EFFECTIVE PROGRAMMING, COMPUTATIONAL STUDY AND INTERNET VISUALIZATION OF NETWORK PROGRAMMING PROBLEMS ALGORITHMS. By Charalampos Papamanthou

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "EFFECTIVE PROGRAMMING, COMPUTATIONAL STUDY AND INTERNET VISUALIZATION OF NETWORK PROGRAMMING PROBLEMS ALGORITHMS. By Charalampos Papamanthou"

Transcript

1 EFFECTIVE PROGRAMMING, COMPUTATIONAL STUDY AND INTERNET VISUALIZATION OF NETWORK PROGRAMMING PROBLEMS ALGORITHMS By Charalampos Papamanthou SUBMITTED IN PARTIAL FULFILLMENT OF THE REQUIREMENTS FOR THE DEGREE OF BACHELOR OF SCIENCE AT UNIVERSITY OF MACEDONIA THESSALONIKI, GREECE JUNE

2 Αποτελεσµατικός Προγραµµατισµός, Υπολογιστική Μελέτη και Παρουσίαση στο ιαδίκτυο Αλγορίθµων Προβληµάτων ικτυακού Προγραµµατισµού ΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΤΟΥ ΦΟΙΤΗΤΗ Χαράλαµπου Ιωάννη Παπαµάνθου Εξεταστική Επιτροπή Κωνσταντίνος Παπαρρίζος Επιβλέπων Καθηγητής Καθηγητής Τµήµατος Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Νικόλαος Σαµαράς Λέκτορας Τµήµατος Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας Ιωάννης Ρεφανίδης Λέκτορας Τµήµατος Εφαρµοσµένης Πληροφορικής Πανεπιστηµίου Μακεδονίας ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ ΙΟΥΝΙΟΣ

3 ii Computer Science is no more about computers than astronomy is about telescopes. E. W. Dkstra

4 iii ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Ιδιαίτερες ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στον καθηγητή του τµήµατος και επιβλέποντα της διπλωµατικής εργασίας κύριο Κωνσταντίνο Παπαρρίζο για την εκπόνηση του τόσο ενδιαφέροντος θέµατος, την αµέριστη συµπαράσταση και άριστη επιστηµονική καθοδήγηση καθώς και για την αποδοτικότατη συνεργασία που αναπτύξαµε καθ όλη τη διάρκεια εκπόνησης της διπλωµατικής εργασίας. Θερµές ευχαριστίες θα ήθελα να εκφράσω στον λέκτορα του τµήµατος και µέλος της τριµελούς εξεταστικής επιτροπής κύριο Νικόλαο Σαµαρά για την µεγάλη του συνεισφορά στην διεξαγωγή της υπολογιστικής µελέτης καθώς και για τις πολύ σηµαντικές και εύστοχες παρατηρήσεις του σε θεωρητικά και προγραµµατιστικά θέµατα. Επίσης, ευχαριστώ τον λέκτορα του τµήµατος και µέλος της τριµελούς εξεταστικής επιτροπής κύριο Ιωάννη Ρεφανίδη για τα σχόλια και τις διορθώσεις του καθώς και τους υποψήφιους διδάκτορες Άγγελο Σιφαλέρα, Κωνσταντίνο όσιο και Παναγιώτη Καραγιάννη για την υποστήριξη και το ενδιαφέρον τους. Τέλος, θα ήθελα να ευχαριστήσω το προσωπικό του κέντρου Υπολογιστών του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας για τη βοήθειά τους στο πρωταρχικό στάδιο διεκπεραίωσης της υπολογιστικής µελέτης. Θεσσαλονίκη, Ιούνιος Χαράλαµπος Ι. Παπαµάνθου

5 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο : Εισαγωγικές Έννοιες. Εισαγωγή 8. Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφηµάτων 9. Ορισµοί Προβληµάτων και Μαθηµατικό Υπόβαθρο 6.4 Αναφορές Κεφάλαιο : Ο Πρωτεύων Αλγόριθµος Simplex. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Μεταφοράς.. Υπολογισµός ενός Εφικτού έντρου Ξεκινήµατος.. Περιγραφή του Αλγορίθµου.. Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου..4 Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 4. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Αντιστοίχησης 5.. Υπολογισµός ενός Εφικτού έντρου Ξεκινήµατος 5.. Περιγραφή του Αλγορίθµου 54.. Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 6. Αναφορές 67 Κεφάλαιο : Ο ενδρικός Αλγόριθµος Παπαρρίζου (ξεκίνηµα µε δέντρο Balinski). Εφαρµογή στο Πρόβληµα Μεταφοράς 69.. Περιγραφή του έντρου Balinski για το Πρόβληµα Μεταφοράς 69.. Περιγραφή του Αλγορίθµου 7.. Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου 7..4 Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 77. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Αντιστοίχησης 84.. Περιγραφή του έντρου Balinski για το Πρόβληµα Αντιστοίχησης 84.. Περιγραφή του Αλγορίθµου 86.. Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 9. Αναφορές 94

6 v Κεφάλαιο 4: Ο Αλγόριθµος Παπαρρίζου (ξεκίνηµα µε δάσος ΑΚP) 4. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Μεταφοράς Περιγραφή του άσους AKP για το πρόβληµα Μεταφοράς Περιγραφή του Αλγορίθµου Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου 4..4 Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 6 4. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Αντιστοίχησης 4.. Περιγραφή του άσους AKP για το πρόβληµα Αντιστοίχησης 4.. Περιγραφή του Αλγορίθµου 4.. Η Πολυπλοκότητα του Αλγορίθµου Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 4. Αναφορές 4 Κεφάλαιο 5: Ο Αλγόριθµος Παπαρρίζου (ξεκίνηµα µε δάσος απλού ξεκινήµατος) 5. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Μεταφοράς Περιγραφή του άσους Απλού Ξεκινήµατος για το πρόβληµα Μεταφοράς Περιγραφή του Αλγορίθµου Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 5. Εφαρµογή στο Πρόβληµα Αντιστοίχησης 5.. Περιγραφή του άσους Απλού Ξεκινήµατος για το πρόβληµα Αντιστοίχησης 5.. Περιγραφή του Αλγορίθµου Βηµατική Περιγραφή του Αλγορίθµου Προγραµµατισµός του Αλγορίθµου 4 5. Αναφορές 4 Κεφάλαιο 6: Υπολογιστική Μελέτη 6. Εισαγωγή Προγραµµατιστική Εµπειρία Οι κλάσεις των δεδοµένων Οι κλάσεις στο πρόβληµα Μεταφοράς Οι κλάσεις στο πρόβληµα Αντιστοίχησης Υπολογιστικά Αποτελέσµατα 48

7 vi 6.4. Αποτελέσµατα στο πρόβληµα Μεταφοράς Αποτελέσµατα στο πρόβληµα Αντιστοίχησης Βασικά Συµπεράσµατα Υπολογιστικής Μελέτης Αναφορές 8 Κεφάλαιο 7: Οπτικοποίηση Αλγορίθµων 7. Εισαγωγή 8 7. Παρουσίαση του Λογισµικού Η Φόρµα Ελέγχου εδοµένων Η Τεχνική Σχεδίασης Αναφορές 98 Κεφάλαιο 8: Συµπεράσµατα 8. Σχολιασµός Θεωρητικών Αποτελεσµάτων 8. Σχολιασµός Προγραµµατιστικής Εµπειρίας 8. Σχολιασµός Υπολογιστικών Αποτελεσµάτων 8.. Πρόβληµα Μεταφοράς 8.. Πρόβληµα Αντιστοίχησης 8.4 Μελλοντική Εργασία

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓIKEΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

9 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στα πλαίσια των µαθηµάτων Θεωρίας Αλγορίθµων, ικτυακού και Μαθηµατικού Προγραµµατισµού που διδάσκονται στο Tµήµα Εφαρµοσµένης Πληροφορικής του Πανεπιστηµίου Μακεδονίας, µου ανατέθηκε κατά το Z εξάµηνο σπουδών από τον καθηγητή κύριο Κωνσταντίνο Παπαρρίζο η συγγραφή διπλωµατικής εργασίας µε θέµα «Αποτελεσµατικός Προγραµµατισµός, Υπολογιστική Μελέτη και Παρουσίαση στο ιαδίκτυο Αλγορίθµων Προβληµάτων ικτυακού Προγραµµατισµού». Ο ικτυακός Προγραµµατισµός αποτελεί ένα επιστηµονικό πεδίο που υπάγεται στις εφαρµογές του Γραµµικού Προγραµατισµού. Ασχολείται µε προβλήµατα βελτιστοποίησης που βρίσκουν εφαρµογή σε δίκτυα ή κατευθυνόµενα γραφήµατα. Τρία από τα σηµαντικότερα προβλήµατα που επιλύει ο ικτυακός Προγραµµατισµός είναι το Πρόβληµα Ροής Ελαχίστου Κόστους (The Minimum Cost Network Flow Problem), το Πρόβληµα Της Μεταφοράς (The Transportation Problem) και το Πρόβληµα της Αντιστοίχησης (Τhe Assignment Problem). Οι αλγόριθµοι που αναπτύχθηκαν και αναπτύσσονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων οφείλουν την ραγδαία ανάπτυξη τους στην αυξανόµενη υπολογιστική ισχύ που προσφέρει η ανάπτυξη της Επιστήµης των Υπολογιστών και της Τεχνολογίας. Συνεπώς, εύκολα µπορεί να εξαχθεί το συµπέρασµα ότι ο ικτυακός Προγραµµατισµός αποτελεί ένα σηµαντικό πεδίο έρευνας και εφαρµογής στο χώρο των Υπολογιστών και της Πληροφορικής. Οι αλγόριθµοι επίλυσης αυτών των προβληµάτων συνδέονται µεταξύ τους σε µεγάλο βαθµό. Ειδικότερα, µπορούµε να πούµε ότι οι αλγόριθµοι που επιλύουν τα προβλήµατα Αντιστοίχησης και Μεταφοράς αποτελούν εξειδίκευση των αλγορίθµων που επιλύουν το πρόβληµα ροής ελαχίστου κόστους. Η εξειδίκευση αυτή πραγµατοποιείται για την επίτευξη καλύτερων υπολογιστικών αποδόσεων κατά τη διάρκεια επίλυσης των συγκεκριµένων προβληµάτων. Στη διπλωµατική εργασία που ακολουθεί θα αναφερθούµε εκτενώς στα δύο τελευταία προβλήµατα και θα παρουσιάσουµε τους διάφορους αλγορίθµους που έχουν αναπτυχθεί για την επίλυση τους. Παράλληλα, θα παρουσιασθεί και µία υπολογιστική µελέτη, τόσο θεωρητική, εφαρµόζόντας τη µαθηµατική θεωρία Ανάλυσης Αλγορίθµων και υπολογίζοντας την πολυπλοκότητα µερικών αλγορίθµων, όσο και εµπειρική, που προκύπτει από την εκτέλεση των αλγορίθµων αυτών σε ένα υπολογιστικό σύστηµα, έτσι ώστε να επιτευχθεί µια ανάλυση και σύγκριση της επίδοσης τους για διαφορετικά µεγέθη προβλήµατος και διαφορετικά είδη δεδοµένων. Γενικά, τα προβλήµατα µε τα οποία ασχολείται ο ικτυακός Προγραµµατισµός είναι ΝP hard προβλήµατα. ηλαδή ανήκουν σε µια κλάση προβληµάτων, των οποίων η επίλυση απαιτεί αυξανόµενη υπολογιστική ισχύ. Για αυξανόµενα µεγέθη προβλήµατος, ο χρόνος επίλυσης παύει πλέον πρακτικά να εξαρτάται από τη τεχνολογία και την υπολογιστική ισχύ που διαθέτουµε και η παραγωγή µιας λύσης αποτελεί µια ιδιαίτερα χρονοβόρα διαδικασία. Όσον αφορά το προγραµµατιστικό µέρος της εργασίας θα πρέπει να επισηµάνουµε τα εξής: Οι αλγόριθµοι που θα εξεταστούν αρχικά προγραµµατίστηκαν σε Matlab 6, που αποτελεί ένα εξαιρετικά ευέλικτο εργαλείο δοµηµένου προγραµµατισµού, ιδιαίτερα όταν προγραµµατίζονται αλγόριθµοι υψηλής µαθηµατικής δυσκολίας, όπως είναι οι αλγόριθµοι ικτυακού Προγραµµατισµού. Το Matlab παρέχει τη δυνατότητα στον προγραµµατιστή να ελέγχει και να βλέπει τα περιεχόµενα µιας µεταβλητής πολύ γρήγορα, πετυχαίνοντας έτσι µεγάλη ευκολία στην επεξεργασία σύνθετων δοµών δεδοµένων καθώς και στην ανίχνευση λογικών λαθών [SS],[PK]. Τα προγράµµατα αυτά χρησιµοποιήθηκαν για τη διεξαγωγή της εµπειρικής υπολογιστικής µελέτης, αφού το Matlab παρέχει τη δυνατότητα διαχείρισης χρόνου καθώς και ευέλικτα εργαλεία για υπολογιστικές µελέτες και βελτιώσεις (Profiler). Στη συνέχεια, βασιζόµενοι στην ορθότητα των προγραµµάτων του Matlab,

10 9 προγραµµατίσαµε τους αλγορίθµους στην αντικειµενοστραφή γλώσσα Java, εισάγοντας παράλληλα και το οπτικό µέρος των αλγορίθµων, µε αποτέλεσµα να παράγουµε ολοκληρωµένες εφαρµογές που θα µπορούν να εξαχθούν στον παγκόσµιο ιστό ως µικροεφαρµογές (java applets) και να χρησιµοποιηθούν για τη διδασκαλία και την παρουσίαση αυτών των αλγορίθµων [PP], [PPS]. Παρακάτω, θα αναφερθούµε σε θεωρητικές έννοιες που είναι απαραίτητες για την κατανόηση των αλγορίθµων και στον ορισµό των προβληµάτων που θα παρουσιασθούν στην εργασία.. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ.. Ορισµοί και Ιδιότητες Γραφηµάτων Είναι γεγονός, ότι πολλά από τα προβλήµατα της καθηµερινότητας µπορούν να παρασταθούν και να περιγραφούν µε ένα σύνολο σηµείων του επιπέδου, τα οποία συνδέονται µεταξύ τους µε γραµµές. Παραδείγµατος χάριν, ένα οδικό ή ένα σιδηροδροµικό δίκτυο µπορεί να παρασταθεί µε αυτόν τον τρόπο, όσο πολύπλοκο και αν είναι αυτό. Ιδιαίτερα, στο χώρο της Επιστήµης των Υπολογιστών, αυτή η αναπαράσταση βρίσκει συχνά εφαρµογή σε πολλούς τοµείς, όπως τα δίκτυα επικοινωνίας υπολογιστών. Όλα αυτά οδήγησαν στην ανάπτυξη µιας µαθηµατικής θεωρίας που ονοµάστηκε «Θεωρία Γραφηµάτων». Η Θεωρία Γραφηµάτων αποτελεί µια αυστηρή µαθηµατική θεωρία που γνώρισε µεγάλη ανάπτυξη µε την πρόοδο της Πληροφορικής. Το θεµελιώδες στοιχείο της Θεωρίας Γραφηµάτων είναι το γράφηµα. Το γράφηµα ή γράφος (graph) είναι µια δοµή που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών (vertices) ή κόµβων (nodes) και ένα σύνολο ακµών (edges). Γενικά, µπορούµε να πούµε ότι ένα γράφηµα είναι µια διατεταγµένη δυάδα δύο συνόλων N, A,όπου το σύνολο N περιέχει όλες τις κορυφές του γραφήµατος και το σύνολο A περιέχει στοιχεία της µορφής (, i j) όπου i, j N τα οποία αντιπροσωπεύουν τους συνδέσµους µεταξύ των κορυφών του γραφήµατος. Γενικά, συµβολίζουµε ένα γράφηµα µε G = ( N, A) και λέµε ότι αποτελείται από N κορυφές και A ακµές, όπου X ο πληθικός αριθµός του συνόλου X.Στην εικόνα., βλέπουµε τη σχηµατική αναπαράσταση ενός γραφήµατος 9 κόµβων και ακµών Εικόνα. - Ένα γράφηµα 9 κόµβων

11 Εύκολα µπορούµε να καθορίσουµε τα σύνολα N και A που θα αντιστοιχούν στο παραπάνω γράφηµα. Συνεπώς η µαθηµατική αναπαράσταση του παραπάνω γραφήµατος θα είναι G = ( N, A),όπου N = {,,,4,5,6,7,8,9} εκφράζει το σύνολο των κόµβων του γραφήµατος και A = {(,),(,9),(,),(,6),(4,5),(4,9),(5,6),(6,7),(7,8),(8,9),(9,6)} εκφράζει το σύνολο των ακµών του γραφήµατος. Τα γραφήµατα χωρίζονται στα προσανατολισµένα και στα µη προσανατολισµένα γραφήµατα. Εµείς θα ασχοληθούµε µε τα προσανατολισµένα γραφήµατα που αλλιώς ονοµάζονται κατευθυνόµενα γραφήµατα ή δίκτυα. Τα προσανατολισµένα γραφήµατα είναι ειδικές περιπτώσεις των µη προσανατολισµένων γραφηµάτων από τα οποία και προκύπτουν αν αντικαταστήσουµε κάθε ακµή (, i j) ενός µη προσανατολισµένου γραφήµατος µε δύο τόξα (, i j) και ( ji, ).Συνεπώς, συµπεραίνουµε ότι σε ένα προσανατολισµένο γράφηµα G = ( N, A) ισχύει (, i j) ( j,) i (, i j) A. Αν σε κάθε τόξο (, i j) A και σε κάθε κόµβο i N προσαρτήσουµε και έναν πραγµατικό αριθµό c και b αντίστοιχα τότε το κατευθυνόµενο γράφηµα ονοµάζεται δίκτυο(εικόνα.) και µπορεί να αποτελέσει ένα µοντέλο µελέτης πολλών πραγµατικών προβληµάτων, όπως η ροή ηλεκτρικού φορτίου σε ένα κλειστό κύκλωµα ρεύµατος. i Εικόνα. Ένα δίκτυο 5 κόµβων Στη συνέχεια θα προχωρήσουµε σε µερικούς ορισµούς που χρειάζονται στην κατανόηση των προβληµάτων που θα περιγράψουµε και των αλγορίθµων που θα χρησιµοποιήσουµε για την επίλυση των προβληµάτων. Θα λέµε ότι ένα τόξο (, i j) προσπίπτει στους κόµβους i και j και ότι οι κόµβοι i και j προσπίπτουν στο τόξο (, i j).επίσης, ένα γράφηµα ονοµάζεται συνεκτικό(connected) αν για κάθε ζευγάρι κόµβων υπάρχει και µια διαδροµή(path) που να τους συνδέει. Επίσης, αν υπάρχει τουλάχιστον ένας αποµονωµένος κόµβος, τότε ο γράφος ονοµάζεται µη συνεκτικός(unconnected). Στη συνέχεια θα δώσουµε τον ορισµό του βαθµού ενός κόµβου και του πλήρους γραφήµατος. Βαθµός(degree) ενός κόµβου είναι ο αριθµός των τόξων που προσπίπτουν σε αυτόν. Ειδικότερα, ο αριθµός των τόξων που έχουν αρχή έναν κόµβο i ονοµάζεται έξω βαθµός(out degree) του κόµβου i και συµβολίζεται µε d () i και αντιστοίχως ο αριθµός των τόξων που έχουν τέλος τον κόµβο i ονοµάζεται έσω βαθµός του κόµβου αυτού και + συµβολίζεται µε d () i.τέλος, πλήρες γράφηµα ονοµάζεται το γράφηµα εκείνο που περιέχει όλες τις δυνατές ακµές που µπορούν να προκύψουν από τη σύνδεση των κορυφών του. Στη συνέχεια θα περιγράψουµε µεθόδους αποθήκευσης γραφηµάτων.

12 .. Αποθήκευση Γραφηµάτων και ικτύων Έστω έχουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα G = ( N, A). Στη συνέχεια θα περιγράψουµε πώς µπορούµε να αποθηκεύσουµε αυτό το γράφηµα έτσι ώστε να µπορεί να επεξεργασθεί από τον ηλεκτρονικό υπολογιστή. Η πιο συνηθισµένη µέθοδος αποθήκευσης γραφηµάτων είναι η χρησιµοποίηση πινάκων. Οι βασικότερες µέθοδοι αποθήκευσης χρησιµοποιώντας πίνακες είναι δύο: α) Πίνακας Γειτνιάσεως(Adjacency Matrix) O πίνακας γειτνιάσεως είναι ένας N N πίνακας a, τα στοιχεία του οποίου παίρνουν τιµές από το σύνολο {,} και ορίζονται ως εξής:, ( i, j) A ai (, j) =, ( i, j) A ηλαδή ο πίνακας γειτνιάσεως είναι ένας πίνακας του οποίου τα στοιχεία του είναι µονάδες µόνο όταν η γραµµή και η στήλη όπου ανήκουν αποτελούν µια ακµή του γραφήµατος, αλλιώς είναι µηδενικά. Συνεπώς, ο πίνακας γειτνίασης για το δίκτυο του σχήµατος. θα είναι: a = Εύκολα µπορεί να αντιληφθεί κανείς ότι ο συγκεκριµένος τρόπος αποθήκευσης δεν είναι καθόλου οικονοµικός. Αυτό συµβαίνει επειδή τις περισσότερες φορές τα µηδενικά των πινάκων αυτών είναι πάρα πολλά σε σχέση µε τις µονάδες µε αποτέλεσµα να χρησιµοποιείται χώρος αποθήκευσης της τάξεως N όταν η σηµαντική πληροφορία που πρέπει να αποθηκεύσουµε απαιτεί A θέσεις. Συγκεκριµένα, όταν χρησιµοποιούµε πίνακα γειτνίασης για την αποθήκευση µη κατευθυνόµενων γραφηµάτων, αυτός θα είναι συµµετρικός, µε αποτέλεσµα τα στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο να µην χρειάζονται αποθήκευση. Επίσης, πρέπει να επισηµανθεί ότι ο πίνακας γειτνίασης µπορεί µε την ίδια λογική να χρησιµοποιηθεί για την ταυτόχρονη αποθήκευση του γραφήµατος δικτύου και των βαρών που αντιστοιχούν σε κάθε ακµή. Στην περίπτωση αυτή, ο πίνακας που θα αναπαριστάνει το δίκτυο του σχήµατος. θα είναι ο εξής: a = 9 7 Ένας αριθµός δηλαδή σε µία θέση του πίνακα υποδηλώνει την ύπαρξη και το βάρος της αντίστοιχης ακµής του γραφήµατος. H δεύτερη µορφή του πίνακα προσπτώσεως χρησιµοποιείται πολύ πιο συχνά, αφού προσφέρει οικονοµικότερο τρόπο αποθήκευσης των δεδοµένων του προβλήµατος.

13 β. Πίνακας Προσπτώσεως(Indicence Matrix) O πίνακας προσπτώσεως είναι ένας N A πίνακας a τα στοιχεία του οποίου ορίζονται διαφορετικά για κατευθυνόµενα και µη κατευθυνόµενα γραφήµατα. Ειδικότερα, κάθε στήλη του πίνακα προσπτώσεως αντιστοιχεί σε µία ακµή ή ένα τόξο των γραφηµάτων που θέλουµε να αποθηκεύσουµε. Συνεπώς, όταν θέλουµε να αποθηκεύσουµε ένα µη κατευθυνόµενο γράφηµα, χρησιµοποιώντας ένα πίνακα προσπτώσεως a, τότε θα έχουµε:, αν η ακµη j προσπιπτει στην κορυφη i ai (, j) =, διαφορετικα Όταν όµως θέλουµε να αποθηκεύσουµε ένα κατευθυνόµενο γράφηµα χρησιµοποιώντας τον πίνακα προσπτώσεως τότε θα έχουµε:, αν η κορυφη i ειναι αρχη της ακµης j ai (, j) =, αν η κορυφη iειναι τελος της ακµης j, διαφορετικα Λαµβάνοντας υπ όψιν τα παραπάνω η αποθήκευση του δικτύου του σχήµατος. µπορεί να επιτευχθεί χρησιµοποιώντας τον παρακάτω 5 7 πίνακα προσπτώσεως: a =,όπου t = [(,) (, 4) (,5) (, ) (4, ) (4,5) (5,)] είναι το διάνυσµα στο οποίο κρατάµε τη σειρά µε την οποία αποθηκεύονται τα τόξα του γραφήµατος... Πυκνότητα Γραφήµατος Έστω έχουµε ένα γράφηµα G = ( N, A). Μια πολύ σηµαντική ιδιότητα των γραφηµάτων είναι η πυκνότητα του γραφήµατος. Πυκνότητα ενός γραφήµατος ονοµάζεται το πηλίκο του αριθµού των ακµών του γραφήµατος προς τον αριθµό των ακµών του αντίστοιχου πλήρους γραφήµατος. Αν το γράφηµά µας είναι προσανατολισµένο και αποτελείται από n = N κορυφές και e e= A ακµές, η πυκνότητά του θα ισούται µε d =, αφού ( )/ nn ( ) nn είναι το πλήθος των τόξων ενός πλήρους κατευθυνόµενου γραφήµατος n κόµβων, ενώ όταν έχουµε ένα µη e e κατευθυνόµενο γράφηµα θα έχουµε d = =, αφού nn ( ) είναι το πλήθος nn ( ) nn ( ) των τόξων ενός πλήρους µη κατευθυνόµενου γραφήµατος n κόµβων. Εύκολα µπορεί να καταλάβει κανείς ότι η πυκνότητα είναι ένας αριθµός µεταξύ του µηδενός και της µονάδας. Γραφήµατα που έχουν πυκνότητα µεγάλη ονοµάζονται πυκνά (dense), ενώ γραφήµατα µε µικρή πυκνότητα ονοµάζονται αραιά (sparse).η πυκνότητα είναι ένα πολύ σηµαντικό µέγεθος ιδιαίτερα στις υπολογιστικές µελέτες που αφορούν αλγορίθµους θεωρίας Γραφηµάτων και ικτυακού Προγραµµατισµού. Τα αποτελέσµατα δηλαδή των

14 υπολογιστικών µελετών διαφέρουν ανάλογα µε την πυκνότητα του γραφήµατος που χρησιµοποιούµε και µε αποτέλεσµα να βγάζουµε χρήσιµα συµπεράσµατα...4 έντρα..4. Γενικά Τα δέντρα(trees) ανήκουν σε µια πολύ σηµαντική κατηγορία γραφηµάτων. Ένα γράφηµα G µε n κορυφές ονοµάζεται δέντρο εάν και µόνον αν έχει n ακµές και είναι συνεκτικό. Τα δέντρα θα είναι η σηµαντικότερη δοµή δεδοµένων την οποία θα χρησιµοποιούν οι αλγόριθµοι που θα περιγραφούν στην πτυχιακή εργασία. Μία σηµαντική κλάση δέντρων είναι τα ριζωµένα δέντρα(rooted trees), στα οποία ένας κόµβος, που ονοµάζεται ρίζα(root), είναι διακεκριµένος ενώ όλοι οι υπόλοιποι βρίσκονται σε διαδοχικά επίπεδα κάτω από αυτόν. Ένα ριζωµένο δέντρο που αποτελείται από κόµβους φαίνεται στο παρακάτω σχήµα: Εικόνα. - Ένα ριζωµένο δέντρο Στη συνέχεια, όταν θα αναφερόµαστε στη λέξη δέντρο θα υπονοούµε ριζωµένο δέντρο. Επίσης, πρέπει να επισηµανθεί ότι ένα σύνολο από ανεξάρτητα δέντρα ονοµάζεται δάσος(forest).για τα δέντρα χρησιµοποιείται η εξής ορολογία [Lk]: Αν x, y είναι δύο διακεκριµένες κορυφές ενός δέντρου τέτοιες ώστε η x να βρίσκεται στο µοναδικό µονοπάτι µεταξύ της ρίζας και της κορυφής y, τότε η x ονοµάζεται γνήσιος πρόγονος της y και η y ονοµάζεται γνήσιος απόγονος της κορυφής x.αν επιπλέον υπάρχει η ακµή ( x, y ) τότε λέµε ότι πατέρας(father) της κορυφής y είναι η κορυφή x και ότι ένα από τα παιδιά(childs) της κορυφής x είναι η κορυφή y.παραδείγµατος χάριν οι κόµβοι, του σχήµατος. είναι γνήσιοι

15 4 απόγονοι του κόµβου ενώ ο κόµβος είναι το µοναδικό παιδί του κόµβου 7. Σηµειώστε ότι ένας κόµβος µπορεί να έχει µοναδικό πατέρα αλλά περισσότερα από ένα παιδιά. Ο µοναδικός κόµβος που δεν έχει πατέρα αποτελεί τη ρίζα του δέντρου. Όλοι οι κόµβοι που δεν έχουν παιδιά ονοµάζονται τερµατικοί κόµβοι ή φύλλα(leaves) του δέντρου. Οι κόµβοι που βρίσκονται µεταξύ της ρίζας και των φύλλων του δέντρου ονοµάζονται εσωτερικοί κόµβοι(internal nodes). Ένα δέντρο ονοµάζεται k αδικό δέντρο, k =,.. όταν ο µέγιστος αριθµός των παιδιών των κόµβων του είναι k.συνεπώς, το δέντρο στο σχήµα. είναι ένα τετραδικό δέντρο. Ένα δέντρο ονοµάζεται πλήρες k αδικό δέντρο, k =,.. όταν κάθε εσωτερικός κόµβος του, συµπεριλαµβανοµένου της ρίζας έχει ακριβώς k παιδιά. Ένα από τα πιο συνηθισµένα δέντρα στο χώρο της Επιστήµης των Υπολογιστών είναι το δυαδικό δέντρο, το οποίο φαίνεται στο σχήµα.. Βάθος ενός δέντρου h ονοµάζεται το σύνολο των επιπέδων ενός δέντρου ξεκινώντας την αρίθµηση από το. Αποδεικνύεται ότι ένα πλήρες k αδικό δέντρο, k =,.. βάθους h έχει συνολικά h h k κόµβους. Επίσης, αποδεικνύεται ότι για το ύψος h ενός k αδικού i= δέντρου, k =,.. που αποτελείται από n κόµβους θα ισχύει h log k ( n).η ισότητα ισχύει όταν το δέντρο είναι πλήρες Εικόνα. Ένα δυαδικό δέντρο και ένα πλήρες δυαδικό δέντρο..4. Το ιάνυσµα Πατέρα Κόµβου Μια πολύ σηµαντική δοµή δεδοµένων που θα χρησιµοποιήσουµε για την αποθήκευση των δέντρων στους αλγορίθµους που θα περιγράψουµε είναι το διάνυσµα του πατέρα κόµβου p. Το διάνυσµα του πατέρα κόµβου αποτελεί έναν πολύ οικονοµικό και εύχρηστο τρόπο αποθήκευσης και προκύπτει αν στη θέση i του διανύσµατος αποθηκεύσουµε τον

16 5 πατέρα του κόµβου i.εξ ορισµού, αν r είναι η ρίζα του δέντρου, θέτουµε pr () =. Συνεπώς το διάνυσµα πατέρα κόµβου(father node vector) που χρησιµοποιείται για την αποθήκευση του τετραδικού δέντρου του σχήµατος. θα είναι το p = 6 7. [ ]..4. Το ιάνυσµα Βάθους Συχνά είναι πολύ χρήσιµο να χρησιµοποιούµε και ένα διάνυσµα d το οποίο αποθηκεύει το βάθος κάθε κόµβου. Το διάνυσµα αυτό είναι απαραίτητο όπως θα δούµε για την ανανέωση ορισµένων δοµών που χρησιµοποιούν οι αλγόριθµοι που θα περιγράψουµε στη συνέχεια. Μπορεί εύκολα να παραχθεί αναδροµικά, αν θέσουµε dr () = και di () = d( pi ()) +, i r, όπου r η ρίζα του δέντρου και p το διάνυσµα πατέρα κόµβου. Συνεπώς το διάνυσµα d που αντιστοιχεί στο δέντρο του σχήµατος. θα είναι το d =. Εύκολα µπορεί να διαπιστώσει κανείς ότι [ ] το βάθος h του δέντρου συνδέεται µε το διάνυσµα d µε τη σχέση h= max{ d( i)}, i=,..., n,όπου n το πλήθος των κόµβων του δέντρου...4. ιάσχιση έντρων Μια από τις πιο σηµαντικές πράξεις επί των δέντρων µε πάρα πολλές εφαρµογές είναι η διάσχιση τους. ιάσχιση(traversal) δέντρων είναι η διαδικασία εκείνη κατά την οποία οι κόµβοι εξετάζονται µε µια σειρά συστηµατικά έτσι ώστε κάθε κόµβος να επισκέπτεται µόνο µια φορά. Υπάρχουν βασικά είδη διάσχισης ενός δέντρου. Θα παριγράψουµε την εφαρµογή των αναδροµικών αυτών διαδικασιών σε ένα δυαδικό δέντρο γενικής µορφής όπως αυτό που φαίνεται στο σχήµα.4 και µετά θα γενικεύσουµε τη προδιατεταγµένη διάσχιση(preorder traversal) για ένα k αδικό δέντρο, k =,...Στο σχήµα.4 µε T και T συµβολίζουµε τα δυαδικά υπόδεντρα που συνδέονται µε τη ρίζα του δέντρου. r T T Εικόνα.4 Ένα δυαδικό δέντρο γενικής µορφής Τα βασικά είδη διάσχισης όπως ορίζονται για ένα δυαδικό δέντρο µπορούν να περιγραφούν από τις παρακάτω αναδροµικές διαδικασίες: (i)προδιατεταγµένη ιάσχιση(preorder Traversal). Επίσκεψη της ρίζας r. Επίσκεψη του αριστερού υποδέντρου T εφαρµόζοντας προδιατεταγµένη διάσχιση. Επίσκεψη του δεξιού υποδέντρου T εφαρµόζοντας προδιατεταγµένη διάσχιση. (ii)ενδοδιατεταγµένη ιάσχιση(inorder Traversal). Επίσκεψη του αριστερού υπόδεντρου T εφαρµόζοντας ενδοδιατεταγµένη διάσχιση. Επίσκεψη της ρίζας r. Επίσκεψη του δεξιού υποδέντρου T εφαρµόζοντας ενδοδιατεταγµένη διάσχιση. (iii)μεταδιατεταγµένη ιάσχιση(postorder Traversal) Επίσκεψη του αριστερού υπόδεντρου T εφαρµόζοντας ενδοδιατεταγµένη διάσχιση.

17 6 Επίσκεψη του δεξιού υποδέντρου T εφαρµόζοντας ενδοδιατεταγµένη διάσχιση. Επίσκεψη της ρίζας r. Στους αλγορίθµους που θα περιγράψουµε θα χρησιµοποιήσουµε την προδιατεταγµένη διάσχιση δέντρων. Η γενίκευση της προδιατεταγµένης διάσχισης για ένα k αδικό δέντρο, k =,.. όπως αυτό του σχήµατος.5 µπορεί να γίνει χρησιµοποιώντας την παρακάτω r T T T..... Tn Εικόνα.5 Ένα k-αδικό δέντρο γενικής µορφής, n<=k αναδροµική διαδικασία Preorder(T ), όπου T το αρχικό k αδικό δέντρο: Επίσκεψη της ρίζας r. Για κάθε παιδί Ti, i n της ρίζας r εφαρµόζεται προδιατεταγµένη διάταξη, καλώντας την Preorder(Ti ). Η κλήση της διαδικασίας Preorder(T ) θα παράγει το λεγόµενο διάνυσµα της προδιατεταγµένης διάταξης που είναι ένα διάνυσµα που περιλαµβάνει όλους τους κόµβους του δέντρου µε τη σειρά µε την οποία αυτοί επισκέφτηκαν, εφαρµόζοντας προδιατεταγµένη διάσχιση. Συνεπώς το διάνυσµα προδιατεταγµένης διάσχισης που θα αντιστοιχεί στο τετραδικό δέντρο του σχήµατος. θα είναι το: y = [ ] Θεωρητικές έννοιες δέντρων καλύπτονται πλήρως στο βιβλίο του D.E. Knuth [Kn].. ΟΡΙΣΜΟΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΥΠΟΒΑΘΡΟ.. Το Πρόβληµα Μεταφοράς(The Transportation Problem) Ένα από τα κλασικότερα προβλήµατα που λύνει ο ικτυακός Προγραµµατισµός είναι το Πρόβληµα Μεταφοράς. Το Πρόβληµα Μεταφοράς αναφέρεται σε διµερή δίκτυα. ιµερές δίκτυο (bipartite network) G = ( N, A) είναι ένα κατευθυνόµενο γράφηµα του οποίου οι κόµβοι έχουν χωριστεί σε δύο σύνολα και τέτοια ώστε N = N N, N N = N N και (, i j) A i N και j N. Έστω λοιπόν D και S τα δύο σύνολα κόµβων ενός διµερούς γραφήµατος G = ( N, A). Όπως αναφέρθηκε παραπάνω θα είναι N = S D και S D =. Στο Πρόβληµα Μεταφοράς οι κόµβοι του συνόλου S ονοµάζονται κόµβοι προσφοράς(supply nodes) ενώ οι κόµβοι του συνόλου D ονοµάζονται κόµβοι ζήτησης (demand nodes) και όλα τα τόξα του γραφήµατος κατευθύνονται από το S στο D. Σε κάθε κόµβο i του συνόλου S αντιστοιχούµε έναν αριθµό ai () >, που αντιπροσωπεύει την ποσότητα ενός µεγέθους που

18 7 µπορεί να προσφερθεί από τον κόµβο i. Αντιστοίχως, σε κάθε κόµβο j του συνόλου D αντιστοιχούµε έναν αριθµό b( j ) > που αντιστοιχεί στην ποσότητα του ίδιου µεγέθους που απορροφά ο κόµβος j. Επίσης, µε c συµβολίζουµε το κόστος µεταφοράς µιας µονάδας του µεγέθους από τον κόµβο i του συνόλου S στον κόµβο j του συνόλου D. Παράλληλα, µε x συµβολίζουµε τις µονάδες του µεγέθους που µεταφέρονται από τον κόµβο i του συνόλου S στον κόµβο j του συνόλου D. Θεωρούµε ότι το σύνολο S έχει m κόµβους προσφοράς και ότι το σύνολο D έχει n κόµβους ζήτησης. Έτσι, µιλάµε για ένα m n πρόβληµα µεταφοράς. Τέλος, υποθέτουµε ότι υπάρχει ένα τόξο (, i j) για κάθε ζευγάρι κόµβων i, j, δηλαδή έχουµε m n τόξα. Οι αλγόριθµοι που θα παρουσιασθούν λύνουν ισοζυγισµένα προβλήµατα, δηλαδή προβλήµατα στα οποία η προσφορά είναι πάντα ίση µε τη ζήτηση. Συνεπώς, θα ισχύει: ai () = b( j) i S Το Πρόβληµα Μεταφοράς µπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής: «Ζητείται να βρεθεί ένα σχέδιο µεταφοράς ai () µονάδων από τους κόµβους προσφοράς στους κόµβους ζήτησης έτσι ώστε αυτή η µεταφορά να επιτευχθεί µε το ελάχιστο κόστος.». Η µαθηµατική διατύπωση του Προβλήµατος Μεταφοράς είναι η παρακάτω: n min µπ.. x = ai ( ), i S, x = b( j), j D Τα δεδοµένα εισόδου του προβλήµατος είναι ένας m n πίνακας κόστους, ένα m - διάστατο διάνυσµα προσφοράς και ένα n - διάστατο διάνυσµα ζήτησης. Η λύση του προβλήµατος είναι ένας n πίνακας που περιέχει τις µεταβλητές απόφασης x.η γραφική αναπαράσταση ενός 5 7 Προβλήµατος Μεταφοράς φαίνεται στο σχήµα.6: m j D n i= j= cx i S j= i= x, i S, j D m m 8 c Εικόνα.6 Γραφική αναπαράσταση ενός 5x7 Προβλήµατος Μεταφοράς

19 8 Στο σχήµα.6 έχουµε αναπαραστήσει τους κόµβους ζήτησης µε τετράγωνα και τους κόµβους προσφοράς µε κύκλους έτσι ώστε να µπορούµε να τους διακρίνουµε. Οι τιµές δίπλα στους κόµβους του διµερούς γραφήµατος αναφέρονται στις τιµές των στοιχείων των a = 8 7, διανυσµάτων προσφοράς και ζήτησης. Για το σχήµα.6 συνεπώς είναι [ ] b = [ 7 4 ] και τα µοναδιαία κόστη c δίνονται από τη σχέση ai () + b( j) c =, i=.. m, j =.. n. ( i+ j) Λύνοντας το συγκεκριµένο πρόβληµα µε έναν από τους αλγορίθµους που θα περιγράψουµε παίρνουµε βέλτιστη τιµή αντικειµενικής συνάρτησης z = 45.5.Η λύση που παράγει ένας από τους αλγορίθµους που θα εξετάσουµε είναι ο πίνακας: 7 x = Ο παραπάνω πίνακας αντιστοιχεί στο παρακάτω διµερές γράφηµα: Εικόνα.7 Βέλτιστη λύση του προβλήµατος του σχήµατος.7 Αυτό που πρέπει να παρατηρήσουµε στο παραπάνω σχήµα ότι το διµερές γράφηµα της λύσης είναι δέντρο, αφού αποτελείται από = τόξα και είναι συνεκτικό. Αυτή η παρατήρηση είναι πολύ σηµαντική αφού όπως θα δούµε και στη συνέχεια, οι αλγόριθµοι που θα παρουσιάσουµε επεξεργάζονται δέντρα. ηλαδή, ξεκινούν από ένα εφικτό δέντρο που ικανοποιεί τους περιορισµούς του προβλήµατος και σε κάθε επανάληψη κατασκευάζουν δέντρα που αντιστοιχούν σε καλύτερη τιµή αντικειµενικής συνάρτησης. Η οπτική παρουσίαση γίνεται µε ριζωµένα δέντρα έτσι ώστε να µπορούµε να εκµεταλλευτούµε τις ιδιότητες που περιγράψαµε και για να διευκολυνθεί ο προγραµµατισµός των αντίστοιχων αλγορίθµων που θα εξεταστούν. Το αντίστοιχο ριζωµένο δέντρο του σχήµατος.7 είναι το παρακάτω(η ρίζα έχει επιλεγεί αυθαίρετα και η επιλογή αυτή δεν επηρεάζει την ορθότητα των αλγορίθµων.):

20 Εικόνα.8 Το αντίστοιχο ριζωµένο βέλτιστο δέντρο για το διµερές γράφηµα του σχήµατος.8 Εδώ πρέπει να επισηµάνουµε ότι το δέντρο της βέλτιστης λύσης που παράγεται από διαφορετικούς αλγορίθµους που λύνουν το ίδιο πρόβληµα δεν είναι πάντα το ίδιο. Αυτό σηµαίνει ότι ένα διαφορετικός αλγόριθµος από αυτόν που χρησιµοποιήσαµε για να παράγουµε το βέλτιστο δέντρο του σχήµατος.8 θα µπορούσε να παράγει ένα βέλτιστο δέντρο µε τελείως διαφορετική δοµή. Αυτό όµως που δεν αλλάζει είναι η βέλτιστη τιµή της αντικειµενικής συνάρτησης z = c x, όπου T το βέλτιστο δέντρο, η οποία πρέπει να min (, i j) T είναι πάντα η ίδια, ανεξάρτητα από τον αλγόριθµο που χρησιµοποιούµε. Τελειώνοντας µε τον ορισµό του Προβλήµατος Μεταφοράς, θα αναφερθούµε στις συνθήκες βελτιστότητας του προβλήµατος, δηλαδή τις συνθήκες εκείνες που πρέπει να ισχύουν έτσι ώστε το τρέχον δέντρο να είναι βέλτιστο. Αντιστοιχίζουµε σε κάθε κόµβο γραµµή i S τη δυϊκή µεταβλητή u και σε κάθε κόµβο στήλη j D τη δυϊκή µεταβλητή v j. Θέτουµε τώρα: i s = c u v, i=,..., m, j =,..., n i j Το τρέχον δέντρο T είναι βέλτιστο εάν και µόνον αν είναι εφικτό και (, i j) T είναι s... Το Πρόβληµα Αντιστοίχησης (The Assignment Problem) Το Πρόβληµα Αντιστοίχησης ή όπως λέγεται πρόβληµα Ανάθεσης Έργων ή πρόβληµα Εκχώρησης αποτελεί ένα πολύ διαδεδοµένο πρόβληµα στο χώρο της Επιστήµης των Υπολογιστών και της Επιχειρησιακής Έρευνας. Πολλοί αλγόριθµοι αναπτύσσονται συνεχώς για την επίλυσή του. Αποτελεί µια ειδική περίπτωση του προβλήµατος Μεταφοράς από το οποίο προκύπτει θέτοντας m= n και ai ( ) = bi ( ) =, i=,..., n. Ο ακέραιος n αποτελεί το µέγεθος ή τη διάσταση του προβλήµατος που λύνουµε κάθε φορά.

21 Το Πρόβληµα Αντιστοίχησης βρίσκει πολλές εφαρµογές στην καθηµερινή ζωή. Το κλασσικότερο παράδειγµα εφαρµογής του προβλήµατος Αντιστοίχησης είναι η βέλτιστη ανάθεση n έργων σε n εργοδότες εάν µας είναι γνωστά τα κόστη εκτέλεσης: του ου, ου,..., n -οστού έργου από τον εργοδότη του ου, ου,..., n -οστού έργου από τον ο εργοδότη του ου, ου,..., n -οστού έργου από τον n -οστό εργοδότη Ένα παράδειγµα από το χώρο της Επιστήµης των Υπολογιστών αποτελεί η βέλτιστη αξιοποίηση µιας οµάδας n επεξεργαστών (CPU) που απαιτούνται για την ταυτόχρονη λειτουργία n περιφερειακών συσκευών (εκτυπωτών, δίσκων) εάν ξέρουµε ότι η ανάθεση της συσκευής j στον επεξεργαστή i απαιτεί περιφερειακή µνήµη R ΜΒ, i, j n. Παράλληλα, η επίλυση του προβλήµατος Αντιστοίχησης βρίσκει εφαρµογή και στα ίκτυα Ηλεκτρονικών Υπολογιστών όπου προσπαθούµε να βρούµε ένα βέλτιστο τρόπο για να συνδέσουµε συγκεντρωντές(concentrators) µε κόµβους(nodes) ενός δικτύου. Στο Πρόβληµα Αντιστοίχησης χρησιµοποιούµε την ίδια γραφική αναπαράσταση µε το πρόβληµα Μεταφοράς. Συµβολίζουµε µε x τη µεταβλητή απόφασης που αντιστοιχεί στο τόξο (, i j) η οποία είναι ίση µε τη µονάδα, αν το έργο i ανατίθεται στον εργοδότη j, αλλιώς είναι ίση µε το µηδέν.το Πρόβληµα Αντιστοίχησης µπορεί τώρα να διατυπωθεί ως εξής: «Ζητείται να βρεθεί η βέλτιστη ανάθεση n εργασιών αντικειµένων σε n οντότητες αντικείµενα έτσι ώστε το συνολικό κόστος να είναι ελάχιστο.». Η µαθηµατική διατύπωση του Προβλήµατος Αντιστοίχησης είναι η παρακάτω: ο n i= min n n i= j= µπ.. x =, j =,..., n, cx n j= x =, i =,..., n, x, i, j n. Τα δεδοµένα εισόδου του προβλήµατος είναι µόνο ένας n n πίνακας κόστους. Οι συνθήκες βελτιστότητας του προβλήµατος είναι ίδιες µε αυτές του προβλήµατος Μεταφοράς. Εύκολα βέβαια θα µπορούσε κανείς να συµπεράνει ότι το πρόβληµα Αντιστοίχησης µπορεί να λυθεί πολύ εύκολα αν συγκρίνουµε όλα τα πιθανά κόστη που προκύπτουν και επιλέξουµε το µικρότερο. Αν σκεφτεί όµως κάποιος ότι υπάρχουν n! µεταθέσεις n διακεκριµένων αντικειµένων, συµπεραίνουµε ότι το κόστος αυτής της διαδικασίας είναι απαγορευτικό και ως εκ τούτου οδηγούµαστε σε συνδυαστική έκρηξη. Εδώ βασικά είναι το σηµείο που φαίνεται η αξία των αλγορίθµων της συνδυαστικής βελτιστοποίησης, οι οποίοι λύνουν το πρόβληµα σε πολυωνυµικό χρόνο O( n) και όχι σε χρόνο τάξης O( n!). Εκτενή αναφορά σε προβλήµατα και αλγορίθµους συνδυαστικής βελτιστοποίησης γίνεται στο βιβλίο[pst].

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας.

ΠΡΟΛΟΓΟΣ. Θεσσαλονίκη, Μάρτιος 2009. Οι συγγραφείς. Κ. Παπαρρίζος, Ν. Σαμαράς, Α. Σιφαλέρας. ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο «Δικτυακή Βελτιστοποίηση» γράφτηκε με κύριο στόχο να καλύψει τις ανάγκες της διδασκαλίας του μαθήματος «Δικτυακός Προγραμματισμός», που διδάσκεται στο Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής,

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 24: Ειδικές Περιπτώσεις του Προβλήματος Ροής Ελαχίστου Κόστους Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1

m 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1 KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM)

ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΝΑΘΕΣΗΣ Ή ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ Ή ΕΚΧΩΡΗΣΗΣ Ή ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (ASSIGNMENT PROBLEM) Η διαµόρφωση και το µοντέλο του προβλήµατος ανάθεσης (π.χ. εργασιών σε µηχανές ή δραστηριοτήτων σε άτοµα) περιγράφεται στις

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων

ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ. 4.1 Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΩΝ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ 4. Επίλυση Εκφυλισμένων Γραμμικών Προβλημάτων Η περιγραφή του ΔΑΣΕΣ στο προηγούμενο κεφάλαιο έγινε με σκοπό να διευκολυνθούν οι αποδείξεις

Διαβάστε περισσότερα

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation)

Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Προβλήµατα Μεταφορών (Transportation) Μέθοδος Simplex για Προβλήµατα Μεταφοράς Προβλήµατα Εκχώρησης (assignment) Παράδειγµα: Κατανοµή Νερού Η υδατοπροµήθεια µιας περιφέρεια

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex

Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης

Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Χρήστος Τσαγγάρης ΕΕ ΙΠ Τµήµατος Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Αιγαίου Κεφάλαιο 5ο: Εντολές Επανάληψης Η διαδικασία της επανάληψης είναι ιδιαίτερη συχνή, αφού πλήθος προβληµάτων µπορούν να επιλυθούν µε κατάλληλες

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1 Αριθµητικό Σύστηµα! Ορίζει τον τρόπο αναπαράστασης ενός αριθµού µε διακεκριµένα σύµβολα! Ένας αριθµός αναπαρίσταται διαφορετικά σε κάθε σύστηµα,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα 5 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX. 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΙ ΤΥΠΟΥ SIMPLEX 2.1 Βασικές έννοιες - Ορισμοί Ο αλγόριθμος Simplex για τα προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού, βλέπε Dntzig (1963), αποδίδει αρκετά καλά στην πράξη, ιδιαίτερα σε προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΔΙΚΤΥΩΝ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ... 2 1.1.1 Ορισμός και ιδιότητες γραφημάτων... 2 1.1.2 Δέντρα... 7 1.2 ΑΠΟΘΗΚΕΥΣΗ ΓΡΑΦΩΝ ΚΑΙ ΔΙΚΤΥΩΝ... 11 1.2.1 Μήτρα πρόσπτωσης κόμβων τόξων...

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής

ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 ( και ) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Βασικές Ιδιότητες και Διάσχιση Κεφάλαιο 5 (5.1-5.2 και 5.4-5.6) Ε. Μαρκάκης Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Δέντρα Βασικοί ορισµοί Μαθηµατικές ιδιότητες Διάσχιση δέντρων Preorder, postorder,

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι έχουµε δει µέχρι τώρα. Υπογράφηµα Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Πέµπτη, 19/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι έχουµε δει µέχρι τώρα Κατευθυνόµενοι µη κατευθυνόµενοι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών

Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών. Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών Εισαγωγή στην επιστήµη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδοµένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθµών 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Σύστηµα Δύο κυρίαρχα συστήµατα στο χώρο των υπολογιστών Δεκαδικό: Η βάση του συστήµατος

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές

Κ. Ι. ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ. Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. Ιδιότητες & Εφαρµογές Κ Ι ΠΑΠΑΧΡΗΣΤΟΥ Τοµέας Φυσικών Επιστηµών Σχολή Ναυτικών οκίµων ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Ιδιότητες & Εφαρµογές ΠΕΙΡΑΙΑΣ 2013 ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ Έστω 2 2 πίνακας: a b A= c d Όπως γνωρίζουµε, η ορίζουσα του Α είναι ο αριθµός a

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικό Πρόβληµα

Υπολογιστικό Πρόβληµα Υπολογιστικό Πρόβληµα Μετασχηµατισµός δεδοµένων εισόδου σε δεδοµένα εξόδου. Δοµή δεδοµένων εισόδου (έγκυρο στιγµιότυπο). Δοµή και ιδιότητες δεδοµένων εξόδου (απάντηση ή λύση). Τυπικά: διµελής σχέση στις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 21: Δυϊκή Θεωρία, Θεώρημα Συμπληρωματικής Χαλαρότητας και τρόποι χρήσης του Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα

Πρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις σειρές

Σηµειώσεις στις σειρές . ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα

Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Αλγόριθμοι και Πολυπλοκότητα Ροή Δικτύου Δημήτρης Μιχαήλ Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Μοντελοποίηση Δικτύων Μεταφοράς Τα γραφήματα χρησιμοποιούνται συχνά για την μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Πτυχιακή Εξεταστική Ιούλιος 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 09.07.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Ενότητα Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας

Διαβάστε περισσότερα

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων

ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ20 Ε ρ γ α σ ί α 3η Θεωρία Γραφηµάτων ιακριτά Μαθηµατικά και Μαθηµατική Λογική ΠΛΗ Ε ρ γ α σ ί α η Θεωρία Γραφηµάτων Α π α ν τ ή σ ε ι ς Ε ρ ω τ η µ ά τ ω ν Ερώτηµα. Στο παρακάτω γράφηµα µε βάρη, να βρεθεί το µήκος του µικρότερου µονοπατιού

Διαβάστε περισσότερα

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων 4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα

5.1 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Κεφάλαιο 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα 5 Ιδιοτιµές και Ιδιοδιανύσµατα Αν ο A είναι ένας n n πίνακας και το x είναι ένα διάνυσµα στον R n, τότε το Ax είναι και αυτό ένα διάνυσµα στον R n Συνήθως δεν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων

14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14 Εφαρµογές των ολοκληρωµάτων 14.1 Υπολογισµός εµβαδών µε την µέθοδο των παράλληλων διατοµών Θεωρούµε µια ϕραγµένη επίπεδη επιφάνεια A µε οµαλό σύνορο, δηλαδή που περιγράφεται από µια συνεχή συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ ο 2.5 µονάδες ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις 7 Ιανουαρίου 2005 ιάρκεια εξέτασης: 5:00-8:00 Έστω ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος

Εισαγωγή στους Αλγόριθµους. Αλγόριθµοι. Ιστορικά Στοιχεία. Ο πρώτος Αλγόριθµος. Παραδείγµατα Αλγορίθµων. Τι είναι Αλγόριθµος Εισαγωγή στους Αλγόριθµους Αλγόριθµοι Τι είναι αλγόριθµος; Τι µπορεί να υπολογίσει ένας αλγόριθµος; Πως αξιολογείται ένας αλγόριθµος; Παύλος Εφραιµίδης pefraimi@ee.duth.gr Αλγόριθµοι Εισαγωγικές Έννοιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή

Γράφηµα (Graph) Εργαστήριο 10. Εισαγωγή Εργαστήριο 10 Γράφηµα (Graph) Εισαγωγή Στην πληροφορική γράφηµα ονοµάζεται µια δοµή δεδοµένων, που αποτελείται από ένα σύνολο κορυφών ( vertices) (ή κόµβων ( nodes» και ένα σύνολο ακµών ( edges). Ενας

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων

ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Δοµές Δεδοµένων ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ AM: Δοµές Δεδοµένων Εξεταστική Ιανουαρίου 2014 Διδάσκων : Ευάγγελος Μαρκάκης 20.01.2014 ΥΠΟΓΡΑΦΗ ΕΠΟΠΤΗ: Διάρκεια εξέτασης : 2 ώρες και

Διαβάστε περισσότερα

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού

ιατύπωση τυπικής µορφής προβληµάτων Γραµµικού Ο αλγόριθµος είναι αλγεβρική διαδικασία η οποία χρησιµοποιείται για την επίλυση προβληµάτων (προτύπων) Γραµµικού Προγραµµατισµού (ΠΓΠ). Ο αλγόριθµος έχει διάφορες παραλλαγές όπως η πινακοποιηµένη µορφή.

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη Α. Συμβώνης Εθνικο Μετσοβειο Πολυτεχνειο Σχολη Εφαρμοσμενων Μαθηματικων και Φυσικων Επιστημων Τομεασ Μαθηματικων Φεβρουάριος 2016 Α. Συμβώνης (ΕΜΠ) Θεωρία Γραφημάτων 6η Διάλεξη

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα

Επιχειρησιακή Έρευνα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή.

Οι πράξεις που χρειάζονται για την επίλυση αυτών των προβληµάτων (αφού είναι απλές) µπορούν να τεθούν σε µια σειρά και πάρουν µια αλγοριθµική µορφή. Η Αριθµητική Ανάλυση χρησιµοποιεί απλές αριθµητικές πράξεις για την επίλυση σύνθετων µαθηµατικών προβληµάτων. Τις περισσότερες φορές τα προβλήµατα αυτά είναι ή πολύ περίπλοκα ή δεν έχουν ακριβή αναλυτική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης

ΠΛΗ111. Ανοιξη 2005. Μάθηµα 7 ο. έντρο. Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης ΠΛΗ111 οµηµένος Προγραµµατισµός Ανοιξη 2005 Μάθηµα 7 ο έντρο Τµήµα Ηλεκτρονικών Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Πολυτεχνείο Κρήτης έντρο Ορισµός Υλοποίηση µε Πίνακα Υλοποίηση µε είκτες υαδικό έντρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2.

Κεφάλαιο 6. Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Z 4 = 1 και Z 2 Z 2. Κεφάλαιο 6 Πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ταξινοµήσουµε τις πεπερασµένα παραγόµενες αβελιανές οµάδες. Αυτές οι οµάδες είναι από τις λίγες περιπτώσεις οµάδων µε µία συγκεκριµένη

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους.

Μάθηµα 1. Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα. γ R παριστάνει ευθεία και καλείται γραµµική εξίσωση µε δύο αγνώστους. Μάθηµα 1 Κεφάλαιο 1o: Συστήµατα Θεµατικές Ενότητες: A. Συστήµατα Γραµµικών Εξισώσεων B. Συστήµατα 3x3 Α. ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Ορισµοί Κάθε εξίσωση της µορφής α x+β =γ, µε α, β, γ R παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 19: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 7 Οκτωβρίου 00) Η Εργασία χωρίζεται σε µέρη: Το πρώτο Ασκήσεις - περιλαµβάνει

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ( 8 µον.) Η άσκηση αυτή αναφέρεται σε διαιρετότητα και ρίζες πολυωνύµων. a. Να λυθεί η εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΣΧΟΛΗ. Ν. ΟΚΙΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΩΡΙΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΙΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ Σ.Α.Ε. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΑΠΟΚΡΙΣΕΩΝ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Συµπλήρωµα στα παραδείγµατα που υπάρχουν στο Εγχειρίδιο του Μαθήµατος ρ. Α. Μαγουλάς

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν

Επαναληπτικές δοµές. µτ α.τ. Όχι. ! απαγορεύεται µέσα σε µία ΓΙΑ να µεταβάλλουµε τον µετρητή! διότι δεν θα ξέρουµε µετά πόσες επαναλήψεις θα γίνουν Επαναληπτικές δοµές Η λογική των επαναληπτικών διαδικασιών εφαρµόζεται όπου µία ακολουθία εντολών εφαρµόζεται σε ένα σύνολο περιπτώσεων που έχουν κάτι κοινό. Όταν ψάχνουµε θέση για να παρκάρουµε κοντά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c

2 ) d i = 2e 28, i=1. a b c ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΓΡΑΦΩΝ (1) Εστω G απλός γράφος, που έχει 9 κορυφές και άθροισμα βαθμών κορυφών μεγαλύτερο του 7. Αποδείξτε ότι υπάρχει μια κορυφή του G με βαθμό μεγαλύτερο ή ίσο του 4. () Αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων. 22 - Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 19/05/2015 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/21/2015 1 1 5/21/2015 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός

Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Γραμμικός Προγραμματισμός Πανεπιστήμιο Αιγαίου URL: http://www.aegean.gr Γραμμικός Προγραμματισμός Ευστράτιος Ιωαννίδης Πανεπιστήμιο Αιγαίου Τμήμα Μαθηματικών 832 Καρλόβασι Σάμος Copyright Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50

Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και2015 Ιδιοδιανυσµάτων 1 / 50 Αριθµητική Γραµµική Αλγεβρα Κεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ΕΚΠΑ 2 Απριλίου 205 Αριθµητική Γραµµική ΑλγεβραΚεφάλαιο 4. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών 2 Απριλίου και205

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης

ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2. Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων. ηµήτρης Ψούνης ΠΛΗ20 ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΙΑ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ/2 Μάθηµα 5.1: Παραστάσεις Γραφηµάτων ηµήτρης Ψούνης 2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Α. Σκοπός του Μαθήµατος Β.Θεωρία 1. Πίνακας Γειτνίασης 1. Ορισµός για µη κατευθυνόµενα γραφήµατα 2.

Διαβάστε περισσότερα

3 Αναδροµή και Επαγωγή

3 Αναδροµή και Επαγωγή 3 Αναδροµή και Επαγωγή Η ιδέα της µαθηµατικής επαγωγής µπορεί να επεκταθεί και σε άλλες δοµές εκτός από το σύνολο των ϕυσικών N. Η ορθότητα της µαθηµατικής επαγωγής ϐασίζεται όπως ϑα δούµε λίγο αργότερα

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση http://www.di.uoa.gr/ telelis/opt.html Ορέστης Τελέλης telelis@di.uoa.gr Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών Θεωρία Αποφάσεων και Βελτιστοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων

Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων Βασικές Έννοιες Θεωρίας Γραφημάτων ιδάσκοντες: Σ. Ζάχος,. Φωτάκης Επιμέλεια διαφανειών:. Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Γραφήματα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή

Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Δοµές Δεδοµένων και Αλγόριθµοι - Εισαγωγή Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής επιµέρους θέµατα: Εισαγωγή στις έννοιες Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα, Οργάνωση Δεδοµένων και Δοµές Δεδοµένων Χρήσιµοι µαθηµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008

Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008 Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους

Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Επίλυση Προβληµάτων µε Greedy Αλγόριθµους Περίληψη Επίλυση προβληµάτων χρησιµοποιώντας Greedy Αλγόριθµους Ελάχιστα Δέντρα Επικάλυψης Αλγόριθµος του Prim Αλγόριθµος του Kruskal Πρόβληµα Ελάχιστης Απόστασης

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Θεωρία γράφων / γραφήµατα. Τι είναι οι γράφοι; Εφαρµογές των γράφων Γράφοι HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Θεωρία γράφων / γραφήµατα Τρίτη, 17/05/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr 5/22/2016 1 1 5/22/2016 2 2 Τι είναι οι γράφοι; Mία ειδική κλάση διακριτών δοµών (που

Διαβάστε περισσότερα

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων

Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Αλγόριθµοι Γραφηµάτων Παύλος Σπυράκης Πανεπιστήµιο Πατρών Τοµέας Θεµελιώσεων και Εφαρµογών της Επιστήµης των Υπολογιστών Ερευνητικό Ακαδηµαϊκό Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών Γραφήµατα Μοντελοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)

ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα

Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Υπολογιστική Πολυπλοκότητα ημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Υπολογιστική Πολυπλοκότητα Γιατί κάποια (επιλύσιμα) προβλήματα είναι δύσκολο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών

Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών Εισαγωγή στην Επιστήμη των Υπολογιστών 4 ο εξάμηνο ΣΗΜΜΥ 4 η ενότητα: Γράφοι: προβλήματα και αλγόριθμοι Επιμέλεια διαφανειών: Στάθης Ζάχος, Άρης Παγουρτζής, Δημήτρης Φωτάκης Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες

Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Σχέσεις, Ιδιότητες, Κλειστότητες Ορέστης Τελέλης telelis@unipi.gr Τµήµα Ψηφιακών Συστηµάτων, Πανεπιστήµιο Πειραιώς Ο. Τελέλης Πανεπιστήµιο Πειραιώς Σχέσεις 1 / 26 Εισαγωγή & Ορισµοί ιµελής Σχέση R από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση

Κεφάλαιο 4ο: Δικτυωτή Ανάλυση Κεφάλαιο ο: Δικτυωτή Ανάλυση. Εισαγωγή Η δικτυωτή ανάλυση έχει παίξει σημαντικό ρόλο στην Ηλεκτρολογία. Όμως, ορισμένες έννοιες και τεχνικές της δικτυωτής ανάλυσης είναι πολύ χρήσιμες και σε άλλες επιστήμες.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ: QUIZ ΔΟΜΕΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ (Οι ερωτήσεις µε κίτρινη υπογράµµιση είναι εκτός ύλης για φέτος) ΕΙΣΑΓΩΓΗ Q1. Οι Πρωταρχικοί τύποι (primitive types) στη Java 1. Είναι όλοι οι ακέραιοι και όλοι οι πραγµατικοί

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ ΘΕΜΑ 1 ο (2,5 µονάδες) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΚΑΙ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΙΚΤΥΑ Τελικές εξετάσεις Πέµπτη 19 Ιουνίου 2008 11:00-14:00 Έστω το παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone

ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone ΠροσδιορισµόςΒέλτιστης Λύσης στα Προβλήµατα Μεταφοράς Η µέθοδος Stepping Stone Hµέθοδος Stepping Stoneείναι µία επαναληπτική διαδικασία για τον προσδιορισµό της βέλτιστης λύσης σε ένα πρόβληµα µεταφοράς.

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος;

Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Είναι το ηλεκτρικό ρεύµα διανυσµατικό µέγεθος; Για να εξετάσουµε το κύκλωµα LC µε διδακτική συνέπεια νοµίζω ότι θα πρέπει να τηρήσουµε τους ορισµούς που δώσαµε στα παιδιά στη Β Λυκείου. Ας ξεκινήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ

Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα...

HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Παράδειγµα. Από τα συµπεράσµατα στις υποθέσεις Αποδείξεις - Θεωρία συνόλων. Από τις υποθέσεις στα συµπεράσµατα... HY118- ιακριτά Μαθηµατικά Παρασκευή, 11/03/2016 Αντώνης Α. Αργυρός e-mail: argyros@csd.uoc.gr Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen 3/15/2016

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα:

Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: υναµικός Προγραµµατισµός Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε υναµικό Προγραµµατισµό Το πρόβληµα του πολλαπλασιασµού πινάκων ΕΠΛ 3 Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 3- υναµικός

Διαβάστε περισσότερα