Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourier μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης.

Transcript

1 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Υπολογίζουμε εύκολα τον αντίστροφο Μετασχηματισμό Fourir μιας συνάρτησης χωρίς να καταφεύγουμε στην εξίσωση ανάλυσης. Υπολογίζουμε εύκολα την απόκριση συχνότητας ενός ΓΧΑ συστήματος από τη διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο και την έξοδο του συστήματος. Υπολογίζουμε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος του οποίου έχουμε προσδιορίσει, με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης, το Μετασχηματισμό Fourir της. Εξηγήσουμε έννοιες όπως ιδανικό κατωπερατό φίλτρο ή χαμηλοπερατό, ζωνοπερατό και υψηπερατό, χρονική σταθερά, ζώνη διέλευσης και συχνότητα αποκοπής. Περιγράψουμε τι είναι διαγράμματα Bod και εξηγήσουμε έννοιες όπως dcil και σημείο -3dB.

2 ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ X H Y Το σήμα εισόδου,, και το σήμα εξόδου, y, ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέονται με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης. Τα σήματα εισόδου-εξόδου συσχετίζονται με τη διαφορική εξίσωσης. N h Ένα γραμμικό χρονικά αναλλοίωτο σύστημα περιγράφεται πλήρως από την κρουστική του απόκριση h. y h y k d y M d k k k k d d k k k y h d h d Το θεώρημα της Συνέλιξης. y h F Y H X Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

3 Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας Hω μπορεί να βρεθεί, ως πηλίκο των μετασχηματισμών Fourir εξόδου-εισόδου. X Y H N k k k M k k k H Και με τη βοήθεια της έχουμε k k d d k N k d y d k k k k k Παρατηρούμε ότι η απόκριση συχνότητας Hω, ενός ΓΧΑ συστήματος είναι μία ρητή συνάρτηση, δηλαδή, μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δύο πολυωνύμων της μεταβλητής ω. Σημειώνεται επίσης στον υπολογισμό της Hω ενός συστήματος δεν υπεισέρχονται οι αρχικές συνθήκες στις οποίες βρίσκεται πιθανόν το σύστημα. Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3

4 Σύστημα πρώτης τάξεως Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος πρώτης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: d y d y Απάντηση H H h h u Η παράμετρος τ ονομάζεται σταθερά χρόνου του κυκλώματος, ενώ η συχνότητα /τ, φυσική συχνότητα του κυκλώματος. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-4

5 Απάντηση 3 4 H 3 u u h Να υπολογιστεί η απόκριση συχνότητας και η κρουστική απόκριση του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: 3 4 d d y d dy d y d 3 H Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-5 3

6 Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα c c c c Οι σταθερές c και c υπολογίζονται από τις και X u F Υπενθυμίζεται και το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourir Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-6

7 Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος του ΓΧΑ συστήματος δεύτερης τάξεως το οποίο χαρακτηρίζεται από τη διαφορική εξίσωση: d y d 4 dy d 3y d d u y ; Απάντηση y u Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-7

8 Ανάπτυξη ρητής συνάρτησης σε απλά κλάσματα c c Οι σταθερές c και c υπολογίζονται όπως και προηγουμένως από τις και 3 c c c ενώ η σταθερά c υπολογίζεται από την d d c u F Από το ζευγάρι μετασχηματισμού Fourir με τη βοήθεια της παραγώγισης στο πεδίο συχνότητας έχουμε X d d F F u Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-8

9 Προσδιορισμός συστήματος από την είσοδό του και έξοδό του X F u Y F u y X Y H H Απάντηση Η έξοδος ενός ΓΧΑ συστήματος σε σήμα εισόδου είναι u u y Να βρεθεί η απόκριση συχνότητας του συστήματος και η κρουστική απόκριση. Σημειώνεται ότι όταν το σήμα εισόδου είναι σήμα μίας συχνότητας θα πρέπει και το σήμα εξόδου να είναι σήμα της ίδιας συχνότητας και στην περίπτωση αυτή προσδιορίζεται μόνο η τιμή της απόκρισης συχνότητας στη συχνότητα του σήματος εισόδου. u ; h u y H u h Η απόκριση συχνότητας του συστήματος είναι Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-9

10 ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Ο MF του σήματος εξόδου ενός ΓΧΑ συστήματος δίνεται από Y H X Y H X rgy rg H rg X Για να πετύχουμε ανάλογη συμπεριφορά για το μέτρο, λογαριθμίζουμε την εξίσωση Y H X Y H X rgy rg H rg X Όπου Hω είναι η απόκριση πλάτους και rgηω η απόκριση φάσης του συστήματος και Xω ο MF του σήματος εισόδου. logy logh log X Χρησιμοποιούμε λογαριθμική κλίμακα για τη συχνότητα, και ως μονάδα μέτρου το dcil db. Η κλίμακα των db βασίζεται στην αντιστοιχία db log H Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

11 Να υπολογιστεί η απόκριση του συστήματος πρώτης τάξεως όταν η είσοδος είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος. u y Το σύστημα πρώτης τάξης έχει κρουστική απόκριση ση συχνότητας H Απάντηση Y y u y u,63 y h u και απόκρι- Σταθερά χρόνου Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

12 rghω log Hω Σεραφείμ Καραμπογιάς Τα διαγράμματα Bod συστήματος πρώτης τάξεως. log H log H log log - 3dB -4-6 log, log log log 4 log, log log / log Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

13 ΙΔΑΝΙΚΟ ΦΙΛΤΡΟ ΒΑΣΙΚΗΣ ΖΩΝΗΣ - ΚΑΤΩΠΕΡΑΤΟ ΦΙΛΤΡΟ H όπου ω c είναι η συχνότητα αποκοπής.,, c c H rg H κλίση = - αποκοπής c διέλευσης c αποκοπής Η επίδραση του φίλτρου σε ένα σήμα εισόδου, με φασματικό περιεχόμενο εντοπισμένο στη ζώνη διέλευσης, είναι μια χρονική καθυστέρηση. H y c c Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3

14 H c κλίση = rghω c y H rghω y c κλίση = c H c rghω c y y y κλίση = Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-4

15 H c rghω c y H rghω y c c H rghω y y y c c Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-5

16 sin c X,, αλλιως c c X c c c c c Ολίσθηση στο χρόνο για κάθε πραγματικό αριθμό είναι F X h sin[ c ] H C Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-6

17 Η κρουστική απόκριση του ιδανικού κατωπερατού φιλτρού h Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης sin c c c sinc Σεραφείμ Καραμπογιάς h h c H c c c c Το αποτέλεσμα της παραθύρωσης rg H T c c Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-7

18 Ιδανικά φίλτρα H H διέλευσης c αποκοπής αποκοπής c διέλευσης Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο Ιδανικό υψιπερατό φίλτρο H H αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο Ιδανικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-8

19 Πραγματικά φίλτρα H A A LPF H A A HPF διέλευσης c αποκοπής αποκοπής c διέλευσης Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο Πραγματικό υψιπερατό φίλτρο H A A ΒPF H A A ΒRF αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης αποκοπής διέλευσης Πραγματικό ζωνοπερατό φίλτρο Πραγματικό ζωνοφρακτικό φίλτρο Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-9

20 Άσκηση Να βρεθεί το ανάπτυγμα σε τριγωνομετρική σειρά της τάσης υ V Σεραφείμ Καραμπογιάς T T T 4 Από το Παράδειγμα 3.6 έχουμε T T T T T T cos cos 3 cos5 T 3 T 5 T T 4T k Παρατηρούμε ότι η τάση εισόδου υ είναι ένα περιοδικό σήμα με ω = π/τ =. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι V cos cos3 cos5 3 5 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

21 Άσκηση 4.5 V H Σεραφείμ Καραμπογιάς,, 4 4 Η τάση εισόδου υ είναι ένα περιοδικό σήμα με κυκλική συχνότητα ω = π/τ =. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι Επειδή η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατού φίλτρου είναι ω c = 4, από 4V cos cos cos H H, c το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται μόνο οι δύο πρώτοι όροι, με χρονική, c καθυστέρηση =. Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναι o 4V cos cos3 c 3 c y Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

22 Άσκηση V h Σεραφείμ Καραμπογιάς sin 4 Η τάση εισόδου υ είναι ένα περιοδικό σήμα με κυκλική συχνότητα ω = π/τ =. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι Επειδήh η συχνότητα αποκοπής του ιδανικού κατωπερατούφίλτρου είναι ω, c = 4, από H c το ιδανικό κατωπερατό φίλτρο διέρχονται F μόνο οι δύο πρώτοι, όροι, με χρονική c καθυστέρηση =. Έτσι η έξοδος του φίλτρου είναι H y 4V cos cos cos o 4V cos cos3 c 3 c Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-

23 Άσκηση 4.6 V y d y d Σεραφείμ Καραμπογιάς y Η τάση εισόδου υ είναι ένα περιοδικό σήμα με ω = π/τ =. Το ανάπτυγμα σε σειρά Fourir της τάσης εισόδου είναι Στο Παράδειγμα 4. έχουμε υπολογίσει την απόκριση συχνότητας του συστήματος πρώτης τάξης Acos 4V cos cos cos H H y H Acos[ rg H ] Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3

24 Αν η είσοδος του συστήματος είναι η αρμονική συνιστώσα 4V cos τότε η έξοδος του συστήματος είναι y H 4V cos 4V rgh cos 4 Με όμοιο τρόπο υπολογίζουμε την απόκριση y n για κάθε αρμονική συνιστώσα υ n, n =, 3, του σήματος εισόδου υ και χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της γραμμικότητας υπολογίζουμε την έξοδο του συστήματος 3 3 y 4V cos 4 cos n 3 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-4

25 Άσκηση u H Σεραφείμ Καραμπογιάς y Ο ΜF του σήματος εισόδου και το μέτρο του μετασχηματισμού είναι X και X, Η ολική ενέργεια του σήματος εισόδου είναι E d 4 c d 4, Η ενέργεια του σήματος εισόδου μπορεί να υπολογιστεί και στο πεδίο των συχνοτήτων 5 5 c E 4 4 n 4 4 d d 5n 5 5,, d Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-5

26 Ο μετασχηματισμός Fourir του σήματος εξόδου είναι Y H X,,, c αλλιως c Θεώρημα του Prsvl E d X d X d H ολική ενέργεια του σήματος εξόδου είναι E εξόδ. C 4, 4, 4 4 5n 5 5 n 5 d d C C C C Επειδή η ενέργεια του σήματος εξόδου πρέπει να είναι ίση με τη μισή της ενέργειας του σήματος εισόδου, έχουμε την εξίσωση 4 5n 5 c 5 απ όπου προκύπτει c, rd sc Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-6

27 Να βρεθεί η κρουστική απόκριση και η απόκριση συχνότητας του συστήματος. h y / u u d h y Είσοδος Σύστημα καθυστέρησης κατά τ Έξοδος d Σύστημα ολοκλήρωσης Είσοδος Έξοδος H H 3 H Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο συχνότητας. Περιγραφή του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. ολική sin sin H Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-7

28 Γραμμικό χρονικά αναλλοιώτο σύστημα έχει κρουστική απόκριση h = u Όταν το σήμα εισόδου είναι = u να βρεθούν α η φασματική πυκνότητα ενέργειας β η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και γ η ενέργεια του σήματος εξόδου. Y α Η φασματική πυκνότητα ενέργειας του σήματος εξόδου είναι y Y F R β Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης του σήματος εξόδου είναι R E y y γ Η ενέργεια του σήματος εξόδου είναι Απάντηση Άσκηση Σεραφείμ Καραμπογιάς Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-8

29 Υπενθυμίζονται οι γνωστές σχέσεις από τη θεωρία κυκλωμάτων κατά τις οποίες α Το ωμικό στοιχείο εμφανίζει αντίσταση R και η ένταση ρεύματος που τη διαρρέει βρίσκεται σε συμφωνία φάσης με την τάση στα άκρα της. R R i R i R i R β Το πηνίο εμφανίζει επαγωγική αντίσταση Lω και η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης π/ με την τάση στα άκρα του Z L = Lω. L L i L i i L Z γ Ο πυκνωτής εμφανίζει χωρητική αντίσταση /Cω και η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει βρίσκεται σε διαφορά φάσης π/ με την τάση στα άκρα του Z C = / Cω. L C C i C i i C Z Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-9 C

30 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3 U in I H C L R H Z C L R Z R C L i in δ Η επαγωγική αντίσταση κυκλώματος είναι Ζω = Uω / Ιω. Άσκηση Να βρεθεί η σύνθετη αντίσταση του κυκλώματος RLC σε σειρά C R L L C R L C R

31 H W c H αποκοπής c διέλευσης c Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο με εύρος-ζώνης W = ω c αποκοπής s p p c Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα. H log H s αποκοπής c Μεταβατική ζώνη p διέλευσης p c s Μεταβατική ζώνη Πραγματικό βαθυπερατό φίλτρο αποκοπής s p db db p c Η γραφική παράσταση της απόκρισης ισχύος σε db σε συνάρτηση με τη κυκλική συχνότητα. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3

32 Πλάτος Πάτος Σεραφείμ Καραμπογιάς Σήμα εισόδου Χρόνος Φάσμα του σήματος εισόδου 4 6 Συχνότητα 8 Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-3

33 Πλάτος Πλάτος Σεραφείμ Καραμπογιάς Σήμα και θόρυβος 3 Φάσμα του Σήματος + Θορύβου Χρόνος Συχνότητα Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-33

34 Πλάτος Πλάτος Σεραφείμ Καραμπογιάς Το Σήμα εξόδου του φίλτρου Χρόνος Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου Συχνότητα Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-34

35 Πλάτος Πλάτος Σεραφείμ Καραμπογιάς Το Σήμα εξόδου του φίλτρου Το φάσμα του Σήματος εξόδου του φίλτρου Χρόνος Συχνότητα Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-35

36 s in s ou H 4 6 S in S ou 4 4 log H Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-36

37 s in s ou H 4 6 S in S ou 4 4 log H Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-37

38 m in m ou H 4 8 M in M ou log H KHz KHz Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-38

39 m in m ou H 4 8 M in M ou log H KHz KHz Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-39

40 m in m ou H 4 8 M in M ou log H KHz KHz Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-4

41 Τέλος Ενότητας Σεραφείμ Καραμπογιάς

42 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στο πλαίσιο του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Πανεπιστήμιο Αθηνών» έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο και από εθνικούς πόρους. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-4

43 Σημειώματα Σεραφείμ Καραμπογιάς

44 Σημείωμα Ιστορικού Εκδόσεων Έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση.. Έχουν προηγηθεί οι κάτωθι εκδόσεις: Έκδοση διαθέσιμη εδώ. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-44

45 Σημείωμα Αναφοράς Copyrigh Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών, Σεραφείμ Καραμπογιάς 5. Σεραφείμ Καραμπογιάς. «Σήματα και Συστήματα. Εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourir.». Έκδοση:.. Αθήνα 5. Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: hp://opncourss.uo.gr/courss/di45/. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-45

46 Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Criv Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4. [] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [] hp://crivcommons.org/licnss/y-nc-s/4./ Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος π.χ. διαφημίσεις από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-46

47 Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: το Σημείωμα Αναφοράς το Σημείωμα Αδειοδότησης τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων εφόσον υπάρχει μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. Εφαρμογές του μετασχηματισμού Fourir 4-47