ ψ ψ α α ψ ψ α Σχόλιο Στη συνεπαγωγή p η πρόταση p λέγεται υπόθεση και η πρόταση λέγεται συµπέρασµα. Παρατηρήσεις 1. Αν η πρόταση p είναι αληθής και η συνεπαγωγή p είναι αληθής τότε είναι αληθής και η.. Αν η πρόταση p είναι αληθής και είναι αληθείς οι συνεπαγωγές p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν τότε και η συνεπαγωγή p είναι αληθής. 3. Αν η συνεπαγωγή p είναι αληθής και η πρόταση είναι ψευδής, τότε η πρόταση p είναι ψευδής. 4. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντίστροφη συνεπαγωγή της p. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντίθετη συνεπαγωγή της p. Η συνεπαγωγή p λέγεται αντιθετοαντίστροφη συνεπαγωγή της p. 5. Η συνεπαγωγή p εκφράζεται και ως εξής: «Η p είναι ικανή συνθήκη της» ή «Η είναι αναγκαία συνθήκη της p» ή «p πρέπει» ή «αρκεί p». V. Η ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ Ισοδυναµία δύο προτάσεων p, λέγεται η πρόταση «p αν και µόνο αν», συµβολίζεται p, η οποία είναι: Αληθής όταν οι προτάσεις p, είναι οµότιµες Ψευδής όταν οι προτάσεις p, είναι ετερότιµες. Παρατηρήσεις 1. Η ισοδυναµία p εκφράζεται και ως εξής: «Η p είναι ικανή και αναγκαία συνθήκη της» ή «p αν και µόνο αν» ή «p τότε και µόνο τότε» ή «p πρέπει και αρκεί» ή «η p είναι ισοδύναµη µε την» ή «η p συνεπάγεται την και αντίστροφα». p p α α α α ψ ψ ψ α ψ ψ ψ α ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ
3 . Αν οι ισοδυναµίες p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν είναι αληθείς, τότε και η ισοδυναµία p είναι αληθής. ΠΟΣΟ ΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ I. ΚΑΘΟΛΙΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Έστω p(x) ένας προτασιακός τύπος µε σύνολο αναφοράς Ω. Η πρόταση «Για κάθε x Ω ο προτασιακός τύπος p(x)είναι πρόταση αληθής» γράφεται συµβολικά : για κάθε x Ω, p(x) (1). Αν Α είναι το σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου p(x), είναι φανερό ότι η πρόταση (1) θα είναι αληθής όταν Α Ω και ψευδής όταν Α Ω. Παραδείγµατα Η πρόταση: x + 1> 0 για κάθε x R είναι αληθής. Η πρόταση: ν+ > 10για κάθε ν N είναι ψευδής. II. ΥΠΑΡΞΙΑΚΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ Έστω p(x) ένας προτασιακός τύπος µε σύνολο αναφοράς Ω. Η πρόταση «Υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Ω που επαληθεύει τον προτασιακό τύπο p(x)» γράφεται συµβολικά: υπάρχει x Ω ώστε p(x) (). Αν Α είναι το σύνολο αλήθειας του προτασιακού τύπου p(x), είναι φανερό ότι η πρόταση () θα είναι αληθής όταν Α και ψευδής όταν Α=. Παραδείγµατα Η πρόταση: Υπάρχει ν N, ν> α όπου α R είναι αληθής. Η πρόταση: Υπάρχει x R, x + 3= 0είναι ψευδής. Παρατηρήσεις 1. Η άρνηση της πρότασης «για κάθε x Ω, p(x)» είναι η πρόταση «υπάρχει x Ω, p(x)». Η άρνηση της πρότασης «υπάρχει x Ω, p(x)» είναι η πρόταση «για κάθε x Ω, p(x)». ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΠΡΟΤΑΣΕΩΝ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Σκοπός των Μαθηµατικών είναι να δηµιουργήσουν και να µελετήσουν αν είναι αληθείς ή όχι προτάσεις που είναι λογικές συνέπειες των αξιωµάτων ή άλλων γνωστών προτάσεων. Οι προτάσεις αυτές όπως αναφέραµε προηγούµενα λέγονται θεωρήµατα. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 3
4 (τυπική) σε µία Μαθηµατική θεωρία λέγεται κάθε πεπερασµένη διαδοχή προτάσεων της θεωρίας, τέτοια ώστε κάθε πρόταση είναι ένα αξίωµα ή προέρχεται από µία ή περισσότερες προηγούµενες προτάσεις µε εφαρµογή ενός κανόνα συµπεράσµατος της Λογικής. Μία πρόταση της θεωρίας λέγεται Θεώρηµα, όταν υπάρχει απόδειξη µε τελευταία πρόταση την. Η απόδειξη αυτή λέγεται απόδειξη του θεωρήµατος. Επειδή στα Μαθηµατικά η λογική θεωρείται γνωστή (εµπειρικά) στις αποδείξεις δεν τονίζονται οι νόµοι και οι κανόνες της λογικής και δεν αναφέρονται όλα τα βήµατα των τυπικών αποδείξεων. ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Οι προς απόδειξη προτάσεις στα Μαθηµατικά έχουν σχεδόν πάντοτε µορφή: «Αν p τότε» δηλαδή p. Η πρόταση p λέγεται «Υπόθεση» και η πρόταση λέγεται «Συµπέρασµα». Μερικές φορές η υπόθεση p δεν είναι φανερή αλλά συνάγεται από τα δεδοµένα. Για να αποδείξουµε µία πρόταση της µορφής p θεωρούµε µόνο την περίπτωση κατά την οποία η πρόταση p είναι αληθής, γιατί αν η p είναι ψευδής η συνεπαγωγή p είναι πάντοτε αληθής. Είναι φανερό ότι αν οι προτάσεις p και p είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Επίσης αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. I. ΕΥΘΕΙΑ ΑΠΟ ΕΙΞΗ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι: Αν η πρόταση p είναι αληθής και η συνεπαγωγή p είναι αληθής τότε και η είναι αληθής. Αν η πρόταση είναι αληθής p και είναι αληθείς οι συνεπαγωγές p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν τότε και η συνεπαγωγή p είναι αληθής. Ξεκινάµε λοιπόν από την πρόταση p (υπόθεση) που είναι αληθής και µε λογικά βήµατα (αληθείς συνεπαγωγές) που βασίζονται σε γνωστούς ορισµούς ή αξιώµατα ή θεωρήµατα, που έχουν αποδειχθεί, καταλήγουµε τελικά στην πρόταση (συµπέρασµα). Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι αν ν είναι περιττός ακέραιος, τότε και ο ν είναι περιττός. Γνωρίζουµε ότι ένας ακέραιος αριθµός ν είναι περιττός αν και µόνο αν έχει µορφή ν= κ+ 1µε κ Z. Εποµένως αν ν είναι περιττός αριθµός έχουµε: ν= κ+ 1, κ Z ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 4
5 ν = (κ+ 1) ν = 4κ + 4κ+ 1 ν = κ + κ + 1 ( ) ν = λ+ 1µε λ= κ + κ Z. Άρα ο ν είναι περιττός αριθµός. Η προηγούµενη διαδικασία µπορεί να γραφεί και ως εξής : ν= κ+ 1, κ Z ν = (κ+ 1) ν 4κ 4κ 1 ν = κ + κ + 1 ( ) ( ν λ 1, µε λ κ κ ) = + = + Z. = + + ( ). Να αποδειχθεί ότι η διχοτόµος που αντιστοιχεί στην βάση ισοσκελούς τριγώνου είναι διάµεσος και ύψος του τριγώνου. Α Έστω Α διχοτόµος ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, ΑΒ= ΑΓ. Τα τρίγωνα ΑΒ και ΑΓ είναι ίσα γιατί 1 ( ) έχουν: ΑΒ= ΑΓ, Α = Α και Α 1= Α. Εποµένως Β= Γ, άρα Α διάµεσος του τριγώνου 1= και επειδή 1+ = 180 έχουµε 1= = 90, άρα Α ύψος του τριγώνου. Β 1 Γ II. ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΜΕΘΟ ΟΣ ΑΠΟ ΕΙΞΗΣ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι : Αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Αν η ισοδυναµία r είναι αληθής και η πρόταση r είναι αληθής, τότε η πρόταση είναι αληθής. Αφού η πρόταση p είναι αληθής και η πρόταση είναι αληθής, θα είναι αληθής η συνεπαγωγή p. Αρκεί λοιπόν να αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής. Ξεκινάµε από την πρόταση ( συµπέρασµα) που θέλουµε να αποδείξουµε και µε ισοδυναµίες της µορφής: 1, 1,, ν 1, ν ν r καταλήγουµε σε µια πρόταση r πού είναι αληθής. Σχόλιο Για να είναι αληθής η πρόταση όταν είναι αληθής η πρόταση r είναι αρκετό να είναι αληθείς οι συνεπαγωγές 1, 1,, ν 1, ν ν r. Οι Συνεπαγωγές 1, 1,, ν 1, ν ν r χρησιµεύουν για να βρούµε την αληθή πρόταση r. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 5
6 Παράδειγµα 1. Να αποδειχθεί ότι: α + 1 α, α R. Για να αποδείξουµε ότι α + 1 α, αρκεί να δείξουµε ότι: α α+ 1 0ή (α 1) 0. Όµως ή τελευταία σχέση είναι αληθής οπότε είναι αληθής και η αρχική. Η προηγούµενη διαδικασία µπορεί να γραφεί και ως εξής : Έχουµε α + 1 α α α+ 1 0 (α 1) 0. Όµως ή τελευταία σχέση είναι αληθής οπότε είναι αληθής και η αρχική. 3. Αν α 1, να αποδειχθεί ότι: α + 1 α + α. 3 Αρκεί να αποδείξουµε ότι: α + 1 α + α 3 α + 1 α α 0 α (α 1) (α 1) 0 Η τελευταία σχέση είναι αληθής γιατί είναι αληθής και η 3 α + 1 α + α. III. ΑΠΟ ΕΙΞΗ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑΣ (α 1)(α 1) 0 (α 1)(α 1)(α+ 1) 0 (α 1) (α+ 1) 0 (α 1) 0και α+ 1 0 αφού α 1. Άρα Όταν θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση της µορφής «p αν και µόνο αν» δηλαδή η ισοδυναµία p είναι αληθής, έχουµε τους εξής τρόπους: Βάση του κανόνα της ισοδυναµίας αποδεικνύουµε ότι οι προτάσεις: p και p είναι αληθείς, δηλαδή ευθύ και αντίστροφο. Αποδεικνύουµε ότι οι ισοδυναµίες p p 1, p1 p,, p ν 1 p, ν pν είναι αληθείς. Παραδείγµατα 1.Να αποδειχθεί ότι κάθε σηµείο της διχοτόµου µιας γωνίας ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας και αντίστροφα. Ευθύ: Έστω Μ σηµείο της διχοτόµου Oz της γωνίας xoψ (p). Φέρνουµε τις ΜΑ, ΜΒ κάθετες στις Οx και Οψ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή υποτείνουσα ΟΜ και Ο 1= Ο. Άρα ΜΑ= ΜΒ δηλαδή το σηµείο Μ ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας (). ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 6 Ο 1 B A ψ M x z
7 Αντίστροφo: Έστω Μ σηµείο στο εσωτερικό µιας γωνίας xoψ το οποίο ισαπέχει από τις πλευρές της γωνίας () δηλαδή είναι ΜΑ= ΜΒ, όπου ΜΑ, ΜΒ κάθετες στις Οx και Οψ αντίστοιχα. Τα τρίγωνα ΟΑΜ και ΟΒΜ είναι ίσα γιατί είναι ορθογώνια και έχουν κοινή υποτείνουσα ΟΜ και ΜΑ= ΜΒ. Άρα Ο 1= Ο δηλαδή το σηµείο Μ σηµείο βρίσκεται στη διχοτόµο Oz της γωνίας xoψ (p).. Αν α, β, γ πραγµατικοί αριθµοί, να αποδειχθεί ότι: α = β α + γ = β + γ. Έχουµε α+ γ= β+ γ (α γ) ( γ) (β γ) ( γ) α+ 0= β+ 0 α= β. + + = + + α [ γ ( γ) ] β [ γ ( γ) ] + + = + + IV. ΜΕΘΟ ΟΣ ΤΗΣ ΑΠΑΓΩΓΗΣ ΣΕ ΑΤΟΠΟ Έστω ότι µία πρόταση p είναι αληθής και θέλουµε να αποδείξουµε ότι µια πρόταση p είναι αληθής. Γνωρίζουµε ότι : Αν οι προτάσεις p και είναι αληθείς τότε είναι αληθής και η πρόταση p. Αν η πρόταση p είναι αληθής και η πρόταση είναι ψευδής, τότε και η πρόταση p είναι ψευδής. Για να είναι λοιπόν αληθής η πρόταση p, αρκεί να αποδείξουµε ότι η πρόταση είναι αληθής ή ισοδύναµα ότι η πρόταση είναι ψευδής (νόµος της αποκλίσεως τρίτου). Θεωρούµε λοιπόν ότι η πρόταση είναι αληθής και αποδεικνύουµε µία πρόταση της µορφής w, όπου η πρόταση w είναι ψευδής, γεγονός το οποίο χαρακτηρίζουµε ως άτοπο. Το συµπέρασµα ότι η πρόταση w είναι ψευδής συνάγεται από την υπόθεση ή από άλλη πρόταση την οποία γνωρίζουµε. Κατόπιν αυτού συµπεραίνουµε ότι η πρόταση είναι ψευδής και άρα η πρόταση είναι αληθής. Παραδείγµατα 1. Να αποδειχθεί ότι αν Υποθέτουµε ότι + = τότε x= 0 και ψ= 0 x ψ 0 x + ψ = 0και x 0, τότε έχουµε x > 0και ψ 0 οπότε x + ψ > 0 που είναι άτοπο. Άρα x= 0. Όµοια αποδεικνύουµε ότι ψ= 0.. Να αποδειχθεί ότι αν ο ν είναι περιττός ακέραιος, τότε και ο ν είναι περιττός. Υποθέτουµε ότι ο ν είναι άρτιος, τότε: ν άρτιος ν= κ, κ Z ( ) ν = (κ) ν = 4κ ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 7
8 Άρα ον είναι περιττός. ( ) ν = κ ν = λ, λ= κ Z ν άρτιος, άτοπο. 3. Αν δύο ευθείες είναι παράλληλες σε µία τρίτη ευθεία τότε είναι και µεταξύ τους παράλληλες. η τέτοιες ώστε ζ ε και η ε. Έστω οι ευθείες ( ε ),( ζ ), ( ) Υποθέτουµε ότι οι ευθείες ( ζ) και ( η ) δεν είναι µεταξύ τους παράλληλες, οπότε ζ θα τέµνονται στο σηµείο Α. Τότε όµως από το σηµείο Α θα διέρχονται δύο ευθείες ε παράλληλες προς την ευθεία ε που είναι άτοπο, από το αξίωµα της παραλληλίας. η είναι µεταξύ τους παράλληλες. Άρα οι ευθείες ( ζ) και ( ) η Α 1. Να βρείτε τις τιµές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων: (i) 3< 5 (ii) ( < 3) ( + 1= 3) (iii) ( 5= 3) ( 7< 10) (iv) ( 7= 4+ 3) ( 7> 4) (v) ( 15= 8+ 6) ( 5> 0) (vi) ( 1< 8) ( 3> 0) (vii) ( + 1= 4) ( 3 = 8) (viii) ( = 4) ( 3 1= 8). ίνονται οι προτάσεις: p : «ο αριθµός διαιρεί τον αριθµό 6» και : «ο αριθµός 6 είναι άρτιος». (i) Να διατυπώσετε µε λόγια τις προτάσεις: p, p, p, p, p (ii) Να συµπληρώσετε τον πίνακα: ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Πρόταση p p p p p p Τιµή Αλήθειας 3. ίνονται οι προτάσεις: p : «το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο» και : «στο τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει α = β + γ». (i) Να διατυπώσετε µε λόγια τις προτάσεις: p,, p, p, p, p ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 8
9 (ii) Να συµπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα θεωρώντας ότι η πρόταση p είναι αληθής : Πρόταση p p p p p p Τιµή Αλήθειας 4. Να διατυπώσετε τις αρνήσεις των παρακάτω σύνθετων προτάσεων (i) x 0και ψ 0 (ii) x= ή ψ= 5 (iii) x = 9 και x 3 (iv) «για κάθε x R ισχύει x x+ = 0» (v) «υπάρχει x R ώστε 5. Να βρείτε τις τιµές αλήθειας των παρακάτω προτάσεων: (i) α β= 0 ( α= 0 και β= 0) (ii) α β= 0 ( α= 0 ή β= 0) (iii) α β 0 ( α 0 και β 0) (iv) α β 0 ( α 0 ή β 0) (v) α + β = 0 ( α= 0 ή β= 0) (vi) α + β 0 ( α= 0 και β= 0) x x» 6. Να διατυπώσετε τις αντίστροφες συνεπαγωγές των παρακάτω προτάσεων και να βρείτε αν είναι αληθείς ή ψευδείς. Επίσης να εξετάσετε αν είναι αληθείς ή ψευδείς οι συνεπαγωγές που δίνονται (i) Αν x = 100, τότε x 10 x R (ii) Αν 3 x = 8, τότε x (iii) Αν x ψ= 7, τότε x = ( ) = ( x R ) > ψ ( x,ψ R ) (iv) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ορθογώνιο µε ορθή γωνία την Α, τότε α = β + γ (v) Αν δύο τρίγωνα ΑΒΓ και ΕΖ έχουν ίσες βάσεις και ίσα ύψη, τότε έχουν ίσα εµβαδά 7. Να διατυπώσετε τις αντιθετοαντίστροφες συνεπαγωγές των παρακάτω προτάσεων και να βρείτε αν είναι αληθείς ή ψευδείς. (i) Αν 5x= 10, τότε x= (ii) Αν x = 5, τότε x= 5 ή x= 5 (iii) Αν α + β = 0, τότε α= 0 και β= 0 (iv) Αν οι ευθείες ε και ζ δεν είναι παράλληλες τότε τέµνονται (v) Αν το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο τότε όλες οι γωνίες του είναι ίσες 8. Να διατυπώσετε προτάσεις ισοδύναµες µε τις παρακάτω. (i) 3x= 15 (ii) x= 4ή x= 4 (iii) α β= 0 (iv) α β 0 (v) x + ψ = 0 (vi) (vii) «Οι ευθείες ε και ζ δεν τέµνονται» x + ψ 0 (viii) «Το σηµείο Μ βρίσκεται πάνω στην µεσοκάθετο του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ» ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 9
10 9. Με την µέθοδο της ευθείας απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α, β, γ είναι ακέραιοι αριθµοί και ο α διαιρεί τους β και γ, τότε ο α διαιρεί τον β+ γ. 10. Αν α, β είναι άρτιοι ή περιττοί ακέραιοι µεγαλύτεροι από την µονάδα, να αποδείξετε ότι ο αριθµός α + β είναι σύνθετος. 11. Να αποδείξετε ότι για κάθε ακέραιο α, ο αριθµός α + 3α+ είναι ακέραιος. 1. Αν ν> 3, και ακέραιος. Α= ν + 3ν ν, να βρείτε τις τιµές του ν N, ώστε ο Α να είναι 13. Με την αναλυτική µέθοδο απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α> 0, τότε 1 α+. α 14. Με την µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο να αποδείξετε ότι: αν δύο ευθείες ε, ζ είναι παράλληλες και µια τρίτη ευθεία η τέµνει την µία από αυτές, τότε θα τέµνει και την άλλη. 15. (i) Με την µέθοδο της ευθείας απόδειξης να αποδείξετε ότι: αν α, β είναι θετικοί αριθµοί και α> β, τότε ν ν α β > για κάθε θετικό ακέραιο ν. (ii) Με την µέθοδο της απαγωγής σε άτοπο να αποδείξετε ότι: αν α, β είναι θετικοί αριθµοί και ν ν α β >, τότε α> β για κάθε θετικό ακέραιο ν. ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ ΜΑΥΡΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ 10
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων
K15 Ψηφιακή Λογική Σχεδίαση 3: Προτασιακή Λογική / Θεωρία Συνόλων Γιάννης Λιαπέρδος TEI Πελοποννήσου Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Στοιχεία προτασιακής λογικής Περιεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στόχος Να γνωρίζουν οι μαθητές: να αξιοποιούν το σύμβολο της συνεπαγωγής και της ισοδυναμίας να αξιοποιούν τους συνδέσμους «ή», «και» ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η συννενόηση μεταξύ των ανθρώπων
Διαβάστε περισσότεραA. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
Μάθηµα 1 Κεφάλαιο: Εισαγωγικό Θεµατικές Ενότητες: A. Το Λεξιλόγιο της Λογικής B. Σύνολα A. ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Ορισµός Πρόταση λέµε κάθε φράση που µε βάση το νοηµατικό της περιεχόµενο µπορούµε να
Διαβάστε περισσότεραΣτοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος
3. 3.9 ΘΕΩΡΙ. Στοιχεία τριγώνου Κύρια στοιχεία : Πλευρές και γωνίες ευτερεύοντα στοιχεία : ιάµεσος, διχοτόµος, ύψος 2. Είδη τριγώνων Ως προς τις πλευρές : Σκαληνό, ισοσκελές, ισόπλευρο. Ως προς τις γωνίες
Διαβάστε περισσότεραΠρόταση. Αληθείς Προτάσεις
Βασικές έννοιες της Λογικής 1 Πρόταση Στην καθημερινή μας ομιλία χρησιμοποιούμε εκφράσεις όπως: P1: «Καλή σταδιοδρομία» P2: «Ο Όλυμπος είναι το ψηλότερο βουνό της Ελλάδας» P3: «Η Θάσος είναι το μεγαλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματική Λογική και Απόδειξη
Μαθηματική Λογική και Απόδειξη Σύντομο ιστορικό σημείωμα: Η πρώτη απόδειξη στην ιστορία των μαθηματικών, αποδίδεται στο Θαλή το Μιλήσιο (~600 π.χ.). Ο Θαλής απέδειξε, ότι η διάμετρος διαιρεί τον κύκλο
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα άµεσης απόδειξης. Μέθοδοι αποδείξεως για προτάσεις της µορφής εάν-τότε. 08 - Αποδείξεις
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 06/03/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/8/2015
Διαβάστε περισσότεραΣε κάθε ισοσκελές τρίγωνο η διχοτόµος της γωνίας της κορυφής είναι και διάµεσος και ύψος.
ΙΩΝΙΣΜ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΟΥ 3/0/0 ΕΝΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜ ο ) Να αποδείξετε ότι δύο χορδές ενός κύκλου είναι ίσες αν και µόνο αν τα αποστήµατά τους είναι ίσα. Θεωρία, σελίδα 46 σχολικού βιβλίου Θεώρηµα III
Διαβάστε περισσότερα6.2 ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
1 6. ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Οι συντεταγµένες σηµείου Ο Ο άξονας τετµηµένων άξονας τεταγµένων (ΟΚ) µε πρόσηµο = α, η τετµηµένη του Μ (ΟΛ) µε πρόσηµο = β, η τεταγµένη του Μ Το ζευγάρι (α,
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. 1. Θεώρηµα, Ε µέσα των ΑΒ, ΑΓ Ε = //
1 5.6 5.9 ΘΩΡΙ 1., µέσα των, = //. µέσο της και // µέσο της 3. = και ////Ζ = Ζ Ζ. Ο γ. τόπος της µεσοπαράλληλης Έστω ε η µεσοπαράλληλη των ε 1, ε. Τότε ισχύουν : i) άθε σηµείο της ε ισαπέχει από τις ε
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και το µέσο του. Η τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i Ο = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα και έχουν = και = άρα είναι
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Α' Λυκείου. Μαρίνος Παπαδόπουλος
Μαθηματικά Α' Λυκείου Μαρίνος Παπαδόπουλος ΠΡΟΛΟΓΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Σας καλωσορίζω στον όµορφο κόσµο των Μαθηµατικών της Α Λυκείου. Τα µαθηµατικά της συγκεκριµένης τάξης αποτελούν µια εισαγωγή σε βασικές µαθηµατικές
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται το ισοσκελές τραπέζιο µε ɵ = = 45 ο. Έστω Ε, Ζ τα µέσα των και αντίστοιχα και Η. πό το Z φέρνουµε παράλληλη στην που τέµνει την στο Θ. Να δείξετε ότι Το τετράπλευρο
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα
Τρίγωνο λέγεται το σχήμα που ορίζεται από τρία σημεία A,B και Γ, μη περιεχόμενα σε μία και μόνον ευθεία, καθώς και τα ευθύγραμμα τμήματα που τα ενώνουν. Τα τρία σημεία αυτά λέγονται κορυφές του τριγώνου.
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008
-6 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8.doc ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 8 ΘΕΜΑ ο Έστω, α,β, α β και ν α i = βi () β αi α) Να αποδείξετε ότι ο δεν είναι
Διαβάστε περισσότερα4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
4 η εκάδα θεµάτων επανάληψης 3. ίνεται τετράγωνο µε κέντρο Ο και Μ το µέσο του. Η Μ τέµνει την στο. είξτε ότι = Το τρίγωνο είναι ορθογώνιο και ισοσκελές i ΟΜ = 4 Τα ορθογώνια τρίγωνα Μ και Μ έχουν Μ =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΑΠΟΔΕΙΞΗ Περιεχόμενα : Α) Προτάσεις-Σύνθεση προτάσεων Β)Απόδειξη μιας πρότασης Α 1 ) Τι είναι πρόταση Β 1 ) Βασικές έννοιες Α ) Συνεπαγωγή Β ) Βασικές μέθοδοι απόδειξης Α 3 ) Ισοδυναμία
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΠΡΩΤΑΡΧΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Τα αξιώματα είναι προτάσεις που δεχόμαστε ως αληθείς, χωρίς απόδειξη: Από δύο σημεία διέρχεται μοναδική ευθεία. Για κάθε ευθεία υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο
Διαβάστε περισσότερα1.2 ΛΟΓΟΣ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΩΝ ΤΜΗΜΑΤΩΝ
1 1. ΛΟΟΣ ΥΘΥΡΜΜΩΝ ΤΜΗΜΤΩΝ ΘΩΡΙ 1. Παραλληλία και ισότητα ν τρεις τουλάχιστον παράλληλες ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα σε µία ευθεία τότε θα ορίζουν ίσα ευθύγραµµα τµήµατα και σε οποιαδήποτε άλλη ευθεία
Διαβάστε περισσότερα5.6 5.9. Ερωτήσεις Κατανόησης. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 110 112. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ. Απάντηση Στο σχήµα (α) :
5.6 5.9 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 0 ρωτήσεις Κατανόησης. Στα παρακάτω σχήµατα να υπολογίσετε τα x και ψ (α ) ( β ) A x x, 5 ( γ) ψ x +, 5 x, 5 ε ε ε ε 4 δ δ ε ε B ε ε 4 (δ ) ψ ψ x 60 o 4 (ε) B 5
Διαβάστε περισσότεραΚαλή Επιτυχία!!! ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙ ΕΥΣΗΣ Αµυραδάκη 20, Νίκαια ( ) ΤΑΞΗ... Β ΛΥΚΕΙΟΥ... ΜΑΘΗΜΑ...ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ...
Αµυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 011 ΘΕΜΑ 1 Ο Να αποδείξετε ότι, σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο µιας κάθετης πλευράς του ισούται µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της στην
Διαβάστε περισσότερα5.10 5.11. 2 η ιδιότητα της διαµέσου. 4. Ορισµός Ισοσκελές τραπέζιο λέγεται το τραπέζιο του οποίου οι µη παράλληλες πλευρές είναι ίσες.
5.0 5. ΘΕΩΡΙ. Ορισµοί Τραπέζιο λέγεται το τετράπλευρο που έχει µόνο δύο πλευρές παράλληλες. άσεις τραπεζίου λέγονται οι παράλληλες πλευρές του. Ύψος τραπεζίου λέγεται η απόσταση των βάσεων. ιάµεσος τραπεζίου
Διαβάστε περισσότεραΟµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Β. ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
Οµοιότητα Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Όµοια λέγονται δύο πολύγωνα που έχουν τις πλευρές τους ανάλογες και τις αντίστοιχες γωνίες τους ίσες. Λόγος οµοιότητας δύο όµοιων πολυγώνων λέγεται ο λόγος δύο
Διαβάστε περισσότερα3.5 3.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48. Ερωτήσεις κατανόησης
.5.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 48 ρωτήσεις κατανόησης. Έστω ευθεία ε και σηµείο εκτός αυτής. ν ε και ε (, σηµεία της ε) τότε i) Σ Λ ii) Σ Λ iii) = Σ Λ ιτιολογήστε την απάντηση σας i) ιότι από ένα
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΣωστό -λάθος. 2) Δύο τρίγωνα που έχουν τις γωνίες τους ίσες μία προς μία είναι ίσα
Σωστό -λάθος Α. Για καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της και, ακριβώς δίπλα, την ένδειξη (Σ), αν η πρόταση είναι σωστή, ή (Λ), αν αυτή είναι λανθασμένη. 1)Δύο ισόπλευρα
Διαβάστε περισσότερα2 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 11. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι το τετράγωνο µιας πλευράς που βρίσκεται απέναντι από οξεία γωνία, ισούται µε το άθροισµα των τετραγώνων των δύο άλλων πλευρών ελαττωµένο
Διαβάστε περισσότερα6.1 6.4. 1. Εγγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο. 2. Γωνία δύο χορδών και γωνία δύο τεµνουσών
6. 6.4 ΘΩΡΙ. γγεγραµµένη γωνία, αντίστοιχη επίκεντρη και τόξο Το µέτρο της επίκεντρης ισούται µε το µέτρο του αντίστοιχου τόξου. Η εγγεγραµµένη ισούται µε το µισό της αντίστοιχης επίκεντρης. Η εγγεγραµµένη
Διαβάστε περισσότεραΠροτάσεις. Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών. Ποιες είναι προτάσεις; Προτάσεις 6/11/ ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη)
Εισαγωγή στις βασικές έννοιες των Μαθηματικών 5 ο Μάθημα Μαθηματική Λογική (επανάληψη) Προτάσεις Η πρόταση είναι μια γλωσσική ενότητα, η οποία εκφράζει κάποιο νόημα. Παραδείγματα: Η Μαρία σχεδιάζει ένα
Διαβάστε περισσότεραΥπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά
Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 2:Στοιχεία Μαθηματικής Λογικής Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΓΕΛ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Ευθεία (10 θέµατα δυναµικής αντιµετώπισης) Θέµα 1 Από σηµείο Α του άξονα x x φέρνουµε ευθεία (ε 1
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Ευθεία (10 θέµατα δυναµικής αντιµετώπισης) Θέµα 1 Από σηµείο Α του άξονα x x φέρνουµε ευθεία (ε 1 ) παράλληλη στην ευθεία (ε): 1 y= x και την (ε 2 ) παράλληλη στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και
Διαβάστε περισσότεραΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες.
ΠΟΡΙΣΜΑ 1. Οι προσκείµενες στη βάση γωνίες ισοσκελούς τριγώνου είναι ίσες. Στο ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ φέρνουµε διχοτόµο ΑΔ Σύγκριση Τριγώνων ΑΒΔ και ΑΓΔ: -ΑΒ=ΑΓ (δεδοµένο) -ΒΑΔ=ΓΑΔ (αφού ΑΔ διχοτόµος) -ΑΔ
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΓεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου 2001
Γεωµετρία Γενικής Παιδείας Β Λυκείου Ζήτηµα ο Α. Να αποδείξετε ότι, σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο, το τετράγωνο του ύψους που αντιστοιχεί στην υποτείνουσά του, ισούται µε το γινόµενο των προβολών των κάθετων
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
4 Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Ανισοτικές σχέσεις Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Βασικοί γεωµετρικοί τόποι Γεωµετρικός τόπος είναι ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου τα οποία έχουν µια κοινή ιδιότητα.τρείς από
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Πρόλογος... 7 Περιεχόµενα... 9 Κεφάλαιο ο (του σχολικού βιβλίου) Μάθηµα 1 ο : Βασικά γεωµετρικά σχήµατα... 11 Μάθηµα ο : Γωνίες - κύκλος... 3 Κεφάλαιο 3 ο Μάθηµα 3
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛ ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Η συνεπαγωγή ν P και Q είναι δύο ισχυρισμοί τέτοιοι ώστε όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q τότε λέμε ότι το P συνεπάγεται το Q και γράφουμε P Q Π.χ, όταν α=β
Διαβάστε περισσότεραΒ.1.8. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες Κατά κορυφήν γωνίες
Β.1.6. Είδη γωνιών Κάθετες ευθείες 1. Ορθή γωνία λέγεται η γωνία της οποίας το μέτρο είναι ίσο με 90 ο. 2. Οξεία γωνία λέγεται κάθε γωνία με μέτρο μικρότερο των 90 ο. 3. Αμβλεία γωνία λέγεται κάθε γωνία
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις
ΜΑΘΗΜΑ 5. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση - Αντίστροφη συνάρτηση Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση :Α R λέγεται συνάρτηση, όταν για οποιαδήποτε, Α µε ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
8 Παραβολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Παραβολή είναι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων Μ του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από µια σταθερή ευθεία (δ) που λέγεται διευθετούσα της παραβολής και από
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΤο τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και ίσο µε το µισό της.
5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων 155 5.3 Εφαρµογές των παραλληλογράµµων Α Εφαρµογές στα τρίγωνα Α1 Θεώρηµα 1 Το τµήµα που ενώνει τα µέσα δύο πλευρών τριγώνου, είναι παράλληλο προς την τρίτη πλευρά και
Διαβάστε περισσότερα6.5 6.6. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 134. Ερωτήσεις Κατανόησης
6.5 6.6 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 34 ρωτήσεις Κατανόησης. Σε ένα εγγεγραµµένο τετράπλευρο i) Τα αθροίσµατα των απέναντι γωνιών του είναι ίσα Σ Λ ii) Κάθε πλευρά φαίνεται από τις απέναντι κορυφές
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΣΗ ΘΕΩΡΗΜΑΤΩΝ ΘΑΛΗ ΚΑΙ ΠΥΘΑΓΟΡΑ
ΣΧΣΗ ΘΩΡΗΜΤΩΝ ΘΛΗ ΚΙ ΠΥΘΟΡ ισαγωγή ηµήτρης Ι Μπουνάκης dimitrmp@schgr Οι δυο µεγάλοι Έλληνες προσωκρατικοί φιλόσοφοι, Θαλής (περίπου 630-543 πχ) και Πυθαγόρας (580-500 πχ) άφησαν, εκτός των άλλων, στην
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Β Λυκείου Ευθεία. Ασκήσεις Ευθεία
Ασκήσεις Ευθεία 1. Να βρεθεί η εξίσωση της ευθείας η οποία διέρχεται από το σηµείο τοµής των ευθειών 3x + 4y 11 = 0 και 2x 3y + 21 = 0 και να γίνει η γραφική της παράσταση όταν είναι: i) παράλληλη στην
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα
Ασκήσεις - Πυθαγόρειο Θεώρηµα. Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( Â = 90 ο ) µε ΒΓ = 0 και ΑΓ =. Αν το µέσο της ΒΓ και Ε ΒΓ (Ε σηµείο της ΑΒ) τότε το µήκος της ΑΕ είναι: i) 3 3,5 i 4 iv) 4,5 v) 5. Έστω ορθογώνιο
Διαβάστε περισσότεραΑποφασισιµότητα. HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Βασικές µέθοδοι απόδειξης. 07 -Αποδείξεις. ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 2017
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Πέµπτη, 02/03/2017 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/2/2017
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
Πυθαγόρειο ενικό Λύκειο Σάμου ΕΠΝΛΗΨΗ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις ανάπτυξης. 1. Τα σηµεία Β και Γ είναι σηµεία του επιπέδου p, η ΒΓ είναι ευθεία του p. Η ΒΓ τέµνει την ΑΜ στον
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. Τα σηµεία και είναι σηµεία του επιπέδου, η είναι ευθεία του. Η τέµνει την Μ στον Μ Ν Ν. Το Ν σαν σηµείο της ανήκει στο, άρα και το Μ σαν σηµείο της Ν ανήκει στο. B. Έστω ε µια ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΠΡΟΛΟΓΟΣ Αγαπητοί συνάδελφοι, Φίλοι µαθητές και µαθήτριες Η καινούργια µας σειρά βιβλίων µε τον τίτλο ΒΙΒΛΙΟµαθήµατα δηµιουργήθηκε από µια ιδέα µας για το περιοδικό
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Ερωτήσεις Κατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί;
5. 5.2 σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 99 00 ρωτήσεις ατανόησης. Ποια από τα παρακάτω τετράπλευρα είναι παραλληλόγραµµα ποια όχι και γιατί; 3 Π 5 4 Π 2 5 5 Ο 3 4 Ο 4 Π 3 Ν 3 3 Μ 3,5 3,5 Λ Ρ φ Π 4 φ ω
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,
Διαβάστε περισσότεραΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ «άµιλλα»
1 ΜΕΤΡΙΚΕ ΧΕΕΙ ΘΕΩΡΙΑ Μετρικές σχέσεις στο ορθογώνιο τρίγωνο το ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο κάθε κάθετης πλευράς είναι ίσο µε το γινόµενο της υποτείνουσας επί την προβολή της κάθετης στην υποτείνουσα.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά
Διαβάστε περισσότεραΟνοματεπώνυμο... Β. Να γράψετε τον αριθμό κάθε πρότασης στο γραπτό σας και δίπλα να την χαρακτηρίσετε σαν «Σωστό» ή «Λάθος»
ο Γενικό Λύκειο Χανίων ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ - Τάξη ΓΡΠΤΕΣ ΠΡΟΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΣΕΙΣ ΜΪΟΥ - ΙΟΥΝΙΟΥ ΣΤΗΝ ΓΕΩΜΕΤΡΙ Τα θέματα ΔΕΝ θα μεταφερθούν στο καθαρό. Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα Οι απαντήσεις να γραφούν στο καθαρό
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜΑ 1 ο
ΥΣΕΙΣ ΙΩΝΙΣΜΤΣ ΕΩΜΕΤΡΙΣ ΥΚΕΙΥ 1 / 11 / 09 ΘΕΜ 1 ο ) Χαρακτηρίστε ως σωστή (Σ) ή ως λάθος () καθεµία από τις επόµενες προτάσεις. ύο τόξα ενός κύκλου είναι ίσα, όταν οι αντίστοιχες χορδές τους είναι ίσες.
Διαβάστε περισσότερα1.1 ΙΣΟΤΗΤΑ ΤΡΙΓΩΝΩΝ. 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του. 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A
1 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου : Είναι οι πλευρές του και οι γωνίες του 2. Είδη τριγώνων από την άποψη των γωνιών : A Οξυγώνιο τρίγωνο, όλες οι γωνίες οξείες B A µβλυγώνιο τρίγωνο,
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΕ.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
1 Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η συνεπαγωγή Η πρόταση P Q σηµαίνει ότι, όταν αληθεύει (ισχύει) ο ισχυρισµός P, θα αληθεύει (ισχύει) και o Q. Το σύµβολο διαβάζεται : άρα τότε συνεπάγεται.. Η ισοδυναµία
Διαβάστε περισσότερα1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών
ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ
1.1.. ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΜΑ ΟΝ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση γραµµής C Μια εξίσωση µε δύο αγνώστους x, y λέγεται εξίσωση µιας γραµµής C, όταν οι συντεταγµένες των σηµείων της C, και µόνον αυτές, την επαληθεύουν..
Διαβάστε περισσότεραΤρίγωνα. Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός)
Τρίγωνα Αθανασίου Δημήτρης (Μαθηματικός) www.peira.gr asepfreedom@yahoo.gr 1 3.1 Στοιχεία και είδη τριγώνων 2 Ένα τρίγωνο ΑΒΓ έχει τρεις κορυφές Α, Β, Γ, τρεις πλευρές ΒΓ, ΓΑ, ΑΒ και τρεις γωνίες Β ΑΓ,
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 4. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ είναι
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ 90 ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΟ ΘΕΩΡΗΜΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Στο διπλανό σχήµα το τρίγωνο ΑΒΓ έχει Α = 90, β = 9 cm, γ = 1 cm και την ΑΜ διάµεσο. Το µήκος του ΑΜ ισούται µε: Α. 9. 9 Ε. 1 15 Β. 6 Γ..
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ Α Ψ Α Ψ viii) 9. Α Ψ ix) Α Ψ xi) Α Ψ xii) 0 0. Α Ψ xiii) Α Ψ xiv) Α Ψ xv)
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗ ΛΟΓΙΚΗ 1. Σε κάθε μία από τις παρακάτω προτάσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν θεωρείτε ότι ο ισχυρισμός που διατυπώνετε είναι αληθής, ενώ αν θεωρείτε ότι είναι ψευδής να κυκλώσετε το Ψ. Οι
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότερα1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: ii. Το ύψος ΒΚ
Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. ** Σε ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ µε κορυφή το Α, έχουµε ΒΓ = 4 cm και ΑΒ = 7 cm. Να υπολογίσετε: i. Το ύψος ΑΗ ii. Το ύψος ΒΚ. ** Σε ένα τετράγωνο ΑΒΓ ισχύει ΑΒ + ΑΓ = +. Να υπολογίσετε:
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις κατανόησης σελίδας 114. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ
5.0 5. σκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 4 5 ρωτήσεις κατανόησης σελίδας 4. Στα παρακάτω τραπέζια να βρείτε τα x, ψ ω, και θ 3 3 (α) x 0 ψ 4 (β) x ψ 7 (γ) x (δ) θ x+ 3x ω 0 ο πάντηση + 0 Στο σχήµα (α) το
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ
ΧΛΤΖΙΝ ΠΥΛΟΣ ΒΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΛΟΓΙΚΗΣ 1. ύο προτάσεις που έχουν την ίδια σηµασία λέγονται ταυτόσηµες. 2. Μια αποφαντική πρόταση χαρακτηρίζεται αληθής όταν περιγράφει µια πραγµατική κατάσταση του κόσµου µας.
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x
o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. 63. Σε περίπτωση που η αρχή, το σημείο Ο, βρίσκεται πάνω σε μια ευθεία χχ τότε η
Γεωμετρία Κεφάλαιο 1: Βασικές γεωμετρικές έννοιες Β.1.1 61.Η ευθεία είναι βασική έννοια της γεωμετρίας που την αντιλαμβανόμαστε ως την γραμμή που αφήνει ο κανόνας (χάρακας).συμβολίζεται με μικρά γράμματα
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 08/04/10
ΥΣΙΣ ΙΑΩΝΙΣΜΑ ΩΜΤΡΙΑ Α ΥΚΙΟΥ ΘΜΑ ο 08/04/0 Α. Να αποδείξετε ότι η διάµεσος ορθογωνίου τριγώνου που φέρουµε από την κορυφή της ορθής γωνίας είναι ίση µε το µισό της υποτείνουσας. Θεωρία σχολικό βιβλίο σελ.09
Διαβάστε περισσότεραΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις
ΗΥ118 Διακριτά Μαθηματικά Εαρινό Εξάμηνο 2018 3 η Σειρά Ασκήσεων - Λύσεις Άσκηση 3.1 [1 μονάδα] Έστω Α={1,2,3,{1,3},4,{5,6}}. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες λάθος; i. {5,6} Α vi.
Διαβάστε περισσότερα11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο
Παραουσίαση βιβλίου αθηµατικών Προσαναταλισµού Β Λυκείου. Η έννοια του διανύσµατος. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο Παραουσίαση βιβλίου
Διαβάστε περισσότερα1 η εκάδα θεµάτων επανάληψης
η εκάδα θεµάτων επανάληψης. ίνεται ορθογώνιο τρίγωνο µε υποτείνουσα την και ɵ = 30 ο. Έστω διάµεσος του και, Ζ, Η τα µέσα των, και αντίστοιχα. Στην προέκταση του Ζ παίρνουµε τµήµα ΖΚ= Ζ. Να δείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότεραΕΙ Η ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ. ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο
Παραλληλόγραµµο, λέγεται το τετράπλευρο ΕΙΗ ΤΕΤΡΠΛΕΥΡΩΝ ( Παραλληλόγραµµα Τραπέζια ) που έχει τις απέναντι πλευρές του παράλληλες δηλ. // και //. ΙΙΟΤΗΤΕΣ ΠΡΛΛΗΛΟΡΜΜΟΥ: 1. Οι απέναντι πλευρές του είναι.
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΜΕΡΟΣ ΚΕΦΛΙΟ 1 Ο ΕΩΜΕΤΡΙ 1.1 ΙΣΟΤΗΤ ΤΡΙΩΝΩΝ 1. Ποια ονομάζονται κύρια και ποια δευτερεύοντα στοιχεία τριγώνων; Κύρια στοιχεία ενός τριγώνου ονομάζουμε τις πλευρές και τις γωνίες του. Δευτερεύοντα στοιχεία
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ 1. είχνω ότι τέµνονται από τρίτη ευθεία και σχηµατίζονται γωνίες
ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΑ στη γεωµετρία της Α τάξης ΠΩΣ ΕΙΧΝΩ ΟΤΙ ΥΟ ΕΥΘΕΙΕΣ ΕΙΝΑΙ ΚΑΘΕΤΕΣ 1. είχνω ότι η γωνία τους είναι 90 ο 2. είχνω ότι είναι διχοτόµοι δύο εφεξής και παραπληρωµατικών γωνιών. 3. είχνω ότι
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές
Καρτεσιανές συντεταγμένες Γραφική παράσταση συνάρτησης Εφαρμογές Να βρείτε για καθεμιά από τις παρακάτω γραμμές αν είναι γραφική παράσταση κάποιας συνάρτησης. 4-1 1 () (1) (3) (4) (5) (6) Αν υπάρχει ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΔ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Δ. Ε. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΗ 1 η Να αποδείξετε ότι στις ομόλογες πλευρές δύο ίσων τριγώνων αντιστοιχούν ίσες διάμεσοι. Α Α ΑΠΟΔΕΙΞΗ Β Γ Β Γ Θα δείξουμε ότι ΑΜ=Α
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως Σ (σωστή) ή Λ (λανθασμένη)
Διαγώνισμα Γεωμετρίας Α Λυκείου Ισότητα Τριγώνων Κυριακή 8 Νοεμβρίου 2015 Τα θέματα και οι απαντήσεις τους ΘΕΜΑ Α Α 1. Α 2. Α 3. Πως ορίζεται η μεσοκάθετος ευθύγραμμου σχήματος; Να αναφέρετε την ιδιότητα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΠΝΠΤΙΣ ΣΣΙΣ > 90. 1. ίνεται ισοσκελές τρίγωνο µε = και 0 πό την κορυφή φέρνουµε τις ηµιευθείες x κάθετη στην πλευρά και y κάθετη στην πλευρά που τέµνουν την στα σηµεία και αντίστοιχα. Να αποδείξετε α)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΟ φροντιστήριο ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α Α. ώστε τον ορισµό της υπερβολής και γράψτε τις εξισώσεις των ασύµπτωτων της ( C ): (Μονάδες 9) α β Β. Να διατυπώσετε τέσσερις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Γιώργος Πρέσβης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Φροντιστήρια Φροντιστήρια ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 1η Κατηγορία : Εξίσωση Γραμμής 1.1 Να εξετάσετε
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6 Παράλληλες Ευθείες και Τετράπλευρα Ορισμός. Δύο ευθείες ονομάζονται παράλληλες όταν ανήκουν στο ίδιο επίπεδο και δεν τέμνονται. Δύο παράλληλες ευθείες ε και ζ συμβολίζονται ε ζ. Γωνίες δύο ευθειών
Διαβάστε περισσότερα( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Διαβάστε περισσότεραΔιακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά
Διακριτά Μαθηματικά ΙΙ Χρήστος Νομικός Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018 Χρήστος Νομικός ( Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Διακριτά και Πληροφορικής Μαθηματικά Πανεπιστήμιο ΙΙ Ιωαννίνων
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότερα1. Γενικά για τα τετράπλευρα
1. ενικά για τα τετράπλευρα Ένα τετράπλευρο θα λέγεται κυρτό αν η προέκταση οποιασδήποτε πλευράς του αφήνει το σχήμα από το ίδιο μέρος (στο ίδιο ημιεπίπεδο, όπως λέμε καλύτερα). κορυφές γωνία εξωτερική
Διαβάστε περισσότερα1. Οµόλογες πλευρές : Στα όµοια τρίγωνα οι οµόλογες πλευρές βρίσκονται απέναντι από τις ίσες γωνίες και αντίστροφα.
1 1.5. ΟΜΟΙ ΤΡΙΩΝ ΘΩΡΙ 1. Όµοια τρίγωνα : ια τα όµοια τρίγωνα ισχύουν όλα όσα αναφέραµε στα όµοια πολύγωνα. 2. ποκλειστικά για τα τρίγωνα : ύο τρίγωνα είναι όµοια όταν έχουν δύο γωνίες ίσες ΣΧΟΛΙ 1. Οµόλογες
Διαβάστε περισσότεραΟρισµοί. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου.
6.5 6.6 ΘΩΡΙ. Ορισµοί Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγεγραµµένο σε κύκλο, αν οι κορυφές του είναι σηµεία του κύκλου. Ένα τετράπλευρο λέγεται εγγράψιµο σε κύκλο, όταν µπορεί να γραφεί κύκλος που να διέρχεται
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραHY118- ιακριτά Μαθηµατικά
HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 04/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/4/2016
Διαβάστε περισσότερα3.1 ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΡΙΓΩΝΟΥ ΕΙ Η ΤΡΙΓΩΝΩΝ
1 3.1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΤΡΙΩΝΟΥ ΕΙΗ ΤΡΙΩΝΩΝ ΘΕΩΡΙ 1. Κύρια στοιχεία τριγώνου Τα κύρια στοιχεία ενός τριγώνου είναι οι πλευρές, οι γωνίες και οι κορυφές. Ονοµασία : Πλευρές είναι οι,, Κορυφές είναι τα σηµεία,, ωνίες
Διαβάστε περισσότερα