Α3. Π ό τε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κ λειστό δ ιάστη μ α [ α,β]; Μονάδες 5

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 7 ΜΑΙΟΥ 3 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΤΕΣΣΕΡΙΣ (4) ΘΕΜΑ Α A. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι: z z = z z. Μονάδες 8 Α. Έ σ τω η συνάρτηση f() ln μ ε R-. Ν α α π ο δείξετε ότι η συνάρτηση f ε ί ναι παραγωγίσιμη και ό τι ισχύει f '() γ ι α κάθε R- Μονάδες 7 Α3. Π ό τε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κ λειστό δ ιάστη μ α [ α,β]; Μονάδες 5 Α4. Ν α χ α ρ α κ τηρίσετε τις προ τάσεις που ακολουθούν, γ ρ ά φοντας στο τετράδιό σας δ ί π λα στο γράμμα που α ν τιστο ι χεί σε κάθε πρό ταση τη λέξη Σωστό, αν η π ρ ό ταση ε ί ν αι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λα ν θ ασμένη. α. Α ν μ ι α σ υ νάρτηση f είναι συνεχής σ ένα διάστη μ α Δ, τότε υποχρεωτι κ ά είναι και παραγωγίσιμη στο Δ β. Α ν f () g () τότε οι συναρτήσεις f,g ε ί ναι ίσες. γ. Αν z, z είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει πάντα z iz iz - z z iz.

2 δ. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο IR και δεν είναι -, τότε υπάρχει κλειστό διάστημα [α,β], στο οποίο η f ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Rolle. ε. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και ισχύει β f() για κάθε [α,β], τότε ισχύει ότι f()d >. α Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Για τον μη πραγματικό μιγαδικό z ισχύει ότι : z i z 3 i Β. Να δείξετε ότι Rez Imz Μονάδες 4 Β. Να δείξετε ότι z z και να βρείτε τον μιγαδικό z. Μονάδες 7 Β3. Για τον μιγαδικό αριθμό w ισχύει ότι w i w i w i w i w i i) Να δείξετε ότι ότι οι εικόνες Mw ανήκουν σε κύκλο με κέντρο Κ, και ακτίνα ρ. Μονάδες 4 ii) Να βρείτε z w min και z w ma Μονάδες 4 Β4. Να δείξετε ότι z w z w z w z w 8 Μονάδες 6

3 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f ln ln e Γ. α.να βρείτε το πεδίο ορισμού της. Μονάδες ln β. Να δείξετε ότι f Μονάδες γ. Να μελετήσετε την f ως προς την μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 6 Γ Να βρείτε το σύνολο τιμών της συνάρτησης h f. Μονάδες 6 Γ. 3 Να δείξετε ότι για κάθε πραγματικό αριθμό κ, η εξίσωση : h κ κ ln έχει μια τουλάχιστο λύση στο,. Μονάδες 4 Γ. 4 Να βρείτε το όριο : 3 lim f ημ συν Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Δίνεται ότι οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο R και τέτοιες ώστε, για κάθε R,να ισχύουν οι σχέσεις : f d ln και g g d ln f

4 Δ. Να αποδείξετε ότι ισχύουν : i. f g,για κάθε R. Μονάδες 3 f g, για κάθε R. Μονάδες 3 3 ii. Δ Να αποδείξετε ότι f. g,για κάθε R. Μονάδες 7 Δ Να αποδείξετε ότι 3. f ln, R. Μονάδες 4 Δ. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα 4 I g d Μονάδες 4 Δ. 5 Να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου που περικλείεται από την γραφική παράσταση της συνάρτησης h d R, f τους άξονες, yy και την ευθεία Μονάδες 5 ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζόμενους). Στο τετράδιο να γ ρά ψετε μ ό νο τ α προκατα ρκτικ ά (ημ ερομηνία, κατεύ θυν ση, εξ εταζ ό μεν ο μάθημα). Να μην αντι γράψ ε τε τα θέματ α στ ο τετ ρ άδιο.. Να γράψ ετε τ ο ον οματ επώνυμό σας στ ο πάνω μέρος των φ ωτοα ντιγράφων, αμ έσως μ ό λις σας παραδ οθ ού ν. Καμιά άλλη σημείω ση δεν ε πιτρέπεται να γρ άψ ε τε. Κατά τη ν απ οχώρησή σας να παραδώσ ετε μ αζί με τ ο τετρά δ ιο και τ α φωτοαντ ίγραφα, τ α οποία και θα κατα στραφούν μετά τ ο πέρας της εξέτ ασης. 3. Να απαντήσ ετε στο τετράδιό σα ς σε όλα τ α θέμ ατα. 4. Κάθε λύ ση επιστημ ον ικά τεκ μηριωμ ένη εί ναι απ οδ εκτή 5. Διάρκ εια εξέτα σης: τ ρε ις (3 ) ώρες ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ

5 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α A. Θεωρία σχολικό σελίδα 98 A. Θεωρία σχολικό σελίδα 35 A3. Θεωρία σχολικό σελίδα A4. α Λ, β Λ, γ Σ, δ Σ, ε Λ ΘΕΜΑ Β Β. Από την δοσμένη σχέση z i z 3 i έχουμε : z z z i 3 i z z 3 z i Re z Im z Re z Im z z 3 z. Δηλαδή Rez Imz.,οπότε : Β. Από την σχέση,προσθέτοντας το - και στα μέλη,προκύπτει z z z i 3 i z z 4 z i και παίρνοντας μέτρα είναι : z z 4 z z z 4 z Οπότε z z 8 z 6 z 4 z 4 z z

6 Για τον υπολογισμό του μιγαδικού z εργαζόμαστε στην σχέση,η οποία είναι εξίσωση ου βαθμού,με άγνωστο τον z Είναι Αν z Δ 4 64,οπότε : 8 z,οπότε από την δοσμένη σχέση z i z 3 i έχουμε :,τότε z i 3 i z 7 8i,τότε z i 3 i z i R ο z είναι μη πραγματικός. Κατά συνέπεια z 7 8i 3 Αν z,αδύνατο αφού Β3. i) Είναι w i w iw i w iw i Παρατηρούμε ότι με πράξεις στις παρενθέσεις,γίνεται χρήση του τύπου zz z,οπότε : w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i w i. Όμως δεν μπορεί να ισχύει το <, δηλαδή w i και σαν συνέπεια από την παραπάνω σχέση προκύπτει ότι : w i w i w i,οπότε και : Δηλαδή οι εικόνες. ακτίνα ρ w i 4. M w ανήκουν στον κύκλο με κέντρο Κ, και

7 ii) Έχουμε ότι M w οι εικόνες του μιγαδικού w Nz 7,8 η εικόνα του μιγαδικού z και N z 7, 8 η εικόνα του συζυγούς του μιγαδικού z Είναι NK οπότε z w NM NA min min NK ρ 7 z w NM NB ma ma NK ρ 7 5 Β4. Είναι z w z w z w z w z wz w z w z w z w z w 6. Όμως : z w z w z w 7 και από το σχήμα,όμοια προκύπτει ma NK z w N M N B N K ρ 3,οπότε ma ma z w z w z w 3. ma Με βάση λοιπόν τα παραπάνω,από την σχέση 6 προκύπτει : z w z w ,δηλαδή z w z w z w z w z w z w 8

8 ΘΕΜΑ Γ Γ. α. Για το πεδίο ορισμού της f πρέπει : και κατά συνέπεια το πεδίο ορισμού της f είναι f A, β. Για τον τύπο της συνάρτησης f,έχουμε : ln ln ln ln f e γ. Για την μονοτονία και τα ακρότατα της f,από την σχέση παρατηρούμε ότι η f είναι φανερά παραγωγίσιμη στο,,με ln ln ln ln f ln f Από την σχέση παρατηρούμε ότι για τα, f εξαρτάται από το πρόσημο της συνάρτησης g ln οπoία έχουμε ότι :,το πρόσημο της 3,για την g ln με,. g από όπου και προκύπτει ο πίνακας προσήμων της g.

9 / τ.ε. όμως η g είναι συνεχής στο, και επειδή έχει ένα τοπικό ακρότατο,θα είναι και ολικό. Κατά συνέπεια η συνάρτηση g,έχει ολικό ελάχιστο το : g ln ln ln Γιατί yln ln >ln ln >,οπότε και g ln g g g,οπότε λόγω των, 3 προκύπτει ότι f,, και κατά συνέπεια η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο, και δεν έχει ακρότατα. Οπότε για κάθε,,είναι Γ. Για την συνάρτηση h έχουμε : ln h f ln g,, 3 Είδαμε στο προηγούμενο ερώτημα ότι η g έχει ολικό ελάχιστο,οπότε λόγω 3 είναι : hmin gmin g h ln lim h lim ln ln lim h lim ln lim Όμως lim και 4

10 Οι συναρτήσεις ln lim y ln, y είναι = lim lim lim συνεχείς και παραγωγίσιμες ln / DLH οπότε από την 4 προκύπτει ότι lim h / + h () - + h() o.ε ln Από την συνέχεια της h στο, και τα παραπάνω,προκύπτει ότι το σύνολο τιμών της h είναι : ΣΤh ha ln, + 5 Γ3. Η συνάρτηση h είναι συνεχής στο,,οπότε για να έχει η εξίσωση h κ κ ln μια τουλάχιστο λύση στο,,για κάθε πραγματικό αριθμό κ, κ κ ln (λόγω ΘΕΤ),να είναι τιμή αρκεί ο αριθμός της h,δηλαδή να ανήκει στο σύνολο τιμών της. κ κ Είναι κ κ ln R,αφού ( Δ 4 3 ) Οπότε λόγω της 5 αρκεί : κ κ ln ln κ κ κ κ 4 4κ 4κ 3 που ισχύει για κάθε κ R,αφού Δ Κατά συνέπεια εδείχθει το ζητούμενο.

11 Γ4. Για το ζητούμενο όριο έχουμε : 3 f ημ συν f ημ συν 3 6,οπότε : oι συναρτήσεις συνεχείς και παραγωγίσιμες ln ln lim f lim lim y ln, y είναι και έχουμε απροσδιοριστία lim ln,οπότε από τον κανόνα De L Hospial παίρνουμε είναι,αφού από Γ3 ερώτημα και σχέση 4, DLH ln ln lim f lim lim lim lim 3 ημ συν για το όριο, θέτοντας u,είναι για u, τότε γράφεται DLH ημu uσυνu ημu uσυνu lim ημu συνu lim lim u 3 u 3 u u u u 3 u συνu συνu uημu uημu ημu ημu lim lim lim lim u 3u u 3u u 3u 3 u u 3 3 Οπότε από την 6 και τα παραπάνω όρια προκύπτει ότι 3 f ημ συν 3

12 ΘΕΜΑ Δ Δ. Θα αποδείξουμε ότι : i. f g,για κάθε R. Έστω υπάρχει R,τέτοιο ώστε f g f g Τότε όμως τα πεδία ορισμού των συναρτήσεων y και y δεν θα περιέχουν τον αριθμό,δηλαδή θα είναι της f g μορφής R. Κατά συνέπεια οι συναρτήσεις f d ln και g d ln θα ορίζονται σε σύνολο g f της μορφής Άρα f R. ΑΤΟΠΟ, αφού λόγω υπόθεσης είναι Af Ag R.,g και κατά συνέπεια f g, για κάθε R ii. Οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς στο R και λόγω μη μηδενιζόμενες.κατά συνέπεια διατηρούν σταθερό πρόσημο. Όμως f d ln ln g (το δείξαμε στο θέμα Γ).Κατά συνέπεια είναι και όμοια g ln f,g για κάθε 3 3 R,οπότε και f g, για κάθε R. Δ. Από το Δ /i ερώτημα έχουμε ότι οι συναρτήσεις f,g είναι συνεχείς και μη μηδενιζόμενες,οπότε οι συναρτήσεις y και y είναι f g φανερά συνεχείς στο R και κατά συνέπεια οι συναρτήσεις f d ln και g d ln σαν παράγουσες είναι g f συνεχείς και παραγωγίσιμες στο R.Έχουμε :

13 f d ln και g g g d ln f f Διαιρώντας τις δύο σχέσεις με f,g αντίστοιχα, παίρνουμε g και gf g f f g f R, όπου εξισώνοντας τα δεύτερα μέλη προκύπτει : f g f R g lnf lng c 3, R ln f ln g Για,από την σχέση Όμως από σχέση είναι παίρνουμε c και από την ln f ln g f g και c R.Όμως 3 προκύπτει ln f lng c f g ln,οπότε από την παραπάνω σχέση 3 προκύπτει Η ισότητα αυτή,ικανοποιεί τις δοσμένες συνθήκες και κατά συνέπεια έχουμε f g 4, για κάθε R. Δ Από το Δ ερώτημα έχουμε : 3. 4 f, R g f f f οπότε : παίρνουμε f c. 5 f f f f c Για Από όμως έχουμε f ln,οπότε προκύπτει f c ln και f ln f ln, για κάθε R.

14 Δ Είναι 4. I d d d d g f ln ln ln d ln ln ln 4 ln 4 ln ln 4 ln ln ln ln ln ln ln σχόλιο Το παραπάνω ολοκλήρωνα υπολογίζεται και με αντικατάσταση Δ. Η συνάρτηση 5 y u ln f f ).,είναι συνεχής στο R (αφού f Κατά συνέπεια η συνάρτηση h y στο R. f d είναι παράγουσα της f Δηλαδή η h είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο R και ισχύει : h d, για κάθε R f f ln 6. Κατά συνέπεια η συνάρτηση h είναι γνησίως αύξουσα στο R,με h Ομως για h h h Για το ζητούμενο εμβαδό έχουμε : 7. 7 ΠΟ h d. f E h d h d h d h h d

15 E h d h d ln ln h ln d h ln h h ln ln ln ln τ.μ. σχόλια Έχουμε δείξει στο Γ Θέμα ότι ln,οπότε ln ln ln ln Η τιμή του εμβαδού που προέκυψε είναι θετική,αφού : E ln ln ln ln ln ln που ισχύει φανερά.