ph αραιωμένου ρυθμιστικού διαλύματος.

Transcript

1 αραιωμένου ρυθμιστικού διαλύματος. Ρυθμιστικό διάλυμα HA NA με συγκεντρώσεις και αντίστοιχα, αρχικού όγκου V, αραιώνεται με προσθήκη νερού. Να βρεθεί η σχέση που συνδέει το του διαλύματος με τον όγκο V της προστιθέμενης ποσότητας του νερού. Δίνονται: και. Έστω ότι μετά την αραίωση ο όγκος του διαλύματος που προκύπτει είναι V, οι συγκεντρώσεις των HA και NA είναι, και, αντίστοιχα και η συγκέντρωση των οξωνίων είναι _ 6 HO i. V V V V, o, V 3 NA N A,, HA HO HO 3 A,, HO HO HO 3 OH y y y y 4 6HO 6HA@ άρα και λόγω της 4 y,,,, 5 6 6HO άρα y y 7 Με απαλοιφή των πέντε μεταβλητών, V,,,,, και y, από το παραπάνω σύστημα των έξι εξισώσεων, προκύπτει η ζητούμενη σχέση. Από την 6 προκύπτει:,,,,,,

2 με αντικατάσταση των, και, από τις και 3: V V V και με αντικατάσταση του V από την : V V 8 Από τις 4 και 7 προκύπτει: y 9 Με αντικατάσταση των και y από τις 8 και 9 αντίστοιχα στην 4 προκύπτει: V V V V m V V Η σχέση ως αποτέλεσμα της απόλυτης εφαρμογής (χωρίς προσεγγίσεις) των νόμων της χημικής ισορροπίας ισχύει πάντα για κάθε αραίωση ρυθμιστικού διαλύματος. Τα μεγέθη,, V, και πρέπει να είναι θετικά και για τον όγκο του προστιθέμενου νερού ισχύει V. Εφόσον καταλήγουμε πάντα σε ισορροπία πρέπει η να ικανοποιείται από μία μόνο θετική τιμή του. Διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις:. Με αντικατάσταση στην και μετά από πράξεις προκύπτει: _ i e V V o με προφανή ρίζα την η οποία αφενός μεν είναι και η μοναδική, αφού η παράσταση: V V για οποιαδήποτε θετική τιμή του είναι θετική, αφετέρου δε είναι ανεξάρτητη του V. Επομένως το του αρχικού ρυθμιστικού διαλύματος, για V, όπως και το του διαλύματος που προκύπτει μετά την προσθήκη οποιασδήποτε ποσότητας νερού είναι: g g δηλαδή ίσο με το του νερού (ουδέτερο διάλυμα) άρα g

3 . > Από την προκύπτει ότι < <. Αυτό αποδεικνύεται με τον παρακάτω συλλογισμό. Αν τότε το πρώτο μέρος της σχέσης θα ήταν μηδέν ενώ το δεύτερο όχι, άρα άτοπο. Αν < τότε το πρώτο μέρος της σχέσης θα ήταν αρνητικό ενώ το δεύτερο θετικό, άρα άτοπο. Εφόσον λοιπόν > το πρώτο μέρος της σχέσης είναι θετικό άρα πρέπει και το δεύτερο να είναι θετικό άρα: επομένως <. > Επιλύουμε τη ως προς V και μετά από πράξεις προκύπτει: V d n > H Αν θεωρήσουμε την συνάρτηση του V ως προς με πεδίο ορισμού το d, n, εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γνησίως φθίνουσα. Ισχύει: im V 3 και im V " " επομένως από Bozno προκύπτει ότι υπάρχει μία ρίζα! d, n η οποία φυσικά είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας. Για να βρούμε την από την για V και μετά από πράξεις προκύπτει: 3 Η είναι εξίσωση 3ου βαθμού ως προς και όπως εύκολα φαίνεται έχει μία και μοναδική θετική ρίζα (γινόμενο ριζών θετικό, άθροισμα αρνητικό) την. Με την εύρεση της ολοκληρώνεται και η εύρεση του πεδίου ορισμού της στη δεύτερη περίπτωση που είναι το _, A. Η εύρεση της επιβάλλεται γιατί το πεδίο τιμών της πρέπει να είναι το 6, 3. Τελικά στη δεύτερη περίπτωση ο όγκος του προστιθέμενου νερού ως συνάρτηση της συγκέντρωσης των οξωνίων δίνεται από τη γνησίως φθίνουσα συνάρτηση: V f e o,! _, A, > ki f_ i της οποίας το πεδίο τιμών είναι το 6, 3. Επομένως ορίζεται η αντίστροφή της που είναι η γνησίως φθίνουσα συνάρτηση f V με πεδίο ορισμού το 6, 3 και πεδίο τιμών το _, A άρα η ζητούμενη συνάρτηση στη δεύτερη περίπτωση εκφράζεται με τη σχέση: g f V και φυσικά είναι γνησίως αύξουσα (λόγω του προσήμου ) με πεδίο ορισμού το 6, 3 και πεδίο τιμών το ; g, g m. 3

4 3. < Από την προκύπτει ότι > >. Αυτό αποδεικνύεται με τον παρακάτω συλλογισμό. Αν τότε το πρώτο μέρος της σχέσης θα ήταν μηδέν ενώ το δεύτερο όχι, άρα άτοπο. Αν > τότε το πρώτο μέρος της σχέσης θα ήταν θετικό ενώ το δεύτερο αρνητικό, άρα άτοπο. Εφόσον λοιπόν < το πρώτο μέρος της σχέσης είναι αρνητικό άρα πρέπει και το δεύτερο να είναι αρνητικό άρα: επομένως >. < Επιλύουμε τη ως προς V και μετά από πράξεις προκύπτει: V > d n m H 3 Αν θεωρήσουμε την 3 συνάρτηση του V ως προς με πεδίο ορισμού το d, n, εύκολα αποδεικνύεται ότι είναι γνησίως αύξουσα. Ισχύει: im V 3 και im V " " επομένως από Bozno προκύπτει ότι υπάρχει μία ρίζα! d, n η οποία φυσικά είναι και μοναδική λόγω της μονοτονίας. Για να βρούμε την από την 3 για V και μετά από πράξεις προκύπτει: 3 4 Η 4 είναι εξίσωση 3ου βαθμού ως προς και όπως εύκολα φαίνεται έχει μία και μοναδική θετική ρίζα (γινόμενο ριζών θετικό, άθροισμα αρνητικό) την. Με την εύρεση της ολοκληρώνεται και η εύρεση του πεδίου ορισμού της 3 στην τρίτη περίπτωση που είναι το 7, i. Η εύρεση της επιβάλλεται γιατί το πεδίο τιμών της 3 πρέπει να είναι το 6, 3. Τελικά στην τρίτη περίπτωση ο όγκος του προστιθέμενου νερού ως συνάρτηση της συγκέντρωσης των οξωνίων δίνεται από τη γνησίως αύξουσα συνάρτηση: V f e ov,! 7,, > ki f_ i της οποίας το πεδίο τιμών είναι το 6, 3. Επομένως ορίζεται η αντίστροφή της που είναι η γνησίως αύξουσα συνάρτηση f V με πεδίο ορισμού το 6, 3 και πεδίο τιμών το 7, i άρα η ζητούμενη συνάρτηση στην τρίτη περίπτωση εκφράζεται με τη σχέση: g f V και φυσικά είναι γνησίως φθίνουσα (λόγω του προσήμου ) με πεδίο ορισμού το 6, 3 και πεδίο τιμών το g, g D. 4

5 Όλα τα προηγούμενα συμπεράσματα δίνονται συνοπτικά στον επόμενο πίνακα. Z [ \ g n g f V n > 6poy V f e o,! _, A, ki! d n _ i g f V n < 6poy V f e o,! 7,, ki! d n _ i i Μετά την παραπάνω γενική αντιμετώπιση της μεταβολής του κατά την αραίωση ενός ρυθμιστικού διαλύματος ας εξετάσουμε μερικά ειδικά θέματα.. Διαγράμματα., M,, 5 4 V g V V g V 5

6 , M,, 4 V g V V g V. Ισχύς παραδοχών εξίσωσης Henderson Hsse κατά την αραίωση. Η εξίσωση Henderson Hsse εξάγεται από την εξίσωση 6 με την παραδοχή ότι το είναι αμελητέο σε σχέση με τα, και, οπότε:, 3, _, i,,.,, 5 Η εξίσωση H H είναι ισοδύναμη με την 5 αφού εξάγεται απαυτήν με λογαρίθμιση., Έστω οπότε από τις και 3 προκύπτει: και προφανώς ισχύει: >., Αν λοιπόν δεχτούμε μια προσέγγιση έως % τότε αρκεί να ισχύει η σχέση: n #, # 6poy * 6, n > Ας εξετάσουμε τις τρεις περιπτώσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω:. Στην περίπτωση αυτή ισχύει και με αντικατάσταση στην 8 προκύπτει. Επομένως οι προσεγγίσεις ισχύουν για κάθε αραίωση. 6

7 . > Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις. i. Από την 8 προκύπτει: V V V, και όπως έχει αποδειχτεί γιαυτή την περίπτωση: < < > > Eπομένως 7 Όπως έχουμε δείξει σαυτήν την περίπτωση με την αύξηση του V το μειώνεται άρα ο λόγος αυξάνεται επομένως το όριο δίνεται από τη σχέση: 9 8 Αντικαθιστούμε το από τη 8 στη και επιλύουμε ως προς : 88 B 9 g και για _ 8 99 i 9 Με αντικατάσταση του από τη στη 9 και μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο όγκο νερού που μπορούμε να προσθέσουμε ώστε να ισχύουν οι παραδοχές. Παρατηρούμε όμως ότι το στην 9 και στην μπορεί να πάρει μηδενική ή και αρνητική τιμή όταν ισχύει: < # 9 Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί για οποιαδήποτε αραίωση να ισχύσει η σχέση: άρα οι παραδοχές ισχύουν πάντα. Παρατηρούμε επίσης ότι ο μέγιστος όγκος νερού εξαρτάται από τα,, και. 7

8 ii. < Από την 8 προκύπτει: V V V, και όπως έχει αποδειχτεί γιαυτή την περίπτωση: < < > > Eπομένως Όπως έχουμε δείξει σαυτήν την περίπτωση με την αύξηση του V το μειώνεται άρα ο λόγος αυξάνεται επομένως το όριο δίνεται από τη σχέση: Αντικαθιστούμε το από την στη και επιλύουμε ως προς : 8 B 3 Με αντικατάσταση του από την 3 στην 3 μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο όγκο νερού που μπορούμε να προσθέσουμε ώστε να ισχύουν οι παραδοχές. Παρατηρούμε όμως ότι το στην 3 μπορεί να πάρει μηδενική ή και αρνητική τιμή όταν ισχύει: < # Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί για οποιαδήποτε αραίωση να ισχύσει η σχέση: άρα οι παραδοχές ισχύουν πάντα. 8

9 3. < Διακρίνουμε δύο υποπεριπτώσεις. 3i. Από την 8 προκύπτει: V V V, και όπως έχει αποδειχτεί γιαυτή την περίπτωση: > > < < Eπομένως 4 Όπως έχουμε δείξει σαυτήν την περίπτωση με την αύξηση του V το αυξάνεται άρα ο λόγος αυξάνεται επομένως το όριο δίνεται από τη σχέση: Αντικαθιστούμε το από την 5 στη 4 και επιλύουμε ως προς : 8 B g και για _ 8 99 i Με αντικατάσταση του από τη στην 6 και 7 μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο όγκο νερού που μπορούμε να προσθέσουμε ώστε να ισχύουν οι παραδοχές. Παρατηρούμε όμως ότι το στην 6 και στην 7 μπορεί να πάρει μηδενική ή και αρνητική τιμή όταν ισχύει: # < Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί για οποιαδήποτε αραίωση να ισχύσει η σχέση: άρα οι παραδοχές ισχύουν πάντα. 9

10 3ii. < Από την 8 προκύπτει: V V V, και όπως έχει αποδειχτεί γιαυτή την περίπτωση: < < < < Eπομένως _ i _ i d n 8 Όπως έχουμε δείξει σαυτήν την περίπτωση με την αύξηση του V το αυξάνεται άρα ο λόγος αυξάνεται επομένως το όριο δίνεται από τη σχέση: 9 9 Αντικαθιστούμε το από την 9 στη 4 και επιλύουμε ως προς : 88 B 9 3 Με αντικατάσταση του από την 3 στην 3 μπορούμε να υπολογίσουμε το μέγιστο όγκο νερού που μπορούμε να προσθέσουμε ώστε να ισχύουν οι παραδοχές. Παρατηρούμε όμως ότι το στην 3 μπορεί να πάρει μηδενική ή και αρνητική τιμή όταν ισχύει: 9 # < Αυτό σημαίνει ότι δεν μπορεί για οποιαδήποτε αραίωση να ισχύσει η σχέση: άρα οι παραδοχές ισχύουν πάντα. Κονδύλης Παναγιώτης Χημικός pkondyis@omi.om Λατζώνης Πολυνίκης Χημικός poyneies@gmi.om p://emisryopis.yz