ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ"

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΩΡΙΑ--ΑΣΚΗΣΕΙΣ

2 ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ Δειγματικός Χώρος: Ενδεχόμενο: Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης καλείται δειγματικός χώρος. Συμβολίζεται συνήθως ως εξής: Ω={ w 1, w,.., w n } Το σύνολο που έχει ως στοιχεία ένα ή περισσότερα αποτελέσματα ενός πειράματος τύχης καλείται ενδεχόμενο. Ειδικές κατηγορίες ενδεχομένων είναι το βέβαιο ενδεχόμενο που πραγματοποιείται πάντα και το αδύνατο ενδεχόμενο ή κενό που δεν πραγματοποιείται ποτέ. ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : 1)Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται τα στοιχεία ενός συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος, τότε γράφουμε τα στοιχεία αυτά μεταξύ δυο αγκίστρων, από μια φορά το καθένα, χωρίζοντας τα με κόμμα. Πχ. Α={,4,6,8,10 } ) Παράσταση με περιγραφή των στοιχείων Όταν σε ένα σύνολο επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του, που έχουν μια ορισμένη ιδιότητα τότε η γραφή του συνόλου γίνεται ως εξής : ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΟΛΑ Α= { χîω / χ έχει την ιδιότητα Π } 1) Τομή Α Ç Β= { χ / χîα και χîβ }à Είναι τα κοινά στοιχεία των συνόλων Α, Β. ) Ένωση Α È Β= { χ / χîα ή χîβ }à Όλα τα στοιχεία των Α, Β μαζί. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 51

3 3) Διαφορά στο Β. Α-Β= { χ / χîα και χïβ }à Τα στοιχεία που ανήκουν μόνο στο Α και όχι 4) Συμπλήρωμα Α ={ χ / χïα } à Τα στοιχεία που δεν ανήκουν στο Α. ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΣΥΝΟΛΑ Από τα διαγράμματα Venn μπορούν να αποδειχθούν οι παρακάτω σχέσεις : α. ΑÇ Β Í Α β. Α Ç Β Í Β γ. Α Í ΑÈ Β δ. Β Í Α È Β ε. Α Ç Β = (Α È Β) ζ. Α È Β = (Α Ç Β) ΑΞΙΩΜΑΤΙΚΟΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1) Αξιωματικός ορισμός Έστω Ω={ w 1, w,.., w n } δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Έστω επίσης Α={ w 1, w,.., w k }, κ < n ενδεχόμενο του Ω. Τότε η πιθανότητα του Α είναι : Ρ(Α) = Ρ(w 1 ) + Ρ(w ) + + Ρ(w k ) Οι πιθανές τιμές που μπορεί να πάρει η Ρ(Α) βρίσκονται μέσα στο [0,1] ή 0 Ρ(Α) 1. Επίσης η πιθανότητα του δειγματοχώρου είναι 1 και η πιθανότητα του κενού συνόλου είναι 0. ) Κλασικός ορισμός Ορίζουμε ότι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου είναι το πηλίκο του πλήθους των ευνοϊκών περιπτώσεων προς το πλήθος των δυνατών περιπτώσεων, δηλαδή είναι ίση με: Ρ(Α) = N( A) k = N( W) n Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 5

4 ΚΑΝΟΝΕΣ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πραγματοποίηση τουλάχιστον ενός από τα Α ή Β. ( Προσθετικός νόμος ) Ρ(Α È Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) Αν η τομή ΑÇ Β είναι κενή τότε : Ρ(ΑÈ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β). Πραγματοποίηση μόνο του Α. (Αντίστοιχα του Β) Ρ(Α-Β)= Ρ(Α) Ρ(ΑÇ Β), Ρ(Β-Α) = Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) 3. Πραγματοποίηση του Α και του Β Ρ(Α Ç Β)= Ρ(Α) +Ρ(Β)- Ρ(ΑÈ Β) και Ρ(ΑÇ Β)= -Ρ(Α-Β) + Ρ(Α) 4. Μη πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α. (Αντίστοιχα του Β) Ρ(Α )= 1- Ρ(Α), Ρ(Β )= 1- Ρ(Β) 5. Πραγματοποίηση μόνο ενός από τα Α ή Β. Ρ{ (Α-Β) È (Β-Α) }= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β), το σύνολο (Α-Β) Ç (Β-Α) είναι κενό, διότι τα σύνολα Α-Β και Β-Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. 6. Δεν πραγματοποιείται το Α και το Β, Ρ [ (ΑÈ Β) ] = 1 Ρ(ΑÈ Β) Παρατήρηση 1 Όταν μας ζητούν να αποδείξουμε ανισότητες της μορφής : κ Ρ(ΑÇ Β) λ όπου κ,λ αριθμοί τότε χρησιμοποιούμε τις παρακάτω σχέσεις : ΑÇ Β Í Α Þ Ρ (ΑÇ Β ) Ρ(Α) και ΑÇ ΒÍ Β Þ Ρ(ΑÇ Β ) Ρ(Β) Ακόμη έχουμε : Ρ(ΑÈ Β)= Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) Ρ(Ω) Þ Ρ(Α Ç Β) ³ Ρ(Α) + Ρ(Β) -1 και επειδή : Ρ(ΑÇ Β) ³ 0 έχουμε: Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 53

5 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ max ( 0, Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 ) Ρ(ΑÇ Β) min ( Ρ(Α), Ρ(Β) ) Έστω δυο ενδεχόμενα για τα οποία ισχύει : Ρ(Α) = 5 και Ρ(Β) = 8 5, να δείξετε ότι : 1 40 Ρ(ΑÇ Β) 5 ΛΥΣΗ Α Ç Β Í Α Þ Ρ(Α Ç Β) Ρ(Α) Þ Ρ(ΑÇ Β) 5 Α È Β Í Ω Þ Ρ(ΑÈ Β) 1 Þ Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÇ Β) 1 Þ Ρ(Α Ç Β) ³ Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 Þ Ρ(ΑÇ Β) ³ Þ Ρ(ΑÇ Β) ³ 40 1 Άρα : 1 40 Ρ(ΑÇ Β) 5. Παρατήρηση Σε ανισώσεις τις μορφής : κ Ρ(Α È Β) λ έχω : Α Í Α È Β Þ Ρ(Α) Ρ(Α È Β) Β Í Α È Β Þ Ρ(Β) Ρ(Α È Β) Από το νόμο των πιθανοτήτων προκύπτει ότι : Ρ(Α È Β) Ρ(Α) + Ρ(Β) άρα ισχύει : max ( P(A), P(B) ) Ρ(ΑÈ Β) < min (P(A) + P(B), 1) ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ρίχνουμε πρώτα ένα νόμισμα, μετά ένα ζάρι και καταγράφουμε τα αποτελέσματα του πειράματος. Περιγράψτε ένα δειγματικό χώρο του πειράματος.. Δύο χάρτινες σακούλες περιέχουν φρούτα. Η πρώτη περιέχει ένα μήλο, ένα πορτοκάλι και 1 αχλάδι. Η δεύτερη περιέχει 1 μήλο και 1 αχλάδι. Επιλέγουμε στην τύχη μια σακούλα και στην συνέχεια ένα φρούτο από αυτή. Να γραφτούν : α) ο δειγματικός χώρος του πειράματος. β) το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι μήλο. γ) το ενδεχόμενο το φρούτο να είναι πορτοκάλι. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 54

6 3. Σε ένα κουτί υπάρχουν 4 ομοιόμορφα μολύβια, 1 κόκκινο, 1 πράσινο, 1 μαύρο, 1 λευκό. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος στις ακόλουθες περιπτώσεις: (μας ενδιαφέρει το χρώμα) α) Επιλέγουμε στην τύχη ένα μολύβι. β) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι, το τοποθετούμε ξανά στο κουτί και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. (επανατοποθέτηση). γ) Επιλέγουμε τυχαία ένα μολύβι και μετά επιλέγουμε άλλο ένα. (χωρίς επανατοποθέτηση). [ Τράπεζα θεμάτων] 4. Μια δισκογραφική εταιρία ελέγχει C.D που παράγει. Ο έλεγχος σταματά μόλις βρεθούν ελαττωματικά ή όταν έχουν ελεγχθεί 4 C.D. Να βρείτε : α) το δειγματικό χώρο Ω β) τα ενδεχόμενα : ι) ακριβώς ελαττωματικά ιι) το πολύ ελαττωματικά ιιι) το πολύ 1 ελαττωματικό. 5. Δυο ομάδες Α και Β λαμβάνουν μέρος σε μια διοργάνωση. Νικήτρια ανακηρύσσεται η ομάδα εκείνη, που θα κερδίσει σε δυο αγώνες. Να βρείτε : ι ) πόσους αγώνες θα δώσουν μεταξύ τους, ιι ) τον δειγματικό χώρο του πειράματος ιιι ) το ενδεχόμενο να ανακηρυχθεί νικήτρια η ομάδα Α ιν ) το ενδεχόμενο να ανακηρυχθεί νικήτρια η ομάδα Β. 6. Ρίχνουμε ένα νόμισμα φορές και καταγράφουμε τα αποτελέσματα. α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος Ω β) Να γράψετε με αναγραφή τα ενδεχόμενα: Α : { να παρουσιαστεί Κ στην πρώτη ρίψη } Β : { να παρουσιαστεί Κ στην δεύτερη ρίψη } Γ : { να παρουσιαστεί Κ σε μια μόνο από τις δυο ρίψεις } γ) Είναι τα Α, Β, Γ ανά δυο ασυμβίβαστα ; ( Δικαιολογήστε ) 7. Ρίχνουμε δυο ζάρια, ένα άσπρο και ένα κόκκινο. ι) Να βρείτε το δειγματικό χώρο του πειράματος. ιι)να βρείτε τα ενδεχόμενα : Α : Η ένδειξη του κόκκινου ζαριού είναι μεγαλύτερη από του άσπρου. Β : Το άθροισμα των ενδείξεων να είναι άρτιος αριθμός. Γ : Το γινόμενο των ενδείξεων να είναι μικρότερο του 5. ιιι) Να βρείτε τα ενδεχόμενα ΑÇ Β, Α Ç Γ, ΒÇ Γ, ΑÇ ΒÇ Γ. [Α Δέσμη Παλιό Βιβλίο Κεφ. 6 Ο ] 8. Μεταξύ των οικογενειών με τρία παιδιά επιλέγουμε τυχαία μια και εξετάζουμε τα παιδιά ως προς ο φύλο. Να βρείτε : ι ) το δειγματικό χώρο του πειράματος ιι ) τα ενδεχόμενα : Α : «το δεύτερο παιδί είναι αγόρι» Β : «το τρίτο παιδί είναι κορίτσι» ιιι ) τα ενδεχόμενα : Α, Β, Α Ç Β, ΑÈ Β Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 55

7 9. Ρίχνουμε ένα νόμισμα 3 φορές. Να βρείτε : ι ) το δειγματικό χώρο ιι ) τα ενδεχόμενα : Α : «να φέρουμε δυο φορές γράμματα» Β : «να φέρουμε μια φορά γράμματα» Γ : «να φέρουμε το πολύ δυο φορές γράμματα» 10. Να εκφράσετε με τη βοήθεια των συνόλων τα ενδεχόμενα: ι) Πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. ιι) Κανένα εκ των Α και Β δεν πραγματοποιείται. ιιι) Ακριβώς ένα εκ των Α, Β πραγματοποιείται. ιv) Να δείξετε με διάγραμμα Venn ότι ισχύει : (ΑÇ Β) È (Α Ç Β ) = Α 11. Αν Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης, να αποδειχθεί ότι : ι) Α Ç Β = (Α È Β) ιι)α È Β = (Α Ç Β) [Κανόνες de Morgan] 1. Αν Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α, ΒÇ Α είναι ασυμβίβαστα. Να γίνουν τα σχετικά διαγράμματα Venn. 13. Θεωρούμε τα Α, Β ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με πιθανότητες τέτοιες ώστε : Ρ(ΑÈ Β)=3 / 4, Ρ(Α )= / 3 και Ρ(ΑÇ Β)=1 / 4. Να βρεθούν οι πιθανότητες : α) Ρ(Α) β) Ρ(Β) [ 1/3, /3] 14. Ρίχνοντας ένα ζάρι, ποια η πιθανότητα να φέρουμε 5 ή να μην φέρουμε 5 ; 15. Να αποδειχθεί ότι: ι) Ρ(ΑÇ Β ) + Ρ(Α Ç Β) = Ρ(Α) ιι) Αν Ρ(ΑÇ Β)=1 /4, Ρ(Α)= 1 / 3 και Ρ(Β)= / 3. Να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(ΑÇ Β ) και Ρ(Α Ç Β). 16. Η πιθανότητα να κρυολογήσουμε το χειμώνα είναι 3 πλάσια από το να μην κρυολογήσουμε. Μπορείτε να υπολογίσετε την πιθανότητα να κρυολογήσουμε το χειμώνα; 17. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός Ω με Ρ(Α)=1 / 3 και Ρ(Α Ç Β).= / 4. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες : α) Ρ[Α Ç ( Α Ç Β)] β) Ρ[ΑÈ (Α Ç Β)]. [ ¾] [ 0, 5/6] 18. Δυο ομάδες Α και Β παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα κερδίσει σε δυο αγώνες στη σειρά ή σε δυο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων (ισοπίθανα ενδεχόμενα): α) ακριβώς μια νίκη της Α ομάδας. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 56

8 β) καμία νίκη της Β ομάδας γ) τουλάχιστον μια νίκη της Α ομάδας. [ 1/3, 1/6, 5/6] 19. Μια μέρα με πολύ άσχημες καιρικές συνθήκες η πιθανότητα να μην λειτουργήσουν τα υπεραστικά λεωφορεία είναι 30%, η πιθανότητα να μην λειτουργήσουν τα τρένα είναι 40% και η πιθανότητα να λειτουργήσει ένα τουλάχιστον συγκοινωνιακό μέσο από τα προηγούμενα είναι 90%. Ποια η πιθανότητα να λειτουργήσουν συγχρόνως και τα δύο συγκοινωνιακά μέσα μεταφοράς; [ 0.4] 0. Έστω Α, Β ενδεχόμενα του Ω. Να εξεταστεί ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος: 1. Ρ(Α) + Ρ(Β) =1, τότε Β=Α. Α=Β, τότε Ρ(Α) = Ρ(Β) 3. Ρ(Α) = Ρ(Β), τότε Α=Β 4. Ρ(Α) ¹ Ρ(Β), τότε Α¹ Β 5. Α¹Β, τότε Ρ(Α) ¹ Ρ(Β). 6. Αν Α Í Β τότε Ρ(Α) + Ρ(Β) < 1 7. Αν Ρ(Α)=Ρ(Α ) τότε Ρ(Α) =Ρ(Ω) 1. Να σημειώσετε στο γραπτό σας το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις. ι ) Αν Α και Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε: α. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α È Β) β. Ρ(Α) + Ρ(Β) 1 γ. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(Α-Β) δ. Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ(ΑÈ Β) ιι ) Αν Α, Β ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω, τότε: α. Ρ(Α)>Ρ(Β ) β. Ρ(Α)<Ρ(Β ) γ. Ρ(Α)=Ρ(Β ) δ. τίποτα από τα προηγούμενα ιιι ) Αν Α, Β τυχαία ενδεχόμενα του Ω με Α-Β=Α, τότε ισχύει: α. Ρ(Α È Β)=1 β. Ρ(ΑÇ Β)=1 γ. Ρ(Β-Α)=0 δ. Ρ(ΑÇ Β)=0 ιν ) Σε ένα κουτί υπάρχουν 0 βιντεοταινίες από τις οποίες οι 15 είναι καλές και οι 5 ελαττωματικές. Βγάζουμε από το κουτί με τυχαίο τρόπο μία μία τις βιντεοταινίες, έως ότου βρούμε μια καλή, οπότε και σταματάει το πείραμα. Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος τότε το πλήθος των στοιχείων του Ν(Ω) είναι: α. 0 β. 14 γ. 5 δ. 6 ν ) Αν για τα Α, Β του Ω ισχύει ότι Ρ(ΑÇ Β)=0, τότε: α. τα Α,Β είναι ασυμβίβαστα β. ισχύει Ρ(ΑÈ Β)=1 γ. ισχύει Ρ(Α È Β )=1 δ. ισχύει Ρ(Β-Α)=Ρ(Α-Β). Να γίνουν οι σωστές αντιστοιχήσεις μεταξύ των στηλών Α και Β των παρακάτω πινάκων. Δίνεται ότι για τον πίνακα Α ισχύει: Ρ(Α)=5/8, Ρ(Β)=4/8, Ρ(ΑÈ Β)=7/8. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 57

9 ΠΙΝΑΚΑΣ Α ΠΙΝΑΚΑΣ Β α) Α-Β β) Β-Α γ) Α -Β δ) (Α-Β)È (Β-Α) 1. /8. 1/8 3. 5/8 4. 3/8 5. 4/8 6. 6/8 α) Α-Β β) (Α-Β) γ) (ΑÈ Β) δ) (Α Ç Β ) 1. ΑÇ Β. Α Ç Β 3. Α È Β 4. Α È Β 5. ΑÇ Β 6. ΑÈ Β 7. Α Ç Β 3. Αν Ω={ 1,,3,4,5 } και ισχύει αντιστοιχήσεις: α) Ρ(1) β) Ρ() γ) Ρ(3) δ) Ρ(4) P( 1) P() P(3) P(4) P(5) = = = =, να γίνουν οι %. 0% 3. 15% 4. 10% 5. 40% 6. 5% 7. % 4. Αν είναι γνωστό ότι ισχύει Ρ(Α)=3 Ρ(Β)= 4 Ρ(ΑÈ Β)=1 τότε να γίνουν οι αντιστοιχήσεις στον παρακάτω πίνακα: α) Α β) Α È Β γ) Α-Β δ) Α È Β 1./3. ¼ 3. 7/1 4. 5/6 5. ½ 6. 1/3 7. 3/4 5. Αν Ω={ 1,,3, } και Α, Β, Γ, Δ είναι ισοπίθανα ενδεχόμενα τότε να γίνουν οι αντιστοιχήσεις: α) Α={5,10,15, 100} β) Β={0,1,, 70} γ) Γ={7,10,13,.100} δ) Δ={7,14,1, 98} 1. 14%. 3% 3. 51% 4. 80% 5. 95% 6. 16% 7. 0% 6. Σε μια έκθεση μεταχειρισμένων αυτοκινήτων, το 0% δεν έχει μηχανή, το 40% δεν έχει λάστιχα και το 15 % δεν έχει ούτε μηχανή ούτε λάστιχα. Έστω τα ενδεχόμενα: Α : Το αυτοκίνητο δεν έχει μηχανή Β : Το αυτοκίνητο δεν έχει λάστιχα. Να βρείτε την πιθανότητα ένα τυχαίως επιλεγέν αυτοκίνητο της έκθεσης να έχει λάστιχα και μηχανή. [ 0.55 ] [ Α Δέσμη Παλιό Βιβλίο] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 58

10 7. Σε μια τάξη με 30 μαθητές, οι 15 έχουν ποδήλατο, οι 10 έχουν μοτοσικλέτα και οι 4 και τα δυο. Αν επιλέξουμε τυχαίως έναν μαθητή της τάξης να βρεθούν οι πιθανότητες: α ) Να μην έχει ποδήλατο ούτε μοτοσικλέτα β ) Να έχει ποδήλατο αλλά όχι μοτοσικλέτα. [ 9/30, 11/30] 8. Από 10 μαθητές ενός Λυκείου, 4 μαθητές συμμετέχουν στον διαγωνισμό της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας, 0 συμμετέχουν στο διαγωνισμό της Ένωσης Ελλήνων Φυσικών και 1 μαθητές συμμετέχουν και στους δυο διαγωνισμούς. Επιλέγουμε τυχαία έναν μαθητή. Ποια είναι η πιθανότητα ο μαθητής: α ) να συμμετέχει σε έναν τουλάχιστον από τους διαγωνισμούς. β ) να συμμετέχει μόνον σε έναν από τους δυο διαγωνισμούς. γ ) να μην συμμετέχει σε κανέναν από τους δυο διαγωνισμούς. [ 4/15, 1/6, 11/15] 9. Ασφαλιστική εταιρεία περιλαμβάνει στα προγράμματα ασφαλειών αυτοκινήτων προαιρετικά, καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία. Γνωρίζουμε ότι το 50% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς και το 30% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει νομική προστασία. Τέλος το 40% των προγραμμάτων της περιλαμβάνει μόνο καταστροφή λόγω πυρκαγιάς. Επιλέγουμε στην τύχη ένα ασφαλιστικό πρόγραμμα. α) Να εξεταστεί το ενδεχόμενο να περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς και νομική προστασία. (Αν υπάρχει) β) Ποια η πιθανότητα να περιλαμβάνει καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ή νομική προστασία. γ) Ποια η πιθανότητα να μην περιλαμβάνει ούτε καταστροφή λόγω πυρκαγιάς ούτε νομική προστασία. [0.1, 0.7, 0.3] 30. Α1. Να γραφεί στο τετράδιο σας ένα από τα παρακάτω σύμβολα ( =,, ³ ) έτσι ώστε να είναι αληθείς οι σχέσεις: 1. Ρ(Α ) 1-Ρ(Α). ΑÍ Β τότε Ρ(Β).Ρ(Α) Α. Να γραφεί στο τετράδιο σας το γράμμα που αντιστοιχεί στην σωστή απάντηση. Αν ΑÍ Β, Ρ(Α)=1 / 4 και Ρ(Β) = 5 / 1 τότε Ρ(ΑÈ Β) είναι ίση με: α. 1/4 β. 5/1 γ. /3 δ.1/6 [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 001] 31. Αν η πιθανότητα να παρουσιάζει κάποιος ασθενής, που προσβλήθηκε από τον ιό κοξάκι, υψηλό πυρετό είναι 99 φορές μεγαλύτερη από την πιθανότητα να παρουσιάσει συμπτώματα μυοκαρδίτιδας και η πιθανότητα να παρουσιάσει συμπτώματα υψηλού πυρετού ή μυοκαρδίτιδας είναι 0.01 ενώ η πιθανότητα να έχει και τα δυο συμπτώματα είναι 10-4 τότε να βρεθεί: 1. Η πιθανότητα ο ασθενής να παρουσιάσει υψηλό πυρετό.. Η πιθανότητα ο ασθενής να παρουσιάσει μόνο ένα από τα δυο συμπτώματα. 3. Η πιθανότητα να μην παρουσιάσει μυοκαρδίτιδα. [ ] [Ένθετο Εξετάσεις 00] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 59

11 3. Στο σύλλογο των καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40 % είναι φιλόλογοι και το 30 % είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή, να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι : ι ) γυναίκα ή φιλόλογος ιιι ) άνδρας ή φιλόλογος ιι ) γυναίκα και όχι φιλόλογος ιν ) άνδρας και φιλόλογος [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 003 ] 33. Το 10 % των μαθητών μιας τάξης ενός σχολείου έχουν τερηδόνα, το 6% έχει ουλίτιδα και το % έχει και τα δυο. Επιλέγουμε έναν μαθητή και έστω τα ενδεχόμενα: Α : «έχει τερηδόνα» Β : «έχει ουλίτιδα» ι ) τι εκφράζει το ενδεχόμενο Α Ç Β, ποια η πιθανότητα του ; ιι ) πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής έχει τουλάχιστον μια ασθένεια» και ποια η πιθανότητα του ; ιιι ) πως συμβολίζεται το ενδεχόμενο «ο μαθητής δεν έχει καμία ασθένεια» και ποια η τιμή του ; 34. Μια αυτοκινητοβιομηχανία στον εξοπλισμό κάθε αυτοκινήτου της περιλαμβάνει προαιρετικά δερμάτινα καθίσματα και ραδιοσιντι. Στις παραγγελίες που έγιναν για το έτος 006 το 40% των αυτοκινήτων που κατασκευάστηκαν είχαν δερμάτινα καθίσματα, το 50% ραδιοσιντι, ενώ το 15% είχαν ραδιοσιντι αλλά όχι δερμάτινα καθίσματα. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : α ) το αυτοκίνητο να μην έχει ραδιοσιντι, β ) το αυτοκίνητο να μην έχει δερμάτινα καθίσματα, γ ) το αυτοκίνητο να έχει δερμάτινα καθίσματα και ραδιοσιντι, δ ) το αυτοκίνητο να έχει δερμάτινα καθίσματα ή ραδιοσιντι, ε ) το αυτοκίνητο να μην έχει ούτε δερμάτινα καθίσματα ούτε ραδιοσιντι. 35. Δυο φίλοι Α και Β λύνουν ένα πρόβλημα μαθηματικών. Η πιθανότητα να το λύσει τουλάχιστον ένας από τους δυο είναι : 4 P, ενώ η πιθανότητα να το λύσουν και οι δυο είναι : 4 1. Αν η πιθανότητα να μην λύσει το πρόβλημα ο Α είναι : P, να υπολογιστούν : α ) η πιθανότητα να μην λύσει το πρόβλημα ο Β, β ) η πιθανότητα να λύσει το πρόβλημα μόνο ο Β, γ ) η πιθανότητα να λύσει το πρόβλημα μόνο ο Α ή μόνο ο Β. 36. Σε ένα πείραμα τύχης υποθέτουμε ότι ο δειγματικός χώρος Ω αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α, Β Í Ω τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις: Ρ(Α)=1/4 Ρ(Β)-Ρ(Α)=1/1 και το Β έχει δυο παραπάνω στοιχεία από το Α, τότε να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Ω. [ Ένθετο Παιδεία 00 ] 37. Έστω Ω δειγματικός χώρος με 0 απλά ενδεχόμενα και Α Í Ω. Θεωρούμε την συνάρτηση : Φ(χ)= χ - Ρ(Α) χ. Αν η Φ(χ) παρουσιάζει ελάχιστο το -1/8, να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Α. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 60

12 38. Έστω Ω={1,,..,10} δειγματικός χώρος με ισοπίθανα ενδεχόμενα. Θεωρούμε 1 3 την συνάρτηση f(x)= x - x + 3x + l με lîω και χîr. Έστω τα ενδεχόμενα : 3 Χ={ l ÎΩ / η μέγιστη τιμή της f(x) στο [0,5] είναι μεγαλύτερη ή ίση του 68/3 } Υ={ l ÎΩ / η ελάχιστη τιμή της f(x) στο [0,5] είναι μικρότερη ή ίση με 4 } ι ) Να μελετηθεί η f(x) ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα στο [0,5]. ιι ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Χ, Υ. ιιι ) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων Χ Ç Υ, ΧÈ Υ. [ Ένθετο Εξετάσεις 00 ] 39. Η πιθανότητα ένας φοιτητής να γράψει καλά σε ένα μάθημα Α είναι Ρ(Α)=70% και για να γράψει καλά και στο μάθημα Α και σε ένα άλλο μάθημα Β είναι Ρ(Α Ç Β)=50%, ανάλογα με το χρόνο διαβάσματος στο κάθε μάθημα. ι ) Να βρεθεί η πιθανότητα ώστε ο φοιτητής να γράψει καλά στο μάθημα Β ή να μην γράψει καλά στο μάθημα Α. ιι ) Να αποδειχθεί ότι 50% Ρ(Β) 80%. [ 80% ] [ Διαγωνίσματα Μαθηματικών Γ. Μπαϊλάκης ] 40. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ο οποίος αποτελείται από 100 απλά ενδεχόμενα, τα οποία είναι ισοπίθανα. Δίνεται ότι ισχύει: Ρ(Β)=4 [ Ρ(Α) ] -5 Ρ(Α) + 5 α ) να αποδείξετε ότι τα Α και Β δεν είναι ασυμβίβαστα. β ) να βρείτε τη μεγαλύτερη και την μικρότερη τιμή της πιθανότητας Ρ(Α). γ ) αν Ρ(Α)=5/8 να αποδείξετε ότι : 9 16 P ( A Ç B) 5 8 [ Μέγιστη ¾ Ελάχιστη ½ ] 41. Έστω τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω με πιθανότητες Ρ(Α) και Ρ(Β), για τις οποίες ισχύει η σχέση: Ρ(Α) + Ρ(Β)= 1,5 Να αποδειχθεί ότι: 1. τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα.. ισχύει Ρ(Α Ç Β) ³ 0,5 3. ισχύει Ρ(Α Ç Β ) 0,5 [ Διαγωνίσματα Μαθηματικών Γ. Μπαϊλάκης ] 4. Δυο άτομα παίζουν σε ένα επιτραπέζιο παιχνίδι. Νικητής θεωρείται εκείνος που κερδίζει δυο διαδοχικά παιχνίδια ή τρία συνολικά αλλά όχι διαδοχικά. 1. Να υπολογίσετε με πόσους τρόπους μπορεί να αναδειχθεί ο νικητής και σε πόσα το πολύ παιχνίδια. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 61

13 . Έστω Ω ο δειγματικός χώρος του παραπάνω πειράματος, ο οποίος θεωρείται ότι αποτελείται από απλά ισοπίθανα ενδεχόμενα. Να βρείτε την πιθανότητα ο νικητής να αναδειχθεί στο 3 Ο παιχνίδι. [ 10 τρόπους σε 5 το πολύ παιχνίδια, 0% ] 43. Έστω ο δειγματικός χώρος Ω ={ 1,,3,..15 } στον οποίο ορίζεται η πιθανότητα κάθε στοιχείου ω από τον τύπο: Ρ(ω)=λω, όπου λ>0 σταθερός αριθμός. α) Να βρείτε τον λ β) Αν Α και Β είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα του Ω με πιθανότητες: x +1 - x Ρ(Α)=, Ρ(Β)=, να βρείτε τον χ. 4 [ α) 1/10 β) χ=1 ] 44. Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με : Ρ(Α) + Ρ(Β) ¹ Ρ(Α Ç Β).Δίνεται ακόμα η συνάρτηση: f(x) = (x - P(AÈB)) 3 - (x - P(AÇB)) 3, x Î R. α. Να δείξετε ότι P(AÇB) ¹ P(AÈB). β. Να δείξετε ότι η συνάρτηση f(x) παρουσιάζει μέγιστο στο σημείο P ( A) + P( B) x=. γ. Εάν τα ενδεχόμενα Α, Β είναι ασυμβίβαστα, να δείξετε ότι f(p(a)) = f(p(b)). [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ] ìx ï - 3x Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : f(x) =, x ¹ 1 í x -, όπου Α ενδεχόμενο ïî P( A), x = 1 ενός δειγματικού χώρου Ω ενός πειράματος τύχης. α ) Να βρείτε την Ρ (Α) όταν η f(x) είναι συνεχής στο x = 0 1. β ) Αν Β είναι επίσης ενδεχόμενο του ίδιου δειγματικού χώρου Ω ώστε : Ρ(Β) = 4 3. ι ) Δείξτε ότι Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα ενδεχόμενα. 3 ιι ) Δείξτε ότι : Ρ(Α È Β) ³ ιιι ) Δείξτε ότι : P ( A Ç B). 4 [ Ένθετο Ο υποψήφιος 003 ] Έστω Ω = { χ 1, χ, χ 3, χ 4, χ 5 }, με Ρ ( χ 1 ) =, Ρ ( χ ) = Ρ( χ 3 ) =, Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 6

14 Ρ ( χ 4 ) = Ρ( χ ), Ρ ( χ 5 ) = 3 Ρ( χ ) και τα ενδεχόμενα : Α = { χ 1, χ }, Β= { χ 1, χ, χ 3 }. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες : ι ) Ρ(ΑÇ Β) ιι ) Ρ(ΑÈ Β) ιιι ) Ρ(ΑÇ Β ) ιν ) Ρ(Α Ç Β ) 47. Έστω Α και Β δυο ενδεχόμενα του Ω με Α, Β ¹ Æ. Δίνεται επίσης και η συνάρτηση : f(x) = 1 ( χ-ρ(α) ) + Ρ(Α Ç Β) χ ι ) να αποδείξετε ότι η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο ιι ) αν Α Í Β, να αποδείξετε ότι : f( Ρ(Α) ) = f(0) ιιι ) αν Β Í Α, να αποδείξετε ότι : Ρ(Β Α ) = Ρ(Β) Ρ(Α) 48. Έστω Α ένα ενδεχόμενο του Ω και Ρ(Α) = χ. ι ) να εκφράσετε το Ρ(Α) Ρ(Α ) ως συνάρτηση του χ ιι ) να δείξετε ότι η μέγιστη τιμή του Ρ(Α) Ρ(Α ) είναι το 4 1, ιιι ) έστω οι πιθανότητες : Ρ(Æ ), Ρ(Α), Ρ(Α ), Ρ(Ω), να αποδείξετε ότι : γ ) αν Ρ(Α) Ρ(Α ) = 4 1, να βρείτε την τυπική απόκλιση των πιθανοτήτων 1 α ) x = β ) βρείτε τη διάμεσο των πιθανοτήτων 49. Έστω δειγματικός χώρος Ω={1,,3,4,,000} με ισοπίθανα στοιχειώδη ενδεχόμενα και Α, Β ενδεχόμενα του Ω ασυμβίβαστα, για τα οποία ισχύει η σχέση: 16 Ρ(Β) -5 Ρ(Β) Ρ(Α) +10=0 1.Να βρεθούν οι πιθανότητες των Α, Β ενδεχομένων.να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του Α, Β 3.Τι συμπεραίνετε για τα Α, Β; [ Ρ(Α)=1/4, Ρ(Β)=3/4, Ν(Α)=500,Ν(Β)=1500] [ Τράπεζα θεμάτων Έστω ο δειγματικός χώρος Ω με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Αν Α και Β ενδεχόμενα του Ω τα οποία ικανοποιούν τις σχέσεις : Ρ(Α) = 4 1, Ρ(Β) = Ρ(Α) + 1 και Ν(Β) Ν(Α) =, τότε : α ) να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Ω, β ) αν τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα, να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του Α-Β, γ ) την Ρ(Α-Β) και την Ρ [ (ΑÈ Β) ]. Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 63

15 51. Δίνεται η συνάρτηση με τύπο : Φ(χ) = χ 3-5 χ + χ Οι πιθανότητες Ρ(Α), Ρ(Β) δυο ενδεχομένων του Ω είναι ίσες με τις τιμές του χ, στις οποίες η Φ(χ) έχει αντίστοιχα τοπικό μέγιστο και τοπικό ελάχιστο. α ) να δείξετε ότι : Ρ(Α) = 1 και Ρ(Β) = P 1 β ) για τις παραπάνω τιμές των Ρ(Α), Ρ(Β) καθώς και για την Ρ(ΑÈ Β) = P να βρείτε τις πιθανότητες : ι ) Ρ(ΑÇ Β) ιι ) Ρ(Α-Β) ιιι ) Ρ[(ΑÇ Β) ] ιν ) Ρ{ (Α-Β)È (Β-Α) } [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 ] 1 5. Αν Α είναι ενδεχόμενο ενός δειγματοχώρου Ω με Ρ(Α) =, x ¹ 1, τότε : x ι ) να εξεταστεί αν το Α είναι αδύνατο ή βέβαιο ενδεχόμενο, ιι ) να βρείτε τις πιθανές τιμές του χ ιιι ) να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση : Φ(χ) = [Ρ(Α )] χρ(α) 53. Κατά τους Ολυμπιακούς αγώνες 004, μεγάλο μέρος των θεατών θα χρησιμοποιήσουν για τη μετακίνηση τους στα δυο μεγάλα αθλητικά κέντρα Ο.Α.Κ.Α και Σ.Ε.Φ το ΜΕΤΡΟ και τον ηλεκτρικό. Εκτιμάται ότι οι θεατές που θα μετακινηθούν με το ΜΕΤΡΟ είναι διπλάσιοι από αυτούς που θα χρησιμοποιήσουν τον ηλεκτρικό. Η πιθανότητα να χρησιμοποιήσει κανείς τον ηλεκτρικό είναι 0,30, ενώ υπάρχει ποσοστό 0% που θα χρησιμοποιήσει τον ηλεκτρικό και όχι το ΜΕΤΡΟ. α ) να εξετάσετε το ενδεχόμενο να υπάρχουν θεατές που θα χρησιμοποιήσουν και τα δυο μέσα, β ) ποια η πιθανότητα κάποιος θεατής να χρησιμοποιήσει τουλάχιστον ένα από τα δυο μεταφορικά μέσα ; γ ) ποια η πιθανότητα κάποιος θεατής να χρησιμοποιήσει μόνο ένα από τα δυο μέσα ; 54. Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν : ι ) η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα Α, Β είναι 8 7. ιι ) οι πιθανότητες Ρ(Β), Ρ(ΑÇ Β) δεν είναι ίσες και ανήκουν στο σύνολο : 1 5 Px -15 Χ = { κ,, }, όπου κ = lim 4 x. x 5-6x + 5 α ) να βρεθεί το κ, β ) να βρεθούν τα Ρ(Β), Ρ(ΑÇ Β) γ ) να βρεθούν οι πιθανότητες : (1) να πραγματοποιηθεί το ενδεχόμενο Α () να πραγματοποιηθεί μόνο το ενδεχόμενο Α. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 005 ] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 64

16 55. Σε ένα χορευτικό όμιλο συμμετέχουν χ αγόρια και (χ+4) κορίτσια. α ) Επιλέγουμε τυχαία ένα άτομο, για να εκπροσωπήσει τον όμιλο σε μια εκδήλωση. Να εκφράσετε ως συνάρτηση του χ την πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι. β ) Αν η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι είναι 19 1 και ο όμιλος περιλαμβάνει λιγότερα από 100 μέλη, να βρείτε τον αριθμό των μελών του ομίλου, καθώς και την πιθανότητα να επιλεγεί κορίτσι. γ ) Ποιος πρέπει να είναι ο αριθμός των αγοριών του ομίλου, ώστε να μεγιστοποιείται η πιθανότητα να επιλεγεί αγόρι, και ποια είναι η τιμή της πιθανότητας αυτής ; [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 ] 56. Έστω δειγματικός χώρος Ω = { -1, 0, 1,, 3, 4, 5 }, για τον οποίο ισχύει : Ρ(-1) = Ρ(0) = Ρ(1) = Ρ() = Ρ(3) = Ρ(4) = Ρ(5). Ορίζουμε τα ενδεχόμενα του Ω : Α = { 1, 3, χ χ 3 }, Β = {, χ + 1, χ + χ, -χ + 1 }, όπου χ είναι πραγματικός αριθμός. α ) να βρεθούν οι πιθανότητες Ρ(-1), Ρ(0), Ρ(1), Ρ(), Ρ(3), Ρ(4), Ρ(5). β ) να βρεθεί η μοναδική τιμή του χ για την οποία ισχύει : ΑÇ Β = { -1, 3 } 5 7 P γ ) για χ = -1, να δειχθεί ότι : Ρ(Α) =, Ρ(Β) =, Ρ(Α Ç Β) = και στη συνέχεια να υπολογιστούν οι πιθανότητες : Ρ(Α Β) και Ρ(ΑÈ B ) [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 007 ] 57. Το 50% των κατοίκων μιας πόλης διαβάζουν την εφημερίδα α, ενώ το 30% των κατοίκων διαβάζουν την εφημερίδα α και δεν διαβάζουν την εφημερίδα β. α ) Ποια η πιθανότητα ένας κάτοικος της πόλης, που επιλέγεται τυχαία, να μην διαβάζει την εφημερίδα α ή να μην διαβάζει την εφημερίδα β β ) ορίζουμε το ενδεχόμενο, Β : «ένας κάτοικος της πόλης που επιλέγεται τυχαία, 1 7 διαβάζει την εφημερίδα β». Να αποδείξετε ότι : m(b) 5 10 γ ) Θεωρούμε τη συνάρτηση : f (x) = x 3-1 x + P(B)x, όπου χ πραγματικός και Β το ενδεχόμενο του ερωτήματος (β). Αποδείξτε ότι η συνάρτηση δεν έχει ακρότατα. [ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 008] Επιμέλεια : Κοσόγλου Ιορδάνη μαθηματικού 65

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση

2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση 00-0 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματικά Γενικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ Ι Παπαγρηγοράκης http://usersschgr/mipapagr Γ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος

1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος 1. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 1.1 Πείραμα Τύχης - δειγματικός χώρος Κάθε πείραμα στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Τέτοια πειράματα

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου

ΓΕ.Λ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου ΓΕΛ ΕΞΑΠΛΑΤΑΝΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ : 013-014 ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 1 Ο - Α ( απόδειξη θεωρήματος) 1 ) Αν Α και Β είναι δύο ασυμβίβαστα ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, τότε να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4.

1 ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. 1. Δειγματικοί χώροι 2. Διαγράμματα Venn. Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. 3. Κλασικός ορισμός. 4. ο Κεφάλαιο : Πιθανότητες. Δειγματικοί χώροι. Διαγράμματα Venn Φυσική γλώσσα και ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Κλασικός ορισμός πιθανότητας 4. Κανόνες λογισμού πιθανοτήτων η Κατηγορία : Δειγματικοί χώροι ) Ρίχνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ κεφ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Σε ένα συρτάρι υπάρχουν δύο κάρτες, μία άσπρη και μία κόκκινη Παίρνουμε στην τύχη μία κάρτα από το συρτάρι, καταγράφουμε το χρώμα της και την ξαναβάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. β) το ενδεχόμενο Α: ο αριθμός που προκύπτει να είναι άρτιος ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ.Ένα κουτί περιέχει τέσσερις λαχνούς αριθμημένους από το εώς το 4. Εκλέγουμε έναν λαχνό στην τύχη,σημειώνουμε το αποτέλεσμα και δεν ξανατοποθετούμε τον λαχνό στο κουτί. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ο Γυμναστής ενός λυκείου προκειμένου να στελεχώσει την ομάδα μπάσκετ του λυκείου ψάχνει στην τύχη μεταξύ των μαθητών να βρει τρεις κοντούς (Κ) και τρεις ψηλούς (Ψ). Να

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΙΣΟΠΙΘΑΝΑ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ-ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Συχνότητα Σχετική συχνότητα Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται va φορές,τότε va ο αριθμός va λέγεται συχνότητα του ενδεχομένου

Διαβάστε περισσότερα

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα.

ε. Το μέλος δεν έχει επιλέξει κανένα από τα δύο προγράμματα. Το μέλος έχει επιλέξει αυστηρά ένα μόνο από τα δύο προγράμματα. 1. Τα μέλη ενός Γυμναστηρίου έχουν τη δυνατότητα να επιλέξουν προγράμματα αεροβικής ή γυμναστικής με βάρη. Θεωρούμε τα ενδεχόμενα: Α = Ένα μέλος έχει επιλέξει πρόγραμμα αεροβικής. Β = Ένα μέλος έχει επιλέξει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ

ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f 1 ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ- 1 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:, 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. 1, f 1 ΙΙ. Το όριο lm είναι ίσο με: 0 Α. 0 Β. 1 Γ. -1 Δ. 1/ Ε. Τίποτε

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α

Πιθανότητες. Κώστας Γλυκός ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις. Kglykos.gr. εκδόσεις. Καλό πήξιμο. Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α Πιθανότητες Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / 0 / 0 6 Γενικής κεφάλαιο 3 94 ασκήσεις και τεχνικές σε 8 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο ΓΛΥΚΟΣ ΚΩΝ/ΝΟΣ τηλ.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ»

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. 1 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η συνάρτηση f x. Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., 1 υ -1, B. 1, Γ. -1,., 1. Γ ΛΥΚΕΙΟΥ-ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f Ι. Το πεδίο ορισμού της f είναι:., υ -, B., Γ. -,.,., ΙΙ. Το όριο f lm 0 είναι ίσο με: Α. 0 Β. Γ. Δ. Ε. Τίποτε από τα προηγούμενα

Διαβάστε περισσότερα

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

1.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ . ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 7 9 Α ΟΜΑΔΑΣ. Από μία τράπουλα με 5 φύλλα παίρνουμε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ανδρεσάκης Δ. ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΛΓΕΡ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΙΘΝΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙ 1 Tα πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ

ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΝΕΣΤΟΡΙΟΥ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΓΕΡΓΙΟΣ Ε. ΚΑΡΑΦΕΡΗΣ ΠΕ03 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ [] ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΡΙΑ: Πείραμα Τύχης Κάθε πείραμα κατά στο οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως

Διαβάστε περισσότερα

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς.

Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς. Πιθανότητες Α Λσκείοσ Στέλιος Μιταήλογλοσ Δημήτρης Πατσιμάς www.askisopolis.gr Πιθανότητες Εφαρμογές στον ορισμό πιθανότητας. Ρίχνουμε ένα νόμισμα τρεις φορές. Ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε και τις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α. α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας α) Τι λέγεται δειγματικός χώρος και τι ενδεχόμενο ενός πειράματος τύχης; =. β) Για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα {,,..., }. ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Δειγματικός Χώρος Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Αν δηλαδή ω,,, ω2 ωκ είναι τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας

ΘΕΜΑ 3 Το ύψος κύματος (σε μέτρα) σε μία συγκεκριμένη θαλάσσια περιοχή είναι τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΤΙΚΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ TOMEAΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΓΙΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ ΣΤΟ ΕΞΩΤΕΡΙΚΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ - ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 26 Σεπτεμβρίου 2014 Ομάδα Θεμάτων Α ΘΕΜΑ 1 Ρίχνουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα (δύο δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }.

3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ο δειγματικός χώρος του πειράματος θα είναι το σύνολο: Ω = ω, ω,..., ω }. 3 ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΡΟΣ - ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα Τύχης Ένα πείραμα του οποίου δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνεται φαινομενικά τουλάχιστον κάτω από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Συνοπτική Θεωρία Όλες οι αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις από την Τράπεζα Θεμάτων του Υπουργείου και προτεινόμενες Διαγωνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version ) 2001 ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ( Version 17-4--2016) 2001 ΘΕΜΑ 1ο Α.1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει ότι: Ρ (Α Β) = Ρ (Α) Ρ (Α Β). Μονάδες 8,5 Απόδειξη: Επειδή τα ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους :

Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Σύνολα ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΟΛΟΥ ΓΡΑΦΗ ΣΥΝΟΛΟΥ Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους : ) Παράσταση με αναγραφή των στοιχείων Όταν δίνονται

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β

Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Θέματα Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β 1. Δίνονται δύο ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου και οι πιθανότητες: 3 5 1 P( A), P( A B) και P( B) 4 8 4 α) Να υπολογίσετε την P( A B) β) i) Να παραστήσετε με διάγραμμα Venn

Διαβάστε περισσότερα

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31.

4 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 31. ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Οι µηνιαίες αποδοχές, σε, ν υπαλλήλων είναι x, x,, x ν και αυτές αποτελούν οµοιογενές δείγµα µε µέση τιµή 000. Αν το 8% έχει µισθό Α, το 6% Β και οι υπόλοιποι Γ : Να βρείτε το

Διαβάστε περισσότερα

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας

Α ΕΝΟΤΗΤΑ. Πιθανότητες. Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα. Η έννοια της πιθανότητας Α ΕΝΟΤΗΤΑ Πιθανότητες Α.1 (1.1 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Α.2 (1.2 παρ/φος σχολικού βιβλίου) Η έννοια της πιθανότητας Α.1 Δειγματικός Χώρος. Ενδεχόμενα. Απαραίτητες γνώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn.

Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Άσκηση 1 Α) Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. B) Αν ( ), ( ), ( ), να εκφράσετε τις πιθανότητες

Διαβάστε περισσότερα

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα:

Η Έννοια της Πιθανότητας. 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: 1 Η Έννοια της Πιθανότητας Η Έννοια της Πιθανότητας 1 Βρείτε την πιθανότητα του καθ ενός απ τα παρακάτω ενδεχόμενα: α) Να εμφανιστεί περιττός αριθμός κατά την ρίψη ενός ζαριού. (1/2) β) Να εμφανιστεί τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ

ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΠΟ ΤΟ ΒΙΒΛΙΟ ΤΟΥ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟΥ. Δύο ομάδες Ο, Ο παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ

ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ - Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Επιμέλεια: Παπαδόπουλος Παναγιώτης Πείραμα τύχης 1 η δραστηριότητα Ρίξτε ένα κέρμα 5 φορές και καταγράψτε την πάνω όψη του: 1 η ρίψη:, 2 η ρίψη:, 3 η ρίψη:

Διαβάστε περισσότερα

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η

Α4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 203 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων :

3.2 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : 2. Ιδιότητες της f, λ το πλήθος απλών ενδεχοµένων : 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Σχετική συχνότητα ενδεχοµένου Α : Είναι το πηλίκο f κ A = ν ενδεχόµενου Α σε ν το πλήθος εκτελέσεις του πειράµατος όπου κ το πλήθος των πραγµατοποιήσεων του. Ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΤΑΞΗ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 25 ΜΑΪΟΥ 2004 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέµα Α A1. Για δυο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω να αποδείξετε ότι: Ρ( Α Β) = Ρ(Α) + Ρ(Β) Ρ( Α Β) Α. Πότε µια συνάρτηση f µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Οµάδα η. Αν Ω={ω,ω,,ω 6 } είναι ο δ.χ ενός πειράµατος τύχης να βρείτε τις πιθανότητες Ρ(ω ),,Ρ(ω 6 ) αν είναι γνωστό ότι αυτές αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθµητικής προόδου µε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ . Να βρείτε το δειγµατικό χώρο της ρίψης ενός ζαριού.. Επιλέγουµε ένα µαθητή Λυκείου και σηµειώνουµε το φύλο και την τάξη του. Να βρείτε το δειγµατικό χώρο Ω του πειράµατος. 3. Τραβάµε ένα φύλλο από µία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΝΕΣΤΗΣ ΤΣΟΜΙΔΗΣ - ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 1) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1. Οι παρακάτω αριθμοί παρουσιάζουν τις ενδείξεις ενός ζαριού το οποίο ρίξαμε 20 φορές. 5 5 5 1 2 5 4 3 2 3 1 3 6 4 1 4 6 6 5 4 i) Να κατασκευάσετε πίνακα α)

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΣ.ΣΠ. ΛΥΚΟΥΔΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θεωρία Πιθανοτήτων Εάν οι συνθήκες τέλεσης ενός πειράματος καθορίζουν πλήρως το αποτέλεσμα του, τότε το πείραμα λέγεται αιτιοκρατικό. Είναι γνωστό ότι το αποσταγμένο νερό βράζει στους 100 βαθμού κελσίου.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3

ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Ασκηση 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ Γ.Π. ΚΕΦ 1,2,3 Δίνεται η συνάρτηση α. Να εξετάσετε την f ως προς τα ακρότατα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο (1,f(1)). γ. Αν το α παίρνει τιμές που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' )

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89. Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις Σ Λ 2. Για τα ενδεχόμενα Α και Β ισχύει η ισότητα: A ( ) ( ') ( ' ) ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ 89 Ον/μο:.. Α Λυκείου Ύλη: Πιθανότητες Το σύνολο R-Εξισώσεις 6-0- Θέμα ο : Α.. Να δώσετε τον ορισμό της εξίσωσης ου βαθμού (μον.) Α.. Αν, ρίζες της εξίσωσης 0, να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη

Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 2004, ΜΑΪΟΣ 2008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Απόδειξη ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΕΛΑΦΑ 59 Θέμα 1 ο (ΜΑΪΟΣ 004, ΜΑΪΟΣ 008) Να δείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης f (x) = c είναι (c) = 0. Έχουμε f (x+h) - f (x) = c - c = 0 και για h 0 είναι f (x + h) - f (x) 0 m

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής

Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ. Ε.1 Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής Εισαγωγή στα ΣΥΝΟΛΑ Ε. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με (Α), αν είναι αληθείς ή με (Ψ), αν είναι ψευδής i) Αν Α= {0,5,8,3,89}, τότε το Α. ii) Αν Α = {, {,5}, 8, 0}, τότε το Α. iii) Τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 6: Πιθανότητες Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος

Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής. Θεωρία Πιθανοτήτων. Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής 1 Θεωρία Πιθανοτήτων Δρ. Αγγελίδης Π. Βασίλειος 2 Περιεχόμενα Έννοια πιθανότητας Ορισμοί πιθανότητας Τρόπος υπολογισμού Πράξεις πιθανοτήτων Χρησιμότητα τους 3 Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΕΝΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΡΙΑΚΗ 19 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Όνομα/Επίθετο: Ζήτημα 1ο Να γράψετε στη γλώσσα των συνόλων και λεκτικά ποιο ενδεχόμενο παριστάνει κάθε ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2004 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 004 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της σταθερής συνάρτησης fxc είναι ίση µε 0. Μονάδες 8 Β. Να δώσετε τον ορισµό της συνέχειας

Διαβάστε περισσότερα

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).

Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x). Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑ ΙΑΡΚΕΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 3 ΩΡΕΣ ΘΕΜΑ Ο Α ) Να αποδείξετε ότι για δυο ασυµβίβαστα ενδεχόµενα Α, Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει P( A B) = P( A) + P( B) ( µονάδες 8 ) Β ) Να δώσετε τον

Διαβάστε περισσότερα

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 1 5.3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ισοπίθανα απλά ενδεχόµενα Είναι τα απλά ενδεχόµενα για τα οποία κάποιο εξ αυτών δεν έχει πλεονέκτηµα έναντι των άλλων όσον αφορά την επιλογή του. Με άλλα λόγια

Διαβάστε περισσότερα

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Λύσεις των θεμάτων ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 2017 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 19 ΙΟΥΝΙΟΥ 017 Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (0/06/017, 1:00) ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ

Διαβάστε περισσότερα

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1

P A B P(A) P(B) P(A. , όπου l 1 ΛΥΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, ΜΑΡΤΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - 2 ο ΘΕΜΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ - ο ΘΕΜΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν άντρες: ο Δημήτρης (Δ), ο Κώστας (Κ), ο Μιχάλης (Μ) και γυναίκες:

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 5o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική

Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική Θεωρία Πιθανοτήτων και Στατιστική 2 ο Εξάμηνο Ασκήσεις Πράξης 1 Θεωρία Συνόλων - Δειγματικός Χώρος Άσκηση 1: Να βρεθούν και να γραφούν με συμβολισμούς της Θεωρίας Συνόλων οι δειγματοχώροι των τυχαίων πειραμάτων:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 20 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

5. 2 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ Α 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ 69 5. ΔΕΙΜΑΤΙΟΣ ΧΩΡΟΣ- ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πείραμα τύχης- Δειγματικός χώρος Ένα πείραμα το οποίο όσες φορές και αν το επαναλάβουμε, δεν μπορούμε να προβλέψουμε το αποτέλεσμα

Διαβάστε περισσότερα

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ

3.2. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 154 156 Α ΟΜΑ ΑΣ . Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 54 56 Α ΟΜΑ ΑΣ. Από µία τράπουλα µε 5 φύλλα παίρνουµε ένα στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχοµένων : i) Το φύλλο είναι 5 ii) Το φύλλο δεν είναι 5 i) εχόµαστε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ - ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ίνεται η συνάρτηση f: ΙR ΙR με τύπο: 3, 4 a, 4 f ( ) 4 3, 4,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ

ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ ΘΕΜΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΒΑΣΙΛΕΙΟΣ ΝΤΑΙΦΩΤΗΣ Θ Ε Μ Α 1 Από τους 120 μαθητές ενός Λυκείου, οι 24 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Α, οι 20 μαθητές συμμετέχουν σε ένα διαγωνισμό Β και οι 12 μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Πιθανότητες Πραγματικοί αριθμοί Εξισώσεις Ανισώσεις Πρόοδοι Βασικές έννοιες των συναρτήσεων Μελέτη βασικών συναρτήσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α

Διαβάστε περισσότερα

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8

2 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ και. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. Έστω Α, Β ενδεχόµενα ενός δειγµατικού χώρου Ω µε Ρ(Α) = 8 5 και Ρ(Β) = Ρ(Α ). Αν τα Α, Β είναι ασυµβίβαστα, να εξετάσετε αν είναι ασυµβίβαστα και τα Α, Β 5 i είξτε ότι Ρ(Α Β)=

Διαβάστε περισσότερα

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες.

Δύο φίλοι θα παίξουν τάβλι και αποφασίζουν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει τρεις συνολικά παρτίδες ή δύο συνεχόμενες παρτίδες. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 3 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση (Προτάθηκε από pito ) Για ένα φάρμακο σε πειραματικό στάδιο αποδείχθηκε ότι δημιουργεί δύο ειδών παρενέργειες. Η πιθανότητα να δημιουργήσει

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α.

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 1. α) Να λύσετε την εξίσωση : 2 2 2x. β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : 1 x < α. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ 6 3 α) Να λύσετε την εξίσωση : 3 β) Αν α είναι η ϑετική εξίσωσης του ερωτήµατος (α), να λύσετε την ανίσωση : < α. ΘΕΜΑ α) Να λύσετε την ανίσωση : + < 7. β) Αν ο είναι λύση της ανίσωσης του

Διαβάστε περισσότερα

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ

Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ε Σ Π ι θ α ν ό τ η τ ε ς : Ο τομέας των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, που ασχολείται με την αξιολόγηση κατάλληλων στοιχείων έτσι ώστε να είναι μετρήσιμη η προσδοκία μας για την πραγματοποίηση

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1-

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς. 3.1 Εξισώσεις 1 ου Βαθμού. 3.2 Η εξίσωση x. 3.3 Εξισώσεις 2 ου Βαθμού. ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α1- 3. Εξισώσεις ου Βαθμού 3. Η εξίσωση 3.3 Εξισώσεις ου Βαθμού Διδακτικό υλικό Άλγεβρας Α Λυκείου (Κεφάλαιο 3 ο ) Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 3 ο : Ε ξ ι σ ώ σ ε ι ς ρωτήσεις αντικειμενικού τύπουθέμα Α- Εξεταστέα ύλη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Φ1 : ΠIΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 2014-2015 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Γ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Δ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΣ ΧΩΡΟΣ-ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Πράξεις ενδεχομένων-γλωσσική περιγραφή 1) Να γράψετε με τη βοήθεια των συνόλων Α,Β,Γ,Α,Β,Γ τα ενδεχόμενα που

Διαβάστε περισσότερα

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις:

ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ x 2. 6x x. 1B. Α) Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λανθασμένη (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: ΤΕΤΡΑΚΤΥΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Αμυραδάκη 0, Νίκαια (10-4903576) ΤΑΞΗ... Γ ΛΥΚΕΙΟΥ... ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ: ΜΑΘΗΜΑ...ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ... ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 013 ΘΕΜΑ 1 Ο 1Α. α). Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ

5. 3 ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ 77. ΕΟΙΑ ΤΗΣ ΠΙΘΑΟΤΗΤΑΣ Κλασικός ορισμός πιθανότητας Αν ένα στοιχείο του συνόλου του δειγματικού χώρου επιλέγεται στην τύχη και δεν έχει κανένα πλεονέκτημα έναντι των άλλων,

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version )

ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version ) ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ (ημιτελές Version 24-3-2016) 2001 2001 επαναληπτικές 2002 2002 επαναληπτικές 2003 2003 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2005 2005 επαναληπτικές 2006 2006 επαναληπτικές 2007 2007

Διαβάστε περισσότερα

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει

A. Να δείξετε ότι για δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α και Α ενός δειγματικού χώρου, ισχύει ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΘΕΜΑ o ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 7 ΙΟΥΛΙΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ:

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ A. Η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο ΙR. και c πραγµατική σταθερά. Να αποδείξετε ότι (c f(x)) =c f (x), x ΙR. Μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω:

ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β. B. Το αντίστοιχο διάγραμμα Venn είναι το παρακάτω: ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΗΣ Τ.Θ.Δ.Δ. ΘΕΜΑ Β Β1 α) Από τους κανόνες λογισμού των πιθανοτήτων έχουμε: P( A B) P( A) P( A B) P( A B) P( A) P( A B) και από τα δεδομένα 3 5 1 παίρνουμε: P( A B) P( A B) 4 8 8 β)

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Ομάδα Μαθηματικών της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 0 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f,g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών

ΓΕΛ ΝΕΑΣ ΠΕΡΑΜΟΥ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ. Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΚΛΑΣΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ-ΛΟΓΙΣΜΟΣ Στατιστική ομαλότητα ή Νόμος των μεγάλων αριθμών Οι σχετικές συχνότητες πραγματοποίησης των ενδεχομένων ενός πειράματος σταθεροποιούνται γύρω από κάποιους αριθμούς

Διαβάστε περισσότερα

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β)

Αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου να αποδείξετε ότι: Αν Α Β τότε Ρ(Α) Ρ(Β) ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 04 ΘΕΜΑ ο Α. Πότε δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ονομάζονται ασυμβίβαστα;

Διαβάστε περισσότερα

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός

Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2. Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Τράπεζα Θεμάτων Άλγεβρα Α Λυκείου Κεφάλαιο 1 Θέμα 2 Επιμέλεια : Μιχάλης Γιάνναρος - Μαθηματικός Άσκηση 1 Ένα τηλεοπτικό παιχνίδι παίζεται με ζεύγη αντιπάλων των δυο φύλων. Στο παιχνίδι συμμετέχουν 3 άντρες:

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω.

ΘΕΜΑ 2. βρείτε. (Μονάδες 15) με διαφορά ω. ΘΕΜΑ ΘΕΜΑ Έστω α, β πραγµατικοί αριθµοί για τους οποίους ισχύουν: α β = 4 και αβ + αβ = 0 α) Να αποδείξετε ότι: α + β = 5. (Μονάδες 0) β) Να κατασκευάσετε εξίσωση ου βαθµού µε ρίζες τους αριθµούς α, β

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης,

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. 8. * Αν Ω είναι ο δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, 3ο Κεφάλαιο ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν Ω είναι δειγµατικός χώρος ενός πειράµατος τύχης, τότε Ρ (Ω) = 1. 2. * Αν Α είναι ενδεχόµενο ενός πειράµατος τύχης τότε, 0 Ρ (Α) 1. 3. *

Διαβάστε περισσότερα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα

ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1 η εκάδα ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η εκάδα. Στην αρχή της σχολικής χρονιάς, οι 50 µαθητές της τρίτης τάξης ενός λυκείου ρωτήθηκαν σχετικά µε τον αριθµό των βιβλίων που διάβασαν την περίοδο των διακοπών τους. Τα δεδοµένα

Διαβάστε περισσότερα

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου

Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 0-0 Οι Ασκήσεις της Α Λυκείου ΣΥΝΟΛΑ. Σε κάθε μια από τις παρακάτω περιπτώσεις να κυκλώσετε το γράμμα Α, αν ο ισχυρισμός είναι αληθής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ

ΚΩΣΤΑΣ ΤΣΑΒΕΣ & ΧΡΗΣΤΟΣ ΤΣΑΒΕΣ 1 1) Δίνεται ο διπλανός πίνακας 43 παρατηρήσεων της μεταβλητής Χ και οι αντίστοιχες συχνότητές τους ν i. Αν 116 η μέση τιμή των παρατηρήσεων είναι x =, η διάμε- 43 σος είναι δ=3 και ισχύει κ>10, να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 3 ΣΕΛΙΔΕΣ ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ ΙΟΥΝΙΟΥ 07 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΡΕΙΣ(3)

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ

Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 2008 ΜΑΘ. ΚΑΙ ΣΤ. ΣΤΑΤ. ΤΑΞΗ Γ Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 43 Γ. Ε. ΛΥΚΕΙΟ 008 44 Α. Έστω f συνάρτηση με πεδίο ορισμού Α παραγωγίσιμη σε κάθε Α και c πραγματική σταθερά. Να αποδείξετε ότι: (cf ()) = cf () Μονάδες 5 Β. Να χαρακτηρίσετε με Σ (σωστό)

Διαβάστε περισσότερα

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

1. Πείραμα τύχης. 2. Δειγματικός Χώρος ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1 ΣΤΟΙΧΕΙ ΠΟ ΤΗ ΘΕΩΡΙ ΠΙΘΝΟΤΗΤΩΝ 1. Πείραμα τύχης Πείραμα τύχης (π.τ.) ονομάζουμε κάθε πείραμα που μπορεί να επαναληφθεί όσες φορές επιθυμούμε υπό τις ίδιες συνθήκες και του οποίου το αποτέλεσμα είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 05 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α Πότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη στο σημείο 0 του πεδίου ορισμού της; Α Αν οι συναρτήσεις και g είναι παραγωγίσιμες στο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7,

ΘΕΜΑ 2. Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό όρο της. (Μονάδες 15) β) Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x)

ΘΕΜΑ Α Α1. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι ( f (x) + g(x) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΜΑΪΟΥ 01 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ

Διαβάστε περισσότερα

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ Π Ι Θ Α Ν Ο Τ Η Τ Ω Ν ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ0 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηµατικών µε πολλά

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων.

Ω ισχύει: P A B P(A) P(B) P(A (Μονάδες 7 ) του πεδίου ορισμού της; (Μονάδες 4 ) ii. Να δώσετε τον ορισμό της μέσης τιμής ενός συνόλου ν παρατηρήσεων. ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ () ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 24 ΜΑΡΤΙΟΥ 207 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΕΞΙ (6) ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Ρίχνουµε ένα νόµισµα τρείς φορές (i) Να βρείτε τον δειγµατικό χώρο του πειράµατος τύχης. (ii) Να βρείτε την πιθανότητα των ενδεχοµένων: Α: Οι τρεις ενδείξεις είναι ίδιες. Β:

Διαβάστε περισσότερα