Небојша Икодиновић. Математика 7. Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе

Transcript

1 Небојша Икодиновић Математика 7 Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе

2 Приручник за наставнике математике у седмом разреду основне школе Треће издање Аутор: др Небојша Икодиновић Рецензенти: проф. др Радосав Ђорђевић, Природно-математички факултет у Крагујевцу проф. др Бранислав Поповић, Природно-математички факултет у Крагујевцу Зорица Станковић, професор математике, ОШ Мома Станојловић у Крагујевцу Графичко обликовање: Нови Сад Обликовање корица: Милош Аризовић Лектура: Јована Ђокић Издавач: Издавачка кућа Klett, д.о.о. Светозара Ћоровића 15/IV, Београд Тел.: 011/ , факс: 011/ За издавача: Гордана Кнежевић Орлић Главни уредник: Александар Рајковић Уредница: Јелена Павловић Штампа: Неографија, Бачки Петровац Тираж: 500 примерака Klett, ISBN Забрањено је репродуковање, умножавање, дистрибуција, објављивање, прерада и друга употреба овог ауторског дела или његових делова у било ком обиму и поступку, укључујући фотокопирање, штампање, чување у електронском облику, односно чињење дела доступним јавности жичним или бежичним путем на начин који омогућује појединцу индивидуални приступ делу са места и у време које он одабере, без писмене сагласности издавача. Свако неовлашћено коришћење овог ауторског дела представља кршење Закона о ауторском и сродним правима.

3 Садржај 1. Опште напомене о математици у седмом разреду Наставни садржаји Концепција Уџбеника и Збирке задатака Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у седмом разреду Оперативни план рада Опште методичке напомене о реализацији наставних садржаја у седмом разреду Реални бројеви Квадрат рационалног броја Решавање једначине x 2 = a, a 0. Квадратни корен Ирационални бројеви Скуп реалних бројева. Бројевна права Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја Основна својства операција сабирања и множења реалних бројева. Поредак бројева и операције сабирање и множење Основна својства операције кореновања у R Питагорина теорема Питагорина теорема (формулација и доказ) Примене Питагорине теореме Обрт Питагорине теореме Цели и рационални алгебарски изрази Степен чији је изложилац природан број Множење и дељење степена једнаких основа Степен производа и количника Степен степена Примена степена Алгебарски изрази Полиноми (мономи, биноми, триноми...) Сабирање полинома Множење полинома Квадрат бинома и разлика квадрата Растављање полинома на чиниоце Многоугао Број дијагонала многоугла Збир углова многоугла Обим и површина многоугла...43

4 Правилни многоуглови Конструкције неких правилних многоуглова Зависне величине и њихово графичко представљање Правоугли координатни систем Растојање између две тачке у координатном систему Графичко представљање зависности међу величинама Директна пропорционалност Обрнута пропорционалност Пропорције Круг Централни и периферијски угао Обим круга. Број π Дужина кружног лука Површина круга Површина кружног прстена Површина кружног исечка Сличност Размера дужи Самерљиве и несамерљиве дужи Конструктивна подела дужи у датој размери Пропорционалност дужи Сличност троуглова Примена сличности троуглова Наставни материјали...57 Одређивање децимала квадратног корена природног броја...59 Научни запис броја...61 Сређени облик полинома и сабирање полинома (примери и задаци)...62 Множење полинома...64 Квадратне једначине Површине троуглова и четвороуглова...68 Откупна цена јабука Временска прогноза...71 Круг...72 Бројевна права...74 Сличност троуглова...76 Тест (седми разред) Литература

5 Увод Приручник је део уџбеничког комплета Математика за седми разред основне школе који још чине уџбеник чији су аутори Н. Икодиновић и С. Димитријевић и збирка задатака аутора С. Милојевић и Н. Вуловића. Уџбенички комплет доследно прати важећи наставни програм, наравно, сваки део комплета на себи својствен начин. О Уџбенику и Збирци биће доста речи у наставку, тако да ћемо овом приликом укратко приказати приручник. Приручник је конципиран на основу мишљења и ставова сва четири аутора Уџбеника, односно Збирке. Приручник је пре свега намењен наставницима. При том, његова сврха није да прикаже како треба држати наставу, већ да јој буде помоћ и подршка. То је и разлог зашто нису писане детаљне припреме за наставне часове. Трудили смо се (пре свега у другом поглављу) да што детаљније анализирамо наставне садржаје предвиђене за седми разред тако да те анализе наставник може да искористи за припрему у складу са конкретним околностима и лако прилагоди сопственом стилу извођења наставе. Сматрамо да није могуће споља организовати наставу нити да постоје најбољи начини на које треба организовати неки час. Приручник садржи три поглавља. У првом смо покушали да сагледамо и прикажемо градиво за седми разред у целини. Поред анализе његове унутрашње структуре и међусобне (хоризонталне) повезаности већих наставних целина које садржи, грубо је приказана и његова (вертикална) повезаност са математичким садржајима који му претходе, али и са онима који ће следити. Посебна пажња је посвећена општим концептима и водећим идејама којима смо се руководили приликом писања уџбеника и збирке. Детаљно је описана структура Уџбеника са посебним нагласком на разлозима који су је условили. Друго поглавље је најобимније и заузима централно место у Приручнику. Пратећи редослед излагања наставних садржаја, трудили смо се да их сагледамо и прикажемо и са математичког и са методичког становишта. Приликом писања овог поглавља често смо били приморани да трагамо за начинима на које се могу приближити и помирити погледи на садржаје нас, математичара, са погледима и схватањима ученика. Градиво за седми разред врви од озбиљних математичких концепата које смо приморани наивно да излажемо. У том смислу, сваки наслов овог поглавља може се схватити као основа и полазна тачка за припрему одговарајућих часова од које се може кренути разним методичко-дидактичким путевима. Треће поглавље садржи материјале различите врсте (наставне листиће, тестове различитих облика и сл.) који се могу умножавати и делити ученицима. Погодни су и као домаћи и као радни материјал за час. За сваки је у другом поглављу истакнуто каква му је намена, када се може употребити и којим ученицима је намењен. Користимо ову прилику да захвалимо свима који су на непосредан или посредан начин утицали на обликовање нашег уџбеничког комплета. Сугестије, критике и примедбе рецензената, лектора, уредника и колега из Центра за развој програма и уџбеника Завода за унапређивање образовања и васпитања, значајно су допринеле квалитету нашег комплета. Непосредно, али веома значајно на текст су утицали и разговори са колегама који раде у основним школама. Захваљујемо им што су несебично поделили своје драгоцено наставно искуство са нама. Аутор 5

6 6

7 1. Опште напомене о математици у седмом разреду 1.1. Наставни садржаји Градиво за седми разред садржи врло озбиљне математичке садржаје. Наиме, наставни програм прописује следеће тематске целине: 1. Реални бројеви; 2. Питагорина теорема; 3. Цели и рационални алгебарски изрази; 4. Многоугао; 5. Зависне величине и њихово графичко представљање; 6. Круг; 7. Сличност. Делимо мишљење великог броја колега математичара да је наставни програм за седми разред један од најзахтевнијих и најтежих за реализацију у основној школи. У том смислу, писање уџбеничког комплета из математике за седми разред представљало је велики изазов и нимало лак посао Концепција Уџбеника и Збирке задатака Уџбеник и пратећа Збирка задатака конципирани су на исти начин као и наши комплети за пети и шести разред. Пре свега, настојали смо да већину наставних тема мотивишемо и јасно укажемо на разлоге због којих је свака од њих значајна са практичног становишта, али и у систему знања појединца. Често ти уводи садрже и основне концепте читаве теме истичући на тај начин оно на шта ученик треба посебно да усмери своју пажњу. Поједине теме које се надовезују на веће наставне целине из претходних разреда углавном смо почињали обнављањем оног најважнијег, што је и неоходно за праћење нове теме. Теме смо поделили на целине, тако да се на основу садржаја Уџбеника може направити један природни оперативни план рада. Такође, свака наставна јединица је писана у складу са принципима писања припреме за час. Углавном излагање почиње мотивационим и илустративним примерима погодним за уводни део часа. Главни садржаји су написани стилом који је карактеристичан за математику. Настојали смо да класичну форму математичког текста дефиниција теорема доказ пример задатак што примереније модификујемо и прилагодимо могућностима ученика. Наравно, сви наведени делови математичког текста су присутни, само што су благо прикривени и прилагођени ученицима овог узраста јер је уџбеник њима и намењен. Искуство великог броја наставника, али и бројна истраживања, показују да основци не могу самостално читати текстове написане у крутој математичкој форми. Ипак, све дефиниције су 7

8 8 јасно издвојене у апаратури катанац, а теореме у апаратури слонче. Докази су дати двојако, у зависности од конкретне ситуације, некад испред одговарајуће теореме, при чему се теорема доживљава као важан закључак, а понекад након формулације као што је уобичајено у математичкој литератури. Иако методичари углавном више хвале први начин, сматрамо да постепено треба припремати ученике и за читање компликованијих и формалнијих текстова. Примери представљају веома важан део уџбеника и они су врло пажљиво састављани. Трудили смо се да буду подједнако заступљени они којима се показује зашто нешто учимо и они који нас уче како да решавамо задатке. Другим речима, подједнак значај дат је практичним примерима и онима који заправо представљају решене типичне школске задатке. Скоро сваки пример прате задаци истог или сличног типа. И они су састављани тако да прате излагање нових садржаја и да указују на примене усвојеног градива. Наравно, дати су и задаци за које је потребна нека нова идеја. Уколико неки задатак подразумева познавање градива из других наставних предмета (на пример из физике или географије), од ученика нисмо очекивали да то зна већ смо га подсетили на кључне моменте. Често нисмо подразумевали ни познавање математичких садржаја из претходних разреда, нарочито шестог. Настојали смо да у највећој могућој мери обновимо познате ствари. Уџбеник садржи и велики број напомена које указују на уобичајене грешке које ученици праве приликом решавања задатака, као и оне чија је намена да предупреде типичне ђачке недоумице и нејасноће. Сматрамо да би сваки математички уџбеник морао да указује и на овакве ствари. О томе ће бити доста речи и у овом приручнику. Узимајући у обзир чињеницу да је чуло вида доминантно, трудили смо се да визуелизујемо све важне дефиниције, теореме, поступке, али и да укажемо на опрезност када је то потребно. Пажљиво биране илустрације су увек у функцији текста уз који стоје, па би на њих требало што чешће указивати. У наставној пракси се доста пута потврдила изрека да слика вреди хиљаду речи. Основни текст прате и две врсте необавезних садржаја. Језичке напомене, истакнуте иконицом АБВ, углавном упознају ученике са новим речима и указују на њихову ширу употребу ван математике, обогаћујући на тај начин речник ученика уопште. Будући да се углавном овакве напомене односе на речи страног порекла, оне су писане на основу Великог речника страних речи и израза чији су аутори Иван Клајн и Милан Шипка. Други тип необавезних садржаја намењени су оним ученицима који желе више. Углавном је направљен мањи или већи искорак у односу на програмом предвиђен оквир. Овај део уџбеника може да послужи приликом организовања додатне наставе. Збирка задатака у потпуности прати уџбеник. Скоро сви примери решени у Уџбенику прерађени су у почетне задатке, те на тај начин збирка доприноси пре свега лакшем усвајању нових садржаја. Поред тога, она садржи и велики број задатака предвиђених за самостално вежбање. Школских задатака има довољно и за најспорије ученике. Наравно, има и задатака који су предвиђени за талентованије ученике, као и оних који захтевају мало шири поглед на ствари. На крају сваке теме дат је тест који систематизује читаву наставну тему и може представљати добру припрему за контролне и писмене задатке. Сви задаци у Збирци су решени.

9 1.3. Хоризонтална и вертикална повезаност градива математике у седмом разреду Наставне теме које чине градиво седмог разреда јако су међусобно повезане, и то у степену који није био карактеристичан за претходне разреде. Готово да нема теме која се не позива на неку од претходно обрађених. За Питагорину теорему нам је неопходан квадратни корен. С друге стране, примена ове теореме у конструктивним задацима враћа нас на ирационалне бројеве и бројевну праву. Алгебарским изразима је немогуће манипуслисати без познавања својстава основних операција. При том се читава прича наслања на причу о реалним бројевима. Приликом решавања великог броја задатака у вези са многоугловима морамо искористити Питагорину теорему. Правоугли координатни систем је у природној вези са бројевном правом, па тиме и са реалним бројевима. Растојање између две тачке са дaтим координатама рачунамо помоћу Питагорине теореме. Пропорцијама манипулишемо у складу са основним законима бројева. Кругови и кружнице се описују око многоуглова или се у њих уписују. Број π je ирационалан. Самерљивост и несамерљивост даје нови поглед на рационалне и ирационалне бројеве. Сличност не можемо разматрати без пропорција. Овако велика хоризонтална повезаност приморава нас на стално и упорно враћање на обрађене теме. Корист од понављања је двојака: омогућава праћење нових садржаја, али и освежава и продубљује знање о старим. Наравно, као што је и уобичајено у математици, подразумева се знање стечено у претходним разредима. Пре свега, скоро сви садржаји шестог разреда су потребни за успешно праћење новог градива. То свакако треба имати и увиду приликом извођења наставе, и то не само због усвајања новог градива. Важно је и нужно ученицима указати на јаку (вертикалну) повезаност математичких садржаја, односно пружити им шири увид у изградњу математике, што се најбоље чини подсећањем на редослед упознавања са појединим садржајима током протеклих година и истицањем односа нових садржаја са њима. Најбољи пример који показује неопходност сталног обнављања дају структуре бројева које се веома поступно уводе. Тако се тема Реални бројеви наставља на раније поступке увођења нових бројева и изградње одговарајућих структура. Тема Многоугао се надовезује на започето проучавање троуглова и четвороуглова у шестом разреду. Без формула за израчунавање површина троуглова и четвороуглова ученик неће моћи да реши велики број задатака предвиђених за седми разред. Упознавање са сличношћу умногоме олакшава блискост са концептом подударности. Истичемо још једну важну ствар која је у вези са обнављањем. Веома често ученике подсећамо искључиво на формуле и поступке, а врло ретко и на начине и путеве којима смо дошли до њих. Таква пракса има за последицу да ученици углавном покушавају да се сете готове формуле и ако им то не пође за руком, одустају. Ретко који ученик покушава да се сети како се до те формуле долази. Добро су позната истраживања у вези са памћењем и заборављањем која показују да се слепо меморисане чињенице веома кратко и неквалитетно држе у глави. Као мали допринос ефективнијем обнављању формула за израчунавање површина троуглова и четвороуглова предвиђен је материјал дат на странама 68 и 69 овог приручника. На крају, истакнимо и то да ће познавање скоро читавог градива седмог разреда бити неопходно за праћење градива осмог разреда. 9

10 1.4. Оперативни план рада ОПЕРАТИВНИ ПЛАН РАДА часа теме редни број наставне јединице Наставна јединица тип часа oблик рада метода рада наставна средства монолошка, дијалошка, илустративна креда, табла I РЕАЛНИ БРОЈЕВИ Упознавање ученика са планом и програмом 2 1 Квадрат рационалног броја обрада фронтални 3 2 Решавање једначине x ² = а (а 0), појам квадратног корена обрада фронтални 4 3 Квадратни корен утврђивање фронтални 5 4 Ирационални бројеви обрада фронтални 6 5 Скуп рационалних бројева. Бројевна права утврђивање фронтални 7 6 Скуп реалних бројева. Бројевна права обрада фронтални 8 7 Децимални запис реалног броја и његова приближна вредност утврђивање групни 9 8 Основна својства операција сабирања и множења реалних обрада фронтални 10 9 Поредак бројева и операције сабирања и множења обрада фронтални Основна својства операције кореновања у R + обрада фронтални Основна својства операције кореновања у R + утврђивање групни Једнакост a ² = a утврђивање фронтални Бројевни изрази утврђивање индивидуални Реални бројеви систематизација систематизација индивидуални монолошка, дијалошка, илустративна прибор за геометрију, креда, табла II ПИТАГОРИНА ТЕОРЕМА Питагорина теорема обрада фронтални 17 2 Питагорина теорема израчунавање странице утврђивање фронтални 18 3 Примена П.Т. на правоугаоник обрада фронтални 19 4 Примена П.Т. на квадрат утврђивање фронтални 20 5 Примена П.Т. на једнакокраки троугао обрада фронтални 21 6 Примена П.Т. на једнакостраничан троугао утврђивање фронтални 22 7 Примена П.Т. на квадрат, правоугаоник и троугао утврђивање групни 23 8 Примена П.Т на ромб обрада фронтални 24 9 Примена П.Т. на једнакокраки трапез обрада фронтални Примена П.Т. на правоугли трапез утврђивање индивидуални Примена П.Т. на троугао и четвороугао утврђивање групни Правоугли троугао чији су оштри углови 30 и 60 утврђивање фронтални Примене П.Т. у конструкцијама обрада фронтални Конструктивни задаци у вези са П.Т. утврђивање рад у паровима Обрт Питагорине теореме утврђивање фронтални Питагорина теорема систематизација систематизација индивидуални 10

11 32 I писмени задатак систематизација индивидуални самосталан рад прибор за геометрију 33 Исправка I писменог задатка систематизација фронтални дијалошка прибор за геометрију III СТЕПЕНОВАЊЕ Појам степена. Степен чији је изложилац природан број обрада фронтални 35 2 Степен чији је изложилац природан број утврђивање фронтални 36 3 Множење и дељење степена једнаких основа обрада фронтални 37 4 Множење и дељење степена једнаких основа утврђивање групни 38 5 Множење и дељење степена једнаких основа утврђивање индивидуални 39 6 Степен производа обрада фронтални 40 7 Степен количника обрада фронтални 41 8 Степен производа и количника утврђивање фронтални 42 9 Степен степена обрада фронтални Операције са степенима утврђивање групни Примена степена утврђивање рад у паровима Операције са степенима утврђивање фронтални Степеновање систематизација систематизација индивидуални монолошка, дијалошка, илустративна прибор за геометрију, креда, табла монолошка, дијалошка креда, табла IV МНОГОУГАО Појам и врсте многоуглова обрада фронтални 48 2 Број дијагонала многоугла обрада фронтални 49 3 Збир углова многоугла обрада фронтални 50 4 Углови и дијагонале многоугла утврђивање групни 51 5 Углови и дијагонале многоугла утврђивање индивидуални 52 6 Обим и површина многоугла обрада фронтални 53 7 Обим и површина многоугла утврђивање рад у паровима 54 8 Правилни многоуглови обрада фронтални 55 9 Правилни многоуглови утврђивање индивидуални Конструкција правилних многоуглова обрада фронтални Конструкција правилних многоуглова утврђивање групни Многоугао утврђивање фронтални Многоугао систематизација систематизација индивидуални 60 II писмени задатак систематизација индивидуални самосталан рад прибор за геометрију 61 Исправка II писменог задатка систематизација фронтални дијалошка прибор за геометрију 11

12 монолошка, дијалошка креда, табла V ПОЛИНОМИ Појам рационалног алгебарског израза обрада фронтални 63 2 Алгебарски изрази утврђивање фронтални 64 3 Моном и операције са мономима обрада фронтални 65 4 Појам полинома (бином, трином) обрада фронтални 66 5 Сређивање полинома утврђивање фронтални 67 6 Сабирање полинома обрада фронтални 68 7 Одузимање полинома утврђивање фронтални 69 8 Сабирање и одузимање полинома утврђивање групни 70 9 Множење монома обрада фронтални Множење полинома мономом обрада фронтални Множење полинома мономом утврђивање фронтални Множење полинома полиномом обрада фронтални Множење полинома полиномом утврђивање фронтални Множење полинома утврђивање групни Множење полинома утврђивање рад у паровима Множење полинома утврђивање индивидуални Квадрат бинома обрада фронтални Квадрат бинома утврђивање групни Разлика квадрата обрада фронтални Разлика квадрата утврђивање фронтални Полиноми утврђивање групни Полиноми утврђивање рад у паровима Полиноми систематизација утврђивање индивидуални Растављање полинома аx + bx на чиниоце обрада фронтални Растављање разлике квадрата обрада фронтални Растављање на чиниоце тринома а ² + 2аb + b ² обрада фронтални Растављање полинома на чиниоце утврђивање групни Растављање полинома на чиниоце утврђивање индивидуални Решавање једначина примена растављања обрада фронтални Решавање једначина примена растављања утврђивање фронтални Полиноми систематизација систематизација индивидуални 12

13 VI ЗАВИСНЕ ВЕЛИЧИНЕ И ЊИХОВО ГРАФИЧКО Правоугли координатни систем обрада фронтални 94 2 Правоугли координатни систем утврђивање групни 95 3 Растојање између две тачке у координатном систему утврђивање фронтални 96 4 Растојање између две тачке у координатном систему утврђивање индивидуални 97 5 График зависности међу величинама обрада фронтални 98 6 График зависности међу величинама утврђивање групни 99 7 Директна пропорционалност обрада фронтални График зависности y = k x, х R обрада фронтални График зависности y = k x, х R утврђивање индивидуални Обрнута пропорционалност обрада фронтални Директна и обрнута пропорционалност утврђивање фронтални Пропорција и њене особине обрада фронтални Продужена пропорција утврђивање фронтални Примена пропорције утврђивање групни Примена пропорције утврђивање фронтални Пропорција и размера утврђивање фронтални Пропорција примена утврђивање рад у паровима Пропорција примена утврђивање фронтални Зависне величине систематизација систематизација индивидуални 112 III писмени задатак систематизација индивидуални самосталан рад прибор за геометрију 113 Исправка III писменог задатка систематизација фронтални дијалошка прибор за геометрију монолошка, дијалошка, илустративна прибор за геометрију, креда, табла монолошка, дијалошка, илустративна прибор за геометрију, креда, табла VII КРУГ Централни и периферијски угао круга обрада фронтални Централни и периферијски угао круга утврђивање фронтални Углови над пречником и примене у конструктивним задацима утврђивање индивидуални Тангенте круга утврђивање фронтални Примена Питагорине теореме на круг утврђивање индивидуални Обим круга,број π обрада фронтални Дужина кружног лука обрада фронтални Дужина кружног лука утврђивање групни Површина круга обрада фронтални Површина круга утврђивање индивидуални Површина кружног прстена обрада фронтални Површина кружног исечка обрада фронтални Површина кружног прстена и кружног исечка утврђивање рад у паровима Обим и површина круга и његових делова утврђивање фронтални Круг систематизација систематизација индивидуални 13

14 монолошка, дијалошка, илустративна прибор за геометрију, креда, табла VIII СЛИЧНОСТ Размера дужи обрада фронтални Самерљиве и несамерљиве дужи обрада фронтални Конструктивна подела дужи у датој размери m : n (m, n N ) обрада фронтални Конструктивна подела дужи у датој размери m : n (m, n N ) утврђивање индивидуални Пропорционалност дужи обрада фронтални Пропорционалност дужи утврђивање групни Пропорционалност дужи утврђивање индивидуални Сличност троуглова обрада фронтални Сличност троуглова утврђивање фронтални Примене сличности троуглова утврђивање фронтални Примене сличности троуглова систематизација индивидуални 140 IV писмени задатак систематизација индивидуални самосталан рад прибор за геометрију 141 Исправка IV писменог задатка систематизација фронтални дијалошка прибор за геометрију 142 Систематизација градива систематизација фронтални 143 Систематизација градива систематизација фронтални 144 Систематизација градива систематизација фронтални дијалошка креда, табла 14

15 2. Опште методичке напомене о реализацији наставних садржаја у седмом разреду 2.1. Реални бројеви Ова наставна тема је по садржају вероватно најзахтевнија и најтежа у основној школи уопште. Њен централни појам је ирационалан број. Историјски гледано, појам ирационалног броја је релативно нов први пут је строго дефинисан у XIX веку. С друге стране, постојање нерационалних бројева открили су још стари Грци. Огроман временски период који дели откриће ирационалних бројева и њихово строго дефинисање најбоље илуструје да је реч о тешким питањима. Сам назив ове врсте бројева указује да су ти бројеви били несхватљиви дуги низ векова. И данас су остали такви за велики број људи, док су за математичаре само теже схватљиви. Главни водич кроз ову наставну тему може бити квадрат са својом дијагоналом. То оправдава и историјски развој појма реалног броја. Међутим, никако се не сме догодити да ученик помисли да је мерење дијагонале квадрата главни циљ читаве приче. Требало би јасно истаћи да су проблеми одређивања дужина дужи само илустровани проблемом мерења дијагонале квадрата. Другим речима, не обрађујемо ову тему само да бисмо одредили дијагоналу јединичног квадрата, већ да бисмо могли да одредимо дужине свих дужи Квадрат рационалног броја Појам квадрата броја је већ познат ученицима захваљујући формули за израчунавање квадрата P је једнако a на квадрат. Будући да је ова формула и утицала на алгебарску терминологију, треба је искористити и са њом почети. Велики део ове наставне јединице требало би да је већ познат ученицима. Основни циљ је, дакле, обнављање и систематизација углавном познатих садржаја. Наставну јединицу чине два главна дела: 1. Особине операције квадрирања у односу на поредак рационалних бројева 2. Потпуни квадрати Оба дела су јако значајна и повезана како са осталим садржајима ове теме тако и са градивом које касније следи. Операција квадрирања и нарочито њене особине у односу на поредак значајне су за читаву наставну тему. Много пута ће бити потребно позвати се на неку од особина наведених у апаратури слонче (стране 8 и 9 у Уџбенику). Познавање потпуних квадрата знатно доприноси брзини решавања великог броја задатака предвиђених у овом разреду. Такође, познавање основних особина ових бројева неопходно је за доказивање тврђења важног за ову наставну тему: 2 није рационалан број. Први део наставне јединице је изложен на странама 8 и 9 у Уџбенику. Писан је тако да ученици сами изведу најзначајније особине квадрирања и то попуњавањем таблица 15

16 које одговарају придруживањима a a 2, a ( a) 2, a a 2 (задатак 2 на 8. страни). Основна особина и прва коју треба навести јесте свакако квадрат рационалног броја је ненегативан број. Главни разлог због кога је прича о потпуним квадратима нашла место на самом почетку уџбеника јесте припрема ученика за доказ ирационалности броја 2. Наиме, једна од великих тешкоћа са којом се и ученици и наставници суочавају приликом бављења овом темом јесте појам индиректног доказа. Тешкоће ученика углавном проистичу из незрелости за доказе уопште, па тим пре и за ову врсту доказа. Тешкоће наставника се онда природно наслањају на ученичке: како упознати ученике са индиректним мишљењем?, да ли захтевати да и они изводе такве доказе? и сл. Будући да наставни програм прописује доказ ирационалности броја 2, сматрали смо да ученике ваљано треба припремити за то. На страни 10 у Уџбенику доказана су сва потребна тврђења за поменути доказ. Сваки пут приликом формулисања датих тврђења и извођења њиховог доказа требало би наглашавати ако-онда форму тврђења, јасно истичући шта се претпоставља, а шта треба доказати. Доказ тврђења у задатку 4 требало би индиректно спровести да би се ученицима што боље дочарао овакав тип доказа. Нарочито треба нагласити да ћемо доказати да није могуће да буде тачно супротно (од онога што треба доказати). Било би добро ове две напомене подржати и начином записивања доказа Решавање једначине x 2 = a, a 0. Квадратни корен С обзиром на то да претходни наслов не доноси суштински ништа ново, већ углавном обнавља и систематизује, овај наслов се може сматрати првом наставном јединицом теме. Основни разлог због кога се скреће пажња на квадрирање јесте упознавање са супротном операцијом кореновањем. Из самог наслова се види да је увођење кореновања мотивисано решавањем најједноставнијег облика квадратне једначине. Будући да ученици за сада познају само рационалне бројеве, треба разматрати само оне једначине датог облика које имају рационална решења; за ученике, једначинe x 2 = 2, x 2 = 3, x 2 = 5,... и даље немају решења. 16

17 Међутим, сматрамо да је за увођење квадратног корена бољи мотивациони проблем трагање за одговором на питање: Како одредити дужину странице квадрата ако је позната његова површина? Разлог за овакав став јесте тај да се приликом решавања овог проблема не узимају у обзир негативни бројеви, што је у духу дефиниције квадратног корена (друга апаратура катанац на 11. страни уџбеника). Везивање дефиниције за поменути проблем смањиће опасност прављења типичних грешака типа 4 = 2. Наравно, број грешака ће се знатно смањивати и ако стално истичемо: a 0 је услов да a буде дефинисано, као и да је у том случају a 0. Прве употребе симбола су свакако оне приликом решавања насловљених једначина (апаратура слонче на 11. страни). При том, важно је направити јасну разлику између поступка решавања једначине x 2 = a, a 0 и налажења квадратног корена из ненегативног броја. Ако је a > 0: квадратни корен броја a је један једини позитиван број чији је квадрат једнак, a једначина x 2 = a има два решења од којих је једно позитиван број a, а друго негативан број a. Оно што је важно имату у виду при реализацији ове (па и наредне две) наставне јединице јесте да ми не дефинишемо у строгом смислу квадратни корен то на овом нивоу и не можемо да урадимо већ упознајемо ученике само са идејом кореновања (као инверза за квадрирање) и уводимо симбол да бисмо симболички представили неке од бројева који нису рационални. Ученици 2 доживљавају пре свега као запис једног новог броја. Строго говорећи, у почетним лекцијама ове наставне теме злоупотребљавамо ознаку за функцију квадратни корен Ирационални бројеви И трећи пут површина квадрата, додуше изражена преко његове дијагонале, мотивише причу о новим бројевима. У Уџбенику је на странама 12 и 13 са доста пажње и детаља уведен први нерационалан ирационалан број 2. Подршку овој причи, као централном месту читаве наставне теме, представља увод дат на страни 7. Строго узевши, тврђење коректније je формулисати на следећи начин: 2 је ирационалан број не постоји рационалан број чији је квадрат једнак 2. Међутим, прва формулација се прилично одомаћила у школској пракси, ако ни због чега другог оно због тога што експлицитније истиче основну идеју читаве наставне теме. 17

18 Напоменимо да при првој формулацији подразумевамо следећи мисаони оквир: прихватамо (углавном прећутно) да постоји (некакав!) број чији је квадрат једнак 2, одлучујемо да га означимо са 2, јер одговара идеји кореновања са којом смо раније упознали ученике и доказујемо да тај (некакав!) број не може бити рационалан. Но, ред је да ученике упознамо и са другим бројевима који нису рационални. Систематично излагање метода добијања ирационалних бројева треба завршити закључком: постоји бесконачно много ирационалних бројева. Идеја доказа ирационалности броја 2 врло једноставно се преноси на доказивање тврђења: квадратни корен било ког простог броја је ирационалан број. Наиме, идеја доказа је потпуно иста с тим што се у општем случају употребљава тврђење које важи за сваки природан броj n и сваки прост број p: ако је n 2 дељиво са p, онда је и n дељиво са p или p n 2 p n. Извођење доказа ирационалности корена конкретних простих бројева помаже ученицима да боље схвате суштину поменутих доказа. Наравно, треба нагласити да исто поступамо за било који прост број. 18

19 Ирационалност корена сложених бројева се мало теже доказује. Доказ је, у суштини, скоро исти уз неколико нових досетки. Углавном можемо поступити на више начина. Након ових примера требало би истаћи и следеће опште тврђење: ако природан број n није потпун квадрат, онда је n ирационалан број. Такође, као увод за примере који следе треба извести и следећи закључак. Ако је x ирационалан број, онда је и x ирационалан број. Доказ је сасвим једноставан. Ако би x био рационалан, онда би њему супротан број, то јест број x такође био рационалан. У наредним примерима (страна 14) требало би доказивати ирационалност бројева који су сложенијег облика. Прецизније, бројева који су збир (разлика) рационалног и ирационалног, односно производ (количник) ирационалног и рационалног који је различит од нуле. Почетни примери би требало да се наслањају на тврђење о ирационалности корена простих бројева, а наредни и на општије о ирационалности корена природних бројева који нису потпуни квадрати. Општу причу би требало илустровати кроз бројне конкретне примере, истичући на крају општа места. Начином записивања доказа такође се може допринети разумевању опште приче. Свакако би најпре требало нагласити затвореност скупа рационалних бројева за основне операције. Збир, разлика, производ и количник два рационална броја (при чему је у случају количника делилац различит од нуле) је рационалан број. 19

20 Наравно, исто се доказују и одговарајућа општа тврђења. На крају треба истаћи да скуп ирацоналних бројева није затворен ни за једну од операција +,,, :. 1. Збир два ирационална броја не мора бити ирационалан број. На пример, 2 и 2 су ирационални бројеви, док је њихов збир рационалан. 2. Разлика два ирационална броја не мора бити ирационалан број ( 2 2 = 0). 3. Производ два ирационална броја не мора бити ирационалан број ( 2 2 = 2). 4. Количник два ирационална броја не мора бити ирационалан број ( 2 : 2 = 1). Такозвани децималски поступак одређивања децимала ирационалног броја који је квадратни корен природног заузима централно место у наредне две лекције, те га треба поступно уводити и придавати му све већу пажњу. Сам поступак је у суштини описан у уводу на страни 7 у примеру 2. Такође, на странaмa 59 и 60 приручника дат је наставни листић који може бити користан приликом упознавања ученика са овим поступком. Трагање за децималама ирационалних бројева можемо представити графички само у првим корацима (што је предвиђено у наредној наставној јединици), то јест морамо се зауставити на првој децимали иза запете. Једино што преостаје јесте да се замисле конструкције које одговарају корацима децималског поступка Скуп реалних бројева. Бројевна права Ова наставна јединица се ослања на велики и значајан део градива које је обрађено у нижим разредима. Зато би било добро пре њене обраде одвојити час за једно темељно обнављање свега потребног. Такође, наставни програм предвиђа и упознавање ученика са конструктивном поделом дужи на десет једнаких делова због децималског поступка (који је најављен у уводу наставне теме на страни 7 у Уџбенику): лоцирања тачака које одговарају ирационалним бројевима, односно одређивања цифара децималних записа који одговарају ирационалним бројевима. 20

21 Зато је пожељно и поменуту конструкцију обрадити на овом часу и применити је на одређивање тачака које одговарају рационалним бројевима са једном децималом иза запете. Иако је практично тешко изводљива прецизна конструкција тачака рационалних бројева који имају више децимала иза запете, треба истаћи да се теоријски поступак поделе дужи на десет једнаких делова може искористити за конструкцију било које тачке која одговара неком рационалном броју чији децимални запис има коначно много цифара. Предлажемо следећи ток овог часа и кратким реченицама (тезама) сугеришемо његове садржаје. *** Најпре смо се упознали са природним бројевима. N = {1, 2, 3, 4,...} 1. Затим смо увели нулу (N 0 = {0, 1, 2, 3,...}) и негативне бројеве. Нов скуп бројева који чине природни бројеви, нула и негативни бројеви назвали смо скуп целих бројева. Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...} Предност овог скупа у односу на скуп природних је та што у њему можемо наћи решење било које једначине са сабирањем. Пример. Реши једначине: а) x + 3 =1; б) 5 x = 7; в) 5 x = Скуп целих бројева се даље проширује до скупа рационалних бројева Q. Сваки рационалан број се може записати у облику разломка, то јест у облику a, при чему b је a цео број, b природан број и D(a,b) = 1 (једини заједнички природан делилац бројева a и b јесте број 1). Такође, сваки рационалан број можемо представити и у децималном запису. Обновити поступак претварања једног облика у други на конкретним примерима. Пример. а) Бројеве 1 2 4, 1 5, 6 запиши у децималном запису. б) Бројеве 0,2; 1,12; 0, (= 0, (21)) запиши у облику разломка. Подсетити ученике да је децимални развој рационалног броја или коначан, или бесконачан и периодичан. Ако време дозвољава, онда се може обрадити и пример 1 са стране 17 у Уџбенику. Истаћи да у скупу Q можемо решити све једначине са множењем. Пример. Реши једначине: а) 3x =1; б) 5x = 7; в) 2 3 x = 0,3. 21

22 3. Бројевна права. Пример. Нацртајте бројевну праву, одредите тачке којима одговарају бројеви: 3, 2, 1, 2, 1 2, Како одредити тачке које одговарају децималним бројевима? Конструктивна подела дужи на десет једнаких делова (страна 16 у Уџбенику). Примена конструкције. Пример. Нацртајте бројевну праву, одредите тачке којима одговарају бројеви: 0,4; 3,2; 2,6; 0,7. Претходна наставна јединица показала је да квадратни корен (кореновање) производи бесконачно много бројева који нису рационални. Оно што је важно овом приликом истаћи јесте да, за сада, ирационалне бројеве ученици доживљавају једино као квадратне корене бројева који нису потпуни квадрати, што је доста далеко од правог описа скупа свих ирационалних бројева. Има и те како много ирационалних бројева који нису задати као корени рационалних бројева. Пожељно би било поновити начине на које смо добијали нове бројеве. Ако природан број n није потпун квадрат, онда је n ирационалан број. Специјално, квадратни корен било ког простог броја је ирационалан број. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11,... су ирациoнални. *** Ако је x ирационалан број, онда је и x ирационалан број. 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11,... су ирациoнални. Ако је a рационалан и b ирационалан, онда је и a + b ирационалан , 3 5, 7 9 5, су ирационални. 3 Ако је a рационалан и различит од нуле и b ирационалан, онда је и a b ирационалан. 3 2, 4 5, 7 9 5, , ,... су ирационални бројеви. 5 Навикнути на проширења скупова бројева са којима су се упознавали раније, ученици доживљавају као природно проширење скупа рационалних бројева новим ирационалним бројевима. Међутим, велики проблем, са математичког становишта, јесте тај да скупу Q додајемо скуп ирационалних бројева I који нисмо прецизно описали (нити смо то могли на овом нивоу), већ смо одредили тек понеки његов елемент. Ученици седмог разреда, наравно, нису свесни овог пропуста, те прихватају скуп ирационалних бројева као скуп чији се елементи могу добити на описаним методама. 22

23 Међутим, описане методе ни близу не могу дати скуп ирационалних бројева 1. Зато, иако то ученици не знају, остајемо им дужни, те би то требало имати у виду током даљег излагања. Велики део дуга ћемо им вратити у наредној лекцији описивањем децималних записа ирационалних бројева. За сада треба рећи да рационалним бројевима додајемо нов скуп бројева I чији су нам неки елементи познати, који је дисјунктан са Q, а који ћемо касније подробније описати. Здружени, ови скупови дају скуп реалних бројева. Другим речима, реалан број је сваки рационалан и сваки ирационалан број (R = Q U I). На дисјунктност скупова Q и I треба чешће скретати пажњу, на пример изразима није рациoналан, значи ирационалан или нерационалан односно ирационалан и слично. Врло је важно подсетити ученике и на све врсте бројева са којима су се упознали и какви су њихови међусобни односи. Кратак преглед дат је на самом почетку насловљене наставне јединице на страни 15 у Уџбенику. Кључна питања којим се бави ова наставна јединица јесу: Како одредити место неког ирационалног броја (међу онима које смо увели) на бројевној правој? и Да ли свакој тачки бројевне праве можемо придружити број? Историјски гледано, трагање за одговорима на питања врло блиска овима 2 довело је до појма реалног броја. Како одредити место неког ирационалног броја (међу онима које смо увели) на бројевној правој? Након подсећања на бројевну праву (са којом се ученици срећу од самог почетка школовања) треба поставити ово питање. У недостатку Питагорине теореме конструктивно можемо одредити место само броју 2 будући да знамо да је толико дугачка дијагонала јединичног квадрата (слика на страни 15 у Уџбенику) 3. 1 Уверењу ученика да се елементи скупа I добијају описаним методама доприноси чињеница да су сва ранија проширења скупова бројева (N Z и Z Q) била алгебарска, то јест конструисана тако да су додати само они елементи који су потребни за решавање одређеног типа једначина. Насупрот томе, проширење скупа Q до скупа реалних бројева R није алгебарско, не додају се само решења (једноставних) квадратних једначина, као што се то може помислити на основу претходног излагања, већ се додаје још много ствари. Врло груб опис проширења скупа Q до скупа реалних бројева R гласио би: додају се све граничне вредности низова рационалних бројева за које се сматра да су природно конвергентни, односно који су Кошијеви. Испоставља се да на овај начин додајемо и разне друге бројеве (чак њих непребројиво много) који нису решења нити једне алгебарске једначине такозване трансцедентне бројеве. Са једним таквим бројем упознаће се и седмаци касније реч је, наравно, о броју π. 2 На пример: Да ли се може измерити (бројем изразити) дужина сваке дужи? 3 Ученици ће конструктивно моћи да одреде положаје познатих ирационалних бројева на бројевној правој тек након упознавања са Питагорином теоремом. Такође, тек на крају школске године биће у могућности да конструишу тачке које одговарају рационалним бројевима. Повратак (и подсећање) на бројевну праву после обрађених поменутих конструктивних поступака може се реализовати помоћу листића који је дат на странама 74 и 75 овог приручника. Листић је замишљен тако да на њему ученици за домаћи задатак одговоре на постављена питања, а да се на наредном часу анализирају одговори. 23

24 Анализом главних циљева наставне теме Реални бројеви, долазимо до закључка да конструктивно одређивање тачке која одговара неком ирационалном броју није један од њих. Много је важније да ученици схвате природу ирационалних бројева, то јест да га доживе као низ рационалних бројева који су му све приближнији. У том духу, све прецизније лоцирање тачке бројевне праве која одговара ирационалном броју јесте поступак који треба са посебном пажњом изложити. Он је у Уџбенику (на страни 16) описан на конкретном примеру лоцирања тачке која одговара броју 3. При том је важно истаћи да описаном методом у сваком кораку све боље и боље одређујемо тражену тачку. Да ли свакој тачки бројевне праве можемо придружити број? Одговор на ово питање је потврдан. Строго говорећи, реални бројеви су уведени да бисмо свакој тачки бројевне праве на јединствен начин могли да доделимо неки број, односно да бисмо бројевима могли да изразимо дужину сваке дужи. Важи и обрнуто, сваком реалном броју одговара јединствена тачка на бројевној правој. Могућност успостављања обострано-једнозначног придруживања између скупа реалних бројева и тачака (бројевне) праве је централно тврђење наставне јединице. Наравно, мора остати недоказано, али је важно да га ученици усвоје и бројну праву доживе као графички приказ скупа реалних бројева: сви реални бројеви се могу сместити на бројевну праву тако да је потпуно прекрију Децимални запис реалног броја. Приближна вредност реалног броја Ова наставна јединица делимично враћа дуг који смо направили уводећи појам реалног броја (о томе смо говорили у одељку ). Остављајући недореченим како да замишљају произвољан реалан број, сада се можемо исправити: сваки реалан број се може представити у облику коначног или бесконачног децималног записа (није на одмет и да додамо да се коначно односно бесконачно односи на број цифара иза децималне запете). Такође, неопходно је додати да међу овим записима разликујемо: оне који су коначни или који су бесконачни и периодични и оне који су бесконачни и непериодични. Први одговарају (што је ученицима већ познато) рационалним бројевима, а ови други ирационалним. Специјално, када је n, ирационалан број, одређивање његових цифара децималским поступком никада се неће завршити (у недоглед се може продужавати). Ово је прилика да се дâ и неки пример ирационалног броја који није добијен као квадратни корен (такви примери наведени су на страни 17). При том је значајно истаћи начин на који задајемо овакве бројеве. Наиме, не можемо рећи само број 0, је ирационалан 24

25 остављајући учениковој интуицији да претпостави шта долази иза написаних цифара, већ морамо из записа и речима описати поступак низања цифара и тиме истаћи његову непериодичност. Иако се логика низања цифара некако намеће, ипак без описа ништа не гарантује да није реч о броју 0, = 0, ( ) Када се реални бројеви замисле као децимални записи, лако се наметне и њихов поредак. Поређење бројева записаних у децималном облику већ је познато ученицима, те га треба само поновити. Као што смо већ истакли, децималски поступак је у основи и ове наставне јединице. У нашем случају, он нам заправо даје приближне вредности ирационалних бројева који су квадратни корени рационалних. Будући да практичан рад са ирационалним бројевима подразумева рад са његовим апроксимацијама, поступке заокругљивања бројева треба обновити примењујући их у контексту ирационалних бројева (страна 19 у Уџбенику). На крају су наведена три начина за одређење приближне вредности квадратног корена неког природног броја: помоћу калкулатора (најчешћи и најлакши начин); помоћу таблице дате на крају уџбеника (159. и 160. страна); ручно (стандардним поступком који је описан за оне који желе више на 20. страни). Наравно, децималски поступак је такође један поступак ручног одређивања приближних вредности квадратних корена Основна својства операција сабирања и множења реалних бројева. Поредак бројева и операције сабирање и множење Са становишта великог броја математичких дисциплина, скуп реалних бројева не посматрамо и не проучавамо као скуп већ као структуру. Појам математичке структуре спада у основне појмове математике и заузима важно место у скоро свим математичким дисциплинама. Наравно, не можемо помињати структуре у основној школи, али то није ни потребно. Можемо их грубо описати припремајући ученике за строге дефиниције које ће се у наредним нивоима школовања појавити. У конкретном случају, под структуром реалних бројева подразумевамо операцијско-релацијску структуру, то јест структуру коју чини скуп са истакнутим операцијама, релацијама и константама. Једноставније речено, када говоримо о реалним бројевима, не мислимо само на скуп свих таквих бројева већ и на: његове основне (бинарне) операције, пре свега на сабирање и множење, али и на (унарне) операције назване супротан број у односу на сабирање, односно множење, његове основне релације: једнакост (=), поредак ( и ) и строги поредак (< и >), његове важне елементе: нула (0) и јединица (1). 25

26 Неутралност нуле у односу на сабирање и неутралност јединице у односу на множење су својства због којих су ова два броја издвојена као значајна. Ученици су углавном упознати са својствима комутативности и асоцијативности операција + и. Због каснијих примена било би добро више пажње посветити својству дистрибутивности (множења према сабирању). Једна од ствари коју посебно треба истаћи јесте двојака употреба дистрибутивности. Слободније речено, дистрибутивност схваћену као једнакост a(b + c) = ab + аc ученици доживљавају као једно од правила ослобађања од заграда. С друге стране, дистрибутивност схваћену као једнакост ab + аc = a(b + c) називају извлачење заједничког чиниоца. Зато би требало расветлити ове две стране дистрибутивности и инсистирати на самом термину дистрибутивност, потискујући поменута колоквијална правила. Геометријска илустрација дистрибутивности може бити корисна. Друго важно место које захтева додатна објашњења јесте употреба знака. Иако је о томе било речи у шестом разреду, додатна појашњења (па чак и понављања) никада нису сувишна. Наиме, овај знак се употребљава да означи две ствари: операцију која се примењује на два броја (бинарну операцију) названу одузимање и операцију која се примењује на један број (унарну операцију) названу супротан број. Двојака употреба истог знака не доводи до забуна и двосмислености јер су ове две операције веома блиске. На пример, у изразу 5 ( 2) тачно се зна када цртица означава одузимање, а када супротан број. Напоменом да се одузимање своди на сабирање углавном се сугерише да треба схватити као супротан број, а бинарно употребљен треба схватити као изостављање знака +, то јест као...+ (...). Тако, што је ниво математичког образовања виши, одузимање се све више протерује, а бинарна употреба знака се користи само да скрати записивање. Овај принцип није испоштован кад је реч о множењу 4. Супротан број у односу на множење није означен са две тачке : већ најчешће као 1 (или као 1 ). У строгом смислу, 1 4 Да је историја била мало другачија, то јест да је усвојена конвенција о минусу као општа, данас бисмо писали 6 :(: 2) уместо 6 :

27 означава унарну операцију која сваком броју различитом од нуле додељује њему супротан број у односу на множење, то јест такозвану реципрочну вредност. 1 1 (2) = 2, 1 1 (2,1) =,... 21, За крај ове наставне јединице остављен је поступак рационалисања који се доста употребљава у пракси. Cвојства поретка (релације уређења) издвојили смо посебним насловом. Реч је о својствима која су разматрана у више наврата у скупу (структури) целих, па затим и рационалних бројева. Својства основних релација можемо поделити у две групе. Прва група се односи на својства самих релација позната као рефлексивност, антисиметричност и транзитивност. Иако није предвиђено да се ови називи експлицитно наводе, могу се навести сама својства: за све реалне бројеве x, y, z важи x x, ако x y и y x, онда x = y, ако x y и y z, онда x z. Како ученици већ знају ова својства, нагласак је стављен на другу групу коју чине својства релација у односу на посматране операције. Ова својства су јако значајна за разматрање неједнакости, а посебно за решавање неједначина. Наиме, поредак се лепо слаже са сабирањем док је пријатељство са множењем мало компликованије. Опис сагласности са множењем дајемо разликујући два случаја. Први, када обе стране неједнакости множимо позитивним бројем 5, и други, када их множимо негативним. У првом случају, како се то колоквијално каже, знак се не мења, док у другом долази до промене знака ( се мења у и обрнуто; < се мења у > и обрнуто). За већину ученика, промена знака неједнакости приликом множења негативним бројем дуго остаје мистична. У Уџбенику на страни 25 графички су илустрована сва поменута правила, што би требало да допринесе разјашњењу поменуте мистерије. Будући да множење страна неке неједнакости позитивним бројем углавном не изазива недоумице, можемо га искористити за доказивање мистериозног правила, позивајући се на специјалан случај који је очигледнији, то јест на промену знака приликом множења са 1 (супротни бројеви): ако је x < y, онда је x > y (или y < x). Ево доказа. Претпоставимо да је a < 0 и b < c. Треба да докажемо да је ab > ac. Множењем са 1 страна и једне и друге неједнакости (то јест узимањем супротних бројева) закључујемо да је a > 0 и b > c. Како је a позитиван број, имамо да је ( a) ( b) > ( a) ( c), односно, ab > ac. У претходном доказу, нарочито осетљиво место је оно где кажемо a је позитиван број. Наиме, због знака већина ученика је склона да a третира као нешто 5 У наставној пракси су одомаћени изрази типа помножимо неједнакост (неједначину) са... који нису коректни, те треба инсистирати на изразима помножимо обе стране неједнакости (неједначине) са... 27

28 негативно. Наглашавајући стално и упорно да a може бити и позитвно (за негативне вредности променљиве a) ослободићемо ученике ове предрасуде. Зашто су толико важна набројана својства? Свако од истакнутих својстава представља једну аксиому такозваних уређених поља. Набројаћемо те аксиоме потпуности ради. За све реалне бројеве x, y, z важи: 1. x + y = y + x комутативност сабирања 2. (x + y) + z = x + (y + z) асоцијативност сабирања 3. x+ 0 = x 0 је неутрални елемент за сабирање 4. x + ( x) = 0 сваки елемент има супротан у односу на сабирање 5. x y = y x комутативност множења 6. (x y) z = x (y z) асоцијативност множења 7. x 1 = x 1 је неутрални елемент за множење 8. Ако је x 0, онда је x 1 = 1 сваки елемент има инверз у односу на множење x 9. x (y + z) = x y + x z дистрибутивност множења у односу на сабирање x x рефлексивност 12. Ако је x y и y x, онда је x = y антисиметричност 13. Ако је x y и y z, онда је x z транзитивност 14. x y или y x линеарност 15. Ако је x y, онда је x + z y +z сагласност са (поретка) сабирањем 16. Ако је x y и 0 z, онда је x z y z сагласност (поретка) са множењем Из набројаних својстава (аксиома) доказује се огроман број осталих, заправо сва радна својства која ће ученици основне школе примењивати. Реч је о добро познатим својствима која ученици већ одавно познају и примењују. Набројмо само нека од њих: ( x) = x, ( x) ( y) = xy, 0 x = 0 1 x = 1 x, x 0 ако је x y, онда је y x, и тако даље. Ранији наставни програми предвиђали су извођење поменутих својстава из ових основних. Испоставило се да су ученици основне школе премлади за овакав приступ, па се одустало од строгих извођења последица датих својстава. Такође, велики број побројаних аксиома ученицима изгледају потпуно јасно да не виде сврху зашто их наводимо. Ученицима основних школа тешко да можемо објаснити сврху аксиоматских приступа уопште. 28

29 Основна својства операције кореновања у R 0 + Овом наставном јединицом попуњене су неке празнине и пропусти начињени приликом увођења симбола (о њима смо већ говорили раније). Строго говорећи, тек сада можемо прецизније дефинисати појам квадратног корена реалног броја, то јест операцију кореновања. Наравно, и даље ћемо радити углавном са квадратним коренима природних бројева иако нам нова дефиниција допушта да посматрамо и 2, , и тако даље. Дефиниција дата на страни 26 у апаратури катанац је поновљена (има је и на страни 11). Међутим, ефекат поновљене дефиниције је различит: сада се у свести ученика појам броја односи на реалне бројеве, а не на рационалне као што је то био случај онда када смо увели симбол. О томе да је приликом првог увођења овог симбола он на неки начин злоупотребљен већ смо говорили. Сада је добра прилика да ученицима откријемо ту нашу малу превару, пре свега да би уочили сврху поновљања дефиниције. Посебна пажња (засебним насловом) посвећена је једнакости a 2 = a. Разлог за то су веома честе грешке које ученици праве у раду са изразом a 2. Међутим, извор грешака често није непознавање ове једнакости већ је дубље природе. Наиме, углавном проблеми настају када је реч о изразу са променљивама на чији квадрат делује квадратни корен. Прецизније, изразе са променљивама који не почињу знаком ученици третирају као позитивне, а оне чији је први знак као негативне. На пример, често се може срести грешка ( x) 2 = x. Наравно, овакво гледање је потпуно погрешно и мора се пажљиво и упорно исправљати Питагорина теорема Будући да се читава наставна тема односи само на једну теорему, она не садржи велики број суштински нових садржаја. Упознавање са Питагорином теоремом и њеним применама у различитим рачунским и конструктивним задацима планиметрије једини су садржаји ове наставне теме Питагорина теорема (формулација и доказ) Прва наставна јединица насловљена је као читава тема и подразумева упознавање са формулацијом и доказом Питагорине теореме и њеним директним применама. О формулацији Питагорине теореме Сматрамо да је веома корисно најпре истаћи одређеност треће странице правоуглог троугла ако су дате друге две. На тај начин обновићемо одговарајуће ставове подударности (СУС и ССУ) и подсетити ученике на конструктивно одређивање треће странице правоуглог троугла ако су дате друге две. С друге стране, тим обнављањем природно ћемо мотивисати саму Питагорину теорему. 29

30 Питагорина теорема вероватно представља најпознатију математичку теорему уопште 6. Велики број људи је памти захваљујући некој методичкој досетки смишљеној управо у те сврхе. Тако, на пример, на скоро свим језицима састављени су стихови о овој теореми. На нашем језику, најпознатији су они који су осавремењени стихови из Аутобиографије Бранислава Нушића: Квадрат над хипотенузом, То зна свако дете, Једнак је збиру квадрата Над обе катете. Што се тиче саме формулације теореме, веома је важно нагласити њено универзално важење: за сваки правоугли троугао... или у сваком правоуглом троуглу.... Откриће универзалног важења једнакости a 2 + b 2 = c 2, то јест њене тачности без обзира на то који правоугли троугао посматрамо, представљало је велики и значајан корак у историји математике и науке уопште. Дешава се да ученици ову теорему поистовете са поменутом формулом. Међутим, Питагорина теорема није формула већ је нешто више (математичко) тврђење да једна формула универзално важи. О доказу Питагорине теореме Упознавање са сваком теоремом, па и овом подразумева упознавање и са формулацијом и са доказом. Формулација и примена теореме без доказа или бар његовог приближног описа има много негативних последица у математичком образовању појединца које је касније све теже исправити. Наше је становиште да се извесна пажња мора посветити доказу сваке теореме. Питагорина теорема једна је од теорема за коју је дат велики број доказа трагање за разним доказима Питагорине теореме је својсврстан хоби једног броја математичара. Сви ти покушаји дали су и низ веома занимљивих илустрација ове теореме које су значајне са методичког становишта без обзира на то што се не могу назвати доказима. У Уџбенику су дате две такве илустрације. Једна се односи на резање квадрата над катетама, а друга приказује кадрове одговарајућег филма. Било би корисно прокоментарисати их пре самог доказа. Доказ на страни 32 у уџбенику вероватно је најједноставнији доказ који се може изложити на овом нивоу. О једнакости a 2 + b 2 = c 2 и директним применама Питагорине теореме Већ смо истакли да је главни задатак ове наставне теме упознавање са основним применама Питагорине теореме најпре у рачунским, а затим и конструктивним задацима планиметрије. Касније, у осмом разреду, она ће бити једно од главних оруђа приликом израчунавања површина и запремина тела. Због поменутих примена веома је важно одмах на почетку упознати ученике са једнакостима које су последице основне једнакости: a 2 = c 2 b 2, односно a = c 2 b 2 (b 2 = c 2 a 2, односно b = c 2 a 2 ). Навикавање на овакве трансформације најбоље се постиже типичним школским задацима одређивања дужине непознате странице правоуглог троугла ако су задате дужине остале две. 6 Управо овој теореми Питагора дугује своју популарност у ширим (нематематичким) круговима иако је дискутабилно да ли ју је он и доказао. 30

31 Приликом састављања задатака у вези са Питагорином теоремом који имају такозвана лепа решења, углавном користимо Питагорине тројке бројева, то јест тројке (a, b, c) природних бројева који задовољавају једнакост a 2 + b 2 = c 2 : ( 3, 4, 5), ( 5, 12, 13), ( 7, 24, 25), ( 8, 15, 17), ( 9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97) и тако даље. Има их бесконачно много. Помоћ у састављању оваквих задатака пружа и теорема формулисана у задатку 2 на 51. страни уџбеника. Иако смо о Питагориним тројкама говорили тек на крају ове теме (стр. 51 у Уџбенику), било би добро истицати овакве тројке бројева у сваком конкретном задатку у коме се појаве и саветовати ученике да покушају да их запамте (што је могуће више њих) јер ће им то касније омогућити брже решавање задатака. Наравно, није добро ученике размазити задацима са лепим решењима. Често се дешава да размажени сматра да није добро урадио задатак уколико добије ружно решење (при том, под ружним решењем углавном сматра решење на које није навикнут). Зато, равномерно треба распоредити и задатке у којима се захтева приближно решење (са задатом тачношћу, једна или две децимале углавном) или пак резултат записан у симболичком облику (то јест остављањем броја под кореном). Оваква два задатка (са приближним и симболичким решењем) решена су у примерима 1 и 2 на страни 33 у Уџбенику. Са практичног становишта нарочито су значајни задаци првог типа. С тим у вези, сматрамо да је пожељно да први пример примене Питагорине теореме буде управо један од таквих јер они најбоље илуструју њен практичан значај. С друге стране, захтев да се решење задатка остави у симболичком облику корисна је вежба са математичког становишта, јер подразумева и одређене алгебарске трансформације. Наиме, у овим задацима симболичка решења ће увек бити у облику a b, при чему број b треба да буде што мањи. Важно је истаћи да симболичка решења користимо због жеље да тражени резултат тачно изразимо. Ово истицање је добар тренутак да се ученици подсете ирационалних бројева и немогућности да се они опишу било којим коначним децималним бројем Примене Питагорине теореме Велики простор у наставном програму је дат примени Питагорине теореме. Најпре се предвиђа њена примена у рачунским задацима, а потом и у конструктивним. О применама у рачунским задацима Мото великог дела ове наставне теме који је предвиђен за примене у рачунским задацима би могао да гласи где год нађеш правоугли троугао, ти Питагорину теорему примени. Подела на наставне јединице у складу са типом фигура на које се Питагорина теорема примењује уобичајена је и корисна будући да се тако најједноставније могу изводити и истицати разне важне формуле. Ипак, не би ваљало да ученици помисле да су на тај начин исцрпљене све примене Питагорине теореме. У том смислу поменути мото треба илустровати и задацима који се директно не односе ни на један дати наслов. Једним таквим задатком (страна 34) започет је део уџбеника који се односи на примену Питагорине теореме. 31

32 Међу применама које су у Уџбенику обрађене поступно и систематично овом приликом ћемо издвојити само оне које се односе на правоугли троугао чији су оштри углови 30 o и 60 o и фигуре у којима се овакви троуглови могу уочити. Издвајање ових примена у посебну лекцију није уобичајено јер су одговарајуће формуле директне последице примене Питагорине теореме на једнакостранични троугао. Међутим, сматрамо да овакав приступ има вишеструких предности. Наиме, уобичајено је да задаци у којима је потребно уочити троугао 30 o 60 o 90 o провејајавају кроз све примене Питагорине теореме које долазе након њене примене на једнакостранични троугао. Такви задаци се углавном сматрају тежим и предвиђају се за боље ученике. Један од главних узрока такве ситуације јесте тај што се ученицима никада директно не укаже на такве случајеве. Одвајање часа за директно указивање на поменуте проблеме доприноси превазилажењу тешкоћа ове врсте. Природно је да овај час планирамо након свих осталих примена Питагорине теореме у рачунским задацима, тако да он може да послужи и као час систематизације. Као посебно важан истичемо задатак 11 са 46. стране уџбеника будући да се он односи на корисне формуле које ће бити примењиване и касније (на пример, приликом одређивања обима и површине многоугла). Издвајање приче о троугловима 30 o 60 o 90 o јако је значајно и са становишта наставне теме Сличност која ученике очекује у овој и наредној школској години (у вези са тим видети уводни пример 1 на 153. страни у Уџбенику). Шире посматрано, ова прича представља благи увод у тригонометрију. О применама у конструктивним задацима Веома важна примена Питагорине теореме јесте она у конструктивним задацима. При том се мисли на два главна типа конструктивних задатака: 1. Конструкција дужи чији је мерни број квадратни корен неког природног броја 2. Конструкција квадрата чија је површина једнака збиру односно разлици површина датих квадрата. Први тип конструкција је посебно важан са становишта прве наставне теме Реални бројеви и свакако треба ове конструкције повезати са бројевном правом. Зато ћемо мало више пажње посветити управо овим конструкцијама. Да би се поједноставило изражавање, користи се термин конструкција броја, који је објашњен на страни 47 и то ученицима треба нагласити. Веома је важно истаћи креативан поступак откривања једнакости која омогућава одређену конструкцију. У недостатку јасног и недвосмисленог поступка како да открију једнакост која омогућава конструкцију ученици често наилазе на тешкоће. Додатну тешкоћу представља и то што углавном постоји више једнакости на основу којих се конструкција може извести. Да би се што једноставније превазишле поменуте тешкоће, задаци 1, 2 и 3 на 48. страни уџбеника формулисани су тако да постепено уводе ученике у проблематику. Када се ученици осете сигурним у решавању поменутих конструктивних задатака, спремни су за сложеније који подразумевају и обнављање појединих једноставних конструктивних поступака као што су сабирање (надовезивање) и одузимање дужи. Након оваквих задатака, требало би прећи на преношење конструисаних бројева на бројевну праву истицањем јако важне везе између алгебре и геометрије. То је погодан тренутак и да се освежи сећање на садржаје наставне теме Реални бројеви. 32

33 Други тип конструктивних задатака је директна визуелизација саме Питагорине теореме Обрт Питагорине теореме Последњи наслов у оквиру теме односи се на обрт Питагорине теореме. Сама формулација обрта Питагорине теореме намеће потребу да се обнови тврђење о одређености троугла дужинама страница, односно неједнакост троугла: 1. Ако важе неједнакости a < b +c, b < c + a, c < a + b, онда дужи a, b, c одређују (јединствен) троугао. 2. Ако су a, b, c дужине страница неког троугла, онда важе неједнакости a < b +c, b < c + a, c < a + b. Или краће, свака страница троугла је мања од збира друге две. Веома је важно објаснити однос Питагорине теореме и тврђења које је названо њеним обртом. Објашњење би свакако требало да буде базирано на истицању претпоставки и закључка једног, односно другог тврђења. Пошто употреба везника ако и само ако није предвиђена (а ни пожељна) у основној школи, упознавање са оваквим паровима тврђења ученицима ће омогућити лакше прихватање теорема формулисаних у облику еквиваленције. Доказ обрта Питагорине теореме који је дат у Уџбенику (страна 50) даје и критеријуме на основу којих можемо утврдити да ли је троугао одређен својим страницама оштроугли, правоугли или тупоугли. Будући да ови критеријуми нису експлицитно наведени у програму, наставник им може посветити онолико пажње колико му то конкретна ситуација дозвољава Цели и рационални алгебарски изрази Ова наставна тема се састоји из две целине. Прва се односи на општи појам степена и основне формуле у вези са њима, док друга говори о алгебарским изразима са посебним нагласком на полиномима. Врло често приликом састављања оперативног плана, колеге које раде у школама ове две целине раздвајају геометријском темом ( Многоугао ), што има методичко оправдање и што смо ми подржали предложеним оперативним планом (страна 10 у приручнику). Један од разлога зашто је погодно раздвојити ове целине јесте велики број часова који су потребни за читаву тему Степен чији је изложилац природан број Са појмом степена, пре свега са квадратима и кубовима, ученици су се већ доста давно срели. Није им стран ни сам запис степена. Ова наставна јединица има за циљ да се надовеже на познате ствари истичући општи појам степена. Ваљало би подсетити ученике да је својевремено (у другом разреду) множењем уведено као скраћење за сабирање истих сабирака одређен број пута. m+ m m= m n n 33

34 Слична ситуација је и овде, степен уводимо као скраћење за множење истих бројева одређен број пута. m m... m= m n У Уџбенику, на 54. страни, поступно је уведен општи појам степена, при чему општу причу прате конкретни примери и задаци. Било би корисно истаћи да у општем случају основа и изложилац не могу заменити места. Довољно је навести неколико примера , ,... Уколико могућности дозвољавају, ученике можемо упознати (на овом часу или пак на неком од наредних часова предвиђених за утврђивање) са великом брзином раста степена (чија је основа већа од 1) приликом повећавања изложиоца. 3 2 = 9, 3 3 = 27, 3 4 = 81, 3 5 = 243, 3 6 = 729, 3 7 = 2187, 3 8 = Добра методичка прича о расту степена јесте прича о индијском краљу, изумитељу шаха и зрнима пшенице. Према легенди, индијском краљу се толико допала нова игра шах да је творцу ове игре као награду понудио шта год пожели. Желео бих да ми на прво поље шаховске табле ставите једно зрно пшенице, на друго два, на треће четири, на четврто осам и на свако следеће поље двоструко више зрна пшенице него на претходном пољу, рекао је скромно изумитељ игре. Краља је зачудила његова скромност, али је наредио му се испуни жеља. Међутим, убрзо је схватио да у читавој Индији нема довољно пшенице да се на овај начин попуне сва поља шаховске табле. Број зрна пшенице који је тражио творац шаха једнак је збиру који износи (18 квадрилиона 446 трилиона 744 билиона 73 милијарде 709 милиона 551 хиљада 615), што је много више од пола трилиона тона жита. Такође, треба истаћи да се степени чија је основа 1 углавном не разматрају будући да је 1 n = 1, за сваки природан број n. Упознавање са степенима добра је прилика и да се понове основне операције са ирационалним бројевима у облику m, где је m природан број. Пре свега, мислимо на степеновање ових бројева парним односно непарним бројевима. У ове сврхе може да послуже последње две врсте табеле у задатку 3 на 55. страни уџбеника. n a a 2 a 3 a 4 a 5 a 6 a

35 Множење и дељење степена једнаких основа Множење степена једнаких основа своди се на сабирање изложилаца. То је суштина првог дела наставне јединице. Извођење овог закључка је доста једноставно и природно. Након неколико конкретних примера правило се само намеће, те ученици углавном не виде потребу за било каквим доказом. Ипак, ваљало би правило размотрити и са општим бројевима, како је то у Уџбенику и учињено. Поступак скраћивања разломака је у основи извођења закључка како се деле степени једнаких основа: дељење степена истих основа своди се на одузимање изложилаца. Наравно, прича из претходног пасуса важи и у овом случају. Управо ова својства су узета у обзир приликом дефинисања степена чији је изложилац 0, као и степена са негативним изложиоцем Степен производа и количника Користећи комутативност и асоцијативност множења лако долазимо до формуле која се односи на степен производа: степен производа једнак је производу степена чије су основе чиниоци производа, а изложиоци једнаки изложиоцу степена производа. Игра речи степен производа производ степена је нешто на шта свакако треба посебно указати ученицима. Оно што је девојчица са илустрације на 58. страни Уџбеника желела да истакне јесте да, примењујући једнакости, понекад је читамо слева надесно, а понекад здесна налево: некада је потребно да степен производа заменимо производом одговарајућих степена, а некада обрнуто. Важна методолошка напомена у вези са употребом доказане једнакости дата је дну 58. стране у Уџбенику. Исте напомене важе и за формулу која се односи на степен количника: степен количника је количник одговарајућих степена Степен степена Степеновање степена своди се на множење изложилаца. До овог закључка долазимо на исти начин као и до претходних, те се на њему овде нећемо много задржавати. Овом наставном јединицом завршава се упознавање са основним својствима степена, па је добра прилика након овог часа организовати час систематизације свих доказаних формула. Добра је прилика и да се истакне да је при израчунавању вредности било каквих бројевних израза, па специјално и оних у којима се појављују степени, неопходна доза креативности. О томе говори и пример 1 на 61. страни у Уџбенику Примена степена Главни циљ ове наставне јединице је да упозна и зближи ученике са такозваним научним записом реалног броја. Реч је о запису који се доста употребљава у физици, хемији, биологији итд., због чега је и назван научним. Користи се пре свега када треба записати много 35

36 мале бројеве (као што су, на пример, полупречник атомског језгра, гравитациона константа, величина бактерије и тако даље) или пак доста велике (разна растојања у свемиру, број молекула у килограму неке супстанце, број бактерија у поквареном млеку и слично). Запис је у Уџбенику (62. и 63. страна) илустрован низом конкретних примера са којима су се ученици већ срели приликом упознавања са поменутим наукама. Важно је да ученицима укажемо и на добре и на лоше стране оваквог записивања бројева. Добра страна, због које се запис и одомаћио, јесте та што нам овакав запис омогућава много бољи увид о колико великом, односно малом броју је реч. Запис нам каже колико нула има број, па их не морамо бројати. На пример, много је лакше сагледати запис 2, , него уобичајени запис одговарајућег броја (чак и при раздавајању цифара у групе по три) Слично је и са малим бројевима. На пример, упоредите следеће записе једног истог броја: 1, и 0, Лоша страна поменутог записа је његова непрецизност која се пре свега односи на велике бројеве. Међутим, та непрецизност је потпуно у духу ситуације на коју се ти бројеви односе. На пример, када у километрима одређујемо растојање између две планете, природно је дозволити непрецизност типа километар горе, километар доле. Слично је са бројем бактерија у соби и тако даље. Дакле, велике бројеве представљене научним записом треба углавном схватати као приближне описе бројности који су често и довољни за примене (понекад су приближне вредности и једине до којих можемо доћи). Ове напомене су у веома блиској вези са оним што се може чути и у обичном говору, па се можемо осврнути и на то. На пример, када се неко распитује за цену производа, при чему не може и да претпостави колико она износи, он пита за ред величине те цене. Купац заправо жели да сазна да ли цена износи неколико стотина динара, неколико хиљада динара или неколико десетина хиљада. Дакле, не тражи тачну суму (у динар) већ само њену приближну вредност. Неопходно је истаћи још једну предност научног записа броја. Бројеве записане на овај начин је лакше множити и делити, што је са практичног становишта веома значајно. Добро је познато да када треба множити огромне бројеве или пак оне много мале не може нам помоћи ни калкулатор. Такође, сваки рачунар има своја ограничења када треба да прихвати овакве бројеве. Није лако ни ручно изводити операције са овим бројевима: мале и велике бројеве записане на уобичајен начин тешко можемо и да сагледамо, а још теже да рачунамо са њима. Наравно, неопходно је да ову причу подржи одговарајући пример. Пример. Колико је : ? Ако дате бројеве преведемо у научни запис, брзо добијамо решење : = ( ) : ( ) = = 1, = 1500 Сличне примере није тешко направити. На страни 61 у приручнику дат је кратак тест који би ученицима могао да помогне у савладавању поменуте вештине. 36

37 Алгебарски изрази Са изразима (бројевним и оним са променљивама) ученици се срећу од самог почетка школовања, те је циљ ове наставне јединице да систематизује и допуни постојеће знање. Ова наставна јединица подељена је на два дела. Први део (стране 64 и 65 у Уџбенику) односи се на бројевне изразе, а други (66. и 67. страна) на изразе са променљивама. У првом делу је описан начин изградње бројевних израза, при чему је благо наговештен индуктивни карактер строге математичке дефиниције израза: најпре се записи бројева проглашавају за изразе, и то најједноставније, а затим се истиче начин на који се граде сложенији изрази (наравно, помоћу основних операција), па се на крају обавезујемо да изразе градимо само на описани начин. Овако уведени изрази потпуно се уклапају у уобичајену наставну праксу поштовања строге математике: ако не могу да дам строгу дефиницију или строг доказ, онда их морам најприближније препричати обичним речима. У овом конкретном случају, строга дефиниција израза ученицима углавном делује као нешто потпуно излишно, будући да им је, на основу стеченог математичког искуства, потпуно јасно шта јесте израз, а шта није и не треба им никаква дефиниција на основу које би то утврђивали. Додајмо и то да ће за строгу дефиницију израза бити спремни тек када схвате идеју и потребу увођења формалних система. Идеју изградње сваког израза најбоље илуструје такозвано дрво тог израза, што је у Уџбенику и испоштовано. Иако се изрази и њихове (бројевне) вредности намећу доста пута од најранијег школовања, сматрамо да није сувишно посветити им мало пажње и овом приликом (пример 1 на страни 65). Наравно, не треба пропустити прилику и не подсетити ученике да је забрањено делити нулом. Излагање у другом делу је потпуно слично, с тим што су у игру укључене и променљиве, такозвани општи бројеви. Дефиниција израза са променљивама је иста као дефиниција бројевног израза, с том разликом што се овога пута и променљиве проглашавају најједноставнијим изразима. Било би добро истаћи да употреба индексираних слова приликом означавања променљивих произлази из жеље да имамо неограничено много променљивих на располагању (слова има само коначно много, а израз може садржавати и стотине променљивих). Нарочито важно место представља додељивање бројевних вредности изразима са променљивама. Пре свега треба истаћи да изразу са променљивом можемо доделити бројевну вредност само онда када су додељене вредности променљивама које учествују у његовом грађењу. С друге стране, ученике треба упознати и са изразима који имају исту вредност ма какве вредности да су додељене његовим променљивим; на пример, 0 x, x (x + 1) и тако даље. У том смислу, добро би било отворити дискусију након решавања задатка 7 на 67. страни у Уџбенику. Издвајамо само најважнији закључак до кога треба доћи: вредност израза (x (x 2y)) : y не зависи од вредности које су додељене његовим променљивама. Такође, треба истаћи да до овог закључка долазимо без директног израчунавања вредности израза за неке вредности променљивих; довољно је да применимо опште законе којима се покоравају бројеви (о којима је било речи у првој наставној теми). 37

38 Општа напомена о алгебарским трансформацијама Ово је погодно место да направимо малу дигресију од главног тока излагања и посветимо пажњу такозваним алгебарским трансформацијама на којима ће бити засновани преостали садржаји предвиђени за ову наставну тему. Претходна наставна јединица је погодан тренутак да се обнове општи закони бројева, односно основна својства операција над реалним бројевима, али и да се наговести нови контекст у коме ће се они примењивати. Прецизније, сва основна својства бројева која смо разматрали можемо користити при раду са изразима у смислу да променљиве које су се појављивале у тим законима замењујемо изразима по принципу исте променљиве замењујемо истим изразима. На тај начин добијамо низ закона који се односе на изразе и које доживљавамо као правила по којима их можемо трансформисати. На пример, за свака два израза A и B важи једнакост A + B = B + A, за свака три израза A, B, C важи једнакост A (B + C) = A B + A C и тако даље. Строго говорећи, правила трансформисања израза добили (извели) смо из основних закона бројева применом правила супституције. Јако је важно истицати супституцију будући да она даје велику снагу алгебарским законима уопште Полиноми (мономи, биноми, триноми...) Наставни програм предвиђа постепено увеђење појма полинома, што је у Уџбенику и испоштовано. Најпре су уведени мономи, а затим и све сложенији полиноми као збирови два, три и више (несличних) монома. Један од разлога оваквог излагања јесте развијање систематичности приликом решавања задатака који се односе на садржаје остатка ове теме. Поред систематичности, уредност, поступност, па и стрпљење неопходни су приликом решавања поменутих задатака. Добро је познато да су непрегледно и неуредно записивање често узрок грешака. Такође, вештина манипулације изразима углавном се стиче искуством, те се у том смислу од ученика очекује и стрпљење. Мономи су специјалан случај полинома који се третирају као цигле помоћу којих се зидају полиноми при чему је везиво сабирање. Строго, мономи се дефинишу индуктивно. 1) Најпре се дефинишу основни мономи. Најједноставнији (основни) мономи су знаци за бројеве (2, 3, 2 3, 1 4, 0,3, 5,...) и променљиве (слова латинице са и без индекса): a, b, c,..., x, y, z, a 1,..., x 2,... (Индексе уводимо да бисмо имали неограничен број променљивих на располагању приликом формирања израза.) 2) Затим се дефинише поступак изградње сложенијих монома. Ако су A и B мономи, онда је и A B моном. 3) Најзад, ограђујемо се од осталих израза, то јест обавезујемо се да мономе градимо само на описани начин. Мономи су само они изрази који се могу добити на описани начин. Међутим, као у случају бројевних израза, ученицима мало значи индуктивна дефиниција, па није неопходно придавати јој неки већи значај. Моном се доживљава као 38

39 производ бројева и променљивих. При том, овакав поглед на ствари нимало не смета приликом манипулисања са мономима. Тако, већина ученика веома лако усвоји поступак трансформисања монома у такозвани сређени облик будући да је довољно: примењивати комутативност множења поштујући принцип груписања истих променљивих, а затим производе истих променљивих записати у облику степена. При том, сређени облик се такође визуелно препознаје као моном записан у облику: n број променљива 1 n 1 променљива 2 n 2... променљива k k при чему је број 0, променљиве променљива 1, променљива 2,..., променљива к су међусобно различите и n 1, n 2,... n k неки природни бројеви. Будући да су основци потпуно неспремни за формални поглед на математику, овакав приступ је сасвим задовољавајући. Посебно важна за будуће садржаје је релација сличности међу мономима. Ову релацију такође није лако строго дефинисати на једноставан начин, што је помало чудно, будући да је реч о односу који се веома једноставно описује обичним свакодневним језиком: ако сређени облици два монома имају исте степене променљивих без обзира на њихов поредак, онда су ти мономи слични. Још је једноставније визуелно препознати сличне мономе, те нема разлога оптерећивати ученике било каквим детаљима у вези са дефиницијом ове релације. Иако смо потпуно свесни да, са математичке тачке гледишта, овакво представљање монома има много мана и недостатака 7, сматрамо да је потпуно задовољавајуће да буде на овом нивоу. Најзад, треба дефинисати и степен монома. Степен монома је збир свих изложилаца који се појављују у степенима променљивих сређеног облика монома. На пример, степен монома 2xy 3 z 2 je 6. Као што смо већ истакли, полиноме уводимо као збирове монома. При том, посебно треба истаћи специјалне случајеве полинома: биноме и триноме Сабирање полинома Сабирање сличних монома је прво са чим треба упознати ученике. Поступак је савим једноставан: довољно је сабрати коефицијенте и преписати словни део. Важно је при том истаћи да је овај поступак последица дистрибутивности (схваћеној у општијем смислу, видети страну 26 у приручнику). Наравно, ако одузимање третирамо као сабирање са супротним бројем, поступак одузимања сличних монома се сам намеће. Следеће што треба увести јесте такозвани сређен облик полинома, и то навођењем дефиниције: сређен облик полинома је збир несличних монома, и указивањем на тврђење сваки полином се може средити. 7 Ови недостаци су минорни у поређењу са недостацима које неминовно садржи упознавање основаца са појмом ирационалног броја. 39

40 Наравно, сређивање полинома је суштински повезано са сабирањем полинома и на то треба јасно указати. Почев од ове наставне јединице, требало би инсистирати и на уобичајеном уредном записивању сређеног полинома: (међусобно несличне) мономе сређеног полинома наводимо тако да им степени опадају слева надесно. Предност оваквог записивања је вишеструка. На странама 62 и 63 дат је наставни листић о сређивању полинома који је погодан за домаћи задатак Множење полинома Због деликатности поступка множења два полинома, уобичајена пракса је да се оно уводи постепено, што је у Уџбенику и испоштовано. Прво се множе само мономи. На овом поступку се нећемо задржавати, будући да он углавном не представља никакву тешкоћу: множењем два монома добијамо нови моном који треба средити. Множење полинома мономом је први значајнији корак који ученици морају да савладају да би множили произвољне полиноме. У основи поступка насловљеног множења налази се дистрибутивност (видети страну 26 у приручнику) и на томе треба инсистирати током решавања сваког новог задатка. Претходни поступци представљају увертиру за поступак множења два полинома, при чему ниједан од њих није моном. Овај поступак, захтевнији од претходних, детаљно је образложен на 74. страни у Уџбенику. Ученици га најчешће колоквијално зову сваки са сваким јер је управо та идеја у основи самог поступка. Без претераног осуђивања оваквог назива, пожељно је што чешће истицати дистрибутивност као основу поступка. Иако сам поступак није суштински компликован, доста су честе грешке које ученици праве приликом множења два полинома. Узроци су најчешће неуредност, несистематичност, нестрпљивост, недостак концентрације и слично. Велики број наставника инсистира на јединственом начину спаривања монома једног полинома са мономима другог да би се могућност грешке свела на минимум. Ту су и разна помоћна упутства која је није лако описати текстом, али која постају врло једноставна када се усмено изложе уз демонстрацију на неком примеру. На пример, подвуци први моном слева у десном полиному, па затим кажипрстом леве руке следи мономе (слева надесно) левог полинома и записуј збир производа подвученог монома са сваким мономом другог. Затим, подвуци други моном слева у десном полиному, па кажипрстом леве руке поново прати мономе левог полинома и тако даље. Иако инсистирање на утврђеном редоследу спаривања монома има својих предности, један број ученика може помислити да је овакав поступак једини могућ, што је погрешно. Зато би требало истаћи да могућности спаривања монома има много, али да бирамо један систематичан да бисмо што мање грешили. Другим речима, треба искрено рећи због чега инсистирамо на једном начину спаривања. 40

41 На странама 64 и 65 дат је помоћни материјал који се може умножити и поделити за домаћи задатак ученицима који наилазе на тешкоће приликом множења два полинома Квадрат бинома и разлика квадрата Квадрат бинома и разлика квадрата спадају у најпознатије математичке формуле којих се људи дуго сећају након школских дана. У Уџбенику, упознавање са овим формулама традиционално прате њихове уобичајене геометријске интерпретације и докази засновани на множењу два полинома. Посебно је важно ученике постепено припремати за двојаку примену ових формула: примене приликом ослобађања од заграда и примене при растављању на чиниоце, то јест на читање формула слева надесно и здесна налево. За сваку од поменутих примена у Уџбенику су предвиђени адекватни задаци. Обе формуле нам у неким случајевима могу омогућити брзо рачунање напамет (страна 76, односно 78 у Уџбенику). Слични задаци могу послужити да се освеже часови увежбавања рутине будући да представљају веома корисне вежбе мождане гимнастике. Примера ради, наводимо два таква задатака. Израчунај напамет: а) 100 (0,09 0,1) Тешко је директно израчунати, али ако применимо дистрибутивност (наравно у мислима), добијамо једноставне производе и још једноставнију разлику (9 10 = 1). б) Вредност израза се лако рачуна ако се примети да је он у облику x 2 (x 1) (x + 1). Кад ово примети неко ко зна разлику квадрата, лако види да је резултат 1. Наравно, доста сличних задатака једноставно се може направити: пођемо од неке формуле коју је лако напамет средити, а затим променљиве заменимо великим или малим бројевима. На пример, израз x(x + 1) x 2 даје следећу загонетку: израчунај Растављање полинома на чиниоце Ова наставна јединица у извесном смислу резимира и систематизује до сада стечена знања, али и нуди нове погледе на могућности примене. Полазна тачка свакако треба да буде дистрибутивност која се чита слева надесно као једнакост а затим разлика квадрата и најзад квадрат бинома A B + A C = A (B + C), A 2 B 2 = (A B) (A + B) A 2 2AB + B 2 = (A B) 2. 41

42 Главна примена растављања на чиниоце треба да буде решавање једначина које нису линеарне (задаци 1, 2, 5 у Уџбенику и у збирци). Будући да је квадрат бинома кључна формула за решавање квадратних једначина 8, на странама 66 и 67 дат је наставни листић предвиђен за напредније ученике, при чему је понуђен начин решавања потпуно примерен узрасту ученика Многоугао Наставна тема Многоугао се надовезује на геометријске теме 9 обрађиване у шестом разреду, па је нужно и њихово темељније обнављање. На наставнику је да одлучи да ли ће памћење ученика освежити једним систематичним обнављањем свих важних особина одједном на самом почетку ове теме или ће их постепено подсећати одговарајућим садржајима током реализације читаве теме. Сваки од приступа има своје методичке предности. Увод за ову наставну тему (стране 81 и 82), поред подсећања на неке релевантне садржаје, указује и на основне идеје и методе које ће бити коришћене приликом проучавања многоуглова. Будући да поменути увод не садржи ништа ново, могуће је ученицима задати да код куће прочитају овај текст и реше дате задатке и на тај начин се припреме за садржаје који следе Број дијагонала многоугла Питање које се намеће приликом реализације ове наставне јединице јесте: Да ли је важније да ученици схвате начин на који треба бројати дијагонале конвексног многоугла или да знају како да одреде број његових дијагонала? Сматрамо да је једини исправан одговор: Подједнако су важни. Истицањем начина на који се дијагонале броје, реализујемо један од основних задатака математике уопште, а то је оспособити младе да мисле. С друге стране, издвајање саме формуле представља један од образовних задатака математике у седмом разреду. За ученике који желе више предвиђен је текст Пребројавање размишљањем у којем је акценат стављен на начин пребројавања дијагонала 10. Наравно, дат је читав низ примера различите природе у којима је овај начин применљив. Анализа урађених задатака и решавање сличних (из Уџбеника задаци 4 и 5, страна 85, и из збирке задаци на страни 81) погодни су за припрему ученика за математичка такмичења Збир углова многоугла Најпре треба поновити теореме о збиру унутрашњих и спољашњих углова троугла, односно четвороугла. Такође, било би добро подсетити се и доказа ових тврђења. 8 Квадратне једначине се полако појављују у тежим (такмичарским) задацима (математике и физике), па су наставници често принуђени да бољим ученицима покажу како се оне решавају. Чувена формула која даје решења квадратне једначине није добар начин упознавања са решавањем квадратних једначина пре свега зато што су ученици премлади за овакав вид формуле. 9 Троугао, Четвороугао и Површине троуглова и четвороуглова. 10 Прецизно говорећи, обрађене су комбинације без понављања друге класе. 42

43 Пре него што се пређе на општу причу било би добро позвати ученике да примењујући сличне поступке одреде збир унутрашњих и збир спољашњих углова неког (произвољно нацртаног конвексног) петоугла. Након решавања овог проблема свакако треба истаћи закључак који се намеће: слично можемо поступити уколико је задат било који многоугао. Посматрањем n-тоугла разматрамо општи случај. Важно је нагласити да је за разлику од збира унутрашњих углова n-тоугла збир спољашњих углова увек исти, без обзира на то колико је n, и износи 360. И овом приликом треба посветити посебну пажњу методи помоћу које долазимо до одговарајућих формула. Реч је о разлагању многоугла на троуглове (такозваној триангулацији). Задатак 8 на 87. страни истиче ову методу Обим и површина многоугла Пожељно би било обновити све формуле за израчунавање површина троуглова и четвороуглова које су ученици упознали у шестом разреду. Поред тога, добро би било подсетити их и на методу која нас је довела до тих формула. Једна могућа организација овог обнављања јесте подела наставног листића који је дат на странaмa 68 и 69, па заједно са ученицима дискутовати и решавати постављене задатке. Као што се може видети, акценат није на рачунским задацима већ на идејама израчунавања површина. И у овој наставној јединици главна метода решавања задатака је разлагање многоугла на троуглове (евентуално, и на четвороуглове). Пошто је реч о методи која је ученицима позната, погодно је час почети задатком типа: 1) Нацртајте произвољан многоугао (пауза док цртају), па 2) одредите његов обим и његову површину. Употребите лењир и измерите дужине које су вам потребне. Овако општи задатак је добро поставити ако желимо да сваки ученик индивидуално приступа решавању проблема, али и уколико околности дозвољавају да сваком ученику посветимо мало пажње. Одређивање обима не би требало никоме да представља проблем. Одређивање површине захтева мало времена. Након истека неког разумног рока током којег би свако самостално решавао задатак, треба отворити колективну дискусију која треба да доведе до општег поступка одређивања површине (разлагањем на троуглове). Наравно, са дискусијом се одмах може почети пошто би неко од ученика нацртао произвољан многоугао на табли. Колективну дискусију о решавању задатка већи број ученика би могао да реализује (да мери и рачуна) на табли. Природно би било после тога анализирати текст на страни 88 у Уџбенику, а затим и пример на страни 89. Први задатак који се задаје ученицима за самостално решавање може бити задатак 1 (89. страна) или пак задатак 6 са 90. стране. У Уџбенику је задатак 6 наведен на крају да би се после извесног времена освежило памћење у вези са почетком приче. 43

44 Осврнућемо се на задатак 4 са 90. стране уџбеника. Нарочито на део под б) који ученицима може бити нешто тежи. Наиме, применом методе којом се најједноставније решава део под а) уз подсећање на формулу дату у задатку 11 на страни 46 уџбеника, једноставно ће решити и овај задатак Правилни многоуглови Како су ученицима већ добро познати правилни троуглови и правилни четвороуглови, добро би било час започети решавањем задатка 1 на страни 91 у Уџбенику. У овом задатку су истакнуте и особине релевантне за све правилне многоуглове. Поред дефиниције правилних многоуглова, потребно је истаћи и неопходност оба услова: 1. да су једнаке све странице и 2. да су једнаки сви углови. Свакако ученицима треба предочити примере неправилних многоуглова који задовољавају само један од ова два услова (почетак стране 92). Ова наставна јединица подразумева издвајање следећих (основних) особина правилних многоуглова: величина унутрашњег (и спољашњег) угла; осна симетричност и број оса симетрије; могућност уписивања и описивања круга; основне особине карактеристичног троугла. Посебну пажњу треба посветити правилном шестоуглу. Чињеница да је његов карактеристичан троугао једнакостраничан троугао, омогућава да се једноставно изведу формуле за одређивање његове површине, полупречника уписаног и описаног круга (у функцији странице). После обраде свих побројаних особина правилних многоуглова било би добро систематизовати знање у облику кратког контролног теста. Дат је правилан дванаестоугао. 1. Колико дијагонала има овај многоугао? 2. Одреди унутрашњи угао овог многоугла. 3. Одреди спољашњи угао овог многоугла. 4. Колико оса симетрије има овај многоугао? 5. Да ли се у овај многоугао може уписати круг? Зашто? 6. Да ли се око овог многоугла може описати круг? Зашто? 7. Одреди унутрашње углове карактеристичног троугла овог многоугла. Одговори Да, јер се симетрале свих његових углова секу у једној тачки. 6. Да, јер се симетрале свих његових страница секу у једној тачки , 75,

45 Конструкције неких правилних многоуглова Конструкције једнакостраничног троугла и квадрата уколико је задата страница су познате ученицима, али их свакако треба обновити. Извесно време треба посветити и конструкцијама ових фигура уколико је задат полупречник описане (R) односно уписане (r) кружнице. Када је реч о квадрату, конструкције су прилично једноставне: полупречник описане кружнице је половина дијагонале квадрата, док је полупречник уписане кружнице половина његове странице. Одговарајуће конструкције су компликованије за једнакостранични троугао, али су добар увод у причу која следи. У оба случаја најпре треба конструисати осенчени правоугли троугао чији су нам углови познати и чија је једна страница задата. Дужа катета конструисаног троугла је половина странице траженог једнакостраничног троугла. У Уџбенику су обрађене конструкције правилних шестоуглова и правилних осмоуглова уколико је позната 1. страница (a), 2. полупречник уписане кружнице (r), 3. полупречник описане кружнице (R), и то методом карактеристичног троугла. Такође, дата је и брза конструкција правилног шестоугла чија је страница позната. Ову конструкцију би свакако требало обрадити јер је доста практична. Такође, на њу се лепо надовезује и прича о пореклу речи шестар, дата на страни 121 у Уџбенику. На овом нивоу из предложеног оквира се може изаћи једино конструкцијама правилног дванаестоугла и правилног шеснаестоугла јер се оне једноставно своде на претходне. Такође, могуће је на примерима указати на могућност цртања правилних многоуглова помоћу угломера, али том приликом треба изричито нагласити да овакво цртање не представља конструкцију Зависне величине и њихово графичко представљање Ова наставна тема је веома значајна не само за даље математичко образовање већ и за свакодневне потребе савременог човека. Графички прикази зависних величина се могу наћи у штампи, на телевизији, у стручној литератури било које врсте. У свим научним дисциплинама уочавају се некакве особине описане бројевима и трага се за везама (зависностима) међу њима. Успостављање зависности међу величинама основни је задатак сваке науке. О погодностима које нам нуди графичко представљање зависности не треба много говорити. 45

46 Правоугли координатни систем Основне идеје на којима је конципиран правоугли координатни систем углавном су познате ученицима. Будући да су се ученици у више наврата упознавали са бројевном правом, пожељно је подсетити их основних појмова и идеја. Такође, добро би било истаћи да је главни разлог постављања правоуглог координатног система у неку раван жеља да се прецизно одреде положаји (места) на којима се те тачке налазе. Корисно је направити поређење са географским картама. У односу на друге наставне јединице, ова обилује новим појмовима. правоугли координатни систем; x-оса; y-оса; координатни почетак; уређен пар бројева; прва координата (апсциса); друга координата (ордината); квадрант. Уџбеник, поред текстуалних дефиниција и објашњења, даје и илустративне дефиниције чији је циљ да помогну ученику да што брже усвоји наведене појмове. Управо због ових илустрација сматрамо да је пожељна директна употреба уџбеника на часу обраде ове наставне јединице. Као користан додатак читавој причи предлажемо поређење са бројевном правом: положај тачке на правој одређује један број (координата), док положај тачке у равни одређују два броја, тј.уређен пар бројева (две координате од којих се прва зове апсциса, а друга ордината). Овакво поређење истиче и разлог због кога се права сматра једнодимензионалним објектом, а раван дводимензионалним. Пожељно је задатак 4 (страна 103) искористити за навођење следећих општих тврђења: Координате тачке симетричне тачки T(x, y) у односу на x-осу јесу (x, y); Координате тачке симетричне тачки T(x, y) у односу на y-осу јесу ( x, y); Координате тачке симетричне тачки T(x, y) у односу на координатни почетак јесу ( x, y) Растојање између две тачке у координатном систему И у овом случају згодно је почети подсећањем на бројевну праву. Прецизније, подсећањем на то како се одређује растојање две тачке бројевне праве уколико су познате њихове координате. На исти начин се решава проблем одређивања растојања две тачке у равни када су њихове апсцисе, односно ординате једнаке. Такође, важно је ученике подсетити и на следеће једнакости које важе за све реалне бројеве x и y. x y = y x, x 2 = x 2, x 2 = x 46

47 Централно место ове наставне јединице заузима формула за одређивање растојања између две тачке у општем случају. Ову формулу добијамо применом Питагорине теореме. Ако су дате тачке такве да су њихове и апсцисе и ординате различите, онда тачка чија је апсциса једнака апсциси једне тачке, а ордината једнака ординати друге тачке представља теме правоуглог троугла са хипотенузом коју образују дате тачке. Или краће, ако су дате тачке А(x 1, y 1 ) и B(x 2, y 2 ) тако да је x 1 x 2 и y 1 y 2, онда је тачка C(x 1, y 2 ) теме правог угла правоуглог троугла над хипотенузом AB. Исто важи и за тачку C (x 2, y 1 ). Будући да тачка C (као и C ) има по једну координату исту и са тачком A и са тачком B, онда се одговарајућа растојања једноставно рачунају: AC = y 2 y 1 и BC = x 2 x 1 (односно, AC = x 2 x 1 и BC = y 2 y 1 ). Сада када смо одредили дужине катета одговарајућег правоуглог троугла, применом Питагорине теореме једноставно добијамо дужину хипотенузе. Приликом извођења саме формуле треба истаћи једнакости: x y 2 = (x y) 2 и x y = y x. Важно је нагласити да се (главна) формула може користити и у специјалним случајевима који су прво разматрани. Ако су дате тачке А(x 1, y 1 ) и B(x 2, y 2 ), при чему је x 1 = x 2, онда је AB = ( x2 x1) 2 + ( y2 y1) 2 = 0 + ( y2 y1) 2 = ( y2 y1) 2 = y2 y1. Слично се разматра и случај y 1 = y 2. Посебна пажња се мора посветити примени централне формуле. Примену формуле је могуће описати речима: одреди квадратни корен збира квадрата разлике апсциса и квадрата разлике ордината, при чему се не мора водити рачуна шта се од чега одузима будући да је AB = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) = ( x x ) + ( y y ) = ( x1 x2) 2 + ( y1 y2) 2. Ипак, велики број наставника инсистира на једној од побројаних могућности у жељи да код ученика развију извесну врсту уредности при решавању задатака, што је у одређеном смислу и оправдано. Међутим, ученицима треба јасно ставити до знања да је таква врста прецизности пре свега васпитног каректера, а указати му на све могуће случајеве једноставно да би се испоштовали и образовни циљеви наставне јединице. 47

48 Графичко представљање зависности међу величинама Под зависношћу која се помиње у наслову треба подразумевати функционалну зависност. Међутим, наставни програм не предвиђа обраду појма функције (пресликавања), те нам једино преостаје да се ослонимо на интуитивно схватање појма (функционалне) зависности. Ученици овог узраста су углавном већ развили интуицију о овом појму. Један од циљева ове наставне јединице је и јачање стечене интуиције уочавањем правилних промена једне величине у зависности од промена друге, и то на конкретним примерима. Наводимо неколико погодних примера појма зависности: обим квадрата зависи од дужине странице, површина квадрата зависи од дужине странице, дужина обданице зависи од годишњег доба, висина детета се мења у зависности од његовог узраста, време потребно да се уради неки посао зависи од броја људи који су ангажовани, време потребно да се стигне из Ниша у Београд зависи од брзине којом се крећемо и тако даље. Добро би било да и ученици наведу по неколико примера зависности. Главни циљ наставне јединице јесте графичко приказивање зависности међу величинама. Важно је нагласити да се веома често координатни систем прилагођава сваком конкретном примеру и то у следећем смислу: Преименовање оса свака оса се означава и назива у складу са величином коју представља, Нумерација оса подеоцима на свакој од оса додељују се бројеви који одговарају редовима одговарајућих величина, то јест основним подеоцима се додељују понекад стотине, понекад хиљаде и тако даље. Није редак случај, нарочито у пракси, да се почетни део осе изостави, те да се прикаже део почев од 100, и тако даље. За такве случајеве постоје разне графичке допуне, али се често могу срести и прикази без икаквог истицања да је почетни део осе одбачен. 48

49 Иако сматрамо да у принципу нема велике потребе да се истиче изостављање дела осе јер је то углавном јасно, требало би ученике упознати са овим приказима јер се могу срести и у штампи и у књигама. Принцип придруживања тачака паровима одговарајућих вредности зависних величина је једноставан. Врло често се само цртање тачака изводи на основу табеле. Све то илустровано је примером 1 на 106. страни у Уџбенику. Пример 2 са 107. стране илуструје и саму анализу ситуације на основу одговарајућег графика. Читање графика, односно анализа ситуације представљене графиком, јесте основни циљ ове наставне јединице. Ови примери су погодни за колективну дискусију на часу. Као домаћи задатак предлажемо да се ученицима подели материјал дат на странама 70 и Директна пропорционалност Најједноставнија (функционална) зависност јесте директна пропорционалност. Ученици су се са њом доста пута срели мада им није експлицитно наглашено њено име. Зато је на почетку обраде веома важно подсетити их на што је више могуће примера директно пропорционалних величина. Сматрамо да је пример 1 са 108. стране погодан као уводни из више разлога: односи се на појаву која је значајна са практичног становишта, те на тај начин мотивише читаву причу која следи; надовезује се на знање које ученици већ имају из физике, али га и продубљује и расветљава, и на тај начин истиче значај математике за друге научне дисциплине (с тим у вези, нарочито је значајно истаћи следећи пасус преузет из уџбеника: Спајање добијених тачака је математички изражен закон физике који каже: за сва тела направљена од истог материјала однос масе и запремине је константан; та константа је названа густином материјала.); илуструје основне идеје које ће касније бити уопштене: константан количник парова одговарајућих величина и праволинијски график зависности ових величина. График зависности y = k x, x R Појам директне пропорционалности се односи пре свега на ненегативне величине (па је сходно томе и одговарајући коефицијент пропорционалности ненегативан) сви практични примери са којима се ученици срећу односе се на ненегативне величине. Уопштавањем основне везе међу директно пропорционалним величинама укључивањем и негативних вредности долазимо до математички значајне зависности која је специјалан случај линеарне функције. Важно је истаћи да поменуто уопштење не мора задовољавати нека својства за која се ученици јако везују. На пример, својство ако се повећава једна величина, повећава се и друга не важи за величине x и y повезане зависношћу y = k x уколико је коефицијент k негативан Обрнута пропорционалност Ова наставна јединица је конципирана на исти начин као и Појам директне пропорционалности, те све раније поменуте методолошке напомене важе и у овом случају. 49

50 Иако график зависности обрнуто пропорционалних величина није експлицитно предвиђен наставним програмом, ми смо га у Уџбенику дали само уз пример 1 (страна 112). Разлога за то има више. Дати график лепо илуструје особину да се са повећањем једне величине друга (пропорционално) смањује. Такође, ставља до знања да постоје зависности чији график није ни права ни изломљена линија. Наравно, на графику не треба инсистирати већ он треба само да послужи као илустрација. Примери 3 и 4 на 113. страни у Уџбенику јасно истичу неке разлике између теоријских и практичних ситуација у којима се појављује обрнута пропорционалност. Задатак 2 (113. страна) би требало урадити са посебном пажњом због јединице Примена пропорција која следи Пропорције Пропорција и продужена пропорција Увођење и разматрање пропорција је у Уџбенику мотивисано истицањем општих запажања у вези са директно, односно обрнуто пропорционалним величинама. Након извођења основне особине пропорција доказане су све њене важне последице. При том, неке су експлицитно издвојене, док су друге доказане у оквиру примера. Са становишта примена, посебно је важна особина да из a b c = следи да је a d b c = = d xa + yc xb + yc за било које бројеве x и y. Иако у Уџбенику ово тврђење није експлицитно наведено, на основу примера 2 и задатка 2 (116. и 117. страна) може се наслутити да оно важи. Сматрамо да је много значајније и корисније истаћи како се доказују тврђења овог типа (за конкретне бројеве x и y) него везивање за саму формулу и њено ( слепо ) примењивање. Сличне напомене важе и када је реч о сличној особини за продужене пропорције. Када је реч о продуженим пропорцијама, сматрамо да је важно ученицима указати на улогу коју имају две тачке у запису a : b : c = p : q : r. То је у Уџбенику јасно речено на страни 117. Примена пропорција Примена пропорција описана је кроз конкретне примере (примери 1 и 2 на странама 118 и 119 у Уџбенику) уз које су дата сва потребна општа упутства. Пример 1 се односи на директно пропорционалне величине. Сам проблем који овај пример решава је прилично једноставан и већина ученика ће га врло брзо решити без икакве употребе пропорција. То очекивано (природно) решење је дато на крају пре свега да би се илустровала коректност претходно изложеног поступка. Наиме, у Уџбенику је прво дато решење које илуструје општи начин решавања проблема у којем се појављују две директно пропорционалне величине. При том, посебан нагласак је на формирању таблице и усмерењу стрелица по врстама односно колонама. Очекивано је да се ученици запитају због чега постављени проблем решавамо на овакав начин када га можемо решити и једноставније и брже. Наравно, што се тиче једноставности и брзине, морамо се сложити са њима, али их и замолити за стрпљење. Наиме, предност методе која је 50

51 изложена видеће се тек у наредном примеру. Било би добро оставити мало времена да ученици покушају сами да реше проблем постављен у примеру 2. Након примера 2 могу се истаћи основне вредности методе таблица. Сама метода описана је на страни 119 непосредно после примера Круг Ако допустимо себи слободу изражавања старих Грка, можемо рећи да је ова тема природан наставак на тему Многоугао, уколико круг схватимо као правилан многоугао са бесконачним бројем темена. Сама тема је значајна из много разлога. Навешћемо само неке. Теорема о угловима над пречником има много значајних последица. Посебно је важно упознавање са геометријским местом тачака из којих се дата дуж види под правим углом (на пример, за конструкцију тангенте на кружницу). Први пут се одређује дужина неке криве линије, односно површина фигуре ограничене кривом. Увођење важне константе броја π. Будући да су се ученици постепено упознавали са кружницама и круговима (и њиховим важним деловима) у нижим разредима, на страни 121 у Уџбенику дат је сликовит задатак који би требало пажљиво и прецизно решити. Кружница је скуп свих тачака у равни које су подједнако удаљене од једне утврђене (фиксиране) тачке. Круг је скуп свих тачака у равни чије је растојање од неке утврђене тачке мање или једнако од неке задате дужи. Тангента круга (кружнице) је права која има тачно једну заједничку тачку са тим кругом (том кружницом). Полупречник круга (кружнице) је свака дуж одређена центром круга и тачком одговарајуће кружнице. (Под полупречником се подразумева и дужина одговарајуће дужи!) Централни угао круга је угао у равни круга чије је теме центар тог круга. Пречник круга (кружнице) је дуж која садржи центар круга и чији су крајеви тачке одговарајуће кружнице. (Често се под пречником подразумева и дужина одговарајуће дужи!) Тетива круга (кружнице) је дуж која је одређена двема тачкама одговарајуће (те) кружнице. (Пречник је најдужа тетива.) Централни и периферијски угао Док је појам централног угла познат из нижих разреда (пети разред), појам периферијског угла је нов, па треба најпре увести овај појам. Централно тврђење ове наставне јединице јесте теорема о односу периферијског угла са одговарајућим централним. Нарочито осетљиво место у формулацији ове теореме односи се на реч одговарајући, па ћемо му посветити мало пажње. Да не би долазило до забуне, најпре треба јасно прецизирати који лук кружнице одговара неком датом периферијском углу: то је лук кружнице који не садржи теме угла, а одређују га пресеци 51

52 кракова са кружницом. Затим истаћи да луку придруженом периферијском углу одговара један једини централни угао. Тај централни угао је одговарајући уоченом периферијском углу. Било би добро ученицима указати на одговарајућу слику са стране 124 која помоћу боја илуструје поменуто клизаво место. Појам угла под којим се из дате тачке види нека дуж може се оставити за неки од часова утврђивања. Теорема о централном и периферијском углу има низ значајних последица, при чему је она о угловима над пречником најважнија. Овој последици је посвећена посебна пажња и истакнута је њена примена у конструктивним задацима (стране у Уџбенику). Основне примене Питагорине теореме на круг издвојене су посебним насловом (стране 129 и 130) Обим круга. Број π Образац за израчунавање обима круга директна је последица основног тврђења: однос обима круга и његовог полупречника је константан (сталан). У основној школи је немогуће спровести строг доказ ове чињенице. Ипак, ми смо основну идеју строгог доказа дали на страни 134 у тексту који је намењен онима који желе више, јер и сама идеја није једноставна да би се могла излагати на часовима редовне наставе. Уместо тога, у Уџбенику је предложено емпиријско уверавање у тачност тврђења. Директно мерење обима обода предмета који су кружног облика требало би да наговести ученицима тачност поменутог тврђења. Важно је при том указати на лоше стране мерења (страна 131). Никако не би требало изоставити чињеницу да је број π ирационалан, те да је његов децимални запис бесконачан и непериодичан 11. На страни 132 у Уџбенику сликом је илустрована ирационалност броја π (слична слика се може наћи на страни 18 за број 2). Пожељно је понешто испричати и из богате историје броја π. И овога пута се сусрећемо са симболичким и приближним изражавањем резултата задатака који се односе на обим круга. Напомене које смо дали у вези са остављањем квадратних корена у крајњем решењу рачунског задатка, односно заменом корена његовом неком приближном вредошћу, важе и овог пута за број π Дужина кружног лука Да би ученицима била што јаснија идеја извођења формуле за израчунавање дужине кружног лука, најбоље би било да најпре самостално реше задатак 1 на 135 страни. Иако је у Уџбенику дат сређен облик формуле за израчунавање дужине кружног лука, није лоше ни као крајњи образац дати l = 2 rπ o α, 360 будући да се на први поглед види идеја на основу које је он добијен, те је много сугестивнији од оног који се добија након скраћивања. 11 Доказ ове чињенице је прилично компликован и могу га пратити студенти математике. 52

53 Површина круга Уводни задаци (страна 137) се наслањају на идеју израчунавања површина равних фигура о чему је било речи у шестом разреду. Већ смо нагласили да је и сама идеја израчунавања обима круга прилично тешка за овај узраст. С друге стране, израчунавање површине може се наивнo описaти. Такав један опис дат је на страни 137. У суштини, читава прича је базирана на чињеници да што је мањи централни угао, то је одговарајућа тетива ближа одговарајућем луку Површина кружног прстена Формула за израчунавање површине кружног прстена је већини ученика очигледна, тако да се час на коме се она обрађује може схватити и као час утврђивања површине круга уз подсећање на примену Питагорине теореме на круг Површина кружног исечка До формуле за израчунавање површине кружног исечка долазимо на потпуно аналоган начин као до формуле за израчунавање дужине кружног лука. Зато би час обраде ове наставне јединице могао да буде организован тако да ученици самостално дођу до тражене формуле. Скрећемо пажњу на задатак 4 са 141. стране у Уџбенику будући да се у њему захтева доказивање веома корисне и важне формуле Сличност Ова наставна тема представља први део сличности која се обрађује у основној школи. По важећем наставном програму, сличност се обрађује у седмом и осмом разреду. За седми разред је предвиђено обнављање и продубљивање размере дужи и упознавање са појмом сличности. Пре него што пређемо на садржаје ове теме, указујемо на неколико ствари у вези са термином сличност. Наиме, реч сличност се често јавља у свакодневном говору, при чему је њено свакодневно значење много шире од математичког значења није математички слично све за шта бисмо рекли да је слично у свакодневној комуникацији. Зато смо сматрали да је важно на почетку математичке употребе поменуте речи јасно истаћи шта она значи у математици (страна 143 у Уџбенику) Размера дужи Ученици су се доста рано срели са размером дужи. Зато је у Уџбенику предвиђено да текст о размери дужи ученици самостално читају и дописују оно што недостаје. Прецизније, реч је о делу који се налази на 144. страни и 145. страни закључно са задатком 3. Наравно, могуће је и другачије организовати овај час обнављања. Једна могућност 53

54 је колективно читање праћено коментарима наставника. Друго је да ученици код куће прочитају и попуне поменути текст, па да га на наредном часу заједно са наставником анализирају. У вези са размерама дужи посебно су важни задаци типа: ако је дата размера две дужи и дужина једне од њих, одреди дужину друге. Задаци таквог типа дати су на страни 146 у Уџбенику, наравно са претходно урађеним примером Самерљиве и несамерљиве дужи Ова наставна јединица је веома блиска првој наставној теми Реални бројеви и на неки начин представља њен наставак. Историјски гледано, самерљиве и несамерљиве дужи претходе и доводе до појма реалног броја стари Грци су под бројевима подразумевали само (позитивне) разломке и откриће несамерљивих је у то време представљало прави шок (о чему је доста писано у литератури која се бави старогрчком математиком). Овом приликом се нећемо упуштати дубље у ову причу већ ћемо само истаћи да је након овог открића уведен појам величине и да су оне подељене у две врсте: оне које су самерљиве са јединицом (јединичном дужи) и оне које су несамерљиве са јединицом. Данашњим речником, постављен је темељ за увођење појма реалног броја који је: рационалан или ирационалан. Значај ове наставне јединице управо лежи у поменутом историјско-математичком контексту Конструктивна подела дужи у датој размери Насловљена конструкција директно произлази из конструктивне поделе дужи на једнаке делове. Са овом конструкцијом пак ученици (нарочито они напреднији) често се раније упознају будући да је она доста корисна у разним конструктивним задацима. Пошто се Талесова теорема обрађује у осмом разреду, конструкцију не можемо извести позивајући се на њу. У Уџбенику, конструкција је изведена на основу теореме доказане применом става подударности УСУ. Посебну пажњу треба посветити примени ове конструкције приликом одређивања тачака са рационалним координатама на бројевној правој. Свакако, добар је тренутак и да се понове конструкције неких тачака са ирационалним координатама применом Питагорине теореме. Тест који је дат на странама 74 и 75 превиђа да ученик самостално систематизује конструктивне поступке које може применити за одређивање тачака бројевне праве. Тест је замишљен тако да ученицима помаже упућујући их на одговарајуће стране уџбеника на којима су дата потребна објашњења. Можда ће неко од ученика упитати: Како ћемо конструисати тачку чија је координата број π? Наравно, одговорићемо му: Доказано је да се лењиром и шестаром не може конструисати таква тачка. Одговор се може употпунити причом о чувеном древном проблему квадратуре круга. 54

55 Пропорционалност дужи Пропорционалност дужи је геометризована прича о пропорцијама. Свакако је добра прилика да се обнове основна својства пропорција и примене у датом контексту. Одређивање непознатог члана пропорције и манипулација са продуженим пропорцијама ученицима су већ познати и треба их само конкретизовати у овом контексту Сличност троуглова Наставни програм предлаже да се слични троуглови уведу као троуглови са једнаким угловима. Поштујући овај захтев, наставну јединицу Сличност троуглова отвара пример 1 (страна 153) који се односи на правоугле троуглове чији су оштри углови 30 и 60. Овај пример се надовезује на одговарајућу наставну јединицу са 44. стране, што је добра прилика да се основне формуле у вези са поменутим правоуглим троугловима обнове и продубе. Наравно, поента примера јесте закључак који треба посебно нагласити: одговарајуће странице посматрана два троугла су пропорционалне. Важно је при том и прецизирати значење термина одговарајуће странице. У контексту сличности, одговарајуће парове страница тражимо у троугловима за које већ знамо да имају исте углове и при том под одговарајућим страницама два троугла подразумевамо оне странице на које належу исти углови, или (што је еквивалентно) оне странице које се налазе наспрам истих углова. Јако је важно да ученици на почетку стекну вештину препознавања парова одговарајућих страница два троугла који имају исте углове. Зато је потребно јасно истицати овакве парове страница у свим задацима који следе. Не би било лоше и нацртати два троугла са истим угловима (може и слободном руком) и захтевати од ученика да открију парове одговарајућих страница. Наравно, треба се трудити да положаји троуглова буду различити. Задаци 1 и 2 дати након примера 1 имају за циљ да укажу на исту ствар. Такође, оба задатка подразумевају неке раније садржаје. Да би се решио задатак 1, треба се сетити формула које даје Питагорина теорема примењена на једнакокрако-правоугли троугао. Приликом решавања погодно је дужину катете ABC означити са a, a дужину катете A 1 B 1 C 1 означити са a 1. Тада имамо да је a = AC = BC, a 2 = AB и a 1 = A 1 C 1 = B 1 C 1, a 1 2 = A 1 B 1, а одатле и пропoрције a AC BC a 2 AB = = = =. a1 AC 1 1 BC 1 1 a1 2 AB 1 1 Задатак 2 се ослања на теорему о средњој линији троугла. 55

56 С друге стране, сличност (не само троуглова) углавном се интуитивно доживљава као очување пропорционалности (што смо јасно истакли у уводу). Ова два становишта су помирена теоремом (коју смо навели без доказа): Ако су углови два троугла једнаки, онда су парови одговарајућих страница међусобно пропорционални Примена сличности троуглова Наставни програм посебан нагласак ставља на једноставне примене сличности пре свега у практичним задацима. У Уџбенику су истакнуте две основне примене. Прва се односи на одређивање висина предмета помоћу сенки (страна 156 у Уџбенику, пример 1). Реч је о добро познатим проблемима које је решавао Талес. Друга примена је нешто новија (страна 157 у Уџбенику, пример 2). Реч је о одређивању удаљености до недоступних места основном проблему у геодезији. 56

57 3. Наставни материјали Oви материјали су замишљени као подршка наставном процесу. Једну групу чине они који су погодни за обнављање познатих садржаја из претходних разреда, други се односе на нове садржаје и требало би да омогуће њихово лакше усвајање и утврђивање и трећи који систематизују веће наставне целине. Ови последњи су састављени у облику тестова, с тим што поједини, уз сваки задатак, или дају директна и кратка упутства како га решити или се ученик упућује на одговарајућу страну уџбеника. Оваква форма тестова требало би да допринесе осамостаљивању ученика пре свега у смислу развоја способности самосталног учења. Актуелно стање ствари нас приморава да озбиљно размотримо могућности отклањања узрока који су до те мере размазили ученике да један велики број њих не може самостално да учи. Већина материјала је намењена свим ученицима, али има и оних који су предвиђени за ученике који наилазе на тешкоће у савлађивању појединих садржаја као и оних који су састављани за напредније. Иако су наставни листићи углавном састављени у облику тестова, њихова намена није провера знања и не могу се употребити у те сврхе. Никако не треба оцењивати како су их ученици решили. Замишљени су искључиво за утврђивање, вежбање, обнављање, продубљивање и систематизовање знања и у те сврхе их треба употребљавати. Сматрамо да дате форме наставних листића могу бити веома корисне у настави и надамо се да ће инспирисати наставнике да састављају сличне за преостале садржаје. У другом поглављу истакнута је намена и основне карактеристике сваког од датих наставних листића. Овом приликом ћемо их кратко поновити. 1. Одређивање децимала квадратног корена природног броја Сврха овог наставног листића јесте упознавање и утврђивање поступка, који заузима значајно место у наставној теми Реални бројеви и о коме је доста било речи у другом поглављу овог приручника. 2. Научни запис броја Задаци дати у облику кратког теста за увежбавање читања и записивања бројева у такозваном научном запису и рачунања са њима. 3. Сређени облик полинома и сабирање полинома (примери и задаци) Овај наставни листић погодан је за домаћи задатак након првих часова упознавања са сређивањем и сабирањем полинома. Задаци који су дати спадају у једноставније тако да је нарочито погодан за ученике који имају тешкоћа са поменутом вештином. 4. Множење полинома И овај наставни листић, као и претходни, погодан је за домаћи задатак након првих часова упознавања са множењем полинома. 5. Квадратне једначине Наставни листић је предвиђен за напредније ученике, при чему је понуђен начин решавања квадратних једначина који је потпуно примерен узрасту ученика. 57

58 6. Површине троуглова и четвороуглова Познавање формула за израчунавање површина троуглова и четвороуглова је битна претпоставка за праћење градива у седмом разреду. Поред тога, вишеструко је корисно подсетити ученике и на методе које су нас довеле до тих формула. Овај наставни листић омогућава обнављање поменутих садржаја. Погодан је за употребу на часу будући да се поред решавања задатака захтева и одговарајућа дискусија. Као што се може видети, акценат није на рачунским задацима већ на идејама израчунавања површина. 7. Откупна цена јабука; временска прогноза Предлажемо да овај наставни листић буде дат ученицима за домаћи задатак након обраде наставне јединице График зависности међу величинама. 8. Круг Овај наставни листић требало би да олакша ученику систематизацију наставне теме Круг, а тиме и припрему за одговарајући контролни, односно писмени задатак. Поред сваког задатка наведене су стране уџбеника на којима се може наћи све оно што је потребно да би се задатак решио. Тест би ученик требало да решава самостално за домаћи задатак уз употребу уџбеника. 9. Бројевна права Будући да се конструктивно одређивање неких тачака бројевне праве обрађује у две одвојене наставне теме, циљ овог наставног листића је да повеже, обнови и продуби стечена знања. Као и претходни, и овај наставни листић упућује ученика на уџбеник, па треба дати ученицима да га самостално реше код куће. 10. Сличност троуглова Дати тест је погодан и за домаћи задатак након обраде Сличности троуглова или за први час утврђивања, јер се односи само на вештину уочавања парова одговарајућих страница два слична троугла. 11. Тест (седми разред) Овај тест систематизује читаво градиво седмог разреда. Може се радити колективно на часу или индивидуално за домаћи задатак. Ни овај тест не треба користити за оцењивање ученика, пре свега јер је преобиман. 58

59 Одређивање децимала квадратног корена природног броја Поступак одређивања децимала броја n, при чему је n природан број који није потпун квадрат, илустроваћемо на примерима 5 и 6. Без проблема се поступак може применити и на друге природне бројеве. Пример Одредимо узастопне потпуне квадрате између којих се налази број 5. 4 < 5 < 9 Из уочених неједнакости закључујемо да је 2 < 5 < Затим одређујемо прву децималу броја 5 иза децималне запете попуњавањем следеће табеле. x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 x 2 4 4,41 4,84 5,29 Попуњавање табеле престаје када се у другој врсти појави број већи од 5. Дакле, добили смо 2,2 < 5 < 2,3. 3. Затим одређујемо другу децималу броја 5 иза децималне запете попуњавањем сличне табеле. x 2,2 2,21 2,22 2,23 2,24 2,25 2,26 2,27 2,28 2,29 2,3 x 2 4,84 4,8841 4,9284 4,9729 5,0176 Дакле, 2,23 < 5 < 2,4. 4. На потпуно аналоган начин можемо одређивати и остале децимале датог броја. 5 =2, Наглашавамо да се поступак одређивања децимала броја 5 никада неће завршити. Поступак можемо неограничено продужавати и на тај начин добијати све боље апроксимације овог броја, али нисмо у могућности да откријемо све цифре његовог децималног записа. 59

60 Пример Одредимo узастопне потпуне квадрате између којих се налази број 6. 4 < 6 <9 Из уочених неједнакости закључујемо да је 2 < 6 <3. 2. Затим одређујемо прву децималу броја 6 иза децималне запете попуњавањем следеће табеле. x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 x 2 4 4,41 4,84 5,29 5,76 6,25 Са попуњавањем табеле стајемо када се у другој врсти појави број већи од 6. Дакле, добили смо 2,4 < 6 <2,5. 3. Затим одређујемо другу децималу броја 6 иза децималне запете попуњавањем сличне табеле. x 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3 x 2 4 4,41 4,84 5,29 Дакле, 2,44 < 6 < 2, На потпуно аналоган начин можемо одређивати и остале децимале датог броја. 6 = 2, Задатак. Одреди приближне вредности бројева 7 и 11 на две децимале. 60

61 Научни запис броја 1. Маса електрона је приближно једнака 0, kg, односно а) 9, kg; б) 9, kg; в) 9, kg; г) 9, kg. 2. Маса планете Земље је приближно једнака kg, односно а) 5, kg; б) 5, kg; в) 5, kg; г) 5, kg. 3. Производ је једнак а) 1, ; б) 1, ; в) 1, ; г) 1, Производ је једнак , а) 1 440; б) ; в) ; г) Количник је једнак : а) 1 000; б) 100; в) ; г) Колико метара има један милимeтар? а) 10 2 ; б) 10 3 ; в) 10 4 ; г) Број 12, једнак је броју а) 1, ; б) 1, ; в) 123, ; г) 1, Број 12, једнак је броју а) 1, ; б) 1, ; в) 1, ; г) 1,

62 Сређени облик полинома и сабирање полинома (примери и задаци) Сређени облик полинома добијамо тако што најпре саберемо сличне мономе, а затим добијене (међу којима нема сличних) поређамо тако да њихови степени опадају гледано слева надесно. 1. На пример, полином 2 + 3x 2 + 2x 3 + 3x + 3x 3 + 2x + 2x 2 сређујемо у следећа два корака. I Да не бисмо изоставили неки моном приликом сабирања, корисно је међусобно сличне мономе надвући (или подвући) истом врстом линија x 2 + 2x 3 + 3x + 3x 3 + 2x + 2x x + 5x 3 + 7x II Преостаје још да се поређају по опадајућим степенима. 5x 3 + 5x 2 + 7x Среди полином 4x 3 + x 1 + 4x x x 3 4x. Погледај слику испод. 62

63 3. Средимо полином 4x + 5x 2 + 3x + 2x x + 5x 2 + 3x + 2x x + 7x x 2 + 7x+ 3 Веома близак претходном задатку је и следећи: сабери полиноме 4x + 5x 2 и 3x + 2x Збир је, наравно, 7x 2 + 7x Одреди збир полинома. а) 3x 3 2x 2 x + 3 и x 4 3x 3 + x 2 + x 1; б) 2x 2 y 2xy y + 1 и x 2 y 3xy + x 1; в) 2xy 2 2xy + x + y 2 и 2xy 2 x 2 y + 2xy x y 2. 63

64 Множење полинома 1. На наредној слици лево приказано је множење два полинома, 4x + 3 и 2x + 1. Римски бројеви указују на редослед множења парова монома који чине дате биноме. На исти начин помножи полиноме 7x + 1 и 3x + 2 (доле десно). 2. Наравно, могли смо да множимо групишући мономе другачијим редоследом резултат ће бити исти. 3. Није тешко видети да су могући и други редоследи груписања монома. Међутим, за који год редослед да се одлучите, требало би да буде систематичан јер свако груписање монома без неког реда углавном доводи до грешке (нарочито када се ради са полиномима који су састављени од већег броја монома). Замислите да треба множити као што је назначено на наредној слици десно. 4. Помножи x 2 + 4x и x 2 x

65 5. Помножи 4x + ( 3) и 2x + 1, па упореди свој поступак са оним са слике десно. 6. Троје људи је множило полиноме 4x 1 и x 2 + x 2. Свако од њих је то погрешно урадио. Нађи грешке! (4x 1)(x 2 + x 2) = 4x x 2 + 4x x 4x 2 x 2 x 2 = 4x 3 + 4x 2 8x x 2 x 2 = 4x 3 + 3x 2 9x 2 (4x 1)(x 2 + x 2) = 4x x 2 + 4x x 4x 2 x 2 x + 2 = 4x 3 + 4x 2 8x x 2 x + 2 = 7x 2 9x 2 (4x 1)(x 2 + x 2) = 4x x 2 + 4x x 4x 2 x 2 x + 2 = 4x 3 + 4x 2 8x x 2 x + 2 = 4x 3 + 3x 2 7x + 2 Понекад је теже прегледати нечији рад него решити задатак! 7. Одреди следеће производе: а) (x 2 + x + 2) (x 2 x 1) = ; б) (x 2 x 1) (x 2 x 1) =. 65

66 1. Решимо једначину x 2 6x + 5 = 0. Квадратне једначине Поступак решавања се заснива на једнакости познатој као квадрат бинома. 1. Трансформиши дату једначину тако да мономи у којим се појављује непозната буду са леве стране, а број са десне. x 2 6x = 5 2. И левој и десној страни претходне једнакости додај квадрат половине коефицијента монома који садржи само x x 2 6x + 9 = Лева страна је тада квадрат бинома, па је дата једначина трансформисана у облик који знаш да решиш. (x 3) 2 = 4 Решења последње једначине добијамо једноставно јер је односно x 3 = 2 или x 3 = 2, x = 5 или x = 1. Дакле, дата једначина има два решења. То су 5 и 1, што се често записује и на следећи начин: x 1 = 5, x 2 = 1. Провери да ли су ови бројеви заиста решења дате једначине. 2. Овај поступак можемо применити и на друге квадратне једначине. x 2 + 5x + 6 = 0 x 2 + 5x = 6 x 2 + 5x = x + = x + 2 = x = 1 2 или x = 1 2 x 1 = 2, x 2 = 3 66

67 3. Реши једначине: а) x 2 + 4x +3 = 0; б) x 2 7x + 12 = Да ли ће нас описани поступак увек довести до решења квадратне једначине? Описаним поступком добићемо решења сваке квадратне једначине у скупу реалних бројева уколико их она уопште има. Наиме, постоје квадратне једначине које немају реална решења. Најједноставнији пример такве једначине је x 2 = 1. Не постоји реалан број чији је квадрат једнак 1 јер је квадрат сваког реалног броја ненегативан. Поступком који смо описали лако ћемо открити и да нека квадратна једначина нема реална решења. Ако након трећег корака са десне стране добијемо негативан број, то значи да дата квадратна једначина уопште нема реална решења. x 2 2x + 2 = 0 x 2 2x = 2 x 2 2x + 1 = (x 1) 2 = 1 Нема реалних решења! Решити једначину у неком скупу бројева значи или наћи све бројеве који су њена решења или доказати да она нема решења! Дакле, описани поступак можемо назвати поступком решавања квадратних једначина у скупу реалних бројева. 5. Реши једначине: а) 8x 2 6x + 1 = 0; б) x 2 + x + 1 = 0; (Подели једначину са 8.) в) 4x 2 + 4x + 1 = 0; г) x 2 + 2x + 2 = 0. 67

68 Површине троуглова и четвороуглова 1. Како рачунамо површину паралелограма? На шта нам указује слика испод? 2. Одреди однос површине паралелограма и површине троугла приказаних на наредној слици. Како рачунамо површину троугла? 3. Како рачунамо површину трапеза? На шта нам указују слике испод? 4. Како се рачуна површина четвороугла чије су дијагонале узајамно нормалне? Разложи четвороугао чије су дијагонале међусобно нормалне (слика десно) на четири правоугла троугла, па изведи формулу за израчунавање његове површине. Како рачунамо површину делтоида? А површину ромба, односно квадрата? 68

69 5. Посматрај обојене фигуре нацртане на квадратној мрежи. Заокружи слово испред тачног тврђења. А) Међу датим фигурама не постоје две фигуре које имају исту површину. Б) Све дате фигуре имају исту површину. В) Само две фигуре међу датим имају исту површину. Г) Тачно три фигуре међу датим имају исту површину. Д) Тачно четири фигуре међу датим имају исту површину. 6. Ако је јединица мере квадрат мреже на којој је нацртан троугао, онда је мерни број површине троугла једнак: А) 14; Б) 14,5; В) 16,5; Г) 33; Д) 25,5. 69

70 Откупна цена јабука У једној студији о пољопривреди у Србији графички је приказана просечна откупна цена јабука у периоду од до године. Анализирај дати график и одговори на следећа питања. 1. Колика је била просечна откупна цена јабука године? 2. Које године је просечна откупна цена јабука износила 20 динара по килограму? 3. Које године је просечна откупна цена јабука била већа, или године? 4. Које године је просечна откупна цена јабука била највиша? 5. Које године је просечна откупна цена јабука била најнижа? 6. Током које две узастопне године се просечна откупна цена јабука није мењала? 7. Да ли је у периоду од до године просечна откупна цена јабука расла или опадала? 8. Да ли је у периоду од до године просечна откупна цена јабука расла или опадала? 9. Шта можеш рећи и променама просечне откупне цене јабука у периоду од до године? 10. Колико пута се повећала просечна откупна цена јабука године у односу на годину? 70

71 Временска прогноза Метеоролошки тим је у новинама објавио временску прогнозу за десет дана за Београд. Њихова прогноза приказана је графички на наредној слици. Као што се може видети, за сваки дан прогнозирали су минималну (најнижу) и максималну (највишу) температуру. При оваквим прогнозама углавном се минимална односи на ноћ, а максимална на дан. Анализирај дату прогнозу као што је то учињено у примеру 2 на 107. страни уџбеника. 1. Одреди минималну температуру прогнозирану за сваки дан. 2. Одреди максималну температуру прогнозирану за сваки дан. 3. Ког дана се очекује најмања минимална температура? 4. Ког дана се очекује највећа минимална температура? 5. Ког дана се очекује најмања максимална температура? 6. Ког дана се очекује највећа максимална температура? Пази, има више одговора! 7. Ког дана се очекује најмања разлика између минималне и максималне температуре? 8. Ког дана се очекује највећа разлика између минималне и максималне температуре? 9. У којим периодима ће максимална дневна температура бити у порасту? 10. Који ће дан бити топлији, понедељак или понедељак ? 71