Θέµα 3 ο : Έστω οι µιγαδικοί z και z µε z = z = και z z. Έστω ο µιγαδικός αριθµός zz! = z z Να δείξετε ότι: α. z = και z =. z z β.! " R γ.! " ΜΟΝΑΔΕΣ

Transcript

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµα ο : Α. Έστω f µια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστηµα [α,β]. Αν G είναι µια παράγουσα της f στο [α,β], τότε να δείξετε ότι:! $ " f ( ) d = G(! ) # G( ") ΜΟΝΑΔΕΣ 7 Α. Να διατυπώσετε το θεώρηµα του Frma και να δώσετε τη γεωµετρική του ερµηνεία. ΜΟΝΑΔΕΣ 6 Β. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό/Λάθος, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν οι µιγαδικοί z και z έχουν εικόνες αντίστοιχα τα σηµεία M και M, τότε ισχύει ( MM )= z z. ΜΟΝΑΔΕΣ β. Αν µια συνάρτηση f είναι δυο φορές παραγωγίσιµη και κυρτή σε ένα διάστηµα Δ, τότε ισχύει f ''( ) > για κάθε! ". ΜΟΝΑΔΕΣ γ. Αν lim = τότε lim f ( ) = "# ή!! f ( )! ΜΟΝΑΔΕΣ δ. Αν µια ρητή συνάρτηση δεν έχει κατακόρυφη ασύµπτωτη, τότε αυτή έχει πεδίο ορισµού το R. ΜΟΝΑΔΕΣ ε. Αν µια συνάρτηση f δεν είναι - σε ένα διάστηµα Δ, τότε δεν είναι και γνησίως µονότονη στο Δ. ΜΟΝΑΔΕΣ στ. Αν lim f ( ) = " ή!", τότε lim f ( ) = " και αντιστρόφως.!! ΜΟΝΑΔΕΣ Θέµα ο : Έστω η συνάρτηση f ( ) =!, " R. Να µελετήσετε την f ως προς: α. Την κυρτότητα και να βρείτε τα σηµεία καµπής. β. Την µονοτονία. γ. Να βρείτε το σύνολο τιµών της ΜΟΝΑΔΕΣ 9

2 Θέµα 3 ο : Έστω οι µιγαδικοί z και z µε z = z = και z z. Έστω ο µιγαδικός αριθµός zz! = z z Να δείξετε ότι: α. z = και z =. z z β.! " R γ.! " ΜΟΝΑΔΕΣ 5 δ. το τετράπλευρο ΟΑΓΒ µε κορυφές τις εικόνες των µιγαδικών, z, z z, z αντίστοιχα, είναι ρόµβος. ε. αν w = να υπολογιστεί το εµβαδό του ΟΑΓΒ Θέµα ο : Έστω η συνάρτηση ". f ( ) = d,! R α. Να µελετήσετε την f ως προς τη µονοτονία και τα κοίλα. β. Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτοµένης της C f στο σηµείο της Α(,f()). γ. Να υπολογίσετε το όριο lim f ( ).!"#! δ. Να δείξετε ότι " f ( ) d =. ΜΟΝΑΔΕΣ 9

3 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Θέµα ο : Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 335 Α. Θεωρία σχολικού βιβλίου σελίδα 6 Γεωµετρική ερµηνεία Θεωρήµατος Frma: Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη, τότε οι εφαπτόµενες στα σηµεία που είναι θέσεις τοπικών ακρότατων, είναι παράλληλες προς τον άξονα!. B.α) Λάθος β) Λάθος γ) Σωστό δ) Λάθος ε) Σωστό στ) Λάθος Θέµα ο : α) Η f παραγωγίσιµη στο R µε f '( ) =! 8 Η f ' παραγωγίσιµη στο R µε f ''( ) =! 8 οπότε: f ''( ) =! " 8 =! = 8! =! ln = ln! = ln! = ln f ''( ) >! " 8 >! > 8! >! ln > ln! > ln! > ln f ''( ) <! " 8 <! < 8! <! ln < ln! < ln! < ln - ln f ''( ) - f ( ) Άρα η C f έχει ακριβώς ένα σηµείο καµπής, το Α! ln, " # f # ln $ $ % %! " ln ln ln = ln ln ln # =! $ % # = #, δηλαδή Α ln, (ln ) " $ # % ' ' Β) Από το ερώτηµα (α) και µε βάση τον παρακάτω πίνακα - ln f ''( ) - f '( ) ελάχιστο

4 η συνάρτηση f '( ) παρουσιάζει ελάχιστο στο = ln, οπότε για κάθε! R ισχύει:! " ln f '( ) # f ' $ ln %! f '( ) " # 8 ln '! f '( ) " $ # ln! f '( ) " ( # ln )! f '( ) " (ln # ln )! f '( ) " ln >! " αφού > άρα ln # $ >. % Άρα η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε όλο το R. Επίσης, το σύνολο τιµών της f, η οποία είναι συνεχής και γνησίως αύξουσα, είναι το διάστηµα: ( ) f (R) = lim f ( ), lim f ( ) µε!"#!# ( ) lim f ( ) = lim " = " ( # ) = "#!"#!"# ( ) ( ) lim ( ) lim (! "! $ '% f = " ) = lim ( " * " #! #! #! )., -/ Όµως, ( ) ( )!!! ' 8! 8 ' 8 ( ) lim = lim = lim = lim = lim = ' ' ( ) "! "! "! "! "! Άρα lim f ( )!" = " και τότε f (R) = (!", " ) = R Θέµα 3 ο : α) Ισχύει από την υπόθεση: z =! z =! z z =! z = z z =! z =! z z =! z = z

5 β) Έχουµε 3! z z " z z z z z z z z w = # $ = = = = % z z z z z z 3 z z z z = = w 6( z z ) z z z z ( a)! "! " 6 6 # $ # $ z z z z, άρα w! R. % % = γ) z z z z z z, Έχουµε w = = = z z z z z z όµως από την τριγωνική ανισότητα ισχύει: z z! z z " # z z z z Οπότε: z z z z! w = " = = z z z z! άρα w! δ) Για να είναι το ΟΑΓΒ ρόµβος, ένα τρόπος είναι να δείξουµε ότι έχει όλες τις πλευρές του ίσες. Από την υπόθεση ισχύει: z = z =, δηλαδή OA = OB = επίσης!" = #" $ #! = z z $ z = z =!" = #" $ #! = z z $ z = z = (3) και Από τις σχέσεις (), () και (3) προκύπτει ότι OA = Ï B = ÁÃ = BÃ δηλαδή το τετράπλευρο ΟΑΓΒ είναι ρόµβος. () () ε) Ισχύει: (!"#$) = "$!#, όπου!" = z # z και!" = z z.

6 Όµως w = οπότε έχουµε: zz w =! =! z z = z z z z! z z " z z = " z z! ( z " z ) = " z z () οπότε: ( z! z ) =! z z " z! z = z z! z " z =! z " z = Επίσης, από τη σχέση () έχουµε: z z! z! z = 3! z! z Οπότε: z z = 3 z z! z z = 3 z z Συνεπώς, (!"#$) = % % 3 = 3 τ.µ. Θέµα ο : α) Η f είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R µε ( )'! () f '( ) = d = Όµως f '( ) > για κάθε! R άρα η f είναι γνησίως αύξουσα συνάρτηση στο R. Επίσης η Οπότε f ' είναι παραγωγίσιµη συνάρτηση στο R µε =! =! = και τότε: f ''( ) f ''( ) >! >! > f ''( ) <! <! < οπότε: - f ''( ) - f ( ) f ''( ) =. άρα η συνάστηση f είναι κοίλη στο (-,ο] ενώ κυρτή στο [, ). β) Η εξίσωση εφαπτοµένης της (! ) : y " f () = f '()( " ) Στην () για = :! = z z! z z =! z z = 3 f '() = και C f στο A(, f ()) είναι f () =! d =, οπότε (! ) : y = "

7 γ) Εφόσον η f είναι κοίλη στο διάστηµα (-,ο], η γραφική παράσταση της f θα είναι κάτω από την εφαπτοµένη (ε) του ερωτήµατος β) στο διάστηµα (-,). Δηλαδή, για κάθε < θα ισχύει: f ( ) < y! f ( ) < "! f ( ) < ( " ) <, αφού < Άρα f ( ) (! ) f ( ) < (! ) < " < <, εφόσον f ( )(! ) f ( )(! ) f ( ) <! % " f ( ) # ( $ ) > $ < Δηλαδή, < <! f ( ) και επειδή lim =!"# " από το κριτήριο παρεµβολής, προκύπτει: lim = $ lim = $ lim f ( ) = "#!"# f ( )!"# f ( )!"# δ) Ισχύει: f ( ) d = ( )' f ( ) d!! (παραγοντική ολοκλήρωση) = [ f ( )]! f '( ) d ( )' = f ()! f ()! d =!! =! d d " #! $ % =! =! = ΕΠΙΜΕΛΗΤΕΣ: Χατζόπουλος Δηµήτριος Κιουρκτσιάν Μπετυ Τζαλλας Κων/νος Γεωργαντάς Χρήστος Τηλαβερίδου Μαριάννα