Keerukusteooria elemente
|
|
|
- Σαμψών Κουταλιανός
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Keerukusteooria elemente Teema 5 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 1 / 45
2 Sisukord 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 2 / 45
3 Järgmine punkt 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 3 / 45
4 Keerukus Iga lahenduvat ülesannet saab põhimõtteliselt arvutil lahendada, kuid praktikas ei pruugi see õnnestuda. Probleemiks on vajaminevate ressursside hulk: lahendamiseks kuluv aeg (ajaline keerukus) ja andmete salvestamiseks vajalik mälu (mahuline keerukus). Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 4 / 45
5 Näide lahendusaja arvutmisest Keel L = {0 n 1 n n 0} on lahenduv. Kui palju aega kulub ühe lindiga Turingi masinal selle keele sõnede aktsepteerimiseks? = mitu takti läbib karakteristlik Turingi masin peatumiseni? Karakteristlik Turingi masin M 1 sisendi w {0,1} korral: 1 skaneerida lindilt sisendsõne w; kui kusagil on sümbol 0 sümbolist 1 paremal, siis mitte aktsepteerida ja peatuda; 2 korrata järgmist punkti seni, kuni lindil on nii nulle kui ühtesid; skaneerida lindil olevat sõne ja kustutada selle algusest üks 0 ja lõpust üks 1; 3 kui lint ei ole tühi (seal on mõningaid sümboleid 0 või sümboleid 1) siis mitte aktsepteerida ja peatuda; vastasel juhul (lint on tühi), siis aktsepteerida ja peatuda. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 5 / 45
6 Näide lahendusaja arvutmisest (2) Analüüs eeldusel, et sõne w sisaldab m nulli ja n ühte: Samm 1: Kontrollimaks sümbolite järjekorda kulub ülimalt m + n takti; kui sümbolite järjekord pole õige, siis algoritmi taktide arv k < m + n. Samm 2 : Iga tsükli joolsul kustutatakse kaks sümbolit ja kokku on samme (m +n) (m +n 2)+(m +n 4)+ + m n = Kui m n, siis omandab see valem kuju kui m < n, siis kuju (m + n + m n)n 2 (m + n m + n)m 2 = mn; = mn. (m + n m n )min(m,n). 2 Samm 3 : Sõltuvalt lugemis-kirjutamispea asukohast tuleb teha maksimaalselt m n sammu. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 6 / 45
7 Näide lahendusaja arvutmisest (2) Analüüs eeldusel, et sõne w sisaldab m nulli ja n ühte: Kokkuvõttes: Parimal juhul täidab masin kuni k = n + m takti; tulemus on mitte aktsepteerida. Taktide arv halvimal juhul : Kui m n (s.t. tulemus on mitte aktsepteerida) k = m + n + mn + m n = mn + 2m Kui m = n (s.t. tulemus on aktsepteerida) k = n 2 + 2n Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 6 / 45
8 Algoritmi keerukus Definitsioon Algoritmi keerukus on funktsioon f : N N, mis seab sisendandmete mahule n vastavusse algoritmi sammude arvu (ajaline keerukus) või kasutatava mälu mahu (mahuline keerukus). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 7 / 45
9 Algoritmi keerukus Definitsioon Algoritmi keerukus on funktsioon f : N N, mis seab sisendandmete mahule n vastavusse algoritmi sammude arvu (ajaline keerukus) või kasutatava mälu mahu (mahuline keerukus). Mõisted sammude arv ja kasutatav mälu sõltuvad arvuti tüübist / arvutamise mudelist. Näiteks Turingi masina mudeli korral: ajaline keerukus taktide / konfiguratsioonide arv; mahuline keerukus kasutatud lindipositsioonide arv. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 7 / 45
10 Algoritmi keerukus Definitsioon Algoritmi keerukus on funktsioon f : N N, mis seab sisendandmete mahule n vastavusse algoritmi sammude arvu (ajaline keerukus) või kasutatava mälu mahu (mahuline keerukus). Keerukus sõltub lisaks algandmete mahule veel andmete struktuurist, järjestusest jt omadustest. See tingib vajaduse rääkida keerukusest halvimal juhul, parimal juhul ja oodataval keskmisel juhul : Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 7 / 45
11 Algoritmi keerukus Definitsioon Algoritmi keerukus on funktsioon f : N N, mis seab sisendandmete mahule n vastavusse algoritmi sammude arvu (ajaline keerukus) või kasutatava mälu mahu (mahuline keerukus). Keerukus sõltub lisaks algandmete mahule veel andmete struktuurist, järjestusest jt omadustest. See tingib vajaduse rääkida keerukusest halvimal juhul, parimal juhul ja oodataval keskmisel juhul : a) (ajaline) keerukus halvimal juhul W (n) on maksimaalne operatsioonide arv, mida tuleb antud algoritmi korral täita sisendi mahu n puhul; b) (ajaline) keerukus parimal juhul B(n) on minimaalne operatsioonide arv, mida tuleb täita sisendi mahu n korral; c) keskmine (ajaline) keerukus A(n) on keskmine operatsioonide arv, mida tuleb täita sisendi mahu n korral; Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 7 / 45
12 Algoritmi keerukus Definitsioon Algoritmi keerukus on funktsioon f : N N, mis seab sisendandmete mahule n vastavusse algoritmi sammude arvu (ajaline keerukus) või kasutatava mälu mahu (mahuline keerukus). Keerukus sõltub lisaks algandmete mahule veel andmete struktuurist, järjestusest jt omadustest. See tingib vajaduse rääkida keerukusest halvimal juhul, parimal juhul ja oodataval keskmisel juhul : Algoritmi keskmise keerukuse arvutamine x sisendi omadusi väljendav näitaja; n sisendi maht; p(x,n) sagedus; T (x,n) algoritmi tööaeg; A(n) = p(x,n)t (x,n) või A(n) = p(x,n)t (x,n)dx. x Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 7 / 45
13 Asümptootilised hinnangud Keerukust esitatavate funktsioonide esitamisel kasutatakse asümptootilist notatsiooni O, mis iseloomustab keerukusfunktsiooni käituimist andmete mahu n piiramatul kasvamisel. Eelmise näite korral W (n) = n 2 + 2n = O(n 2 ) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 8 / 45
14 Asümptootilised hinnangud (2) Näide 2. f (n) = O(g(n)) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 9 / 45
15 Asümptootilised hinnangud (3) Näide 3. f (n) = O(g(n)) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 10 / 45
16 O-notatsioon Definitsioon Olgu f ja g naturaalarvulised funktsioonid. Funktsioon g(n) on funktsiooni f (n) (ülemine) asümptootiline hinnang, ning kirjutatakse f (n) = O(g(n)), parajasti siis, kui leiduvad konstandid c > 0 ja N > 0, nii et iga n > N korral f (n) < c g(n). Definitsioon Funktsioon g(n) on funktsiooni f (n) täpne asümptootiline hinnang, ning kirjutatakse f (n) = Θ(g(n)), kui f (n) = O(g(n)) ja g(n) = O(f (n)). Omadus. Seosest f (n) = Θ(g(n)) järeldub, et f (n) g(n) c ja g(n) f (n) c. Seega 1 f (n) c c. g(n) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 11 / 45
17 O-notatsioon Definitsioon Olgu f ja g naturaalarvulised funktsioonid. Funktsioon g(n) on funktsiooni f (n) (ülemine) asümptootiline hinnang, ning kirjutatakse f (n) = O(g(n)), parajasti siis, kui leiduvad konstandid c > 0 ja N > 0, nii et iga n > N korral f (n) < c g(n). Definitsioon Funktsioon g(n) on funktsiooni f (n) täpne asümptootiline hinnang, ning kirjutatakse f (n) = Θ(g(n)), kui f (n) = O(g(n)) ja g(n) = O(f (n)). Omadus. Seosest f (n) = Θ(g(n)) järeldub, et f (n) g(n) c ja g(n) f (n) c. Seega 1 f (n) c c. g(n) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 11 / 45
18 O-notatsioon (2) Omadusi: k > 0 korral kf = O(f ), kui f = O(g) ja h = O(g), siis f + h = O(g), kui f = O(g) ja g = O(h), siis f = O(h), n r = O(n s ), kui 0 r s, kui p(n) on d-astme polünoom, siis p(n) = O(n d ), kui f = O(g) ja h = O(r), siis f h = O(g r), n k = O(b n ), kui b > 1 ja k 0, log k n = O(n k ), log b n = O(log d n) iga b,d > 1 korral, n k=1 kr = Θ(n r+1 ). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 12 / 45
19 O-notatsioon (2) Näiteid: 617n n n + 7 = O(n 3 ), 2 = O(1), sinx = O(1). Kuidas põhjendada, et 5n 3 + 2n n + 6 = O(n 3 )? Paneme tähele, et iga n > 10 korral 5n 3 + 2n n + 6 < 6n 3. Võrdus on tõene definitsiooni põhjal, kui võtta c = 6 ja N = 10. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 13 / 45
20 O-notatsioon (2) Näiteid: 617n n n + 7 = O(n 3 ), 2 = O(1), sinx = O(1). Kuidas põhjendada, et 5n 3 + 2n n + 6 = O(n 3 )? Paneme tähele, et iga n > 10 korral 5n 3 + 2n n + 6 < 6n 3. Võrdus on tõene definitsiooni põhjal, kui võtta c = 6 ja N = 10. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 13 / 45
21 Keerukushinnangute praktiline tähendus Programmi tööaeg Lahendamisaja suhteline suurnemine cf (n) f (25)/f (5) c 1 1 c 2 logn 2 c 3 n 5 c 4 n logn 10 c 5 n 2 25 c 6 n c 7 2 n Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 14 / 45
22 Keerukushinnangute praktiline tähendus (2) Programmi Suurim ülesanne, Suurim ülesanne, Suurim ülesanne, tööaeg mille lahendamise mille lahendamise Smille lahendamise (mikrosek.) aeg < 1 sek. aeg < 1 päev aeg < 1 aasta n n = n = n = n log 2 n n = n = n = n 2 n = n = n = n 3 n = 100 n = n = n n = 19 n = 36 n = 44 n! n = 9 n = 14 n = 16 Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 15 / 45
23 Keerukushinnangute praktiline tähendus (3) Näiteks: a) korrutamine polünomiaalne keerukus: L 2 operatsiooni =? a) tegurdamine eksponentsiaalne keerukus: 10 L/2 operatsiooni?? = Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 16 / 45
24 Polünomiaalne vs eksponentsiaalne keerukus 1 aasta = 31, s; arvuti, mille kiirus on 10 6 op/s, teeks 31, op/aasta. Kui L = 50, kulub korrutamiseks 0,0025 s ja tegurdamiseks 0, aastat. Võrdluseks: suurest paugust arvatakse olevat möödunud 1, aastat Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 17 / 45
25 Ülesande keerukus Ülesande keerukuseks loetakse teda lahendava efektiivseima (=vähima keerukusega e lihtsaima) algoritmi keerukust (ühe lindiga Turingi masina korral). Keele L = {0 n 1 n n 0} keerukus on O(n log 2 n). Karakteristlik Turingi masin M 2 sisendi w {0,1} korral: 1 skaneerida lindilt sisendsõne w; kui kusagil on sümbol 0 sümbolist 1 paremal, siis mitte aktsepteerida ja peatuda; 2 korrata järgmisi punkte seni, kuni lindil on nii nulle kui ühtesid; skaneerida lindil olevat sõne ja kontrollida, kas lindil on paaris-või paaritu arv sümboleid. Kui sümbolite arv on paaritu, siis; mitte aktsepteerida ja peatuda; kustutada iga teine 0 (alates esimesest) ja iga teine 1 (alates esimesest) 3 kui lint on tühi, siis aktsepteerida ja peatuda; vastasel juhul mitte aktsepteerida ja peatuda. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 18 / 45
26 Ülesande keerukus (2) Algoritmi M 2 korral. 1. ja 3. punkt vajavad halvimal juhul aega O(n) ühikut. Punktis 2 sümbolite kustutamise järel jäävad lindile pooled sümbolid, nii saab seda tsüklit täita log 2 n + 1 korda. Punkti 2 keerukus on seega (log 2 n + 1)O(n) = O(n log 2 n) Kokku on algoritmi M 2 keerukus O(n) + O(n log 2 n) = O(n log 2 n). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 19 / 45
27 Algoritmide keerukus ja arvutamise mudel Algoritmi keerukus sõltub arvutamise mudelist. Keele L = {0 n 1 n n 0} keerukus kahe lindiga Turingi masinal on O(n). Karakteristlik Turingi masin M 3 sisendi w {0,1} korral: 1 skaneerida lindilt sisendsõne w; kui kusagil on sümbol 0 sümbolist 1 paremal, siis mitte aktsepteerida ja peatuda; 2 skaneerida lindialgusest nulle kuni esimese 1-ni ja kopeerida nullid teisele lindile; 3 jätkata 1-de skaneerimisega, kustutades iga loetava 1 korral teiselt lindilt ühe nulli. Kui teine lint saab protsessi käigus tühjaks, siis mitte aktsepteerida ja peatuda. 4 kui teisele lindile on jäänud nulle, siis mitte aktsepteerida ja peatuda, vastasel juhul aktsepteerida ja peatuda. Iga samm selles algoritmis on keerukusega O(n), seega on algoritmi M 3 kogukeerukus O(n). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 20 / 45
28 Algoritmide keerukus ja arvutamise mudel (2) Teoreem Olgu t(n) > n. Iga mitme lindiga Turingi masinal ajalise keerukusega O(t(n)) töötava programmi jaoks leidub ekvivalentse funktsionaalsusega programm ühe lindiga Turingi masinal, nii et tema ajaline keerukus on O(t 2 (n)). Teoreem Olgu t(n) > n. Iga ühe lindiga mittedeterministlikul Turingi masinal ajalise keerukusega O(t(n)) töötava programmi jaoks leidub ekvivalentse funktsionaalsusega programm ühe lindiga deterministlikul Turingi masinal, nii et tema ajaline keerukus on 2 O(t(n)). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 21 / 45
29 Mitme lindiga Turingi masina simulatsioon Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 22 / 45
30 Mittedeterministliku Turingi masina simulatsioon Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 23 / 45
31 Järgmine punkt 1 Algoritmi keerukus 2 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 24 / 45
32 Ülesannete keerukusklassid Definitsioon TIME(t(n)) = {L ülesande L lahendamise aeg Turingi masinal W (t) = O(t(n))} Definitsioon Polünomiaalne keerukusklass P on nende ülesannete hulk, mis on lahenduvad ühe lindiga deterministlikul Turingi masinal polünomiaalse ajaga : P = TIME(n k ). k Omadusi: Klass P on invariantne kõigil arvutamise mudelitel, mis on polünomiaalse ajaga modelleeritavad deterministlikul Turingi masinal. Klassi P ülesanded on reaalselt arvutil lahendatavad. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 25 / 45
33 Ülesannete keerukusklassid Definitsioon TIME(t(n)) = {L ülesande L lahendamise aeg Turingi masinal W (t) = O(t(n))} Definitsioon Polünomiaalne keerukusklass P on nende ülesannete hulk, mis on lahenduvad ühe lindiga deterministlikul Turingi masinal polünomiaalse ajaga : P = TIME(n k ). k Omadusi: Klass P on invariantne kõigil arvutamise mudelitel, mis on polünomiaalse ajaga modelleeritavad deterministlikul Turingi masinal. Klassi P ülesanded on reaalselt arvutil lahendatavad. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 25 / 45
34 NP keerukus Definitsioon Omadus C on lahenduv (ingl.k.: decidable ) hulgal A, kui leidub arvutatav predikaat { true, kui leidub x A, millel on omadus C, P C (A) = xc(x) = false, vastasel juhul. C A Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 26 / 45
35 NP keerukus Definitsioon Omadus C on lahenduv (ingl.k.: decidable ) hulgal A, kui leidub arvutatav predikaat { true, kui leidub x A, millel on omadus C, P C (A) = xc(x) = false, vastasel juhul. C A Tähelepanu! Omadus C on lahenduv omadusega C elementide alamhulk ei ole tühi = lahenduv hulk/keel C ei ole tühi hulk. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 26 / 45
36 NP keerukus Definitsioon Omadus C on lahenduv (ingl.k.: decidable ) hulgal A, kui leidub arvutatav predikaat { true, kui leidub x A, millel on omadus C, P C (A) = xc(x) = false, vastasel juhul. C A Definitsioon Omadus C on tuvastatav (= verifitseeritav; ingl.k.: verifiable) hulgal A, kui leidub arvutatav predikaat V, nii et iga x A korral leidub väärtus s (sertifikaat) ja { true, kui x evib omadust C, V (x,s) = false, vastasel juhul.. Definitsioon Omadus C on NP lahenduv hulgal A, kui ta polünomiaalse ajaga tuvastatav deterministlikul ühe lindiga Turingi masinal (C P). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 26 / 45
37 Lahenduvusest ja verifitseeritavusest detailsemalt Definitsioon (2) Keele L verifitseerijaks nimetatakse algoritmi V, kus L = {w V ( w,s ) q accept mingi sõne s korral} tähistab ülesande mõistliku kirjeldust teksti, graafi vms kujul; verifitseerimiseks kuluvat aega mõõdetakse sõne w pikkuse w järgi; polünomiaalne verifitseerija on polünomiaalse keerukusega; keel on polünomiaalselt verifitseeritav, kui kui tema jaoks leidub polünomiaalse keerukusega verifitseerija; s on sertifikaat ehk tõestus. Polünomiaalse verifitseerija korral on s = O( w k ). Definitsioon Keel on NP keerukas, kui ta on polünomiaalselt verifitseeritav. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 27 / 45
38 Näide: Hamiltoni ahel Definitsioon Hamiltoni ahel on tee graafi tipust s tippu t, mis läbib graafi iga tippu parajast üks kord. s t HAMPATH = { G,s,t graafis G Hamiltoni ahel tipust s tippu t} Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 28 / 45
39 Mittedeterministlik Turingi masin HAMPATH lahendamiseks Sisend:= G,s,t, olgu graafi G tippude arv m ja tippude märgenditeks naturaalarvud 1,2,...,n. 1 Võtame arvude jada p 1,...,p n, kus 1 p i n 2 Kontrollida, et jada ei sisaldaks kordseid elemente: (i j) (p i p j ). Kui leidub, siis mitte aktsepteerida ja peatuda. 3 Kontrollida, kas p 1 = s ja p n = t. Kui ei, siis mitte aktsepteerida ja peatuda. 4 iga i jaoks vahemikust 1 i n 1 kontrollida, kas graafis G leidub serv (p i,p i+1 ). Kui ei, siis mitte aktsepteerida ja peatuda, vastasel korral aktsepteerida ja peatuda. Selle algoritmi keerukus deterministlikul Turingi masinal on O(2 n ), mittedeterministlikul masinal aga O(n 2 ). See ei ole juhus! Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 29 / 45
40 Mittedeterministlik Turingi masin HAMPATH lahendamiseks Sisend:= G,s,t, olgu graafi G tippude arv m ja tippude märgenditeks naturaalarvud 1,2,...,n. 1 Võtame arvude jada p 1,...,p n, kus 1 p i n 2 Kontrollida, et jada ei sisaldaks kordseid elemente: (i j) (p i p j ). Kui leidub, siis mitte aktsepteerida ja peatuda. 3 Kontrollida, kas p 1 = s ja p n = t. Kui ei, siis mitte aktsepteerida ja peatuda. 4 iga i jaoks vahemikust 1 i n 1 kontrollida, kas graafis G leidub serv (p i,p i+1 ). Kui ei, siis mitte aktsepteerida ja peatuda, vastasel korral aktsepteerida ja peatuda. Selle algoritmi keerukus deterministlikul Turingi masinal on O(2 n ), mittedeterministlikul masinal aga O(n 2 ). See ei ole juhus! Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 29 / 45
41 NP keerukus (2) Teoreem Omadus C on NP tuvastatav parajasti siis, kui ta on polünomiaalse ajaga lahenduv kasutades mittedeterministlikku Turingi masinat. Tõestus ( ) Olgu V keele L = {w C(v) = true} polünomiaalne verifitseerija, mille ajaline keerukus on O(n k ). konstrueerime mittedeterministliku Turingi masina N, mis sõne w (pikkusega w = n) korral töötab järgmiselt: Valib mittedeterministlikult sertifikaadi s pikkusega n k ; Rakendab masinat V kirjeldusele w,s ; Kui V aktsepteerib sõnet w keele L elemendina, siis true (vastasel juhul false) ja peatub. Tõestus ( ) Olgu N keelt L lahendav mittedeterministlik TM, konstrueerime polünomiaalse verifitseerija V järgmiselt: Simuleerime masina N tööd sisendi w korral, võttes sertifikaadi s sümboliks tehtud mittedeterministliku valiku kirjelduse; Kui antud haru korral N(w) = true, siis ka V true (vastasel juhul false) ja peatub. m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 30 / 45
42 Näide: Hamiltoni ahel Definitsioon Hamiltoni ahel on tee graafi tipust s tippu t, mis läbib graafi iga tippu parajast üks kord. s t HAMPATH = { G,s,t graafis G Hamiltoni ahel tipust s tippu t} Fakte: Ülesanne/keel HAMPATH on polünomiaalselt verifitseeritav (= NP keerukas). Pole teada polünomiaalset algoritmi, mis tuvastaks Hamiltoni ahela olemasolu. Hamiltoni ahel on polünomiaalselt tuvastatav mittedeterministlikul Turingi masinal. Pole teada polünomiaalset algoritmi ülesande HAMPATH verifitseerimiseks. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 31 / 45
43 Veel NP keerukaid ülesandeid kehtestatavuse ülesanne SAT rändkaupmehe ülesanne tegurdamine graafi kliki leidmise ülesanne tunniplaani ülesanne söödaratsiooni ülesanne Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 32 / 45
44 NP keerukus (3) Definitsioon { NTIME(t(n)) = L ülesande L lahendamise aeg mittedeterministlikul Turingi masinal B(t) = O(t(n)) } Definitsioon Keerukusklass NP on nende ülesannete hulk, mis on lahenduvad ühe lindiga mittedeterministlikul Turingi masinal polünomiaalse ajaga : NP = NTIME(n k ). k Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 33 / 45
45 NP keerukate ülesannete näiteid Leida graafis k-klikk CLIQUE = { G, k G on mitteorienteeritud graaf, milles on k-klikk} Leida alamhulk, mille elementide summa on t { SUBSET SUM = S,t S = {x 1,...,x k } alamhulga {y 1,...,y l } S korral i y i = t } Fakte: Ülesanded CLIQUE ja SUBSET SUM kuuluvad klassi conp. Pole teada kas NP = conp või mitte. Parimad teadaolevad algoritmid NP ülesannete lahendamiseks on eksponentsiaalse keerukusega, st NP EXPTIME = TIME(2 nk ) k Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 34 / 45
46 NP keerukate ülesannete näiteid Leida graafis k-klikk CLIQUE = { G, k G on mitteorienteeritud graaf, milles on k-klikk} Leida alamhulk, mille elementide summa on t { SUBSET SUM = S,t S = {x 1,...,x k } alamhulga {y 1,...,y l } S korral i y i = t } Fakte: Ülesanded CLIQUE ja SUBSET SUM kuuluvad klassi conp. Pole teada kas NP = conp või mitte. Parimad teadaolevad algoritmid NP ülesannete lahendamiseks on eksponentsiaalse keerukusega, st NP EXPTIME = TIME(2 nk ) k Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 34 / 45
47 P = NP? Ükskahest võimalusest peab olema õige: P NP P = NP Ketestatavuse ülesanne: SAT = {ϕ ϕ on kehtestatav Bool i valem} ϕ = (x y) ( x y z) x Teoreem (Cook & Levin) SAT P parajasti siis, kui P = NP. x y z ϕ Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 35 / 45
48 P = NP? Ükskahest võimalusest peab olema õige: P NP P = NP Ketestatavuse ülesanne: SAT = {ϕ ϕ on kehtestatav Bool i valem} ϕ = (x y) ( x y z) x Teoreem (Cook & Levin) SAT P parajasti siis, kui P = NP. x y z ϕ Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 35 / 45
49 Ülesannete redutseeritavus Definitsioon Hulga A Σ lahenduvuse ülesanne on m-redutseeritav hulga B Σ lahenduvuse ülesandeks, kui leidub selline arvutatav funktsioon f : Σ Σ, nii et iga w Σ korral kehtib w A f (w) B. Definitsioon Kui redutseeritavuse funktsioon f P, siis A on polünomiaalselt redutseeritav B-ks. Teoreem Kui ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav B-ks ning B P, siis A P. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 36 / 45
50 Ülesannete redutseeritavus (2) Teoreem SAT on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks CLIQUE ϕ = (x 1 x 2 x 3 ) ( x 1 x 2 x 3 ) (x 1 x 2 x 3 ) Graafis on kõik võimalikud servad, v.a. ühe diskunkti elementide vahel ning vastandliteraalide vahel (näiteks x ja x). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 37 / 45
51 Ülesanne SAT on NP täielik Väite tõestuse idee SAT on NP keerukas ülesanne (lihtne kontrollida definitsiooni põhjal); Iga NP keeruka keele L jaoks leidub mittedeterministlik Turingi masin M, mis teeb kindlaks iga sõne w = w 1 w 2...w n jaoks, kas w L või mitte. Konstrueerime sellise masina jaoks lausearvutuse valemi Φ, mis on kehtestatav parajasti siis, kui Turingi masin M aktsepteerib sõne w. Näitame, et teisendus M, w Φ on polünomiaalse keerukusega, s.t. L on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks SAT. Eeldame, et Boole i lülitused simuleerivad Turingi masina tööd. Olgu t : N N, nii et T (n) n ja M Turingi masin, mille sisendtähestik on {0, 1}; tööaeg on t(n) takti. Iga n jaoks leidub Boole i avaldis, mille literaalide arv on O(t 2 (n)). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 38 / 45
52 Ülesanne SAT on NP täielik Väite tõestuse idee SAT on NP keerukas ülesanne (lihtne kontrollida definitsiooni põhjal); Iga NP keeruka keele L jaoks leidub mittedeterministlik Turingi masin M, mis teeb kindlaks iga sõne w = w 1 w 2...w n jaoks, kas w L või mitte. Konstrueerime sellise masina jaoks lausearvutuse valemi Φ, mis on kehtestatav parajasti siis, kui Turingi masin M aktsepteerib sõne w. Näitame, et teisendus M, w Φ on polünomiaalse keerukusega, s.t. L on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks SAT. Eeldame, et Boole i lülitused simuleerivad Turingi masina tööd. Olgu t : N N, nii et T (n) n ja M Turingi masin, mille sisendtähestik on {0, 1}; tööaeg on t(n) takti. Iga n jaoks leidub Boole i avaldis, mille literaalide arv on O(t 2 (n)). Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 38 / 45
53 Ülesanne SAT on NP täielik (2) Iga n jaoks leidub Boole i avaldis, mille literaalide arv on O(t 2 (n)). Kirjutame masina M töö käigus tekkinud konfiguratsioonid C 0 C 1 C t(n) üksteise alla, nii et tekib (t(n) + 1) (t(n) + 1) tabel: Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 39 / 45
54 Ülesanne SAT on NP täielik (3) Kui konfiguratsioonide vahetamine töötakti jooksul on määratud näiteks üleminekutega δ(q 1,a) = {(q 1,b,R)} ja δ(q 1,b) = {(q 2,c,L),(q 2,a,R)}, on tabelis lubatud järgmised lokaalsed muudatused (2 3 aknad ): Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 40 / 45
55 Ülesanne SAT on NP täielik (3) Kui konfiguratsioonide vahetamine töötakti jooksul on määratud näiteks üleminekutega δ(q 1,a) = {(q 1,b,R)} ja δ(q 1,b) = {(q 2,c,L),(q 2,a,R)}, on tabelis lubatud järgmised lokaalsed muudatused (2 3 aknad ):... ja mittelubatud aknad : Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 40 / 45
56 Ülesanne SAT on NP täielik (3) Kui konfiguratsioonide vahetamine töötakti jooksul on määratud näiteks üleminekutega δ(q 1,a) = {(q 1,b,R)} ja δ(q 1,b) = {(q 2,c,L),(q 2,a,R)}, on tabelis lubatud järgmised lokaalsed muudatused (2 3 aknad ): Esitame tabeli loogikavalemina, kus muutuja x i,j,s = 1 parajasti siis, kui tabeli lahtris (i,j) on väärtus s (muidu on x i,j,s = 0. Lubatud aken a 1,a 2,...,a 6, kus a 2 on tabeli lahter (i,j), saab esitada valemiga: (x i,j 1,a1 x i,j,a2 x i,j+1,a3 x i+1,j 1,a4 x i+1,j,a5 x i+1,j+1,a6 ) Olgu Φ move nende valemite konjunktsioon kõigi lubatud akende korral Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 40 / 45
57 Ülesanne SAT on NP täielik (4) Lisanduvad veel valemid tabeli üksiku lahtri ja rajatingimuste kohta: Kokkuvõttes saame valemi Φ cell Φ start Φ move Φ accept. Tabeli iga lahtri jaoks leidub valemis muutujaid mitte rohkem kui mingi konstant k, seega selle valemi kontrollimine on polünomiaalse keerukusega O(t 2 (n)) Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 41 / 45
58 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Eelnevas tõestasime sisuliselt järgmise teoreemi: Teoreem (Cook & Levin) SAT P parajasti siis, kui P = NP. 3SAT on kehtestatavuse ülesanne, kus valemi igas disjunktis on täpselt kolm literaali. Teoreem 3SAT on NP-täielik ülesanne. Põhjendus. Viia valem konjunktiivsele normaalkujule ning disjunktid, milles on kolmest erinev arv literaale asendada järgmiselt: (a 1 a 2 ) asemel (a 1 a 2 a 2 ); (a 1 a 2... a 2 ) asemel (a 1 a 2 z 1 ) (z 1 a 3 z 2 ) (z 2 a 4 z 3 )... (z l 3 a l 1 a l ) m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 42 / 45
59 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Eelnevas tõestasime sisuliselt järgmise teoreemi: Teoreem (Cook & Levin) SAT P parajasti siis, kui P = NP. 3SAT on kehtestatavuse ülesanne, kus valemi igas disjunktis on täpselt kolm literaali. Teoreem 3SAT on NP-täielik ülesanne. Põhjendus. Viia valem konjunktiivsele normaalkujule ning disjunktid, milles on kolmest erinev arv literaale asendada järgmiselt: (a 1 a 2 ) asemel (a 1 a 2 a 2 ); (a 1 a 2... a 2 ) asemel (a 1 a 2 z 1 ) (z 1 a 3 z 2 ) (z 2 a 4 z 3 )... (z l 3 a l 1 a l ) m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 42 / 45
60 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Eelnevas tõestasime sisuliselt järgmise teoreemi: Teoreem (Cook & Levin) SAT P parajasti siis, kui P = NP. 3SAT on kehtestatavuse ülesanne, kus valemi igas disjunktis on täpselt kolm literaali. Teoreem 3SAT on NP-täielik ülesanne. Põhjendus. Viia valem konjunktiivsele normaalkujule ning disjunktid, milles on kolmest erinev arv literaale asendada järgmiselt: (a 1 a 2 ) asemel (a 1 a 2 a 2 ); (a 1 a 2... a 2 ) asemel (a 1 a 2 z 1 ) (z 1 a 3 z 2 ) (z 2 a 4 z 3 )... (z l 3 a l 1 a l ) m.o.t.t. Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 42 / 45
61 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Teoreem Kui B NP-täielik ja B P, siis P = NP. Teoreem Kui B NP-täielik ja B on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks C, siis C NP-täielik. Veel NP-täielikke ülesanded: HAMPATH rändkaupmehe ülesanne SUBSET SUM Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 43 / 45
62 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Teoreem Kui B NP-täielik ja B P, siis P = NP. Teoreem Kui B NP-täielik ja B on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks C, siis C NP-täielik. Veel NP-täielikke ülesanded: HAMPATH rändkaupmehe ülesanne SUBSET SUM Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 43 / 45
63 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Teoreem Kui B NP-täielik ja B P, siis P = NP. Teoreem Kui B NP-täielik ja B on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks C, siis C NP-täielik. Veel NP-täielikke ülesanded: HAMPATH rändkaupmehe ülesanne SUBSET SUM Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 43 / 45
64 NP täielikud ülesanded Definitsioon Ülesanne B on NP täielik, kui ta rahuldab järgmisi tingimusi: B NP; iga NP ülesanne A on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks B. Teoreem Kui B NP-täielik ja B P, siis P = NP. Teoreem Kui B NP-täielik ja B on polünomiaalselt redutseeritav ülesandeks C, siis C NP-täielik. Veel NP-täielikke ülesanded: HAMPATH rändkaupmehe ülesanne SUBSET SUM Jaan Penjam, jaan@cs.ioc.ee Keerukusteooria elemente 43 / 45
65 Ülesannete keerukusklassid Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 44 / 45
66 Ülesannete keerukusklassid (Wikipedia) Jaan Penjam, Keerukusteooria elemente 45 / 45
Lokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
ITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Kontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Graafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Kompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Funktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
HULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Geomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
T~oestatavalt korrektne transleerimine
T~oestatavalt korrektne transleerimine Transleerimisel koostatakse lähtekeelsele programmile vastav sihtkeelne programm. Transleerimine on korrektne, kui transleerimisel programmi tähendus säilib. Formaalsemalt:
Kontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.2 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 28 Sisukord 1 Pinuautomaadid 2 KV keeled ja pinuautomaadid Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Arvuteooria. Diskreetse matemaatika elemendid. Sügis 2008
Sügis 2008 Jaguvus Olgu a ja b täisarvud. Kui leidub selline täisarv m, et b = am, siis ütleme, et arv a jagab arvu b ehk arv b jagub arvuga a. Tähistused: a b b. a Näiteks arv a jagab arvu b arv b jagub
Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist
Loeng 2 Punktide jaotus: kodutööd 15, nädalatestid 5, kontrolltööd 20+20, eksam 40, lisapunktid Kontrolltööd sisaldavad ka testile vastamist P2 - tuleb P1 lahendus T P~Q = { x P(x)~Q(x) = t} = = {x P(x)
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Formaalsete keelte teooria. Mati Pentus
Formaalsete keelte teooria Mati Pentus http://lpcs.math.msu.su/~pentus/ftp/fkt/ 2009 13. november 2009. a. Formaalsete keelte teooria 2 Peatükk 1. Keeled ja grammatikad Definitsioon 1.1. Naturaalarvudeks
4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
HAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Ruumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Vektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp
Diskreetne matemaatika 2016/2017. õ. a. Professor Peeter Puusemp http://www.staff.ttu.ee/ puusemp/ Sellel kodulehe aadressil asub alajaotuse Diskreetne matemaatika all elektrooniline õpik ja ülesannete
2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Mudeliteooria. Kursust luges: Kalle Kaarli september a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk.
Mudeliteooria Kursust luges: Kalle Kaarli 1 20. september 2004. a. 1 Käesoleva konspekti on L A TEX-kujule viinud Indrek Zolk. 2 Sisukord 1 Põhimõisted 9 1.1 Signatuur ja struktuur.................. 9
KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2010
KTEGOORITEOORI Kevad 2010 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Planeedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides. Raido Paas Juhendaja: Mart Abel
Algebraliste võrrandite lahenduvus radikaalides Magistritöö Raido Paas Juhendaja: Mart Abel Tartu 2013 Sisukord Sissejuhatus Ajalooline sissejuhatus iii v 1 Rühmateooria elemente 1 1.1 Substitutsioonide
Ehitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Algoritmid ja andmestruktuurid Ülesannete kogu Versioon 1.0 5. juuli 2016. a. 17:06 Koostajad: Ahti Peder Jüri Kiho Härmel Nestra Tartu 2016 Käesoleva õppevahendi
Suhteline salajasus. Peeter Laud. Tartu Ülikool. peeter TTÜ, p.1/27
Suhteline salajasus Peeter Laud peeter l@ut.ee Tartu Ülikool TTÜ, 11.12.2003 p.1/27 Probleemi olemus salajased sisendid avalikud väljundid Program muud väljundid muud sisendid mittesalajased väljundid
KATEGOORIATEOORIA. Kevad 2016
KTEGOORITEOORI Kevad 2016 Loengukonspekt Lektor: Valdis Laan 1 1. Kategooriad 1.1. Hulgateoreetilistest alustest On hästi teada, et kõigi hulkade hulka ei ole olemas. Samas kategooriateoorias sooviks me
YMM3740 Matemaatilne analüüs II
YMM3740 Matemaatilne analüüs II Gert Tamberg Matemaatikainstituut Tallinna Tehnikaülikool gert.tamberg@ttu.ee http://www.ttu.ee/gert-tamberg G. Tamberg (TTÜ) YMM3740 Matemaatilne analüüs II 1 / 29 Sisu
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD
Krüptoräsid (Hash- funktsioonid) ja autentimine. Kasutatavaimad algoritmid. MD5, SHA-1, SHA-2. Erika Matsak, PhD 1 Nõudmised krüptoräsidele (Hash-funktsionidele) Krüptoräsiks nimetatakse ühesuunaline funktsioon
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE
3. LOENDAMISE JA KOMBINATOORIKA ELEMENTE 3.1. Loendamise põhireeglid Kombinatoorika on diskreetse matemaatika osa, mis uurib probleeme, kus on tegemist kas diskreetse hulga mingis mõttes eristatavate osahulkadega
Tuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
1 MTMM Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014
1 MTMM.00.188 Kõrgem matemaatika, eksamiteemad 2014 Eksamitöö annab kokku 80 punkti ja ülesanded jagunevad järgmisse kuude gruppi: P1 ( 10p ) - ülesanded I kontrolltöö põhiteemade peale; P2 ( 10p ) - ülesanded
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse. Ahto Buldas
Krüptoloogia II: Sissejuhatus teoreetilisse krüptograafiasse Ahto Buldas 22. september 2003 2 Sisukord Saateks v 1 Entroopia ja infohulk 1 1.1 Sissejuhatus............................ 1 1.2 Kombinatoorne
Koduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
ALGEBRA I. Kevad Lektor: Valdis Laan
ALGEBRA I Kevad 2013 Lektor: Valdis Laan Sisukord 1 Maatriksid 5 1.1 Sissejuhatus....................................... 5 1.2 Maatriksi mõiste.................................... 6 1.3 Reaalarvudest ja
Jätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
PLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Avaliku võtmega krüptograafia
Avaliku võtmega krüptograafia Ahto Buldas Motiivid Salajase võtme vahetus on tülikas! Kas ei oleks võimalik salajases võtmes kokku leppida üle avaliku kanali? 2 Probleem piiramatu vastasega! Kui vastane
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Sisukord. 4 Tõenäosuse piirteoreemid 36
Sisukord Sündmused ja tõenäosused 5. Sündmused................................... 5.2 Tõenäosus.................................... 8.2. Tõenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Sisukord. 3 T~oenäosuse piirteoreemid Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord Sündmused ja t~oenäosused 4. Sündmused................................... 4.2 T~oenäosus.................................... 7.2. T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise definitsiooni
4 T~oenäosuse piirteoreemid Tsentraalne piirteoreem Suurte arvude seadus (Law of Large Numbers)... 32
Sisukord 1 Sündmused ja t~oenäosused 4 1.1 Sündmused................................... 4 1.2 T~oenäosus.................................... 7 1.2.1 T~oenäosuse arvutamise konkreetsed meetodid (üldise
Analüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
1 Kompleksarvud Imaginaararvud Praktiline väärtus Kõige ilusam valem? Kompleksarvu erinevad kujud...
Marek Kolk, Tartu Ülikool, 2012 1 Kompleksarvud Tegemist on failiga, kuhu ma olen kogunud enda arvates huvitavat ja esiletõstmist vajavat materjali ning on mõeldud lugeja teadmiste täiendamiseks. Seega
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Deformeeruva keskkonna dünaamika
Peatükk 4 Deformeeruva keskkonna dünaamika 1 Dünaamika on mehaanika osa, mis uurib materiaalsete keskkondade liikumist välismõjude (välisjõudude) toimel. Uuritavaks materiaalseks keskkonnaks võib olla
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
1 Reaalarvud ja kompleksarvud Reaalarvud Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju... 5
1. Marek Kolk, Kõrgem matemaatika, Tartu Ülikool, 2013-14. 1 Reaalarvud ja kompleksarvud Sisukord 1 Reaalarvud ja kompleksarvud 1 1.1 Reaalarvud................................... 2 1.2 Kompleksarvud.................................
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
1. Paisksalvestuse meetod (hash)
1. Paisksalvestuse meetod (hash) Kas on otsimiseks võimalik leida paremat ajalist keerukust kui O(log n)? Parem saaks olla konstantne keerukus O(1), mis tähendaks seda, et on kohe teada, kust õige kirje
5. TUGEVUSARVUTUSED PAINDELE
TTÜ EHHTROONKNSTTUUT HE00 - SNTEHNK.5P/ETS 5 - -0-- E, S 5. TUGEVUSRVUTUSE PNELE Staatika üesandes (Toereaktsioonide eidmine) vaadatud näidete ause koostada taade sisejõuepüürid (põikjõud ja paindemoment)
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
sin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Kontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi
Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest
Eesti koolinoorte 43. keemiaolümpiaad
Eesti koolinoorte 4. keeiaolüpiaad Koolivooru ülesannete lahendused 9. klass. Võrdsetes tingiustes on kõikide gaaside ühe ooli ruuala ühesugune. Loetletud gaaside ühe aarruuala ass on järgine: a 2 + 6
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Geomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid
Marek Kolk, Tartu Ülikool Viimati muudetud : 6.. Aritmeetilised ja loogilised operaatorid. Vektor- ja maatriksoperaatorid Aritmeetilised operaatorid Need leiab paletilt "Calculator" ja ei vaja eraldi kommenteerimist.
Joonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Skalaar, vektor, tensor
Peatükk 2 Skalaar, vektor, tensor 1 2.1. Sissejuhatus 2-2 2.1 Sissejuhatus Skalaar Üks arv, mille väärtus ei sõltu koordinaatsüsteemi (baasi) valikust Tüüpiline näide temperatuur Vektor Füüsikaline suurus,
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA
http://wwwttuee http://wwwstaffttuee/ math TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MATEMAATIKAINSTITUUT http://wwwstaffttuee/ itammeraid Ivar Tammeraid T~OENÄOSUSTEOORIA JA MATEMAATILINE STATISTIKA Elektrooniline ~oppematerjal
,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
1 Entroopia ja informatsioon
Kirjadus: T.M. Cover, J.A. Thomas "Elemets of iformatio theory", Wiley, 99 ja 2006. Yeug, Raymod W. "A first course of iformatio theory", Kluwer, 2002. Mackay, D. "Iformatio theory, iferece ad learig algorithms",
6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Ivar Tammeraid itammeraid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I. Elektrooniline õppevahend
TTÜ Mtemtikinstituut http://www.stff.ttu.ee/ mth/ Ivr Tmmerid http://www.stff.ttu.ee/ itmmerid/ MATEMAATILINE ANALÜÜS I Elektrooniline õppevhend Tllinn, Trükitud versioon: Ivr Tmmerid, Mtemtiline nlüüs
Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid
Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid Alustame nüüd Exceli põhiliste töövahenditega - funktsioonidega. Võtame esimesena sihikule Matemaatilised ja trigonomeetrilised funktsioonid. Kuigi kogu
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33
(Raud)betoonkonstruktsioonide üldkursus 33 Normaallõike tugevusarvutuse alused. Arvutuslikud pinge-deormatsioonidiagrammid Elemendi normaallõige (ristlõige) on elemendi pikiteljega risti olev lõige (s.o.
Sisukord. 2 Programmeerimiskeel C
Veiko Sinivee 2 Programmeerimiskeel C Sisukord Sissejuhatus...1 Programmeerimiskeel C...1 C - keele programmi ehitusest...4 Abiprogramm MAKE...13 Enamkasutatavad funktsioonid...16 Funktsioonid printf()
=217 kj/mol (1) m Ühe mooli glükoosi sünteesil lihtainetest vabaneb footoneid: Δ H f, glükoos n (glükoos) =5,89 mol (1) E (footon)
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Vanem rühm (11. ja 12. klass) Kohtla-Järve, Kuressaare, Narva, Pärnu, Tallinn ja Tartu 6. oktoober 2018 1. a) 1 p iga õige ühendi eest. (4) b) Võrrandist ():
Mathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Lambda-arvutus. λ-termide süntaks. Näiteid λ-termidest. Sulgudest hoidumine. E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv.
Lambda-arvutus λ-termide süntaks Näiteid λ-termidest Sulgudest hoidumine Lambda-arvutus E ::= V muutuja (E 1 E 2 ) aplikatsioon (λv. E) abstraktsioon (λx. x) (((λx. (λf. (f x))) y)(λz. z)) (λx. y) (λx.
I. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Programmeerimise eksamiülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia
MATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II