i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους.

Transcript

1 Ένα δοκάρι µεγάλου µήκους και µάζας M, είναι ακίνητο πάνω σε λείο οριζόντιο έδαφος. Στο ένα άκρο του δοκαριού βρίσκεται ξύλινο σώµα µάζας m, το οποίο παρουσιάζει µε την επιφά νεια του δοκαριού συντελεστή τριβής ολίσθησης n. Ένα βλήµα µάζας m/4 κινούµενο οριζόντια µε ταχύτητα v, της οποίας ο φορέας είναι παράλληλος προς τον διαµήκη άξονα του δοκαριού, προσπίπτει στο ξύλινο σώµα και το διαπερνά ακαριαία, εξερχόµενο από αυτό µε ταχύ τητα v / (σχήµα ). i) Nα αποδείξετε ότι το σώµα τελικά θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και να βρείτε την κοινή τους ταχύτητα στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους. ii) Nα βρείτε τον χρόνο της σχετικής κίνησης του σώµατος πάνω στο δοκάρι. iii) Nα βρείτε πιο κλάσµα της αρχικής κινητικής ενέργειας του βλή µατος αποτελεί η κινητική ενέργεια του συσσωµατώµατος δοκάρι-ξύ λινο σώµα. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εάν V είναι η ταχύτητα του ξύλινου σώµατος αµέσως µετά το πέρασµα του βλήµατος µέσα από αυτό, τότε συµφωνα µε την αρχή δια τήρησης της ορµής για το σύστηµα βλήµα-σώµα, θα ισχύει η σχέση: mv 4 = mv + m 4 v V = v 4 - v 8 = v 8 To σώµα στην διάρκεια της κινήσεώς του δέχεται το βάρος του m g και την αντίδραση του δοκαριού που αναλύεται στην τριβή ολισθήσεως T και την κάθετη αντίδραση N. Η τριβή επιβραδύνει το σώµα η δε επιβράδυνσή του a στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα, ικανοποιεί την σχέση: T = ma nn = ma nmg= ma a = ng () Eξάλλου το δοκάρι στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους επιταχύνεται εκ της ηρεµίας υπό την επίδραση της δύναµης T ', η οποία είναι η αντίδραση ()

2 της T, η δε επιτάχυνσή του a σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα ικανοποιεί την σχέση: T'= Ma nmg = Ma a = nmg /M (3) Σχήµα Ύστερα από χρόνο t αφότου έγινε η κρούση του βλήµατος µε το σώµα θα έχουµε για τις ταχύτητες v και v του σώµατος και του δοκαριού αντι στοίχως τις σχέσεις: v = V - a t v = a t (),(3) v = V - ngt v = ngmt/m (4) Από τις σχέσεις (4) προκύπτει ότι η ταχύτητα του σώµατος µειώνεται µε τον χρόνο, ενώ του δοκαριού αυξάνεται. Όταν οι δύο ταχύτητες εξισω θούν το σώµα θα ηρεµήσει ως προς το δοκάρι και οι τριβές θα µηδενισ θούν, που σηµαίνει ότι στην συνέχεια το σώµα και το δοκάρι θα έχουν στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους κοινή ταχύτητα V που θα διατηρεί ται χρονικά σταθερή, το δε µέτρο της σύµφωνα µε την αρχή διατήρησης της ορµής για το σύστηµα σώµα-δοκάρι θα προκύπτει από την σχέση: () mv + = (M + m)v V = mv / M + m V = mv / 8(M + m) (5) ii) Eάν t * είναι η χρονική στιγµή που το δοκάρι και το σώµα αποκτούν κοινή ταχύτητα, θα έχουµε µε βάση τις (4) την σχέση: () V - ngt * = ngmt * /M V = ngt * ( m/m + ) 8 = ngt m * M + t * = v Mv 8ng(M + m) (6)

3 iii) H τελική κινητική ενεργεια Κ τελ του συστήµατος δοκάρι-σώµα είναι: K = (M + m)v (5) K = (M + m) mv ' 8(M + m) ) ( K = mv K K µ = m ' m ) 64(M + m) ) K = K µ ( ( ' 64(M + m) + * m 64(M + m) < P.M. fysios Ένα καρούλι µάζας Μ, εξωτερικής ακτίνας R και εσωτερικής R/ µπορεί να στρέφεται περί τον γεωµετρικό του άξονα ο οποίος στηρίζεται σε έδρανα µε τα οποία παρουσιάζει τριβή κατα την περιστροφή του καρουλιού. Στην εξωτερική κυλινδρική επιφάνεια του καρουλιού εχει τυλιχθεί αβαρές και µη εκτατο νήµα στο ελευθερο άκρο του οποίου έχει δεθεί σώµα µάζας m και το όλο σύστηµα κρατεί ται ακίνητο. Κάποια στιγµή το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο και η µά ζα m κατέρχεται κατά h σε χρόνο t. i) Nα βρεθεί η ροπή της τριβής στα έδρανα, περί τον άξονα περιστρο φής του καρουλιού, υπό την προυπόθεση ότι αυτή είναι σταθερή. ii) Nα βρεθεί η κινητική ενέργεια του συστήµατος την χρονική στιγ µή t. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=m R / oµογενούς κυλίνδρου µάζας m και ακτίνας R, ως προς τον γεωµετρικό του άξονα. ΛΥΣΗ: i) Το σώµα κατέρχεται υπό την επίδραση του βάρους του m g και της τάσεως T του νήµατος η δε επιτάχυνσή του a, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα θα ικανοποιεί την σχέση: mg- T = ma T = m(g - a) () To καρούλι περιστρέφεται υπό την επίδραση της ροπής της τάσεως T ' του νή µατος περί τον άξονα περιστροφής του και της αντίστοιχης ροπής x των τρι βών που παρουσιάζονται στα έδρανα στηρίξεως του άξονα, η οποία ροπή αντι στέκεται στην περιστροφή του. Εφαρµόζοντας για το καρούλι τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: T'R - x = I' TR - x = I ' () όπου Ι η ροπή αδράνειας του καρουλιού ως προς τον άξονα περιστροφής του και ' η γωνιακή του επιτάχυνση. Όµως για την ροπή αδράνειας Ι ισχύει:

4 I = m R - m R = R m - m (3) 4 όπου m, m oι µάζες των κυλίνδρων µε ακτίνες βάσεως R και R/ αντιστοί χως, µε ύψος ίσο προς το µήκος του καρουλιού και της ίδιας πυκνότητας µε αυτό. Όµως οι µάζες m, m ικανοποιούν τις σχέσεις: m - m = M και m /m = 4R / R = 4 Σχήµα από τις οποίες προκύπτει m =4M/3 και m =M/3. Έτσι η σχέση (3) γράφεται: I = R 4M 3 - M = R 5M = 5MR 8 (4) Συνδιάζοντας τις σχέσεις () και (4) παίρνουµε: TR - x = 5MR '/8 TR - x = 5MRa / 8 (5) διότι ισχύει a=ω R. H παραπάνω σχέση µε βάση την () γράφεται: m(g - a)r - x = 5MRa / 8 (6) από την οποία προκύπτει ότι η επιτάχυνση του σώµατος είναι σταθερή, δηλαδή στην διάρκεια που το καρούλι περιστρέφεται το σώµα κατέρχεται οµαλά επι ταχυνόµενο. Αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: h = at / a = h / t οπότε η (6) παίρνει την µορφή: m g - h t R - ' x = 5MR h 8 t = m g - h x t ' R - 5MR h 4 t

5 ( x = R m g - h t ' - 5Mh + * ) 4t -, P.M. fysios Στην διάταξη του σχήµατος (3) ο κυκλικός δίσκος δ ακτίνας R είναι οµογενής, έχει µάζα m και κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο κεκλιµένο επίπεδο γωνίας κλίσεως φ ως προς τον ορίζοντα. Εξάλλου η τροχαλία τ έχει µάζα Μ και είναι στερεωµένη σε τέτοια θέση, ώστε το αβαρές και µη εκτατό νήµα το οποίο είναι τυλιγµένο στην περιφέρεια του δίσκου και στο αυλάκι της τροχαλίας να παρα µένει συνεχώς παράλληλο προς το κεκλιµένο επίπεδο και τεντωµένο καθώς ο δίσκος κατέρχεται κυλιόµενος και η τροχαλία περιστρέφεται. i) Nα βρείτε την επιτάχυνση του κέντρου µάζας του δίσκου. ii) Eάν n είναι ο συντελεστής οριακής τριβής µεταξύ του δίσκου και του κεκλιµένου επιπέδου να βρείτε την συνθήκη που επιτρέπει στον δίσκο να µην ολισθαίνει. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και ότι η ροπή αδράνειας Ι Δ =mr / του δίσκου ως προς άξονα που διέρ χεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Η µάζα της τροχαλίας να θεωρηθεί συνγκεντρωµένη στην περιφέρειά της. ΛΥΣΗ: i) Ο κυλιόµενος δίσκος δ δέχεται το βάρος του w που αναλύεται στην παράλληλη προς το κεκλιµένο επίπεδο συνιστώσα w και στην κάθετη προς αυτό συνιστώσα w, την τάση Q του νήµατος και τέλος την δυναµη επαφής από το κεκλιµένο επίπεδο, που αναλύεται στην στατική τριβή T και την κάθε τη αντίδραση N. Εφαρµόζοντας για το κέντρο µάζας του δίσκου τον δεύτερο νόµο κίνησης του Νεύτωνα παίρνουµε την σχέση: w - Q - T = ma C mgµ - Q - T = ma C () Σχήµα 3 όπου a C η επιτάχυνση του κέντρου µάζας. Εξάλλου για την περιστροφή του δίσκου περί το κέντρο µάζας του ο θεµελιώδης νόµος της στροφικής κίνησης δί νει την σχέση:

6 TR - QR = I ' (T - Q)R = mr ' / T - Q = mr ' / () όπου ' η γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου. Όµως λόγω της κύλισης του δίσ κου η ποσότητα ω Δ R αποτελει το µέτρο της a C, οπότε η () γράφεται: T - Q = ma C / (3) Eάν επικεντρωθούµε στην περιστροφή της τροχαλίας τ αυτή οφείλεται στην ροπή της τάσεως - Q του νήµατος περί το κέντρο της και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης θα ισχύει η σχέση: Qr = I T ' T Qr = Mr ' T Q = Mr ' T (4) όπου r η ακτίνα της τροχαλίας και ' T η γωνιακή της επιτάχυνση. Όµως κάθε στιγµή οι ταχύτητες των σηµείων α και β του νήµατος (σχήµα 3) είναι ίσες αφού αυτό είναι διαρκώς τεντωµένο και το γεγονός αυτό µας επιτρέπει να γράψουµε την σχέση: v C = v R = r (5) όπου, T οι γωνιακες ταχύτητες του δίσκου και της τροχαλίας αντίστοίχως την στιγµή t που εξετάζουµε το σύστηµα. Eάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt τα µέτρα των γωνιακών ταχυτήτων και T µεταβάλλονται κατά dω Δ και dω T αντιστοίχως, τότε από την (5) θα έχουµε: d R = d r (d /dt)r = (d / dt)r ' R = ' T r a C = ' T r (6) Η σχέση (4) µε βάση την (6) γράφεται: Q = Ma C (7) Συνδυάζοντας εξάλλου τις σχέσεις (3) και (7) παίρνουµε: T - Ma C = ma C / T = (m/ + M)a C (8) Συνδυάζοντας τέλος τις (), (7) και (8) έχουµε: mgµ - Ma C - (m/ + M)a C = ma C mgµ = (3m/ + 4M)a C a C = mgµ /(3m + 8M) (9) ii) Για να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ο δίσκος επί του κεκλιµένου επιπέδου, πρέπει το µέτρο της τριβής T να ικανοποιεί την σχέση: (8) T nn T nmg (9) (m/ + M)a C nmg

7 m + M mg'µ( 3m + 8M µ ) nmg*+,( ( m+ 4M) ( ) n*+, 3m + 8M' µ ' 3m + 8M* n), ( m+ 4M + n H () αποτελεί την ζητούµενη συνθήκη. 3m + 8M m+ 4M () P.M. fysios Δύο λεπτές ράβδοι OA και OB της ίδιας µάζας m και του ίδιου µήκους L, είναι συγκοληµένες στο σηµείο O και σχηµα τίζουν µεταξύ τους γωνία π/. Tο σύστηµα των δύο ράβδων µπορεί να στρέφεται περί σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κοινό τους άκρο O, ώστε οι ράβδοι να βρίσκονται συνεχώς στο ίδιο κατακό ρυφο επίπεδο. Το σύστηµα κρατείται αρχικά ακίνητο µε την ράβδο ΟΑ οριζόντια και την ΟΒ κατακόρυφη και κάποια στιγµή αφήνεται ελεύθερο. i) Να καθορίσετε σε ποια θέση η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος αποκτά το µεγαλύτερο µέτρο και να υπολογιστεί το µέτρο αυτό. ii) Nα δείξετε ότι η θέση µέγιστης γωνιακής ταχύτητας του συστήµα τος είναι θέση ισορροπίας αυτού, η δε ισορροπία αυτή είναι ευσταθής. iii) Να βρείτε τον ρυθµό µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος την στιγµή t= που αφήνεται ελευθερο. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας I=mL /3 µιας ράβδου µήκους L και µάζας m, περί άξονα που διέρχεται από το ένα άκρο της και είναι κά θετος σ' αυτή. ΛΥΣΗ: i) Όταν το σύστηµα αφεθεί ελευθερο εκτελεί στροφική κίνηση περί οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κοινό άκρο Ο των δύο ράβδων, της οποίας η εξέλιξη καθορίζεται από τις ροπές των βαρών τους περί τον άξονα αυτόν. Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής Σχήµα 4 ενέργειας από την στιγµή που αφήνεται ελεύθερο µέχρι την στιγµή t που η ράβ δος OA σχηµατίσει γωνία φ µε την οριζόντια διεύθυνση, παίρνουµε την σχέση:

8 - mgl = -mgh - mgh + ml 3 ' + ml 3 ' - mgl = - mglµ - mgl + ml ) ( ' 3 + *, - g = - gµ όπου - g + L 3 = 3g (µ + - ) () L η γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος την χρονική στιγµή t. Aπό την () προκύπτει ότι το µέτρο της αποκτά την µεγαλύτερη τιµή του στην θέση εκείνη για την οποία το άθροισµα ηµφ+συνφ γίνεται µέγιστο. Όµως ισχύει: µ + = µ + µ ( / - ) = µ ( / 4)( - /4) µ + = ( - /4) () Aπό την () προκύπτει το άθροισµα ηµφ+συνφ γίνεται µέγιστο όταν: ( - /4) = - /4 = = /4 (3) Συνδυάζοντας τις σχέσεις () και () παίρνουµε: max = 3g 3g (µ/4 + /4 - ) = L L ( - ) max = 3g ( L - ) (4) ii) Στην τυχαία θέση του συστήµατος (χρονική στιγµή t) αυτό δέχεται συνιστα µένη ροπή περί τον άξονα περιστροφής του, που η αλγεβρική της τιµή δίνεται από την σχέση: () = wx - wx = mg(l/) - mg(l'µ/) () = mgl( - 'µ)/ (5) Στην θέση φ=π/4 η (5) δίνει µηδενική συνισταµένη ροπή για το σύστηµα, που σηµαίνει ότι αν αφεθεί ελεύθερο στην θέση αυτή θα παραµείνει ακίνητο, δη λαδή η θέση φ=π/4 είναι θέση ισορροπίας του συστήµατος. Εξάλλου αν το σύστη µα αποµακρυνθεί ελάχιστα από την θέση αυτή (λογου χάρη δεξιόστροφα) τότε η µεν ροπή του βάρους της ράβδου ΟΒ θα αυξηθεί, ενώ της ράβδου ΟΑ θα ελαττω θεί, µε αποτέλεσµα να προκύψει επί του συστήµατος αριστερόστροφη συνισταµέ νη ροπή που το επαναφέρει στην θέση ισορροπίας του. Άρα η ισορροπία του συστήµατος στην θέση φ=π/4 είναι ευσταθής. iii) Tην στιγµή t= που το σύστηµα αφήνεται ελεύθερο είναι φ= και σύµφωνα µε την (5) η αντίστοιχη αλγεβρική τιµή της συνισταµένης ροπής που δέχεται

9 είναι ίση µε mgl/. Eφαρµόζοντας την στιγµή αυτή για το σύστηµα τον γενι κευµένο νόµο της στροφικής κίνησης παίρνουµε την σχέση: dl dt t= = mgl όπου (dl/dt) t= ο ζητούµενος ρυθµός µεταβολής της στροφορµής (αλγεβρική τιµή) του συστήµατος των δύο ράβδων. P.M. fysios Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m κινείται σε λείο οριζόντιο δάπεδο και συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε σώµα µάζας M, το οποίο είναι ακίνητο και στερεωµένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο σε ακλόνητο τοίχωµα. Nα βρείτε κάτω από ποιές συνθήκες είναι δυνατή µία ακόµη οριακή σύγκρουση των µαζών m και Μ και να αποδείξετε ότι η οριακή αυτή σύγκρουση θα συµβεί ύστερα από χρόνο t * µετά την αρχική σύγκρουση, που είναι ρίζα της εξίσωσης: M t * = M t *( ' ΛΥΣΗ: Εάν V, V είναι οι ταχύτητες των µαζών m και Μ αντιστοίχως αµέ σως µετά την µετωπική και ελαστική τους κρούση και v η ταχύτητα της µά ζας m πριν την κρούση, τότε για τις αλγεβρικές τιµές των V, V και µε θετι κή φορά την φορά της v θα ισχύουν οι σχέσεις: Σχήµα 5 V = (m - M)v m + M και V = mv m + M () Το σφαιρίδιο µετά την κρούση θα κινείται επί του λείου οριζόντιου δαπέδου µε σταθερή ταχύτητα v = V και η εξίσωση κίνησής του θα έχει την µορφή:

10 x = v t = V t () όπου x η αποµάκρυνσή του (διάνυσµα θέσεως) από το σηµείο σύγκρουσης Ο την χρονική στιγµή t που το εξετάζουµε. Εξάλλου το σώµα µετά την κρούση θα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε γωνιακή συχνότητα = /M, η δε εξίσωση κίνησής του θα έχει την µορφή: x = x µt = x µ ( /Mt) (3) όπου x η αποµάκρυνσή του από το Ο την χρονική στιγµή t, ενώ το πλάτος ταλάντωσής του x ικανοποιεί την σχέση: MV = x x = V M (4) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (3) και (4) παίρνουµε: M x = V µ M t ' (5) Mπορούµε να διακρίνουµε τις εξής περιπτώσεις: Σχήµα 6 α. Ισχύει m>m. Τότε V > που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο θα κινείται ευθύς µετά την κρούση κατά την θετική φορά, δηλαδή οµόρροπα προς το σώµα και είναι βέβαιο ότι θα υπάρξει χρονική στιγµή t * κατά την οποία θα συµβεί και δεύ τερη µετωπική σύγκρουση των µαζών m και Μ (σηµείο α στο σχήµα 6). Είναι προφανές ότι η περίπτωση αυτή δεν µας ενδιαφέρει, αφού δεν πρόκειται για οριακή αλλά για ασφαλή σύγκρουση των δύο µαζών. β. Ισχύει m<m. Τότε V <, που σηµαίνει ότι το σφαιρίδιο µετά την κρούση θα κινείται κατά την αρνητική φορά, δηλαδή αντίρροπα προς το σώµα. Θα εξετά σουµε αν είναι δυνατή στην περίπτωση αυτή η οριακή σύγκρουση των δύο µα ζών, δηλαδή θα αναζητήσουµε αν υπάρχει χρονική στιγµή t * για την οποία οι δύο µάζες m και Μ µόλις έρχονται σε επαφή έχοντας ίσες ταχύτητες (σηµείο β

11 στο σχήµα 6), οπότε για t>t * το σφαιρίδιο θα συνεχίσει κινούµενο µε σταθερή ταχύτητα V αποµακρυνόµενο από το σώµα του οποίου η ταχύτητα θα µειώνε ται. Για να συµβεί αυτό πρέπει να ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις: x (t * ) = x (t * ) v (t * ) = v (t * ) (6) H πρώτη από τις σχέσεις (6) µε βάση τις () και (5) γράφεται: V t * = V M µ M t *' V V M t * = µ M t *' (7) H δεύτερη από τις σχέσεις (6) γράφεται: V = V M M M t ' *) V = ( V M t ' *) (8) ( Διαιρώντας κατά µέλη τις σχέσεις (7) και (8) παίρνουµε την αποδεικτέα σχέση: M t * = M t *( (9) ' Παρατήρηση: H σχέση (9) αποτελεί µια υπερβατική εξίσωση η οποία δεν µπορεί να λυθεί µε αναλυτική αλγεβρική µέθοδο, µπορεί όµως να λυθεί προσεγ γιστικά µε γραφική µέθοδο, δηλαδή µε την βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή που χρησιµοποιεί κατάλληλο µαθηµατικό πρόγραµµα. Αν λοιπόν υπολογισθεί γραφικά η ποσότητα () θα έχουµε: /Mt * τότε από την σχέση (8) και µε βάση τις σχέσεις m - M m = M t ' *) ( M m = - M t ' *) () ( Η () αποτελεί την απαραίτητη συνθήκη για να συµβεί µια οριακή σύγκρουση των µαζών m και Μ µετά την αρχική τους σύγκρουση. P.M. fysios Ένα µικρό σφαιρίδιο µάζας m, είναι στερεωµένο στην περιφέρεια οµογενούς στεφάνης ακτίνας R και µάζας m, η οποία µπορεί να κυλίεται πάνω σε τραχύ οριζόντιο έδαφος χωρίς να ολισθαίνει. Αρχικά το σύστηµα βρίσκεται σε ισορροπία µε το σφαιρί διο στο ανώτατο σηµείο της στεφάνης (θέση ασταθούς ισορροπίας). Εάν το σφαιρίδιο εκτραπεί µε ελαφρά οριζόντια ώθηση, να βρεθεί η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης σε συνάρτηση µε την γωνία φ που σχήµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση η επιβατική ακτίνα του

12 σφαιριδίου, ως προς το κέντρο της στεφάνης. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας. ΛΥΣΗ: i) Εξετάζουµε το σύστηµα στεφάνη-σφαιρίδιο κατά µια τυχαία στιγµή t που η επιβατική ακτίνα του σφαιριδίου ως προς το κέντρο C της στεφάνης σχηµατίζει µε την κατακόρυφη διεύθυνση γωνία φ. Στην θέση αυτή το σφαιρί διο έχει στο σύστηµα αναφοράς του εδάφους ταχύτητα v, που προκύπτει ως συνισταµένη της µεταφορικής του ταχύτητας v C (ταχύτητα του κέντρου C) και της ταχύτητάς του v, που αντιστοιχεί στην περιστροφή της στεφάνης περί το κέντρο της. Το µέτρο της v ικανοποιεί την σχέση: v = v C + v + v C v v = v C + R + v C R () Σχήµα 7 όπου η γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης περι το C, την στιγµή t. Όµως λόγω της κυλίσεως της στεφάνης ισχύει v C =ωr, οπότε η σχέση () γράφεται: v = R + R + R v = R ( + ) () Εφαρµόζοντας για το σύστηµα το θεώρηµα διατήρησης της µηχανικής ενέργει ας στην διάρκεια του χρόνου t, παίρνουµε την σχέση: -mgr + = -mgr - mgr( - ) + mv / + mv C / + m R / () = -mgr( - ) + mv / + m R / + m R / = -mgr( - ) + m R ( + ) + m R g( - ) = R( + ) = g - )) ( + R ' + * = g - )) ( + R ' + * P.M. fysios Mια οµογενής σφαίρα Α µάζας m και ακτίνας R κυλίεται ισοταχώς χωρίς ολίσθηση πάνω σε οριζόντιο έδαφος και

13 κάποια στιγµή συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε οµογενή σφαίρα Β, µάζας m και ακτίνας R η οποία είναι ακίνητη. Εαν ο συν τελεστής τριβής ολίσθησης µεταξύ του εδάφους και των δύο σφαιρών είναι n και η ταχύτητα του κέντρου µάζας της σφαίρας Α είναι v, να βρείτε: i) ποια από τις δύο σφαίρες θα αρχίσει πρώτη να κυλίεται χωρίς ολίσ θηση, µετά την κρούση των σφαιρών και ii) την θερµότητα που θα αποδοθεί στο περιβάλλον του συστήµατος των δύο σφαιρών. Δίνεται η επιτάχυνση g της βαρύτητας και η ροπή αδράνειας Ι=mR /5 της σφαίρας Α, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της. H τριβή µεταξύ των σφαιρών κατα την κρούση θα θεω ρηθεί ασήµαντη. ΛΥΣΗ: i) Κατά τον πολύ µικρό χρόνο Δt που διαρκεί η κρούση των δύο σφαι ρών (Δt ) oι κρουστικές δυνάµεις αλληλεπιδράσεώς τους δεν µεταβάλλουν την στροφορµή καθε σφαίρας περί το κέντρο της, διότι οι αντίστοιχες ροπές τους είναι µηδενικές, αφού οι φορείς των δυνάµεων αυτών διέρχονται από το αντίστοιχο κέντρο. Το ίδιο ισχύει και για τις κάθετες αντιδράσεις που δέχονται οι σφαίρες από το οριζόντιο έδαφος, ενώ οι ροπές των τριβών περί τα κέντρα των σφαιρών έχουν κατά τον χρόνο Δt περίπου µηδενική επίδραση στην µετα βολή της στροφορµής τους. Όλα τα παραπάνω µας επιτρέπουν να ισχυριστούµε ότι κατα τον χρόνο Δt δεν µεταβάλλεται η στροφορµή κάθε σφαίρας, που σηµαί νει ότι η µεν γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας Α αµέσως µετά την κρούση είναι ίση µε την γωνιακή της ταχύτητα λίγο πρίν την κρούση, η δε γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας Β αµέσως µετά την κρούση είναι µηδενική. Eξάλλου κατά τον χρόνο Δt η ορµή του συστήµατος των δύο σφαιρών και η κινητική του ενέργεια δεν µεταβάλλεται, δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις: και mv + = mv + mv v = V + V () mv + I A + = mv + I A + mv + v = V + V Οι σχέσεις () και () ισχύουν για τις αλγεβρικές τιµές των ταχυτήτων V, V των κέντρων των σφαιρών Α και Β αντιστοίχως αµέσως µετά την κρούση και µε θετική φορά την φορά της ταχύτητας v. Από την λύση του συστήµατος των () και () προκύπτει: V = -v /3 και V = v /3 (3) δηλαδή το κέντρο της Α µετά την κρούση αλλάζει φορά κίνησης. Εξετάζοντας την σφαίρα Α παρατηρούµε ότι αµέσως µετά την κρούση το σηµείο επαφής της µε το οριζόντιο έδαφος έχει λόγω µεταφορικής κίνησης της σφαίρας ταχύτητα V και λόγω περιστροφικής κίνησης ταχύτητα οµόρρροπη της V, µε µέτρο ω R, δηλαδή η σχετική ταχύτητα του σηµείου αυτού ως προς το έδαφος θα έχει την φορά της V µε αποτέλεσµα η τριβή T που δέχεται η σφαίρα Α να είναι τριβή ολίσθησης, αντίρροπη της V (σχήµα 8). Έτσι υπό την επίδραση της τριβής η µεταφορική κίνηση της σφαίρας γίνεται επιβραδυνόµενη, η δε επιβράδυνση ()

14 a του κέντρου µάζας της, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτω να, θα έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: T = ma nn = ma nmg = ma a = ng (4) Σχήµα 8 όπου N η κάθετη αντίδραση του εδάφους. Aπό την (4) προκύπτει ότι η επιβρά δυνση a είναι σταθερή, δηλαδή η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητας v του κέντρου µάζας της, ύστερα από χρόνο t αφότου έγινε η κρούση, θα δίνεται από την σχέση: (3),(4) v = V - a t v = v /3 - ngt (5) Eξάλλου, η ροπή της T περί το κέντρο µάζας της σφαίρας A επιβραδύνει την περιστροφική της κίνηση περί αυτό και σύµφωνα µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης το µέτρο της γωνιακής της επιβράδυνσης ' ικανοποιεί την σχέση: T R = I A ω nmgr = mr ω /5 ω = 5ng/R (6) δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει η περιστροφική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη. Έτσι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστρο φής της κατά την χρονική στιγµή t θα είναι: (6) ω = ω - ω t ω = ω - 5ngt/R (7) Από την (5) προκύπτει ότι η v µηδενίζεται την χρονική στιγµή t =v /3ng, ενώ από την (7) προκύπτει ότι η µηδενίζεται την χρονική στιγµή t =ω R/5ng ή την στιγµή t =v /5ng. Επειδή t <t θα µηδενιστεί πρώτα η µεταφορική ταχύτη τα της σφαίρας Α και την στιγµή t το σηµείο επαφής της α µε το έδαφος θα έχει ταχύτητα λόγω µόνο περιστροφής της σφαίρας, δηλαδή η ταχύτητα αυτή θα είναι οµόρροπη της V και εποµένως η τριβή επί της σφαίρας θα εξακολου θήσει να είναι T. Εποµένως θα αλλάξει η φορά της µεταφορικής κίνησης της σφαίρας Α που τώρα θα είναι οµαλά επιταχυνόµενη, ενώ η περιστροφή της θα συνεχίζει να είναι οµαλά επιβραδυνόµενη. Αυτό σηµαίνει ότι θα υπάρξει χρονι κή στιγµή που η ταχύτητα του σηµείου επαφής α θα µηδενισθει και την στιγµή αυτή θα αρχίσει η σφαίρα να κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο έδαφος. Εάν για να συµβεί αυτό απαιτείται χρόνος τ µετά την χρονική στιγµή t θα ισχύει:

15 - 5ng R (t + ) ( ' R = ng R - 5ng (t + ) = ng v - 5ng v 3ng = ng + 5ng v 6 = 7ng = v ng (8) Άρα ο χρόνος Τ που µεσολαβεί από την στιγµή της κρούσεως µεχρις ότου η σφαίρα Α να αρχίσει να κυλίεται χωρίς ολίσθηση είναι: T = t + = v ng + v 3ng T = 8v ng (9) Σχήµα 9 Εντοπίζοντας την προσοχή µας στην σφαίρα Β παρατηρούµε ότι αµέσως µετά την κρούση το σηµείο επαφής της β µε το οριζόντιο έδαφος έχει ταχύτητα V, δηλαδή η σχετική ταχύτητα του σηµείου αυτού ως προς το έδαφος είναι V µε αποτέλεσµα η τριβή T που δέχεται η σφαίρα Β να είναι τριβή ολίσθησης, αντίρ ροπη της V (σχήµα 9). Υπό την επίδραση της τριβής αυτής σφαίρα αποκτα η επιβραδυνόµενη µεταφορική κίνηση, η δε επιβράδυνση a του κέντρου µάζας της, σύµφωνα µε τον δεύτερο νόµο κίνησης του Nεύτωνα, θα έχει µέτρο που ικανοποιεί την σχέση: T = ma nn = ma nmg = ma a = ng () όπου N η κάθετη αντίδραση του εδάφους. Aπό την () προκύπτει ότι η επιτά χυνση a είναι σταθερή, δηλαδή η µεταφορική κίνηση της σφαίρας είναι οµαλά επιβραδυνόµενη, οπότε το µέτρο της ταχύτητας v του κέντρου µάζας της, ύστερα από χρόνο t αφότου έγινε η κρούση, θα δίνεται από την σχέση: (3),() v = V a t v = v /3 - ngt () Eξάλλου, η ροπή της T περί το κέντρο µάζας της σφαίρας Β προκαλεί περισ τροφική κίνηση αυτής µε γωνιακή επιτάχυνση ', της οποίας το µέτρο σύµφω να µε τον θεµελιώδη νόµο της στροφικής κίνησης ικανοποιεί την σχέση: T R = I Β ω mngr = 4mR ω /5 ω = 5ng/R () δηλαδή η ' είναι σταθερή, που σηµαίνει η περιστροφική κίνηση της σφαίρας

16 είναι οµαλά επιταχυνόµενη. Έτσι το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστ ροφής της κατά την χρονική στιγµή t θα είναι: () ω = ω t ω = 5ngt/R (3) Από τις () και (3) προκύπτει ότι το µέτρο της v µειώνεται και το µέτρο της αυξάνεται, που σηµαίνει ότι θα υπάρξει χρονική στιγµή κατά την οποία θα συµβεί v =ω R oπότε από την στιγµή αυτή η σφαίρα Β θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση πάνω στο οριζόντιο έδαφος. Ο χρόνος Τ που µεσολαβεί από την στιγµή της κρούσεως µεχρις ότου η σφαίρα Β να αρχίσει να κυλίεται υπολογί ζεται µέσω της σχέσεως: v 3 - ngt = 5ngT R R v 3 = 5ngT + ngt v 3 = 7ngT T = 4v ng (4) Από (9) και (3) προκύπτει ότι Τ =Τ, δηλαδή θα προηγηθεί η κύλιση της σφαίρας Β. ii) Eάν V A, V B είναι οι τελικές ταχύτητες των κέντρων µάζας των σφαιρών Α και Β αντιστοίχως τότε η θερµότητα Q που θα αποδοθεί στο περιβάλλον κατα τον χρόνο Τ είναι ίση µε την µείωση της κινητικής ενέργειας του συστή µ ατος των δύο σφαιρών, δηλαδή ισχύει η σχέση: Q = mv + I A v R - mv A - I A V A R - mv B - I B V B R Q = mv + mr v R - mv A - mr V A R - mv B - 4mR V B R Q = 7mv - mv A - mv A - mv B - 4mV B Q = 7mv - 7mV A - 4mV B ( ) (5) = 7m v - V A - V B Για τα µέτρα των ταχυτήτων V A, V B ισχύουν οι σχέσεις: και (8) V A = ng V B = v 3 - ngt (4) V A = ngv ng = v V B = v 3 - ng 4v ng (6)

17 V B = v 3-4v = v (7) Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5), (6) και (7) έχουµε: Q = 7mv - 7mV A - 4mV B = 7m ' ) v ( ) - v - v *, +, P.M. fysios