Πρωτότυπη Μέθοδος Αυτόματης Ταυτοποίησης Γραφέων Αρχαίων Επιγραφών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρωτότυπη Μέθοδος Αυτόματης Ταυτοποίησης Γραφέων Αρχαίων Επιγραφών"

Transcript

1 Πρωτότυπη Μέθοδος Αυτόματης Ταυτοποίησης Γραφέων Αρχαίων Επιγραφών Κ. Παπαοδυσσεύς, Π. Ρουσόπουλος, Μ. Παναγόπουλος, Δ. Αραμπατζής Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο 1 Εισαγωγή - Η σπουδαιότητα της ταυτοποίησης του γραφέα Η επιγραφολογία, ο κλάδος που ασχολείται με τις αρχαίες επιγραφές, είναι ένας από τους πιο σημαντικούς τομείς της αρχαιολογίας. Αυτό ισχύει διότι οι επιγραφές είναι η πλέον αξιόπιστη πηγή πληροφοριών που έχουμε για την εποχή της χάραξής τους, προσφέροντας σημαντική αρχαιολογική πληροφορία, πολύτιμη βοήθεια για την ορθή καταγραφή της ιστορίας, στοιχεία για πολλούς τομείς της καθημερινότητας της ιδίας εποχής και στοιχεία για άλλες ανθρωπιστικές επιστήμες που έχουν πεδίο έρευνας στην αρχαία εποχή. Είναι πολύ χαρακτηριστικό το γεγονός ότι σε πολλές από αυτές βρίσκουμε καταγεγραμμένες δικαστικές αποφάσεις καθώς και αποφάσεις άλλων αρχών, εμπορικές συναλλαγές, περιγραφές κοινωνικών και καλλιτεχνικών εκδηλώσεων κ.λ.π. Εκτός από τις Ελληνικές επιγραφές πολύ σημαντικές πληροφορίες αντλούνται και από αυτές που αφορούν σε άλλους αρχαίους πολιτισμούς όπως της Αιγύπτου, της Ιταλίας, της Μεσοποταμίας. Ένας ακόμα λόγος που καθιστά τον τομέα της επιγραφολογίας έναν από τους πιο σημαντικούς για την Ελλάδα είναι ο τεράστιος πλούτος των επιγραφών που έχει ανακαλυφθεί σε όλους τους αρχαιολογικούς χώρους. Η καλύτερη αξιοποίηση των πληροφοριών των επιγραφών γίνεται μέσω της κατάταξης τους με βάση τη χρονολογία χάραξής τους καθώς επίσης και του ποιος γραφέας έχει χαράξει κάθε μία εξ αυτών. Μέχρι σήμερα οι πιο συνηθησμένοι τρόποι της κατάταξης αυτής είναι οι συγκριτικές χρονολογήσεις, το «ένστικτο» και η εν γένει εμπειρία των αρχαιολόγων. ([1],[3]) Οι τρόποι αυτοί προσφέρουν αποτελέσματα, κανείς όμως εξ αυτών δεν δίνει με συνέπεια αντικειμενικά και αδιαμφισβήτητα συμπεράσματα. Επομένως είναι ιδιαιτέρως σημαντική για όλες τις επιστήμες που προαναφέρθησαν, η εξεύρεση μαθηματικοποιημένων κριτηρίων με

2 τελικό στόχο την με αντικειμενικό τρόπο κατάταξη και ομαδοποίηση επιγραφών ανά χρονολογική περίοδο καθώς και ανά χαράκτη. Τα μαθηματικοποιημένα αυτά κριτήρια σε αντίθεση με τα όσα εφαρμόζονται μέχρι σήμερα, δίνουν ποσοτικά αποτελέσματα, τα οποία με τη σειρά τους επιτρέπουν διαχωρισμό και κατάταξη των επιγραφών ως και ταυτοποίηση του χαράκτη. Κατά συνέπεια ο σκοπός της παρούσης μελέτης είναι η συμβολή στη δημιουργία μιας ολοκληρωμένης μεθοδολογίας, που υλοποιείται στον υπολογιστή, η οποία θα επιτυγχάνει την αυτόματη ταυτοποίηση χαρακτών με βάση την πληροφορία που εξάγεται από τις ψηφιακές απεικονίσεις των αρχαίων επιγραφών. Τονίζεται ότι το εν λόγω σύστημα, όπως διαφέναται ξεκάθαρα από τα μέχρι τώρα αποτελέσματα, δε χρησιμοποιεί το περιεχόμενο του κειμένου της επιγραφής, το συντακτικό ή τη γραμματική αυτού προκειμένου να επιτύχει αναγνώρηση. Τέλος η ανάπτυξη μιας τέτοιας μεθοδολογίας θα συνιστά και μία σημαντική συμβολή στον κλάδο της αυτόματης γραφολογίας, ο οποίος έχει τα τελευταία χρόνια, αρχίσει αργά πλην σταθερά να εξελίσσεται. ([4]-[15]). Η προσπάθεια υλοποίησης της όλης μελέτης ξεκινάει λαμβάνοντας 3 αρχαίες Αθηναϊκές επιγραφές της Κλασικής περιόδου, οι οποίες επιλέχθηκαν κατάλληλα από τον ειδικό αρχαιολόγο επιγραφολόγο Καθηγητή κύριο Steven Tracy ( τ. Διευθυντή της Αμερικανικής Αρχαιολογικής Σχολής Κλασικών Σουδών, νυν ερευνητή στο Ινστιτούτο Ανωτέρων Σπουδών του Princeton και έναν από τους μεγαλύτερους επιγραφολόγους σε παγκόσμιο επίπεδο), ώστε εκείνος να γνωρίζει με αδιαμφισβήτητο τρόπο από πόσους γραφείς έχουν χαραχθεί, καθώς και ποιες έχει χαράξει ο καθένας. Εν συνεχεία γίνεται ψηφιακή φωτογράφιση όλων των επιγραφών, κάτω από αυστηρά καθορισμένες συνθήκες προκειμένου να παρουσιάζονται όσο το δυνατόν λιγότερες ατέλειες και σφάλματα στην απεικόνιση που θα επηρεάσουν αρνητικά την αποτελεσματικότητα του συστήματος. Συγκεκριμένα, έγινε φωτογράφιση με φηφιακή μηχανή πολύ υψηλής αναλύσεως προκειμένου να υπάρχει ικανοποιητική ανάλυση στις λαμβανόμενες ψηφιακές φωτογραφίες, της τάξης των εικονοστοιχείων (pixel) ανά εκατοστό, για να εξασφαλίσουμε τουλάχιστον 00 εικονοστοιχεία ανά διάσταση γράμματος, αφού το μέγεθός τους κατά κανόνα, κυμαίνεται από 6 έως 15 περίπου χιλιοστά. Η μεθοδολογία αυτόματης αναγνώρισης χαρακτών που αναπτύχθηκε από τους μελετητές περιλαμβάνει τα εξής υποσυστήματα:

3 i) Το υποσύστημα αυτόματης κατάτμησης των εικόνων των επιγραφών και της αυτόματης εξαγωγής των γραμμάτων από αυτές. ii) Το υποσύστημα εξαγωγής περιγραμμάτων των γραμμάτων και «κρίσιμων σημείων» αυτών. iii) Το υποσύστημα προσαρμογής όλων των υλοποιήσεων ενός συμβόλου της αλφαβήτου σε μία επιγραφή. iv) Το υποσύστημα ταυτοποίησης χαράκτη με χρήση μεθόδων σύγκρισης όλων των υλοποιήσεων ενός συμβόλου της αλφαβήτου επί κάθε δυνατού ζεύγους επιγραφών και με εκμευτάλευση των στατιστικών ιδιοτήτων των σχετικών λαθών προσαρμογής. Στα επόμενα γίνεται αναλυτική περιγραφή καθενός υποσυστήματος χωριστά καθώς και ολοκλήρου της διαδικασίας. Ο τρόπος επιλογής των επιγραφών προς ταυτοποίηση Ο καθηγητής Steve Tracy, παγκοσμίως γνωστός επιγραφολόγος και τ. διευθυντής της Αμερικανικής Αρχαιολογικής Σχολής ( ) επέλεξε ένα σύνολο επιγραφών, τον χαράκτη των οποίων ο ίδιος είχε ταυτοποιήσει. Στη συνέχεια ο καθηγητής μας υπέδειξε και υποστήριξε την ψηφιακή φωτογράφιση αυτών των επιγραφών, ορισμένες από τις οποίες φυλάσσονται στις αποθήκες της στοάς του Αττάλου και ορισμένες άλλες στο Εθνικό Επιγραφολογικό Μουσείο. Για να εξασφαλιστεί η αντικειμενική εκτίμηση των επιδόσεων του πληροφοριακού συστήματος ταυτοποίησης χαράκτη, ο καθηγητής έδωσε κωδικοποιημένο όνομα επιγραφών, ώστε να καταστεί αδύνατη η αναζήτηση πληροφοριών για τις επιγραφές αυτές στη διεθνή βιβλιογραφία.

4 Εικόνα 1.1 Ψηφιακή φωτογραφία μιας προς μελέτη επιγραφής

5 Εικόνα 1. Ψηφιακή φωτογραφία μιας άλλης προς μελέτη επιγραφής. Αρχικό στάδιο επεξεργασίας των εικόνων των αρχαίων επιγραφών Το πρώτο αυτό στάδιο περιλαμβάνει την αυτόματη κατάτμηση των ψηφιακών εικόνων των επιγραφών, την εξαγωγή των εικόνων των υλοποιήσεων των γραμμάτων από την συνολική φωτογραφία της επιγραφής, την αυτόματη εξαγωγή του περιγράμματος των γραμμάτων και τέλος τον καθορισμό ενός συνόλου «κρίσιμων» σημείων κάθε γράμματος που κείνται επί του περιγράμματος αυτών..1 Αυτόματη κατάτμηση των εικόνων των επιγραφών Για την αυτόματη κατάτμηση των υλοποιήσεων των γραμμάτων αναπτύχθηκε μία μέθοδος διαχωρισμού εικόνας σε θεματικές περιοχές, όπου συνήθως η μια περιοχή περιλαμβάνει την πολύτιμη για μας πληροφορία, όπως είναι η υλοποίηση ενός συμβόλου της αλφαβήτου, ενώ η άλλη περιοχή είναι το υπόβαθρο. Στην περίπτωση

6 των επιγραφών, το υπόβαθρο είναι πιο κοντά στο λευκό ενώ η χρήσιμη πληροφορία είναι κοντά στο μαύρο. Η μέθοδος που αναπτύξαμε για την αυτόματη κατάτμηση της εικόνας ενός γράμματος σε μία περιοχή που είναι το υπόβαθρο αφ ενός και σε μία άλλη που είναι το σώμα του γράμματος αφ ετέρου, περιλαμβάνει τα εξής βήματα: 1. Εφαρμογή μορφολογικών φίλτρων για μια πρώτου επιπέδου εξομάλυνση της φωτογραφίας.. Ολίσθηση πλαισίου κατάλληλων διαστάσεων σε όλη την έκταση της εικόνας. Υπολογισμός του ιστογράμματος αποχρώσεων του γκρι σε κάθε θέση του πλαισίου. 3. Βέλτιστη προσέγγιση του χρωματικού ιστογράμματος κάθε πλαισίου με ανεξάρτητες κανονικές κατανομές. 4. Εύρεση των σημείων καμπής των κανονικών κατανομών. 5. Αρχική εκτίμηση των θεματικών περιοχών και των σημείων ακμής. 6. Εξάλειψη του θορύβου και ομογενοποίηση των θεματικών περιοχών. 7. Απόδοση των εικονοστοιχείων που απέμειναν και τελικός προσδιορισμός των θεματικών περιοχών του σώματος του γράμματος και του υποβάθρου. Εικόνα.1 Ψηφιακή φωτογραφία ενός γράμματος Ρ και αποτέλεσμα της κατάτμησης αυτής.

7 Εικόνα. Ψηφιακή φωτογραφία ενός γράμματος Α και αποτέλεσμα της κατάτμησης αυτής.. Αυτόματη εξαγωγή του περιγράμματος των γραμμάτων Προκειμένου να λειτουργήσουν σωστά οι αλγόρθμοι που αναπτύχθηκαν, πρέπει το περίγραμμα του σώματος κάθε γράμματος να έχει πολύ συγκεκριμένη μορφή. Ειδικότερα, κάθε εικονοστοιχείο (pixel) του περιγράμματος πρέπει να έχει επακριβώς δύο γειτονικά εικονοστοιχεία, ενώ απαγορεύεται να υπάρχουν διαδοχικά εικονοστοιχεία του περιγράμματος που να σχηματίζουν ορθή γωνία. Επειδή καμία τεχνική κατάτμησης εικόνας δεν μπορεί να προσφέρει περιγράμματα τέτοιας μορφής, αναπτύχθηκε ειδικός κώδικας και έγινε χρήση πρωτότυπων μορφολογικών μετασχηματισμών, ώστε από την κατατμημένη εικόνα να εξάγεται αυτόματα το περίγραμμα στην επιθυμητή αυτή μορφή. Εικόνα.3 Το εξαχθέν περίγραμμα του γράμματος της εικόνας.

8 .3 Καθορισμός των «κρίσιμων» σημείων και των πλευρών κάθε σκέλους του περιγράμματος κάθε γράμματος Εν συνεχεία ορίζουμε πάνω στα περιγράμματα των υλοποιήσεων των γραμμάτων συγκεκριμένα σημεία, τα οποία έχουμε ονομάσει «κρίσιμα» σημεία, ως εξής: Αρχικά εντοπίζουμε τα σημεία καμπής του περιγράμματος. Για το σκοπό αυτό, προσεγγίζουμε κατάλληλα το περίγραμμα του γράμματος με ελαφρώς επικαλυπτόμενα πολυώνυμα, με τη διαδικασία που περιγράφεται παρακάτω. Διαιρούμε όλο το περίγραμμα ενός γράμματος σε ελαφρώς επικαλυπτόμενα υποσύνολα διαδοχικών pixels μήκους Ls και υπολογίζουμε το πολυώνυμο 3 ου βαθμού με παράμετρο το μήκος S του αντίστοιχου τμήματος περιγράμματος το οποίο βέλτιστα προσεγγίζει κάθε τέτοιο υποσύνολο. Συγκεκριμένα θεωρούμε τα πλήθους L s pixels P 1, P,, P S. Το P i pixel με συντεταγμένες x i, y i απέχει από το P i+1 με συντεταγμένες x y απόσταση d P, P x x y y, i1 i1 ( ) i i 1 i1 i i1 i. Ορίζουμε στη συνέχεια την ακολουθία «μήκος» ξ i αυτής της αλυσίδας των L s pixels με τον i i1, 1 ευθύγραμμο ορισμό ξ 1 =0 και dp P 1. Ακολούθως προσεγγίζουμε αυτή την αλυσίδα εικονοστοιχείων με τα δύο πολυώνυμα 3 ου βαθμού xˆ i a i a1 i ai a3 και yi b0 i b1 i bi b3 ˆ, κατά την έννοια των ελαχίστων τετραγώνων, δηλαδή προσδιορίζουμε τους συντελεστές a, b ούτως ώστε το λάθος προσέγγισης 0 a1, a, a3, b0, b1, b, xi xi yi yˆ i L S i1 3 ˆ να είναι ελάχιστο. Με αυτό τον τρόπο λαμβάνουμε ένα σύνολο διαδοχικών επικαλυπτόμενων πολυωνύμων 3 ου βαθμού, έστω αυτά S i, i 1,,..., s, τα οποία καλύπτουν όλο το περίγραμμα κάθε γράμματος (Εικόνα.4). Είναι σημαντικό το γεγονός ότι πιθανά μικρά κενά στο περίγραμμα ενός γράμματος λόγω φθοράς της επιγραφής καλύπτονται με αυτή τη διαδικασία. Μια καλή επιλογή για την ποσότητα L s φαίνεται να είναι ένα μικρό ποσοστό της μεγαλύτερης διάστασης του γράμματος, έστω 0. 5, και για την επικαλυπτόμενη

9 περιοχή φαίνεται να είναι ένα μήκος, έστω L 0. L. Σημειώνουμε ότι γειτονικές O S τιμές των L s και LO δίνουν πολύ παρόμοια και ικανοποιητικά αποτελέσματα. Εικόνα.4 Ένα γράμμα Α με τα διαδοχικά επικαλυπτόμενα πολυώνυμα 3 ου βαθμού και τα χαρακτηριστικά σημεία καμπής. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε την καμπυλότητα σε ένα τυχαίο σημείο της ομάδας των πολυωνύμων. Αυτή η τιμή μας δίνει μια πολύ καλή προσέγγιση της καμπυλότητας του γράμματος στο εν λόγω σημείο. Αν αυτή η καμπυλότητα παρουσιάζει μέγιστο μεγαλύτερο από ένα ορισμένο φράγμα, τότε θεωρούμε ότι αυτό είναι ένα κρίσιμο σημείο καμπής. Το φράγμα της καμπυλότητας είναι το 3. 1 όπου η μέση τιμή της καμπυλότητας σε όλο το ομαλοποιημένο περίγραμμα του γράμματος και η διασπορά αυτής. Για παράδειγμα τα κρίσιμα αυτά σημεία ενός γράμματος Α φαίνονται στην Εικόνα.4. Θεωρούμε ότι τα ανωτέρω κρίσιμα σημεία καθορίζουν τις πλευρές κάθε σκέλους μιας τυχούσης υλοποιήσεως ενός συμβόλου της αλφαβήτου σύμφωνα με την ανθρώπινη διαίσθηση. Χρησιμοποιούμε επίσης τον όρο κτύπημα για να περιγράψουμε ένα σκέλος ενός οποιουδήποτε γράμματος το οποίο κατά κανόνα δημιουργήθηκε με ένα κτύπημα της σμίλης επί του μαρμάρου. Κατ αυτόν τον τρόπο, κάθε σύμβολο της αλφαβήτου συνήθως αποτελείται από ένα καθορισμένο αριθμό

10 κτυπημάτων-σκελών: για παράδειγμα τα συμβολογράμματα Σ, Μ, Ε αποτελούνται εν γένει από τέσσερα κτυπήματα, τα Α,Ν από τρία κτυπήματα τα Τ,Λ από δύο κ.λ.π. Πρέπει να αναφέρουμε ότι έχει ληφθεί ειδική μέριμνα για τα καμπύλα γράμματα, δηλαδή αυτά που περιέχουν μη ευθύγραμμα τμήματα όπως π.χ. τα Ρ, Ο, Β, Ω, Φ κ.λ.π., αναφορικά με το πλήθος των κτυπημάτων που τα δημιούργησαν. Συγκεκριμένα θεωρούμε ότι το γράμμα Ρ αποτελείται από δύο κτυπήματα, μία ευθεία γραμμή και μία καμπύλη αν και αυτό κάποιες φορές μπορεί να εμπεριέχει μίας μορφής κατάχρηση, με την έννοια ότι ο λιθοξόος μπορεί να χάρασσε το καμπύλο τμήμα με περισσότερα κτυπήματα από ένα. Ακολουθούν παραδείγματα γραμμάτων που υλοποιούνται με τέσσερα κτυπήματα. Εικόνα 4.1 Ψηφιακή εικόνα ενός γράμματος Σ, και τελική μορφή του περιγράμματος αυτού στο x-y επίπεδο. Με χρώμα ματζέντα παρουσιάζεται το πρώτο κτύπημα, με κόκκινο το δεύτερο με πράσινο το τρίτο και με μπλε το τέταρτο.

11 Εικόνα 4. Ψηφιακή εικόνα ενός γράμματος Μ, και τελική μορφή του περιγράμματος αυτού στο x-y επίπεδο. Με χρώμα ματζέντα παρουσιάζεται το πρώτο κτύπημα, με κόκκινο το δεύτερο με πράσινο το τρίτο και με μπλε το τέταρτο. 3. Βέλτιστη προσαρμογή των περιγραμμάτων των επιγραφικών υλοποιήσεων ενός συμβολογράμματος. Ας υποτεθεί ότι επιθυμούμε να ελέγξουμε την ομοιότητα των υλοποιήσεων ενός συμβόλου της αλφαβήτου που εμφανίζονται σε κάποια επιγραφή ή επιγραφές. Ένας πιθανόν αποδοτικός τρόπος για να κάνουμε αυτό τον έλεγχο θα ήταν μια διαδικασία η οποία θα περιελάμβανε βέλτιστη προσαρμογή των συγκρινομένων περιγραμμάτων και εκτίμηση του λάθους αυτής της προσαρμογής. Μία τέτοια διαδικασία στην περίπτωση των αρχαίων, καθώς και άλλων επιγραφών, εμπεριέχει ενδογενώς τη δυσκολία η οποία οφείλεται στο γεγονός ότι οι υλοποιήσεις των γραμμάτων επί των επιγραφών έχουν διαφορετικό προσανατολισμό και μέγεθος. Για την αντιμετώπιση αυτής της δυσκολίας, η χρησιμοποιητέα μέθοδος προσαρμογής πρέπει να εξαλείφει την τυχαιότητα στον προσανατολισμό και το μέγεθος που έχουν οι συγκρινόμενες υλοποιήσεις γραμμάτων. Επομένως, η πρωτότυπη μέθοδος που επελέγη για τη βέλτιστη προσαρμογή των περιγραμμάτων δύο συμβόλων της αλφαβήτου συμπεριλαμβάνει τα εξής βήματα: α) Τοποθετούμε τα περιγράμματα των δύο υλοποιήσεων του εξεταζομένου συμβόλου της αλφαβήτου στο ίδιο ηλεκτρονικό πλαίσιο ούτως ώστε τα κέντρα βάρους αυτών να συμπίπτουν. β) Το περίγραμμα του ενός γράμματος διατηρείται σταθερό και θεωρείται σαν μία ψηφιακή καμπύλη

12 αναφοράς. γ) Το περίγραμμα της άλλης υλοποίησης περιστρέφεται, υφίσταται ομοιοθεσία και μετατοπίζεται παράλληλα και ως προς τους δύο άξονες συντεταγμένων. δ) Ορίζεται ένα μέτρο της απόστασης μεταξύ του περιγράμματος αναφοράς και του μετασχηματισμένου περιγράμματος και επιλέγεται εκείνος ο μετασχηματισμός που προσφέρει τη μικρότερη απόσταση μεταξύ των δύο καμπυλών ή ισοδυνάμως το μικρότερο λάθος προσαρμογής. ε) Τέλος το περίγραμμα αναφοράς καθώς και το μετασχηματισμένο περίγραμμα συγκρίνονται και με μια επιπλέον μέθοδο δηλαδή επί τη βάση ενός ακόμα κατάλληλα επιλεγμένου κριτηρίου όσον αφορά τη μεταξύ τους προσαρμογή. Ακολουθεί αναλυτική περιγραφή των βημάτων αυτών της μεθόδου. Α. Διαδικασία περιστροφής: Έστω Π 1 το περίγραμμα αναφοράς και Π αυτό στο οποίο θα εφαρμοστούν οι μετασχηματισμοί. Κατ αρχήν εντοπίζουμε τα κέντρα βάρους των Π 1 Π, έστωσαν ΚΒ 1 και ΚΒ αντίστοιχα. Μετατοπίζουμε παράλληλα το Π ούτως ώστε το κέντρο βάρους του να συμπίπτει με την αρχή των αξόνων, αφαιρώντας από κάθε σημείο αυτού το διάνυσμα OKB. Ακολούθως πραγματοποιούμε ένα σύνολο περιστροφών του μετατοπισμένου Π όπου, κατά τα γνωστά, η τυχούσα στροφή του περιγράμματος πραγματοποιείται πολλαπλασιάζοντας τη στήλη των συντεταγμένων κάθε σημείου του μετατοπισμένου Π με τη μήτρα περιστροφής cos sin TR (3.1) sin cos Κατά τον τρόπο αυτό λαμβάνουμε μία πρώτη μετασχηματισμένη ψηφιακή R καμπύλη την ( ). R Β. Ομοιοθεσία: Εν συνεχεία επιτελούμε ομοιοθεσία του ( ) με κέντρο το σημείο Ο. Με άλλα λόγια πολλαπλασιάζουμε κάθε συνιστώσα όλων των σημείων της R ψηφιακής καμπύλης ( ) με έναν θετικό πραγματικό αριθμό έστω λ. Είναι προφανές ότι με αυτό τον τρόπο και αν ισχύει λ > 1 πραγματοποιούμε μεγέθυνση του περιγράμματος Π ενώ δε όταν λ< 1 σμίκρυνση του περιγράμματος αυτού. Με αυτή τη διαδικασία λαμβάνουμε μία δεύτερη μετασχηματισμένη παραλλαγή του Π την RO (, ) η οποία θεωρητικά έχει κέντρο βάρους το Ο και συμπεριλαμβάνει τόσο

13 την αλλαγή του προσανατολισμού του γράμματος όσο και την τροποποίηση του μεγέθους αυτού. RO Γ. Τελική Παράλληλη μετατόπιση: Μετατοπίζουμε παραλλήλως το (, ) στο ΚΒ 1 δηλαδή στο κέντρο βάρους του περιγράμματος Π 1. Εν συνεχεία επιτρέπουμε στο RO μετατοπισμένο (, ) να μετακινείται κατά xy γύρω απ το ΚΒ 1 και ROP τοιουτοτρόπως λαμβάνουμε ένα (,, x, ). y Ένα Κριτήριο προσαρμογής των Π1 και Π. Θεωρούμε ως τη βέλτιστη προσαρμογή των Π 1 και Π εκείνο το σχηματισμό που αποτελείται από το Π 1 στην αρχική του θέση και στο αρχικό του μέγεθος και από το ROP (,, x, y ), όπου τα,,, x y είναι εκείνες οι παράμετροι του μετασχηματισμού που καθιστούν την απόσταση των δύο ψηφιακών καμπυλών Π 1 και ROP (,, x, y ) ελάχιστη σύμφωνα με ένα κατάλληλα επιλεγμένο κριτήριο. Για τον ορθό προσδιορισμό του κριτηρίου αυτού πραγματοποιήθησαν πολλές δοκιμές. Η πρώτη δοκιμή ήταν η φαινομενικά πλέον ευθύγραμμη, δηλαδή ο υπολογισμός της Ευκλείδειας απόστασης κάθε σημείου (pixel) της καμπύλης ROP (,, x, ) από την καμπύλη Π 1 και εν συνεχεία η εύρεση της θέσης του y ROP (,, x, ) που ελαχιστοποιεί το μέσο όρο αυτής της απόστασης. Εν τούτοις y το κριτήριο αυτό δεν απέδωσε ικανοποιητικά κυρίως λόγω του ότι στη βέλτιστη θέση υπήρχαν πολλά τμήματα των δύο περιγραμμάτων που ήταν σε άμεση γειτνίαση, ενώ σύμφωνα με την ανθρώπινη κοινή λογική δε θα έπρεπε. Αυτή η λανθασμένη προσαρμογή οφείλεται στο γεγονός ότι ενώ για τον άνθρωπο κάθε σύμβολο της αλφαβήτου έχει μία καθορισμένη μορφή, κατά την υλοποίηση αυτού του συμβόλου στην πέτρα προκύπτει μία πολύ διαταραγμένη παραλλαγή του περιγράμματος που είχε την πρόθεση να υλοποιείσαι ο χαράκτης. Αυτός ήταν και ο κυριότερος λόγος για τον οποίο αποφασίστηκε ο χωρισμός του περιγράμματος κάθε υλοποιήσεως συμβόλου της αλφαβήτου σε πλευρές, οι οποίες περατούνται σε κρίσιμα σημεία όπως περιγράφηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Το ανωτέρω δεν ήταν το μοναδικό μειονέκτημα αυτού του κριτηρίου. Πράγματι, η επόμενη δοκιμή αφορούσε την επιλογή ενός κριτηρίου σύμφωνα με το οποίο η απόσταση μεταξύ των περιγραμμάτων δύο υλοποιήσεων ενός συμβόλου της αλφαβήτου γινόταν πλευρά-πλευρά. Συγκεκριμένα, και θεωρώντας για παράδειγμα το συμβολόγραμμα Α, η απόσταση κάθε σημείου της αριστεράς πλευράς του αριστερού

14 χτυπήματος/σκέλους του Π 1 υπολογίζεται μόνον από την αντίστοιχη πλευρά του ROP (,, x, ). Ομοίως, η απόσταση της δεξιάς πλευράς του αριστερού y χτυπήματος/σκέλους του Π 1 υπολογίζεται μόνον από την αντίστοιχη πλευρά του ROP (,, x, ) κ.ο.κ. Σε μαθηματική διατύπωση, αυτή η απόσταση των δύο y ROP καμπυλών Π 1 και (,, x, ) γράφεται y S,1 1 1 i1 d(, ) (3.) P, i, όπου S είναι ο αριθμός των πλευρών του προς μελέτη γράμματος,, η ROP πλευρά του (,, x, ), τα P, i είναι τα σημεία της πλευράς του Π 1,,1 y είναι ο αριθμός των σημείων της πλευράς του Π 1, d, ) είναι η ( P, i, απόσταση του κάθε σημείου P, i από το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης του περιγράμματος Π και η θεωρούμενη βέλτιστη προσαρμογή είναι αυτή στην οποία ελαχιστοποιείται η ποσότητα 1. Το συγκεκριμένο κριτήριο δεν είχε ως αποτέλεσμα κατάλληλη προσαρμογή των εν λόγω καμπυλών. Πράγματι, η δεδομένη δυνατότητα ομοιοθεσίας της καμπύλης Π καθώς και το γεγονός ότι η θεωρούμενη βέλτιστη θέση ήταν αυτή που ελαχιστοποιούσε το 1 οδήγησε σε σημαντική σμίκρυνση αυτής της καμπύλης σε σχέση με την Π 1. Βέλτιστο κριτήριο προσαρμογής περιγραμμάτων Το κριτήριο που οδήγησε στη βέλτιστη προσαρμογή των Π 1, ROP (,, x, ) αφορούσε την ελαχιστοποίηση της ποσότητας η μαθηματική y έκφραση της οποίας είναι η ακόλουθη:, 1, S S ROP (,,, ) (,, 1, ) d P i d Q j (3.3) 1 i1 1 j1 όπου S είναι ο αριθμός των πλευρών του προς μελέτη γράμματος, ROP, η ROP πλευρά του (,, x, ), P, i τα σημεία της πλευράς του Π 1,, 1 ο y

15 ROP αριθμός των σημείων της πλευράς του Π 1 και d, ) η απόσταση του κάθε ( P, i, σημείου P, από το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης του περιγράμματος i ROP. Αντιστοίχως 1, είναι η πλευρά του Π 1, Q, j τα σημεία της πλευράς του,, είναι ο αριθμός των σημείων της πλευράς του Π και d, ) ROP ( Q, j 1, είναι η απόσταση του κάθε σημείου Q, από το αντίστοιχο τμήμα της καμπύλης του j περιγράμματος 1, δηλαδή από την -ιοστη πλευρά του περιγράμματος αναφοράς. Η ποσότητα υπολογίζεται για κάθε δυνατή θέση του Π από όρους διπλών αθροισμάτων. Η δυνατότητα ομοιοθεσίας του τελευταίου σε συνδυασμό με την επιθυμητή ελαχιστοποίηση του δεν οδηγεί σε παθολογική σμίκρυνση αυτού όπως στην περίπτωση της ποσότητας 1. Αυτό συμβαίνει διότι σε μια τέτοια περίπτωση μειώνεται μεν ο πρώτος όρος, αυξάνεται όμως σημαντικά ο δεύτερος. Κατά συνέπεια η ελαχιστοποίηση της ποσότητας ποσοτικοποίησε με βέλτιστο τρόπο την προσαρμογή των Π 1 και Π όταν στο Π ασκούνται οι προαναφερθέντες τελεστές. Ακολουθούν παραδείγματα υλοποιήσεων του συμβολογράμματος Α και βέλτιστη σχετική τοποθέτησή τους με κριτήριο την ελαχιστοποίηση της ποσότητας ε στη σχέση 3.3.

16 Εικόνα 3.1 Στις εικόνες αριστερά εμφανίζονται δύο υλοποιήσεις του γράμματος Α διαφορετικών επιγραφών που ανήκουν στον ίδιο χαράκτη. Στις εικόνες δεξιά εμφανίζονται οι εξαχθείσες πλευρές των σκελών του γράμματος.

17 Εικόνα 3. Βέλτιστα ταιριασμένα περιγράμματα των προηγούμενων υλοποιήσεων προερχόμενων απ τον ίδιο χαράκτη. Η υλοποίηση που παρουσιάζεται με ματζέντα και κόκκινο χρώμα τοποθετείται πρώτη στο σύστημα αξόνων και παραμένει σταθερή ενώ αυτή με το μαύρο και μπλε χρώμα υφίσταται τους μετασχηματισμούς της παράλληλης μετατόπισης, στροφής και ομοιοθεσίας ως ένα στερεό σώμα. Η βέλτιστη τοποθέτηση της μιας σε σχέση με την άλλη γίνεται ανά σκέλος και πλευρά προς πλευρά. Οι ματζέντα αστερίσκοι ταιριάζουν με τους μαύρους, οι ματζέντα τελείες με τις μαύρες, οι κόκκινοι αστερίσκοι με τους μπλε και οι κόκκινες τελείες με τις μπλε.

18 Εικόνα 3.3 Στις εικόνες αριστερά εμφανίζονται δύο υλοποιήσεις του γράμματος Α διαφορετικών επιγραφών που ανήκουν σε διαφορετικό χαράκτη όπως απέδειξε η εφαρμογή της μεθοδολογίας. Στις εικόνες δεξιά εμφανίζονται οι εξαχθείσες πλευρές των σκελών του γράμματος.

19 Εικόνα 3.4 Βέλτιστα ταιριασμένα περιγράμματα των προηγούμενων υλοποιήσεων προερχόμενων από διαφορετικό χαράκτη. Η υλοποίηση που παρουσιάζεται με ματζέντα και κόκκινο χρώμα τοποθετείται πρώτη στο σύστημα αξόνων και παραμένει σταθερή ενώ αυτή με το μαύρο και μπλε χρώμα υφίσταται τους μετασχηματισμούς της παράλληλης μετατόπισης, στροφής και ομοιοθεσίας ως ένα στερεό σώμα. Η βέλτιστη τοποθέτηση της μιας σε σχέση με την άλλη γίνεται ανά σκέλος και πλευρά προς πλευρά. Οι ματζέντα αστερίσκοι ταιριάζουν με τους μαύρους, οι ματζέντα τελείες με τις μαύρες, οι κόκκινοι αστερίσκοι με τους μπλε και οι κόκκινες τελείες με τις μπλε.

20 4. Aποδοτικά κριτήρια ομοιότητος υλοποιήσεων γραμμάτων και ταυτοποίησης χαρακτών. Θεωρούμε δύο υλοποιήσεις του ιδίου συμβολογράμματος επί δύο διαφορετικών επιγραφών, έστωσαν αυτές Υ Π και Υ Τ. Ας υποτεθεί ότι η κάθε υλοποίηση αποτελείται από τέσσερα κτυπήματα και συγκεκριμένα η Υ Π S 1 S, S3,, S 4 και η Υ Τ από τα S, S. 1 S, S3, 4 από τα Τονίζεται ότι στη κλασική αρχαιότητα αρκετοί γραφείς χάρασσαν γράμματα με προσωπικές ιδιαιτερότητες: για παράδειγμα, κάποιοι γραφείς συχνά παρέλειπαν το δεύτερο σκέλος του γράμματος Σ, άλλοι παρέλειπαν τη μεσαία κεραία (το τρίτο σκέλος) του γράμματος Α, άλλοι σε σχέση με το Ω παρέλειπαν τη βάση αυτού, ενώ άλλοι την έκαναν ολόκληρη είτε σε επαφή με το καμπύλο σκέλος είτε όχι, κ.λ.π. Για το λόγο αυτό στα επόμενα, από αυστηρά μαθηματικής απόψεως θα θεωρούμε ότι κάποιο από τα κτυπήματα Si μπορεί να είναι το κενό σύνολο στις περιπτώσεις που ο χαράκτης το παρέλειπε. Στο σημείο αυτό, ας θεωρήσουμε τις υλοποιήσεις του συμβολογράμματος Υ Π και Υ Τ βέλτιστα προσαρμοσμένες μεταξύ τους με τη μέθοδο που περιεγράφη στο κεφάλαιο 3 όπου η Υ Π παίζει το ρόλο της προτύπου υλοποιήσεως και η Υ Τ της τρεχούσης. Έστωσαν δύο αντίστοιχα κτυπήματα S1 και S1 σε αυτή τη θέση βέλτιστης προσαρμογής, όπου υπενθυμίζουμε ότι η S1 μπορεί να έχει υποστεί ομοιοθεσία με συντελεστή λ, στροφή και παράλληλη μετατόπιση. Τώρα, θα δημιουργήσουμε μία περιορισμένη εκδοχή του κάθε κτυπήματος ως εξής: έστωσαν 1,, 1,, τα τέσσερα κρίσιμα σημεία του υπό εξέταση κτυπήματος όπως αυτά ορίστηκαν στην παράγραφο.3. Ενώνουμε τα 1,1 αφ ενός και τα, αφ εταίρου με ευθύγραμμα τμήματα οπότε και σχηματίζεται η κλειστή καμπύλη, όπως αυτή που φαίνεται στην εικόνα

21 Εικόνα 4.1 Εφαρμόζουμε αυτή τη διαδικασία στα χτυπήματα S1 και S 1, οπότε και λαμβάνουμε τις βέλτιστα προσαρμοσμένες κλειστές καμπύλες 1 1 και 1 1 όπως αυτές φαίνονται στην εικόνα 4.. Στο εν λόγω σχήμα παρουσιάζονται τέσσερα χτυπήματα του συμβολογράμματος Σ βέλτιστα προσαρμοσμένα το καθένα ξεχωριστά καθώς και όλα μαζί. Εικόνα 4.α Βέλτιστα προσαρμοσμένα χτυπήματα δύο υλοποιήσεων του συμβολογράμματος Σ της ιδίας χειρός. Η περιοχή που εμφανίζεται με τον ανοικτότερο τόνο στην εικόνα είναι η τρέχουσα κλειστή καμπύλη, αυτή με τον αμέσως πιο σκούρο τόνο η πρότυπη και η πιο σκούρα όλων η περιοχή της τομής των δύο.

22 Εικόνα 4.β Συνολική εικόνα των προηγούμενων βέλτιστα ταιριασμένων κτυπημάτων των δύο υλοποιήσεων του συμβολογράμματος Σ που προέρχονται από το ίδιο χέρι.

23 Εικόνα 4.3 Συνολική εικόνα δύο βέλτιστα ταιριασμένων υλοποιήσεων του συμβολογράμματος Σ διαφορετικής χειρός.

24 Κάθε μία από αυτές τις κλειστές καμπύλες χωρίζει το επίπεδο σε δύο χωρία, ένα εσωτερικό 1 ή 1 και ένα εξωτερικό 1 ή 1. Σε αυτό το σημείο ορίζουμε μία ποσότητα 1 η οποία είναι πηλίκο δύο εμβαδών και συγκεκριμένα την ό 1 1 MB( 1 1 ) 1 (4.1) ό MB( ) Ομοίως ορίζουμε παρόμοιες ποσότητες και για τα άλλα κτυπήματα: MB( ),3,4 (4.) MB( ) Εάν κάποιο από τα κτυπήματα, 1,..., 4 δεν υπάρχει τότε στην αντίστοιχη T ποσότητα αποδίδουμε την τιμή μηδέν. Στην ιδανική περίπτωση που ο ίδιος χαράκτης αναπαρήγαγε τέλεια το συμβολλόγραμμα που είχε στο μυαλό του σε όλες τις επιγραφές, τότε η ποσότητα θα ισούτο με ένα. Όμως, όπως προαναφέρθηκε, οι υλοποιήσεις του ιδίου συμβολογράμματος που προέρχονται από το ίδιο χέρι διαφοροποιούνται σημαντικά εξ αιτίας πολλών παραγόντων. Αυτό έχει σαν αποτέλεσμα την απόκλιση των αριθμών από τη μονάδα προς μικρότερες τιμές, τόσο περισσότερο όσο λιγότερο καλλιγράφος είναι ο χαράκτης. Από την άλλη πλευρά όταν τα κτυπήματα και προέρχονται από διαφορετικά χέρια,, φαίνεται λίαν εύλογο να υποθέσει κανείς ότι οι ποσότητες είναι στατιστικά πολύ μικρότερες από όταν τα κτυπήματα προέρχονται από το ίδιο χέρι. Για να ποσοτικοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση πραγματοποιήσαμε τα εξής βήματα. Βήμα 1: Υπολογισμός των ποσοτήτων συμβολογράμματος επί της ιδίας επιγραφής. αναφορικά με τις υλοποιήσεις ενός Έστω μια οποιαδήποτε επιγραφή με αριθμό Ι, επί της οποίας υπάρχουν υλοποιήσεις ενός συμβολογράμματος, έστω του Σ. Θεωρούμε την πρώτη υλοποίηση σαν πρότυπο και προσαρμόζουμε βέλτιστα όλες τις άλλες σε αυτήν διαδοχικά με τη μέθοδο που περιεγράφη στο κεφάλαιο 3. Σε κάθε μία τέτοια βέλτιστη

25 προσαρμογή υπολογίζουμε τις τέσσερις ποσότητες 1,..., 4 όπως αυτές ορίστηκαν στον τύπο (4.) και ονομάζουμε αυτές, 1, j j,...,. Εν συνεχεία θεωρούμε σαν πρότυπο τη δεύτερη υλοποίηση του Σ της επιγραφής Ι και υπολογίζουμε τις ποσότητες,, j j 1,3,..., κ.ο.κ., έως ότου όλες οι υλοποιήσεις του Σ της επιγραφής Ι παίξουν το ρόλο της προτύπου. Σε αυτό το σημείο και για κάθε χτύπημα χωριστά υπολογίζουμε το μέσο όρο των ανωτέρω ποσοτήτων καθώς και τη δειγματική τυπική απόκλιση τους δηλαδή τις ποσότητες 1 1,, i, j 1,...,4 (4.3) 1 i1 ji1 S 1 1,,, i, j 1,..., 4 1 i1 ji1 (4.4) όπου το πρώτο άθροισμα αφορά στις πρότυπες υλοποιήσεις ενώ το δεύτερο στις τρέχουσες, ο πρώτος άνω δείκτης, εν προκειμένω το Σ, εκπροσωπεί το εξεταζόμενο σύμβολο της αλφαβήτου, ο δεύτερος άνω δείκτης τον αριθμό της επιγραφής και ο κάτω δείκτης τον αριθμό του αντίστοιχου κτυπήματος. Βήμα : Υπολογισμός των ποσοτήτων ιδίου συμβολογράμματος σε δύο διαφορετικές επιγραφές. για τη σύγκριση των υλοποιήσεων του Έστω μια οποιαδήποτε επιγραφή με αριθμό, επί της οποίας υπάρχουν υλοποιήσεις ενός συμβολογράμματος, και μία δεύτερη επιγραφή με αριθμό J με J υλοποιήσεις του ιδίου συμβολογράμματος επ αυτής. Θεωρούμε την πρώτη υλοποίηση της σαν πρότυπο και προσαρμόζουμε βέλτιστα όλες τις υλοποιήσεις της J σε αυτήν διαδοχικά με τη μέθοδο που περιεγράφη στο κεφάλαιο 3. Σε κάθε μία τέτοια βέλτιστη προσαρμογή υπολογίζουμε τις τέσσερις ποσότητες 1,..., 4 όπως αυτές ορίστηκαν στον τύπο (4.) και ονομάζουμε αυτές, 1, j j 1,..., J. Εν συνεχεία θεωρούμε σαν πρότυπο τη δεύτερη υλοποίηση του Σ της επιγραφής Ι και υπολογίζουμε τις ποσότητες,, j j 1,..., J κ.ο.κ., έως ότου όλες οι υλοποιήσεις του Σ της επιγραφής Ι παίξουν το ρόλο της προτύπου.

26 Σε αυτό το σημείο και για κάθε χτύπημα χωριστά υπολογίζουμε το μέσο όρο των ανωτέρω ποσοτήτων καθώς και τη δειγματική τυπική τους απόκλιση δηλαδή τις ποσότητες 1,, 1 J J, i, j 1,...,4 (4.5) i1 J j1 S,, J 1 1 J,, J, i, j 1,..., 4 1 J j1 (4.6) Η διαφοροποίηση στο ότι οι ποσότητες αφορούν στη σύγκριση δύο επιγραφών εντοπίζεται στο γεγονός της ύπαρξης τριών άνω δεικτών όπου ο πρώτος συμβολίζει το γράμμα της αλφαβήτου ο δεύτερος την πρότυπο επιγραφή και ο τρίτος την τρέχουσα, ενώ όπως πάντα ο κάτω δείκτης συμβολίζει τον αριθμό του κτυπήματος. Βήμα3: Ένα μέτρο για την εκτίμηση του εάν προέρχονται από τον ίδιο χαράκτη. δύο διαφορετικές επιγραφές Είναι εύλογο να υποθέσουμε ότι όταν οι επιγραφές και J προέρχονται από τον ίδιο χαράκτη, οι ποσότητες, και,, J θα έχουν πολύ περισσότερο παραπλήσιες τιμές για όλα τα χτυπήματα, απ όταν οι και J προέρχονται από διαφορετικό χέρι. Η ποσοτικοποίηση αυτής της παρατήρησης βασίζεται στο γεγονός ότι κάθε μία ποσότητα i είναι κατ ουσίαν ένα ποσοστό (άλλωστε λαμβάνει τιμή πάντοτε στο [0,1]) και επομένως για 5, 5 ακολουθεί κατά προσέγγιση κανονική κατανομή, ενώ για μικρότερες τιμές των J, κατανομή Student. Η υπόθεση αυτή δεν απορρίφθηκε από τα σχετικά τεστ Kolmogorov-Smirnov (α=0.001). Επίσης εάν οι επιγραφές και J προέρχονται από τον ίδιο χαράκτη, τότε οι πληθυσμικές μέσες τιμές των ποσοτήτων, i και J,, J i είναι ίσες. Άρα, ένα μέτρο που ποσοτικά περιγράφει το αν δύο επιγραφές προέρχονται από το ίδιο χέρι ή όχι επιλέγεται να είναι το σύνολο των ποσοτήτων,,, J,, J (4.7),,, J S S 1 J

27 Όσο πιο κοντά στο μηδέν είναι η ποσότητα,, J τόσο περισσότερο αναμένεται οι επιγραφές και J να προέρχονται από τον ίδιο χαράκτη. Εμφατικότερα δε, εάν οι επιγραφές και J προέρχονται από διαφορετικό χαράκτη, αναμένεται να υπάρχει ικανός αριθμός συμβόλων της αλφαβήτου και κτυπημάτων των υλοποιήσεων τους αναφορικά με τα οποία οι ποσότητες,, J θα διαφέρουν στατιστικά σημαντικά. Επειδή οι ποσότητες του αριθμητή ακολουθούν κανονική κατανομή όπως,, J προαναφέρθηκε, η κάθε μία ποσότητα 1,..., 4ακολουθεί κατανομή Student ή για 5, 5 ακολουθεί με πολύ ικανοποιητική προσέγγιση τυπική κανονική J κατανομή. Σε περίπτωση που έχουμε κατανομή Student και εάν οι διασπορές, S και,, S J είναι ίσες τότε οι βαθμοί ελευθερίας της κατανομής είναι d,, J J (4.8) ενώ αν οι διασπορές είναι άνισες τότε ισχύει,,, J S / S,,, J S / S,, J / J d (4.9) / 1 1 Εφ όσον δε γνωρίζουμε a priori αν οι πληθυσμιακές διασπορές των ποσοτήτων είναι ίσες ή άνισες, διαλέγουμε τη σχέση (4.9) για τους βαθμούς ελευθερίας,, J της Student, διότι καλύπτει και τις δύο περιπτώσεις. J J 5 Εφαρμογή της μεθοδολογίας στην ταυτοποίηση του χαράκτη ικανού αριθμού επιγραφών. 5.1 Επιλογή του συνόλου των επιγραφών επί του οποίου δοκιμάστηκε η μεθοδολογία Η μέθοδος που αναπτύχθηκε και παρουσιάστηκε στη μελέτη αυτή εφαρμόστηκε σε επιγραφές τις οποίες επέλεξε ο καθηγητής κ. Steven Tracy. Ο κ. S. Tracy, θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους επιγραφολόγους/αρχαιολόγους παγκοσμίως και έχει αφιερώσει πάνω από τέσσερις δεκαετίες της ζωής του στη μελέτη των Αρχαίων Ελληνικών επιγραφών. Ειδικότερα ο καθηγητής Tracy έχει κατατάξει εκατοντάδες επιγραφές χρησιμοποιώντας, κυρίως διαισθητικά, πληθώρα

28 πληροφοριών όπως την τεχνοτροπία κάθε γραφέα, τις ιδιομορφίες των γραμμάτων που ο γραφέας παρήγαγε, τα σημεία ανασκαφής των επιγραφών αλλά και γενικού περιεχομένου αρχαιολογικές πληροφορίες. Ο καθηγητής επέλεξε 3 επιγραφές διαφόρων χειρών και επιμελέστατα φρόντισε να μη μας δοθεί κανενός είδους πληροφορία σε σχέση με αυτές, ούτε για το σημείο που ανεσκάφησαν ούτε για το που αναφέρετο το περιεχόμενό τους ούτε για την ευρύτερη εποχή κατά την οποία εσμιλεύθησαν, ούτε για δημοσιεύσεις που έχουν γίνει σε σχέση με αυτές. Επιπλέον ο κύριος S. Tracy δε μας έδωσε τις επιγραφές με το διεθνή κωδικό με τον οποίο είναι γνωστές αλλά με τον κωδικό καταγραφής της Αμερικανικής Σχολής Κλασικών Σπουδών που είναι γνωστός μόνο σε αυτόν και σε ελάχιστους συνεργάτες του. Ακολουθεί ο κατάλογος των επιγραφών που μας εδώθησαν. Κατάλογος Διαθεσίμων Επιγραφών Προς Ταυτοποίηση Γραφέως Πίνακας Πρώτο στάδιο επεξεργασίας των επιγραφών Κατ αρχήν πραγματοποιήθηκε ψηφιακή φωτογράφηση των τριάντα δύο επιγραφών με μηχανή πολύ υψηλής ευκρίνειας (των δεκατεσσάρων megapixels) και

29 αυστηρό πρωτόκολλο φωτογράφισης. Εν συνεχεία εξήχθεισαν τα γράμματα από τις φωτογραφίες των επιγραφών εντεθημένα μαζί με το μάρμαρο, σε ένα ορθογώνιο πλαίσιο. Σε επόμενο στάδιο, πραγματοποιήθηκε κατάτμηση των εικόνων με τη μέθοδο που περιεγράφη στην παράγραφο.1 οπότε και ελήφθη η εκδοχή κάθε γράμματος σε δυαδική (ασπρόμαυρη) εικόνα. Από την ασπρόμαυρη φωτογραφία κάθε γράμματος εξήχθη το περίγραμμα αυτού αυτόματα όπως περιεγράφη στην παράγραφο.. Ακολούθως, επί του περιγράμματος κάθε γράμματος εντοπίστηκαν τα κρίσιμα σημεία αυτού. 5.3 Καθορισμός των διαφορετικών χαρακτών που εσμίλευσαν το σύνολο των εξεταζομένων επιγραφών Κατ αρχήν θεωρήσαμε τις υλοποιήσεις των γραμμάτων κάθε διαθέσιμης επιγραφής σαν πρότυπες και προσαρμόσαμε βέλτιστα σ αυτές τις αντίστοιχες υλοποιήσεις των άλλων επιγραφών με τη μέθοδο που περιεγράφη στο κεφάλαιο 3. Για παράδειγμα σε όλες τις υλοποιήσεις του Α της 1 προσαρμόσαμε βέλτιστα τις υλοποιήσεις του Α που εμφανίζονται σε κάθε μία άλλη επιγραφή. Η ίδια διαδικασία εφαρμόστηκε στο Σ,το Μ, το Τ, το Ο, κ.λ.π. υπό την προϋπόθεση ότι υπήρχε ικανός αριθμός υλοποιήσεων (μεγαλύτερος ή ίσος του πέντε) και στις δύο συγκρινόμενες επιγραφές. Για κάθε ζεύγος επιγραφών υπολογίστηκαν οι ποσότητες του κεφαλαίου 4. Εν συνεχεία επιτελέσαμε εξαντλητικούς ελέγχους στατιστικών υποθέσεων όλων των επιγραφών ανά δύο. Επιλέξαμε τις δύο επιγραφές για τις οποίες η υπόθεση ότι προέρχονται από τον ίδιο χαράκτη απερριφθεί με τον μέγιστο βαθμό εμπιστοσύνης (το μικρότερο α υπό τον όρο ότι a ) σύμφωνα με το κριτήριο Bonferroni. Αυτές ήταν η 1και η 6 οι οποίες απεδόθησαν σε δύο διαφορετικά χέρια που τα ονομάσαμε 1 και. Στο σημείο αυτό, για απλότητα τροποποιήσαμε το συμβολισμό ως εξής: η επιγραφή 1ονομάστηκε 1,1 όπου ο πρώτος δείκτης αντιπροσωπεύει τον αύξοντα αριθμό της χειρός στον οποίον η επιγραφή 1απεδόθει, ο δε δεύτερος δείκτης τον αύξοντα αριθμό της επιγραφής που διαπιστώνουμε ότι ο χαράκτης σμίλευσε. Επομένως, με βάση αυτό το συμβολισμό, η 6μετονομάστηκε σε,1.

30 Το επόμενο βήμα ήταν να επιτελέσουμε όλους τους άλλους εξαντλητικούς ελέγχους των επιγραφών που απέμειναν με τις επιγραφές 1,1 και,1 και επελέγει εκείνη για την οποία η υπόθεση ότι προέρχεται από το χέρι 1 ή το χέρι απερριφθεί με το μέγιστο βαθμό εμπιστοσύνης, πάντα υπό τον όρο ότι a σύμφωνα με τη μέθοδο 19 Bonferroni. Αυτή ήταν η 10την οποία και ονομάσαμε 3,1 καθώς θεωρήσαμε ότι προέρχεται από διαφορετικό χαράκτη. Ακολουθώντας την ίδια μεθοδολογία επιτελέσαμε όλους τους ελέγχους με όλες τις επιγραφές που κάθε φορά απέμεναν. Εκείνη η επιγραφή για την οποία η υπόθεση ότι ανήκει σε κάποιο απ τα ήδη υπάρχοντα χέρια απορρίπτετο με το μεγαλύτερο βαθμό εμπιστοσύνης, όταν αυτός ήταν μεγαλύτερος από 99,99%, θεωρήσαμε ότι ανήκε σε 10 3 κάποιο καινούργιο χέρι. Έτσι καταλήξαμε στο συμπέρασμα ότι οι τριάντα δύο επιγραφές που ελέγχθησαν προέρχονταν από 9 διαφορετικούς γραφείς. Σημειώνουμε ότι η παραπάνω διαδικασία είναι σε μεγάλο βαθμό ανεξάρτητη από την επιλογή του κατωφλίου a, διότι μόλις εντοπίσθηκαν τα 9 χέρια, το επίπεδο σημαντικότητας με το οποίο δεν μπορούσαμε να απορρίψουμε ότι οι υπόλοιπες επιγραφές γίνανε από κάποιο από αυτά τα χέρια, ήταν τάξεις μεγέθους μεγαλύτερο από το 10 3 a Κατάταξη των επιγραφών που απέμειναν με το κριτήριο της μέγιστης πιθανοφάνειας. Μετά τον καθορισμό των εννέα διαφορετικών χαρακτών, υπολογίσαμε τις τιμές των σχετικών στατιστικών ποσοτήτων του κεφαλαίου 4. Επομένως κατατάξαμε τις υπόλοιπες 3 επιγραφές στα 9 διαφορετικά χέρια, επί τη βάσει του κριτηρίου μέγιστης πιθανοφάνειας.

31 Τελικά Αποτελέσματα Ταυτοποίησης Γραφέων Αύξων Αριθμός Κωδικός Επιγραφής που Εσμίλευσε το Χειρός Συγκεκριμένο Χέρι , 7405, 754, , 4033, 1640, 7481, , 7519, 7567, 597, 7566, 6053, , 7335, , , 745, 7446, , 4917, , 444, Ευχαριστούμε θερμότατα το Ίδρυμα Λάτση για την Υποστήριξη αυτής της Μελέτης

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα

Ανάλυση Διασποράς Ανάλυση Διασποράς διακύμανση κατά παράγοντες διακύμανση σφάλματος Παράδειγμα 1: Ισομεγέθη δείγματα Ανάλυση Διασποράς Έστω ότι μας δίνονται δείγματα που προέρχονται από άγνωστους πληθυσμούς. Πόσο διαφέρουν οι μέσες τιμές τους; Με άλλα λόγια: πόσο πιθανό είναι να προέρχονται από πληθυσμούς με την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους

Παράδειγμα 1. Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με. Σχήμα 1. στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Παράδειγμα 1 Δίνεται ο κάτωθι κλειστός βρόχος αρνητικής ανάδρασης με _ + Σχήμα 1 στο οποίο εφαρμόζουμε αρνητική ανάδραση κέρδους Α) Γράψτε το σύστημα ευθέως κλάδου σε κανονική παρατηρήσιμη μορφή στο χώρο

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας

Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων. Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας Τεχνικές Μείωσης Διαστάσεων Ειδικά θέματα ψηφιακής επεξεργασίας σήματος και εικόνας Σ. Φωτόπουλος- Α. Μακεδόνας 1 Εισαγωγή Το μεγαλύτερο μέρος των δεδομένων που καλούμαστε να επεξεργαστούμε είναι πολυδιάστατα.

Διαβάστε περισσότερα

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας

Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση. Κατάτμηση Εικόνας Ε.Α.Υ. Υπολογιστική Όραση Κατάτμηση Εικόνας Γεώργιος Παπαϊωάννου 2015 ΚΑΤΩΦΛΙΩΣΗ Κατωφλίωση - Γενικά Είναι η πιο απλή μέθοδος segmentation εικόνας Χωρίζουμε την εικόνα σε 2 (binary) ή περισσότερες στάθμες

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης:

Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας. Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: Οδηγίες για το SKETCHPAD Μωυσιάδης Πολυχρόνης - Δόρτσιος Κώστας Με την εκτέλεση του Sketchpad παίρνουμε το παρακάτω παράθυρο σχεδίασης: παρόμοιο με του Cabri με αρκετές όμως διαφορές στην αρχιτεκτονική

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση

Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση Χειμερινό Εξάμηνο 2013-2014 Μετάδοση Πολυμεσικών Υπηρεσιών Ψηφιακή Τηλεόραση 5 η Παρουσίαση : Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Διδάσκων: Γιάννης Ντόκας Σύνθεση Χρωμάτων Αφαιρετική Παραγωγή Χρώματος Χρωματικά

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή

4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapiro-Wilk για την Κανονική Κατανομή 4.3.3 Ο Έλεγχος των Shapro-Wlk για την Κανονική Κατανομή Ένας άλλος πολύ γνωστός έλεγχος καλής προσαρμογής για την κανονική κατανομή, ο οποίος μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην θέση του ελέγχου Lllefors, είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων

Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Διαδικασία Ελέγχου Μηδενικών Υποθέσεων Πέτρος Ρούσσος, Τμήμα Ψυχολογίας, ΕΚΠΑ Η λογική της διαδικασίας Ο σάκος περιέχει έναν μεγάλο αλλά άγνωστο αριθμό (αρκετές χιλιάδες) λευκών και μαύρων βόλων: 1 Το

Διαβάστε περισσότερα

Διαχείριση Υδατικών Πόρων

Διαχείριση Υδατικών Πόρων Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.

Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)

Διαβάστε περισσότερα

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ.

Γνωστό: P (M) = 2 M = τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M. Π.χ. M = {A, B, C} π. 1. Π.χ. Παραδείγματα Απαρίθμησης Γνωστό: P (M 2 M τρόποι επιλογής υποσυνόλου του M Τεχνικές Απαρίθμησης Πχ M {A, B, C} P (M 2 3 8 #(Υποσυνόλων με 2 στοιχεία ( 3 2 3 #(Διατεταγμένων υποσυνόλων με 2 στοιχεία 3 2

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα

5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα 5.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο ορισμένο ολοκλήρωμα Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα εισάγει τους μαθητές στο ολοκλήρωμα Riemann μέσω του υπολογισμού του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών

Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών Μ7 Μέτρηση μηκών και ακτίνων καμπυλότητας σφαιρικών επιφανειών 1. Σκοπός Τα διαστημόμετρα, τα μικρόμετρα και τα σφαιρόμετρα είναι όργανα που χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διάστασης του μήκους, του

Διαβάστε περισσότερα

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε.

3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. 3. Μια πρώτη προσέγγιση στην επίλυση των κανονικών μορφών Δ. Ε. Στην εισαγωγή δείξαμε ότι η διαφορική εξίσωση του γραμμικού, χρονικά αναλλοίωτου συστήματος μιας εισόδου μιας εξόδου με διαφορική εξίσωση

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ 2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ II ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΔΥΟ ΚΡΙΤΗΡΙΑ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ ΚΑΤΑ ΕΝΑ ΚΡΙΤΗΡΙΟ (One-Way Analyss of Varance) Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π.

ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ 2 ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 2014) Ε.Μ.Π. ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΣΤΑΤΙΚΗΣ ΜΕ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΕ ΕΠΙΠΕΔΑ (εκδοχή Σεπτεμβρίου 04) Ε.Μ.Π. (παρατηρήσεις για τη βελτίωση των σημειώσεων ευπρόσδεκτες) Παράσταση σημείου. Σχήμα Σχήμα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος

iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος xi 1 Αντικείμενα των Πιθανοτήτων και της Στατιστικής 1 1.1 Πιθανοτικά Πρότυπα και Αντικείμενο των Πιθανοτήτων, 1 1.2 Αντικείμενο της Στατιστικής, 3 1.3 Ο Ρόλος των Πιθανοτήτων

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012

ΤΕΙ ΣΕΡΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΠΡΟΤΥΠΩΝ ΝΕΥΡΩΝΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ» ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2012 ΠΑ. 7 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ Δίνονται τα εξής πρότυπα: [ ] [ ] [ ] [ ] Άσκηση η (3 μονάδες) Χρησιμοποιώντας το κριτήριο της ομοιότητας να απορριφθεί ένα χαρακτηριστικό με βάση το συντελεστή συσχέτισης. (γράψτε ποιο

Διαβάστε περισσότερα

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας

Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Επεξεργασία Χαρτογραφικής Εικόνας Διδάσκων: Αναγνωστόπουλος Χρήστος Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνα Χρωματικά μοντέλα: Munsell, HSB/HSV, CIE-LAB Κώδικες μετρήσεων αντικειμένων σε εικόνες Η βασική

Διαβάστε περισσότερα

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

2. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ 1. Σφάλματα Κάθε μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους χαρακτηρίζεται από μία αβεβαιότητα που ονομάζουμε σφάλμα, το οποίο αναγράφεται με τη μορφή Τιμή ± αβεβαιότητα π.χ έστω ότι σε ένα πείραμα

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος και αποκατάσταση συνέπειας χρονοσειρών βροχόπτωσης Παράδειγµα Η ετήσια βροχόπτωση του σταθµού Κάτω Ζαχλωρού Χ και η αντίστοιχη βροχόπτωση του γειτονικού του σταθµού Τσιβλός Υ δίνονται στον Πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R

Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R Ανάλυση Δεδομένων με χρήση του Στατιστικού Πακέτου R, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Περιεχόμενα Εισαγωγή στο

Διαβάστε περισσότερα

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46

Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο... 7. 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα... 42 Εύρεση δειγματικού χώρου... 46 ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα..............................................................

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα.

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ. Ακολουθίες. Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Ακολουθίες ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να ορίζουμε το διάνυσμα. Να ορίζουμε τις σχέσεις μεταξύ διανυσμάτων (παράλληλα, ομόρροπα, αντίρροπα, ίσα και αντίθετα διανύσματα). Να προσθέτουμε και

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com

Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό. Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com Επίλυση Προβλημάτων με Χρωματισμό Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης asygelakis@gmail.com 1 Η αφορμή συγγραφής της εργασίας Το παρακάτω πρόβλημα που τέθηκε στο Μεταπτυχιακό μάθημα «Θεωρία Αριθμών» το ακαδημαϊκό

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση

Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση ΤΨΣ 50 Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνας Κατάτµηση Εικόνων: Ανίχνευση Ακµών και Κατάτµηση µε Κατωφλίωση Τµήµα ιδακτικής της Τεχνολογίας και Ψηφιακών Συστηµάτων Πανεπιστήµιο Πειραιώς Περιεχόµενα Βιβλιογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Email : stvrentzou@gmail.com 1 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Να αναφέρετε ποια από τα σώματα που φαίνονται στην εικόνα κινούνται. Α. Ως προς τη Γη B. Ως προς το αυτοκίνητο. Α. Ως προς τη Γη κινούνται το αυτοκίνητο, το αεροπλάνο και ο γλάρος.

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΙΙΙ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ ΕΝΟΤΗΤΕΣ 1. ΓΕΝΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΠΟΛΛΑΠΛΗ ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ 3. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΠΡΟΟΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΡΟΣΘΗΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr

I. ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. math-gr I ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ i e ΜΕΡΟΣ Ι ΟΡΙΣΜΟΣ - ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ Α Ορισμός Ο ορισμός του συνόλου των Μιγαδικών αριθμών (C) βασίζεται στις εξής παραδοχές: Υπάρχει ένας αριθμός i για τον οποίο ισχύει i Το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ

1.1 ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. ΔΕΙΓΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΕΝΔΕΧΟΜΕΝΑ Αιτιοκρατικό πείραμα ονομάζουμε κάθε πείραμα για το οποίο, όταν ξέρουμε τις συνθήκες κάτω από τις οποίες πραγματοποιείται, μπορούμε να προβλέψουμε με

Διαβάστε περισσότερα

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ

Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η - Α Σ Κ Η Σ Ε Ι Σ 0 1 Στρατηγική επίλυσης προβλημάτων Α. Κάνε κατάλληλο σχήμα,τοποθέτησε τα δεδομένα στο σχήμα και ονόμασε

Διαβάστε περισσότερα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα

Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Επιλογή επενδύσεων κάτω από αβεβαιότητα Στατιστικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Παράδειγμα Θεωρήστε τον παρακάτω πίνακα ο οποίος δίνει τις ροές επενδυτικών σχεδίων λήξης μιας περιόδου στο μέλλον, όταν

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΕΙΑ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ.Καρτάλη 8 Βόλος Τηλ. 43598 ΠΊΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΈΝΩΝ 3. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ... 5 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ...

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη και εφαρμογή προηγμένων αλγορίθμων αναγνώρισης προτύπων

Μελέτη και εφαρμογή προηγμένων αλγορίθμων αναγνώρισης προτύπων ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ, ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗΣ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Μελέτη και εφαρμογή προηγμένων αλγορίθμων αναγνώρισης προτύπων

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ. Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 3: Πολλαπλή Παλινδρόμηση. Αναπλ. Καθηγητής Νικόλαος Σαριαννίδης Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί.

ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ. χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα όπως το θερμόμετρο, Θετικοί-Αρνητικοί αριθμοί. ΑΝΑΛΥΤΙΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ B ΤΑΞΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ (50 Δ. ώρες) Περιεχόμενα Στόχοι Οδηγίες - ενδεικτικές δραστηριότητες Οι μαθητές να είναι ικανοί: Μπορούμε να ΟΙ ΑΚΕΡΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ χρησιμοποιήσουμε καθημερινά φαινόμενα

Διαβάστε περισσότερα

170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S.

170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S. 170 ΕΜΠ ΠΡΟΗΓΜΕΝΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΧΩΡΟ-ΧΡΟΝΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΙΩΝ ΑΚΙΝΗΤΩΝ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΩΝ G.I.S. Καθ. Βασίλειος Ασημακόπουλος ρ. Έλλη Παγουρτζή Μονάδα Συστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις

Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης και Στατιστικοί Έλεγχοι Υποθέσεων Προβλήματα και Ασκήσεις Για κάθε πρόβλημα που ακολουθεί, εκτός των ερωτημάτων που διατυπώνονται, να γίνουν (με τη βοήθεια κάποιου στατιστικού πακέτου)

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας

GET SDI PORTAL v1. Οδηγός Βοήθειας GET SDI PORTAL v1 Οδηγός Βοήθειας Μεταδεδομένα εγγράφου Στοιχείο/Element Τιμή/value Ημερομηνία/Date 2011-06-16 Τίτλος/Title GETSDIPortal_v1_Help_v1.0 Θέμα/Subject Οδηγός Βοήθειας Έκδοση/Version 1.0 Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μεγάλο, είναι απαραίτητο οι παρατηρήσεις να ταξινομηθούν σε μικρό πλήθος ομάδων που ονομάζονται κλάσεις (class intervals). Η ομαδοποίηση αυτή γίνεται

Διαβάστε περισσότερα

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006

Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Συμπερασματολογία

Στατιστική Συμπερασματολογία 4. Εκτιμητική Στατιστική Συμπερασματολογία εκτιμήσεις των αγνώστων παραμέτρων μιας γνωστής από άποψη είδους κατανομής έλεγχο των υποθέσεων που γίνονται σε σχέση με τις παραμέτρους μιας κατανομής και σε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΔΗΜΟΚΡΙΤΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΡΑΚΗΣ Τμήμα Επιστήμης Φυσικής Αγωγής και Αθλητισμού Πρόγραμμα Διδακτορικών Σπουδών ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΟ ΕΝΤΥΠΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ 1. ΤΙΤΛΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ: Προχωρημένη Στατιστική 2. ΠΕΡΙΓΡΑΜΜΑ ΕΙΣΗΓΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς

Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης. τόμος 1. Καγκουρό Ελλάς Μιχάλης Λάμπρου Νίκος Κ. Σπανουδάκης τόμος Καγκουρό Ελλάς 0 007 (ο πρώτος αριθµός σε µια γραµµή αναφέρεται στη σελίδα που αρχίζει το άρθρο και ο δεύτερος στη σελίδα που περιέχει τις απαντήσεις) Πρόλογος

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων ΘΕ ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Γραφικές παραστάσεις, κλίση καµπύλης Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων 1. Σκοπός Πρόκειται για θεωρητική άσκηση που σκοπό έχει την περιληπτική αναφορά σε θεµατολογίες που αφορούν την

Διαβάστε περισσότερα

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ

Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Η ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Η Γενικευμένη Γεωμετρία, που θα αναπτύξουμε στα παρακάτω κεφάλαια, είναι μία «Νέα Γεωμετρία», η οποία προέκυψε από την ανάγκη να γενικεύσει ορισμένα σημεία της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΤΥΧΑΙΟΤΗΤΑΣ 3.1 Τυχαίοι αριθμοί Στην προσομοίωση διακριτών γεγονότων γίνεται χρήση ακολουθίας τυχαίων αριθμών στις περιπτώσεις που απαιτείται η δημιουργία στοχαστικών

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον...

Περιεχόμενα. Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... Περιεχόμενα Τοπογραφικό... 9 Σκάλα... 33 Φωτορεαλισμός... 57 Αντικείμενα... 91 Ανοίγματα... 95 Γραμμές... 99 Επεξεργασία... 103 Περιβάλλον... 111 Πρόλογος Στο κείμενο αυτό παρουσιάζονται οι νέες δυνατότητες

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός ποιότητας χρωμάτων

Οδηγός ποιότητας χρωμάτων Σελίδα 1 από 5 Οδηγός ποιότητας χρωμάτων Μενού Ποιότητα Χρήση Print Mode (Λειτουργία εκτύπωσης) Έγχρωμο Μόνο μαύρο Διόρθωση χρώματος Αυτόματη Manual (Μη αυτόματη) Ανάλυση εκτύπωσης 1200 dpi 4800 CQ Σκουρότητα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων.

Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων. Εκπαιδευτική Μονάδα 10.2: Εργαλεία χρονοπρογραμματισμού των δραστηριοτήτων. Στην προηγούμενη Εκπαιδευτική Μονάδα παρουσιάστηκαν ορισμένα χρήσιμα παραδείγματα διαδεδομένων εργαλείων για τον χρονοπρογραμματισμό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ, ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ, ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΔΙΑΤΑΞΕΙΣ ΜΕΤΑΘΕΣΕΙΣ ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Εισαγωγή. Οι σχηματισμοί που προκύπτουν με την επιλογή ενός συγκεκριμένου αριθμού στοιχείων από το ίδιο σύνολο καλούνται διατάξεις αν μας ενδιαφέρει η σειρά καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά;

1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Ποια μεγέθη ονομάζονται μονόμετρα και ποια διανυσματικά; Μονόμετρα ονομάζονται τα μεγέθη τα οποία, για να τα προσδιορίσουμε πλήρως, αρκεί να γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ

6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ 6.2 Ο ΜΟΝΟΠΛΕΥΡΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ SMIRNOV ΓΙΑ k ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΔΕΙΓΜΑΤΑ Ο έλεγχος της ενότητας αυτής αποτελεί μία επέκταση του μονόπλευρου ελέγχου Smirnov στην περίπτωση περισσοτέρων από δύο δειγμάτων. Ο έλεγχος αυτός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ (Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER

Θέμα: ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΙΣ ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 ΒΙΒΛΙΟ KELLER ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Κεφάλαιο 16 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Copyright 2009 Cengage Learning 16.1 Ανάλυση Παλινδρόμησης Σκοπός του προβλήματος είναι η ανάλυση της σχέσης μεταξύ συνεχών μεταβλητών. Η ανάλυση παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά

6η Δραστηριότητα. Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης. Περίληψη. Αντιστοιχία με το σχολικό πρόγραμμα * Ικανότητες. Ηλικία. Υλικά 6η Δραστηριότητα Ναυμαχία Αλγόριθμοι αναζήτησης Περίληψη Συχνά ζητάμε από τους υπολογιστές να ψάξουν πληροφορίες στο εσωτερικό μεγάλων αρχείων δεδομένων. Για να το καταφέρουν, απαιτούνται ταχείες και αποτελεσματικές

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης

1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης 1 Αριθμητική κινητής υποδιαστολής και σφάλματα στρογγύλευσης Στη συγκεκριμένη ενότητα εξετάζουμε θέματα σχετικά με την αριθμητική πεπερασμένης ακρίβειας που χρησιμοποιούν οι σημερινοί υπολογιστές και τα

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.

Μέρος Β /Στατιστική. Μέρος Β. Στατιστική. Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua. Μέρος Β /Στατιστική Μέρος Β Στατιστική Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών Εργαστήριο Μαθηματικών&Στατιστικής/Γ. Παπαδόπουλος (www.aua.gr/gpapadopoulos) Από τις Πιθανότητες στη Στατιστική Στα προηγούμενα, στο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία παιγνίων Δημήτρης Χριστοφίδης Εκδοση 1η: Παρασκευή 3 Απριλίου 2015. Παραδείγματα Παράδειγμα 1. Δυο άτομα παίζουν μια παραλλαγή του σκακιού όπου σε κάθε βήμα ο κάθε παίκτης κάνει δύο κανονικές κινήσεις.

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ Σ ΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Μ ΑΪΟΥ 2002 2004 Δ ΕΥΤΕΡΟ ΜΕΡΟΣ Π ΕΡΙΛΗΨΗ: Η μελέτη αυτή έχει σκοπό να παρουσιάσει και να ερμηνεύσει τα ευρήματα που προέκυψαν από τη στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης

Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Δυαδικό Σύστημα Αρίθμησης Το δυαδικό σύστημα αρίθμησης χρησιμοποιεί δύο ψηφία. Το 0 και το 1. Τα ψηφία ενός αριθμού στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης αντιστοιχίζονται σε δυνάμεις του 2. Μονάδες, δυάδες, τετράδες,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 3-4 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 5] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να φθάσουν

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2013-2014 ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ Βασικά Εργαλεία και Μέθοδοι για τον Έλεγχο της Ποιότητας [ΔΙΠ 50] 3η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Προσοχή: Οι απαντήσεις των ασκήσεων πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων

Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Παράρτημα Α Μεταθέσεις και πίνακες μεταθέσεων Το παρόν παράρτημα βασίζεται στις σελίδες 671 8 του βιβλίου: Γ. Χ. Ψαλτάκης, Κβαντικά Συστήματα Πολλών Σωματιδίων (Πανεπιστημιακές Εκδόσεις Κρήτης, Ηράκλειο,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας

Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Μάθημα Αστικής Γεωγραφίας Διδακτικό Έτος 2015-2016 Παραδόσεις Διδακτικής Ενότητας: Πληθυσμιακή πρόβλεψη Δούκισσας Λεωνίδας, Στατιστικός, Υποψ. Διδάκτορας, Τμήμα Γεωγραφίας, Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σελίδα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014

ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΟ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2013-2014 Επιμέλεια: Ομάδα Διαγωνισμάτων από το Στέκι των Πληροφορικών Θέμα Α A1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους

Διαβάστε περισσότερα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα

Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Η κατασκευή με τις δύο πινέζες και το νήμα Στη δραστηριότητα αυτή θα εξερευνήσετε ίσως την πλέον κοινή μέθοδο κατασκευής μιας έλλειψης. Προκειμένου να θέσετε το πλαίσιο για την κατασκευή αυτή, πρέπει να

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ, ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ( FUNCTIONS,TRIGONOMETRY) 3.1 ΘΕΩΡΙΑ-ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ-ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Συνάρτηση, ή απεικόνιση όπως ονομάζεται διαφορετικά, είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων,

Διαβάστε περισσότερα

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων

f x και τέσσερα ζευγάρια σημείων ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ, 014 015, 5 Ο ΕΞΑΜΗΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑ #: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ Ημερομηνία ανάρτησης εργασίας στην ιστοσελίδα του μαθήματος: 1 11 014 Ημερομηνία παράδοσης εργασίας: 18 11 014 Επιμέλεια απαντήσεων:

Διαβάστε περισσότερα