Μεικτά Μαρκοβιανά Μοντέλα σε διαδικασίες μετανάστευσης στις βαθμίδες αξιολόγησης πιστοληπτικής ικανότητας

Transcript

1 1 Μεικτά Μαρκοβιανά Μοντέλα σε διαδικασίες μετανάστευσης στις βαθμίδες αξιολόγησης πιστοληπτικής ικανότητας ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ζωή Χ. Σαγρή Επιβλέπων: Π.Χ.Γ. Βασιλείου Καθηγητής Α.Π.Θ Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2014

2 2

3 3 Μεικτά Μαρκοβιανά Μοντέλα σε διαδικασίες μετανάστευσης στις βαθμίδες αξιολόγησης πιστοληπτικής ικανότητας ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ζωή Χ. Σαγρή Επιβλέπων: Βασιλείου Παναγιώτης Καθηγητής Α.Π.Θ Εγκρίθηκε από την τριμελή εξεταστική επιτροπή την Δεκεμβρίου Π.Χ.Γ Βασιλείου Γ. Τσακλίδης Α. Παπαδοπούλου Καθηγητής Α.Π.Θ. Καθηγητής Α.Π.Θ. Επ. Καθηγήτρια Α.Π.Θ. Θεσσαλονίκη, Δεκέμβριος 2014

4 4 Ζωή Χ. Σαγρή Πτυχιούχος Μαθηματικός Πανεπιστημίου Ιωαννίνων Copyright Ζωή Σαγρή, Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. All rights reserved. Απαγορεύεται η αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας εργασίας, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για εμπορικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπωση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσης, υπό την προυπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Ερωτήματα που αφορούν τη χρήση της εργασίας για κερδοσκοπικό σκοπό πρέπει να απευθύνονται προς τον συγγραφέα. Οι απόψεις και τα συμπεράσματα που περιέχονται σε αυτό το έγγραφο εκφράζουν τον συγγραφέα και δεν πρέπει να ερμηνευτεί ότι εκφράζουν τις επίσημες θέσεις του Α.Π.Θ.

5 5 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα διατριβή παρατίθενται τα αποτελέσματα της ανάλυσης καθώς και η περιγραφή ενός νέου μοντέλου Μαρκοβιανής αλυσίδας, της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα, αποσκοπεί στη μελέτη και την αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας των οργανισμών ανά τον κόσμο. Στην προκείμενη περίπτωση θεωρούμε ότι η εξέλιξη των οργανισμών πραγματοποιείται σύμφωνα με μία από τις δύο Μαρκοβιανές αλυσίδες μείξης, με γνώμονα την διαφορετικότητα των τάσεων μετανάστευσης. Στο 1 ο Κεφάλαιο παρουσιάζονται κάποιες βασικές έννοιες και χρηματοοικονομικοί ορισμοί, τα οποία χρησιμοποιούνται στην πορεία της εργασίας κυρίως στο θεωρητικό μέρος. Στο 2 ο Κεφάλαιο γίνεται μία πιο εκτενής αναφορά και ανάλυση του πιστωτικού κινδύνου και της διαδικασίας αξιολόγησης των εταιριών. Στο 3 ο Κεφάλαιο παραθέτουμε το μοντέλο που τίθεται προς διερεύνηση. Αναλύουμε τη δομή του λεπτομερώς, στη συνέχεια εξετάζουμε την κατανομή των πιθανοτήτων στις βαθμίδες αξιολόγησης με διάφορα κριτήρια και τέλος παρουσιάζουμε τα αποτελέσματα της χρήσης του με μία πρακτική εφαρμογή που έχει πραγματοποιηθεί. ΛΕΞΕΙΣ ΚΛΕΙΔΙΑ Μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, πιστοληπτική ικανότητα, διαχείριση κινδύνου, βαθμίδες αξιολόγησης, martingale.

6 6 ABSTRACT In this thesis, we present the results of investigating and the description of a new Markov Process, the Markov Mixture Process. The Markov Mixture Process aims to research and valuate credit rating of the firms thought all the world. We assume that each firm evolving according to one of the two Markov Chains of the Mixture Model. The two Markov Chains differ only in their implied migration speed, specifically in the rates with which they exist the states. In the first Chapter, some basic concepts and financial definitions, which are useful for the understanding of the theoretical part of this study, are given. In the second Chapter, we make an extensive reference and analysis of the Credit Risk and the Credit Rating Process of the firms. In the third Chapter, we present the Model which is going to be investigated and initially we make a sensitivity analysis. Consequently, we looking at the prediction in Credit Rating and we discuss probabilistic implications of the Markov Mixture, in special cases. Finally, we present the results of the Markov Mixture Model in a given application. KEY WORDS Markov Mixture Model, Credit Rating, Risk Management, Martingale

7 7 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Με την ολοκλήρωση της διπλωματικής μου εργασίας θα ήθελα να εκφράσω τις ειλικρινείς μου ευχαριστίες προς τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Παναγιώτη Βασιλείου για την αποτελεσματική συνεργασία μας. Η υποστήριξη που μου παρείχε και οι γνώσεις του ήταν καταλυτικής σημασίας για την ολοκλήρωση της παρούσας διπλωματικής. Επιπλέον θα ήθελα να ευχαριστήσω όλα τα μέλη του τομέα Στατιστικής και Επιχειρησιακής Έρευνας για τις γνώσεις που μου παρείχαν κατά την διάρκεια των σπουδών μου, οι οποίες ήταν πολύ σημαντικές για την ολοκλήρωση της εργασίας μου. Την εργασία την αφιερώνω στην οικογένεια μου, καθώς και στους φίλους μου, για την ηθική και ψυχολογική υποστήριξη που μου προσέφεραν όλα αυτά τα χρόνια. Ζωή Χ. Σαγρή 12 Δεκεμβρίου 2014

8 8 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1. Εισαγωγικές έννοιες 1.1 Στοχαστικές διαδικασίες και Μαρκοβιανή αλυσίδα Στοχαστικές διαδικασίες Μαρκοβιανή αλυσίδα Χρόνος στάσης (Stopping time) Θεωρία Martingales Θεμελιακές έννοιες Θεωρία των Martingales Χρηματοοικονομικοί ορισμοί Πιστωτικός Κίνδυνος 2.1 Εισαγωγή Αξιολογήσεις της πιστοληπτικής ικανότητας και εταιρικά ομόλογα Εταιρικά ομόλογα Βασικοί ορισμοί και ορολογίες Σύστημα ανάκτησης (Recovery schemes) Πιστωτική εξάπλωση (Credit Spread) Μεθοδολογίες διαχείρισης πιστωτικού κινδύνου (Credit Risk Methodologies) Κατασκευαστικές Μέθοδοι (Structural Methodologies) Μεθοδολογίες υποβαθμισμένου τύπου (Reduced Form Methodologies) Η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους των ομολόγων που είναι δυνατόν να αθετηθούν (Arbitrage Pricing of Defaultable Bonds) Η διαδικασία μετανάστευσης ως Μαρκοβιανή αλυσίδα (Migration Process as a Markov Chain) Αλλαγή του πραγματικού μέτρου πιθανότητας στο ισοδύναμο forward μέτρο (Change of real word probability measure to equivalent forward measure) Εκτίμηση των πραγματικών πιθανοτήτων μετάβασης Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των πιθανοτήτων μετάβασης σε μία Μαρκοβιανή αλυσίδα Εκτίμηση των πραγματικών πιθανοτήτων μετάβασης της διαδικασίας μετανάστευσης Στατιστικό τεστ της ομοιογένειας ως προς τον χρόνο, των πιθανοτήτων Δομή του πιστωτικού περιθωρίου και προσαρμογή του μοντέλου Δομή του πιστωτικού περιθωρίου Προσαρμογή της διαδικασίας μετανάστευσης, ενός ομογενούς Μαρκοβιανού μοντέλου Αλγόριθμος για τα ασφάλιστρα κινδύνου Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο 3.1 Εισαγωγή 53

9 9 3.2 Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο Η Μεικτή Διαδικασία Εκτίμηση παραμέτρων στο συνεχούς χρόνου Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο, με πλήρεις πληροφορίες Ο EM Αλγόριθμος για το συνεχούς χρόνου Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο Δυναμική της πιστοληπτικής ικανότητας και Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο (Credit rating dynamics and Markov mixture models) Κατανομή Πιθανοτήτων στις βαθμίδες αξιολόγησης Πλήρεις πληροφορίες (Full information) Περιορισμένη πληροφόρηση (Limited information: Current rating) Ενισχυμένη περιορισμένη πληροφόρηση (Limited information: Initial and Current rating) Εφαρμογή Εκτίμηση και σύγκριση των δύο Μαρκοβιανών μοντέλων. (Μεκτό Μαρκοβιανό μοντέλο και Απλό Μαρκοβιανό μοντέλο) Διανύσματα πιθανοτήτων μετάβασης της S&P από το 1982 εώς το Industry and business cycle effects (Επίδραση του κύκλου των βιομηχανιών και των επιχειρήσεων) Out of sample forecasting..91 Αναφορές..95

10 10

11 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο Εισαγωγικές έννοιες Στο παρόν κεφάλαιο παραθέτουμε βασικές έννοιες και αποτελέσματα που θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, τόσο σε θεωρητικό επίπεδο, όσο και στην εφαρμογή. 1.1 Στοχαστικές διαδικασίες και Μαρκοβιανή αλυσίδα Στοχαστικές διαδικασίες Οι στοχαστικές διαδικασίες είναι ένα από τα πιο σημαντικά εργαλεία για τα στοχαστικά χρηματοοικονομικά. Όλα τα σημαντικά χρηματοοικονομικά (μεγέθη) εξελίσσονται μέσα στο χρόνο, επομένως οι στοχαστικές διαδικασίες αποτελούν ένα φυσικό εργαλείο για την μελέτη τους αφού κατά κύριο λόγο είναι ακολουθίες ή οικογένειες τυχαίων μεταβλητών ο δείκτης των οποίων αντιπροσωπεύει τον χρόνο. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μία στοχαστική διαδικασία είναι μία οικογένεια τυχαίων μεταβλητών, η οποία ορίζεται σε ένα χώρο πιθανοτήτων,,. Αν οι τυχαίες μεταβλητές είναι αριθμήσιμες το πλήθος, τότε ορίζουμε την στοχαστική διαδικασία να είναι η. Αν οι τυχαίες μεταβλητές δεν είναι αριθμήσιμες, τότε ορίζουμε την στοχαστική διαδικασία να είναι η 0 ή. Στην πρώτη περίπτωση η στοχαστική διαδικασία λέμε ότι είναι διακριτού χρόνου, ενώ στην δεύτερη περίπτωση είναι συνεχούς χρόνου. Ορίζουμε να είναι το σύνολο όλων των τιμών της στοχαστικής διαδικασίας και το θεωρούμε ως χώρο καταστάσεων της στοχαστικής διαδικασίας. Επίσης θεωρούμε κάθε τιμή της στοχαστικής διαδικασία ως κατάσταση της. Αν 0,1,2,, τότε λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία έχει διακριτό χώρο καταστάσεων. Αν,, τότε λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία έχει συνεχή χώρο καταστάσεων. Αν είναι ένα υποσύνολο του, τότε λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία είναι ά.

12 Μαρκοβιανή αλυσίδα Οι Μαρκοβιανές αλυσίδες καταλαμβάνουν το μεγαλύτερο κομμάτι των στοχαστικών μαθηματικών και έχουν μεγάλο εύρος εφαρμογών σε πολλούς τομείς των ανθρώπινων δραστηριοτήτων. Έστω μία στοχαστική διαδικασία, με χώρο καταστάσεων 0,1,2,, ένα αριθμήσιμο σύνολο. Θα λέμε ότι η στοχαστική διαδικασία έχει την μαρκοβιανή ιδιότητα, αν για κάθε συνάρτηση ισχύει (1.1),όπου,,.. Όταν ο χώρος καταστάσεων είναι πεπερασμένο σύνολο, τότε η σχέση (1.1) παίρνει την μορφή (1.2),όπου,,.. Θεωρούμε 1 για, 1,2,. (1.3),να είναι η πιθανότητα η μαρκοβιανή αλυσίδα να είναι στην κατάσταση την χρονική στιγμή και να μεταβαίνει στην κατάσταση την χρονική στιγμή 1. Τις πιθανότητες τις ονομάζουμε πιθανότητες μετάβασης της μαρκοβιανής αλυσίδας, και τις συγκεντρώνουμε σε ένα πίνακα, ο οποίος στην περίπτωση που η μαρκοβιανή αλυσίδα είναι πεπερασμένη και ο χώρος καταστάσεων της μορφής 0,1,2, δίνεται ως εξής :,,,, (1.4) Ο πίνακας, καλείτε πίνακας μετάβασης της μαρκοβιανής αλυσίδας για το χρονικό διάστημα 1,. ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Μία μαρκοβιανή αλυσίδα είναι ομογενής αν οι πιθανότητες μετάβασης είναι ανεξάρτητες του χρόνου, στον οποίο τις εξετάζουμε. Δηλαδή για κάθε,

13 13 για κάθε 0,1, Όταν μία μαρκοβιανή αλυσίδα δεν είναι ομογενής, την ονομάζουμε μη ομογενή μαρκοβιανή αλυσίδα. Μία ομογενής μαρκοβιανή αλυσίδα έχει ένα πίνακα μετάβασης, ενώ μία μη ομογενής μαρκοβιανή αλυσίδα έχει μία ακολουθία πινάκων μετάβασης. Στοχαστικός πίνακας Στοχαστικός πίνακας είναι ένας πίνακας μετάβασης, με τα εξής χαρακτηριστικά: 0, δηλαδή όλα τα στοιχεία του είναι θετικά και μηδέν. Το άθροισμα των στοιχείων κάθε γραμμής του είναι ίσο με 1. Κάθε στοχαστικός πίνακας, προσδιορίζει μονοσήμαντα μία ομογενή μαρκοβιανή αλυσίδα. 1.2 Χρόνος στάσης (Stopping time) Έστω 0,1,2 μία στοχαστική διαδικασία η οποία έχει αριθμήσιμο χώρο καταστάσεων και ορίζεται σε ένα χώρο πιθανοτήτων,,. Μία τυχαία μεταβλητή ορισμένη σε αυτόν τον χώρο ονομάζεται χρόνος στάσης εάν παίρνει μόνο μη αρνητικές τιμές και αν για κάθε μη αρνητικό ακέραιο το ενδεχόμενο : προσδιορίζεται πλήρως από τις,,... παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι είναι ο χρόνος που μία Μαρκοβιανή αλυσίδα εισέρχεται για πρώτη φορά στην κατάσταση i. Ισχύει ότι: 0:

14 14 Και επίσης το ενδεχόμενο ισούται με την ένωση των ενδεχομένων Άρα παρατηρούμε ότι το ενδεχόμενο προσδιορίζεται πλήρως των τυχαίων μεταβλητών,,... από τις τιμές Οπότε το είναι χρόνος στάσης για την Μαρκοβιανή αλυσίδα. Αν για οποιοδήποτε τότε ορίζεται ότι. Αντίθετα, αν υποθέσουμε ότι είναι ο χρόνος που μία Μαρκοβιανή αλυσίδα εισέρχεται για τελευταία φορά στην κατάσταση i. Ισχύει ότι: 0: Σε αυτή την περίπτωση το ενδεχόμενο προσδιορίζεται από τις τιμές των τυχαίων μεταβλητών,,.... Οπότε το δεν είναι χρόνος στάσης για την μαρκοβιανή αλυσίδα. Ιδιότητες χρόνου στάσης 1. Αν και είναι δύο χρόνοι στάσης για μία στοχαστική διαδικασία,τότε και το είναι ένας χρόνος στάσης για την στοχαστική διαδικασία. 2. Αν και είναι δύο χρόνοι στάσης για μία στοχαστική διαδικασία,τότε και η τυχαία μεταβλητή, είναι ένας χρόνος στάσης για την στοχαστική διαδικασία. Όμοια ισχύει και για το,. 1.3 Θεωρία martingales Θεμελιακές έννοιες ΟΡΙΣΜΟΣ 1 άλγεβρα Έστω ένας δειγματικός χώρος και μία συλλογή (κλάση) υποσυνόλων του Ω, τότε το είναι μία άλγεβρα αν ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες

15 Αν τότε 3. Αν είναι μία οικογένεια συνόλων της τότε ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Μετρήσιμος χώρος Το ζεύγος,, όπου είναι ένα σύνολο και μία άλγεβρα πάνω στο σύνολο, ονομάζεται μετρήσιμος χώρος. Ένα οποιοδήποτε στοιχείο του ονομάζεται μετρήσιμο υποσύνολο του. ΟΡΙΣΜΟΣ 3 φιλτράρισμα Έστω ένας πεπερασμένος δειγματικός χώρος. Ονομάζουμε φιλτράρισμα μία ακολουθία από άλγεβρες του δειγματικού χώρου,,, τέτοιες ώστε να ισχύει. ΟΡΙΣΜΟΣ 4 Η Borel άλγεβρα την οποία συμβολίζουμε με είναι η μικρότερη άλγεβρα, η οποία περιέχει όλα τα ανοιχτά διαστήματα του. Τα σύνολα που ανήκουν στο ονομάζονται σύνολα Borel. ΟΡΙΣΜΟΣ 5 Έστω ένα σύνολο υποσυνόλων του. Ονομάζουμε άλγεβρα παραγόμενη από το και την συμβολίζουμε με την μικρότερη άλγεβρα πάνω στο η οποία είναι τέτοια ώστε να ισχύει:. Η είναι η τομή όλων των αλγεβρών των οποίων το είναι υποσύνολο. ΟΡΙΣΜΟΣ 6 Έστω ένας μετρήσιμος χώρος, και μία συνάρτηση ορισμένη στο σύνολο, η οποία παίρνει τιμές στο χώρο των πραγματικών αριθμών. Έστω η Borel άλγεβρα. Ορίζουμε την αντίστροφη συνάρτηση της να είναι η, που για κάθε σύνολο, ορίζεται ως :

16 16 Τότε η ονομάζεται μετρήσιμη συνάρτηση αν: Για κάθε τότε. ΟΡΙΣΜΟΣ 7 Έστω,, ένας χώρος πιθανοτήτων και έστω μία τυχαία μεταβλητή, δηλαδή Ονομάζουμε παραγόμενη από την άλγεβρα και την συμβολίζουμε με τη μικρότερη άλγεβρα στο που παράγεται από το σύνολο. ΟΡΙΣΜΟΣ 8 Έστω,, ένας χώρος πιθανοτήτων και έστω δύο τυχαίες μεταβλητές, δηλαδή και Ονομάζουμε παραγόμενη από την άλγεβρα και την συμβολίζουμε με, τη μικρότερη άλγεβρα στο ως προς την οποία οι, είναι, μετρήσιμες στο. Martingales σε σχέση με φιλτράρισμα ΟΡΙΣΜΟΣ 9 Θα λέμε ότι η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή η στοχαστική διαδικασία, είναι προσαρμοσμένη στο φιλτράρισμα αν για κάθε : η είναι μετρήσιμη στο. ΟΡΙΣΜΟΣ 10 Έστω,, ένας χώρος πιθανοτήτων και μία ακολουθία τυχαίων μεταβλητών ή μία στοχαστική διαδικασία. Έστω μία ακολουθία αλγεβρών στον οι οποίες αποτελούν ένα φιλτράρισμα, δηλαδή

17 17 Τότε η ονομάζεται ένα martingale σε σχέση με την εάν ικανοποιούνται οι παρακάτω συνθήκες : 1) Η είναι προσαρμοσμένη στο φιλτράρισμα. 2) για κάθε. 3) σχεδόν βέβαια Θεωρία Martingale Τα Martingale αποτελούν μία ξεχωριστή κατηγορία στοχαστικών διαδικασιών. Έχουν στενή σχέση με τα τυχερά παιχνίδια, από όπου προέρχονται οι ρίζες τους και το όνομα τους. Στις μέρες μας η θεωρία Martingale έχει μεγάλη ανάπτυξη και εύρος εφαρμογών όπως την θεωρία πιθανοτήτων, την μαθηματική ανάλυση αλλά και άλλους επιστημονικούς χώρους, όχι καθαρά μαθηματικούς. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Μία στοχαστική διαδικασία σε χρόνο διακριτό είναι ένα martingale εάν ισχύουν τα παρακάτω και α) δηλαδή πεπερασμένη β) Σχόλιο: Από τον παραπάνω ορισμό παρατηρούμε ότι, αν είναι το κεφάλαιο η το περιουσιακό στοιχείο μιας επένδυσης, τότε η μέση τιμή του κεφαλαίου ή του περιουσιακού αυτού στοιχείου μετά από κάποια χρονική περίοδο είναι ίση με το αρχικό κεφάλαιο ή περιουσιακό στοιχείο. ΟΡΙΣΜΟΣ 2 Έστω μία στοχαστική διαδικασία σε χρόνο διακριτό. Συμβολίζουμε με,0 0,1,2,.. Η στοχαστική διαδικασία θα είναι ένα supermartingale εάν ισχύουν τα παρακάτω και α) β)

18 18 Σχόλιο: Από τον παραπάνω ορισμό, αν η τυχαία μεταβλητή είναι το κεφάλαιο μιας επένδυσης τότε, η μέση τιμή του κεφαλαίου μετά την πάροδο μιας χρονικής περιόδου είναι μικρότερη από το κεφάλαιο. Δηλαδή το supermartingale είναι μία διαδικασία η οποία κατά ένα συγκεκριμένο μέσο όρο ελαττώνεται συνεχώς ΟΡΙΣΜΟΣ 3 Έστω μία στοχαστική διαδικασία σε χρόνο διακριτό. Συμβολίζουμε με,0 0,1,2,.. Η στοχαστική διαδικασία θα είναι ένα submartingale εάν ισχύουν τα παρακάτω και α) β),,.. Σχόλιο: Από τον παραπάνω ορισμό, αν η τυχαία μεταβλητή είναι το κεφάλαιο μιας επένδυσης τότε, η μέση τιμή του κεφαλαίου μετά την πάροδο μιας χρονικής περιόδου είναι μεγαλύτερη από το κεφάλαιο. Δηλαδή το supermartingale είναι μία διαδικασία η οποία κατά ένα συγκεκριμένο μέσο όρο αυξάνεται συνεχώς. Doob martingale ΠΡΟΤΑΣΗ Έστω,,. μία ακολουθία τυχαίων μεταβλητών. Επιπλέον θεωρούμε μία τυχαία μεταβλητή η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη. τότε η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών,,.., δηλαδή η στοχαστική διαδικασία που ορίζεται σαν,,., Είναι ένα martingale σε σχέση με την στοχαστική διαδικασία. το martingale ονομάζεται και διαδικασία του Doob.

19 Χρηματοοικονομικοί ορισμοί Αγορά Η Αγορά (the market) στην περίπτωση μας συνίσταται από το σύνολο των επιτοκίων τα οποία συνθέτουν τον λογαριασμό κατάθεσης, των κρατικών ομολόγων που δεν έχουν κίνδυνο αθέτησης και το σύνολο των ομολόγων με κίνδυνο αθέτησης. Συμβολίζεται με. Το μοντέλο αγοράς Η τιμή ενός κεφαλαίου ή περιουσιακού στοιχείου στο χρόνο συμβολίζεται με. Με 0 συμβολίζουμε την τιμή του κεφαλαίου ή του περιουσιακού στοιχείου την δεδομένη στιγμή, στο παρόν. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή ή ά ύ ί ή ή και υποθέτουμε, ότι η κατάσταση της αγοράς περιγράφεται από τις τιμές d+1 περιουσιακών στοιχείων, τις οποίες τις συμβολίζουμε με ένα διάνυσμα,όπου,,,,,για κάθε τιμή 0,1,., και για μία συγκεκριμένη τιμή του η είναι μία τυχαία μεταβλητή, όπως την ορίσαμε πιο πάνω. Άρα για όλες τις τιμές του η, αποτελεί μία στοχαστική διαδικασία. Η στοχαστική αυτή διαδικασία καλείται στοχαστική διαδικασία τιμών της αγοράς (the price process of the market), και περιγράφει την εξέλιξη μέσα στον χρόνο των τιμών, d+1 περιουσιακών στοιχείων, που περιγράφουν την κατάσταση της αγοράς.

20 20 Το περιουσιακό στοιχείο με δείκτη 0 θεωρείται να είναι μία επένδυση χωρίς ρίσκο, όπως για παράδειγμα καταθέσεις σε μία τράπεζα, ενώ οι υπόλοιπες επενδύσεις περιέχουν ρίσκο και συμβολίζονται με τους δείκτες 1,., Σημείωση: Όταν αναφερόμαστε στη χρονική στιγμή, αυτό είναι ένα σημείο πάνω στην ευθεία που μετράει τον χρόνο. Όταν λέμε την έκφραση «στο χρόνο τα» εννοούμε το διάστημα 1,. Δηλαδή η αρχή του χρόνου είναι η χρονική στιγμή 1 που είναι συγχρόνως και το τέλος του χρόνου 1, και τέλος του είναι η χρονική στιγμή, που είναι συγχρόνως και η αρχή του χρόνου Σχήμα: Εμπορικός Ορίζοντας Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή ί ή ά ό ά ύ ί ή ή έ ή ή. Ορίζουμε το διάνυσμα να είναι το,,.., Η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται εμπορική στρατηγική (trading strategy) στο χρόνο t

21 21 Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή ί ή ά ί ή έ ά ή ή ή ή. Η στοχαστική διαδικασία ονομάζεται διαδικασία αξίας με βάση την εμπορική στρατηγική (trading strategy). Η αξία 0 είναι το αρχικό κεφάλαιο του επενδυτή. Επιτόκια και ομόλογα Επιτόκια Τα επιτόκια τα συμβολίζουμε με. Εν γένει είναι συναρτήσεις του χρόνου, υποθέτουμε όμως ότι για κάποια χρονικά διαστήματα, τα οποία είναι επαρκή για τις οικονομικές μας αναλύσεις, ότι είναι σταθερά. Διακρίνονται σε δύο κατηγορίες, το απλό επιτόκιο και το σύνθετο επιτόκιο. Το απλό επιτόκιο έχει σαν βάση όλο το χρονικό διάστημα δανεισμού ή επένδυσης του κεφαλαίου και ο τόκος προκύπτει από τον απλό πολλαπλασιασμό του κεφαλαίου επί το απλό επιτόκιο. Το σύνθετο επιτόκιο έχει σαν βάση ένα μικρότερο χρονικό διάστημα από αυτό του δανεισμού ή της επένδυσης του κεφαλαίου και το συνολικό κεφάλαιο που θα έχουμε σαν επιστροφή είναι πλέον σύνθετο σε σχέση με την προηγούμενη περίπτωση του απλού επιτοκίου. Έστω ότι κάποιος καταθέτει ένα κεφάλαιο στην τράπεζα, με σύνθετο επιτόκιο και με βάση χρονική, τέτοια ώστε να έχουμε αποδόσεις. Τότε το συνολικό κεφάλαιο που θα του επιστραφεί είναι: 1 Ομόλογα Στη διατριβή αυτή θα ασχοληθούμε με δύο βασικά είδη ομολόγων, τα εξής:

22 22 1. Τα ομόλογα που δεν πληρώνουν μέρισμα και δεν διατρέχουν τον κίνδυνο να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν. 2. Τα ομόλογα που δεν πληρώνουν μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν. Τα ομόλογα που δεν πληρώνουν μέρισμα και δεν διατρέχουν τον κίνδυνο να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν. Ένα ομόλογο που δεν πληρώνει μέρισμα και δεν διατρέχει τον κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει (a default free zero coupon bond), είναι ουσιαστικά μία οικονομική ασφάλεια που εκδίδεται από το κράτος. Η οικονομική αυτή ασφάλεια δεσμεύεται να πληρώσει ένα μέρος ενός συγκεκριμένου ποσού σε μία μελλοντική στιγμή, το οποίο ονομάζεται καταληκτική ημερομηνία του ομολόγου. Υποθέτουμε, χωρίς περιορισμό της γενικότητας, ότι η πληρωμή του ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και δεν διατρέχει τον κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει (a default free zero coupon bond), είναι μία μονάδα χρημάτων, η οποία καλείται ονομαστική αξία του ομολόγου (face value). Η τιμή ενός τέτοιου κρατικού ομολόγου που δεν διατρέχει τον κίνδυνο αθέτησης ή χρεοκοπίας συμβολίζεται με,, όπου, είναι η στοχαστική διαδικασία ως προς. Θεωρούμε να είναι 0, η σημερινή αξία (time zero) του ομολόγου αυτού, που πληρώνει μία μονάδα χρήματος την καταληκτική ημερομηνία. Η σχέση μεταξύ της σημερινής αξίας των κρατικών ομολόγων που δεν είναι δυνατόν να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν και των αντίστοιχων καταληκτικών ημερομηνιών καλείται (term structure of default free zero coupon bond prices). Παράδειγμα: Υποθέτουμε ότι το σήμερα αντιστοιχεί στην μέρα 0, τότε ένα τέτοιου είδους ομόλογο, για να λάβει 1 σε ένα χρόνο από τώρα θα κοστίσει 0,9479 ευρώ, ενώ θα κοστίσει 0,9169 ευρώ για να λάβει το ίδιο ποσό σε δύο χρόνια από τώρα. Γενικά: όσο η καταληκτική ημερομηνία του ομολόγου αυξάνεται η σημερινή του αξία μειώνεται. Η σχέση αυτή της καταληκτικής ημερομηνίας και των κρατικών αυτών ομολόγων αναλύεται μέσω των μετατροπών των τιμών στα επιτόκια. Τα ομόλογα που δεν πληρώνουν μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν.

23 23 Τα ομόλογα που δεν πληρώνουν μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθούν ή να χρεοκοπήσουν, είναι ομόλογα που εκδίδονται συνήθως από οργανισμούς, εταιρίες του ιδιωτικού τομέα, τράπεζες του ιδιωτικού τομέα κτλ. Τα ομόλογα αυτά, διαθέτουν τον κίνδυνο αθέτησης, δηλαδή την πιθανότητα οποιοσδήποτε μέτοχος σε ένα οικονομικό συμβόλαιο να μην εκπληρώσει την συμβατική δέσμευση να πραγματοποιήσει τις υποχρεώσεις του. Βέβαιο κέρδος (arbitrage) Ορίζουμε την διαδικασία του βέβαιου κέρδους (arbitrage) ως μια εμπορική στρατηγική ή στρατηγική διαπραγμάτευσης (trading strategy) που ξεκινάει από το μηδέν, δηλαδή χωρίς καθόλου χρήματα. Η στρατηγική αυτή δεν έχει πιθανότητες να χάσει χρήματα, και παράλληλα έχει μια θετική πιθανότητα να κερδίσει χρήματα. Μελλοντικά συμβόλαια (forward contrcts) Μελλοντικό συμβόλαιο είναι γενικά ένα απλό παράγωγο της χρηματοοικονομικής αγοράς. Τις περισσότερες φορές αντιπροσωπεύει μία συμφωνία για την αγορά ή την πώληση ενός προιόντος σε ένα μελλοντικό χρόνο και σε μία μελλοντική στιγμή. Μελλοντική τιμή (forward price) Μελλοντική τιμή ενός ομολόγου η γενικότερα ενός περιουσιακού στοιχείου είναι η τιμή που θα έχει αυτό στον χρόνο πολλαπλασιασμένο με το επιτόκιο του. Όπου είναι η καταληκτική ημερομηνία αυτού, δηλαδή η ημερομηνία που επιστρέφεται η τιμή του πίσω. Έστω ότι είναι η τιμή ενός ομολόγου ή περιουσιακού στοιχείου στο χρόνο. Συμβολίζουμε με, την μελλοντική τιμή (forward price) σε χρόνο ενός εταιρικού ομολόγου που δεν έχει κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει (default free corporate bond) και με καταληκτική ημερομηνία. Η μελλοντική τιμή (forward price) δίνεται από τον τύπο :,. Τιμολόγηση Συμβολίζουμε με, τη τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους (the arbitrate pricing) στο χρόνο t, ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί (defaultable bond) με καταληκτική ημερομηνία τη χρονική στιγμή

24 24 Συμβολίζουμε με, τη τιμή του ομολόγου τη χρονική στιγμή της λήξης του και εξαρτάται από το αν η αθέτηση του έχει εμφανιστεί πριν από την λήξη του, όπως και από το είδος της πληρωμής που εφαρμόστηκε στο ομόλογο. Στην περίπτωση που η αθέτηση του δεν έχει εμφανιστεί μέχρι το χρόνο λήξης του,,υποθέτουμε ότι η ονομαστική αξία (face value) του ομολόγου που δεν πληρώνει τοκομερίδια (μέρισμα) και είναι δυνατόν να αθετηθεί είναι 1. Συμβολίζουμε με τ τη χρονική στιγμή αθέτησης (time of default).η τυχαία αυτή μεταβλητή τ είναι χρόνος στάσης (stopping time) για την στοχαστική διαδικασία,. Ισχύει 1{ }= 1 αν 0 αν τ Ισοδύναμο μέτρο martingale ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Θεωρούμε ένα χώρο πιθανοτήτων,, όπου είναι ένα σύνολο πεπερασμένο. Υποθέτουμε ότι στο χώρο πιθανοτήτων μας, ορίζονται δύο μέτρα πιθανότητας, τα. Θα λέμε ότι τα μέτρα πιθανότητας είναι ισοδύναμα αν για κάθε ισχύει 0 0 (1.4.1) Ουσιαστικά, αλλάζοντας τα μέτρα Πιθανότητας στον χώρο πιθανοτήτων μας, προσδιορίζουμε διαφορετικές πιθανότητες στα ίδια στοιχειώδη γεγονότα του δειγματικού μας χώρου και με αυτό τον τρόπο αλλάζουμε την αναμενόμενη τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής που ορίζεται στο χώρο αυτό. Σύμφωνα με τα παραπάνω, μία στοχαστική διαδικασία η οποία δεν είναι martingale σύμφωνα με το μέτρο πιθανότητας, μπορεί να γίνει martingale σύμφωνα με το κατάλληλο ισοδύναμο μέτρο πιθανότητας. Με βάση τον (ΟΡΙΣΜΟ 1) ορίζουμε το πηλίκο 1.4.2,το οποίο είναι μία τυχαία μεταβλητή. Ονομάζουμε το πηλίκο (1.4.2) Random Nikodym παράγωγο του μέτρου πιθανότητας σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας (Random Nikodym derivative of with respect to ).

25 25 ΘΕΩΡΗΜΑ 1 Έστω δύο ισοδύναμα μέτρα πιθανότητας σε ένα χώρο πιθανοτήτων,, όπου είναι ένα σύνολο πεπερασμένο. Αν η τυχαία μεταβλητή ορίζεται σύμφωνα με την σχέση (1.4.2) έχουμε ότι: I. 0 1 II. 1 III. για κάθε τυχαία μεταβλητή, Όπου είναι η αναμενόμενη τιμή του σύμφωνα με το μέτρο πιθανότητας. Απόδειξη i) Σύμφωνα με τον ορισμό (1) ισχύει ότι 0 1 ii) Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής σύμφωνα με το μέτρο πιθανότητας έχουμε ότι: 1 Το οποίο ισχύει όσο το είναι ένα μέτρο πιθανότητας. iii) Έχουμε ότι:.

26 26

27 27 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο Πιστωτικός Κίνδυνος 2.1 Εισαγωγή Μέχρι σήμερα στην υπάρχουσα βιβλιογραφία έχουν γίνει πολλές μελέτες σχετικά με την αποτίμηση (valuation) και τις στρατηγικές εξασφάλισης (hedging strategies) διαφόρων παραγώγων μέσα στις αγορές, με διαφορετικά χαρακτηριστικά. Σε όλες αυτές τις μελέτες που έχουν προηγηθεί, θεωρούσαμε δεδομένο ότι οι αγορές είναι ανεξάρτητες από οποιονδήποτε τύπο κινδύνου ή αθέτησης. Ωστόσο είναι πλέον γνωστό ότι υπάρχουν πολλά είδη πιστωτικού κινδύνου. Μερικά από αυτά τα είδη είναι τα εξής: Market Risk, Credit Risk, Liquidity Risk, Operation Risk, Systematic Risk. Παρακάτω θα δώσουμε ένα σύντομο ορισμό για το καθένα από αυτά τα είδη κινδύνου. Market Risk: Ο κίνδυνος των μη αναμενόμενων μεταβολών στις τιμές και στα επιτόκια. Credit Risk: Ο κίνδυνος ένα από τα δύο μέλη που εμπλέκονται σε μία εμπορική συμφωνία, να αθετήσουν τις υποχρεώσεις τους. Όπως επίσης οι αλλαγές στις τιμές λόγω απρόβλεπτων υποβαθμίσεων και αναβαθμίσεων της πιστωτικής ή πιστοληπτικής ποιότητας. Liquidity Risk: Ο κίνδυνος ένα χρηματοπιστωτικό ίδρυμα να χάσει την δυνατότητα πρόσβασης για χρηματοδότηση. Επίσης υπάρχει ο κίνδυνος να χάσει την εμπιστοσύνη του στην αγορά, το οποίο μπορεί να οδηγήσει σε αύξηση του κόστους χρηματοδότησης. Τέλος, είναι ο κίνδυνος του παγώματος της αγοράς, το οποίο κάνει την πώληση των περιουσιακών στοιχείων πιο δύσκολη. Operation Risk: Περιλαμβάνει τους κινδύνους που οφείλονται σε απάτες, σε λάθη των συστημάτων, σε λάθη που γίνονται στην διάρκεια των συναλλαγών, όπως και άλλους κινδύνους τέτοιου είδους. Systematic Risk: Αντιπροσωπεύει την λεγόμενη κατάρριψη του συστήματος χρηματοδότησης. Εκτός από τις παραπάνω κατηγορίες κινδύνων, υπάρχουν επίσης και κίνδυνοι που προέρχονται από τον συνδυασμό αυτών. Ένας τέτοιου είδους κίνδυνος είναι ο credit crunch of our time ο οποίος είναι συνδυασμός των credit risk και liquidity risk. Τέλος υπάρχει άλλη μία κατηγορία κινδύνου, ο κίνδυνος αθέτησης, ο οποίος εκφράζει την πιθανότητα οποιοσδήποτε μέτοχος σε ένα οικονομικό συμβόλαιο να μην εκπληρώσει την συμβατική δέσμευση του να πραγματοποιήσει τις υποχρεώσεις του. Αν αυτό συμβεί, τότε λέμε ότι πραγματοποιήθηκε μία αθέτηση ή χρεοκοπία ή the default event occurs.

28 28 Γενικά όταν μελετάμε τον πιστωτικό κίνδυνο, αναφερόμαστε σε οποιονδήποτε από τους παραπάνω τρόπους εμφάνισης του, όπως για παράδειγμα αλλαγή στην πιστωτική ποιότητα, κίνδυνο αθέτησης ή χρεοκοπίας και άλλα, ή και συνδυασμό αυτών. 2.2 Αξιολογήσεις της πιστοληπτικής ικανότητας και εταιρικά ομόλογα (Credit ratings and corporate bonds) Πιστοληπτική ικανότητα είναι η αξιοπιστία και η φερεγγυότητα ενός οργανισμού, μίας εταιρίας ή ακόμα και μίας χώρας στην αποπληρωμή των χρεών της. Η πιστοληπτική ικανότητα αποκαλύπτει σε ένα δανειστή ή επενδυτή την πιθανότητα να μπορέσει ο δανειολήπτης να ανταποκριθεί στις δανειακές του υποχρεώσεις, χωρίς τον κίνδυνο πτώχευσης. Όλες οι εταιρίες ή οι οργανισμοί, ανεξάρτητα από το αν είναι μεγάλο το κεφάλαιο τους ή είναι επιτυχημένες, είναι επιρρεπής στον κίνδυνο αθέτησης ή την χρεοκοπία. Η αξιολόγηση της πιστοληπτικής τους ικανότητας, όπως ήδη αναφέραμε, ουσιαστικά είναι ένα μέτρο με το οποίο αξιολογούμε αν είναι δυνατόν να αθετήσουν ή να χρεοκοπήσουν. Σύμφωνα με την διαδικασία αυτής της αξιολόγησης της πιστοληπτικής ικανότητας, οι εταιρίες ή οι οργανισμοί κατατάσσονται σε βαθμίδες αξιοπιστίας, οι οποίες ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο βαθμίδων αξιοπιστίας. Οι εταιρίες ή οι οργανισμοί κατατάσσονται σε αυτές τις βαθμίδες αξιοπιστίας από ανεξάρτητους εμπορικούς οίκους αξιολόγησης, δηλαδή ιδιωτικές εταιρίες οικονομικού ενδιαφέροντος που προσφέρουν κυρίως συμβουλευτικές υπηρεσίες. Οι πιο γνωστοί τέτοιοι οίκοι είναι οι Moody s Investor Service, Standard and Poor Fitch IBCA και Duffa and Phelps. Η ίδια διαδικασία αξιολόγησης συμβαίνει και για τις χώρες. Μία σε βάθος ανάλυση του συστήματος αξιολόγησης από μέρους αυτών των οργανισμών μπορούν να βρεθούν στο M.Crouchy, D. Galai, R.Mark (2001). Η τελική απόφαση για την κατάταξη τους στηρίζεται σε πολλές παραμέτρους αλλά τυπικά δεν είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής κάποιου μαθηματικού μοντέλου, το οποίο ζυγίζει τις παραμέτρους αυτές και τις αναγάγει σε ένα κοινό μέτρο. Στην πραγματικότητα οι μεθοδολογίες των οίκων αξιολόγησης δεν αποκαλύπτονται, το οποίο επιβαρύνει την ασάφεια της κατάστασης. Ουσιαστικά δηλαδή τα αποτελέσματα των οίκων αξιολόγησης εμπεριέχουν ένα μεγάλο βαθμό υποκειμενικότητας. Συνέπεια όλης αυτής της κατάστασης είναι η μεγάλη συχνότητα διαφοροποίησης των αξιολογήσεων των οίκων αξιολόγησης για τους ίδιους οργανισμούς.

29 29 Οι εταιρίες, οι οργανισμοί και οι χώρες μπορούν να καταταχτούν σε μία από τις 7 πιστωτικές βαθμίδες που υπάρχουν, οι οποίες από την καλύτερη προς την λιγότερο καλή είναι οι εξής: Aaa, Aa, A, Bbb, Bb, B, Ccc, default Εταιρικά ομόλογα Ένα ομόλογο είναι ένα χρεόγραφο, για το οποίο ο εκδότης έχει την υποχρέωση να καταβάλει, στην λήξη της σύμβασης, την ονομαστική αξία αυτού και στην περίπτωση των ομολόγων με κουπόνι, σε τακτά προκαθορισμένα διαστήματα το ανάλογο ποσό χρημάτων του κουπονιού. Τα ομόλογα εκδίδονται γενικά για ένα προκαθορισμένης διάρκειας χρονικό διάστημα, το οποίο ονομάζεται ωριμότητα του ομολόγου. Το χρονικό διάστημα αυτό είναι μεγαλύτερο του ενός έτους. Τα εταιρικά ομόλογα αποτελούν μέρος των χρηματοοικονομικών περιουσιακών στοιχείων, όπως και οι μετοχές. Καλούμε Defaultable bond, ένα ομόλογο, το οποίο είναι δυνατόν να αθετηθεί. Επίσης ονομάζουμε Defaultable term structure, την δομή των επιτοκίων που προέρχονται από ομόλογα που είναι δυνατόν να αθετηθούν. Είναι γνωστό, ότι ένα μεγάλο κομμάτι της βιβλιογραφίας που υπάρχει μέχρι σήμερα, σχετικά με τον πιστωτικό κίνδυνο, ασχολείται με την μοντελοποίηση της δομής των επιτοκίων που προέρχονται από ομόλογα που είναι δυνατόν να αθετηθούν. Επίσης ευρύ είναι και το φάσμα μελέτης για την τιμολόγηση των πιστωτικών παραγώγων Βασικοί ορισμοί και ορολογίες Παρακάτω θα δώσουμε βασικούς χρηματοοικονομικούς συμβολισμούς και την ερμηνεία τους, που θα μας βοηθήσουν στην ανάλυση που θα ακολουθήσει, της πιστοληπτικής ικανότητας των οργανισμών και των εταιριών. Έτσι ορίζουμε:, να συμβολίζει την τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους στο χρόνο ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί, με καταληκτική ημερομηνία τη χρονική στιγμή. Στην περίπτωση μας η αγορά συνίσταται από το σύνολο των επιτοκίων, τα οποία συνθέτουν τον λογαριασμό κατάθεσης, από τα κρατικά ομόλογα, που δεν έχουν κίνδυνο αθέτησης και από το σύνολο των ομολόγων που έχουν τον κίνδυνο αθέτησης. Επίσης ορίζουμε:

30 30, να συμβολίζει την τιμή του ομολόγου τη χρονική στιγμή της λήξης του. Η τιμή αυτή εξαρτάται από το αν η αθέτηση του έχει εμφανιστεί πριν από την λήξη του, όπως και από είδος της πληρωμής που εφαρμόστηκε στο ομόλογο. Στην περίπτωση που η αθέτηση του δεν έχει εμφανιστεί μέχρι το χρόνο λήξης του, υποθέτουμε ότι η ονομαστική αξία του ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθεί είναι 1. Συμβολίζουμε με τη χρονική στιγμή αθέτησης. Η τυχαία αυτή μεταβλητή είναι χρόνος στάσης (stopping time) για την στοχαστική διαδικασία,. Ισχύει ότι 1 1 αν 1 0 αν Τέλος ορίζουμε:, να συμβολίζει τη τιμή ενός κρατικού ομολόγου που δεν έχει κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, όπου, είναι μία στοχαστική διαδικασία ως προς Σύστημα ανάκτησης (recovery schemes) Το σύστημα ανάκτησης (recovery schemes) είναι ένα σύστημα, το οποίο ορίζει ένα χρονοδιάγραμμα, καθώς και το ποσοστό της πληρωμής ανάκτησης που δίνεται στους πιστωτές, εάν η αθέτηση του συμβολαίου συμβεί πριν την λήξη του ομολόγου. Υπάρχουν τρία βασικά συστήματα ανάκτησης, τα οποία περιγράφουν την ονομαστική αξία που καταβάλλεται στους κατόχους των ομολόγων. Τα συστήματα αυτά ανάκτησης καθορίζονται από το ποσοστό ανάκτησης, σε συνδυασμό με το χρόνο που γίνεται η εξόφληση. Παρακάτω θα περιγράψουμε αυτά τα τρία συστήματα ανάκτησης. 1 ο Σύστημα: The fractional recovery of par value Ένα σύστημα ανάκτηση ονομάζεται fractional recovery of par value αν το ποσοστό ανάκτησης πληρωθεί τη χρονική στιγμή αθέτησης του συμβολαίου ή χρεοκοπίας του οργανισμού. Σύμφωνα με αυτό το σύστημα ανάκτησης, η αξία του ομολόγου είναι:, 1, 1 ( ) 2 ο Σύστημα: The fractional recovery of treasury value Ένα σύστημα ανάκτηση ονομάζεται fractional recovery of treasury value αν το ποσοστό ανάκτησης πληρωθεί τη χρονική στιγμή της λήξης.

31 31 Σύμφωνα με αυτό το σύστημα ανάκτησης, η αξία του ομολόγου είναι:, 1 1 ( ) 3 ο Σύστημα: The fractional recovery of market value Το τρίτο σύστημα ανάκτησης ονομάζεται fractional recovery of market value. Αντιπροσωπεύει ένα σταθερό κλάσμα ομολόγων βέβαιου κέρδους, λίγο πριν το ποσό αθέτησης πληρωθεί στον κάτοχο του ομολόγου. Υποθέτουμε ότι η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί, ακριβώς πριν την αθέτηση του είναι,. Σύμφωνα με αυτό το σύστημα ανάκτησης και τον παραπάνω ορισμό, η αξία του ομολόγου είναι:, 1,, 1 ( ) Πιστωτική εξάπλωση (credit spread) Η πιστωτική εξάπλωση είναι ένα μέτρο, το οποίο μελετά την επιστροφή ενός εταιρικού ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, ως προς την απόδοση ενός ισοδύναμου εταιρικού ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και δεν έχει κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει. Γνωρίζουμε από ορισμό (Βασιλείου 2010) ότι η προθεσμιακή τιμή (forward rate) σε χρόνο ενός εταιρικού ομολόγου που δεν έχει κίνδυνο να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, με καταληκτική ημερομηνία, δίνεται από τον τύπο:,, ( ), Επίσης, η προθεσμιακή τιμή (forward rate) σε χρόνο ενός εταιρικού ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, με καταληκτική ημερομηνία, δίνεται από τον τύπο:, log, ( ), Σύμφωνα με τις δύο παραπάνω σχέσεις, εύκολα μπορούμε να δούμε ότι η τιμή της πιστωτικής εξάπλωσης (credit spread) δίνεται από τον τύπο:,,, ( )

32 32 Παρατήρηση Μεγάλες τιμές της πιστωτικής εξάπλωσης ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, σε σύγκριση με ένα που δεν διαθέτει τον κίνδυνο αθέτησης ή χρεοκοπίας, δηλαδή μεγάλες τιμές του δείκτη,, δείχνουν ότι η οικονομική κατάσταση μίας εταιρίας ή ενός οργανισμού δεν είναι καλή. 2.3 Μεθοδολογίες διαχείρισης πιστωτικού κινδύνου (Credit Risk Methodologies) Όπως ήδη έχουμε αναφέρει, πιστωτικός κίνδυνος είναι ο κίνδυνος απώλειας μιας χρηματικής αμοιβής, ο οποίος οφείλεται στην αδυναμία ενός δανειστή να αποπληρώσει ένα δάνειο ή να εκπληρώσει μία συμβατική υποχρέωση του. Διαχείριση του πιστωτικού κινδύνου είναι ουσιαστικά η διαδικασία εντοπισμού του κινδύνου και ποιες ενέργειες πρέπει να ληφθούν προκειμένου να αποφευχθεί. Οι περισσότερες μελέτες που έχουν αναπτυχθεί πάνω στο θέμα της διαχείρισης του πιστωτικού κινδύνου έχουν ένα συγκεκριμένο σκοπό. Σκοπός τους είναι να προβλέψουν εκ των προτέρων τον χρόνο στον οποίο θα συμβεί η αθέτηση ή η χρεοκοπία. Η πιστωτική αθέτηση είναι ένα τυχαίο γεγονός, η εμφάνιση του οποίου επιρρεάζει την ικανότητα του αντισυμβαλλόμενου σε μία οικονομική συναλλαγή, δηλαδή του ανθρώπου που έχει υπογράψει μαζί με άλλους το συμβόλαιο, να εκπληρώσει τη συμβατική δέσμευση του, να πραγματοποιήσει τις υποχρεώσεις που τον αναλογούν. Οι προσεγγίσεις που έχουν γίνει για την πρόβλεψη του χρόνου που θα συμβεί η αθέτηση ή η χρεοκοπία ταξινομούνται σε δύο μεγάλες κατηγορίες.τις κατασκευαστικές μεθόδους και τις μεθοδολογίες υποβαθμισμένου τύπου. Παρακάτω θα αναφερθούμε σε κάθε μία ξεχωριστά Κατασκευαστικές Μέθοδοι (Structural Methodologies) Η κατασκευαστική μέθοδος για την πρόβλεψη της αθέτησης ή της χρεοκοπίας βασίζεται στην στοχαστική διαδικασία που περιγράφει την εξέλιξη της συνολικής αξίας της επιχείρησης, δηλαδή τα κεφάλαια, τα μηχανήματα, τα χρεόγραφα κτλ, σε συνδυασμό με κάποια τυχαία η μη γεγονότα που μπορούν να εμφανιστούν σαν εμπόδια. Γι αυτό το λόγο η συγκεκριμένη μέθοδος καλείται και firm value approach. Η χρονική στιγμή της αθέτησης ή της χρεοκοπίας σύμφωνα με αυτή τη μέθοδο έχει καθοριστεί να είναι η πρώτη χρονική στιγμή κατά την οποία η αξία της εταιρίας εμφανίζεται

33 33 σε προκαθορισμένο χαμηλό επίπεδο. Σαν προκαθορισμένο χαμηλό επίπεδο μπορεί εναλλακτικά να εννοηθεί η απόφαση κήρυξης πτώχευσης ή η χρεοκοπία Μεθοδολογίες υποβαθμισμένου τύπου (Reduced Form Methodologies) Οι μεθοδολογίες υποβαθμισμένου τύπου, για την πρόβλεψη του γεγονότος της αθέτησης ή της χρεοκοπίας, χωρίζονται σε δύο μεγάλες κατηγορίες στις οποίες η αξία της εταιρίας δεν ακολουθεί συγκεκριμένο μοντέλο. Οι δύο αυτές κατηγορίες είναι οι εξής: Μοντέλα βασισμένα σε ρυθμούς τάσης (Intensity based Models) Μοντέλο πιστωτικής μετανάστευσης (Credit Migration Model) Ακολουθεί μία αναφορά σε αυτές τις δύο κατηγορίες. Μοντέλα βασισμένα σε ρυθμούς τάσης (Intensity based Models) Η μεθοδολογία αυτή βασίζεται στο γεγονός ότι τη χρονική στιγμή αθέτησης είναι η χρονική στιγμή μετάβασης μιας διαδικασίας σε κατάσταση πτώχευσης που καλείται default intensity process. Οι συνθήκες που υπάρχουν στην μοντελοποίηση αυτής της διαδικασίας παίζουν το σημαντικότερο ρόλο. Μοντέλο πιστωτικής μετανάστευσης (Credit Migration Model) Το μοντέλο πιστωτικής μετανάστευσης αναφέρετε στις μεταβάσεις των ομολόγων, των εταιριών και των οργανισμών γενικότερα στις διάφορες βαθμίδες πιστωτικής αξιολόγησης. Η μεθοδολογία του, βασίζεται στο γεγονός ότι οι μεταβάσεις αυτές γίνονται σε απειροστό χρόνο και σύμφωνα με τους ρυθμούς μετάβασης της στοχαστικής διαδικασίας. Καλούμε default indensity process την κατάληξη της στοχαστικής διαδικασίας σε αθέτηση ή χρεοκοπία. Το σημαντικότερο ρόλο στο μοντέλο αυτό παίζει η μοντελοποίηση της στοχαστικής διαδικασίας, δηλαδή αν είναι μία Μαρκοβιανή αλυσίδα ή Ημι Μαρκοβιανή αλυσίδα ή Jump process. Όσο αφορά τις βαθμίδες αξιολόγησης της πιστοληπτικής ικανότητας, αυτές συγκεντρώνονται σε ένα σύνολο, έστω 1,2,..,,1, όπου οι αριθμοί 1,2,.., αποτελούν τις βαθμίδες αξιολόγησης, με την κατάσταση 1 να εκφράζει την πλέον αξιόπιστη βαθμίδα αξιολόγησης και την κατάσταση την χειρότερη. Η κατάσταση 1 είναι μία απορροφητική κλάση που εκφράζει την κατάσταση χρεοκοπίας. Η πρώτη προσέγγιση του μοντέλου έγινε από τους Jarrow, Lando και Turnbull (1997), οι οποίοι για την μοντελοποίηση της εξέλιξης της πιστοληπτικής μετανάστευσης ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί και που δεν πληρώνει μέρισμα προτείνουν,ία Μαρκοβιανή αλυσίδα. Επίσης οι ίδιοι υπολόγισαν τις πιθανότητες μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας σύμφωνα με το ισοδύναμο μέτρο martingale.

34 Η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους των ομολόγων που είναι δυνατόν να αθετηθούν (Arbitrage Pricing of Defaultable Bonds) Όπως ήδη αναφέραμε παραπάνω, οι Jarrow, Lando και Tiurnbull (1997) μοντελοποιούν την πιστωτική μετανάστευση μιας εταιρίας ή ενός οργανισμού από την μία πιστοληπτική κατάσταση στην άλλη, σαν μία Μαρκοβιανή αλυσίδα. Στην εργασία τους, για να μπορέσουν να εφαρμόσουν το μοντέλο τους, έφτιαξαν ένα σύνολο από βασικές υποθέσεις. Οι υποθέσεις αυτές είναι 4 και είναι οι εξής: Υποθέτουμε πάντα ότι έχουμε ένα χώρο πιθανοτήτων,,. ΥΠΟΘΕΣΗ 1. Υπάρχει ένα μοναδικό ισοδύναμο μέτρο martingale στο μέτρο πιθανοτήτων που εκφράζει τις πραγματικές πιθανότητες. Το μέτρο αυτό είναι τέτοιο, ώστε οι στοχαστικές διαδικασίες που εκφράζουν τις τιμές όλων των ομολόγων που δεν πληρώνουν μέρισμα και που δεν έχουν κίνδυνο αθέτησης ή χρεοκοπίας, αλλά και αυτών που έχουν κίνδυνο αθέτησης ή χρεοκοπίας να είναι martingale. Αυτό συμβαίνει μετά την αναγωγή της αξίας τους στο ίδιο χρονικό σημείο με την χρήση του λογαριασμού καταθέσεων. ΥΠΟΘΕΣΗ 2. Το επιτόκιο μοντελοποιείται μέσο μιας έ στοχαστικής διαδικασίας ενός επιτοκίου χωρίς κίνδυνο αθέτησης, όπου το είναι sub filtration του. ΥΠΟΘΕΣΗ 3 (ανεξαρτησία). Η χρονική στιγμή αθέτησης είναι μία τυχαία μεταβλητή, ανεξάρτητη από την στοχαστική διαδικασία που εκφράζει το επιτόκιο. Η τυχαία μεταβλητή εξαρτάται από το filtration, κάτω από το ισοδύναμο μέτρο martingale. Πιο συγκεκριμένα για οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη συνάρτηση της στοχαστικής διαδικασίας επιτοκίων και για οποιαδήποτε ολοκληρώσιμη συνάρτηση του τυχαίου χρόνου, για κάθε έχουμε: για, ΥΠΟΘΕΣΗ 4. Σε περίπτωση πτώχευσης ένα εταιρικό ομόλογο υπόκειται στην κλασματική ανάκτηση της συμφωνηθείσας τιμής, με σταθερό συντελεστή ανάκτησης.

35 35 Υποθέτουμε τώρα ότι υπάρχει ισοδύναμο μέτρο martingale, στο μέτρο πιθανοτήτων, το οποίο εκφράζει τις πραγματικές πιθανότητες για την αγορά. Η αγορά όπως έχουμε ήδη αναφέρει είναι το σύνολο των επιτοκίων τα οποία συνθέτουν τον λογαριασμό κατάθεσης, τα κρατικά ομόλογα που δεν έχουν κίνδυνο αθέτησης και το σύνολο των ομολόγων με κίνδυνο αθέτησης. Τότε είναι φανερό ότι η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί τη χρονική στιγμή με καταληκτική ημερομηνία, ικανοποιεί την ΥΠΟΘΕΣΗ 4 και δίνεται από την παρακάτω σχέση:, 1 1 (2.4.1) Σύμφωνα με τις τέσσερις αυτές υποθέσεις δίνεται η παρακάτω πρόταση για την τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί. ΠΡΟΤΑΣΗ. Θεωρούμε ένα χώρο πιθανοτήτων,, και ένα filtration για 1,2,,, όπου είναι το σύνολο των χρονικών στιγμών που επιτρέπονται οι συναλλαγές. Τότε, αν οι ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ 1,2,3,4 ισχύουν, η τιμή του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, δίνεται από την σχέση:,, 1 (2.4.2) ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Από την σχέση (2.4.1) και την ΥΠΟΘΕΣΗ 3 έχουμε:, ,, 1.

36 Η διαδικασία μετανάστευσης ως Μαρκοβιανή αλυσίδα (Migration process as a Markov chain) Στην εργασία που παρουσίασαν οι Jarrow, Lando και Turnbull (1997), όπως ήδη αναφέραμε πιο πάνω, μοντελοποιούν την εξέλιξη τις πιστωτικής μετανάστευσης ενός ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθεί, σαν μία ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Το ίδιο βέβαια μπορεί να εφαρμοστεί και στην πιστωτική μετανάστευση μιας εταιρίας ή ενός οργανισμού. Έστω μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα στο χώρο πιθανοτήτων,,, με χώρο καταστάσεων 1,2,,, 1, όπου, 1,2,, περιγράφουν τις διάφορες πιστωτικές βαθμίδες μετανάστευσης και 1 εκφράζει την κατάσταση χρεοκοπίας του ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί και δεν πληρώνει μέρισμα, σε χρόνο. Θεωρούμε επίσης με το φυσικό filtration που γεννάται από την διαδικασία και εκφράζεται ως εξής:, 0,1,..,. Υποθέτουμε ότι είναι ένα subfiltration του, δηλαδή. Παρακάτω θα δώσουμε τον ορισμό της ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Στην εργασία μας υποθέτουμε ότι η διαδικασία μετανάστευσης είναι ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα, όπου θεωρούμε ότι είναι η άλγεβρα που περιέχει όλες τις πληροφορίες για την Μαρκοβιανή αλυσίδα. ΟΡΙΣΜΟΣ. Η στοχαστική διαδικασία στο χώρο πιθανοτήτων,, με χώρο καταστάσεων 1,2,,, 1 είναι μία Μαρκοβιανή αλυσίδα κάτω από το μέτρο πιθανότητας, αν για κάθε συνάρτηση : έχουμε: ά, (2.5.1) η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι ομογενής ως προς το χρόνο, αν επιπλέον ισχύει: ά, (2.5.2) Παρατηρήσεις Αν η διαδικασία είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα κάτω από το μέτρο πιθανότητας, τότε θα είναι και Μαρκοβιανή αλυσίδα κάτω από το μέτρο πιθανότητας. Το αντίστροφο γενικά δεν ισχύει. Οι πιστωτικές βαθμίδες μετανάστευσης, είναι πάντα πεπερασμένα σύνολα.

37 37 Σύμφωνα με τις παραπάνω παρατηρήσεις, οι εξισώσεις (2.5.1) και (2.5.2) γράφονται ισοδύναμα ως εξής: ά (2.5.3) Και ά, (2.5.4) 2.6 Αλλαγή του πραγματικού μέτρου πιθανότητας στο ισοδύναμο forward (μελλοντικό) μέτρο (Vassiliou 2010) (Change of real word probability measure to equivalent forward measure) Αρχικά θα δώσουμε τον ορισμό του Randon Nikodym παραγώγου, που θα μας φανεί χρήσιμος παρακάτω. Randon Nikodym παράγωγος Έστω, δύο μέτρα πιθανότητας, τότε: Η τυχαία μεταβλητή καλείται Randon Nikodym παράγωγος του μέτρου πιθανότητας σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας. ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ i. 0 1 ii. 1 iii. ά ί ή Θεωρούμε να είναι η αναμενόμενη τιμή του σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας. Επίσης θεωρούμε μία αγορά και τον χρονικό ορίζοντα συναλλαγών της, πεπερασμένο. Υποθέτουμε ότι η Randon Nikodym παράγωγος του ισοδύναμου martingale μέτρου για την αγορά, σε σχέση με το πραγματικό μέτρο πιθανότητας για μία περίοδο, όπου ισχύει ότι δίνεται από την σχέση

38 38 (2.6.1),όπου έχουμε από ορισμό ότι 1 Η στοχαστική διαδικασία της Randon Nikodym παραγώγου του ισοδύναμου martingale μέτρου, σε σχέση με το πραγματικό μέτρο πιθανότητας, το οποίο είναι ένα Doob martingale δίνεται από την σχέση: 0,1,., (2.6.2) Έστω το forward (μελλοντικό) μέτρο πιθανότητας, για το οποίο από Vassiliou (2010), έχουμε ότι:, (2.6.3),όπου έχουμε από ορισμό ότι 1 και είναι γνωστό ότι (Vassiliou 2010, σελίδα 309), Η στοχαστική διαδικασία της Randon Nikodym παραγώγου του forward μέτρου, σε σχέση με το πραγματικό μέτρο πιθανότητας, το οποίο είναι ένα Doob martingale δίνεται από την σχέση:,, 0,1,., (2.6.4) Σκοπός μας τώρα είναι να εξετάσουμε πότε μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας, παραμένει Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το forward μέτρο πιθανότητας. Θα δείξουμε ότι η στοχαστική διαδικασία διατηρεί την Μαρκοβιανή ιδιότητα σε σχέση με το forward μέτρο πιθανότητας. Συμβολίζουμε τις πραγματικές πιθανότητες μετάβασης να είναι: Δηλαδή εκφράζει την πιθανότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα την χρονική στιγμή 1 να είναι στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή ήταν στην κατάσταση. Συμβολίζουμε τις αντίστοιχες πιθανότητες μετάβασης σε σχέση με το forward μέτρο πιθανότητας να είναι:

39 39 Δηλαδή εκφράζει την πιθανότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα την χρονική στιγμή 1 να είναι στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή ήταν στην κατάσταση, σύμφωνα με το forward μέτρο πιθανότητας. Η μορφή του πίνακα των πραγματικών πιθανοτήτων μετάβασης, της Μαρκοβιανής αλυσίδας, η οποία αντιπροσωπεύει τη διαδικασία μετανάστευσης στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει είναι:,, 0 1, (2.6.5) Παραπάνω βλέπουμε ότι η κατάσταση αθέτησης ή χρεοκοπίας (default) ικανοποιεί τη σχέση, 1, δηλαδή είναι μία κατάσταση απορρόφησης για την στοχαστική διαδικασία. Τα στοιχεία του πίνακα, δηλώνουν τις πραγματικές πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των διάφορων βαθμίδων αξιολόγησης 1,2,,, οι οποίες δεν είναι καταστάσεις χρεοκοπίας. Η στήλη περιέχει τις πραγματικές πιθανότητες μετάβασης από μία οποιαδήποτε πιστωτική βαθμίδα αξιολόγησης στην κατάσταση χρεοκοπίας (default). ΘΕΩΡΗΜΑ. (Vassiliou 2010) θεωρούμε μία στοχαστική διαδικασία στο χώρο πιθανοτήτων,, με χώρο καταστάσεων 1,2,..,,1, η οποία είναι μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το μέτρο πιθανότητας. Θεωρούμε επίσης ότι στην αγορά υπάρχει ένα ισοδύναμο μέτρο martingale και έστω ότι είναι το ισοδύναμο forward μέτρο. Υποθέτουμε ότι η τυχαία μεταβλητή είναι, μετρήσιμη για κάθε 0,1,.., 1, δηλαδή ισχύει, για μία συνάρτηση. Τότε η Μαρκοβιανή αλυσίδα ακολουθεί μία μη ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το ισοδύναμο forward μέτρο πιθανότητας και θα έχουμε:,, ά, 1,2,.,1 (2.6.6)

40 40 ΑΠΟΔΕΙΞΗ: Σύμφωνα με το Λήμμα του Bayes, για και για κάθε έχουμε ότι: 1 (2.6.7) , 1 Από την σχέση (2.5.1) αν θέσουμε, 1 έχουμε, 1. Από την σχέση (2.7.6) είναι φανερό ότι η δεσμευμένη πιθανότητα είναι μετρήσιμη τυχαία μεταβλητή. Εφόσον ισχύει ότι έχουμε τελικά ότι Το οποίο αποδεικνύει ότι η στοχαστική διαδικασία είναι Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το ισοδύναμο forward μέτρο πιθανότητας. Παρακάτω θα δώσουμε την απόδειξη της σχέσης (2.6.6), δηλαδή της σχέσης:,, ά, 1,2,.,1 του θεωρήματος. Έχουμε λοιπόν: 1, 1,

41 41 Τελικά αποδείξαμε ότι η Μαρκοβιανή αλυσίδα ακολουθεί μία μη ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το ισοδύναμο forward μέτρο πιθανότητας. Ο πίνακας μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι ο μορφή: και έχει την παρακάτω,,, (2.6.8) 0 1 Παραπάνω βλέπουμε ότι η κατάσταση αθέτησης ή χρεοκοπίας (default) ικανοποιεί τη σχέση, 1, δηλαδή είναι μία κατάσταση απορρόφησης για την στοχαστική διαδικασία. Τα στοιχεία του πίνακα, δηλώνουν τις μη ομογενείς ως προς το χρόνο forward πιθανότητες μετάβασης μεταξύ των διάφορων βαθμίδων αξιολόγησης 1,2,,, οι οποίες δεν είναι καταστάσεις χρεοκοπίας, και είναι ισοδύναμες με τις αντίστοιχες πιθανότητες μετάβασης του πραγματικού κόσμου. Η στήλη περιέχει τις μη ομογενείς ως προς το χρόνο forward πιθανότητες μετάβασης από μία οποιαδήποτε πιστωτική βαθμίδα αξιολόγησης στην κατάσταση χρεοκοπίας (default), που και αυτές έχουν μία συναρτησιακή σχέση με τις αντίστοιχες πιθανότητες μετάβασης του πραγματικού κόσμου, δηλαδή,,, Εκτίμηση των πραγματικών πιθανοτήτων μετάβασης Παρακάτω θα κάνουμε προσαρμογή του μοντέλου των Jarrow, Lando και Turnbull και θα βρούμε τον ισοδύναμο forward πίνακα μετάβασης. Για τον σκοπό αυτό θα εκτιμήσουμε τα στοιχεία του πίνακα μετάβασης σύμφωνα με τα πραγματικά δεδομένα.

42 Εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των πιθανοτήτων μετάβασης σε μία Μαρκοβιανή αλυσίδα. (Βασιλείου 2010) Αρχικά θα δώσουμε την μεθοδολογία εκτίμησης των πιθανοτήτων μετάβασης του πίνακα μετάβασης. Έστω μία Μαρκοβιανή αλυσίδα. Υποθέτουμε ότι ο χώρος καταστάσεων της Μαρκοβιανής αλυσίδας είναι 1,2,.., και την μελετάμε για μεταβάσεις. Θεωρούμε να είναι ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση στην κατάσταση, με,, σε μία οποιαδήποτε χρονική στιγμή στο διάστημα 0,. Τότε θα έχουμε:, Παρακάτω παρουσιάζονται συγκεντρωμένες οι τιμές των μεταβάσεων,, σε ένα πίνακα ως εξής: Πίνακας 1 Σκοπός είναι από τις παρατηρήσεις που έχουμε στον πίνακα μας να εκτιμήσουμε τις πιθανότητες μετάβασης, με,. Δηλαδή τις πιθανότητες η Μαρκοβιανή αλυσίδα να μεταβεί από την κατάσταση στην κατάσταση. Οι εκτιμητές που θα βρούμε, θα είναι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας.

43 43 Θεωρούμε ότι, : είναι μία δεδομένη κατάσταση : είναι ο συνολικός αριθμός των μεταβάσεων που έγιναν από την κατάσταση σε οποιαδήποτε άλλη κατάσταση στο διάστημα 0,. Τότε οι μεταβάσεις από την κατάσταση σε όλες τις υπόλοιπες καταστάσεις, όπως δίνονται στον πίνακα, μπορούν να θεωρηθούν ως δοκιμές μιας πολυωνυμικής κατανομής με δυνατές πραγματοποιήσεις, οι οποίες έχουν πιθανότητες,,., και ισχύει για αυτές η σχέση 1. Η πιθανότητα το ενδεχόμενο να πραγματοποιηθεί, σύμφωνα με την θεωρία πιθανοτήτων είναι:!!!..! Όπου και 1 Για όλες τις καταστάσεις που παρουσιάζονται στον παραπάνω πίνακα, η συνάρτηση πιθανοφάνειας δίνεται από τη σχέση:! ;,,,!!..! Έτσι τελικά οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας των πιθανοτήτων μετάβασης δίνονται από τη σχέση: ( ) Όταν έχουμε ένα σύνολο από παρατηρήσεις μιας Μαρκοβιανής αλυσίδας σε ένα μεγάλο χρονικό διάστημα 0, και υποθέτουμε ότι οι πιθανότητες μετάβασης είναι ομογενείς, δηλαδή σταθερές μέσα στο χρόνο, τότε κάτω από αυτήν την υπόθεση ο εκτιμητής μέγιστης πιθανοφάνειας για οποιαδήποτε μετάβαση δίνεται από την σχέση: ( )

44 Εκτίμηση των πραγματικών πιθανοτήτων μετάβασης της διαδικασίας μετανάστευσης (Vassiliou 2010) Όσον αφορά τις πιστωτικές αξιολογήσεις των εταιριών ή τον οργανισμών, υποθέτουμε ότι τα δεδομένα μας ομαδοποιούνται σε ομάδες ομολόγων, οι οποίες κατατάσσονται σε μία συγκεκριμένη βαθμίδα αξιολόγησης την ίδια χρονική περίοδο, από το 1970 και μετά, σε διαστήματα τριών μηνών, έξι μηνών ή ενός χρόνου. Επίσης υποθέτουμε ότι κάθε βαθμίδα είναι μια ομογενής ομάδα των εισερχόμενων στην πιστωτική βαθμίδα αξιολόγησης της πιστοληπτικής ικανότητας την χρονική στιγμή. Για κάθε ομάδα, όπου 1,2,.,7 και 1,2, 1, συλλέγουμε τα δεδομένα σε διαστήματα, 1, όπου το μήκος των διαστημάτων είναι ίσο με το χρονικό διάστημα για 1,2, και 1,2,,, με να είναι ο μέγιστος χρόνος παραμονής σε μία από τις διαθέσιμες πιστωτικές βαθμίδες. Θεωρούμε ότι: : είναι ο αριθμός των ομολόγων που αφήνουν την πιστωτική βαθμίδα και πάνε στην πιστωτική βαθμίδα, στο χρονικό διάστημα, δεδομένου ότι εισήλθαν στην βαθμίδα την χρονική στιγμή, δηλαδή στο διάστημα,1. (βλέπε πίνακα 2). : είναι ο αριθμός των ομολόγων που αποσύρεται στο χρονικό διάστημα, δεδομένου ότι εισήλθαν στην κατάσταση την χρονική στιγμή. (βλέπε πίνακα 2). Συμβολίζουμε με, : τον συνολικό αριθμό των ομολόγων που αποσύρονται στο χρονικό διάστημα, από την ομάδα παρατήρησης,, και δίνονται από τον τύπο, 1,2,.,, 1,2,.., , : τον συνολικό αριθμό των ομολόγων που μετακινούνται από την πιστωτική κατάσταση, στην πιστωτική κατάσταση, στο χρονικό διάστημα, της ομάδας παρατήρησης,, και δίνονται από τον τύπο, 1,2,.,, 1,2,.., Είναι φανερό από τα παραπάνω ότι το συνολικό μέγεθος των ομολόγων της ομάδας, είναι:

45 Η πιθανότητα ένα ομόλογο να μεταβεί από την πιστωτική κατάσταση, στην πιστωτική κατάσταση, την χρονική στιγμή, δίνεται από τον τύπο:, 1,2,.,, 1,2,..,1, 1,2,.., Και Παρακάτω παρουσιάζονται συγκεντρωμένες οι κινήσεις των ομολόγων στο διάστημα, που αναφέραμε παραπάνω ,,,..,,.. Πίνακας 2

46 Στατιστικό τεστ της ομογένειας ως προς τον χρόνο, των πιθανοτήτων. (Βασιλείου 2010) Για να εξετάσουμε ως προς την ομογένεια τις παραπάνω σχέσεις ( ) και ( ), είναι γνωστό ότι υπάρχουν τα παρακάτω στατιστικά τεστ. Θεωρούμε την μηδενική υπόθεση: : για κάθε,όπου είναι ένα σύνολο τιμών της, για το οποίο ισχύει 0 Και υποθέτουμε ότι είναι ο αριθμός των στοιχείων του συνόλου. Το στατιστικό τεστ που χρησιμοποιούμε είναι το εξής:,δηλαδή είναι μία κατανομή με 1 1 βαθμούς ελευθερίας. Για να εξετάσουμε την υπόθεση μετάβασης από την κατάσταση στην κατάσταση, χρησιμοποιούμε το στατιστικό τεστ:,,δηλαδή είναι μία κατανομή με 1 βαθμούς ελευθερίας. 2.8 Δομή του πιστωτικού περιθωρίου και προσαρμογή του μοντέλου Δομή του πιστωτικού περιθωρίου Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στα προηγούμενα Η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει την χρονική στιγμή με καταληκτική ημερομηνία και συντελεστή ανάκτησης, δίνεται από τη σχέση (2.4.2):

47 47,, 1. Η τιμή της πιστωτικής εξάπλωσης (credit spread), δίνεται από τον τύπο ( ):,,, ( ) Επίσης, η τιμολόγηση με την απουσία στην αγορά του βέβαιου κέρδους ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει τη χρονική στιγμή με καταληκτική ημερομηνία και συντελεστή ανάκτησης, και επιπλέον τη χρονική στιγμή βρίσκεται στην κατάσταση, δίνεται από την σχέση:,,, 1, 1,2,..,. ( ) Τέλος, η τιμή της πιστωτικής εξάπλωσης (credit spread), ενός ομολόγου που την χρονική στιγμή βρίσκεται στην κατάσταση, δίνεται από τη σχέση:,,,, ( ) Εφόσον η Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι μη ομογενής ως προς τον χρόνο, Μαρκοβιανή αλυσίδα σε σχέση με το ισοδύναμο, forward μέτρο πιθανότητας, θα έχουμε ότι:, 1,, Προσαρμογή της διαδικασίας μετανάστευσης, ενός ομογενούς Μαρκοβιανού μοντέλου Υποθέτουμε ότι έχουμε τα δεδομένα για ένα χρονικό διάστημα της μορφής.,0, όπου 0 είναι ο χρόνος αυτή τη δεδομένη χρονική στιγμή, δηλαδή το παρόν. Τα δεδομένα εισόδου στο πρόβλημα μας υποθέτουμε ότι είναι τα ακόλουθα:

48 48 i. Δεδομένα που έχουν εκτιμηθεί από άλλα ιστορικά δεδομένα που υπάρχουν για την πιστωτική μετανάστευση, βασισμένα στις πραγματικές πιθανότητες μετάβασης του πίνακα, στο χρονικό διάστημα της μορφής.,0. ii. Οι τιμές της αγοράς ενός ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και δεν είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, οι οποίες δίνονται από την μεταβλητή 0,, ό 1,2,.,. iii. Οι τιμές της αγοράς ενός ομολόγου που δεν πληρώνει μέρισμα και είναι δυνατόν να αθετηθεί ή να χρεοκοπήσει, από διάφορες πιστωτικές καταστάσεις. Οι τιμές αυτές δίνονται από την σχέση iv., 0,, ό 1,2,, 1,2,., Δεδομένα που έχουν εκτιμηθεί από άλλα ιστορικά δεδομένα με το ποσοστό ανάκτησης των εταιρικών ομολόγων. Το ποσοστό ανάκτησης στην εργασία μας αφορά πάντα την αρχική πιστωτική κατάσταση άρα θα το συμβολίζουμε με. Στόχος της μελέτης μας τώρα είναι να εκτιμήσουμε την ακολουθία του πίνακα πιθανοτήτων. Αποδείξαμε παραπάνω τη σχέση (2.6.6), δηλαδή:,, ά, 1,2,.,1,όπου είναι μία συνάρτηση. Στη σχέση αυτή ορίζουμε στη θέση της συνάρτησης,, τη συνάρτηση. Ο λόγος που το κάνουμε αυτό είναι γιατί αν διατηρήσουμε την συνάρτηση,, τότε τα δεδομένα μας δεν επαρκούν για να υπολογίσουμε τις ποσότητες αυτές για κάθε 0, 1,, 1, 2,,. Ουσιαστικά με τον τρόπο αυτό δημιουργούμε την υπόθεση που θα διατυπώσουμε παρακάτω, η οποία έχει ονομαστεί The risk premium assumption. ΥΠΟΘΕΣΗ The risk premium assumption. Για κάθε 0, 1 και, 1, 2,, υποθέτουμε ότι: και, 1 1, ( ) Την συνάρτηση, 1,2, την ονομάζουμε risk premium assumption (ασφάλιστρο κινδύνου) προσαρμοσμένο στις πιθανότητες και,. Η συνθήκη που πρέπει να ακολουθεί το risk premium assumption (ασφάλιστρο κινδύνου) είναι: 0, για όλα τα κάθε 0, 1, 1, 2,,. ( )

49 49 Ο περιορισμός αυτός προέρχεται από την σχέση: 1για όλα τα κάθε 0, 1, 1, 2,,. Παρατηρούμε από τα παραπάνω ότι η εξίσωση ( ) μπορεί να ικανοποιηθεί με πραγματικά δεδομένα, γιατί οι τιμές που παίρνει η ποσότητα, είναι πολύ μικροί αριθμοί. Από τις εξισώσεις ( ) και ( ) παίρνουμε ότι: για κάθε 0,1, και,1,.., ισχύει ότι:,,, 1 1,, 1,2,..,. ( ) Τελικά από την παραπάνω εξίσωση ( ) παίρνουμε ότι για κάθε 0,1, και,1,.., ισχύει η σχέση:,,,,,, για 1,2,..,. ( ) Ορίζουμε τον ακόλουθο πίνακα 0 0 Σύμφωνα με αυτόν τον πίνακα και τις σχέσεις (2.6.5) και ( ), η υπόθεση risk premium assumption (ασφάλιστρο κινδύνου) μπορεί να γραφεί σε μορφή πινάκων ως εξής: και 1 1 ( ),όπου 1 είναι το διάνυσμα στήλη 1 του πίνακα που έχει σε όλες τις θέσεις του μονάδες. Δουλεύοντας επαγωγικά στις παραπάνω σχέσεις, αποδεικνύουμε την σχέση:, 1 1. ( ) Όπου, είναι ένας πίνακας διάστασης 1 1 με στοιχεία που είναι οι πιθανότητες:,, 1,2,.,.

50 50 Τέλος από τις εξισώσεις (2.6.5) και ( ) που είδαμε παραπάνω, ο πίνακας μπορεί να πάρει την μορφή,,, 0 1, ,όπου στην παραπάνω σχέση ο πίνακας, είναι ένας πίνακας διάστασης, με στοιχεία, τα οποία δίνονται από την σχέση,, 1,2,.,, και το διάνυσμα,, είναι ένα διάνυσμα στήλη με στοιχεία, τα οποία είναι οι πιθανότητες,, 1 1,2,.,. Από την σχέση ( ) που αποδείξαμε παραπάνω επαγωγικά, παίρνουμε την εξής σχέση: 0, 1 0,,η οποία σε μορφή πινάκων γράφεται ισοδύναμα ως εξής: 0, 1 0, , 0, Από την οποία εύκολα παίρνουμε τις σχέσεις Και 0, 1 0, 0, 1 0, 0, ( ) Σύμφωνα με τις σχέσεις ( ) και ( ) θεωρούμε την σχέση 0, 1 1 0, 1 ( ) Επίσης από τη σχέση ( ) και την υπόθεση risk premium assumption (ασφάλιστρο κινδύνου) θεωρούμε την σχέση, 0,1, , 0,1, 0,1 10,1 1,2,.., Από την οποία λύνοντας ως προς 0 παίρνουμε: 0, 0,1 0,1 10,11, 1,2,..,

51 51 Τέλος από την σχέση ( ) και για 1,2,.. " 1 έχουμε ότι 0, 1, 0, 1 10, 1 0, 1, 0, 1 10, 1.. 0, 1 0, 1, 0, 1 10, 1 0, Τελικά από τις εξισώσεις ( ) και ( ) καταλήγουμε στην σημαντική εξίσωση 1 0, 1 0, Σύμφωνα με τις εκτιμήσεις που έγιναν παραπάνω, θεωρούμε μία μέθοδο αξιολόγησης για την υπόθεση risk premium assumption (ασφάλιστρο κινδύνου). Για την υλοποίηση της μεθόδου αυτής χρησιμοποιούμε έναν αλγόριθμο που θα αναπτύξουμε παρακάτω Αλγόριθμος με βάση την υπόθεση Risk Premium (επιβράβευση κινδύνου) 1 ο βήμα: Για 1,2,.., βρίσκουμε το 0 από την σχέση ( ). Σύμφωνα με την σχέση αυτή το 0 δίνεται από τον τύπο 0, 0,1 0,1 10,11, 1,2,.., 2 ο βήμα: Για 1 βρίσκουμε το 0, από την σχέση 0,1 00 Και το χρησιμοποιούμε για να βρούμε το 1 από την σχέση 1 0,2 0, ο βήμα: Για 2,3,., 1 βρίσκουμε το 0, από την σχέση

52 52 0, 0, 1 1 0, 1 11 Και το χρησιμοποιούμε για να βρούμε το από την σχέση 1 0, 1 0, 1.

53 53 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο 3.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο κεφάλαιο δύο η πιστωτική μετανάστευση στις διάφορες βαθμίδες πιστωτικής μετανάστευσης αντιπροσωπεύτηκε σαν μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα. Αυτό έγινε από τους Jarrow, Lando και Turnbull (1997) σε χρόνο διακριτό και σε χρόνο συνεχή. Πολλοί ερευνητές παρατήρησαν πολλές αποκλίσεις από τις υποθέσεις των Jarrow, Lando και Turnbull (1997). Επίσης το ίδιο μοντέλο χρησιμοποιήθηκε και από τον Kijima (1998) και άλλους, για να μελετηθούν διάφορες πτυχές του μοντέλου της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Οι Bielecki και Rutkowski (2004) μελέτησαν και θεμελίωσαν μαθηματικά αυτά τα μοντέλα καθώς και άλλα μοντέλα που προτάθηκαν από άλλους ερευνητές οι οποίοι βάσισαν την δουλειά τους στο ομογενές Μαρκοβιανό μοντέλο. Οι Carty και Fons (1993) χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της εταιρίας αξιολόγησης Moody, θεμελίωσαν ότι ο χρόνος παραμονής σε μία βαθμίδα αξιοπιστίας ακολουθεί την κατανομή Weibull. Η εκτίμηση των παραμέτρων της Weibull διαφοροποιείται για κάθε βαθμίδα αξιοπιστίας. Συνεπώς οι Carty και Fons (1993) θεμελίωσαν ότι το κατάλληλο μοντέλο δεν ήταν ένα μοντέλο ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας γιατί σε αυτό ο χρόνος παραμονής σε κάθε βαθμίδα αξιοπιστίας ακολουθεί την εκθετική κατανομή στον συνεχή χρόνο και την γεωμετρική κατανομή σε χρόνο διακριτό. Υπάρχει μία ακολουθία μελετών στις οποίες κυριαρχεί η ανάλυση του χρόνου παραμονής. Η πρώτη από αυτές είναι η εργασία των Looney και Wansley στη χρεοκοπία τραπεζών. Μοντέλα χρόνου παραμονής τα οποία χρησιμοποιούν παράγοντες οι οποίοι μεταβάλλονται με τον χρόνο είναι μεταξύ άλλων McDonald και Van de Gucht, Shumway, Kavvathas, Chava και Jarrow και Hillegeist, Keating, Cram, Lundstedt, Altman και Kao (1992), Carty και Fons (1993), Altman (1998), Nickell et al (2000), Bangia et al (2002), Lando και Skodeberg (2002), Hamilton και Cantor (2004) και άλλοι. Πιο πρόσφατα μη ομογενή ημι Μαρκοβιανά μοντέλα προτάθηκαν για την διαδικασία μετανάστευσης τα οποία είναι πλέον ρεαλιστικά για τις μεταβολές στους πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης. Ενδεικτικά αναφέρουμε τους Vasileiou και Vassiliou (2006), D Amico et al (2005), D Amico et al (2007), D Amico et al (2009), D Amico (2010), D Amico et al (2011), Vasileiou και Vassiliou (2013), Vassiliou (2013), Vassiliou (2014). Στη διατριβή αυτή θα αναλύσουμε το άρθρο των Halina Frydman και Til Schuermann (2008). Σε αυτό προτείνεται μία διαφορετική μη Μαρκοβιανή συμπεριφορά σε σχέση με αυτή που έχουμε αναλύσει στο προηγούμενο κεφάλαιο καθώς και στην αρθρογραφία την οποία παραθέσαμε παραπάνω. Συγκεκριμένα προτείνεται ένα μη Μαρκοβιανό μοντέλο, το οποίο είναι γενίκευση της συνεχούς χρόνου ομογενούς Μαρκοβιανής αλυσίδας. Η συνεχούς χρόνου ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα έχει την ιδιότητα ότι στη διάρκεια παραμονής στις διάφορες καταστάσεις ακολουθεί εκθετική κατανομή. Η εκθετική κατανομή έχει μία σταθερή συνάρτηση κινδύνου, το οποίο συνεπάγεται ότι το διάγραμμα της συνάρτησης κινδύνου με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή. Θα δείξουμε ότι αυτό το πλεονέκτημα παραβιάζεται στην αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας, με διαφορετικό τρόπο όταν πρόκειται για διαφορετικές αξιολογήσεις. Δηλαδή οργανισμοί από την ίδια

54 54 βαθμίδα αξιολόγησης μεταναστεύουν στις διάφορες καταστάσεις αξιολόγησης σε διαφορετικές ταχύτητες, δηλαδή διαφορετικές συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας, ένα χαρακτηριστικό το οποίο δεν είναι δεκτό στο Μαρκοβιανό μοντέλο. Αυτό καταστρέφει την βασική υπόθεση του Μαρκοβιανού μοντέλου που είναι η ομοιογένεια των διαφορετικών βαθμίδων. Με βάση τις προηγούμενες παρατηρήσεις για την αντιμετώπιση της ετερογένειας προτείνεται από τους Frydman και Schuermann (2008) μία μείξη δύο ανεξάρτητων συνεχούς χρόνου ομογενών Μαρκοβιανών αλυσίδων, οι οποίες αντιστοιχούν στην υπόθεση της ύπαρξης τουλάχιστον δύο πληθυσμών, οι οποίοι μεταναστεύουν στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης με διαφορετικές τάσεις. Αυτές διαφέρουν μόνο στις τάσεις μετάβασης μεταξύ των βαθμίδων αξιολόγησης, ενώ έχουν τους ίδιους πίνακες μετάβασης με την έννοια ότι έχουν στις ίδιες θέσεις μηδενικά. Δηλαδή στην πραγματικότητα το μοντέλο υποθέτει ότι υπάρχουν δύο υποπληθυσμοί στους οργανισμούς οι οποίοι μεταναστεύουν σύμφωνα με την δική τους Μαρκοβιανή αλυσίδα ο καθένας. Η προσπάθεια είναι η παραμονή σε μία βαθμίδα να μοντελοποιηθεί με την υπόθεση ότι η παρατηρούμενη παραμονή σε μία δεδομένη κατάσταση προέρχεται από ένα μείγμα δύο εκθετικών κατανομών και το αποτέλεσμα που είναι ο χρόνος παραμονής στην βαθμίδα προέρχεται από την δράση μίας εκ των δύο εκθετικών κατανομών. Σύμφωνα με τους Frydman και Schuermann (2008) αυτό είναι μία μη τετριμμένη γενίκευση του μοντέλου των Jarrow, Lando και Tiurnbull (1997). Σε αυτό το μοντέλο επιτρέπεται η ετερογένεια σε κάθε βαθμίδα και αυτό προσφέρει την διαφοροποίηση στην συμπεριφορά μετανάστευσης σε οργανισμούς οι οποίοι έχουν την ίδια βαθμίδα αξιολόγησης σήμερα αλλά έφθασαν σε αυτήν από διαφορετικά μονοπάτια. Τελικά το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο είναι πιο δυνατό στατιστικά από το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο και οι διαφορές των δύο έχουν σημαντική οικονομική σημασία. Η μη Μαρκοβιανή ιδιότητα του μεικτού μοντέλου μας συνεπάγεται ότι η μελλοντική αξιολόγηση της εταιρίας η του οργανισμού καθώς και η κατανομή που ακολουθεί βασίζεται τόσο στην τρέχουσα αξιολόγηση όσο και στις αξιολογήσεις που έχουν γίνει στο παρελθόν. Έτσι σε αντίθεση με το Μαρκοβιανό μοντέλο, όλες οι εταιρίες και οι οργανισμοί με συγκεκριμένη τρέχουσα αξιολόγηση δεν ακολουθούν την ίδια μελλοντική κατανομή και αξιολόγηση.

55 Μεικτό Μαρκοβιανό Μοντέλο Σύμφωνα με αυτά που έχουμε μελετήσει στο δεύτερο κεφάλαιο όλες οι εταιρίες και οι οργανισμοί υπόκεινται στην αξιολόγηση της πιστοληπτικής τους ικανότητας, που είναι ουσιαστικά ένα μέτρο με το οποίο αξιολογούμε αν έχουν τον κίνδυνο να αθετήσουν οικονομικές υποχρεώσεις ή να χρεοκοπήσουν. Με βάση αυτή την διαδικασία της αξιολόγησης της πιστοληπτικής τους ικανότητας στην εργασία αυτή οι εταιρίες και οι οργανισμοί κατατάσσονται σε μία από τις 17 στο σύνολο βαθμίδες αξιοπιστίας, στις οποίες συμπεριλαμβάνονται και οι +/ τροποποιήσεις αυτών. Μέσα σε αυτές περιλαμβάνονται και το default rating (χρεοκοπία) και η withdrawn or not rated (N,R) (απόσυρση από την αξιολόγηση). Μία εταιρία ή ένας οργανισμός μπορεί να αξιολογηθεί ως withdrawn or not rated (N,R) (απόσυρση από την αξιολόγηση) για διάφορους λόγους, που αφορούν τον ίδιο τον οργανισμό. Γενικά όπως αναφέραμε στο κεφάλαιο δύο έχει επικρατήσει οι πιστωτικές κλάσεις να είναι εφτά στο σύνολο, οι οποίες από την καλύτερη ως την λιγότερο καλή όπως έχουμε ήδη εξετάσει είναι οι εξής : Aaa, Aa, A, Bbb, Bb, B, Ccc, default. Η ομαδοποίηση από τις 17 στις 7 είναι εύκολη και προκύπτει από την φύση των ίδιων των κλάσεων αξιολόγησης. Με βάση το μοντέλο που παρουσίασαν οι Jarrow, Lando και Triurnbull (1997), μοντελοποιούν την εξέλιξη της πιστωτικής μετανάστευσης ενός ομολόγου που είναι δυνατόν να αθετηθεί και που δεν πληρώνει μέρισμα ως μία ομογενή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου έχει την ιδιότητα ο χρόνος παραμονής σε μία βαθμίδα αξιοπιστίας να ακολουθεί την εκθετική κατανομή. Η βασική ιδιότητα της εκθετικής κατανομής είναι ότι έχει σταθερή συνάρτηση κινδύνου, το οποίο συνεπάγεται ότι το διάγραμμα της integrated hazard function (ολοκληρωμένης συνάρτησης κινδύνου) με τον χρόνο είναι μία ευθεία γραμμή. Στα παρακάτω σχήματα παρουσιάζονται τα διαγράμματα του Nelson Aalen, των συναρτήσεων κινδύνου για κάθε μία από τις κλάσεις αξιολόγησης (Aaa, Aa, A, Bbb, Bb, B, Ccc, default), και με 95% διάστημα εμπιστοσύνης. Η ευθεία γραμμή είναι η (implied cumulative hazard ) για την εκθετική κατανομή. Από τα διαγράμματα μπορούμε να δούμε ότι η αξιολόγηση Ccc είναι αυτή που αποκλίνει περισσότερο από την ευθεία γραμμή.

56 56 Διαγράμματα Nelson Aalen Βασιζόμενοι σε αυτές τις εμπειρικές μελέτες που έχουμε προαναφέρει προτάθηκε πρώτα από την Frydman (2005) το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, ως πιοο κατάλληλο μοντέλο για την αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας. Το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο αποτελείταιι ουσιαστικά από τον συνδυασμό δύο ξεχωριστών Μαρκοβιανών αλυσίδων. Στηριζόμενοι στα διαθέσιμαα δεδομένα και γνωρίζοντας τα πλεονεκτήματα της συνεχούςς Μαρκοβιανής αλυσίδας σε σχέση με τηνν διακριτή, εκτιμήθηκε και πλέον προτείνεται το συνεχές μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο. Στον πίνακα μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας, τα στοιχείαα της διαγωνίου του περιγράφουν τις τάσεις παραμονής τωνν διάφορων εταιριών καιι οργανισμώνν στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης. Αν σε ένα πίνακαα μετάβασης τα στοιχείαα της διαγωνίου τείνουν στην μονάδα ( > >1), αυτό συνεπάγεται ότι η μετανάστευση είναι αργή, δηλαδή δεν έχουμε μεγάλη κινητικότητα στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης και ο χρόνος παραμονής στην συγκεκριμένη βαθμίδα αξιολόγησης είναι μεγάλος. Αντίθετα ανν σε ένα πίνακα μετάβασης τα στοιχεία της διαγωνίου είναι μικρός αριθμός (πολύ μικρότερος της μονάδας ), τότε η

57 57 μετανάστευση είναι γρήγορη, δηλαδή έχουμε μεγάλη κινητικότητα στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης και ο χρόνος παραμονής στην συγκεκριμένη βαθμίδα αξιολόγησης είναι μικρός. Το γεγονός ότι αυτοί οι πίνακες τείνουν να είναι διαγώνια κυρίαρχοι (δηλαδή το στοιχείο της διαγωνίου έχει την μεγαλύτερη τιμή και μάλιστα την μεγαλύτερη και από το άθροισμα των υπόλοιπων στοιχείων της γραμμής), σημαίνει ότι τις περισσότερες στιγμές δεν υπάρχει μετανάστευση. Στο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, οι δύο βασικές Μαρκοβιανές αλυσίδες διαφέρουν στην ταχύτητα μετανάστευσης, η μία είναι αργή και η άλλη είναι γρήγορη. Οι δύο γεννήτορες των Μαρκοβιανών αλυσίδων, δηλαδή και της γρήγορης και της αργής είναι σταθεροί ως προς το χρόνο. Ωστόσο ο γεννήτορας της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας αυτών των δύο είναι συνάρτηση του χρόνου. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η πιθανότητες επιλογής του γρήγορου ή του αργού γεννήτορα σε οποιαδήποτε χρονική στιγμή είναι συναρτήσεις του χρόνου. Η εκτίμηση των πιθανοτήτων αυτών σαν συναρτήσεις του χρόνου γίνεται από τα ιστορικά δεδομένα μετανάστευσης των οργανισμών ή των εταιριών. Παρακάτω θα αναλύσουμε το μοντέλο της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας όπως δίνεται από την Frydman (2005). 3.3 Η μεικτή διαδικασία Εκτίμηση παραμέτρων στο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, Μαρκοβιανών αλυσίδων που κινούνται με διαφορετική ταχύτητα. Παρακάτω θα παρουσιάσουμε μία γενική μορφή του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου που αφορά την μείξη m στο πλήθoς ομογενών Μαρκοβιανών αλυσίδων, όπως αυτό δίνεται στην εργασία της Frydman (2005). Σκοπός της εργασίας αυτής είναι η αντιμετώπιση του προβλήματος της μη ομογένειας στις μεταβάσεις των πληθυσμών μεταξύ των διάφορων βαθμίδων αξιολόγησης της πιστοληπτικής ικανότητας των διάφορων οργανισμών ή εταιριών. Φυσικά η μεθοδολογία αυτή μπορεί να εφαρμοστεί και γενικότερα στις Μαρκοβιανές αλυσίδες. Το προτεινόμενο μοντέλο είναι μία μείξη των ομογενών ως προς το χρόνο διαφορετικών Μαρκοβιανών αλυσίδων. Από την εργασία της Frydman (2005) θα αναφερθούμε μόνο στο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, στο οποίο ο χρόνος είναι συνεχής. Η περίπτωση του διακριτού χρόνου μελετάται επίσης, αλλά δεν αφορά την παρούσα διατριβή. Έστω, 0, μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα με χώρο καταστάσεων 1,2,..,, όπου οι διάφορες τιμές αντιπροσωπεύουν τις διαφορετικές πιστωτικές κλάσεις για την αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας των οργανισμών ή των εταιριών, οι οποίες σύμφωνα με την αρχική κατάσταση είναι η μείξη m συνεχών Μαρκοβιανών αλυσίδων.

58 58 Έστω, 0, το σύνολο των m Μαρκοβιανών αλυσίδων,των οποίων η μείξη μας δίνει την μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0. Οι πίνακες των τάσεων (γεννήτορες) των m Μαρκοβιανών αλυσίδων δίνονται από τους πίνακες, με 1. Οι πίνακες αυτοί των τάσεων (γεννήτορες) των m Μαρκοβιανών αλυσίδων συνδέονται μεταξύ τους σύμφωνα με τη σχέση:, με 1. (3.3.1) όπου,,,,, με 11 και,δηλαδή οι πίνακες των τάσεων (γεννήτορες) είναι πίνακες με στοιχεία τα και είναι της μορφής :,,,,,,, 0 0, (3.3.2) Και κατά συνέπεια τα στοιχεία συνδέονται με την σχέση :,, ό (3.3.3) Αφού οι πίνακες είναι πίνακες τάσεων (γεννήτορες) των Μαρκοβιανών αλυσίδων, 0 έχουμε ότι ισχύει 1 0 και αυτή η σχέση είναι που καθορίζει τα διαγώνια στοιχεία τους. Ακόμη ισχύει ότι γιατί : για έχουμε Όμως άρα. Επίσης σημειώνουμε ότι και ο πίνακας είναι και αυτός πίνακας τάσεων (γεννήτορας), αφού πρέπει να είναι 1 0, ώστε να ισχύει σωστά η σχέση 1 0 με 0, γιατί ισχύει μόνο όταν 0.

59 59 Οι μεικτές πιθανότητες μετάβασης, βασίζονται στην αρχική κατάσταση, δηλαδή 0 η αρχική κατάσταση του οργανισμού, όπου 1,2,., είναι οι διαφορετικές πιστωτικές κλάσεις για την αξιολόγηση της πιστοληπτικής ικανότητας των οργανισμών ή των εταιριών. Ορίζουμε,,,,,..,, όπου τα, εκφράζονται με τη σχέση, 0 Δηλαδή δηλώνουν την πιθανότητα τη χρονική στιγμή 0 η Μαρκοβιανή αλυσίδα να βρίσκεται στην κατάσταση και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων. Κατά συνέπεια αυτού για κάθε ισχύει, 0, 1,2,, και επιπλέον, 1 Σχηματικά έχουμε : 1 2, 1 =1, w Ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης της μεικτής Μαρκοβιανής διαδικασίας δίνεται από την σχέση :, 0, 0 0,,,,,,,,,,,,, (3.3.4),,,,,,

60 60 όπου exp και,,,,,. Για παράδειγμα το πρώτο στοιχείο του πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης της μεικτής Μαρκοβιανής διαδικασίας είναι το εξής :,,,,,, Το οποίο αποτελείται από το άθροισμα των εξής πιθανοτήτων, πιθανότητα τη χρονική στιγμή η Μαρκοβιανή αλυσίδα να παραμένει στην κατάσταση 1 και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων 1 + πιθανότητα τη χρονική στιγμή η Μαρκοβιανή αλυσίδα να παραμένει στην κατάσταση 1 και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων πιθανότητα τη χρονική στιγμή η Μαρκοβιανή αλυσίδα να παραμένει στην κατάσταση 1 και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων. Όπως προκύπτει από την εξίσωση, με 1, όπου,,,,, με 11 και, και την σχέση των στοιχείων,,, όπου, οι Μαρκοβιανές αλυσίδες, 0, γενικά διαφέρουν στις τάσεις με τις οποίες αφήνουν μία κατάσταση για να εισέλθουν σε μία άλλη, δηλαδή διαφέρουν στις τιμές των,, Οι διαφορές αυτές οφείλονται στις τιμές που παίρνει η μεταβλητή,. Έτσι με βάση τα παραπάνω και ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η μεταβλητή,, οι οποίες μπορεί να είναι :, 0 0, 1 ή, 1 Έχουμε τις αντίστοιχες υλοποιήσεις για την Μαρκοβιανή αλυσίδα, δηλαδή, Αν, 0 τότε η ποτέ δεν μετακινείται από την κατάσταση. Αν 0, 1 τότε η μετακινείται από την κατάσταση για την κατάσταση με μικρότερη τάση σε σχέση με την, για κάθε. Αν, 1 τότε η μετακινείται από την κατάσταση για την κατάσταση με μεγαλύτερη τάση σε σχέση με την, για κάθε.,. Mover Stayer Model Αν στην προαναφερθείσα μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα θέσουμε τους περιορισμούς 2 και,,, 0, τότε προκύπτει μία ειδική και συγκεκριμένη μορφή του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου γνωστή ως Mover Stayer Model.

61 61 Συγκεκριμένα, για 2 και, 0,, 0,,, 0 προκύπτει ότι: ,όπου είναι ο πίνακας τάσεων που αντιπροσωπεύει τους Stayers., 0 0,, 0 0, 0,όπου είναι ο πίνακας τάσεων που αντιπροσωπεύει τους Movers. Δηλαδή, στο μοντέλο αυτό, ο πληθυσμός αποτελείται από τους Movers οι οποίοι εξελίσσονται σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα και έχουν πίνακα τάσεων τον και από τους Stayers οι οποίοι δεν εγκαταλείπουν ποτέ την αρχική τους κατάσταση, δεν μετακινούνται και έχουν πίνακα τάσεων τον. Το νέο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, είναι ουσιαστικά μία γενίκευση του Mover Stayer Model και επιτρέπει στους διάφορους υπο πληθυσμούς να έχουν διαφορετικές τάσεις μετανάστευσης στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης, όπως έχουμε ήδη σχολιάσει. Όπως έχουν δείξει σχετικές μελέτες το μοντέλο αυτό έχει μεγαλύτερη εφαρμογή και αποτελεσματικότητα στον τομέα του πιστωτικού κινδύνου (Gredit Risk και Risk Management). Πρώτη φορά έγινε αναφορά από τους Blumen, Kogan και McCarthy (1955) και έπειτα ακολούθησαν πολλές άλλες εφαρμογές, όπως του Sampson (1990), στην επαγγελματική κινητικότητα, των Dutta, Sefton και Weele (2001) στην δυναμική των εισοδημάτων, των Chatterjee και Ramaswamy (1996) και Colombo και Morrison (1989), στις προτιμήσεις των καταναλωτών στο εμπόριο και τις επώνυμες εταιρίες, των Frydman, Kallberg και Kao (1985) στην πιστοληπτική συμπεριφορά των οργανισμών, των Altman και Kao (1991), στις αξιολογήσεις των μεταναστεύσεων των ομολόγων, και τέλος των Tabar et al (1996), Chen, Duffy και Tabar (1997), στην εξέλιξη του όγκου. Παρακάτω θα αναπτύξουμε την διαδικασία εύρεσης της μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation) των παραμέτρων του συνεχούς χρόνου μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου, από ένα δείγμα ανεξάρτητων, συνεχών παρατηρήσεων. Οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας (MLEs) των παραμέτρων εκτιμούνται αρχικά κάτω από

62 62 πλήρεις πληροφορίες, δηλαδή γνωρίζουμε ποια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι γεννήτορας της κάθε πραγματοποίησης (μετανάστευσης) και στη συνέχεια αυτοί χρησιμοποιούνται στον EM Αλγόριθμο για την εκτίμηση των παραμέτρων της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, αλλά κάτω από μη πλήρεις πληροφορίες αυτή τη φορά. 3.4 Εκτίμηση παραμέτρων στο συνεχούς χρόνου μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, με πλήρεις πληροφορίες Παρακάτω θα αναλύσουμε την εύρεση των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας (MLEs) των παραμέτρων του συνεχούς χρόνου μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου κάτω από πλήρεις πληροφορίες. Έστω, 0, μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα, η οποία είναι η μείξη από N Μαρκοβιανές αλυσίδες και της οποίας ο πίνακας πιθανοτήτων μετάβασης δίνεται από τη σχέση:, 0 (3.4.1) όπου exp και,,,,, και οι πίνακες μετάβασης των Μαρκοβιανών αλυσίδων. Υποθέτουμε ότι σε ένα χρονικό διάστημα 0, παρατηρήθηκαν n ανεξάρτητες πραγματοποιήσεις της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Έστω πιο συγκεκριμένα ότι η k οστή πραγματοποίηση της,, παρατηρήθηκε στο χρονικό διάστημα 0,, όπου. Έτσι σύμφωνα με αυτό, οι υπόλοιπες ανεξάρτητες πραγματοποιήσεις παρατηρούνται σε χρονικά διαστήματα της ίδιας μορφής με διαφορετικά μήκη το καθένα. Στην περίπτωση μας, του συνεχούς Μαρκοβιανού μοντέλου κάτω από πλήρεις πληροφορίες όπως προαναφέραμε, μας είναι γνωστό ποια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι γεννήτορας της κάθε πραγματοποίησης (μετανάστευσης). Έτσι για την k οστή πραγματοποίηση της, 0,, έχουμε διαθέσιμες τις πληροφορίες (,,,,,, όπως και για κάθε πραγματοποίηση της γενικότερα,όπου, : ο αριθμός των φορών που η έκανε μία μετάβαση από την κατάσταση στην κατάσταση (. : ο συνολικός χρόνος παραμονής της στην κατάσταση. και τέλος για 1,2,., υποθέτουμε ότι 1, αν η γεννάται από την και 0, σε κάθε άλλη περίπτωση.

63 63 Θεωρούμε, είναι η πιθανότητα παρατήρησης της πραγματοποίησης, σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα και σύμφωνα με την αρχική συνθήκη 0 τότε έχουμε:,,,, 1,2,., (3.4.2) Αν το έχει παρατηρηθεί και είναι γνωστό, τότε η λογαριθμική πιθανότητα της συμβολίζεται με και δίνεται από την σχέση:,,, Σύμφωνα με τον παραπάνω τύπο η λογαριθμική πιθανότητα όλων των πραγματοποιήσεων, δίνεται από την σχέση:,,,,,, Όπου, : ο αριθμός των φορών που επιλέχθηκε η Μαρκοβιανή αλυσίδα και που είχε σαν αρχική κατάσταση, την κατάσταση. : ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση, στην κατάσταση, (. : ο αριθμός όλων των μεταβάσεων από την κατάσταση., : ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση με επιλογή της Μαρκοβιανής αλυσίδας.

64 64, : ο χρόνος παραμονής στην κατάσταση με επιλογή της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Επομένως σύμφωνα με την παραπάνω ερμηνεία αυτών των στοιχείων έχουμε: ο αριθμός των πραγματοποιήσεων που έχουν σαν αρχική κατάσταση, την κατάσταση ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση, στην κατάσταση, ο αριθμός των μεταβάσεων από την κατάσταση για πραγματοποιήσεις ο χρόνος παραμονής στην κατάσταση για πραγματοποιήσεις Με σκοπό να βρούμε τους εκτιμητές της κάθε παραμέτρου παραγωγίζουμε τη συνολική λογαριθμική πιθανότητα ως προς αυτές τις παραμέτρους, μία μία ξεχωριστά. Θέτουμε:, 0, 1,2,., και γνωρίζοντας ότι, 1 έχουμε ότι:,,, 1,2,.., (3.4.5) Όπου, Επίσης θέτουμε:, 0,,, 0 για 1 και 11 από το οποίο παίρνουμε ότι :,,, (3.4.6) Ακόμη γνωρίζουμε ότι, 1 για 1,2,.., Οπότε αντικαθιστώντας τη σχέση,, μέσα στον τύπο της λογαριθμικής, πιθανότητας όλων των πραγματοποιήσεων έχουμε τη σχέση:,,,, 3.4.7

65 65 Όπου,, Έπειτα θέτουμε, 0 Από το οποίο παίρνουμε ότι,, 0 (3.4.8) Έτσι τελικά,, (3.4.9) Χρησιμοποιώντας τη σχέση παίρνουμε ότι,,,, Έτσι τελικά οι εκτιμητές μέγιστης πιθανοφάνειας (MLEs) των παραμέτρων του συνεχούς χρόνου μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου κάτω από πλήρεις πληροφορίες δίνονται από τις σχέσεις :,,, 1,2,..,,,,, για 1 και,,,,,,, για 11 (3.4.11) 3.5 Ο EM Αλγόριθμος για το συνεχούς χρόνου μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο Επειδή έχουμε ήδη δει την διαδικασία εύρεσης των εκτιμητών (MLEs) των παραμέτρων του συνεχούς χρόνου μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου κάτω από πλήρεις πληροφορίες παρακάτω θα παρουσιάσουμε με την βοήθεια αυτών τον EM Αλγόριθμο, ο οποίος χρησιμοποιείται στην εκτίμηση των παραμέτρων της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, αλλά χωρίς να έχουμε πλήρης πληροφορίες.

66 66 Σύμφωνα με τη σχέση,, για 1 και,παρατηρούμε ότι η ποσότητα δεν είναι απαραίτητο να ενημερώνεται και να αλλάζει τιμή σε κάθε επανάληψη του αλγορίθμου. Επομένως οι παράμετροι που εκτιμούμε με τον EM Αλγόριθμο για το συνεχούς χρόνου μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο είναι οι εξής:,,,,,,11. Μετά την σύγκλιση του αλγορίθμου τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι οι εκτιμητές:,,,,,,11 Και επιπλέον το,, το οποίο το παίρνουμε από τον τύπο του που ήδη γνωρίζουμε, δηλαδή,,, για 1 και. ΒΗΜΑΤΑ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΥ Βήμα 1 ο Επιλέγουμε αρχικές τιμές για τις ποσότητες,,,,,,11 τις,,,,,,11, και ορίζουμε τους πίνακες και έτσι ώστε, ο πίνακας να έχει στοιχεία που δίνονται από τις σχέσεις:, και και ο πίνακας να έχει στοιχεία που δίνονται από τις σχέσεις:,,, και,

67 67 Βήμα 2 ο Για την k οστή πραγματοποίηση της Μαρκοβιανής αλυσίδας έστω ότι:,,,, 1,,,, για 1 υπολογίζουμε την πιθανότητα να έχει σαν γεννήτορα τον πίνακα, αυτή είναι:,,,,,,,, Στη συνέχεια, για 1 και 1 υπολογίζουμε τις ποσότητες,,, 0 όπου. είναι μία δείκτρια συνάρτηση. και, είναι ο αναμενόμενος αριθμός όλων των μεταβάσεων από την κατάσταση, για όλες τις πραγματοποιήσεις που γίνονται σύμφωνα με την μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα και επίσης σύμφωνα με τα δεδομένα που υπολογίζονται από τις ποσότητες,,,,,,11. Βήμα 3 ο Υπολογίζουμε νέες τιμές, τις, σχέσεις,,,,,11 χρησιμοποιώντας τις,,, 1,2,..,,,

68 68,,,,,,, για 11 Με τέτοιο τρόπο ώστε να έχουμε,,,,,,,. Βήμα 4 ο Τερματίζεται ο αλγόριθμος αν το κριτήριο σύγκλισης ικανοποιείται, ενώ σε αντίθετη περίπτωση, επιστρέφουμε στο Βήμα 2 ο και θέτουμε νέες τιμές στις,,,,,,11 τις,,,,,, Credit rating dynamics and Markov mixture models (Δυναμική της πιστοληπτικής ικανότητας και μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο) Όπως είδαμε παραπάνω σύμφωνα με την Frydman (2005), η μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα που προτείνεται είναι μία συνεχούς χρόνου στοχαστική διαδικασία. Στην εργασία των Frydman και Schuermann (2008) παρουσιάζεται με συντομία μία συγκεκριμένη εκδοχή του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου της μείξης των m Μαρκοβιανών αλυσίδων, στην οποία επιλέγει δύο Μαρκοβιανές αλυσίδες να αντιπροσωπεύουν τις τάσεις μετανάστευσης των οργανισμών. Έπειτα από αυτό αναλύει τις πιθανολογικές επιπτώσεις του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου. Βρίσκει δηλαδή την πρόβλεψη για την μελλοντική κατανομή της Μαρκοβιανής αλυσίδας και κατά πόσο αυτή επιρρεάζεται από την ιστορία της. Έστω, 0, μία ομογενής Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου. Ο χώρος των καταστάσεων 1,2,.., επιλέγεται να είναι οι βαθμίδες αξιολόγησης της πιστοληπτικής ικανότητας μιας εταιρίας ή ενός οργανισμού και το εκφράζει την κατάσταση χρεοκοπίας. Το μοντέλο που προτείνεται από τους Frydman και Schuermann (2008) υποθέτει ότι δεδομένης της κατάστασης που βρίσκεται η Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0, η εξέλιξη της είναι η μείξη δύο Μαρκοβιανών αλυσίδων συνεχούς χρόνου. Οι Μαρκοβιανές αυτές αλυσίδες είναι οι, 0 και

69 69, 0, των οποίων η επιλογή μιας εκ των δύο εξαρτάται από την παρούσα κατάσταση. Η επιλογή γίνεται σύμφωνα με τις πιθανότητες : 0 με 0 1, (3.6.1) και 1 0 με 0 1, (3.6.2),οι οποίες δηλώνουν την πιθανότητα τη χρονική στιγμή 0 η Μαρκοβιανή αλυσίδα να βρίσκεται στην κατάσταση και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων, και την πιθανότητα τη χρονική στιγμή 0 η Μαρκοβιανή αλυσίδα να βρίσκεται στην κατάσταση και να επιλέγει τον πίνακα τάσεων αντίστοιχα. Έστω ο πίνακας τάσεων (γεννήτορας) της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0 και ο πίνακας τάσεων (γεννήτορας) της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0. Η μείξη η οποία προτείνεται είναι της μορφής :, (3.6.3) όπου,,,δηλαδή ο πίνακας τάσεων (γεννήτορας) είναι ένας πίνακας με στοιχεία τα, και είναι της μορφής : Και κατά συνέπεια τα στοιχεία συνδέονται με την σχέση : ό Αφού ο πίνακας είναι πίνακας τάσεων (γεννήτορας) της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0 έχουμε ότι ισχύει 1 0 και αυτή η σχέση είναι που καθορίζει τα διαγώνια στοιχεία του. Δηλαδή 0, 0,, Επίσης και ο πίνακας με στοιχεία τα είναι και αυτός πίνακας τάσεων (γεννήτορας) της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, αφού πρέπει να είναι 1 0, δηλαδή 0, 0,,, ώστε να ισχύει σωστά η σχέση 1 0 με 0, γιατί

70 ισχύει μόνο όταν 0. Είναι γνωστό ότι για μία Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου με πίνακα τάσεων ισχύει ότι: : είναι το αναμενόμενο μήκος χρόνου όπου η Μαρκοβιανή αλυσίδα παραμένει στην κατάσταση. : είναι η πιθανότητα, όταν πραγματοποιείται μία μετάβαση από την κατάσταση, αυτή να είναι για να πάει στην κατάσταση, όπου. Και αντίστοιχα για μία Μαρκοβιανή αλυσίδα συνεχούς χρόνου με πίνακα τάσεων ισχύει ότι: : είναι το αναμενόμενο μήκος χρόνου όπου η Μαρκοβιανή αλυσίδα παραμένει στην κατάσταση. : είναι η πιθανότητα, όταν πραγματοποιείται μία μετάβαση από την κατάσταση, αυτή να είναι για να πάει στην κατάσταση, όπου. Θα δείξουμε τώρα ότι ό (3.6.5) Γνωρίζουμε ότι ό Και επίσης 0, 0,, και 0, 0,, Άρα,. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ Είναι φανερό από την σχέση (3.6.5) ότι η πιθανότητα μετάβασης σε μία κατάσταση από την δεδομένης της μετακίνησης εκτός της κατάστασης είναι ίση για τις δύο Μαρκοβιανές αλυσίδες μείξης, 0 και, 0. Επίσης όπως προκύπτει από την εξίσωση,όπου,, και τη σχέση των στοιχείων όπου οι Μαρκοβιανές αλυσίδες, 0 και, 0, γενικά διαφέρουν στις τάσεις με τις οποίες αφήνουν μία

71 71 κατάσταση για να εισέλθουν σε μία άλλη, δηλαδή. Οι διαφορές οφείλονται στις τιμές που παίρνει η μεταβλητή. Έτσι με βάση τα παραπάνω και ανάλογα με τις τιμές που παίρνει η μεταβλητή, οι οποίες μπορεί να είναι : 0, 0 1, 1 ή 1 Έχουμε τις αντίστοιχες υλοποιήσεις για την Μαρκοβιανή αλυσίδα, δηλαδή Αν 0 τότε η ποτέ δεν μετακινείται από την κατάσταση. Αν 0 1 τότε η μετακινείται από την κατάσταση για την κατάσταση με μικρότερη τάση σε σχέση με την, για κάθε. Αν 1 τότε η μετακινείται από την κατάσταση για την κατάσταση με την ίδια τάση σε σχέση με την, για κάθε. Αν 1 τότε η μετακινείται από την κατάσταση για την κατάσταση με μεγαλύτερη τάση σε σχέση με την, για κάθε. Αν 0, 1 τότε το μοντέλο γίνεται συγκεκριμένο (two component mixture), το λεγόμενο από την γνωστή βιβλιογραφία ως Mover Stayer Model Αν 1, 1 τότε η μεικτή διαδικασία καταρρέει σε απλή Μαρκοβιανή αλυσίδα. Στη συγκεκριμένη εφαρμογή η θα έχει μικρότερες τάσεις μετακίνησης από την κατάσταση στην κατάσταση, από ότι η. Οι πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης και των Μαρκοβιανών αλυσίδων, 0 και, 0 αντίστοιχα είναι γνωστό από (Π.Χ.Γ.Βασιλείου 2000) ότι δίνονται από τις σχέσεις : exp (3.6.6) Και! exp,όπου 0 (3.6.7)! Έστω 0, ο πίνακας με στοιχεία τα 0, 0

72 72 Τα στοιχεία του πίνακα είναι προφανές ότι είναι οι πιθανότητες 0, και αντίστοιχα τα στοιχεία του πίνακα είναι οι πιθανότητες 0. Έχουμε ότι: (3.6.8) Από όπου παίρνουμε ότι για κάθε, ισχύει: 0, 1 (3.6.9) Η παραπάνω σχέση σε μορφή πινάκων εκφράζεται ως εξής: 0,, (3.6.10) Όπου,,. Και με 0 1 Είναι φανερό από την προηγούμενη σχέση ότι στα Μαρκοβιανά μοντέλα μείξης η πιθανότητα μετάβασης από μία κατάσταση σε μία άλλη κατάσταση εξαρτάται όχι μόνο από την παρούσα κατάσταση αλλά και από την προιστορία της επιλογής των γεννητόρων πινάκων και. Το ιδιαίτερο αυτό χαρακτηριστικό των Μαρκοβιανών μοντέλων μείξης έχει ως αποτέλεσμα ο υπολογισμός της κατανομής των πιθανοτήτων στις διάφορες καταστάσεις αξιολόγησης, να εξαρτάται από τα δεδομένα που θα υποθέσουμε ότι έχουμε σχετικά με την προϊστορία της επιλογής των πινάκων των τάσεων και. Τέλος όπως και στο μοντέλο των m Μαρκοβιανών αλυσίδων έτσι και εδώ, ισχύει η εύρεση των εκτιμητών μέγιστης πιθανοφάνειας (maximum likelihood estimation) των παραμέτρων του συνεχούς χρόνου μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου, από ένα δείγμα ανεξάρτητων, συνεχών παρατηρήσεων. Αρχικά οι (MLEs) εκτιμούνται κάτω από πλήρεις πληροφορίες, δηλαδή γνωρίζουμε ποια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι γεννήτορας της κάθε πραγματοποίησης (μετανάστευσης). Σύμφωνα με αυτή τη διαδικασία όπως έχουμε δει

73 73 παίρνουμε τις μεταβλητές,,,,,. Και στη συνέχεια με την χρήση αυτών και την διαδικασία του EM Αλγορίθμου, όπως την έχουμε δει, γίνεται η εκτίμηση των παραμέτρων της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, αλλά κάτω από μη πλήρεις πληροφορίες. Μετά την σύγκλιση του αλγορίθμου τα αποτελέσματα που παίρνουμε είναι οι εκτιμητές: (,,,1 Και επιπλέον το,, το οποίο το παίρνουμε από τον τύπο του, δηλαδή, όπου,, για 1 και (3.6.11) : είναι ο συνολικός αριθμός μεταβάσεων από την κατάσταση i στην κατάσταση,( για όλη την ιστορία αξιολογήσεων σε ένα δείγμα. Και Συνεπώς το σημαντικό χαρακτηριστικό του μοντέλου μας αλλά και των μεικτών Μαρκοβιανών μοντέλων γενικά, σε αντίθεση με τις Μαρκοβιανές αλυσίδες, είναι ότι η κατανομή της μελλοντικής κατάστασης της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, βασίζεται στον συνδυασμό της τρέχουσας κατάστασης και των αξιολογήσεων του παρελθόντος. 3.7 Κατανομή Πιθανοτήτων στις βαθμίδες αξιολόγησης Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε τις υπό συνθήκη πιθανότητες της στοχαστικής διαδικασίας μείξης, να βρίσκεται τη χρονική στιγμή 1 σε οποιαδήποτε κατάσταση ή βαθμίδα αξιολόγησης. Θα υποθέσουμε τρεις διαφορετικές περιπτώσεις γνώσης του παρελθόντος της συγκεκριμένης μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας. Προς τον σκοπό αυτό ορίζουμε την παρακάτω σ άλγεβρα. : η σ άλγεβρα, η οποία περιέχει όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες σχετικά με τις αξιολογήσεις της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, από το χρόνο 0 μέχρι το χρόνο, δηλαδή μέχρι πριν την δεδομένη χρονική στιγμή. Οι τρεις διαφορετικές περιπτώσεις γνώσης του παρελθόντος είναι οι εξής:

74 74 Περίπτωση Α: Πλήρης πληροφόρηση. Στη περίπτωση αυτή ορίζουμε τη σ άλγεβρα, ως το σύνολο,, η οποία όπως είναι φανερό από τον τρόπο που ορίστηκε περιέχει όλη την πληροφορία για την εξέλιξη της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, από τον χρόνο 0 μέχρι και το συμπεριλαμβανόμενο. Δηλαδή περιέχει το σύνολο, μαζί με όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες της αυτή τη δεδομένη χρονική στιγμή. Περίπτωση Β: Περιορισμένη πληροφόρηση. Στην περίπτωση αυτή γνωρίζουμε μόνο την παρούσα κατάσταση της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0. Περίπτωση Γ: Ενισχυμένη περιορισμένη πληροφόρηση. Στην περίπτωση αυτή γνωρίζουμε την παρούσα κατάσταση της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, αλλά και την αρχική κατάσταση της. Παρακάτω θα αναλύσουμε ξεχωριστά τις τρεις αυτές περιπτώσεις Πλήρεις πληροφορίες (Full information) Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στην κατηγορία αυτή έχουμε πλήρεις πληροφορίες για το παρελθόν της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Δηλαδή γνωρίζουμε τα πάντα για τις αξιολογήσεις της μέχρι τη δεδομένη χρονική στιγμή. Θεωρούμε την Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0 και υποθέτουμε ότι αυτή βρίσκεται στην κατάσταση τη χρονική στιγμή. Σκοπός είναι να υπολογίσουμε τη δεσμευμένη κατανομή της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0 την επόμενη χρονική στιγμή, δηλαδή την χρονική στιγμή 1. Ορίζουμε την δεσμευμένη πιθανότητα 1,,, ( ),δηλαδή την πιθανότητα την χρονική στιγμή 1 η Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0 να βρίσκεται στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή ήταν στην κατάσταση και δεδομένης της πληροφορίας που μας δίνει η άλγεβρα. Τελικά παρουσιάζουμε την ζητούμενη μελλοντική πιθανότητα, δηλαδή τη πιθανότητα η να είναι στην κατάσταση τη χρονική στιγμή 1, δεδομένης της συνολικής πληροφορίας που περιέχει η άλγεβρα, με τη σχέση:

75 75 1,, έ ή ή,, έ ή ή,, ( ) την οποία ονομάζουμε βασική εξίσωση πρόβλεψης. Στην παραπάνω σχέση, οι μεταβλητές και είναι τα στοιχεία των πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης και αντίστοιχα, των δύο Μαρκοβιανών αλυσίδων της μείξης και. Συγκεκριμένα στην παρούσα περίπτωση έχουμε τους πίνακες 1 και 1. Η πιθανότητα, έ ή ή, δηλώνει την εξέλιξη της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα, η οποία επιλέγεται την χρονική στιγμή και κάτω από τις πλήρεις πληροφορίες της άλγεβρα,. Ομοίως, η πιθανότητα, έ ή ή, δηλώνει την εξέλιξη της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα, η οποία επιλέγεται την χρονική στιγμή και κάτω από τις πλήρεις πληροφορίες της άλγεβρα,. Εύκολα τελικά συμπεραίνουμε από τη σχέση αυτή, ότι η μελλοντική πιθανότητα της Μαρκοβιανής αλυσίδας τη χρονική στιγμή 1 να βρίσκεται στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή είναι στην κατάσταση, είναι η μείξη και ο συνδυασμός των αντίστοιχων πιθανοτήτων των Μαρκοβιανών αλυσίδων και της μείξης. Παρακάτω θα αποδείξουμε τη σχέση ( ), αλλά στην πιο γενική μορφή της. ΛΗΜΜΑ Για κάθε χρονική στιγμή, για την οποία ισχύει έχουμε:,, έ ή ή,, έ ή ή,,, ( ) Απόδειξη: Έστω ότι και τα, στοιχεία των πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης, και, αντίστοιχα, των Μαρκοβιανών αλυσίδων και της μείξης. Εφόσον η εκφράζεται μέσο των Μαρκοβιανών αλυσίδων και, θα έχουμε,,,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,

76 76 Από την ιδιότητα της υπό συνθήκη κατανομής,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,, επιλέγεται την χρονική στιγμή, Η Μαρκοβιανή ιδιότητα των και, μας δίνει την ισότητα,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,. Σχόλιο Αν στη σχέση αυτή θέσουμε 1 παίρνουμε τη σχέση ( ), δηλαδή 1,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,, επιλέγεται την χρονική στιγμή,, ( ),όπου και είναι στοιχεία των πινάκων 1 και 1 αντίστοιχα. Στην περίπτωση που η άλγεβρα, διαθέτει όλη την πληροφορία για το παρελθόν, δηλαδή είναι το σύνολο,0 ή το σύνολο,0, το σύνολο των πληροφοριών μέχρι την χρονική στιγμή ή το σύνολο των πληροφοριών μαζί με την δεδομένη κατάσταση αντίστοιχα. Τότε η πιθανότητα εξέλιξης της Μαρκοβιανής αλυσίδας μείξης, 0 μέσω της Μαρκοβιανής αλυσίδας και δεδομένου του συνόλου,, δίνεται από την σχέση:, έ ή ή, ( ) Στην παραπάνω σχέση το δηλώνει την αρχική κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Οι πιθανότητες και είναι οι πιθανότητες πραγμάτωσης του μονοπατιού της Μαρκοβιανής αλυσίδας κάτω από την πλήρη πληροφορία που μας προσφέρει η άλγεβρα

77 77,, και σύμφωνα με τις Μαρκοβιανές αλυσίδες και αντίστοιχα, οι οποίες επιλέγονται την χρονική στιγμή. Οι σχέσεις που εκφράζουν αυτές τις πιθανότητες είναι οι εξής:,, έ ή ή, ( ) και,, έ ή ή, ( ) Παρακάτω θα αποδείξουμε τη σχέση ( ) και θα δείξουμε πως βγαίνουν οι σχέσεις των πιθανοτήτων και. Απόδειξη της σχέσης, έ ή ή, Έχουμε,, έ ή ή,,έ ή ή,,, = Σύμφωνα με το θεώρημα του Bayes.,,έ ή ή,,έ ή ή,,έ ή ή,,έ ή ή,,έ ή ή,,έ ή ή,,έ ή ή,,,έ ή ή,,,έ ή ή,. Με σκοπό να διατυπώσουμε τις σχέσεις των πιθανοτήτων και, και χρησιμοποιώντας τις πλήρης πληροφορίες που παίρνουμε από την άλγεβρα,, θεωρούμε τις μεταβλητές και. Η μεταβλητή είναι ο αριθμός των μεταβάσεων για μία εταιρία ή έναν οργανισμό από την κατάσταση στην κατάσταση,στην διάρκεια της ιστορίας της στο διάστημα 0,.

78 78 Και η μεταβλητή εκφράζει τον χρόνο παραμονής στην κατάσταση, μιας εταιρίας ή ενός οργανισμού, στην διάρκεια της ιστορίας της στο διάστημα 0,. Παρακάτω θα δώσουμε ένα παράδειγμα, για την κατανόηση των μεταβλητών που ορίσαμε πιο πάνω. Έστω ότι η άλγεβρα, περιέχει την πληροφορία: Για μία πραγμάτωση της Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, όπου 9 και επιπλέον εξελίσσεται σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα. Θεωρούμε να είναι η πιθανότητα μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας από την κατάσταση στην κατάσταση να είναι η πιθανότητα μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας από την κατάσταση στην κατάσταση Κ.ο.κ Η πιθανότητα εμφάνισης της πραγμάτωσης του προηγούμενου μονοπατιού όταν η Μαρκοβιανή μας αλυσίδα μεταβαίνει από μία κατάσταση σε μία άλλη κατάσταση και εξελίσσεται σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι: exp4 exp3 exp 2,όπου το 2 στον εκθέτη του δηλώνει ότι η μετάβαση από την κατάσταση στην κατάσταση εμφανίζεται δύο φορές, ενώ οι μεταβάσεις από την κατάσταση στην κατάσταση και από την κατάσταση στην κατάσταση, εμφανίζονται μόνο μία φορά. Στην γενική περίπτωση λοιπόν, σύμφωνα με αυτές τις πληροφορίες οι συναρτήσεις που ορίζουν τις πιθανότητες και είναι οι εξής: ( ) Και ( )

79 Περιορισμένη πληροφόρηση (Limited information: Current rating) Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι άλγεβρα δεν διαθέτει καμία πληροφορία για το παρελθόν την Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0,. Δηλαδή. Σε αυτή την περίπτωση γνωρίζουμε μόνο την παρούσα κατάσταση της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, δηλαδή ότι τη χρονική στιγμή είναι στην κατάσταση. Προφανώς στην περίπτωση αυτή έχουμε ότι η πιθανότητα όπως ορίστηκε στην προηγούμενη παράγραφο θα είναι η παρακάτω:, έ ή ή,, έ ή ή ( ) Είναι δηλαδή η πιθανότητα την χρονική στιγμή η Μαρκοβιανή αλυσίδα μείξης, 0, να βρίσκεται στην κατάσταση και να επιλέγεται την χρονική στιγμή η Μαρκοβιανή αλυσίδα μείξης. Έχουμε λοιπόν:, έ ή ή ( ) Με βάση τον ορισμό της πιθανότητας η πιθανότητα 0 είναι: 0, έ ή ή 0 0 Συμβολίζουμε με 0, Δηλαδή, την κατανομή των πιθανοτήτων της αρχικής κατάστασης της τυχαίας μεταβλητής. Συμβολίζουμε επίσης με και τα, στοιχεία των πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης 0, και 0, αντίστοιχα, των δύο Μαρκοβιανών αλυσίδων της μείξης και αντίστοιχα. Έχουμε ότι, έ ή ή ή ά ί 1,, έ ή ή 0, ή ί ί έ ί ά ή ά ί 2,, έ ή ή 0, ή ί ί έ ί ά ή ά ί,, έ ή ή 0, ή ί ί έ ί ά

80 80 ά ύ ί ή ά ί,, έ ή ή 0, ή ί ί έ ί ά ό ί ή ά ί, έ ή ή 0 0 ή ί ί έ ί ά 0. ( ) Για τον παρονομαστή της σχέσης ( ) έχουμε ότι:, έ ή ή, έ ή ή ί ά ύ, έ ή ή, έ ή ή Από την σχέση ( ) έχουμε αμέσως ότι: 1. ( ) Τελικά από τις σχέσεις ( ), ( ) και ( ) έχουμε ότι, 0,, ( )

81 81 Ορίζουμε την δεσμευμένη πιθανότητα 1, δηλαδή η πιθανότητα την χρονική στιγμή 1 η Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0 να βρίσκεται στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή ήταν στην κατάσταση,και δεδομένου ότι δεν έχουμε πλήρη πληροφορία, αλλά μόνο την κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας αυτή τη δεδομένη χρονική στιγμή. Για βήμα 1 από τον χρόνο στον χρόνο 1 η πιθανότητα εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση θα είναι αντίστοιχα: 1 1,, ( ) Αν εκφράσουμε τον τύπο αυτό σε μορφή πινάκων, παίρνουμε την ισοδύναμη σχέση:, 1, 0 ( ) Όπου exp και exp είναι οι πίνακες πιθανοτήτων μετάβασης, των δύο Μαρκοβιανών αλυσίδων της μείξης και και είναι ο διαγώνιος πίνακας με στοιχεία τα Ενισχυμένη περιορισμένη πληροφόρηση (Limited information: Initial and Current rating) Στην περίπτωση αυτή θεωρούμε ότι οι πληροφορίες που έχουμε για την μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα, 0 είναι ότι την δεδομένη χρονική στιγμή είναι στην κατάσταση και επίσης γνωρίζουμε και την αρχική κατάσταση της Μαρκοβιανής αλυσίδας. Σε αυτήν την περίπτωση, η πιθανότητα η Μαρκοβιανή αλυσίδα μείξης, 0, την χρονική στιγμή να βρίσκεται στην κατάσταση και να εξελίσσεται σύμφωνα με την Μαρκοβιανή αλυσίδα μείξης, δεδομένης και της αρχικής της κατάστασης δίνεται από τον τύπο ( ) που είδαμε παραπάνω, θέτοντας, όπου 0 1 είναι η αρχική κατάσταση της τυχαίας μεταβλητής. Έχουμε λοιπόν σύμφωνα με τον τύπο ( ) την εξής σχέση:, έ ή ή 0, 0, έ ή ή 0,0,,0

82 82 Από την σχέση αυτή έχουμε: Για τον αριθμητή:, έ ή ή 0,0,, ( ) Για τον παρονομαστή:,0,0,, έ ή ή 0,0,, έ ή ή 0, έ ή ή 0,0,, έ ή ή 0,0,, 1, ( ) Από τις παραπάνω σχέσεις ( ) και ( ) έχουμε τελικά ότι:, έ ή ή 0, 0,,,, 0, ( ) Τέλος, ορίζουμε τη δεσμευμένη πιθανότητα της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας, 0, 1,0, δηλαδή, η πιθανότητα τη χρονική στιγμή 1, η, 0, να είναι στην κατάσταση, δεδομένου ότι τη χρονική στιγμή είναι στην κατάσταση και η αρχική κατάσταση της είναι 0. Για βήμα 1 από τον χρόνο στον χρόνο 1 η πιθανότητα εφαρμόζοντας την παραπάνω σχέση θα είναι αντίστοιχα: 1, 0, 0, 0, ( ),όπου και τα, στοιχεία των πινάκων πιθανοτήτων μετάβασης και αντίστοιχα, των Μαρκοβιανών αλυσίδων και της μείξης.

83 Εφαρμογή Όπως έχουμε ήδη αναφέρει στο κεφάλαιο 2, υπάρχουν κάποιοι ανεξάρτητοι οίκοι αξιολόγησης, δηλαδή ιδιωτικές εταιρίες οικονομικού ενδιαφέροντος που προσφέρουν κυρίως συμβουλευτικές υπηρεσίες. Σύμφωνα με αυτούς τους οίκους οι διάφορες εταιρίες, οργανισμοί ή οφειλέτες γενικά κατατάσσονται σε βαθμίδες αξιοπιστίας, οι οποίες ανήκουν σε ένα συγκεκριμένο σύνολο βαθμίδων αξιοπιστίας, σύμφωνα με την αξιολόγηση της πιστοληπτικής τους ικανότητας. Οι πιο γνωστοί τέτοιοι οίκοι είναι οι Moody s Investor Service, Standard and Poor, Fitch IBCA και Duffa and Phelps, οι οποίοι ωστόσο ακολουθούν διαφορετική τακτική στην διαδικασία αξιολόγησης. Στην διατριβή αυτή τα δεδομένα των αξιολογήσεων του παρελθόντος έχουν δοθεί από τον οίκο Standard and Poor Fitch IBCA και περιλαμβάνονται στην εργασία Credit rating dynamics and Markov mixture models. Τα δεδομένα αυτά περιλαμβάνουν τις αξιολογήσεις μεγάλων εταιριών και οργανισμών ανά τον κόσμο στο χρονικό διάστημα από 1 Ιανουαρίου 1981 έως και 31 Δεκεμβρίου Στα δεδομένα μας, οι μεταβάσεις στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης είναι περιορισμένες σχετικά. Συγκεκριμένα, ένα 20% των εταιριών δεν παρουσιάζει καμία μετάβαση στο χρονικό διάστημα από το 1981 έως το Το 36% έχει στο ιστορικό του μόνο μία μετάβαση και μόνο ένα 10% έχει μεταναστεύσει σε άλλη βαθμίδα περισσότερες από τρεις φορές. Για λόγους ομοιογένειας οι παρατηρήσεις στην εργασία μας περιορίστηκαν μόνο για δεδομένα επενδυτών από της ΗΠΑ. Στα δεδομένα υπάρχουν 7119 επενδυτές από την Αμερική, οι οποίοι συγκεντρώνουν αθροιστικά 79,051 εταιρικά χρόνια, συμπεριλαμβανομένων και εκείνων οι οποίοι αποχώρησαν από το σύστημα αξιολόγησης για διάφορους λόγους, καθώς και 1024 πτωχεύσεις εταιριών. Από αυτές τις 1024 πτωχεύσεις 820 ήταν από μία συγκεκριμένη βαθμίδα αξιολόγησης Εκτίμηση και σύγκριση των δύο Μαρκοβιανών μοντέλων. (Μεκτό Μαρκοβιανό μοντέλο και Απλό Μαρκοβιανό μοντέλο) Στο κείμενο που ακολουθεί θα γίνει μία ανάλυση των διαθέσιμων δεδομένων από τον οίκο Standard and Poor Fitch IBCA, μέχρι την χρονική περίοδο Τα υπόλοιπα δεδομένα έως το 2005 θα μελετηθούν στην πορεία καθώς θα χρησιμοποιηθούν για να συγκριθούν με τις προβλέψεις που θα γίνουν με βάση τα δεδομένα μέχρι το 2002 από τα προτεινόμενα στο παρόν μοντέλα. Στην χρονική περίοδο λοιπόν μέχρι το 2002 ο αριθμός των Αμερικάνων επενδυτών ανέρχεται στους Λόγω του μικρού αριθμού των μετακινήσεων στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης ομαδοποιούμε τις βαθμίδες αξιολόγησης σε 7 όπως φαίνονται στην πρώτη στήλη του πίνακα 1. Η τελευταία κατάσταση στην πρώτη στήλη του πίνακα 1 είναι η κατάσταση (Not Rated) που περιλαμβάνει τους επενδυτές που αποχωρούν από την διαδικασία αξιολόγησης για οποιονδήποτε λόγο. Ο παρακάτω πίνακας δίνει τις εκτιμήσεις του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου από το 1981 έως το 2002.

84 84 Πίνακας 1 Όπως παρατηρούμε, η τελευταία στήλη του πίνακα παρουσιάζει το συνολικό χρόνο των εταιριών σε κάθε πιστοληπτική κατάσταση. Για παράδειγμα, γιαα την κατάσταση AAA όλοι οι επενδυτές ή εταιρίες, την τ επισκέφτηκαν και είχαν αθροιστική παραμονή εκεί 2059 χρόνια. Παρατηρούμε με βάση τον πίνακα ότι η κατάσταση AA έχει επισκεψιμότητα συνολικά 6306 χρόνια, ενώ η κατάστασηη NR 24,430 χρόνια, δηλαδή σχεδόν το 1 3 του συνολικού αριθμού των χρόνων παραμονής. Στην δεύτερη στήλη του πίνακα 1 δίνονται οι πιθανότητες 0 που είναι οι πιθανότητες επιλογής στο χρόνο 0 της Μαρκοβιανής αλυσίδαςς δεδομένου ότι η Μαρκοβιανή αλυσίδα αρχίζει στην κατάσταση την χρονική στιγμή σ 0. Για παράδειγμαα αν η κατάσταση είναι η AAA βλέπουμε ότι η είναι ίση με 1. Δηλαδή εάν η Μαρκοβιανή αλυσίδα αρχίζει στην κατάσταση τότε στο 0 με βεβαιότητα επιλέγει την. Το ίδιο συμβαίνει και για την κατάσταση. Ένα άλλο παράδειγμα είναι ότι για την κατάσταση από τον πίνακα έχουμε ότι 0 0,924 που σημαίνει ότι με πιθανότητα 0,924 επιλέγεται στο χρόνο 0 η Μαρκοβιανή αλυσίδα και με πιθανότητα 10,924 η Μαρκοβιανή αλυσίδα. Καθώς ο χρόνος περνάει η θα βρίσκεται απόό την σχέση: ( ):, 0,,, που π έχουμε ήδη αποδείξει. Στον ίδιο πίνακαα η πέμπτη και η έκτη στήλη μας δίνουν την αναμενόμενη διάρκεια παραμονής στην πιστωτική κατάσταση σύμφωνα με τους πίνακες τάσεωνν και αντίστοιχα. Είναι φανερό στην εφαρμογή μας από την στήλη τρία του πίνακα, δηλαδή από τις τιμές της μεταβλητής ότι ο πίνακαςς τάσεων είναι ο πιο αργός σε σχέση με τον πίνακα τάσεων, για τις περισσότερες καταστάσεις πιστοληπτικής ικανότητας. Αυτό είναι εύκολα διακριτό, γιατί όπως ήδη γνωρίζουμε,, αν 0 1, τότε ο πίνακας τάσεων είναι ο πιο αργός σε σχέση με τον πίνακα τάσεων, ενώ αν 1, τότε ο πίνακας τάσεων τ είναι ο γρήγορος σε σχέση με τον πίνακα τάσεων.

85 85 Σκοπός μας παρακάτω είναιι να εξετάσουμε και να συγκρίνουμε διάφορες εκδοχές του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου σε σχέση με το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο. Για το σκοπό αυτό χρησιμοποιούμε διάφορα κριτήριαα λόγου πιθανοφάνειας. Στα κριτήρια αυτά του λόγου πιθανοφάνειας η μηδενική υπόθεση κατασκευάζεται με βάση τους περιορισμούς στις παραμέτρους. Όλα τα τεστ έδειξαν ότι η μηδενική υπόθεση, δηλαδή το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο είναι το κατάλληλο απορρίφθηκε σε όλες τις περιπτώσεις. Τα αποτελέσματα αυτά συμφωνούν και με τα αποτελέσματα Frydman (2005), τα οποία γίνανε για λιγότερα δεδομένα,, συγκεκριμένα από το 1985 έως το Η απόρριψη της Μαρκοβιανής αλυσίδαςς έναντι του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου οφείλεται κυρίως στη διαφορετική συμπεριφορά των δύο πινάκων τάσεων και των δύο Μαρκοβιανών αλυσίδων της μείξηςς και αντίστοιχα, και κ συγκεκριμένα στις πιστωτικές βαθμίδες AAA, AA, A και CCC, όπου όπως βλέπουμε από τον πίνακα είναι 0,147, 0,688,, 0,6200 και 0,216. Ένα εύλογο ερώτημα που γεννάται είναι πόσο διαφορετικοί είναι οι πίνακεςς μετάβασηςς της μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας και της απλής Μαρκοβιανής αλυσίδας. Παρακάτω ακολουθούν τρεις πίνακες 2a, 2b, 2c, στους οποίους παρουσιάζονται οι πίνακες μετάβασης της απλής Μαρκοβιανλης αλυσίδας για ένα χρόνο, την Μαρκοβιανής αλυσίδας μείξης για τον δεύτερο χρόνο και οι πίνακες exp και exp των Μαρκοβιανών αλυσίδων μείξης για ένα χρόνο. Συγκρίνοντας τα στοιχεία των δύο πρώτων πινάκων, δηλαδή των πινάκων 2a, 2b, του πίνακα μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας και του πίνακα μετάβασης της τ μεικτής Μαρκοβιανής αλυσίδας αντίστοιχα, α παρατηρούμε ότι δεν έχουν μεγάλες διαφορές μεταξύ τους. Οι διαφορές τους είναι μόνο στις καταστάσεις CCC και NR, όπου 39,54% για τοο απλό Μαρκοβιανό μοντέλο και 52,73% για το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο. Επίσης ο πίνακας τάσεων κυριαρχεί έναντι του πίνακα τάσεων στο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο, αφού το 74,6% των εταιριών εξελίσσονται σύμφωνα με αυτόν. Πίνακας 2α

86 86 Πίνακας 2β Πίνακας 2γ Ρίχνοντας μία ματιά στον πίνακα 2c, παρατηρούμε ότι συγκρίνοντας τα στοιχεία των πινάκων μετάβασης exp και exp των Μαρκοβιανών αλυσίδων μείξης, οι διαφορές είναι πιο έντονες, ιδιαίτερα για τις πιστοληπτικές καταστάσεις AA AA και CCC, όπου η τιμή της μεταβλητής είναι πολύ μακριά από το ένα. Είναι δηλαδή 0,147 και 0,216 αντίστοιχα. Στον ίδιο πίνακα παρατηρούμε ότι, όσο αφορά την πιστωτική κατάσταση CCC,, η πιθανότητα ένας οφειλέτης ή μία εταιρία πουυ βρίσκονταιι σε αυτή την βαθμίδα να αθετήσουν έχει ποσοστό 32,50%, αν εξελίσσονται σύμφωνα σ με τον πίνακα τάσεων, ενώ έχει ποσοστό 65,56%, ανν εξελίσσονται σύμφωναα με τον πίνακα τάσεων. Είναι φανερό ότι για αυτήν την τ συγκεκριμένη πιστωτική κατάσταση, ο πίνακας τάσεων είναι ο πιο αργός από όλες τις τ αξιολογήσεις με 0,216, όπως ό έχουμεε ήδη δει. Γνωρίζουμε από την θεωρία ότι στον πίνακα μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας τα στοιχεία της διαγωνίου αντιπροσωπεύουν τις τάσεις μετάβασηςς των οργανισμών από μία

87 87 βαθμίδα. Όταν τα στοιχεία αυτά τείνουν στο 1 έχουμε αργή μετανάστευση, δηλαδή όχι μεγάλη κινητικότητα στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης, ενώ ο χρόνος παραμονής στις βαθμίδες είναι μεγάλος. Αντίθετα όταν τα στοιχεία αυτά είναι μικρός αριθμός, πολύ μικρότερος της μονάδας, τότε έχουμε γρήγορη μετανάστευση, δηλαδή μεγάλη κινητικότητα και μικρό χρόνο παραμονής στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης. Είναι φανερό από μία απλή ανάγνωση του πίνακα ότι είναι πολύ δύσκολο να συγκρίνουμε πίνακες μετάβασης από τις τιμές που παρουσιάζονται στους πίνακες. Για το σκοπό αυτό οι Jafry και Schuermann (2004) πρότειναν ένα μέτρο για την σύγκριση πινάκων μετανάστευσης, βασισμένο στις ιδιοτιμές του πίνακα. Έστω P ένας πίνακας μετάβασης διαστάσεων. Ορίζουμε τον πίνακα, όπου είναι μοναδιαίος πίνακας διάστασης. Τότε το μέτρο κινητικότητας το οποίο όρισαν οι παραπάνω συγγραφείς είναι ένα είδος μέσου όρου των ιδιοτιμών του πίνακα και το οποίο δίνεται από τη σχέση: 1 Οι Jafry και Schuermann (2004) έδειξαν ότι το μέτρο αυτό έχει πολλές επιθυμητές ιδιότητες ως μέτρο. Συμβολίζουμε με να είναι ο πίνακας μετάβασης της Μαρκοβιανής αλυσίδας, τότε βλέπουμε ότι 0,210. Συμβολίζουμε όπως προηγούμενα με να είναι ο πίνακας μετάβασης του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου για τον χρόνο, τότε 2 0,192. Επίσης βρέθηκε ότι 0,191, 0,329. Όπως έδειξαν οι Jafry και Schuermann (2004) το μέτρο του πίνακα προσεγγίζει γενικώς την μέση πιθανότητα μετανάστευσης του πίνακα. Αυτό κάνει ξεκάθαρο την γραμματική διαφορά μεταξύ των πινάκων τάσεων και, όπου όπως είδαμε έχει πού μεγαλύτερη μέση πιθανότητα μετανάστευσης Διανύσματα πιθανοτήτων μετάβασης της S&P από το 1982 εώς το 2002 Όπως έχουμε δει τα δεδομένα της S&P περιέχουν τις πληροφορίες μετανάστευσης των Αμερικάνικων εταιριών από το 1981 έως το Ο αριθμός των εταιριών αυτών είναι Ο πίνακας 3 που ακολουθεί περιέχει για ένα χρόνο τους φορείς μετανάστευσης όλων των εταιριών του δείγματος μας στο τέλος της περιόδου που εξετάζουμε, δηλαδή στης 31 Δεκεμβρίου 2002, σύμφωνα με τις διαθέσιμες πληροφορίες και την ιστορία κάθε εταιρίας και έχει σχηματισθεί ως εξής:

88 88 Για κάθε έτος από την 1 Ιανουαρίου μέχρι την 31 Δεκεμβρίου υπολογίζονται οι πιθανότητες μετάβασης από κάθε βαθμίδα σε όλες τις άλλες με βάση την εξίσωση 1,, έ ή ή,, έ ή ή,,, όπου, έ ή ή, Και τις εξισώσεις Και. Με τον τρόπο αυτό για παράδειγμα, εάν στον χρόνο η αξιολόγηση μίας εταιρίας ήταν στην κατάσταση, τότε για την πιθανότητα μετάβασης σε ένα χρόνο στην κατάσταση έχουμε 21 εκτιμήσεις, μία για κάθε χρόνο. Στον πίνακα 3 στην στήλη δίνεται ο μέσος όρος να είναι 87,50 με μία διακύμανση 0,57. Η ελάχιστη τιμή που παίρνουμε σαν εκτίμηση είναι 83,79 και η μέγιστη εκτίμηση που παίρνουμε είναι 87,79. Έτσι σχηματίζεται και ο υπόλοιπος πίνακας 3 για τις άλλες καταστάσεις πιστολιπτικής ικανότητας.

89 89 Πίνακας 3 Το διάνυσμα πιθανοτήτων μετάβασης για την κατάσταση σεε ένα χρόνο είναι το ακόλουθο. 0,058, 0,875, 0,716, 0,066, 0,010, 0,008, 0,002, 0,388, 0 0,0016 Όσον αφορά τους δύο τελευταίους αριθμούς, ο πρώτος δηλαδήή το 0,388 δηλώνει την πιθανότητα απόσυρσης από την αξιολόγηση, ενώ ο τελευταίος, το 0,0016 είναι η πιθανότητα πτώχευσης. Τα ελάχιστα και τα μέγιστα τα οποία παρατηρούνται στον πίνακα 3 στις πιθανότητες μετάβασηςς στις διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης οφείλονται κυρίως στους διαφορετικούς πίνακες μετάβασης οι οποίοι λειτουργούν σε κάθε περίπτωση με το Μαρκοβιανό μοντέλο μείξης, δηλαδή μεε τους πίνακες και των Μαρκοβιανών αλυσίδων και αντίστοιχα. Όμως δεν είναι δυνατόν να αποδοθούν ούτε τα ελάχιστα, ούτε τα μέγιστα με τον ίδιο πίνακα σε όλες τις βαθμίδες. Για παράδειγμαα η μέγιστη τιμή () για την πιστωτική κατάσταση είναι 89,40% και αντιστοιχεί στον πίνακα τάσεων. Το ίδιο ισχύει και για την πιστωτική κατάσταση. Ωστόσο η μέγιστη αναβάθμιση στην κατάσταση από την κατάσταση είναι 4,14% και αντιστοιχεί στον πίνακα τάσεων. Από το τ παράδειγμα μας εύκολα διαπιστώνουμε αυτό που είπαμε παραπάνω, ότι ένας πίνακας τάσεων τ ή δεν αντιπροσωπεύει απαραίτητα και το μέγιστο () και το ελάχιστο ( ) για μία πιστωτική κλάση.

90 Industry and business cycle effects (Επίδραση του κύκλου των βιομηχανιών και των επιχειρήσεων) Υπάρχουν ισχυρές ενδείξεις ότι οι πιθανότητες μετανάστευσης στις σ διάφορες βαθμίδες αξιολόγησης διαφέρουν για διαφορετικούς τομείς της βιομηχανίας, καθώς και είναι διαφορετικές σε περιόδους ανάπτυξης και οικονομικής κρίσης. Για το σκοπόό αυτό στον πίνακα 4 έχουμε διακρίνει διάφορους τομείς της βιομηχανίας, συγκεκριμένασ α 7, και επίσης τα δύο τελευταία στοιχεία αναφέρονται ι στην ανάπτυξη (expansion) και στηνν οικονομική κρίση (recession) της οικονομίας. Στη στήλη δύο δίνεται το ποσοστό των επιχειρήσεων που λειτουργούν σύμφωνα με τον πίνακα τάσεων, που είναι αυτός που έχει μεγάλη κινητικότητα. Στη στήλη τρία έχουμε το μέτρο κινητικότητας για το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο και στη στήλη τέσσερα δίνεται το μέτρο κινητικότητας για το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο. Τέλος στην τελευταία στήλη βρίσκεται το ποσοστό της διαφοράς των δύο μέτρων κινητικότητα ας, των δύο μοντέλων αντίστοιχα. Πίνακας 4 Από τα δεδομένα του πίνακα βλέπουμε ότι η διαφορά του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου με το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο στον δείκτη είναι 8,6%. Το Τ αρνητικό πρόσημο οφείλεται στο γεγονός ότι η τιμή για το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο είναι μικρότερη.

91 91 Είναι φανερό ότι η μεγαλύτερη διαφορά μεταξύ των δύο μοντέλων στην τιμή παρουσιάζεται στον τομέα Durable manufacturing με ποσοστό 18,3%, ενώ ακολουθεί ο τομέας Wholesale and retail trade, όπου το μεικτό μοντέλο έχει τιμή κατά 15,6% μικρότερη. Μόνο για τον βιομηχανικό τομέα Argiculture, mining and construction ο δείκτης του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου είναι μεγαλύτερος. Στην πρώτη στήλη του πίνακα έχουμε τα ποσοστά. Το ποσοστό των εταιριών που εξελίσσονται σύμφωνα με τον πίνακα τάσεων για το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο έχει την μεγαλύτερη τιμή στον τομέα Wholesale and retail trade που είναι 39,0%, δεύτερος έρχεται ο Durable manufacturing με 34,2%. Το μικρότερο ποσοστό είναι 7,7% για τον Finance, insurance and real trade. Επίσης όσον αφορά την ανάπτυξη και την οικονομική κρίση οι διαφορές είναι μικρότερες για την ανάπτυξη 5,8%, ενώ είναι πιο έντονες για την οικονομική κρίση 18,2%. Είναι φανερό ακόμα ότι περισσότερες εταιρίες εξελίσσονται σύμφωνα με τον πίνακα τάσεων στην οικονομική κρίση 35,2%, σε σχέση με την ανάπτυξη 23,1%, οι οποίες πλησιάζουν το ποσοστό του τομέα Unconditional 25,4% Προβλέψεις (Out of sample forecasting) Στην παράγραφο αυτή θα κάνουμε σύγκριση της διαφοράς του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου με το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο. Για το σκοπό αυτό θα χρησιμοποιήσουμε το ολοκληρωμένο δείγμα μέχρι το τέλος του 2005 και θα μελετήσουμε την συμπεριφορά τους για τα τρία τελευταία χρόνια, ξεκινώντας από το 2003 και χρησιμοποιώντας δεδομένα για τις εκτιμήσεις των παραμέτρων μέχρι το τέλος του Για την αξιολόγηση των προβλέψεων που κάνουμε ακολουθούμε μία συγκεκριμένη διαδικασία. Αφαιρούμε από την μονάδα την πιθανότητα πρόβλεψης της αξιολόγησης που η εταιρία αποκτά την χρονική στιγμή 1. Για παράδειγμα, υποθέτουμε ότι η εταιρία είναι στην πιστοληπτική κατάσταση στο τέλος της περιόδου μας (2002). Σύμφωνα με το απλό Μαρκοβιανό μοντέλο το διάνυσμα πρόβλεψης της εταιρίας το παίρνουμε από τον πίνακα (2α). Υποθέτουμε ότι τον επόμενο χρόνο 1 δηλαδή το (2003) η εταιρία εξακολουθεί να έχει αξιολόγηση και σύμφωνα με το Μαρκοβιανό μοντέλο και τον πίνακα, αυτό θα συμβεί με πιθανότητα 0,8372. Έτσι μπορούμε να δούμε ότι το σφάλμα της πρόβλεψης είναι μικρό, δηλαδή 1 0,8372=0,1628. Οι αντίστοιχες προβλέψεις με το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο πραγματοποιούνται χρησιμοποιώντας όλες τις διαθέσιμες πληροφορίες μέχρι το τέλος της περιόδου μας και σύμφωνα με την σχέση: 1,, έ ή ή,, έ ή ή,, και διαφέρουν ανάλογα με το ιστορικό των αξιολογήσεων της κάθε εταιρίας.

92 92 Σύμφωνα με την μεικτή Μαρκοβιανή αλυσίδα, κάθε ένα εκτιμώμενο μεικτό μοντέλο συνδέεται με ένα εκτιμώμενο ποσοστό εταιριών που εξελίσσονται σύμφωνα με τον πίνακα τάσεων ή με τον πίνακα τάσεων, δηλαδή τον γρήγορο και τον αργό αντίστοιχα. Για παράδειγμα, σύμφωνα με το δείγμα μας μέχρι το 2002 γνωρίζουμε από πριν ότι το 74,6% των εταιριών εξελίσσονται σύμφωνα με τον αργό πίνακα τάσεων και το 25,4% εξελίσσεται σύμφωνα με τον γρήγορο πίνακα τάσεων. Αν γνωρίζουμε ότι μία εταιρία εξελίσσεται με βάση τον γρήγορο πίνακα τάσεων το έτος 2002, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τον αντίστοιχο πίνακα πιθανοτήτων μετάβασης exp για να προβλέψουμε την αξιολόγηση της τον επόμενο χρόνο. Το ίδιο ισχύει και για την περίπτωση που η εταιρία εξελίσσεται με βάση τον αργό πίνακα τάσεων. Είναι προφανές ότι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε με ακρίβεια ποιες εταιρίες θα εξελιχθούν με τον πίνακα τάσεων και ποιες με τον, αλλά γνωρίζουμε ωστόσο την πιθανότητα η τυχούσα εταιρία να ανήκει στον πίνακα τάσεων την χρονική στιγμή, το οποίο δίνεται από την πιθανότητα, έ ή ή, της σχέσης:, έ ή ή, Στο μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο επιλέγουμε για την αντιμετώπιση του προβλήματος των παραμέτρων δύο μεθόδους πρόβλεψης της αξιολόγησης. Την πρώτη μέθοδο την καλούμε μέθοδο με βάρη (weighted), στην συγκεκριμένη περίπτωση γνωρίζουμε την πιθανότητα μία εταιρία να εξελίσσεται με τον πίνακα τάσεων και με βάση αυτό παίρνουμε τελικά τον αριθμό των εταιριών που χρησιμοποιούν τον πίνακα τάσεων και τον πίνακα τάσεων και επιλέγουμε τις πρώτες στη λίστα που αντιστοιχούν στον αριθμό, έ ή ή, ό ό ώ να χρησιμοποιούν τον πίνακα τάσεων και τις τελευταίες που απομένουν να χρησιμοποιούν τον πίνακα τάσεων. Για παράδειγμα, για το 2002 έχουμε , εταιρίες. Η δεύτερη μέθοδος ονομάζεται μέθοδος κατηγοριοποίησης (cut off), ουσιαστικά στη μέθοδο αυτή κατηγοριοποιούμε τις εταιρίες και τους οργανισμούς σε αυτούς που χρησιμοποιούν τον πίνακα τάσεων ή τον πίνακα τάσεων σύμφωνα με τις επιπλέον πληροφορίες από το παρελθόν, διατηρώντας ωστόσο το ποσοστό της πιθανότητας να ανήκει στον πίνακα τάσεων ή. Τα αποτελέσματα των προβλέψεων αυτών δίνονται στον πίνακα (5α), όπου παρουσιάζονται ο μέσος όρος σφαλμάτων ενός χρόνου για τα έτη της πρόβλεψης. Έτσι για παράδειγμα, ο μέσος όρος σφάλματος του Μαρκοβιανού μοντέλου για το 2003 με βάση τα δεδομένα μέχρι το 2002 είναι 15,76%. Για το μεικτό Μαρκοβιανό μοντέλο σύμφωνα με την σχέση 1,, για τους πίνακες τάσεων και έχουμε ότι με την μέθοδο με βάρη (weighting) ο προβλεπόμενος μέσος όρος σφάλματος είναι 15,69%, πολύ λίγο μικρότερος. Όταν όμως χρησιμοποιούμε την μέθοδο κατηγοριοποίησης (cut off) η τιμή πέφτει στο 15,12%. Το ίδιο ισχύει και για τα επόμενα δύο χρόνια, 2004, Οι προβλέψεις είναι πιο απλές όταν χρησιμοποιούμε την μέθοδο με βάρη (weighting) και πιο ουσιαστικές με την μέθοδο κατηγοριοποίησης (cut off). Οι προβλέψεις που βασίζονται στους πίνακες μετάβασης του μεικτού Μαρκοβιανού μοντέλου της μεθόδου με βάρη.

93 93 (weighting) δεν είναι τόσο αξιόπιστες γιατί χρησιμοποιούν το συνολικό πίνακα μετάβασης για τον οποίο όπως έχουμε ήδη δει με την βοήθεια του μέτρου, δεν διαφέρει πολύ από τον απλό Μαρκοβιανό πίνακα. Πίνακας 5