f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0"

Transcript

1 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο (a, b), τότε η f είναι συνεχής στο (a, b). (ϐ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 = 0 και αν f(0) = f (0) = 0, τότε f(/) = 0. (γ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο [a, b] και παίρνει τη µέγιστη τιµή της στο 0 = a, τότε f (a) = 0.. Αν f () 0 για κάθε [0, ) και f(0) = 0, τότε f() 0 για κάθε [0, ). (δ) Αν η f είναι δύο ϕορές παραγωγίσιµη στο [0, ] και f(0) = f() = f() = 0, τότε υπάρχει 0 (0, ) ώστε f ( 0 ) = 0. (ε) Εστω f : (a, b) R και έστω 0 (a, b). Αν η f είναι συνεχής στο 0, παραγωγίσιµη σε κάθε (a, b) \ { 0 } και αν υπάρχει το 0 f () = l R, τότε f ( 0 ) = l. (στ) Αν η f : R R είναι παραγωγίσιµη στο 0, τότε υπάρχει δ > 0 ώστε η f να είναι συνεχής στο ( δ, δ). (Ϲ) Αν η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 R και f ( 0 ) > 0, τότε υπάρχει δ > 0 ώστε η f να είναι γνησίως αύξουσα στο ( 0 δ, 0 + δ). Υπόδειξη. (α) Σωστό. Εστω (a, b). Από την υπόθεση, η f είναι παραγωγίσιµη στο, άρα είναι συνεχής στο. (ϐ) Σωστό. Αφού f(0) = f (0) = 0, έχουµε 0 = f f() f(0) f() (0) = = 0 0. Από την αρχή της µεταφοράς για το όριο, αν 0 και 0, τότε = f(/) 0, παίρνουµε f(/) = / = 0. f( ) = 0. Θεωρώντας την ακολουθία (γ) Λάθος. Θεωρήστε τη συνάρτηση f : [0, ] R µε f() =. Η f είναι παραγωγίσιµη στο [0, ] και παίρνει τη µέγιστη τιµή της στο 0 = 0, όµως f () = για κάθε [0, ], άρα f (0) = 0. (δ) Σωστό. Εστω > 0. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο [0, ]: υπάρχει ξ (0, ) ώστε f() = f() f(0) = f (ξ ). Αφού > 0 και f (ξ ) 0, συµπεραίνουµε ότι f() 0. Για = 0, έχουµε f() = f(0) = 0. (ε) Σωστό. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Rolle για την f στα [0, ] και [, ], ϐρίσκουµε y (0, ) µε f (y ) = 0 και y (, ) µε f (y ) = 0. Εφαρµόζοντας πάλι το ϑεώρηµα Rolle για την f στο [y, y ], ϐρίσκουµε 0 (y, y ) µε f ( 0 ) = 0. Τέλος, 0 < y < 0 < y <, δηλαδή 0 (0, ). f() f( (στ) Σωστό. Αρκεί να δείξουµε ότι 0) 0 = l. Εστω ε > 0. Αφού f () = l R, υπάρχει δ > ώστε : αν 0 < y 0 < δ, τότε f (y) l < ε. Εστω (a, b) µε 0 < < 0 + δ. Από τις υποθέσεις µας

2 έπεται ότι f είναι συνεχής στο [ 0, ] και παραγωγίσιµη στο ( 0, ), οπότε, εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο [ 0, ], ϐρίσκουµε y ( 0, ) ώστε f() f(0) 0 = f (y ). Οµως, 0 < y 0 < 0 < δ, άρα f (y ) l < ε. Συνεπώς, ( ) f() f( 0 ) l 0 = f (y ) l < ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν και η ( ) ισχύει για κάθε ( 0, 0 + δ), συµπεραίνουµε ότι + 0 f() f( 0) 0 = l. Με τον ίδιο τρόπο δείχνουµε ότι το όριο από αριστερά ισούται µε l, άρα η f είναι παραγωγίσιµη στο 0, και f ( 0 ) = l. (Ϲ) Λάθος. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f() = αν Q και f() = αν / Q. Η f είναι ασυνεχής σε κάθε 0, άρα δεν υπάρχει δ > 0 ώστε η f να είναι συνεχής στο ( δ, δ). Οµως, η f είναι παραγωγίσιµη στο 0: έχουµε άρα f (0) = 0. f() f(0) = f() = = 0 όταν 0, (η) Λάθος. Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R µε f() = + cos αν 0 και f(0) = 0. Η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 και f (0) = > 0 (εξηγήστε γιατί). Ας υποθέσουµε ότι για κάποιο δ > 0, η f είναι αύξουσα στο (0, δ). Τότε, f () 0 για κάθε (0, δ). ηλαδή, + cos si 0 για κάθε (0, δ). Επιλέγουµε N αρκετά µεγάλο ώστε = π+π/ < δ και παρατηρούµε ότι f ( ) = + π+π/ cos(π + π/) si(π + π/) = < 0, άτοπο.. Εξετάστε αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιµες στο 0. (α) f() = αν / Q και f() = 0 αν Q. (ϐ) g() = 0 αν / Q και g() = αν Q. (γ) h() = si αν / Q και h() = αν Q. = f() Υπόδειξη. (α) Θεωρούµε τη συνάρτηση f () = f() f(0), 0. Εχουµε f () = αν / Q και f () = 0 αν Q. Η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 αν και µόνο αν υπάρχει το 0 f (). Οµως αυτό το όριο δεν υπάρχει : αν (q ) είναι µια ακολουθία ϱητών αριθµών ώστε q 0 και q 0, τότε f (q ) = 0 0. Αν (α ) είναι µια ακολουθία αρρήτων αριθµών ώστε α 0, τότε f (α ) =. Αφού f(q ) f(α ), από την αρχή της µεταφοράς ϐλέπουµε ότι το 0 f () δεν υπάρχει. Άρα, η f δεν είναι παραγωγίσιµη στο 0. (ϐ) Θεωρούµε τη συνάρτηση g () = g() g(0) = g(), 0. Εχουµε g () = 0 αν / Q και g () = αν Q. Η g είναι παραγωγίσιµη στο 0 αν και µόνο αν υπάρχει το 0 g (). Θα δείξουµε ότι 0 g () = 0. Εστω ε > 0. Παρατηρούµε ότι g () για κάθε 0. Πράγµατι, αν / Q έχουµε g () = 0, ενώ αν Q έχουµε g () =. Επιλέγουµε δ = ε. Τότε, αν 0 < < δ έχουµε g () < δ = ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, 0 g () = 0. Άρα, η g είναι παραγωγίσιµη στο 0, και g g() g(0) (0) = 0 = 0 g () = 0. (γ) Θεωρούµε τη συνάρτηση h () = h() h(0) = h(), 0. Εχουµε h () = si αν / Q και h () = αν Q. Η h είναι παραγωγίσιµη στο 0 αν και µόνο αν υπάρχει το 0 h ().

3 Θα δείξουµε ότι 0 h () =. Εστω ε > 0. Γνωρίζουµε ότι 0 si =, άρα υπάρχει δ > 0 ώστε : αν R και 0 < < δ, τότε si < ε. Θα δείξουµε ότι : αν R και 0 < < δ, τότε h () < ε. Πράγµατι, αν / Q έχουµε h () = si < ε, ενώ αν Q έχουµε h () = = 0 < ε. Αφού το ε > 0 ήταν τυχόν, 0 h () = 0. Άρα, η h είναι παραγωγίσιµη στο 0, και h (0) = 0 h() h(0) = 0 h () = Εξετάστε αν οι συναρτήσεις f, g, h είναι παραγωγίσιµες στο R. Αν είναι, εξετάστε αν η παράγωγός τους είναι συνεχής στο R. (α) f() = si ( ) αν 0, και f(0) = 0. (ϐ) g() = si ( ) αν 0, και g(0) = 0. (γ) h() = si ( ) αν 0, και h(0) = 0. Υπόδειξη. (α) Η f είναι παραγωγίσιµη σε κάθε 0 και f () = cos ( ). Για την παράγωγο στο 0 εξετάζουµε αν υπάρχει το όριο της f() f(0) = f() = si ( ) καθώς το 0. Αν ορίσουµε = π+ π, τότε 0 αλλά f() = π + π παραγωγίζεται στο 0. (ϐ) Η g είναι παραγωγίσιµη σε κάθε 0 και g () = si ( ) cos ( αν υπάρχει το όριο της g() g(0) = g() = si ( +. Άρα, η f δεν ). Για την παράγωγο στο 0 εξετάζουµε ) καθώς το 0. Αν ορίσουµε = π+ π, τότε 0 και g() =. Αν ορίσουµε = π, τότε 0 και g() = 0 0. Επεται ότι το 0 g() g(0) δεν υπάρχει, άρα η g δεν παραγωγίζεται στο 0. (γ) Η h είναι παραγωγίσιµη σε κάθε 0 και h () = si ( ( ) cos ). Για την παράγωγο στο 0 εξετάζουµε αν υπάρχει το όριο της h() h(0) = h() ( ) = si καθώς το ( 0. Παρατηρήστε ότι si ). Αν λοιπόν µας δώσουν ε > 0 τότε, επιλέγοντας δ = ε > 0 έχουµε 0 < < δ h() h(0) 0 < ε. ηλαδή, η h παραγωγίζεται στο 0, και h (0) = 0. Η h είναι συνεχής σε κάθε 0, δεν είναι όµως συνεχής στο 0: για να το δείξετε, παρατηρήστε ότι δεν υπάρχει το cos ( 0 ). 4. είξτε ότι η συνάρτηση f : R R µε f() = si αν 0 και f(0) = είναι παραγωγίσιµη σε κάθε 0 R. Εξετάστε αν η f : R R είναι συνεχής συνάρτηση. Υπόδειξη. Αν 0, τότε f () = Για την παράγωγο στο 0, ϑεωρούµε τη συνάρτηση cos si. f () = f() f(0) = si = si, 0. 3

4 Θα δείξουµε ότι 0 + f () = 0. Αφού η f είναι περιττή, έπεται ότι άρα f () = f () = 0, f (0) = 0 f () = 0. Χρησιµοποιώντας την si < < si cos για 0 < < π/, παίρνουµε 0 < si < si = si cos cos si = si cos cos = si ( si(/) cos / όταν 0. Από το κριτήριο παρεµβολής έπεται ότι 0 + f () = 0. ) 0 = 0 Η f είναι συνεχής σε κάθε 0. Για να δείξουµε ότι f είναι συνεχής στο 0 αρκεί να δείξουµε ότι cos si 0 = 0. Χρησιµοποιώντας την si < < si cos για 0 < < π/, παίρνουµε Παρατηρούµε ότι 0 > cos si si cos = > si cos. ( ) si(/) si 0 / όταν 0. Από το κριτήριο παρεµβολής έπεται ότι 0 + f () = 0. Η f είναι περιττή, άρα 0 f () = 0 = f (0). ηλαδή, η f είναι συνεχής στο R. 5. Βρείτε (αν υπάρχουν) τα σηµεία στα οποία είναι παραγωγίσιµη η συνάρτηση f : (0, ) R µε { 0, / Q ή = 0 f() = q, = p q, p, q N, ΜΚ (p, q) = Υπόδειξη. Αν Q (0, ) τότε η f είναι ασυνεχής στο, άρα δεν υπάρχει η f (). Εστω (0, ) ο οποίος είναι άρρητος. Η f είναι συνεχής στο, και f() = 0. Υποθέτουµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο και ϑα καταλήξουµε σε άτοπο. Εστω (α ) ακολουθία αρρήτων αριθµών στο (0, ), ώστε α και α. Τότε, από την αρχή της µεταφοράς, f f(α ) f() 0 0 () = = α α = 0 = 0. Βρίσκουµε 0 N ώστε < < για κάθε 0 (εξηγήστε γιατί). Για κάθε 0, υπάρχει µοναδικός m N ώστε m < < m+ <. Παρατηρήστε ότι ( m ) f ( ) και f m +. Επίσης, τουλάχιστον ένας από τους m+ ίσο µε ). Άρα, ϑέτοντας = m f( ) f(), m ή = m+ είναι µικρότερος ή ίσος από (το άθροισµά τους είναι, έχουµε, και = f( ) () =. 4

5 Τότε, από την αρχή της µεταφοράς, 0 = f () = f( ) f(), το οποίο είναι άτοπο. 6. ώστε παράδειγµα συνάρτησης f : (0, ) R η οποία : (α) είναι συνεχής στο (0, ) αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 =. (ϐ) είναι συνεχής στο (0, ) αλλά δεν είναι παραγωγίσιµη στα σηµεία =,. Υπόδειξη. (α) Θεωρήστε τη συνάρτηση f : (0, ) R µε f() = αν 0 < < / και f() = αν / <. ( ) (ϐ) Ορίστε την f σε κάθε διάστηµα της µορφής +/, / µιµούµενοι το (α): η f να παίρνει την τιµή 0 στα ( ) ( ) +/, /, την τιµή στο σηµείο, και να είναι γραµµική στα δύο διαστήµατα +/, και, /. 7. ώστε παράδειγµα συνάρτησης f : R R µε τις εξής ιδιότητες: (α) f( ) = 0, f() = και f () > 0. (ϐ) f( ) = 0, f() = και f () < 0. (γ) f(0) = 0, f(3) =, f () = 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 3]. (δ) f(m) = 0 και f (m) = ( ) m για κάθε m Z, f() για κάθε R. Υπόδειξη. (α) f( ) = 0, f() = και f () > 0: Θεωρήστε την f : R R µε f() = + 3 (τη γραµµική συνάρτηση µε f( ) = 0 και f() = ). Εχουµε f () = 3 > 0 για κάθε R, άρα, f () > 0. (ϐ) f( ) = 0, f() = και f () < 0: Θεωρήστε συνάρτηση της µορφής f() = a + b + c. Ζητάµε : f( ) = a b + c = 0 και f() = 4a + b + c =, άρα c = 3 a και b = 3 a. Επίσης, f () = a + b, άρα f () = a + b = a + 3 < 0 αν a < 3. Τώρα, µπορούµε να επιλέξουµε : a = 3, b =, c = 5 3. Ελέγξτε ότι η συνάρτηση f() = ικανοποιεί το Ϲητούµενο. (γ) f(0) = 0, f(3) =, f () = 0 και η f είναι γνησίως αύξουσα στο [0, 3]: Το τυπικό παράδειγµα γνησίως αύξουσας παραγωγίσιµης συνάρτησης που η παράγωγός της µηδενίζεται σε ένα σηµείο είναι η g() = 3. Θεωρήστε συνάρτηση της µορφής f() = a( ) 3 + b. Ζητάµε : f(0) = a + b = 0, άρα b = a. Επίσης, f(3) = 8a + a =, άρα a = 9. Ελέγξτε ότι η συνάρτηση f() = ( )3 + 9 ικανοποιεί το Ϲητούµενο. (δ) f(m) = 0 και f (m) = ( ) m για κάθε m Z, f() για κάθε R: Θεωρήστε τη συνάρτηση f() = a si(π). Τότε, f(m) = 0 για κάθε m Z και f (m) = πa cos(πm) = ( ) m πa για κάθε m Z. Πρέπει λοιπόν να επιλέξουµε a = π ώστε να ικανοποιούνται οι δύο πρώτες συνθήκες. Τότε, f() = π si(π) π για κάθε R, αφού π >. ηλαδή, ικανοποιείται και η τρίτη συνθήκη. 8. Εστω f, g : R R και έστω 0 R. Υποθέτουµε ότι : f( 0 ) = 0, η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 και η g είναι συνεχής στο 0. είξτε ότι η συνάρτηση γινόµενο f g είναι παραγωγίσιµη στο 0. Υπόδειξη. Για 0 γράφουµε f()g() f( 0 )g( 0 ) 0 = f()g() = f() g() = f() f( 0) g(),

6 χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι f( 0 ) = 0. Αφού η f είναι παραγωγίσιµη στο 0 και η g είναι συνεχής στο 0, συµπεραίνουµε ότι f()g() f( 0 )g( 0 ) 0 f ( 0 )g( 0 ) όταν 0, συνεπώς η f g είναι παραγωγίσιµη στο 0 και (f g) ( 0 ) = f ( 0 )g( 0 ). 9. Για καθεµία από τις παρακάτω συναρτήσεις ϐρείτε τη µέγιστη και την ελάχιστη τιµή της στο διάστηµα που υποδεικνύεται. (α) f() = στο [, ]. (ϐ) f() = στο [, ]. (γ) f() = 3 3 στο [, ]. Υπόδειξη. (α) f() = 3 8+ στο [, ]. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (, ) και f () = 3 8. Οι ϱίζες της παραγώγου είναι : = και = 4 3. Άρα, το µοναδικό κρίσιµο σηµείο της f στο (, ) είναι το. Υπολογίζουµε τις τιµές Επεται ότι ma(f) = 03/7 και mi(f) =. f( ) = 5, f() =, f( 4/3) = 03/7. (ϐ) f() = στο [, ]. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (, ) και f () = > 0, δηλαδή η f δεν έχει κρίσιµα σηµεία. Υπολογίζουµε τις τιµές f( ) = και f() = 3. Επεται ότι ma(f) = 3 και mi(f) =. (γ) f() = 3 3 στο [, ]. Η f είναι παραγωγίσιµη στο (, ), µε παράγωγο f () = 3 3. Τα σηµεία στα οποία µηδενίζεται η παράγωγος είναι τα = και =. Άρα, το µοναδικό κρίσιµο σηµείο της f στο (, ) είναι το. Υπολογίζουµε τις τιµές Επεται ότι ma(f) = και mi(f) =. 0. είξτε ότι η εξίσωση : f( ) =, f() =, f() =. (α) 4a 3 + 3b + c = a + b + c έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο (0, ). (ϐ) = 0 έχει το πολύ δύο πραγµατικές ϱίζες. (γ) = 0 έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα. Υπόδειξη. (α) Η εξίσωση 4a 3 + 3b + c = a + b + c έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο (0, ). Θεωρήστε τη συνάρτηση f : [0, ] R µε f() = a 4 + b 3 + c a b c. Παρατηρήστε ότι f(0) = f() = 0. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Rolle ϐρίσκουµε µια ϱίζα της εξίσωσης στο (0, ). (ϐ) Η εξίσωση = 0 έχει το πολύ δύο πραγµατικές ϱίζες. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = Ας υποθέσουµε ότι υπάρχουν < < 3 ώστε f( ) = f( ) = f( 3 ) = 0 (δηλαδή, ότι η εξίσωση έχει περισσότερες από δύο πραγµατικές ϱίζες). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Rolle για την f στα [, ] και [, 3 ], ϐρίσκουµε < y < < y < 3 ώστε f (y ) = f (y ) = 0. ηλαδή, η εξίσωση f () = 0 έχει τουλάχιστον δύο (διαφορετικές) πραγµατικές ϱίζες. Οµως, f () = = 0 αν και µόνο αν = 3 7/4, δηλαδή η f () = 0 έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα. Καταλήξαµε σε άτοπο, άρα η αρχική εξίσωση έχει το πολύ δύο πραγµατικές ϱίζες. (γ) Η εξίσωση = 0 έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα. Θεωρούµε τη συνάρτηση f() = Αφού f(0) = 8 < 0 και f() = 35 > 0, από το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής συµπεραίνουµε ότι η εξίσωση f() = 0 έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο (0, ). Αν υποθέσουµε ότι η f() = 0 έχει δύο διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες, τότε η f () = 0 έχει τουλάχιστον µία πραγµατική ϱίζα (ϑεώρηµα Rolle). Οµως, f () = = 3( ) > 0 για κάθε R 6

7 (ελέγξτε ότι η διακρίνουσα του τριωνύµου είναι αρνητική). Αυτό είναι άτοπο, άρα η f() = 0 έχει το πολύ µία πραγµατική ϱίζα. Από τα παραπάνω, η f() = 0 έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα.. Εστω a < < a στο R και έστω f() = ( a ) ( a ). είξτε ότι η εξίσωση f () = 0 έχει ακριβώς λύσεις. Υπόδειξη. Αν υποθέσουµε ότι η f () = 0 έχει διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες, τότε εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Rolle ϐλέπουµε ότι η f () = 0 έχει διαφορετικές πραγµατικές ϱίζες, και, συνεχίζοντας µε τον ίδιο τρόπο, ότι η f () () = 0 έχει (τουλάχιστον) µία πραγµατική ϱίζα. Οµως, f () () =! 0 για κάθε R, και καταλήγουµε σε άτοπο. Άρα, η f () = 0 έχει το πολύ ( ) πραγµατικές ϱίζες. Παρατηρούµε τώρα ότι : για κάθε i =,..., έχουµε f(a i ) = f(a i+ ) = 0, οπότε το ϑεώρηµα Rolle δείχνει ότι υπάρχει y i (a i, a i+ ) ώστε f (y i ) = 0. Τα y,..., y είναι διαφορετικά ανά δύο γιατί τα (a i, a i+ ) είναι ξένα ανά δύο (διαδοχικά) διαστήµατα. Άρα, η f () = 0 έχει τουλάχιστον πραγµατικές ϱίζες. Συνδυάζοντας τα παραπάνω, συµπεραίνουµε ότι η f () = 0 έχει ακριβώς πραγµατικές ϱίζες.. Σχεδιάστε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f() = +, f() = + 3, f() =, f() = + ϑεωρώντας σαν πεδίο ορισµού τους το µεγαλύτερο υποσύνολο του R στο οποίο µπορούν να οριστούν. 3. ίνονται πραγµατικοί αριθµοί a < a < < a. Να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης f() = ( a k ). k= Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι f() = Η παράγωγος της f είναι η ( a k + a k) = (a + + a ) + (a + + a ). k= f () = (a + + a ). Επεται ότι η f παίρνει την ελάχιστη τιµή της στο 0 = (a + + a ). Η ελάχιστη τιµή είναι ίση µε mi(f) = (a + + a ) (a + + a ). 4. Εστω a > 0. είξτε ότι η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι ίση µε +a +a. f() = a Υπόδειξη. Μελετήστε την f χωριστά στα διαστήµατα (, 0], [0, a] και [a, + ) (ώστε να «διώξετε» τις απόλυτες τιµές). Παραγωγίζοντας, ελέγξτε ότι η f είναι αύξουσα στο (, 0], ϕθίνουσα στο [a, + ), ενώ στο [0, a] έχουµε ότι η f είναι ϕθίνουσα στο [0, a/] και αύξουσα στο [a/, a]. Συνεπώς, η µέγιστη τιµή της f είναι µία από τις f(0) και f(a). Παρατηρήστε ότι f(0) = + +a = +a f(a). Συνεπώς, ma(f) = +a +a. +a = 5. Υποθέτουµε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι παραγωγίσιµες στο [a, b] και ότι f(a) = g(a) και f(b) = g(b). είξτε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένα σηµείο στο (a, b) για το οποίο οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των f και g στα (, f()) και (, g()) είναι παράλληλες ή ταυτίζονται. 7

8 Υπόδειξη. Θέλουµε να δείξουµε ότι υπάρχει (a, b) ώστε f () = g () (αυτό σηµαίνει ότι οι εφαπτόµενες των γραφικών παραστάσεων των f και g στα (, f()) και (, g()) είναι παράλληλες ή ταυτίζονται). Θεωρούµε τη συνάρτηση h = f g : [a, b] R. Αφού f(a) = g(a) και f(b) = g(b), έχουµε h(a) = h(b) = 0. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα Rolle, ϐρίσκουµε (a, b) ώστε h () = 0, δηλαδή, f () g () = ίνονται δύο παραγωγίσιµες συναρτήσεις f, g : (a, b) R ώστε f()g () f ()g() 0 για κάθε (a, b). είξτε ότι ανάµεσα σε δύο ϱίζες της f() = 0 ϐρίσκεται µια ϱίζα της g() = 0, και αντίστροφα. Υπόδειξη. Υποθέτουµε ότι υπάρχουν < στο (a, b) ώστε f( ) = f( ) = 0, και ότι η g δεν µηδενίζεται στο (, ) (απαγωγή σε άτοπο). Εφαρµόζοντας την υπόθεση f()g () f ()g() 0 στα και, ϐλέπουµε ότι f ( )g( ) 0 και f ( )g( ) 0, άρα η g δεν µηδενίζεται στα,. Με άλλα λόγια, η g δεν µηδενίζεται στο [, ]. Τότε, µπορούµε να ορίσουµε την h := f g : [, ] R. Η h είναι συνεχής στο [, ], παραγωγίσιµη στο (, ), και h( ) = h( ) = 0 (εξηγήστε γιατί). Από το ϑεώρηµα Rolle, υπάρχει (, ) ώστε h () = f ()g() f()g () [g()] = 0. Αυτό είναι άτοπο : αφού (a, b), έχουµε f()g () f ()g() 0, άρα h () 0. Β Οµάδα 7. Εστω f : [a, b] R, συνεχής στο [a, b], παραγωγίσιµη στο (a, b), µε f(a) = f(b). είξτε ότι υπάρχουν (a, b) ώστε f ( ) + f ( ) = 0. Υπόδειξη. Θέτουµε γ = a+b. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στα [a, γ] και [γ, b] ϐρίσκουµε (a, γ) και (γ, b) που ικανοποιούν τις f ( ) = f(γ) f(a) γ a και f ( ) = f(b) f(γ). b γ Χρησιµοποιώντας την γ a = b a = b γ και την f(a) = f(b), ελέγξτε ότι f ( ) + f ( ) = Εστω f : (0, + ) R παραγωγίσιµη, µε + f () = 0. είξτε ότι (f( + ) f()) = 0. + Υπόδειξη. Εστω ε > 0. Αφού f (y) = 0, υπάρχει M > 0 ώστε : για κάθε y > M ισχύει f (y) < ε. Εστω y + > M. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο διάστηµα [, + ]: υπάρχει y (, + ) ώστε Οµως y > > M, άρα f (y ) < ε. ηλαδή, Επεται ότι (f( + ) f()) = 0. + f( + ) f() = f (y )(( + ) ) = f (y ). f( + ) f() < ε. 9. Εστω f : (, + ) R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε την ιδιότητα : f () για κάθε >. είξτε ότι [f( + ) f()] = 0. + Υπόδειξη. Εστω >. Εφαρµόζουµε το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο διάστηµα [, + ]: υπάρχει y (, + ) ώστε f( + ) f() = f (y ). 8

9 Οµως y > >, άρα f (y ) y <. ηλαδή, Επεται ότι + (f( + ) f()) = 0. f( + ) f() < =. 0. Εστω f, g δύο συναρτήσεις συνεχείς στο [0, a] και παραγωγίσιµες στο (0, a). Υποθέτουµε ότι f(0) = g(0) = 0 και f () > 0, g () > 0 στο (0, a). (α) Αν η f είναι αύξουσα στο (0, a), δείξτε ότι η f() είναι αύξουσα στο (0, a). (ϐ) Αν η f g είναι αύξουσα στο (0, a), δείξτε ότι η f g είναι αύξουσα στο (0, a). Υπόδειξη. (α) Η παράγωγος της h() = f() στο (0, a) ισούται µε h () = f () f(). Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο διάστηµα [0, ] για την f, ϐρίσκουµε ξ (0, ) ώστε f() = f() f(0) = f (ξ). Οµως η f είναι αύξουσα και ξ <, άρα f (ξ) f (). Συνεπώς, f() f (). Επεται ότι h 0 στο (0, a), άρα η h είναι αύξουσα. (ϐ) Η συνάρτηση h() = f() f g() είναι καλά ορισµένη στο (0, a). Πράγµατι, παρατηρήστε ότι η g ορίζεται καλά στο (0, a) και ότι g > 0 (από την υπόθεση). Αυτό έχει σαν συνέπεια και την g() > 0 στο (0, a) (δείτε την ερώτηση κατανόησης 4). Εχουµε h () = f ()g() g ()f() [g()]. Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο διάστηµα [0, ] για την z (t) = f(t)g() g(t)f(), ϐρίσκουµε ξ (0, ) ώστε 0 = z () z (0) = f (ξ)g() g (ξ)f(). Αφού η f g είναι αύξουσα και ξ <, παίρνουµε f() g() = f (ξ) g (ξ) f () g (). Συνεπώς, f ()g() g ()f() 0. Επεται ότι h 0 στο (0, a), άρα η h είναι αύξουσα.. (α) είξτε ότι για κάθε R ισχύει e +. (ϐ) είξτε ότι για κάθε > 0 ισχύει log. Υπόδειξη. (α) Θεωρήστε τη συνάρτηση g : R R µε g() = e. Η παράγωγος g () = e της g είναι αρνητική στο (, 0) και ϑετική στο (0, + ). Άρα, η g έχει ολικό ελάχιστο στο 0. ηλαδή, g() g(0) = 0 για κάθε R. (ϐ) Από την e έπεται ότι = l ( e ) l. Εφαρµόζοντας αυτή την ανισότητα για τον > 0, παίρνουµε ( ) l = l, 9

10 δηλαδή l.. είξτε ότι για κάθε > 0 και για κάθε N ισχύει Συµπεράνατε ότι ( ) = l για > 0. l ( ) l. Υπόδειξη. Εστω > 0 και έστω N. Εφαρµόζοντας την ανισότητα της Άσκησης για τον ϑετικό αριθµό, παίρνουµε l( ), δηλαδή l. Επεται ότι l ( ) l. Αφού =, το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών δείχνει ότι ( ) = l. 3. (α) είξτε ότι για κάθε R ισχύει (ϐ) είξτε ότι για κάθε R ισχύει ( l + ) =. ( + = e ). Υπόδειξη. (α) Εφαρµόζοντας την ανισότητα της Άσκησης για τον ϑετικό αριθµό + παίρνουµε Άρα, / ( + (/) l + ). + ( l + ). Το κριτήριο των ισοσυγκλινουσών ακολουθιών δείχνει ότι ( l + ) (ϐ) Από το (α) έχουµε (( l + ) ) όταν το. Η y e y είναι συνεχής συνάρτηση, οπότε η αρχή της µεταφοράς δείχνει ότι ( + ) = e l((+ ) ) e όταν το. =. 0

11 4. Μελετήστε τη συνάρτηση f() = l στο (0, + ) και σχεδιάστε τη γραφική της παράσταση. Ποιός είναι µεγαλύτερος, ο e π ή ο π e ; Υπόδειξη. Η παράγωγος της f είναι η f () = l = l. ηλαδή, f () > 0 αν l < και f () < 0 αν l >. Άρα, η f είναι γνησίως αύξουσα στο (0, e] και γνησίως ϕθίνουσα στο [e, + ). Αφού π > 3 > e έχουµε f(π) < f(e), δηλαδή Επεται ότι Άρα, π e < e π. l π π < l e e. l(π e ) = e l π < π l e = l(e π ). 5. είξτε ότι οι συναρτήσεις l και ep ικανοποιούν τα εξής: (α) για κάθε s > 0, και (ϐ) e + s = + l + s = 0. ηλαδή, η ep αυξάνει στο + ταχύτερα από οποιαδήποτε (µεγάλη) δύναµη του, ενώ η l αυξάνει στο + ϐραδύτερα από οποιαδήποτε (µικρή) δύναµη του. Υπόδειξη. Εφαρµόστε τον κανόνα του l Hospital. 6. Εστω f : R R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε την ιδιότητα f () = cf() για κάθε R, όπου c µια σταθερά. είξτε ότι υπάρχει a R ώστε f() = ae c για κάθε R. Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g() = f()e c στο R. Παρατηρήστε ότι g () = f ()e c cf()e c = e c (f () cf()) = 0 για κάθε R. Συνεπώς, υπάρχει a R ώστε g() = f()e c = a για κάθε R. Επεται ότι f() = ae c για κάθε R. 7. Εστω f : [a, b] R συνεχής, παραγωγίσιµη στο (a, b), ώστε f(a) = f(b) = 0. είξτε ότι : για κάθε λ R, η συνάρτηση g λ : [a, b] R µε g λ () := f () + λf() έχει µια ϱίζα στο διάστηµα (a, b). Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση h λ : [a, b] R µε h λ () = e λ f(). Η h λ είναι συνεχής, παραγωγίσιµη στο (a, b), και h λ (a) = h λ (b) = 0. Από το ϑεώρηµα του Rolle, η εξίσωση h λ () = 0 έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο διάστηµα (a, b). Αφού h λ() = e λ (f () + λf()) = e λ g λ (), έπεται ότι η g λ () := f () + λf()

12 έχει τουλάχιστον µία ϱίζα στο (a, b). 8. Εστω a, b R µε a < b και έστω f : (a, b) R παραγωγίσιµη συνάρτηση ώστε b f() = +. είξτε ότι υπάρχει ξ (a, b) ώστε f (ξ) > f(ξ). [Υπόδειξη : Θεωρήστε την e f().] Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g() = e f() στο (a, b). Σταθεροποιήστε c (a, b). Αφού b f() = + και b e = e b > 0, ισχύει g() = e f() = +. b b Άρα, υπάρχει d (c, b) ώστε g(c) < g(d). Από το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο [c, d], υπάρχει ξ (c, d) ώστε g (ξ) = g(d) g(c) d c > 0. Οµως, g (ξ) = e ξ (f (ξ) f(ξ)). Άρα, f (ξ) > f(ξ) (και ξ (a, b), αφού a < c < ξ < d < b). 9. είξτε ότι για κάθε ( 0, π ) ισχύει si π. Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g() = si π στο [0, π/]. Παρατηρήστε ότι g(0) = g(π/) = 0. Επίσης, g () = cos π και g () = si < 0 στο (0, π/). Άρα, η g είναι κοίλη. Επεται ότι : για κάθε ( ) 0, π ισχύει g() ( π g(π/) + ) g(0) = 0. π ηλαδή, si π. 30. (α) Εστω f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι f(0) = f (0) = 0 και f ()+f() = 0 για κάθε R. είξτε ότι f() = 0 για κάθε R. [Υπόδειξη : Θεωρήστε την g = f +(f ).] (ϐ) Εστω f : R R δύο ϕορές παραγωγίσιµη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι f(0) =, f (0) = 0 και f () + f() = 0 για κάθε R. είξτε ότι f() = cos για κάθε R. Υπόδειξη. (α) Θεωρήστε την g = f + (f ). Τότε, g = ff + f f = f (f + f ) = 0, δηλαδή η g είναι σταθερή. Αφού g(0) = [f(0)] + [f (0)] = 0, συµπεραίνουµε ότι g() = [f()] + [f ()] = 0 για κάθε R. Άρα, f() = f () = 0 για κάθε R. (ϐ) Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση g() = f() cos ικανοποιεί τις g(0) = 0, g (0) = 0 και g () + g() = 0 για κάθε R. Από το (α) έπεται ότι f() cos = g() = 0 για κάθε R.

13 3. (α) είξτε ότι η εξίσωση ta = έχει ακριβώς µία λύση σε κάθε διάστηµα της µορφής I k = ( kπ π, kπ+ π ). (ϐ) Εστω a k η λύση της παραπάνω εξίσωσης στο διάστηµα I k, k N. Βρείτε, αν υπάρχει, το όριο k (a k+ a k ) και δώστε γεωµετρική ερµηνεία. Υπόδειξη. (α) Θεωρήστε τη συνάρτηση f k : I k R µε f k () = ta. Παρατηρήστε ότι (kπ π )+ f k() = και f k() = +. (kπ+ π )+ Χρησιµοποιώντας το ϑεώρηµα ενδιάµεσης τιµής µπορείτε να δείξετε ότι υπάρχει a k I k ώστε f k (a k ) = ta a k a k = 0. Η λύση είναι µοναδική γιατί η f k () = ta είναι γνησίως αύξουσα στο I k : παρατηρήστε ότι f k () = cos > 0 αν kπ και = 0 στο σηµείο kπ. (ϐ) Εστω ε > 0. Από την arcta = π + έπεται ότι υπάρχει M > 0 ώστε αν > M τότε 0 < π arcta < ε. Υπάρχει k 0 N ώστε για κάθε k k 0 να ισχύει kπ π > M. Τότε, αν ϑεωρήσουµε τη λύση a k της εξίσωσης ta = στο I k, έχουµε a k > M και arcta a k = a k kπ. Άρα, 0 < π (a k kπ) < ε. Οµοια, 0 < π (a k+ (k + )π) < ε. Επεται ότι Το ε > 0 ήταν τυχόν, άρα k (a k+ a k ) = π. a k+ a k π < ε. Γ Οµάδα 3. ίνονται πραγµατικοί αριθµοί a < a < < a. Να ϐρεθεί η ελάχιστη τιµή της συνάρτησης g() = a k. k= Υπόδειξη. Μελετήστε την g χωριστά στα διαστήµατα (, a ], [a, a ],..., [a, a ] και [a, + ) (για να «διώξετε» τις απόλυτες τιµές). Θα χρειαστεί να διακρίνετε τις περιπτώσεις περιττός και άρτιος. (α) Αν = s για κάποιον s N, ελέγξτε ότι η g είναι ϕθίνουσα στο (, a s ] και αύξουσα στο [a s, + ). Συνεπώς, s s s mi(g) = a s a k = a k a k. k= k=s+ (ϐ) Αν = s για κάποιον s N, ελέγξτε ότι η g είναι ϕθίνουσα στο (, a s ], σταθερή στο [a s, a s+ ], και αύξουσα στο [a s+, + ). Συνεπώς, s s mi(g) = a s a k = a s+ a k = k= k= k= s k=s+ a k s a k. k= 33. Εστω N και έστω f() = ( ). είξτε ότι η εξίσωση f () () = 0 έχει ακριβώς διαφορετικές λύσεις, όλες στο διάστηµα (, ). Υπόδειξη. (α) Εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα του Rolle δείξτε επαγωγικά το εξήσ: για κάθε k = 0,,...,, η εξίσωση f (k) () = 0 έχει k διαφορετικές λύσεις στο διάστηµα (, ) και f (k) () = f (k) ( ) = 0. 3

14 (ϐ) είξτε ότι η εξίσωση f () () = 0 έχει διαφορετικές λύσεις στο διάστηµα (, ). (γ) είξτε ότι η εξίσωση f () () = 0 έχει το πολύ διαφορετικές λύσεις. [Υπόδειξη : Αν η f () () = 0 είχε + διαφορετικές λύσεις, τότε η f () () = 0 ϑα είχε λύση.] 34. Να ϐρεθούν όλοι οι a > για τους οποίους η ανισότητα a a ισχύει για κάθε >. Υπόδειξη. Παρατηρήστε ότι η συνάρτηση f : (, + ) R µε f() = l συνάρτηση αυτή µελετήθηκε στην Άσκηση 4. πρέπει να έχει µέγιστο στο a. Η 35. Εστω f : [0, ] R συνεχής συνάρτηση µε f(0) = 0. Υποθέτουµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο (0, ) και 0 f () f() για κάθε (0, ). είξτε ότι η f είναι σταθερή και ίση µε 0 στο [0, ]. Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g : [0, ] R µε g() = e f(). Αφού g () = e (f () f()) 0, η g είναι ϕθίνουσα. Οµως, g(0) = 0 και g 0 (διότι f(0) = 0 και f 0 από τις υποθέσεις). Αναγκαστικά, g 0 και έπεται ότι f 0 στο [0, ]. 36. Εστω f : R R παραγωγίσιµη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι f () > f() για κάθε R και f(0) = 0. είξτε ότι f() > 0 για κάθε > 0. Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g : R R µε g() = e f(). Τότε, g () = e (f () f()) > 0 για κάθε R, δηλαδή η g είναι γνησίως αύξουσα. Τότε, για κάθε > 0 έχουµε g() > g(0) = 0, δηλαδή e f() > 0. Επεται ότι f() > 0 για κάθε > Εστω α > 0. είξτε ότι η εξίσωση αe = + + / έχει ακριβώς µία πραγµατική ϱίζα. Υπόδειξη. Θεωρήστε τη συνάρτηση g : R R µε g() = e ( + + /). Τότε, g () = e ( + ) e ( + + /) = e. Αφού g () < 0 στο (, 0) και στο (0, + ), η g είναι γνησίως ϕθίνουσα. Επίσης, = 0 και g() = + +. Συνεπώς, η g παίρνει κάθε ϑετική τιµή α ακριβώς µία ϕορά (εξηγήστε γιατί). Επεται το Ϲητούµενο. 38. Εστω f : (0, + ) R παραγωγίσιµη συνάρτηση. Υποθέτουµε ότι η f είναι ϕραγµένη. είξτε ότι : για κάθε α >, f() + α = 0. Υπόδειξη. Υπάρχει M > 0 ώστε f (y) lsm για κάθε y > 0. Εστω >. Από το ϑεώρηµα µέσης τιµής, υπάρχει y (, ) ώστε Τότε, για κάθε >, Αν α > έχουµε Συνεπώς, + f() α f() α f() f() = f (y )( ) M( ). f() f() α = 0 (εξηγήστε γιατί). + f() α M α + f() α. + α = f() + α = Εστω f : (a, b) R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f() = +. είξτε ότι αν υπάρχει το f () b b τότε είναι ίσο µε +. 4

15 Υπόδειξη. Υποθέτουµε ότι b f () < +. (α) είξτε ότι υπάρχουν l R και 0 (a, b) ώστε f (y) l για κάθε y ( 0, b). (ϐ) Θεωρήστε ( 0, b) και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο [ 0, ] δείξτε ότι f() f( 0 ) + l( 0 ) f( 0 ) + l(b a). (γ) Από το (ϐ) η f είναι άνω ϕραγµένη στο [ 0, b). Χρησιµοποιώντας την υπόθεση ότι b f() = + µπορείτε να καταλήξετε σε άτοπο. 40. Εστω f : (0, + ) R παραγωγίσιµη συνάρτηση µε f() = L R. + f () τότε είναι ίσο µε 0. + Υπόδειξη. Υποθέτουµε ότι + f () = l 0. (α) είξτε ότι υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε > M να έχουµε f () > l. (ϐ) Θεωρήστε > M και εφαρµόζοντας το ϑεώρηµα µέσης τιµής στο [M, ] δείξτε ότι f() f(m) l ( M). είξτε ότι αν υπάρχει το (γ) Αφού f() = L, έχουµε f() f(m) = L f(m). Από την άλλη πλευρά, l ( M) = +. Από το (ϐ) µπορείτε να καταλήξετε σε άτοπο. (δ) Υποθέτοντας ότι f () = ±, µπορείτε πάλι να δείξετε ότι υπάρχει M > 0 ώστε για κάθε > M να + έχουµε f () >. Συνεπώς, επαναλαµβάνοντας τα ϐήµατα (ϐ) και (γ), καταλήγετε σε άτοπο. 5

= f(x) για κάθε x R.

= f(x) για κάθε x R. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 4: Συνέχεια και όρια συναρτήσεων Α Οµάδα 1. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ: ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΘΕ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΉ Ι (ΠΛΗ ) ΛΥΣΕΙΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 4 Άσκηση. (8 µον.) (α) ίνεται παραγωγίσιµη συνάρτηση f για την οποία ισχύει f /

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Η ύλη της εργασίας είναι οι ενότητες 5, 6 και 7 από τον Λογισµό µιας Μεταβλητής Η άσκηση αφορά στην έννοια

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Ασκήσεις και Θέµατα στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Γιάννης Σαραντόπουλος Αθήνα 7 Οκτωβρίου 5 Περιεχόµενα Συµβολισµός

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 31 Ορισµοί Ορισµός 311 Εστω f : A f( A), A, f( A) και έστω 0 Α είναι σηµείο συσσώρευσης του συνόλου Α Θα λέµε ότι η f είναι παραγωγίσιµη στο σηµείο 0 εάν υπάρχει λ : Ισοδύναµα:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 9 Φεβρουαρίου 5. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου 5.

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 ) Συνέχεια Συνάρτησης Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο 1 εκεµβρίου 013 1 Ορισµός Ορισµός 1.1 Μια πραγµατική συνάρτηση f : A R λέµε ότι είναι συνεχής στο x 0 A αν και µόνο αν : x x 0 fx

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Η αδυναµία επίλυσης της πλειοψηφίας των µη γραµµικών εξισώσεων µε αναλυτικές µεθόδους, ώθησε στην ανάπτυξη αριθµητικών µεθόδων για την προσεγγιστική επίλυσή τους, π.χ. συν()

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 )

Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ. 3.1 Η έννοια της παραγώγου. y = f(x) f(x 0 ), = f(x 0 + x) f(x 0 ) Κεφάλαιο 3 ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ 3.1 Η έννοια της παραγώγου Εστω y = f(x) µία συνάρτηση, που συνδέει τις µεταβλητές ποσότητες x και y. Ενα ερώτηµα που µπορεί να προκύψει καθώς µελετούµε τις δύο αυτές ποσοτήτες είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση

Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ. 2.1 Συνάρτηση Κεφάλαιο 2 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ 2.1 Συνάρτηση Η έννοια της συνάρτησης είναι ϐασική σ όλους τους κλάδους των µαθη- µατικών, αλλά και πολλών άλλων επιστηµών. Ο λόγος είναι, ότι µορφοποιεί τη σχέση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y.

ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ. ΛΥΣΕΙΣ 3 ης. Άσκηση 1. , z1. Παρατηρούµε ότι: z0 = z5. = + ) και. β) 1 ος τρόπος: Έστω z = x+ iy, x, = x + y. ΛΥΣΕΙΣ ης ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Άσκηση 6 6 Λύση: α) 7z + z (cosπ + isi π ) π+ kπ π+ kπ Κατά συνέπεια z (cos + isi ), k,,, 5 Παίρνουµε τις ρίζες 6 6 z (cos + isi ) ( + i ) + i, π π 6 6 6 z (cos + isi ) (cos

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο 3ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος». * Αν µια συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστηµα [α, β], παραγωγίσιµη στο διάστηµα (α, β) και f (α) = f (β), τότε υπάρχει τουλάχιστον

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ÏÅÖÅ 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ 1 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α. Έστω µια συνάρτηση, η οποία είναι ορισµένη σε ένα κλειστό διάστηµα,. Αν: η συνεχής στο, και τότε, για κάθε αριθµό µεταξύ των

Διαβάστε περισσότερα

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α

( ) ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Σηµείωση. 2. Παραδοχή α = Ιδιότητες x. αβ = α = α ( ) x. α β. α : α = α = α . ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑ. Σηµείωση Οι δυνάµεις α του κεφαλαίου έχουν βάση α > 0 και εκθέτη οποιονδήποτε πραγµατικό αριθµό.. Παραδοχή 0 α. Ιδιότητες α + α ( ) α α : α ( ) α α α αβ α β α β α β. Εκθετική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος

Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Σελίδα από 5 Κεφάλαιο 6 Παράγωγος Στο κεφάλαιο αυτό στόχος µας είναι να συνδέσουµε µία συγκεκριµένη συνάρτηση f ( ) µε µία δεύτερη συνάρτηση f ( ), την οποία και θα ονοµάζουµε παράγωγο της f. Η τιµή της

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β.

sup B, τότε υπάρχουν στοιχεία α A και β B µε α < β. ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μαθηµατική Ανάλυση Ι Φεβρουαρίου, 3 Θ. (α ) Εστω A, B µη κενά ϕραγµένα σύνολα πραγµατικών αριθµών. είξτε ότι αν inf A

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: :

Για να εκφράσουμε τη διαδικασία αυτή, γράφουμε: : Η θεωρία στα μαθηματικά προσανατολισμού Γ υκείου Τι λέμε συνάρτηση με πεδίο ορισμού το σύνολο ; Έστω ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το μία διαδικασία (κανόνα), με την

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου

Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤEΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΘΕΜΑ ο A. Έστω µια συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα. Αν f () > σε κάθε εσωτερικό σηµείο του, τότε να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0.

[ ] [ ] ΘΕΜΑ 1o A. Για x x 0 έχουµε: παραγωγίσιµη στο χ 0 ) άρα η f είναι συνεχής στο χ 0. ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 29 ΜΑΪΟΥ 23 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1o A. Για x x έχουµε: f (

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις

Σηµειώσεις στις συναρτήσεις Σηµειώσεις στις συναρτήσεις 4 Η έννοια της συνάρτησης Ο όρος «συνάρτηση» χρησιµοποιείται αρκετά συχνά για να δηλώσει ότι ένα µέγεθος, µια κατάσταση κτλ εξαρτάται από κάτι άλλο Και στα µαθηµατικά ο όρος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Β Άσκηση 1. Να δείξετε ότι η εξίσωση 7 3 + + + 3= (1) έχει ακριβώς μία πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός

Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΠΑΙΔΕΙΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΣΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Μονοτονία Συνάρτησης Tζουβάλης Αθανάσιος Κεφάλαιο 4: Διαφορικός Λογισμός Περιεχόμενα Μονοτονία συνάρτησης... Λυμένα παραδείγματα...

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού

Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Σελίδα 1 από Κεφάλαιο 7 Βασικά Θεωρήµατα του ιαφορικού Λογισµού Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε τα βασικά θεωρήµατα του διαφορικού λογισµού καθώς και µε προβλήµατα που µπορούν να επιλυθούν χρησιµοποιώντας

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x

( ) ( ) lim f x lim g x. z-3i 2-18= z-3 2 w-i =Im(w)+1. x x x x ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 05 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α Α. Έστω µια συνάρτηση f ορισµένη σε ένα διάστηµα. Αν η F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ).

Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Εποµένως η f είναι κοίλη στο διάστηµα (, 1] και κυρτή στο [ 1, + ). 1 Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΘΕΜΑ 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε σχολικό βιβλίο σελίδα 194, το θεώρηµα ενδιάµεσων τιµών. Β. Βλέπε τον ορισµό στη σελίδα 279 του σχολικού βιβλίου. Γ. Βλέπε

Διαβάστε περισσότερα

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων

Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων 57 Το θεώρηµα πεπλεγµένων συναρτήσεων Έστω F : D R R µια ( τουλάχιστον ) C συνάρτηση ορισµένη στο ανοικτό D x, y D F x, y = Ενδιαφερόµαστε για την ύπαρξη µοναδικής και ώστε διαφορίσιµης συνάρτησης f ορισµένης

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων.

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων. Άσκηση Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων Μέρος ο i. Δίνεται η γνησίως μονότονη συνάρτηση f : A IR. Να αποδείξετε

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x.

όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 10: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) = 1/x. 3 Ορια συναρτήσεων 3. Εισαγωγικές έννοιες. Ας ϑεωρήσουµε την συνάρτηση f () = όπου D(f ) = (, 0) (0, + ) = R {0}. Είναι Σχήµα 0: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () = /. ϕυσικό να αναζητήσουµε την

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6.

ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ. 3. Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2. 4. Για κάθε z C ισχύει z z 2 z. 5. Για κάθε µιγαδικό z ισχύει: 6. ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ 1 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 1 2 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 z2 z1 z2 3 Για κάθε z 1, z 2 C ισχύει z1 + z2 = z1 + z2 4 Για κάθε z C ισχύει z z 2 z 5 Για κάθε µιγαδικό z ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ 3ο : Δίνεται η συνάρτηση f :(,) R με f() η οποία για κάθε (,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΥΝΤΟΜΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 4 o Κεφάλαιο ΑΝΑΛΥΣΗ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 0. Σ 9. Λ. Λ. Σ 40. Σ. Σ. Σ 4. Λ 4. Λ. Σ 4. Σ 5. Σ 4. Σ 4. Λ 6. Σ 5. Λ 44.

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος.

ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ. Άρτια και περιττή συνάρτηση. Παράδειγµα: Η f ( x) Παράδειγµα: Η. x R και. Αλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΜΕΛΕΤΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Πριν περιγράψουµε πως µπορούµε να µελετήσουµε µια συνάρτηση είναι αναγκαίο να δώσουµε µερικούς ορισµούς. Άρτια και περιττή συνάρτηση Ορισµός : Μια συνάρτηση fµε πεδίο ορισµού Α λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η (Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Οκτωβρίου 005) Η Άσκηση στην εργασία αυτή είναι

Διαβάστε περισσότερα

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com.

Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. Καθηγητήσ Μαθηματικών: Κωτςάκησ Γεώργιοσ e-mail: kotsakis @ windowslive. com. A. Οι κανόνες De L Hospital και η αρχική συνάρτηση κάνουν πιο εύκολη τη λύση των προβλημάτων με το Θ. Rolle. B. Η αλγεβρική

Διαβάστε περισσότερα

ProapaitoÔmenec gn seic.

ProapaitoÔmenec gn seic. ProapaitoÔmeec g seic. Α. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών R και οι αλγεβρικές ιδιότητες των τεσσάρων πράξεων στο R. Το σύνολο των φυσικών αριθμών N = {1,, 3,... }. Προσέξτε: μερικά βιβλία (τα βιβλία

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ o A. Θεωρία σελ. 7 Β. Θεωρία σελ. 47 Γ. α. Σωστό β. Σωστό γ. Σωστό δ. Λάθος (βρίσκεται "κάτω" από τη γραφική παράσταση) ε. Λάθος (π.χ. ()

Διαβάστε περισσότερα

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim

e 1 1. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)(x)=2-x για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f(1)=1, β) η f αντιστρέφεται, γ) f x lim ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. Μια συνάρτηση f: R R έχει την ιδιότητα: (fof)()=- για κάθε χє R. Να δείξετε ότι: α) f()=, β) η f αντιστρέφεται, γ) f - ()=-f(), є R., δ ) να λύσετε

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

2.1 (i) f(x)=x -3x+2 Η f(x) ορίζεται x R

2.1 (i) f(x)=x -3x+2 Η f(x) ορίζεται x R ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. (i) f()= -3+ Η f() ορίζεται R Έχει Π.Ο ολόκληρο το R Για το Π.Τ της f() έχουµε : ος τρόπος 3 9 3 = -3+= - - += - - () Το Π.Τ. της f() θα είναι οι τιµές που παίρνει το R. Από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ

Κεφάλαιο 2ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 2ο ΜΕΡΟΣ Κεφάλαιο ο: ΙΑΦΟΡΙΚΟ ΟΓΙΜΟ ο ΜΕΡΟ Ερωτήσεις του τύπου «ωστό - άθος» 1. * Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη στο R και f (α) f (β), α, β R, α < β, τότε ισχύει f () για κάθε (α, β).. * Αν η συνάρτηση f

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Πέµπτη, 29 Μαΐου 2003 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Πέµπτη, 9 Μαΐου ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ

ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ ΑΚΕΡΑΙΟ ΜΕΡΟΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥ Έστω ένας πραγµατικός αριθµός. ίνουµε τον εξής ορισµό: Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο µέρος του και το συµβολίζουµε [ ], τον πιο µεγάλο ακέραιο που δεν υπερβαίνει τον. Έτσι [ 3,98]

Διαβάστε περισσότερα

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr

V. Διαφορικός Λογισμός. math-gr V Διαφορικός Λογισμός Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blospotcom, bouboulismyschr ΜΕΡΟΣ Η έννοια της Παραγώγου Α Ορισμός Εφαπτομένη καμπύλης συνάρτησης: Έστω μια συνάρτηση και A, ένα σημείο της C Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑ 14 1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 4. ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Μονοτονία συνάρτησης Ακρότατα συνάρτησης Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις ΘΕΩΡΙΑ. Ορισµός Συνάρτηση f λέγεται γνησίως αύξουσα σε διάστηµα, όταν για οποιαδήποτε,

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής:

ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR. Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων. Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR Στην Ενότητα αυτή θα ασχοληθούµε µε την προσέγγιση συναρτήσεων µέσω πολυωνύµων Πολυώνυµο είναι κάθε συνάρτηση της µορφής: p( ) = a + a + a + a + + a, όπου οι συντελεστές α i θα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 16 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ASK4MATH WWW.ASKISIOLOGIO.GR ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΓΕΝΙΚΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ 16 Εξεταζόμενο

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις Σελίδα 1 από 6 Κεφάλαιο 5 Οι χώροι R και C Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος R Πράξεις Βάσεις Επεξεργασµένα Παραδείγµατα Ασκήσεις 5. Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο στο Ορισµοί Ιδιότητες Επεξεργασµένα Παραδείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

Επαναληπτικά θέματα στα Μαθηματικά προσανατολισμού-ψηφιακό σχολείο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο -ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Απο το Ψηφιακό Σχολείο του ΥΠΠΕΘ Επιμέλεια: Συντακτική Ομάδα mathpgr Συντονιστής:

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Όρια συναρτήσεων. Άσκηση. Ποιό είναι το σύνολο στο οποίο έχει νόημα και ποιό το σύνολο στο οποίο ισχύει καθεμιά από τις ανισότητες: x+2 > 00, > 000, < < ; x 2 x

Διαβάστε περισσότερα

e-mail@p-theodoropoulos.gr

e-mail@p-theodoropoulos.gr Ασκήσεις Μαθηµατικών Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύµβουλος Μαθηµατικών e-mail@p-theodoropoulos.gr Στην εργασία αυτή ξεχωρίζουµε και µελετάµε µερικές περιπτώσεις ασκήσεων

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ο ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Σ 6. Λ 8. Λ. Σ 7. Σ 9. Λ 3. Λ 8. Λ 3. Σ 4. Σ 9. Σ 3. α Σ 5. Σ. Σ β Σ 6. Λ.

Διαβάστε περισσότερα

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες)

Α1. Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού. (3 µονάδες) Α Να διατυπωθεί και να δοθεί η γεωµετρική ερµηνεία του θεωρήµατος Μέσης Τιµής του ιαφορικού Λογισµού Α Έστω µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν η είναι συνεχής στο και ( ) = για κάθε εσωτερικό σηµείο

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR 6 Ορισµοί Ορισµός 6 Εστω α είναι µία πραγµατική ακολουθία και είναι πραγµατικοί αριθµοί Ένα άπειρο πολυώνυµο της µορφής: a ( ) () = καλείται δυναµοσειρά µε κέντρο το

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x

αβ (, ) τέτοιος ώστε f(x ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΜΑ Α Άσκηση α) Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [ αβ., ] Αν η f είναι συνεχής στο [ αβ, ]

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 ÁÍÅËÉÎÇ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 3 ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Μ. Τρίτη 3 Απριλίου 3 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Σχολικό βιβλίο,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο κύριος στόχος αυτού του κεφαλαίου είναι να δείξουµε ότι η ολοκλήρωση είναι η αντίστροφη πράξη της παραγώγισης και να δώσουµε τις βασικές µεθόδους υπολογισµού των ολοκληρωµάτων

Διαβάστε περισσότερα

f(x) f(c) x 1 c x 2 c

f(x) f(c) x 1 c x 2 c Μαθηματικός Λογισμός Ι Φθινόπωρο 2014 Σημειώσεις 1-12-14 Μ. Ζαζάνης 1 Πραγματικές Συναρτήσεις και Ορια Εστω S R ένα υποσύνολο του R και f : S R μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το S και τιμές στους πραγματικούς

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Λυγάτσικας Ζήνων Πειραµατικό Γενικό Λύκειο Βαρβακείου Σχολής 6 Ιανουαρίου 013 1 Ασκήσεις 1.1 Ασκήσεις Επανάληψης 1. είξτε ότι : ηµ x + 3συν y 5.. Να αποδείξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A Έστω f µια συνάρτηση ορισµένη σε ένα διάστηµα Αν F είναι µια παράγουσα της f στο, τότε να αποδείξετε ότι: όλες οι συναρτήσεις της µορφής G() F() + c, c

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: Iανουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: 8 Φεβρουαρίου

Διαβάστε περισσότερα

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ

ÖÑÏÍÔÉÓÔÇÑÉÏ ÏÑÏÓÇÌÏ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο, σελ 6-6 Α Θεωρία (ορισµός) σχολικό βιβλίο, σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2003 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΤΑΞΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o A. Να αποδείξετε ότι, αν µία συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σ ένα σηµείο x, τότε είναι και συνεχής στο σηµείο αυτό. Β. Τι

Διαβάστε περισσότερα

f f x f x = x x x f x f x0 x

f f x f x = x x x f x f x0 x 1 Παράγωγος 1. για να βρω την παράγωγο της f σε διάστηµα χρησιµοποιώ βασικές παραγώγους και κανόνες παραγωγισης. για να βρω την παράγωγο σε σηµείο αλλαγής τύπου η σε άκρο διαστήµατος δουλεύω µε ορισµό

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 16 ΜΑΪΟΥ 2011 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑΛ Β 6 ΜΑΪΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α Θεωρία (Θεώρ Frmat) σχολικό βιβλίο σελ 6-6 Α Θεωρία (Ορισµός) σχολικό βιβλίο σελ 8 Α3 ΘΕΜΑ Β α β γ δ ε Σ Σ Λ Λ Σ B Έχουµε από υπόθεση

Διαβάστε περισσότερα

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση:

Θεώρημα Βolzano. Κατηγορία 1 η. 11.1 Δίνεται η συνάρτηση: Κατηγορία η Θεώρημα Βolzano Τρόπος αντιμετώπισης:. Όταν μας ζητούν να εξετάσουμε αν ισχύει το θεώρημα Bolzano για μια συνάρτηση f σε ένα διάστημα [, ] τότε: Εξετάζουμε την συνέχεια της f στο [, ] (αν η

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x

ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - ΡΗΤΕΣ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ P x = x+ 2 4 x x 3x x x x 3x o ΛΥΚΕΙΟ ΠΕΤΡΟΥΠΟΛΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ - Α ΠΡΟΣΗΜΟ ΠΟΛΥΩΝΥΜΟΥ Μέχρι τώρα ξέρουµε να βρίσκουµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου βαθµού ή δεύτερου βαθµού Για να βρούµε το πρόσηµο ενός πολυωνύµου f πρώτου f βαθµού µεγαλύτερου

Διαβάστε περισσότερα

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ

1.4 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ 1 1. ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΩΝ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα γνησίως αύξουσας Αν µία συνάρτηση είναι παραγωγίσιµη σ ένα διάστηµα και για κάθε εσωτερικό σηµείο του ισχύει f () > 0 τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο.

Διαβάστε περισσότερα

II. Συναρτήσεις. math-gr

II. Συναρτήσεις. math-gr II Συναρτήσεις Παντελής Μπουμπούλης, MSc, PhD σελ blogspotcom, bouboulismyschgr ΜΕΡΟΣ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Α Βασικές Έννοιες Ορισμός: Έστω Α ένα υποσύνολο του συνόλου των πραγματικών αριθμών R Ονομάζουμε πραγματική

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a

( a) ( ) n n ( ) ( ) a x a. x a x. x a x a 7 Έστω Το θεώρηµα του Tylor στη µια µεταβλητή Ι ανοικτό διάστηµα Ι και : Ι φορές διαφορίσιµη συνάρτηση στο Ι, (. Γράφουµε, ( = + +... + +,, Ι, όπου!, είναι το υπόλοιπο Tylor ( κέντρου και τάξης και ( Ρ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ. Το 1ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Επιμέλεια Καραγιάννης Β. Ιωάννης Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Το ο Θέμα στις πανελλαδικές εξετάσεις Ερωτήσεις+Απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ KΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΣΕΙΡΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 5 Ορισµοί Εστω α δοθείσα πραγµατική ακολουθία Ορίζουµε µία νέα ακολουθία ως εξής: 3 3 = + + + = = + = + + Ορισµός 5 Εάν υπάρχει το lim + = τότε η ακολουθία καλείται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) Ενδεικτικές Λύσεις ΕΡΓΑΣΙΑ η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 6 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1) 1 ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης (1) όπου οι συντελεστές είναι δοσµένες συνεχείς συναρτήσεις ορισµένες σ ένα ανοικτό διάστηµα. Ορισµός 1. Ορίζουµε τον διαφορικό τελεστή µέσω της

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x,

Θέματα. Α1. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του x, Θέμα Α Θέματα Α. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα (, ), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του, στο οποίο όμως η f είναι συνεχής. Να αποδείξετε ότι αν η f() διατηρεί πρόσημο στο (, ) (, ), τότε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου

Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας Γ Λυκειου 1 ιαφορικός Λογισµός Θέµα 1. ίνεται η συνάρτηση = ln(x 1)+1. α ) Να ϐρεθεί το πεδίο ορισµού της f. ϐ ) Να ϐρεθεί η f και το πεδίο ορισµού της. γ ) Να µελετηθεί η f

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί

Μαθηµατικά Θετικής και Τεχνολογικής Κατεύθυνσης ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1 ο :Μιγαδικοί Αριθµοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο :Μιγαδικοί Αριθµοί. Ποιο σύνολο ονοµάζεται σύνολο των µιγαδικών αριθµών ;. Tι ονοµάζεται µιγαδικός αριθµός; Ποιο είναι το πραγµατικό και ποιο το φανταστικό του µέρος ; 3. Tι ονοµάζεται εικόνα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 28 ΜΑΪΟΥ 2012 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. y R, η σχέση (1) γράφεται ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ & ΕΠΑ.Λ. Β 8 ΜΑΪΟΥ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Θεωρία, σελ. 53, σχολικού βιβλίου. Α. Θεωρία, σελ. 9, σχολικού βιβλίου. Α3. Θεωρία, σελ. 58, σχολικού βιβλίου. Α4. α) Σ, β) Σ,

Διαβάστε περισσότερα