1% = 100% 25 = 100. v 400. v = 6v v = 6 40 v = 240. = = 360 v v v + v + v + v = v v = 400

Transcript

1

2 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 000 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A.. α. Ρ (Α) + Ρ (Β), β. - Ρ (Α). Β. α. Β, β. α -, β -, γ -. ΘΕΜΑ ο α. f () = ( ) = 6-6 -, IR β. f () = = = 0 = ή = - γ f () f () τοπικό μέγιστο f (-) = (-) - (-) - (-) - 7 = = 0 τοπικό μέγιστο f () = = = -7 ΘΕΜΑ ο v v α. f % = 00% 5 = 00 v = 00 v 00 v 0 v 0 8 α = 60 8 = 60 v = v 00 6 v + v + v + v = v 0 + 7v = 00 v = 6v v = 6v v = 6 0 v = 0 v = 0 v = 0

3 β ΘΕΜΑ ο α. Για την πόλη Α A = = = 0 0 Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά : 0, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 0, δα = = 7 Μ = A B Γ Δ 6,9 Για την πόλη Β Β = = 0 0 = Γράφουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά :, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 0, δ Β = = 6,5 Μ = 6 0 6,9

4 β. Είναι A = Β και s A > s B άρα η πόλη Α έχει μεγαλύτερη διασπορά από την πόλη Β. γ. Κάθε θερμοκρασία της πόλης Α μειώνεται κατά 5. Άρα από εφαρμογή σχολικού βιβλίου είναι A = Α - 5 = 6,9-5 =,9 και s A = s A =,66 ος τρόπος s A sβ Είναι s A > s B και A < Β, άρα CV A = > = CV B, A Β δηλαδή μεγαλύτερη ομοιογένεια έχουν οι θερμοκρασίες της πόλης Β από τις θερμοκρασίες της πόλης Α. ος τρόπος sa,66 CV A = 00% = 00%,5%,9 A sβ,59 CV Β = 00% = 00% 5,% 6,9 Β Είναι CV B < CV A, άρα μεγαλύτερη ομοιογένεια έχουν οι θερμοκρασίες της πόλης Β από τις θερμοκρασίες της πόλης Α.

5 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 A.. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Λάθος, δ. Σωστό, ε. Σωστό, στ. Λάθος. Β.. α -, β - 5, γ -. B.. f () = ( - ) = ( - ) = ( - ) ( - ) = ( - ) f (α) = 7 (α - ) = 7 α - = α = ΘΕΜΑ ο Α. α. v + v + v + v + v 5 + v 6 = 0 + v + v = 0 v + v = 9 v = 9 - v () ivi = v () + + v +5 (9-v )+6 +7, = 0 88 = v + 5-5v = 9 - v άρα () άρα v = ημέρες είχαν θερμοκρασία C v = 6 v = 9-6 v = 0 ημέρες είχαν θερμοκρασία 5 C

6 β. Τιμές Θερμοκρασίας i Πλήθος Ημερών Σύνολα 0 - Μ 0 = Από τη στήλη Ν i παρατηρούμε ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις στις θέσεις 0 η και η + είναι. Άρα δ = = Β. Είναι δ =,5 και αν γράψουμε τις παρατηρήσεις με αύξουσα σειρά οι δύο μεσαίες παρατηρήσεις στις θέσεις 0 η και η είναι και 5 αντίστοιχα. Τότε v + v + v = v = 0 v = Επομένως ημέρες είχαν θερμοκρασία 0 C. Επίσης v + v + v + v + v 5 + v 6 = v = 0 v = 5 Επομένως 5 ημέρες είχαν θερμοκρασία 5 0 C. v i Ν i ΘΕΜΑ ο α. Κλάσεις v i N i f i % F i % [, ) [, 7) [7, 0) [0, ) [, 6) Σύνολα β. f % + f 5 % = 5% + 5% = 0% των επιβατών θα έχει πρόσθετη οικονομική επιβάρυνση.

7 γ. α = f = 0, = 6 0 α = f = 0, = 7 0 α = f = 0, = 08 0 α = f = 0, = 90 0 α 5 = f = 0, = 5 0 ΘΕΜΑ ο α. P(Α) = 0 7 = , Ρ (Γ) = = ή και Ρ (ΑΓ) = Έστω ότι Α, Γ είναι ασυμβίβαστα. Ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος 7 9 P(ΑΓ) = P(Α) + P(Γ) = + = άτοπο Άρα τα Α, Γ δεν είναι ασυμβίβαστα. β. ος τρόπος Είναι Γ - Α Γ Ρ (Γ - Α) Ρ (Γ) Ρ (Γ - Α) 5 ος τρόπος Ρ (ΑΓ) = Ρ (Α) + Ρ (Γ) - Ρ (ΑΓ) 7 9 = + - Ρ (Α Γ) Ρ (Α Γ) = Είναι Ρ (Γ - Α) = Ρ (Γ) - Ρ (Α Γ) = - = γ. Ρ (Α - Γ) = Ρ (Α) - Ρ (Α Γ) = - = = δ. ος τρόπος Ρ [(Α - Γ)(Γ - Α)] = P(Α) + P(Γ) - P(ΑΓ) = ος τρόπος Ρ [(Α - Γ)(Γ - Α)] = P(Α - Γ) + P(Γ - Α) = 8 + = =

8 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 6. Σχολικό βιβλίο σελίδα. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 Β.. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85. σταθμισμένο αριθμητικό μέσο, σταθμικό μέσο, = ΘΕΜΑ ο Α. f () = α( - ) = α - α και f () = α - α. H εφαπτομένη της C f στο Ο (0, f (0)) σχηματίζει με τον άξονα γωνία 5 0, άρα f (0) = εφ5 0 = α = α =. Β. Για α =, είναι f () = - και f () = -. w i w i i α. 0 =, y 0 = f () = και λ = f () = 0, (ε) : y - y 0 = λ( - 0 ) y - = 0( - ) y =. β. f () = 0 - = 0 = - + f () + - f () τ. μέγιστο f () =

9 ΘΕΜΑ ο α. f % = F % - F % = 0% - 0% = 0%, άρα v 0 f = 0, = 0, = v = 50. v v 5 β. Fi % δ γ. vi 0 δ = 5 Κλάσεις F i % f i % v i [0, ) [, ) [, 6) [6, 8) [8, 0) Σύνολα βαθμολογία δ. Ρ(Α) = f % + f 5 % = 0% + 0% = 0%

10 ΘΕΜΑ ο A. i. P() + P() + P() + P(6) = = > άτοπο 6 ii. P() + P() + P() + P(6) = = 57 < άτοπο iii. P() + P() + P() + P(6) = = δεκτό 6 Β. α. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ =, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Αν κ = 6, τότε η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα είναι η. Επομένως Α = {,, 6}. ++7+κ+κ+++ κ + 8 =,5 = 8 8 κ + 8 = 0 κ = Άρα Β = {}. β. Ρ(Α) = P() + P() + P(6) = + + = 6 Ρ(Β) = P() = ΑΒ = Ω, άρα Ρ(ΑΒ) =

11 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδες 50-5 Β. γ Γ. β Δ. Σχολικό βιβλίο σελίδα 96 ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει Άρα A = (-, -] [, +). β. ( - ) f () = - = = = f () = = = = = = 8 ( ) f () γ. imh () = im = im = im ( - ) ( - )( +) im = im = ( - ) - + ( - ) = im = = = - +

12 ΘΕΜΑ ο α. A = {,, 6, 8,, 0} και Β = { 5, 0, 5, 0, 5, 0} N (A) 5 N (Β) 6 P(A) = = = 0,5 και P(Β) = = = 0, N (Ω) 0 N (Ω) 0 N (A Β) β. ΑΒ = {0, 0, 0} και P(A Β) = = = 0,. N (Ω) 0 Ρ(ΑΒ) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) = 0,5 + 0, - 0, = 0,6. γ. Ρ(ΑΒ ) = Ρ(Α) + Ρ(Β ) - Ρ(ΑΒ ) = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - Ρ(Α - Β) = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - [Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)] = Ρ(Α) + - Ρ(Β) - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) = - Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ) = - 0, + 0, = 0,9. δ. Ρ[(Α Β)(ΑΒ )] = Ρ[(Α - Β)(Β - Α)] = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ) = 0,5 + 0, -. 0, = 0,5. ΘΕΜΑ ο α. Το 50% των μαθητών του δείγματος έχουν βάρος το πολύ 65 Kg, άρα = δ = 65. % % Tο 7,5% των μαθητών του δείγματος 0,5% έχουν βάρος από 65Kg έως 75Kg, άρα + s = s = 75 s = 0 s = 5 β. s 5 CV = = 7,69% < 0% 65 Άρα είναι ομοιογενές.,5%,5% -s -s -s +s +s +s 68% 95% 99,7%,5%,5% 0,5%

13 γ. % % 0,5%,5%,5%,5%,5% 0,5% ,5% + % + % = 8,5% δ. % %,5%,5% 0,5%,5%,5% 0,5% [55, 60),5% vi 7 7 f i = 0,5 = v = v v 0,5 v = 00.

14 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8, β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Γ. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο + ( + ) e - ( + ) (e ) - - f () = α. = = e (e ) e - - f () = 0 = = 0 = - e f () + - f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο (-, -] και γνησίως φθίνουσα στο [-, +). Η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο την τιμή f (-) = e β. f () + f () = + = = e e e e γ. 0 = 0, y 0 = f ( 0 ) = f (0) = και λ = f ( 0 ) = f (0) = - (ε) : y - y 0 = λ ( - 0 ) (ε) : y - = -( - 0) (ε) : y = - +.

15 ΘΕΜΑ ο 5 5 ti ti 5 i = i = α. = = t i = i = t t = = t = 0 i i 0 i = i = i 0 0 i = 5 0 ti - ti i = i = = = = = β. 5 ti 5 i = s = 5 5 ti ti i = i = = - = - = = s s = s = = και CV = = = 0,9 ή,9% ΘΕΜΑ ο α. Έστω ότι P() = P() = P(5) = P() = P() = P(6) = κ. Άρα P() = P() = P(5) = κ, P() = P(6) = κ και P() = κ. Ισχύει P() + P() + P() + P() + P(5) + P(6) = κ + κ + κ + κ + κ + κ = 7κ = κ = 7 Άρα P() = P() = P(5) =, P() = P(6) = 7 7 β. Α = {,, 6} και Β = {,, 5} = Α P(Α) = P() + P() + P(6) = + + = P(B) = P(A ) = - P(A) = - 5 = 7 7 και P() = 7

16 γ. f () = -κ +. Για να είναι η f γνησίως αύξουσα στο IR, πρέπει f () 0, για κάθε ΙR. Άρα πρέπει το τριώνυμο να έχει Δ 0 (-κ) κ κ - 0 κ κ άρα - κ και επειδή κ Ω, θα είναι κ = ή κ =. Γ = {, } και Ρ(Γ) = Ρ() + Ρ() = + =

17 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ ΘΕΜΑ ο Α.. Σχολικό βιβλίο σελίδα s s Α.. CV =, αν > 0, ενώ CV =, αν < 0. - Β. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό, στ. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. Πρέπει > 0, άρα A f = (0, +). β. f () = (α n - β ) = - β, > 0. γ. Α (, ) C f f () = α. ln - β. = - β = β = -. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, ) είναι η y = -, άρα f () = α - β = α + = α =. α = α α δ. imf () = im - β = - β 8 = α - β = 6 β = - α ΘΕΜΑ ο α. Το 50% των παρατηρήσεων έχουν τιμή μεγαλύτερη του 0, άρα = 0. Το 8,5% των παρατηρήσεων βρίσκεται στο διάστημα (6, ), άρα s =. % % β. Στο διάστημα - s, + s βρίσκεται το 68%,5% 0,5%,5%,5%,5% 0,5% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα - s, + s βρίσκεται το 95% των παρατηρήσεων. Στο διάστημα - s, + s βρίσκεται το 99,7% των παρατηρήσεων. Άρα α =.

18 γ. R 6s = 6. = f () = R ( + ) + 9s = f () = - f () = 0 - = 0 = = - + f () - + f () f min = f () = = -6. ΘΕΜΑ ο α. A = (A B)(A - B) = {,,,, 6} N(A) 5 P(A) = = = 0,5 N(Ω) 0 B = (A B) - (A - B) = {,,, 5} N(B) P(B) = = = 0, N(Ω) 0 + Πρέπει ( - ) ( - ) Ω, άρα - > = ή =. άρα Γ = {, } N(Γ) P(Γ) = = = 0, N(Ω) 0 N(B Γ) β. Είναι ΒΓ = {} και P(B Γ) = = = 0, N(Ω) 0 Ρ(Β - Γ) = Ρ(Β) - Ρ(ΒΓ) = 0, - 0, = 0, γ. Ρ((Β - Γ)(Γ - Β)) = Ρ(Β) + Ρ(Γ) -. Ρ(ΒΓ) = 0, + 0, - 0, = 0,

19 λ + λ + 5λ 9λ δ. = = = λ (λ - λ) + (λ - λ) + (5λ - λ) λ λ 8λ s = = = λ Ω 8λ s > > 8λ > 7 λ > 9 λ > λ>0 άρα Δ = {, 5, 6, 7, 8, 9, 0} και Ν(Α) 7 Ρ(Α) = = = 0,7. Ν(Ω) 0

20 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΛΙΟΥ 006 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ ο Α. Σχολικό βιβλίο σελίδες 50-5 Β.. Σχολικό βιβλίο σελίδα,. Σχολικό βιβλίο σελίδα. Γ. α. ΛΑΘΟΣ, β. ΛΑΘΟΣ, γ. ΣΩΣΤΟ, δ. ΛΑΘΟΣ, ε. ΣΩΣΤΟ. ΘΕΜΑ ο α. Η εφαπτομένη της C f στο Α (, e ) είναι y = -e + e, τότε f () = e και f () = -e. f () = e e (α. + β. + 9) = e α + β + 9 = α + β = - () f () = [e (α + β+ 9)] = (e ). (α + β+ 9) + e. (α + β+ 9) = e (α + β+ 9) + e (α + β) = e (α + β +α + β + 9) f () = -e e (α. + β. +α. + β + 9) = -e 8α + β = -0 () Από τις () και () παίρνουμε α = και β = -6. β. Για α = και β = - 6 είναι : f () = e ( ) και f () = e ( - + ) f () = 0 e ( - + ) = = 0 = ή = - + f () f () τ. μέγιστο τ. ελάχιστο τ. μέγιστο f () = e ( ) = e τ. ελάχιστο f () = e ( ) = 0

21 ΘΕΜΑ ο α. Α : «Ο πελάτης έχει πάρει στεγαστικό δάνειο» Β : «Ο πελάτης έχει πάρει καταναλωτικό δάνειο» Είναι P ((A - B) (B - A)) = 0,7 και P ((A B) ) = 0, P ((A B) ) = 0, - P (A B) = 0, P (A B) = 0,9 () P ((A - B) (B - A)) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) = 0,7 P (A) + P(B) - P(A B) - P(A B) = 0,7 () P(A B) - P(A B) = 0,7 0,9 - P(A B) = 0,7 P(A B) = 0, () Άρα A B, δηλαδή τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β. Α - Β : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο στεγαστικό δάνειο» Β - Α : «Ο πελάτης έχει πάρει μόνο καταναλωτικό δάνειο» Είναι P (A - B) = 0,6. P ((A - B) (B - A)) = P (A - B) + P (B - A) 0,7 = 0,6 + P (B - A)) P (B - A) = 0, () P (B - A) = P (B) - P (A B) 0, = P (B) - 0, P (B) = 0, ΘΕΜΑ ο α. Η η κλάση είναι [7, 7 + c) και η η είναι [7 + c, 7 + c). Για την τέταρτη κλάση έχουμε : 7 + c c + c = 0 = c = β. Αν f = τότε f =. f + f + f + f = 0, + + 0, + = = 0,6 = 0,, άρα f = 0, και f = 0,. Απουσίες i f i i f i [, 5) 0, 0, [5, 7) 6 0,, [7, 9) 8 0,, [9, ) 0 0,

22 Σύνολα - 8 γ. i. = ii f = 8 ii. α τρόπος Απουσίες i f i i f i i f i [, 5) 0, 0,,6 [5, 7) 6 0,, 7, [7, 9) 8 0,, 9, [9, ) 0 0, 0 Σύνολα k k v k i i i vi i = i = s = i vi - s = - v i = v v k k vi s = i - s = i f i - v i = i = s = 68-8 = 68-6 =, άρα s = s = = β τρόπος Απουσίες i f i i f i i - ( i - ) ( i - ) f i [, 5) 0, 0, - 6,6 [5, 7) 6 0,, - 0,8 [7, 9) 8 0,, [9, ) 0 0,,6 Σύνολα k ( i - ) vi k i = vi s = s = ( i - ) v v k i i i = s = ( - ) f s = Άρα s s i =

23 ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΤΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 007 ΘΕΜΑ ο Α. Απόδειξη από το σχολικό βιβλίο, σελ. 5. Β. α. Ορισµός από το σχολικό βιβλίο, σελ.. β. Ορισµός από το σχολικό βιβλίο, σελ. 87. Γ. Ερωτήσεις Σ Λ α Σ β Σ γ Λ f = = v Γ. ( ) ( ) v v f ( ) = ( ln ) = f ( ) = ( ) = f = συν = ηµ ΘΕΜΑ ο ( ) ( ) f = e + e = f f παραγωγίσιµη στο R µε, f ( ) = ( ) e + ( e ) + ( ) = e + e α. ( ) ( )

24 ( ) ( ) ( ) ( ) f = e + f f = f + e β. ( ) f e e lim = lim e 0 e e e lim lim 0 = 0 = 0 = = ( ) e = ΘΕΜΑ ο α. P( ) = P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( 5) P( ) P( ) = P( ) = P( 5) = P( ) + P( 0) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( 5) = P( ) P( ) P( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P + P + P + P = P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) + P( ) = P( ) = P( ) = Άρα P( ) = P( 0) = P( ) = P( ) = P( ) = P( ) = P( 5) = β. Για κάθε ( A B) A. Άρα ( ) Οµοίως ( A B) B. Αφού ( A B) = {, } A, A Άρα πρέπει = = 0 A B A και B, B. = ή = Για = έχουµε A= {,, } και B= {,, 8, } Άρα A B= { }, άτοπο αφού εξ υποθέσεως A B= {, } Για = έχουµε A= {,, } και B= {, 0,, } Άρα A B= {, } Εποµένως η τιµή = είναι δεκτή γ. Για =, έχουµε A= {,, -} και B= {, 0, -, } 5 P( A) = P( ) + P( ) + P( ) = + + =

25 7 P( B) = P( ) + P( 0) + P( ) + P( ) = = P( A B) = P( ) + P( ) = + = 5 P( A B) = P( A) P( A B) = = ( ) ( ) ( ) ( ) P( A) P( B ) P( A B) P A B = P A + P B P A B = = + = = P( A) + P( B) P( A) P( A B) + = 7 7 = P( B) + P( A B) = + = ΘΕΜΑ ο α. 5 ti i= + 8+ t t A = = = = = t 6+ + t t i i= 5 B = = = = = 5 = = 5 5 A B i i 5 i= 5 i= β. s s ( t ) ( t ) ( 5) + ( 8 5) + ( t 5 ) ( t 5) 5 = 5 ( 6 5) + ( 5) + ( t 5 ) ( t 5) 5 = 5 = ( ) + + ( t 5) = = ( t 5) ( ) ( t 5)... ( t 5) = sa γ. CVA = = sa = A sa = 5 sa = A sa sb = 6 s B = sa sb = sb = sb = CV s B B = = = = 5 B

26 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΛΙΟΥ 008 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ o A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 β. Σχολικό βιβλίο σελίδα Γ. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ ο α. α = f = f f = 0, ή f = 0 Κλάσεις i f i i f i [0, 0) 0 f 0f [0, 60) 50 f 50f [60, 80) 70 f 70f [80, 00) 90 0, 7 ΣΥΝΟΛΑ f + 70f f = f + f + 0, = f = 0,7 - f () β. i. i () = ii f 70 = f + 70f 70 = f + 70(0,7 - f ) 70 = f + 9-0f 60f = 6 f = 0, ή f = f = 0 f = 0, () f = 0,7-0, f = 0,5 ή f = 0 Κλάσεις i v i f i [0, 0) 0 5 0, [0, 60) , [60, 80) ,5 [80, 00) , ΣΥΝΟΛΑ - 50 ii. To πλήθος των μαθητών με βαθμολογία τουλάχιστον 60, είναι ν + ν = = 0 μαθητές. iii. Το ποσοστό των μαθητών με βαθμολογία από 50 ως 70, f % f% 0% 50% 60% είναι + = + = = 0%. 5

27 ΘΕΜΑ ο α. Είναι Α Β Α Α Β άρα Ρ (Α Β) Ρ (Α) Ρ (Α Β) και επειδή οι πιθανότητες είναι ανά δύο διαφορετικές μεταξύ τους, τότε Ρ (Α Β) < Ρ (Α) < Ρ (Α Β) (). Επίσης 0 < p <, άρα p - < 0 και p + >. Επομένως τα p - και p + δεν είναι πιθανότητες () p>0 p>0 0 < p < 0 < p < p 0 < p < p Επομένως p < p < p (). Από (), () και () συμπεραίνουμε ότι : Ρ (Α Β) = p, Ρ (Α) = p και Ρ (Α Β) = p. β. Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + P (B) - Ρ (Α Β) P (B) = Ρ (Α Β) - Ρ (Α) + Ρ (Α Β) P (B) = p - p + p γ. Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B) P (B) - Ρ (Α Β) > Ρ (Α) - Ρ (Α Β) P (B) > Ρ (Α) p - p + p > p p - p + p > 0 p. (p - p + ) > 0 p. (p - ) > 0 που ισχύει διότι p > 0 και p. Επομένως Ρ (Β - A) > Ρ (Α - B). ΘΕΜΑ ο y y α. + y = 00 y = 00 - y = Εμβαδόν περιφραγμένης περιοχής =. y f () =. (00 - ) > 0 f () = 00 -, 0 < < 00. y > > > 0 < 00

28 β. f () = f () = f () Η f παρουσιάζει μέγιστο για = 00 την τιμή f (00) = = = 5000 m. γ. f (00) = = 0 f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = - f (0) = 00-0 = (-) + (-) + (-) + (-) -0 = = = δ. Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου έχουμε : = + c = - + c = c - και s = s. s s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =. Σημείωση : Θα μπορούσε κάποιος να είχε υπολογίσει την τυπική απόκλιση. (0+) + (-+) + (-+) + (-+) + (-+) 0 s = = = 5 5 s = s = = s s s CV = CV = = c - - = c - = c - = ή c - = - c - c = ή c =.

29 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 009 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ o A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 Β. α. Σχολικό βιβλίο σελίδα β. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85 Γ. α. Σωστό αν l = 0 ή l = ν, Λάθος σε κάθε άλλη περίπτωση, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ ο α. im f () = im(α - 8) = α - 8 im f () = - 7 α - 8 = -7 α = β. Για α = είναι f () = - 8 i. f () - 8 im = im - - ( - )( - + ) = im - = im( - + ) ii. = 0 = + + = y 0 = f () = - 8 = 0 f () = ( - 8) = λ = f () = = (ε) : y - y = λ( - ) 0 0 (ε) : y - 0 = ( - ) (ε) : y = -

30 ΘΕΜΑ ο ν 0 0 ν 0 α. α = = = 5ν ν = 0 ν 7 ν 0 0 ν 0 α = 60 0 = 60 0 = 5ν ν = 6 ν 7 ν + ν + ν + ν = ν άρα ν + ν = 7 ν = 56 ν = και ν = ν ν 7 ν ν β. α = 60 = 60 α = α = 60 = 60 α = 0 0 γ. i ν i Ν i i v i ΣΥΝΟΛΑ R = - v i i = = v 7 Από τη στήλη Νi προκύπτει ότι αν γράψουμε τις παρατηρήσεις η η με αύξουσα σειρά, οι "μεσαίες" παρατηρήσεις (θέσεις 6 και 7 ) είναι, άρα δ = R + 7 = 0( - ) = = = (-7) + = = 5δ

31 ΘΕΜΑ ο A.α. f () = (v + - ) = v = v - 8 v - 8 =, (0, ). v - 8 Για (0, ) : f () > 0 > 0 v - 8 > 0 v > 8 8 > > > v v v 0 v f () - + f () Η f είναι γνησίως αύξουσα στο, v, ενώ είναι γνησίως φθίνουσα στο 0, v. β. Η f παρουσιάζει ελάχιστο για = v την τιμή f = v + = v + = v + v = v v v v v Άρα για κάθε (0, ) είναι : f () f v f () v

32 Β.α. Προφανώς P(A) > 0 αν P(A) =, τότε η v P(Α) + P(A) = v γίνεται v + = v v - v + = 0 ν = - ή ν = Aπό το δειγματικό χώρο Ω προκύπτει ότι νιν, άρα ν = και Ν (Α) = - f αν 0<P(A)< f P(Α) >f fp(α) > v άτοπο άτοπο αν 0 < P(A) <, τότε v P(Α) + = v f P( Α) = v P(A) v v ν - 9ν - 8 = ν - 9ν - 0 = 0 ν = 0 ή v = - αν f <P(A)< f <f P(Α) fp(α) > v άτοπο v v Ν(A) άρα P(A) = = v ν v Ν(A) = Aπό το δειγματικό χώρο Ω προκύπτει ότι το ν είναι φυσικός αριθμός άρα ν = 0 και P(A) =. 0 P(A) = 5 β. ος τρόπος Ρ(Α Β) = Ρ(Α ) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Β - Α) = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - [Ρ(Β) - Ρ(ΑΒ)] = - Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Β) + Ρ(ΑΒ) = - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) 9 = - + = ος τρόπος Από το διάγραμμα Venn προκύπτει ότι Α Β = (ΑΒ ). Ρ(Α Β) = Ρ((ΑΒ ) ) = Ρ((Α - Β) ) = - Ρ(Α - Β) Α = - [Ρ(Α) - Ρ(ΑΒ)] = - Ρ(Α) + Ρ(ΑΒ) = - + = Ω Β

33 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΛΙΟΥ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 0 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β Β. Κλάσεις i v i f i f i % i v i [0, ) 0, 0 [, ) 0, 0 56 [, 6) 5 0, 0 60 [6, 8) 7 6 0, 0 0 [8, 0) 9 6 0, 0 ΣΥΝΟΛΑ i i B. = v = 86 v 60 =, B. v + v = + = μαθητές B. Θεωρούμε ότι οι παρατηρήσεις είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες μέσα στις κλάσεις άρα f % + f % = 5% + 0% = 5% των μαθητών ΘΕΜΑ Γ Γ. ΑΒ = και ΑΒ = Ω, άρα Α = Β και Β = Α Είναι Α - Β = Α και Β - Α = Β, άρα Ρ (Α - Β) = Ρ (Α) και Ρ (Β - Α) = Ρ (Β) Γ. Ρ (Α) + Ρ (Β) = άρα v + v - + = v - v - = 0 v + v v = - ή ν = και επειδή ν είναι θετικός ακέραιος θα είναι ν = Γ. Ρ (Α) = = και Ρ (Β) = = Γ. Ρ (Α Β ) = Ρ (ΒΑ) = Ρ (Ω) =

34 ΘΕΜΑ Δ Δ. f (t) = (t - ) (t - ) = (t - ) 00s 00s Eίναι f (t) 0 και το "=" ισχύει μόνο για t = άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο IR. Δ. f (t) = (t - ) (t - ) = (t - ) 00s 50s t - + f (t) - + f (t) ελάχιστο Ο ρυθμός μεταβολής γίνεται ελάχιστος για t =. f min = f () = ( - ) = 0. 00s s Δ. f (0) = = = 00s 00 CV = CV = ή CV = 0% Είναι CV 0%, άρα το δείγμα είναι ομοιογενές. f (t ) + f (t ) f (t v ) Δ. = v (t - ) + (t - ) (t v - ) = 00s 00s 00s v (t - ) + (t - ) (t v - ) = 00s v = s 00s = 00

35 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΑΒΒΑΤΟ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Λάθος, β. Σωστό, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Λάθος. ΘΕΜΑ Β t - B. θ (t) = t - t + α = - = - =, t (0, ] t t t t - θ (t) < 0 < 0 t - < 0 t < t < t άρα η θεροκρασία μειώνεται για t (0, ] t - θ (t) > 0 > 0 t - > 0 t > t > t άρα η θεροκρασία αυξάνεται για t (, ] B. θ = θ () - = α - α = B. min t = θ (t) = 0 t - t + = = 0 = t = t = 0:00 = t = t = 9 09:00 = ή = t - θ (t) t - ( t - )( t + ) B. im = im t = im = im t t t t - 6 t - 6 t t (t - 6) t(t - )(t + )( t + ) = im t t - = im = t t (t - ) (t + )( t + ) t(t + )( t + ) 6

36 ΘΕΜΑ Γ Γ. f % = 00% = 00 i = 0 = 0 ή = -8 (απορρίπτεται) f % = 0%, f % = 0%, f % = 0% και f % = 0%. Γ. Κλάσεις f i % F i % [5, 5+c) 0 0 [5+c, 5+c) 0 0 [5+c, 5+c) 0 60 [5+c, 5+c) 0 00 ΣΥΝΟΛΑ 00 - Κατασκευάζουμε ιστόγραμμα και πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων Ιστόγραμμα & πολύγωνο Fi% αθροιστ. σχετικών συχνοτήτων Ε 0 A Γ 0 Η Ι Θ c 5+c 50 5+c 5+c Το Ε είναι το μέσο του ΑΓ και η ΕΖ είναι μεσοπαράλληλη των ΑΒ και ΓΔ, άρα το Ζ είναι το μέσο του ΔΒ και η ΖΙ είναι μεσοπαράλληλη των ΔΗ και ΒΔ, άρα το Ι είναι μέσο του ΗΘ. Δ Ζ B 5 + c c 5 + c c = 50 = c = 00 5c = 50 c = 0

37 Γ. Κλάσεις i ν i f i % Ν i F i % i v i [5, 5) [5, 5) [5, 55) [55, 65) ΣΥΝΟΛΑ ivi 50 = = = 9 v 50 Η μέση τιμή των ηλικιών είναι 9 χρόνια. Γ. Έστω ότι προσλαμβάνονται άτομα που ανήκουν στην η κλάση Ο πίνακας τότε διαμορφώνεται ως εξής: Κλάσεις i ν i i v i [5, 5) [5, 5) [5, 55) [55, 65) ΣΥΝΟΛΑ ivi = 0 = v (50 + ) = = = = 50 = 5 Άρα για να γίνει η μέση ηλικία 0 χρόνια, πρέπει να προσληφθούν 5 άτομα που ανήκουν στην πρώτη κλάση.

38 ΘΕΜΑ Δ λ + Δ. P((A - B) (B - A)) = λ λ - λ - P((A B) ) = P(A B) = - = λ λ λ λ - P((A B) ) = P(A B) = - = λ - λ - λ - P((A - B) (B - A)) = P(A - B) + Ρ( B - A) P((A - B) (B - A)) = P(A) - P(A B) + Ρ(B) - P(A B) P((A - B) (B - A)) = P(A B) - P(A B) λ + λ - λ + λ - = - = λ λ - λ λ λ - λ - 9λ = λ - λ - 9λ + = 0 λ = ή λ = Για λ =, είναι P((A B) ) < 0 άτοπο Άρα λ =. Δ. α. Για λ =, είναι P(A B) = και P(A B) = Ν(Α) = Ν(Β) - 50 () Ν(Α) Ν(Β) Ρ(Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) - Ρ(Α Β) = = Ν(Α) + Ν(Β) - 50 () 00 = Ν(Β) Ν(Β) Ν(Β) = 00 Ν(Β) = 00 και Ρ(Β) = = 600 Ν(Β) = () N(A) = 50 και Ρ(Α) = =

39 Ν(A - B) P(A - B) = Ρ(Α) - P(A B) = - = = Ν(Α-B) = 00, άρα 00 κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Α Ν(Β - Α) P(Β - Α) = Ρ(Β) - P(A B) = - = = 600 Ν(Β - Α) = 50, άρα 50 κρίθηκαν κατάλληλοι μόνο από την εταιρεία Β Ν(A B) P(A B) = = Ν(Α B) = 50, άρα κρίθηκαν κατάλληλοι και από τις δύο εταιρείες και θα βρεθούν στο δίλημμα να επιλέξουν σε ποιά από τις δύο εταιρίες επιθυμούν να προσληφθούν Ν(A B) β. P(A B) = = Ν(Α B) = 00, άρα κρίθηκαν κατάλληλοι να προσληφθούν από τις εταιρείες Α ή Β Δ. P(A B) = P((A B) ) = Ν((Α B) ) = 00, άρα 00 απόφοιτοι κρίθηκαν ακατάλληλοι από τις εταιρείες Α και Β. Γ : Ο απόφοιτος που κρίθηκε ακατάλληλος βρίσκει εργασία Ρ (Γ) = Ρ(Γ ) Ρ (Γ) = [ - Ρ(Γ)] Ρ (Γ) = - Ρ(Γ) Ρ (Γ) = Ρ (Γ) = Ν (Γ) Ν (Γ) = = Ν (Γ) = 00, άρα Ν((Α B) ) από αυτούς που κρίθηκαν ακατάλληλοι και από τις δύο εταιρείες θα βρουν εργασία. Παρατήρηση : Έπρεπε να δοθεί ότι όλοι όσοι παρακολούθησαν το πρόγραμμα θα βρουν εργασία και όσοι δεν παρακολουθήσουν το πρόγραμμα δεν θα βρουν.

40 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ ΙΟΥΝΙΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 8 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 85 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Σωστό, β. Λάθος, γ. Σωστό, δ. Λάθος, ε. Σωστό. ΘΕΜΑ Β B. Β. ν i Κλάσεις i v i f i N i F i [6, 0) 8 6 0, 6 0, [0, ) 8 0, 0, [, 8) 6 0, 8 0,6 [8, ) 0 0, 7 0,9 [, 6) 8 0, 80 ΣΥΝΟΛΑ Ιστόγραμμα και πολύγωνο συχνοτήτων

41 B. Κλάσεις i v i i v i i - ( i - ) ( i - ) v i [6, 0) [0, ) [, 8) [8, ) [, 6) ΣΥΝΟΛΑ v 80 v 80 i i = = = 6 ( i - ) vi 08 s = = = 5,6 v 80 s = s = 5,6 5,06 B. Στην κλάση [0, ) έχουμε : Σε πλάτος ( 0) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Σε πλάτος ( ) αντιστοιχεί το % των υπαλλήλων =. 0 = 5% των υπαλλήλων Στην κλάση [, 8) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Στην κλάση [8, ) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Στην κλάση [, 6) έχουμε : Σε πλάτος (6 ) αντιστοιχεί το 0% των υπαλλήλων Σε πλάτος (5 ) αντιστοιχεί το y% των υπαλλήλων y =. 0 y = 7,5% των υπαλλήλων Επομένως το ποσοστό των υπαλλήλων που πήραν άδεια από μέχρι 5 μέρες είναι : 5% + 0% + 0% + 7,5% = 7,5%

42 ΘΕΜΑ Γ Γ. 6α - 0α - αβ + β + = 0 5α - 0α + + α - αβ + β = 0 (5α - ) + (α - β) = 0 5α - = 0 και α - β = 0 α = β = 5 P (A) = P ( ω ) + P (ω ) + P (ω ) = α + β + γ = + + γ = γ = Γ. g () = P(ω ) g () = P(ω ) H εφαπτομένη της Cg στο σημείο (, g ()) είναι παράλληλη στην ευθεία y = άρα g () = P(ω ) = P(ω ) = P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) + P(ω ) = P(ω 5) = + P(ω 5)= P(ω 5 ) = 6 P(ω 5 ) = - 6 Γ. ( 5 Κ = (A - Β) Β - Α) = { ω, ω,ω,ω } 9 άρα P(Κ) = - P(ω ) = - = 0 0 Λ = A Β = Α, άρα P(Λ) = P(Α) =

43 ΘΕΜΑ. Οι διαστάσεις του ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι : α = 6 -, β = 6 - και γ = Επομένως ο όγκος της δεξαμενής είναι : f () = (6 - ). (6 - ). = ( - ). ( - ). = ( - ), 0 < <. f () = ( - ) = () ( - ) + ( - ) = ( - ) + ( - ) ( - ) = ( - ) - 8 ( - ) = ( - ) ( - - ) = ( - ) ( - ) 0 f () + - f () Η δεξαμενή έχει μέγιστο όγκο όταν = m. f ( + ) - 8 ( + ) [ - ( + )] - 8 im = im 0 0. ( + ) ( - ) - 8 = im 0 ( + 8) ( - + ) - 8 = im = im 0 ( - ) = im = im ( - ) = - 0 0

44 . = < < < < = 5 f στο [, ] f () = f ( ) > f ( ) > f ( ) > f ( ) > f ( ) = f () 5 6 = y > y > y > y > y = 8 5 R = y - y 5 = 6-8 R = 8 sy CV y = = = y 6 Από εφαρμογή σχολικού βιβλίου όταν σε όλες τις τιμές μιας μεταβλητής y i προσθέσουμε μια σταθερά α, τότε οι νέες τιμές ω i που προκύπτουν, έχουν: ω = y + α = + α > 0 s ω = s y = και sω Επομένως CV = = ω + α. R 8 Είναι CV = CV y + = + + α 6 = + α = α = α 5. f P (B) f στο [0, ] Α Β 0 < P (A) P (B) f P (A) P (A) [ - P (A)] P (Β) [ - P (Β)] και επειδή Ρ (Β) > 0 και [ - Ρ (Β)] > 0, έχουμε P(A) - P(Β) P (A) [ - P (Β)] P (Β) [ - P (Α)] P(Β) - P (Α)

45 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 IOYNIΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 5 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα 9 A. Σχολικό βιβλίο σελίδα Α. α. Σωστό, β. Σωστό, γ. Σωστό*, δ. Λάθος, ε. Λάθος. *έπρεπε να δίνεται ότι η μεταβλητή είναι ποσοτική διακριτή ΘΕΜΑ Β Β. f () = e ( - ) = e ( - ) + e = e ( - ) f () = 0 e ( - ) = - f () - + f () + Η f είναι γνησίως φθίνουσα στο -,, ενώ είναι γνησίως αύξουσα στο, +. Η f παρουσιάζει ελάχιστο στο = την τιμή f ( ) = f = e - = e(-) = - e

46 Β. Ρ (A) = = f ( ) - e 6 e 6 e 6 Ρ (B) = - = - = = Β. Έστω ότι Α, Β είναι ασυμβίβαστα Ισχύει ο απλός προσθετικός νόμος 7 Ρ (Α Β) = Ρ (Α) + Ρ (Β) = + = 6 > 0 ΑΤΟΠΟ Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. Β. Α - B = Α (Β ) = Α Β = Β Α = Β - Α Β - Α Β Ρ(Β - Α) Ρ(Β) Ρ(Α - Β ) () ή Α - Β Α Ρ(Α - Β ) Ρ(Α ) Ρ(Α - Β ) < Θα δείξουμε ότι Ρ(Α - Β ) Ρ(Β - Α) 6 6 Ρ(Β) - Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) 6 6 Ρ (Α Β) - Ρ (Α Β) που ισχύει διότι 6 Α Β Α Ρ(Α Β) Ρ(Α) Ρ(Α Β) άρα Ρ(Α - Β ) ( ) 6 Από () και () : Ρ(Α - Β ) 6 ()

47 ΘΕΜΑ Γ Γ. F 5 = και F 5 % = 00 Από τύπους Vieta έχουμε : 8 8 F + F = F + = F = F 5 = F = 5 κ κ κ F F 5 = F = = κ = κ = F % = 00 κλ - λ + 0 = 00 λ - λ - 70 = 0 Δ = 89 και λ = 0 ή λ = -7 Όμως F % = λ 0, άρα λ = 0 Γ. f % = F % = λ = 0 F % = λ + 0 = 0 f % = F % - F % = 0-0 = 0 F % = 00. F = 60 f % = F % - F % = 60-0 = 0 F % = κλ - λ + 0 = 90 f % = F % - F % = = 0 f 5 % = F 5 % - F % = = 0 f % Γ. 5% = f % + = 6 () f % 5% = + f 5% = () () - = c c = 8 () c = η κλάση : [ α, α + ), η κλάση : [ α +, α + 8 ) α + + α + 8 α + = 6 = α + = α = 0 α = 0

48 Κλάσεις Κεντρικές τιμές i f i % F i F i % [0, ) 0 0, 0 [, 8) 6 0 0, 0 [8, ) 0 0 0,6 60 [, 6) 0 0,9 90 [6, 0) ΣΥΝΟΛΑ Γ. Το 0% (f % + f 5 %) των παρατηρήσεων είναι μεγαλύτερες ή ίσες του. Στο 0% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν 800 παρατηρήσεις Στο 00% των παρατηρήσεων αντιστοιχούν ν παρατηρήσεις 0ν = ν = ν = 000 ΘΕΜΑ Δ Δ.α. P(ω ) = P(-) = f (-) - = = 6 P(ω ) = P(0) = f (0) - = - = f () = + = = = + ( + ) ( + ) f () im = - ( + ) - - -( - )( + im - ( - ) ( + ) ( + ) - -( + ) - = im = = - ( + ) f () P(ω ) = - im = - - = 6-6 P(ω ) = - P(ω ) - P(ω ) - P(ω ) = = 6 ( + ) )

49 Δ.β. - ω ω + > 0 f (ω) ω 0 (ω + ) ω ω ω ή ω - Άρα Α = {-, ω, ω } και Ρ(Α) = P(-) + P(ω ) + P(ω ) = + + = 6 ω ω ω + > 0 f (ω) > + > > 0 ω > 0 ω + ω + Άρα Β = {ω, ω } και Ρ(Β) = P(ω ) + P(ω ) = + = 6 άθε IR + ω + 0, για κάθε IR Πρέπει Δ 0 ω - 0 ω ω - ω + ω -, για κ Άρα Γ = {-, 0} και Ρ(Γ) = P(-) + P(0) = + = Α - Β = {-} και P(Α - Β) = P(-) = 6 Δ. - f ( ) = εφ5 = = ( 0 + ) ( + ) = = = 0 ( + ) = 0 = 0 = 0 f (0) = και f (0) =, άρα (ε) : y - f (0) = f (0) ( - 0) y - = y = + 0

50 Δ. ω i = -, 0, ω, ω M ε y = ω + = - + = 0 M ε y = ω + = 0 + = M ε y = ω + M ε y = ω + Είναι < ω < ω, άρα y < y < y < y R y = y - y 5 = (ω + ) = ω + ω = 0 + ω ω δ ω = = κ + ω + + ω δ y = = κ Eίναι δ = δ ω ω + ω = ω = + ω ω = κ y κ ( )

51 Γενικό Λύκειο Νεστορίου Σχολικό έτος 0-0 Βοηθητικό Υλικό της Γ Λυκείου