ολικό = οργάνου + τυχαίο

Transcript

1 Α: Βασική αρχή της Μετρολογίας: ολικό οργάνου τυχαίο (Οι δύο όροι σφάλµατος είναι ανεξάρτητοί και προσδιορίζονται χωριστά, θεωρώντας τον άλλο µηδέν) Β: Σε άµεσες µετρήσεις µε καλή επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων a, όπου η τυπική απόκλιση των αποτελεσµάτων είναι πολύ µικρότερη του σφάλµατος του οργάνου, (σ << οργ ), ως τιµή του µετρούµενου µεγέθους σηµειώνεται η ένδειξη του οργάνου a, ενώ το σφάλµα µέτρησης καθορίζεται από το σφάλµα του οργάνου, οργ, που σε εγγυηµένη µορφή δηλώνεται από την κατασκευάστρια εταιρεία. Όπως και στα σφάλµατα των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών, η παράσταση του αποτελέσµατος ως Α a ± ε a παριστάνει την ανισότητα a ε a Α a ε a, όπου Α είναι η πραγµατική τιµή. Εποµένως, η πραγµατική τιµή Α βρίσκεται «κάπου» εντός του διαστήµατος a ± ε a (βλ. Σχ. ). Αποτέλεσµα µέτρησης: a Περιοχή εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος: ± ε a Σφάλµα ή ακριβές σφάλµα a a Α: πραγµατική τιµή ε a : διάστηµα που δηλώνουµε στις µετρήσεις Τιµές a 0 a ε a a ε a Σχήµα. Γενικός ορισµός του σφάλµατος. Γ: Σε άµεσες µετρήσεις µε κακή επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων a, µε τυπική απόκλιση σ, (σ οργ ), ως τιµή του µετρούµενου µεγέθους σηµειώνεται ο µέσος όρος των a, (ā), ενώ στο εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του οργάνου ( οργ ) προστίθεται και η αβεβαιότητα της µέσης τιµής:. Για µεγάλα ( 00) και Ρ 99,7 %, Α ā ± ( οργ 3σ µ ), όπου σ µ - τυπικό σφάλµα.. Για µικρά (3 < < 0) και Ρ 99,7 %, Α ā ± ( οργ t,p σ µ ), όπου t,p - συντελεστής Studet. volts mea 0,345 st. dev. 0,56 sam. rate 0/s t (s) volts t (s) Σχήµα. Εικόνα ενός έντονα θορυβουµένου ηλεκτρικού σήµατος στο καταγραφικό του υπολογιστή. : Ο αριθµός των µετρήσεων είναι βέλτιστος, όταν οργ τυχ 3σ µ ( ολ οργ, Ρ 99,73 %) Για τυπική απόκλιση σ 0 οργ, ο βέλτιστος αριθµός µετρήσεων είναι 900 [ opt (3σ/ οργ ) ]. Συµπληρωµατικές σηµειώσεις προς τον εργαστηριακό οδηγό Φυσικής του Ε.Μ.Π.(Σφάλµατα προσεγγιστικών αριθµών εν γένει, µετρητικών οργάνων, άµεσης και έµµεσης µέτρησης, τυχαίων τιµών, κλίσης κ.λπ.) Β. Πεόγλος

2 Σύνοψη των κυριότερων αποτελεσµάτων. Σε άµεσες µετρήσεις µε αναλογικά και ψηφιακά όργανα: Έστω, ότι η πραγµατική τιµή κάποιου αµετάβλητου στο χρόνο µεγέθους είναι Α, ενώ ο υπολογισµός ή η µέτρησή του έδωσε την τιµή a... Το διάστηµα ± ε a, γύρο από την τιµή a, εντός του οποίου µε σιγουριά 00 % βρίσκεται η πραγµατική τιµή Α, ορίζεται ως εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος, (σελ. 5)... Πίσω από τη συµβολική παράσταση του αποτελέσµατος µέτρησης, Α a ± ε a, κρύβονται οι βασικές ανισότητες της Θεωρίας Σφαλµάτων: a ε a Α a ε a, (σελ. 5).. Στους αναλογικούς µετρητές το εγγυηµένα διάστηµα σφάλµατος δηλώνεται από την κατασκευάστρια εταιρεία, συνήθως σε κωδικοποιηµένη µορφή. Το «σφάλµα» αυτό επεκτείνεται σε όλη την κλίµακα του οργάνου, προκαλώντας µείωση της ακρίβειας (µεγάλο σχετικό σφάλµα) σε µικρές τιµές της κλίµακας, (σελ. ). Η εγγύηση διαρκεί έτη, µετά το πέρας των οποίων ο µετρητής πρέπει να διακριβωθεί εκ νέου... Στον αναλογικό µετρητή η ένδειξη στρογγυλοποιείται (ψηφιοποιείται, σηµειώνεται η κοντινότερη χαρακιά), µε βήµα ψ/, όπου ψ είναι η τιµή της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κλίµακάς του. Κλάσµατα µικρότερα της ψ/ δεν τα σηµειώνουµε στην τιµή. Η πρακτική αυτή δηµιουργεί το λεγόµενο σφάλµα ανάγνωσης, που δεν υπερβαίνει τα ψ/ (σελ. 9)... Στα αναλογικά όργανα, το άνω όριο του σφάλµατος οργάνου έχει συνιστώσες: το σφάλµα ανάγνωσης (ψ/) και το κύριο σφάλµα του µετρητή, ψ/ και αυτό. Όταν ο δείκτης δεν είναι πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς», στο εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος συµβάλουν το σφάλµα ανάγνωσης και το κύριο σφάλµα του οργάνου (Σχ. 3α): ε a ε κυρ ε αν ψ/ ψ/ ψ V V V Basc accurac % (α %) α 0,5ψ/Ζ ma U 39 ± (V) ε u ε κυρ ε αν ψ/ ψ/ ψ (α) Dv V ψ V U 47,0 ± 0,5 (V) ε κυρ ε αν ψ/ 0 ψ/ (β) Class (β %) β ψ/ζ ma U 49,5 ± 0,5 (V) ε u ε κυρ ε αν ψ/ 0 ψ/ (γ) Σχήµα 3. Σφάλµα του αναλογικού οργάνου και ανάγνωση της ένδειξης µε στρογγυλοποίηση.

3 Όταν, όµως, το σφάλµα ανάγνωσης είναι 0, δηλαδή ο δείκτης βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς» (ε αν 0, Σχ. 3β), ή στη µέση (Σχ. 3γ), όπου αδυνατούµε να επιλέξουµε την κοντινότερη χαρακιά, τότε στο εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος συµβάλει µόνο το κύριο σφάλµα του οργάνου: ε a ε κυρ 0 ψ/..3. Συνήθως, στην κλίµακα των αναλογικών µετρητών τηρείται ο όρος: ε οργ ε κυρ ε αν ψ/ ψ/ ψ. Στα όργανα όπου ε οργ ψ, το σφάλµα οργάνου προσδιορίζεται από το γινόµενο βζ ma (ε οργ βζ ma ), όπου β είναι η κατηγορία του οργάνου (Class β) και Ζ ma είναι η µέγιστη τιµή της κλίµακάς του. 3. Στα ψηφιακά όργανα το σφάλµα ανάγνωσης είναι µηδέν. Η ολίσθηση του µηδενός ελέγχεται (εξουδετερώνεται) ηλεκτρονικά, πριν από κάθε κύκλο µέτρησης που διαρκεί 0,33 s. Το κύριο σφάλµα ή το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του ψηφιακού οργάνου δηλώνεται στο συνοδευτικό βιβλιαράκι και συνήθως η δήλωση έχει τη µορφή: Accurac: γ (%) hr, όπου r είναι διακριτική ικανότητα (resoluto) της επιλεγµένης κλίµακας ή η µονάδα της τελευταίας δεκαδικής τάξης της παριστάµενης στην ψηφιακή οθόνη τιµής, ενώ το γινόµενο hr είναι το άνω όριο του υπολοίπου της αυτόµατης ρύθµισης του µηδενός. Το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του ψηφιακού οργάνου υπολογίζεται από τη σχέση: ε a aγ hr, όπου a είναι η ένδειξή του. Για παράδειγµα, σε µετρητή µε γ % και h 4, στην ένδειξη τάσης 9,36 V (εδώ r 0,0 V), το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος είναι ε a aγ hr 9,86 0,0 4 0,0 (V) 0,4 V. Σηµείωση. Όταν σηµειώνεται η µεταβολής της ένδειξης κατά a ( a a a ), το σφάλµα της µεταβολής είναι µικρότερο και υπολογίζεται από τη σχέση ε a γ a, το οποίο είναι απαλλαγµένο από τον όρο hr, καθώς ο όρος αυτός έχει ίδια τιµή και πρόσηµο στις τιµές. Στην περίπτωση αυτή το σφάλµα της διαφοράς των προσεγγιστικών µεγεθών, a και a, δεν το υπολογίζουµε µέσω πρόσθεσης των δύο σφαλµάτων, αλλά µέσω της αφαίρεσής τους (αλγεβρικός και όχι αριθµητικός κανόνας πρόσθεσης των σφαλµάτων): ε a (a γ hr) (a γ hr) γ a. Σηµείωση. Όταν οι µεταβολές της ένδειξης a είναι πολύ µικρές, δηλαδή το γινόµενο γ a είναι µικρότερο από τη διακριτική ικανότητα του οργάνου (γ a < r), το γινόµενο γ a αγνοείται και για εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος της µεταβολής a σηµειώνεται η τιµής της διακριτικής ικανότητας r (σελ. ): ε a r. 3

4 4. ιάδοση των σφαλµάτων σε µετρήσεις µε καλή επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων Έστω, ότι οι τιµές a και µετρήθηκαν άµεσα, µε σταθερές ενδείξεις των οργάνων και εγγυηµένα διαστήµατα σφαλµάτων ε a και ε, αντίστοιχα. Σε έµµεσες µετρήσεις, όπου οι τιµές και τα πρόσηµα των ακριβή σφαλµάτων a και είναι άγνωστα: 4.. Στην πρόσθεση και αφαίρεση δύο προσεγγιστικών αριθµών, u a ±, προκειµένου το διάστηµα σφάλµατος να είναι εγγυηµένο, τα εγγυηµένα διαστήµατα ε a και ε τα προσθέτουν αριθµητικά: ε u ε a ε, (σελ. 5). 4.. Στον πολλαπλασιασµό δύο προσεγγιστικών αριθµών, u a, το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος, ε u, υπολογίζεται από τη σχέση ε u a ε, (σελ. 30). ε a 4.3. Στη διαίρεση δύο προσεγγιστικών αριθµών, u a/, το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος, ε u, υπολογίζεται από τη σχέση ε u a ε ε a, (σελ. 6) Για τα σχετικά σφάλµατα, δ u, γινοµένου και διαίρεσης, ισχύει η σχέση δ u δ a δ, όπου εu εa ε δ u, δa και δ, (σελ. 3, 3). u a 5. Στη συνάρτηση f(,, 3, ) προσεγγιστικών µεταβλητών, που µετρήθηκαν άµεσα, µε εγγυηµένα διαστήµατα σφαλµάτων ε, το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος της f, ε f, υπολογίζεται από τη σχέση ε f f ε f ε f ε f 3 ε 3... f ε, (σελ. 9). 6. ιαφορική µέθοδος µέτρησης. Σε µικρές τιµές της κλίµακας του αναλογικού οργάνου, όπως, για παράδειγµα, z 0,Z ma, η ακρίβεια µέτρησης είναι µικρή, η οποία, όµως, σε διαφορικές µετρήσεις µπορεί να βελτιωθεί από,5 έως 4 φορές (σελ. 55). Στη διαφορική µέθοδο η βασική µέτρηση συµπληρώνεται µε µία βοηθητική, που είναι φορές µικρότερη. Έτσι, παρότι η ακρίβεια της βοηθητικής µέτρησης είναι ακόµη χαµηλότερη, στις διαφορές των τιµών τα σφάλµατα είναι µικρότερα, καθώς εδώ αποβάλλονται µερικά βασικά σφάλµατα των οργάνων. 4

5 7. Σε άµεσες µετρήσεις µε κακή επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων a (τυχαίες τιµές): 7.. Όλες οι µαθηµατικές σχέσεις που βλέπουµε στον εργαστηριακό οδηγό αναφέρονται για µεγάλο αριθµό µετρήσεων ( 00!), οι οποίες µπορούν να εφαρµοστούν και σε µικρές τιµές του (3 < < 0), αλλά τότε το σφάλµα της µέσης τιµής (τυπικό σφάλµα) έχει απροσδιόριστη (άγνωστη) πιθανότητα κάλυψης. 7.. Στις επαναλαµβανόµενες µετρήσεις η ανάγνωση της ένδειξης του αναλογικού οργάνου µπορεί να γίνει και δίχως στρογγυλοποίηση, σηµειώνοντας ακόµη και το κλάσµα της ψ/, (σελ ). 7.3 Σε έµµεσες µετρήσεις της, όπου η είναι συνάρτηση ανεξάρτητων τυχαίων µεταβλητών,, 3,.., που µετρήθηκαν άµεσα, µε τυπικά σφάλµατα σ, σ, σ 3,... σ, το τυπικό σφάλµα της υπολογίζεται από τη σχέση σ σ σ σ3... σ, 3 η οποία µπορεί να εφαρµοστεί για οποιαδήποτε συνάρτηση κατανοµής των σφαλµάτων. Όταν κάποια τυπικά σφάλµα είναι αλληλοεξαρτώµενα και συσχετισµένα µεταξύ τους, τότε η υπόριζη παράσταση πρέπει να συµπληρώνεται µε όρους τύπου rj σσ j, όπου r j είναι ο συντελεστής συσχέτισης των δύο εξαρτώµενων σφαλµάτων. j 7.4. Σε µικρές τιµές του (3 < < 0), το τυπικό σφάλµα σ µ, όπου ( a) a σ µ, ( ) για να αποκτήσει µία συγκεκριµένη πιθανότητα κάλυψης Ρ, πρέπει να πολλαπλασιαστεί στον κατάλληλο συντελεστή Studet (t,p, Πίνακας 5, σελ. 58) 7.4. Σε άµεσες µετρήσεις µε κακή επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων a, όπου σ οργ, στο σφάλµα οργάνου προστίθεται η αβεβαιότητα της µέσης τιµής (3σ µ ή t,p σ µ ) Για µεγάλα ( 00) και Ρ 99,7 %, το αποτέλεσµα µέτρησης το παρουσιάζουµε σε µορφή: Α ā ± (ε οργ 3σ µ ), Ρ %99,7 % Για µικρά (3 < < 0) και Ρ 99,7 %, το αποτέλεσµα µέτρησης το παρουσιάζουµε σε µορφή: Α ā ± (ε οργ t,p σ µ ), ( ), Ρ %99,7 %. 5

6 όπου t,p είναι ο συντελεστής Studet. Για 3 < < 0 και Ρ 99,73 %, ανάλογα µε την τιµή του, ο συντελεστής Studet βρίσκεται στο διάστηµα 4,8 9,, καθώς σύµφωνα µε τις τιµές του Πίνακα 5: 4,8 < t,p < 9, (σελ. 58). 8. Ενιαία (ίδια) πιθανότητα κάλυψης των τυπικών σφαλµάτων Σε έµµεση µέτρηση, όπου συµµετέχουν προσεγγιστικά µεγέθη µε διαφορετική πιθανότητα κάλυψης του σφάλµατος της µέσης τιµής (διαφορετικά cofdece level), πριν υπολογιστεί το σφάλµα της σχέσης, τα σφάλµατα πρέπει να αποκτήσουν ενιαία (ίδια) πιθανότητα κάλυψης (σελ. 49). 9. Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων σε συνάρτηση τύπου Α B 9.. Οι τιµές των παραµέτρων a και της βέλτιστης πειραµατικής ευθείας a υπολογίζονται όπως και στον εργαστηριακό οδηγό: a ( ) ( ( ) ) ( ), ( ) ( ) ( ). ( ) Σε πειράµατα όπου η διασπορά των τιµών είναι µηδέν (σ 0), ενώ σ 0, η κλίση της πραγµατικής ευθείας προσδιορίζεται από την κλίση της βέλτιστης πειραµατικής ευθείας ( a ), όπου στο σφάλµα της κλίσης συµβάλουν τα σφάλµατα των οργάνων, αλλά και η διασπορά των τιµών (η δ µ t,p ). Καθώς, όµως, ο σκοπός του πειράµατος είναι η µέτρηση της κλίσης της πραγµατικής ευθείας, ( Α B) το αποτέλεσµα µέτρησης (πειράµατος) σηµειώνεται σε µορφή: B ± ολικό, όπου ολ οργ τυχ. 9.. οργ και ολικό «σφάλµα» σε µετρήσεις µε δύο ψηφιακούς µετρητές Έστω, ότι οι τιµές και µετρήθηκαν άµεσα µε ψηφιακούς µετρητές, οι παράµετροι ακρίβειας των οποίων είναι Accurac : γ (%) h r, και Accurac : γ (%) h r. Σε µετρήσεις όπου οι τιµές των δεν υφίστανται διασπορά (σ 0), το σφάλµα οργ υπολογίζεται από τη σχέση οργ (γ γ ), όπου. Σε µετρήσεις όπου σ 0 (οι τιµές των παρουσιάζουν διασπορά), η κλίση υπολογίζεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, ενώ το ολικό σφάλµα στην κλίση υπολογίζεται από τη σχέση: d ο οργ τυχ οργ t, p δµ ( γ γ ) t, p ( ) ( ) λικο, όπου t,p είναι ο συντελεστής Studet και d a (σελ. 78). Σηµείωση. Καθώς ο όρος οργ εξαρτάται από το είδος των οργάνων, στις παραγράφους 9,3, 9,4, και 9,5, που ακολουθούν, δίνονται οι τύποι (σχέσεις) υπολογισµού των οργ και 6

7 ολικο και σε άλλους συνδυασµούς τύπων µετρητών: αναλογικός-αναλογικός, ψηφιακόςαναλογικός κ.ο.κ οργ σε µετρήσεις µε δύο αναλογικούς µετρητές. Περίπτωση σ 0 οργ ± ( γ * γ * δ ψ αν δαν ψ ) ± ± ( ) ( ) ( ) (,(σελ. 80). ) Σε µετρήσεις όπου στις τιµές των το σφάλµα ανάγνωσης σηµειώνεται ως 0,ψ (ο δείκτης ρυθµίζεται να βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς»), το σφάλµα στην κλίση µειώνεται και είναι οργ ± ( γ * γ * δ ψ αν δαν 0,ψ ) ± ± ( ) ( ) ( ) ( ), Σε µετρήσεις όπου σ 0 (οι τιµές των παρουσιάζουν διασπορά), η κλίση υπολογίζεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, ενώ το ολικό σφάλµα στην κλίση υπολογίζεται από τη σχέση: ολ οργ τυχ, όπου τυχ t,p δ µ t,p (Ρ 99,7 %,) Σε αυτόν το συνδυασµό οργάνων, το οργ είναι απαλλαγµένο: από το κύριο σφάλµα του µετρητή των, από το κύριο σφάλµα του µετρητή των οργ σε µετρήσεις µε ψηφιακό µετρητή των και αναλογικό των. Περίπτωση σ 0 * δ αν ψ ± ( γ γ ) ± γ ± γ, (σελ. 88). Σε µετρήσεις όπου στις τιµές των το σφάλµα ανάγνωσης σηµειώνεται ως 0,ψ (ο δείκτης ρυθµίζεται να βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς»), το σφάλµα στην κλίση µειώνεται και είναι ± ( γ γ * ) ± γ δαν ± γ 0,ψ, όπου. Σε µετρήσεις όπου σ 0, η κλίση υπολογίζεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, ενώ το ολικό σφάλµα στην κλίση υπολογίζεται από τη σχέση: ολ οργ τυχ, όπου τυχ t,p δ µ t,p. (Ρ 99,7 %,) Σε αυτόν το συνδυασµό οργάνων, το οργ είναι απαλλαγµένο: από το σταθερό όρο h r του ψηφιακού µετρητή των, από το κύριο σφάλµα του αναλογικού µετρητή των οργ σε µετρήσεις µε αναλογικό µετρητή των και ψηφιακό των. Περίπτωση σ 0 οργ ± ( γ γ * ) ± γ δαν ± γ δαν ± γ ψ, (σελ. 9) 7

8 Σηµείωση. Σε µετρήσεις όπου στις τιµές των το σφάλµα ανάγνωσης σηµειώνεται ως 0,ψ (ο δείκτης ρυθµίζεται να βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς»), το σφάλµα στην κλίση µειώνεται και είναι οργ ± γ 0,ψ, όπου. Σε µετρήσεις όπου σ 0, η κλίση υπολογίζεται µε τη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, ενώ το ολικό σφάλµα στην κλίση υπολογίζεται από τη σχέση: ολ οργ τυχ, όπου τυχ t,p δ µ t,p. (Ρ 99,7 %,) Σε αυτόν το συνδυασµό οργάνων, το οργ είναι απαλλαγµένο: από το σταθερό όρο h r του ψηφιακού µετρητή των, από το κύριο σφάλµα του αναλογικού µετρητή των. 0. Μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων σε συνάρτηση τύπου B. Μετρητές ψηφιακοί Έστω, ότι οι τιµές και µετρήθηκαν άµεσα µε ψηφιακούς µετρητές, οι παράµετροι ακρίβειας των οποίων είναι Accurac : γ (%) h r και Accurac : γ (%) h r. Σε µετρήσεις µε σ 0 και σ 0, η κλίση της βέλτιστης πειραµατικής ευθείας,, υπολογίζεται από τη σχέση, (σελ. 95), ενώ το ολικό σφάλµα, ολ, στην κλίση της πραγµατικής ευθείας ( Β) υπολογίζεται από τον τύπο d ολ οργ τυχ ( γ γ ) t, p, ( τυχ t p, δ µ, Ρ %99,7 %) ( ) όπου γ και γ είναι τα ποσοστιαία σφάλµατα των ψηφιακών οργάνων, ενώ τα d υπολογίζονται από τις διαφορές: d (σελ. 00). Το δε αποτέλεσµα µέτρησης της κλίσης της πραγµατικής ευθείας το σηµειώνουµε σε µορφή: Β ± ολ, όπου ολ οργ τυχ. Σε αυτόν το συνδυασµό οργάνων, το οργ είναι απαλλαγµένο: από το σταθερό όρο h r του ψηφιακού µετρητή των, από το σταθερό όρο h r του ψηφιακού µετρητή των. Γενική οδηγία Στα πειράµατα όπου το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του µετρητή 3,5 ψηφίων δεν αναφέρεται, θεωρήστε ότι είναι Accurac: % 4r (γ 0,0, h 4, r - resoluto). 8

9 . Σκοπός των σηµειώσεων Το παρόν δεν πρέπει να εκλαµβάνεται ως υποκατάστατο του εργαστηριακού οδηγού, όπου παρουσιάζονται οι πρώτες βασικές έννοιες της Θεωρίας Σφαλµάτων, όπως και ο τρόπος επεξεργασίας και παρουσίασης των πειραµατικών αποτελεσµάτων. Όλα όσα αναφέρονται στον οδηγό πρέπει να εµπεδώνονται µε κάθε τρόπο. Ωστόσο είναι εύκολο να προσέξει κανείς ότι στον εργαστηριακό οδηγό η ανάλυση του σφάλµατος µέτρησης εστιάζεται κυρίως στον τυχαίο όρο, τυχ, της βασικής σχέσης της Μετρολογίας, ολικο οργανου τυχαιο, ο οποίος υπολογίζεται γενικά σε προσέγγιση ιδανικών µετρητών. Η προσέγγιση αυτή είναι επαρκής και χρήσιµη µόνο για πρώτη επαφή µε τις βασικές αρχές της Θεωρίας Σφαλµάτων. Όταν, όµως, η ανάλυση των πειραµατικών αποτελεσµάτων σταµατά εδώ, τότε η προσέγγιση αυτή κρίνεται λίαν ανεπαρκής, καθώς στα εκπαιδευτικά και ερευνητικά εργαστήρια οι µετρητές δεν είναι ιδανικοί. Το γεγονός αυτό δηµιουργεί µεγάλα κενά στη µαθηµατική επεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων, που σε ορισµένες Ασκήσεις κάνουν την πειραµατική διαδικασία παράλογη ή ακόµη και δίχως νόηµα, ενώ σε άλλες περιπτώσεις οδηγούν σε µεγάλη υποεκτίµηση (υπερεκτίµηση) του σφάλµατος µέτρησης. Γενικότερα, στην Πειραµατική Φυσική καθιερώθηκε και επικρατεί η εξής πρακτική: Ενώ είναι επιτρεπτή η ελαφρά υπερεκτίµηση του σφάλµατος µέτρησης, καµία πράξη η ενέργεια δεν είναι επιτρεπτή όταν αυτή επιφέρει την υποεκτίµησή του. Με άλλα λόγια, ενώ η υπερεκτίµηση του σφάλµατος µπορεί να γίνεται έως και 0-0 %, η υποεκτίµησή του δεν πρέπει να γίνεται ούτε κατά %! Εν τω µεταξύ, στις εργαστηριακές εκθέσεις των φοιτητών, στις απλές µετρήσεις το σφάλµα υποεκτιµάται συχνά ακόµη και δεκάδες φορές (!). Αλλά και στις επαναλαµβανόµενες µετρήσεις, όπου ο αριθµός των µετρήσεων είναι µικρός (3 < < 0), ο όρος τυχ υποεκτιµάται %, όταν στους υπολογισµούς δε λαµβάνονται υπόψη οι συντελεστές Studet, που παραλείπονται στον εργαστηριακό οδηγό. Σηµειώνουµε, ότι η υποεκτίµηση του σφάλµατος κατά 00 ή 300 % αξιολογείται ως σοβαρή ανεπάρκεια του ερευνητή, ενώ η υποεκτίµηση πάνω από 000 % (0 φορές) κατατάσσει το πείραµα σε ανώτερη κλάση πειραµάτων, γεγονός που εγείρει ζήτηµα ηθικής καθώς αγγίζει τα όρια της απάτης. Στην κάλυψη των κενών του οδηγού που δηµιουργούν παρόµοιες καταστάσεις αποσκοπούν αυτές οι σηµειώσεις... Βασική αρχή της Μετρολογίας και ο τρόπος πρόσθεσης των σφαλµάτων Γενικά, το αποτέλεσµα µίας µέτρησης µπορεί να είναι ή ένας ακριβής αριθµός, όπως για παράδειγµα είναι ο αριθµός σελίδων ενός βιβλίου ή, όταν γίνεται χρήση µετρητικών οργάνων, ένας προσεγγιστικός αριθµός, η ακρίβεια του οποίου πρέπει να προσδιοριστεί. Στην πιο απλή περίπτωση άµεσης µέτρησης οι πηγές του σφάλµατος είναι : το σφάλµα του οργάνου, οργ, και το τυχαίο σφάλµα της µέσης τιµής, τυχ, όταν η επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων είναι κακή. Στη Μετρολογία δεν διαµορφώθηκε ακόµη µία θεµελιωµένη και κοινά αποδεκτή προσέγγιση για τον τρόπο πρόσθεσης των σφαλµάτων. Στην πράξη, όµως, καθιερώθηκε: η πρόσθεση των τυχαίων σφαλµάτων να γίνεται γεωµετρικά : ολ, τα συστηµατικά σφάλµατα και τα σφάλµατα των οργάνων να τα προσθέτουν αριθµητικά, όταν τα πρόσηµά τους είναι άγνωστα ολ, 9

10 τα συστηµατικά σφάλµατα και τα σφάλµατα των οργάνων να τα προσθέτουν αλγεβρικά, όταν είναι γνωστά τα πρόσηµά τους: ολ, τα συστηµατικά σφάλµατα και τα σφάλµατα των οργάνων να τα προσθέτουν γεωµετρικά, όταν ο αριθµός τους είναι µεγάλος ( > 6). η πρόσθεση των τυχαίων σφαλµάτων να γίνεται αλγεβρικά, ολ ±, όταν αυτά είναι έντονα συσχετισµένα µεταξύ τους (γραµµική συσχέτιση), µε συντελεστή συσχέτισης k ±, καθώς στα συσχετισµένα τυχαία σφάλµατα το ολικό σφάλµα ορίζεται από τη σχέση ολ k. Η πρόσθεση, όµως, των όρων οργ και τυχ είναι ένα ξεχωριστό και λεπτό ζήτηµα, καθώς οι όροι αυτοί ανήκουν σε δύο διαφορετικές κατηγορίες σφαλµάτων. Έχουν διαφορετικό ορισµό, διαφορετικό περιεχόµενο και διαφέρουν ποιοτικά, αλλά και οι µέθοδοι µείωσής τους διαφέρουν ριζικά. Με την έννοια αυτή οι όροι οργ και τυχ δεν είναι όµοιοι και για το λόγο αυτό δεν µπορούν να προστεθούν ως έχουν. Η παρατήρηση αυτή αφορά και τα τετράγωνά τους. Παρά ταύτα, στον οδηγό όπως και σε πολλά εργαστηριακά εγχειρίδια των πανεπιστηµίων προτείνεται η πρόσθεση αυτών των σφαλµάτων να γίνεται γεωµετρικά, δηλαδή το ολικό σφάλµα να υπολογίζεται από τη σχέση ( ολ ) ( οργ ) ( τυχ ). υστυχώς, η πρόταση αυτή εφαρµόζεται συχνά, πλην όµως δεν είναι ορθή, καθώς στα διακριβωµένα όργανα ο όρος οργ ουσιαστικά παριστάνει ένα διάστηµα εµπιστοσύνης (cofdece terval) µε πολύ υψηλό επίπεδο εµπιστοσύνης (cofdece level), της τάξης του 00 %, ενώ ο όρος τυχ, ακόµη και σε µετρήσεις µε µεγάλες τιµές του ( 00) καλύπτεται συνήθως µε πιθανότητα 68,3 %. Σε µετρήσεις µε µικρά (3 < < 0) ή πιθανότητα κάλυψης είναι ακόµη µικρότερη, αλλά και απροσδιόριστη. Το λάθος της πρότασης σχετίζεται µε το γεγονός, ότι διαστήµατα εµπιστοσύνης µε διαφορετική πιθανότητα κάλυψης δεν είναι ανόµοια µεγέθη και, εποµένως, τα µεγέθη αυτά δεν µπορούν να συγκριθούν ή να προστεθούν. Για παράδειγµα, σε δύο µετρήσεις του ιδίου µεγέθους Α: και Α 3,36 ± 0,04, ( 00), P 68,3 % (διάστηµα εµπιστοσύνης σ µ ), Α 3,37 ± 0,06, ( 00), P 95,5 % (διάστηµα εµπιστοσύνης σ µ ), τα διαστήµατα ± 0,04 και ± 0,06 είναι αδύνατο να συγκριθούν, καθώς έχουν διαφορετική πιθανότητα κάλυψης. Όµοιο πρόβληµα δηµιουργείται και στο σφάλµα του αθροίσµατος των Α και Α, καθώς και εδώ αδυνατούµε να ορίσουµε ένα επίπεδο εµπιστοσύνης του αθροίσµατος των δύο σφαλµάτων. Για να είναι η σύγκρισή των σφαλµάτων δυνατή, τα διαστήµατα σφαλµάτων (εµπιστοσύνης) πρέπει να έχουν (αποκτήσουν) ίδια πιθανότητα κάλυψης, διπλασιάζοντας, για παράδειγµα, στη πρώτη µέτρηση το διάστηµα ± 0,04, που καλύπτεται µε πιθανότητα 68,3 %. 0

11 Με το διπλασιασµό αυτό, το νέο διάστηµα ± 0,08 αποκτά πιθανότητα κάλυψης 95,5 %, γεγονός που επιτρέπει οι δύο µετρήσεις να σηµειωθούν σε µορφή και Α 3,36 ± 0,08, ( 00), P 95,5 % (διάστηµα εµπιστοσύνης σ µ ) Α 3,37 ± 0,06, ( 00), P 95,5 %, (διάστηµα εµπιστοσύνης σ µ ), η οποία επιτρέπει τώρα τη σύγκριση των δύο διαστηµάτων εµπιστοσύνης (σφαλµάτων). Αµέσως συµπεραίνουµε ότι στη δεύτερη µέτρηση το τυχαίο σφάλµα (αβεβαιότητα της µέσης τιµής) είναι µικρότερο και εποµένως η µέτρηση αυτή είναι καλύτερη! Αλλά και το γεωµετρικό άθροισµα των δύο τυχαίων σφαλµάτων, που είναι ± 0,, αποκτά τώρα µία συγκεκριµένη πιθανότητα κάλυψης 95,5 %. Από το παράδειγµα αυτό βλέπουµε, ότι δύο διαστήµατα εµπιστοσύνης µπορούν να συγκριθούν ή να προστεθούν µόνο όταν αυτά έχουν ίδια πιθανότητα κάλυψης, καθώς να συγκρίνουµε ή να προσθέτουµε µπορούµε µόνο όµοια µεγέθη: τις µάζες µε τις µάζες, τις πιέσεις µε τις πιέσεις, τις θερµοκρασίες µε τις θερµοκρασίες κ.ο.κ. Ως προς την πιθανότητα κάλυψης του αθροίσµατος των όρων, στο βαθµό που έχουν ίδια πιθανότητα κάλυψης, η πιθανότητα αυτή επεκτείνεται και στο άθροισµά τους. Γενικότερα, στη σχέση για το τυπικό σφάλµα της συνάρτησης f(,, z,..) πολλών τυχαίων µεταβλητών: f f f σ µf σ µ σ µ σ µz..., z που χρησιµοποιείται πολύ συχνά, τα µεγέθη σ µ, σ µ, σ µz, όταν αυτά παριστάνουν διαστήµατα εµπιστοσύνης (cofdece terval), πρέπει να έχουν ίδια πιθανότητα κάλυψης, δηλαδή ή όλα να έχουν πιθανότητα κάλυψης 68,3 % (cofdece level 68,3 %) ή όλα να έχουν πιθανότητα κάλυψης 95,5% (cofdece level 95,5 %) ή όλα να έχουν πιθανότητα κάλυψης 99,73 % (cofdece level 99,73 %). Σε περίπτωση που τα µεγέθη σ µ, σ µ, σ µz καλύπτονται µε διαφορετική πιθανότητα κάλυψης, οι όροι κάτω από τη ρίζα είναι αδύνατο να προστεθούν. Σηµειώνουµε, ότι η πρόσθεση των όρων είναι δυνατή στις διασπορές (µέσο τετράγωνο των αποκλίσεων) των ανεξάρτητων τυχαίων τιµών, για παράδειγµα σ και σ, ανεξάρτητα από το είδος της συνάρτησης κατανοµής των σφαλµάτων στα και, δηλαδή ισχύει: (σ ολικο ) σ σ ( ), όπου ( ) σ και ( ) σ. ( ) Η ιδιότητα αυτή συνιστά πλεονέκτηµα των διασπορών, έναντι των διαστηµάτων εµπιστοσύνης, τα οποία τα προσθέτουµε µόνο όταν αυτά έχουν ίδια πιθανότητα κάλυψης. Τονίζουµε, ότι η πιθανότητα κάλυψης αθροίσµατος δύο τυχαίων όρων, σ και σ, δεν είναι ίση µε το άθροισµα των πιθανοτήτων κάλυψης αυτών των όρων: Ρ(σ σ ) Ρ(σ ) Ρ(σ ), γεγονός που κάνει αδύνατη την πρόσθεση των όρων σ και σ ως έχουν, όταν Ρ(σ ) Ρ(σ ). Η ιδιότητα αυτή συνιστά µειονέκτηµα των διαστηµάτων εµπιστοσύνης, έναντι των διασπορών σ (µέσων τετραγώνων).

12 Παρά ταύτα, τους όρους οργ και τυχ µπορεί κανείς να τους προσθέσει, εφόσον πρώτα ο όρος τυχ αποκτήσει υψηλό επίπεδο εµπιστοσύνης, της τάξης 99,73 %, όµοιο µε αυτό του οργάνου, που είναι 00 % (βλ. Σχ. 4). Θυµίζουµε, ότι σε µετρήσεις µε µεγάλα ( 00), το µέγεθος τυχ 3σ µ καλύπτεται µε πιθανότητα 99,73 %. ā ± οργ ±[ οργ τυχ ] Γκαουσιανή των µέσων όρων a k, µε παράµετρο κατανοµής σ µ, (βλ. Πίνακα ) σελ σ μ 3σ µ 4σ μ Σχ.4. Πρόσθεση των σφαλµάτων οργ και τυχ. Ως προς την πιθανότητα κάλυψης του αθροίσµατος οργ τυχ, η τιµή της βρίσκεται στο διάστηµα 99,73-00 %, ωστόσο πιο κοντά στο 00 % όταν οργ >> τυχ, ενώ είναι πιο κοντά στο 99,73 % όταν τηρείται ο όρος τυχ >> οργ. Γενικότερα όµως, για την πιθανότητα κάλυψης του αθροίσµατος οργ τυχ ισχύουν οι ανισότητες: 99,73 < Ρ < 00 % ή, ισοδύναµα, η ανισότητα Ρ %99,73 %. Σηµείωση. Στις τυχαίες τιµές που υπακούουν στην κανονική κατανοµή, εδώ και παντού, µε τον όρο «διασπορά» εννοούµε το αγγλικό dsperso, δηλαδή το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης σ 0, το σ 0. Επίσης, µε τον όρο «µέση διασπορά ή παράγον διασποράς», εννοούµε την τυπική απόκλιση σ των τυχαίων αποτελεσµάτων a. Τέλος, κύρια επιδίωξη των σηµειώσεων αυτών είναι να δοθεί η δέουσα προσοχή και βαρύτητα και στον όρο οργ, της βασικής αρχής της Μετρολογίας, καθώς στις µετρήσεις η µεγαλύτερη συνιστώσα του σφάλµατος «µπάζει» από τη συνιστώσα αυτή, η οποία παραλείπεται σε µεγάλο βαθµό στα εργαστηριακά εγχειρίδια. Η παράλειψη αυτή συχνά οδηγεί σε υποεκτίµηση του σφάλµατος µέτρησης ακόµη και δεκάδες φορές, ενώ η υποεκτίµηση αυτή δεν πρέπει να γίνεται ούτε κατά %! Αλλά ας επιστρέψουµε στο σφάλµα, µε την ευρεία έννοια αυτού του όρου... Βασική αρχή της Μετρολογίας σε διάφορες πειραµατικές καταστάσεις Στην πειραµατική πρακτική, τα σφάλµατα τα κατατάσσουν σε 3 µεγάλες κατηγορίες: τα σφάλµατα µαθηµατικής προέλευσης, τα σφάλµατα των µετρητικών οργάνων, τα σφάλµατα των τυχαίων τιµών. Στο µεγάλο σύνολο των διαφόρων µετρήσεων, η πιο απλή µέτρηση είναι η άµεση µέτρηση του ενδιαφερόµενου µεγέθους, όπου στην επεξεργασία των πειραµατικών αποτελεσµάτων προβάλουν δύο σπουδαία µεγέθη:

13 το σφάλµα οργάνου, οργ, όπως και η τυπική απόκλιση, σ, όταν η επαναληψιµότητα των αποτελεσµάτων µέτρησης a είναι κακή. Ανάλογα µε τις πειραµατικές συνθήκες, ως προς τα µεγέθη αυτά στην πειραµατική πρακτική απαντώνται 3 χαρακτηριστικές καταστάσεις:. σ >> οργ (έντονες τυχαίες διακυµάνσεις της ένδειξης του οργάνου, ολ τυχ ). οργ >> σ (σταθερή ένδειξη του οργάνου, δίχως τυχαίες διακυµάνσεις, ολ οργ ) 3. οργ σ (διακυµάνσεις της ένδειξης περίπου όσο και το σφάλµα οργάνου, ολ οργ τυχ ) Σηµειώνουµε, ότι στον εργαστηριακό οδηγό µε µεγάλη σχολαστικότητα εξετάζεται η κατάσταση, ακροθιγώς η κατάσταση και καθόλου η κατάσταση 3, παρότι στις ασκήσεις των φοιτητών το 90 % των µετρήσεων γίνονται σε κατάσταση. Επίσης, στα εργαστηριακά εγχειρίδια η προσήλωση και ενασχόληση µε τα τυχαία σφάλµατα είναι τόσο µεγάλη, που στους σπουδαστές σιγά σιγά εδραιώνεται η πεποίθηση ότι µία µέτρηση είναι ολοκληρωµένη µόνο όταν αυτή διεξάγεται φορές, υπολογίζεται η µέση τιµή, το σφάλµα της µέσης τιµής κ.λπ. Η πρακτική αυτή αφήνει µετέωρο το γεγονός ότι ακόµη και σε αυτές τις µετρήσεις το σφάλµα οργάνου (στον οδηγό αναφέρεται ως συστηµατικό) δεν είναι αµελητέο. Παραβλέπεται επίσης και το γεγονός ότι στην εργαστηριακή πρακτική των εκπαιδευτικών εργαστηρίων το µεγαλύτερο µέρος των µετρήσεων ανήκουν στην κατηγορία των απλών µετρήσεων, όπου η µέτρηση γίνεται µόνο µία φορά, ενώ το σφάλµα της άµεσης αυτής µέτρησης εξάγεται από το σφάλµα του οργάνου, το οποίο είναι πάντα παρόν σε κάθε µέτρηση! Είναι όµως σκόπιµο να δούµε τα κενά του οδηγού στη σωστή τους σειρά, καθώς τα περισσότερα κενά παρατηρούνται όταν εξετάζεται η κατάσταση ( οργ >> σ)..3. Μερικά κενά του εργαστηριακού οδηγού Κατάσταση. ( οργ >> σ, σταθερή ένδειξη του οργάνου, δίχως τυχαίες διακυµάνσεις) Όταν εξετάζεται η κατάσταση ( οργ >> σ), το πρώτο σοβαρό κενό εντοπίζεται στην ενότητα: «προσεγγιστικοί αριθµοί, εν γένει σφάλµα απλής µέτρησης, γενικώς», δηλαδή στο χειρισµό των προσεγγιστικών αριθµών ανεξάρτητα από την προέλευσή τους (πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασµός, διαίρεση κ.α, όπως επίσης και στον ορισµό του σφάλµατος της άµεσης απλής µέτρησης, όπου προβάλει το σφάλµα του οργάνου. Το σφάλµα αυτό αναφέρεται και στον εργαστηριακό οδηγό, αλλά πολύ σύντοµα, «βυθισµένο» και ενσωµατωµένο στο συστηµατικό σφάλµα κ.λπ, που ωστόσο θεωρείται γενικώς και αορίστως απαλείψιµο. Μάλλον αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο όλο το βάρος της ανάλυσης πέφτει στο τυχαίο σφάλµα, που έχει ασφαλώς τη σηµασία του, ωστόσο όταν οι µετρήσεις γίνονται σε κατάσταση. Σηµειώνουµε ότι στη βάση της θεωρίας τυχαίων τιµών, οι τιµές θεωρούνται απόλυτα ακριβείς, δηλαδή ελήφθησαν µε όργανο που έχει µηδενικό σφάλµα! Αυτό που θέλουµε να τονίσουµε εδώ είναι η ανάγκη, η ανάλυση του σφάλµατος να µην σταµατά στο τυχαίο, που γίνεται σε προσέγγιση ιδανικών οργάνων, αλλά ακολουθώντας τη βασική αρχή της Μετρολογίας, στο τυχαίο σφάλµα να προστίθεται ο όρος που οφείλεται στο σφάλµα του οργάνου, ο οποίος πολλές φορές είναι πολύ µεγαλύτερος! Το δεύτερο σοβαρό κενό εντοπίζεται στο γενικό ορισµό του σφάλµατος οποιασδήποτε προσεγγιστικής τιµής, τον οποίο µπορεί να αναζητήσει κανείς στα εισαγωγικά κεφαλαία των Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών. ίχως το µέρος αυτό η µαθηµατική επεξεργασία των πειραµατικών δεδοµένων εµφανίζεται φτωχή, ασαφής και µε µεγάλα κενά. 3

14 Ο γενικός ορισµός του σφάλµατος χρησιµεύει στην ανάλυση του σφάλµατος των αριθµών µαθηµατικής προέλευσης, αλλά και των προσεγγιστικών αριθµών εν γένει. Χρησιµεύει, επίσης, στην ανάλυση και επεξεργασία του σφάλµατος που προκαλούν τα όργανα, εποµένως και του σφάλµατος της απλής µέτρησης, η οποία δεν πρέπει να υποτιµάται, καθώς βρίσκεται στη βάση της κάθε µετρητικής διαδικασίας. Το τρίτο σοβαρό κενό εντοπίζεται στην ανάλυση του σφάλµατος της µέσης τιµής (είναι σωστότερα να αποκαλείται αβεβαιότητα της µέσης τιµής, καθώς φέρει πιθανολογικό χαρακτήρα), όπου όλες οι σχετικές µαθηµατικές σχέσεις για το τυχαίο «σφάλµα» αναφέρονται για µεγάλο αριθµό µετρήσεων ( 00), ενώ όταν το είναι µικρό (3 < < 0), πρέπει οπωσδήποτε να λαµβάνονται υπόψη οι συντελεστές Studet, οι οποίοι παραλείπονται στον εργαστηριακό οδηγό. Όπως θα δούµε πιο κάτω, δίχως τους συντελεστές αυτούς το τυπικό σφάλµα έχει απροσδιόριστη πιθανότητα κάλυψης και, επίσης, υποεκτιµάται πάνω από 300 %. Το τέταρτο κενό εντοπίζεται στον προσδιορισµό του αριθµού των µετρήσεων. Στον οδηγό, το ζήτηµα αυτό δεν εξετάζεται, οπότε ο αριθµός των µετρήσεων στις Ασκήσεις εµφανίζεται να είναι αυθαίρετος, ενώ αυτός εξαρτάται άµεσα από το σφάλµα του οργάνου. Αλλά ακόµη και στη µέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, που εφαρµόζεται πολύ συχνά, δεν λαµβάνονται υπόψη τα σφάλµατα των οργάνων, που δηµιουργούν σφάλµα µέτρησης πολύ µεγαλύτερο από αυτό που δηµιουργεί η διασπορά των πειραµατικών αποτελεσµάτων. Το πέµπτο κενό εντοπίζεται στη µη επισήµανση του εγγυηµένου χαρακτήρα της τιµής που αναφέρεται η δηλώνεται ως «σφάλµα» µέτρησης. Με άλλα λόγια: η δηλωθείσα τιµή του σφάλµατος πρέπει να είναι εγγυηµένη. Ο ερευνητής πρέπει να εγγυάται ότι το σφάλµα της µέτρησής του είναι σίγουρα µικρότερο από τη δηλωθείσα τιµή, καθώς στις µετρήσεις µε όργανα η πραγµατική (ακριβής) τιµή του σφάλµατος είναι πάντα άγνωστη. Το έκτο κενό εντοπίζεται στην παράληψη και µη ενασχόληση µε την οµαλή κατανοµή των σφαλµάτων και την κατανοµή κατά Posso, οι οποίες στην πειραµατική πρακτική απαντώνται εξίσου συχνά µε την κανονική κατανοµή. 4

15 . Γενικός ορισµός του σφάλµατος Ο ορισµός αυτός αφορά άµεσα το σφάλµα οποιασδήποτε προσεγγιστικής τιµής, τα σφάλµατα των οργάνων, τα σφάλµατα µαθηµατικής προέλευσης, όπως και τα σφάλµατα των έµµεσων µετρήσεων, όπου γίνεται µαθηµατική επεξεργασία των προσεγγιστικών τιµών που ελήφθησαν σε άµεσες µετρήσεις σε συνθήκες µηδενικής (αµελητέας) διασποράς των αποτελεσµάτων. Τονίζουµε, ότι η µαθηµατική επεξεργασία αυτών των σφαλµάτων, καθώς είναι εγγυηµένα, γίνεται µε τρόπο διάφορο από την επεξεργασία των τυχαίων! Καταρχάς, σε συνθήκες κακής επαναληψιµότητας των αποτελεσµάτων µέτρησης, για να είναι η ανάλυση του σφάλµατος σχετικά πλήρης, πρέπει να προσδιοριστούν οι όροι της σχέσης: ολικό οργ τυχ, (σε µεγάλα : τυχ 3σ µ ), Ρ %99,7 %, όπου οι όροι, οργ και τυχ, καθώς έχουν διαφορετικό ορισµό και φύση, προσδιορίζονται χωριστά, θεωρώντας τον άλλο µηδέν. Ο γενικός ορισµός του σφάλµατος αφορά άµεσα τον πρώτο όρο ( οργ ), ωστόσο αφορά έµµεσα και τις τυχαίες τιµές, όπου το µέρος του ολικού σφάλµατος που εξαρτάται από το σφάλµα του οργάνου προσδιορίζεται σε προσέγγιση µηδενικής διασποράς των αποτελεσµάτων µέτρησης. Την κάλυψη των κενών του οδηγού είναι σκόπιµα να αρχίσουµε από το γενικό ορισµό του σφάλµατος, όπως αυτό ορίζεται στα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά και Πειραµατική Φυσική. Ο σωστός ορισµός του σφάλµατος είναι ο ακόλουθος. Έστω, ότι η πραγµατική τιµή κάποιου αµετάβλητου στο χρόνο µεγέθους είναι Α, ενώ ο υπολογισµός ή η µέτρησή του έδωσε την τιµή a. Με τη λέξη σφάλµα, πάντα εννοούµε το σφάλµα το ακριβές, δηλαδή τη διαφορά a a Α, () η οποία, µε ελάχιστες εξαιρέσεις, είναι συνήθως άγνωστη, όπως άγνωστο είναι και το πρόσηµό της. Καθώς το πρόσηµο της διαφοράς () είναι άγνωστο, προτιµάται, το ακριβές σφάλµα να σηµειώνεται ως a a Α, () το οποίο για προφανείς λόγους έχει µόνο θεωρητική και βοηθητική αξία. Στις εφαρµογές όµως, (Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, Πειραµατική Φυσική) αντί του ακριβούς σφάλµατος (), γίνεται χρήση αλλού µεγέθους, που είναι «ελαφρώς» µεγαλύτερο. Έτσι, εισάγεται ή δηλώνεται (από τον ερευνητή ή την κατασκευάστρια εταιρεία του µετρητικού οργάνου) ένας θετικός αριθµός, ε a, µε ένα ή, το πολύ, µε δύο σηµαντικά ψηφία (πρόκειται για σύµβαση), όσο γίνεται µικρότερος, που ωστόσο είναι πάντα λίγο µεγαλύτερος «ελαφρώς» από το σφάλµα το ακριβές, προκειµένου µε σιγουριά 00 % η περιοχή a ± ε a να περιλαµβάνει το σφάλµα το ακριβές: a a Α ε a. (3) Στη σχέση (3), η ισότητα αναφέρεται σε εκείνες τις λίγες περιπτώσεις όπου η ακριβής τιµή Α είναι γνωστή. Τον τρόπο µε τον οποίο εισάγεται ή ορίζεται ο θετικός αριθµός ε a θα δούµε λίγο πιο κάτω. Στο σηµείο αυτό είναι σκόπιµο να εξετάσουµε πρώτα την εικόνα που βλέπουµε στο Σχ.5, όπου σε παραστατική µορφή παρουσιάζονται τα 4 βασικά µεγέθη και έννοιες της Θεωρίας Σφαλµάτων: η πραγµατική τιµή Α, η προσεγγιστική τιµή a, το ακριβές σφάλµα a και το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος ε a, που τελικά δηλώνουµε στις µετρήσεις. 5

16 Στο Σχ.5, η περιοχή ± ε a, γύρω από το αποτέλεσµα µέτρησης a ορίζεται ως περιοχή εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος, καθώς αυτή µε σιγουριά 00 % περιλαµβάνει το σφάλµα το ακριβές. Αποτέλεσµα µέτρησης: a Περιοχή εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος: ± ε a Σφάλµα ή ακριβές σφάλµα a a Α: πραγµατική τιµή ε a : διάστηµα που δηλώνουµε στις µετρήσεις Τιµές a 0 a ε a a ε a Σχήµα 5. Γενικός ορισµός του σφάλµατος. Από τον ορισµό της ε a (ανισότητα (3)), για την πραγµατική τιµή Α προκύπτουν οι ανισότητες a ε a Α a ε a, (4) η οποίες είναι βασικές στη Θεωρία Σφαλµάτων. Σύµφωνα µε τις ανισότητες (4), η πραγµατική τιµή Α βρίσκεται «κάπου» εντός του διαστήµατος a ± ε a, ωστόσο η ακριβής της θέση παραµένει άγνωστη. Στην Πειραµατική Φυσική το αποτέλεσµα µέτρησης συνηθίζεται να σηµειώνεται ως Α a ± ε a, (5) εννοώντας µε τη συµβολική αυτή παράσταση (εδώ το σύµβολο της ισότητας χρησιµοποιείται καταχρηστικά) ότι η πραγµατική τιµή Α βρίσκεται «κάπου» εντός του διαστήµατος a ± ε a. Ωστόσο πρέπει πάντα να θυµόµαστε ότι πίσω από την παράσταση (5) βρίσκονται οι βασικές ανισότητες (4). Αυτός είναι ο σωστός ορισµός του σφάλµατος. Ο ορισµός αυτός αναφέρεται και στον εργαστηριακό οδηγό, πλην όµως στη συνέχεια δε χρησιµοποιείται. Άλλον ή δευτερο ορισµό το σφάλµα δεν έχει, καθώς το σφάλµα της µέσης τιµής αναφέρεται σε άλλες καταστάσεις και είναι σωστότερα να αποκαλείται αβεβαιότητα (ucertat) της µέσης τιµής. Ποσοτικά, η ακρίβεια της µέτρησης ορίζεται από το σχετικό σφάλµα, δηλαδή το λόγο ε a δ a. (6) a Όσο µικρότερος είναι αυτός ο λόγος, τόσο θεωρείται µεγαλύτερη η ακρίβεια της µέτρησης. Επίσης, στο βαθµό που ο αριθµός ε a είναι εγγυηµένος, προφανώς, εγγυηµένο θα είναι και το σχετικό σφάλµα δ a... Ορισµός του εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος στα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά Στους προσεγγιστικούς αριθµούς µαθηµατικής προέλευσης, όπως και στις µαθηµατικές πράξεις µε τους αριθµούς αυτούς, η τιµή ε a υπολογίζεται (προσδιορίζεται) από τον ίδιο τον ερευνητή. Θα αναφέρουµε ένα σχετικά απλό παράδειγµα. Το ε a ορίζεται εύκολα στο ακριβές πηλίκο 0/3 (οι αριθµοί 0 και 3 είναι απόλυτα ακριβείς), η δεκαδική παράσταση του οποίου µε 3 σηµαντικά ψηφία παράγει τον προσεγγιστικό αριθµό 6,66, για το ακριβές σφάλµα του οποίου (0, ) µπορούµε να 6

17 πούµε ότι είναι σίγουρα µικρότερο από 0,007. Εδώ για τιµή της ε a επιλέγουµε τον αριθµό 0,007 (ε a 0,007), καθώς 6,66 0/3 < 0,007. Το πόσο σηµαντική είναι η σύµβαση του ενός ή δύο σηµαντικών ψηφίων στην παράσταση της ε a θα δούµε στις επόµενες 6 σειρές που ακολουθούν. Τη σύµβαση παράστασης της ε a ικανοποιεί και η επιλογή ε a 0,0067, που γίνεται µε ψηφία και είναι λίγο µικρότερη της προηγούµενης. Ωστόσο παρότι οι τιµές των επιλογών: 0,00667, 0,006667, 0, , κ.ο.κ, είναι ακόµη µικρότερες, αυτές σηµειώνοντε µε περισσότερα ψηφία. Εποµένως οι τιµές αυτές δεν ικανοποιούν τη σύµβαση και, ως εκ τούτου, είναι απορριπτέες. Βλέπουµε ότι η σύµβαση του ενός ή δύο σηµαντικών ψηφίων είναι καίριας σηµασίας καθώς δίχως τη σύµβαση αυτή η αναζήτηση της µικρότερης τιµής της ε a γίνεται ατέρµονη, και εποµένως αδιέξοδη! Στη Θεωρία Σφαλµάτων και οι δύο επιλογές (η ε a 0,007 και η ε a 0,0067) είναι επιτρεπτές. Εποµένως ποια από τις δύο επιλογές θα δηλωθεί αποφασίζει ο ερευνητής. Στην πειραµατική πρακτική συνηθίζεται, στους ενδιάµεσους υπολογισµούς η τιµή της ε a να σηµειώνεται µε σηµαντικά ψηφία (ε a 0,0067), ενώ το τελικό αποτέλεσµα προτιµάται να σηµειώνεται µε ένα (ε a 0,007), παρά τη µικρή διόγκωσή του... Εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος των µετρητικών οργάνων Στα µετρητικά όργανα ο αριθµός ε a δηλώνεται σε εγγυηµένη µορφή από την κατασκευάστρια εταιρεία. Αυτό σε µεγάλο βαθµό διευρύνει το φάσµα των χρηστών, καθώς διευκολύνει τη χρήση του οργάνου και από ερευνητές που δεν είναι µυηµένοι στις λεπτές πτυχές της Ηλεκτρονικής και της Οργανολογίας. Έτσι, δηλώνεται προς τους χρήστες του οργάνου, ότι στο χρονικό διάστηµα των ετών, µε σιγουριά 00 %, µε το συγκεκριµένο όργανο το σφάλµα µέτρησης δεν υπερβαίνει την τάδε τιµή, όταν αυτό χρησιµοποιείται υπό κανονικές συνθήκες που ορίζει η εταιρεία. Σε αντίθεση µε τα Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά, όπου η εγγύηση του 00 % είναι διασφαλισµένη και απόλυτη, στα µετρητικά όργανα η σιγουριά του 00 % ισχύει µόνο για τη χρονική περίοδο (συνήθως έτη) που ισχύει η εγγύηση της κατασκευάστριας εταιρείας. Μετά το πέρας αυτής της περιόδου ο µετρητής πρέπει να διακριβωθεί εκ νέου, καθώς λόγω γήρανσης των ηλεκτρονικών του εξαρτηµάτων οι παράµετροι ακρίβειας σιγά σιγά ολισθαίνουν µε το χρόνο. Εδώ πρέπει να προσθέσουµε και την εξής λεπτοµέρεια. Προκειµένου να αντιµετωπιστεί το πρόβληµα της ολίσθησης και να διασφαλιστούν εγγυηµένες µετρολογικές σταθερές ακρίβειας στο διάστηµα των ετών, στην αρχή της περιόδου εγγύησης οι εταιρείες προβαίνουν σε εφεδρική µείωση του διαστήµατος σφάλµατος από,5 έως,5 φορές, ανάλογα µε την εταιρεία, δίχως η εφεδρεία αυτή να δηλώνεται στους χρήστες. Στους χρήστες δηλώνεται το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος που διαµορφώνεται στο τέλος της διετίας, ενώ το ρίσκο και κόστος της όποιας απόκλισης από την εγγύηση αναλαµβάνει η κατασκευάστρια εταιρεία..3. Σωστή χρήση του όρου «σφάλµα» Ο ορισµός του σφάλµατος που βλέπουµε στο Σχ. 5 διαπερνά όλη τη Θεωρία Σφαλµάτων και βρίσκεται στη βάση αυτής της θεωρίας, µε ιδιαίτερη βαρύτητα στο σφάλµα του οργάνου και τα σφάλµατα µαθηµατικής προέλευσης. Από τη σκοπιά αυτή, είναι λάθος η λέξη σφάλµα να συνοδεύεται µε τη λέξη είναι, καθότι το σφάλµα, δηλαδή το σφάλµα το ακριβές, είναι πάντα άγνωστο! Ωστόσο, όταν γίνεται χρήση του όρου «σφάλµα», ο όρος αυτός πρέπει να συνοδεύεται µε φράσεις όπως «δεν υπερβαίνει» ή είναι «µικρότερο από» κ.λπ. Για παράδειγµα, 7

18 λέµε, ότι η τάση 00 V µετρήθηκε µε σφάλµα που δεν υπερβαίνει τα βολτ ή, εναλλακτικά, µε σφάλµα µικρότερο από βολτ κ.ο.κ. Από τη σκοπιά αυτή, η ποσότητα ± ε a δεν πρέπει να αποκαλείται σφάλµα (!), καθώς είναι µόνο ένας οριακός αριθµός, τον οποίο ο ερευνητής µε κάθε τρόπο προσπαθεί να τον µειώσει, ωστόσο προσέχοντας να τηρούνται οι δύο βασικές ανισότητες της σχέσης (4): a ε a Α a ε a. Στο σηµείο αυτό είναι σκόπιµο να εξετάσουµε τα σφάλµατα των οργάνων, όπως και τον τρόπο ανάγνωσης της ένδειξής τους. Σηµειώνουµε, ότι τα µετρητικά όργανα χωρίζονται σε δύο µεγάλες οµάδες: τα όργανα τα αναλογικά και τα όργανα τα ψηφιακά. Θα δούµε πρώτα τα όργανα τα αναλογικά. 8

19 3. Άµεσες µετρήσεις Σφάλµατα αναλογικών και ψηφιακών οργάνων Όργανα αναλογικά. Ας δούµε τώρα µε ποιον τρόπο η κατασκευάστρια εταιρεία δηλώνει το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του αναλογικού οργάνου. Τα όργανα αυτά έχουν µικρό κόστος, µεγάλη αξιοπιστία και χρησιµοποιούνται ευρύτατα στην έρευνα και στις εφαρµογές. Καταρχάς, δύο είναι οι βασικές παράµετροι ακριβείας του αναλογικού οργάνου: το κύριο σφάλµα και το σφάλµα ανάγνωσης. Τα σφάλµατα αυτά έχουν διαφορετική φύση, είναι ανεξάρτητα το ένα από το άλλο και ορίζονται µε διαφορετικούς τρόπους. Θα εξετάσουµε πρώτα το σφάλµα ανάγνωσης. 3.. Σφάλµα ανάγνωσης του αναλογικού οργάνου Πρέπει να θυµόµαστε, ότι στα αναλογικά όργανα η ένδειξη του µετρητή στρογγυλοποιείται (σηµειώνουµε την κοντινότερη χαρακιά της κλίµακάς του), όταν ο δείκτης (βελόνα) δε βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς» (Σχ. 6α). Η στρογγυλοποίηση της ένδειξης δηµιουργεί το λεγόµενο σφάλµα ανάγνωσης, άνω όριο του οποίου είναι η ψ/, όπου ψ είναι η τιµή της ελάχιστης υποδιαίρεσης της κλίµακας του οργάνου. Για παράδειγµα, στους πλαστικούς χάρακες η τιµή της ελάχιστης υποδιαίρεσης είναι mm (ψ mm), στους µεταλλικούς χάρακες 0,5 mm, στα παχύµετρα 0, mm, στα µικρόµετρα 0,0 mm κ.ο.κ. Εποµένως, στα αναλογικά όργανα το συνεχές µετρούµενο µέγεθος ψηφιοποιείται, µε βήµα ψ/, καθώς µόνο αυτό το διάστηµα στην κλίµακα διακρίνεται µε σιγουριά και µπορούµε να το εγγυηθούµε. Κλάσµατα της ψ/ δεν τα σηµειώνουµε στην τιµή! Αυτό επιβάλει η τιµή της ένδειξης που σηµειώνουµε να περιλαµβάνει µόνο ακέραιο αριθµό των ψ/. Προφανώς, η τιµή της ψ/ έχει ιδιότητες της ε a και είναι ένας εγγυηµένος αριθµός. Σηµειώνουµε ακόµη, ότι το σφάλµα ανάγνωσης θεωρείται «µηδέν» όταν ο δείκτης (βελόνα) βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς» (αστοχία µικρότερη από το µισό πάχος της χαρακιάς, Σχ.6β) ή βρίσκεται στο µέσον των δύο χαρακιών (Σχ. 6γ), γεγονός που µας εµποδίζει να επιλέξουµε την κοντινότερη χαρακιά. Καθώς, όµως, το πάχος της χαρακιάς είναι συνήθως ψ/5, όταν ο δείκτης βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς», σε µία πιο ρεαλιστική προσέγγιση το σφάλµα ανάγνωσης µπορεί να δηλωθεί µικρότερο από 0,5 πάχος της χαρακιάς, δηλαδή να δηλωθεί ως: ε αν ψ/ Κύριο σφάλµα του αναλογικού οργάνου Η προτροπή που αναφέραµε λίγο πιο πάνω, δηλαδή στην τιµή της ένδειξης να µη συµπεριλαµβάνονται τα κλάσµατα της ψ/, πηγάζει από το γεγονός ότι ακόµη και όταν το σφάλµα ανάγνωσης είναι µηδέν (ο δείκτης βρίσκεται πάνω από τη χαρακιά «ακριβώς»), πάρα ταύτα, το όργανο σφάλει (!), δηλαδή η ένδειξή του διαφέρει από την πραγµατική τιµή. Η διαφορά αυτή, σε εγγυηµένη µορφή δηλώνεται από την κατασκευάστρια εταιρεία ως κύριο σφάλµα του οργάνου, όταν αυτό χρησιµοποιείται υπό κανονικές συνθήκες, δηλαδή σε ένα καθορισµένο από την εταιρεία εύρος θερµοκρασιών, υγρασιών, ατµοσφαιρικών πιέσεων, απόκλισης από την κάθετο, το οριζόντιο, προσανατολισµού, διάσπαρτων ηλεκτρικών και µαγνητικών πεδίων κ.λπ. Όταν κάποιο µέγεθος ξεφεύγει από τα καθορισµένα όρια, για παράδειγµα, η θερµοκρασία, στο κύριο σφάλµα προστίθεται ένας όρος ακόµη, µε τον αντίστοιχο συντελεστή. Το κόστος κατασκευής του µετρητικού οργάνου εξαρτάται άµεσα από την ακρίβειά του, και είναι ελάχιστο όταν το κύριο σφάλµα είναι περίπου ψ/ (συνήθως, λίγο µικρότερο). 9

20 Για παράδειγµα, στο µικρόµετρο, η τιµή της ψ/ είναι 5 µm, ενώ το κύριο σφάλµα του µετρητή δεν υπερβαίνει τα 4 µm (Πίνακας, σελ. 55). Από τα παραπάνω συµπεραίνουµε, ότι το αναλογικό όργανο έχει συνιστώσες σφάλµατος: το σφάλµα ανάγνωσης και το κύριο σφάλµα του οργάνου. Από τον ορισµό των σφαλµάτων αυτών προκύπτει ότι η ακριβής τιµή τους είναι πάντα µικρότερη της ψ/, δηλαδή η τιµή της ψ/ αποτελεί το άνω όριο των δύο αυτών σφαλµάτων. Εποµένως όταν δηλώνεται η τιµή ψ/, τα δύο σφάλµατα είναι σίγουρα µικρότερα. Γενικότερα, στα αναλογικά όργανα ο αριθµός των λεπτών χαρακιών όπως και η απόσταση µεταξύ των αξόνων τους δεν χαράζονται τυχαία, αλλά εξαρτώνται από το συνολικό εγγυηµένο σφάλµα του οργάνου (κύριο ανάγνωσης). Στα περισσότερα µετρητικά αναλογικά όργανα τηρείται ο όρος ψ ε οργ (ψ ε κυρ ), αλλά στα ενδεικτικά όργανα όπου τα ζητήµατα ακρίβειας είναι δευτερευούσης σηµασίας, τηρείται ο όρος ψ ε οργ (ψ 4ε κυρ ). Εδώ οι χαραγές χαράζονται φορές αραιότερα. Το συνολικό εγγυηµένο σφάλµα του οργάνου η κατασκευάστρια εταιρεία είναι υποχρεωµένη να το δηλώνει, ωστόσο το δηλώνει συνήθως σε κωδικοποιηµένη µορφή. Έτσι, στην πρόσοψη του οργάνου ή µε κάποιον άλλο τρόπο δηλώνεται ή αναγράφεται: (Α) το κύριο σφάλµα του οργάνου α (%), (ma ή asc accurac α (%), Σχ. 6α), το οποίο ορίζεται µέσω της ψ/, επί τις εκατό της Ζ ma, όπου Ζ ma είναι η µέγιστη τιµής της κλίµακας [α (0,5ψ/Ζ ma ) 00 %]. Συνήθως, το γινόµενο αζ ma είναι λίγο µικρότερο του άνω ορίου του σφάλµατος ανάγνωσης και δεν υπερβαίνει τα ψ/ (αζ ma ψ/) V V V Basc accurac % (α %) α 0,5ψ/Ζ ma U 39 ± (V) ε u ε κυρ ε αν ψ/ ψ/ ψ (α) Dv V ψ V U 47,0 ± 0,5 (V) ε κυρ ε αν ψ/ 0 ψ/ (β) Class (β %) β ψ/ζ ma U 49,5 ± 0,5 (V) ε u ε κυρ ε αν ψ/ 0 ψ/ (γ) Σχήµα 6. Σφάλµα του αναλογικού οργάνου και ανάγνωση της ένδειξης µε στρογγυλοποίηση. Στα όργανα όπου δηλώνεται το κύριο σφάλµα του µετρητή, σε µία τυχαία θέση του δείκτη το σφάλµα µέτρησης (οργάνου) δεν υπερβαίνει την τιµή της ψ: ε a ε κυρ ε αναγ αζ ma ψ/ ψ/ ψ/ ψ. (7) (Β) η τιµή της ελάχιστης υποδιαίρεσης ψ (Σχ. 6β), η οποία µας πληροφορεί ότι το κύριο σφάλµα του µετρητή δεν υπερβαίνει τα ψ/. Εποµένως σε µία τυχαία θέση του δείκτη, το σφάλµα (οργάνου) µέτρησης δεν υπερβαίνει ή είναι µικρότερο από το άθροισµα: ε a ε κυρ ε αναγ ψ/ ψ/ ψ. (8) (Γ) η κατηγορία του µετρητή, β, (accurac class β, Σχ. 6γ), ορίζεται µέσω της ψ, επί τις εκατό της Ζ ma [β (ψ/ζ ma ) 00%]. 0

21 Συνοψίζοντας µπορούµε να πούµε, ότι σε µία τυχαία θέση του δείκτη το σφάλµα οργάνου δεν υπερβαίνει την τιµή της ψ: ε a βζ ma ψ ε αναγ ε κυρ ψ/ ψ/, (9) ενώ όταν η βελόνα (δείκτης) του µετρητή βρίσκεται πάνω στη χαρακιά «ακριβώς» ή στη µέση των δύο χαρακιών, που δυσκολεύει την επιλογή της κοντινότερης (Σχ. 6β,γ), στο εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος συµβάλει µόνο το κύριο σφάλµα του οργάνου, που είναι συνήθως λίγο µικρότερο της ψ/. Παρά ταύτα, µε µικρή εφεδρεία, για κύριο σφάλµα του οργάνου δηλώνεται η τιµή της ψ/, καθώς η τιµή αυτή έχει ιδιότητες του εγγυηµένου διαστήµατος σφάλµατος. Εδώ οι µετρήσεις γίνονται µε ακρίβεια φορές καλύτερη. Στα σχήµατα (6β) και (6γ), αυτό φαίνεται και από το πρόσθετο ψηφίο στην τιµή που σηµειώνεται, το οποίο επιβάλλεται από τους γενικότερους κανόνες παράστασης της τιµής και του σφάλµατος στους προσεγγιστικούς αριθµούς. Τονίζουµε ιδιαιτέρα, ότι στα αναλογικά όργανα οι λόγοι 0,5ψ/Ζ ma και ψ/ζ ma ορίζονται εγγυηµένα µόνο στην περιοχή της Ζ ma, ενώ οι τιµές αζ ma (ψ/) και βζ ma (ψ) επεκτείνονται σε όλη την κλίµακα του οργάνου, προκαλώντας απώλεια ακρίβειας (µεγάλο σχετικό σφάλµα) στις µικρές τιµές της κλίµακας. Συνεπώς, η ακρίβεια του αναλογικού οργάνου αξιοποιείται επαρκώς µόνο όταν ο δείκτης (η βελόνα) βρίσκεται στο τελευταίο τέταρτο της κλίµακάς του! Η απώλεια ακρίβειας µειώνεται στο όργανο που διαθέτει πολλές κλίµακες, επιλέγοντας την κατάλληλη. Σηµείωση. Σε µερικά ενδεικτικά όργανα, στα οποία η ακρίβεια είναι δευτερευούσης σηµασίας, δεν τηρείται ο όρος βζ ma ψ (ε οργ ψ). Στα όργανα αυτά το σφάλµα οργάνου προσδιορίζεται από το γινόµενο βζ ma, παραβλέποντας την τιµή της ψ. Σηµείωση. Λόγω τεχνολογικής προόδου, ο όρος ε κυρ ε αναγ ψ/ δεν τηρείται πάντα! Για παράδειγµα, στον µεταλλικό κανόνα, δίχως µεγάλη επιβάρυνση στο κόστος, το κύριο σφάλµα δεν υπερβαίνει τα 0,05 mm (ε κυρ 0,05 mm), ενώ η τιµή της ελάχιστης υποδιαίρεσης είναι mm (ψ mm). Στο όργανο αυτό η επιλογή της ελάχιστης υποδιαίρεσης έγινε µε άλλα κριτήρια, καθώς η χρήση του µε χαραγές κάθε 0,05 mm θα ήταν πολύ άβολη!

22 4. Κύριο σφάλµα του ψηφιακού οργάνου Όργανα ψηφιακά Τα ψηφιακά όργανα έχουν ψηφιακή οθόνη και, εποµένως, στα όργανα αυτά το σφάλµα ανάγνωσης είναι µηδέν! Τα όργανα αυτά είναι ηλεκτρονικά, όπου η ολίσθηση του µηδενός ελέγχεται (εξουδετερώνεται) αυτόµατα, ηλεκτρονικά, 3 φορές το δευτερόλεπτο, πριν από κάθε κύκλο µέτρησης που διαρκεί συνήθως 0,33 s. Στα ψηφιακά όργανα 3,5 ψηφίων, η ακρίβειά τους είναι της τάξης %, ενώ στα όργανα 4,5 ψηφίων, είναι της τάξης 0, %. Το κύριο σφάλµα ή το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του ψηφιακού οργάνου δηλώνεται στο συνοδευτικό βιβλιαράκι και συνήθως η δήλωση αυτή έχει τη µορφή: Accurac: γ (%) hr, (0) όπου r είναι η διακριτική ικανότητα (resoluto) ή η µονάδα της τελευταίας δεκαδικής τάξης της παριστάµενης στην οθόνη τιµής, ενώ το γινόµενο hr παριστάνει το άνω όριο του υπολοίπου της αυτόµατης ρύθµισης του µηδενός, στη συγκεκριµένη κλίµακα του οργάνου. Εποµένως το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος του ψηφιακού µετρητή υπολογίζεται από τη σχέση όπου a είναι η ένδειξή του. ε a aγ hr, 4.. Παράδειγµα υπολογισµού σφάλµατος άµεσης µέτρησης µε ψηφιακό βολτόµετρο Αν στο συνοδευτικό βιβλιαράκι του οργάνου σηµειώνεται, ότι στην κλίµακα 0 V το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος είναι % 3r, τότε στην ένδειξη τάσης U 9,36 V, η τιµή του r (resoluto) είναι 0,0 V. Επίσης, κατά δήλωση της κατασκευάστριας εταιρείας, στην κλίµακα αυτή η ολίσθηση του µηδενός δεν υπερβαίνει τα 0,03 V. Έτσι, στη µέτρηση U 9,36 V, το εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος είναι ε U 9,36 0,0 3 0,0 0,9 0,03 0, (V). Σηµείωση. Στο παράδειγµα αυτό το σφάλµα υποεκτιµάται φορές (00 %!!!), όταν για σφάλµα µέτρησης της τιµής 9,36 V δηλώνεται ή σηµειώνεται (ως συνήθως) το 0,0 V. Τονίζουµε ιδιαίτερα, ότι στα ψηφιακά όργανα η διακριτική ικανότητα (resoluto) δεν πρέπει να ταυτίζεται µε το σφάλµα του οργάνου, που είναι συνήθως µία τάξη µεγαλύτερο! 4.. Παράδειγµα µέτρησης µεταβολής του σήµατος Όταν µε τον ψηφιακό µετρητή µετράµε τη µεταβολή του σήµατος κατά a, όπου a a a,

23 και η δεύτερη µέτρηση δεν απέχει χρονικά πολύ από την πρώτη, τότε το «σφάλµα» της µεταβολής είναι απαλλαγµένο από τον όρο hr και είναι ε a γ a. Εδώ ο όρος hr απαλείφεται από τους υπολογισµούς, λόγω του ότι στις δύο τιµές, a και a, έχει ίδιο πρόσηµο και τιµή. Η παρατήρηση αυτό αφορά και τον ποσοστιαίο όρο γ, παρά το ότι έχει άγνωστη τιµή και πρόσηµο. Το γεγονός αυτό επιβάλλει την αφαίρεση των δύο σφαλµάτων (αλγεβρική πρόσθεση των σφαλµάτων και όχι αριθµητική). Συνεπώς, για να υπολογιστεί το σφάλµα της διαφοράς των δύο τιµών a και a, µαζί µε τις τιµές, πρέπει να αφερούντε και τα σφάλµατά τους: a a a, ε a (a γ hr) (a γ hr) γ(a - a ) γ a. Γενικά όµως, σε προβλήµατα όπου τα σφάλµατα των δύο προσεγγιστικών αριθµών έχουν άγνωστη τιµή και πρόσηµο, ακόµη και στην αφαίρεσή τους, προκειµένου το διάστηµα σφάλµατος να είναι εγγυηµένο, τα σφάλµατά τους πρέπει να τα προσθέσουµε αριθµητικά. Σύµβαση. Σε πολύ µικρές µεταβολές του σήµατος, δηλαδή όπου το γινόµενο γ a είναι µικρότερο της διακριτικής ικανότητας του οργάνου: γ a < r, το γινόµενο γ a αγνοείται και για εγγυηµένο διάστηµα σφάλµατος της µεταβολής a σηµειώνεται η διακριτική ικανότητα του οργάνου r: ε a r. Παράδειγµα Η µεταβολή της τάσης από 9, 36 προς 7,36 σηµειώνεται ως u,00 ± 0,0 (V), καθώς εδώ το γινόµενο γ u είναι 0,0 [γ u 0,0 > r, (r 0,0 V)]. Παράδειγµα Η µικρή µεταβολή της τάσης από 9,36 V προς 9,98 V σηµειώνεται τώρα ως u 0,6 ± 0,0 (V) [γ u 0,006 < r], καθώς στην περίπτωση αυτή το γινόµενο γ u είναι µικρότερο από τη διακριτική ικανότητα του οργάνου [γ u 0,006 V < 0,0 V, (r 0,0 V)]. Είναι άξιο προσοχής το γεγονός, ότι το σφάλµα στη διαφορά των δύο τιµών τάσης δεν υπερβαίνει το 0,0 V, παρότι οι τιµές 9,36 V και 9,98 V είναι επιβαρυµένες µε σφάλµατα της τάξης 0, V (!). 3