KONKURENČNE PREDNOSTI UVAJANJA TRIGONIRJA V UČNI PROCES MATEMATIKE IN FIZIKE

Transcript

1 KONKURENČNE PREDNOSTI UVAJANJA TRIGONIRJA V UČNI PROCES MATEMATIKE IN FIZIKE. Trignir prinaša nv, kreativen, zanimiv in učinkvit pristp pri analiziranju in uprabi ktnih funkcij, s katerim ktne funkcije pstajaj razumljive prav vsem dijakm, tudi tistim, ki ne ljubij matematike. Trignir sestavljata dve medsebjn pvezani in gibljivi plastični plšči. Na spdnji plšči s narisani entska kržnica, kti d 0 0 d 60 0, tangensna in ctangensna s ter vpisane vrednsti ktnih funkcij za snvne kte. Z rdeč barv s pudarjene negativne vrednsti ktnih funkcij. Na przrni zgrnji plšči je narisana sam ena s, s pmčj katere se b premikanju plšče nat dčitavaj različne lastnsti ktnih funkcij.. S Trignirjem pstaja učenje ktnih funkcij zanimiv in privlačn tak za učitelja kt za dijaka. S Trignirjem ktne funkcije pstajaj dijaku razumljiv in bvladljiv pdrčje: S Trignirjem si dijaki knčn lahk zel plastn predstavljaj dvisnst naravnih vrednsti d ktnih funkcij psameznega kta; Trignir vključuje frmule in vrednsti ktnih funkcij in se jih ni ptrebn učiti»na pamet«; Z enim samim premikm zgrnje plšče na Trignirju dijak istčasn ugtvi štiri vrednsti izbranega kta: vrednsti za sinus, csinus in tangens, ter tudi za ctangens, ki ga kalkulatr splh ne pzna; S sam štirimi premiki zgrnje plšče na Trignirju dijak ugtvi ključne tčke, s pmčj katerih lahk nariše graf izbrane ktne funkcije; S Trignirjem v istem času pvprečen dijak reši velik več prblemskih nalg s pdrčja ktnih funkcij kt z pmčj stalih znanih pripmčkv (kalkulatrja,»na pamet«pznavanja vrednsti funkcij psameznih ktv).

2 IZBRANI PRIMERI IZRAČUNOV KOTNIH FUNKCIJ BREZ IN Z TRIGONIRJEM PRIMER : DOLOČIMO VREDNOST KOTNIH FUNKCIJ ZA KOT 0º Za vsak funkcij psebej s kalkulatrjem dlčim vrednsti: sin0 = 0,5 cs0 tan0 = 0, = 0, Vrednsti funkcije ctangens ne mrem dlčiti, ker je na kalkulatrju ni. Zat si pmagam tak, da uprabim pvezav med funkcijami tangens in ctangens: ct 0 = = =,7... tan0 0,577 Dbili sm približne vrednsti ktnih funkcij, prabili pa velik časa. Če pa hčem dlčiti natančne vrednsti, ptem mram vrednsti ktnih funkcij za različne kte iz spdnje preglednice znati»na pamet«: 0º 0º 6 45º 4 60º 90º 80º 70º 60º sinα csα 0-0 tanα ctα 0 0 B/ IZRAČUN S TRIGONIRJEM Enstavn! Premičn s nastavim na kt 0º, kt kaže slika, in z en ptez hkrati dlčim vrednst za vse štiri funkcije.

3 (ctg α) (cs α) (sin α ) / 90 y 70 / / / (tg α ) (tg α ) / (ctg α) (cs α) sin 0 = cs 0 = tan 0 = ct 0 = ( vrednst dčitam na y-si) (vrednst dčitam na - si) (vrednst dčitam na tangesni si) (vrednst dčitam na ctangesni si) (sin α ) TRIGONIR PRIMER. DOLOČIMO NATANČNO VREDNOST FUNKCIJE SINUS ZA KOT 5º Na vlj imam na dva načina:. način: uprabim frmul: ( α + β ) = sinα cs β csα sin β sin + sin 5 = sin ( ) = sin90 cs45 + cs90 sin 45 = = + 0 =. način: Uprabim prv frmul iz spdnje skupine frmul, da prevedem kt v stri kt, ter nat dlčim vrednst ktne funkcije: sin cs tan ct ( α ) = sinα ( α ) = csα ( α ) = tanα ( α ) = ctα sin( + α ) = sinα cs( + α ) = csα tan( + α ) = tanα ct( + α ) = ctα sin( α ) = sinα cs( α ) = csα tan( α ) = tanα ct( α ) = ctα ( 5 ) sin 5 = sin 80 = sin 45 =

4 B/ IZRAČUN S TRIGONIRJEM Enstavn! Premičn s nastavim na 5º in z en ptez hkrati dlčim vrednst za vse štiri funkcije. Prej uprabljene skupine frmul ne ptrebujem več! PRIMER. REŠIMO TRIGONOMETRIJSKO ENAČBO: sin = Bdisi da bvladam vrednsti iz preglednice iz prvega primera»na pamet«bdisi pa da uprabim kalkulatr, v beh primerih dbim sam en rešitev: =, = + k V praksi pa ima enačba dve rešitvi, tak da se pri utemeljevanju druge rešitve učitelji vedn sčaj s težavami, kak j predstaviti z. utemeljiti, da b dijakm razumljiva in sprejemljiva. B/ IZRAČUN S TRIGONIRJEM Enstavn! Če na y-si piščem vrednst, ptem takj vidim na desni strani (v prvem kvadrantu) prvi pripadajči kt ali 60º, na levi strani (v drugem kvadrantu) pa drugi pripadajči kt ali 0º, trej ni nbenega dvma več, da ima enačba dve rešitvi: =, = + k = = + k

5 PRIMER 4. DOLOČIMO DEFINICIJSKO OBMOČJE (DF) FUNKCIJE TANGENS S POMOČJO TRIGONIRJA A/ KLASIČNO RISANJE - BREZ TRIGONIRJA Znana zadeva knstrukcija grafv ktnih funkcij s pmčj prenašanja razdalj, ki izhajaj iz entske kržnice, je več ali manj blj risanje»na pamet«kt pa»resna matematika«, z večnim prblemm, kak dijakm pjasniti, zakaj tangensa ktv 90º in 70º nista definirana. B/ RISANJE S TRIGONIRJEM S pmčj Trignirja je prenašanje (dčitavanje) razdalj, ki izhajaj iz entske kržnice, precej blj nazrn, psebn, ker s negativne vrednsti značene z rdeč barv. K dijak dlča definicijsk bmčje funkcije tangens s pmčj Trignirja, takj, k premičn s nastavi na 90º, lep vidi, da je ta s vzpredna s tangesn sj (premica, na kateri dlčam tangens). In ker sta vzpredni, trej nimata skupne tčke, kar pmeni, da je vrednst funkcije tangens v tej tčki nesknčna. Tak Trignir plastn pnazarja, da je funkcija tangens definirana za vse kte, razen za kta 90º in 70º, ali matematičn zapisan: Df = R / + k, k Z