Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Geometria curbelor şi suprafeţelor 27 Mai 2014"

Transcript

1 Geometria curbelor şi suprafeţelor 7 Mai 04 Mircea Crâşmăreanu

2 ii

3 Cuprins Introducere v Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe Reperul Frenet şi curburi 9 3 Teorema fundamentală a curbelor 7 4 Ecuaţiile Frenet 5 Noţiunea de suprafaţă. Geometria unei suprafeţe 5 6 Planul tangent şi normala 9 7 Forma I-a fundamentală 35 8 Geometria intrinsecă a unei suprafeţe 39 9 Forma a II-a fundamentală 45 0 Curbura normală. Curburi principale. Curbura medie şi totală 49 Derivata covariantă pe o suprafaţă. Simbolii Christoffel 53 Teorema Egregium şi teorema fundamentală a suprafeţelor 59 3 Curbe pe o suprafaţă: reperul Darboux 65 4 Geodezice 67 5 Conexiuni liniare 75 6 Torsiunea şi curbura unei conexiuni liniare 79 7 Formule Ricci de comutare 85 Bibliografie 89 Index 90

4 iv CUPRINS

5 Introducere Deşi pare paradoxal având în vedere istoria bogată a subiectului, a compune o nouă carte de Geometrie a curbelor şi suprafeţelor nu este un lucru facil. Chiar acest trecut glorios apasă cu o responsabilitate sporită pe umerii celui ce îşi propune o nouă scriere. Astfel, există câteva monografii excelente în domeniu şi de o parte din ele ne-au servit ca punct de plecare şi manieră de abordare. Faptul că ne-am încumetat la o nouă redactare se datoreză şi aspectului important că unele din aceste tratate sunt greu accesibile studenţilor precum şi necesităţii de a face o selectare foarte drastică a materialului necesar în conformitate cu numărul de ore alocate Cursului: 4 ore curs/3 ore seminar. Astfel, deşi am prezentat partea clasică a teoriei, a trebuit să facem un veritabil mixaj de subiecte, tehnici, exemple, şi în ideea unei oferte editoriale rezonabile (00 de pagini). De asemeni, am aţintit şi o privire spre partea de abordare cu ajutorul calculatorului a unor chestiuni computaţionale. Sunt incluse un mare număr de probleme (30) cu grade diverse de dificultate! Un proiect de o asemenea amploare a beneficiat din plin de sprijinul a mai multor colegi. Suntem datori cu mulţimi domnişoarei asistent doctor Adina Balmuş, care, cu deosebită generozitate, a corectat anumite greşeli, erori, omisiuni. Mulţumim colegului conferenţiar doctor Marian-Ioan Munteanu pentru disponibilitatea de a ne ajuta în diverse aspecte ale tehnoredactării.

6 vi Introducere

7 Cursul Noţiunea de curbă. Geometria unei curbe ACEST CURS RĂSPUNDE LA URMĂTOARELE ÎNTREBĂRI: Q : Ce este o curbă? Q : Ce înseamnă geometria unei curbe? Fixăm numărul natural n. Scena întregii materii a acestui Curs va fi spaţiul n-dimensional R n = R... R unde în acest produs cartezian avem n factori. Dat i {,..., n} avem proiecţia π i : R n R, π i ( x) = π i (x,..., x n ) = x i. Definiţia. i) Numim curbă parametrică sau curbă parametrizată în R n o aplicaţie r : I R R n unde: i) I = (a, b) este un interval real deschis, i) r este o funcţie netedă adică pentru orice i {,..., n} aplicaţia x i = π i r : I R este diferenţiabilă de clasă C (netedă). ii) Mulţimea C R n o numim curbă în R n dacă există o curbă parametrică r : I R n aşa încât C = r(i). Spunem că r este o parametrizare a lui C şi notăm: C: r = r(t), t I. (.) t se numeşte parametru pe curba C iar punctul P = r(t) al curbei îl notăm simplu P (t) sau încă P ( r(t)). Relaţia (.) o numim ecuaţia parametrică a curbei C. Observaţii. i) Este posibil ca intervalul I să nu fie deschis; atunci vom presupune existenţa perechii (J, R) cu J interval real deschis conţinând I şi R : J R n netedă aşa încât r este restricţia la I a lui R. Mai spunem că C = r(i) este arc al curbei C = R(J). Spre exemplu, domeniul de definiţie al cercului unitate S pentru o parametrizare injectivă nu este deschis: S : r(t) = (cos t, sin t), t [0, π) (.) şi bineînţeles că avem R(t) = (cos t, sin t) netedă pe J = R. ii) Dacă n = atunci spunem că C este o curbă în plan iar pentru n = 3 spunem că C este o curbă în spaţiu. Dacă C este o curbă în spaţiu dar situată într-un plan π atunci vom spune că C este o curbă plană. Exemple.3 i) Dreapta d conţinând punctul M( r 0 ) şi având vectorul director ā 0 este (conform Cursului Geometrie ): d : r = r 0 + tā, t R. (.3)

8 M. Crâşmăreanu ii) Axa Ox din R 3 este o curbă în spaţiu. Trei parametrizări pentru această curbă sunt: Ox : r (t) = (t, 0, 0), r (t) = (t 3 + t, 0, 0), r 3 (t) = (t 5, 0, 0), t R. Din ultimul exemplu vedem că o curbă oarecare are mai multe parametrizări. Pentru a realiza o legătură între două astfel de parametrizări reamintim: Definiţia.4 Fie intervalele reale I şi J şi funcţia φ : J I, s φ(s) = t. Spunem că φ este difeomorfism dacă φ este bijecţie cu φ şi φ netede. Fie Diff(J, I) mulţimea nevidă a acestor difeomorfisme. Fie s 0 J fixat şi t 0 = φ(s 0 ). Reamintim derivata lui φ în t 0 : (φ ) (t 0 ) = φ (s 0 ) (.4) deci φ nu se anulează în niciun punct! Definiţia.5 Curbele parametrizate r : I R n, h : J R n se numesc echivalente şi notăm r h dacă există φ Diff(J, I) aşa încât h = r φ. Spunem că φ este o schimbare de parametru şi că h este o reparametrizare a lui r. Să observăm din definiţia precedentă că r şi h au aceeaşi imagine geometrică C deoarece φ este bijecţie; deci r şi h sunt parametrizări ale aceleiaşi curbe C. Propoziţia.6 este o relaţie de echivalenţă pe mulţimea parametrizărilor unei curbe C. Demonstraţie ) (Reflexivitatea) r r cu φ = I. ) (Simetria) Presupunem că r r via φ. Atunci r r via φ. 3) (Tranzitivitatea) Presupunem că r r via φ şi r r 3 via ψ. Atunci r r 3 via φ ψ. Să obsevăm că dacă φ Diff(J, I) şi ψ Diff(K, J) atunci φ ψ Diff(K, I). Acest rezultat ne permite introducerea noţiunii principale a acestui Curs: Definiţia.7 Se numeşte proprietate (mărime) geometrică sau invariant al curbei C o proprietate (mărime) ce nu depinde de parametrizările dintr-o clasă de echivalenţă fixată a lui C. Mulţimea proprietăţilor şi mărimilor geometrice constituie geometria lui C. Cu Propoziţia.6 o curbă C va fi considerată ca o clasă de echivalenţă de curbe parametrice şi o proprietate geometrică este o proprietate comună tuturor curbelor parametrice echivalente; dar bineinţeles că din punct de vedere computaţional vom lucra cu un reprezentant fixat, adică cu o parametrizare dată, de aceea în cele ce urmează vom considera doar curbe paramerizate. Un prim exemplu de proprietate geometrică este dat de: Definiţia.8 Fie C : r = r(t), t I şi t 0 I fixat. Punctul M 0 (t 0 ) al lui C este numit: i) singular dacă r (t 0 ) = 0, ii) regulat dacă nu este singular. O curbă cu toate punctele regulate se numeşte regulată. Propoziţia.9 Regularitatea (şi deci singularitatea) este o proprietate geometrică. Demostraţie Fie φ : J I o schimbare de parametru pe C şi u 0 J aşa încât t 0 = φ(u 0 ). Fie R(u) = r φ(u) noua parametrizare a lui C. Avem: Cum φ 0 pe J avem r (t 0 ) 0 dacă şi numai dacă R (u 0 ) 0. d R du (u 0) = d r dt (t 0) dφ du (u 0). (.5) Observaţii.0 Parametrizările r şi r ale axei Ox sunt regulate dar parametrizarea r 3 are punctul singular t = 0 corespunzător originii O(0, 0, 0); putem spune că originea este o singularitate

9 Cursul 3 aparentă a axei Ox. Atenţie: aplicaţia φ : R R, φ(t) = t 3 + t este un difeomorfism al dreptei reale deoarece φ (t) = 3t + > 0 pentru orice t R. Deci r r. În concluzie, dreapta cu parametrizarea r (echivalent r ) are o anumită geometrie diferită de geometria dreptei cu parametrizarea r 3! În continuare, vom considera doar curbe parametrizate regulate! Dacă vom compara r cu r ale exemplului precedent observăm că r are norma constantă (egală cu, deci este versor) în timp ce r are norma variabilă 3t +. Este clar ca din punct de vedere al calculelor este preferabilă prima parametrizare. Următorul concept formalizează acest aspect important: Definiţia. Curba C : r = h(s), s J se numeşte parametrizată unitar sau (canonic) dacă h (s) = pentru toţi s J. Atunci s se numeşte parametru natural sau canonic pe C. Teorema. Fie C : r = r(t), t I o curbă regulată. ) Există o reparametrizare canonică a lui C. ) Fie r φ şi r φ două parametrizări canonice ale lui C cu φ i : I i I. Atunci φ φ : I I are expresia φ φ (s) = ±s + s 0 cu s 0 R. Demonstraţie ) Fie I = (a, b) şi fixăm t 0 I un punct numit origine. Definim L : (t 0, b) R, L(t) = t t 0 r (u) du. Această funcţie este netedă cu L (t) = r(t) > 0 pe (t 0, b) din regularitate. Deci, L este strict crescătoare deci injectivă. Cu J = L((t 0, b)) rezultă că L : (t 0, b) J este bijecţie netedă. Fie acum φ = L : J (t 0, b), s φ(s) = t(s); deci φ este un difeomorfism adică schimbare de parametru pe C. Fie h : J R n noua parametrizare a lui C dată de h = r φ. Avem: d h ds d r dt (s) = (t(s)) dt ds (s) = r (t) t (s) = r (t) L (t) = r (t) r (t). În concluzie, h (s) = pentru toţi s J. ) Fie φ : I I, s t = φ (s) şi φ : I I, u t = φ (u). Din h i = r φ i parametrizări unitare ale lui C rezultă: adică: Atunci: şi o integrare dă concluzia. = d( r φ i) (s) = r (φ i (s)) φ ds i(s) = r (φ i (s)) φ i(s) Definiţia.3 i) Funcţia L : (t 0, b) R: φ (s) = ± r (t) = φ (u). (φ φ ) (s) = (φ ) (t) φ (s) = φ (s) = ± (u) φ L(t) = t t 0 r (u) du (.6) se numeşte lungimea de arc pe [t 0, t] pentru curba C. ii) Presupunem că a > (deci a R) şi ca urmare facem alegerea t 0 = a. Numărul real pozitiv L(C) := L(b) este lungimea curbei C (deci presupunem că L(C) < + ). Exemplul.4 Pentru cercul centrat în originea planului şi de rază R avem: C(O, R) : r(t) = R(cos t, sin t), t [0, π]. (.7) Atunci r (u) = R şi L(t) = Rt. Inversăm funcţia s(t) = Rt şi avem t = s/r de unde rezultă parametrizarea canonică a acestui cerc: C(O, R) : h(s) ( = R cos s R, sin s ), s [0, L(π) = πr]. (.8) R

10 4 M. Crâşmăreanu Folosind formula schimbării de variabilă în integrala definită avem: Propoziţia.5 Lungimea unei curbe este un invariant în teoria curbelor. Demonstraţie Reamintim formula schimbării de variabile în calculul integralelor: fie φ : J = (c, d) I = (a, b), u φ(u) = t cu φ C (J, I). Dacă f : I R este continuă atunci: d c f(φ(u)) φ (u)du = b a f(t)dt. (.8) Fie acum parametrizările r şi h = r φ date de Definiţia.5 şi presupunem, pentru simplificare, φ crescătoare i.e. φ > 0 pe J. Conform formulei (.5) avem: şi deci aplicând formula (.8) cu f = r avem: h (u) = r (φ(u)) φ (u) (.9) ceea ce voiam. d c h (u) du = d c r (φ(u)) φ (u)du = b a r (t) dt SEMINARUL S. Să se reobţină formula distanţei euclidiene dintre punctele M ( r ), M ( r ) din R n. Rezolvare Fie dreapta d = M M : Segmentul [M M ] este descris de t [0, ] şi deci: d : r(t) = r + t( r r ), t R. (.0) d(m, M ) = A se vedea şi Definiţia 3.3 din Cursul 3. 0 r r dt = r r. (.) S. (Grafice de funcţii) Fie f : I = (a, b) R de clasă C k cu k. Graficul lui f este curba în plan: G f : r(t) = (t, f(t)), t I. (.) Se cere lungimea acestei curbe. Rezolvare Cum r (t) = (, f (t)) avem din (.6): L(G f ) = b a + (f (t)) dt (.3) formulă ce apare de altfel în Manualul de Analiză Matematică de clasa a XII-a! S.3 Se cere lungimea arcului [0, π] a cicloidei: unde R > 0 este o constantă dată. r(t) = R(t sin t, cos t), t R (.4) Rezolvare Avem: r (t) = R( cos t, sin t) şi deci: r (t) = R cos t + = R sin t. Avem: π L(C [0,π] ) = R sin t 0 dt = 4R cos t π 0 = 8R.

11 Cursul 5 S.4 Se cere lungimea arcului [0, π ] a astroidei: r(t) = R(cos 3 t, sin 3 t), t R. (.5) Rezolvare avem: r (t) = 3R( cos t sin t, sin t cos t) şi deci: r (t) = 3R cos t sin t = 3R Deci: L(C [0, π ] ) = 3R π 0 sin tdt = 3R 4 cos t π 0 = 3R. sin t. S.5 Pentru spirala logaritmică: r(t) = R(e kt cos t, e kt sin t), t R (.6) cu R > 0, k > 0 constante date se cere: i) să se arate că unghiul dintre r(t) şi r (t) este constant, ii) notând cu l n lungimea arcului [nπ, (n + )π] să se arate că raportul l n+ l n este constant. Rezolvare i) Avem: r (t) = Re kt (k cos t sin t, k sin t + cos t) şi deci: r (t) = Re kt k +, r(t) = Re kt şi < r(t), r (t) >= R ke kt. Rezultă: ii) Avem: cos ( r(t), r (t)) = < r(t), r (t) > r(t) r (t) = l n = R (n+)π k + nπ k k +. e kt dt = R k + (e (n+)kπ e nkπ ) k de unde rezultă: l n+ l n = e kπ care este o constantă strict mai mare decât. S.6 Se cere lungimea arcului [0, ] al curbei: r(t) = (t sht, cht), t R. Rezolvare Avem r prime (t) = ( cht, sht) şi cht = et +e t = (et e t ) = sh t. Deci: r (t) = sht( sht, ) şi rezultă: r (t) = shtcht = (et e t )(e t +e t ) 4 = et e t = sht. Lungimea cerută este: L(C [ 0, ]) = 0 shtdt = cht 0 = ch4. S.7 Se cere lungimea arcului [0, ] a curbei: r(t) = (8Rt 3, 3R(t t 4 )), R > 0. Rezolvare Avem r (t) = R(t, t t 3 ) şi deci: de unde rezultă: L(C [ 0, ]) = R r (t) = R t + t 4 + t 6 = R(t 3 + t) 0 (t 3 + t)dt = R( t4 4 + t ) 0 = R( ) = 4R. Pentru exerciţiile următoare reamintim coordonatele polare în plan: { x = ρ cos φ y = ρ sin φ (.7) şi deci curbă în plan va avea ecuaţia în coordonate polare: C : ρ = ρ(φ), φ I = (a, b) R (.8)

12 6 M. Crâşmăreanu S.8 Se cere lungimea curbei în coordonate polare. Rezolvare Deoarece avem ecuaţia vectorială: C : r(φ) = (ρ(φ) cos φ, ρ(φ) sin φ), φ I (.9) rezultă: şi deci: ccea ce implică: r (φ) = (ρ cos φ ρ sin φ, ρ sin φ + ρ cos φ) (.0) r (φ) = ρ + (ρ ) L(C) = b a ρ (φ) + (ρ ) (φ)dφ. (.) S.9 Spirala lui Arhimede: ρ(φ) = Rφ, φ R, cu R > 0 o constantă dată. Rezolvare Avem din (.): L(C [a,b] ) = R b a + φ dφ. Reamintim: + t = ( t t + + ln(t + ) t + ) şi deci: L(C [a,b] ) = R ( φ φ + + ln(φ + ) φ + ) b a. Rezultă: L(C [0,b] ) = R ( b b + + ln(b + ) b + ). S.0 Să se reobţină lungimea cercului C(O, R) folosind coordonatele polare. Rezolvare Ecuaţia lui C(O, R) în coordonate polare: ρ = constant = R. Din (.) avem: L(C(O, R)) = π 0 Rdφ = πr. (.) S. Se cere lunigimea arcului [0, π] a curbei: r(φ) = R( + cos φ), R > 0 Rezolvare Avem r (φ) = R cos φ şi deci: r + (r ) = R ( + cos φ) + sin φ = R + cos φ = R cos φ. Prin urmare: L(C [ 0, π]) = R( π 0 cos φ π π cos φ ) = 4R(sin φ π 0 sin φ π π ) = 4R( ) = 8R. p S. (Conice nedegenerate) C : ρ(φ) = e cos φ, φ R, unde e [0, + ] reprezintă excentricitatea conicei. Avem: e [0, ) pentru elipsă (e = 0 pentru cerc), e = pentru parabolă şi e > pentru hiperbolă. Se cere lungimea unui arc al curbei. Temă individuală! Exemple de calcul a lungimii cu MATLAB

13 Cursul 7 S.3 ([6, p. 7]) Fie r : R R, r(t) = (t +, t + ) şi vrem lungimea arcului [0, ]. Rezolvare L(C [0,] ) = 0 Liniile MATLB sunt astfel: >> symst; >> f = [t + t / + ]; >> df = diff(f, t); v = sqrt(df() + df() ); >> s = int(v, t, 0, ); eval(s) (+ Enter ) Answer: s = S.4 t + dt = [t t + + ln(t + t + )] 0 = 5 + ln( + 5).

14 8 M. Crâşmăreanu

15 Cursul Reperul Frenet şi curburi Fixăm în R n, n curba parametrică C : r = r(t), t I R. Definiţia. Numim câmp vectorial de-a lungul lui C o aplicaţie X : I R n, X = (X,..., X n ) cu proprietatea că X i : I R este aplicaţie netedă pentru toţi i {,..., n}. Fie X (C) mulţimea acestor câmpuri vectoriale. Observaţii. i) X (C) este mulţime nevidă deoarece câmpul vectorial nul este element al acestei mulţimi. ii) Cum C este regulată (am fixat această ipoteză încă din Cursul ) aplicaţia T : I R n dată de: T (t) = r (t) r (t) (.) este un element din X (C). Definiţia.3 T = T (t) se numeşte câmpul vectorial tangent al curbei C. Exemplul.4 Reamintim cercul de rază R centrat în origine C(O, R) : r(t) = R(cos t, sin t), t R. Avem: T (t) = ( sin t, cos t). (.) Se obţine imediat că: < r(t), T (t) >= R( cos t sin t + sin t cos t) = 0 adică rezultatul binecunoscut: tangenta este perpendiculară pe rază în punctul de tangenţă. Observaţia.5 i) Reamintim că R n este spaţiu vectorial real de dimensiune n. Fixăm un sistem de vectori S = {v,..., v k } din R n cu k n. Cel mai mic subspaţiu vectorial al lui R n ce conţine pe S se notează spans sau span{v,..., v k } şi este intersecţia tuturor subspaţiilor vectoriale ale lui R n ce conţin pe S. ii) Fie S = {v,..., v k } şi S = {v,..., v k } ca mai sus. Presupunem că pentru orice i {,..., k} avem descompunerea: v i = aj i v j unde în membrul drept am folosit regula Einstein (a indicelui mut) de sumare: repetarea unui indice sus şi jos semnifică sumarea după toate valorile posibile ale acelui indice. Fie A = (a j i ) i,j=,k M k(r) matricea asociată acestor sisteme de vectori via descompunerea precedentă. Putem scrie global: (v,..., v k ) = (v,..., v k ) A reamintind convenţia de înmulţire a matricilor: U V = (u i j) (v j l ) = W = (wi l ). Deci: indicele superior indică linia iar indicele inferior indică coloana! Definiţia.6 i) Sistemele S, S se numesc la fel orientate dacă det A > 0 respectiv contrar orientate dacă det A < 0. ii) Sistemul S = {v,..., v n } îl numim pozitiv orientat dacă este la fel orientat cu baza canonică

16 0 M. Crâşmăreanu B c = {e,..., e n } din R n. Reamintim că e i = (0,...,,.., 0) cu doar pe locul i. Dacă S este contrar orientat lui B c spunem că S este negativ orientat. iii) Pentru n = folosim notaţia B c = {ī, j} iar pentru n = 3 notaţia B c = {ī, j, k}. Observaţii.7 i) Dacă S este orientat pozitiv sau negativ atunci S este sistem liniar independent. Fiind exact n vectori cât este dimensiunea spaţiului R n avem că S este chiar bază în R n. ii) Reamintim că dimensiunea unui spaţiu vectorial este numărul maxim de vectori liniar independenţi din acel spaţiu şi că un sistem de exact n vectori liniar independenţi (sau sistem de generatori) într-un spaţiu vectorial n dimensional este obligatoriu bază în acel spaţiu vectorial. Următoarea noţiune fundamentală a teoriei curbelor este: Definiţia.8 Numim bază Frenet pentru curba parametrică C un sistem {X,..., X n } X (C) satisfăcând pentru orice t I proprietăţile următoare: F) < X i (t), X j (t) >= δ ij pentru toţi i, j {,..., n}. Reamintim că (δ ij ) este simbolul Kronecker fiind pentru i = j şi 0 în rest. F) span{x (t),..., X k (t)} = span{ d r dt (t),..., dk r (t)} pentru toţi k {,..., n }. dt k F3) Sistemele de vectori din F sunt la fel orientate. F4) Sistemul de vectori {X (t),..., X n (t)} este pozitiv orientat. Ansamblul RF ( r(t)) = { r(t); X (t),..., X n (t)} se numeşte reperul Frenet în punctul P ( r(t)) C. O curbă ce admite bază Frenet se numeşte curbă Frenet. Observaţii.9 i) Condiţiile F+F4 spun că {X (t),..., X n (t)} este o bază ortonormată în R n pentru orice t I. ii) Pentru k = din F avem că vectorii X (T ), r (t) sunt coliniari deci există scalarul λ(t) R aşa încât: X (t) = λ(t) r (t). Condiţia F3 pentru k = spune că λ(t) > 0. Cu alegerea λ(t) = r (t) care este scalar strict pozitiv (motivată de ortonormare!) obţinem: X (t) = T (t). (.3) { d r dt Conform discuţiei din Observaţia.7 suntem conduşi la introducerea următorului tip de curbe: Definiţia.0 Curba C se numeşte în poziţie generală dacă pentru orice t I sistemul dn r (t),..., (t)} este liniar independent. Pentru n = 3 folosim denumirea de curbă biregulată. dt n Observaţia. Pentru n = poziţia generală este echivalentă cu regularitatea. Un rezultat central al teoriei curbelor este: Teorema. (de existenţă şi unicitate a bazei Frenet) Dacă C este în poziţie generală atunci C este curbă Frenet. Mai mult, baza Frenet este unică. Nu vom demonstra acest rezultat general dar să observăm că dacă X X (C) atunci câmpul vectorial derivat X = (X,..., X n) aparţine lui X (C) şi mai general X (k) = ( dk X,..., dk X n ) X (C) pentru orice k N cu convenţia X (0) = X. dt k dt k În continuare presupunem C în poziţie generală. Vectorul X i (t) se descompune unic în baza {X (t),..., X n (t)} şi deci există funcţiile a j i : I R date de: X i(t) = a j i (t)x j(t) (.4) şi cum toate funcţiile ce intervin mai sus sunt netede rezultă că şi toate a j i sunt funcţii netede. Pentru o abordare globală introducem matricea de funcţii: A( ) = (a j i ( )) i,j=,n şi atunci relaţiile (.4) se scriu unitar: d dt X. X n (t) = A(t) t X. X n (t) (.5)

17 Cursul cu A t transpusa matricii A. Propoziţia.7 Matricea A satisface: i) este antisimetrică, adică maricea transpusă satisface: A t = A i.e.: ii) pentru j > i + avem: a j i (t) = ai j(t). (.6) a j i 0. (.7) Demonstraţie i) Derivăm F cu regula Leibniz şi avem: < X i (t), X j(t) > + < X i (t), X j (t) >= 0 care este exact (.6) scrisă: aj i (t) + ai j (t) = 0. ii) Din F avem că: X i span{ d r di r dt (t),..., (t)} ceea ce implică: dt i X i d r (t) span{ (t),..., di+ r (t)} = span{x dt dt i+ (t),..., X i+ (t)} şi această relaţie dă (.7). Definiţia.3 Fie curba C în poziţie generală. Funcţiile K i : I R date de: K i (t) = ai+ i (t) r (t) (.8) sunt netede pentru orice i {,..., n } şi se numesc curburile lui C în punctul P ( r(t)) C. Cazuri particulare I) n = deci avem curba regulată C : r(t) = (x(t), y(t)), t I. Avem: X (t) = T (t) = Versorul X se notează N şi se numeşte câmpul vectorial normal. Căutăm N de forma: N(t) = (u(t), v(t)). Condiţia F devine: { N(t) = u (t) + v (t) = < T (t), N(t) >= x (t)u(t) + y (t)v(t) = 0. r (t) (x (t), y (t)). (.9) (.0) Regularitatea înseamnă (x ) + (y ) > 0 şi vom presupune că y 0; în caz contrar avem x 0 şi în discuţia următoare schimbăm rolurile lui x şi y. Din a doua relaţie avem: v = x y u care înlocuită în prima dă: u ( + x deci: y ) = cu soluţia: u = εy r N(t) = pentru ε = ±. Revenind la v obţinem: v = εx r ε r (t) (y (t), x (t)) şi vom determina ε din F4. Astfel, matricea cu prima coloana T (t) şi a doua coloană N(t): ) ( x r y r trebuie să aibă determinantul pozitiv. Dar determinantul acestei matrici este ( ε) şi deci: ε =. În concluzie: N(t) = r (t) ( y (t), x (t)). (.) În fapt, expresia lui N se deduce pe o cale mai rapidă astfel: din condiţia de ortonormare în plan avem N(t) = i T (t) cu i unitatea complexă, deoarece înmulţirea cu i semnifică o rotatţie de 90 în sens trigonometric=sensul anti-orar. Matricea A este: ( ) 0 a A(t) = (t) a (t) 0 cu: εy r εx r a (t) =< X (t), X (t) >=< T (t), N(t) >. şi

18 M. Crâşmăreanu Derivăm câmpul vectorial tangent din (.9) ca o fracţie: Cum N(t) este ortogonal pe T (t) rezultă: şi din relaţia (.) obţinem: T (t) = r r r d dt ( r ) r = r (t) r (t) T (t) d dt (ln r ). (.) a (t) = a (t) =< r (t) r (t), N(t) > r (t) < (x (t), y (t), ( y (t), x (t)) >. În concluzie, avem o singură curbură, notată k, cu expresia: k(t) = x (t)y (t)+y (t)x (t) r (t) 3. (.3) Observăm că funcţia curbură poate avea orice semn; un punct P ( r(t)) C se numeşte inflexionar dacă k(t) = 0 respectiv vârf dacă este punct critic al curburii i.e. k (t) = 0. II) n = 3, deci avem curba biregulată C : r(t) = (x(t), y(t), z(t)), t I. Avem: X (t) = T (t) = r (t) (x (t), y (t), z (t)). (.4) X se notează tot N şi ca la curbe în plan se numeşte câmpul vectorial normal iar X 3 se notează B şi se numeşte câmpul vectorial binormal. Din < T (t), T (t) >= prin derivare cu regula Leibniz avem: < T (t), T (t) >= 0 deci T (t) este perpendicular pe T (t). Avem aceeaşi formulă (.) iar biregularitatea implică: T (t) 0. În concluzie: { unde este produsul vectorial din R 3. T (t) T (t) N(t) = B(t) = T (t) N(t) (.5) Avem: A(t) = 0 a (t) 0 a (t) 0 a3 (t) 0 a 3 (t) 0 cu: { a (t) =< T (t), N(t) >= < T (t), N (t) > a 3 (t) =< N (t), B(t) >= < N(t), B (t) >. Astfel: a (T ) =< T T (t), (t) T (t) >= T (t) > 0. K se numeşte curbura şi ca la curbe în plan se notează k iar K se numeşte torsiunea şi se notează τ. Avem prin derivarea primei relaţii următoare şi utilizarea lui (.5): r (t) = r (t) T (t) r (t) = d dt ( r (t) )T (t) + r (t) T (t) = (...)T (t) + r (t) a (t)n(t) r = (.)T + (.)N + r a N = (.)T + (.)N + r a a3 B. (.6) Facem produsul vectorial al primelor două relaţii: r (t) r (t) = r (t) a (t)b(t)

19 Cursul 3 şi cum B(t) este versor avem: k(t) = r (t) r (t) r (t) 3. (.7) Facem acum produsul mixt al vectorilor din (.6): deoarece (T, N, B) = (ī, j, k) =. Obţinem: şi, în concluzie, expresia torsiunii este: ( r, r, r ) = ( r T, r a N, r a a 3 B) = r 3 (a ) a 3 a 3 = r 4 ( r, r, r ) r 3 r r Observăm că k > 0 dar torsiunea poate avea orice semn. τ(t) = ( r (t), r (t), r (t)) r (t) r (t). (.8) SEMINARUL S. Să se studieze C(O, R) din punct de vedere Frenet. Rezolvare Câmpul vectorial tangent este dat de (.) iar din (.) obţinem: N = ( cos t, sin t) = r(t) R. Deci câmpul vectorial normal este îndreptat spre interiorul cercului, mai precis spre originea planului, iar < T, N >= 0 este expresia analitică a faptului binecunoscut: raza este perpendiculară pe tangentă. Avem din (.3): k(t) = ( R cos t)r cos t + ( R sin t)( R sin t) R 3 în acord cu viziunea geometrică: cercul este curbat peste tot la fel! Cercul nu are puncte de inflexiune dar toate punctele sale sunt vârfuri. S. Să se studieze dreapta în plan din punct de vedere Frenet. = R R 3 = R (.9) Rezolvare Reamintim că avem ecuaţia dreptei în plan d : r(t) = (x 0 + ta, y 0 + tb) cu M 0 (x 0, y 0 ) un punct fixat al dreptei respectiv ū = (a, b) 0 vectorul director al lui d. Rezultă: r (t) = (u) şi r 0. Obţinem deci: T (t) = ū ū =constant, N(t) = ū ( b, a) respectiv k 0 în acord cu viziunea geometrică dreapta nu este curbată deloc! S.3 Să se studieze dreapta în spaţiu din punct de vedere Frenet. Rezolvare Deoarece r = 0 (ca mai sus) rezultă că dreapta considerată în spaţiu nu este biregulată. Dar orice dreaptă din spaţiu este înclusă într-un plan π şi eventual aplicând o rotaţie şi o translaţie putem presupune că π = xoy ceea ce conduce la problema anterioară. S.4 Să se arate că formula (.7) se reduce la (.3) pentru o curbă în plan. Rezolvare Deoarece r(t) = (x(t), y(t)), 0 rezultă: r (t) r (t) = ī j k x (t) y (t) 0 x (t) y (t) 0 = (0, 0, x (t)y (t) + y (t)x (t)) ceea ce dă concluzia (renunţând la ipoteza de pozitivitate din spaţiu). Obţinem astfel o nouă formulă pentru curbura unei curbe în plan: k(t) = det( r (t), r (t)) r (t) 3. (.0)

20 4 M. Crâşmăreanu S.5 Se cere curbura elipsei E : r(t) = (a cos t, b sin t), t R (sau t [0, π]) cu a > 0, b > 0. Rezolvare Avem: r (t) = ( a sin t, b cos t) şi r (t) = ( a cos t, b sin t) = r. Rezultă: ab k(t) = (a sin t + b cos t) 3 şi deci elipsa nu are puncte inflexionare. Deoarece: k (t) = 3ab(b a ) sin t cos t (a sin t + b cos t) 5 (.) (.) rezultă că elipsa are 4 vârfuri, exact intersecţiile cu axele: t {0, π, π, 3π }. S.6 Se cere curbura (ramurei pozitive a) hiperbolei H : r(t) = (acht, bsht), t R cu a > 0, b > 0. Rezolvare Avem: r (t) = (asht, bcht) şi r (t) = (acht, bsht) = r(t). Rezultă: ab k(t) = (a sh t + b ch t ) 3 şi deci hiperbola nu are puncte de inflexiune. Deoarece: k (t) = 3ab(a + b )shtcht (a sh t + b ch t ) 5 (.3) (.4) rezultă că hiperbola are un singur vârf, intersecţia cu axa Ox: t = 0 unde se anulează funcţia sh. Reamintim că cht pentru orice t R. S.7 Se cere curbura curbei C : r(t) = (cos t + t sin t, sin t t cos t), t R. Rezolvare Avem: r(t) = (t cos t, t sin t) şi r (t) = (cos t t sin t, sin t + t cos t) de unde rezultă k(t) = t. Deci trebuie scos t = 0 din domeniul de definiţie, curba nu are puncte de inflexiune şi nici vârfuri. Imaginea curbei. S.8 Se cere curbura cicloidei. Rezolvare Avem: r (t) = R(sin t, cos t) şi deci: k(t) = 4R sin t ceea ce spune că cicloida nu are puncte de inflexiune dar din domeniul de definiţie trebuie scoase punctele: t k = kπ cu k Z. Cum: k (t) = cos t 8r sin t rezultă că vârfurile cicloidei sunt: t k = (k + )π cu k Z. Imaginea cicloidei.

21 Cursul 5 S.9 Se cere curbura astroidei. 3R sin t cos t Rezolvare Avem: r (t) = 3R( cos t sin cos 3 t, sin t cos t sin 3 t) şi deci: k(t) = ceea ce spune că astroida nu are puncte de inflexiune dar din domeniul de definiţie trebuie scoase punctele: t k = kπ cu k Z. Scriind: k(t) = 3R sin t avem: k 4 cos t (t) = ceea ce spune că vârfurile 3R sin t astrodei sunt: t k = (k+)π cu k Z. S.0 Se cere curbura spiralei logaritmice. Imaginea astroidei. Rezolvare Avem: r (t) = Re kt (k cos t k sin t + cos t, k sin t + k cos t sin t) şi deci: k(t) =. Spirala logaritmică nu are puncte de inflexiune şi nici vârfuri. e kt R k + S. (Curbura în coordonate polare) Pentru C : ρ = ρ(φ) avem: Rezolvare Derivând (.0) obţinem: k(φ) = (ρ ) + ρ ρρ. (.5) (ρ + (ρ ) ) 3 r (φ) = (ρ cos φ ρ sin φ ρ cos φ, ρ sin φ + ρ cos φ ρ sin φ) (.6) şi un calcul imediat dă formula (.5). C. S. Se cere curbura lemniscatei C : ρ(φ) = R cos φ. Rezolvare Cu formula (.5) obţinem: k(φ) = 3 R cos φ. S.3 (Curbura graficelor) Se dă curba grafic C : r(t) = (t, f(t)), t I R. Se cere curbura lui Rezolvare Avem: r (t) = (0, f (t)) ceea ce dă: k(t) = f (t) ( + (f ) ) 3 (.7) şi deci C are ca puncte de inflexiune zerourile lui f. S.4 (Curbura curbelor implicite) Se dă curba definită implicit C : F (x, y) = 0. Se cere curbura lui C. Rezolvare Vom parametriza curba C ca în exerciţiul precedent C : r(t) = (t, f(t); deci F (t, f(t)) = 0 şi derivând această relaţie obţinem: F x + F y f = 0 ceea ce conduce la: f = F x F y. Mai derivând odată avem: f = F x F yy F x F y F xy + Fy F xx Fy 3 şi înlocuind în formula (.7) obţinem: k(x, y) = F x F yy F x F y F xy + F y F xx (F x + F y ) 3 (.8)

22 6 M. Crâşmăreanu sau încă: unde: = S.5 Să se reobţină curbura lui C(O, R). k(x, y) = F 3 (.9) F xx F xy F x F xy F yy F y F x F y 0 Rezolvare Din F (x, y) = x + y R rezultă: F = (x, y) şi deci F = R:. = 0 x 0 y x y 0 = 8(x + y ) = 8R. S.6 Se cere curbura: i) elipsei E : F (x, y) = x + y = 0, a b ii) hiperbolei H : F (x, y) = x y = 0. a b S.7 Fie curba plană C : r = r(t), t I = ( ε, ε). Definim curba reverse C r : R = r( t), t I. Să se arate că între curburile acestor curbe avem relaţia: k r (t) = k( t), pentru orice t I. Rezolvare Avem: R (t) = r ( t) şi R (t) = r (t). Folosim formula (.3) : k r (t) = (xr ) (t)(y r ) (t) (y r ) (t)(x r ) (t) R (t) 3 = x ( t)y ( t) + y ( t)x ( t) r (t) 3 = = x ( t)y ( t) y ( t)x ( t) r (t) 3 = k( t). Rezultă imediat şi modificarea bazei Frenet: T r (t) = T ( t) şi N r ( t) = N( t). Obţinem astfel şi o imagine geometrică pentru semnul curburii: dacă C se roteşte în sens trigonometric avem k > 0 iar dacă C se roteşte în sens orar avem k < 0! S.8 Se cere curbura pentru curba cardioidă C : r(t) = ( cos t cos t, sin t sin t), t (0, π). Informaţii generale: Rezolvare Avem: r (t) = (sin t sin t, cos t cos t), r (t) = ( cos t cos t, sin t sin t) şi în final obţinem: k(t) = 3 ceea ce însemnă că lim 3 sin t t 0,π = +. Imaginea cardioidei.

23 Cursul 3 Teorema fundamentală a curbelor Fixăm curba C în R n şi fie o parametrizare oarecare a sa C : r = r(t), t I. Pentru a studia geometria lui C fie φ : J I un difeomeorfism şi ca în Cursul notăm t = φ(u). Considerăm noua parametrizare C : R = R(u), u J cu R = r φ. Reamintim relaţia (.5): R (u) = φ (u) r (t) (3.) şi tot ca în primul Curs, presupunem, pentru simplificare, că difeomorfismul φ este strict crescător. Trecând la norme în relaţia precedentă avem: Prin calcul obţinem imediat: R (u) = φ (u) r (t). (3.) Propoziţia 3. Dacă (X,..., X n ) este o bază Frenet pentru parametrizarea r atunci ( X,..., X n ) cu X i = X i φ este o bază Frenet pentru parametrizarea R. Prin urmare putem considera curburile K i pentru parametrizarea R. Un rezultat central al teoriei curbelor este: Teorema 3. Curburile sunt invarianţi geometrici ai lui C adică K i = K i pentru i n. Demonstraţie Avem: ceea ce dă concluzia. K i (u) = āi+ i (u) R (u) = < X i (u), X i+ (u) > φ (u) r = < φ (u)x i (t), X i+(t) > (t) φ (u) r = K i (t) (t) Definiţia 3.3 Distanţa euclidiană pe R n este: d(m ( r ), M ( r )) = r r ; perechea E n = (R n, d) o numim spaţiul euclidian n-dimensional iar geometria sa o numim geometria euclidiană n- dimensională. Funcţia f : E n E n o numim izometrie dacă este surjectivă şi invariază distanţele: d(f(m ), f(m )) = d(m, M ) pentru orice puncte M i E n. Fie Izom(n) mulţimea izometriilor euclidiene. Un rezultat fundamental al geometriei euclidiene este faptul că dată f Izom(n) există un unic vector f 0 R n şi o unică matrice R f O(n) aşa încât pentru orice x R n avem: f(x) = R f x + f 0 (3.3) unde primul termen din membrul drept este înmulţirea dintre matricea pătratică R f de ordin n şi vectorul coloană x! Deci Izom(n) = O(n) R n unde O(n) este grupul matricilor ortogonale: R t R = R R t = I n (3.4) unde I n este matricea unitate de ordin n. Linia i {,..., n} din relaţia (3.3) este: f i (x) = R i jx j + f i 0 (3.5)

24 8 M. Crâşmăreanu dacă R f = (R i j ) i,j=,n şi f 0 = (f i 0 ) i=,n. Propoziţia 3.4 Fie curba parametrică r = r(t), t I şi f Izom(n). Atunci R = f r(t), t I este o curbă parametrică cu proprietăţile: i) R = R f r şi deci R (k) = R f r (k) pentru orice k, ii) R (k) = r (k), iii) dacă r este în poziţie generală atunci R este în poziţie generală. Demonstraţie i) Avem linia i: ( R (t)) i = df i dxj ( r(t)) dxj dt (t) = Ri j ( r (t)) j = (R f r (t)) i ceea ce voiam. Pentru k derivăm prima relaţie din i). ii) Cum R f invariază norma avem concluzia. iii) Un calcul imediat ce foloseşte i) şi ii). Propoziţia 3.5 Fie r = r(t), t I o curbă în poziţie generală, (X,..., X n ) baza Frenet asociată şi f Izom(n). Atunci: i) ( X,..., X n ) cu X i = R f X i este baza Frenet a curbei R = f r, ii) K i = K i pentru toţi i {,..., n }. Demonstraţie i) Un calcul imediat folosind propoziţia precedentă. Spre exemplu, pentru F): ii) Avem: şi deci: ceea ce dă concluzia. < X i (t), X j (t) >=< R f X i (t), R f X j (t) >=< X i (t), X j (t) >= δ ij. ā j i (t) =< X i(t), X j (t) >=< R f X i(t), R f X j (t) >=< X i(t), X j (t) >= a j i (t) Reciproca acestui rezultat este dată de: K i (t) = āi+ i (t) R (t) = ai+ i (t) r (t) = K i(t) Propoziţia 3.6 Fie r, R : I E n două curbe în poziţie generală satisfăcând pentru orice t I identităţile: { r (t) = R (t) K i (t) = K i (t), i n. Atunci există şi este unică o izometrie f Izom(n) aşa încât: R = f r. Demonstraţie Vom arăta doar partea de existenţă, partea de unicitate rezultând din unicitatea soluţiei problemei Cauchy pentru un sistem diferenţial ordinar. Fixăm t 0 I şi fie bazele Frenet ale celor două curbe: (X,..., X n ) respectiv ( X,..., X n ). Există o unică matrice R O(n) aşa încât pentru toţi i {,..., n} să avem: R X i (t 0 ) = X i (t 0 ). Există apoi o unică f Izom(n) aşa încât: R f = R şi f( r(t 0 )) = R(t 0 ). f este izometria cerută. Să observăm că izometria dată de Propoziţia precedentă este proprie (det R f = +) deoarece bazele (X (t 0 ),..., X n (t 0 )), ( X (t 0 ),..., X n (t 0 )) sunt ambele pozitiv orientate! Rezultatul central al teoriei curbelor este dat de: Teorema 3.7 (Teorema fundamentală a curbelor) Fie intervalul I R şi funcţiile netede F i : I R cu F j > 0 pentru j n. Atunci există o curbă parametrică C : r = r(s), s I, unică până la o izometrie proprie relativ la proprietăţile:

25 Cursul 3 9 ) r (s) = i.e. s este parametrul canonic al lui C, ) K i = F i pentru i n. Teorema fundamentală spune că, fiind fixat parametrul canonic, avem că funcţiile curburi sunt toţi invarianţii euclidieni ai unei curbe date. Spre exemplu, am calculat în S. că dreapta în plan are curbura zero; în acord atunci şi cu S.3 concluzionăm: Propoziţia 3.8 Curbele în plan şi spaţiu cu k 0 sunt doar dreptele. Altfel spus, o curbă în plan cu toate punctele inflexionare este obligatoriu o dreaptă. Analog, în S. am arătat că curbura cercului este constantă. Deci: Propoziţia 3.9 Curbele în plan de curbură constantă strict pozitivă k sunt cercurile de rază R = k. Altfel spus, o curbă în plan cu toate punctele vârfuri este obligatoriu un cerc. Pagini Web utile: ) theorem of curves ) 3) SEMINARUL 3 S3. (Elicea circulară) Se cer versorii Frenet, curbura şi torsiunea pentru C : r(t) = (a cos t, a sin t, bt), t R cu a > 0, b > 0 constante date. Rezolvare Avem: r (t) = ( a sin t, a cos t, b) r (t) = ( a cos t, a sin t, 0) r (t) = (a sin t, a cos t, 0) r (t) = a + b r (t) r (t) = a(b sin t, b cos t, a) r (t) r (t) = a a + b ( r (t), r (t), r (t)) = a b ccea ce conduce la: { T (t) = ( a sin t, a cos t, b), B(t) = a +b a (b sin t, b cos t, a), N(t) = ( cos t, sin t, 0) +b k(t) = a, τ(t) = b. a +b a +b Remarcăm că k şi τ sunt ambele constante (şi strict pozitive). S3. Analog pentru curba C : r(t) = (, t, t ), t R. Ce conică este C şi în ce plan este situată? Rezolvare Avem: ccea ce conduce la: r (t) = (0,, t) r (t) = (0, 0, ) r (t) = (0, 0, 0) r (t) = + t r (t) r (t) = (, 0, 0) r (t) r (t) = ( r (t), r (t), r (t)) = 0 T (t) = (0,, t), B(t) = (, 0, 0), N(t) = (0, t, ), k(t) =, τ(t) = 0. + t + t ( + t ) 3 C este o parabolă în planul x =. S3.3 Analog pentru curba C : r(t) = (t, t, ln t), t R +.

26 0 M. Crâşmăreanu Rezolvare Avem: r (t) = (,, t t ), r (t) = (0,, ), r (t) = t 3 t (0, 6, ), r (t) = t 4 t 3 t +, r (t) r (t) = (, t, t), r (t) r (t) = (t +), ( r, r, r ) =. Obţinem: t 4t 4 4t 4 4t 6 k(t) = τ(t) = t. Reperul Frenet: (t +) T (t) = ( t t,, ) t, B(t) = ( + t, t, ) t, N(t) = ( ) t, t, t + t. + S3.4 Analog pentru curba C : r(t) = (t, ln t, t ), t (0, + ). Rezolvare Avem: r (t) = (, t, t), r (t) = (0, t, ), r (t) = (0, t 3, 0), r (t) = t + t, r (t) r (t) = t (t, t, ), r (t) r (t) = t ( t + ), ( r, r, r ) = 8 t 3. Obţinem: k(t) = τ(t) = t (t +). Reperul Frenet: T (t) = t + (t,, t), B(t) = ( t, t t, ), N(t) = + S3.5 Analog pentru curba C : r(t) = (t, t, 3 t3 ), t R. ( t t, t, t ). + Rezolvare Avem: r (t) = (, t, t ), r (t) = (0,, 4t), r (t) = (0, 0, 4), r (t) = t +, r (t) r (t) = (t, t, ), r (t) r (t) = (t + ), ( r, r, r ) = 8. Obţinem: k(t) = τ(t) = (t +). Reperul Frenet: T (t) = (, t, t ) t, B(t) = + ( t t, t, ), N(t) = + S3.6 Analog pentru curba C : r(t) = (t sin t, cos t, 4 cos t ), t (0, π). Rezolvare Avem: r (t) = ( cos t, sin t, sin t ) r (t) = (sin t, cos t, cos t ) r (t) = (cos t, sin t, sin t ) r (t) = sin t r (t) r (t) = sin t (sin t, cos t, ) r (t) r (t) = sin t ( r (t), r (t), r (t)) = sin 3 t ( t, t t, t ). + ccea ce conduce la: { T (t) = (sin t, cos t, ), B(t) = (sin t, cos t, ), N(t) = (cos t, sin t, 0) k(t) = τ(t) =. 8 sin t S3.7 Analog pentru curba C : r(t) = (a(sin t + cos t), a(sin t cos t), be t ), t R. Temă! S3.8 Analog pentru curba C : r(t) = (ae t cos t, ae t sin t, be t ), t R. Temă!

27 Cursul 4 Ecuaţiile Frenet Fixăm în R n, n, curba parametrizată C : r = r(t), t I R, în poziţie generală. Avem atunci reperul Frenet RF ( r(t)) = { r(t); X (t) = T (t),..., X n (t)} în punctul generic P ( r(t)) C. În Cursul am dedus ecuaţiile de mişcare ale acestui reper; conform ecuaţiei (.5) avem: X (t). d. dt.. X n (t) = r (t) 0 k (t) k (t) 0 k (t) k (t) 0 k 3 (t) k n (t) k n (t) 0 Definiţia 4. Relaţiile (4.) se numesc ecuaţiile Frenet ale lui C. X (t)..... X n (t) (4.) În cele ce urmează, pentru simplificarea scrierii, vom presupuse că C este parametrizată canonic şi vom rescrie aceste ecuaţii în dimensiuni mici: I) n = II) n = 3 d ds ( d T (s) ds N(s) T (s) N(s) B(s) = ) ( = 0 k(s) k(s) 0 0 k(s) 0 k(s) 0 τ(s) 0 τ(s) 0 ) ( T (s) N(s) ). (4.) T (s) N(s) B(s). (4.3) O aplicaţie importantă a ecuaţiilor Frenet este determinarea de clase speciale de curbe, subiect ce va fi tratat în continuare. Propoziţia 4. Pentru curba C următoarele afirmaţii sunt echivalente: i) ultima curbură este nulă, ii) C este inclusă într-un hiperplan. Demonstraţie Vom arăta doar implicaţia i) ii) lăsând ca temă implicaţia cealaltă. Din ultima ecuaţie Frenet: dx n(s) ds = k n (s)x n (s), rezultă în baza ipotezei că X n este un versor constant şi-l notăm (A,..., A n ). Integrând relaţia < X (s), X n >= 0 avem: A x (s) A n x n (s) = A n+ care este ecuaţia unui hiperplan. Reformulăm pentru n = 3:

28 M. Crâşmăreanu Propoziţia 4.3 Curba C R 3 este situată într-un plan dacă şi numai dacă torsiunea este nulă pe I. Tot pentru cazul n = 3 fie versorul fixat W = (w, w, w 3 ) S ; notăm sfera unitate n- dimensională S n = {ū R n+ ; ū = }. Definiţia 4.4 i) Numim unghiul de structură dintre C şi W funcţia θ : I [0, π] dat de: cos θ(s) =< T (s), W >. (4.4) ii) Curba C o numim θ-elice relativ la W dacă θ este un unghi constant. iii) Fie C o θ-elice cu θ / {0, π}. Numărul real: îl numim invariantul Lancret al lui C. Lancret(C) = ctgθ = cos θ sin θ Următorul rezultat constituie o caracterizare a elicelor precum şi o exprimare a invariantului Lancret în funcţie de curbură şi torsiune: Propoziţia 4.5 i) Curba C diferită de dreaptă este o elice relativ la W dacă şi numai dacă N(s) W pentru orice s I. ii) (Lancret) Pentru o θ-elice raportul τ(s) k(s) este o constantă, mai precis: (4.5) τ(s) = ±Lancret(C). (4.6) k(s) iii) Dacă pentru C diferită de dreaptă raportul τ k este constant atunci C este o θ-elice cu θ = arcctg( τ k ). Demonstraţie i) Derivăm relaţia (4.4) în raport cu s: θ sin θ =< k(s)n(s), W > + < T (s), 0 >= k(s) < N(s), W >. Cum C nu este dreaptă avem k(s) > 0 şi deci membrul stâng se anulează dacă şi numai dacă < N(s), W >= 0 pentru orice s. Să obsevăm că anularea membrului drept este echivalent cu anularea lui θ. În adevăr, dacă ar exista s 0 astfel încât θ (s 0 ) ar fi nenul atunci din continuitate există o vecinătate U a lui s 0 cu θ 0 pe U. Dar atunci sin θ = 0 pe U şi deci θ ar fi constantă pe U ceea ce este o contradicţie cu θ U 0. ii) Conform punctului precedent avem descompunerea următoare a lui W în reperul Frenet: Prin derivare rezultă: ceea ce duce la: W = cos θt (s) + (± sin θ)b(s). (4.7) 0 = cos θk(s)n(s) + (± sin θ)( τ(s))n(s) = (cos θk(s) sin θτ(s))n(s) cos θk(s) = ± sin θτ(s). Rezultă imediat concluzia. iii) Fie deci θ = arcctg( τ k ) şi versorul W = cos θ + sin θb. Avem: k cos θ τ sin θ = 0 şi deci: adică: k cos θn(s) τ sin θn(s) = 0 cos θt (s) + sin θb (s) = 0. Prin integrare, avem < T (s), W >= cos θ=constant, ceea ce voiam. Afirmaţia Lancret din rezultatul precedent conduce la o nouă noţiune:

29 Cursul 4 3 Definiţia 4.6 Numim elice generalizată o curbă cu toate curburile constante. Exemple de elice generalizată: i) în plan avem cercul conform exerciţiului S., ii) în spaţiu este elicea circulară din exerciţiul S3.. Pagini Web utile: ) formulas ) 3) geometry of curves. SEMINARUL 4 S4. Să se arate că următoarele curbe sunt situate într-un plan π şi se cere π: i) r(t) = (sin t, cos( π 4 t), + cos t), t R ii) r(t) = (t, t, ln t), t (0, + ), iii) r(t) = (t (t + ), t(t ), t(t + ) ), t R. Remarcăm că această curbă este algebrică adică este definită prin polinoame! Rezolvare Arătăm că B(t) este vector constant obţinând astfel şi ecuaţia lui π; de altfel, dacă nu se cerea acest plan era suficient să arătăm anularea torsiunii. i) r (t) = (cos t, sin( π 4 t), sin t), r (t) = (sin t, cos( π 4 t), cos t). Deci: ceea ce dă: π : x y + z = 0. ii) r (t) = (t, t, t ), r (t) = (,, t ). Deci: r r = (,, ) r (t) r (t) = 4 (,, 0) t de unde concluzia cu: π : x y + = 0. iii) r (t) = (6t + t, t, 3t + ), r (t) = (t +,, 6t). Deci: de unde concluzia cu: π : x y z = 0. r (t) r (t) = (3t 6t )(,, ) Definiţia 4.7 Planul prin punctul curent P ( r(t)) C ce este perpendicular pe B(t) se numeşte planul osculator în P şi-l notăm π osc (t). S4. Pentru C : r(t) = e t (sin t, cos t, ) să se arate că tangent, normala şi binormala fac fiecare un unghi constant cu axa verticală Oz. Rezolvare Fie θ, α, β unghiul format de tangenta, normala şi respectiv binormala cu versorul director k al dreptei Oz. Avem: Rezultă: r (t) = e t (sin t + cos t, cos t sin t, ), r (t) = e t ( cos t, sin t, ), r (t) = 3e t r (t) r (t) = e t (cos t + sin t, cos t sin t, ), r (t) r (t) = 6e t ( r r ) r = e 3t (3(cos t sin t), 3(cos t + sin t), 0), ( r r ) r = 3 e 3t. cos θ = < r, k> r = 3 cos α = <( r r ) r, k> ( r r ) r = 0 cos β = < r r, k> r r ) = 6. Prin urmare, C este o arccos( 3 )-elice relativ la direcţia verticală k.

30 4 M. Crâşmăreanu S4.3 Se cer unghiurile dintre axele de coordonate şi tangenta la curba C : r(t) = (t sin t, cos t, 4 sin t ), t R. Rezolvare Fie α(t), β(t), γ(t) unghiul făcut de tangenta r (t) cu versorii ī, j, k. Avem: r (t) = ( cos t, sin t, cos t ) şi r (t) = de unde rezultă: cos α(t) = sin t, cos β(t) = sin t, cos γ(t) = cos t. S4.4 Să se arate că dreptele tangente la curba C : r(t) = (a cos t, a sin t, be t ), t R intersectează planul orizontal xoy după un cerc. Rezolvare Cum r (t) = ( a sin t, a cos t, be t ) rezultă că ecuaţia dreptei tangente este: x a cos t a sin t = y + a sin t a cos t Cu z = 0 obţinem intersecţia cerută de ecuaţii: { x(t) = a(cos t + sin t) y(t) = a(cos t sin t) care ecuaţia cercului x + y = a. = z bet be t. S4.5 Să se arate că locul geometric al punctelor de intersecţie dintre planul xoy şi dreptele tangente la curba algebrică C : r(t) = (t, t, t 3 ) este o conică. Rezolvare Dreapta tangentă la C într-un punct generic are ecuaţia: x t = y t t = z t3 3t şi prin intersecţie cu planul xoy obţinem: x(t) = t 3, y(t) = t 3. Eliminând parametrul t din aceste ecuaţii obţinem parabola P : y = 3 4 x. S4.6 Se cer punctele curbei C : r(t) = ( t4, t3 3, t ) în care tangenta este paralelă cu planul π : 3x y z = 0. Rezolvare Normala la planul π este N = (3,, ) şi deci trebuie ca tangenta la curbă, i.e. r (t) = (t 3, t, t) să fie perpendiculară pe acest vector. Din < N, r (t) >= 0 = t(3t + t ) avem soluţiile: t = 0, t =, t 3 = 3. Să observăm că punctul r(t ) este singular deoarece r (t ) = 0; deci reţinem doar P (, 3, ) şi P 3( 8 8, 8 8, 4 9 ). S4.7 Se cere planul osculator în punctul M(,, ) la curba dată implicit C : y = x, x = z. Rezolvare Cu y = t se obţine parametrizarea C : r(t) = (t, t, t 4 ). În final se obţine π osc(m) : 6x 8y z + 3 = 0.

31 Cursul 5 Noţiunea de suprafaţă. Geometria unei suprafeţe Fie U o mulţime deschisă în planul R ale cărei elemente le notăm ū = (u, u ) = (u ) i=,. Fixăm aplicaţia netedă φ : U R 3 de forma: φ(ū) = (φ (ū), φ (ū), φ 3 (ū)) = (φ α (ū)) α=,,3. (5.) Prin urmare, în continuare vom folosi indicii i, j, k,... {, } respectiv α, β, γ,... {,, 3}. Definiţia 5. Numim matricea Jacobiană a lui φ în ū U matricea: ( ) φ α Jφ(ū) = u i M 3, (R). (5.) α=,,3;i=, Spunem că φ este imersie în ū dacă Jφ(ū) are rangul maxim posibil i.e.. Dacă φ este imersie în orice punct spunem că φ este imersie pe U. Coloanele matricii Jacobiene: Jφ(ū) = φ φ u φ u φ u φ 3 u φ 3 u u 3 (5.3) sunt exact vectorii derivaţi φ (ū) respectiv φ (ū) şi atunci condiţia de imersie în ū fixat revine la faptul geometrică că avem vectorul nenul φ (ū) φ (ū) 0 adică aceşti vectori sunt necoliniari! Obiectul teoriei suprafeţelor este dat de: Definiţia 5. Fie mulţimea conexă S R 3. ) S o numim suprafaţă regulată (sau scufundată) dacă pentru orice P S există tripletul (U, φ, W ) cu U R deschis, φ : U R 3 imersie pe U şi W deschis în R 3 astfel încât: i) i) φ(u) = S W, ii) P φ(u), iii) φ este homeomorfism de la U la φ(u) considerat cu topologia indusă din R 3 i.e. φ : U φ(u) este bijecţie cu φ şi φ continue. Perechea (U, φ) o numim parametrizare locală a lui S în jurul lui P şi o notăm: r = φ(ū), ū U (5.4) iar perechea h = (φ(u) S, φ ) o numim hartă locală pe S în jurul lui P. ) Datorită existenţei funcţiei φ : φ(u) S U putem introduce funcţiile (u (.), u (.)) = φ numite funcţii coordonate pe S în jurul lui P S. Pentru j {, } curba C j : t φ(ū 0 + tē j ) S se numeşte curba j-coordonată pe S prin P = φ(ū 0 ). 3) Numim atlas pe suprafaţa regulată S o familie A = {(U a, a φ); a A} de parametrizări locale pentru care S = a Aa φ(u a ). Dacă atlasul are o unică parametrizare spunem că avem o parametrizare

32 6 M. Crâşmăreanu globală. 4) Numim geometria lui S studiul proprietăţilor lui S relativ la un atlas fixat! Observaţii 5.3 i) Definiţia spune că o suprafaţă regulată arată local ca un deschis din plan şi această identificare locală nu este doar la nivel de mulţimi amorfe ci şi topologic! Mai mult, putem face un calcul local pe S ce imită pe cel din R datorită lui φ. ii) Renotând eventual pentru simplitate ū = (u, v) va rezulta că P este imaginea prin φ a lui ū 0 = (u 0, v 0 ). Atunci curbele de coordonate pe S prin P sunt date de: ii) C : v = v 0 =constant şi o putem renota C v0, ii) C : u = u 0 =constant şi o putem renota C u0. Avem imediat următoarele metode de obţinere de noi parametrizări locale din una dată: Propoziţia 5.4 Fie parametrizarea locală (U, φ) pe S în jurul lui P. ) Dacă V R este un deschis în plan şi ρ : V U este difeomorfism atunci (V, φ) cu φ = φ ρ este parametrizare locală pe S în jurul lui P. ) Dacă V U este un deschis cu ū 0 V atunci (V, φ V ) este parametrizare locală pe S în jurul lui P. (Deci putem obţine parametrizări locale cu domeniul arbitrar de mic.) Prezentăm în continuare câteva exemple fundamentale de suprafeţe regulate pentru care, în general, vom verifica condiţia de imersie, celelalte aspecte din definiţii fiind lăsate ca Temă. Exemple 5.5 ) (Plane) Fie punctul P 0 ( r 0 ) R 3 şi vectorii necoliniari ā, b. Atunci există un unic plan π ce conţine pe P 0 şi este generat de vectorii ā and b: π : r(u, v) := r 0 + uā + v b, (u, v) R. (5.5) π admite parametrizarea globală (R, φ) unde φ(u, u ) = r 0 + u ā + u b. Deoarece φ = ā, φ = b sunt vectori necoliniari rezultă că planele sunt suprafeţe regulate. ) (Mulţimi deschise în plan) Fie U un deschis în R. U admite parametrizarea globală (U, φ) unde φ(u, u ) = (u, u, 0). Avem că φ = ī, φ = j sunt vectori necoliniari şi deci U este suprafaţă regulată. În fapt, rezultă din Propoziţia 5.4ii) că orice submulţime deschisă a unei suprafeţe regulate este suprafaţă regulată. 3) (Grafice de funcţii) Fie f : U R netedă. Graficul lui f este Gr(f) = {(x, f(x); x U} R 3. Gr(f) admite parametrizarea globală (U, φ) unde φ(u, u ) = (u, u, f(u, u )) şi avem φ = (, 0, f ) respectiv φ = (0,, f ). Avem φ φ = ( f, f, ) 0 deci Gr(f) este o suprafaţă regulată numită suprafaţă Monge. Ecuaţia: S : z = f(x, y) (5.6) se numeşte ecuaţia explicită a suprafeţei S. Multi mile compacte din R 3 fiind închise nu pot fi homeomorfe cu un deschis şi deci pentru exemple de suprafeţe compacte nu vom avea niciodată atlase cu o singură parametrizare. Exemplul 5.7 (Sfera unitate) Mulţimea versorilor din spaţiul fizic constituie sfera: S = {P ( r) R; r = }. (5.7) Fie bila deschisă din plan U = {ū R ; ū < } şi atlasul A = {(U, φ),..., (U, 6 φ)} unde: φ(ū) = (u, u, ū ), φ(ū) = (u, u, ū ), 3φ(ū) = (u, ū, u ), 4φ(ū) = (u, ū, u ), 5φ(ū) = ( ū, u, u ), 6φ(ū) = ( ū, u, u ). (5.8)

33 Cursul 5 7 Un calcul imediat arată că (U, a φ; a =,..., 6) sunt parametrizări locale pe S ce acoperă sfera; deci S este suprafaţă regulată. SEMINARUL 5 S5. Pe suprafaţa S considerăm parametrizarea globală r = (u + u, u u, u u ). Se cer: i) coordonatele carteziene ale punctelor P (u =, u = ), P (u =, u = ), ii) să se stabilească dacă punctele P 3 (4,, 3), P 4 (, 4, ) aparţin lui S, iii) ecuaţia implicită şi să se reia punctul anterior. Recunoaşteţi pe S? Rezolvare i) P (3,, ), P (3,, ). ii) P 3 S deoarece sistemul: u + v = 4, u v =, uv = 3 are soluţia u = 3, v =. P 4 / S deoarece sistemul u + v =, u v = 4, uv = este incompatibil. iii) Din ecuaţiile: x = u + v, y = u v rezultă: u = x+y, v = x y şi deci z = 4 (x y ). Prin urmare, avem S : x y 4z = 0 iar cerinţa de la punctul ii) se verifică imediat pentru P 3 respectiv P 4. S este o porţiune de cuadrică. S5. Pe suprafaţa S se dă parametrizarea globală r = (u + v, u v, uv). Să se arate că: i) curbele u = u 0 sunt drepte iar curbele v = v 0 sunt curbe plane, ii) curba u = v este o curbă plană. Rezolvare i) Avem C u0 : r(v) = (u 0 + v, u 0 v, u 0v) care este o dreaptă ce trece prin punctul M 0 (u 0, u 0, 0) şi are vectorul director ā = (,, u 0) 0. Avem C v0 : r(u) = (u + v 0, u v 0, uv 0 ) ce dă d3 r = 0 ceea ce confirmă concluzia. du 3 ii) C u=v : r(u) = (u + u, u u, u ) şi aplicăm acelaşi argument ca mai sus. S5.3 Pe suprafaţa S se consideră parametrizarea globală r = (u + u + v, v + u v, u v). Să se arate că curbele de coordonate sunt curbe plane. Rezolvare Exact ca la problema anterioară. S5.4 Se cere ecuaţia implicită a suprafeţei S având parametrizarea globală r(u, v) = (v cos u, v sin v, v cos u). Rezolvare S : (x y ) = z (x + y ). S5.5 Aceeaşi problemă pentru S cu r(u, v) = (vtgu, vctgu, v). Rezolvare S : z = xy. S este un con. Definiţia 5.8 O suprafaţă S pentru care una din curbele coordonate este o dreaptă (sau segment de dreaptă) se numeşte suprafaţă riglată. Dreapta respectivă o numim generatoarea lui S. Presupunând că C u0 este dreaptă rezultă că o suprafaţă riglată are harta globală: h : φ(u, v) = ā(u) + v b(u); b(u) 0, u (5.9) iar condiţia de imersie este: (ā u + v b u ) b 0. Generatoarea dată de u 0 are ecuaţia: G : r(v) = ā(u 0 ) + v b(u 0 ) (5.0) şi este o dreaptă prin punctul P (ā(u 0 )) având vectorul director b(u 0 ) 0. Definiţia 5.9 Fie suprafaţa riglată S. i) Curba din spaţiu C : r = ā(t) se numeşte curba directoare a lui S. ii) Dacă toate generatoarele trec prin punctul V R 3 spunem că S este un con generalizat cu vârful V. iii) Dacă generatoarele sunt paralele între ele spunem că S este un cilindru generalizat. Dacă b(u) = u b 0 cu b 0 0 şi u 0 rezultă că avem cilindru generalizat. Condiţia de imersie revine atunci la ā u b 0 0 adică ā u trebuie să fie mereu necoliniar cu b 0.

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx +

avem V ç,, unde D = b 4ac este discriminantul ecuaţiei de gradul al doilea ax 2 + bx + Corina şi Cătălin Minescu 1 Determinarea funcţiei de gradul al doilea când se cunosc puncte de pe grafic, coordonatele vârfului, intersecţii cu axele de coordonate, puncte de extrem, etc. Probleme de arii.

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. <

1. Scrieti in casetele numerele log 7 8 si ln 8 astfel incat inegalitatea obtinuta sa fie adevarata. < Copyright c 009 NG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 17 iunie

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

3. Vectori şi valori proprii

3. Vectori şi valori proprii Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau

Διαβάστε περισσότερα

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate.

Timp alocat: 180 minute. In itemii 1-4 completati casetele libere, astfel incat propozitiile obtinute sa fie adevarate. Copyright c 009 ONG TCV Scoala Virtuala a Tanarului Matematician 1 Ministerul Educatiei si Tineretului al Republicii Moldova Agentia de Evaluare si Examinare Examenul de bacalaureat la matematica, 15 iunie

Διαβάστε περισσότερα

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36

4 Funcţii continue Derivate parţiale, diferenţială Extremele funcţiilor, formule Taylor Serii numerice Integrale improprii 36 Prefaţă Cartea de faţă a fost elaborată în cadrul proiectului Formarea cadrelor didactice universitare şi a studenţilor în domeniul utilizării unor instrumente moderne de predare-învăţare-evaluare pentru

Διαβάστε περισσότερα

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII

Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Modulul 1 MULŢIMI, RELAŢII, FUNCŢII Subiecte : 1. Proprietăţile mulţimilor. Mulţimi numerice importante. 2. Relaţii binare. Relaţii de ordine. Relaţii de echivalenţă. 3. Imagini directe şi imagini inverse

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs

Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor. Note de curs Aritmetică în domenii de integritate şi teoria modulelor Note de curs În prima parte a cursului, vom prezenta câteva clase remarcabile de domenii de integritate şi legăturile dintre acestea A doua parte

Διαβάστε περισσότερα

Structura matematicii

Structura matematicii Structura matematicii Oana Constantinescu March 21, 2014 Contents 1 Teorie deductiva. Generalitati 1 2 Geometria plana bazata pe notiunea de distanta 4 2.1 Motivatie............................... 4 2.2

Διαβάστε περισσότερα

2 Variabile aleatoare

2 Variabile aleatoare Variabile aleatoare În practică, variabilele aleatoare apar ca funcţii ce depind de rezultatul efectuării unui anumit experiment. Spre exemplu, la aruncarea a două zaruri, suma numerelor obţinute este

Διαβάστε περισσότερα

Tehnici de Optimizare

Tehnici de Optimizare Tehnici de Optimizare Cristian OARA Facultatea de Automatica si Calculatoare Universitatea Politehnica Bucuresti Fax: + 40 1 3234 234 Email: oara@riccati.pub.ro URL: http://riccati.pub.ro Tehnici de Optimizare

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache

PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ. Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache PROBLEME PENTRU EXAMENUL DE ANALIZĂ MATEMATICĂ Radu Gologan, Tania-Luminiţa Costache 2 * Prefaţă Textul de faţă este construit pe scheletul subiectelor date la examenul de Analiză Matematică în perioada

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB

MATEMATICI SPECIALE. Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU. Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB MATEMATICI SPECIALE Viorel PETREHUŞ, Narcisa TEODORESCU Lecţii introductive pentru studenţii din anul al 2-lea din cadrul UTCB Mai există erori care vor fi corectate în versiunea finală) Capitolul Introducere

Διαβάστε περισσότερα

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica

Capitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport

Διαβάστε περισσότερα

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg

Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Seria Balmer. Determinarea constantei lui Rydberg Obiectivele lucrarii analiza spectrului in vizibil emis de atomii de hidrogen si determinarea lungimii de unda a liniilor serie Balmer; determinarea constantei

Διαβάστε περισσότερα

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală

Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală Laborator 3 Calculul funcţiilor de matrice Exponenţiala matriceală 3.1 Tema Înţelegerea conceptului de funcţie de matrice şi însuşirea principalelor metode şi algoritmi de calcul al funcţilor de matrice.

Διαβάστε περισσότερα

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: (

( ) Recapitulare formule de calcul puteri ale numărului 10 = Problema 1. Să se calculeze: Rezolvare: ( Exemple e probleme rezolvate pentru curs 0 DEEA Recapitulare formule e calcul puteri ale numărului 0 n m n+ m 0 = 0 n n m =0 m 0 0 n m n m ( ) n = 0 =0 0 0 n Problema. Să se calculeze: a. 0 9 0 b. ( 0

Διαβάστε περισσότερα

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A

Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M2 CLASA A XI-A Marius Burtea Georgeta Burtea REZOLVAREA PROBLEMELOR DIN MANUALUL DE MATEMATIC~ M CLASA A XI-A Filiera teoretic`, profilul real, specializarea ]tiin\ele naturii (TC + CD) Filiera tehnologic`, toate calific`rile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 6 DINAMICA FRÂNĂRII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI 61 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOVEHICULULUI FRÂNAT Se consideră un autovehicul care se deplasează cu viteză variabilă pe un drum cu

Διαβάστε περισσότερα

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016

APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR. Călinici Tudor 2016 APLICAȚIILE MEDICALE ALE CALCULULUI PROBABILITĂŢILOR Călinici Tudor 2016 OBIECTIVE EDUCAŢIONALE Prezentarea conceptelor fundamentale ale teoriei calculului probabilitaţilor Evenimente independente Probabilități

Διαβάστε περισσότερα

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare..

Figura 1. Caracteristica de funcţionare a modelului liniar pe porţiuni al diodei semiconductoare.. I. Modelarea funcţionării diodei semiconductoare prin modele liniare pe porţiuni În modelul liniar al diodei semiconductoare, se ţine cont de comportamentul acesteia atât în regiunea de conducţie inversă,

Διαβάστε περισσότερα

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva

Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Verificarea ipotezelor statistice 1 de I.Văduva Notaţii si noţiuni preliminare Variabila aleatoare: X,Y,U,V,etc., descrisă de funcţie de repartiţie. Variabila aleatoare este asaociată unei populaţii statistice;

Διαβάστε περισσότερα

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2

F (x) = kx. F (x )dx. F = kx. U(x) = U(0) kx2 F (x) = kx x k F = F (x) U(0) U(x) = x F = kx 0 F (x )dx U(x) = U(0) + 1 2 kx2 x U(0) = 0 U(x) = 1 2 kx2 U(x) x 0 = 0 x 1 U(x) U(0) + U (0) x + 1 2 U (0) x 2 U (0) = 0 U(x) U(0) + 1 2 U (0) x 2 U(0) =

Διαβάστε περισσότερα

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP)

Seminar electricitate. Seminar electricitate (AP) Seminar electricitate Structura atomului Particulele elementare sarcini elementare Protonii sarcini elementare pozitive Electronii sarcini elementare negative Atomii neutri dpdv electric nr. protoni =

Διαβάστε περισσότερα

Circuite cu diode în conducţie permanentă

Circuite cu diode în conducţie permanentă Circuite cu diode în conducţie permanentă Curentul prin diodă şi tensiunea pe diodă sunt legate prin ecuaţia de funcţionare a diodei o cădere de tensiune pe diodă determină valoarea curentului prin ea

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n.

Seminar 3. Serii. Probleme rezolvate. 1 n . 7. Problema 3.2. Să se studieze natura seriei n 1. Soluţie 3.1. Avem inegalitatea. u n = 1 n 7. = v n. Semir 3 Serii Probleme rezolvte Problem 3 Să se studieze tur seriei Soluţie 3 Avem ieglitte = ) u = ) ) = v, Seri = v este covergetă fiid o serie geometrică cu rţi q = < Pe bz criteriului de comprţie cu

Διαβάστε περισσότερα

L A TEX 2ε. mathematica 5.2

L A TEX 2ε. mathematica 5.2 Διδασκων: Τσαπογας Γεωργιος Διαφορικη Γεωμετρια Προχειρες Σημειωσεις Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Τμήμα Μαθηματικών Σάμος Εαρινό Εξάμηνο 2005 στοιχεοθεσια : Ξενιτιδης Κλεανθης L A TEX 2ε σχεδια : Dia mathematica

Διαβάστε περισσότερα

11.2 CIRCUITE PENTRU FORMAREA IMPULSURILOR Metoda formării impulsurilor se bazează pe obţinerea unei succesiuni periodice de impulsuri, plecând de la semnale periodice de altă formă, de obicei sinusoidale.

Διαβάστε περισσότερα

Electronică Analogică. Redresoare -2-

Electronică Analogică. Redresoare -2- Electronică Analogică Redresoare -2- 1.2.4. Redresor monoalternanţă comandat. În loc de diodă, se foloseşte un tiristor sau un triac pentru a conduce, tirisorul are nevoie de tensiune anodică pozitivă

Διαβάστε περισσότερα

Exercitii : Lecţia 1,2,3

Exercitii : Lecţia 1,2,3 Exercitii : Lecţia 1,2,3 1.Notarea câmpurilor Tabla de şah are 64 de pătrăţele numite câmpuri. Fiecare câmp poate fi identificat de coloana şi linia pe care se află, orice câmp se află la intersecţia dintre

Διαβάστε περισσότερα

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element.

De exemplu multimea oamenilor care cintaresc de kg nu are nici un element. 1.Multimi Definitie Multimea este o colectie de obiecte/simboluri. Fiecare obiect dintr-o multime este un element al multimii si este scris/specificat o singura data. Mutimile se noteaza, de obicei cu

Διαβάστε περισσότερα

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie

Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Biofizică Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Capitolul II. Elemente de mecanică şi aplicaţii în biologie Acest capitol are drept scop familiarizarea cititorului cu cele mai importante noţiuni

Διαβάστε περισσότερα

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg

CURSUL AL IV-LEA. Tabelul 1 Greutatea corporală a 1014 pacienţi cu diferite afecţiuni, pe clase din 5kg în 5kg CURSUL AL IV-LEA 1 Reprezentarea grafică a datelor statistice - Consideraţii generale Sunt două metode de bază în statistică: numerică şi grafică. Folosind metoda numerică putem calcula statistici ca media

Διαβάστε περισσότερα

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii.

COPYRIGHT c 1997, Editura Tehnică Toate drepturile asupra ediţiei tipărite sunt rezervate editurii. FitVisible Aceasta este versiunea electronică a cărţii Metode Numerice publicată de Editura Tehnică. Cartea a fost culeasă folosind sistemul L A TEX a lui Leslie Lamport, o extindere a programului TEX

Διαβάστε περισσότερα

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή

Προσωπική Αλληλογραφία Επιστολή - Διεύθυνση Andreea Popescu Str. Reşiţa, nr. 4, bloc M6, sc. A, ap. 12. Turnu Măgurele Jud. Teleorman 06102. România. Ελληνική γραφή διεύθυνσης: Όνομα Παραλήπτη Όνομα και νούμερο οδού Ταχυδρομικός κώδικας,

Διαβάστε περισσότερα

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE

1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE 1. REZISTOARE 1.1. GENERALITĂŢI PRIVIND REZISTOARELE DEFINIŢIE. UNITĂŢI DE MĂSURĂ. PARAMETRII ELECTRICI SPECIFICI REZISTOARELOR SIMBOLURILE REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR MARCARE DIRECTĂ PRIN

Διαβάστε περισσότερα

!"#$ % &# &%#'()(! $ * +

!#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + ,!"#$ % &# &%#'()(! $ * + 6 7 57 : - - / :!", # $ % & :'!(), 5 ( -, * + :! ",, # $ %, ) #, '(#,!# $$,',#-, 4 "- /,#-," -$ '# &",,#- "-&)'#45)')6 5! 6 5 4 "- /,#-7 ",',8##! -#9,!"))

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs

DESEN TEHNIC. Suport electronic de curs DESEN TEHNIC Suport electronic de curs 2011 CUPRINS 1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE. STANDARDE GENERALE UTILIZATE ÎN DESENUL TEHNIC 1.1. NOŢIUNI INTRODUCTIVE 1.1.1.Scopul, obiectul şi importanţa desenului tehnic

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes

Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar Caracteristici statice Determinarea unor parametri de interes Lucrarea Nr. 7 Tranzistorul bipolar aracteristici statice Determinarea unor parametri de interes A.Scopul lucrării - Determinarea experimentală a plajei mărimilor eletrice de la terminale în care T real

Διαβάστε περισσότερα

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII

LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII LUCRAREA NR. 9 STUDIUL POLARIZĂRII ROTATORII A LUMINII Tema lucrării: 1) Determinarea puterii rotatorii specifice a zahărului 2) Determinarea concentraţiei unei soluţii de zahăr 3) Determinarea dispersiei

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU

AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU Cuprins CAPITOLUL 4 AMPLIFICATORUL OPERAŢIONAL REAL - EFECTE DE CURENT CONTINUU...38 4. Introducere...38 4.2 Modelul la foarte joasă frecvenţă al amplficatorului operaţional...38 4.3 Amplificatorul neinversor.

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I.

ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru examenul licenţă, manual valabil începând cu sesiunea iulie 2013 Specializarea Matematică informatică coordonator: Dorel I. ANALIZĂ MATEMATICĂ pentru exmenul licenţă, mnul vlbil începând cu sesiune iulie 23 Specilizre Mtemtică informtică coordontor: Dorel I. Duc Cuprins Cpitolul. Serii de numere rele. Noţiuni generle 2. Serii

Διαβάστε περισσότερα

11.3 CIRCUITE PENTRU GENERAREA IMPULSURILOR CIRCUITE BASCULANTE Circuitele basculante sunt circuite electronice prevăzute cu o buclă de reacţie pozitivă, folosite la generarea impulsurilor. Aceste circuite

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG

DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICA ATOMICA SI FIZICA NUCLEARA BN-03A DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG DETERMINAREA CONSTANTEI RYDBERG. Scopul lucrării Determinarea

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3

Continue. Answer: a. 0,25 b. 0,15 c. 0,1 d. 0,2 e. 0,3. Answer: a. 0,1 b. 0,25 c. 0,17 d. 0,02 e. 0,3 Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a VII-a Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a VII-a» Attempt 1 1 Pentru a deplasa uniform pe orizontala un corp de masa m = 18 kg se actioneaza asupra lui

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Electronică - Probleme Capitolul Diode semiconductoare 3. În fig. 3 este preentat un filtru utiliat după un redresor bialternanţă. La bornele condensatorului

Διαβάστε περισσότερα

Coduri grup - coduri Hamming

Coduri grup - coduri Hamming Capitolul 5 Coduri grup - coduri Hamming 5. Breviar teoretic Dacăîn capitolul precedent s-a pus problema codării surselor pentru eficientiezarea unei transmisiuni ce se presupunea a nu fi perturbată de

Διαβάστε περισσότερα

Tema: şiruri de funcţii

Tema: şiruri de funcţii Tem: şiruri de fucţii. Clculţi limit (simplă) şirului de fucţii f : [ 0,], f ( ) R Avem lim f ( 0) = ir petru 0, vem lim f ( ) Î cocluzie, dcă otăm f: [ 0, ], f ( ) =, = 0 =, 0 + + = +, tuci lim f f =..

Διαβάστε περισσότερα

Proiectarea unui amplificator

Proiectarea unui amplificator Proiectarea unui amplificator sl. dr. Radu Damian Notă importantă. În acest document nu există "informaţia magică" ascunsă în două rânduri de la mijlocul documentului. Trebuie parcurs pas cu pas fără a

Διαβάστε περισσότερα

Tema I FORMAREA IMAGINII

Tema I FORMAREA IMAGINII Tema I FORMAREA IMAGINII Nevoia de imagini a omului modern creste de la zi la zi. In general, functiile imaginilor sunt urmatoarele : - functia documentara - prezinta concret, imaginea unor termeni si

Διαβάστε περισσότερα

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE

4. POLARIZAREA TRANZISTOARELOR BIPOLARE 4 POLAZAA ANZSOALO POLA ircuitul de polarizare are rolul de a poziţiona într-un punct de pe caracteristica statică, numit Punct Static de uncţionare (PS) ezultă că circuitul de polarizare trebuie să asigure

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN

AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN AMPLIFICATOR CU TRANZISTOR BIPOLAR ÎN CONEXIUNE CU EMITORUL COMUN Montajul Experimental În laborator este realizat un amplificator cu tranzistor bipolar în conexiune cu emitorul comun (E.C.) cu o singură

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1 Introducere în MATLAB

Laborator 1 Introducere în MATLAB MATLAB este unul dintre cele mai răspândite programe, în special în teoria reglării automate, pentru calculul ştiinţific şi numeric. Pe lângă calculul efectiv, MATLAB oferă şi posibilităţi de reprezentare

Διαβάστε περισσότερα

1. Elemente de bază ale conducţiei termice

1. Elemente de bază ale conducţiei termice 1. 1.1 Ecuaţiile diferenţiale ale conducţiei termice Calculul proceselor de schimb de căldură necesită cunoaşterea distribuţiei temperaturii în spaţiu şi timp. Distribuţia temperaturii se obţine prin rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

PROBLEME DE ELECTRICITATE

PROBLEME DE ELECTRICITATE PROBLEME DE ELECTRICITATE 1. Două becuri B 1 şi B 2 au fost construite pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 100 V, iar un al treilea bec B 3 pentru a funcţiona normal la o tensiune U = 200 V. Puterile

Διαβάστε περισσότερα

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21

m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 m 1, m 2 F 12, F 21 F12 = F 21 r 1, r 2 r = r 1 r 2 = r 1 r 2 ê r = rê r F 12 = f(r)ê r F 21 = f(r)ê r f(r) f(r) < 0 f(r) > 0 m 1 r1 = f(r)ê r m 2 r2 = f(r)ê r r = r 1 r 2 r 1 = 1 m 1 f(r)ê r r 2 = 1 m

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI

Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOVEHICULELOR CU ROŢI Capitolul 5 DINAMICA TRACŢIUNII AUTOEHICULELOR CU ROŢI 5.1 ECUAŢIA GENERALĂ A MIŞCĂRII RECTILINII A AUTOEHICULELOR ŞI CONDIŢIA DE ÎNAINTARE A ACESTORA Se consideră cazul general al unui autovehicul care

Διαβάστε περισσότερα

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ

PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ 1. LIMBA ENGLEZĂ PROGRAMELE DISCIPLINELOR PENTRU CONCURSUL DE ADMITERE LA STUDIILE UNIVERSITARE DE LICENŢĂ Anexa nr. 2 Extras din Metodologia organizării şi desfăşurării admiterii în Academia Forţelor Terestre Nicolae

Διαβάστε περισσότερα

B G [0; 1) S S # S y 1 ; y 3 0 t 20 y 2 ; y 4 0 t 20 y 1 y 2 h n t: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 1; 3: r = 10 5 ; a = 10 6 ei n = ỹi n y i t n ); i = 2; 4: r = 10 5 ; a = 10 6 t = 20

Διαβάστε περισσότερα

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI

2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2. NOŢIUNI SUMARE ASUPRA DEPLASĂRII AUTOMOBILULUI 2.1. Consideraţii generale Utilizarea automobilului constă în transportul pe drumuri al pasagerilor, încărcăturilor sau al utilajului special montat pe

Διαβάστε περισσότερα

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive

Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive Inițiere în simularea circuitelor electronice pasive 1. Scopul lucrării: Iniţierea studenţilor cu proiectarea asistată de calculator (CAD) a unei scheme electrice în vederea simulării funcţionării acesteia;

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - notiţe de curs

Statisticǎ - notiţe de curs Statisticǎ - notiţe de curs Ştefan Balint, Loredana Tǎnasie Cuprins 1 Ce este statistica? 3 2 Noţiuni de bazǎ 5 3 Colectarea datelor 7 4 Determinarea frecvenţei şi gruparea datelor 11 5 Prezentarea datelor

Διαβάστε περισσότερα

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2

i R i Z D 1 Fig. 1 T 1 Fig. 2 TABILIZATOAE DE TENINE ELECTONICĂ Lucrarea nr. 5 TABILIZATOAE DE TENINE 1. copurile lucrării: - studiul dependenţei dintre tensiunea stabilizată şi cea de intrare sau curentul de sarcină pentru stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã

Emil Budescu. BIOMECANICA GENERALã Emil Budescu BIOMECANICA GENERALã IASI 03 C U P R I N S pag. I. Introducere în biomecanica 3. Obiectul de studiu 3. Terminologie 7 3. Aspecte de baza ale biomecanicii 4. Aspecte de baza ale anatomiei si

Διαβάστε περισσότερα

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII

AMPLIFICATOARE DE MĂSURARE. APLICAŢII CAPITOLL 4 AMPLIFICATOAE DE MĂSAE. APLICAŢII 4.. Noţiuni fundamentale n amplificator este privit ca un cuadripol. Dacă mărimea de ieşire este de A ori mărimea de intrare, unde A este o constantă numită

Διαβάστε περισσότερα

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE

STABILIZATOARE DE TENSIUNE REALIZATE CU CIRCUITE INTEGRATE ANALOGICE Cuprins CAPITOLL 8 STABILIZATOARE DE TENSINE REALIZATE C CIRCITE INTEGRATE ANALOGICE...220 8.1 Introducere...220 8.2 Stabilizatoare de tensiune realizate cu amplificatoare operaţionale...221 8.3 Stabilizatoare

Διαβάστε περισσότερα

De la problemă la algoritm

De la problemă la algoritm De la problemă la algoritm Procesul dezvoltării unui algoritm, pornind de la specificaţia unei probleme, impune atât verificarea corectitudinii şi analiza detaliată a complexităţii algoritmului, cât şi

Διαβάστε περισσότερα

OSCILOSCOPUL ANALOGIC

OSCILOSCOPUL ANALOGIC OSCILOSCOPUL ANALOGIC 1. Scopul aplicaţiei Se urmăreşte studierea osciloscopului analogic HM303-6 al firmei germane HAMEG. Lucrarea prezintă principiul de funcţionare al osciloscopului la nivel de schemă

Διαβάστε περισσότερα

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1.

Continue. Answer: a. Logout. e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1. 1 of 2 4/14/ :27 PM. Marks: 0/1. Concurs Phi: Setul 1 - Clasa a X-a 1 of 2 4/14/2008 12:27 PM Logout e-desc» Concurs Phi» Quizzes» Setul 1 - Clasa a X-a» Attempt 1 1 Un termometru cu lichid este gradat intr-o scara de temperatura liniara,

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ

DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ DESEN TEHNIC GEOMETRIE DESCRIPTIVĂ CUPRINS PARTEA I - NOTIUNI GENERALE DE DESEN TEHNIC CAPITOLUL 1 INFORMAŢII TRANSMISE PRIN INTERMEDIUL DESENULUI TEHNIC CAPITOLUL 2 REPREZENTAREA PIESELOR ÎN PROIECŢIE

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu

Clasa a X-a, Producerea si utilizarea curentului electric continuu 1. Ce se întămplă cu numărul de electroni transportaţi pe secundă prin secţiunea unui conductor de cupru, legat la o sursă cu rezistenta internă neglijabilă dacă: a. dublăm tensiunea la capetele lui? b.

Διαβάστε περισσότερα

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice -

DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - UNIVERSITATEA din BACĂU FACULTATEA DE INGINERIE FLORIN MACARIE IONEL OLARU DESEN TEHNIC - Note de curs şi aplicaţii practice - EDITURA ALMA MATER BACĂU 2007 1 Cuprins Capitolul 1. Norme generale de desen

Διαβάστε περισσότερα

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru

PROIECT ECONOMETRIE. Profesori coordinatori: Liviu-Stelian Begu și Smaranda Cimpoeru PROIECT ECONOMETRIE Profesori coordinatori: LiviuStelian Begu și Smaranda Cimpoeru Proiect realizat de?, grupa?, seria? FACULTATEA DE RELAȚII ECONOMICE INTERNAȚIONALE, ASE, BUCUREȘTI 2015 CUPRINS Înregistrați

Διαβάστε περισσότερα

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI

PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI PROCESE TEHNOLOGICE ȘI PROTECȚIA MEDIULUI Tema 3. Distilarea și extracția. Obiectivele cursului: În cadrul acestei teme vor fi discutate următoarele subiecte: - operația unitară de concentrare a amestecurilor

Διαβάστε περισσότερα

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3

A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC

STUDIUL SI VERIFICAREA UNUI MULTIMETRU NUMERIC Lucrarea nr. 3 STDIL SI VERIFICAREA NI MLTIMETR NMERIC I. INTRODCERE Aparatele de măsurare de tip multimetru permit măsurarea mărimilor electrice cele mai uzuale: tensiune, curent, rezistenţă. Primele

Διαβάστε περισσότερα

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά

ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ. 2. Τακτικά αριθμητικά ΤΑ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΑ Σύμφωνα με τη Γραμματική της Ρουμανικής Γλώσσας, τα αριθμητικά διακρίνονται σε: 1. Απόλυτα αριθμητικά α. Απλά: unu, doi, trei... (ένα, δύο, τρία) κ.λπ. β. Σύνθετα: doisprezece, treizeci...

Διαβάστε περισσότερα

γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t

γ γ(t) x 2 + y2 tan t. , et e t a 2 t +e t Εισαγωγή στη Διαφορική Γεωμετρία Καμπυλών και Επιφανειών Σημειώσεις παραδόσεων εαρινού εξαμήνου 011-01 Αντώνιος Μελάς Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα 013 Περιεχόμενα 1 Καμπύλες 1 1.1 Καμπύλες

Διαβάστε περισσότερα

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE

ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE ECHIPAMENTE NUMERICE AVANSATE IN SISTEME ELECTROMECANICE STRUCTURA SI FUNCTIILE COMENZII NUMERICE ELEMENTE DE PROGRAMARE A CN ENA_SEM - Curs 2 1 FUNCTIILE COMENZII NUMERICE Realizarea unor traiectorii

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI

Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI Lucrarea 18 133 Lucrarea 18 CIRCUITE DE ADAPTARE PE IMAGINI 18.A. OBIECTIVE 1. Studiul adaptării prin circuite în T. 2. Studiul comportării în frecvenţă a adaptorilor în T. 18.B. CONSIDERAŢII TEORETICE

Διαβάστε περισσότερα

a; b 2 R; a < b; f : [a; b] R! R y 2 R: y : [a; b]! R; ( y (t) = f t; y(t) ; a t b; y(a) = y : f (t; y) 2 [a; b]r: f 2 C ([a; b]r): y 2 C [a; b]; y(a) = y ; f y ỹ ỹ y ; jy ỹ j ky ỹk [a; b]; f y; ( y (t)

Διαβάστε περισσότερα

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033

Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033 Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische

Διαβάστε περισσότερα

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric

Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Test de evaluare Măsurarea tensiunii şi intensităţii curentului electric Subiectul I Pentru fiecare dintre cerinţele de mai jos scrieţi pe foaia de examen, litera corespunzătoare răspunsului corect. 1.

Διαβάστε περισσότερα

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR

Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR Universitatea de Vest din Timişoara Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ METODE NUMERICE PROBLEME DE SEMINAR ŞI LUCRǍRI DE LABORATOR Simina Mariş Liliana Brǎescu Timişoara 007 Introducere Procesul de

Διαβάστε περισσότερα

Statisticǎ - exerciţii

Statisticǎ - exerciţii Statisticǎ - exerciţii Ştefan Balint, Tǎnasie Loredana 1 Noţiuni de bazǎ Exerciţiu 1.1. Presupuneţi cǎ lucraţi pentru o firmǎ de sondare a opiniei publice şi doriţi sǎ estimaţi proporţia cetǎţenilor care,

Διαβάστε περισσότερα

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1)

ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE. Note de curs. (draft v1.1) ALGORITMI ŞI STRUCTURI DE DATE Note de curs (draft v1.1) Prefaţă Când dorim să reprezentăm obiectele din lumea reală într-un program pe calculator, trebuie să avem în vedere: modelarea obiectelor din

Διαβάστε περισσότερα

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu

formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Desen tehnic Noţiuni generale formate, elemente grafice, linii, scrierea, indicatorul şi tabelul de componenţă desenul de ansamblu Reprezentarea pieselor în proiecţie ortogonală reprezentarea în vedere,

Διαβάστε περισσότερα

prof. Busuioc Gianina Elena

prof. Busuioc Gianina Elena Şcoala Gimnazială Nr. 6 Vaslui prof. Busuioc Gianina Elena 1 La realizarea acestui proiect au colaborat elevii: Baciu Dragoş, Barbu Călina, Burdujanu Robert, Cobzaru Albert, Epure Mălina, Fuşneică Angel,

Διαβάστε περισσότερα

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic.

LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. PRELUCRARI DE DATE CU PROGRAMUL MICROSOFT EXCEL LANSAREA PROGRAMULUI Executati clic pe butonul Start, mergeti cu mouse-ul pe Programs, pozitionati-va pe Microsoft Excel si faceti clic. Lansati programul

Διαβάστε περισσότερα

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI

STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI REACŢIA CHIMICĂ STUDIUL COMPARATIV AL CURBELOR DE TITRARE A UNOR ACIZI Reacţia de titrare a unui acid tare respectiv a unui acid slab (notat în general HA) cu o bază tare se reprezintă prin echilibrul:

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Περιγραφή της Κίνησης. 2.1 Κίνηση στο Επίπεδο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Περιγραφή της Κίνησης Στο κεφάλαιο αυτό θα δείξουμε πώς να προγραμματίσουμε απλές εξισώσεις τροχιάς ενός σωματιδίου και πώς να κάνουμε βασική ανάλυση των αριθμητικών αποτελεσμάτων. Χρησιμοποιούμε

Διαβάστε περισσότερα

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului

4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4 Metode clasice de planificare şi control a activităţilor şi resurselor proiectului 4.1 Metoda Drumului Critic (C.P.M. Critical Path Metod) 4.1.1 Consideraţii generale Metodele şi tehnicile utilizate

Διαβάστε περισσότερα

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k.

σ (9) = i + j + 3 k, σ (9) = 1 6 k. Ασκήσεις από το Διανυσματικός Λογισμός των Marsden - romba και από το alculus του Apostol. 1. Βρείτε τα διανύσματα της ταχύτητας και της επιτάχυνσης και την εξίσωση της εφαπτομένης για κάθε μία από τις

Διαβάστε περισσότερα

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)

ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA) ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.

Διαβάστε περισσότερα

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru

ARHETIPURI 1. de Corrado Malanga. Traducere în limba română de Alexandra Blănaru ARHETIPURI 1 de Corrado Malanga Traducere în limba română de Alexandra Blănaru Prefață De obicei nu îmi încep scrierile cu prefețe inutile, dar în acest caz trebuie să-l lămuresc pe cititor cu privire

Διαβάστε περισσότερα