Elementi analitičke geometrije u prostoru R 3
|
|
|
- Εύανδρος Κουντουριώτης
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Vldm Tutć Element nltčke geometje u postou R 3 Mste d Nov Sd 00. godn.
2 Sdžj ELEMENTI ANALITIČKE GEOMETRIJE U PROSTORU R 3... SADRŽAJ... Pedgovo...3 Ktk stojsk pegled...4 GLAVA I...5 ALGEBRA VEKTORA...5 Snje odumnje vekto...8 Množenje vekto sklom... Koodntn sstem u postou...8 Koodnte vekto u postou...8 Otogonln pojekj vekto...9 Koodnte vekto kd vekto nje djus vekto...6 Skln povod vekto...7 Vektosk povod vekto...3 Mešovt povod vekto...34 Dvostuk vektosk povod...36 GLAVA II...40 ANALITIČKA GEOMETRIJA U PROSTORU...40 Vekto položj tčke...40 Rstojnje dve tčke...40 Podel duž u dtoj me...4 Rvn...4 Rn ol jednčne vn...4 Nomln vektosk jednčn vn...4 Skln olk jednčne vn...45 Segmentn olk jednčne vn...46 Jednčn vn koj pol ko dtu tčku nomln je n dt vekto...47 Jednčn vn ko t dte tčke...48 Rstojnje tčke od vn...49 Međuson položj dve vn ugo među dve vn...50 Pmen vn...53 Jednčn pve u postou...55 Vektosk olk jednčne pve...55 Pmetsk olk jednčne pve...57 Knončk l skln olk jednčne pve...57 Pv ko pesek dve vn...57 Jednčn pve koj pol ko dve dte tčke...58 Još jedn olk jednčne pve...59 Rstojnje tčke od pve...60 Rstojnje dve pve...6 Ugo među dve pve...63 Međuson odnos pve vn...64 GLAVA III...67 POVRŠI DRUGOG REDA...67 Sfe...67 Elpsod...68 Hpeold...70 Jednogn hpeold Dvogn hpeold... 7 Elptčk pold... 7 Hpeolčk pold Clndčne povš...74 Konusn povš...75 Rotonotn povš...76 LITERATURA...78 FOTOGRAFIJA...79
3 Pedgovo... Ovj mste d je nsto ko pote stlnm stučnm usvšvnjem pteć svetsk tend 3L - long lfe lenng. S oom d nltčku geometju u postou R 3 nsm pohđo u toku edovnh studj n PMF - u u Novom Sdu smostlno sm svldo teoju dtke kosteć nvedenu ltetuu. Nkon dugog d u Sednjoj mšnskoj škol u Novom Sdu u govou s pofesom koj pedju CAD-kompjutesk podžno djnnje jvl se pote penm defnjm teoem nltčke geometje u postou R 3. U modelnju mšnskh element konstukj njvše se koste povš dugog ed konus lnd polod td metod konstuktvne genee elementmsl se n modelnje vjk vtl upčnk. Gdvo u mste du podeljeno je u t poglvlj. Pvo poglvlje sdž osnove vektoske lgee koje se pedju u sednjoj škol. U dugom poglvlju se sstemtsk ođuju defnje teoeme s dokm pvh vnh tčk ko njhovh međusonh odnos. To poglvlje je sključvo ođeno vektoskm nčnom. U tećem poglvlju se ođuju povš dugog ed odgovjuće jednčne koje dodeljujemo dtm povšm. U mste du lgnje teoje ne odstup tno od tdonlnog nčn lgnj. Iuetk čn teoem O ježu pomoću koje dokujem dstutvnost vektoskog povod pem snju koj se u nšoj ltetu dugčje dokuje. Smtm svojom pjtnom dužnošću d se pegled mste d n pmed kosnh sugestj hvlm mentou ovog d pofesou d Snš Cvenkovć. Tkođe se hvljujem pofesom d Zgok Lonov - Cvenkovć d Ljlj Gjć koje su pstle d udu člnov komsje u oen mog d. Nov Sd godne Auto 3
4 Ktk stojsk pegled Anltčk geometj je deo mtemtke koj poučv ptnj u geometj nl veno pmenu sstem koodnt u vn postou. On je kktestčn po svojoj metod. Suštn te metode je u sledećem d se dtm geometjskm ojektm u vn postou posedstvom sstem koodnt koenspodju lgeske jednčne otno. Zhvljujuć unvelnost nčn kojm se u nltčkoj geometj pl ešvnju nh polem metod koodnt fmsl se ko jedno od osnovnh metod u geometjskm stžvnjm pokl se neočno plodotvonom u nm pmenm mtemtke u tehn poseno u mehn tm u f dugm nukm. Pojvom nltčke geometje tj metode koodnt koju je Rene Dekt no svojom Geometjom 637. godnegèomète 637omogućeno je d se lnje povš žvju jednčnm. Dektov pomenljv velčn l je peketn u mtemt. Idej pomenljve velčne tm dej koodnt s jedne ujmne vee geometje lgee odnosno tmetke s duge stne nsu le neponte mtemt pe Dekt. Tko je Pje de Fem pvnk Tulu npso mnj d geometje koj se odnos n jednčne pvh konusnh pesek koj je ojvljen tek 697. godne. Tj d je gledo mnje pkldn od Dektove Geometje je je psn Vjetovom smolkom. Dekt se ukovodo jednostvnm pnpom d ueđenom pu elnh ojev pduž tčku u vn otno d tčk u vn pduž p elnh ojev jednčn F 0 u opštem slučju kvu ko skup tčk u vn. Tko je Dekt postvo pnp koodntne metode. Velk mtemtč Leond Ojle godne ojvljuje knjgu Uvod u nlu eskončnh velčn Intoduto n nlsn nfntoum 748. U pomenutoj knj sptvnje kvh povš pomoću njhovh jednčn se može smtt pvm udženkom nltčke geometje. Ojle ostl nlst XVIII vek gdl su nltčku geometju todmenonlnog posto n genelsnom Dektovom pnpu koodntne metode. Ueđenoj toj elnh ojeve pdužen je tčk u postou otno jednčn F 0 u opštem slučju pdužen je povš ko skup tčk u postou. Žoef Luj Lgnž je Dektov pnp pmeno u mehn tmetjuć mehnčke velčne slu nu unje. N tj nčn je no pojm vekto u todmenonlnom postou ko pojm ueđene tojke elnh ojev. To je lo od dlekosežne tne vžnost vtk teoje vekto njenu genelju n Dektove koodntne metode. Mnoge elje ueđenh tojk elnh ojev kojm se nltčk fomulšu geometjske čnjene očnog todmenonlnog posto ostju u vžnost ond kd se ueđen tojk men ueđenom n - tokom elnh ojev. Idej nltčke geometje dns dožvljv vlo šoke pstktne genelje u funkonlnoj nl kktestčnoj gn modene mtemtke. 4
5 Glv I... Alge vekto U podnm nukm poseno u mtemt f kostmo sklne vektoske tenoske velčne. Sklne velčne su odeđene ojevnom vednošću dok vektoske velčne mju još sme pv. Ueđen p AB vćemo ojentsn duž čj je A početn tčk B všn tčk. P AA vćemo nul p. Nosč ueđenog p tčk AB je pv p koj pol ko tčku A B sl. Slk : Nosč p Pov AB CD su peln ko su njhov nosč plelne pveslk. Slk : Pleln nosč p d 5
6 Ako su AB CD dv pleln p td su on stog sme ko su tčke B D s ste stne pve AC lčtog sme ko su tčke B D s nh stn pve ACslk Slk 3: Ueđen pov stog sme Slk 4: Ueđen pov supotonog sme Defnj. Nek je A B C D. Td je ueđen p AB ekvpolentn ueđenom pu CD kko: Nosč odeđen tčkm AB CD su pleln l se poklpju. Duž [AB] [CD]. Ueđen pov AB CD su stog sme. Ako je AB ekvpolentn s CD to ćemo pst AB CD. Može se dokt sledeć: Teoem. Relj ekvpolentn je elj ekvvlenje u skupu R 6
7 Dok: Refleksvnost-AB AB jeste je je pabpab [AB] [AB] sme je od A pem B Smetčnost- Ako AB CD CD AB. I AB CD pab// pcd [AB] [CD] AB CD su stog sme. Td og smetčnost elje podudno elje plelno dovoljeno je CD AB Tntovnost-nek je AB CD CD EF AB EF. Zog tntvnost elj podudno pleno dojmo d je AB EF. Bnn lj ekvpolenje u skupu R vš ptju n klse ekvvlenj: Svk dv p ste klse su ekvpolentn. Kls svh međusono ekvpotentnh pov nv se sloodn vekto. Sloodn vekto se dje nvođenjem jednog njegovog pedstvnk to jest ojentsnom duž mjuć u vdu d je st vekto dt svkom dugom ojensnom duž koj se ove doj tnsltonm pomenjem. Zto ćemo sloodne vektoe postovećvt s njhovm pedstvnkom. Sloodne vektoe ćemo ončvt umesto AB s AB l.... pedstvljt ojentsnom dužslk 5. Slk 5: Sloodn vekto Nul vekto 0 A A AA. Intentetdužn vekto u on l AB je men oj dužne lo kog njegovog pedstvnk. Intentet nul vekto je nul ntentet jednčnog vekto je jedn. 7
8 Snje odumnje vekto Defnj : Z veko je vekto čj se jedn pedstvnk doj n sledeć nčn: Uoč se jedn pvoljn pedstvnk A B vekto pedstvnk A B vekto čj se početn tčk poklp s všnm tčkom od. Td A C čj se početn tčk poklp s početnom tčkom od všn tčk poklp s všnom tčkom od je pedstvnk vekto sl. 6 Slk 6: Z vekto po pvlu tougl Ako su vekto pedstvljen u položju u kome m se poklpju poče uoč se plelogm kojeg on odeđuju td je vekto pedstvljen ojentsnom djgonlom plelogm čj se početk poklp s jednčkom tčkom vekto slk 7. Slk 7: Z vekto po pvlu plelogm 8
9 Defnj 3: Vekto čj su ntentet pv jednk ntentetu pvu vekto dok mu je sme supotn smeu vekto nv se supotn vekto vektou oeležv se s - slk 8.. Slk 8: Supotn vekto Nek je V skup svh vekto u R 3 td vž: Teoem. Ueđn p V je Aelov gup. Dok: Ztvoenost: V V po defnj snj vekto. Asojtvnost:. Nek je d d d d. Td je d d d d slk 9. Slk 9: Asojtvnost Neutln element 0 0 d Supotn vekto - vektou. Td je e 0. 9
10 f Komuttvnost sled snj dv vekto po pvlu plelogmslk 7.. Z n-vekto... n tkvh d se početn tčk svkog od njh poklp s všnom tčkom pethodnogslk 0. je vekto čj se početn tčk poklp s početnom tčkom pvog vekto všn tčk s všnom tčkom poslednjeg vekto n to je pvlo polgon Defnj 4: Rlk vekto Slk 0: Polgon vekto je vekto slk. Slk : Rlk vekto S slke. se vd d je četvougo OA AB plelogm p je OA ' BA to jest Teoem 3. Rlk dv vekto je jednončno odeđen vekto. 0
11 Dok: Petpostvmo supotno to jest d dv dt vekto postoje dv lčt vekto d d jednk l vekto. d d d d d d Vodeć čun o teoem. mmo: d d d d d 0 d d d d 0 d I pedhodnog sled d d. Množenje vekto sklom Sd ćemo defnst množenje vekto sklomojem. Defnj 5: Pod povodom skl λ 0 vekto 0 u on λ podumev se vekto čj je ntentet λ pv mu je st ko kod vekto smeov vekto λ su st ko je λ > 0 supotn ko je λ < 0. Ako je λ 0 ond je λ 0 tkođe je 0 0. Z množenje vekto sklom vž sledeć teoem: Teoem 4. Z svko V svko α β V vž:. α β α β. α β α β 3. α α α 4. Dok: I defnje 5. neposedno sled d je množenje vekto sklom tvoeno to jest α R V α V. Dokžmo osonu. Ako je α0 l β0 l 0 jednkost je tvjlno dovoljen. Zto petpostvmo d je α 0 β 0 0. Td vekto α β α β mju st ntentet je po defnj 5. vž: α β α β
12 α β α β. Ako su skl α β stog nk td su vekto α β α β ko stog sme. Ako su pk α β lčtog nk td su vekto α β α β stog sme koj je supotn smeu vekto. Dkle vekto α β α β mju st sme pv ntentet p su pem tome jednk. Tko je oson. dokn. Dokžmo osonu. Vekto α β α β mju st pv. Nek su α β stog nk td će vekto α β α β mt st sme. Isptjmo njhove ntentete: α β α β α β α β α β to nč d su ntentet vekto α β α β jednk p vž oson. Nek su sd α β supotnog nk ummo α >0 β < 0 n potpuno st nčn se mt α < 0 β >0. supotnog sme pv m je st. Kko je α >β td je sme vekto α β α β st. Dokžmo d su m ntentet jednk. α β α β α β α β α β α β. Tko d je dokn oson. Td su vekto α β Dokžmo osonu 3. Petpostvmo d je α >0 d pv vekto nsu pleln td konstušmo tuglove Δ ABC Δ ADE tko d ude AB BC AD α DE α slk.. Jsno je d su touglov Δ ABC Δ ADE slčn td su tčke AC E kolnene p vekto AC AE α α ko vekto α mju st pv. Zog α >0 vekto α β α β mju st sme. Dokžmo d mju ste ntentete. Kko je ΔABC Δ ADE AB : AD AC : AE : α : α β α β α to jest α β α / α β α α vekto α β α mju ste ntentete p vž oson 3.
13 Slk : Množenje vekto sklom Ako je α<0 ko pv vekto nsu pleln dok je st smo što će vekto α α β mt smeove supotne od sme vekto slk 3. Slk 3: Kd vekto mju plelne pve slčno se dokuje α>0 odnosno α<0 oson 3. Ako je α0 l 0 l 0 oson 3. je očgledn. Ako je povoljn vekto 0 td se vekto e 0 odeđen ko e 0 nv jednčn vekto l ot vekto. N osnovu teoem T T 4 vž sledeć teoem: Teoem 5. Ueđen tojk V. je vektosk posto nd poljem elnh ojev. 3
14 Defnj 6: Nek je V vektosk posto nd poljem F nek su... n V. Td svk vekto olk α α... α nn gde su α α... α n povoljn skl polj F nv se lnen komnj vekto... n. Defnj 7: Z vektoe... n V kžemo d su lneno vsn ko postoj skup skl α α... α n R tko d je jedn od njh lčt od nule d vž α α... α 0 n n Defnj 8: Z vektoe... n V kžemo d je lneno nevsn ko α α... α n R vž α α... α n n 0 α α... α 0. n Teoem 6. Svk skup vekto među kojm je nul vekto je lneno vsn. Dok: Nek je... n dt skup vekto nek je 0. Td je m p su vekto... n lneno vsn. Teoem 7. Vekto... n su lneno vsn kko {... n} tko d su α α... α α... α nn Dok:... n su lneno vsn α... α n R td je α α... α 0 postoj jedn skl α 0 n n α α... α α α α α α α n... α {... n} tko d α α... α α... α nn α α... α α... α nn 0 postoj jedn skl 0 p su vekto... n lneno vsn. n 4
15 Defnj 9: Z dv ne nul vekto kžemo d su kolnen kko mju st pv. Teoem 8. Dv nenul vekto su kolnen kko postoj λ R λ 0 tko d je λ. Dok: su kolnen Slk 4:Kolnn vekto Nek su stog sme td je d su vekto jednk p λ λ. Ako su vekto supotnog sme td je p λ. Ako je λ ond n osnovu defnje 9. vekto mju st pv to jest pleln su to nč kolnen. Teoem 9. Dv nenul vekto su kolnn kko su lnno vsn. Dok: su kolnn I Teoeme 8. λ R λ 0 tko d je λ λ 0 po defnj 7. vekto su lnno vsn. 5
16 su lneno vsn α β R tkv d je α β 0 β β emo α 0 p λ 0 tko d je α α λ td su po Teoem 8. vekto kolnen. Defnj 0: Z t vše vekto kžemo d su komplnn ko postoj vn tko d nosč th vekto udu pleln toj vn. Nek su t komplnn vekto tnsljmo h u jednčku tčku Oslk 5. Slk 5: Komplnn vekto Petpostvmo d vekto nsu kolnen. Ko tčku Cvšnu tčku vekto povučemo plele s pvm vekto pesečne tčke oeležmo s A Bslk 5. td je: OC OA OB ; OA λ OB μ ond je OC λ μ. Z vekto se kže d je ložen po pvm nekolnenh vekto. Pokćemo d je to lgenje jednstveno. Pvo ćemo dokt: Teoem 0. T ne nul vekto su komplnn kko su lnno vsn. Dok: Nek su komplnn nek nsu kolnen. Td postoje λ μ R tko d je λ μ po teoem 7. vekto su lneno vsn. 6
17 Ako su kolnen α R α 0 tko d je α p je lnn komnj α 0 0 lnno vsn. Nek su lneno vsn α β γ R jedn od njh je lčt od nule nek je to α 0 α β γ 0 β γ to nč d su vekto konplnn tko α α je dok všen. Nek je dt skup t nekomplnn vekto. Rložmo povoljn vekto d po pvm t t vekto. Konstušmo plelopped čje ve leže n nosčm vekto dok mu je djgonl vekto d slk 6.. Slk 6: Rlgnje vekto n t nekomplnn vekto Td je OD OP PD ; OP OA OB α β ; PD OC γ OD d α β γ. Pokžmo d je to lgnje jednstveno. Nek poed lgnj postoj još jedno lgenje vekto d α β γ α β γ α β γ α α β β γ γ 0 vekto su nekomplnn to jest lneno nevsn α α β β γ γ. Teoem. Čet pvoljn vekto su uvek lneno vsn. Dok: Nek su dt čet vekto d. Ako su t od njh n pme nekomplnn td se svk vekto d jednstveno 7
18 lže peko vekto to jest: d α β γ d lneno vsn. Ako su vekto konplnn n osnovu teoeme 0. su lneno vsn to jest α β γ 0 jedn od skl α β γ je lčt od nule. Td je: α β γ 0d 0 d su lneno vsn. Koodntn sstem u postou Koodnte vekto u postou Dokl smo pethodno d se svk vekto d može ložt n t nekomplnn vekto n jednstven nčn. Nek je lgenje vekt d dto s: d α β γ Vekto α β γ se nvju komponente skl α β γ koefjent lgnj vekt d po vektom. Očgledno je d komponente veko d u lgnju po vektom vse od o vekto skl α β γ vse od edosled vekto to je poten ov defnj: Defnj : Koodntn sstem u elnom vektoskom postou je ueđen tojk nekomplnnh vekto. Sd vekto d u odnosu n koodntn sstem pkn ko lnen komnj vekto gls d α β γ. Td koefjente α β γ ovemo koodnte vekto d u nom koodntnom sstemu. D vekto d m koodnte α β γ psćemo d α β γ. Pem tome vekto d je odeđen ueđenom tojkom ojev. Svkom vektu odgov tko jedn ueđen tojk njegovh koodnt otno. Dkle peslkvnje koje svk vekto d peslkv u ueđneu tojku elnh ojev koje su njegove koodnte je jekj. Zog te jekje čunske opeje s vektom možemo mentt s čunskm opejm među njhovm koodntm. 8
19 Defnj : Ted vekto nv se ueđen tojk nekomplnnh vekto. Defnsćemo lev desn ojentsn ted. Defnj 3: Nek su 000 t nekomplnn vekto koj mju jednčku tčku u tčk O. Ako u vn vekto otj oko tčke O vekto dovede do poklpnj s pvem smeom vekto to njkćm putem posmtno všne tčke vekto supotno ketnju kljke n stu td je ted desne ojentje. U supotnom je leve ojentjeslk 7. Defnj 4: Slk 7: Desn lev ted vekto Ueđen skup t ose koje pole ko utvđenu tčku O koje su ujmno nomlne ouju Dektov koodntn sstem. Tčk O se nv koodntn početk ose koje pole ko tčku O se ovu kodntne ose oeležvćemo h s. Jednčn vekto ose ončvčemo s ose s j ose s k. Koodntn sstem je desn ko je ted j k desn slčno lev sstem. Rdćemo sključvo s desnm sstemom. T ujmno nomlne vn O O O koje pole ko odgovjuće ose nvju se koodntnm vnm s njm je posto podeljen n osm oktnt. Otogonln pojekj vekto Defnj 5: Otogonln pojekj tčke A n pvu p je tčk A koj lež u peseku pve p vn α koj pol ko tčku A nomln je n pvu p slk 8.. 9
20 Slk 8: Otogonln pojekj tčke n pvu Defnj 6: Otogonln pojekj tčke A n vn α je tčk A koj lež u peseku vn α pve koj pol ko tčku A nomln je n vn αslk 6.. Slk 9: Otogonln pojekj tčke n vn D se defnsl pojekj vekto n osu mo se defnst ojentj pveose. Defnj 7. Nek je n pv p odeđen potvn sme koj je st ko sme povoljnog ne nul vekto čj je nosč pleln s pvom p. Pv s tko odeđenm smeom nv se ojentsn pv l osslk 0.. 0
21 Slk 0: Ojentsn pvos Defnj 8. Otogonln pojekj vekto AB n ojentsnu pvu p je vekto ' A' B' čj je početk A otogonln pojekj tčke A vekto n pvu p kj B otogonln pojekj kj B vekto n pvu p u toj vnslk.. Defnj 9. Slk : Otogonln pojekj vekot Otogonln pojekj vekto n ojentsnu osu p je skl jednk ntentetu vekto. Pojekj vekto n pvu p um se s potvnm nkom ko se sme vekto poklp s smeom ose p negtvnm nkom ko je sme vekto supotn smeu ose p. Pojekju vekto n osu p ončvćemo s P. Npomen: Ako je p 0 jednčn vekto ojentsne ose p td je pojekj ' vekto n pvu p dt s ' P p p0. Teoem. Pojekj vekto n ojentsnu osu p jednk je povodu ntentet vekto kosnus ugl kojeg ovj vekto ouje s osom: P osα α p. p Dok: Nek je vekto pedstvljen s AB koj je tnsltono pomeen tko d mu početk lež u tčk A p gde je p ojentsn pvslk.. p
22 Slk : Pojekj vekto n ojentsnu osu ' A' B' Nk je vekto otogonln pojekj vekto AB n ojentsnu pvu p. Nek je ugo α p ošt π 0 α td vekto ' A' B' m st sme ko os p. Td je P A' B' osα. p Ako je ugo α p π tup α π slk. td je sme vekto ' supotn smeu ose p p je P A' B' os π α osα. p Teoem 3. Pojekj končnog vekto n ojentsnu osu p jednk je u pojekj th vekto n osu p. Dok: Indukjom po u vekto n dokžmo P p P p P p nek je AB BC AC slk 3.. Slk 3: Pojekj končnog vekto
23 Vekto A ' C' A' B' B' C' n osnovu defnje mmo d je P p A' B' P p B' C' P p A' C' A ' C' A' B' B' C' td je Pp A' C' A' B' B' C' P p P Petpostvmo d je tčno : nk P p... k Pp P p... dokžmo d je tčno : nk P p... k k P p... k P p k P p P p... P p k P p k. Td vž n N. Teoem 4. Pojekj povod vekto sklom λ n dtu ojentsnu osu p jednk je povodu skl λ pojekje vekto n osu p. Dok: Te dkle dokt d je p P p P λ λ P. Nek je λ>0. N osnovu teoeme. mmo P λ λ os λ p λ os p λ P. p Nek je λ<0td je P λ λ os λ p λ os π α p λ osα λ P p gde je α p. Ako je λ0 0 λ kko je pojekj nul vekto n osu p tčk to je P λ 0 0P to je teoem dokn. p p Ko posledu teoeme 0. ml smo d se povoljn vekto d 0 n jednstven nčn lže ko lnn komnj t nekomplnn vekto. Sd se vekto d u Dektovom koodntnom sstemu može jedndstveno ložt peko lnne komnje vekto j k gde su j k jednčn vekto ojentsnh koodntnh os edom. Dkle d j k gde su koefent lgnj vekto ovu se koodnte vekto. p p p k 3
24 Teoem 5. Koefjent lgnj vekto d su njegove otogonlne pojekje n koodntne ose Dok: edom. Nek je vekto d u pvom oktntu koodntnog sstem. Konstušmo kvd ko n sl 4. Pojekj vekto d j k je P d P j k. N osnovu teoeme mmo P d P P j P k kko su vekto j k nomln n to su njhove pojekje n osu jednke nul P j 0 P k 0 P os0 0. Td je P d. Anlogno se doj d su pojekje vekto d n odnosno osu edom P d j P d k. N osnovu teoeme. mmo d os d d os d j d os d k. Slk 4: Poston koodntn sstem 4
25 d Umesto onke. d j k psćemo onku Defnj 0. Vekto položj tčke Adjus vekto u postou nv se vekto kome je početk u koodntnom početku O kj u tčk A. Defnj. Pvougle koodnte vekto položj tčke A u postou nvju se pvouglm koodntm tčke A. Tčk A s koodntm ončv se A p čemu se pv koodnt nv psom dug odntom teć plktom tčke A. D se nšle koodnte tčke A te ko tčku A postvt t vn plelne odgovjućm koodntnm vnm. Td te t vn seku ose u tčkm PQR koje odeđuju koodnte vekto OA tme koodnte tčke A. Pem tome položj tčke A u postou je odeđen njenm vektoom položj OA l s t koodnte A. Nek je dn djus vekto svojm pvouglm koodntm. Td vž sledeć teoem: Teoem 6. Nek vekto d edom uglove αβ γ td je : d s kodntnm osm gd os α d os β d os γ d os α os β os γ Dok: I teoeme 5. n sl 4. djus vekto d ppd pvu koj je poston djgonl kvd čje su ve. Td je n osnovu Ptgone teoeme d. I teoeme 5. n osnovu teoeme. mmo: d os d d osα d os d j d os β d os d k d osγ kosteć dojmo dok pod. 5
26 6 Kvdmo jednkost pod seemo h doćemo γ β α os os os d d d os os os γ β α d kosteć pod dojmo os os os γ β α. Jednčn vekto 0 d vekto d je k d j d d d k j d d d 0 kosteć jednkost teoeme 6 pod doćemo: γ β α os os os 0 k j d. Ako su vekto dn svojm koodntm j j td snje odumnje množenje sklom λ vž: k j ± ± ± ± ± ± ± k j λ λ λ λ λ λ λ. Koodnte vekto kd vekto nje djus vekto Teoem 7. Ako su dte tčke A B td je vekto AB jednk: k j AB. Dok: Nek je O000 koodntn početk td su jednončno odeđen djus vekto OA OB slk 5.. Td je OA OB AB OB AB OA AB. Slk 5: Rdjus vekto
27 7 Skln povod vekto Defnj. Skln povod dv vekto u on je skl koj je jednk povodu ntentet vekto kosnus ugl koj on klpju. N osnovu defnje. mmo: os. N osnovu teoeme. dojmo os P p se skln povod vekto može pst u olku P P. Osone sklnog povod skuje sledeć teoem. Teoem 8. Ako su V pvoljn vekto λ R td je: λ λ λ Dok: N osnovu defnje. mmo os os komuttvn je. P os λ λ λ. Kko je n osnovu osone o pojekj vekto teoeme 4. mmo P P λ λ λ λ. I sth log vž λ λ. 3 P. Kosteć teoemu 3. dojmo P P P P P. 4 0 os0 os 0 5 I osone
28 8 I defnje. sklnog povod čunvnjem kosnus ugl među vekto sled 0 0 os. Ako je 0 0 os π π. Defnj 3. Dv vekto lčt od nul vekto su ujmno nomln kko je njhov skln povod jednk nul. U vsnost kolk je ugo među vekto mmoslk 6.. Slk 6: Skln povod u vsnost od ugl među vekto Teoem 9. Ako su vekto dn svojm koodntm: k j k j td je. Dok: Množeć vektoe po oson 3 teoem 8. kosteć d je 0 k j k j k k j j doj se. I teoeme 9. možemo dt nltčk odeđvnje ugl među dv vekto peko koodnt: os. Ako su vekto kolnen dn svojm koodntm td λ λ 0 sled λ λ λ to jest λ vekto su
29 kolnen ko su m odgovjuće koodnte popoonlne. Ako su vekto nomln 0 0. Sd ćemo dokt jednu teoemu pontu pod nvom teoem o ježu u postou koj gls: Teoem 0. Nek je P konveksn poled čje su stne B B B s n n... n s vekto nomle n stne B B B s n s ojentsn su pem spoljšnjost poled n P B s s gde su PB povšne stn poled. Td je n 0. Dok: Uočmo jednu stnu B...s poled Pslk 7. Slk 7:Unutšnj tčk X poled njen pojekjx Nek je X povoljn unutšnj tčk poled h njkće odstojnje tčke X od stne B. sx otogonln pjekj tčke X. Nek je V pemn dtog poled. Td se tj poled može t n pmde s temenom u Xsve pmde su u unutšnjost poled mju jednčke očne stne. Td je s s V P B h 3 V P B h 3 gde je P PB. Nek je e jednčn vekto vekto n...s stog sme s n n n n e n P e. s. n P B P Uočmo fksnu tčku O poled tkvu d je O X nek je T pvoljn tčk T B. sslk 8.. 9
30 Slk 8: Pvoljn stn poled s fksnom tčkom O Sd potžmo XT e XT e os XT e. I pvouglog Δ XX 'T XX ' h os XT e XT XT oom n XT e h h XT os XT e p je. s. Sd h menmo u s 3 V P XT e. 3 Imo vekto XT s slke 8. s s 3V Pe XO OT n XO s n s n OT os n OT. XT XO OT menmo u 3. XO OT XO s n s n OT Nek je H. s njkće stojnje tčke O do B s nek je O otogonln pojekj tčke O n stnu B. I pvouglog tougl H Δ OO' T os n OT H OT os n OT. OT Zmenmo u 4 s s 3V XO n 3 PH XO 3 s je X O XO 0 0. n s n 3V XO s n O kko Tko je teoem 0. dokn koj će nm tet u sledećem poglvlju. 30
31 Vektosk povod vekto Defnj 4. Vektosk povod vekto je vekto tko de je:. Intentet vekto je povšn plelogm konstusnog nd vektom. Pv vekto je nomln n vn odeđenu pvm vekto 3. Sme vekto je tkv d vekto ouju desn ssemslk 9.. Vektosk povod vekt ončvćemo s. I defnje 4. vektoskog povod sled:. sn. Slk 9: Vektosk povod Ako su vekto kolnen λ sn Ako je jedn od vekto l nul vekto ond n osnovu defnje Teoem. Vektosk povod m sledeće osone: V : kon ltenje 3
32 V λ R : λ λ λ 3 V :. Dok: N osnovu defnje vektoskog povod ntentet pv vekto su st smeov su m supotnslk 30.. Slk 30: Zkon ltenje T oson neposedno sled defnje vektoskog povod povod vekto sklom. Dstutvnost vektoskog povod pem snju dokćemo kosteć teoemu o ježu n poledu tostne pme. Nek je ABCA B C tostn pm n n n3 n4 n5 vekto nomle edom n stne: ACC A ABB A BCC B A B C ABC pme ojentsn k spoljšnjost. Nek je AA' AB BC slk 3. Slk 3: Dstutvnost vektoskog povod 3
33 Td je AC. Rdćemo s desnm sstemom. Po defnj vektoskog povod mmo: n n n 3. Vekto n 4 n 5 su stog ntentet pv l supotnog sme n n Sd mmo spunjene sve uslove pmenu teeme o ježu. n n n3 n4 n5 0. Zmenmo uslove u 0 kosteć kon ltenje doćemo 3 teoeme. Tme je teoem. dokn. D smo odedl vektosk povod dv vekto u njhovm koodntm odedćemo pvo vektoske povode jednčnh vekto j k ted j k desne ojentjeslk 3.. Slk 3: Desn ted jednčnh vekto Njhovm množenjem ćemo dot Kejljevu tlu: j k 0 k j j k 0 k j 0 3 Teoem. Ako su dn svojm komponentm td je: 33
34 34 k j 4 Dok: Fommo vektosk povod pmenmo teemu. Kejljevu tlu 3 k j k j j k j k k k j k k k j j j j k j k j k j to je Lplsov voj detemnnte po pvoj vst detemnnte. Mešovt povod vekto Defnj 5. Mšovt povod t vekto nv se skln povod vekto vekto to jest. Teoem 3. Mešovt povod t nekomplnn vekto je skl čj je psolutn vednost jednk pemn plelopped konstusnog nd tm vektom ko vm. Dok: Petpostvmo d su vekto nekomplnn d ouju desn ted. Konstušmo plelopped pemne V nd tm vektomslk 33.. Ako stvmo d ond je vekto d nomln n vn odeđenu vektom. Td je d d d P. Intentet vekto d je povšn plelogm konstusnog nd vektom koj pedstvlj osnovuu plelopped. H OC d ' P je vsn plelopped. Dkle V H d je pemn plelopped konstusnog nd vektom.
35 Slk 33: Mešovt povod t vekto U slučju d vekto čne lev ted n slčn nčn se dokuje d je V. Zključujemo d je V. Teoem 4. Cklčkom pemutjom vekto čnl vednost mešovtog povod se ne menj. Dok: Nek su dt t nekomplnn vekto nek on ouju desn tedslk 34.. Slk 34: Desn ted vekto Td je dkle lo kkvom pemutjom vekto u ne menj se pemn plelopped konstusnog nd tm vektom. Teoem 5. Ako su vekto 0 td su on komplnn kko je 0. 35
36 Dok: Nek su komplnn ond je vekto nomln n vekto 0 Nek je 0 kko je 0 ond je 0 l je nomln n. Ako je 0 ond su vekot kolnen p su stog vekto komplnn. Nek je nomlno n. Vekto je nomln n n td su vekto kolnen. Teoem 6. Nek su vekto dn svojm koodntm td je:. Dok: j k j k j k j k To je voj detemnnte po Lplsovoj teoem po tećoj vst.. Dvostuk vektosk povod Defnj 6. Dvostukm vektoskm povodom vekto nv se vektosk povod vekto vektoskog povod to jest. 36
37 Teoem 7. Z svk t vekto vž:. Dok: Petpostvmo d vekto nsu kolnen. Reultt dvostukog vektoskog povod je vekto nomln n vn vekto defnj 4. slk 35. Pem tome vekto su komplnn td postoj skl α β tko d je: α β. Slk 35: Dvostuk vektosk povod Odedmo skle α β. Uočmo u vn vektoe pvoljn jednčn vekto n koj je nomln n vekto s vektom čn ted desne ojentje slk 35. n n 0. Pomnožmo sklno jednkost s vektoom n dojmo: n α n β n og n α n. 3 N osnovu teoeme 4. 3 postje n α n. 4 Vekto n je nomln n vekto n te je vekto n kolnen s vektoom sme mu je og ojjentje odgovjućeg ted st ko sme vekto p pem tome mju st jednčn vekto. N osnovu defnje vektoskog povod je: n n sn n
38 38 gde je 0 jednčn vekto vekto. Kko je n sn 90 sn n jednkost 5 postje: n 0 0 sn. 6 S slke 35. mmo: 90 0 n td je os sn n kko je 0 jednkost 6 dojmo:. os os n n n n Kosteć jednkost 4 mmo d je : n n α. 7 Zog petpostvke d nsu kolnen sled d je: α 8 N osnovu jednkost kosteć 8 mmo d je: β. 9 Pomnožmo jednkost 9 sklno s vektoom td je: β. 0 Lev stn jednkost 0 je jednk nul ond je: 0 β. Ako je : β 0. Sd uvstmo α β u doćemo:. 9 Što je telo dokt po teoem. Ako je 0 ond jednkost 9 sled: β. Pomnožmo jednkost sklno s vektoom doj se: β l β odnosno β. 3 N vekto pmenmo jednkost 9 dojmo:. 4 Zmenmo 4 u 3 dojemo: β to jest β. 5 Kko je 0 od 5 dojmo β 0
39 39 β p opet vž jednkost 9. Nek su sd vekto kolnen. Ako je jedn od vekto nul vekto td je jednkost 9 dovoljen. Nek su dkle λ 0. Td je 0 λ. S duge stne 0 λ λ λ p je jednkost 9 opet dovoljen. Dkle teoem vž t pvoljn vekto. Teoem 8. Jkojev ndenttet. Z svk t vekto vž 0. Dok: N osnovu teoeme 7. mmo: 3 Snjem 3 Sled Jkojev ndenttet.
40 Glv II Anltčk geometj u postou U ovom poglvlju posmtćemo tčke pve vn. Odeđvćemo njhov položj u odnosu n desn ojentsn pvougl Dektov koodntn sstem odeđen ueđenom tojkom j k gde su j k međusono nomln jednčn vekto. Vekto položj tčke Položj tčke A u postou u odnosu n Dektov pvougl koodntn sstem s entom u O je odeđen vektoom položj OA kog ovemo vekto položj tčke A. Nek je OAvekto položj tčke A. Kko je odeđen svojm koodntm koje su po teoem 5. lgeske vednost pojekj vekto n koodntne vektoe to će ond tčk A ko všn tčk vekto OA t odeđen stm koodntm. Ako je OA td su to koodnte tčke A pšemo A. Rstojnje dve tčke Rstojnje tčk A B jednko je ntentetu vekto AB teoem 6. Zog tog vž teoem: Teoem 9. Rstojnje d tčk A B dto je fomulom d. Dok: Tčke A B u postou odeđene su vektom položj slk 36.. Slk 36: Rstojnje dve tčke 40
41 Td je AB. Ond je AB d. Kko su tčke A B dte svojm koodntm td je AB AB po teoem 6. Podel duž u dtoj me Nek je dt pv p n njoj tčke A B. Pvoljn tčk C lčt od A B pve p del duž AB po unutšnjoj l spoljšnjoj podelslk 37. Slk 37: Podel duž Pod je spoed A-C-B pod je spoed A-B-C. U o slučj vekto AC CB su kolnen to jest λ 0 tko d je AC λcb. Ako je λ > 0 ond je A-C-B tčk C del duž AB unutšnjom podelom u me AC : CB λ. Ako je λ < 0 ond je A-B-C tčk C del duž AB spoljšnjom podelom u me AC : CB λ. Teoem 30. Nek su tčke A B dte svojm koodntm A B odnos λ 0 u kojem te podelt duž AB pomoću tčke C. Td tčk C m koodnte λ λ λ C. λ λ λ Dok: Nek su vekto položj tčk A C Bslk 38. Slk 38: Podel duž u dtoj me 4
42 Td je vekto AC λcb. Imo vektoe AC CB peko vekto položj. AC CB menmo u λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ to su koodnte tčke C. λ Posled teoeme 30. Ako je tčk C sedn duž AB td je λ tčk C m koodnte: C. Rvn Rn ol jednčne vn Položj vn u postou može se odedt n ne nčne. Ponto je Eukldske geometje d je vn jednončno odeđen s t nekolnene tčke s dve pve koje se seku s pvom tčkom vn te pve td. Isto tko položj vn u postou možemo odedt pomoću jedne njene tčke M jednog ne nul vekto n koj je nomln n tu vn tm pomoću stojnj p > 0 vn od koodntnog početk jednčnog vekto n 0 nomlnog n tu vn usmeenog od koodntnog početk k vn. Nomln vektosk jednčn vn Teoem 3. Vekto položj pvoljne tčke M vn π koj je n sojnju p > 0 od koodntnog početk O nomln je n vekto n 0 dovoljv jednčnu n 0 p 0. Dok: Nek je M pvoljn tčk vn π vekto položj tčke M slk
43 Slk 39: Nomln vektosk jednčn vn Vekto n 0 je nomln n vn π usmeen od koodntnog početk O k toj vn. Nek je O otogonln pjekj tčke O n vn πslk 39. td je OO ' p. Vekto n π n O' M p je to po defnj n 0 O' M 0. I ΔOO' M nlmo O' M OM OO' pn0 je su vekto OO ' n 0 kolnen stog sme. Sd dojmo n0 pn0 0 kosteć osonu sklnog povod čnjenu d je n0 n0 n 0 p 0. Jednčn se nv nomln vektosk jednčn vn. Ako je p0 ond vn pol ko koodntn početk. Teoem 3. Svk jednčn olk n 0 p 0 gde su n jednčn vekto 0 skl p>0 fksn pedstvljju jednčnu vn. Dok: Uočmo u koodntnom sstemu s entom u O pvoljnu tčku A tko d je vekto OA pn0. Nek je vekto položj pvoljne tčke M koj dovoljvju jednčnu n 0 p 0 slk
44 Slk 40: Nomln vektosk jednčn vn Td je AM OA p n 0. Pomnožmo sklno vektoe OA AM OA AM pn0 pn0 pn0 p p n0 p 0 s oom d je n p 0 OA AM 0 0 Sled d su vekto OA AM ujmno nomln. Vekto OA je odeđen jednončno je su n 0 p>0 fksn td jednčn vž sve tčke M čj vekto M dovoljv jednčnu n 0 p 0. Zključujemo d sve tčke M ppdju jednoj vn koj pol ko tčku A koj je nomln n vekto OA pn 0. Ako je p0 n 0 0 p sve tčke M ppdju vn koj pol ko koodntn početk koj je nomln n vekto n 0. Teoem 33. Svk jednčn olk n D 0 gde je n pvoljn vekto lčt od nul vekto D pvoljn skl pedstvlj jednčnu vn. Dok: Kko je n 0 n 0 p jednčnu n D 0 podelmo s ± n n D 0. ± n ± n Ieemo nk sped ± n supotn nku sped D. Td jednčn m olk n 0 p 0 po teoem 3. p čemu je: n n0 p D ± n ± n gde je n 0 jednčn vekto nomln n vn usmeen od koodntnog početk k vn p je odstojnje vn od koodntnog početk. Jednčn n D 0 ove se opšt vektosk jednčn vn. 44
45 Skln olk jednčne vn Po teoem 6. pv vekto n 0 ouje se koodntnm osm kosnuse uglov α β γ to jest n 0 osαos βosγ nek vekto položj m koodnte. Teoem 34. Jednčn vn nomln n jednčn vekto n 0 n odstojnju p > 0 od koodntnog početk je os α osβ osγ p 0. Dok: I teoeme 3. svk jednčn olk n 0 p 0 pedstvlj jednčnu vn. n osα os β osγ 0 os α osβ osγ p 0. Jednčn se nv Hesseov l nomlnskln olk jednčne vn. U teoem 33. je dokno d svk jednčn olk n D 0 pedstvlj vn. Sd možemo dokt otno. Teoem 35. Svk vn se može pedstvt jednčnom n D 0. Dok: Kko je vn nomln n jednčn vekto n 0 n stojnju je p 0 od koodntnog početk ond pem teoem 3. t vn je dt jednčnom n 0 p 0. Pomnožmo jednčnu s n doćemo n n0 n p 0 n n p 0 gde je n n n0 ončćemo s D n p doćemo n D 0. Ako s ABC oeležmo koodnte vekto n A B C s td dojmo A B C D 0 ; A B C 0. Jednčn pedstvlj opšt skln olk jednčne vn. Vž otno. Ako sve tčke dovoljvju jednčnu 3 td je vn 3 nomln n vekto n A B C. Zst nek je pvoljn vekto s koodntm to jest. Ond jednčnu 3 možemo pst n D 0 što n osnovu teoeme 33. pedstvlj jednčnu vn. 45
46 Segmentn olk jednčne vn Teoem 36. Ako je A B C 0 td pedstvlj D D D segmentn olk jednčne vn gde je. A B C Dok: Nek tčk M00 gde je 0 ppd vn A B C D 0 Td je D A D 0. A D Nek tčk M 00 ppd vn B D 0. B D Slčno M 00 C D 0. C Podelmo jednčnu s D D 0 td A B C D D D D A D B D C. slk 4.. Slk 4: Segment olk jednčne vn 46
47 Jednčn vn koj pol ko dtu tčku nomln je n dt vekto Nek je dt tčk M vekto n A B C. Teoem 37. Rvn π koj pol ko dtu tčku M nomln je n dt vekto n m jednčnu n 0 gde je vekto položj tčke M vekto položj pvoljne tčke M π. Dok: M je pvoljn tčk vn π koj pol ko M nomln je n vekto n slk 4. Slk 4. Jednčn vn koj pol ko dtu tčku M Vekto MM OM OM. Po uslovu teoeme 37. vekto n je nomln n vn π. Ond je MM n 0 n 0. Vž otno to jest d jednčnu dovoljvju smo one tčke koje leže u vn koj pol ko tčku M nomln je n dt vekto n. I jednčne dojemo d je nomln n n skup svh tkvh vekto ouje vn π. Imo jednčnu peko koodnnt. Nek pvoljn vekto položj tčke M m koodnte td je. Kd menmo u doćemo: A B C 0 3 Jednčn 3 pedstvlj skln olk jednčne vn koj pol ko dtu tčku M nomln je n dt vekto n A B C. Pme: Dte su tčke A- B0. Ko tčku B postvt vn nomlnu n vekto AB. Po teoem 37. mmo: n AB M B0. Td je :
48 Odnosno ---0 je tžen vn. Jednčn vn ko t dte tčke Nek su ABC u postou t lčte nekolnene tčke td postoj jednstven vn π odeđen s te t tčke. Nek su 3 vekto položj tčk edom ABCslk 43. Slk 43: Rvn ko t tčke Uočmo pvoljnu tčku M π vekto položj slk 43.. Td pem defnj 5. teoem 5. mešovt povod vekto AM AB AC jednk je nul to jest AM AB AC 0. Ičunjmo vektoe AM AB AC peko vekto položj 3 AM AB AC 3. Jednkost menmo u doćemo Jednčn 3 pedstvlj jednčnu vn ko t tčke u vektoskom olku. Nđmo 3 u koodntnom olku. Nek je Td pem AM AB AC Vektoe AM AB AC menmo u 3 p je pem teoem Jednčn 4 pedstvlj jednčnu vn ko t tčke. 48
49 Rstojnje tčke od vn Nek je u koodntnom sstemu dt vn π svojom jednčnom n 0 p 0 tčk M odeđen vektoom položj. Odedćemo njkće stojnje ončćemo to s d tčke M od vn πslk 44. Slk 44: Rstojnje tčke od vn Nek je M otogonln pojekj tčke M n vn π. Td je d M 'M. Vekto M 'M n 0 su kolnen M ' M dn 0. Očgledno je d>0 ko su tčke M O s lčth stn vn π d<0 ko su tčke M O s ste stne vn π. Nek je vekto položj tčke M td je: M M ' M M dn. ' Tčk M ' π p vekto položj tčke M dovoljv jednčnu vn odnosno n p Sd menmo u 3 dojmo dn0 n0 p 0 n 0 d p 0 d n p. 4 0 Kko je stojnje d nenegtvn to oj 4 te uet po psolutnoj vednost dkle d n p
50 Jednčnom 5 je dto stojnje tčke M do vn π. Ako je vn π dt u sklnom olku A B C D 0 td po teoem 3. vekto n 0 skl p mju vednost n D n0 p 6 ± n ± n n gde je vekto n nomln n vn π m koodnte A B C. Td je A B C n o ± A B C ± A B C ± A B C Sd 6 7 menmo u 5 dojmo. 7 d A B C A B C A D B C d A B C što pedstvlj stojnje u koodntm. A B C D Međuson položj dve vn ugo među dve vn Dve vn α β u postou mogu t plelne l se seku. Nek su vn α β dte svojm vektoskm jednčnm teoem 35. α n D 0 β n D 0. Td je vekto n nomln n vn α vekto n nomln n vn β. Ugo među vekto n n odeđuje se pem defnj n n sklnog povod po fomul os n n. n n Ugo među vekto n n jednk je uglu među vn α β l g dopunjv do Kko skln povod dv vekto može t potvn l negtvn ognčćemo se d uvek odeđujemo onj ugo među vn koj nje tup og tog ćemo skln povod vekto n n umt po psolutnoj vednostslk
51 os n n n n n n Slk 45: Ugo među dve vn Nek su vn α β dte sklno: α A B C D 0 β A B C D 0. P čemu su n A B C n A B C vekto nomln n vn α β. Td dojmo ugo među dve vn A A BB CC os n n. A B C A B C Nek su n A B C n A B C vekto noml jednčn vn α β. Td vž: Teoem 38. Poten dovoljn uslov d dve vn α β udu otogonlne je d n n 0. Dok: α β n n 0. Ako su vn α β nomlne td su vekto n n nomlnslk 46. 5
52 Slk 46: Otogonlne vn α β te je n n 0 po defnj 3. n n 0 α β. n α n β n n ugo nomlnog pesek među vn α β. Kko je n n 0 α β. Teoem 38. se može ovko skt peko koodnt. Rvn α β su otogonlne kko je A A BB CC 0. Što je dektn posled sklnog množenj dv vekto. Teoem 39. Poten dovoljn uslov d dve vn udu plelne je d n λn λ 0. Dok: α β n λn. n α n β kko je α β su n n kolnen to jest λ R tko d je n λn. n λn α β. Kko je n α n β og n λn α β slk 47. Teoemu 39. možemo ovko skt peko koodnt: Rvn α β su plelne kko su vekto n n kolnen. Imo nltčk: n A B C n A B C n λn td je: 5
53 A λ B λb C λc A A A B B C C λ što je uslov plelnost dve vn. Slk 47: Plelne vn Ako je još u vn α β dovoljeno D λd td se vn α β poklpju. Pmen vn Defnj 7. Skup svh vn koje pole ko pesek dve vn α β nv se pmen vn odeđen vnm α β. Nek su vn α β dne svojm vektoskm jednčnm α n D 0 β n D 0. Teoem 40. Ako su α β dve neplelne vn. Svk vn pmen odeđenog vnm α β sem vn β m jednčnu n D λ n D 0 λ R. Dok: Nek je M tčk pesek vn α β vekto položj tčke M. Td vekto položj tčke M dovoljv jednčne ; ond dovoljv lnenu komnju jednčn to jest n D λ n D 0. λ R. Jednčn pedstvlj jednčnu vn koj pol ko pesek vn α β. Otno. Nek je pvoljn vn koj pol pesekom vn α β. Td je vn odeđen tm pesekom još jednom tčkom M 0 koj ne ppd tom pesekuslk
54 Slk 48: Rvn odeđen pesekom dve vn pvoljnom tčkom M 0 Nek je 0 vekto položj tčke M 0 γ. Ako je λ 0 R tkv d je 0 n D λ 0 0 n D 0 td jednčnu n D λ 0 n D 0 dovoljv vekto položj 0 tčke M 0 vekto položj pvoljne tčke M pesek vn α β to jest je jednčn vn γ slk 48.. Ako su vn α β dte u sklnom olku α A B C D 0 β A B C D 0 3 td je pem povoljn vn sem vn β kosteć 3 dt jednčnom A B C D λ A B C D 0 što pedstvlj pmen vn odeđen vnm α β. Pme: Nć jednčnu vn koj pol pesekom t vn pleln je vn
55 Rešenje. Tžen vn ppd pmenu od t dte vn. Td je po teoem 38. pmen vn dt s: --7λ - λ -3-0 λ λ -λ -3λ -λ λ -7λ -λ 0. Kko tžen vn mo t pleln s dtom vn tо njhov koefjent moju t popoonln: λ λ λ 3λ λ λ 5 3 λ λ λ 3λ 5 λ λ λ λ. 3 P seđvnju sstem doće se 3 λ 5 λ 5 te tžen jednčn vn gls Jednčn pve u postou Pv u postou može t jednončno odeđen n ne nčne n pme d pol ko dve utvđene tčke d pol ko jednu tčku d ude pleln dtom vektou ko pesek dve vn tko dlje. Zog tog jednčnu vn možemo pst u nm olm. Vektosk olk jednčne pve Teoem 4. Nek je vekto položj tčke M vekto l m k dt pv lčt od nule. Tčk M ppd pv p koj pol ko tčku M pleln je vektou kko njen vekto položj dovoljv jednčnu: λ λ R. Dok: Nek M p slk
56 slk 49:Pv p koj pol ko tčku M pleln je vektou Vekto M M je kolnen s λ R tko d je M M λ. S duge stne mo vekto M M peko vekto položjslk 49. doćemo MM 3 Jednčnu 3 menmo u jednčnu λ λ. Vekto položj tčke M dovoljv jednčnu. Td je M M λ odnosno pv odeđen tčkm M M ne tčke M pleln je vektou. Kko ko tčku M može poć smo jedn pv pleln vektou to sve tčke M koje dovoljvju jednčnu ppdju stoj pv. Teoem 4. Nek su dt vekto 0. Td jednčn λ odđuje pvu koj pol ko tčku čj je vekto položj koj je pleln vektou sve λ R. Dok: Nek je M tčk vekto položj M tčk čj je vekto položj dojen pvoljno λ R. I dojmo λ što nč d su vekto kolnen. Pem tome pv koj pol ko tčku M M gde je M pvoljn tčk pve pleln je vektou. Kko svku vednost λ R dojmo po jednu tčku M λ p čemu je vekto MM λ kolnen s kko ko M može poć smo jedn pv pleln s to ključujemo d sve tčke M ppdju stoj pv. λ 56
57 Npomen: Jednčn pedstvlj jednčnu pve u vektoskom olku koj se može pst dugčje od : 0 što u stv žv uslov kolnenost vekto. Pmetsk olk jednčne pve Nek su tčke M M dte svojm koodntm: M M. Td dojmo: k λ l m λl λm λk λ R što pedstvlj pmetsk olk jednčne pve. Knončk l skln olk jednčne pve Nk je vekto 0 l m k. Td od pmetskog olk dojemo knončk olk jednčne pve λ λ λ l m k λ l m k Jednčn se nv knončk olk jednčne pve. Kko je 0 nsu sv lmk jednk nul nek od njh mogu t jednk nul td te kostt pmetsk olk jednčne pve. Koefjent lmk nvju se kofjent pv pve p vekto vekto pv pve p. Pv ko pesek dve vn Dve vn α β u peseku jednončno odeđuju pvu p. Zto pvu p posmtmo ko sstem jednčn dve vn α n D 0 β n D 0. Nek je α β n λn td skup svh ešenj sstem se poklp s skupom vekot položj svh tčk pve p. 57
58 D dol knončk olk pve p koj se njčešće kost poteno je odedt vekto položj tčke M p vekto kolnen s pvom pslk 50.. slk 50: Pv ko pesek dve vn Tčku M dojmo ko ešenje sstem. Tj sstem m eskončno ešenj to jednu pomenjljvu te t pvoljno. Pv pve p uet ko vektosk povod vekto noml n n vn α β to jest n n. Tko je jednčn pve p u potpunost odeđen. Jednčn pve koj pol ko dve dte tčke Nek su dte dve lčte tčke A B koje mju koodnte A B. slk 5: Jednčn pve ko dve tčke Z pv pve p možemo uet vekto AB to jest AB tčku M n pme A ko koju pol pv p slk 5.. Td je vektosk jednčn pve p dt s 58
59 59 λ. Npšmo u pmetskom olku nek je M pvoljn tčk pve pslk 5.. Td je λ. λ λ λ I jednčn dojmo knončk olk jednčne pve ko dve tčke:. Još jedn olk jednčne pve I opšte vektoske jednčne pve teoem 4. mmo λ td je λ vekto su kolnen kosteć defnju Po teoem. td je su dt vekto. Oeležmo s to jest slk 5. td je još jedn ps jednčne pve. slk 5: Još jedn olk jednčne pve Vž otno d jednčn olk odđuje pvu u postou. Tčnje vž Teoem 43. Jednčn olk gde su dt vekto 0 odeđuju pvu koj je pleln vektou nl se n sotnju od koodntnog početk O.
60 Dok: Tnsljmo vekto u koodntn početk Oslk 5.. Iemo tčku M tko d vekto mju st pv sme ntentet. Intentet vekto je povšn plelogm konstsnog nd vektom to jest sn h. Povšn plelogm će mt stu vednost h sve položje tčke M n pvoj koj je pleln vektou. Pv p se nl n stojnju h od koodntnog početk Oslk 5.. Rstojnje tčke od pve Nek je u postou dt tčk M 0 pv p tko d M 0 p. Pvu p djemo jednčnom : λ gde je vekto položj tčke M p vekto koj dje pv pve pslk 53.. Vekto položj tčke M 0 je 0. slk 53: Rstojnje tčke od pve Posmtjmo vekto M M 0 tnslmo vekto u tčku M. Td je ntentet vektoskog povod vekto MM 0 0 povšn plelogm konstusnog nd vektom M M 0. Nek je d vsn dtog plelogm spušten temen n stnu. Td je : 0 0 d d. Jednčn je njkće stojnje tčke M 0 do dte pve p. 60
61 Rstojnje dve pve Pve u postou mogu t plelne mmollne d se seku. Rmotćemo sv t slučj. Nek su pve p p plelne td one ppdju jednoj vn. Posmtćemo slučj kd se pve p p ne poklpju. Nek je d njkće stojnje pvh p p slk 54.. slk 54: Plelne pve M p p p Uočmo tčke M njhove vektoe položj. Nek su vekto pv pvh p. Tnslmo vekto u tčku M slk 54.. Fommo vektosk povod među vekto M M. Intentet od je povšn plelogm konstusnog nd vektom čj je vsn d. d d Dkle. Jednčn pedstvlj stojnje plelnh pvh. Ako se pve p p poklope vekto su d0. kolnen 0 Nek su pve p p mmolne td je geomeje ponto d mmolne pve mju jednčku nomlu koj u peseku s p p dje njkće stojnje među njh. Ončćemo to s d. Uočmo dve pvoljne tčke M p M p. Td pomoću vekto M M gde su vekto pv pvh p p. Konstušmo plelopped nd vektom M M slk
62 slk 55: Mmolne pve Nek su vekto položj tčk M M M M. Td je stojnje d vsn plelopped koj odgov osnov odeđenoj vektom. Po teoem 3. mešovt povod vekto M M jednk je pemn plelopped konstusnog nd vektom M M to jest V d d. Jednčn pedstvlj stojnje mmolnh pvh. Nek se pve p p seku td one ppdju jednoj vn. Kosteć onke pod td su vekto M M konplnn po teoem 5. njhov mešovt povod je jednk nul to jest 0 što pedstvlj uslov pesek dve pve. Anltčk uslov pesek dve pve p p pomoću koodnt. 6
63 Nek pv pvh p p mju koodnte l m l m. Td 0 k k l l m m k k 0. 3 Jednčn 3 pedstvlj uslov pesek dve pve. Ugo među dve pve Defnj 8. Pod uglom među dve pve u postou podumevmo ugo među lo koj dv vekto čj su nosč dte pve. Kko sme vekto n tm pvm nje odeđen postoje dv suplementn ugl koj se mogu dot. D se egl dvončnost pod uglom među dve pve podumev se onj koj je ošt l pv. Teoem 44. Ugo među pvh p p dth s p : λ p : μ gde su l m k l m k pv pvh p p odeđen je fomulm ll mm kk os α l osα. l m k l m k Dok: Kko je ugo među pvh p p jednk uglu među njhovh vekto pv dok teoeme sled defnje sklnog povod dv vekto. p Sd se mogu dt uslov plelnost nomlnost dve pve p p p kko je l m k λ l m k l l λ. U koodntm gls λ m λm k λk. l m k I dojmo: l m k dve pve. p p 0. U koodntm l l mm kk 0 što pedstvlj uslov nomlnost dve pve. što pedstvlj uslov plelnost 63
64 Međuson odnos pve vn Pv p vn α mogu se seć t plen pv može ležt u vn poseno pv može t nomln n vn. Neđmo nltčke uslove te slučjeve. p Nek je pv p dt svojom jednčnom λ vn α svojom sklnom jednčnom ABCD0. Defnj 9. Ugo među pve p vn α je ošt l pv koj gd pv p njen otogonln pojekj n dtu vnslk 56.. Teoem 45. Ugo među pve p v α jednk je komplementnom uglu kog vekto nomle n vn α tv s pvem vekto pve pslk 56.. Dok: Ugo π ϕ. Tаdа Tme je teoem dokn. π n n os ϕ l sn ϕ. 3 n n slk 56: Ugo među pve vn Kko n A B C l m k to se 3 može pst Al Bm Ck snϕ 4 A B C l m k 64
65 I 4 sled d je pv pleln vn α ϕ 0 kko vž Al Bm Ck 0 n 0. 5 π Pv p je nomln n vn α ϕ kko vž n λ A B C to jest d su koefent popoonln. l m k I 5 sled d pv p pese vn α kko vž Al Bm Ck 0. Pme: Nć vektosku jednčnu jednčke nomle dve mmolne pve p p. Rešenje:Nek su pve p p dne: p λ p λ. Ummo pv jednčke nomle vekto n slk 57.. Slk 57: Zjednčk noml mmolnh pvh Nek je α vn odeđen pvm vekto n p β vn odeđen pvm n p. Td vn α β mju jednčne α n 0 β n 0. Ončmo s p vekto položj tčke P podo pve p vn β slk 57.. Zmenmo pvu λ u jednčnu λ n 0 65
66 66 0 n λ 0 n n λ n n λ. 3 Kko je n to 3 nos n λ. 4 Kosteć osone sklnog povod 4 postje λ λ. Imo vekto p položj tčke P p. Uvstmo p u jednčnu n p λ jednčke nomle doćemo vektosku jednčnu jednčke nomle dve mmolne pve λ.
67 Glv III Povš dugog ed Opšt olk lgeske jednčne dugog stepen po gls A B C DEFMNPG0 gde su A B C D E F M N P G pvoljn eln ojev jedn od njh je lčt od nule. D se nto gfk ovh povš pmenjuje se metod pesek koj se sstoj u tome d se dt povš peseče vnm koje su plelne dtm koodntnm vnm. Ko pesek svke od ovh poš dtom vn doj se nek lnj pesek. Ako pesečemo povš jednom vn koj je pleln koodntnoj vn O td skup f0 h defnše jednčnu lnje pesek povš s vn h. Kko je h pomenjljv pmet doće se skup lnj pesek povš vnm plelnm vn O. Anlogno se može poučt kkte lnj pesek povš vnm koje su plelne vnm O O. U dljem lgnju ćemo poučt metodom pesek povšne dugog ed čje su jednčne dte u knončkom olku. Sfe Defnj 30. Sfeom se nv geometjsko mesto tčk podjednko udljenh od jedne stlne tčke sedšt sfee. Ako s S ončmo ent sfee vekto položj tčke S s R polupečnk sfee nek je vekto položj pvoljne tčke M sfee td jeslk 58. SM. Slk 58. Sfe 67
68 I SM SM. Kko je SM R R što pedstvlj jeddnčnu sfee. Ako je td je R 3 jednčn sfee u koodntm. U spejlnom slučju kd se ent sfee nl u koodntnom početku to jest kd je 0 jednčn sfee 3 td gls R. 4 Lnje pesek povš 4 s vn h gde je h R su konentčne kužne koje se pojektuju n vn O u unutšnjost kužne R 0. Cent ovh kužn nle se n O os dok su m polupečn jednk h. Anlogno se dskutuje pesek povš 4 s vnm 0 0. Jednčnu 4 možemo pst pmetsk. Dovoljno je t pvoljne funkje nek dv pmt n pme Rosθ osψ Rosθ snψ 5 0 ψ π π θ π. Zmenmo 5 u 4 dojmo Rosθ. Pem tome pmetske jednčne sfee su Rosθ osψ Rosθ snψ Rosθ 0 ψ π π θ π. Elmnjom pmet θ ψ doćemo jednčnu 4. Elpsod U koodntnoj vn O postvmo elpsu E s stlnm poluosm ukoodntnoj vn O elpsu E s stlnm poluosm. U poketnoj vn α koj je pleln vn O uočmo elpsu E s pomenjljvm poluosm α β. T poketn elps ko genets keće se tko d ude stlno u vn α njen ent je n os O njen temen kle duž elps E E. Elpse E E gju ulogu dektse. Povš koj nstje ovm ketnjem elpse E nv se elpsodslk
69 Slk 59: Konstuktvn gene elpsod Ako je A pvoljn tčk elpsod ond on dovoljv jednčnu elpse E. α β γ Jednčne elps E E glse α γ 0 0. Pomenjljv pmet β γ α β γ moju dovoljt uslove Elmnjom pmet αβ γ čet jednčne dojmo jednčnu elpsod. 3 Bojev ovu se poluose elpsod. Elpsod je smetčn u odnosu n svku koodntnu vn. U slučju kd su dve poluose elpsod jednke ond nstje oton elpsod. Ako su sve ose međusono jednke elpsod postje sfe. 69
70 Hpeold Jednogn hpeold U koodntnoj vn O hpeolu H s elnom poluosom mgnnom poluosom u koodntnoj vn O hpeolu H s elnom poluosom mgnnom poluosom. U poketnoj vn α koj je pleln vn O uočmo elpsu E s pomenjljvm poluosm α β. Poketn elps E je genets tnsl se tko d stlno ude u vn α d njen ent ude n os O d temen kle duž hpeol H H koje gju ulogu dekts. Geometjsko mesto svh položj poketne elpse E ovemo jednogn hpeolodslk 60.. Slk 60: Jednogn hpeolod Ako je A pvoljn tčk jednognog hpeold ond on dovoljv jednčnu elpse E to jest α β γ. Jednčne hpeol H H su espektvno Pomenjljv pmet α β γ moju dovoljt uslov 70
71 β γ koj se doj kd se jednčne elpse E jednčne hpeole H elemnšu velčne. Uslov α γ 5 se doj kd se jednčne elpse E jednčne 3 hpeole H elemnšu velčne. Reultt elmnje pomenjljvh pmet α β γ jednčne elpse E jednčn 4 5 dje nm jednčnu jednognog hpeold:. Velčne ovu se poluose jednognog hpeold. Os O se ove mgnn os hpeold on s jednognm hpeoldom nem jednčkh tčk. Ako su ose O odnosno O mgnene ond jednogn hpeold su pedstvljen jednčnm espektvno l. Ako je ond je jednogn hpeold oton to jest:. Dvogn hpeold Nek je genets elps E dektse su hpeole H H koje mju edom poluose jednčku elnu osu O Tnslton elps E u vn α opsće dvogn hpeoldslk E: α β γ tnslton elps. Slčno ko pethodn mtnj pmet moju d dovoljvju jednčne: γ α γ β 4 7
72 Slk 6: Dvogn hpeold Elmnjom αβ γ jednčne elpse E jednčne doj se jednčn dvognog hpeold. Poluose povš su koodnte O O su mgnne ose. Ako je doćemo oton dvogn hpeold. Elptčk pold α Z gentsu ummo elpsu E s jednčnom β γ dektse ummo pole P P s jednčnm edom p 0 q 0 gde su p q pmet poleslk 6.. 7
73 Slk 6: Elptčk polod Tnslnjem elpse E plelno O vn fomćemo povš koju ovemo elptčk pold. Td pmet αβ γ te d dovoljvju uslove α pγ β qγ. Jednčn elpse E dju nm jednčnu elptčkog pold p q gde su p q pmet povš. Ako je pq dojmo oton pold p. Hpeolčk pold Nek je u vn O dt fksn pol P koj g ulogu dektse p 0 p>0. Genets je tnslton pol P čj je jednčn q γ β q>0 gde su β γ pvoljn pmetslk
74 Slk 63: Hpeolčk pold Pol P se keće plelno vn O tko d njen temen Aβ0γ opsuju polu P. Povš koj svojm ketnjem opsuje pol P ove se hpeolčk pold. Nđmo njegovu jednčnu. Elmnjom povoljnh pmet β γ jednčn dojmo jednčnu hpeolčkog pold p. q Clndčne povš Nek je u postou dt kv lnj l vnsk l poston jedn utvđen pv p. Pvu p ovemo genets lnju l dektsslk 64.. Defnj 3. Clndčn povš je geometjsko mesto tčk u postou koje nstje tnsltonm ketnjem pve plelne dtoj pv duž dte kve u postou. Nk je pv p dt pmetsk mp nq. Td je genets defnsn jednčnom mα nβ gde su α β pmet. Nek je dekts defnsn jednčnom F
75 Tčk Mα β 0 je jednčk tčk u peseku dektse genetse p mo t Fα β0. Slk 64: Clndčn povš I mo α β menmo u doćemo jednčnu lndčne povš F-m-n0. Konusn povš Nek je dt fksn kv lnjl poketn pv p koj pol tčkm lnje l jednom fksnom tčkom Aslk 65.. Defnj 3. Konusn povš je geometjsko mesto tčk u postou koje ouje jedn pv koj pol ko jednu utvđenu tčku ko tčke n dtoj kvoj lnjslk 65.. Kv lnj l se nv dekts vodlj pv p je genetsvodn. Nek fksn tčk A m koodnte A fksn kv lnj jednčnu f0 0. Nđmo jednčnu konusne povš. Genetse su pve koje pole tčkom A. Td je 75
76 m l Slk 65: Konusn povš. k Nek je tčk Blm0 jednčk tčk td je fml0 3 Rešvnjem l m menom u 3 doćemo jednčnu konusne povš: 0 0 f 0. 0 Rotonotn povš 0 Nek je u vn α dt kv l pv p tko d pv p ne seče kvu l. Defnj 33. Rotnjem kve l oko utvđene pve p pun ugo nstje oton povšslk
77 Slk 66: Roton povš Pv p je os otje. Svk tčk lnje l opše kužnu K s entom koj ppd pv p. Kužn K se ove genets lnj l dekts otone povš. Nek je lnj l dt jednčnom f0 0 koj ot oko O ose. Td kužne K mju jednčnu α. Zjednčk tčk A m koodnte A0 α to je f α0. 3 Td menom α u 3 dojmo f 0 što pedstvlj jednčnu otone povš. N slčn nčn može se dot oton povš koj ot oko ose O l ose O to jest f 0 l f 0. 77
REDUKCIJA SISTEMA NA TAČKU KOORDINATNOG POČETKA Glavni vektor Glavni moment. = xi. F r. r = j. M i. M r
REUKCIJA ITEA NA TAČKU KOORINATNO POČETKA lvn vekto lvn moment O ) ( j ) ( j O k j k j j j j θ cos cosθ Pme. dt povoljn poston sstem sl speov (l.) sle su defnsne vektom: j k j k 4 j k j j j k k Pojekcje
VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su
ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk
PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču
PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu
4. VEKTORI POJAM VEKTORA
Geodets fultet d s J Ben-Bć Pedvn Mtemte 4 VEKTORI POJAM VEKTORA Svodnevno se susećemo s velčnm če e odeđvne poten smo edn o N pme udlenost povšn volumen Nh ovmo slnm velčnm Međutm postoe velčne oe ne
KUPA I ZARUBLJENA KUPA
KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p
dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor
I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto
ČETVOROUGAO. β 1. β B. Četvorougao je konveksan ako duž koja spaja bilo koje dve tačke unutrašnje oblasti ostaje unutar četvorougla.
Mnogougo oji im četii stnice nziv se četvoougo. ČETVOROUGAO D δ δ γ C A α β B β Z svi četvoougo vži im je zi unutšnji i spoljšnji uglov isti i iznosi 0 0 α β γ δ 0 0 α β γ δ 0 0 Njpe žemo četvoouglovi
TROUGAO. - Stranice a,b,c ( po dogovoru stranice se obeležavaju nasuprot temenu, npr naspram temena A je stranica a, itd) 1, β
TRUG Mngug kji im ti stnie zve se tug. snvni elementi tugl su : - Temen,, - Stnie,, ( p dgvu stnie se eležvju nsupt temenu, np nspm temen je stni, itd) - Uglvi, unutšnji α, β, γ i spljšnji α, β, γ γ α
VEKTORI (m h) brzina, akceleracija, sila, kutna brzina, električno polje, magnetsko polje
sklr VEKTORI (m h) velčn ko e potpuno određen relnm roem (sklrom) Prmer ms, energ, tempertur, rd, sng, oum tel vektor dužn kod koe e određeno ko e nen run točk početn, ko vršn nv se usmeren dužn l vektor
Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.
Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),
SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F
SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost
IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv
SUČELJNI SISTEM SILA Ako se napadne linije svih sila koje sačinjavaju sistem seku u jednoj tački onda se takav sistem sila naziva sučeljnim sistemom.
SUČELJNI SISTEM SIL ko se napadne lnje svh sla koje sačnjavaju sstem seku u jednoj tačk onda se takav sstem sla nazva sučeljnm sstemom.,, Pme. k j k j 6 k j 6 k j k j k j ( ) ( ) Pme. cos6, sn 6 cos, sn
Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5
Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz
2.6 Nepravi integrali
66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,
sektorska brzina tačke
šinski fkultet eogd - ehnik Pedvnje Sektosk bin tčke Nek je ketnje tčke dto vektoom oložj Pi ketnju tčke vekto oložj = O oisuje konusnu ovšinu s vhom u tčki O o i i definisnju bine tčke u ethodnim mtnjim
NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi
NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek
Teorija mašina i mehanizama
Teoj mšn mehnzm S A D R Ž A J. FUNKCIJA, VRSTE I STRUKTURA MEHANIZAMA... 3.. Funkcj mehnzm... 3.. Vste mehnzm... 5.3. Stuktu mehnzm... 6. ANALIZA POLUŽNIH MEHANIZAMA..... Polužn četvoougo..... Tenutn pol.
C 1 D 1. AB = a, AD = b, AA1 = c. a, b, c : (1) AC 1 ; : (1) AB + BC + CC1, AC 1 = BC = AD, CC1 = AA 1, AC 1 = a + b + c. (2) BD 1 = BD + DD 1,
1 1., BD 1 B 1 1 D 1, E F B 1 D 1. B = a, D = b, 1 = c. a, b, c : (1) 1 ; () BD 1 ; () F; D 1 F 1 (4) EF. : (1) B = D, D c b 1 E a B 1 1 = 1, B1 1 = B + B + 1, 1 = a + b + c. () BD 1 = BD + DD 1, BD =
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА
ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote
II. ANALITIČKA GEOMETRIJA PROSTORA
II. ANALITIČA GEOMETRIJA PROSTORA II. DIO (Pv).. Min Roić Linović 9./. Pv u otou Jenž v Nek je: T (,, ) n točk oto {,, } ni vekto mje Znom točkom oto oli mo v leln nim vektoom. T (,,) - oivoljn točk v
Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:
tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene
jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó
L09 cloj=klk=tsvjmosopa jqa=mêççìåíë=^âíáéåöéëéääëåü~ñí= =p~~êäêωåâéå= =déêã~åó 4 16 27 38 49 60 71 82 93 P Éå Ñê ÇÉ áí dbq=ql=hklt=vlro=^mmif^k`b mo pbkq^qflk=ab=slqob=^mm^obfi ibokbk=pfb=feo=dboûq=hbkkbk
DINAMIKA. Dinamički sistem - pogon sa motorom jednosmerne struje: N: u f Ulazi Izlazi (?) U opštem slučaju ovaj DS je NELINEARAN!!!!
DINAMIKA Dnčk sste - ogon s otoro jednoserne struje: N: { DS } u u Ulz Izlz (?),,, [ ] θ U ošte slučju ovj DS je NELINEAAN!!!! BLOK DIJAGAM MAEMAIČKOG MODELA POGONA Iz jednčne ndukt u e e Iz Njutnove jednčne
Vektori u ravnini. - Nije bitan redoslijed AB ili BA
Vektor u rnn. Osnon pomo o ektorm Skup sh tok prc p zmeu ukluuu nh sme ne dužnu Ne tn redosled l e poetn tok e zršn tok odsek n prcu p Defnc: Usmeren odsek od toke ko poetne toke do toke ko zršne toke
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II
FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos
1.PRIZMA ( P=2B+M V=BH )
.RIZMA ( =+M = ).Izrčunti površinu i zpreminu kvr čij je ijgonl ug 0m, užine osnovnih ivi su m i m. D 0m m b m,? D 00 b 00 8 8 b b 87 87 0 87 8 87 b 87 87 87 8 87. Ivie kvr onose se ko :: ijgonl je ug.oreiti
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA
TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug
Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a
Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni
MEHANIKA FLUIDA. Pritisak tečnosti na ravne površi
MEHANKA FLUDA Pritisk tečnosti n rvne površi. zdtk. Tešk brn dimenzij:, b i α nprvljen je od beton gustine ρ b. Kosi zid brne smo s jedne strne kvsi vod, gustine ρ, do visine h. Odrediti ukupni obrtni
RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.
RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA
SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini
Operacije s matricama
Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M
4. Trigonometrija pravokutnog trokuta
4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo
GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;
TEKSTOVI ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektromagnetike (studijski program EEN, 2012/1)
TEKSTOV ZADATAKA (2. kolokvijum) iz Elektomgnetike (stuijski pogm EEN, 22/). Oeiti silu koj eluje n tčksto opteećenje Q smešteno izn polusfeične povone izočine nultog potencijl. 2. Oeiti elimične kpcitivnosti
M p f(p, q) = (p + q) O(1)
l k M = E, I S = {S,..., S t } E S i = p i {,..., t} S S q S Y E q X S X Y = X Y I X S X Y = X Y I S q S q q p+q p q S q p i O q S pq p i O S 2 p q q p+q p q p+q p fp, q AM S O fp, q p + q p p+q p AM
4. Relacije. Teorijski uvod
VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:
Elektrotehnički fakultet univerziteta u Beogradu 16.maj Odsek za Softversko inžinjerstvo
Elektrotehnčk fakultet unverzteta u Beogradu 6.maj 8. Odsek za Softversko nžnjerstvo Performanse računarskh sstema Drug kolokvjum Predmetn nastavnk: dr Jelca Protć (35) a) () Posmatra se segment od N uzastonh
Το άτομο του Υδρογόνου
Το άτομο του Υδρογόνου Δυναμικό Coulomb Εξίσωση Schrödinger h e (, r, ) (, r, ) E (, r, ) m ψ θφ r ψ θφ = ψ θφ Συνθήκες ψ(, r θφ, ) = πεπερασμένη ψ( r ) = 0 ψ(, r θφ, ) =ψ(, r θφ+, ) π Επιτρεπτές ενέργειες
Dinamika krutog tijela. 14. dio
Dnaka kutog tjela 14. do 1 Pojov: 1. Vekto sle F (tanslacja). Moent sle (otacja) 3. Moent toost asa 4. Rad kutog tjela A 5. Knetka enegja E k 6. Moent kolna gbanja 7. u oenta kolne gbanja oenta sle M (
PRIMENA INTEGRALA
www.mtmtinj.com PRIMENA INTEGRALA P ngo što knmo s izčunvnjm povšin, dužin luk, zpmin ili povšin otcion povši momo odditi: - pomoću p tčk ispitmo tok i nctmo kivu kivko j to nophodno - gnic intgl nđmo
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka
UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju
PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).
PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo
Rešenja A/2 kolokvijuma iz predmeta MERNI SISTEMI U TELEKOMUNIKACIJAMA 10. januar 2006.
šnj A/ kolokvijum iz prdmt MENI SISEMI U ELEKOMUNIKACIJAMA. jnur. Zdtk. D i prikznim urđjm mogl mriti mplitud čtvrtog hrmonik u mmorijki lok tr d ud upin ditrovn zin unkcij ( t) y co π Izlz iz urđj j td
= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi
Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim
!"!# ""$ %%"" %$" &" %" "!'! " #$!
" "" %%"" %" &" %" " " " % ((((( ((( ((((( " %%%% & ) * ((( "* ( + ) (((( (, (() (((((* ( - )((((( )((((((& + )(((((((((( +. ) ) /(((( +( ),(, ((((((( +, 0 )/ (((((+ ++, ((((() & "( %%%%%%%%%%%%%%%%%%%(
! " #$% & '()()*+.,/0.
! " #$% & '()()*+,),--+.,/0. 1!!" "!! 21 # " $%!%!! &'($ ) "! % " % *! 3 %,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,0 %%4,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,5
Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:
Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b
Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod
Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f
!"#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=
![!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=](/thumbs/72/67457957.jpg "!#$%& '!(#)& a<.21c67.<9 /06 :6>/ 54.6: 1. ]1;A76 _F -. /06 4D26.36 <> A.:4D6:6C C4/4 /06 D:43? C</ O=47?6C b*dp 12 :1?6:E /< D6 3:4221N6C 42 D:A6 O=")
! " #$% & '( )*+, -. /012 3045/67 8 96 57626./ 4. 4:;74= 69676.36 D426C
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15
MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda
Primer 3.1 Ugaona brzina i ugaono ubrzanje prenosnog elementa:
Pie 3.1 Mehnički ite, ikzn n lici, keće e u vni ctež. Ketnje enonog eleent definiše njegov ugo otcije ϕ ( t) eltivno ketnje definiše koodint ( ) t. Podci u: ϕ( t ) t, ( t) 3t t, b 1, ( t[ ], [ ], ϕ[ d
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija
Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3
! "# $ % $&'& () *+ (,-. / 0 1(,21(,*) (3 4 5 "$ 6, ::: ;"<$& = = 7 + > + 5 $?"# 46(A *( / A 6 ( 1,*1 B"',CD77E *+ *),*,*) F? $G'& 0/ (,.
! " #$%&'()' *('+$,&'-. /0 1$23(/%/4. 1$)('%%'($( )/,)$5)/6%6 7$85,-9$(- /0 :/986-$, ;2'$(2$ 1'$-/-$)('')5( /&5&-/ 5(< =(4'($$,'(4 1$%$2/996('25-'/(& ;/0->5,$ 1'$-/%'')$(($/3?$%9'&-/?$( 5(< @6%-'9$
4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i
Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine
Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,
Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište
IZVODI ZADACI (I deo)
IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a
Kinematika materijalne toke. 2. Prirodni koordinatni sustav. 1. Vektorski nain definiranja gibanja. Krivocrtno gibanje materijalne toke
Kioco gibje meijle oke Kiemik meijle oke. dio ) Zje kiocog gibj b) Bi i ubje Položj meijle oke u skom euku eme možemo defiii slijedee ie:. Vekoski i defiij gibj (). Piodi i defiij gibj s s (). Vekoski
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA
OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH
transformacija j y i x x promatramo dva koordinatna sustava S i S sa zajedničkim ishodištem z z Homogene funkcije Ortogonalne transformacije
promatramo dva oordnatna sustava S S sa zaednčm shodštem z z y y x x blo o vetor možemo raspsat u baz, A = A x + Ay + Az = ( A ) + ( A ) + ( A ) (1) sto vred za ednčne vetore sustava S = ( ) + ( ) + (
Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju
RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A
Kontrolni zadatak (Tačka, prava, ravan, diedar, poliedar, ortogonalna projekcija), grupa A Ime i prezime: 1. Prikazane su tačke A, B i C i prave a,b i c. Upiši simbole Î, Ï, Ì ili Ë tako da dobijeni iskazi
Veliine u mehanici. Rad, snaga i energija. Dinamika. Meunarodni sustav mjere (SI) 1. Skalari. 2. Vektori - poetak. 12. dio. 1. Skalari. 2.
Vele u ehc Rd, g eegj D. do. Sl. Veo 3. Tezo II. ed 4. Tezo IV. ed. Sl: 3 0 pod je jedc (ezo ulog ed). Veo: 3 3 pod je jedc (ezo pog ed) 3. Tezo dugog ed 3 9 pod je jedc 4. Tezoeog ed 3 4 8 pod je jedc
Zbirka rešenih ispitnih zadataka iz Osnova elektrotehnike
Snj Mvić Mikloš Pot Zik ešenih ispitnih zdtk iz Osnov elektotehnike Suotic,. PDGOO Ov zik zdtk pisn je z studente iše tehničke škole elektotehničkog sme u Suotici, li može poslužiti i studentim dugih pofil
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού.
Νόµοςπεριοδικότητας του Moseley:Η χηµική συµπεριφορά (οι ιδιότητες) των στοιχείων είναι περιοδική συνάρτηση του ατοµικού τους αριθµού. Περιοδικός πίνακας: α. Είναι µια ταξινόµηση των στοιχείων κατά αύξοντα
Dinamika krutog tijela ( ) Gibanje krutog tijela. Gibanje krutog tijela. Pojmovi: C. Složeno gibanje. A. Translacijsko gibanje krutog tijela. 14.
Pojmo:. Vektor se F (transacja). oment se (rotacja) Dnamka krutog tjea. do. oment tromost masa. Rad krutog tjea A 5. Knetka energja k 6. oment kona gbanja 7. u momenta kone gbanja momenta se f ( ) Gbanje
Διευθύνοντα Μέλη του mathematica.gr
Το «Εικοσιδωδεκάεδρον» παρουσιάζει ϑέματα που έχουν συζητηθεί στον ιστότοπο http://www.mathematica.gr. Η επιλογή και η ϕροντίδα του περιεχομένου γίνεται από τους Επιμελητές του http://www.mathematica.gr.
Pismeni dio ispita iz Matematike Riješiti sistem jednačina i diskutovati rješenja u zavisnosti od parametra a:
Zenica, 70006 + y+ z+ 4= 0 y+ z : i ( q) : = = y + z 4 = 0 a) Napisati pavu p u kanonskom, a pavu q u paametaskom obliku b) Naći jednačinu avni koja polazi koz pavu p i okomita je na pavu q ate su pave
#%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,!
-!"#$% -&!'"$ & #("$$, #%" )*& ##+," $ -,!./" %#/%0! %,! %!$"#" %!#0&!/" /+#0& 0.00.04. - 3 3,43 5 -, 4 $ $.. 04 ... 3. 6... 6.. #3 7 8... 6.. %9: 3 3 7....3. % 44 8... 6.4. 37; 3,, 443 8... 8.5. $; 3
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza
Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog
1 Afina geometrija. 1.1 Afini prostor. Definicija 1.1. Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo. A - skup taqaka
1 Afina geometrija 11 Afini prostor Definicija 11 Pod afinim prostorom nad poljem K podrazumevamo svaku uređenu trojku (A, V, +): A - skup taqaka V - vektorski prostor nad poljem K + : A V A - preslikavanje
3.1 Granična vrednost funkcije u tački
3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili
..., ISBN: :.!". # -. $, %, 1983 &"$ $ $. $, %, 1988 $ $. ## -. $, ', 1989 (( ). '. ') "!$!. $, %, 1991 $ 1. * $. $,.. +, 2001 $ 2. $. $,, 1992 # $!
!! " 007 : ISBN: # $! % :!" # - $ % 983 &"$ $ $ $ % 988 $ $ ## - $ ' 989 (( ) ' ') "!$! $ % 99 $ * $ $ + 00 $ $ $ 99!! " 007 -!" % $ 006 ---- $ 87 $ (( %( %(! $!$!" -!" $ $ %( * ( *!$ "!"!* "$!$ (!$! "
SWOT 1. Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries. ISIGInstitute of. International Sociology Gorizia
SWOT 1 Analysis and Planning for Cross-border Co-operation in Central European Countries ISIGInstitute of International Sociology Gorizia ! " # $ % ' ( )!$*! " "! "+ +, $,,-,,.-./,, -.0",#,, 12$,,- %
Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu
7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc
!!" #7 $39 %" (07) ..,..,.. $ 39. ) :. :, «(», «%», «%», «%» «%». & ,. ). & :..,. '.. ( () #*. );..,..'. + (# ).
1 00 3 !!" 344#7 $39 %" 6181001 63(07) & : ' ( () #* ); ' + (# ) $ 39 ) : : 00 %" 6181001 63(07)!!" 344#7 «(» «%» «%» «%» «%» & ) 4 )&-%/0 +- «)» * «1» «1» «)» ) «(» «%» «%» + ) 30 «%» «%» )1+ / + : +3
c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]
![c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]](/thumbs/92/108578155.jpg "c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]")
Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom
Erkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit
rkki Mäkinen ja Timo Poranen Algoritmit TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS TAMPRN YLIOPISTO D 2008 6 TAMPR 2009 TAMPRN YLIOPISTO TITOJNKÄSITTLYTITIDN LAITOS JULKAISUSARJA D VRKKOJULKAISUT D 2008 6, TOUKOKUU 2009
VEKTOR MOMENTA SILE ZA TAČKU. Vektor momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za. proizvoljno izabranu tačku.
VEKTOR OENT SILE Z TČKU Vekto momenta sile, koja dejstvuje na neku tačku tela, za poizvoljno izabanu tačku pedstavlja meu obtnog dejstva sile u odnosu na tu poizvoljno izabanu tačku. Ovde je tačka momentna
Trigonometrijske nejednačine
Trignmetrijske nejednačine T su nejednačine kd kjih se nepznata javlja ka argument trignmetrijske funkcije. Rešiti trignmetrijsku nejednačinu znači naći sve uglve kji je zadvljavaju. Prilikm traženja rešenja
Matematička analiza 4
Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................
Trenutni pol brzine. Načini njegovog određivanja.
Tenutni ol bzine. Nčini njegovog odeđivnj. Svko kuto telo koje vši vno ketnje, u oštem slučju, u svkom tenutku, n svom mteijlnom ili nemteijlnom delu, im smo jednu tčku, čij je bzin jednk nuli V = 0. T
Elementi spektralne teorije matrica
Elementi spektralne teorije matrica Neka je X konačno dimenzionalan vektorski prostor nad poljem K i neka je A : X X linearni operator. Definicija. Skalar λ K i nenula vektor u X se nazivaju sopstvena
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović
DISKRETNA MATEMATIKA - PREDAVANJE 7 - Jovanka Pantović Novi Sad April 17, 2018 1 / 22 Teorija grafova April 17, 2018 2 / 22 Definicija Graf je ure dena trojka G = (V, G, ψ), gde je (i) V konačan skup čvorova,
Ekonometrija 5. Ekonometrija, Osnovne studije. Predavač: Aleksandra Nojković
Ekoometja 5 Ekoometja, Osove studje Pedavač: Aleksada Nojkovć Stuktua pedavaja Klasč dvostuk (všestuk) lea egeso model - metod ONK. Petpostavke všestukog KLM. Koelacja u všestukom KLM. Oča kogova. Dvostuk
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 2
I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Glv IX : INTEGRAL PO FIGURI U R OJNI TROJNI I IŠESTRUKI INTEGRALI KRIOLINIJSKI I PORŠINSKI INTEGRALI 90 Osov pojmov o tegrlm relh ukcj vše relh promjeljvh U Ižejerskoj
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE
SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive
Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.
Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između
Strukture GMDH u modeliranju i predikciji vremenskih serija. Ivan Ivek
Srukure GMDH u modelrnju predkcj vremenskh serj Ivn Ivek Group Mehod of D Hndlng Ivkhnenko, 966. regresj, esmcj, predkcj, konrol... Dobr svojsv: nskoprmersk lgorm smopodešvnje srukure selekcj ulnh vrjbl
Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.
Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:
8. f = {(-1, 2), (-3, 1), (-5, 6), (-4, 3)} - i.) ii)..
இர மத ப பண கள வ ன க கள 1.கணங கள ம ச ப கள ம 1. A ={4,6.7.8.9}, B = {2,4,6} C= {1,2,3,4,5,6 } i. A U (B C) ii. A \ (C \ B). 2.. i. (A B)' ii. A (BUC) iii. A U (B C) iv. A' B' v. A\ (B C) 3. A = { 1,4,9,16
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής
ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ (1) Ηλία Σκαλτσά ΠΕ04.01 5 ο Γυμνάσιο Αγ. Παρασκευής Όπως συμβαίνει στη φύση έτσι και ο άνθρωπος θέλει να πετυχαίνει σπουδαία αποτελέσματα καταναλώνοντας το λιγότερο δυνατό
Parts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo
![7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo](/thumbs/89/98520281.jpg "7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo")
7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ. Εικόνα 1. Φωτογραφία του γαλαξία μας (από αρχείο της NASA)
ΓΗ ΚΑΙ ΣΥΜΠΑΝ Φύση του σύμπαντος Η γη είναι μία μονάδα μέσα στο ηλιακό μας σύστημα, το οποίο αποτελείται από τον ήλιο, τους πλανήτες μαζί με τους δορυφόρους τους, τους κομήτες, τα αστεροειδή και τους μετεωρίτες.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI. NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA.
KOMUTATIVNI I ASOCIJATIVNI GRUPOIDI NEUTRALNI ELEMENT GRUPOIDA 1 Grupoid (G, ) je asocijativa akko važi ( x, y, z G) x (y z) = (x y) z Grupoid (G, ) je komutativa akko važi ( x, y G) x y = y x Asocijativa
March 14, ( ) March 14, / 52
March 14, 2008 ( ) March 14, 2008 1 / 52 ( ) March 14, 2008 2 / 52 1 2 3 4 5 ( ) March 14, 2008 3 / 52 I 1 m, n, F m n a ij, i = 1,, m; j = 1,, n m n F m n A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a
www.absolualarme.com met la disposition du public, via www.docalarme.com, de la documentation technique dont les rιfιrences, marques et logos, sont
w. ww lua so ab me lar m.co t me la sit po dis ion du c, bli pu via lar ca do w. ww me.co m, de la ion nta t do cu me on t ed hn iqu tec les en ce s, rι fιr ma rq ue se t lo go s, so nt la pr op riι tι
Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ. Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής
ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΟΜΗ ΚΑΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Παππάς Χρήστος Επίκουρος Καθηγητής ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΩΝ ΑΤΟΜΩΝ Ατομική ακτίνα (r) : ½ της απόστασης μεταξύ δύο ομοιοπυρηνικών ατόμων, ενωμένων με απλό ομοιοπολικό δεσμό.