Στατιστική Συμπερασματολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Στατιστική Συμπερασματολογία"

Transcript

1 Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 2 ου κεφαλαίου Σταύρος Χατζόπουλος 20/02/2017, 06/03/2017, 13/03/2017 1

2 Κεφάλαιο 2. Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Τα προβλήματα ελέγχου υποθέσεων απορρέουν από παρατηρήσεις φαινομένων, όπως: Η κατανάλωση γλυκών και παγωτών οδηγεί στην αύξηση του βάρους ενός ανθρώπου. Το κάπνισμα είναι από τις βασικότερες αιτίες καρκίνου του πνεύμονα. Η ζώνη ασφαλείας μειώνει το ποσοστό των σοβαρών τραυματισμών στα τροχαία ατυχήματα. Ο αθλητισμός συμβάλλει στη μακροζωία και στην αποφυγή σοβαρών ασθενειών. Η οικονομική κρίση στην Ελλάδα έχει οδηγήσει σε αύξηση του ποσοστού των αυτοκτονιών. Το διοξείδιο του άνθρακα στην ατμόσφαιρα αυξάνεται. Η χρήση ενός λιπάσματος αυξάνει την παραγωγή ενός γεωργικού προϊόντος. 2

3 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Για να μελετηθούν τα παραπάνω φαινόμενα, θα πρέπει να εξετασθούν αντίστοιχα: Το βάρος των ανθρώπων που καταναλώνουν παγωτά και γλυκά σε σχέση με όσους δεν καταναλώνουν. Το ποσοστό των καπνιστών που προσβάλλονται από καρκίνο. Στο σύνολο των ατόμων που τραυματίζονται σοβαρά από τροχαία ατυχήματα, πόσοι από αυτούς φορούσαν ζώνη ασφαλείας και πόσοι όχι. Στα άτομα «μεγάλης» ηλικίας με κάποια σοβαρή ασθένεια, πόσοι αθλούνταν και πόσοι όχι. Το ποσοστό των αυτοκτονιών, πριν, κατά τη διάρκεια και μετά την κρίση. Το ποσοστό του διοξειδίου του άνθρακα στην ατμόσφαιρα σε κάποια χρονική περίοδο. Στο σύνολο των εκτάσεων που χρησιμοποιήθηκε το συγκεκριμένο λίπασμα, αν η παραγωγή αυξήθηκε ή όχι. 3

4 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Ο πιο ασφαλής τρόπος ελέγχου είναι να εξετασθεί ολόκληρος ο πληθυσμός αναφοράς των προηγούμενων παραδειγμάτων. Αυτό, όμως, είναι πρακτικά αδύνατο και οικονομικά ασύμφορο. Για το λόγο αυτό λαμβάνεται ένα τυχαίο δείγμα από τον πληθυσμό, δηλαδή ένα μέρος του, φροντίζοντας να είναι όσο το δυνατό πιο αντιπροσωπευτικό. Το δείγμα αυτό ονομάζεται τυχαίο δείγμα. Η διαδικασία βάσει της οποίας θα αποφασιστεί τι συμβαίνει σε όλο τον πληθυσμό μελετώντας ένα μέρος αυτού του δείγματος είναι το αντικείμενο αυτού του κεφαλαίου. Ας είναι μια τ.μ. με σ.κ. και X,,, ένα τ.δ. από αυτήν την τ.μ., όπου η σ.κ. δεν είναι γνωστή. Ησ.κ. ανήκει σε μια κλάση κατανομών, η οποία διαμερίζεται σε δύο υποσύνολα και τέτοια ώστε:,,. Με τη βοήθεια της τιμής x,,, του τ.δ. X,,,, θα εξεταστεί αν ήαν. 4

5 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Το γεγονός ότι είναι μια υπόθεση, η οποία συμβολίζεται με Η και συνήθως ονομάζεται αρχική ή μηδενική υπόθεση. Το γεγονός ότι είναι μια άλλη υπόθεση, που ονομάζεται εναλλακτική υπόθεση καισυμβολίζεταιμεη Η. Οι υποθέσεις Η και Η αντιστοιχούν στη διαμέριση της κλάσης, έτσι ώστε: Η :, Η :. Το πρόβλημα του ερευνητή είναι να αποφασίσει ποια από τις υποθέσεις Η ή Η είναι σωστή, δηλαδή σε ποιο από τα σύνολα, ανήκει η. Ο κανόνας σύμφωνα με τον οποίο ο ερευνητής επιλέγει ένα από τα δύο σύνολα ή ονομάζεται έλεγχος ή κριτήριο ελέγχου. 5

6 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Ορισμός 2.1. Ένας έλεγχος ονομάζεται παραμετρικός, αν είναι γνωστή η συναρτησιακή μορφή της σ.κ., αλλά είναι άγνωστη η τιμή της παραμέτρου από την οποία εξαρτάται η και οι υποθέσεις αφορούν σ αυτήν την παράμετρο. Αν οι υποθέσεις αφορούν στη μορφή της σ.κ., τότε ο έλεγχος λέγεται μη παραμετρικός. Στους παραμετρικούς ελέγχους η κλάση περιορίζεται στον παραμετρικό χώρο Ω καιοιυποθέσειςη και Η ορίζουν μια διαμέριση του χώρου Ω σε δύο σύνολα Ω και Ω τέτοια ώστε: Ω Ω, Ω Ω Ω, Ω Ω Ω, Η : Ω, Η : Ω. Ορισμός 2.2. Μια υπόθεση Η καλείται απλή, αν κάθε ένα από τα σύνολα Ω, 0,1αποτελείται από ένα μόνο στοιχείο και σύνθετη σε άλλη περίπτωση. 6

7 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Παράδειγμα 2.1. Είναι γνωστό ότι το βάρος των γυναικών ηλικίας [15 20] ετών στην Ευρωπαϊκή Ένωση έχει μέση τιμή 62kg. Ένας ερευνητής επιθυμεί να ελέγξει, αν το μέσο βάρος των γυναικών της ίδιας ηλικιακής κατηγορίας στην Ελλάδα είναι μικρότερο. Να διατυπωθούν οι έλεγχοι υποθέσεων. Παράδειγμα 2.2. Δύο φίλοι συζητούν για το αν οι Έλληνες επιθυμούν την παραμονή της Ελλάδας στο ευρώ. Ο ένας ισχυρίζεται ότι ποσοστό τουλάχιστον 50% των Ελλήνων πολιτών συμφωνεί με την παραμονή της χώρας στο ευρώ, ενώ ο άλλος ότι ποσοστό λιγότερο από 50% επιθυμεί την παραμονή της χώρας στο ευρώ. Να διατυπωθούν οι έλεγχοι υποθέσεων. 7

8 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Συνήθως η μηδενική υπόθεση Η είναιεκείνηγιατηνοποίαηλανθασμένηαπόρριψήτης προκαλεί μεγαλύτερους κινδύνους σε σχέση με τους κινδύνους που προκαλεί η λανθασμένη αποδοχή της. Ο έλεγχος θα γίνει με τη βοήθεια μιας συνάρτησης x, η οποία έχει πεδίο ορισμού τον δειγματοχώρο. Η συνάρτηση αυτή καλείται ελεγχοσυνάρτηση καισυμβολίζειτην πιθανότητα απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης Η για δοθέν δείγμα X. Ορισμός 2.3. Έστω μια μετρήσιμη συνάρτηση : 0,1. Αν η συνάρτηση αντιστοιχεί στο σημείο X μόνο τις τιμές 0 ή 1, τότε η x λέγεται γνήσια ή μη τυχαιοποιημένη ελεγχοσυνάρτηση ενώ αν, αντιστοιχεί κάποιο μέτρο πιθανότητας, λέγεται τυχαιοποιημένη ή μεικτή ελεγχοσυνάρτηση. 8

9 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Ηγνήσιαελεγχοσυνάρτησηx χωρίζει το δειγματοχώρο σε δύο σύνολα και, τέτοια ώστε. Το σύνολο είναι η περιοχή αποδοχής της αρχικής υπόθεσης Η, ενώ το σύνολο είναι η περιοχή απόρριψης της Η και λέγεται κρίσιμη περιοχή. Οι γνήσιες ελεγχοσυναρτήσεις είναι της μορφής: x 1, x απορρίπτεται η Η , x γίνεται δεκτή η Η Διαπιστώνεται ότι γνήσιοι έλεγχοι ορίζουν στο δειγματοχώρο μια διαμέριση της μορφής: Σχήμα 2.1 Διαμέριση δειγματικού χώρου στις γνήσιες ελεγχοσυναρτήσεις. 9

10 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Οι μεικτές ελεγχοσυναρτήσεις μπορεί να είναι της μορφής: x 1, x απορρίπτεται η Η,, x απορρίπτεται η Η με πιθανότητα, 2.2 0, x γίνεται δεκτή η Η όπου 0και είναι το σύνορο των συνόλων και για τα οποία ισχύει ότι, όπως φαίνεται στο σχήμα 2.2. Σχήμα 2.2 Διαμέριση δειγματικού χώρου στις τυχαιοποιημένες ελεγχοσυναρτήσεις. 10

11 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Παράδειγμα 2.3. Ένα κατάστημα που προμηθεύεται ένα προϊόν από ένα εργοστάσιο, απαιτεί το προϊόν αυτό να ικανοποιεί ορισμένες προδιαγραφές. Αν ένα αντικείμενο δεν είναι κατασκευασμένο σύμφωνα με τις προδιαγραφές, τότε επιστρέφεται ως «ελαττωματικό». Ο καταστηματάρχης αποφασίζει να επιστρέφει κάποια παραγγελία, αν το ποσοστό των «ελαττωματικών» αντικειμένων ξεπερνά ένα όριο. Να διατυπωθούν οι έλεγχοι υποθέσεων. Η επιλογή μιας από τις δύο υποθέσεις διατρέχει δύο ειδών κινδύνους: : κίνδυνος ή σφάλμα πρώτου είδους, που ορίζεται ως η απόρριψη της μηδενικής υπόθεσης Η, ενώ αυτή είναι σωστή. Στην περίπτωση του παραδείγματος 2.3 το σφάλμα πρώτου είδους είναι ο κίνδυνος του πωλητή, που κινδυνεύει να του επιστραφεί μια παραγγελία, η οποία σε μεγάλο ποσοστό ανταποκρίνεται στις προδιαγραφές. : κίνδυνος ή σφάλμα δευτέρου είδους, που ορίζεται ως η απόρριψη της εναλλακτικής υπόθεσης Η, ενώ αυτή είναι σωστή. Στην περίπτωση του παραδείγματος 2.3 το σφάλμα δευτέρου είδους είναι ο κίνδυνος του καταστηματάρχη να δεχθεί «ελαττωματική» παραγγελία. 11

12 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Απόφαση H 0 H 1 Υπόθεση σωστή H 0 απόφαση σωστή σφάλμα τύπου Ι H 1 σφάλμα τύπου ΙΙ απόφαση σωστή Ορισμός 2.4. Η πιθανότητα του σφάλματος πρώτου είδους ονομάζεται μέγεθος σφάλματος τύπου Ι ή στάθμη σημαντικότητας (σ.σ.) του ελέγχου και συμβολίζεται με a. Ορίζεται ως η πιθανότητα απόρριψηςτηςμηδενικήςυπόθεσης, ενώ είναι αληθής, δηλαδή: Αναλυτικότερα: ap απόρριψη της Η Η : αληθής. P Χ Η, αν ο έλεγχος είναι μη τυχαιοποιημένος a P Χ Η P Χ Η, αν ο έλεγχος είναι τυχαιοποιημένος. 12

13 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Η πιθανότητα του σφάλματος δευτέρου είδους ονομάζεται μέγεθος σφάλματος τύπου ΙΙ και συμβολίζεται με β. Ορίζεται ως η πιθανότητα απόρριψης της εναλλακτικής υπόθεσης, ενώ είναι αληθής, δηλαδή: ή πιο αναλυτικά: β απόρριψη της Η Η : αληθής, PΧ Η, αν ο έλεγχος είναι μη τυχαιοποιημένος β P Χ Η 1 P Χ Η, αν ο έλεγχος είναι τυχαιοποιημένος. Η ποσότητα γ1βονομάζεται ισχύς του ελέγχου και ισχύει: PΧ Η, αν ο έλεγχος είναι μη τυχαιοποιημένος γ P Χ Η P Χ Η, αν ο έλεγχος είναι τυχαιοποιημένος. 13

14 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Τα μεγέθη των σφαλμάτων τύπου Ι και ΙΙ δίνονται στον ακόλουθο πίνακα:. Απόφαση H 0 H 1 Υπόθεση σωστή H 0 1 a a H 1 β 1 β Έστω η συνάρτηση P (απόρριψη της υπόθεσης Η, Ω. Ο περιορισμός της συνάρτησης αυτής στο σύνολο Ω δίνει τη στάθμη σημαντικότητας a του ελέγχου, ενώ ο περιορισμός της συνάρτησης στο σύνολο Ω δίνει την ισχύ του ελέγχου, δηλαδή: γ a, Ω 1 β, Ω 2.3 Η συνάρτηση ονομάζεται συνάρτηση ισχύος του ελέγχου και ισχύει ότι: Χ

15 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Πράγματι, αν x είναι μια ελεγχοσυνάρτηση που δίνεται από τη σχέση (2.1) τότε: P Χ 1 P Χ 0 P Χ Χ. Αν x είναι μια ελεγχοσυνάρτηση της μορφής (2.2), τότε: 1 P Χ P Χ 0 P Χ Χ. Άρα η σχέση (2.4) ισχύει τόσο στους γνήσιους όσο και στους τυχαιοποιημένους ελέγχους. 15

16 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Παράδειγμα 2.4. Έστω,,, τυχαίο δείγμα από κανονική κατανομή,, με παράμετρο και. Να ελεγχθούν οι υποθέσεις: :., :. και να συγκριθούν οι έλεγχοι ως προς την ισχύ τους. Λύση. Για να αποφασιστεί ποια από τις δύο υποθέσεις Η ή Η ισχύει, θα χρησιμοποιηθεί η στ.σ. για την οποία είναι γνωστό ότι είναι α.ε.ο.ε.δ. της παραμέτρου. Ας υποτεθεί ότι υπάρχουν δύο υποψήφιοι έλεγχοι. Ο πρώτος είναι: και ο δεύτερος είναι: x 1, 1.2 0, διαφορετικά, x 1, 1.2 0, διαφορετικά. 16

17 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Οι τιμές των και θα επιλεγούν έτσι, ώστε να δίνουν a Για την ελεγχοσυνάρτηση x ισχύει ότι: ap Χ γ P 1.2 γ 1Φ Φ Η συνάρτηση γ έχει τις εξής ιδιότητες: γ a0.05, γ γ,, γ γ,,,, γ γ,,,, γ 1, όταν. 17

18 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Για την ελεγχοσυνάρτηση x ισχύει ότι: ap Χ γ P 1.2 1Φ Η συνάρτηση γ έχει τις εξής ιδιότητες: γ a0.05, γ γ,,,, γ 1, όταν. 18

19 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Σχήμα 2.3 Γραφική παράσταση συναρτήσεων ισχύος του παραδείγματος

20 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Από το σχήμα 2.3 προκύπτει ότι τα δύο κριτήρια, συγκρινόμενα ως προς την ισχύ, δίνουν γ γ για 1.2, ενώ γ γ για 1.2. Προφανώς για 1.2ισχύει ότι γ γ. Διαπιστώνεται ότι αν δεν υπάρχει καμιά πληροφόρηση για το διάστημα που κυμαίνεται η πραγματική τιμή του, δε μπορεί να επιλεγεί κανένας από τους δύο ελέγχους. Αν όμως είναι γνωστό aprioriότι 1.2, τότε προφανώς θα επιλεγεί ηελεγχοσυνάρτηση x, ενώ, αν 1.2, τότε θα επιλεγεί η ελεγχοσυνάρτηση x. Απότοπαράδειγμα2.4 γίνεταιφανερόπόσοδύσκολοείναινασυγκριθούνοιδύοέλεγχοι, ακόμη και όταν χρησιμοποιείται η ίδια στάθμη σημαντικότητας. Είναι προφανές ότι το «βέλτιστο» κριτήριο είναι εκείνο που ελαχιστοποιεί στο μηδέν τα μεγέθη σφαλμάτων τύπου Ι και ΙΙ. Αν σε κάποιον έλεγχο το μέγεθος του σφάλματος τύπου Ι είναι ίσο με μηδέν, τότε έχει μέγεθος σφάλματος τύπου ΙΙ ίσο με τη μονάδα. Η αδυναμία χρησιμοποίησης των μεγεθώντωνσφαλμάτωντύπουικαιιι, ωςμέτροσύγκρισηςδύοελεγχοσυναρτήσεων, έγκειταιστηφύσητωνσφαλμάτων. Αυτό γίνεται, γιατίτοσφάλματύπουιορίζεταιστο χώρο Ω, ενώ το σφάλμα τύπου ΙΙ, ορίζεται στο χώρο Ω. 20

21 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Θεώρημα 2.1. Το σύνολο Φ όλων των ελεγχοσυναρτήσεων έχει τις παρακάτω ιδιότητες: 1. Είναι κυρτό σύνολο. 2. Είναι συμμετρικό ως προς το σημείο 3. Περιέχει τα σημεία 0,1 και 1,0.,. Αν το μέγεθος του σφάλματος τύπου Ι ελαττώνεται, τότε δε γνωρίζουμε πως μεταβάλλεται το μέγεθος του σφάλματος τύπου ΙΙ. Όμως, για συγκεκριμένη τιμή του a, μπορεί να υπολογισθεί μια ελεγχοσυνάρτηση η οποία θα έχει ελάχιστο β. Οι ελεγχοσυναρτήσεις βρίσκονται με τον παρακάτω κανόνα: για a 0.005, 0.01, 0.05, υπολογίζεται εκείνη η ελεγχοσυνάρτηση που μεγιστοποιεί την ισχύ. Ως αρχική υπόθεση ορίζεται εκείνη η υπόθεση της οποίας η λανθασμένη απόρριψη προκαλεί μεγαλύτερους κινδύνους σε σχέση με τη λανθασμένη αποδοχή της. Έχει επικρατήσει να ορίζεται ως αρχική υπόθεση, η υπόθεση της μη μεταβολής της ιδιότητας ή του φαινομένου που μελετάται. Για το λόγο αυτό ονομάζεται και μηδενική υπόθεση. Σχήμα 2.4 Γραφική παράσταση του συνόλου ελεγχοσυναρτήσεων. 21

22 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Παράδειγμα 2.5. Ας υποτεθεί ότι ένα φάρμακο Α θεραπεύει μια ασθένεια με πιθανότητα p 0. Ένα νέο φάρμακο Β πρόκειται να κυκλοφορήσει στην αγορά και πρέπει να ελεγχθεί αν είναι αποτελεσματικότερο του Α. Αν p είναι η πιθανότητα θεραπείας με το φάρμακο Β, τότε αν p p 0 το νέο φάρμακο δεν είναι καλύτερο του προηγούμενου, ενώ, αν p > p 0, τότε είναι αποτελεσματικότερο. Ζητείται να ορισθεί ποια είναι η μηδενική υπόθεση. Έστω: Η : Ω, Η : Ω και τα μεγέθη των σφαλμάτων τύπου Ι και ΙΙ τέτοια ώστε: a sup, Ω, β 1, 2.5 με, Ω, 2.6 για κάθε ελεγχοσυνάρτηση x για την οποία ισχύει ότι: sup, Ω a

23 Εισαγωγή Βασικοί Ορισμοί Ορισμός 2.5. Αν η υπόθεση Η είναι σύνθετη, ηελεγχοσυνάρτησηx για την οποία ισχύουν οι σχέσεις (2.5) και (2.6) λέγεται ομοιόμορφα ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση (Ο.Ι.Ε.) με στάθμη σημαντικότητας a, μεταξύ όλων των ελεγχοσυναρτήσεων x που ικανοποιούν τη σχέση (2.7). Αν η υπόθεση Η είναι απλή, η ελεγχοσυνάρτηση x λέγεται ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση (Ι.Ε.) με στάθμη σημαντικότητας a. Ορισμός 2.6. Μια ελεγχοσυνάρτηση x ονομάζεται αμερόληπτη, αν υπάρχει στάθμη σημαντικότητας a τέτοια, ώστε να ισχύουν συγχρόνως: a, Ω a, Ω, όπου η συνάρτηση ορίστηκε στη σχέση (2.3) 23

24 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Έστω X,,, τ.δ. με κατανομή ;, Ω,. Αναζητείται ένας ισχυρότατος έλεγχος μεγέθους a (0 a1) για τον έλεγχο της υπόθεσης Η :, έναντι της υπόθεσης Η :. Κάτω από την υπόθεση Η η κατανομή είναι ; και η αντίστοιχη συνάρτηση πιθανοφάνειας δίνεται από τη σχέση: x ; ;. Κάτω από την υπόθεση Η η κατανομή είναι ; και η αντίστοιχη συνάρτηση πιθανοφάνειας δίνεται από τη σχέση: x ; ;. x ; και x ;. 24

25 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Θεώρημα 2.2. [Λήμμα Neyman Pearson]. Για τον έλεγχο της απλής μηδενικής υπόθεσης Η :, έναντι της εναλλακτικής υπόθεσης Η :, η x 1, αν, αν 0, αν όπου οι σταθερές ( 0) και (0 1) ορίζονται από τη σχέση: Χ a, είναι η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση από όλες τις ελεγχοσυναρτήσεις που έχουν μικρότερη ή ίση τη σ.σ. a. Η σταθερά c λέγεται κρίσιμο σημείο ή σημείο αποκοπής., 25

26 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Απόδειξη. Ας είναι τα σύνολα x :, x :,. Η ελεγχοσυνάρτηση x ορίζεται ως εξής: και x : 1, αν x x, αν x 0, αν x, Για την ελεγχοσυνάρτηση x ισχύει ότι: Χ a. 2.8 Αν x είναι μια άλλη ελεγχοσυνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: Χ a,

27 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων τότε θα πρέπει να αποδειχθεί ότι: X X. Πράγματι, αν X X, τότε ισχύει: X X X X x x x x x x 1 x x 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x 0 x x 0 x x x x x, x x x X X. 27

28 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Από τις σχέσεις (2.8) και (2.9) προκύπτει ότι X X X X aa0. Επομένως, ισχύει ότι X X. Παρατήρηση Στη βιβλιογραφία η Ι.Ε. του λήμματος Neyman Pearson δίνεται και με την εξής μορφή: 1, αν x, αν. 0, αν 28

29 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων 2. Το θεμελιώδες λήμμα των Neyman Pearson εφαρμόζεται επίσης στις περιπτώσεις που η τ.μ. ήηπαράμετρος ή και οι δύο είναι διανυσματικά μεγέθη. 3. Στα λογισμικά στατιστικής επεξεργασίας, ως κρίσιμο σημείο λαμβάνεται η τιμή του στατιστικού του δείγματος. Δηλαδή, αν X είναιτοστατιστικόμετοοποίο γίνεται ο έλεγχος, τότε το κρίσιμο σημείο είναι η τιμή του x για το δείγμα x. Στη συνέχεια υπολογίζεται η πιθανότητα P X x a ή P X x a, η οποία ονομάζεται σημαντικότητα του ελέγχου. Αν a a, όπου a είναι η στάθμη σημαντικότητας, τότε γίνεται δεκτή η μηδενική υπόθεση, η οποία συνήθως έχει τη μορφή Η :, ενώ, αν a a, τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται. 29

30 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Θεώρημα 2.3. Ηελεγχοσυνάρτηση x (θεώρημα 2.2), είναι αμερόληπτη για την υπόθεση Η : έναντι της υπόθεσης Η :, σε σ.σ. a. Απόδειξη. Σύμφωνα με τον ορισμό 2.6 μια ελεγχοσυνάρτηση x είναι αμερόληπτη, αν ισχύουν, συγχρόνως, οι παρακάτω προϋποθέσεις: ή ισοδύναμα, αν ισχύουν, συγχρόνως, οι: a, Ω a, Ω. X a X a 1βa 30

31 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Επειδή ισχύει Χ aαρκεί να αποδειχτεί ότι: X a. Έστω η συνάρτηση για την οποία ισχύει ότι: 0, x 0, x. Ολοκληρώνοντας τη συνάρτηση στο σύνολο προκύπτει ότι: x x x β 1a 0. Επομένως: β 1a

32 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Επιπλέον: X x x x x x x, x x X a. Επομένως: 1β a Από τις σχέσεις (2.10) και (2.11) συνεπάγεται ότι: β 1a 1β a β 1a 1β a 1 β a. 32

33 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Παράδειγμα 2.6. Με τη βοήθεια τυχαίου δείγματος από κατανομή Poisson, να βρεθεί ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης έναντι της εναλλακτικής σε στάθμη σημαντικότητας. Λύση. Η πιθανοφάνεια για την κατανομή Poisson είναι: x ;.! Για και! η παραπάνω σχέση παίρνει τη μορφή: x ;. Επομένως:,. Σύμφωνα με το λήμμα των Neyman Pearson η Ι.Ε., δίνεται από τη σχέση: 33

34 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων x 1, αν, αν 0, αν x όπου οι σταθερές και υπολογίζονται από τη σχέση: X Ισχύει ότι: 1, αν ln ln, αν ln ln 0, αν ln ln. a., Λογαριθμίζοντας την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι: ln ln. 34

35 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Έστω. Για η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι: 1, αν x, αν, , αν όπου οι σταθερές και υπολογίζονται από τη σχέση X P P a. Από την άσκηση 1.1 είναι γνωστό ότι, αν οι ανεξάρτητες τ.μ. ακολουθούν κατανομή, τότε η τ.μ. ακολουθεί την κατανομή Poisson με παράμετρο. Υπάρχουν πίνακες οι οποίοι δίνουν την πιθανότητα P (παράρτημα Β, πίνακας Β7). Επομένως: a1p P P 1aP. 35

36 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Επειδή 0και 0 συμπεραίνεται ότι 1a και η τιμή είναι ο μικρότερος ακέραιος αριθμός για τον οποίο ισχύει ότι P 1a. Ητιμή του υπολογίζεται από τη σχέση: P 1a. P Για η ζητούμενη ελεγχοσυνάρτηση είναι: x 1, αν, αν, , αν όπου οι σταθερές και υπολογίζονται από τη σχέση X P P a, όπου P P 1. 36

37 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Επειδή 0και P 0 συμπεραίνεται ότι P 1 a και η τιμή είναιομεγαλύτεροςακέραιοςαριθμόςγιατονοποίοισχύειότιp 1 a. Ητιμή του υπολογίζεται από τη σχέση: ap 1. P Παράδειγμα 2.7. Δίνεται τυχαίο δείγμα από κατανομή Poisson. Για,.,.και. να υπολογιστούν οι σταθερές και, καθώς και η ισχύς του ελέγχου. Λύση. Είναι η περίπτωση του παραδείγματος

38 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Από τους πίνακες της κατανομής Poisson (παράρτημα Β, πίνακας Β7) εύκολα διαπιστώνεται ότι η μικρότερη ακέραια τιμή για την οποία ισχύει ότι: P. 0.95είναι η τιμή 6, διότι P

39 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Επομένως: Η ισχύς του ελέγχου δίνεται από τον τύπο: γ Χ P P. 3 6! P P. 6. γ

40 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Παράδειγμα 2.8. Δίνεται τυχαίο δείγμα μεγέθους 20 από κατανομή Poisson. Να γίνει ο έλεγχος της μηδενικής υπόθεσης :., με εναλλακτική :. σε στάθμη σημαντικότητας. και να βρεθεί η ισχύς του ελέγχου. Λύση. Είναι η περίπτωση που του παραδείγματος 2.6. Ακολουθώντας όμοιο τρόπο με αυτόν του παραδείγματος 2.7 προκύπτει 2 και

41 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Η ισχύς του ελέγχου δίνεται από τον τύπο: γ Χ P P γ

42 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Παράδειγμα 2.9. Με τη βοήθεια ενός τυχαίου δείγματος από κανονική κατανομή,, όπου : γνωστό, να ελεγχθεί η μηδενική υπόθεση : με εναλλακτική : σε στάθμη σημαντικότητας και να βρεθεί η ισχύς της ελεγχοσυνάρτησης. Λύση. Ο έλεγχος υποθέσεων διατυπώνεται ως εξής: Η :, Η :. Η πιθανοφάνεια για την κανονική κατανομή είναι: x ; ; 1 2 exp exp 1 2 Μετά από πράξεις προκύπτει ότι: ln

43 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Για η ελεγχοσυνάρτηση δίνεται από τη σχέση: x 1, αν ln ln 0, αν ln ln, 2.15 Η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: ln 2. a X P P 1Φ. Φ 1a. 43

44 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Η ισχύς του ελέγχου είναι: γ X P P γφ 1Φ. 2.16, 44

45 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Για η ελεγχοσυνάρτηση δίνεται από τη σχέση: x 1, αν 0, αν 2.17 ln 2. Η σταθερά υπολογίζεται από τη σχέση: a X P P Φ. Φ a. 45

46 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Η ισχύς του ελέγχου είναι: γ X P P Φ γφ. 2.18, Όπως φαίνεται από τις σχέσεις (2.16) και (2.18), αλλά και από τα σχήματα 2.5 και 2.6, ηισχύςτης ελεγχοσυνάρτησης αυξάνεται όσο αυξάνει και η σ.σ. a. Επίσης, όπως ήταν αναμενόμενο, από το θεώρημα 2.4, η ισχύς είναι αύξουσα συνάρτηση του μεγέθους του δείγματος. 46

47 Έλεγχος Απλών Υποθέσεων Παρατήρηση 2.3. Από το προηγούμενο παράδειγμα προκύπτει ότι η περιοχή απόρριψης της μηδενικής υπόθεσης : στην περίπτωση που είναι: X :, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της τιμής. Επομένως, η συγκεκριμένη περιοχή μπορεί να ληφθεί ως η περιοχή απόρριψης της : έναντι της εναλλακτικής :, με συνέπεια η ελεγχοσυνάρτηση x να είναι Ο.Ι.Ε. Ομοίως, στην περίπτωση που X :, και είναι η περιοχή απόρριψης της : έναντι της εναλλακτικής :. Άρα η x που ορίστηκε σύμφωνα με το λήμμα των Neyman Pearson να είναι Ο.Ι.Ε. 47

48 Κεφάλαιο 2ο. Ασκήσεις Άσκηση 2.1. Γιατονέλεγχοτωνυποθέσεων :.έναντι της εναλλακτικής :. στη διωνυμική κατανομή, ημηδενικήυπόθεσηαπορρίπτεται, όταν, όπου η τυχαία μεταβλητή ακολουθεί την κατανομή,. Να βρεθεί η στάθμη σημαντικότητας και η ισχύς του ελέγχου. Άσκηση 2.2. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, μεγέθους από κανονική κατανομή,. Η μηδενική υπόθεση : απορρίπτεται έναντι της εναλλακτικής :, όταν.. Να υπολογιστεί η στάθμη σημαντικότητας και η ισχύς της ελεγχοσυνάρτησης. Άσκηση 2.3. Το τυχαίο δείγμα,,, προέρχεται από κατανομή Bernoulli,. Για τον έλεγχο της μηδενικής υπόθεσης :.έναντι της εναλλακτικής :. η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση έχει στάθμη σημαντικότητας. και ισχύ.. Με τη βοήθεια του Κ.Ο.Θ. να υπολογιστεί το μέγεθος του δείγματος. 48

49 Κεφάλαιο 2ο. Ασκήσεις Άσκηση 2.4. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, από κανονική κατανομή,, όπου και : γνωστό. Να βρεθεί η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση και η ισχύς για τον έλεγχο των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής : σε στάθμη σημαντικότητας a. Άσκηση 2.5. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, που ακολουθεί την κατανομή γάμμα,, όπου. Να βρεθεί η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση και η ισχύς για τον έλεγχο των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής : σε στάθμη σημαντικότητας a. Άσκηση 2.6. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, από κατανομή βήτα,,. Να βρεθεί η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής : σε στάθμη σημαντικότητας a. 49

50 Κεφάλαιο 2ο. Ασκήσεις Άσκηση 2.7. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, από γεωμετρική κατανομή με σ.π. ;,,,,,. Σε στάθμη σημαντικότητας a να ελεγχθούν οι υποθέσεις : έναντι της εναλλακτικής :. Άσκηση 2.8. Δίνεται τυχαίο δείγμα,,, από κατανομή Weibull με σ.π.π. ;,,. Σε στάθμη σημαντικότητας a να βρεθεί η ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής :, όπου. Να βρεθεί η ισχύς της ελεγχοσυνάρτησης. Άσκηση 2.9. Έστω,,, τυχαίο δείγμα από ομοιόμορφη κατανομή,. Να βρεθεί ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τις υποθέσεις : έναντι της εναλλακτικής : και να αποδειχθεί ότι είναι ανεξάρτητη από τη στάθμης σημαντικότητας a. 50

51 Κεφάλαιο 2ο. Ασκήσεις Άσκηση Η διάρκεια ζωής ενός εξαρτήματος μιας μηχανής έχει οριστεί από το εργοστάσιο παραγωγής ότι είναι ώρες. Ζητείται να ελεγχθεί αν η αξιοπιστία του εξαρτήματος είναι.ή.. Να διερευνηθούν οι διάφοροι τρόποι του σχεδιασμού ενός πειράματος για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων. Είναι γνωστό ότι η διάρκεια ζωής ενός εξαρτήματος ακολουθεί την εκθετική κατανομή με σ.π.π. ;,,. Άσκηση Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από πολυδιάστατη κανονική κατανομή,, και είναι ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος πίνακας. Σε στάθμη σημαντικότητας να ελεγχθούν οι υποθέσεις : έναντι της εναλλακτικής :. Άσκηση Έστω τυχαίο δείγμα μεγέθους από πολυδιάστατη κανονική κατανομή,, : γνωστό και είναι ένας συμμετρικός θετικά ορισμένος άγνωστος πίνακας. Σε στάθμη σημαντικότητας να ελεγχθούν οι υποθέσεις : έναντι της εναλλακτικής : και να βρεθεί η ισχύς της ελεγχοσυνάρτησης. 51

52 Κεφάλαιο 2ο. Ασκήσεις Άσκηση Να αποδειχθεί ότι, αν ο λόγος πιθανοφανειών είναι σταθερός, δηλαδή ανεξάρτητος από στατιστική συνάρτηση, τότε οποιαδήποτε ελεγχοσυνάρτηση που ορίζεται αυθαίρετα σ ένα σύνολο της μορφής :, όπου είναι ο δειγματοχώρος, είναι ισχυρότατη ελεγχοσυνάρτηση για τον έλεγχο των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής : σε στάθμη σημαντικότητας. Άσκηση Έστω ένας πληθυσμός με άτομα, αριθμημένα από έως. Από τον πληθυσμό αυτό λαμβάνεται ένα δείγμα μεγέθους με επανάθεση, ώστε να είναι εφικτός ο υπολογισμός του μεγέθους του πληθυσμού. Να βρεθεί επαρκής στατιστική συνάρτηση για την παράμετρο. Επιπλέον, σε στάθμη σημαντικότητας να γίνει ο έλεγχος των υποθέσεων : έναντι της εναλλακτικής :,. 52

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 5-6 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 735468 Σε αρκετές εφαρμογές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής

Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά Στοιχεία Θεωρίας Πιθανοτήτων και Εκτιμητικής Κεφάλαιο 1. Εισαγωγή: Βασικά και Εκτιμητικής Ορισμός 1.1. Όλα τα δυνατά αποτελέσματα ενός πειράματος αποτελούν το δειγματοχώρο (sample space) που συμβολίζεται με. Κάθε δυνατό αποτέλεσμα του πειράματος,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο )

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική (Η

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Τυχαίο Δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων

ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ. Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Επαγωγική στατιστική (Στατιστική Συμπερασματολογία) Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων α) Σημειοεκτιμητική β) Εκτιμήσεις Διαστήματος ΕΛΕΓΧΟΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Παράδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες)

. Τι πρακτική αξία έχουν αυτές οι πιθανότητες; (5 Μονάδες) Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //7 ο Θέμα α) Περιγράψτε τη σχέση Θεωρίας Πιθανοτήτων και Στατιστικής. β) Αν Α, Β ενδεχόμενα του δειγματικού χώρου Ω

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #4: Έλεγχος Υποθέσεων Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017

Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (Μέρος 1 ο ) 24/2/2017 2 Η γενική ιδέα της διαδικασίας στατιστικού ελέγχου υποθέσεων Πρόκειται για μια διαδικασία απόφασης μεταξύ δύο υποθέσεων Η μια υπόθεση ονομάζεται μηδενική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών

ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Μη Παραµετρική Στατιστική, Κ. Πετρόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Πατρών Εισαγωγή Στα προβλήµατα που έχουµε ασχοληθεί µέχρι τώρα, υποστηρίζουµε ότι έχουµε ένα δείγµα X = (X 1, X 2,...,X n ) F(,θ). π.χ. X 1, X 2,...,X n τ.δ. N(µ,σ 2 ),

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας

Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Μέθοδος μέγιστης πιθανοφάνειας Αν x =,,, παρατηρήσεις των Χ =,,,, τότε έχουμε διαθέσιμο ένα δείγμα Χ={Χ, =,,,} της κατανομής F μεγέθους με από κοινού σ.κ. της Χ f x f x Ορισμός : Θεωρούμε ένα τυχαίο δείγμα

Διαβάστε περισσότερα

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test)

2.5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) .5 ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ (The Quantile Test) Ο διωνυμικός έλεγχος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον έλεγχο υποθέσεων αναφερομένων στα ποσοστιαία σημεία μίας τυχαίας μεταβλητής. Στην

Διαβάστε περισσότερα

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων

6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6 ο ΜΑΘΗΜΑ Έλεγχοι Υποθέσεων 6.1 Το Πρόβλημα του Ελέγχου Υποθέσεων Ενός υποθέσουμε ότι μία φαρμακευτική εταιρεία πειραματίζεται πάνω σε ένα νέο φάρμακο για κάποια ασθένεια έχοντας ως στόχο, τα πρώτα θετικά

Διαβάστε περισσότερα

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ

2.4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ .4 ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΑ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ Η μέθοδος για τον προσδιορισμό ενός διαστήματος εμπιστοσύνης για την άγνωστη πιθανότητα =P(A) ενός ενδεχομένου A συνδέεται στενά με τον διωνυμικό έλεγχο. Ένα

Διαβάστε περισσότερα

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα.

Η Διωνυμική Κατανομή. μαθηματικών. 2 Ο γονότυπος μπορεί να είναι ΑΑ, Αα ή αα. Η Διωνυμική Κατανομή Η Διωνυμική κατανομή συνδέεται με ένα πολύ απλό πείραμα τύχης. Ίσως το απλούστερο! Πρόκειται για τη δοκιμή Bernoulli, ένα πείραμα τύχης με μόνο δύο, αμοιβαίως αποκλειόμενα, δυνατά

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2

Έλεγχοι Υποθέσεων. Χρήση της Στατιστικής. Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-2 Έλεγχοι Υποθέσεων 7-2 7 Έλεγχοι Υποθέσεων Χρήση της Στατιστικής Η λογική του Ελέγχου Υπόθεσης Ο Έλεγχος Υπόθεσης 7-3 7 Μαθησιακοί Στόχοι Όταν θα έχετε ολοκληρώσει την μελέτη του κεφαλαίου θα πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου

Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics)

Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Μέρος II. Στατιστική Συμπερασματολογία (Inferential Statistics) Τυχαίο δείγμα και στατιστική συνάρτηση Χ={x 1, x,, x n } τυχαίο δείγμα μεγέθους n προερχόμενο από μια (παραμετρική) κατανομή με σ.π.π. f(x;θ).

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη)

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Στατιστική Ι Ενότητα 1: Στατιστική Ι (1/4) Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Κοζάνη) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV

5.1 Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV 5. Ο ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV Έστω δύο ανεξάρτητα τυχαία δείγματα, 2,..., n και, 2,..., m n και m παρατηρήσεων πάνω στις τυχαίες μεταβλητές και, αντίστοιχα. Έστω, επίσης, ότι F (), (, ) και F (y), y (, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

5. Έλεγχοι Υποθέσεων

5. Έλεγχοι Υποθέσεων 5. Έλεγχοι Υποθέσεων Υποθέσεις Η μηδενική υπόθεση Η (ή ΗΑ) εναλλακτική υπόθεση Δεχόμαστε Η Απορρίπτουμε Η Η σωστή Σωστή απόφαση -α Σφάλμα τύπου Ι α Η λάθος Σφάλμα τύπου ΙΙ β Σωστή απόφαση -β ΒΙΟ39-Έλεγχος

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17

ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 17 ΕΛΕΓΧΟΙ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα αναφερθούμε σε ένα άλλο πρόβλημα της Στατιστικής που έχει κυρίως (αλλά όχι μόνο) σχέση με τις παραμέτρους ενός πληθυσμού (τις παραμέτρους της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

3. Κατανομές πιθανότητας

3. Κατανομές πιθανότητας 3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ

ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ Γ. ΑΓΓΕΛΟΥ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΓΙΑ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΟ ΕΚΘΕΤΙΚΟ ΠΛΗΘΥΣΜΟ ΑΠΟ k ΠΛΗΘΥΣΜΟΥΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΔΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ

Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Στατιστική Επιχειρήσεων ΙΙ Ενότητα #: Επαγωγική Στατιστική - Δειγματοληψία Μιλτιάδης Χαλικιάς Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall

3.4.2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall 3..2 Ο Συντελεστής Συσχέτισης τ Του Kendall Ο συντελεστής συχέτισης τ του Kendall μοιάζει με τον συντελεστή ρ του Spearman ως προς το ότι υπολογίζεται με βάση την τάξη μεγέθους των παρατηρήσεων και όχι

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση

Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Κεφάλαιο 10 Εισαγωγή στην Εκτίμηση Εκεί που είμαστε Κεφάλαια 7 και 8: Οι διωνυμικές,κανονικές, εκθετικές κατανομές και κατανομές Poisson μας επιτρέπουν να κάνουμε διατυπώσεις πιθανοτήτων γύρω από το Χ

Διαβάστε περισσότερα

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III

TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III 0 TMHMA OIKONOMIKΩN ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ Διαγώνισμα Προόδου Στατιστικής III Νοέμβριος Eστω,,, τυχαίο δείγμα από κατανομή f( x; ), όπου συμβολίζει άγνωστη παράμετρο (a) Να ορισθεί η έννοια του επαρκούς στατιστικού

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ

& 4/12/09 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική //9 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ο Θέμα Μονάδες Από τα ασθενή ζώα μιας κτηνοτροφικής μονάδας, ποσοστό % έχει προσβληθεί από την ασθένεια Α, % από

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή:

Δειγματοληψία. Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος n ij των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ ij συμβολίζουμε την μέση τιμή: Δειγματοληψία Πρέπει να γνωρίζουμε πως πήραμε το δείγμα Το πλήθος των παρατηρήσεων σε κάθε κελί είναι τ.μ. με μ συμβολίζουμε την μέση τιμή: Επομένως στην δειγματοληψία πινάκων συνάφειας αναφερόμαστε στον

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ και ΕΠΑΓΩΓΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισήγηση 4A: Έλεγχοι Υποθέσεων και Διαστήματα Εμπιστοσύνης Διδάσκων: Δαφέρμος Βασίλειος ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Γ. Πειραματισμός - Βιομετρία Πληθυσμοί και δείγματα Πληθυσμός Περιλαμβάνει όλες τις πιθανές τιμές μιας μεταβλητής, δηλαδή αναφέρεται σε μια παρατήρηση σε όλα τα άτομα του πληθυσμού Ο πληθυσμός προσδιορίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΚΑΙ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Είδη μεταβλητών Ποσοτικά δεδομένα (π.χ. ηλικία, ύψος, αιμοσφαιρίνη) Ποιοτικά δεδομένα (π.χ. άνδρας/γυναίκα, ναι/όχι) Διατεταγμένα (π.χ. καλό/μέτριο/κακό) 2 Περιγραφή ποσοτικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Εκτιμητική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας

Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.3 Ο ΑΜΦΙΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Το 1965, από τον Conover και πάλι προτάθηκε ένας άλλος έλεγχος τύπου Smirnov για k ανεξάρτητα δείγματα. Ο έλεγχος αυτός διαφέρει από τον προηγούμενο

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Στα προηγούμενα (σελ. 7), δώσαμε μια πρώτη, γενική, διατύπωση του Κεντρικού Οριακού Θεωρήματος (Κ.Ο.Θ.) και τη γενική ιδέα για το πώς το Κ.Ο.Θ. εξηγεί το μεγάλο εύρος εφαρμογής

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών

Ενότητα 3. Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Ενότητα 3 Έλεγχος υπόθεσης. Σύγκριση μέσων τιμών Εκτός από τις μέσες τιμές, τυπικές αποκλίσεις κλπ, θέλουμε να βρούμε κατά πόσον αυτές οι παρατηρούμενες τάσεις εξαρτώνται από συγκεκριμένες συνθήκες ή προϋποθέσεις.

Διαβάστε περισσότερα

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Για την Γ Τάξη Γενικού Λυκείου Μάθημα Επιλογής ΟΡΓΑΝΙΣΜΟΣ ΕΚΔΟΣΕΩΣ ΔΙΔΑΚΤΙΚΩΝ ΒΙΒΛΙΩΝ ΑΘΗΝΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΕΘΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ΠΑΙΔΑΓΩΓΙΚΟ

Διαβάστε περισσότερα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα

Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Όπως θα δούμε αργότερα στη Στατιστική Συμπερασματολογία, λέγοντας ότι «από έναν πληθυσμό παίρνουμε ένα τυχαίο δείγμα μεγέθους» εννοούμε ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές,,..., που

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A Α Σ Κ Η Σ Η. 1. Εισαγωγή-Βασικές έννοιες

Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A Α Σ Κ Η Σ Η. 1. Εισαγωγή-Βασικές έννοιες Ε Ρ Γ Α Σ Τ Η Ρ Ι A 10 Κ Η Α Σ Κ Η Σ Η Στοιχεία Θεωρίας Στατιστικού Ελέγχου Υποθέσεων και Συμπερασματολογίας 1. Εισαγωγή-Βασικές έννοιες Έστω η τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (σ.π.π.)

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014

ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 ΜΕΓΙΣΤΙΚΟΣ ΤΕΛΕΣΤΗΣ 18 Σεπτεμβρίου 2014 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή 2 2 Μεγιστικός τελέστης στην μπάλα 2 2.1 Βασικό θεώρημα........................ 2 2.2 Γενική περίπτωση μπάλας.................. 6 2.2.1 Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ

ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΛΟΓΙΣΤΙΚΗΣ ΠΤΥΧΙΑΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟΘΕΣΕΩΝ» ΚΑΛΥΒΑ ΠΑΝΑΓΙΩΤΑ ΛΑΖΑΡΟΥ ΜΑΡΙΕΛΕΝΑ ΜΥΛΩΝΑ ΔΙΟΝΥΣΙΑ ΕΠΟΠΤΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΔΡ. ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΚΑΡΙΩΤΗ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ:

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20,

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ. Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=20, ΜΕΜ64: Εφαρμοσμένη Στατιστική 1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΜΠΙΣΤΟΣΥΝΗΣ Άσκηση 1. Βρείτε δ/μα εμπιστοσύνης για τη μέση τιμή μ κανονικού πληθυσμού όταν n=0, X = 7.5, σ = 16, α = 5%. Πως αλλάζει το διάστημα αν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80.

ΣΑΣΙΣΙΚΗ. Ακαδ. Έτος Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ. Διδάσκων: Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 407/80. ΠΑΝΕΠΙΣΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΤ ΧΟΛΗ ΕΠΙΣΗΜΩΝ ΣΗ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΗ ΣΑΣΙΣΙΚΗ Ακαδ. Έτος -3 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΤΣΡΑ Διδάσκων επί Συμβάσει Π.Δ 47/8 v.kouras@fμe.aegea.gr Σηλ: 735457 Διωνυμικό

Διαβάστε περισσότερα

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011

Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου 2011 για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 25/02/2011 Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής Γραπτή Εξέταση Περιόδου Φεβρουαρίου για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β. στη Στατιστική 5//. [] Η ποσότητα, έστω Χ, ενός συντηρητικού που περιέχεται σε φιάλες αναψυκτικού

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing)

Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (Hypothesis Testing) Μέρος IV. Ελεγχοι Υποθέσεων (ypothesis Testig) Βασικές έννοιες Γενική μεθοδολογία Σφάλμα τύπου Ι και -vlue Στατιστικοί έλεγχοι υποθέσεων για ειδικές περιπτώσεις Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 4 ο - Κ. Μπλέκας

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ, ΟΛΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΗΜΑ BAYES, ΑΝΕΞΑΡΤΗΣΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 71 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i)

και τυπική απόκλιση σ = 40mg ανά μπανάνα. α) Ποια είναι η πιθανότητα μια μπανάνα να περιέχει i) Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γραπτή Εξέταση Περιόδου Ιανουαρίου 8 στο Μάθημα Στατιστική 7..8. [] Ο ανθρώπινος οργανισμός χρειάζεται καθημερινά από έως 6 mg (mllgrams) καλίου. Η ποσότητα καλίου που περιέχεται στα τρόφιμα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Χ 2 test ανεξαρτησίας: σχέση 2 ποιοτικών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling)

5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) 5. ΣΥΣΤΗΜΑΤΙΚΗ ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ (Systematic Sampling) Συχνά, είναι ταχύτερη και ευκολότερη η επιλογή των μονάδων του πληθυσμού, αν αυτή γίνεται από κάποιο κατάλογο ξεκινώντας από κάποιο τυχαίο αρχικό σημείο

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 2: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται οι βασικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 12) 6Η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ - ΕΝΗΜΕΡΩΜΕΝΗ ΜΟΡΦΗ Ημερομηνία Αποστολής της εργασίας στον Φοιτητή 5 Μαϊου 2014

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι

Θέμα 1. που. . Δηλαδή ο υπόχωρος V είναι το. Απάντηση 1α) ii)παρατηρούμε οτι Θέμα ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΤΕΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ Ιουνίου (οποιεσδήποτε άλλες ορθές απαντήσεις είναι αποδεκτές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012

ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: 23 Απριλίου 2012 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ημερομηνία Αποστολής στο Φοιτητή: Απριλίου 0 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 8 Μαΐου 0 Πριν από τη

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή

Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου

Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Διάλεξη 1: Στατιστική Συμπερασματολογία - Εκτίμηση Σημείου Στατιστική Συμπερασματολογία Εκτιμητική Έλεγχος Στατιστικών Υποθέσεων εκτιμήτρια συνάρτηση, ˆ θ σημειακή εκτίμηση εκτίμηση με διάστημα εμπιστοσύνης

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2

0x2 = 2. = = δηλαδή η f δεν. = 2. Άρα η συνάρτηση f δεν είναι συνεχής στο [0,3]. Συνεπώς δεν. x 2. lim f (x) = lim (2x 1) = 3 και x 2 x 2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO - ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΕΝΔΙΑΜΕΣΩΝ ΤΙΜΩΝ - ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΚΑΙ ΕΛΑΧΙΣΤΗΣ ΤΙΜΗΣ - ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 15 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 19 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 21 2.1.1 Αβεβαιότητα και Τυχαίο Πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1)

Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου. Αθήνα Σημειώσεις. Εκτίμηση των Παραμέτρων β 0 & β 1. Απλό γραμμικό υπόδειγμα: (1) Σημειώσεις Αναπλ. Καθηγήτρια, Ελένη Κανδηλώρου Αθήνα -3-7 Εκτίμηση των Παραμέτρων β & β Απλό γραμμικό υπόδειγμα: Y X () Η αναμενόμενη τιμή του Υ, δηλαδή, μέση τιμή του Υ, δίνεται παρακάτω: EY ( ) X EY

Διαβάστε περισσότερα

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης

Οικονομετρία. Απλή Παλινδρόμηση. Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών. Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Οικονομετρία Απλή Παλινδρόμηση Έλεγχοι υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης των συντελεστών Τμήμα: Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Διδάσκων: Λαζαρίδης Παναγιώτης Μαθησιακοί Στόχοι Γνώση και κατανόηση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ

Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα

Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) Διάλεξη 7. Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com Διαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ Διάλεξη 7 Στατιστικός έλεγχος υποθέσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017

Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 Ανάλυση διακύμανσης (Μέρος 1 ο ) 17/3/2017 2 Γιατί ανάλυση διακύμανσης; (1) Ας θεωρήσουμε k πληθυσμούς με μέσες τιμές μ 1, μ 2,, μ k, αντίστοιχα Πως μπορούμε να συγκρίνουμε τις μέσες τιμές k πληθυσμών

Διαβάστε περισσότερα

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός.

Περιπτώσεις που η στατιστική συνάρτηση ελέγχου είναι η Ζ: 1. Η σ είναι γνωστή και ο πληθυσμός κανονικός. ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθ η γη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων

Κεφάλαιο 9. Έλεγχοι υποθέσεων Κεφάλαιο 9 Έλεγχοι υποθέσεων 9.1 Εισαγωγή Όταν παίρνουμε ένα ή περισσότερα τυχαία δείγμα από κανονικούς πληθυσμούς έχουμε τη δυνατότητα να υπολογίζουμε στατιστικά, όπως μέσους όρους, δειγματικές διασπορές

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία

Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μαθηματικά Και Στατιστική Στη Βιολογία Ενότητα 6 : Έλεγχος Υποθέσεων Ι. Αντωνίου, Χ. Μπράτσας Τμήμα Μαθηματικών Άδειες Χρήσης Το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40]

Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής 2η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 28/01/2011 (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) 1ο Θέμα [40] α) στ) 2ο Θέμα [40] Εργαστήριο Μαθηματικών & Στατιστικής η Πρόοδος στο Μάθημα Στατιστική 8// (Για τα Τμήματα Ε.Τ.Τ. και Γ.Β.) ο Θέμα [4] Τα τελευταία χρόνια παρατηρείται συνεχώς αυξανόμενο ενδιαφέρον για τη μελέτη της συγκέντρωσης

Διαβάστε περισσότερα

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας

Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ

ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ 3.1 Εισαγωγή ΕΚΤΙΜΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗΣ ΠΙΘΑΝΟΦΑΝΕΙΑΣ Στο κεφ. 2 είδαμε πώς θα μπορούσαμε να σχεδιάσουμε έναν βέλτιστο ταξινομητή εάν ξέραμε τις προγενέστερες(prior) πιθανότητες ( ) και τις κλάση-υπό όρους πυκνότητες

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα