Ανδρέας Τζάνης, Επίκουρος Καθηγητής. Ένα σύστημα ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων γράφεται, χρησιμοποιώντας τυπικό συμβολισμό,

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Ανδρέας Τζάνης, Επίκουρος Καθηγητής. Ένα σύστημα ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων γράφεται, χρησιμοποιώντας τυπικό συμβολισμό,"

Transcript

1 Κεφάλαιο 2 1 Γραμμικές εξισώσεις Ένα από τα προβλήματα που απαντώνται συχνότερα σε επιστημονικούς υπολογισμούς είναι η επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων. Στο παρόν κεφάλαιο θα συζητηθεί η μέθοδος επίλυσης με Γκαουσσιανή απαλοιφή και η ευαισθησία της λύσης ως προς τα σφάλματα των δεδομένων και τα αναπόφευκτα σφάλματα στρογγύλευσης που υπεισέρχονται κατά την διάρκεια των υπολογισμών. 2.1 Επίλυση γραμμικών συστημάτων Ένα σύστημα ταυτόχρονων γραμμικών εξισώσεων γράφεται, χρησιμοποιώντας τυπικό συμβολισμό, A = b Στη συχνότερη περίπτωση όταν υπάρχουν τόσες εξισώσεις όσες και άγνωστοι, η A είναι μια δεδομένη τετραγωνική μήτρα τάξης n, το b είναι ένα δεδομένο κατακόρυφο άνυσμα n στοιχείων και το είναι ένα άγνωστο κατακόρυφο διάνυσμα n στοιχείων. Οι σπουδάζοντες γραμμική άλγεβρα μαθαίνουν ότι η λύση του A = b μπορεί να γραφεί ως = A -1 b, όπου η A -1 είναι η αντίστροφη της A. Εντούτοις, στη μεγάλη πλειοψηφία πρακτικών υπολογιστικών προβλημάτων, ο υπολογισμός της A -1 είναι περιττός και συνήθως αποφευκταίος. Ως ακραίο αλλά ε- πεξηγηματικό παράδειγμα, θεωρούμε ένα σύστημα που αποτελείται από μόνο μια εξίσωση, 7 = 21 Ο καλύτερος τρόπος να λυθεί ένα τέτοιο σύστημα είναι με διαίρεση 21 = = = 3 7 Η χρήση αντιστροφής θα έδιδε = = = Η αντιστροφή απαιτεί περισσότερη αριθμητική μία διαίρεση και ένα πολλαπλασιασμό αντί για μία μόνο διαίρεση και παράγει μια λιγότερο ακριβή απάντηση. Παρόμοιες συνθήκες ισχύουν για συστήματα περισσότερων της μίας εξισώσεων. Αυτό ισχύει ακόμα και στην κοινότατη περίπτωση όπου υπάρχουν διαφορετικά συστήματα εξισώσεων με την ίδια μήτρα A αλλά διαφορετικά δεξιά σκέλη b. Για τον λόγο αυτό, στα επόμενα θα επικεντρωθούμε στην παρουσίαση μεθόδων άμεσης επίλυσης των συστημάτων και όχι στην αντιστροφή μητρών. 2.2 Ο τελεστής backslash Για να καταστεί σαφής η διάκριση μεταξύ της επίλυσης γραμμικών εξισώσεων και αντιστροφής, η γλώσσα MATLAB έχει εισαγάγει μη-καθιερωμένο παραστατικό συμβολισμό, χρησιμοποιώντας ως τελεστές την οπισθοκλινή γραμμή «\» (backslash) και την εμπροσθοκλινή γραμμή «/» (slash). Εάν A είναι μια μήτρα οιουδήποτε μεγέθους και μορφής και B είναι μια μήτρα με τόσες σειρές όσες η Α, τότε η λύση του συστήματος εξισώσεων AX = B δηλώνεται με X = A \ B Αυτό αναλογεί με διαίρεση αμφοτέρων των πλευρών των εξισώσεων με την μήτρα συντελεσ- 1 Το Κεφάλαιο 2 των παρουσών σημειώσεων έχει βασισθεί και αποτελεί απόδοση του Κεφαλαίου 2 (Linear Equations) του βιβλίου «Numerical Computing with Matlab», από τον Cleve Moller, Society for Industrial and Applied Mathematics,

2 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις τών A. Επειδή ο πολλαπλασιασμός μητρών δεν είναι αντιμεταθετικός και η A εμφανίζεται στο αριστερό σκέλος του αρχικού συστήματος, αυτό ισοδυναμεί με αριστερή διαίρεση. Ομοίως, η λύση σε ένα σύστημα με την Α δεξιά και την B να έχει τόσες στήλες όσες και η A γράφεται, X A = B και λαμβάνεται με την δεξιά διαίρεση, X = B/A Ο συμβολισμός αυτός ισχύει ακόμη και όταν η A δεν είναι τετραγωνική, ώστε ο αριθμός των εξισώσεων να μην είναι ο ίδιος με τον αριθμό των αγνώστων. 2.3 Ένα παράδειγμα 3-by-3 Προκειμένου να γίνει ευκολότερα κατανοητή η λειτουργία του αλγορίθμου επίλυσης συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, θεωρούμε το εξής παράδειγμα τρίτης τάξης: = Αυτό φυσικά, αντιπροσωπεύει το σύστημα = = = 6 Το πρώτο βήμα του αλγορίθμου επίλυσης χρησιμοποιεί την πρώτη εξίσωση για να απαλείψει τον άγνωστο 1 από τις άλλες εξισώσεις. Αυτό επιτυγχάνεται προσθέτοντας 0.3 φορές την πρώτη εξίσωση στην δεύτερη εξίσωση και αφαιρώντας 0.5 φορές την πρώτη από την τρίτη εξίσωση. Ο συντελεστής 10 του 1 στην πρώτη εξίσωση είναι το πρώτο οδηγούν στοιχείο (pivot) και οι ποσότητες -0.3 και 0.5, που λαμβάνονται διαιρώντας τους συντελεστές του 1 στις άλλες εξισώσεις με το οδηγούν στοιχείο ονομάζονται πολλαπλασιαστές. To πρώτο βήμα αλλάζει τις εξισώσεις ως: = Το δεύτερο βήμα θα μπορούσε να χρησιμοποιήσει τη δεύτερη εξίσωση για να απαλείψει τον 2 από την τρίτη εξίσωση. Εντούτοις, το δεύτερο οδηγούν στοιχείο, το οποίο είναι ο συντελεστής του 2 στη δεύτερη εξίσωση, θα ήταν -0.1, μικρότερο από τους άλλους συντελεστές. Συνεπώς, οι τελευταίες δύο εξισώσεις εναλλάσσονται. Αυτό καλείται pivoting. Στο παρόν παράδειγμα η πράξη αυτή δεν είναι απαραίτητη διότι δεν υπάρχουν σφάλματα στρογγύλευσης, αλλά στην γενική περίπτωση είναι σπουδαία και κρίσιμη = Τώρα, το δεύτερο οδηγούν στοιχείο είναι 2.5 και η δεύτερη εξίσωση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απαλειφθεί ο 2 από την τρίτη. Αυτό επιτυγχάνεται προσθέτοντας 0.04 φορές την δεύτερη εξίσωση στην τρίτη εξίσωση. 2

3 = Η τελευταία εξίσωση είναι τώρα = 6.2 από όπου 3 = 1. Αντικαθιστώντας στην δεύτερη εξίσωση: (5)(1) = 2.5. από όπου 2 = -1. Τέλος, οι τιμές των 2 και 3 αντικαθίστανται στην πρώτη εξίσωση: (-7)(-1) = 7 εξ ου 1 = 0. Η λύση είναι 0 = 1 1 και μπορεί εύκολα να ελεγχθεί με αντικατάσταση στο επιλυθέν σύστημα. Ολόκληρος ο αλγόριθμος μπορεί να εκφραστεί συμπαγώς για το παρόν παράδειγμα έστω L= , U= , P = Η μήτρα L περιέχει τους πολλαπλασιαστές που χρησιμοποιήθηκαν για την απαλοιφή, η μήτρα U είναι η τελική μήτρα συντελεστών και η μήτρα P περιγράφει το pivoting. Με αυτές τις τρεις μήτρες, έχομε LU = P A Με άλλα λόγια, η αρχική μήτρα συντελεστών μπορεί να εκφρασθεί υπό μορφή γινομένων μητρών με απλούστερη δομή. 2.4 Πίνακες Αντιμετάθεσης και Τριγωνικοί Πίνακες Ένας πίνακας αντιμετάθεσης δεν είναι παρά ένας ταυτοτικός πίνακας με εναλλαγμένες γραμμές και στήλες. Για παράδειγμα, ο P = Αριστερός πολλαπλασιασμός ενός πίνακα Α με ένα πίνακα αντιμετάθεσης (ΡΑ) αντιμεταθέτει τις γραμμές του Α. Ο δεξιός πολλαπλασιασμός (ΑΡ) αντιμεταθέτει τις στήλες του A. Η λύση γραμμικών εξισώσεωνπου περιλαμβάνουν πίνακες αντιμετάθεσης είναι τετριμμένη. Για παράδειγμα, η λύση του συστήματος P = b αποτελεί απλή αναδιάταξη των στοιχείων του b, = P T b Ένας άνω τριγωνικός πίνακας έχει όλα τα μη μηδενικά στοιχεία του επάνω από την κύρια διαγώνιο, π.χ. 3

4 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις U = Ένας μοναδιαίος κάτω τριγωνικός πίνακας έχει μονάδες (1) επί της κυράς διαγωνίου και όλα τα υπόλοιπα μη-μηδενικά στοιχεία του κάτω από την κύρια διαγώνιο, για παράδειγμα L = Οι γραμμικές εξισώσεις που περιλαμβάνουν τριγωνικούς πίνακες, είναι επίσης εύκολο να λυθούν. Υπάρχουν δύο παραλλαγές του αλγορίθμου επίλυσης του άνω τριγωνικού συστήματος U = b. Αμφότεροι αρχίζουν λύνοντας την τελευταία εξίσωση γα τη τελευταία μεταβλητή, την προτελευταία εξίσωση για την προτελευταία μεταβλητή κοκ. Ο πρώτος αλγόριθμος αφαιρεί πολλαπλάσια των στηλών του U από το b: = zeros(n,1); for k = n:-1:1 (k) = b(k)/u(k,k); i = (1:k-1) ; b(i) = b(i) - (k)*u(i,k); end Ο άλλος χρησιμοποιεί εσωτερικά γινόμενα μεταξύ των γραμμών του U και τμημάτων της α- ναδυόμενης λύσης. = zeros(n,1); for k = n:-1:1 j = k+1:n; (k) = (b(k) - U(k,j)*(j))/U(k,k); end 2.5 Παραγοντοποίηση LU Ο περισσότερο χρησιμοποιούμενος αλγόριθμος επίλυσης γραμμικών συστημάτων είναι ταυτόχρονα και μία από τις αρχαιότερες αριθμητικές μεθόδους: πρόκειται για την μέθοδο της συστηματικής απαλοιφής που αποδίδεται στον C. F. Gauss. Παρά την ηλικία της μεθόδου, σχετικά πρόσφατη έρευνα ( ) αποκάλυψε την σημασία δύο χαρακτηριστικών της, η οποία δεν είχε αποσαφηνιστεί προηγουμένως: την επιλογή οδηγών στοιχείων και την ορθή ερμηνεία των σφαλμάτων στρογγύλευσης. Σε γενικές γραμμές, η Γκαουσσιανή απαλοιφή εφαρμόζεται σε δύο στάδια: την κυρίως απαλοιφή και την αντικατάσταση. Το πρώτο στάδιο (απαλοιφής) αποτελείται από n-1 βήματα. Στο k-στο βήμα, πολλαπλάσια της k-στης εξίσωσης αφαιρούνται από τις υπόλοιπες εξισώσεις προκειμένου να απαλειφθεί η k-στη μεταβλητή. Εάν ο συντελεστής k είναι «μικρός» ενδείκνυται η αντιμετάθεση εξισώσεων πριν τελεσθεί η αφαίρεση. Κατά το στάδιο αντικατάστασης λύνεται η τελευταία εξίσωση για την μεταβλητή n κατόπιν, με αντικατάσταση της n λύνεται 4

5 η προτελευταία για την n-1 κοκ, έως ευρεθεί και η 1 από την πρώτη εξίσωση. Έστω P k, k = 1,,n - 1, οι πίνακες αντιμετάθεσης που προκύπτουν εναλλάσσοντας τις γραμμές ταυτοτικού πίνακα με τον ίδιο τρόπο κατά τον οποίο εναλλάσσονται οι γραμμές του Α στο k-στο βήμα της διαδικασίας απαλοιφής. Έστω M k ο μοναδιαίος κάτω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει εισάγοντας τα αρνητικά των πολλαπλασιαστών που χρησιμοποιήθηκαν κατά το k-στο βήμα, κάτω από την διαγώνιο του στην k-στη στήλη του ταυτοτικού πίνακα. Τέλος, έστω U ο τελικός άνω τριγωνικός πίνακας που προκύπτει μετά από τα n - 1 βήματα. Ολόκληρη η διαδικασία απαλοιφής μπορεί να περιγραφεί με μόνο μία εξίσωση πινάκων, U = M n-1 P n-1 M 2 P 2 M 1 P 1 A Η εξίσωση αυτή μπορεί να ξαναγραφτεί με την μορφή L 1 L 2 L n-1 U = P n-1 P 2 P 1 A όπου ο L k λαμβάνεται από τους M k αντιμεταθέτοντας και αλλάζοντας τα πρόσημα των πολλαπλασιαστών κάτω από την διαγώνιο. Έτσι, εάν L = L 1 L 2 L n-1 P = P n-1 P 2 P 1 έχομε LU = P A Ο μοναδιαίος κάτω τριγωνικός πίνακας L περιέχει όλους τους πολλαπλασιαστές που χρησιμοποιήθηκαν κατά τη απαλοιφή και ο πίνακας αντιμετάθεσης P καταχωρεί όλες τις εναλλαγές γραμμών. Στο παραπάνω παράδειγμα, A = οι πίνακες που προκύπτουν κατά την διάρκεια της απαλοιφής είναι P1 = 0 1 0, M 1 = P2 = 0 0 1, M 2 = 0 1 0, Και οι αντίστοιχοι L είναι 5

6 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις L1 = , L 2 = Η εξίσωση LU = P A αποκαλείται παραγοντοποίηση LU ή τριγωνική αποσύνθεση του A και δεν είναι παρά η διαδικασία της Γκαουσσιανής απαλοιφής εκπεφρασμένη με πίνακες. Με την μέθοδο αυτή ένα γενικευμένο σύστημα εξισώσεων A = b μετατρέπεται στο ζεύγος τριγωνικών συστημάτων Ly = P b U = y 2.6 Η αναγκαιότητα του Pivoting Τα διαγώνια στοιχεία του U ονομάζονται οδηγά (pivots). Το k-στο οδηγούν είναι ο συντελεστής της k-στης μεταβλητής στην k-στη εξίσωση του k-στου βήματος της απαλοιφής. Στο 3- by-3 παράδειγμα, τα οδηγά στοιχεία είναι 10, 2.5, and 6.2. Οι υπολογισμοί, τόσο των πολλαπλασιαστών, όσο και κατά την αντικατάσταση, απαιτούν διαιρέσεις με οδηγά στοιχεία. Κατά συνέπεια, εάν κάποιο από τα οδηγά στοιχεία είναι μηδέν, η διαδικασία καταρρέει. Το αυτό θα συμβεί και όταν ο διαιρέτης είναι πολύ μικρός αριθμός, κοντά στο μηδέν. Για να δούμε πως, θα κάνουμε μερικές μικρές αλλαγές στο παράδειγμα, = Το στοιχείο (2,2) του πίνακα άλλαξε από 2 σε και το δεξί σκέλος επίσης άλλαξε έτσι, ώστε το αποτέλεσμα να είναι πάλι (0, -1, 1) Τ. Ας υποθέσομε ότι η λύση θα πρέπει να υπολογισθεί σε μία υποθετική μηχανή που κάνει αριθμητική κινητής υποδιαστολής με 5 σημαντικά ψηφία. Το πρώτο βήμα της διαδικασίας απαλοιφής παράγει = Το στοιχείο (2,2) είναι τώρα αρκετά μικρό σε σύγκριση με τα άλλα στοιχεία του πίνακα. Εάν συνεχίζαμε την διαδικασία απαλοιφής χωρίς αντιμεταθέσεις,, το επόμενο βήμα θα απαιτούσε να προσθέσουμε φορές την δεύτερη εξίσωση στην τρίτη: (5 + ( )(6)) 3 = (2.5 + ( )(6.001)) Στο δεξί σκέλος, ο πολλαπλασιασμός = δεν μπορεί να αναπαρασταθεί στην υποθετική μηχανή μας, οπότε πρέπει να στρογγυλευτεί σε Τα αποτέλεσμα κατόπιν προστίθεται στο 2.5 και ξανα-στρογγυλεύεται. Με άλλα λόγια, αμφότερα τα υπογραμμισμένα 5 στη εξίσωση ( ) 3 = ( ) 6

7 χάνονται ως σφάλματα στρογγύλευσης. Σ αυτή την υποθετική μηχανή λοιπόν η τελευταία εξίσωση γίνεται = Η αντικατάσταση τώρα, ξεκινά με = = Επειδή το ακριβές αποτέλεσμα είναι 3 = 1, το πρόβλημα στρογγύλευσης δεν φαίνεται και τόσο σοβαρό. Δυστυχώς όμως, η 2 πρέπει να υπολογισθεί από την εξίσωση (6)( ) = Η οποία δίδει = = Τέλος η 1 προσδιορίζεται από την πρώτη εξίσωση (-7)(-1.5) = 7 που δίδει 1 = Έτσι, αντί για (0, -1, 1) T υπολογίσαμε (-0.35, -1.5, ) T. Που χάλασε λοιπόν η δουλειά, δεδομένου ότι δεν έγινε και κάποιος μεγάλος αριθμός πράξεων που να «συσσωρεύσει» σφάλματα στρογγύλευσης και ο πίνακάς μας δεν ήταν ιδιάζων; Το πρόβλημα προέκυψε από τη επιλογή του δεύτερου οδηγού στοιχείου κατά το δεύτερο στάδιο της απαλοιφής. Σαν αποτέλεσμα, ο πολλαπλασιαστής γίνεται και η τελευταία εξίσωση περιλαμβάνει συντελεστές που είναι 10 3 φορές μεγαλύτεροι αυτών του αρχικού προβλήματος. Τα σφάλματα στρογγύλευσης που είναι πολύ μικρά σε σύγκριση με τόσο μεγάλους συντελεστές καθίστανται απαράδεκτα υψηλά σε σχέση με την πραγματική λύση του συστήματος. Εάν η δεύτερη και η τρίτη εξίσωση αντιμετατίθεντο, τότε δεν θα υπήρχε ανάγκη μεγάλων πολλαπλασιαστών το τελικό αποτέλεσμα θα ήταν ακριβές (ο αναγνώστης ας προσπαθήσει να πιστοποιήσει το γεγονός). Στην γενική περίπτωση, εάν οι πολλαπλασιαστές έχουν μέγεθος μικρότερο ή ίσο της μονάδας, τότε η υπολογιζόμενη λύση προκύπτει ικανοποιητικά ακριβής. Η διαδικασία τήρησης των πολλαπλασιαστών σε απόλυτο μέγεθος μικρότερο της μονάδας ονομάζεται μερικό pivoting. Κατά το k-στο βήμα της απαλοιφής, το οδηγούν στοιχείο επιλέγεται να είναι το απόλυτα μεγαλύτερο στοιχείο του μη-ανηγμένου μέρους της k-στης στήλης. Η γραμμή που περιέχει αυτό το στοιχείο εναλλάσσεται με την k-στη γραμμή για να φέρει αυτό το στοιχείο στην θέση (k, k). Οι ίδιες εναλλαγές πρέπει να γίνονται και με τα στοιχεία του δεξιού σκέλους b. Οι άγνωστοι δεν αναδιατάσσονται διότι οι στήλες του A δεν αλλάζουν lut, bslasht, lugui. Στο υλικό του Κεφαλαίου 2 περιλαμβάνονται τρεις συναρτήσεις περιγράφουσες τους ανωτέρω συζητηθέντες αλγορίθμους. Η πρώτη συνάρτηση είναι η lut.m, που στην πραγματικότητα αποτελεί αναγνώσιμη έκδοση της ενσωματωμένης στο MATLAB συνάρτησης lu. Η 7

8 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις συνάρτηση περιλαμβάνει ένα εξωτερικό βρόχο-for επί της μεταβλητής k ο οποίος μετρά τα βήματα (επαναλήψεις) απαλοιφής αλλά κατά τα άλλα είναι προγραμματισμένη με συμπαγή και αποδοτικό τρόπο. function [L,U,p] = lut(a) %LU Triangular factorization % [L,U,p] = lut(a) produces a unit lower triangular % matri L, an upper triangular matri U, and a % permutation vector p, so that L*U = A(p,:). [n,n] = size(a); p = (1:n) for k = 1:n-1 % Find largest element below diagonal in k-th column [r,m] = ma(abs(a(k:n,k))); m = m+k-1; % Skip elimination if column is zero if (A(m,k) ~= 0) % Swap pivot row if (m ~= k) A([k m],:) = A([m k],:); p([k m]) = p([m k]); end % Compute multipliers i = k+1:n; A(i,k) = A(i,k)/A(k,k); % Update the remainder of the matri j = k+1:n; A(i,j) = A(i,j) - A(i,k)*A(k,j); end end % Separate result L = tril(a,-1) + eye(n,n); U = triu(a); Προσεκτική μελέτη της συνάρτησης δείχνει ότι η αριθμητικά πλέον δαπανηρή πράξη είναι η A(i,j) = A(i,j) - A(i,k)*A(k,j); Στο k-στο βήμα της απαλοιφής, τα i και j είναι ανύσματα δεικτών με μήκος n-k. Η πράξη A(i,k)*A(k,j) πολλαπλασιάζει μία στήλη επί μία γραμμή, προκειμένου να κατασκευάσει ένα τετράγωνο πίνακα βαθμού ένα και τάξης n-k. Ο πίνακας αυτός κατόπιν αφαιρείται από τον «υποπίνακα» (μέρισμα) ιδίου μεγέθους που καταλαμβάνει την κάτω αριστερή γωνία του A. Σε μία γλώσσα προγραμματισμού χωρίς δυνατότητα ανυσματικών πράξεων, η πράξη αυτή (επικαιροποίηση ενός μερίσματος του A) θα γινόταν με ζεύγος ένθετων διπλών βρόχων επί των i και j και πολύ μεγαλύτερη, αντίστοιχα, δαπάνη χρόνου. Η δεύτερη συνάρτηση είναι η bslasht.m, η οποία αποτελεί απλοποιημένη έκδοση του τελεστή backslash. Ξεκινά ελέγχοντας για τρείς σπουδαίες ειδικές περιπτώσεις μορφών στις οποίες μπορεί να εμπίπτει ο Α, την κάτω τριγωνική, άνω τριγωνική και συμμετρική θετική ορισμένη 2 Γραμμικά συστήματα με τέτοιες μορφές μπορούν να λυθούν πολύ ταχύτερα από την γενική περίπτωση. function = bslasht(a,b) % BSLASHTX Solve linear system (backslash) % = bslasht(a,b) solves A* = b [n,n] = size(a); 2 Βλ. Άσκηση 2.3 για περαιτέρω ορισμούς και διευκρινίσεις. 8

9 if isequal(triu(a,1),zeros(n,n)) % Lower triangular = forward(a,b); return elseif isequal(tril(a,-1),zeros(n,n)) % Upper triangular = backsubs(a,b); return elseif isequal(a,a ) [R,fail] = chol(a); if ~fail % Positive definite y = forward(r,b); = backsubs(r,y); return end end Εάν καμία από τις ειδικές περιπτώσεις δεν αναγνωρισθεί, η bslasht καλεί την lut προκειμένου να εκτελέσει την παραγοντοποίηση LU και την backsubs για να ολοκληρώσει την επίλυση του συστήματος. % Triangular factorization [L,U,p] = lut(a); % Permutation and forward elimination y = forward(l,b(p)); % Back substitution = backsubs(u,y); Η συνάρτηση bslasht χρησιμοποιεί δύο έτερες συναρτήσεις για να επιλύσει κάτω και άνω τριγωνικά συστήματα: function = forward(l,) % FORWARD. Forward elimination. % For lower triangular L, = forward(l,b) solves L* = b. [n,n] = size(l); for k = 1:n j = 1:k-1; (k) = ((k) - L(k,j)*(j))/L(k,k); end function = backsubs(u,) % BACKSUBS. Back substitution. % For upper triangular U, = backsubs(u,b) solves U* = b. [n,n] = size(u); for k = n:-1:1 j = k+1:n; (k) = ((k) - U(k,j)*(j))/U(k,k); end Η Τρίτη συνάρτηση, lugui.m, παρέχει οπτική επίδειξη τω βημάτων της παραγοντοποίησης LU με Γκαουσσιανή απαλοιφή. Είναι μία ακόμη έκδοση της lut που επιτρέπει στον χρήστη πειραματισμούς με διαφορετικές στρατηγικές επιλογής οδηγών στοιχείων. Στο k-στο βήμα της απαλοιφής, το μεγαλύτερο στοιχείο του μη επεξεργασμένου μερίσματος (υπολοίπου) του πίνακα A στην k-στη στήλη εμφανίζεται με πορφυρό χρώμα. Αυτό είναι το στοιχείο που στην περίπτωση του μερικού pivoting θα επιλεγόταν ως οδηγών στοιχείο. Ο χρήστης μπορεί να επιλέξει και μελετήσει διαφορετικές στρατηγικές pivoting, μεταξύ των: Χειροκίνητη επιλογή (pick a pivot). Το οδηγό στοιχείο επιλέγεται με τον δρομέα (αριστε- 9

10 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις ρό κλίκ). Μπορεί να είναι το πορφυρό στοιχείο, ή οιοδήποτε άλλο. Διαγώνιο pivoting (diagonal pivoting). Επιλογή του επόμενου μεγαλύτερου στοιχείου επί της διαγωνίου του πίνακα με τον δρομέα. Μερικό Pivoting (partial pivoting). Η ίδια στρατηγική όπως στην lut. Πλήρες pivoting (complete pivoting). Χρήση του μεγαλύτερου στοιχείου του ανεπεξέργαστου μερίσματος (υποπίνακα) του Α ως οδηγό στοιχείο. Το επιλεγμένο οδηγό στοιχείο εμφανίζεται με ερυθρό χρώμα και εκτελείται το σχετικό βήμα απαλοιφής. Κατά την εξέλιξη της διαδικασίας, οι προκύπτουσες στήλες του L εμφανίζονται με πράσινο χρώμα και οι στήλες του U με κυανό Η επίδραση των σφαλμάτων στρογγύλευσης Τα σφάλματα στρογγύλευσης που εισάγονται κατά την επίλυση συστημάτων γραμμικών εξισώσεων, σχεδόν πάντοτε προκαλούν διαφορές μεταξύ της υπολογισθείσας (εκτιμηθείσας) λύσης που στο εξής θα δηλώνεται με και της θεωρητικής λύσης = A -1 b. Στην πραγματικότητα, εάν τα στοιχεία του δεν είναι αριθμοί κινητής υποδιαστολής, τότε το * δεν μπορεί να ισούται με το. Υπάρχουν δύο κοινά μέτρα της απόκλισης του *, ήτοι το σφάλμα e = - * και το υπόλοιπο r = b - A * Η γραμμική άλγεβρα διδάσκει ότι επειδή ο A δεν είναι ιδιάζων, τότε εάν ένα από αυτά είναι μηδέν, τότε και το άλλο οφείλει να είναι μηδέν. Από την άλλη μεριά, δεν οφείλουν αμφότερα να είναι «μικρά» ταυτοχρόνως. Ας δοθεί ένα παράδειγμα: = Τι συμβαίνει όταν επιχειρηθεί Γκαουσσιανή απαλοιφή με μερικό pivoting σε ένα υποθετικό υπολογιστή τριών σημαντικών ψηφίων; Κατ αρχάς, οι δύο γραμμές εναλλάσσονται έτσι, ώστε το να γίνει οδηγό. Μετά υπολογίζεται ο πολλαπλασιαστής = (τρία δεκαδικά ψηφία). Στη συνέχεια αφαιρούνται φορές η νέα πρώτη γραμμή από τη δεύτερη γραμμή για να δώσει το σύστημα = Τέλος επιχειρείται η αντικατάσταση = = = = Για να αποτιμηθεί η ακρίβεια χωρίς προηγούμενη γνώση της ακριβούς θεωρητικής απάντησης, υπολογίζομε τα υπόλοιπα: 10

11 0.217 ((0.780)( 0.443) + (0.563)(1.00)) r = b A * = = ((0.913)( 0.443) + (0.659)(1.00)) Τα υπόλοιπα είναι μικρότερα του 10-3, και για μία μηχανή τριών ψηφίων δεν θα μπορούσε να είναι καλύτερα! Δυστυχώς, βλέπουμε εύκολα ότι η σωστή λύση για αυτό το σύστημα είναι = Τα στοιχεία της λύσης μας έχουν και λάθος πρόσημο, με το σφάλμα να καθίσταται συνολικά μεγαλύτερο της ίδιας της ορθής λύσης. Ήταν λοιπόν τα μικρά υπόλοιπα ζήτημα τύχης, ή κάτι συστηματικότερο; Για να διερευνήσουμε το πρόβλημα, ας επαναλάβομε την Γκαουσσιανή απαλοιφή σε μία άλλη υποθετική μηχανή με έξι ή περισσότερα σημαντικά ψηφία. Τότε, η απαλοιφή παράγει ένα σύστημα της μορφής = Παρατηρήστε την διαφορά στο πρόσημο του στοιχείου του b 2. Τώρα η αντικατάσταση δίδει = = , = = Δηλαδή την ακριβή απάντηση. Στην τριψήφια μηχανή, το στοιχείο 2 υπολογίσθηκε διαιρώντας δύο αριθμούς που αμφότεροι ήταν της τάξης των σφαλμάτων στρογγύλευσης και ο ένας εκ των οποίων δεν είχε κάν το σωστό πρόσημο. Έτσι, η 2 θα μπορούσε να είναι σχεδόν οτιδήποτε! Η 1 προέκυψε με χρήση αυτής της λανθασμένης τιμής. Παρ όλα αυτά, το υπόλοιπο της πρώτης εξίσωσης είναι μικρό η 1 υπολογίσθηκε με τέτοιο τρόπο, ώστε αυτό να είναι βέβαιο. Ιδού λοιπόν ένα λεπτό αλλά κύριο ζήτημα: Το υπόλοιπο της δεύτερης εξίσωσης θα είναι επίσης μικρό, διότι ο πίνακάς μας είναι περίπου ιδιάζων. Οι δύο εξισώσεις του είναι περίπου πολλαπλάσια η μία της άλλης, ώστε κάθε ζεύγος ( 1, 2 ) που προσεγγιστικά ικανοποιεί την μία, προσεγγιστικά θα ικανοποιεί και την άλλη. Εάν ο πίνακας ήταν ακριβώς ιδιάζων, δεν θα χρειαζόμασταν την δεύτερη εξίσωση καθόλου οιαδήποτε λύση της πρώτης, αυτόματα θα ικανοποιούσε και τη δεύτερη. Αν και το παράδειγμα αυτό είναι εσκεμμένο και μη τυπικό, το συμπέρασμα που εξήχθη από αυτό είναι μέγα και ισχυρό και αποτελεί το σημαντικότερο ίσως εξαγόμενο της εφαρμοσμένης γραμμικής άλγεβρας από την εποχή της εφεύρεσης των Η/Υ: Η Γκαουσσιανή απαλοιφή με μερικό pivoting εγγυημένα παράγει μικρά υπόλοιπα. Στο σημείο αυτό καλό είναι να γίνουν ορισμένες διευκρινιστικές παρατηρήσεις. Με το όρο «εγγυημένα» εννοείται ότι είναι δυνατή η απόδειξη ενός ακριβούς θεωρήματος που υποθέτει συγκεκριμένες τεχνικές λεπτομέρειες περί του πως λειτουργεί το αριθμητικό σύστημα κινητής υποδιαστολής, και το οποίο αποδεικνύει την ισχύ συγκεκριμένων ανισοτήτων τις οποίες πρέπει να ικανοποιούν τα υπόλοιπα. Εάν η αριθμητική γίνεται με κάποιο άλλο τρόπο, ή εάν υπάρχει ένα προγραμματιστικό σφάλμα (bug) σε ένα συγκεκριμένο πρόγραμμα, τότε η «εγγύηση» καταπίπτει. Επιπλέον, ο όρος «μικρά» σημαίνει «στο επίπεδο του σφάλματος στρογγύλευσης» σε σχέση με τρεις ποσότητες: α) το μέγεθος των στοιχείων στον αρχικό πίνακα συντελεστών, β) το μέγεθος των στοιχείων του πίνακα συντελεστών σε ενδιάμεσα βήματα, και, γ) το μέγεθος των στοιχείων της υπολογισθείσας λύσης. Εάν οιοδήποτε από αυτά είναι «μεγάλο», τότε το υπόλοιπο δεν θα είναι απαραίτητα μικρό κατ απόλυτη έννοια. Τέλος, α- 11

12 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις κόμη και όταν το υπόλοιπο είναι μικρό, δεν υπάρχουν εγγυήσεις ότι το σφάλμα θα είναι μικρό. Η σχέση μεταξύ του μεγέθους των υπολοίπων και του μεγέθους του σφάλματος μερικά προσδιορίζεται από μία παράμετρο γνωστή ως αριθμός συνθήκης ενός πίνακα, πράγμα που θα αποτελέσει αντικείμενο το επομένου χωρίου. 2.9 Νόρμες και Αριθμοί Συνθήκης Οι συντελεστές στην μήτρα και το δεξί σκέλος ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων σπανίων είναι γνωστοί με ακρίβεια. Μερικά συστήματα προκύπτουν από πειράματα και οι συντελεστές τους υπόκεινται σε σφάλματα παρατήρησης. Άλλα συστήματα έχουν συντελεστές που παρέχονται από αριθμητική αποτίμηση μαθηματικών εκφράσεων (τύπων) και υπόκεινται σε σφάλματα στρογγύλευσης. Ακόμη και όταν το σύστημα εισάγεται με ακρίβεια στον Η/Υ, τα σφάλματα στρογγύλευσης είναι σχεδόν αναπόφευκτα κατά την επίλυσή του. Μπορεί να αποδειχθεί ότι τα σφάλματα στρογγύλευσης έχουν την ίδια επίδραση στην Γκαουσσιανή απαλοιφή, όπως και τα σφάλματα των συντελεστών. Κατά συνέπεια, οδηγούμεθα στο εξής θεμελιώδες ερώτημα: Εάν υπεισέλθουν διαταραχές στους συντελεστές ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων, πόσο πολύ αλλοιώνεται η λύση του; Με άλλα λόγια, εάν A = b, πως μπορούμε να μετρήσουμε την ευαισθησία του στις μεταβολές της A και του b; Για να απαντηθεί αυτό το ερώτημα, πρέπει πρώτα να αποσαφηνισθεί η έννοια του «σχεδόν ιδιάζοντος» πίνακα. Εάν ο Α είναι ιδιάζων, τότε για ορισμένα b δεν θα υπάρχει λύση, ενώ για άλλα b η λύση δεν θα είναι μοναδική. Έτσι, εάν ο Α είναι σχεδόν ιδιάζων, μπορούμε να περιμένομε ότι μικρές μεταβολές σε Α και b θα προκαλούν μεγάλες μεταβολές στην. Στο απέναντι άκρο, εάν ο A είναι ταυτοτικός, τότε οι b και θα είναι το ίδιο διάνυσμα. Έτσι, εάν ο A είναι σχεδόν ταυτοτικός, μικρές μεταβολές σε A και b θα επιφέρουν αντίστοιχα μικρές μεταβολές στην. Σε πρώτη ανάγνωση, μπορεί να φαίνεται ότι υπάρχει μία σχέση μεταξύ του μεγέθους των ο- δηγών στοιχείων και της αστάθειας της Γκαουσσιανής απαλοιφής με μερικό pivoting (εγγύτητα σε ιδιάζουσα μορφή), διότι εάν η αριθμητική μπορούσε να γίνει ακριβώς, όλα τα οδηγά στοιχεία θα ήταν μη-μηδενικά εάν και μόνο εάν ο πίνακας (μήτρα) είναι μη-ιδιάζων. Όταν όμως υπεισέρχονται σφάλματα στρογγύλευσης αυτό παύει να είναι πλέον αληθές: ένας πίνακας θα μπορούσε να είναι σχεδόν ιδιάζων, ακόμη και όταν κανένα από τα οδηγά στοιχεία του δεν είναι μικρό. Μέχρις ενός σημείου επίσης αληθεύει ότι εάν τα οδηγά στοιχεία είναι μικρά, τότε ο πίνακας προσεγγίζει την ιδιάζουσα μορφή. Για να πάρομε ένα ακριβέστερο και αξιοπιστότερο μέτρο της εγγύτητας εγγύτητας ενός πίνακα προς την ιδιάζουσα μορφή από το μέγεθος των οδηγών στοιχείων, πρέπει να εισάγομε την έννοια της νόρμας ενός ανύσματος. Η νόρμα είναι ένας αριθμός που μετρά το γενικό μέγεθος των στοιχείων ενός ανύσματος. Το σύνολο των ανυσματικών νορμών γνωστό ως l p εξαρτάται από την παράμετρο p που κυμαίνεται ως 1 p = : 1 p n p = i p i= 1 Σχεδόν πάντοτε χρησιμοποιούμε p = 1, p = 2 or lim p, οπότε 1 2 = = n i= 1 n i= 1 = ma( ) i i i 2 12

13 Η νόρμα l 1 είναι επίσης γνωστή και ως «νόρμα Manhattan» διότι αντιστοιχεί στη απόσταση που διανύεται στο οδικό δίκτυο μίας πόλης. Η νόρμα l 2 είναι η οικεία μας Ευκλείδεια νόρμα (Ευκλείδειο μήκος). Τέλος, η νόρμα l είναι επίσης γνωστή ως «νόρμα Chebyshev». Γενικά η νόρμα του ανύσματος συμβολίζεται ως. Όλες οι ανυσματικές νόρμες έχουν τις ακόλουθες βασικές ιδιότητες, σχετιζόμενες με την έννοια της απόστασης: > 0εάν 0 0 = 0 c = c c + y + y (ανισότητα Schwarz) Στο MATLAB, η νόρμα p υπολογίζεται με την συνάρτηση norm(,p), ενώ norm() είναι το ίδιο με norm(,2). Για παράδειγμα: δίδει = (1:4)/5 norm1 = norm(,1) norm2 = norm() norminf = norm(,inf) = norm1 = norm2 = norminf = Ο πολλαπλασιασμός ενός ανύσματος με ένα πίνακα A δίδει ένα νέο άνυσμα A το οποίο μπορεί να είναι πολύ διαφορετικό από το. Η συνεπαγόμενη μεταβολή της νόρμας είναι ά- μεσα συσχετισμένη με την ευαισθησία την οποία επιυμούμε να μετρήσουμε. Το εύρος διακύμανσης της μεταβολής μπορεί να εκφρασθεί με δύο αριθμούς, A M = ma m = min A Η μέγιστη (ma) και ελάχιστη (min) τιμές λαμβάνονται για όλα τα δυνατά μη-μηδενικά α- νύσματα. Σημειωτέον ότι εάν ο A είναι ιδιάζων, τότε m = 0. Ο λόγος M/m ονομάζεται αριθμός συνθήκης του A, A ma κ ( A ) =. min A Η αριθμητική τιμή του κ(a) εξαρτάται από την χρησιμοποιούμενη ανυσματική νόρμα, αλλά δεδομένου ότι συνήθως ενδιαφερόμαστε για εκτίμηση της τάξης μεγέθους του αριθμού συνθήκης, το είδος της νόρμας δεν έχει συνήθως ιδιαίτερη σημασία. Θεωρούμε τώρα το σύστημα 13

14 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις A = b και ένα δεύτερο σύστημα που προκύπτει αλλοιώνοντας το δεξί σκέλος A( + δ) = b + δb Θεωρούμε την διαταραχή δb ως το σφάλμα του b και την μεταβολή δ ως το προκύπτον σφάλμα της λύσης, χωρίς να κάνομε οιαδήποτε υπόθεση για το μέγεθος αμφοτέρων των σφαλμάτων. Επειδή A(δ) = δb, οι ορισμοί των M και m οδηγούς στις b and M δb m δ Κατά συνέπεια, εάν m 0, δ δb κ( A) b Το μέγεθος δb / b είναι η σχετική μεταβολή στο δεξί σκέλος και το μέγεθος δ / το σχετικό σφάλμα το προκαλούμενο από αυτή την μεταβολή. Το πλεονέκτημα της χρήσης σχετικών μεταβολών έγκειται στο ότι αυτές είναι αδιάστατες, δηλαδή δεν επηρεάζονται από αλλαγές κλίμακας. Από τα ανωτέρω προκύπτει ότι ο αριθμός συνθήκης είναι ένας παράγων μεγέθυνσης του σχετικού σφάλματος. Οιεσδήποτε μεταβολές (σφάλματα) στο δεξί σκέλος, προκαλούν μεταβολές κ(a) φορές μεγαλύτερες στην λύση. Μπορεί να αποδειχθεί ότι το αυτό ισχύει και για μεταβολές (σφάλματα) στον ίδιο τον πίνακα συντελεστών. Ο αριθμός συνθήκης είναι επίσης μέτρο της εγγύτητας στην ιδιάζουσα μορφή. Χωρίς μαθηματική απόδειξη, αναφέρομε απλά ότι ο αριθμός συνθήκης μπορεί να ερμηνευθεί ως ο αντίστροφος της σχετικής απόστασης από τον εν χρήσει πίνακα, προς το σύνολο των ιδιαζόντων πινάκων. Έτσι, εάν ο κ(a) είναι μεγάλος, τότε ο A είναι σχεδόν ιδιάζων. Ορισμένες χρήσιμες ιδιότητες του αριθμού συνθήκης είναι οι εξής: 1. Δεδομένου ότι M m, κ(a) 1 2. Εάν P είναι ένας πίνακας αντιμετάθεσης, τότε τα στοιχεία του γινομένου P είναι απλά μία αναδιάταξη των στοιχείων του. Αυτό σημαίνει ότι P = και έτσι, κ(p ) = 1. Ειδικότερα, κ(i ) = Εάν ο A πολλαπλασιασθεί με ένα μονότιμο μέγεθος c, τότε οι M και m αμφότεροι πολλαπλασιάζονται με τον ίδιο μέγεθος, ώστε κ(ca) = κ(a) 4. Εάν ο D είναι διαγώνιος πίνακας, ma dii κ ( A ) = min d ii Οι δύο τελευταίες ιδιότητες είναι και ο λόγος για τον οποίο ο κ(a) είναι καλύτερο μέτρο της εγγύτητας στην ιδιάζουσα μορφή από την ορίζουσα του A. Ως ακραιο παράδειγμα, θεωρήσατε ένα διαγώνιο πίνακα με στοιχεία 0.1 επί της διαγωνίου. Τότε, det(a) = , έ- νας πολύ μικρός αριθμός, αλλά κ(a) = 1, και τα στοιχεία του A είναι απλά 0.1 φορές τα αντίστοιχα στοιχεία του. Σε ένα γραμμικό σύστημα εξισώσεων, ο πίνακας αυτός συμπεριφέρεται περισσότερο ως ταυτοτικός, παρά ως ιδιάζων. 14

15 Το ακόλουθο παράδειγμα χρησιμοποιεί την νόρμα l A = b = Προφανώς, b = 13.8, = 1. Εάν το δεξί σκέλος αλλάξει σε 4.11 b = 9.70 Η λύση γίνεται 0.34 = 0.97 Έστω δ b= b b και δ =. Τότε, δb = 0.01 δ = 1.63 Η σχετικά μικρή μεταβολή στο b έχει αλλάξει άρδην την λύση. Στην πραγματικότητα, οι σχετικές μεταβολές είναι δb = b δ = 1.63 Επειδή ο κ(a) είναι ο μέγιστος παράγων μεγέθυνσης, 1.63 κ( A ) = Οφείλει να σημειωθεί ότι το παράδειγμα αυτό ασχολείται με τις ακριβείς λύσεις δύο ελαφρά διαφορετικών συστημάτων και ότι η μέθοδος που επιλέχθηκε για να βρεθούν αυτές οι λύσεις δεν έχει σημασία. Το παράδειγμα κατασκευάσθηκε να έχει ένα αρκετά υψηλή αριθμό συνθήκης, ώστε το αποτέλεσμα των μεταβολών να είναι ευκρινές και σημαντικό, αλλά παρόμοια συμπεριφορά οφείλει να αναμένεται από όλα τα φυσικά προβλήματα με μεγάλο αριθμό συνθήκης. Ο αριθμός συνθήκης έχει επίσης θεμελιώδη ρόλο στην ανάλυση των σφαλμάτων στρογγύλευσης που υπεισέρχονται κατά την διάρκεια της επίλυσης με Γκαουσσιανή απαλοιφή. Έστω ότι τα A και b έχουν στοιχεία που είναι ακριβείς αριθμοί κινητής υποδιαστολής, have elements that are eact floating-point numbers, και έστω * το άνυσμα των αριθμών κινητής υ- ποδιαστολής που λαμβάνεται από την επίλυση με κάποιο υπολογιστικό πρόγραμμα. Έστω επίσης ότι ο πίνακας δεν είναι ακριβώς ιδιάζων και ότι δεν υπάρχει κορεσμός (overflow) ή εκκένωση (underflow) των αριθμητικών καταχωρητών στην κύρια μνήμη του Η/Υ. Τότε είναι δυνατό να κατασκευασθούν οι ακόλουθες ανισότητες: 15

16 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις b A A * * * * ρε, ρκ( A) ε Εδώ ε είναι η σχετική ακρίβεια της μηχανής eps και ο ρ θα ορισθεί λεπτομερέστερα κατωτέρω, αλλά συνήθως έχει τιμή όχι μεγαλύτερη του 10. Η πρώτη ανισότητα λέει ότι το σχετικό υπόλοιπο μπορεί να αναμένεται να έχει περίπου το ίδιο μέγεθος με το σφάλμα στρογγύλευσης, άσχετα με την το πόσο κακή είναι η συνθήκη του πίνακα. Η δεύτερη ανισότητα απαιτεί ο A να είναι μη-ιδιάζων και περιλαμβάνει την ακριβή λύση. Παράγεται απ ευθείας από την πρώτη ανισότητα και τον ορισμό του κ(a) και λέει ότι το σχετικό σφάλμα θα είναι μικρό εάν ο κ(a) είναι μικρός, αλλά μπορεί και να είναι αρκετά μεγάλο εάν ο πίνακας είναι σχεδόν ιδιάζων. Για να δοθεί ακριβέστερος ορισμός της παραμέτρου ρ, είναι απαραίτητο να εισαχθεί η έννοια της νόρμας πινάκων και να κατασκευασθούν ορισμένες ακόμα ανισότητες. Η παράμετρος Μ που ορίσθηκε προηγουμένως είναι γνωστή ως νόρμα πινάκων. Ο συμβολισμός της νόρμας πινάκων είναι ο ίδιος με τον συμβολισμό της ανυσματικής νόρμας, A = ma A Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι A -1 = 1/m, ώστε ένας ισοδύναμος ορισμός για τον αριθμό συνθήκης να είναι κ(a) = A A -1. Ο υπολογισμός της νόρμας πίνακα που αντιστοιχεί στις ανυσματικές νόρμες l 1 and l είναι σχετικά εύκολος και καταλήγει στις εκφράσεις: A = ma a 1 ij j i. A = ma a i j ij Ο υπολογισμός της νόρμας που αντιστοιχεί στη ανυσματική νόρμα l 2 απαιτεί αποσύνθεση ιδιαζουσών τιμών (Singular Value Decomposition) τπίνακα και θα συζητηθεί σε άλλοκεφάλαιο. Το MATLAB υπολογίζει την νόρμα πίνακα με την συνάρτηση norm(a,p) για p = 1, 2, ή inf. Το βασικό συμπέρασμα από την μελέτη της επίδρασης των σφαλμάτων στρογγύλευσης στην Γκαουσσιανή απαλοιφή οφείλεται στον J. H. Wilkinson,ο οποίος απέδειξε ότι η υπολογιζόμενη λύση * ικανοποιεί ακριβώς την εξίσωση (A + E) * = b όπου E είναι ένα πίνακας του οποίου τα στοιχεία έχουν μέγεθος της τάξης των σφαλμάτων στρογγύλευσης στα στοιχεία του A. Σε γενικές γραμμές, εάν η παράμετρος ρ ορίζεται από την σχέση E = ρε A τότε η ρ σπάνια θα είναι μεγαλύτερη του 10. Με βάση αυτό το βασικό συμπέρασμα, παράγονται ανισότητες που περιλαμβάνουν τα υπόλοιπα και το σφάλμα της λύσης. Τα υπόλοιπα 16

17 δίδονται από την εξίσωση b - A * = E * από όπου b - A * = E * = E * Το σχετικό υπόλοιπο συγκρίνει τις νόρμες της b - A με τις νόρμες του A και του * μέσω της ανισότητας b A* ρε A * Εάν ο Α είναι μη-ιδιάζων, το σφάλμα μπορεί να εκφραστεί με χρήση του αντιστρόφου του Α ως: - * = A -1 (b - A * ) και έτσι, - * = A -1 E * Η σύγκριση της νόρμας του σφάλματος με την νόρμα της υπολογισθείσας λύσης είναι απλούστερη. Το σχετικό σφάλμα ικανοποιεί την ανισότητα * * από όπου * * ρ A A ρκ( A) ε 1 ε 2.10 Περαιτέρω μελέτη και βιβλιογραφία J. W. Demmel, Applied Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, 419 pages. G. H. Golub and C. F. Van Loan, Matri Computations, 2nd Edition, The John Hopkins University Press, Baltimore, G. W. Stewart, Introduction to Matri Computations, Academic Press, New York, G. W. Stewart Matri Algorithms: Basic Decompositions, SIAM, 1998, 458 pages. L. N. Trefethen and D. Bau, III, Numerical Linear Algebra, SIAM, 1997, 361 pages. N. J. Higham, and F. Tisseur, A Block Algorithm for Matri 1-Norm Estima tion, SIAM J. on Matri Analysis and Applications, 21 (2000), pp Ασκήσεις 1. Η Θεοδώρα αγοράζει τρία αχλάδια, δώδεκα μήλα και μία κολοκύθα για 2,36. Ο Γρηγόρης αγοράζει δώδεκα αχλάδια και δύο κολοκύθες για 5,26. Η Αγγελική αγοράζει δύο μήλα και τρείς κολοκύθες για Ποία είναι η τιμή μονάδας εκάστου φρούτου χωρισ- 17

18 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις τά; and one cantaloupe for $ Η Εικόνα 2.1 δείχνει ένα επίπεδο πλέγμα από 13 δοκούς (οι αριθμημένες γραμμές) που ενώνουν 8 αρμούς (αριθμημένοι κύκλοι). Επί των αρμών 2, 5 και 6 εφαρμόζονται τα εικονιζόμενα φορτία (σε μετρικούς τόνους). Θέλομε να υπολογίζομε την προκύπτουσα δύναμε σε κάθε δοκό του πλέγματος. 18 Εικόνα 2.1. Για να βρίσκεται το πλέγμα σε στατική ισορροπία, πρέπει να μην υπάρχει συνιστάμενη οριζόντια ή κατακόρυφη δύναμη σε κάθε αρμό. Έτσι, μπορούμε να καθορίσομε την δύναμη σε κάθε δοκό εξισώνοντας τις οριζόντιες δυνάμεις αριστερά και δεξιά κάθε αρμού, καθώς και τις κατακόρυφες δυνάμεις άνωθεν και κάτωθεν κάθε αρμού. Για 8 αρμούς, η μέθοδος αυτή θα δώσει 16 εξισώσεις, οι οποίες είναι περισσότερες από τους 13 άγνωστους παράγοντες που πρέπει να προσδιορισθούν. Για να είναι στατικά υλοποιήσιμο το πλέγμα, δηλ. για να υπάρχει μία μοναδική λύση, υποθέτομε ότι ο αρμός 1 είναι άκαμπτα καθηλωμένος τόσο οριζόντια, όσο και κατακόρυφα, και ότ ο αρμός 8 είναι άκαμπτα καθηλωμένος κατακόρυφα. Αναλύοντας τις δυνάμεις f i στις δοκούς σε οριζόντιες και κατακόρυφες συνιστώσες και ορίζοντας a = 1/ 2, λαμβάνομε το ακόλουθο σύστημα εξισώσεων: ΑΡΜΟΣ 2: f2 = f6 f3 = 10 ΑΡΜΟΣ 3: af1 = f4 + af5 af1+ f3+ af5 = 0 ΑΡΜΟΣ 4: f4 = f8 f7 = 0 ΑΡΜΟΣ 5 af5 + f6 + af9 = f10 af5 + f7 + af9 = 15 ΑΡΜΟΣ 6 f10 = f13 f11 = 20 ΑΡΜΟΣ 7 f8 + af9 = af12 af9 + f11 + af12 = 0 ΑΡΜΟΣ 8 f13 + af12 = 0 Λύσατε το σύστημα εξισώσεων για τις δυνάμεις fi επί των δοκών. 3. Η Εικόνα 2.2 παρουσιάζει ένα κύκλωμα που αποτελείται από μικρό δίκτυο αντιστάσεων.

19 Υπάρχουν πέντε κόμβοι, οκτώ αντιστάσεις και μία πηγή σταθερού ρεύματος. Επιθυμούμε να υπολογίσουμε την πτώση τάσης μεταξύ των κόμβων του κυκλώματος και τα ρεύματα που ρέουν σε κάθε βρόχο του δικτύου. Το κύκλωμα αυτό μπορεί να περιγραφεί με διαφορετικά γραμμικά συστήματα. Έστω v k, k = 1,, 4 η τάση μεταξύ εκάστου εκ των τεσσάρων πρώτων κόμβων και του πέμπτου κόμβου. Έστω i k, k = 1,,4 το (δεξιόστροφα ρέον) ρεύμα εντός εκάστου εκ των βρόχων του διαγράμματος. Εικόνα 2.2. Δίκτυο αντιστάσεων. Από τον νόμο του Ohm, η πτώση τάσης σε μία αντίσταση δίδεται από την αντίσταση επί το ρεύμα. Για παράδειγμα, ο κλάδος μεταξύ των κόμβων 1 και 2 δίδει v 1 - v 2 = r 12 (i 2 - i 1 ). Με χρήση της αγωγιμότητας, η οποία είναι το αντίστροφο της αντίστασης, g kj = 1/r kj, ο νόμος του Ohm γίνεται i 2 - i 1 = g 12 (v 1 - v 2 ). Η πηγή του ρεύματος περιλαμβάνεται στην εξίσωση v 3 - v s = r 35 i 4 Σύμφωνα με τον νόμο ισορροπίας τάσεων του Kirchoff, το άθροισμα των διαφορών τάσης γύρω από κάθε βρόχο είναι μηδέν. Για παράδειγμα, γύρω από τον βρόχο 1 έχομε (v 1 - v 4 ) + (v 4 - v 5 ) + (v 5 - v 2 ) + (v 2 - v 1 ) = 0. Συνδυάζοντας το νόμο Kirchoff με τον νόμο του Ohm τελικά κατασκευάζομε το σύστημα γραμμικών εξισώσεων που διέπει το κύκλωμα Ri = b, όπου i είναι το άνυσμα των ρευμάτων i1 i2 i = i3 i4 b είναι το άνυσμα της πηγής 0 0 b = 0 V s και R ο πίνακας αντιστάσεων 19

20 Κεφάλαιο 2, Γραμμικές Εξισώσεις r25 + r12 + r14 + r45 r12 r14 r45 r12 r23 + r12 + r13 r13 0. r14 r13 r14 + r13 + r34 r 34 r45 0 r34 r35 + r45 + r34 Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί ως προς τα ρεύματα και μετά, με χρήση του νόμου του Ohm να υπολογισθούν οι αντιστάσεις. Εναλλακτικά, σύμφωνα με τον νόμο ισορροπίας ρευμάτων του Kirchoff, άθροισμα των ρευμάτων σε κάθε κόμβο είναι μηδέν. Για παράδειγμα στον κόμβο 1 έχομε: (i 1 - i 2 ) + (i 2 - i 3 ) + (i 3 - i 1 ) = 0 Συνδυάζοντας τον νόμο Kirchoff με τον νόμο του Ohm (στην μορφή που γράφεται με αγωγιμότητα αντί για αντίσταση), λαμβάνομε το σύστημα Gv = c, όπου v είναι το άνυσμα τάσεων, v1 v2 v = v3 v4 c είναι το πηγαίο ρεύμα 0 0 c = g35v s 0 Και G είναι ο πίνακας αγωγιμότητας g + g + g g g g g12 g12 + g23 + g25 g23 0 g13 g23 g13 + g23 + g34 + g35 g34 g14 0 g34 g14 + g34 + g45 Το σύστημα αυτό μπορεί να λυθεί ως προς τις τάσεις και μετά, χρησιμοποιώντας τον νόμο του Ohm να υπολογισθούν τα ρεύματα. Αποστολή σας είναι να πιστοποιήσετε ότι αμφότερες οι τεχνικές δίδουν τα ίδια αποτελεέσματα. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε δικές σας τιμές πηγαίας τάσης και αντιστάσεων. 4. Ο αλγόριθμος Cholesky παραγοντοποιεί μία σπουδαία κατηγορία μητρών (πινάκων) γνωστών με τον όρο θετικοί ορισμένοι πίνακες. Ο Andre-Louis Cholesky ( ) ή- ταν Γάλλος αξιωματικός και ασχολήθηκε με την γεωδαισία και την τοπογραφία στην Κρήτη και Β. Αφρική λίγο προ του Α Παγκοσμίου Πολέμου. Ανέπτυξε την ομώνυμή του για να υπολογίζει λύσεις σε συστήματα κανονικών εξισώσεων που προκύπτουν από ορισμένα γεωδαιτικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων μέθοδο (εξομοίωση δεδομένων). Ένας πραγματικός συμμετρικός πίνακας A = A T είναι θετικός ορισμένος, όταν ισχύουν οι ακόλουθες ισοδύναμες συνθήκες: Η τετραγωνική (quadratic) μορφή T A είναι θετική για όλα τα μη-μηδενικά ανύσματα.. 20

21 Όλες οι ορίζουσες Alπου σχηματίζονται από υποπίνακες κάθε τάξης συμμετρικούς περί την διαγώνιο του Α είναι θετικές. Όλες οι ιδιοτιμές λ(α) είναι θετικές. Υπάρχει πραγματικός πίνακας R τέτοιος ώστε Α = R T R. Το γεγονός είναι πως οι συνθήκες αυτές είναι δύσκολο, ή υπολογιστικά απαιτητικό να χρησιμοποιηθούν ως βάση για να πιστοποιηθεί εάν ένας πίνακας είναι θετικός ορισμένος, Στο MATLAB, ο καλύτερος τρόπος πιστοποίησης αυτής της ιδιότητας είναι η χρήση της συνάρτησης chol. Για λεπτομέρειες ανατρέξατε στην online βοήθεια του MATLAB ή δώσατε την εντολή help chol. Ποία από τις ακόλουθες οικογένειες πινάκων είναι θετική ορισμένη; M = magic(n) H = hilb(n) P = pascal(n) I = eye(n,n) R = randn(n,n) R = randn(n,n); A = R * R R = randn(n,n); A = R + R R = randn(n,n); I = eye(n,n); A = R + R + n*i 5. Έστω A= ' 2 b = (α) Δείξατε ότι το γραμμικό σύστημα A = b έχει απείρως πολλές λύσεις. Περιγράψατε το σύνολο των πιθανών λύσεων. (β) Υποθέσατε ότι για την λύση του συστήματος A = b χρησιμοποιείται Γκαουσσιανή απαλοιφή με ακριβή αριθμητική. Επειδή υπάρχουν απείρως πολλές λύσεις, είναι μάλλον παράλογο να αναμένει κανείς τον υπολογισμό μίας συγκεκριμένης λύσης. Τι συμβαίνει στην πραγματικότητα; (γ) Χρησιμοποιήσατε την συνάρτηση bslasht για λύση της A = b σε πραγματικό υπολογιστή με αριθμητική κινητής υποδιαστολής. Τι λύση λαμβάνετε; Γιατί; Κατά ποία έννοια είναι αυτή μία «καλή» λύση; Κατά ποία έννοια αποτελεί αυτή μία «κακή» λύση; to solve A = b on an actual computer with floating-pointarithmetic. (δ) Εξηγήσατε γιατί ο τελεστής backslash (\) =A\b δίδει λύση διαφορετική από την = bslasht(a,b). 21

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων

5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων 5269: Υπολογιστικές Μέθοδοι για Μηχανικούς Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων http://ecourseschemengntuagr/courses/computational_methods_for_engineers/ Συστήματα Γραμμικών Αλγεβρικών Εξισώσεων Γενικά:

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Γραμμικά Συστήματα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Γραμμικό Σύστημα a11x1 + a12x2 + + a1 nxn = b1 a x + a x + +

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων

Κεφ. 2: Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. 2.1 Επίλυση εξισώσεων Κεφ. : Επίλυση συστημάτων εξισώσεων. Επίλυση εξισώσεων. Επίλυση συστημάτων με απευθείας μεθόδους.. Μέθοδοι Gauss, Gauss-Jorda.. Παραγοντοποίηση LU (ειδικές περιπτώσεις: Cholesky, Thomas).. Νόρμες πινάκων,

Διαβάστε περισσότερα

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn

21 a 22 a 2n. a m1 a m2 a mn Παράρτημα Α Βασική γραμμική άλγεβρα Στην ενότητα αυτή θα παρουσιαστούν με συνοπτικό τρόπο βασικές έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Ο στόχος της ενότητας είναι να αποτελέσει ένα άμεσο σημείο αναφοράς και

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι. Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων

Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων Κεφάλαιο 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων 8 Μέθοδοι ανάλυσης κυκλωμάτων ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Συστήματα εξισώσεων στην ανάλυση κυκλωμάτων Η μέθοδος των ρευμάτων βρόχων Η μεθοδος των ρευμάτων των κλάδων 2

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - 02/07/08) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Ονοματεπώνυμο:......... Α.Μ....... Ετος... ΑΙΘΟΥΣΑ:....... I. (περί τις 55μ. = ++5++. Σωστό ή Λάθος: ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (Εξ. Ιουνίου - //8 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (αʹ Αν AB = BA όπου A, B τετραγωνικά και

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ

ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Θα ξεκινήσουµε την παρουσίαση των γραµµικών συστηµάτων µε ένα απλό παράδειγµα από τη Γεωµετρία, το οποίο ϑα µας ϐοηθήσει στην κατανόηση των συστηµάτων αυτών και των συνθηκών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.

ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα

Διαβάστε περισσότερα

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου

Matrix Algorithms. Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Matrix Algorithms Παρουσίαση στα πλαίσια του μαθήματος «Παράλληλοι Αλγόριθμοι» Γ. Καούρη Β. Μήτσου Περιεχόμενα παρουσίασης Πολλαπλασιασμός πίνακα με διάνυσμα Πολλαπλασιασμός πινάκων Επίλυση τριγωνικού

Διαβάστε περισσότερα

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. nn n n ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΕΠΙΛΥΣΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ 3 Ο αλγόριθµος Gauss Eστω =,3,, µε τον όρο γραµµικά συστήµατα, εννοούµε συστήµατα εξισώσεων µε αγνώστους της µορφής: a x + + a x = b a x + + a x = b a

Διαβάστε περισσότερα

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ].

D = / Επιλέξτε, π.χ, το ακόλουθο απλό παράδειγμα: =[IA 1 ]. 4. Φυλλάδιο Ασκήσεων IV σύντομες λύσεις, ενδεικτικές απαντήσεις πολλαπλής επιλογής 4.. Άσκηση. Χρησιμοποιήστε τη διαδικασία Gauss-Jordan γιά να βρείτε τους αντιστρόφους των παρακάτω πινάκων, αν υπάρχουν.

Διαβάστε περισσότερα

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ

HY213. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ HY3. ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ AΝΑΛΥΣΗ ΙΔΙΑΖΟΥΣΩΝ ΤΙΜΩΝ Π. ΤΣΟΜΠΑΝΟΠΟΥΛΟΥ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ & ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων Τα σφάλματα

Διαβάστε περισσότερα

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1)

QR είναι ˆx τότε x ˆx. 10 ρ. Ποιά είναι η τιµή του ρ και γιατί (σύντοµη εξήγηση). P = [X. 0, X,..., X. (n 1), X. n] a(n + 1 : 1 : 1) ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ I (22 Σεπτεµβρίου) ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1ο ΘΕΜΑ 1. Αφού ορίσετε ακριβώς τι σηµαίνει πίσω ευσταθής υπολογισµός, να εξηγήσετε αν ο υ- πολογισµός του εσωτερικού γινοµένου δύο διανυσµάτων

Διαβάστε περισσότερα

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2

2x y = 1 x + y = 5. 2x y = 1. x + y = 5. 2x y = 1 4x + 2y = 0. 2x y = 1 4x + 2y = 2 Σημειώσεις μαθήματος Μ22 Γραμμική Άλγεβρα Ι Βασισμένες στο βιβλίο του GStrang Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2 Εισαγωγή Αυτές οι σημειώσεις καλύπτουν την ύλη του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7:

ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7: ΗΛΕΚΤΡΟΤΕΧΝΙΑ Ενότητα 7: Ανάλυση σύνθετων ηλεκτρικών κυκλωμάτων Καθηγητής Πουλάκης Νικόλαος ΤΕΙ Δ. ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων

Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις

= 7. Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις 1. Εισαγωγή Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς = = 1 + 6 + 11 + 6 = + 6 + 11 + 6 =. 2 Στο σημείο αυτό θα υπενθυμίσουμε κάποιες βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace, δηλαδή τις L = 0 # και L $ % &'

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss-Jordan Παραγοντοποίηση LU, LDU Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x+ y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX

ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ :. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Σε κάθε τετραγωνικό πίνακα ) τάξης n θα αντιστοιχίσουμε έναν πραγματικό ( ij αριθμό, τον οποίο θα ονομάσουμε ορίζουσα του πίνακα. Η ορίζουσα θα συμβολίζεται det ή Α ή n n

Διαβάστε περισσότερα

Ορισμοί και πράξεις πινάκων

Ορισμοί και πράξεις πινάκων Ορισμοί και πράξεις πινάκων B.. Εισαγωγή Κατά την εύρεση των μαθηματικών μοντέλων των σύγχρονων δυναμικών συστημάτων, διαπιστώνεται ότι οι διαφορικές εξισώσεις που εμπλέκονται μπορούν να γίνουν πολύ περίπλοκες

Διαβάστε περισσότερα

3. Γραμμικά Συστήματα

3. Γραμμικά Συστήματα 3. Γραμμικά Συστήματα Ασκήσεις 3. Αποδείξτε ότι το γινόμενο δύο άνω τριγωνικών πινάκων είναι άνω τριγωνικός πίνακας. Επίσης, στην περίπτωση που ένας άνω τριγωνικός πίνακας U 2 R n;n είναι αντιστρέψιμος,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες,

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ. Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΝΑΚΩΝ Ορισμός 1: Ένας πίνακας Α με m γραμμές και n στήλες, παριστάνεται με την εξής ορθογώνια διάταξη: α11 α12 α1n α21 α22 α2n A = αm1 αm2 αmn Ορισμός 2: Δύο πίνακες Α και Β είναι ίσοι, και γράφουμε

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων

Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων Επίλυση Συστήματος Γραμμικών Διαφορικών Εξισώσεων. Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Ανυσμάτων Θεωρούμε χώρο δύο διαστάσεων και συμβατικά ένα ορθογώνιο σύστημα αξόνων για την περιγραφή κάθε ανύσματος του χώρου

Διαβάστε περισσότερα

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα.

Πιο συγκεκριμένα, η χρήση του MATLAB προσφέρει τα ακόλουθα πλεονεκτήματα. i Π Ρ Ο Λ Ο Γ Ο Σ Το βιβλίο αυτό αποτελεί μια εισαγωγή στα βασικά προβλήματα των αριθμητικών μεθόδων της υπολογιστικής γραμμικής άλγεβρας (computational linear algebra) και της αριθμητικής ανάλυσης (numerical

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex

Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου EΘNIKO ΜEΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΧΗΜΙΚΩΝΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΙΙ: Ανάλυσης, Σχεδιασμού & Ανάπτυξης Διεργασιών & Συστημάτων Διάλεξη 3: Βασικές τεχνικές επίλυσης γραμμικών συστημάτων Μάθημα Επιλογής 8 ου εξαμήνου

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον

Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Κεντρικής Μακεδονίας - Σέρρες Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Αριθμητικές Μέθοδοι σε Προγραμματιστικό Περιβάλλον Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης

Διαβάστε περισσότερα

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c

1 Arq thc Majhmatik c Epagwg c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 0 Σημειώσεις 7-0- Μ. Ζαζάνης Arq thc Majhati c Epagwg c Θα συμβολίζουμε το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, {,,,...} με το σύμβολο N. Το σύνολο των ϕυσικών αριθμών, συμπεριλαμβανομένου

Διαβάστε περισσότερα

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν.

Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές αν όλοι οι σταθεροί όροι του (δηλαδή οι όροι του δεξιού μέλους του συστήματος) είναι μηδέν. Ομογενή Συστήματα Ορισμός Ενα σύστημα λέγεται ομογενές

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Πίνακες Επιμέλεια: I. Λυχναρόπουλος 3. Αν A 5 4, B 4, C να υπολογίσετε τις ακόλουθες πράξεις 4 3 8 3 7 3 (αν έχουν νόημα): α) AB, b) BA, c) CB, d) C B,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/09/2013

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 12/09/2013 ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /09/0 ΘΕΜΑ ο (4 μονάδες Στον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος, το τρανζίστορ πολώνεται με συμμετρικές πηγές τάσης V και V των V Για το τρανζίστορ δίνονται:

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων

Πίνακες >>A = [ 1,6; 7, 11]; Ή τον πίνακα >> B = [2,0,1; 1,7,4; 3,0,1]; Πράξεις πινάκων Πίνακες Ένας πίνακας είναι μια δισδιάστατη λίστα από αριθμούς. Για να δημιουργήσουμε ένα πίνακα στο Matlab εισάγουμε κάθε γραμμή σαν μια ακολουθία αριθμών που ξεχωρίζουν με κόμμα (,) ή κενό (space) και

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Ορίζουσες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Ορίζουσα H Ορίζουσα είναι ένας αριθμός και ορίζεται μόνον για τετραγωνικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟΥ Ι κ. ΠΕΤΑΛΙΔΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΕ 1 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΜΕΡΟΣ 5: ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΥΠΟΧΩΡΟΙ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΒΑΣΕΙΣ & ΔΙΑΣΤΑΣΗ Δ.Χ. ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος. Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-121: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Βασικές Αρχές Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ηλεκτρικό ρεύμα Το ρεύμα είναι αποτέλεσμα της κίνησης

Διαβάστε περισσότερα

2 3x 5x x

2 3x 5x x ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΑΙ ΧΡΗΜΑΤΟΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Ι ΙΩΑΝΝΗΣ Σ ΣΤΑΜΑΤΙΟΥ ΣΑΜΟΣ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγικές Μαθηματικές Έννοιες 1

Εισαγωγικές Μαθηματικές Έννοιες 1 Εισαγωγικές Μαθηματικές Έννοιες 1 1.1 Εισαγωγικές γνώσεις στα μαθηματικά 1.2 Επίλυση εξισώσεων 1.3 Απλές ανισώσεις 1.4 Υπολογισμός ποσοστών Στόχοι του κεφαλαίου Στο τέλος αυτού του κεφαλαίου θα πρέπει

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες διαφορές

Πεπερασμένες διαφορές Κεφάλαιο 2 Πεπερασμένες διαφορές Αυτό το κεφάλαιο αποτελεί μια εισαγωγή στο αντικείμενο των πεπερασμένων διαφορών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων. Θα εισαγάγουμε ποσότητες που προκύπτουν από διαφορές

Διαβάστε περισσότερα

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο

Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Θερμοδυναμική - Εργαστήριο Ενότητα 8: Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων Εργαλεία Excel minverse & mmult Κυρατζής Νικόλαος Τμήμα Μηχανικών Περιβάλλοντος και Μηχανικών Αντιρρύπανσης ΤΕ Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Παράδειγμα Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα του πίνακα A 4. Επίσης να προσδιοριστούν οι ιδιοχώροι και οι γεωμετρικές πολλαπλότητες των ιδιοτιμών.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλαιο 4: Συστηματικές μέθοδοι επίλυσης κυκλωμάτων Οι διαφάνειες ακολουθούν το βιβλίο του Κων/νου Παπαδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISBN: 978-960-93-7110-0 κωδ.

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 9ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Δείξτε ότι ο V R εφοδιασμένος με τις ακόλουθες πράξεις (, a b) + (, d) ( a+, b+ d) και k ( ab, ) ( kakb,

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Τμήμα Τεχνολογίας Αεροσκαφών ΤΕ ΤΕΙ ΣΤΕΡΕΑΣ ΕΛΛΑΔΑΣ Χειμερινό Εξάμηνο 2013-14 Δρ. Β. Σγαρδώνη ΚΕΦΑΛΑΙΑ 1. Εισαγωγή 2. Σφάλματα, αριθμητική μηχανής και αλγόριθμοι 3. Επίλυση συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα

ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2009-2010 Μαθηματικά για Οικονομολόγους ΙI-Μάθημα 4 Γραμμικά Συστήματα ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ένα σύνολο m εξισώσεων n αγνώστων που έχει την ακόλουθη

Διαβάστε περισσότερα

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)

Τι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση) TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119)

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-119) ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΙΩΑΝΝΗΣ Α. ΤΣΑΓΡΑΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ (ΗΥ-9) ΜΕΡΟΣ 7: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ & ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΔΙΑΓΩΝΙΟΠΟΙΗΣΗ ΠΙΝΑΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΙΣ ΠΑΡΑΔΟΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί:

8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ. 8.1 Ορισμοί: 8. ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ Σχ. 8.1 Παραδείγματα δικτυωμάτων 8.1 Ορισμοί: Δικτύωμα θα λέγεται ένας σύνθετος φορέας που όλα τα μέλη του είναι ράβδοι. Παραδείγματα δικτυωμάτων δίνονται στο σχήμα παραπάνω. Πλεονέκτημα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΜΑΘΗΜΑ 1 ο 1 Εισαγωγή Έντυπα εγχειρίδια ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ, ΑΚΡΙΒΗΣ Γ.Δ., ΔΟΥΓΑΛΗΣ Β.Α. Αριθμητική ανάλυση με εφαρμογές σε matlab & mathematica,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών

Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών Κεφ. 6Β: Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις (ΣΔΕ) - προβλήματα αρχικών τιμών. Εισαγωγή (ορισμός προβλήματος, αριθμητική ολοκλήρωση ΣΔΕ, αντικατάσταση ΣΔΕ τάξης n με n εξισώσεις ης τάξης). Μέθοδος Euler 3. Μέθοδοι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. ρ Χρήστου Νικολαϊδη ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ρ Χρήστου Νικολαϊδη Δεκέμβριος Περιεχόμενα Κεφάλαιο : σελ. Τι είναι ένας πίνακας. Απλές πράξεις πινάκων. Πολλαπλασιασμός πινάκων.

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΝΟΤΗΤΑ: Αριθμητική Γραμμική Άλγεβρα (1) ΙΟΝΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Βλάμος Παναγιώτης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 2 : Επίλυση Γραµµικών Εξισώσεων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι)

7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7.2 ΜΗΤΡΕΣ ΕΙΔΙΚΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (Ι) 77 78 7 ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΗΤΡΩΝ. 7. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Άλγεβρα των μητρών οι πινάκων είναι ιδιαίτερα χρήσιμη για την επίλυση συστημάτων καθώς επίσης στις επιστήμες της οικονομετρίας και της στατιστικής. ΟΡΙΣΜΟΣ: Μήτρα

Διαβάστε περισσότερα

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan

Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jordan Παραδείγματα Απαλοιφή Gauss Απαλοιφή Gauss Jodan Παράδειγμα x y Να επιλυθεί το ακόλουθο σύστημα: x y 6 Σε μορφή πινάκων το σύστημα γράφεται ως: x y 6 με απαλοιφή Gauss. Ο επαυξημένος πίνακας του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex

3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex 3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss

Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων

Κεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με

Διαβάστε περισσότερα

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58

Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις

Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις Πανεπιστήμιο Κρήτης Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ-2: Ηλεκτρονικά Κυκλώματα Γιώργος Δημητρακόπουλος Άνοιξη 2008 Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων με Αντιστάσεις H ανάλυση ενός κυκλώματος με αντιστάσεις στη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε

Κεφάλαιο 2. Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε Κεφάλαιο Μέθοδος πεπερασµένων διαφορών προβλήµατα οριακών τιµών µε Σ Ε. Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών είναι από τις παλαιότερες και πλέον συνηθισµένες και διαδεδοµένες υπολογιστικές τεχνικές

Διαβάστε περισσότερα

Το αμπερόμετρο αποτελείται από ένα γαλβανόμετρο στο οποίο συνδέεται παράλληλα μια αντίσταση R

Το αμπερόμετρο αποτελείται από ένα γαλβανόμετρο στο οποίο συνδέεται παράλληλα μια αντίσταση R Άσκηση : Βασικές μετρήσεις συνεχούς ρεύματος και όργανα μετρήσεων Σκοπός της άσκησης: (Το πολύ 5 γραμμές συνοπτικά τι διεξήχθη στο πείραμα και γιατί) Ο σκοπός της άσκησης είναι η εξοικείωση με τα βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων

Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ακρότατα πραγματικών συναρτήσεων Ορισμός Έστω U R, U και f : U R R συνάρτηση τότε: )Το λέγεται τοπικό ελάχιστο της f αν υπάρχει περιοχή V του ώστε f f για κάθε V U Το λέγεται τοπικό μέγιστο της f αν υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 7ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ορίζουσες Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Υπολογίστε τις ακόλουθες ορίζουσες a) 4 b) c) a b + a) 4 4 Παρατήρηση: Προσέξτε ότι ο συμβολισμός της ορίζουσας

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται

Διαβάστε περισσότερα

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής

Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Ανάλυση Πινάκων Κεφάλαιο 2: Παραγοντοποίηση SVD Παναγιώτης Ψαρράκος Αν. Καθηγητής Δ.Π.Μ.Σ. Εφαρμοσμένες Μαθηματικές Επιστήμες Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Τομέας Μαθηματικών Εθνικό

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ

ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 23/06/2016 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΑ ΙΙ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: /6/6 ΘΕΜΑ ο (5 μονάδες Για τον ενισχυτή του παρακάτω σχήματος δίνονται: =, = 6 kω, = kω και = = Ε = = kω, ενώ για το τρανζίστορ δίνονται: = 78, β

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων

Άσκηση 13. Θεωρήματα Δικτύων Άσκηση Θεωρήματα Δικτύων. Θεώρημα Βρόχων ΣΚΟΠΟΣ Πειραματική επαλήθευση της μεθόδου των βρογχικών ρευμάτων. ΘΕΩΡΙΑ Με τη μέθοδο των βρογχικών ρευμάτων, η επίλυση ενός κυκλώματος στηρίζεται στον υπολογισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ. Μαθηματικά 1. Σταύρος Παπαϊωάννου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ Μαθηματικά Σταύρος Παπαϊωάννου Ιούνιος 5 Τίτλος Μαθήματος Περιεχόμενα Χρηματοδότηση.. Σφάλμα! Δεν έχει οριστεί σελιδοδείκτης. Σκοποί Μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr

Παντελής Μπουμπούλης, M.Sc., Ph.D. σελ. 2 math-gr.blogspot.com, bouboulis.mysch.gr VI Ολοκληρώματα Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ mth-grlogspotcom, ououlismyschgr ΜΕΡΟΣ Αρχική Συνάρτηση Ορισμός Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της στο Δ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2).

ΜΑΣ 371: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 1. Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrange για τα σημεία (0, 1), (1, 2) και (4, 2). ΜΑΣ 37: Αριθμητική Ανάλυση ΙI ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρεθεί το πολυώνυμο Lagrage για τα σημεία (, ), (, ) και (4, ) Να βρεθεί το πολυώνυμο παρεμβολής Lagrage που προσεγγίζει τη συνάρτηση 3 f ( x) si x στους κόμβους

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 Αριθµητική Ανάλυση 23 Νοεµβρίου 2016 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν

Διαβάστε περισσότερα

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43

Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου / 43 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 Αριθµητική Ανάλυση 1 εκεµβρίου 2014 1 / 43 Κεφ.5. Αριθµητικός Υπολογισµός Ιδιοτιµών και Ιδιοδιανυσµάτων ίνεται ένας πίνακας A C n n και Ϲητούνται να προσδιορισθούν οι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένες Διαφορές.

Πεπερασμένες Διαφορές. Κεφάλαιο 1 Πεπερασμένες Διαφορές. 1.1 Προσέγγιση παραγώγων. 1.1.1 Πρώτη παράγωγος. Από τον ορισμό της παραγώγου για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι η παράγωγος μιας συνάρτησης f στο σημείο x

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Cross Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Μέθοδος Cross Η μέθοδος Cross ή μέθοδος κατανομής των ροπών, χρησιμοποιείται για την επίλυση συνεχών δοκών και πλαισίων. Είναι παραλλαγή

Διαβάστε περισσότερα

Μαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab. Αριθμητικός υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών.

Μαρία Λουκά. Εργαστήριο Matlab. Αριθμητικός υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων. Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Μαρία Λουκά Εργαστήριο Matlab Αριθμητικός υπολογισμός ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών. Βασικές Συναρτήσεις της Matlab Γραμμικοί δείκτες (Linear indices) Ένας γραμμικός

Διαβάστε περισσότερα

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ

5.9 ΘΕΤΙΚΑ ΟΡΙΣΜΕΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΕΣΩΤΕΡΙΚΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Α Β Δ J 1 =A+Γ και J 3 = Β Γ Ε Δ Ε Ζ d + c x + a + b y ac+ bd x y = R A έχουμε: 1 1 1 1 Για την εξίσωση ( ) ( ) ( ) ( ) A, B,, 0, E 0, Z A = c + d = ac+ bd Γ= a + b Δ= =

Διαβάστε περισσότερα