Βιομαθηματικά BIO-156

Transcript

1 Βιομαθηματικά BIO-156 Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 213

2 Παράδειγμα Υποθετικός πληθυσμός βακτηρίων Ας υποθέσουμε ότι ένας πληθυσμός βακτηρίων αυξάνει με το χρόνο σύμφωνα t με την εξίσωση N t) 2 συνεχείς μεταβολές) 35 3 αριθμός βακτηρίων χρόνος ώρες) Πως μπορούμε να περιγράψουμε πλήρως την αύξηση του πληθυσμού;

3 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μία ώρα t Νt) ΔNNt)-Nt-1) Αν ο πληθυσμός αυξανόταν κάθε μία ώρα, θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα μετασχηματισμού N 2 για να t+1 N t περιγράψουμε τις μεταβολές του πληθυσμού. Όμως το μέγεθος του πληθυσμού αλλάζει συνεχώς σε κάθε δεδομένη χρονική στιγμή).

4 Έλεγχος πληθυσμού κάθε μισή ώρα t N t) ΔN N t) N t,5) Δ N N t) N t Δt ) Δt Δt 1, - -,5 1,4142,4142,8284 1, 2,,5858 1,7116 1,5 2,8284,8284 1,6568 2, 4, 1,7116 2,3431 2,5 5,6569 1,6569 3,3137 3, 8, 2,3431 4,6863 Μέσος ρυθμός αύξησης μεταξύ t1 και t1,5 είναι 1,6568 εκατομμύρια βακτήρια ανά ώρα.

5 Έλεγχος πληθυσμού κάθε,1 ώρες. Οι μετρήσεις κοντά στο 1 t N t) ΔN N t) N t,1 ) Δ N N t) N t Δt ) Δt Δt,9 1,8661,125 1,2496 1, 2,,1339 1,3393 1,1 2,1434,1434 1,4355 1,2 2,2974,1538 1,5385 Μεταβολές στο χρονικό διάστημα 1, 1+ t) Δt,1,1,1 ΔN,139,139,139 ΔN Δt 1,3911 1,3868 1,3863 Καθώς το Δt μικραίνει, η μεταβολή του πληθυσμού, ΔΝ, μικραίνει, αλλά ο μέσος ρυθμός μεταβολής, ΔΝ/ Δt, πλησιάζει την τιμή 1,3863. Αυτή την τιμή θα ΔN την ονομάζουμε στιγμιαίο ρυθμό μεταβολής ). Δt Δt

6 Όρια συναρτήσεων Ορισμός του ορίου: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής a, ), ), b ) L ε > δ > τέτοιο ώστε αν < < δ, τότε ) L < ε Αν το ) L και L είναι πεπερασμένος αριθμός, λέμε ότι η ) συγκλίνει στο L. Αν το όριο δεν υπάρχει τότε λέμε ότι αποκλίνει. Συμβολισμός: ) L καθώς

7 Θεωρήματα για τα όρια 1. Αν ) L και ) M τότε LM μοναδικότητα του ορίου)

8 Μονόπλευρα όρια Αριστερό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής a, ) ) L ε > δ > τέτοιο ώστε αν δ < <, τότε ) L < ε εξιό όριο: Έστω ένας πραγματικός αριθμός και μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής, β ) + ) L ε > αν δ > < < τέτοιο ώστε + δ, τότε ) L < ε

9 Παράδειγμα Για τη συνάρτηση και Επειδή τα μονόπλευρα όρια δεν είναι ίσα, δεν υπάρχει L ) L ) L + ) και > + < 1, 1, ) 1 ) + 1 ) ),

10 Τα ± σαν όρια συναρτήσεων R Αν και είναι μια συνάρτηση, ορισμένη τουλάχιστον σε ένα σύνολο της μορφής a, ), ), θα λέμε ότι το αν για κάθε ώστε, όταν b M R ) + [ ], υπάρχει δ> τέτοιο < < δ, τότε ) > M [ ) < M ] Παρόμοια ορίζονται και τα μονόπλευρα όρια.

11 Πράξεις στο R R { +, } 1. + ) + + ) + ) + ) 2. + ) + γ + ) + γ γ R 3. + ) ) ) + ) + ) ) + ) + ) ±, γ ± ) m, γ γ + γ > γ < Απροσδιόριστες μορφές: Οι παρακάτω πράξεις δεν ορίζονται ± ± ),,, + ) + ) ±

12 Όριο συνάρτησης όταν ± Ορίζουμε + ) L R όταν ε > M R τέτοιο ώστε αν > M, τότε ) L < ε Ορίζουμε ) L R όταν ε > M R τέτοιο ώστε αν < M, τότε ) L < ε Τα θεωρήματα που αναφέραμε ισχύουν και για όρια ±

13 Το όριο ρητών και εκθετικών συναρτήσεων καθώς Αν ) είναι μια συνάρτηση της μορφής ) p)/q), όπου p) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού degp) και q) είναι ένα πολυώνυμο βαθμού degq), τότε p ) ) q ), L, δεν υπάρχει Η ίδια συμπεριφορά ισχύει για - αν deg p) < deg q) αν deg p) deg q) αν deg p) > deg q) e

14 Λογιστική καμπύλη logistic curve) K N t), t K rt 1+ 1 e N Νt) μέγεθος του πληθυσμού τη χρονική στιγμή t, r και Κ θετικές σταθερές και Ν)Ν >. επειδή K N t) t K 1+ 1 e N t t e t rt K Ανεξάρτητα από την αρχική τιμή N, N t) K. Το Κ ονομάζεται φέρουσα ικανότητα carrying capacity). t

15 Συνέχεια συναρτήσεων Ορισμός: Έστω μια συνάρτηση ορισμένη στο διάστημα Δ και Δ. Η είναι συνεχής στο αν και μόνο αν ) ) Ορισμός: Από τον ορισμό του ορίου ) Μια συνάρτηση λέγεται ότι είναι συνεχής στο αν για κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιο ώστε αν < δ ) ) < ε Ορισμός: Μια συνάρτηση είναι συνεχής όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του πεδίου ορισμού της.

16 Έλεγχος για τη συνέχεια μιας συνάρτησης στο Ελέγχουμε αν 1. ) ορίζεται στο 2. ) υπάρχει 3. ) )

17 Είδη ασυνέχειας

18 Μονόπλευρη συνέχεια Μια συνάρτηση λέγεται συνεχής στο από αριστερά αν και μόνο αν ) ) συνεχής στο από δεξιά αν και μόνο αν ) ) + Συνέχεια σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] Για μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] διακρίνουμε τις περιπτώσεις: συνεχής σε κάθε σημείο του ανοικτού διαστήματος α,β) συνεχής στο α από δεξιά συνεχής στο β από αριστερά

19 Συνδυασμός συνεχών συναρτήσεων Έστω ότι α είναιμιασταθεράκαιοι συναρτήσεις και g είναι συνεχείς στο. Τότε οι παρακάτω συναρτήσεις είναι συνεχείς: 1. a 2. +g 3. g 4. / g, αν g ) o g) ) Αν g) είναι συνεχής στο με g )c o g) ) [ g )] [ g )] [ g )] και η ) είναι συνεχής στο c, τότε η είναι συνεχής στο. c)

20 Βασικέςσυνεχείςσυναρτήσεις Πολυωνυμικές συναρτήσεις Ρητές συναρτήσεις Εκθετικές συναρτήσεις a, a >, a 1 Λογαριθμικές συναρτήσεις log, a >, a 1 a Συναρτήσεις δύναμης Τριγωνομετρικές συναρτήσεις

21 Θεώρημα ενδιάμεσης τιμής Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και c ένας αριθμός μεταξύ των α) και β) τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε ξ)c Θεώρημα του Bolzano Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β] και α) β) <, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένας αριθμός ξ μεταξύ α και β τέτοιος ώστε ξ) Θεώρημα μέγιστης-ελάχιστης τιμής Αν είναι μια συνεχής συνάρτηση σε ένα κλειστό διάστημα [α,β], τότε υπάρχουν σημεία και στο [α,β] τέτοια ώστε ε μ ) ) ) ε μ

22 Προτεινόμενη Βιβλιογραφία C. Neuhauser Calculus or biology and medicine Pearson/Prentice Hall, 24 Chapter 3: Limits and Continuity F. R. Adler. Modeling the dynamics o lie: calculus and probability or lie scientists. Brooks/Cole, Chapter 2: Limits and Derivatives M. R. Cullen Mathematics or the biosciences. Techbooks, 1983 Sections: 6, 7