Επίλυση Δ.Ε. με Laplace

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Επίλυση Δ.Ε. με Laplace"

Transcript

1 Επίλυση Δ.Ε. με Laplace Ν. Παπαδάκης 24 Οκτωβρίου 2015 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

2 Περιεχόμενα 1 Παρουσίαση Προβλήματος Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Συμπέρασμα 2 Ορισμοί Διαϕορικών Εξισώσεων Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Τάξη Δ.Ε. Συνήθεις και μερικές Γραμμικές και μη γραμμικές Ομογενείς και ετερογενείς Ορισμός Ομογενών Διαϕορικών Εξισώσεων Δεν υπάρχει μόνο μια ταξονομία Λύση Αρχικές συνθήκες Πρόβλημα οριακών συνθηκών 3 Laplace Transform Laplace Transform Ορισμός Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

3 Section 1 Παρουσίαση Προβλήματος Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

4 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Ορισμός Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) όταν είναι γνωστά ότι ẋ(t = 0) = 0 x(t = 0) = 1 Να βρεθεί: ẍ, ẋ, x γιαt = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

5 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) d 2 dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

6 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

7 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Άλλες μορϕή του ίδιου προβλήματος Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: d 2 ẍ + 2 ẋ + x = sin(t) ẍ(t) + 2 ẋ(t) + x = sin(t) dt 2 x(t) + 2 d x(t) + x(t) = sin(t) dt επίσης όταν x y και t x d 2 dt 2 y(x) + 2 d y(x) + y(x) = sin(x) dt επίσης όταν x f(x) και t x ÿ + 2 ẏ + y = sin(x) d 2 dt 2 f(x) + 2 d f(x) + 1 = sin(x) dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

8 Επίλυση διαϕορικής εξίσωσης Συμπέρασμα Να λυθεί η διαϕορική εξίσωση: ẍ + 2 ẋ + 1 = sin(t) ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΟΙ ΤΡΟΠΟΙ - ΙΔΙΑ ΟΥΣΙΑ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

9 Section 2 Ορισμοί Διαϕορικών Εξισώσεων Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

10 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Level 1 Διαϕορικές Εξισώσεις Level 2 Ταξη Συνήθης ή Μερικές Γραμμικές ή μη Γραμμικες Ετερογενείς ή Ομογενείς Level 3 Σταθερού συντελεστή Μεταβλητού Συντελεστή Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

11 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Τάξη Δ.Ε. Ίση με την μεγαλύτερη παράγωγο που παρουσιάζεται στην εξίσωση. 1ης τάξης : Μέχρι παράγωγο πρώτης τάξης 2ης τάξης : dy = ax και dx ( ) dy 3 + y dx x = b d 2 y = ax και dx2 ( d 3 ) 3 y dx 3 + y x = b Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

12 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Συνήθεις και μερικές Συνήθης (Ordinary) : μια συνήθης διαϕορική εξίσωση περιέχει διαϕορικά ως προς μια μόνο ανεξάρτητη μεταβλητή. dy dx = ax και d3 y dx 3 + y = b είναι συνήθης x Μερικές (Partial) : αν περιέχονται διαϕορικά για περισσότερες από μια μεταβλητές τότε πρόκειται για μερική διαϕορική εξίσωση. 2 z x y + z z + z = 0 και x x = z y είναι μερικές. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

13 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Γραμμικές και μη γραμμικές Γραμμικές και μη γραμμικές : Οι γραμμικές Δ.Ε. δεν περιέχουν δυνάμεις των διαϕορικών (κατά κάποιους συγγραϕείς και της ανεξάρτητης μεταβλητής). dy dx = ax d 3 y + y dx Γραμμικές 3 x = b 2 z x y + z x + z = 0 z x = z y Μη γραμμικές : οι υπόλοιπες (δεν θα μας απασχολήσουν). ( 2 dy Μη Γραμμικές dx) = ax d 3 y = b + y2 dx 3 x Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

14 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Ομογενείς και ετερογενείς Ετερογενείς (heterogeneous) : Οι Ομογενείς Δ.Ε. περιέχουν μη διαϕορίσιμους όρους (συμπεριλαμβανομένης και της ανεξάρτητης μεταβλητής) heterogeneous ( dy dx) 2 = ax αν a 0 ( dy dx) 2 = b αν b 0 Ομογενείς (homogeneous) : Οι Ομογενείς Δ.Ε. δεν περιέχουν μη διαϕορίσιμους όρους. homogeneous ( dy dx) 2 = ax αν a = 0 ( dy dx) 2 = b αν b = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

15 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Ορισμός Ομογενών Διαϕορικών Εξισώσεων ή a n dn y dt n + a n 1 dn 1 y dt n a 0 y = 0 a n y (n) + a n 1 y (n 1) a 0 y = 0 Στους αναλυτικούς τρόπους λύσεις ΔΕ, οι ομογενείς εξισώσεις έχουν ιδιαίτερη σημασία. Περιγράϕουν το σύστημα (αργότερα). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

16 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Δεν υπάρχει μόνο μια ταξονομία Ταξονομία πρώτης τάξης Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

17 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Λύση Λύση μιας ΔΕ σε ένα διάστημα είναι μια συνάρτηση που ικανοποιεί την ΔΕ, στο διάστημα αυτό. Είναι σημαντικό ότι είναι συχνό οι λύσεις να συνοδεύονται από διαστήματα και τα διαστήματα αυτά εμπεριέχουν σημαντική πληροϕορία για την λύση. Γενική Ικανοποιεί την διαϕορική εξίσωση (π.χ. περιέχει σταθερές ολοκλήρωσης) Πραγματική Ικανοποιεί την διαϕορική εξίσωση και αρχικές συνθήκες άμεση (explicit) περιέχει μόνο πρώτη δύναμη της εξαρτώμενης μεταβλητής στο αριστερό χέρι έμμεση (implicit) Λύση περιέχει διπλη λύση. π.χ. y(t) 2 = t 2 3 y(t) = ± t 2 3 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

18 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Αρχικές συνθήκες Αρχική συνθήκη(ες) είναι ένας όρος, ή ένα σετ περιορισμών, σχετικά με την λύση που θα μας επιτρέψει να καθοριστεί ποια που αναζητείται. Είναι της μορϕής, y(t 0 ) = y 0 και y (k) (t 0 ) = y k Έτσι, με άλλα λόγια, αρχικές συνθήκες είναι τιμές του διαστήματος ή / και παράγωγο του σε συγκεκριμένα σημεία. Για καλά συμπεριϕερόμενες Δ.Ε. λύση και αρχικές συνθήκες είναι μοναδικές Ο αριθμός των αρχικών συνθηκών που απαιτούνται για μια δεδομένη διαϕορική εξίσωση θα εξαρτηθεί από την τάξη της διαϕορικής εξίσωση Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

19 Κατηγορίες Διαϕορικών εξισώσεων Πρόβλημα οριακών συνθηκών Initial Value Problem: Διαϕορική εξίσωση + Αρχικές συνθήκες Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

20 Section 3 Laplace Transform Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

21 Laplace Transform Ορισμός Για μια συνάρτηση f(t): L(f(t)) = F(s) = 0 f(t) e st dt Όπου : s = σ + jω και σ, ω R Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

22 Laplace Transform Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Για μια συνάρτηση f(t): L 1 (F(s)) = f(t) = 1 2πj c+j c j F(s) e st dt Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

23 Laplace Transform Ορισμός αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace Για μια συνάρτηση f(t): L 1 (F(s)) = f(t) = 1 2πj c+j c j F(s) e st dt Αναλυτική επίλυση είναι επίπονη και δεν χρειάζεται. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

24 Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 1 f(t) L [f(t)] = F(s) Σχολιο 1 1 Σταθερός όρος s e at f(t) F(s a) Μετατόπιση στο πεδίο s e as U(t a) s f(t a)u(t a) e as F(s) δ(t) 1 Impulse function για t 0 δ(t t 0 ) e st0 Impulse function για t t 0 t n f(t) ( 1) n dn F(s) ds n f (t) sf(s) f(0) 1ή παράγωγος f (n) (t) s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) n-οστή παράγωγος Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

25 Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 2 f(t) L [f(t)] = F(s) Σχόλιο t 0 f(x)g(t x)dx F(s)G(s) Συνέλιξη t n n! (n = 0, 1, 2,... ) Δύναμη ακεραίου αριθμού s n+1 t x Γ(x + 1) (x 1 R) s x+1 k sin kt s 2 + k s 2 cos kt s 2 + k 2 e at 1 s a k sinh kt s 2 k s 2 cosh kt s 2 k 2 Δύναμη πραγματικού αριθμού Ημίτονο Συνημίτονο Εκθετική συνάρτηση υπερβολικό ημίτονο υπερβολικό συνημίτονο Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

26 Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 3 f(t) L [f(t)] = F(s) ae at be bt s a b (s a)(s b) te at 1 (s a) 2 t n e at n! (s a) n+1 e at k sin kt (s a) 2 + k 2 e at s a cos kt (s a) 2 + k 2 e at k sinh kt (s a) 2 k 2 e at s a cosh kt (s a) 2 k 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

27 Laplace Transform Πίνακες M. Laplace - 4 f(t) L [f(t)] = F(s) 2ks t sin kt (s 2 + k 2 ) 2 s 2 k 2 t cos kt (s 2 + k 2 ) 2 2ks t sinh kt (s 2 k 2 ) 2 s 2 k 2 t cosh kt (s 2 k 2 ) 2 sin at arctan a t s 1 e a2 /4t e a s πt s a 2 πt 3 e a2 /4t e a s ( ) a erfc 2 e a s t s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

28 Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού Έστω δύο σύναρτήσεις f 1 (t) και f 2 (t), για τις οποίες ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace και ισχύει L [f 1 (t)] = F 1 (s), και L [f 2 (t)] = F 2 (s). Τότε για α 1, α 2 R, ισχύει: L [α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t)] = α 1 F 1 (s) + α 2 F 2 (s) L 1 [α 1 F 1 (s) + α 2 F 2 (s)] = α 1 f 1 (t) + α 2 f 2 (t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

29 Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής: f(0) = lim s F(s) f( ) = lim s 0 F(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

30 Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής: f(0) = lim s F(s) f( ) = lim s 0 F(s) Κλιμάκωση χρόνου: [ ( )] t L f = α F(α s) α ( s L 1 [F ] = α f(α t) α) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

31 Laplace Transform Ιδιότητες Μετασχηματισμού - Παραδείγματα Ολίσθηση χρόνου: Ολίσθηση συχνότητας: Παραγώγιση στη συχνότητα: L [f(t T)] = e st F(s) L [ e αt f(t) ] = e st F(s + α) L [t n f(t)] = ( 1) n dn ds n F(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

32 Laplace Transform στο Matlab laplace - Ευθύς μετασχηματισμός Laplace laplace(function): μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Matlab example Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

33 Laplace Transform στο Matlab laplace - Ευθύς μετασχηματισμός Laplace laplace(function): μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Matlab example Matlab result Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

34 Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

35 Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση 2 s+10 Έστω η συνάρτηση F(s) =. Να υπολογιστεί ο (s 2 +10s+34) 2 Αντίστροϕος Μετασχηματισμός Laplace Matlab example Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

36 Laplace Transform στο Matlab ilaplace - Inverse Laplace - Matlab ilaplace(function): αντίστροϕος μετασχηματιμός κατά Laplace της function function : συνάρτηση 2 s+10 Έστω η συνάρτηση F(s) =. Να υπολογιστεί ο (s 2 +10s+34) 2 Αντίστροϕος Μετασχηματισμός Laplace Matlab example Matlab result Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

37 Section 4 Laplace και επίλυση Δ.Ε. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

38 Χρήση Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων Προεπισκόπηση Ο μετασχηματισμός Laplace ανάγει την επίλυση μιας Δ.Ε. με σταθερούς συντελεστές σε επίλυση μιας αλγεβρικής εξίσωσης. Η συνάρτηση από το Πεδίο του χρόνου μετασχηματίζεται κατά Laplace (L)στο Πεδίο s Λαμβάνεται μια αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο s Επιλύεται μια αλγεβρική εξίσωση στο πεδίο s H λύση μέσω του αντίστροϕου μετασχηματισμού Laplace μεταϕέρεται στο πεδίο του χρόνου Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

39 Χρήση Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων Γραϕική αναπαράσταση Χρήση του M. Laplace για επίλυση διαϕορικών εξισώσεων. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

40 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Παρουσίαση προβλήματος Να λυθεί η εξίσωση: Με αρχική συνθήκη y(0) = y 0. ẏ(t) = 3y(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

41 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

42 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: s Y(s) y(0) = 3(Y(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

43 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση Από την ẏ(t) = 3y(t) L Μετασχηματίζουμε από το πεδίο του χρόνου με τον Μ. Laplace: s Y(s) y(0) = 3(Y(s) Λύνουμε αλγεβρικά την εξίσωση ως προς Y(s) (s + 3) Y(s) = y(0) Και τελικά: Y(s) = y(0) s + 3 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

44 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση - Επιστροϕή στο πεδίο του χρόνου Απο την έκϕραση του Y(s), επιστρέϕούμε στο πεδίο του χρόνου με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό Laplace. y(t) = L 1 [ y(0) s + 3 ] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

45 Παράδειγμα επίλυσης με Laplace Επίλυση - Επιστροϕή στο πεδίο του χρόνου Απο την έκϕραση του Y(s), επιστρέϕούμε στο πεδίο του χρόνου με τον αντίστροϕο μετασχηματισμό Laplace. Τελικά η εξίσωση είναι: y(t) = L 1 [ y(0) s + 3 ] y(t) = y(0) e 3t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

46 Κυκλώμα RC Παρουσίαση Δεδομένα: u(t): Πηγή (Είσοδος) Vc: Τάση στα άκρα πυκνωτή (Έξοδος) RC circuit Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

47 Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

48 Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Πυκνωτής: C = Q V c C V C = Q C dv c dt = dq dt = I Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

49 Κυκλώμα RC Διαμόρϕωση του προβλήματος Δεδομένα: Κirchoff u(t) I R V c = 0 Πυκνωτής: C = Q V c C V C = Q C dv c dt = dq dt = I Όλα μαζί (αντικατάσταση του I με C dv c dt ): u(t) C dv c dt R V C = Με μια μικρή αναδιάταξη: RC dv c dt + V C = u(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

50 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

51 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

52 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) RC (s V c (s) + V c (0)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

53 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Εϕαρμόζω μετασχηματισμό Laplace στην Συμβολίζω: L [ RC dv ] c + V C = L [u(t)] dt L [V c (t)] = V c (s) και L [u(t)] = U(s) Υπενθυμίζεται ότι dv c dt L s V c (s) + V c (0) RC (s V c (s) + V c (0)) + V c (s) = U(s) Επίσης παίρνω για αρχικές συνθήκες μηδέν (V c (0) = 0): RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

54 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

55 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

56 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) V c (s) = U(s) RC s + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

57 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace Λύνουμε ως προς V c (s)) RC (s V c (s)) + V c (s) = U(s) (RC s + 1) V c (s) = U(s) V c (s) = U(s) RC s + 1 Τελικά η συνάρτηση μεταϕοράς που προκύπτει: H(s) = V C(s) U(s) = 1 RC s + 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

58 Κυκλώμα RC Επίλυση με Laplace- Μορϕή χρονικής σταθεράς Με τ = R C: σταθερά χρόνου του συστήματος H(s) = 1 τ=rc RC s + 1 H(s) = 1 τ s τ s + 1 Η συνάρτηση μεταϕοράς αντιπροσωπεύει την συμπεριϕορά ενός συστήματος και είναι ανεξάρτητη της εισόδου. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

59 Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

60 Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Βηματική συνάρτηση (Step, Heaviside function) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

61 Κυκλώμα RC Είσοδος - Μή μηδενικές είσοδοι Μέχρι στιγμής δεν έχουμε μιλήσει για είσοδο στο σύστημα. Αν σαν είσοδο έχω: { 0[V] if t < 0 u(t) = 2 s(t) = 2[V] if t 0 Βηματική συνάρτηση (Step, Heaviside function) s(t): h βηματική συνάρτηση με AML (L [u(t)] = U(s) = 2 s ). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

62 Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

63 Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Για το παράδειγμα μας: { } { } V c (t) = L = L 1 2 τ s + 1 s (τ s + 1)s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

64 Κυκλώμα RC Έξοδος Η έξοδος (Τάση του πυκνωτή - V c (t)) σαν συνάρτηση του χρόνου μπορεί να υπολογιστεί ώς το γινόμενο της συνάρτησης μεταϕοράς με το είσοδο στο σύστημα: V c (t) = L 1 {H(s)U(s)} Για το παράδειγμα μας: { } { } V c (t) = L = L 1 2 τ s + 1 s (τ s + 1)s Τροποποιώ το σύστημα ώστε να είναι σε μια μορϕή που είναι εύκολος ο ΑΜL. { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

65 Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s = Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

66 Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s ( ) = 2 1 e t τ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

67 Κυκλώμα RC Μή μηδενικές είσοδοι - Αντίστροϕός μετασχηματισμός Laplace Δεδομένου ότι από πίνακες : { } L ( ) 1 e t τ (s + α)s α το παράδειγμα γίνεται: { } V c (t) = 2 1 τ L 1 (s + 1 τ ) s Αν αντικαταστήσω το τ RC. V c (t) = 2 ) (1 e t RC ( ) = 2 1 e t τ Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

68 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Παρουσίαση προβλήματος Αρμονικός ταλαντωτής μαζα (m) : 1[kg] σταθερά απόσβεσης (b) : 2[kg/s] σταθερά ελατηρίου (k) : 1[N/m] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

69 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Εξίσωση συστήματος όπου και για την εξωτερική διέγερση: m ẍ(t) + b ẋ(t) + k x(t) = F(t) ẍ(t) = d2 dt 2 x(t) και ẋ(t) = d dt x(t) F(t) = sin(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

70 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Ερώτηση Αρμονικός ταλαντωτής Ποιά η απόκριση του συστήματος για αρχικές συνθήκες (t = 0): x(t = 0) = 0, ẋ(t = 0) = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

71 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Eπίλυση - 1ο βήμα Απλούστευση Απλοποιώ τον συντελεστή της μεγαλύτερης παραγώγου: ẍ(t) + b m ẋ(t) + k m x(t) = F(t) m Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

72 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Eπίλυση - 1ο βήμα Απλούστευση Απλοποιώ τον συντελεστή της μεγαλύτερης παραγώγου: ẍ(t) + b m ẋ(t) + k m x(t) = F(t) m Για απλούστευση των εξισώσεων και για λόγους που θα γίνουν προϕανείς αργότερα όταν μιλήσουμε για απόκριση συστημάτων, θέτω: 2γ = b m, ω2 = k F(t), G(t) = m m ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) = G(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

73 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

74 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Αρχή υπέρθεσης: L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

75 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - 2ο βήμαμετασχηματισμός Laplace L [ ẍ(t) + 2γ ẋ(t) + ω 2 x(t) ] = L [G(t)] Αρχή υπέρθεσης: L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] Συμβολισμός που θα χρησιμοποιηθεί παρακάτω: L [x(t)] = X(s), L [G(t)] = G(s) = 1 s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

76 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

77 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: και f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

78 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) και άρα L [ẍ(t)] = s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

79 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Από τους πίνακες: Συνεπώς: και άρα f (t) = sf(s) f(0) f (n) (t) = s n F(s) s (n 1) f(0) f (n 1) (0) L [ẋ(t)] = s L [x(t)] x(0) = s X(s) x(0) L [ẍ(t)] = s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) L [ẍ(t)] + 2γ L [ẋ(t)] + ω 2 L [x(t)] = L [G(t)] (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

80 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Matlab Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

81 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

82 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

83 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

84 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

85 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Απλοποίηση Laplace Μετά την αντικατάσταση: (s 2 X(s) s x(0) ẋ(0)) + 2γ (s X(s) x(0)) + ω 2 X(s) = G(s) Λύνοντας ως προς X(s): s 2 X(s) s x(0) ẋ(0) + 2γ s X(s) 2γ x(0) + ω 2 X(s) = G(s) Συγκεντρώνουμε στο ένα μέρος τα X(s): s 2 X(s) + 2γ s X(s) + ω 2 X(s) = G(s) + 2γ x(0) + s x(0) + ẋ(0) Κοινός παράγοντας X(s): (s 2 + 2γ s + ω 2 ) X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) Τελικά X(s): X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

86 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα Υπενθυμίζεται ότι: X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 2γ = b m = 2[kg/s] 1[kg] Συνεπώς ο παρανομαστής γίνεται:, ω 2 = k m = 1[N/m], G(t) = F(t) 1[kg] m = F(t) 1[kg] s 2 + 2γ s + ω 2 s s (s + 1) 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

87 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα X(s) = O αριθμητής γίνεται: G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 G(s) + (2 + s) s s2 + 3 s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

88 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα X(s) = O αριθμητής γίνεται: G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 G(s) + (2 + s) s s2 + 3 s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

89 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα X(s) = O αριθμητής γίνεται: G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 G(s) + (2 + s) s s2 + 3 s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

90 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αριθμητικά δεδομένα X(s) = O αριθμητής γίνεται: G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 G(s) + (2 + s) s s2 + 3 s Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

91 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αντίστροϕος Μετ. Laplace X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) Από εδώ και κάτω υπάρχουν θα δούμε δύο διαϕορετικούς τρόπους στο Matlab (υπάρχουν πολλοί): Αναλυτικός με απλά κλάσματα : αλλιώς γνωστός και ως μαζοχιστικός. Είναι της άποψης Είναι πραγματικά δικό σου μόνο ότι αποκτιέται με κόπους και βάσανα. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

92 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση - Αντίστροϕος Μετ. Laplace X(s) = G(s) + (2γ + s) x(0) + ẋ(0) s 2 + 2γ s + ω 2 X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) Από εδώ και κάτω υπάρχουν θα δούμε δύο διαϕορετικούς τρόπους στο Matlab (υπάρχουν πολλοί): Αναλυτικός με απλά κλάσματα : αλλιώς γνωστός και ως μαζοχιστικός. Είναι της άποψης Είναι πραγματικά δικό σου μόνο ότι αποκτιέται με κόπους και βάσανα. Με χρήση του symbolic toolbox και της ilaplace : αλλιώς γνωστός και ως cheating, thinking creatively κλπ. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

93 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα X(s) = X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) = 2 s (s + 1) 2 (s i)(s + i) A s Μετά από πολλές πράξεις... B (s + 1) 2 + C s i + D s + i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

94 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα X(s) = X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) = 2 s (s + 1) 2 (s i)(s + i) A s Μετά από πολλές πράξεις... B (s + 1) 2 + C s i + D s + i X(s) = 0.5 s (s + 1) s i s + i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

95 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Απλά κλάσματα με Matlab X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

96 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Αντίστροϕος μετασχηματισμός Απο πίνακες X(s) = 0.5 s (s + 1) s i s + i L L[ea t]= 1 [ s + 1 ] s a = 0.5 e t L L[t ea t]= 1 [ (s + 1) 2 ] (s a) = t e t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s i ] s a = 0.25 e i t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s + i ] s a = 0.25 e i t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

97 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (1) - Αντίστροϕος μετασχηματισμός Απο πίνακες X(s) = 0.5 s (s + 1) s i s + i άρα L L[ea t]= 1 [ s + 1 ] s a = 0.5 e t L L[t ea t]= 1 [ (s + 1) 2 ] (s a) = t e t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s i ] s a = 0.25 e i t L 1 [ 0.25 L[ea t]= 1 s + i ] s a = 0.25 e i t x(t) = 0.5 e t t e t 0.25 e i t 0.25 e i t x(t) = ( t) e t 0.25 (e i t + e i t ) eit =cos(t)+i sin(t) x(t) = ( t) e t 0.5 cos(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

98 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση (2) - Αντίστροϕος Laplace Matlab X(s) = 2 s (s + 1) 2 (s 2 + 1) Matlab Code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

99 Παράδειγμα Laplace: Αρμονικός ταλαντωτής Επίλυση(3) - dsolve Matlab code Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

100 Section 5 Επίλυση Δ.Ε. με την χρήση χαρακτηριστικής εξισώσης Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

101 Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ Η Χ.Ε. είναι a ẍ + b (x) + c x = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

102 Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ a ẍ + b (x) + c x = 0 Η Χ.Ε. είναι a ρ 2 + b ρ + c = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

103 Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Χαρακτηριστική εξίσωση διαϕορικής εξίσωσης Χαρακτηριστική εξίσωση Δ.Ε.: είναι η εξίσωση που προκύπτει όταν αντικατασταθούν τα διαϕορικά απο αντίστοιχες δυνάμεις μιας ανεξάρτητης μεταβλητής. π.χ. για την ομογενή ΔΕ Η Χ.Ε. είναι a ẍ + b (x) + c x = 0 a ρ 2 + b ρ + c = 0 Περιορισμός: η απόδειξη της παραπάνω μεθόδου προκύπτει από την παραδοχή ότι η λύση της Δ.Ε. πρέπει να είναι μορϕής y(t) = e ρt. (που ισχύει για τις περισσότερες ΔΕ ανώτερης τάξης). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

104 Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Μορϕή λύσης Πραγματικών ριζών Απλή πραγματική ρίζα: ρ y 1 (t) = c 1 e ρt Πολλαπλή πραγματική ρίζα: ρ k-ϕορές ( y 2 (t) = e ρt c 1 + c 2 t c k t k 1) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

105 Θεωρία χαρακτηριστικών εξισώσεων Μορϕή λύσης Μιγαδικών ριζών Χ.Ε. Υπενθύμιση: e i θ = cos(θ) + i sin(θ) και e i θ = cos(θ) i sin(θ) Απλή Μιγαδική ρίζα: ρ = a + i b y(t) = e at (c 1 sin(b t) + c 1 cos(b t)) Πολλαπλή Μιγαδική ρίζα: ρ = a + i b k-ϕορές ( y(t) =e at (c 1 + c 2 t c k t k 1 ) sin(b t) +... (1) ) (c 1 + c 2t c k tk 1 ) cos(b t) (2) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

106 Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Παρουσίαση προβλήματος Αρμονικός ταλαντωτής μαζα (m) :10 σταθερά απόσβεσης (b) :2 σταθερά ελατηρίου (k) :5 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

107 Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Εξίσωση συστήματος ή ή (αντικατάσταση) m d2 dt 2 y(t) + b d y(t) + k y(t) = u(t) dt m ÿ(t) + b ẏ(t) + k y(t) = u(t) 10 ÿ(t) + 2 ẏ(t) + 5 y(t) = u(t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

108 Παράδειγμα Αρμονικού ταλαντωτή Ερώτηση Αρμονικός ταλαντωτής Ποιά η ελεύθερη απόκριση του συστήματος για αρχικές συνθήκες (t = 0): y(t = 0) = 1, ẏ(t = 0) = 2 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

109 Επίλυση Eπίλυση της Χ.Ε του συστήματος Η Χ.Ε. του συστήματος είναι: 10 ρ ρ + 5 = 0 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

110 Επίλυση Eπίλυση της Χ.Ε του συστήματος Η Χ.Ε. του συστήματος είναι: Οι ρίζες της είναι: 10 ρ ρ + 5 = 0 ρ 1 = i, ρ 2 = i Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

111 Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

112 Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: για ρ 1 = i y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

113 Επίλυση Μετατροπή μιγαδικών ριζών σε λύση Αν ρ 1 = a + bi είναι ρίζα της Χ.Ε. του συστήματος, τότε: y(t) = e a t (c 1 sin(b t) + c 1cos(b t)) για ρ 1 = i ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

114 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

115 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e (c 0 1 sin c 1cos 10 0 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

116 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e (c 0 1 sin c 1cos 10 0 = 1 e =1,sin(0)=0 ( ) 7 +c 1cos 10 0 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

117 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1, c 1- Χρήσιμότητα αρχικών συνθηκών ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + c 1cos 10 t Για τον υπολογισμό των c 1, c 1 χρησιμοποιώ τις αρχικές συνθήκες. Θα πρέπει για t = 0, y(t = 0) = 1: ( ) ( )) y(t = 0) = e (c 0 1 sin c 1cos 10 0 = 1 e =1,sin(0)=0 ( ) 7 +c 1cos 10 0 = 1 c 1 = 1 Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

118 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2: ( 7 + cos cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

119 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2:... ( 7 + cos cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

120 Επίλυση Υπολογισμός σταθερών c 1,- Χρησιμότητα αρχικών συνθηκών Υπολογίζω ẏ(t): ( ) ( )) y(t) = e (c t 1 sin 10 t + cos 10 t ẏ(t) = 1 10 e 1 10 t e 1 10 t ( c sin ( ( ) 7 c 1 sin 10 t ( ) 7 10 t Θα πρέπει για t = 0, ẏ(t = 0) = 2:... c 1 = 3 ( 7 + cos cos )) 10 t +... ( )) 7 10 t Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

121 Section 6 Σχέση Μηχανικών με τα Μαθηματικά Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

122 Συστήματα Ολική Απόκριση Είναι το άθροισμα της ελεύθερης και της δυναμικής απόκρισης. Αντιστοιχεί στην λύσης της διαϕορικής εξίσωσης κάτω από συγκεκριμένες αρχικές συνθήκες και συγκεκριμένο σήμα εισόδου. y ολική (t) = y Φυσική (t) + y εξαναγκασμένη (t) y ολική (t) = y ομογενής (t) + y μον (t) y ολική (t) y transient (t) + y steady state (t) Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

123 Συστήματα Απόκρισεις Για: Μαθηματικούς Ομογενής λύση/απόκριση: (y h ) Λύση που ικανοποιεί την ομογενή Δ.Ε. Μερική λύση/απόκριση: (y p ) Λύση που ικανοποιεί την Δ.Ε. Για: Μηχανικούς Ελεύθερη ή ϕυσική : (y n ) απόκριση χωρίς εϕαρμογή εξωτερικής διέγερσης Λύση της ομογενούς διαϕορικής εξίσωσης Δυναμική ή Εξαναγκασμένη : (y f ) απόκριση με εϕαρμογή εξωτερικής διέγερσης και με όλες τις αρχικές συνθήκες ταυτοτικά μηδέν. π.χ. βηματική είσοδο κρουστική είσοδο Μερική λύση της Δ.Ε. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

124 Συστήματα Απόκριση μηδενικής εισόδου και μηδενικών αρχικών συνθηκών Για: Μηχανικούς αυτοματισμών και ελέγχου Mηδενικής εισόδου ή Zero-input: (y zi ) Aπόκριση εξαιτίας μόνο των αρχικών συνθήκών u(t) = 0 Zero-state: (y zs ) Συνήθως περίπου ίση με την εξαναγκασμένη απόκριση. Aπόκριση όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν. Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

125 Συστήματα Απόκριση Μεταβατική και Τελικής Κατάστασης Transient ή Μεταβατική : (y zi ) Συνήθως περίπου ίση με την ελεύθερη ή ϕυσική απόκριση. Συνδέεται συνήθως με την λύση της ομογενούς διαϕορικής εξίσωσης. Περιλαμβάνει απόκριση του σύστηματος που το πλάτος της μεταβάλλεται με το χρόνο. Steady state ή Τελικής Κατάστασης: (y zs ) Συνήθως περίπου ίση με την εξαναγκασμένη απόκριση. Περιλαμβάνει την απόκριση του σύστηματος σε μια νέα κατάσταση ισορροπίας η οποία μπορεί να εμϕανίζει και περιοδικότητα (χωρίς όμως μεταβολή του πλάτους). Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

126 Συστήματα Σχέση μεταξύ αποκρίσεων Σχέση μεταξύ αποκρίσεων Ν. Παπαδάκης Επίλυση Δ.Ε. με Laplace 24 Οκτωβρίου / 78

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές

Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα. Τίτλος Μαθήματος ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Τίτλος Μαθήματος Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ. Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΑΕΝ / ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Σημειώσεις για τη χρήση του MATLAB στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Κ. ΝΑΣΟΠΟΥΛΟΣ - Α. ΧΡΗΣΤΙ ΟΥ Οκτώβριος 011 MATLAB

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηματισμοί Laplace

Μετασχηματισμοί Laplace Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Θεωρία και Εφαρμογές Διδακτικές Σημειώσεις Τμήματος Πληροφορικής και Επικοινωνιών Τομέας Αρχιτεκτονικής Υπολογιστικών και Βιομηχανικών εφαρμογών Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος email:

Διαβάστε περισσότερα

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.

. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί. O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΚΥΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι Καθηγητής: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Εργαστηριακοί Συνεργάτες: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ, Α. ΟΙΚΟΝΟΜΙΔΗΣ,

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ APACE Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό aplace ή απλώς μετασχηματισμό aplace (Μ) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό aplace (ΜΜ), να περιγράψει

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος,

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές. Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Θεωρία και Εφαρμογές Δρ. Βολογιαννίδης Σταύρος, (svol@teicm.gr) 9 Νοεμβρίου 204 Περιεχόμενα Βασικές έννοιες. Σήματα και συστήματα.........................2 Σήματα συνεχούς

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ

ΣΤΗΑ ΨΕΣ /4/2013 2:12 πµ ΣΤΗΑ ΨΕΣ -3 4/4/3 : πµ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Σήµατος ΨΕΣ Η Επεξεργασία Σήµατος µέσω της ψηφιοποίησής του και της επεξεργασίας µε ηλεκτρονικό υπολογιστή ή ειδικά ολοκληρωµένα κυκλώµατα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016

ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 2016 ΜΟΝΤΕΡΝΑ ΘΕΩΡΙΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΙ Τμήμα Μαθηματικών - Τομέας Υπολογιστών & Αριθμητικής Ανάλυσης Εξετάσεις Σεπτεμβρίου 016 Θέμα 1. α) (Μον.1.5) Αποδείξτε ότι αν το σύστημα στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1.

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων. σύνολο τιμών. F(k,y k,y. =0, k=0,1,2, δείκτη των y k. =0 είναι 2 ης τάξης 1. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΙΑΦΟΡΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ: Οι Εξισώσεις Διαφορών (ε.δ.) είναι εξισώσεις που περιέχουν διακριτές αλλαγές και διαφορές των αγνώστων συναρτήσεων Εμφανίζονται σε μαθηματικά μοντέλα, όπου η μεταβλητή παίρνει

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE 73 Α. ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Ο µετασχηµατισµός Laplace µετασχηµατίζει τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τα γραµµικά µη χρονικά µεταβαλλόµενα συστήµατα συνεχούς χρόνου, σε αλγεβρικές εξισώσεις και

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ι Ασκήσεις Πράξης ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟΥ ΤΟΜΕΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Ι ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΑΞΗΣ Καθηγητς: Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Καθ. Εφαρμ: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα

Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Περίληψη Ευστάθεια Συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ Συστημάτων σε Διεγέρσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα

Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών

Διαβάστε περισσότερα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα

Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα 1. Ευστάθεια συστημάτων Ευστάθεια, Τύποι συστημάτων και Σφάλματα Κατά την ανάλυση και σχεδίαση ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου, η ευστάθεια αποτελεί έναν πολύ σημαντικό παράγοντα και, γενικά, είναι επιθυμητό

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 7. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 7 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Περιεχόμενα Επανάληψη 1 ου μέρους μαθήματος: Μοντελοποίηση & Κατάστρωση Δυναμικών Εξισώσεων Εισαγωγή 2 ου μέρους μαθήματος:

Διαβάστε περισσότερα

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)

[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x) [] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα

5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα 5. (Λειτουργικά) Δομικά Διαγράμματα Γενικά, ένα λειτουργικό δομικό διάγραμμα έχει συγκεκριμένη δομή που περιλαμβάνει: Τις δομικές μονάδες (λειτουργικά τμήματα ή βαθμίδες) που συμβολίζουν συγκεκριμένες

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ

Εκπαιδευτικός Οµιλος ΒΙΤΑΛΗ Μετασχηµατισµός Laplace ρ. Κωνσταντίνος Κυρίτσης Μακράς Στοάς 7 & Εθνικής Αντιστάσεως Πειραιάς 185 31 4 Μαρτίου 29 Περίληψη Οι παρούσες σηµειώσεις αποτελούν µια σύνοψη της ϑεωρίας του µετασχηµατισµού Laplace

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transfer function) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ

Διαβάστε περισσότερα

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών

Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών Το εκπαιδευτικό υλικό που ακολουθεί αναπτύχθηκε στα πλαίσια του έργου «Προηγµένες Υπηρεσίες Τηλεκπαίδευσης στο Τ.Ε.Ι. Σερρών», του Μέτρου «Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE

ΕΝΟΤΗΤΑ 12: ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE Δρ Γιώργος Μαϊστρος, Χημικός Μηχανικός

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος

Σήματα και Συστήματα. Νόκας Γιώργος Σήματα και Συστήματα Νόκας Γιώργος Δομή του μαθήματος Βασικά σήματα συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες σημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Ιδιότητες συστημάτων συνεχούς και διακριτού χρόνου. Γραμμικά,

Διαβάστε περισσότερα

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ

ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Ε. Μ. Πολυτεχνείο Εργαστήριο Ηλεκτρονικής ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ Ι ΔΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ BODE ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΟ ΤΕΥΧΟΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΩΝ Γ. ΠΑΠΑΝΑΝΟΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ : Συναρτήσεις Δικτύων Βασικοί ορισμοί Ας θεωρήσουμε ένα γραμμικό, χρονικά

Διαβάστε περισσότερα

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14

Λ. Ζαχείλας. Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Οικονομική Δυναμική 29/6/14 1 Λ. Ζαχείλας Επίκουρος Καθηγητής Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Οικονομική Δυναμική 9 Συνεχή δυναμικά συστήματα Μέρος 1 ο Λουκάς Ζαχείλας Ορισμός Διαφορικής

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα:

Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: 1 Άσκηση: Ένα σύστηµα µε είσοδο u(t), έξοδο y(t) και διάνυσµα κατάστασης x(t) = (x 1 (t) x 2 (t)) T περιγράφεται από το ακόλουθο διάγραµµα: Όπου Κ R α) Να βρεθεί η περιγραφή στο χώρο κατάστασης και η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 2: Μοντελοποίηση φυσικών συστημάτων στο πεδίο του χρόνου Διαφορικές Εξισώσεις Δ. Δημογιαννόπουλος, dimogian@teipir.gr

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #20 Πόλοι και μηδενικά Διάγραμμα πόλων και μηδενικών Ιδιότητες της περιοχής σύγκλισης Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Μετασχηματισμός Laplace Αμφίπλευρος μετασχηματισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΓΝΩΡΙΣΜΑΤΑ ΤΗΣ ΧΡΟΝΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ ΣΕ ΕΙΣΟΔΟ ΜΟΝΑΔΙΑΙΑΣ ΒΑΘΜΙΔΑΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙ ΤΩΝ ΠΟΛΩΝ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΞΟΔΟΥ Y(s) 1 Πόλος στην αρχή των αξόνων: 2 Πόλος στον αρνητικό πραγματικό ημιάξονα: 3 Πόλος στον θετικό πραγματικό ημιάξονα: 4 Συζυγείς πόλοι πάνω

Διαβάστε περισσότερα

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών

Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Α: Γραμμικά Συστήματα Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών Τ.Ε. Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Α Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V

ΘΕΜΑ 2 1. Υπολογίστε την σχέση των δύο αντιστάσεων, ώστε η συνάρτηση V Θέµατα εξετάσεων Θ. Κυκλωµάτων & Σηµάτων Σας προσφέρω τα περισσότερα θέµατα που έχουν τεθεί στις εξετάσεις τα τελευταία χρόνια ελπίζοντας ότι θα ασχοληθείτε µαζί τους κατά την προετοιµασία σας. Τα θέµατα

Διαβάστε περισσότερα

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R )

Γράφημα της συνάρτησης = (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) Γράφημα της συνάρτησης f( x), αν p x< 0 F( x) = f( x), αν 0 x p και F( x+ 2 p) = F( x), x R (δηλ. της περιττής περιοδικής επέκτασης της f = f( x), 0 x p στο R ) ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το Βιβλίο αυτό απευθύνεται στους

Διαβάστε περισσότερα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα

Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα ΦΥΣ 11 - Διαλ.3 1 Συζευγμένα ταλαντώσεις - Ένα άλλο σύστημα q Το παρακάτω σύστημα είναι ανάλογο με το σύστημα των δύο εκκρεμών. q Οι δυο ιδιοσυχνότητες του συστήματος είναι ίδιες με τις ιδιοσυχνότητες

Διαβάστε περισσότερα

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία

Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Επικοινωνίες στη Ναυτιλία Εισαγωγή Α. Παπαδάκης, Αναπλ. Καθ. ΑΣΠΑΙΤΕ Δρ. ΗΜΜΥ Μηχ. ΕΜΠ Βασικά Αντικείμενα Μαθήματος Σήματα Κατηγοριοποίηση, ψηφιοποίηση, δειγματοληψία, κβαντισμός Βασικά σήματα ήχος, εικόνα,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18)

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ 1 ης ΤΑΞΗΣ (Κεφ. 18) Άσκηση 1. Α) Στο κύκλωμα του παρακάτω σχήματος την χρονική στιγμή t=0 sec ο διακόπτης κλείνει. Βρείτε τα v c και i c. Οι πυκνωτές είναι αρχικά αφόρτιστοι. Β)

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε

Διαβάστε περισσότερα

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13

1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB... 13 1.1. Τι είναι το Matlab... 13 1.2. Περιβάλλον εργασίας... 14 1.3. Δουλεύοντας με το Matlab... 16 1.3.1. Απλές αριθμητικές πράξεις... 16 1.3.2. Σχόλια...

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Διδάσκων : Επίκ Καθ Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων

Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 7-8, 5ο Εξάμηνο Μάθημα: Θεωρία Δικτύων Ανάλυση Ευσταθείας Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής Σχολή Ηλεκτρ.

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας

Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας Ανάλυση και υπολογισμός του βρόχου φάσης (PLL). Β μέρος του Αθανάσιου Νασιόπουλου Τμήμα Ηλεκτρονικής ΤΕΙ Αθήνας 1. Εισαγωγή Στο προηγούμενο μάθημα - εισήγηση αναλύθηκε ποιοτικά η λειτουργία του βρόχου

Διαβάστε περισσότερα

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +

Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + + Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα

Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Εισαγωγή στις Διαφορικές Εξισώσεις Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα . Σκοποί

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Σήματα και Συστήματα στο Πεδίο της Επιμέλεια: Αθανάσιος N. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μετασχηματισμός Fourier

Ο μετασχηματισμός Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας

Διαβάστε περισσότερα

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1

2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 2. Ανάλυση Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων (ΓΧΑΣ) Kostas J. Kyriakopoulos - Σ.Α.Ε. ΙΙ 1 Επίλυση Εξισώσεων Κατάστασης Δεδοµένου του ΓΧΑΣ nn nm pn pm όπου A R B R C R D R Τίθεται το ζήτηµα της επίλυσης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι

HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι HMY 0: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #7 Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων για ΓΧΑ Συστήματα Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Η γραμμική διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης Παραδείγματα Μοντέλα διαφορικών εξισώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση

Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Ανάλυση Κυκλωμάτων Κυκλώματα με Ημιτονοειδή Διέγερση Φώτης Πλέσσας fplessas@e-ce.uth.gr Εισαγωγή Πολλά πραγματικά συστήματα, όπως οι μονάδες παραγωγής και τα δίκτυα μεταφοράς ηλεκτρικής ενέργειας, οι τηλεπικοινωνίες

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ

ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ, ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ, ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 5. ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΙ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Στα προηγούμενα κεφάλαια παρουσιάσαμε την έννοια της συνάρτησης συστήματος για αναλογικά

Διαβάστε περισσότερα

Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης

Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Γραμμικά Κυκλώματα β τάξης Διδακτικές σημειώσεις για το μάθημα Εισαγωγή στα Κυκλώματα του ου εξαμήνου Ιάκωβος Στ. Βενιέρης

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας

Δυναμική Μηχανών I. Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο. Πεδίο της Συχνότητας Δυναμική Μηχανών I Απόκριση Γραμμικών Συστημάτων στο 7 4 Πεδίο της Συχνότητας 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ

ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΓΕΝΙΚΟ ΤΜΗΜΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟΥ ΔΙΠΛΩΜΑΤΟΣ ΕΙΔΙΚΕΥΣΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ : «ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ

Δυναμική Μηχανών I. Διάλεξη 22. Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ Δυναμική Μηχανών I Διάλεξη 22 Χειμερινό Εξάμηνο 2013 Τμήμα Μηχανολόγων Μηχ., ΕΜΠ 1 Ανακοινώσεις Εξέταση Μαθήματος: 1/4/2014, 12.00 Απαιτείται αποδεικτικό ταυτότητας (Α.Τ., Διαβατήριο, Διπλ. Οδ.) Απαγορεύεται

Διαβάστε περισσότερα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα

3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429. 4. Σήματα 3-Φεβ-2009 ΗΜΥ 429 4. Σήματα 1 Σήματα Σήματα είναι: σχήματα αλλαγών που αντιπροσωπεύουν ή κωδικοποιούν πληροφορίες σύνολο πληροφορίας ή δεδομένων σχήματα αλλαγών στο χρόνο, π.χ. ήχος, ηλεκτρικό σήμα εγκεφάλου

Διαβάστε περισσότερα

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών. Πολυβάθμια Συστήματα. Ε.Ι. Σαπουντζάκης. Καθηγητής ΕΜΠ. Δυναμική Ανάλυση Ραβδωτών Φορέων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Πολυβάθμια Συστήματα Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ Συστήματα με Κατανεμημένη Μάζα και Δυσκαμψία 1. Εξίσωση Κίνησης χωρίς Απόσβεση: Επιβαλλόμενες

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης

Δυναμική Μηχανών I. Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης Δυναμική Μηχανών I 5 5 Χρονική Απόκριση Συστημάτων 2 ης Τάξης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες.

, όπου οι σταθερές προσδιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες. Στην περίπτωση της ταλάντωσης µε κρίσιµη απόσβεση οι δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις εκφυλίζονται (καταλήγουν να ταυτίζονται) Στην περιοχή ασθενούς απόσβεσης ( ) δύο γραµµικώς ανεξάρτητες λύσεις είναι

Διαβάστε περισσότερα

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας

7. Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας 7 Ταλαντώσεις σε συστήµατα µε πολλούς βαθµούς ελευθερίας Συζευγµένες ταλαντώσεις Βιβλιογραφία F S Crawford Jr Κυµατική (Σειρά Μαθηµάτων Φυσικής Berkeley, Τόµος 3 Αθήνα 979) Κεφ H J Pai Φυσική των ταλαντώσεων

Διαβάστε περισσότερα

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου

Κλασσική Θεωρία Ελέγχου ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 9: Περιγραφή συστημάτων στο πεδίο της συχνότητας Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z

ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Z ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Εισαγωγή στα Σήµατα Εισαγωγή στα Συστήµατα Ανάπτυγµα - Μετασχηµατισµός Fourier Μετασχηµατισµός Laplace Μετασχηµατισµός Z Εφαρµογές Παράδειγµα ενός ηλεκτρικού συστήµατος Σύστηµα Παράδειγµα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ

ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΧΡΟΝΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΣΥΣΤΗΜΑΤΟΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η χρονική απόκριση μπορεί να ληφθεί από αναλυτικά μέσα όπως η μέθοδος μετασχηματισμού Laplace, εναλλακτικά δε μπορεί να χρησιμοποιηθεί εξομοίωση από Η/Υ. Η προσέγγιση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΙΙ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΜΗΤΣΟΤΑΚΗΣ ΑΘΗΝΑ 27 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΜΕΘΟ ΟΣ NEWTON Πρόγραµµα Matlab για την προσέγγιση της ρίζας της εξίσωσης f(x)= µε την µέθοδο Newton. Συναρτήσεις f(x), f

Διαβάστε περισσότερα

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης

Δυναμική Μηχανών I. Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης Δυναμική Μηχανών I 9 1 Σύνοψη Εξεταστέας Ύλης 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com Απαγορεύεται οποιαδήποτε αναπαραγωγή χωρίς άδεια Ύλη Δυναμικής Μηχανών

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις

Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Μετασχηµατισµοί Laplace, Αναλογικά Συστήµατα, ιαφορικές Εξισώσεις 2.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όπως έχουµε δει, για να προσδιορίσουµε τις αποκρίσεις ενός κυκλώµατος, πρέπει να λύσουµε ένα σύνολο διαφορικών

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ

ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΩΝ η Ερώτηση Γνωρίζουµε πως η κυµατοσυνάρτηση είναι η λύσης της κυµατικής εξίσωσης, που περιγράφει το µέγεθος της ιαταραχής, ( rt, ) r. Ψ= σε κάθε χρονική στιγµή, t, και σε κάθε θέση

Διαβάστε περισσότερα

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε

G L (x) =Ax + B, G R (x) =A x + B οπότε από τις συνοριακές συνθήκες έχουμε 1 ÈÖ Ð Ñ Για να είναι εφαρμόσιμη η μέθοδος της συνάρτησης Green, θαπρέπειηομογενής εξίσωση Ly =+ Ο.Σ.Σ. να έχει ως μοναδική λύση τη μηδενική. α) Η ομογενής εξίσωση y =έχει λύση y = A + B, από τις δεδομένες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c

ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER. e ω. Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ FOURIER x(t+kτ) = x(t) = π/ω f = / x(t) = = 8 c j t e ω c = (a-jb ) Το βασικό πρόβλημα στις σειρές Fourier είναι ο υπολογισμός των συντελεστών c. Αυτός γίνεται κατορθωτός αν

Διαβάστε περισσότερα

. Σήματα και Συστήματα

. Σήματα και Συστήματα Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου

Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Περιγραφή Συστηµάτων Αυτοµάτου Ελέγχου ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [5]: Κεφάλαιο 3, Ενότητες 3. 3.8 Παρασκευόπουλος [5]:

Διαβάστε περισσότερα

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform)

Μετασχηµατισµός Ζ (z-tranform) Μετασχηµατισµός Ζ (-traform) Εργαλείο ανάλυσης σηµάτων και συστηµάτων διακριτού χρόνου ιεργασία ανάλογη του Μετ/σµού Laplace Απόκριση συχνότητας Εφαρµογές επίλυση γραµµικών εξισώσεων διαφορών µε σταθερούς

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2)

Κανόνας της αλυσίδας. J ανοικτά διαστήματα) ώστε ( ), ( ) ( ) ( ) fog ' x = f ' g x g ' x, x I (2) 8 Κανόνας της αλυσίδας Από τον Απειροστικό Λογισμό για συναρτήσεις μιας μεταβλητής γνωρίζουμε ότι: Αν g : I R R και f : J R R είναι συναρτήσεις ( όπου I, J ανοικτά διαστήματα ώστε, g( τότε η : I g I J

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών

Ανάλυση Κυκλωμάτων. Φώτης Πλέσσας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Ανάλυση Κυκλωμάτων Σήματα Φώτης Πλέσσας fplessas@inf.uth.gr Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Εισαγωγή Για την ανάλυση των ηλεκτρικών κυκλωμάτων μαζί με την μαθηματική περιγραφή των

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης

Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Κυκλώµατα εναλλασσόµενης τάσης Στόχος αυτής της ενότητας του µαθήµατος είναι η µελέτη των ηλεκτρικών κυκλωµάτων στα οποία η ηλεκτροκινητήρια δύναµη παρέχεται από πηγή εναλλασσόµενης τάσης Σε αυτή την ενότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση

Εξαναγκασμένη Ταλάντωση. Αρμονική Φόρτιση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση Αρμονική Φόρτιση Αρμονική Ταλάντωση Εξαναγκασμένη Ταλάντωση: Αρμονική Φόρτιση: Δ8- Η αρμονική διέγερση αποτελεί θεμελιώδη μορφή διέγερσης στη Δυναμική των Κατασκευών λόγω της μαθηματικής

Διαβάστε περισσότερα

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου.

Υποθέστε ότι ο ρυθμός ροής από ένα ακροφύσιο είναι γραμμική συνάρτηση της διαφοράς στάθμης στα δύο άκρα του ακροφυσίου. ΕΡΩΤΗΜΑ Δίνεται το σύστημα δεξαμενών του διπλανού σχήματος, όπου: q,q : h,h : Α : R : οι παροχές υγρού στις δύο δεξαμενές, τα ύψη του υγρού στις δύο δεξαμενές, η διατομή των δεξαμενών και η αντίσταση ροής

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου

Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτόματου Ελέγχου Ενότητα : Συναρτήσεις Μεταφοράς, Δομικά Διαγράμματα, Διαγράμματα Ροής Σημάτων Aναστασία Βελώνη Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab

Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ Εργαστηριακές Ασκήσεις με χρήση του λογισμικού Matlab Μελέτη ευστάθειας και αστάθειας συστημάτων με το περιβάλλον Matlab ΣΚΟΠΟΣ: Ο βασικός σκοπός της άσκησης αυτής είναι η μελέτη

Διαβάστε περισσότερα

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της

απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση της 1. Ένα σώμα μάζας m =, kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση μικρής απόσβεσης, με τη βοήθεια της διάταξης που φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η σταθερά του ελατηρίου είναι ίση με k = 45 N/m και η χρονική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

ΛΥΣΕΙΣ. Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση. ΜΘΗΜ / ΤΞΗ: ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: η (ΘΕΡΙΝ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: /0/ ΘΕΜ ο ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου

Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Ενότητα Β: Ευστάθεια Συστήματος (Β Μέρος) Όνομα Καθηγητή: Ραγκούση Μαρία Τμήμα: Ηλεκτρονικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Φυσική για Μηχανικούς

Φυσική για Μηχανικούς Φυσική για Μηχανικούς Διατήρηση της Ενέργειας Εικόνα: Η μετατροπή της δυναμικής ενέργειας σε κινητική κατά την ολίσθηση ενός παιχνιδιού σε μια πλατφόρμα. Μπορούμε να αναλύσουμε τέτοιες καταστάσεις με τις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονικοί ταλαντωτές

Αρµονικοί ταλαντωτές Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:

Διαβάστε περισσότερα