ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ"

Transcript

1 ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÅéóáãùãÞ 1Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ôçò åßíáé áäýíáôïò ï èåùñçôéêüò õðïëïãéóìüò ôçò, ii) üôáí äåí åßíáé ãíùóôüò ï ôýðïò ôçò óõíüñôçóçò, áëëü ìüíïí ïé ôéìýò ôçò óå ïñéóìýíá óçìåßá, êáé iii) óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí. áõôþ èá åîåôáóôåß óôá ìáèþìáôá ðïõ áêïëïõèïýí. Ç ðåñßðôùóç 6.1 ÓõíáñôÞóåéò ìéáò ìåôáâëçôþò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç 1çò ôüîçò ðáñüãùãïò ìéáò óõíüñôçóçò, Ýóôù f (a; b), óôï óçìåßï (a; b) õðïëïãßæåôáé áðü ôçí ðáñáêüôù ïñéáêþ 1 Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá [1, 2, 3]. 207

2 208 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ôéìþ f f (x) f () () = lim ; x x åöüóïí áõôþ õðüñ åé Þ éóïäýíáìá ùò f f ( + x) f () () = lim ; Äx 0 x üôáí + x (a; b) ìå x íá óõìâïëßæåé ìéá ìåôáâïëþ ôçò ìåôáâëçôþò x. ÅðïìÝíùò ãéá ôïí õðïëïãéóìü ôçò 1çò ðáñáãþãïõ áðáéôïýíôáé 2 óçìåßá óôï ðåäßï ïñéóìïý êáé óõãêåêñéìýíá óôçí 1ç ðåñßðôùóç ôùí, x êáé óôç 2ç ôùí, + x êáé óôç óõíý åéá ï õðïëïãéóìüò ôùí ïñéáêþí ôéìþí. Åßíáé ðñïöáíýò üôé óôçí ðñïóýããéóç ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ðïõ èá åîåôáóôåß óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò ç ïñéáêþ ôéìþ äåí õößóôáôáé ðëýïí, åíþ ï õðïëïãéóìüò óýìöùíá ìå ôá ðáñáðüíù èá áðáéôåß ôïõëü éóôïí 2 óçìåßá Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò óôù f(x) ìßá óõíå Þò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôï [a; b ] êáé ðáñáãùãßóéìç ãéá êüèå x (a; b). Áí x 0, x 1, : : :, x n åßíáé n + 1 äéáöïñåôéêü óçìåßá ôïõ [a; b], ôüôå, üðùò åßíáé Þäç ãíùóôü áðü ôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ÐáñåìâïëÞ, éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ðáñåìâïëþò ôïõ Newton: f(x) P n (x) = f [x 0 ] + f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 ) + : : : ( ) +f [x 0 ; x 1 ; : : : ; x n ] (x x 0 ) (x x n 1 ) : Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù åéäéêýò ðåñéðôþóåéò ãéá ôïí áñéèìü ôùí ðáñáðüíù óçìåßùí ðáñåìâïëþò x 0, x 1, : : :, x n : Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1 óôù a = x 0 êáé b = x 1. Ôüôå áðü ôïí ôýðï (6:1:1 1) ðñïêýðôåé üôé f(x) P 1 (x) = f [x 0 ] + f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 ) ; ïðüôå f (x) P 1(x) = =0 {}}{ f [x 0 ] + {f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 )} =1 {}}{ = f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 ) = f [x 0 ; x 1 ] :

3 Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò 209 Ξ h Ξ x 0 x 1 Ó Þìá : ï ðñïò ôá åìðñüò ôýðïò ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï. 2 ÅðïìÝíùò áí [x 0; x 1 ], ôüôå f () P 1() = f [x 0 ; x 1 ] ( ) ìéá Ýêöñáóç ðïõ åßíáé áíåîüñôçôç áðü ôï óçìåßï. Áðü ôéò ðáñáðüíù Üðåéñåò èýóåéò ôïõ óçìåßïõ óôï [x 0 ; x 1 ] ïé ðåñéóóüôåñï åíäéáöýñïõóåò ãéá ôéò åöáñìïãýò äßíïíôáé óôç óõíý åéá. Áí: i) ii) = x 0 êáé h = x 1 x 0 (Ó. 6:1:1 1); áðü ôïí ôýðï (6:1:1 2) ðñïêýðôåé f f( + h) f() () f[; + h] = ; ( ) h ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ðñïò ôá åìðñüò ôýðïò (forward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. = x 1 (Ó. 6:1:1 2); ôüôå f f() f( h) () f[ h; î ] = ( ) h ãíùóôüò ùò ï áíüäñïìïò ôýðïò (backward-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ. 2 Åöüóïí ç ðñïóýããéóç ôçò 1çò ðáñáãþãïõ äåí ãßíåôáé ìå õðïëïãéóìü ïñéáêþò ôéìþò, åßíáé äõíáôüí ôï íá ëáìâüíåé ôéò ôéìýò x 0 êáé x 1.

4 210 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ξ h Ξ x 0 x 1 Ó Þìá : ï áíüäñïìïò ôýðïò ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï. iii) = x 0 + x 1 2 ïðüôå ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 âñßóêïíôáé óõììåôñéêü åêáôýñùèåí ôïõ óçìåßïõ (Ó ) ìå ; Ôüôå x 0 = h; x 1 = + h êáé h = x 1 x 0 2 : f () f[ h; + h] = f( + h) f( h) 2h ( ) ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò (central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò ðñþôçò ðáñáãþãïõ. Áðü ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) - (6:1:1 5) ðñïêýðôåé üôé, üôáí ôá óçìåßá x 0 êáé x 1 åßíáé áñêåôü êïíôü, ôüôå ç f [x 0 ; x 1 ] äßíåé ìßá ðïëý êáëýôåñç ðñïóýããéóç ôçò ðáñáãþãïõ f () óôï ìýóïí = (x 0 + x 1 ) =2 ðáñü óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x 1, Ýíá óõìðýñáóìá ðïõ Üëëùóôå óõìöùíåß êáé ìå ôï Èåþñçìá ôçò ÌÝóçò ÔéìÞò.

5 Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò 211 Ξ h Ξ h Ξ x 0 x 1 Ó Þìá : ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò ðñïóýããéóçò ôçò 1çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï. Óçìåßá ðáñåìâïëþò : x 0, x 1, x 2 óôù a = x 0 êáé b = x 2. Ôüôå ïðüôå f (x) P 2 (x) = äçëáäþ f(x) P 2 (x) = f [x 0 ] + f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 ) +f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (x x 0 ) (x x 1 ) ; ( ) = 0 {}}{ f [x 0 ] + {f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 )} + {f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (x x 0 ) (x x 1 )} = 1 = 2x x 0 x 1 {}}{{}}{ = f [x 0 ; x 1 ] (x x 0 ) +f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] {(x x 0 ) (x x 1 )} = f [x 0 ; x 1 ] + f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (2x x 0 x 1 ) ; f (x) P 2 (x) = f [x 0 ; x 1 ] + f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (2x x 0 x 1 ) : ( ) ÅðïìÝíùò áí üìïéá [x 0 ; x 2 ], ôüôå f () P 2() = f [x 0 ; x 1 ] + f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (2 x 0 x 1 ) : ( ) Äéáêñßíïíôáé ôþñá ïé ðáñáêüôù ðåñéðôþóåéò ãéá ôï. Áí:

6 212 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò i) = x 0 êáé x 1 = + h, x 2 = + 2h, ôüôå áðü ôçí (6:1:1 8) ðñïêýðôåé f () f (x 1) f (x 0 ) x 1 x 0 + f [x 1; x 2 ] f [x 0 ; x 1 ] x 2 x 0 (2 x 0 x 1 ) f( + h) f() h f( + 2h) f( + h) f( + h) f() + h h [2 ( + h)] 2h f( + h) f() h f( + 2h) 2f( + h) + f() 2h äçëáäþ f () 3f() + 4f( + h) f( + 2h) : ( ) 2h ii) = x 1 êáé x 0 = h, x 2 = + h, ôüôå üìïéá áðïäåéêíýåôáé üôé f () f( h) + f( + h) : ( ) 2h ÔåëéêÜ, áí iii) = x 2 êáé x 0 = 2h, x 1 = h, ôüôå f () f( 2h) 4f( h) + 3f() 2h ( ) üðïõ ðñïöáíþò ï ôýðïò (6:1:1 11) ðñïêýðôåé áðü ôïí (6:1:1 9), èýôïíôáò üðïõ h ôï h. ÅðïìÝíùò, ôåëéêü ïé äéáöïñåôéêïß ôýðïé õðïëïãéóìïý ôçò 1çò ðáñáãþãïõ óôçí ðåñßðôùóç ôùí óçìåßùí ðáñåìâïëþò x 0, x 1 êáé x 2 åßíáé ïé (6:1:1 9) êáé (6:1:1 10), ðïõ åßíáé ãíùóôïß êáé ùò ïé ôýðïé ôùí 3 óçìåßùí.

7 Õðïëïãéóìüò ìå ðïëõþíõìï ðáñåìâïëþò 213 Ξ h Ξ h Ξ x 0 x 1 x 2 Ó Þìá : ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò ðñïóýããéóçò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò óôï óçìåßï. ÐñïóÝããéóç 2çò ðáñáãþãïõ Ðáñáãùãßæïíôáò ôçí (6:1:1 7) äéáäï éêü Ý ïõìå f (x) P 2 (x) = = 0 {}}{ f [x 0 ; x 1 ] + {f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] (2x x 0 x 1 )} ïðüôå áí [x 0 ; x 2 ], ôüôå = 2 {}}{ = f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] {(2x x 0 x 1 )} = 2 f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] ; f () P 2 () = 2f [x 0 ; x 1 ; x 2 ] ( ) ìéá Ýêöñáóç üìïéá áíåîüñôçôç ôïõ. Ç ðåñéóóüôåñï ñçóéìïðïéïýìåíç åöáñìïãþ äßíåôáé óôç óõíý åéá. Áí: = x 1 ; x 0 = h êáé x 2 = + h (Ó. 6:1:1 4); ôüôå áðü ôçí (6:1:1 12) ðñïêýðôåé f () f( h) 2f() + f( + h) h 2 ( ) ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ï ìå êåíôñéêýò äéáöïñýò ôýðïò (central-dierence formula) ðñïóýããéóçò ôçò 2çò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò. Ðñïóåããßóåéò ðáñáãþãùí áíþôåñçò ôüîçò ðñïêýðôïõí áíüëïãá èåùñþíôáò ìåãáëýôåñïõ âáèìïý ðïëõþíõìá ðáñåìâïëþò.

8 214 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor Åßíáé Þäç ãíùóôü üôé, áí f (a; b) åßíáé ìéá óõíüñôçóç ðáñáãùãßóéìç ìý ñé êáé - ôüîç óôï (a; b), ôüôå, áí (a; b), éó ýåé ï ðáñáêüôù ôýðïò ôïõ Taylor 3 f(x) f() + f () 1! (x ) + f () (x ) 2 2! + : : : + f () () (x ) ; ( )! üôáí ïé áñéèìïß f(), f (), : : :, f () ()=! åßíáé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ óôï. óôù ôþñá üôé óôïí ôýðï (6:1:2 1) ôá x êáé î áíôéêáèßóôáíôáé áðü ôá x + h êáé x áíôßóôïé á ìå h > 0. Ôüôå ç (6:1:2 1) ãñüöåôáé f(x + h) f(x) + h 1! f (x) + h2 2! f (x) + h3 3! f (x) + : : : + h! f () (x): ( ) Ï ôýðïò (6:1:2 2), üôáí ôï h áíôéêáôáóôáèåß ìå ôï h, ãñüöåôáé ùò åîþò: f(x h) f(x) h 1! f (x) + h2 2! f (x) h3 3! f (x) Ðñïóåããßóåéò 1çò ðáñáãþãïõ + : : : + ( 1) h Áðü ôïí ôýðï (6:1:2 2) ðñïêýðôåé üôé! f () (x): ( ) f(x + h) = f(x) + h 1! f (x) + O ( h 2) : ( ) 3 ¼ôáí = 0, ï ôýðïò (6:1:2 1) ãñüöåôáé óôçí ðáñáêüôù ìïñöþ f(x) f(0) + f (0) 1! x + f (0) 2! x 2 + : : : + f () (0)! ðïõ åßíáé ãíùóôüò ùò ôýðïò ôïõ Maclaurin, åíþ ïé áñéèìïß f(0), f (0), : : :, f () (0)=! åßíáé ïé áíôßóôïé ïé óõíôåëåóôýò ôïõ ðïëõùíýìïõ. x

9 ÐáñáôçñÞóåéò Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 215 Óôçí (6:1:2 4) ï üñïò O ( h 2) èá óõìâïëßæåé óôï åîþò êüèå ðáñüóôáóç ìå üñïõò h âáèìïý ìåãáëýôåñïõ Þ ßóïõ ôïõ h 2. Ôüôå, åðåéäþ ï ðáñáðüíù óõìâïëéóìüò O ( h 2) óõìðåñéëáìâüíåé êáé ôçí ðåñßðôùóç ôïõ áèñïßóìáôïò ôùí Üðåéñùí üñùí, äçëáäþ ôçò óåéñüò, ç (6:1:2 4) êáé êüèå áíüëïãç áõôþò Ýêöñáóç èá ãñüöåôáé ìå ßóïí, äéáöïñåôéêü èá ñçóéìïðïéåßôáé ôï óýìâïëï ôïõ êáôü ðñïóýããéóç ßóïí ( ). Ëýíïíôáò ôçí (6:1:2 4) ùò ðñïò f (x) Ý ïõìå f f(x + h) f(x) (x) = + O (h) ; ( ) h ðïõ óõìðßðôåé ìå ôçí (6:1:1 3), üôáí x =. Óôçí (6:1:2 5) ï âáèìüò ôïõ h óôïí üñï O (h) åßíáé 1, ïðüôå êáé ç ðñïóýããéóç ôçò f (x) èá åßíáé 1ïõ âáèìïý. ¼ìïéá áðü ôïí ôýðï (6:1:2 3) ðñïêýðôåé üôé ïðüôå ëýíïíôáò ùò ðñïò f (x) Ý ïõìå f(x h) = f(x) h 1! f (x) + O ( h 2) ; f f(x) f(x h) (x) = + O (h) ; ( ) h äçëáäþ ç (6:1:1 4) ìå x = êáé ðñïóýããéóç åðßóçò 1ïõ âáèìïý. Áí ç (6:1:2 2) ãñáöåß ùò åîþò: f(x + h) = f(x) + h 1! f (x) + h2 2! f (x) + h3 3! f (x) + O ( h 4) ( ) êáé ç (6:1:2 3) ùò: f(x h) = f(x) h 1! f (x) + h2 2! f (x) h3 3! f (x) + O ( h 4) ; ( ) ôüôå áöáéñþíôáò êáôü ìýëç ôéò (6:1:2 7) êáé (6:1:2 8) ðñïêýðôåé üôé f(x + h) f(x h) = 2h f (x) + O ( h 3) ;

10 216 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò ïðüôå f f(x + h) f(x h) (x) = + O ( h 2) ; ( ) 2h äçëáäþ ç (6:1:1 5) ìå x =, ðïõ ëüãù ôïõ üñïõ O ( h 2) åßíáé ìéá ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. ÐñïóÝããéóç 2çò ðáñáãþãïõ ÐñïóèÝôïíôáò êáôü ìýëç ôéò (6:1:2 7) êáé (6:1:2 8) ðñïêýðôåé üôé f(x + h) + f(x h) = 2f(x) + h 2 f (x) + O ( h 4) ; ïðüôå äéáéñþíôáò êáé ôá äýï ìýëç ìå h 2 ôåëéêü Ý ïõìå f (x) = f(x + h) 2 f(x) + f(x h) h 2 + O ( h 2) ; ( ) äçëáäþ ç (6:1:1 13) ìå x = ðïõ ïñßæåé ìéá ðñïóýããéóç 2ïõ âáèìïý. ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôéò (6:1:2 2) êáé (6:1:2 3) ðñïêýðôïõí ðñïóåããßóåéò ãéá êüèå ðáñüãùãï ôçò f. 4 ÐáñÜäåéãìá óôù ç óõíüñôçóç f(x) = e x2 : Ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) íá õðïëïãéóôïýí ïé ðñïóåããßóåéò ôùí ðáñáãþãùí f (1) êáé f (1), üôáí h = 0:1; 0:01 êáé 0:001: Óôç óõíý åéá íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôéò èåùñçôéêýò ôéìýò f (1) = 2x e x2 x=1 0: ; f (1) = ( 2 + 4x 2) e x2 x=1 0: : 4 Ï áíáãíþóôçò, ãéá Ýíáí ðëþñç ðßíáêá ìå ôéò ðñïóåããßóåéò ôùí ðáñáãþãùí êáé ôùí áíôßóôïé ùí ôüîåùí ðáñáðýìðåôáé óôï âéâëßï B. Fornberg [4] Êåö. 3.

11 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 217 Ëýóç. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (6:1:1 3) Ý ïõìå: h = 0:1 f (1) f(1 + 0:1) f(1) 0:1 = e1:12 e 1 0:1 = 0: ; h = 0:01 f (1) f(1 + 0:01) f(1) 0:01 = e1:012 e 1 0:01 = 0: ; h = 0:001 f (1) f(1 + 0:001) f(1) 0:001 åíþ ìå ôïí ôýðï (6:1:1 13) åßíáé h = 0:1 = e1:0012 e 1 0:001 = 0: ; f (1) f(1 + 0:1) 2f(1) f(1 0:1) 0:1 2 = e1:12 = 0: ; 2e 1 + e 0:92 0:1 2 h = 0:01 f (1) f(1 + 0:01) 2f(1) f(1 0:01) 0:01 2 = e1:012 = 0: ; 2e 1 + e 0:992 0:01 2 h = 0:001 f (1) f(1 + 0:001) 2f(1) f(1 0:001) 0:001 2 = e1:0012 = 0: : 2e 1 + e 0:9992 0:001 2 ÓõãêåíôñùôéêÜ ôá áðïôåëýóìáôá êáé ôá áðüëõôá óöüëìáôá äßíïíôáé óôïí Ðßíáêá , üðïõ ôï 0: E 02 = 0: ê.ëð.

12 218 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ðßíáêáò : ÐáñÜäåéãìá : ðñïóýããéóç 1çò êáé 2çò ðáñáãþãïõ. h f (1) áðüëõôï óöüëìá f (1) áðüëõôï óöüëìá E Å E Å E-06 ÐáñÜäåéãìá Ìå ôïõò ôýðïõò ôïõ Taylor (6:1:2 2) êáé (6:1:2 3) íá õðïëïãéóôåß ç ðñïóýããéóç ôçò ðáñáãþãïõ f (3) (x). Ëýóç. ÅðåéäÞ ç ðáñüãùãïò ðïõ æçôåßôáé ç ðñïóýããéóç åßíáé 3çò ôüîçò, ðñýðåé ôá áíáðôýãìáôá íá ðåñéý ïõí ôçí ðáñüãùãï áõôþ. ÅðïìÝíùò f(x + 2h) f(x) + 2h 1! f (x) + (2h)2 f (x) + (2h)3 f (x) + O ( h 4) ; 2! 3! f(x + h) f(x) + h 1! f (x) + h2 2! f (x) + h3 3! f (x) + O ( h 4) ; f(x h) f(x) h 1! f (x) + h2 2! f (x) h3 3! f (x) + O ( h 4) ; f(x 2h) f(x) 2h 1! f (x) + (2h)2 f (x) (2h)3 f (x) + O ( h 4) : 2! 3! Óôç óõíý åéá ðñýðåé ðñïóèýôïíôáò êáôü ìýëç êáôüëëçëá ðïëëáðëáóéáóìýíåò ôéò ðáñáðüíù ó Ýóåéò íá áðáëåßöïíôáé ç 1ç êáé ç 2ç ðáñüãùãïò. ñá f(x + 2h) f(x) + 2h 1! f (x) + (2h)2 f (x) + (2h)3 f (x) + O ( h 4) ; 2! 3! 2 f(x + h) 2f(x) 2h 1! f (x) 2h2 f (x) 2h3 f (x) + O ( h 4) ; 2! 3! 2 f(x h) 2f(x) 2h 1! f (x) + 2h2 f (x) 2h3 f (x) + O ( h 4) ; 2! 3! f(x 2h) f(x) + 2h 1! f (x) (2h)2 f (x) + (2h)3 f (x) + O ( h 4) ; 2! 3!

13 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 219 ïðüôå ôåëéêü f (3) (x) f(x 2h) + 2f(x h) 2f(x + h) + f(x + 2h) 2h 3 +O ( h 2) : ( ) Ç ðñïóýããéóç áõôþ ëüãù ôïõ üñïõ O ( h 2) åßíáé 2çò ôüîçò. ÁóêÞóåéò 1. Ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) êáé áêñßâåéá 6 äåêáäéêþí øçößùí íá õðïëïãéóôåß ç 1çò êáé ç 2çò ôüîçò ðáñüãùãïò ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí: i) ln ( e 2x 2 ) iii) sinh x ii) tan 1 (e x ) iv) 1 + x2. óôï óçìåßï = 1:5, üôáí h = 0:1, 0:01 êáé 0:0025. Óôç óõíý åéá íá ãßíåé óýãêñéóç ôùí áðïôåëåóìüôùí ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ. 2. ¼ìïéá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 5) êáé (6:1:1 13) ôùí óõíáñôþóåùí: i) cos x 2 ii) sin x x ; üôáí h = 0:1, 0:01 êáé 0:001, óôï óçìåßï î = =4 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ ôéìþ. 3. Ìå ôïí ôýðï (6:1:1 9) êáé h = 0:01 íá õðïëïãéóôåß ç 1çò ôüîçò ðáñüãùãïò ôçò óõíüñôçóçò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ôïõ áðïôåëýóìáôïò ìå ôá áíôßóôïé á ôïõ Ðßíáêá Ìå ôïõò ôýðïõò ôïõ Taylor (6:1:2 2) êáé (6:1:2 3) íá õðïëïãéóôåß ç ðñïóýããéóç ôçò ðáñáãþãïõ f (4) (x). ÁðáíôÞóåéò 1. (i) óôù f(x) = ln ( e 2x 2 ) : Ôüôå f (x) = 2 e2x 2 + e 2x ìå f (1:5) = 2: f 8 e 2x (x) = ìå ( 2 + e 2x ) 2 f (1:5) = 0: :

14 220 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (1:5) f (1:5) f(1:5 + 0:1) f(1:5) 0:1 = 2: ; = = ( ) ln e 2(1:5+0:1) 2 ln ( e 2 1:5 2 ) f(1:5 0:1) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:1) 0:1 2 ( ) ln e 2(1:5 0:1) 2 2 ln ( e 2 1:5 2 ) ( ) + ln e 2(1:5+0:1) 2 = 0: : 0:1 2 0:1 h = 0:01 f (1:5) f (1:5) f(1:5 + 0:01) f(1:5) 0:01 = : : : = 2: ; f(1:5 0:01) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:01) 0:01 2 = : : : = 0: : h = 0:0025 f (1:5) f (1:5) f(1:5 + 0:0025) f(1:5) 0:0025 = : : : = 2: ; f(1:5 0:01) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:01) 0:01 2 = : : : = 0: : (ii) óôù f(x) = tan 1 ( e x) : Ôüôå f (x) = e x 1 + e 2x ìå f (1:5) = 0: f (x) = ex ( e 2x 1 ) (e 2x + 1) 2 ìå f (1:5) = 0: :

15 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 221 Óýìöùíá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (1:5) f(1:5 + 0:1) f(1:5) 0:1 = : : : = 0: ; f (1:5) f(1:5 0:1) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:1) 0:1 2 = : : : = 0: : h = 0:01 f (1:5) f (1:5) f(1:5 + 0:01) f(1:5) 0:01 = : : : = 0: ; f(1:5 0:01) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:01) 0:01 2 = : : : = 0: : h = 0:0025 f (1:5) f (1:5) f(1:5 + 0:0025) f(1:5) 0:0025 = : : : = 0: ; f(1:5 0:01) 2f(1:5) + f(1:5 + 0:01) 0:01 2 = : : : = 0: : (iii) óôù f(x) = sinh 2x: Ôüôå f (x) = 2 cosh 2x ìå f (1:5) = 20: f (x) = 4 sinh 2x ìå f (1:5) = 40: : ¼ìïéá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (1:5) : : : = 22: êáé f (1:5) : : : = 40: : h = 0:01 f (1:5) : : : = 20: êáé f (1:5) : : : = 40: : h = 0:0025 f (1:5) : : : = 20: êáé f (1:5) : : : = 40: :

16 222 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò (iv) óôù f(x) = 1 + x 2 : Ôüôå f (x) = x 1 + x 2 ìå f (1:5) = 0: f (x) = 1 (1 + x 2 ) 3=2 ìå f (1:5) = 0: : ¼ìïéá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 3) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (1:5) : : : = 0: êáé f (1:5) : : : = 0: : h = 0:01 f (1:5) : : : = 0: êáé f (1:5) : : : = 0: : h = 0:0025 f (1:5) : : : = 0: êáé f (1:5) : : : = 0: : 2. (i) óôù f(x) = cos x 2 : Ôüôå f (x) = 2x cos x 2 ìå f (=4) = 0: f (x) = 2 ( 2x 2 cos x 2 + sin x 2) ìå f (=4) = 3: : ¼ìïéá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 5) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 3: : (ii) óôù h = 0:01 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 3: : h = 0:001 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 3: : f(x) = sin x x : Ôüôå f (x) = cos x x sin x ìå f (=4) = 0: x 2 f (x) = 2 cos x x sin x x 3 f (=4) = 0: : sin x x ìå

17 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 223 ¼ìïéá ìå ôïõò ôýðïõò (6:1:1 5) êáé (6:1:1 13) Ý ïõìå: h = 0:1 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 0: : h = 0:01 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 0: : h = 0:001 f (=4) : : : = 0: êáé f (=4) : : : = 0: : 3. ¼ìïéá ìå ÁóêÞóåéò 1 êáé Áêïëïõèþíôáò äéáäéêáóßá áíüëïãç ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò áðïäåéêíýåôáé üôé f (4) (x) f(x 2h) 4f(x h) + 6f(x) 4f(x + h) + f(x + 2h) h 4 + O ( h 2) : 6.2 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor óôù u = u(x; t) ìéá óõíüñôçóç äýï ìåôáâëçôþí, üðïõ ôï x óõìâïëßæåé óõíþèùò ôç ìåôáâëçôþ ôïõ äéáóôþìáôïò êáé ôï t ôïõ ñüíïõ. Ôüôå ï ôýðïò (6:1:2 1) ãñüöåôáé u(x + h; t) u(x; t) + h 1! + : : : + h2 2! üôáí h > 0 ç áýîçóç ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôßóôïé 2 2 u(x; t + `) u(x; t) + `2 2 u u ; + : : : + u ;

18 224 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò üôáí ` > 0 ç áýîçóç ôçò t. ÈÝôïíôáò üðïõ h ôï h, áíôßóôïé á üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí áíüëïãïé ôýðïé ôçò (6:1:2 3). ¼ìïéá ôüôå ìå ôçí ÐáñÜãñáöï áðïäåéêíýåôáé üôé éó ýïõí ãéá ôçí 1ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x ïé ðñïóåããßóåéò: u = u(x + h; t) u(x; t) h + O(h) ( ) = u(x; t) u(x h; t) + O(h) ( ) h = u(x + h; t) u(x h; t) + O ( h 2) ( ) 2h ìå áíüëïãåò åêöñüóåéò ãéá åíþ ãéá ôç 2ç ìåñéêþ ðáñüãùãï ùò ðñïò x ç ðñïóýããéóç: u xx u u(x + h; t) 2u(x; t) + u(x h; t) h 2 + O ( h 2) ; ( ) áíôßóôïé á u tt u u(x; t + `) 2u(x; t) + u(x; t `) = + O (`2) : `2 ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí (6:2:1 1), áíôßóôïé á (6:2:1 2) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò ðñïóåããßóåéò ãéá ôéò ìåñéêýò ðáñáãþãïõò ôçò u. 5 Ìéá óçìáíôéêþ åöáñìïãþ ôïõ ôýðïõ (6:2:1 6) èá äïèåß óôï ÐáñÜäåéãìá óôç óõíý åéá ôïõ ìáèþìáôïò ÓõíïñéáêÝò óõíèþêåò Óôïí ðñïóåããéóôéêü õðïëïãéóìü ôçò ëýóçò ìéáò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ç ðáñüãùãïò ùò ðñïò ôç ìåôáâëçôþ x áíüëïãá ìå ôçí ôüîç ôçò áíôéêáèßóôáôáé ìå ôéò ðñïóåããßóåéò (6:2:1 3) - (6:2:1 6) ê.ëð. Áõôü óçìáßíåé üôé ôï äéüóôçìá [a; b] ðñýðåé íá õðïäéáéñåèåß óå åðéìýñïõò éóáðý ïíôá õðïäéáóôþìáôá áðü ôá óçìåßá (Ó ) a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b ( ) 5 Åêôüò áðü ôéò ìéêôýò ðáñáãþãïõò ðïõ õðïëïãßæïíôáé óôçí ÐáñÜãñáöï

19 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 225 x 0 x 1 x 2 x N 1 x N... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá x 0 êáé x N åßíáé ôá óõíïñéáêü, åíþ ôá x 1 ; : : : ; x N 1 ôá åóùôåñéêü óçìåßá. x 1 x 0 x 1 x N 1 x N x N 1 o... Ó Þìá : äéáìýñéóç ôïõ [a; b]. Ôá óçìåßá x 1 êáé x N+1 åßíáé åêôüò ôïõ äéáóôþìáôïò [a; b]. o êáé óôç óõíý åéá óå êáèýíá áðü áõôü íá åöáñìïóôåß ï áíüëïãïò ðñïóåããéóôéêüò ôýðïò. Ôüôå ôï ðñüâëçìá ìå ôéò ôéìýò ôçò óõíüñôçóçò äçìéïõñãåßôáé, üôáí ç áíôéêáôüóôáóç ôùí ðáñáãþãùí ãßíåôáé óôá Üêñá óçìåßá x 0 êáé x N Þ óå ãåéôïíéêü ôùí. Ãéá ðáñüäåéãìá, Ýóôù üôé áðáéôåßôáé ç ðñïóýããéóç ôçò u xx óôï óçìåßï x 0. Óýìöùíá ìå ôïí ôýðï (6:2:1 6) óôçí ðåñßðôùóç áõôþ èá Ý ïõìå u xx x=x0 = u (x 0 h; t) 2u (x 0 ; t) + u (x 0 + h; t) h 2 üðïõ üìùò ôï óçìåßï x 0 h åßíáé åêôüò ôïõ ðåäßïõ ïñéóìïý [a; b] (Ó ). ÁíÜëïãï ðñüâëçìá õðüñ åé êáé óôï óçìåßï x N. Ãéá ôçí áíôéìåôþðéóç áõôþí ôùí ðñïâëçìüôùí ðñýðåé íá åßíáé ãíùóôþ ç óõìðåñéöïñü ôçò óõíüñôçóçò u óôá óõíïñéáêü óçìåßá x 0 êáé x N. Áõôü ãßíåôáé ìå ôéò ëåãüìåíåò óõíïñéáêýò óõíèþêåò (boundary conditions) ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò. Ïé êõñéüôåñåò áðü áõôýò åßíáé ïé Neumann óõíïñéáêýò óõíèþêåò u x x=x0 = 0 êáé u x x=xn = 0:

20 226 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôüôå áðü ôçí (6:2:1 5) ðñïêýðôïõí ôá åîþò (Ó ): u x x=x0 = u (x 0 + h; t) u (x 0 h; t) 2h u (x 0 h; t) = u (x 0 + h; t) ; êáé = 0; ïðüôå ( ) u x x=xí = u (x Í + h; t) u (x Í h; t) 2h = 0; ïðüôå u (x N + h; t) = u (x N h; t) : Dirichlet óõíïñéáêýò óõíèþêåò u (x 0 ) = v 0 êáé u (x N ) = v 1 ; üôáí v 0 êáé v 1 ãíùóôýò ôéìýò. Óôçí ðåñßðôùóç áõôþ, åöüóïí äåí åßíáé ãíùóôýò Üëëåò óõíèþêåò, ç ðñïóýããéóç ôùí äéáöïñéêþí åîéóþóåùí ãßíåôáé ìüíï óôá åóùôåñéêü óçìåßá (Ó ). ÐáñÜäåéãìá Ç åîßóùóç äéüäïóçò èåñìüôçôáò óå ìßá äéüóôáóç = u(x; 2 üðïõ a < x < b; t > 0; ( ) üôáí a èåôéêþ óôáèåñü êáé u(x; t) ìéá åðáñêþò ðáñáãùãßóéìç óõíüñôçóç, üðïõ ç t óõìâïëßæåé ôç ìåôáâëçôþ ôïõ ñüíïõ êáé ç x ôïõ äéáóôþìáôïò. Óôç ÖõóéêÞ ç óõíüñôçóç u ïñßæåé ôç ìåôáâïëþ ôçò èåñìïêñáóßáò, åíþ ç óôáèåñü a ôïí óõíôåëåóôþ èåñìéêþò äéü õóçò. Ç åîßóùóç èåñìüôçôáò åßíáé èåìåëéþäïõò óçìáóßáò óå äéáöüñïõò ôïìåßò ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí üðùò óôá ÌáèçìáôéêÜ ùò ôï ðñüôõðï ôçò ëýóçò ðáñáâïëéêþí PDE's, óôç Èåùñßá ÐéèáíïôÞôùí, óôá ÏéêïíïìéêÜ ÌáèçìáôéêÜ ê.ëð. Óôçí ðñïóåããéóôéêþ ëýóç ôçò (6:2:2 3) èåùñïýíôáé ïé ðáñáêüôù óõíïñéáêýò óõíèþêåò Dirichlet (Dirichlet boundary conditions) u (a; t) = u (b; t) = 0; üôáí t > 0; ( )

21 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 227 U 0 n n U 1 n U 2 n U N 1... U N n Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò U n m; m = 0; : : : ; N ôçò óõíüñôçóçò u(x; t) óôá óçìåßá (6:2:2 5), üôáí ëçöèïýí õðüøç ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò (6:2:2 4), äçëáäþ U n 0 = 0 êáé U n N = 0. óôù üôé ôï äéüóôçìá [a; b] ôçò ìåôáâëçôþò x õðïäéáéñåßôáé óå N ßóá õðïäéáóôþìáôá ðëüôïõò h ìå h = (b a)=n (Ó ) áðü ôá óçìåßá a = x 0 < x 1 < x 2 < : : : < x N 1 < x N = b ( ) êáé üôé ãéá åõêïëßá ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôçò u(x; t) óôá óçìåßá (6:2:2 5), äçëáäþ ç u (x m ; t) ; m = 0; 1; : : : ; N èá óõìâïëßæåôáé óôï åîþò ìå U n m ãéá êüèå m = 0; 1; : : : ; N: ÅðåéäÞ óýìöùíá ìå ôçí (6:2:2 4) äßíïíôáé ïé óõíïñéáêýò ôéìýò óôá óçìåßá x 0 = a êáé x N = b, ç (6:2:2 3) åöáñìüæåôáé óå êüèå ñïíéêþ óôéãìþ ôçò ìïñöþò t = n` üðïõ ` ôï âþìá ôïõ ñüíïõ êáé n = 1; 2; : : : óå üëá ôá åóùôåñéêü óçìåßá (Ó ) ôçò äéáìýñéóçò (6:2:2 5). Ôüôå óýìöùíá ìå ôçí (6:2:1 6) Ý ïõìå ôï ðáñáêüôù óýóôçìá ôùí N äéáöïñéêþí åîéóþóåùí 1çò ôüîçò: x = x 1 : d U n 1 dt = 0 {}}{ U n 0 2U n 1 + U n 2 h 2 x = x 2 : d U n 2 dt = U n 1 2U n 2 + U n 3 h 2... ( ) x = x N 1 : d U n N 1 dt = U n N 2 2U n N 1 + U n N h 2 x = x N : d U n N dt = U n N 1 2U n N + h 2 0 {}}{ U n N+1

22 228 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Ôï óýóôçìá áõôü ãñüöåôáé óå äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ùò åîþò: üôáí du(t) = AU(t); ( ) dt U(t) = [U 1 (t); : : : ; U N (t)] åßíáé ôï äéüíõóìá ôùí ðñïóåããéóôéêþí ëýóåùí ôçò åîßóùóçò (6:2:2 3) óå åðßðåäï ñüíïõ t êáé A Ýíáò ôñéäéáãþíéïò ðßíáêáò ôçò ìïñöþò A = h : Áðü ôç ëýóç ôïõ óõóôþìáôïò (9:2:2 3) ðñïêýðôïõí ôüôå ïé ðñïóåããéóôéêýò ôéìýò ôçò u óôá óçìåßá (6:2:2 5). Ç ëýóç ôçò (6:2:2 3) ãéá ôéò äéüöïñåò ôéìýò ôïõ t èá äïèåß óôï ÌÜèçìá ÁñéèìçôéêÞ ëýóç Ìåñéêþí Äéáöïñéêþí Åîéóþóåùí ðïõ áêïëïõèåß. ÁóêÞóåéò 1. Ç ãñáììéêþ ìïñöþ ôçò åîßóùóçò äéü õóçò-ìåôáöïñüò (diusion-convection) óå ìßá äéüóôáóç Ý åé üðïõ 0 < x < b êáé t > 0; ( ) üðïõ ì > 0 åßíáé ç ðáñüìåôñïò ìåôáöïñüò (convection parameter). Ïé óõíïñéáêýò óõíèþêåò, üôáí t > 0, åßíáé u(0; t) = v(t) t) = Ìå õðïëïãéóìïýò áíüëïãïõò ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò äåßîôå üôé ç äéáíõóìáôéêþ ìïñöþ ôçò ëýóçò ôçò åîßóùóçò (9:2:2 23) åßíáé du(t) = A U(t) + b ìå U(0) = g; dt

23 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 229 üðïõ A = ìh ìh ìh ìh ìh 2 2 êáé b = h 2 [( ìh) U t (n`); 0; : : : ; 0 ]. 2. Ìå ôïí ôýðï (6:1:2 1) áíôéêáèéóôþíôáò êáôüëëçëá ôï h ìå 2h êáé ôï h ìå 2h äåßîôå üôé u(x + 2h; t) 2u(x; t) + u(x 2h; t) êáé óôç óõíý åéá üôé = 4h h O ( h 6) 3. óôù ç 4 4 = 1 [u(x + 2h; t) 4u(x + h; t) + 6u(x; t) h4 4u(x h; t) + u(x 2h; t)] + O ( h 2) : u (x; y) = 4 [ tan 1 (exp x) + tan 1 (exp y) ] : ( ) Áí h = 0:1, ìå ôïí ôýðï (6:2:1 3), áíôßóôïé á ìå ôïí (6:2:1 6), íá õðïëïãéóôïýí ïé ðáñüãùãïé u x x=1; y=1, áíôßóôïé á u yy x=1; y=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôç èåùñçôéêþ 1: , áíôßóôïé á 0: Óçìåßùóç Ç (6:2:2 9), üôáí åßíáé ç ëýóç ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ôçò äéäéüóôáôçò çìéôïíïåéäïýò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ôïõ Gordon (sine-gordon equation) u (x; y) sin 6 ÂëÝðå Bratsos, A. G. (2006). The solution of the two-dimensional sine-gordon equation using the method of lines. J. Comput. Appl. Math., vol. 206 No. 1, pp. 251{277.

24 230 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò óôçí ðåñßðôùóç üðïõ = 0 êáé (x; y) = 1 äçìéïõñãåß ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ äýï åõèýãñáììá êýìáôá ðïõ áðïìáêñýíïíôáé ìåôáîý ôïõò êáôü ôç äéåýèõíóç y = x (Ó ). (a) (b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò (6:2:2 9), üôáí x; y [ 6; 6] ôçí (a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé (b) t = Õðïëïãéóìüò ãéá äýï ìåôáâëçôýò Ï ôýðïò ôïõ Taylor ãéá ôçí ðåñßðôùóç ìéáò óõíüñôçóçò, Ýóôù u = u(x; t), üôáí ôï áíüðôõãìá ãßíåôáé êáé ãéá ôéò äýï ìåôáâëçôýò x êáé ` ãñüöåôáé u(x + h; t + `) = u(x; t) + 1 1! + 1 2! + 1 3! ( ( + ) h 2 + u + 2 h 3 + u 2 + 3h : : : : ( ) Áðü ôçí (6:2:3 1) åýêïëá áðïäåéêíýåôáé ôüôå ìå êáôüëëçëïõò óõíäõáóìïýò

25 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor 231 ôùí ðñïóþìùí ôùí h êáé ` üôé 2 = 1 [u(x + h; t + `) u(x + h; t `) 4h` u(x h; t + `) + u(x h; t `)] ( ) (h + `) 4 +O : ( ) hl ÓõíäõÜæïíôáò êáôüëëçëá ôçí (6:2:3 1) åßíáé äõíáôüí íá ðñïêýøïõí êáé Üëëåò áíþôåñçò ôüîçò ðñïóåããßóåéò ôùí ìåñéêþí ìåéêôþí ðáñáãþãùí ôçò u. ÐáñÜäåéãìá Ç óõíüñôçóç u(x; t) = 4 tan 1 [exp(x t)] ( ) ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá, ðïõ äéáäßäåôáé (Ó ) ùñßò íá áëëüæåé ìïñöþ (soliton). Ôüôå u xt = 4 et+x ( e 2t + e 2x) (e 2t + e 2x ) 2 ; ïðüôå u xt x=0; t=1 = 0: : 7 Óôçí (6:2:3 1) èýôïíôáò êáôüëëçëá üðïõ h ôï h êáé üðïõ ` ôï `, ðñïêýðôïõí ïé ó Ýóåéò u(x h; t + `) = u(x; t) + 1 1! ( h u x + ` u t ) + 1 ( h 2 ) u xx 2h` u xt + `2 u tt + : : : ; 2! u(x + h; t `) = u(x; t) + 1 (h ux ` ut) 1! + 1 ( h 2 ) u xx 2h` u xt + `2 u tt + : : : ; 2! u(x h; t `) = u(x; t) + 1 ( h ux ` ut) 1! + 1 ( h 2 ) u xx + 2h` u xt + `2 u tt + : : : : 2!

26 232 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò u x Ó Þìá : ÐáñÜäåéãìá : ç ìïñöþ ôïõ êýìáôïò u(x; t) = 4 tan 1 [exp(x t)], üôáí t = 1; 2; 3 êáé x [ 5; 10]. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (6:2:3 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 Ý ïõìå u xt x=0; t=1 = 1 [u(0 + 0:01; 1 + 0:01) u(0 + 0:01; 1 0:01) 4h` u(0 0:01; 1 + 0:01) + u(0 0:01; 1 0:01)] = 0: : ñá õðüñ åé óöüëìá óôçí ðñïóýããéóç: e = ÁóêÞóåéò 1. ¼ìïéá ìå ôç óõíüñôçóç u(x; t) ôïõ Ðáñáäåßãìáôïò ç óõíüñôçóç v(x; t) = 4 tan 1 {exp[ (x t)] } ðåñéãñüöåé Ýíá êýìá soliton. Åöáñìüæïíôáò ôïí ôýðï (6:2:3 2) ãéá h = ` = 0:01, üôáí x = 0; t = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xt x=0; t=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ Óôç óõíý åéá íá ãßíåé ç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôùí óõíáñôþóåùí u(x; t) êáé v(x; t), üôáí x [ 5; 10] êáé t = 1; 2; 5. Ôé ðáñáôçñåßôå;

27 Õðïëïãéóìüò ìå ôïí ôýðï ôïõ Taylor óôù ç óõíüñôçóç u (x; y) = 4 tan 1 exp (3 ) x 2 + y 2 ( ) ¼ìïéá ìå ôïí ôýðï (6:2:3 2) ãéá h = k = 0:01, üôáí x = y = 1 íá õðïëïãéóôåß ç u xy x=1; y=1 êáé íá ãßíåé óýãêñéóç ìå ôçí áíôßóôïé ç èåùñçôéêþ Óçìåßùóç Ç (6:2:3 4), üôáí åßíáé ç ëýóç ôç ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 ôçò äéäéüóôáôçò çìéôïíïåéäïýò äéáöïñéêþò åîßóùóçò ôïõ Gordon (sine-gordon equation) u (x; y) sin óôçí ðåñßðôùóç üðïõ = 0 êáé (x; y) = 1 äçìéïõñãåß ìå ôçí ðüñïäï ôïõ ñüíïõ Ýíá êõêëéêü êýìá ðïõ áëëüæåé ìïñöþ (Ó êáé ). (a) (b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò (6:2:3 4): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 u(x; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí (a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 0 êáé (b) t = 5:6. 8 ÂëÝðå üìïéá Bratsos, A. G. (2006). The solution of the two-dimensional sine-gordon equation using the method of lines. J. Comput. Appl. Math., vol. 206 No. 1, pp. 251{277.

28 234 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò (a) (b) Ó Þìá : Åîßóùóç êýìáôïò (6:2:3 4): ÃñáöéêÞ ðáñüóôáóç ôçò óõíüñôçóçò z = sin 1 2 u(x; y), üôáí x; y [ 7; 7] ôçí (a) ñïíéêþ óôéãìþ t = 8:4 êáé (b) t = 11:2.

29 6.3 Âéâëéïãñáößá [1] Aêñßâçò, Ã. & ÄïõãáëÞò, Â. (1995). ÅéóáãùãÞ óôçí ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç. ÐáíåðéóôçìéáêÝò Åêäüóåéò ÊñÞôçò. ISBN 978{960{524{022{6. [2] ÌðñÜôóïò, Á. (2011). ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ. Åêäüóåéò Á. Óôáìïýëç. ISBN 978{960{351{874{7. [3] Burden, R. L. & Faires, D. J. (2010). Numerical Analysis. Brooks/Cole (7th ed.). ISBN 978{0{534{38216{2. [4] Fonberg, B. (1998). A Practical Guide to Pseudospectral Methods. Cambridge University Press. ISBN 0{521{49682{2/0{ {6. Âéâëéïãñáößá ãéá ðåñáéôýñù ìåëýôç ÓôåöáíÜêïò,. (2009). Ðñïãñáììáôéóìüò Ç/Õ ìå MATLAB. Ãêéïýñäáò ÅêäïôéêÞ. ISBN 978{960{387{856{8. Atkinson, K. E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis. John Wiley & Sons (2nd ed.). ISBN 0{471{50023{2. Conte, S. D. & de Boor, C. (1980). Elementary Numerical Analysis: An Algorithmic Approach. McGraw{Hill Inc (3rd ed.). ISBN 978{0{ 07{012447{9. Don, E. (2006). Schaum's Outlines { Mathematica. Åêäüóåéò ÊëåéäÜñéèìïò. ISBN 978{960{209{961{2. 235

30 236 ÐñïóÝããéóç ðáñáãþãùí Êáè. Á. ÌðñÜôóïò Leader, L. J. (2004). Numerical Analysis and Scientic Computation. Addison{Wesley. ISBN 978{0{201{73499{7. Schatzman, M. (2002). Numerical Analysis: A Mathematical Introduction. Oxford: Clarendon Press. ISBN 978{0{19{850279{1. Sli, E. & Mayers, D. (2003). An Introduction to Numerical Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978{0{521{00794{8. ÌáèçìáôéêÝò âüóåéò äåäïìýíùí Page

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ ÌÜèçìá 6 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÐÁÑÁÃÙÃÙÍ Ç ðñïóýããéóç ôçò ôéìþò ôçò ðáñáãþãïõ ìéáò óõíüñôçóçò ñçóéìïðïéåßôáé óôéò ðáñáêüôù êõñßùò ðåñéðôþóåéò: i) üôáí ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò ìïñöþò ôïõ ôýðïõ ìéáò óõíüñôçóçò åßíáé áäýíáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Προσέγγιση παραγώγων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 8 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÓÕÍÇÈÙÍ ÄÉÁÖÏÑÉÊÙÍ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 8.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Åßíáé Þäç ãíùóôü óôïí áíáãíþóôç üôé ç åðßëõóç ôùí ðåñéóóüôåñùí ðñïâëçìüôùí ôùí èåôéêþí åðéóôçìþí ïäçãåß óôç ëýóç ìéáò äéáöïñéêþò

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 16: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος

Μαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 15: Προσέγγιση συνήθων διαφορικών εξισώσεων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ

ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ ÌÜèçìá 5 ÐÑÏÓÅÃÃÉÓÇ ÅËÁ ÉÓÔÙÍ ÔÅÔÑÁÃÙÍÙÍ 5.1 ÄéáêñéôÞ ðñïóýããéóç 5.1.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôïõ ðïëõùíýìïõ ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ôïõ ðïëõùíýìïõ ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ

ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ ÌÜèçìá 3 ÐÏËÕÙÍÕÌÉÊÇ ÐÁÑÅÌÂÏËÇ 3.1 ÅéóáãùãÞ Åßíáé ãíùóôü üôé óôá äéüöïñá ðñïâëþìáôá ôùí åöáñìïãþí ôéò ðåñéóóüôåñåò öïñýò ðáñïõóéüæïíôáé óõíáñôþóåéò ðïõ ðåñéãñüöïíôáé áðü ðïëýðëïêïõò ôýðïõò, äçëáäþ ôýðïõò

Διαβάστε περισσότερα

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá

SPLINES. ÌÜèçìá ÓõíÜñôçóç spline Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá ÌÜèçìá 4 SPLINES 4.1 ÓõíÜñôçóç spline 4.1.1 Ïñéóìïß êáé ó åôéêü èåùñþìáôá Óôï ÌÜèçìá ÐïëõùíõìéêÞ ðáñåìâïëþ åîåôüóôçêå ôï ðñüâëçìá ôçò åýñåóçò ôùí ðïëõùíýìùí ðáñåìâïëþò, äçëáäþ ðïëõùíýìùí ðïõ óõíýðéðôáí

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 11: Προσέγγιση μερικών διαφορικών εξισώσεων - Παραβολικές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 7: Οριακή Τιμή Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 17 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 17.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 17.1.1 Ïñéóìüò äéáíõóìáôéêþò óõíüñôçóçò 1 Õðåíèõìßæåôáé ï ïñéóìüò ôçò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò, ðïõ ãéá åõêïëßá óôç

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 11: Διανυσματική Συνάρτηση Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÌÜèçìá 7 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÏËÏÊËÇÑÙÓÇ ÅéóáãùãÞ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÐñïóÝããéóç Ðáñáãþãùí, ç ðñïóåããéóôéêþ ôéìþ ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ñçóéìïðïéåßôáé êõñßùò, üôáí I(f) = f(x) dx i) ëüãù ôçò ðïëýðëïêçò

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ ÌÜèçìá 18 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÓ ÄÉÁÖÏÑÉÊÏÓ ËÏÃÉÓÌÏÓ 18.1 ÅéóáãùãÞ 1 Óôï ìüèçìá áõôü äßíïíôáé ïé âáóéêýò Ýííïéåò ôïõ Äéáíõóìáôéêïý Äéáöïñéêïý Ëïãéóìïý, ðïõ åßíáé ó åôéêýò ìå ôéò âáèìùôýò Þ ôéò äéáíõóìáôéêýò óõíáñôþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ

ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ÌÜèçìá 7 ÏÑÉÁÊÇ ÔÉÌÇ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèåß ç Ýííïéá ôïõ ïñßïõ ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò ìå ôñüðï ðñïóáñìïóìýíï óôéò áðáéôþóåéò ôùí äéáöüñùí åöáñìïãþí, ðïõ áðáéôïýíôáé óôçí åðéóôþìç ôïõ.

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß

ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ. 8.1 ÃåíéêÝò Ýííïéåò êáé ïñéóìïß ÌÜèçìá 8 ÓÕÍÅ ÅÉÁ ÓÕÍÁÑÔÇÓÇÓ ¼ìïéá, üðùò êáé óôï ÌÜèçìá ÏñéáêÞ ôéìþ óõíüñôçóçò, äßíïíôáé ðåñéëçðôéêü ïé âáóéêüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ðïõ áíáöýñïíôáé óôç óõíý åéá ìéáò ðñáãìáôéêþò óõíüñôçóçò, åíþ ï

Διαβάστε περισσότερα

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç

ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÐáñÜãïõóá óõíüñôçóç ÌÜèçìá 0 ÁÏÑÉÓÔÏ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁ 0. ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé êáíüíåò ïëïêëþñùóçò, ðïõ êýñéá åìöáíßæïíôáé óôéò ôå íïëïãéêýò åöáñìïãýò. Äéåõêñéíßæåôáé üôé áêïëïõèþíôáò ìßá áõóôçñü

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim

3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x. (iv) f(x, y, z) = sin x 2 + y 2 + 3z Íá âñåèïýí ôá üñéá (áí õðüñ ïõí): lim 3.1 Íá âñåèåß ôï ðåäßï ïñéóìïý ôçò óõíüñôçóçò f: 4 x (i) f(x, y) = sin 1 2 (x + y) (ii) f(x, y) = y 2 + 3 (iii) f(x, y, z) = 25 x 2 y 2 z 2 (iv) f(x, y, z) = z +ln(1 x 2 y 2 ) 3.2 (i) óôù f(x, y, z) =

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 12: Αόριστο Ολοκλήρωμα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα : Αόριστο Ολοκλήρωμα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 5 ÌÉÃÁÄÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 5.1 ÅéóáãùãÞ Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé âáóéêüôåñåò Ýííïéåò ôùí ìéãáäéêþí óõíáñôþóåùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá ôïõ ìáèþìáôïò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 7: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 8: Συνέχεια Συνάρτησης Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Μιγαδικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 15: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές. Αθανάσιος Μπράτσος Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 5: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος ΙΙΙ - Εφαρμογές Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ B ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôá Üñôéá óôïé åßá êáôáëáìâüíïõí ôéò ôåëåõôáßåò

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ

ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ. 5.1 ÅéóáãùãÞ. 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 55 56 ÊåöÜëáéï 5. ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ ÊåöÜëáéï 5 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÏÉ ÙÑÏÉ 5.1 ÅéóáãùãÞ Ïñéóìüò: íá óýíïëï V êáëåßôáé äéáíõóìáôéêüò þñïò Þ ãñáììéêüò þñïò ðüíù óôïí IR áí (á) ôï V åßíáé êëåéóôü ùò ðñïò ôç ðñüóèåóç,

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á

ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÓÕÍÄÕÁÓÔÉÊÇ É, ÓÅÐÔÅÌÂÑÉÏÓ 2008 - ÏÌÁÄÁ ÈÅÌÁÔÙÍ Á ÈÝìá. Èåùñïýìå ôï óýíïëï Ω {; 2; ; 2008}. (á ( âáèìüò Ðüóåò åßíáé ïé ìåôáèýóåéò ôùí óôïé åßùí ôïõ Ω óôéò ïðïßåò ôï óôïé åßï âñßóêåôáé óå êüðïéá áðü ôéò

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 8: Προσέγγιση ολοκληρωμάτων Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του

Διαβάστε περισσότερα

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ

( ) ξî τέτοιο, + Ý åé ìßá ôïõëü éóôïí ñßæá óôï äéüóôçìá ( ) h x =,να δείξετε ότι υπάρχει ( α,β) x ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΙΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥΣ . Äßíåôáé ç óõíüñôçóç : [, + ) R óõíå Þò óôï äéüóôçìá [,+ ) êáé ðáñáãùãßóéìç óôï äéüóôçìá (,+ ), ãéá ôçí ïðïßá éó ýåé ( ) = α. óôù üôé õðüñ åé κî R, þóôå íá éó ýåé ( ) κ ãéá êüèå Î (,+ ). Íá äåßîåôå üôé

Διαβάστε περισσότερα

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ

ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ ÌÜèçìá 1 ÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ËÕÓÇ ÅÎÉÓÙÓÅÙÍ 11 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò 111 Ïñéóìïß Êñßíåôáé áñ éêü áðáñáßôçôï íá ãßíåé óôïí áíáãíþóôç õðåíèýìéóç ôùí ðáñáêüôù âáóéêþí ìáèçìáôéêþí åííïéþí: Ïñéóìüò 111-1 (åîßóùóçò) ËÝãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ

ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ ÌÜèçìá 9 ÐÏËËÁÐËÁ ÏËÏÊËÇÑÙÌÁÔÁ 9. ÄéðëÜ ïëïêëçñþìáôá 9.. ÅéóáãùãÞ Ãéá ôçí êáëýôåñç êáôáíüçóç ôïõ ïñéóìýíïõ ïëïêëçñþìáôïò ìéáò óõíüñôçóçò äýï ìåôáâëçôþí, äçëáäþ ôïõ äéðëïý ïëïêëçñþìáôïò, êñßíåôáé áðáñáßôçôï

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr

2.4 ñçóéìïðïéþíôáò ôïí êáíüíá áëõóßäáò íá âñåèåß ç dr 2.1 i) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = 2 + t)i + 1 2t)j + 3tk ôýìíåé ôï åðßðåäï xz. ii) Íá âñåèïýí ïé óõíôåôáãìýíåò ôïõ óçìåßïõ óôï ïðïßï ç åõèåßá r = ti + 1 + 2t)j 3tk ôýìíåé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 10: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ

ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ. 3.1 ÅéóáãùãÞ 28 ÊåöÜëáéï 3 ÏÑÉÆÏÕÓÅÓ 3.1 ÅéóáãùãÞ Ãéá êüèå ôåôñáãùíéêü ðßíáêá A áíôéóôïé åß Ýíáò ðñáãìáôéêüò áñéèìüò ï ïðïßïò êáëåßôáé ïñßæïõóá êáé óõíþèùò óõìâïëßæåôáé ìå A Þ det(a). ÌåôáèÝóåéò: Ìéá áðåéêüíéóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò.

16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. 55 16. ÌåëÝôç ôùí óõíáñôþóåùí y=çìx, y=óõíx êáé ôùí ìåôáó çìáôéóìþí ôïõò. A ÌÝñïò 1. Íá êáôáóêåõüóåéò óôï Function Probe ôç ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ôçò y=çìx. Óôïí ïñéæüíôéï Üîïíá íá ïñßóåéò êëßìáêá áðü ôï -4ð

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò

ÓÅÉÑÁ FOURIER. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò ÌÜèçìá 13 ÓÅÉÑÁ FOURIER 13.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Ïé ðåñéïäéêýò óõíáñôþóåéò óõíáíôþíôáé óõ íü óå äéüöïñá ðñïâëþìáôá åöáñìïãþí. Ç ðñïóðüèåéá íá åêöñáóôïýí ïé óõíáñôþóåéò áõôýò ìå üñïõò áðëþí ðåñéïäéêþí óõíáñôþóåùí,

Διαβάστε περισσότερα

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ)

ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) 44 ÊåöÜëáéï 4 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 4.1 ÅéóáãùãÞ (ÃåùìåôñéêÞ) Óå äéüöïñåò öõóéêýò åöáñìïãýò õðüñ ïõí ìåãýèç ôá ïðïßá ìðïñïýí íá áñáêôçñéóèïýí ìüíï ìå Ýíá áñéèìü. ÔÝôïéá ìåãýèç, üðùò ãéá ðáñüäåéãìá, ç èåñìïêñáóßá

Διαβάστε περισσότερα

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò

ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò ÄéáêñéôÝò êáé óõíå åßò ôõ áßåò ìåôáâëçôýò ÁóêÞóåéò Áíôþíçò Ïéêïíüìïõ aeconom@math.uoa.gr ÌáÀïõ óêçóç (Ross, Exer. 4.8) Áí E[X] êáé V ar[x] 5 íá âñåßôå. E[( + X) ],. V ar[4 + X]. óêçóç (Ross, Exer. 4.64)

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ

ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 66 ÊåöÜëáéï 3 ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÐÏËËÙÍ ÌÅÔÁÂËÇÔÙÍ 3.1 ÅéóáãùãÞ óôù üôé S åßíáé Ýíá óýíïëï áðü óçìåßá óôïí n äéüóôáôï þñï. Ìéá óõíüñôçóç (ðïõ ïñßæåôáé óôï S) åßíáé ìéá ó Ýóç ç ïðïßá ó åôßæåé êüèå óôïé åßï ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí

Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß êáé Éåñáñ ßá ÓõíáñôÞóåùí Çëßáò Ê. Óôáõñüðïõëïò Ïêôþâñéïò 006 1 Áóõìðôùôéêïß Óõìâïëéóìïß ÎåêéíÜìå äéáôõðþíïíôáò ôïõò ïñéóìïýò ôùí ðýíôå ãíùóôþí áóõìðôùôéêþí óõìâïëéóìþí: Ïñéóìüò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò

ÓÅÉÑÅÓ. ÌÜèçìá Áêïëïõèßåò áñéèìþí Ïñéóìüò áêïëïõèßáò ÌÜèçìá 2 ÓÅÉÑÅÓ 2. Áêïëïõèßåò áñéèìþí Êñßíåôáé óêüðéìï íá äïèåß ðåñéëçðôéêü ðñéí áðü ôç ìåëýôç ôùí óåéñþí ç Ýííïéá ôçò áêïëïõèßáò áñéèìþí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá åêôåíýóôåñç ìåëýôç, ðáñáðýìðåôáé óôç âéâëéïãñáößá

Διαβάστε περισσότερα

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.)

1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) 2. Íá âñåèåß ç ãåíéêþ ëýóç ôçò äéáöïñéêþò åîßóùóçò (15 ìïí.) ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Ìç áíïëïãßáò ÌáèçìáôéêÜ ÉI, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 24/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. Íá ëõèåß ç äéáöïñéêþ åîßóùóç (15 ìïí.) (3x 2 + 6xy 2 )dx + (6x 2 y + 4y 3 )dy = 2. Íá

Διαβάστε περισσότερα

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â

ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â ÐÁÑÁÑÔÇÌÁ Â 464 ÅÊÙÓ 000 - Ó ÏËÉÁ ÓÕÍÈÇÊÇ ÁÌÅÔÁÈÅÔÏÔÇÔÁÓ ÓÕÓÔÇÌÁÔÏÓ ÔÏÉ ÙÌÁÔÙÍ Â.1 ÁÓÕÌÌÅÔÑÏ ÓÕÓÔÇÌÁ Η N / ( 0. + 0.1 η) 0.6 ν ν, η 3, η > 3...

Διαβάστε περισσότερα

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí

ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÇ ËÏÃÉÊÇ Ë1 5ï ðáêýôï áóêþóåùí ñþóôïò ÊïíáîÞò, A.M. 200416 ìðë 30-06-2005 óêçóç 1. óôù R N n ; n 1. ËÝìå üôé ç R åßíáé "áñéèìçôéêþ" áí õðüñ åé ôýðïò ö(x 1 ; : : : ; x n ) ôçò Ã1 èá ôýôïéïò ðïõ

Διαβάστε περισσότερα

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ.

å) Íá âñåßôå ôï äéüóôçìá ðïõ äéáíýåé ôï êéíçôü êáôü ôï ñïíéêü äéüóôçìá áðü ôï ðñþôï Ýùò ôï Ýâäïìï äåõôåñüëåðôï ôçò êßíçóþò ôïõ. ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÁ ÃÅÍÉÊÇÓ ÐÁÉÄÅÉÁÓ Ã ËÕÊÅÉÏÕ È Å Ì Á 1 ï 3 ï Ä É Á Ã Ù Í É Ó Ì Á á êéçôü êéåßôáé ðüù óôï Üîïá x~x. Ç èýóç ôïõ êüèå ñïéêþ óôéãìþ t äßåôáé áðü ôç 3 óõüñôçóç x(t) = t 1t + 60t + 1, üðïõ ôï t ìåôñéýôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí

ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 165 KåöÜëáéï 8 ÓõíáñôÞóåéò ðïëëþí ìåôáâëçôþí 1. Ïñéóìüò êáé óõíý åéá óõíáñôþóåùò ðåñéóóïôýñùí ìåôáâëçôþí * ÌåôñéêÝò óå ìåôñéêïýò þñïõò Åðß ôïõ Rïñßæïõìå ôçí ìåôñéêþ d(, = - 1 1 Åðß ôïõ R ïñßæïõìå ôéò åðüìåíåò

Διαβάστε περισσότερα

Estimation Theory Exercises*

Estimation Theory Exercises* Estimation Theory Exercises* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@math.uoa.gr December 22, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô. ÐáðáúùÜííïõ, ôéò óçìåéþóåéò

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 6: Γραμμική Άλγεβρα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X

Ó ÅÄÉÁÓÌÏÓ - ÊÁÔÁÓÊÅÕÇ ÓÔÏÌÉÙÍ & ÅÉÄÉÊÙÍ ÅÎÁÑÔÇÌÁÔÙÍ ÊËÉÌÁÔÉÓÌÏÕ V X V X A B+24 AEROGRAMÌI Ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò Å öáßíïíôáé óôï ðáñáêüôù ó Þìá. Áíôßóôïé á, ïé äéáóôüóåéò ôùí óôïìßùí ôçò óåéñüò ÂÔ öáßíïíôáé óôï Ó Þìá Å. Ãéá ôïí ðñïóäéïñéóìü ôçò ðáñáããåëßáò

Διαβάστε περισσότερα

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò

Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò 50. Βήµα ο Μαθαίνουµε τις αποδείξεις ã) Ùò ðñïò ôçí áñ Þ ôùí áîüíùí, áí êáé ìüíï áí Ý ïõí áíôßèåôåò óõíôåôáãìýíåò. ÄçëáäÞ: á = á êáé â = â ÂÞìá Ìáèáßíïõìå ôéò áðïäåßîåéò ä) Ùò ðñïò ôç äé ïôüìï ôçò çò êáé

Διαβάστε περισσότερα

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á.

[ ] ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò 1. Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò B êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ A (Á. ÐÁÑÁÑÔÇÌÁÔÁ 76 77 ÐáñÜñôçìá É : Éóüôñïðåò ôáíõóôéêýò óõíáñôþóåéò Ïñéóìüò: Ï óõììåôñéêüò ôáíõóôþò êáëåßôáé éóüôñïðç óõíüñôçóç ôïõ óõììåôñéêïý ôáíõóôþ f( (Á. üôáí ãéá êüèå êáíïíéêü ïñèïãþíéï ôáíõóôþ Q éó

Διαβάστε περισσότερα

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ

3.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò ÐÁÑÁÄÅÉÃÌÁÔÁ - ÅÖÁÑÌÏÃÅÓ .1 Ç Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò 55.1 H Ýííïéá ôçò óõíüñôçóçò Åñþ ôçóç 1 Ôé ëýãåôáé óõíüñôçóç; ÁðÜíôçóç Ç ó Ýóç åêåßíç ðïõ êüèå ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò x, áíôéóôïé ßæåôáé óå ìéá ìüíï ôéìþ ôçò ìåôáâëçôþò y ëýãåôáé

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 3: Πραγματικές Συναρτήσεις Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται

Διαβάστε περισσότερα

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ ÌÜèçìá 3 ÐÑÁÃÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 3.1 Ïñéóìüò êáé ëãåâñá óõíáñôþóåùí 3.1.1 Ïñéóìïß Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ïé êõñéüôåñïé ïñéóìïß êáé èåùñþìáôá ãéá ôéò ðñáãìáôéêýò óõíáñôþóåéò ìéáò ðñáãìáôéêþò ìåôáâëçôþò,

Διαβάστε περισσότερα

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá.

Ðñïêýðôïõí ôá ðáñáêüôù äéáãñüììáôá. ÌÅÈÏÄÏËÏÃÉÁ Ãéá Ýíá óþìá ðïõ åêôåëåß åõèýãñáììç ïìáëü ìåôáâáëëüìåíç êßíçóç éó ýïõí ïé ôýðïé: õ=õ ï +á. t x=õ. ï t+ át. ÅÜí ôï óþìá îåêéíüåé áðü ôçí çñåìßá, äçëáäþ ç áñ éêþ ôá ýôçôá åßíáé õ ï =0, ôüôå ïé

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ. ÌÜèçìá ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Âáóéêïß ïñéóìïß ÌÜèçìá 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÅéóáãùãéêÝò Ýííïéåò Óôï ìüèçìá áõôü èá äïèïýí ôá êõñéüôåñá óôïé åßá ôùí äéáíõóìüôùí, ðïõ åßíáé áðáñáßôçôá ãéá ôçí êáôáíüçóç ôùí åðüìåíùí ìáèçìüôùí. Ï áíáãíþóôçò, ãéá ìéá ðëçñýóôåñç

Διαβάστε περισσότερα

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ

ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ ÔÏ ÌÁÈÇÌÁ: ÅÉÓÁÃÙÃÇ ÓÔÇÍÁÑÉÈÌÇÔÉÊÇ ÁÍÁËÕÓÇ. ÅðéìïñöùôÞò: Â. Á. ÄÏÕÃÁËÇÓ Åðéìïñöùôéêü Ðñüãñáììá Ãéá ôïõò Åêðáéäåõôéêïýò-Ìáèçìáôéêïýò óôï Ìáèçìáôéêü ôìþìá ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí êáôü ôçí ðåñßïäï Äåêåìâñßïõ 2000-Éïõíßïõ 200 ìå Õðåýèõíï ôïí êáèçãçôþ Ð. ÓôñÜíôæáëï ÅÑÃÁÓÉÁ ÃÉÁ

Διαβάστε περισσότερα

ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé

ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé ÁñéèìçôéêÞ ÁíÜëõóç É - ÓÅÌÖÅ Åñãáóßá 2 ìåóåò êáé åðáíáëçðôéêýò ìýèïäïé Íéêüëáò ÊÜñáëçò Á/Ì : 91442 ÔìÞìá 1ï 28 Óåðôåìâñßïõ, 26 1 ìåóåò ÌÝèïäïé 1.1 Åñþôçìá 1 ñçóéìïðïéþíôáò ôçí gauss.m êáé ôçí herm5.m,

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò

ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò ÌÜèçìá 3ï: ÁíáäñïìéêÝò Åîéóþóåéò Ç åðßëõóç áíáäñïìéêþí åîéóþóåùí åßíáé Ýíá áðïëýôùò áðáñáßôçôï åñãáëåßï ãéá ôçí åýñåóç åêöñüóåùí ðïõ ðåñéãñüöïõí ôçí ðïëõðëïêüôçôá ðïëëþí áëëü êáé âáóéêþí áëãïñßèìùí. Ãåíéêþò,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï

1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï ÊåöÜëáéï 1 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÁ 1.1 ÊáñôåóéáíÝò óõíôåôáãìýíåò óôï 3-äéÜóôáôï þñï óôù ç ôñéüäá (a, b, c). Ôï óýíïëï ôùí ôñéüäùí êáëåßôáé 3-äéÜóôáôïò þñïò êáé óõìâïëßæåôáé ìå IR 3. Åéäéêüôåñá ç ôñéüäá (a, b, c) ïñßæåé

Διαβάστε περισσότερα

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï

1. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï 5. ÐÑÏÏÄÏÉ 7 5. ÁñéèìçôéêÞ ðñüïäïò Á ÏìÜäá. i) ÊÜèå üñïò ðñïêýðôåé áðü ôçí ðñüóèåóç ôïõ óôáèåñïý áñéèìïý 3 óôïí ðñïçãïýìåíï, ïðüôå Ý ïõìå áñéèìçôéêþ ðñüïäï á í ìå ðñþôï üñï á = 7 êáé äéáöïñü ù = 3. Óõíåðþò

Διαβάστε περισσότερα

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT

ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT ÊåöÜëáéï 7 ÓÅÉÑÅÓ TAYLOR ÊÁÉ LAURENT 7. Áêïëïõèßåò ¼ðùò êáé ãéá ôïõò ðñáãìáôéêïýò áñéèìïýò, ìéá (Üðåéñç) áêïëïõèßá ìðïñåß íá èåùñçèåß ùò óõíüñôçóç ìå ðåäßï ïñéóìïý ôïõò èåôéêïýò áêýñáéïõò. ÄçëáäÞ, ìéá

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ

ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ. Εικονογράφηση ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΓΙΑ ΠΑΙΔΙΑ ΝΗΠΙΑΓΩΓΕΙΟΥ ΕΛΕΝΗ ΓΕΡΟΥΛΑΝΟΥ Εικονογράφηση ΛΗΔΑ ΒΑΡΒΑΡΟΥΣΗ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΠΑΔΟΠΟΥΛΟΣ Ï ðéï ìåãüëïò êáé ï ðéï óçìáíôéêüò ðáéäáãùãéêüò êáíüíáò äåí åßíáé ôï íá

Διαβάστε περισσότερα

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ

ÐÉÍÁÊÅÓ ÔÉÌÙÍ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÙÍ ÁÎÉÙÍ ÕÐÏÕÑÃÅÉÏ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ÏÉÊÏÍÏÌÉÊÙÍ ÃÅÍÉÊÇ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÄÇÌÏÓÉÁÓ ÐÅÑÉÏÕÓÉÁÓ & ÅÈÍÉÊÙÍ ÊËÇÑÏÄÏÔÇÌÁÔÙÍ ÄÉÅÕÈÕÍÓÇ ÔÅ ÍÉÊÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ & ÓÔÅÃÁÓÇÓ ÔÌÇÌÁ ÁÍÔÉÊÅÉÌÅÍÉÊÏÕ ÐÑÏÓÄÉÏÑÉÓÌÏÕ ÖÏÑÏËÏÃÇÔÅÁÓ ÁÎÉÁÓ ÁÊÉÍÇÔÙÍ

Διαβάστε περισσότερα

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Συντακτική ανάλυση. Μεταγλωττιστές. (μέρος 3ον) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Συντακτική ανάλυση (μέρος 3ον) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ

Ανώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 13: Ορισμένο Ολοκλήρωμα Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ

Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων. Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ Προτεινόμενα θέματα Πανελλαδικών εξετάσεων Χημεία Θετικής Κατεύθυνσης 2o ΕΛΛΗΝΟΕΚΔΟΤΙΚΗ 1.1. ÓùóôÞ áðüíôçóç åßíáé ç Ä. ΘΕΜΑ 1ο 1.2. ñçóéìïðïéïýìå ôçí êáôáíïìþ ôùí çëåêôñïíßùí óå áôïìéêü ôñï éáêü óýìöùíá

Διαβάστε περισσότερα

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò

Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Óõíå Þ êëüóìáôá & Áöáéñåôéêüò Åõêëåßäåéïò áëãüñéèìïò Áããåëßíá ÂéäÜëç åðéâëýðùí êáèçãçôþò: ÃéÜííçò Ìïó ïâüêçò Q 13 Éïõíßïõ, 2009 ÄïìÞ äéðëùìáôéêþò åñãáóßáò 1o êåö. ÅéóáãùãÞ óôá óõíå Þ êëüóìáôá 2ï êåö. Ëßãç

Διαβάστε περισσότερα

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý

Åîéóþóåéò 1ïõ âáèìïý algevra-a-lykeiou-kef-07-08.qxd 9/8/00 9:00 Page 00 7 Åîéóþóåéò ïõ âáèìïý Ç åîßóùóç áx + â = 0 áx = â (ìå á 0) (ìå á = â = 0) â Ý åé áêñéâþò ìßá ëýóç, ôç x =. á áëçèåýåé ãéá êüèå ðñáãìáôéêü áñéèìü x (ôáõôüôçôá

Διαβάστε περισσότερα

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009

ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêþí ÌÜèçìá: Óôï áóôéêýò Áíåëßîåéò Ðåñßïäïò: ÉáíïõÜñéïò, 2009 Ïíïìáôåðþíõìï : Á.Ì : ÈÝìá 1: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 2: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 3: Âáèìüò [ ] ÈÝìá 4: Âáèìüò [ ] èñïéóìá

Διαβάστε περισσότερα

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí

Cel animation. ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí ÅöáñìïãÝò ðïëõìýóùí Cel animation Ç ôå íéêþ áõôþ óõíßóôáôáé óôçí êáôáóêåõþ ðïëëþí ó åäßùí ðïõ äéáöýñïõí ìåôáîý ôïõò óå óõãêåêñéìýíá óçìåßá. Ôá ó Ýäéá áõôü åíáëëüóóïíôáé ôï Ýíá ìåôü ôï Üëëï äßíïíôáò ôçí

Διαβάστε περισσότερα

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá...

Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá... ÇËÅÊÔÑÉÊÏ ÐÅÄÉÏ Íá èõìçèïýìå ôç èåùñßá....1 Ôé ïíïìüæïõìå çëåêôñéêü ðåäßï; Çëåêôñéêü ðåäßï ïíïìüæïõìå ôïí þñï ìýóá óôïí ïðïßï áí âñåèåß Ýíá çëåêôñéêü öïñôßï èá äå èåß äýíáìç. Ãéá íá åîåôüóïõìå áí óå êüðïéï

Διαβάστε περισσότερα

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

3524 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 3523 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 252 28 Öåâñïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 19306/Ã2 ÐñïãñÜììáôá Óðïõäþí Ôå íéêþí Åðáããåëìáôéêþí Åêðáéäåõôçñßùí (Ô.Å.Å.).

Διαβάστε περισσότερα

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá

ιαδικασία åãêáôüóôáóçò MS SQL Server, SingularLogic Accountant, SingularLogic Accountant Ìéóèïäïóßá 1.1 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí Express Ýêäïóç ôïõ SQL Server... 3 1.2 ÃåíéêÝò ðëçñïöïñßåò ãéá ôçí åãêáôüóôáóç... 3 2.1 ÅãêáôÜóôáóç Microsoft SQL Server 2008R2 Express Edition... 4 2.1 Åíåñãïðïßçóç ôïõ

Διαβάστε περισσότερα

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç

10. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç 0. ÃÑÁÖÉÊÅÓ ÐÁÑÁÓÔÁÓÅÉÓ 0. Ðùò êáôáóêåõüæïõìå ìéá ãñáöéêþ ðáñüóôáóç ÊáôÜ ôç ìåëýôç åíüò öáéíïìýíïõ óôï åñãáóôþñéï êáôáãñüöïõìå ôá áðïôåëýóìáôá ôùí ðáñáôçñþóåùí êáé ôùí ìåôñþóåþí ìáò óå ðßíáêåò. Ïé ðßíáêåò

Διαβάστε περισσότερα

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí

B i o f l o n. Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí B i o f l o n Ãéá åöáñìïãýò ìåôáöïñüò çìéêþí Ç åôáéñåßá Aflex, ç ïðïßá éäñýèçêå ôï 1973, Þôáí ç ðñþôç ðïõ ó åäßáóå ôïí åýêáìðôï óùëþíá PTFE ãéá ôç ìåôáöïñü çìéêþí õãñþí ðñßí áðü 35 ñüíéá. Ï åëéêïåéäþò

Διαβάστε περισσότερα

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò

ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò ÊåöÜëáéï 1 ÐñïêáôáñêôéêÝò ÌáèçìáôéêÝò ííïéåò 1.1 Äéáíýóìáôá Áò èõìçèïýìå ëïéðüí îáíü ôçí Ýííïéá ôïõ äéáíýóìáôïò. Áðü ôï Ëýêåéï ãíùñßæïõìå üôé ôï äéüíõóìá åßíáé ìéá ðïóüôçôá ðïõ Ý åé ìýôñï, äéåýèõíóç êáé

Διαβάστε περισσότερα

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ

ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 30 ÊåöÜëáéï 2 ÄÉÁÍÕÓÌÁÔÉÊÅÓ ÓÕÍÁÑÔÇÓÅÉÓ 2.1 ÅéóáãùãÞ ¼ðùò êáé óôïí IR 2, Ýôóé êáé óôïí IR 3 ìðïñïýìå íá ïñßóïõìå ìéá êáìðýëç ðáñáìåôñéêü. ÄçëáäÞ, íá Ý åé ôç ìïñöþ x = x(t), y = y(t), z = z(t), üðïõ t åßíáé

Διαβάστε περισσότερα

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí

6 s(s 1)(s 3) = A s + B. 3. Íá âñåèåß ï ìåô/ìüò Laplace ôùí ðáñáêüôù óõíáñôþóåùí ÔÅÉ ËÜñéóáò, ÔìÞìá Çëåêôñïëïãßáò ÅöáñìïóìÝíá ÌáèçìáôéêÜ, ÅîÝôáóç Ðåñéüäïõ Éïõíßïõ 22/6/21 ÄéäÜóêùí: Á éëëýáò Óõíåöáêüðïõëïò 1. (i Õðïëïãßóôå ôçí óåéñü Fourier S f (x ôçò óõíáñôþóåùò (18 ìïí. { ; < x f(x

Διαβάστε περισσότερα

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò

4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò 4.5 ÁóêÞóåéò çìéêþò éóïññïðßáò ìå åðßäñáóç óôç èýóç éóïññïðßáò Óôéò áóêþóåéò ìå åðßäñáóç óôç èýóç ìéáò éóïññïðßáò ãßíåôáé áíáöïñü óå ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá èýóåéò éóïññïðßáò. Ïé èýóåéò éóïññïðßáò åßíáé äéáäï

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ. 27 Μαΐου (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΚΥΠΡΟΥ ΜΑΣ 121- ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 27 Μαΐου 2002 (Εαρινό εξάμηνο 2002) ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΑΡ ΦΟΙΤΗΤΙΚΗΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΟΣ ΚΑΝΟΝΕΣ ΔΙΕΞΑΓΩΓΗΣ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΣ

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç

1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç 7 1.1 Ïé öõóéêïß áñéèìïß - ÄéÜôáîç öõóéêþí, Óôñïããõëïðïßçóç Åñþ ôçóç 1 Ðïéïé áñéèìïß ïíïìüæïíôáé öõóéêïß; Ðþò ôïõò óõìâïëßæïõìå êáé ðþò ùñßæïíôáé;

Διαβάστε περισσότερα

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ

Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ ÔÏ ÅÑÃÏ ÓÕà ÑÇÌÁÔÏÄÏÔÅÉÔÁÉ ÁÐÏ ÔÏ ÅÕÑÙÐÁÉÊÏ ÊÏÉÍÙÍÉÊÏ ÔÁÌÅÉÏ ÊÁÉ ÁÐÏ ÅÈÍÉÊÏÕÓ ÐÏÑÏÕÓ Áíáìüñöùóç ôïõ ÐñïãñÜììáôïò Ðñïðôõ éáêþí Óðïõäþí ôïõ ÔìÞìáôïò Ìáèçìáôéêþí ôïõ Ðáíåðéóôçìßïõ Áèçíþí ìå Ýìöáóç óôçí ÐëçñïöïñéêÞ,

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις.

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Μαθηματική Λογική. Αναδρομικές Συναρτήσεις. Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μαθηματική Λογική Αναδρομικές Συναρτήσεις Γεώργιος Κολέτσος Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò

ÐïëëÝò åôáéñßåò ðñïóöýñïõí õðçñåóßåò Ferral Ferral Της Πηνελόπης Λεονταρά Σήμανση CE: Πως γίνεται ο έλεγχος της παραγωγικής Ï êáèïñéóìüò ôïõ åëýã ïõ ðáñáãùãþò óå Ýíá êáôáóêåõáóôéêü óýìöùíá ìå ôéò ôå íéêýò ðñïäéáãñáöýò ãéá ôá êïõöþìáôá, óôçí

Διαβάστε περισσότερα

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ.

ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÓÔÏÕÓ ÌÉÃÁÄÉÊÏÕÓ ÁÑÉÈÌÏÕÓ. ÄçìÞôñçò Ðáíáãüðïõëïò ÂáóéêÝò éäéüôçôåò - óõíáñôþóåéò - ôïðïëïãßá. ÅéóáãùãÞ óôïõò ìéãáäéêïýò óêçóç.. Íá ãñáöïýí óôç ìïñöþ a + bi ìå a; b R ïé áñéèìïß: (3 + 3i) + (4

Διαβάστε περισσότερα

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò

Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò Èåùñßá ÃñáöçìÜôùí: Óýíïëá Áíåîáñôçóßáò, Óýíïëá ÊÜëõøçò, êáé ñùìáôéêüò Áñéèìüò ÄçìÞôñçò ÖùôÜêçò ÔìÞìá Ìç áíéêþí Ðëçñïöïñéáêþí êáé Åðéêïéíùíéáêþí ÓõóôçìÜôùí ÐáíåðéóôÞìéï Áéãáßïõ, 83200 Êáñëüâáóé, ÓÜìïò Email:

Διαβάστε περισσότερα

J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815

J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815 J-Y(St)Y Ôçëåöùíéêü êáëþäéï åóùôåñéêïý þñïõ ìå èùñüêéóç êáôü VDE 0815 ÅÖÁÑÌÏÃÇ ñçóéìïðïéïýíôáé óå ìüíéìåò åãêáôáóôüóåéò ãéá ôç ìåôüäïóç áíáëïãéêïý Þ øçöéáêïý óþìáôïò. Ôï ðåäßï åöáñìïãþí ôïõò ðåñéëáìâüíåé

Διαβάστε περισσότερα

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò

Üóêçóç 15. ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò ÕëéêÜ - åîáñôþìáôá äéêôýïõ ðåðéåóìýíïõ áýñá êáé ðíåõìáôéêýò óõóêåõýò Óôü ïé ôçò Üóêçóçò äéüñêåéá Üóêçóçò: 6 äéäáêôéêýò þñåò Óôï ôýëïò ôçò Üóêçóçò ïé ìáèçôýò èá åßíáé éêáíïß: é íá áíáãíùñßæïõí ôá åîáñôþìáôá

Διαβάστε περισσότερα

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò

1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò 1ï ÊñéôÞñéï Áîéïëüãçóçò óå üëç ôçí ýëç ÖõóéêÞò. à ôüîç ÊáèçãçôÞò: ¼íïìá: Âáèìüò: ÈÅÌÁ 1ï Åéê. 1 A. -2ìC ç Á êáé +2ìC ç  -1ìC ç Á êáé -1ìC ç  -9ìC ç Á êáé -9ìC ç  D. +1ìC ç Á êáé +1ìC ç  ÅðéëÝîôå ôç

Διαβάστε περισσότερα

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ

ÌÜèçìá 10ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ ÌÜèçìá 0ï: ÁËÃÏÑÉÈÌÏÉ ÄÅÍÄÑÙÍ Ç ðëçèþñá ôùí äåíäñéêþí äïìþí åßíáé ãíùóôþ áðü ôï ìüèçìá ôùí Äïìþí ÄåäïìÝíùí. Óôï ìüèçìá áõôü èá ðñïóåããßóïõìå êáé ðüëé ìåñéêýò äïìýò äýíäñùí ìå óêïðü ìßá ôõðéêüôåñç áíüëõóç

Διαβάστε περισσότερα

Union of Pure and Applied Chemistry).

Union of Pure and Applied Chemistry). .5 Ç ãëþóóá ôçò çìåßáò Ãñáö çìéêþí ôýðùí êáé åéóáãùã óôçí ïíïìáôïëïãßá ôùí áíüñãáíùí åíþóåùí..5.1 ÃåíéêÜ. Ç çìåßá Ý åé ôç äéê ôçò äéåèí ãëþóóá, ç ïðïßá êáèïñßæåôáé áðü êáíüíåò ðïõ Ý ïõí ðñïôáèåß êáé ðñïôåßíïíôáé

Διαβάστε περισσότερα

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ

ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏ ÐÅËÏÐÏÍÍÇÓÏÕ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ ÔÑÉÐÏËÇ ÁÊÁÄÇÌÁÚÊÏ ÅÔÏÓ 2002-2003 ÔÑÉÐÏËÇ ÌÁÈÇÌÁ ÃÑÁÌÌÉÊÇ ÁËÃÅÂÑÁ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÌÅÑÏÓ É ÃÉÙÑÃÏÓ ÐÁÍÏÐÏÕËÏÓ ÌÁÈÇÌÁÔÉÊÏÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ ÃÑÁÌÌÉÊÇÓ ÁËÃÅÂÑÁÓ 1. ÐÉÍÁÊÅÓ 1. Ó åäéüóôå ôçí åéêüíá ôùí ãñáììþí ãéá ôéò äýï åîéóþóåéò,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας.

ΘΕΜΑ: Τροποποίηση κατηγοριών στα εγκεκριµένα ενιαία τιµολόγια εργασιών για έργα οδοποιϊας. ΕΞ. ΕΠΕΙΓΟΝ ΕΓΚΥΚΛΙΟΣ 5 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Αθήνα, 23 Φεβρουαρίου 2005 ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΕ.ΧΩ..Ε. Αρ.Πρωτ. 17α/10/22/ΦΝ 437 ΓΕΝΙΚΗ ΓΡΑΜ. ΗΜΟΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΓΕΝ. /ΝΣΗ ΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΡΟΓ/ΤΟΣ /ΝΣΗ ΝΟΜΟΘΕΤΙΚΟΥ ΣΥΝΤ/ΣΜΟΥ &

Διαβάστε περισσότερα

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ)

6936 ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ (ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ) F ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ 6935 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 432 17 Áðñéëßïõ 2001 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. 91496 Áíþôáôá ¼ñéá ÕðïëåéììÜôùí, MRLs, Öõôïðñïóôáôåõôéêþí Ðñïúüíôùí åðß êáé åíôüò

Διαβάστε περισσότερα

Chi-Square Goodness-of-Fit Test*

Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Chi-Square Goodness-of-Fit Test* Öþôçò ÓéÜííçò ÐáíåðéóôÞìéï Áèçíþí, ÔìÞìá Ìáèçìáôéêü fsiannis@mathuoagr February 6, 2009 * Áðü ôéò óçìåéþóåéò "ÓôáôéóôéêÞ Óõìðåñáóìáôïëïãßá" ôïõ Ô ÐáðáúùÜííïõ êáé ôá âéâëßá

Διαβάστε περισσότερα

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ).

245/Á/1977). 2469/1997 (ÖÅÊ 36/Á/1997). 1484/Â/ ). ÅÖÇÌÅÑÉÓ ÔÇÓ ÊÕÂÅÑÍÇÓÅÙÓ ÔÇÓ ÅËËÇÍÉÊÇÓ ÄÇÌÏÊÑÁÔÉÁÓ F 661 ÔÅÕ ÏÓ ÄÅÕÔÅÑÏ Áñ. Öýëëïõ 72 28 Éáíïõáñßïõ 2002 ÁÐÏÖÁÓÅÉÓ Áñéè. Ä14/48529 ãêñéóç Ôéìïëïãßïõ Åñãáóôçñéáêþí êáé åðß Ôüðïõ Äïêéìþí ôïõ ÊÅÄÅ. OI ÕÐÏÕÑÃÏÉ

Διαβάστε περισσότερα

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ!

Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ΑΞΕΣΟΥΑΡ Ç íýá Ýííïéá ôïõ ýðíïõ! ÅããõÜôáé ôçí áóöüëåéá êáé õãåßá ôïõ ìùñïý êáôü ôç äéüñêåéá ôïõ ýðíïõ! AP 1270638 Õðüóôñùìá Aerosleep, : 61,00 AP 125060 ÊÜëõììá Aerosleep, : 15,30 ÁóöáëÞò, ðüíôá áñêåôüò

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας

Τυπικές Γλώσσες. Μεταγλωττιστές. (μέρος 1ο) Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Μεταγλωττιστές Νίκος Παπασπύου, Κωστής Σαγώνας Τυπικές Γλώσσες (μέρος 1ο) Άδεια Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ

ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ. Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 138 Υπηρεσίες Ιατρικής Πληροφορικής και Τηλεϊατρικής ÌÅÑÏÓ 3 ΥΠΗΡΕΣΙΕΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗΣ ΤΗΣ ΚΛΙΝΙΚΗΣ ΠΡΑΞΗΣ 9 ÂÁÓÉÊÅÓ ÊÁÔÅÕÈÕÍÓÅÉÓ 10 ÌÏÍÔÅËÏ ÁÐÏÔÉÌÇÓÇÓ ÔÙÍ ÁÐÁÉÔÇÓÅÙÍ 11 ÔÏÌÅÉÓ ÅÖÁÑÌÏÃÇÓ ÔÙÍ ÕÐÇÑÅÓÉÙÍ 139

Διαβάστε περισσότερα