Optimalnost u procjeni Nepristran procjenitelj minimalne varijance Cramer-Rao donja granica - ekasnost Konzistentnost. Vjeºbe - Statistika II.
|
|
- Ἄγγελος Παπαντωνίου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Vjeºbe - Statistika II. dio
2 Optimalnost u procjeni Procjenitelja ima puno, pa treba imati kriterije za usporedbu izmežu njih. Radi jednostavnosti promatramo samo jednodimenzionalne parametre θ Θ R Funkcija gubitka (loss function) L(ˆθ, θ) = L : Θ Θ [0, + ) pokazuje koli inu odstupanja procjenitelja ˆθ od parametra θ. Npr. L(a, b) = (a b) 2, L 1 (a, b) = a b, L 2 (a, b) = b a 1 ln( b a ). Uvijek koristimo L(a, b) = (a b) 2, osim ako nije druga ije nazna eno.
3 Funkcija rizika (risc function) je R(ˆθ, θ) = E θ L(ˆθ, θ), θ Θ. To je o ekivano odstupanje u procesu procjenjivanja parametra θ. Za L(a, b) = (a b) 2 dobijemo srednju kvadratnu gre²ku (MSE) R(ˆθ, θ) = E θ (ˆθ θ) 2, Denicija 1. Za danu funkciju gubitka L, procjenitelj ˆθ je nedopustiv za θ ako postoji procjenitelj ˆθ 1 tako da je R(ˆθ 1 ; θ) R(ˆθ; θ), θ Θ i R(ˆθ 1 ; θ 0 ) < R(ˆθ; θ 0 ) za neki θ Θ. U suprotnom je procjenitelj dopustiv.
4 Nepristranost procjenitelja šelimo onaj procjenitelj koji ima najmanji rizik - optimalan u srednjekvadratnom smislu. Denicija 2. Procjenitelj ˆθ nepoznatog parametra θ iz statisti kog modela {F θ ; θ Θ} je nepristran ako je E θ ˆθ = θ, θ Θ. Ako procjenitelj nije nepristran, onda kaºemo da je pristran. Pristranost procjenitelja ˆθ deniramo kao razliku b θ (ˆθ) = E θ ˆθ θ.
5 Napomena 1. Nepristranost ima veze s optimalno² u u srednje kvadratnom smislu. Naime, moºe se pokazati da vrijedi ( 2 R(ˆθ, θ) = Var(ˆθ) + b θ (ˆθ)), odakle se vidi da nepristran procjenitelj ima najmanji rizik mežu svim procjeniteljima s istom varijancom. Osim toga, vidimo i da je rizik nepristranog procjenitelja jednak njegovoj varijanci.
6 Zadaci Zadatak 1. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz familije {F µ, µ = EX i R}. Ispitajte je li Xn nepristran procjenitelj za µ.
7 Zadatak 2. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz distribucije s varijancom σ 2 2 n. Pokaºite da S n i=1 (X i Xn ) 2 nije nepristran = 1 n n i=1 (X i Xn ) 2 procjenitelj za σ 2 2, no da je procjenitelj S n = 1 n 1 nepristran za σ 2. Nazivamo ga "popravljena uzora ka varijanca".
8 Zadatak 3. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz U[0, θ]. (a) Odredite a tako da statistika ˆθ = ax (n) bude nepristran procjenitelj parametra θ, pri emu je X (n) maksimalna statistika poretka. (b) Izra unajte kvadratnu funkciju rizika za dobiveni ˆθ.
9 Zadatak 4. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz U[0, θ]. Provjerite je li ˆθ = 2 Xn nepristran procjenitelj za θ, te nažite funkciju rizika tog procjenitelja.
10 Zadatak 5. Neka su ˆθ 1, ˆθ 2 nepristrani procjenitelji za θ 1 i θ 2, redom. (a) Je li aˆθ 1 + bˆθ 2 nepristran procjenitelj za aθ 1 + bθ 2? (b) Je li ˆθ 1 2 nepristran procjenitelj za θ2 1?
11 Zadatak 6. Neka su S1 2 i S 2 2 nepristrani procjenitelji varijance neke distribucije dobiveni iz jednostavnih slu ajnih uzoraka (X 1,..., X n1 ) i (X 1,..., X n2 ). Dokaºite da je statistika S 2 = (n 1 1)S (n 2 1)S 2 2 n 1 + n 2 2 takožer nepristran procjenitelj varijance te distribucije.
12 Zadatak 7. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz binomne B(n, p) distribucije. Pokaºite da je statistika ˆθ = X i(n X i ), i = 1,..., n, n 1 nepristran procjenitelj varijance Var X i = npq.
13 Zadatak 8. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz eksponencijalne E(λ), λ > 0 distribucije s pripadnom funkcijom gusto e f (x; λ) = λe λx 1 (0, ) (x). Izra unajte EX 1, VarX 1, te nažite funkciju rizika procjenitelja ˆλ = X (1) nepoznatog parametra λ, pri emu je X (1) minimalna statistika poretka.
14 Zadatak 9. Na osnovi danih mjerenja stranice kvadrata a u milimetrima dobiveni su podaci 321, 323, 318, 327, 324, ²to su realizacije nezavisnih, jednako distribuiranih slu ajnih varijabli X 1,..., X 5. Odredite nepristran procjenitelj povr²ine a 2.
15 Zadatak 10. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak. Neka je ˆθ = K n 1 k=1 (X k+1 X k ) 2 procjenitelj za VarX 1. Koji uvjet mora biti ispunjen da bi ˆθ bio nepristran procjenitelj za VarX 1?
16 Zadatak 11 (DZ). Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz U[a, b], gdje je poznata duljina h = b a, ali nije poznato sredi²te intervala c = (a + b)/2. Za procjenitelja od c uzima se Provjerite njegovu nepristranost. ĉ = X (1) + X (n). 2
17 Zadatak 12 (DZ). Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz distribucije s gusto om f (x; λ) = 1 2λ x x e λ 1(0, (x). Provjerite je li nepristran procjenitelj za λ. ˆλ = 1 n n i=1 X i
18 Nepristran procjenitelj minimalne varijance U klasi svih procjenitelja htjeli bi prona i onaj koji ima najmanju srednju kvadratnu gre²ku. Pokazuje se da je takav pristup nemogu u klasi svih procjenitelja (θ = 12?!), traºimo takav procjenitelj mežu svim nepristranim procjeniteljima nepoznatog parametra. To e onda biti nepristrani procjenitelj minimalne varijance - jo² ga zovemo i najbolji nepristrani procjenitelj ili UMVU procjenitelj (unifomly minimum variance unbiased) Postoji nekoliko pristupa traºenju UMVU procjenitelja.
19 Rao-Blackwell pristup Sljede i teorem ukazuje na put kojim moºemo i i u smanjenju varijance procjenitelja, ali jo² uvijek ne kaºe kako posti i minimalnu varijancu u klasi nepristranih procjenitelja. Teorem 1 (Rao-Blackwell). Neka je X = (X 1,..., X n ) slu ajan uzorak iz parametarskog statisti kog modela {F θ (x) : θ Θ} i neka je T = t(x) dovoljna statistika za θ. Neka je S = S(X) nepristran procjenitelj za g (θ), g : Θ R kona ne varijance za sve θ Θ. Deniramo li S = E θ (S T ) onda je (i) S nepristran procjenitelj za g (θ) (ii) Var θ S < Var θ S osim ako P θ (S = S) = 1.
20 Napomena 2. Ovaj teorem sugerira da svaki nepristran procjenitelj treba biti funkcija dovoljne statistike (onda e biti S = S). Ako nije, moºemo konstruirati procjenitelj manje varijance njegovim uvjetovanjem na dovoljnu satistiku. Napomena 3. Uo imo da S = E θ (S T ) ne ovisi o θ jer je T dovoljna statistika. Pobolj²ani procjenitelj S naziva se Rao-Blackwellov procjenitelj, a postupak njegova dobivanja se ponekad naziva Rao-Blackwellizacija.
21 Zadaci Zadatak 13. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz B(20, p) populacije. (a) Nažite nepristran procjenitelj za parametar g (p) = 4p(1 p) 19 u funkciji od X 1. (b) Popravite dobiveni procjenitelj teoremom Rao-Blackwell.
22 Zadatak 14. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz Poissonove distribucije s parametrom θ > 0, tj. X i P(θ). (a) Nažite procjenitelj S u funkciji od X 1 za g(θ) = θ 2 e θ. (b) Popravite S teoremom Rao-Blackwell.
23 Zadatak 15. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz Poissonove distribucije s parametrom λ > 0, tj. X i P(λ). (a) Nažite nepristrani procjenitelj S za g (λ) = e λ (1 + λ) u funkciji od X 1 (b) Popravite S teoremom Rao-Blackwell.
24 Lehmann-Schee pristup Ve smo rekli da dovoljnih statistika ima puno. S kojom od njih treba uvjetovati procjenitelj u teoremu Rao-Blackwell da bi se dobio ²to bolji procjenitelj? Teorem 2 (Lehmann-Schee). Neka je T potpuna dovoljna statistika za θ i neka je S nepristran procjenitelj za g (θ), g : Θ R kona ne varijance za sve θ Θ. Tada S = E θ (S T ) ima najmanju varijancu mežu svim nepristranim procjeniteljima kona ne varijance za g (θ) i jedinstven je P θ -g.s. za sve θ.
25 Ovaj fantasti an rezultat ima nekoliko posljedica u modelima u kojima postoji potpuna dovoljna statistika: (i) Ako postoji bilo koji nepristran procjenitelj kona ne varijance onda moºemo na i UMVU procjenitelj. (ii) Ako postoji UMVU procjenitelj on je funkcija potpune dovoljne statistike i jedinstven je (P θ -g.s.). (iii) Ako je neki nepristran procjenitelj kona ne varijance funkcija potpune dovoljne statistike on je jedinstveni UMVU procjenitelj.
26 Zadaci Zadatak 16. Jesu li Rao-Blackwell procjenitelji iz prethodnih zadataka UMVU procjenitelji?
27 Zadatak 17. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz N (µ, σ 2 ). (a) Je li Xn UMVU procjenitelj za µ? (b) Je li S 2 n UMVU procjenitelj za σ2?
28 Zadatak 18. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz P(λ). Nažite UMVU procjenitelj za λ.
29 Zadatak 19. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz distribucije s gusto om Nažite UMVU procjenitelj za θ. f (x; θ) = 1 θ x 1 θ θ 1(0,1) (x), θ > 0.
30 Zadatak 20. Nažite UMVU procjenitelj za parametar θ na osnovu jednostavnog slu ajnog uzorka iz U(0, θ) distribucije.
31 Cramer-Rao donja granica - ekasnost Ovdje su opisani rezultati koji se mogu iskoristiti u potrazi za nepristranim procjeniteljima minimalne varijance. Zbog jednostavnosti pretpostavljamo da je parametarski prostor Θ R. Ovi rezultati odnose se na tzv. regularne modele.
32 Denicija 3. Neka je s {f (x; θ) : θ Θ R} dan statisti ki model za X = (X 1,..., X n ), gdje je f funkcija gusto e. Re i emo da je model regularan ako vrijedi (i) skup A = {x : f (x; θ) > 0} ne ovisi o θ (ii) Θ je otvoreni interval (iii) za svaki x funkcija θ f (x; θ) je diferencijabilna na Θ (iv) Fisherova informacija uzorka I(θ) = E θ [ ( θ ln f (X, θ) ) 2 ] zadovoljava 0 < I(θ) < (v) f (x; θ)dx = θ R n R n f (x; θ)dx. θ
33 Fisherova informacija uzorka mjeri koli inu informacija o nepoznatom parametru sadrºanu u uzorku. Ako je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak, Fisherovu informaciju uzorka ra unamo kao ( ) 2 n ln f (x, θ) f (x, θ)dx, X neprekidna s.v., R θ I(θ) = ( ) 2 n θ ln P θ(x = ξ j ) P θ (X = ξ j ), X diskretna s.v. j N
34 Primjer 1. Izra unajte Fisherovu informaciju jednostavnog slu ajnog uzorka (X 1,..., X n ) koji dolazi iz populacije s funkcijom gusto e f θ (x) = 2θ 2 x 3 e θx 2 1 [0, ) (x), θ > 0.
35 Teorem 3 (Cramer-Rao). Neka je X = (X 1,..., X n ) slu ajan uzorak iz regularnog modela {f (x; θ) : θ Θ R}. Ako statistika T = t(x ) zadovoljava uvjete (i) E θ T <, θ Θ (ii) g(θ) = E θ T je diferencijabilna (iii) gdje je U θ (x) = θ ln f (x; θ). tada vrijedi g (θ) = E θ [T U θ (X )], θ, Var θ T (g (θ)) 2, I(θ) gdje je I θ = E θ (Uθ 2 ) Fisherova informacija uzorka. Napomena 4. to je informacija o parametru ve a, to je granica za varijancu nepristranog procjenitelja manja.
36 Denicija 4. Nepristran procjenitelj T za g (θ) u regularnom modelu zovemo ekasan procjenitelj ako postiºe Cramer-Rao donju granicu, tj. ako vrijedi Var θ T = (g (θ)) 2. I(θ) Denicija 5. Neka su ˆθ 1 i ˆθ 2 nepristrani procjenitelji za θ. Ako je Var ˆθ 1 < Var ˆθ 2 kaºemo da je ˆθ 1 ekasniji od ˆθ 2.
37 Cramer-Rao nam nudi jo² jedan na in kako prona i UMVU procjenitelj. Ako je procjenitelj ekasan, onda je on i UMVU. Obratno ne mora vrijediti, tj. postoje modeli u kojima se ne moºe posti i Cramer-Rao granica. To je nedostatak ovog pristupa. Ipak, u jednoparametarskim eksponencijalnim modelima CR granica se postiºe.
38 Zadaci Zadatak 21. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz E(λ), λ > 0. Nažite Fisherovu informaciju eksponencijalne razdiobe za parametar 1 λ, te ispitajte ekasnost statistike Xn za taj parametar. Je li Xn UMVU procjenitelj?
39 Zadatak 22. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz X P(λ), λ > 0. Nažite Fisherovu informaciju danog uzorka, te ispitajte ekasnost statistike Xn za nepoznati parametar λ.
40 Zadatak 23. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz N(µ, σ 2 ) gdje je varijanca σ 2 poznata. Koriste i CR nejednakost ispitajte je li uzora ka sredina Xn ekasan procjenitelj nepoznatog parametra µ.
41 Zadatak 24. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz U[0, θ], θ > 0. Poznato je da je ˆθ n = n+1 X n (n) nepristrani procjenitelj parametra θ. Ispitajte koji je od procjenitelja ˆθ i 2 Xn ekasniji za nepoznati parametar θ.
42 Zadatak 25. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz N(µ, 1). Za procjenu nepoznatog parametra µ predloºeni su procjenitelji θ 1 = nx 1 (X X n ), θ 2 = (n 1) X 1 + X 2 2 (X X n ). Provjerite njihovu nepristranost. Koji je procjenitelj ekasniji?
43 Konzistentnost procjenitelja Denicija 6. U ovisnosti o dimenziji uzorka n pratimo jednostavan slu ajan uzorak (X 1,..., X n ). Niz procjenitelja (ˆθ n, n N) za parametar θ je konzistentan (po vjerojatnosti) ako vrijedi da ε > 0 ( ) lim P θ ˆθ n θ > ε = 0, θ Θ x Denicija 7. Niz procjenitelja (ˆθ n, n N) za parametar θ je konzistentan u srednjekvadratnom smislu ako lim E(ˆθ n θ) 2 = lim R(θ) = 0, θ Θ x x
44 Napomena 5. Iz ƒebi²evljeve nejednakosti ) P θ ( ˆθ n θ > ε E(ˆθ n θ) 2 ε 2 slijedi da konzistentnost u srednjekvadratnom smislu povla i konzistentnost po vjerojatnosti.
45 Zadaci Zadatak 26. Neka je (X 1,..., X n ) jednostavan slu ajan uzorak iz N (m, m). Tada su 2 X n i S n nepristrani procjenitelji nepoznatog parametra m. Pokaºite da su ti procjenitelji konzistentni te ispitajte koji je ekasniji.
46 Zadatak 27. Neka je (X 1,..., X n ) niz nezavisnih slu ajnih varijabli takvih da je EX i = βt i VarX i = σ 2 gdje su t i, i = 1... n poznati realni brojevi, a β je nepoznati parametar. Ovo je model jednostavne linearne regresije tipa X i = βt i + ε i, i = 1... n. Pokaºite da je n i=1 ˆβ n = t i X i n i=1 t2 i nepristran procjenitelj za β, te ispitajte kada je on konzistentan.
Metode procjene parametara
Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mario Erdeg Metode procjene parametara Diplomski rad Osijek, 2016. Sveu ili²te J. J. Strossmayera u Osijeku Odjel za matematiku Mario Erdeg
Διαβάστε περισσότεραa M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.
3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M
Διαβάστε περισσότεραM086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost
M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.
Διαβάστε περισσότεραMatematička analiza 1 dodatni zadaci
Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka
Διαβάστε περισσότερα3 Populacija i uzorak
3 Populacija i uzorak 1 3.1 Slučajni uzorak X varijabla/stat. obilježje koje izučavamo Cilj statističke analize na osnovi uzorka izvesti odredene zaključke o (populacijskoj) razdiobi od X 2 Primjer 3.1.
Διαβάστε περισσότεραINTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.
INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno
Διαβάστε περισσότεραFunkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.
σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka
Διαβάστε περισσότερα18. listopada listopada / 13
18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu
Διαβάστε περισσότεραELEMENTARNA MATEMATIKA 1
Na kolokviju nije dozvoljeno koristiti ni²ta osim pribora za pisanje. Zadatak 1. Ispitajte odnos skupova: C \ (A B) i (A C) (C \ B). Rje²enje: Neka je x C \ (A B). Tada imamo x C i x / A B = (A B) \ (A
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 8 Pojam funkcije, grafa i inverzne funkcije Poglavlje 1 Funkcije Neka su X i Y dva neprazna skupa. Ako je po nekom pravilu, ozna imo ga
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIČKI ODJEL
MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,
Διαβάστε περισσότεραUvod u teoriju brojeva
Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)
Διαβάστε περισσότερα3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 27.. 20.. Za koji cijeli broj t je funkcija f : R 4 R 4 R definirana s f(x, y) = x y (t + )x 2 y 2 + x y (t 2 + t)x 4 y 4, x = (x, x 2, x, x 4 ), y = (y, y 2, y, y 4 )
Διαβάστε περισσότεραIskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012
Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)
Διαβάστε περισσότερα7 Algebarske jednadžbe
7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg
Διαβάστε περισσότεραTeorem 1.8 Svaki prirodan broj n > 1 moºe se prikazati kao umnoºak prostih brojeva (s jednim ili vi²e faktora).
UVOD U TEORIJU BROJEVA Drugo predavanje - 10.10.2013. Prosti brojevi Denicija 1.4. Prirodan broj p > 1 zove se prost ako nema niti jednog djelitelja d takvog da je 1 < d < p. Ako prirodan broj a > 1 nije
Διαβάστε περισσότεραOperacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Διαβάστε περισσότερα( , 2. kolokvij)
A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski
Διαβάστε περισσότεραFunkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)
Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva
Διαβάστε περισσότερα9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE
Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )
Διαβάστε περισσότερα1.4 Tangenta i normala
28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x
Διαβάστε περισσότερα2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x
Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:
Διαβάστε περισσότεραVeleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.
Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,
Διαβάστε περισσότερα1. zadatak , 3 Dakle, sva kompleksna re{ewa date jedna~ine su x 1 = x 2 = 1 (dvostruko re{ewe), x 3 = 1 + i
PRIPREMA ZA II PISMENI IZ ANALIZE SA ALGEBROM. zadatak Re{avawe algebarskih jedna~ina tre}eg i ~etvrtog stepena. U skupu kompleksnih brojeva re{iti jedna~inu: a x 6x + 9 = 0; b x + 9x 2 + 8x + 28 = 0;
Διαβάστε περισσότεραπ π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;
1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,
Διαβάστε περισσότεραIspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f
IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcije i Limesi i derivacije Poglavlje Limesi i derivacije.0. Limesi Limes funkcije f kada teºi nekoj to ki a ovdje a moºe ozna avati i ± moºemo
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost
Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za
Διαβάστε περισσότεραCauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.
auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,
Διαβάστε περισσότεραIZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo
IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai
Διαβάστε περισσότερα(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.
1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,
Διαβάστε περισσότεραElementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
Διαβάστε περισσότεραLinearna algebra 2 prvi kolokvij,
1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika
Διαβάστε περισσότεραApsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.
Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala
Διαβάστε περισσότεραradni nerecenzirani materijal za predavanja
Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je
Διαβάστε περισσότεραOsnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Διαβάστε περισσότεραnumeričkih deskriptivnih mera.
DESKRIPTIVNA STATISTIKA Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću Numeričku seriju podataka opisujemo pomoću numeričkih deskriptivnih mera. Pokazatelji centralne tendencije Aritmetička sredina, Medijana,
Διαβάστε περισσότεραSlučajni procesi Prvi kolokvij travnja 2015.
Zadatak Prvi kolokvij - 20. travnja 205. (a) (3 boda) Neka je (Ω,F,P) vjerojatnosni prostor, neka je G σ-podalgebra od F te neka je X slučajna varijabla na (Ω,F,P) takva da je X 0 g.s. s konačnim očekivanjem.
Διαβάστε περισσότερα6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom
6 Polinomi Funkcija p : R R zadana formulom p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, gdje su a 0, a 1,..., a n realni brojevi, a n 0, i n prirodan broj ili 0, naziva se polinom n-tog stupnja s
Διαβάστε περισσότερα2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)
2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:
Διαβάστε περισσότεραDRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =
x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},
Διαβάστε περισσότεραNumerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)
Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni
Διαβάστε περισσότεραRiješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva
Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
Διαβάστε περισσότεραAPROKSIMACIJA FUNKCIJA
APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu
Διαβάστε περισσότεραOsnovne teoreme diferencijalnog računa
Osnovne teoreme diferencijalnog računa Teorema Rolova) Neka je funkcija f definisana na [a, b], pri čemu važi f je neprekidna na [a, b], f je diferencijabilna na a, b) i fa) fb). Tada postoji ξ a, b) tako
Διαβάστε περισσότεραSISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA
SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije
Διαβάστε περισσότεραZadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu
Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x
Διαβάστε περισσότεραZavrxni ispit iz Matematiqke analize 1
Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1
Διαβάστε περισσότεραMJERA I INTEGRAL 2. kolokvij 30. lipnja (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!)
JMBAG IM I PZIM BOJ BODOVA MJA I INTGAL 2. kolokvij 30. lipnja 2017. (Knjige, bilježnice, dodatni papiri i kalkulatori nisu dozvoljeni!) 1. (ukupno 6 bodova) Neka je (, F, µ) prostor mjere i neka je (
Διαβάστε περισσότερα5. Karakteristične funkcije
5. Karakteristične funkcije Profesor Milan Merkle emerkle@etf.rs milanmerkle.etf.rs Verovatnoća i Statistika-proleće 2018 Milan Merkle Karakteristične funkcije ETF Beograd 1 / 10 Definicija Karakteristična
Διαβάστε περισσότερα1 / 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI
/ 79 MATEMATIČKA ANALIZA II REDOVI 6.. Definicija reda Promatrajmo niz Definicija reda ( ) n 2 :, 2 2 3 2 4 2,... Postupno zbrajajmo elemente niza: = + 2 2 = 5 4 + 2 2 + 3 2 = 49 36 + 2 2 + 3 2 + 4 2 =
Διαβάστε περισσότεραPARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,
PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI Sama definicija parcijalnog ivoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je, naravno, naučiti onako kako vaš profesor ahteva. Mi ćemo probati
Διαβάστε περισσότεραMatematika 1 - vježbe. 11. prosinca 2015.
Matematika - vježbe. prosinca 5. Stupnjevi i radijani Ako je kut φ jednak i rad, tada je veza između i 6 = Zadatak.. Izrazite u stupnjevima: a) 5 b) 7 9 c). d) 7. a) 5 9 b) 7 6 6 = = 5 c). 6 8.5 d) 7.
Διαβάστε περισσότεραMatematika 4. t x(u)du + 4. e t u y(u)du, t e u t x(u)du + Pismeni ispit, 26. septembar e x2. 2 cos ax dx, a R.
Matematika 4 zadaci sa pro²lih rokova, emineter.wordpress.com Pismeni ispit, 26. jun 25.. Izra unati I(α, β) = 2. Izra unati R ln (α 2 +x 2 ) β 2 +x 2 dx za α, β R. sin x i= (x2 +a i 2 ) dx, gde su a i
Διαβάστε περισσότεραSume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.
Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.
Διαβάστε περισσότεραVJEŽBE IZ MATEMATIKE 1
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 1 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 14 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, točke infleksije i ekstremi funkcija Poglavlje 1 Rast, pad, konkavnost, konveksnost, to ke ineksije
Διαβάστε περισσότεραMjera i Integral Vjeºbe
Mjera i Integral Vjeºbe September 8, 2015 Chapter 1 σ-algebre 1.1 Osnovna svojstva i prvi primjeri Najprije uvodimo pojmove algebre i σ-algebre 1 skupova. Za skup, familiju svih njegovih podskupova zovemo
Διαβάστε περισσότεραDvanaesti praktikum iz Analize 1
Dvaaesti praktikum iz Aalize Zlatko Lazovi 20. decembar 206.. Dokazati da fukcija f = 5 l tg + 5 ima bar jedu realu ulu. Ree e. Oblast defiisaosti fukcije je D f = k Z da postoji ula fukcije a 0, π 2.
Διαβάστε περισσότεραPRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Διαβάστε περισσότερα16 Lokalni ekstremi. Definicija 16.1 Neka je A R n otvoren, f : A R i c A. Ako postoji okolina U(c) od c na kojoj je f(c) minimum
16 Lokalni ekstremi Važna primjena Taylorovog teorema odnosi se na analizu lokalnih ekstrema (minimuma odnosno maksimuma) relanih funkcija (više varijabli). Za n = 1 i f : a,b R ako funkcija ima lokalni
Διαβάστε περισσότεραTeorijske osnove informatike 1
Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija
Διαβάστε περισσότεραLINEARNA ALGEBRA 1, ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ, VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ
LINEARNA ALGEBRA 1 ZIMSKI SEMESTAR 2007/2008 PREDAVANJA: NENAD BAKIĆ VJEŽBE: LUKA GRUBIŠIĆ I MAJA STARČEVIĆ 2. VEKTORSKI PROSTORI - LINEARNA (NE)ZAVISNOST SISTEM IZVODNICA BAZA Definicija 1. Neka je F
Διαβάστε περισσότεραKOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
Διαβάστε περισσότεραObi ne diferencijalne jednadºbe
VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 1 Obične diferencijalne jednadžbe 1. reda Obi ne diferencijalne jednadºbe Uvodni pojmovi Diferencijalne jednadºbe su jednadºbe oblika: f(,
Διαβάστε περισσότεραVJEROJATNOST popravni kolokvij veljače 2017.
Zadatak 1. (20 bodova) (a) (4 boda) Precizno definirajte pojam σ-algebre događaja na nepraznom skupu Ω. (b) (6 bodova) Neka je (Ω, F, P) vjerojatnosni prostor i A, B F događaji. Pomoću aksioma vjerojatnosti
Διαβάστε περισσότεραDijagonalizacija operatora
Dijagonalizacija operatora Problem: Može li se odrediti baza u kojoj zadani operator ima dijagonalnu matricu? Ova problem je povezan sa sljedećim pojmovima: 1 Karakteristični polinom operatora f 2 Vlastite
Διαβάστε περισσότεραStrukture podataka i algoritmi 1. kolokvij 16. studenog Zadatak 1
Strukture podataka i algoritmi 1. kolokvij Na kolokviju je dozvoljeno koristiti samo pribor za pisanje i službeni šalabahter. Predajete samo papire koje ste dobili. Rezultati i uvid u kolokvije: ponedjeljak,
Διαβάστε περισσότερα41. Jednačine koje se svode na kvadratne
. Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k
Διαβάστε περισσότερα2.7 Primjene odredenih integrala
. INTEGRAL 77.7 Primjene odredenih integrala.7.1 Računanje površina Pořsina lika omedenog pravcima x = a i x = b te krivuljama y = f(x) i y = g(x) je b P = f(x) g(x) dx. a Zadatak.61 Odredite površinu
Διαβάστε περισσότερα2. Ako je funkcija f(x) parna onda se Fourierov red funkcije f(x) reducira na Fourierov kosinusni red. f(x) cos
. KOLOKVIJ PRIMIJENJENA MATEMATIKA FOURIEROVE TRANSFORMACIJE 1. Za periodičnu funkciju f(x) s periodom p=l Fourierov red je gdje su a,a n, b n Fourierovi koeficijenti od f(x) gdje su a =, a n =, b n =..
Διαβάστε περισσότεραTRIGONOMETRIJA TROKUTA
TRIGONOMETRIJA TROKUTA Standardne oznake u trokutuu ABC: a, b, c stranice trokuta α, β, γ kutovi trokuta t,t,t v,v,v s α,s β,s γ R r s težišnice trokuta visine trokuta simetrale kutova polumjer opisane
Διαβάστε περισσότεραLokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla
VJEŽBE IZ MATEMATIKE 2 Ivana Baranović Miroslav Jerković Lekcija 9 Lokalni ekstremi funkcije više varijabla Poglavlje 1 Lokalni ekstremi funkcije vi²e varijabla Denicija 1.0.1 Za funkciju f dviju varijabli
Διαβάστε περισσότεραVEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013.
VEROVATNO A I STATISTIKA A - TEST 1 9. NOVEMBAR 2013. 1. Novqi se baca tri puta. (a) Zapisati skup svih mogu ih ishoda. (b) Oznaqimo sa A k događaj da je u k-tom bacanju palo pismo, k {1, 2, 3}. Koriste
Διαβάστε περισσότερα5 Ispitivanje funkcija
5 Ispitivanje funkcija 3 5 Ispitivanje funkcija Ispitivanje funkcije pretodi crtanju grafika funkcije. Opšti postupak ispitivanja funkcija koje su definisane eksplicitno y = f() sadrži sledeće elemente:
Διαβάστε περισσότεραMATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori
MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz Osnova matematike
Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F
Διαβάστε περισσότεραNeka je a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka.
Neka je a 3 x 3 + a x + a 1 x + a 0 = 0 algebarska jednadžba trećeg stupnja. Rješavanje ove jednadžbe sastoji se od nekoliko koraka. 1 Normiranje jednadžbe. Jednadžbu podijelimo s a 3 i dobivamo x 3 +
Διαβάστε περισσότεραSortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort
Sortiranje prebrajanjem (Counting sort) i Radix Sort 15. siječnja 2016. Ante Mijoč Uvod Teorem Ako je f(n) broj usporedbi u algoritmu za sortiranje temeljenom na usporedbama (eng. comparison-based sorting
Διαβάστε περισσότεραTrigonometrija 2. Adicijske formule. Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto
Trigonometrija Adicijske formule Formule dvostrukog kuta Formule polovičnog kuta Pretvaranje sume(razlike u produkt i obrnuto Razumijevanje postupka izrade složenijeg matematičkog problema iz osnova trigonometrije
Διαβάστε περισσότερα( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,
Διαβάστε περισσότεραSlučajne varijable. Diskretna slučajna varijabla X je promjenjiva veličina koja poprima vrijednosti iz skupa
Slučajne varijable Statistički podaci su distribuirani po odredenoj zakonitosti. Za matematičko (apstraktno) opisivanje te zakonitosti potrebno je definirati slučajnu varijablu kojoj pripada odredena razdioba
Διαβάστε περισσότεραNeka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:
2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i
Διαβάστε περισσότεραProcjena parametara. Zadatak 4.1 Neka je X 1, X 2,..., X n slučajni uzorak iz populacije s konačnim očekivanjem µ i varijancom σ 2.
4 Procjea parametara Neka je X slučaja varijabla čiju distribuciju proučavamo. Defiicija: Slučaji uzorak duljie za X je iz od ezavisih i jedako distribuiraih slučajih varijabli X 1, X,..., X koje imaju
Διαβάστε περισσότεραIspitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
Διαβάστε περισσότερα1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva
1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna
Διαβάστε περισσότεραNelinearni dinami ki sustavi
Nelinearni dinami ki sustavi 1 Osnovne denicije Diskretni dinami ki sustav px, f q sastoji se od nepraznog skupa X i preslikavanja f : X Ñ X. Skup X jo² se zove i fazni prostor, a preslikavanje f fazno
Διαβάστε περισσότερα2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
Διαβάστε περισσότεραPismeni ispit iz matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: ( ) + 1.
Pismeni ispit iz matematike 0 008 GRUPA A Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja sistema u zavisnosti od parametra: λ + z = Ispitati funkciju i nacrtati njen grafik: + ( λ ) + z = e Izračunati
Διαβάστε περισσότεραZadaci iz trigonometrije za seminar
Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;
Διαβάστε περισσότεραIII VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI
III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.
Διαβάστε περισσότεραKONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr
KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,
Διαβάστε περισσότεραPRAVAC. riješeni zadaci 1 od 8 1. Nađite parametarski i kanonski oblik jednadžbe pravca koji prolazi točkama. i kroz A :
PRAVAC iješeni adaci od 8 Nađie aameaski i kanonski oblik jednadžbe aca koji olai očkama a) A ( ) B ( ) b) A ( ) B ( ) c) A ( ) B ( ) a) n a AB { } i ko A : j b) n a AB { 00 } ili { 00 } i ko A : j 0 0
Διαβάστε περισσότεραViše dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu
Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate
Διαβάστε περισσότεραTestiranje statistiqkih hipoteza
Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza Testiranje statistiqkih hipoteza je vid statistiqkog zakljuqivanja koji se primenjuje u situacijama: kada se unapred pretpostavlja postojanje određene
Διαβάστε περισσότερα( , treći kolokvij) 3. Na dite lokalne ekstreme funkcije z = x 4 + y 4 2x 2 + 2y 2 3. (20 bodova)
A MATEMATIKA (.6.., treći kolokvij. Zadana je funkcija z = e + + sin(. Izračunajte a z (,, b z (,, c z.. Za funkciju z = 3 + na dite a diferencijal dz, b dz u točki T(, za priraste d =. i d =.. c Za koliko
Διαβάστε περισσότερα