Σκοπός της Αντοχής των Υλικών. Αναγκαιότητα του µαθήµατος, ρόλος του σε σχέση µε άλλα µαθήµατα των κατασκευών, προβλήµατα που επιλύει.

Transcript

1 1 η Εβδοµάδα Σκοπός της Αντοχής των Υλικών. Αναγκαιότητα του µαθήµατος, ρόλος του σε σχέση µε άλλα µαθήµατα των κατασκευών, προβλήµατα που επιλύει. Η έννοια του φορέα. Συσχετισµός και αντιδιαστολή µε τον αντίστοιχο φορέα της Στατικής. Οι απλές καταπονήσεις. Αναλυτική ανάπτυξη των διαφόρων καταπονήσεων, έτσι ώστε να αντιδιαστέλλονται µεταξύ τους. Συγκεκριµένα: Εφελκυσµός ή θλίψη ιάτµηση Στρέψη Κάµψη Λυγισµός Οι σύνθετες καταπονήσεις. ιαχωρισµός διαφόρων καταπονήσεων σε απλές. Εσωτερικές δυνάµεις. Η έννοια των µοριακών δυνάµεων σε αντιδιαστολή µε τα φορτία διατοµής. Τάσεις. Έννοια, ορισµοί, και διαχωρισµός των τάσεων. Εντατική κατάσταση. Παρουσίαση του εντατικού µοντέλου του φορέα. Ο νόµος του Hooke. Παρουσίαση της σχέσης που εκφράζει τη µεταβολή που υπάρχει µεταξύ φορτίου και παραµόρφωσης. Το πείραµα του εφελκυσµού. Αναλυτική παρουσίαση του διαγράµµατος εφελκυσµού, όπου περιγράφονται οι διαδοχικές περιοχές του, µε αντίστοιχη επισήµανση χαρακτηριστικών σηµείων του διαγράµµατος και συναφών ιδιοτήτων του υλικού. Γίνεται διαχωρισµός των τάσεων µαλακού χάλυβα σε συµβατικές και πραγµατικές.

2 2 η Εβδοµάδα Τύποι διαγραµµάτων εφελκυσµού. ιαχωρισµός διαγραµµάτων εφελκυσµού ανάλογα µε τη φύση του υλικού του δοκιµίου και τυχόν προσµίξεών του, σε: ιαγράµµατα µε περιοχή αναλογίας & όριο διαρροής. ιαγράµµατα µε περιοχή αναλογίας χωρίς όριο διαρροής (Χαλκός, Αλουµίνιο). ιαγράµµατα ψαθυρών υλικών (Χυτοσίδηρος, γυαλί, σκυρόδεµα, ορείχαλκος). Το πείραµα της θλίψης. Σύντοµη περιγραφή του πειράµατος, συσχετισµός και αντιδιαστολή του µε το αντίστοιχο του εφελκυσµού. Εγκάρσια παραµόρφωση. Έννοια ορισµοί. Συντελεστής εγκάρσιας συστολής και σταθερά του Poisson. Γενίκευση του νόµου του Hooke. Αναλυτική παρουσίαση της παραµόρφωσης σε µια επιφάνεια που υπόκειται σε επίπεδη εντατική κατάσταση, στις κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις των κυρίων τάσεων. Γωνιακή παραµόρφωση. Η έννοια της γωνιακής παραµόρφωσης σε συσχετισµό και αντιδιαστολή µε την κατάσταση της διάτµησης αλλά και της στρέψης. Συντελεστής ασφάλειας. Η έννοια του συντελεστή ασφάλειας και η αναγκαιότητα επιβολής του. ιάκριση συντελεστών έναντι διαρροής και έναντι θραύσης. Επίδραση της θερµοκρασίας. Η έννοια της συστολοδιαστολής και ο συσχετισµός της µε τη µεταβολή θερµοκρασίας και την παραµόρφωση. Υπολογισµός αντιστοίχων τάσεων.

3 3 η Εβδοµάδα Εφελκυσµός Θλίψη, σαν καταπονήσεις. Οι οµοιότητες µεταξύ των δύο καταπονήσεων και η βασική τους διαφορά. Οι εσωτερικές δυνάµεις και οι τάσεις. Η έννοια της εσωτερικής αξονικής δύναµης και ο συσχετισµός της µε την ορθή τάση. Παραµορφώσεις. Αναφορά στον υπολογισµό τους. Έλεγχος αντοχής. Συσχετισµοί βασικών µεγεθών που προκύπτουν από τον έλεγχο αντοχής όπου εµπλέκεται η υπάρχουσα και η επιτρεπόµενη ορθή τάση, η υπάρχουσα ή η απαιτούµενη διατοµή και η υπάρχουσα ή δυναµένη να µεταφερθεί δύναµη, και αφορούν: Τον έλεγχο τάσεων Τη διαστασιολόγηση Την ικανότητα φόρτισης Οι τάσεις σε πλάγιες τοµές. Υπολογισµός ορθής και διατµητικής τάσης που αναπτύσσεται σε διατοµή του φορέα η οποία σχηµατίζει συγκεκριµένη γωνία µε την εγκάρσια διατοµή του. Μελέτη µεταβολής και των δύο αυτών τάσεων συναρτήσει της γωνίας. Μέγιστες και ελάχιστες τιµές. Κυλινδρικά δοχεία µε λεπτά τοιχώµατα. Υπολογισµός των κυρίων τάσεων που αναπτύσσονται κατά δύο κάθετες µεταξύ τους διευθύνσεις στα λεπτά τοιχώµατα ενός κυλινδρικού δοκιµίου (π.χ. αεροσυµπιεστού), τόσο κατά την παράλληλη προς τον άξονά του έννοια όσο και κατά την εφαπτοµενική του, συναρτήσει της ακτίνας του κυλίνδρου, της εσωτερικής υπερπίεσης και του πάχους των τοιχωµάτων του. Συσχετισµός µεταξύ των τάσεων αυτών.

4 4 η Εβδοµάδα Στατικά αόριστα προβλήµατα. Παρουσιάζεται η έννοια του στατικά αόριστου φορέα. Πώς είναι δυνατόν να εκφραστεί η στατική αοριστία ενός φορέα στον εφελκυσµό και θλίψη. Γίνεται συστηµατική παρουσίαση και µελέτη των διαφόρων περιπτώσεων που είναι δυνατόν να προκαλέσουν στατική αοριστία σε έναν αξονικά καταπονούµενο φορέα. Σε κάθε περίπτωση µελετάται η συνθήκη συµβιβαστού των παραµορφώσεων, έτσι ώστε να σχηµατισθεί η επί πλέον εξίσωση ή εξισώσεις, που θα οδηγήσουν στον προσδιορισµό του επιδιωκοµένου εντατικού µεγέθους. Αναφέρεται η άσκηση αξονικού φορτίου σε τυχούσα θέση αµφίπακτου φορέα και εξ αυτού η γενικευµένη περίπτωση απείρων αξονικών δυνάµεων όχι κατ ανάγκην οµορόπων. Η περίπτωση αξονικών δυνάµεων που ασκούνται στις διαχωριστικές διατοµές συστήµατος οµόκεντρων εν σειρά πρισµατικών ράβδων και η περίπτωση συστήµατος οµοαξονικών ράβδων που υπόκειται σε µεταβολή θερµοκρασίας. Στατικά αόριστα προβλήµατα. Παρουσιάζονται περισσότερες περιπτώσεις προβληµάτων, έτσι ώστε να εµπεδωθεί καλά αυτό το δύσκολο και ταυτόχρονα σπουδαίο κεφάλαιο της αντοχής των υλικών. Αναφέρεται ο προσδιορισµός τάσεων κυλινδρικής ράβδου που περιβάλλεται από ισοµήκεις ράβδους δακτυλιοειδούς διατοµής διαφόρων υλικών, ή ο προσδιορισµός απαιτούµενης θερµοκρασιακής µεταβολής, ώστε, σε σύστηµα δύο κεντρικά θλιβόµενων υλικών η αξονική δύναµη να παραλαµβάνεται µόνο από το ένα. Επίσης ο υπολογισµός αξονικών δυνάµεων σε 3 ράβδους, που αποτελούν έναν κόµβο δικτυωτού φορέα, όπου ασκείται ένα συγκεντρωµένο φορτίο. Επίσης ο παραπάνω υπολογισµός όταν εφαρµόζεται θερµοκρασιακή µεταβολή αντί φορτίου. Υπάρχοντος χρόνου, µπορούν να αναφερθούν και αρκετές άλλες περιπτώσεις.

5 5 η Εβδοµάδα ιάτµηση. Έννοια ορισµοί. Οι εσωτερικές δυνάµεις και οι τάσεις. Η έννοια του µονότµητου, δίτµητου κ.ο.κ. ήλου. Μεθοδολογία και απλοποίηση υπολογισµών. Σύνθλιψη άντυγας οπών. Η φιλοσοφία της απλοποιηµένης µορφής για τον υπολογισµό της αντοχής σε σύνθλιψη στην εσωτερική κυλινδρική επιφάνεια οπής ενός ήλου. Έλεγχος αντοχής. Συσχετισµοί βασικών µεγεθών που προκύπτουν από τον έλεγχο αντοχής όπου εµπλέκονται η υπάρχουσα και η επιτρεπόµενη διατµητική τάση, η υπάρχουσα ή η απαιτούµενη διατοµή του ήλου το υπάρχον ή απαιτούµενο πάχος ελάσµατος και η υπάρχουσα ή δυναµένη να µεταφερθεί διατµητική δύναµη, και αφορούν: Στον έλεγχο τάσεων Στη διαστασιολόγηση Στην ικανότητα φόρτισης Στρέψη. Οι εσωτερικές δυνάµεις και οι τάσεις γενικά. Εικόνα των διατµητικών τάσεων και κατανοµή τους. Μηδενικό σηµείο τάσεων. Τάσεις παραµορφώσεις σε κυλινδρικούς φορείς. Παραδοχές όπου στηρίζεται ο προσδιορισµός τους. Προσδιορισµός της διατµητικής τάσης τ. Αναλυτική διαδικασία προσδιορισµού της διατµητικής τάσης που αναπτύσσεται σε τυχόν σηµείο της κυκλικής διατοµής ενός κυλινδρικού φορέα που καταπονείται σε στρέψη, συναρτήσει της στρεπτικής ροπής, της πολικής ροπής αδράνειας της διατοµής και της απόστασης του σηµείου από το κέντρο της διατοµής. Προσδιορισµός της γωνίας στροφής φ. Προκύπτει από την έννοια της ανηγµένης γωνίας στροφής.

6 6 η Εβδοµάδα Παραδείγµατα για την εµπέδωση της στρεπτικής καταπόνησης. Αναφέρεται: ο προσδιορισµός διατµητικών τάσεων και η ολική γωνία στροφής των ακραίων διατοµών σε κυλινδρική σωληνωτή κατά τµήµατα ράβδο, ο συγκριτικός συσχετισµός µεταξύ ίσων στρεπτικά καταπονούµενων ράβδων του αυτού υλικού όµως η µια κυλινδρική και η άλλη σωληνωτή σε ότι αφορά τις µέγιστες διατµητικές τάσεις, τις γωνίες περιστροφής και τα βάρη τους. ο προσδιορισµός ολικής γωνίας στροφής µεταξύ των ακραίων διατοµών σωληνωτής ράβδου µεταβλητής διαµέτρου. Έλεγχος αντοχής. Αφορά στον έλεγχο ως προς την υπάρχουσα και την επιτρεπόµενη µέγιστη διατµητική τάση αλλά και στον αντίστοιχο έλεγχο ως προς την ανηγµένη γωνία στροφής Στρέψη ράβδων µε λεπτή σωληνωτή διατοµή. Επισηµαίνεται η µέγιστη διατµητική τάση και η ανηγµένη γωνία στροφής. Το πείραµα της στρέψης. Αναλυτική περιγραφή του πειράµατος στρέψης, ιδιαίτερα κατά το στάδιο της ελαστοπλαστικής περιοχής και αντιδιαστολή του µε το αντίστοιχο του εφελκυσµού. Ανελαστική δράση. Αναλυτικός προσδιορισµός της συνολικής µέγιστης στρεπτικής ροπής κατά το στάδιο της ελαστοπλαστικής περιοχής. Παράδειγµα. Παρουσιάζεται µια στρεπτικά καταπονούµενη ράβδος µε συγκεκριµένη γεωµετρία και εξωτερική στρεπτική ροπή, όπου, όχι µόνο εντοπίζεται η λειτουργία της στην ελαστοπλαστική περιοχή, αλλά υπολογίζεται και η ακτίνα της ελαστικής της περιοχής. Επίσης υπολογίζεται η συνολική γωνία στροφής των ακραίων διατοµών της.

7 7 η Εβδοµάδα Κάµψη Γενικά. Αναφορά στη γενική περίπτωση της καµπτικής καταπόνησης, τονίζοντας τις απαραίτητες συνθήκες για την ύπαρξή της. Η δοκός ως φορέας. Σύντοµη αναφορά στα διάφορα είδη των επίπεδων φορέων (δίσκοι, πλάκες) αλλά και των γραµµικών (ευθύγραµµοι, τοξωτοί, πλαισιωτοί, σύνθετοι). Η έννοια της δοκού. Αναφορά στα διάφορα είδη των ισοστατικών φορέων, συµπεριλαµβανοµένης και της δοκού Gerber. Οι στηρίξεις. Σχολαστική περιγραφή των τριών περιπτώσεων στήριξης ενός φορέα, δηλαδή της κύλισης, άρθρωσης και πάκτωσης σε συνδυασµό µε το πλήθος αλλά και τη µορφή των αγνώστων αντιδράσεων που εµφανίζονται. Εξωτερικά φορτία και αντιδράσεις. Αναφορά στα διάφορα είδη εξωτερικής φόρτισης (συγκεντρωµένα, συνεχή) µε ξεχωριστή περιγραφή για τον τρόπο που αντιµετωπίζεται το καθένα από αυτά. Υπολογισµός των αντιδράσεων µε χρήση των 3 στερεοστατικών εξισώσεων ισορροπίας. Τα φορτία διατοµής. Αναφορά στην εµφάνιση των φορτίων διατοµής (αξονική δύναµη, τέµνουσα δύναµη και καµπτική ροπή) σε έναν απλό αµφιέρειστο φορέα µε ένα συγκεντρωµένο λοξό φορτίο στο µέσον του, χρησιµοποιώντας τη µέθοδο της τοµής. Σήµανση και υπολογισµός των Ν, Q, Μ. Σχολαστική περιγραφή της σχετικής µεθοδολογίας που αφορά τη σήµανση και τον προσδιορισµό των εντατικών µεγεθών Ν, Q, Μ σε οποιαδήποτε διατοµή του φορέα, παίρνοντας τις δυνάµεις αριστερά ή δεξιά της διατοµής. Ειδική αναφορά στην περίπτωση των ειδικών διατοµών, όπου παρουσιάζεται συγκεντρωµένο εντατικό µέγεθος. Παράδειγµα. Προσδιορισµός των εντατικών µεγεθών Ν, Q και Μ σε ειδικά επιλεγµένες διατοµές ενός ισοστατικού φορέα, έτσι ώστε να εµφανίζονται και οι περιπτώσεις των ειδικών διατοµών.

8 8 η Εβδοµάδα Βασικές σχέσεις µεταξύ των µεγεθών q, Q και Μ. Προσεκτική παρουσίαση των σχέσεων µεταξύ της εξωτερικής φόρτισης, της τέµνουσας δύναµής και της καµπτικής ροπής οποιουδήποτε καµπτικά καταπονούµενου φορέα. Ερµηνεία των σχέσεων και επισήµανση της τεράστιας σηµασίας των για τη σωστή κατασκευή των διαγραµµάτων τεµνουσών δυνάµεων και καµπτικών ροπών. Κατασκευή των διαγραµµάτων Q και Μ. Αναλυτική παρουσίαση της µεθοδολογίας κατασκευής διαγραµµάτων αξονικών δυνάµεων, τεµνουσών δυνάµεων και καµπτικών ροπών µέσα από ένα παράδειγµα απλής αµφιερείστου δοκού όπου ασκείται µία λοξή συγκεντρωµένη δύναµη και ένα οµοιόµορφο φορτίο. Παράδειγµα. Επανάληψη ενός συνθετότερου παραδείγµατος κατασκευής διαγραµµάτων, όπου, στο φορέα, παρουσιάζονται σα φορτία, συγκεντρωµένη δύναµη, συγκεντρωµένη ροπή, οµοιόµορφη φόρτιση, τριγωνική φόρτιση κλπ. Παρουσιάζεται η ευκαιρία επαλήθευσης των αντιδράσεων που έχουν ήδη προσδιοριστεί µε τις 3 στερεοστατικές εξισώσεις ισορροπίας (ΣΜ = 0, Σy = 0, Σx = 0). Περαιτέρω παρουσιάζεται ο τρόπος κατασκευής των εφαπτοµένων που αντιστοιχούν στα άκρα των καµπύλων τµηµάτων, τόσο για την περίπτωση τριγωνικής (ή ανώτερης) φόρτισης στο διάγραµµα τεµνουσών, όσο και για την περίπτωση οµοιόµορφης (ή ανώτερης) φόρτισης στο διάγραµµα καµπτικών ροπών. Επίσης θα τονιστούν διάφορα σηµαντικά στοιχεία, όπως π.χ. ότι η τιµή της καµπτικής ροπής που εµφανίζεται σε µια διατοµή, ισούται µε το αλγεβρικό άθροισµα του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων αριστερά της διατοµής, ότι ο µηδενισµός του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων συνεπάγεται την εµφάνιση µέγιστης τιµής στην καµπτική ροπή, κ.α.

9 9 η Εβδοµάδα Παράδειγµα. Για την καλύτερη αφοµοίωση και εµπέδωση αυτού του τόσο σηµαντικού και νευραλγικού τοµέα του µαθήµατος που είναι τα διαγράµµατα τεµνουσών δυνάµεων και καµπτικών ροπών, θα γίνει άλλη µία επανάληψη κατασκευής διαγραµµάτων ενός πραγµατικά σύνθετου παραδείγµατος, όπου θα παρουσιάζεται π.χ. µια τριγωνική φόρτιση στο άκρο ενός δεξιού προβόλου µε την κορυφή του φορτίου αριστερά. Αφού παρουσιαστεί ο συµφερότερος τρόπος αντιµετώπισης, θα τονιστεί, σε αντιδιαστολή µε τον κλασσικό τρόπο, το σηµαντικό όφελος που προκύπτει από την εφαρµογή του νέου αυτού τρόπου. Είναι αυτονόητο ότι, όπως και πριν, τα φορτία που θα εµπλέκονται στο φορέα, θα είναι συγκεντρωµένη δύναµη, συγκεντρωµένη ροπή, οµοιόµορφη φόρτιση, τριγωνική φόρτιση κλπ. Παράδειγµα. Η καλύτερη αφοµοίωση και εµπέδωση στον τοµέα κατασκευής διαγραµµάτων θα ολοκληρωθεί µε την παρουσίαση της στατικής επίλυσης ενός ισοστατικού πλαισίου, όπου, το επίπεδο της κύλισης που αντιστοιχεί στη στήριξη δεν είναι οριζόντιο αλλά κεκλιµένο. ηλαδή θα γίνει ο προσδιορισµός των 4 ουσιαστικά αντιδράσεων, η επαλήθευσή τους και η κατασκευή του διαγράµµατος αξονικών δυνάµεων (Ν), του διαγράµµατος τεµνουσών δυνάµεων (Q), και του διαγράµµατος καµπτικών ροπών (Μ). Η παρουσίαση θα κλείσει µε αναφορά σε γενικές παρατηρήσεις που θα αναφέρονται στη µορφή του διαγράµµατος που παρουσιάζεται όταν µεταβαίνουµε από µια περιοχή που έχει συγκεκριµένες ιδιότητες φόρτισης (π.χ. είναι αφόρτιστη η οµοιόµορφα φορτισµένη), σε µια γειτονική περιοχή µε κάποιες άλλες συνθήκες φόρτισης (π.χ. οµοιόµορφα ή τριγωνικά φορτισµένη ή ακόµη και αφόρτιστη αντίστοιχα).

10 10 η Εβδοµάδα υσµενείς φορτίσεις. Παρουσίαση των διαφόρων περιπτώσεων δυσµενών φορτίσεων σε µονοπροέχουσα ή αµφιπροέχουσα δοκό µε αντίστοιχη αναφορά στις προκύπτουσες µέγιστες ή ελάχιστες τιµές αντιδράσεων ή εντατικών µεγεθών. Η κάµψη και οι εσωτερικές δυνάµεις. Αναφορά στην καθαρή και γενική κάµψη, στον τρόπο παραµόρφωσης του φορέα και στην ορολογία που προκύπτει. Ιδιαίτερη αναφορά στο ουδέτερο επίπεδο, στην ουδέτερη γραµµή, στα χρησιµοποιούµενα συστήµατα συντεταγµένων για τον καθορισµό τυχούσας διατοµής σε σχέση µε τον άξονα του φορέα, αλλά και για τον καθορισµό κάποιου σηµείου της διατοµής σε σχέση µε την ουδέτερη γραµµή. Βασικές προϋποθέσεις που πρέπει να τηρούνται για τη µελέτη µεταβολής των ορθών τάσεων καθ ύψος της διατοµής. Οι τάσεις. Αναφορά στις ορθές και διατµητικές τάσεις που αναπτύσσονται σε τυχόν σηµείο της διατοµής στη γενική κάµψη. Οι ορθές τάσεις. Λεπτοµερής παρουσίαση της µεθοδολογίας προσδιορισµού τής ορθής τάσης που αναπτύσσεται σε τυχόν σηµείο της διατοµής, σε σχέση µε την καµπτική ροπή, τη ροπή αδράνειας της διατοµής ως προς την ουδέτερη γραµµή και την απόσταση του σηµείου από την ουδέτερη γραµµή. Οι διατµητικές τάσεις. Λεπτοµερής, όπως προηγουµένως, παρουσίαση της µεθοδολογίας προσδιορισµού τής διατµητικής τάσης που αναπτύσσεται σε τυχόν σηµείο της διατοµής. Η διατµητική τάση θα δίνεται σε σχέση µε την τέµνουσα δύναµη της διατοµής, τη στατική ροπή της µικρότερης επιφάνειας της διατοµής (που δηµιουργείται αν από το συγκεκριµένο σηµείο φέρουµε την παράλληλη προς την ουδέτερη γραµµή) ως προς την ουδέτερη γραµµή, του πλάτους της διατοµής και τέλος της ροπής αδράνειας της διατοµής ως προς την ουδέτερη γραµµή.

11 11 η Εβδοµάδα Έλεγχος αντοχής. Η σηµασία του ελέγχου αντοχής, γενικά και ειδικότερα στους φορείς που καταπονούνται σε κάµψη. Αναφορά στον καµπτικό και διατµητικό έλεγχο, µε ειδική έµφαση στον έλεγχο σε κάµψη, ο οποίος παίζει τον καθοριστικό ρόλο στην επιλογή της διατοµής. Σχολαστική αιτιολόγηση για να φανεί το µέγεθος της αξίας αυτού του ελέγχου. Έλεγχος σε κάµψη. Λεπτοµερής παρουσίαση του ελέγχου σε κάµψη, ο οποίος καλύπτει: Τον έλεγχο ασφάλειας φορτισµένης δοκού (έλεγχος τάσεων) Την εκλογή της διατοµής Τη φορτοϊκανότητα της δοκού, συγκρίνοντας κάθε φορά την υπάρχουσα µέγιστη (ακρότατη) ορθή τάση µε την επιτρεπόµενη, την υπάρχουσα ροπή αντίστασης µε την απαιτούµενη, καθώς και τη µέγιστη ροπή που αναπτύσσεται από την υπάρχουσα φόρτιση. Ο έλεγχος που οδηγεί στην επιλογή της διατοµής καλύπτει την περίπτωση όπου η διατοµή είναι ορθογώνιο, ισοσκελές τρίγωνο, κύκλος και κυκλικός δακτύλιος. Έλεγχος σε διάτµηση. Λεπτοµερής παρουσίαση του ελέγχου σε διάτµηση, ο οποίος, όπως και στην κάµψη, καλύπτει: Τον έλεγχο ασφάλειας φορτισµένης δοκού (έλεγχος τάσεων) Την εκλογή της διατοµής Τη φορτοϊκανότητα της δοκού, συγκρίνοντας κάθε φορά την υπάρχουσα µέγιστη (ακρότατη) διατµητική τάση µε την επιτρεπόµενη, την υπάρχουσα στατική ροπή µε την απαιτούµενη, καθώς και τη µέγιστη τέµνουσα που αναπτύσσεται.

12 12 η Εβδοµάδα Παραδείγµατα. Επειδή η πεµπτουσία του µαθήµατος της Αντοχής Υλικών εντοπίζεται τελικά στον απαιτούµενο έλεγχο ενός φορέα λόγω καµπτικής καταπόνησης, δίνεται ξεχωριστή βαρύτητα, προσοχή και επιµέλεια στην κατά το δυνατόν τελειότερη παρουσίαση αυτού του κοµµατιού. Έτσι αναπτύσσονται τρία τουλάχιστον παραδείγµατα, που κατασκευάστηκαν για να καλύψουν τις σηµαντικότερες περιπτώσεις καµπτικών καταπονήσεων στην πράξη. Το πρώτο αφορά στον προσδιορισµό της πλευράς τετραγωνικής διατοµής που εµφανίζεται σε µια συστοιχία ξύλινων στύλων που στηρίζουν ένα ξύλινο πέτασµα (όχθη) σε πρόχειρο φράγµα. (Έλεγχος σε κάµψη και διάτµηση). Το δεύτερο αφορά την περίπτωση φορτοϊκανότητας δοκού όταν η θέση των συγκεντρωµένων φορτίων είναι γνωστή, αλλά και την περίπτωση καθορισµού της θέσης φορτίων, ώστε ο προσδιορισµός της µέγιστης φόρτισης να γίνεται αποκλειστικά από τον έλεγχο σε διάτµηση (κατάδειξη της σπανιότητας της περίπτωσης). Παραδείγµατα. Συµπληρώνεται η παρουσία παραδειγµάτων που αφορούν τον έλεγχο καµπτικά καταπονούµενων φορέων, ιδιαίτερα από παλαιότερα θέµατα εξετάσεων, µε σχόλια και παρατηρήσεις, για την κατά το δυνατόν καλύτερη εµπέδωση του τρόπου αντιµετώπισης παροµοίων περιπτώσεων. Όµως, παρουσιάζεται επί πλέον και ένα παράδειγµα γερανογέφυρας η οποία κινείται σε σιδηροτροχιά, στηριζόµενη σε πρόβολο µικρού µήκους, από υψίκορµη δοκό. Εδώ δίνεται η ευκαιρία στο σπουδαστή, όχι µόνο να αντιµετωπίσει τη φιλοσοφία υπολογισµού σε µια περίπτωση πραγµατικής κατασκευής, αλλά και να αντιµετωπίσει τη διαδικασία του ελέγχου σε κάµψη και διάτµηση όταν ο φορέας είναι δοκός από υψίκορµο έλασµα, οπότε αναγκαστικά καταφεύγει στη χρήση των απαραίτητων πινάκων, που δίνουν τις τιµές των στατικών µεγεθών, που κατά περίπτωση χρειαζόµαστε.

13 13 η Εβδοµάδα Οι παραµορφώσεις. Παρουσιάζεται η καµπτική παραµόρφωση που υφίσταται ένας φορέας κάτω από την επίδραση φορτίων. Αφού οριστεί η έννοια της ελαστικής γραµµής και καθοριστούν οι απαραίτητες προϋποθέσεις βάσει των οποίων µπορούµε να οδηγηθούµε στον υπολογισµό των καµπτικών παραµορφώσεων, αναπτύσσεται προσεκτικά η θεωρία που οδηγεί στον καθορισµό της εξίσωσης της ελαστικής γραµµής συναρτήσει της κατά τµήµατα εξίσωσης της καµπτικής ροπής του φορέα, της ροπής αδράνειας της διατοµής του ως προς την ουδέτερη γραµµή και του µέτρου ελαστικότητας του υλικού του. Αποδεικνύεται ότι η µορφή της ελαστικής γραµµής στην περίπτωση καθαρής κάµψης είναι κυκλική, ενώ αλλιώς διαφοροποιείται. Επίσης δίνεται η ευκαιρία συσχετισµού της µορφής της ελαστικής γραµµής µε τη µορφή και το πρόσηµο του διαγράµµατος καµπτικών ροπών. Παρουσιάζεται ακόµη η εξίσωση των κλίσεων, που εκφράζει τη στροφή της εφαπτοµένης της ελαστικής γραµµής σε κάθε σηµείο της. Παραδείγµατα. Για την κατανόηση αλλά και εµπέδωση της θεωρίας που αναπτύχθηκε παραπάνω, παρουσιάζονται δυο παραδείγµατα καµπτικής παραµόρφωσης προβόλου, συναρτήσει της γεωµετρίας του φορέα, της φόρτισης και του µέτρου ελαστικότητας του υλικού του. Στο πρώτο υπολογίζεται η µέγιστη κλίση και υποχώρηση προβόλου, ο οποίος φέρει στο ελεύθερο άκρο του συγκεντρωµένο φορτίο, ενώ στο δεύτερο, τα αντίστοιχα µεγέθη υπολογίζονται µε οµοιόµορφη φόρτίση. Παρουσιάζονται επίσης και παραδείγµατα που αποτελούν συνδυασµό των παραπάνω περιπτώσεων ή αφορούν παλαιότερα θέµατα εξετάσεων.

14 14 η Εβδοµάδα Στατικά αόριστα προβλήµατα στην κάµψη. Παρουσιάζεται κατ αρχήν η έννοια της στατικής αοριστίας στην κάµψη και η απειρία των λύσεων που θα προέκυπταν (στατική αοριστία), αν δίναµε µια αυθαίρετη τιµή σε µια άγνωστη αντίδραση προσδιορίζοντας έτσι τις τιµές των υπολοίπων. Εδώ γίνεται πλέον φανερή η τεράστια συµβολή της αντοχής των υλικών στην επίλυση τέτοιων προβληµάτων, όπου, οι παραµορφώσεις συµβιβάζονται, έτσι ώστε η τιµή της άγνωστης π.χ. αντίδρασης να µην είναι τυχαία, αλλά η πραγµατική. Παρουσιάζεται σαν παράδειγµα ο προσδιορισµός αντιδράσεων µονόπακτης δοκού µε οµοιόµορφη φόρτιση. Αξίζει να σηµειωθεί ότι σε παρόµοιες σκέψεις στηρίζεται ο υπολογισµός των τιµών διαφόρων υπερστατικών µεγεθών που παρουσιάζονται στο Beton Kalender για να βοηθήσουν τους µελετητές µηχανικούς. Λυγισµός. Η έννοια του λυγισµού στα υποστυλώµατα, σε σχέση µε την ευστάθεια και αστάθεια λόγω αξονικής καταπόνησης. Η θεωρία και ο τύπος του Euler. Λεπτοµερής παρουσίαση της διαδικασίας όπου προσδιορίζεται το κρίσιµο φορτίο λυγισµού, θλιπτικά καταπονούµενης αµφιαρθρωτής ράβδου. ίνεται µετά η ευκαιρία παρουσίασης του δευτέρου π.χ. τύπου λυγισµού, όπου το κρίσιµο φορτίο τετραπλασιάζεται, κ.ο.κ. Συµπεράσµατα. Προκύπτουν βασικά από την ερµηνεία των µαθηµατικών τύπων που προέκυψαν κατά το στάδιο της παρουσίασης του κρίσιµου φορτίου και είναι πολύ ενδιαφέροντα. Μερικά µάλιστα παρουσιάζουν και κάποιο βαθµό παραδοξότητας. Στη συνέχεια παρουσιάζεται η επίδραση των συνθηκών στήριξης στα άκρα της ράβδου και το κατά περίπτωση ποσοστό διαφοροποίησης του κρίσιµου φορτίου λυγισµού.

15 15 η Εβδοµάδα Βέλτιστοι τύποι υποστυλωµάτων. Παρουσιάζονται τα κριτήρια που οδηγούν στη βελτιστοποίηση του τύπου µιας θλιπτικά καταπονούµενης ράβδου όταν η διατοµή της έχει συγκεκριµένο εµβαδόν. Ελαστικός και πλαστικός λυγισµός. Η σχέση του κρίσιµου φορτίου λυγισµού διαφοροποιείται για να προκύψει η κρίσιµη τάση λυγισµού συναρτήσει της λυγηρότητας και του µέτρου ελαστικότητας. Ο τύπος του Tetmayer. Παρουσιάζεται η απλοποιηµένη προσεγγιστική σχέση για την κρίσιµη τάση λυγισµού όταν αυτή παίρνει τιµές µεγαλύτερες από το όριο αναλογίας. ιερεύνηση έλεγχος αντοχής. Η επιτοµή του φαινοµένου του λυγισµού παρουσιάζεται σε διάγραµµα, όπου φαίνεται η µεταβολή της κρίσιµης τάσης λυγισµού ως προς τη λυγηρότητα της ράβδου. Κάθε σηµείο του διαγράµµατος ανήκει σε συγκεκριµένο είδος λυγισµού (και συνεπώς δοκιµίου), που εκφράζει αντίστοιχα την ευστάθεια ή αστάθεια της ράβδου. Παράδειγµα. Προσδιορίζονται οι διαστάσεις της διατοµής µιας ράβδου της οποίας η µορφή είναι ορθογωνική, τετραγωνική ή ισοσκελούς γωνιακού. Η µέθοδος ω. Παρουσιάζεται νέα µέθοδος υπολογισµού θλιβοµένων ράβδων σε λυγισµό, όπου, η υπάρχουσα τάση αυξάνεται αφού πολλαπλασιαστεί επί έναν καθαρό αριθµό ω, ο οποίος λαµβάνει υπόψη το φαινόµενο του λυγισµού και δίνεται από πίνακες, εξαρτώµενος από το υλικό της ράβδου και τη λυγηρότητά της. Παράδειγµα. Παρουσιάζεται το ίδιο ακριβώς παράδειγµα µε το προηγούµενο, για να καταδειχτεί το όφελος που προκύπτει από την εφαρµογή της µεθόδου, τόσο ως προς τη µεθοδολογία όσο και ως προς την ταχύτητά της.