Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MBA Τμήμα Οικονομικών Επιστήμων. Διπλωματική Εργασία: Μέθοδοι Προβλέψεων και Προβλέψεις Πωλήσεων Νέων Προϊόντων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MBA Τμήμα Οικονομικών Επιστήμων. Διπλωματική Εργασία: Μέθοδοι Προβλέψεων και Προβλέψεις Πωλήσεων Νέων Προϊόντων"

Transcript

1 Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών MBA Τμήμα Οικονομικών Επιστήμων Διπλωματική Εργασία: Μέθοδοι Προβλέψεων και Προβλέψεις Πωλήσεων Νέων Προϊόντων Αθανάσιος Γκογκίδης-Μωυσίδης Επιβλέπων Καθηγητής: Αλέξανδρος Διαμαντίδης Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Μάρτιος 2017

2 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριστήσω θερμά τον καθηγητή κ. Αλέξανδρο Διαμαντίδη για την παροχή των πολύτιμων επιστημονικών του συμβουλών και επισημάνσεων κατά την επίβλεψη της εργασίας μου, όπως επίσης και τον καθηγητή κ. Χρυσολέοντα Παπαδόπουλο. Ευχαριστώ, επίσης, όλους τους καθηγητές του προγράμματος μεταπτυχιακών σπουδών «ΜΒΑ» για τη συμβολή τους στην απόκτηση πολύ σημαντικών γνώσεων. 1

3 Περιεχόμενα ΠΕΡΙΛΗΨΗ... 5 ABSTRACT... 5 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή... 6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ Χρονοσειρές Τύποι Χρονοσειρών Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών Μονοπαραγοντική Στατιστική (Univariate statistics) Πρότυπα Στατιστικών Μετρήσεων (Standard statistical measures) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ Αποσύνθεση Χρονοσειρών Κινητός Μέσος Όρος Centered κινητός μέσος όρος Διπλός Κινητός Μέσος Όρος (Double Moving Average) Σταθμικός Κινητός Μέσος Όρος ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ Μέθοδοι Εκθετικής Εξομάλυνσης Μονή Εκθετική Εξομάλυνση Μονή Εκθετική Εξομάλυνση: Μια Προσαρμοστική Προσέγγιση Η γραμμική μέθοδος Holt Η μέθοδος Holt-Winter με τάση και εποχικότητα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ Μέθοδοι Παλινδρόμησης Απλή Παλινδρόμηση Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΕΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ ΜΕΘΟΔΟΙ DATA FREE Ανάλυση τελικής χρήσης (end use) Παράλληλα Προϊόντα Έρευνα πελατών ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΟΥ ΑΠΑΙΤΟΥΝ ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

4 6.2.1 Κύκλοι ζωής αγοράς Μοντέλα κοίλης διάχυσης (concave diffusion) Μοντέλα διάχυσης S-καμπύλης Μοντέλα επιδημιολογικής διάχυσης: το μοντέλο Bass ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ανάλυση εταιρίας Λέντζιος Π. - Μηνάς Π. ΟΕ Εφαρμογή μοντέλου κοίλης διάχυσης Κεφάλαιο Βιβλιογραφία Πίνακας πινάκων Πίνακας 2.1 Πωλήσεις καταστήματος διάρκειας ενός έτους... 6 Πίνακας 3.1 Μέθοδος κινητού μέσου όρου με τρία σημεία Πίνακας 3.2 Ο centered moving average 2 Χ 4 MA Πίνακας 6.1 Ιστορικά δεδομένα δύο προϊόντων Πίνακας 6.2 Πρόβλεψη για νέο προϊόν Πίνακας 7.1 Προβλέψεις πωλήσεων βάθους τετραετίας

5 Πίνακας σχημάτων Σχήμα 6.1: Προβλέψεις πωλήσεων από ανάλυση τελικής χρήσης Σχήμα 6.2: Μη επαναγοράσιμο προϊόν Σχήμα 6.3: Αντικαταστάσιμο προϊόν Σχήμα 6.4: Επαναγοράσιμο προϊόν Σχήμα 6.5: Απλό μοντέλο κοίλης διάχυσης Σχήμα 6.6: Εξελιγμένο μοντέλο κοίλης διάχυσης Σχήμα 6.7: Ανάλυση new adopters Σχήμα 6.8: Σωρευτικές πωλήσεις Σχήμα 6.9: Διαδικασία επιδημιολογικής διάχυσης Σχήμα 6.10: Κοιλότητα πωλήσεων των new byer

6 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Καταλυτικός παράγοντας στην επιτυχία μιας εταιρίας αποτελεί ο περιορισμός της αβεβαιότητας. Προκειμένου να επιτευχθεί κάτι τέτοιο, πρέπει μέσα από μια πλειάδα να επιλεχθεί η κατάλληλη μέθοδος προβλέψεων, που με την σειρά της θα οδηγήσει σε πετυχημένη διαδικασία λήψης αποφάσεων. Αδιαμφισβήτητα, ο ρόλος των προβλέψεων είναι καθοριστικός, ειδικότερα στο σύγχρονο επιχειρηματικό περιβάλλον που χαρακτηρίζεται όχι μόνο από μεγάλο βαθμό αβεβαιότητας αλλά και από ισχυρό ανταγωνισμό. Αυτό αποτελεί και το κίνητρο για την εκπόνηση της παρούσας διπλωματικής εργασίας. Η οποία αποτελείται από δύο μέρη: Στο πρώτο μέρος αναλύονται οι παραδοσιακές μέθοδοι προβλέψεων και αποτελείται από πέντε κεφάλαια, ενώ στο δεύτερο μέρος συμπεριλαμβάνεται η θεωρία των προβλέψεων σε νέα προϊόντα καθώς επίσης και η εφαρμογή ενός αλγορίθμου σε δεδομένα της εταιρίας Λέντζιος Π. - Μηνάς Π. ΟΕ. ABSTRACT It s crucial to contain uncertainty for a company to success. This to be achieved, the most appropriate forecasting method should be used, which can lead in a successful decision making. Undisputedly, forecasting has profound impact, especially in the modern competitive business environment, characterized by an extended degree of uncertainty. The aforementioned is the motive for the thesis, which is consisted by two parts: The first one analyses the traditional forecasting methods, while the second includes the theory of forecasting new items and the implementation of an algorithm in the Lentzios P. Minas P company s data. 5

7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγή Συχνά υπάρχει μια χρονική καθυστέρηση μεταξύ της αντίληψης ενός επικείμενου γεγονότος και της πραγματοποίησης αυτού. Αυτός ο χρόνος (lead time) είναι ο κύριος λόγος για την ύπαρξη του σχεδιασμού και των προβλέψεων. Αν αυτός ο χρόνος είναι μηδέν ή πολύ μικρός, δεν υπάρχει ανάγκη σχεδιασμού. Όμως, αν ο χρόνος είναι αρκετός το αποτέλεσμα του γεγονότος είναι εξαρτώμενο από αναγνωρίσιμους παράγοντες και ο σχεδιασμός μπορεί να διαδραματίσει σημαντικό ρόλο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, η πρόβλεψη είναι απαραίτητη ώστε να προσδιοριστεί πότε ένα γεγονός θα συμβεί ή πότε θα προκύψει μια ανάγκη, προκειμένου να ληφθούν τα αναγκαία μέτρα. Στο μάνατζμεντ η ανάγκη για σχεδιασμό είναι ιδιαίτερα σημαντική γιατί ο χρόνος λήψης αποφάσεων εκτείνεται από μερικά χρόνια ( επενδύσεις κεφαλαίων) σε μερικές μέρες ή ώρες ( μεταφορές, παραγωγή), μέχρι και σε δευτερόλεπτα (τηλεπικοινωνίες). Οι προβλέψεις προσφέρουν σημαντική βοήθεια στον αποτελεσματικό και αποδοτικό σχεδιασμό. Υπάρχουν διάφορες απόψεις σχετικά με τις προβλέψεις, ωστόσο πρέπει να αναγνωριστεί ότι σημαντική πρόοδος έχει επιτευχθεί στην διαδικασία των προβλέψεων τους τελευταίους αιώνες (Makridakis, S 1997). Πλέον, υπάρχουν αρκετά φαινόμενα των οποίων το αποτέλεσμα μπορεί εύκολα να προβλεφθεί. Η εξέλιξη της επιστήμης έχει αυξήσει την κατανόηση διαφόρων πτυχών του περιβάλλοντος και την προβλεψιμότητα διαφόρων γεγονότων. Για παράδειγμα, όταν το πτολεμαϊκό σύστημα αστρονομίας δημιουργήθηκε πριν 1900 χρόνια, μπορούσε να προβλέψει την κίνηση των αστεριών, με πρωτάκουστη για την εποχή ακρίβεια. Όμως, ακόμα και τότε υπήρχαν συστηματικά λάθη. Έπειτα επήλθε η κοπερνική αστρονομία, που ήταν πολύ ακριβής από αυτή των Πτολεμαίων. Στις μέρες μας, η αστρονομία είναι κατά πολύ πιο ακριβής από την αστρονομία του Κοπέρνικου. 6

8 Η ικανότητα προβλέψεων ακρίβειας σε μια ευρεία γκάμα γεγονότων, ιδιαίτερα αυτών του οικονομικού/επιχειρηματικού περιβάλλοντος βελτιώνει τις συνθήκες του σχεδιασμού. Οι μέθοδοι προβλέψεων είναι το μέσο αυτή της βελτίωσης. Σε αυτό το σημείο θα πρέπει να αναφερθεί η διαφορά των ελέγξιμων εσωτερικών γεγονότων ( μάρκετινγκ ή αποφάσεις εντός εταιρίας) και των μη ελέγξιμων εξωτερικών γεγονότων ( που πηγάζουν από την εθνική οικονομίας, κυβερνήσεις, πελάτες και ανταγωνιστές). Η επιτυχία μιας εταιρίας εξαρτάται και από τα δύο, ωστόσο οι προβλέψεις χρησιμοποιούνται στην δεύτερη κατηγορία, ενώ η λήψη αποφάσεων εφαρμόζεται στην πρώτη κατηγορία. Ο σχεδιασμός είναι ο συνδετικός κρίκος αυτών των δύο τύπων γεγονότων. Οι προβλέψεις αποτελούν ένα αναπόσπαστο κομμάτι της λήψης αποφάσεων. Ένας οργανισμός θεσπίζει στόχους, επιδιώκει να προβλέψει τους περιβαλλοντολογικούς παράγοντες και ενεργεί αποβλέποντας στην επίτευξη αυτών των αντικειμενικών στόχων. Η ανάγκη των προβλέψεων αυξάνεται καθώς το μάνατζμεντ επιχειρεί να μειώσει τον παράγοντα τύχης και πιθανοτήτων. Εφόσον, κάθε κομμάτι του οργανισμού συνδέεται με τα υπόλοιπα, μια καλή ή κακή πρόβλεψη μπορεί να επηρεάσει ολόκληρο τον οργανισμό. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ 2.1 Χρονοσειρές «Συχνά τα ιστορικά δεδομένα αποτελούν μια σειρά παρατηρήσεων στην διάρκεια του χρόνου. Τέτοιες σειρές ονομάζονται χρονοσειρές (Makridakis, S 1997)» Για παράδειγμα μηνιαίες πωλήσεις, ημερήσιες τιμές μετοχών, ημερήσιες μέγιστες θερμοκρασίες, ετήσια παραγωγή των καλλιεργειών. Η διαδικασία της πρόβλεψης επικεντρώνεται στην εκτίμηση της μελλοντικής συνέχειας αυτών των παρατηρήσεων. 7

9 2.2 Τύποι Χρονοσειρών Κατά την επιλογή της καταλληλότερης μεθόδου πρόβλεψης είναι ιδιαίτερα σημαντικό να ληφθεί υπόψη ο τύπος των δεδομένων. Μπορούν να διακριθούν τέσσερεις τύπου δεδομένων στις χρονοσειρές (Cryer, J.D. 1986): Ένα οριζόντιο πρότυπο υπάρχει όταν οι τιμές των δεδομένων κυμαίνονται ως προς ένα σταθερό μέσο. Τέτοιες σειρές ονομάζονται στατικές ως προς τον μέσο τους. Τέτοιου τύπου είναι ένα προϊόν, του οποίου οι πωλήσεις δεν αυξάνονται ή μειώνονται κατά την πάροδο του χρόνου. Ένα εποχιακό πρότυπο υπάρχει όταν η σειρά επηρεάζεται από εποχιακούς παράγοντες (μήνα, μέρα της εβδομάδος κλπ). Οι εποχιακές σειρές ονομάζονται και περιοδικές, παρόλο που δεν επαναλαμβάνουν ακριβώς τον εαυτό τους σε κάθε περίοδο. Ένα κυκλικό πρότυπο υπάρχει όταν τα δεδομένα παρουσιάζουν άνοδο ή πτώση σε μια περίοδο που δεν είναι σταθερή. Η κυριότερη διαφορά μεταξύ του εποχιακού ή του κυκλικού πρότυπου είναι ότι το πρώτο διαθέτει σταθερή διάρκεια και επαναλαμβάνεται σε σταθερή περιοδική βάση, ενώ το κυκλικό πρότυπο ποικίλει σε διάρκεια. Επίσης, η μέση διάρκεια ενός κύκλου είναι μεγαλύτερη από αυτήν της εποχικότητας και το μέγεθος του κύκλου ποικίλει περισσότερο από αυτό της εποχικότητας. Ένα πρότυπο τάσης υπάρχει όταν παρατηρείται μιας μεγάλης περιόδου αύξηση ή ελάττωση στις τιμές των δεδομένων. Οι πωλήσεις πολλών εταιριών, το εθνικό ακαθάριστο προϊόν και πολλοί άλλοι οικονομικοί ή επιχειρηματικοί δείκτες έχουν τάση κατά την πάροδο του χρόνου. 2.3 Χαρακτηριστικά Χρονοσειρών Τα βασικά χαρακτηριστικά μιας χρονοσειράς είναι 3: Στασιμότητα (Stationary) Τάση (Trend) Εποχικότητα (Seasonality) Κυκλικότητα (Cyclical) Τυχαιότητα (Randomness) 8

10 2.4 Μονοπαραγοντική Στατιστική (Univariate statistics) Έστω ότι ο παρακάτω πίνακας απεικονίζει τις πωλήσεις ενός καταστήματος για έναν χρόνο. Α/Α ΜΗΝΑΣ ΠΩΛΗΣΕΙΣ 1 Ιαν 42 2 Φεβ 37 3 Μαρ 39 4 Απρ 45 5 Μάι 48 6 Ιουν 50 7 Ιουλ 40 8 Αυγ 44 9 Σεπ Οκτ Νοε Δεκ 52 Πίνακας 2.1 Πωλήσεις καταστήματος διάρκειας ενός έτους Για τον συμβολισμό των πωλήσεων χρησιμοποιείται το γράμμα Μ και το i για τον συμβολισμό του i-οστού μήνα, ο μέσος (mean) των πωλήσεων μπορεί να γραφεί ως: =( = = Ο μέσος (mean) δεν θα πρέπει να συγχέεται με τον διάμεσο (median), που είναι η μεσαία παρατήρηση (Koosis, D.J. 1972). Επομένως στον προηγούμενο πίνακα, ο διάμεσος είναι ο έκτος μήνας αφού οι μήνες ταξινομηθούν πρώτα με αύξουσα σειρά. Ο μέσος και ο διάμεσος, έχουν σχεδιαστεί για να παρέχουν αριθμητική μέτρηση του κέντρου του συνόλου δεδομένων (Locke, F.M. 1972). Όσο σημαντική είναι η μέτρηση του κέντρου του συνόλου δεδομένων, άλλο τόσο σημαντική είναι και η μέτρηση της διασποράς των δεδομένων. Δηλαδή αν πρόκειται για δεδομένα στενά τοποθετημένα το ένα με το άλλο ή αν είναι διασκορπισμένα. 9

11 Για την μέτρηση της διασποράς, πρώτα πρέπει να υπολογιστεί πόσο απέχουν οι πωλήσεις του κάθε μήνα από το μέσο (mean) των πωλήσεων. To μέσο αφαιρείται από κάθε για να δοθεί η i-οστή απόκλιση από το μέσο (mean) ( - ) (Meese, R. 1984). Για να εξαχθούν πιο χρήσιμα στοιχεία, οι αποκλίσεις υψώνονται στο τετράγωνο ή λαμβάνονται ως απόλυτες τιμές. Αυτό συμβαίνει γιατί το άθροισμα των αποκλίσεων θα είναι πάντα ίσο με το μηδέν. Ο μέσος (mean) των απόλυτων αποκλίσεων δηλώνεται ως MAD (Mean Absolute Deviation), για τα δεδομένα των πωλήσεων είναι: MAD= =4.667 Ο μέσος των τετραγωνικών αποκλίσεων δηλώνεται ως MSD (Mean Squared Deviation) MSD= = Η μέση τετραγωνική απόκλιση (MSD) είναι στενά συνδεδεμένη με την διακύμανση, η οποία ορίζεται ως το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων διαιρούμενο με το σύνολο των παρατηρήσεων μείον μιας μονάδας. Για τα δεδομένα των πωλήσεων η διακύμανση είναι = = Εφόσον ο τύπος της διακύμανσης χρησιμοποιεί μικρότερο αριθμό στον παρανομαστή από τον τύπο της MSD, η διακύμανση είναι μεγαλύτερη από την μέση τετραγωνική απόκλιση. Υπολογίζοντας την τετραγωνική ρίζα της διακύμανσης προκύπτει η τυπική απόκλιση S= = =5.686 Η τυπική απόκλιση και η μέση απόλυτη απόκλιση χρησιμοποιούνται για την μέτρηση της διασποράς. Μετρούν την μέση απόκλιση των παρατηρήσεων από τον μέσο τους. Αν οι παρατηρήσεις είναι διασπαρμένες θα τείνουν να είναι μακριά από τον μέσο, προς τα πάνω ή κάτω. Οι αποκλίσεις θα είναι μεγάλοι αριθμοί με θετικό ή αρνητικό πρόσημο. Ωστόσο οι τετραγωνικές ή απόλυτες αποκλίσεις θα είναι θετικοί αριθμοί. Οπότε η τυπική απόκλιση και η μέση απόλυτη απόκλιση θα είναι μεγάλοι αριθμοί όταν τα δεδομένα είναι διάσπαρτα και μικροί αριθμοί όταν τα δεδομένα βρίσκονται κοντά μεταξύ τους. 10

12 2.5 Πρότυπα Στατιστικών Μετρήσεων (Standard statistical measures) Αν είναι η πραγματική παρατήρηση για μια χρονική περίοδο t και είναι η πρόβλεψη για την ίδια περίοδο, τότε το σφάλμα ορίζεται ως = - εξίσωση 1.1 Συχνά η πρόβλεψη υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τα δεδομένα. Πρόκειται για ενός βήματος (One-step) πρόβλεψη, γιατί η πρόβλεψη γίνεται για την επόμενη περίοδο από την τελευταία παρατήρηση που χρησιμοποιήθηκε στον υπολογισμό. Γι αυτό ως περιγράφεται το σφάλμα πρόβλεψης ενός βήματος (Spurr, W.A. and C.P. Bonini 1973). Αν υπάρχουν παρατηρήσεις και προβλέψεις για n χρονικές περιόδους, τότε θα υπάρχουν n παράγοντες σφάλματος και μπορούν να οριστούν τα ακόλουθα στατιστικά μέτρα: ME = εξίσωση 1.2 mean error MAE = εξίσωση 1.3 mean absolute error MSE = εξίσωση 1.4 mean squared number Η εξίσωση 1.1 χρησιμοποιείται για να υπολογιστεί το σφάλμα της κάθε περιόδου. Ο μέσος όρος του οποίου, μέσω της εξίσωσης 1.2, δίνει το μέσο σφάλμα. Ωστόσο, το μέσο σφάλμα (ΜΣ) είναι πιθανό να είναι μικρό εφόσον αρνητικές και θετικές τιμές τείνουν να αντισταθμίζουν η μια την άλλη. Το μέσο σφάλμα υποδεικνύει εάν υπάρχει συστηματική πάνω ή κάτω κλίση από την πρόβλεψη. Δεν παρέχει ένδειξη για το μέγεθος των τυπικών σφαλμάτων. Γι αυτό τον λόγο, ορίζεται το μέσο απόλυτο σφάλμα (mean absolute error MAE) κάνοντας το κάθε σφάλμα θετικό παίρνοντας την απόλυτη τιμή και υπολογίζοντας τον μέσο όρο. Κάτι παρόμοιο γίνεται με το μέσο τετραγωνικό σφάλμα (mean squared error MSE), όπου το σφάλμα γίνεται θετικό υψώνοντας το στο τετράγωνο και υπολογίζοντας τον μέσο όρο των τετραγωνικών σφαλμάτων. 11

13 Κάθε ένα από αυτά τα στατιστικά σχετίζονται με την μέτρηση της ακρίβειας, των οποίων το μέγεθος σχετίζεται με την κλίμακα των δεδομένων. Επομένως, δεν είναι εφικτή η σύγκριση μεταξύ διαφορετικών χρονικών σειρών ή διαφορετικών χρονικών διαστημάτων. Για να είναι εφικτή τέτοιου είδους σύγκριση απαιτείται σχετική ή ποσοστιαία μέτρηση σφάλματος, που ορίζεται ως: = ( ) X 100 εξίσωση 1.5 Τα ακόλουθα δύο σχετικά μέτρα χρησιμοποιούνται συχνά: MPE = εξίσωση 1.6 mean percentage error MΑPE = εξίσωση 1.7 mean absolute percentage error Η εξίσωση 1.5 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ποσοστιαίου σφάλματος για οποιαδήποτε χρονική περίοδο (Wonnacott, T.H. and R.J. Wonnacott 1990). Το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εξίσωση 1.6 και να ληφθεί το μέσο ποσοστιαίο σφάλμα. Ωστόσο, το ME και MPE είναι πιθανό να είναι μικρό εφόσον θετικά και αρνητικά ποσοστιαία σφάλματα τείνουν να αντισταθμίζουν το ένα το άλλο. Ως εκ τούτου, το MAPE ορίζεται χρησιμοποιώντας τις απόλυτες τιμές του ποσοστιαίου σφάλματος στην εξίσωση 1.7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΚΙΝΗΤΟΙ ΜΕΣΟΙ ΟΡΟΙ 3.1 Αποσύνθεση Χρονοσειρών Αρκετές μέθοδοι πρόβλεψης βασίζονται στο ότι εάν υπάρχει ένα πρότυπο στην σειρά δεδομένων, τότε αυτό το πρότυπο μπορεί να διαχωριστεί από την τυχαιότητα εξομαλύνοντας τις παλαιότερες τιμές. Το αποτέλεσμα της εξομάλυνσης είναι η εξάλειψη της τυχαιότητας, ώστε το πρότυπο να χρησιμοποιηθεί σαν πρόβλεψη. Σε αρκετές περιπτώσεις το πρότυπο μπορεί να αποσυντεθεί σε υπό-πρότυπα τα οποία αντιστοιχούν σε κάθε ξεχωριστή συνιστώσα της χρονοσειράς. Η αποσύνθεση βοηθάει στην καλύτερη κατανόηση της 12

14 συμπεριφοράς της σειράς, κάτι που επιτρέπει την βελτίωση στην ακρίβεια της πρόβλεψης (Makridakis, S 1997). Οι μέθοδοι αποσύνθεσης προσπαθούν να ταυτοποιήσουν δύο ξεχωριστές συνιστώσες του βασικού προτύπου, που τείνουν να χαρακτηρίζουν οικονομικές και επιχειρηματικές σειρές. Αυτές είναι η τάση-κύκλος (trend-cycle) και οι εποχιακοί παράγοντες. Οι εποχιακοί παράγοντες σχετίζονται με περιοδικές διακυμάνσεις σταθερού μήκους, που προκαλούνται από θερμοκρασία, βροχοπτώσεις, μήνες του χρόνου κλπ. Η τάση-κύκλος αναπαριστά μεγαλύτερης διάρκειας αλλαγές στο επίπεδο των χρονοσειρών. Η τάση-κύκλος μερικές φορές διαχωρίζεται σε συνιστώσες τάσης και κυκλικότητας, αλλά πρόκειται για μια τεχνητή διάκριση και οι περισσότερες διαδικασίες αποσύνθεσης αφήνουν την τάση και την κυκλικότητα σαν μια ενιαία συνιστώσα γνωστή ως τάση-κύκλος. 3.2 Κινητός Μέσος Όρος Πρέπει να υπολογιστεί η τάση-κύκλος (Makridakis S 1997) κάθε παρατήρησης. Η μέθοδος του κινητού μέσου όρου στηρίζεται στην εξής παραδοχή, οι κοντινές χρονικά παρατηρήσεις είναι πιθανό να είναι κοντινές και στις τιμές τους. Ο παράγοντας της τυχαιότητας (randomness) στα δεδομένα περιορίζεται μέσω του μέσου όρου, με αποτέλεσμα να απομένει ένα εξομαλυμένο στοιχείο κύκλου τάσης. Θα πρέπει να αποφασισθεί πόσα σημεία δεδομένων (data points) θα συμπεριληφθούν σε κάθε μέσο όρο. Έστω ότι χρησιμοποιούνται τρία σημεία για τον μέσο όρο, τα οποία είναι η παρατήρηση-σημείο για το οποίο υπολογίζεται η τάση-κύκλος και τα σημεία δεξιά και αριστερά της προαναφερθείσας παρατήρησης/σημείου. Για παράδειγμα, η τάση-κύκλος για τον Φεβρουάριο του πρώτου χρόνου υπολογίζεται ως ο μέσος όρος των πωλήσεων για τους μήνες Ιανουάριο, Φεβρουάριο και Μάρτιο του ίδιου χρόνου: Γενικότερα, ένας κινητός μέσος όρος τριών σημείων που επικεντρώνεται στο χρόνο t, έχει ως εξής: 13

15 Ο επόμενος πίνακας παρουσιάζει πως μπορεί να εφαρμοστεί η μέθοδος του κινητού μέσου όρου με τρία σημεία, σε κάθε μήνα του πρώτου χρόνου χρησιμοποιώντας τα δεδομένα πωλήσεων μπύρας. Επίσης δεν μπορεί να βρεθεί η τάση-κύκλος για τον μήνα Ιανουάριο, καθώς η παρατήρηση πριν από αυτόν τον μήνα δεν είναι διαθέσιμη. ΜΗΝΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΚΙΝΗΤΟΣ ΤΙΜΗ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΜΕΣΟΣ ΟΡΟΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ 3-ΜΗΝΩΝ 5-ΜΗΝΩΝ Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοεμ Δεκ Ιαν Φεβ Πίνακας 3.1 Μέθοδος κινητού μέσου όρου με τρία σημεία Η μέθοδος ονομάζεται κινητός μέσος όρος, καθώς κάθε μέσος όρος υπολογίζεται εξαιρώντας την τελευταία παρατήρηση και περιλαμβάνοντας την επόμενη. Η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να υπολογιστεί η τάση-κύκλος για κάθε παρατήρηση της οποίας τα στοιχεία που θα ληφθούν υπόψη στο υπολογισμό του μέσου όρου είναι διαθέσιμα. Ο αριθμός των σημείων που θα συμπεριληφθούν στον υπολογισμό του μέσου όρου επηρεάζει την εξομάλυνση του αποτελέσματος/εκτίμησης. Το επόμενο σχήμα δείχνει τον κινητό μέσο όρο με πέντε σημεία, όπου εφαρμόζεται στα ίδια δεδομένα και η τάση-κύκλος είναι πιο εξομαλυμένη σε σχέση με αυτό από τον κινητό μέσο όρο τριών σημείων. Για να 14

16 υπολογιστεί ο κινητός μέσος όρος πέντε σημείων, απλά λαμβάνονται υπόψη οι δύο προηγούμενες και οι δύο επόμενες παρατηρήσεις. Ως half-width ενός κινητού μέσου όρου, ορίζεται ο αριθμός των σημείων που λαμβάνονται υπόψη και βρίσκονται στην αριστερή ή δεξιά πλευρά της παρατήρησης για την οποία υπολογίζεται το trend-cycle. Το half-width συμβολίζεται με το γράμμα m. Επομένως για τον κινητό μέσο όρο με τρία σημεία το half-width είναι m=1, ενώ για πέντε σημεία είναι m=2. Ο απλός κινητός μέσος όρος μπορεί να ορισθεί για έναν οποιοδήποτε μονό αριθμό σημείων. Ένας κινητός μέσος όρος με k σημεία, όπου k είναι ένας μονός και ακέραιος αριθμός, υπολογίζεται χρησιμοποιώντας μια συγκεκριμένη παρατήρηση/σημείο και τα m = σημεία από την δεξιά και αριστερή πλευρά της παρατήρησης. Άρα: Από το προηγούμενο σχήμα προκύπτει ότι όσο περισσότερες παρατηρήσεις συμπεριληφθούν στον κινητό μέσο όρο (δηλαδή όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του k), τόσο πιο εξομαλυμένο θα είναι η τάση-κύκλος. Ο καθορισμός του απαραίτητου αριθμού σημείων ενός κινητού μέσου όρου είναι ένα αρκετά σημαντικό ζήτημα στις μεθόδους αποσύνθεσης (Newbold, P. and T. Bos, 1994). Ένας μεγαλύτερος αριθμός όρων που συμπεριλαμβάνονται στον υπολογισμό του κινητού μέσου όρου, αυξάνει την πιθανότητας εξάλειψης της τυχαιότητας. Παρόλα αυτά, όσο μεγαλύτερο είναι το μήκος του κινητού μέσου όρου τόσο περισσότερες πληροφορίες χάνονται κατά την διαδικασία, καθώς k τιμές δεδομένων απαιτούνται για έναν μέσο όρο k-όρων. Υπολογίζοντας έναν κινητό μέσο όρο με k-όρους, m = (k-1)/2 γειτονικά σημεία χρειάζονται και από τις δύο πλευρές της παρατήρησης. Γι αυτό, δεν είναι δυνατόν να υπολογιστεί το η τάση-κύκλος κοντά στην αρχή και το τέλος των παρατηρήσεων. Οι m όροι που χάνονται στην αρχή των δεδομένων συνήθως δεν επιφέρουν κάποια συνέπεια. Όμως, οι m όροι που χάνονται στο τέλος είναι ιδιαίτερα σημαντικοί εφόσον αποτελούν το σημείο εκκίνησης για την διαδικασία της πρόβλεψης. Όχι μόνο οι κυκλικές τιμές για τις περιόδους t+1, t+2 κ.ο.κ 15

17 πρέπει να υπολογιστούν, αλλά ακόμα πρέπει να υπολογιστούν οι τιμές για τις περιόδους t-1, t-2,, t-m+1. Προκειμένου να επιλυθεί το πρόβλημα με τις μη διαθέσιμες τιμές στην αρχή και στο τέλος των δεδομένων, πρέπει να χρησιμοποιηθεί ένας κινητός μέσος όρος μικρότερου μεγέθους. Μια προσέγγιση είναι να χρησιμοποιηθούν μόνο τα σημεία που είναι διαθέσιμα. Για παράδειγμα, ένας κινητός μέσος όρος με τρία σημεία, στην πρώτη περίοδο θα είχε ως αποτέλεσμα T1 = (Y1+Y2)/2, εφόσον μόνο αυτές οι δύο παρατηρήσεις είναι διαθέσιμες. Ως εκ τούτου, χρησιμοποιείται μικρότερο μήκος κινητού μέσου όρου στο τέλος των δεδομένων και προσαρμόζεται ο μέσος όρος ώστε να βρίσκεται στο κέντρο του σημείου για το οποίο για υπολογισθεί το trend-cycle. 3.3 Centered κινητός μέσος όρος Ο κινητός μέσος όρος (Makridakis S, 1997), απαιτεί περιττό αριθμό παρατηρήσεων για τον υπολογισμό κάθε μέσου όρου. Αυτό συμβαίνει για να διασφαλιστεί ότι ο μέσος όρος θα βρίσκεται στο μέσο των τιμών που θα ληφθούν υπόψη κατά τον υπολογισμό του μέσου όρου. Σε περίπτωση που πρέπει να υπολογιστεί ο κινητός μέσος όρος με ζυγό αριθμό σημείων, τότε η τάση-κύκλος της τρίτης περιόδου θα είχε υπολογιστεί ως εξής: ( )/4= ή ( )/4= Άρα, θα πρέπει να συμπεριληφθούν δύο όροι από τα αριστερά και ένας από τα δεξιά της παρατήρησης, ή ένας όρος από τα αριστερά και δύο από τα δεξιά. Στην πρώτη περίπτωση το κέντρο του κινητού μέσου όρου είναι στο 2.5 (μισή περίοδο νωρίτερα), ενώ στην δεύτερη περίπτωση το κέντρο είναι στο 3,5 ( μισή περίοδο αργότερα). Ωστόσο, ο μέσος όρος των δύο κινούμενων μέσων ορών είναι 3. Επομένως, το πρόβλημα μπορεί να επιλυθεί υπολογίζοντας τον κινητό μέσο όρο δύο περιόδων από τους αρχικούς κινητούς μέσους όρους τεσσάρων περιόδων. Ο centered κινητός μέσος όρος συμβολίζεται 2 Χ 4 MA. Στον πίνακα που ακολουθεί φαίνεται το αποτέλεσμα της διαδικασίας, όπου στην πέμπτη στήλη εμφανίζεται ο μέσος όρος δύο διαδοχικών τιμών της τέταρτης στήλης. 16

18 ΜΗΝΑΣ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΤΙΜΗ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗΣ 4 ΜΑ 2 Χ 4 ΜΑ Ιαν Φεβ Μαρ Απρ Μαι Ιουν Ιουλ Αυγ Σεπ Οκτ Νοε Δεκ Ιαν Φεβ Πίνακας 3.2 Ο centered κινητός μέσος όρος 2 Χ 4 MA Ένας centered κινητός μέσος όρος μπορεί να περιγραφεί σαν ένα μοναδικό αλλά και σταθμικό κινητό μέσο όρο, όπου η στάθμιση για κάθε περίοδο είναι διαφορετική. Τ 2.5 =(Y 1 +Y 2 +Y 3 +Y 4 )/4 Τ 3.5 =( Y 2 +Y 3 +Y 4 +Y 5 )/4 Ο μέσος όρος των δύο 4 MA είναι: Τ 3 = = + )= )/8 Οπότε ο πρώτος και τελευταίος όρος, που συμπεριλαμβάνονται στον μέσο όρο έχουν στάθμιση 1/8=0.125 και οι υπόλοιποι όροι έχουν στάθμιση 1/4=0.25. Δηλαδή, ο κινητός μέσος όρος 2 Χ 4 ΜΑ είναι ισοδύναμος με τον σταθμικό μέσο όρο πέντε σημείων. Άρα, αν το centered 4 MA είχε χρησιμοποιηθεί για τριμηνιαία δεδομένα, τότε σε κάθε τρίμηνο θα είχε δοθεί η ίδια στάθμιση. Τα άκρα του κάθε κινητού μέσου όρου θα ήταν ίδια 17

19 για το ίδιο τρίμηνο διαδοχικών ετών. Αυτή η ιδιότητα κάνει χρήσιμο τον κινητό μέσο όρο 2 Χ 4 ΜΑ για τον υπολογισμό του τάση-κύκλοόταν υπάρχει τριμηνιαία εποχικότητα. 3.4 Διπλός Κινητός Μέσος Όρος (Double Moving Average) Ο centered κινητός μέσος όρος (Makridakis, S, 1997) είναι ένα παράδειγμα για το πώς ένας κινητός μέσος όρος μπορεί από μόνος του να εξομαλυνθεί χρησιμοποιώντας έναν άλλο κινητό μέσο όρο. Οι δύο κινητοί μέσοι όροι μαζί ονομάζονται διπλός κινητός μέσος όρος. Στην πραγματικότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί ένας οποιοσδήποτε συνδυασμός κινητών μέσων ορών για να δημιουργηθεί ένας διπλός κινητός μέσος όρος. Για παράδειγμα ένας 3 Χ 3 κινητός μέσος όρος είναι ένας 3 MA από ένα 3 MA. Είναι ισοδύναμο με έναν σταθμικό κινητό μέσο όρο πέντε περιόδων Τ 2 =(Y 1 +Y 2 +Y 3 )/3 (ένας τρίμηνος κινητός μέσος όρος, για τους μήνες 1, 2 και 3 με κέντρο την περίοδο 2) Τ 3 =( Y 2 +Y 3 +Y 4 )/3 (το ίδιο με το T 2 αλλά για τους μήνες 2, 3 και 4) Τ 4 =( Y 3 +Y 4 +Y 5 )/3 Τ 5 =( Y 4 +Y 5 +Y 6 )/3 T 3 = (T 2 + T 3 + T 4 )/3 (ένας τρίμηνος κινητός μέσος όρος, των κινητών μέσων ορών με κέντρο την περίοδο 3) Αντικαθιστώντας τους όρους της ισότητας, προκύπτει: T 3 = + + )/3 = ( )/9 Η προηγούμενη ισότητα είναι ένας πεντάμηνος σταθμικός κινητός μέσος όρος με στάθμιση.1111,.2222,.3333,.2222,.1111, για τον πρώτο, δεύτερο, τρίτο, τέταρτο και πέμπτο όρο αντίστοιχα. 18

20 3.5 Σταθμικός Κινητός Μέσος Όρος Ο σταθμικός κινητός μέσος όρος (Makridakis S, 1997) k-σημείων εκφράζεται ως Όπου m=(k-1)/2 είναι το half-width και η στάθμιση συμβολίζεται ως. Προκειμένου ο σταθμικός κινητός μέσος όρος να λειτουργήσει σωστά, πρέπει το άθροισμα των σταθμίσεων να είναι ίσο με την μονάδα, καθώς και οι σταθμίσεις να είναι συμμετρικές, δηλαδή να ισχύει =. Το πλεονέκτημα του σταθμικού μέσου όρου είναι ότι η τάση-κύκλος είναι αρκετά πιο εξομαλυμένη. Οι παρατηρήσεις σταθμίζονται αντί να εξαιρούνται απότομα. Κάποια ζεύγη σταθμίσεων χρησιμοποιούνται ευρέως και έχουν πάρει το όνομα τους από αυτούς που τις πρότειναν. Για παράδειγμα, ο Spencer (Spencer, J, 1904) πρότεινε ένα 5 Χ 4 Χ 4 ΜΑ ακολουθούμενο από ένα σταθμικό μέσο όρο πέντε σημείων με στάθμιση. Οι τιμές δεν επιλέχθηκαν τυχαία, αλλά γιατί ο συνδυασμός των κινητών μέσων ορών λειτουργεί ικανοποιητικά. Με κατάλληλους υπολογισμούς συμπεραίνεται ότι ο κινητός μέσος όρος του Spencer είναι αντίστοιχο με ένα σταθμικό κινητό μέσο όρο δεκαπέντε σημείων, των οποίων η στάθμιση είναι -.009, -.019, -.016,.009,.066,.144,.209,.231,.209,.144,.066,.009, -.016, -.019, και Ένα ακόμα ΜΑ του Spencer που χρησιμοποιείται συχνά είναι ο σταθμικός μέσος όρος εικοσιένα σημείων. Επίσης χρησιμοποιείται συχνά ο σταθμικός κινητός μέσος όρος του Henderson. Για παράδειγμα οι μέθοδοι Census Bureau χρησιμοποιούν σταθμικό κινητό μέσο όρο 5-, 7-, 9-, 13-, και 23-σημείων. Η επιλογή ενός συγκεκριμένου κινητού μέσου όρου βασίζεται στην τυχαιότητα των δεδομένων, όσο μεγαλύτερη είναι η τυχαιότητα τόσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των ορών που θα πρέπει να συμπεριληφθούν στον υπολογισμό του μέσου όρου. 19

21 Τα ζεύγη των σταθμίσεων είναι γνωστά και ως συνάρτηση στάθμισης. Ο επόμενος πίνακας περιέχει μερικές συνήθης συναρτήσεις στάθμισης, οι οποίες είναι όλες συμμετρικές οπότε. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΕΞΟΜΑΛΥΝΣΗ 4.1 Μέθοδοι Εκθετικής Εξομάλυνσης Πρόκειται για τις μεθόδους που εμπεριέχουν την έννοια της εκθετικής μείωσης της στάθμισης των παρατηρήσεων που παλιώνουν. Γι αυτό τον λόγο ονομάζονται μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνσης (Gardner, E.S, 1985). Υπάρχει μια μεγάλη ποικιλία τέτοιων μεθόδων, που όλες έχουν την κοινή ιδιότητα απόδοσης μεγαλύτερης στάθμισης στις πιο πρόσφατες τιμές απ ότι στις παλιότερες. Στην περίπτωση των κινητών μέσων ορών, η στάθμιση ανατίθεται στις παρατηρήσεις ανάλογα με το εκάστοτε σύστημα κινητών μέσων όρων που έχει επιλεχθεί. Όμως στην εκθετική εξομάλυνση υπάρχει μια ή περισσότερες παράμετροι εξομάλυνσης που πρέπει να οριστούν και που καθορίζουν την στάθμιση που ανατίθεται σε κάθε παρατήρηση. 4.2 Μονή Εκθετική Εξομάλυνση Έστω ότι πρέπει να προβλεφθεί η επόμενη τιμή της χρονοσειράς, η οποία δεν έχει παρατηρηθεί ακόμα. Η πρόβλεψη συμβολίζεται ως. Όταν η παρατήρηση γίνει διαθέσιμη, το σφάλμα πρόβλεψης θα είναι. Η μέθοδος της μονής εκθετικής εξομάλυνσης (Montgomery, D.C. et al 1990) λαμβάνει την πρόβλεψη της προηγούμενης περιόδου και την προσαρμόζει χρησιμοποιώντας το σφάλμα πρόβλεψης. Άρα το η πρόβλεψη της επόμενης περιόδου είναι:, όπου α είναι μια σταθερά μεταξύ 0 και 1 εξίσωση 1.1 Στην ουσία η νέα πρόβλεψη είναι η παλιά πρόβλεψη προσαρμόζοντας το σφάλμα που προέκυψε. Όταν η τιμή του α είναι κοντά στο 1, η νέα πρόβλεψη περιλαμβάνει μια μεγάλη 20

22 προσαρμογή για το σφάλμα της προηγούμενης πρόβλεψης. Αντίστοιχα, όταν η τιμή του α είναι κοντά στο 0, η νέα πρόβλεψη περιλαμβάνει μια μικρή προσαρμογή. Ως εκ τούτου, το αποτέλεσμα ενός μικρού ή μεγάλου α είναι ανάλογο (με αντίθετο τρόπο) με το αποτέλεσμα του μικρού ή μεγάλου αριθμού των παρατηρήσεων όταν υπολογίζεται ένας κινητός μέσος όρος. Πρέπει να παρατηρηθεί ότι η πρόβλεψη αυτού του είδους, μπορεί να εντοπίζει οποιαδήποτε τάση στα δεδομένα, αφού το περισσότερο που μπορεί να πράξει είναι να προσαρμόσει την επόμενη πρόβλεψη σε ένα βαθμό βάσει του πιο πρόσφατου σφάλματος. Μια βασική αρχή εμπεριέχεται στην ισότητα 1.1, αυτή της αρνητικής αναπληροφόρησης. Το παλιότερο σφάλμα πρόβλεψης χρησιμοποιείται για να διορθωθεί η επόμενη πρόβλεψη με αντίθετη κατεύθυνση από αυτή του σφάλματος. Θα υπάρχει μια συνεχή προσαρμογή μέχρι το σφάλμα να έχει διορθωθεί. Αυτή η βασική αρχή όσο απλή και αν φαίνεται διαδραματίζει σημαντικό ρόλο στην διαδικασία της πρόβλεψης. Αν εφαρμοσθεί σωστά, μπορεί να δημιουργηθεί μια αυτοπροσαρμοζόμενη διαδικασία που διορθώνει το σφάλμα πρόβλεψης αυτόματα. Η ισότητα 1.1 μπορεί να γραφεί και ως: εξίσωση 1.2 Η πρόβλεψη βασίζεται στην στάθμιση της πιο πρόσφατης παρατήρησης, με τιμή στάθμισης (α) και σταθμίζοντας της πιο πρόσφατη πρόβλεψη με στάθμιση 1-α. Η ισότητα 1.2 είναι ο γενικός τύπος που χρησιμοποιείται στις μεθόδους εκθετικής εξομάλυνσης. Επίσης, μειώνεται σημαντικά το πρόβλημα της αποθήκευσης δεδομένων, επειδή πλέον δεν είναι απαραίτητο να αποθηκεύονται όλα τα ιστορικά δεδομένα ή ένα μέρος αυτών όπως στην περίπτωση του κινητού μέσου όρου. Τα μόνα δεδομένα που χρειάζονται αποθήκευση είναι η πιο πρόσφατη παρατήρηση, η πιο πρόσφατη πρόβλεψη και η τιμή της σταθεράς α. Ένα σημείο που χρίζει προσοχής είναι η φάση αρχικοποίησης της μονής εκθετικής εξομάλυνσης. Για να αρχικοποιηθεί το σύστημα πρόβλεψης χρειάζεται μια προηγούμενη πρόβλεψη, η γιατί ισχύει ότι: 21

23 Εφόσον η τιμή της δεν είναι γνωστή, μπορεί να χρησιμοποιηθεί η τιμή της πρώτης παρατήρησης ( σαν πρώτη πρόβλεψη ( ). Μια άλλη πιθανότητα θα ήταν να χρησιμοποιηθεί ο μέσος όρος των πέντε πρώτων τιμών του συνόλου δεδομένων σαν αρχική πρόβλεψη. Ωστόσο η μέθοδος έχει και διάφορα προβλήματα, ένα από αυτά διαφαίνεται στην προσπάθεια εύρεσης της βέλτιστης τιμής για την σταθερά α (Makridakis, S, 1997). Επίσης, τίθεται το ερώτημα βελτιστοποίησης της σταθεράς α ελαχιστοποιώντας το MSE, MAPE ή κάτι άλλο. Στην εκθετική εξομάλυνση το ελάχιστο MSE πρέπει να καθοριστεί μέσω της διαδικασίας trial and error δοκιμή και λάθος. Δηλαδή θα πρέπει να επιλέγεται συνεχώς μια διαφορετική τιμή για την σταθερά α, στην συνέχεια να υπολογίζεται το MSE. Στο τέλος θα πρέπει να επιλεχθεί η τιμή της σταθεράς α που ελαχιστοποιεί το MSE. Συνήθως η βελτιστοποίηση γίνεται βάσει του MSE, γιατί είναι σχετικά εύκολο να βρεθεί η τιμή της σταθεράς α που ελαχιστοποιεί το MSE. Όμως είναι πιθανό η βελτιστοποίηση να σχετίζεται με άλλα μέτρα του σφάλματος πρόβλεψης, όπως για παράδειγμα το MAPE όπου για την ελαχιστοποίηση αυτού του μέτρου η τιμή της σταθεράς α θα ήταν διαφορετική. 4.3 Μονή Εκθετική Εξομάλυνση: Μια Προσαρμοστική Προσέγγιση Η μονή εκθετική εξομάλυνση απαιτεί τον προσδιορισμό της σταθεράς α, από την οποία εξαρτούνται τα MAPE και MSE. Η προσαρμοστική μονή εκθετική εξομάλυνση (ARRSES) έχει ένα πλεονέκτημα σε σχέση με την SES, το οποίο είναι η τροποποίηση της τιμής της σταθεράς α, με έναν ελεγχόμενο τρόπο καθώς διάφορες αλλαγές εμφανίζονται στο υπόδειγμα των δεδομένων. Η βασική εξίσωση πρόβλεψης βάσει της μεθόδου ARRSES είναι παρόμοια με την εξίσωση 1.2 με διαφορά της σταθεράς α που αντικαθίσταται από εξίσωση 1.3 Όπου εξίσωση 1.4 εξίσωση 1.5 εξίσωση 1.6 εξίσωση

24 β είναι μια παράμετρος με τιμές στο διάστημα 0 μέχρι 1 Στην εξίσωση 1.5 το συμβολίζει μια εξομαλυμένη εκτίμηση του σφάλματος πρόβλεψης και υπολογίζεται ως ο σταθμισμένος μέσος όρος του και του τελευταίου σφάλματος πρόβλεψης. Το συμβολίζει μια εξομαλυμένη εκτίμηση του απόλυτου σφάλματος πρόβλεψης και υπολογίζεται ως ο σταθμισμένος μέσος όρος του και του τελευταίου απόλυτου σφάλματος πρόβλεψης. Η εξίσωση 1.5 υποδεικνύει ότι η τιμή της σταθεράς α που χρησιμοποιείται για περίοδο πρόβλεψης (t+2) ορίζεται ως η απόλυτη τιμή του ρυθμού των και. Η αρχικοποίηση της διαδικασίας ARRSES είναι λίγο πιο περίπλοκη από αυτή της SES. = = = =β=0.2 = =0 Οι τιμές της σταθεράς διακυμαίνονται αρκετά σημαντικά και σε περίπτωση που είχε υιοθετηθεί μια διαφορετική διαδικασία, θα είχε παραχθεί μια διαφορετική σειρά τιμών. Ιδιαίτερη προσοχή στην αξιολόγηση της διακύμανσης της σταθεράς. Ένας τρόπος ελέγχου των αλλαγών της είναι ο έλεγχος της τιμής του β, όσο μικρότερη είναι αυτή η τιμή τόσο μικρότερες θα είναι και οι αλλαγές στο. Ένας άλλος τρόπος είναι να τεθεί ένα ανώτατο όριο στο πόσο επιτρέπεται να αλλαχθεί το από την μια περίοδο στην άλλη. Η μέθοδος ARRSES είναι ουσιαστικά ίδια με την μέθοδο SES, με την διαφορά ότι η τιμή της σταθεράς α συστηματικά και αυτόματα αλλάζει από περίοδο σε περίοδο για να επιτραπούν αλλαγές στο υπόδειγμα των δεδομένων. Παρ όλα αυτά μπορεί να χρειαστούν μια ή δύο περίοδοι προκειμένου η σταθερά α να προφτάσει τις αλλαγές στο υπόδειγμα των δεδομένων. Ως εκ τούτου ακόμα και αν οι προβλέψεις της μεθόδου είναι κάπως κατώτερες από αυτές της μονής εκθετικής μεθόδου με βέλτιστη τιμή της σταθεράς α, ίσως να είναι προτιμότερη εξαιτίας της μείωσης του ρίσκου σοβαρών σφαλμάτων και παρέχει ένα σύστημα με ελάχιστες διαχειριστικές ανησυχίες. Το γεγονός ότι το ARRSES είναι εντελώς αυτόματο και επιπλέον αθροίζοντας τα υπόλοιπα πλεονεκτήματα σε σχέση με την μονή εκθετική εξομάλυνση, θεωρείται χρήσιμη μέθοδος στην πράξη όταν περιλαμβάνεται ένας μεγάλος αριθμός αντικειμένων και όταν τα δεδομένα δεν είναι εποχιακά και δεν παρουσιάζουν τάση. 23

25 4.4 Η γραμμική μέθοδος Holt O Holt επέκτεινε την μονή εκθετική εξομάλυνση σε γραμμική εκθετικής εξομάλυνση (Holt, C.C, 1957) ώστε να μπορέσει να κάνει προβλέψεις χρησιμοποιώντας δεδομένα που είχαν τάση. Η πρόβλεψη για την γραμμική εκθετική εξομάλυνση του Holt χρησιμοποιεί δύο σταθερές εξομάλυνσης, α και β, με τιμές μεταξύ 0 και 1, καθώς και τρεις εξισώσεις: εξίσωση 1.8 εξίσωση 1.9 εξίσωση 1.10 Το συμβολίζει μια εκτίμηση του επιπέδου της σειρά στο χρόνο t και το συμβολίζει μια εκτίμηση της κλίσης της σειρά στο χρόνο t. Η εξίσωση 1.8 προσαρμόζει το κατευθείαν στην τάση της προηγούμενης περιόδου,, προστίθοντας το στην τελευταία εξομαλυμένη τιμή,. Αυτό βοηθά στην εξάλειψη της καθυστέρηση και φέρνει το στο κατά προσέγγιση επίπεδο της τιμής των τρεχόντων δεδομένων. Αυτό γίνεται γιατί αν υπάρχει τάση στα δεδομένα, οι νέες τιμές θα πρέπει να είναι υψηλότερες ή χαμηλότερες από τις προηγούμενες. Εφόσον μπορεί να υπάρχει κάποια εναπομένουσα τυχαιότητα, η τάση τροποποιείται εξομαλύνοντας με το β την τάση της τελευταίας περιόδου και προστίθοντας το στην προηγούμενη εκτίμηση της τάσης πολλαπλασιαζόμενο με (1-β). Τέλος η εξίσωση 1.10 χρησιμοποιείται για τις μετέπειτα προβλέψεις. Η τάση,, πολλαπλασιάζεται με τον αριθμό των μετέπειτα περιόδων που θα γίνει πρόβλεψη, m, και προστίθεται στην βασική τιμή. Η αρχικοποίηση της διαδικασίας για την γραμμική εκθετική εξομάλυνση του Holt απαιτεί δύο εκτιμήσεις, η μια για να παρθεί η πρώτη εξομαλυμένη τιμή για το και η άλλη για να παρθεί η τάση. Η μια εναλλακτική είναι να τεθεί: = = ή =( Μια άλλη εναλλακτική είναι να χρησιμοποιηθεί παλινδρόμηση ελαχίστων τετραγώνων σε μερικές από τις πρώτες τιμές της σειράς για να βρεθεί το L 1 και το b 1 24

26 Όπως και με την μονή εκθετική εξομάλυνση, τα βάρη α και β μπορούν να επιλεχθούν ελαχιστοποιώντας την τιμή MSE ή κάποιο άλλο κριτήριο. Αυτό θα μπορούσε να γίνει υπολογίζοντας το MSE για όλους τους συνδυασμούς των τιμών α και β, και στην συνέχεια επιλέγοντας τον συνδυασμό α και β που αντιστοιχεί στο μικρότερο MSE. 4.5 Η μέθοδος Holt-Winter με τάση και εποχικότητα Η μέθοδος του κινητού μέσου όρου και της εκθετικής εξομάλυνση μπορούν να ανταπεξέλθουν με όλους του τύπους των δεδομένων, εκτός και αν αυτά παρουσιάζουν εποχικότητα. Η μέθοδος του Holt επεκτάθηκε από τον Winters (Winters, P.R, 1960), ώστε να μπορεί άμεσα να ληφθεί υπόψη η εποχικότητα. Η μέθοδος βασίζεται σε τρεις εξισώσεις, μια για το επίπεδο (level), μια για την τάση και μια για την εποχικότητα. Παρουσιάζεται μεγάλη ομοιότητα με την μέθοδο του Holt με την διαφορά ότι υπάρχει μια επιπλέον εξίσωση, που σχετίζεται με την εποχικότητα. Υπάρχουν δύο διαφορετικές μέθοδοι Holt-Winters, ανάλογα με το αν η εποχικότητα διαμορφώνεται προσθετικά ή πολλαπλασιαστικά. Η βασική εξίσωση για την πολλαπλασιαστική μέθοδο Holt-Winters (Chatfield, C, 1988) είναι Level-Επίπεδο = α + (1 - α)( ) εξίσωση 1.11 Τάση =β( ) + (1 - β) εξίσωση 1.12 Εποχικότητα =γ + (1 - γ) εξίσωση 1.13 Πρόβλεψη = ( ) εξίσωση 1.14 Όπου το s είναι το μήκος της εποχικότητας (πχ αριθμός μηνών), L t αναπαριστά το επίπεδο (level) της σειράς, το συμβολίζει την τάση, το είναι το στοιχείο της εποχικότητας και το είναι η πρόβλεψη για τις επόμενες m περιόδους. Σημαντικό για την κατανόηση της μεθόδου είναι ότι το είναι μια εξομαλυμένη (μέση) τιμή, η οποία δεν εμπεριέχει εποχικότητα. Οι τιμές των δεδομένων περιέχουν εποχικότητα 25

27 αλλά και τυχαιότητα. Για να εξομαλυνθεί αυτή η τυχαιότητα, η εξίσωση 1.13 σταθμίζει τον νέο υπολογισμένο εποχιακό παράγοντα με το γ και τον πιο πρόσφατο εποχιακό αριθμό που αντιστοιχίζεται στην ίδια περίοδο με (1 γ) Η εξίσωση 1.12 είναι ακριβώς ίδια με την εξίσωση 1.9 της μεθόδου Holt για την εξομάλυνση της τάσης. Η εξίσωση 1.11 διαφέρει ελάχιστα από την 1.8, όπου ο πρώτος όρος διαιρείται με τον εποχιακό αριθμό. Αυτό γίνεται για την εξάλειψη των εποχικών διακυμάνσεων του. Όπως με όλες τις μεθόδους εκθετικής εξομάλυνσης, χρειάζονται αρχικές τιμές των στοιχείων για να λειτουργήσει ο αλγόριθμος. Για την αρχικοποίηση (Ledolter, J, 1984) της μεθόδου Holt- Winters, χρειάζονται αρχικές τιμές για το επίπεδο, την τάση και τους εποχιακούς δείκτες. Για να καθοριστούν οι αρχικές εκτιμήσεις για τους εποχιακούς δείκτες πρέπει να χρησιμοποιηθούν τα δεδομένα τουλάχιστον μιας ολόκληρης season (δηλαδή s περίοδοι). Για αυτό τον λόγο η αρχικοποίηση της τάσης και του επιπέδου γίνεται στην περίοδο s. Το επίπεδο αρχικοποιείται υπολογίζοντας τον μέσο όρο της πρώτης season: Πρόκειται για έναν κινητό μέσο όρο τάξεως s και θα πρέπει να εξαλειφθεί η εποχικότητα στα δεδομένα. Για την αρχικοποίηση της τάσης είναι βολικό να χρησιμοποιηθούν δύο ολόκληρες season: Καθένας από αυτούς τους όρους είναι μια εκτίμηση της τάσης πάνω σε μια ολόκληρη season και η αρχική εκτίμηση του είναι ο μέσος όρος αυτών των ορών. Τέλος, οι εποχιακοί δείκτες αρχικοποιούνται διαιρώντας μερικές από τις πρώτες τιμές των δεδομένων με τον μέσο του πρώτου χρόνου:,,, 26

28 Οι παράμετροι α, β, και γ μπορούν να επιλεχθούν βάσει της ελαχιστοποίησης του MSE και MAPE. Μια προσέγγιση καθορισμού αυτών των τιμών είναι η χρήση μη γραμμικού αλγορίθμου βελτιστοποίησης για να βρεθεί η βέλτιστη τιμή των παραμέτρων. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ 5.1 Μέθοδοι Παλινδρόμησης Οι μέθοδοι εκθετικής εξομάλυνσης είναι καταλληλότερες για άμεσες ή σύντομου χρονικού διαστήματος προβλέψεις όταν χρειάζεται ένας μεγάλος αριθμός προβλέψεων. Οι μέθοδοι αποσύνθεσης (Pindyck, R.S., 1991) απαιτούν περισσότερους υπολογισμούς και ιδιαίτερη προσοχή από κάποιον χρήστη, αφού αυτός πρέπει να προβλέψει τον κύκλο (cycle) μόνο με έμμεση βοήθεια από τις πληροφορίες που παρέχονται από την μέθοδο. Άρα οι μέθοδοι αποσύνθεσης απαιτούν περισσότερο χρόνο και περιορίζουν των αριθμό των αντικειμένων για τα οποία θα γίνει η πρόβλεψη. Οι προβλέψεις στις μονές χρονοσειρές είναι εντελώς διαφορετικές από αυτές που συνδυάζουν δεδομένα σειρών και παράγουν ένα μοντέλο που εκφράζει την λειτουργική σχέση μεταξύ των μεταβλητών. Σε αυτό το σημείο η πρόβλεψη εκφράζεται σαν μια συνάρτηση συγκεκριμένου αριθμού παραγόντων που επηρεάζουν το αποτέλεσμα. Τέτοιες προβλέψεις δεν είναι απαραίτητα εξαρτώμενες από τον χρόνο. Επιπλέον, ένα επεξηγηματικό μοντέλο που συνδέει την έξοδο με την είσοδο, διευκολύνει την καλύτερη κατανόηση της κατάστασης και επιτρέπει τον πειραματισμό με διάφορους συνδυασμούς εισόδων ώστε να μελετηθεί κατά πόσο επηρεάζεται η πρόβλεψη. 5.2 Απλή Παλινδρόμηση Η απλή παλινδρόμηση (Mendenhall, W., 1996) αναφέρεται σε μια οποιαδήποτε παλινδρόμηση μιας μόνο μεταβλητής Y (μεταβλητή πρόβλεψης ή εξαρτημένη μεταβλητή) σε μια μεταβλητή X ( επεξηγηματική ή ανεξάρτητη μεταβλητή). Εξετάζεται η σχέση των δύο μεταβλητών, με σκοπό να προβλεφθούν οι τιμές της μιας μέσω των τιμών της άλλης. Η 27

29 ανεξάρτητη μεταβλητή Χ είναι εκείνη που μπορεί να ελεχθεί και να καθορισθεί η τιμής, όπως το ύψος μια διαφημιστικής δαπάνης. Οι μεταβολές της ανεξάρτητης μεταβλητής έχουν αντίκτυπο στην εξαρτημένη μεταβλητή Y. Υπάρχει μια γραμμική σχέση μεταξύ της μεταβλητής Y και X, που δίνεται από τον παρακάτω τύπο: Y = α + βx + e Όπου α είναι το σημείο τομής, b είναι η κλίση της γραμμής και e είναι το σφάλμα ( η απόκλιση της παρατήρησης από την γραμμική σχέση). Προκειμένου να απλουστευτούν οι υπολογισμοί και να είναι εφικτή η λύση του προβλήματος, μπορεί να υποθετηθεί ότι τα σφάλματα έχουν τιμή μηδέν και ότι για τις τιμές του Χ, οι αντίστοιχες τιμές του Y βρίσκονται πάνω σε μια ευθεία. Για τον προσδιορισμό μιας εκτίμησης = + Χ της ευθείας Ε(Y/X) = α + βx, θα χρησιμοποιηθεί η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Τα, είναι εκτιμήτριες των α και β αντίστοιχα. Θεωρείται ένα σύνολο από n ζεύγη παρατηρήσεων, που συμβολίζονται ως: ( για I = 1, 2, 3,, n Αναζητείται μια προσέγγιση της μορφής: = α + β + Τα παριστάνουν τις αποκλίσεις της πραγματικής τιμής από την α + β. Δηλαδή, = (α + β ). Η εκτίμηση των α και β θα πρέπει να γίνει με σκοπό να ελαχιστοποιηθούν οι τιμές του τον λόγο αυτό, θα αναζητηθούν οι τιμές των α και β, για τις οποίες ελαχιστοποιείται το άθροισμα των τετραγώνων των. Δηλαδή:. Για = εξίσωση 1.1 Παραγωγίζοντας την εξίσωση 1.1 ως προς α και β, λαμβάνονται οι ακόλουθες δύο κανονικές εξισώσεις: = nα + β 28

30 = a + β Λύνοντας το σύστημα των κανονικών εξισώσεων, προκύπτει: = - ή = και = - Άρα, η εκτίμηση των ελαχίστων τετραγώνων = - της ευθείας παλινδρόμησης από το δείγμα των n ζευγών παρατηρήσεων είναι = - = - + = + ) ή = + ) 5.3 Πολλαπλή Γραμμική Παλινδρόμηση Η απλή γραμμική παλινδρόμηση είναι μια ιδιαίτερη περίπτωση της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης (Makridakis, S, 1997). Στην πολλαπλή γραμμική παλινδρόμηση, πρέπει να προβλεφθεί μια μεταβλητή (πχ οι πωλήσεις), αλλά υπάρχουν δύο ή περισσότερες επεξηγηματικές μεταβλητές. Η γενική μορφή μιας πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης είναι = εξίσωση 1.2 Όπου,,, αναπαριστά την i-οστή παρατήρηση κάθε μεταβλητής Y,,, αντίστοιχα, είναι σταθερές αλλά άγνωστες παράμετροι και είναι μια τυχαία μεταβλητή, η οποία ακολουθεί κανονική κατανομή και παίρνει τιμές μεταξύ του 0 και του 1 και έχει διακύμανση Η μορφή του μοντέλου παλινδρόμησης είναι γραμμική ως προς τους συντελεστές. Ο εκθέτης κάθε συντελεστή είναι 1 και ο υπολογισμός των συντελεστών μπορεί να γίνει χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (LS method). Η μορφή της συνάρτησης που συνδέει το Y με τις υπόλοιπες μεταβλητές πλέον δεν είναι τόσο εύκολο να περιγραφεί. Όπως και στην περίπτωση της απλής γραμμικής παλινδρόμησης πρέπει να γίνουν κάποιες σημαντικές υποθέσεις σχετικά με το και το : 29

31 Οι επεξηγηματικές μεταβλητές,, παίρνουν τιμές οι οποίες είναι είτε σταθεροί αριθμοί (μετρημένοι χωρίς σφάλμα) είτε είναι τυχαίοι αλλά ασυσχέτιστοι με τους παράγοντες σφάλματος. Σε κάθε περίπτωση οι τιμές (j = 1, 2,, k) δεν πρέπει να είναι όλες ίδιες. Οι παράγοντες σφάλματος είναι ασυσχέτιστοι μεταξύ τους. Οι παράγοντες σφάλματος όλοι έχουν μέσο το μηδέν, διακύμανση και ακολουθούν κανονική κατανομή Ο σκοπός είναι ο υπολογισμός των άγνωστων παραμέτρων της εξίσωσης 1.2 και μια εκτίμηση της διακύμανσης. Έστω ότι οι επεξηγηματικές μεταβλητές ήταν τρεις, τότε: = = Χρησιμοποιείται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων για να βρεθεί το ελάχιστο άθροισμα των τετραγώνων των παραγόντων σφάλματος, που είναι S = = = Το πρόβλημα λύνεται παίρνοντας μερικά παράγωγα του S με τα αντίστοιχα από κάθε άγνωστο συντελεστή και θέτοντας αυτά τα παράγωγα ίσα με το μηδέν και στην συνέχεια λύνοντας τέσσερεις εξισώσεις με τέσσερεις αγνώστους για να υπολογιστούν οι τιμές των. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΜΟΝΤΕΛΑ ΝΕΩΝ ΠΡΟΪΟΝΤΩΝ Μέχρι στιγμής έχουν αναφερθεί διάφορες μέθοδοι προβλέψεων, που σχετίζονται με προϊόντα που έχουν περάσει τα αρχικά στάδια της εξέλιξης τους και επομένως υπάρχουν ιστορικά δεδομένα. Υπάρχει η ανάγκη πρόβλεψης των αγορών για τέτοια προϊόντα προκειμένου να υποστηριχθούν αποφάσεις σχεδιασμού κτλ. Ωστόσο, δεν είναι όλα τα προϊόντα ώριμα. Συχνά υπάρχει η ανάγκη πρόβλεψης μιας αγοράς η οποία διαθέτει λίγα ή και καθόλου ιστορικά δεδομένα. Για παράδειγμα, μια εταιρία μπορεί να έχει σχεδιάσει ένα πολλά υποσχόμενο προϊόν. Πρέπει να αποφασισθεί αν θα υποστηριχθεί το συγκεκριμένο προϊόν με επένδυση κεφαλαίου. Όπως επίσης, πρέπει να αποφασισθεί αν 30

32 αξίζει να επενδυθούν χρήματα στην παραγωγική διαδικασία, ώστε να εξελιχθεί το προϊόν από το ερευνητικό στάδιο στο παραγωγικό. Μια τέτοια απόφαση περιλαμβάνει προβλέψεις σε όγκο πωλήσεων, περιθώρια κέρδους και απαιτούμενα κεφάλαια, με λίγα ή και καθόλου ιστορικά δεδομένα. Στην πραγματικότητα, πολύ συχνά αποφάσεις που σχετίζονται με το αν πρέπει να υποστηριχθεί ένα νέο προϊόν στηρίζονται ελάχιστα σε αναλυτικές προβλέψεις και πολύ περισσότερο σε εμπειρικό στοχασμό. Αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθεί με μερικούς τρόπους που καθιστούν εφικτή την αναλυτική πρόβλεψη σε τέτοιες περιστάσεις, καλύπτοντας την περίπτωση των ελάχιστων καθώς και των μηδαμινών δεδομένων. Το παράδειγμα που αναφέρθηκε προηγουμένως ανήκει στην κατηγορία των μηδαμινών δεδομένων. Από την στιγμή που το προϊόν θα λανσαριστεί χρησιμοποιώντας μια πιλοτική γραμμή παραγωγής (pilot plant), το σημείο ανάληψης της επόμενης απόφασης επέρχεται μετά από 3-4 χρόνια, όπου έχουν συλλεχθεί και τα ανάλογα ιστορικά δεδομένα. Τα οποία είναι επαρκή για τα μοντέλα των προηγούμενων κεφαλαίων, αυτό το παράδειγμα ανήκει στην περίπτωση των ελάχιστων δεδομένων. Εναλλακτικά, μπορεί να υπάρχει ένα νέο προϊόν που πρόκειται να λανσαριστεί σε μια αγορά που κάποιος ανταγωνιστής ήδη υπάρχει. Αν ο ανταγωνιστής δραστηριοποιείται σε αυτήν την αγορά με ένα συγκεκριμένο προϊόν και για μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο, τότε με κατασκοπεία αγοράς (market intelligence) μπορεί να παρασχεθεί μια εκτίμηση της αγοράς για αυτό το χρονικό διάστημα, κάτι που πάλι εμπίπτει στην κατηγορία των ελάχιστων δεδομένων. Οπωσδήποτε, δεν θα πρέπει να υπάρχει η προσδοκία της ακριβής πρόβλεψης, χωρίς να λαμβάνεται υπόψη το πλεονέκτημα χρήσης επαρκών δεδομένων. Ωστόσο, τυπικά τα μοντέλα πρόβλεψης νέων προϊόντων αντισταθμίζουν τα ανεπαρκή και ασταθή δεδομένα με κρυφά δεδομένα, που περιγράφουν πως η αγορά προβλέπεται να εξελιχθεί, βασιζόμενοι στην εμπειρία που έχει αποκομιστεί από άλλα προϊόντα. Χρησιμοποιώντας τέτοια μοντέλα μπορούν να αποφευχθούν παγίδες, όπως ο επηρεασμός που τείνει να είναι στοιχείο των προβλέψεων βασιζόμενων σε διάφορες γνώμες. 6.1 ΜΕΘΟΔΟΙ DATA FREE Σαν παράδειγμα μπορεί να χρησιμοποιηθεί μια φανταστική περίπτωση, ενός υψηλής απόδοσης πλαστικού που έχει παραχθεί από το τμήμα Έρευνας και Παραγωγής. Διαθέτει καλή θερμοκρασία και αντοχή, πολύ καλύτερη από άλλα υλικά που χρησιμοποιούνται στην κατασκευή εμπορικών αεροσκαφών. Σε αυτό τον τομέα εφαρμόζονται οι περισσότερες 31

33 δυνατότητες του πλαστικού. Προτείνεται να χτιστεί ένα πιλοτικό εργοστάσιο (pilot plant). Προκειμένου να προχωρήσει η πρόταση αυτή, θα πρέπει πρώτα να απαντηθούν κάποιες ερωτήσεις. 1. Αν υπάρχει διαθέσιμο κεφάλαιο για να χτιστεί ένα πιλοτικό εργοστάσιο. 2. Σε περίπτωση που το εργοστάσιο είναι επιτυχές, αν θα υπάρχει διαθέσιμο κεφάλαιο για την επέκταση των εγκαταστάσεων παραγωγής. 3. Αν το νέο προϊόν ταιριάζει στο υπάρχον χαρτοφυλάκιο προϊόντων. 4. Ποια είναι η πιθανή ανταγωνιστική αντίδραση από i. Τον προμηθευτή του υλικού. ii. Των άλλων πιθανών παραγωγών του νέου πλαστικού 5. Ποια είναι τα προσδοκώμενα περιθώρια κέρδους μακροπρόθεσμα. 6. Ποιος είναι ο πιθανός όγκος των πωλήσεων. Οι πρώτες δύο ερωτήσεις μπορούν εύκολα να απαντηθούν. Η 3 ερώτηση απαντάται με ανάλυση χαρτοφυλακίου, για παράδειγμα με την Boston matrix. Οι ερωτήσεις 4 και 5 σχετίζονται με το αν ο ανταγωνιστικός προμηθευτής αντισταθεί χαμηλώνοντας τις τιμές μεσοπρόθεσμα. Το προϊόν θα σημειώσει ζημίες τα πρώτα χρόνια και αυτές οι ζημίες θα ενταθούν από την προαναφερθείσα ανταγωνιστική αντίδραση. Από την άλλη, οι χαμηλές τιμές εμποδίζουν άλλους ενδεχόμενους παραγωγούς του νέου πλαστικού, από το να εισέλθουν στην αγορά. Σε αυτό το σημείο η προσοχή στρέφεται σε προβλέψεις που αφορούν το περιθώριο κέρδους καθώς και τις ταμειακές ροές Ανάλυση τελικής χρήσης (end use) Ένας μεγάλος αριθμός πιθανών τελικών χρήσεων μπορούν να προταθούν για το συγκεκριμένο προϊόν, κάθε μια από τις οποίες πρέπει να αναλυθεί. Σε κάθε περίπτωση πρέπει να είναι βέβαιο πως το νέο προϊόν διαθέτει σημαντικά πλεονεκτήματα σε σχέση με τα υπάρχοντα προϊόντα της ίδιας τελικής χρήσης, και τα σχετικά κόστη των υλικών είναι τέτοια ώστε μπορεί να δημιουργηθεί κέρδος μακροπρόθεσμα από το νέο προϊόν. Αν πληρούνται αυτές οι συνθήκες, τότε μπορεί να δημιουργηθεί μια πρόβλεψη για την χρήση του νέου προϊόντος ως προς την συγκεκριμένη εφαρμογή. Αυτό γίνεται ενεργώντας ως εξής: 1. Προβλέποντας την αγορά για το συγκεκριμένη τελική χρήση. Στο παράδειγμα που δόθηκε, αυτό περιλαμβάνει την πρόβλεψη των πωλήσεων των εμπορικών αεροσκαφών, πιθανώς με μέσα ειδικών εμπορικών προβλέψεων. 32

34 2. Προβλέποντας την διείσδυση ή το μερίδιο αγοράς του προϊόντος στην αγορά τελικής χρήσης. Αυτό εξαρτάται, τουλάχιστον μερικώς, από την πολιτική τιμολόγησης. Ωστόσο, μια γενική ιδέα μπορεί να αποκομισθεί σχετικά με το πόσο γρήγορα τα νέα υλικά μπορούν να ενσωματωθούν σε μια βιομηχανία, παρατηρώντας την εισαγωγή καινοτόμων υλικών στην συγκεκριμένη βιομηχανία κατά το παρελθόν. 3. Εφαρμόζοντας την φόρμουλα: Αυτό μπορεί να επαναληφθεί για όλες τις κυριότερες τελικές χρήσεις και το αποτέλεσμα μπορεί να αθροιστεί για να προκύψει μια ολοκληρωμένη πρόβλεψη πωλήσεων για το προϊόν. Το σχήμα 2.1 απεικονίζει την διαδικασία για ένα προϊόν με τρείς κυρίως τελικές χρήσεις, συμβάλλοντας κατά 30, 50 και 20 τοις εκατό των συνολικών πωλήσεων αντίστοιχα. Δυστυχώς, η συγκεκριμένη μέθοδος πάσχει από προβλήματα, που προέρχονται από την παρεχόμενη πρόβλεψη διείσδυσης και πρόβλεψη των νέων τελικών χρήσεων που μπορεί να προκύψουν στο μέλλον. Από την άλλη, δεν απαιτούνται καθόλου ιστορικά δεδομένα. Σχήμα 6.1 Προβλέψεις πωλήσεων από ανάλυση τελικής χρήσης πηγή Βusiness Forecasting and Planning, p Παράλληλα Προϊόντα Η μέθοδος των παράλληλων προϊόντων είναι και αυτή ανεξάρτητη των δεδομένων παρελθοντικών πωλήσεων, και διαβεβαιώνει ότι οι προβλέψεις πωλήσεων τουλάχιστον συγκλίνουν με την παρελθοντική εμπειρία. Συντάσσεται μια μικρή λίστα παρόμοιων προϊόντων με παρόμοιες τελικές χρήσεις. Έπειτα, εξετάζονται τα αρχικά χρόνια της αγοράς για αυτά τα προϊόντα και υπολογίζεται ο ετήσιος ρυθμός ανάπτυξης της αγοράς για κάθε προϊόν. Αυτό γίνεται από την στιγμή που τελειώνει η φάση παραγωγής (development phase), εφόσον πριν από αυτό το στάδιο η αγορά τείνει να αναπτύσσεται. Το ίδιο επαναλαμβάνεται 33

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προβλέψεις http://www.fsu.gr - lesson@fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Επιλογή Μεθόδου Συνδυασμός Μεθόδου Διάλεξη 10

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Επιλογή Μεθόδου Συνδυασμός Μεθόδου Διάλεξη 10 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Επιλογή Μεθόδου Συνδυασμός Μεθόδου Διάλεξη 10 Επιλογή κατάλληλης

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις

Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Χρονικές σειρές 11 Ο μάθημα: Προβλέψεις Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό Τμήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Διαχείριση Πληροφοριών

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Διαχείριση Πληροφοριών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Μία χρονοσειρά είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων πάνω σε μία ποσοτική μεταβλητή που συγκεντρώνονται με το πέρασμα του χρόνου. Πρόκειται για δεδομένα πάνω στη συμπεριφορά μιας ή πολλών μεταβλητών

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Απλός Κινητός Μέσος (Simple -equally-weighted- Moving Average)

1.2 Απλός Κινητός Μέσος (Simple -equally-weighted- Moving Average) Μέθοδοι Εξομάλυνσης Οι διαδικασίες της εξομάλυνσης (smoohig και της παρεμβολής (ierpolaio αποτελούν ένα περίπλοκο πεδίο έρευνας και γνώσης και έχουν άμεση πρακτική εφαρμογή στις οικονομικές επιστήμες..

Διαβάστε περισσότερα

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ

ΗΡΑΚΛΕΙΟ 2007 ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΙΩΑΝΝΑ ΚΑΠΕΤΑΝΟΥ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Γιατί οι επιχειρήσεις έχουν ανάγκη την πρόβλεψη σελ.1 1.2 Μέθοδοι πρόβλεψης....σελ.2 ΑΝΑΛΥΤΙΚΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ 2.1 Υπόδειγμα του Κινητού μέσου όρου.σελ.5 2.2 Υπόδειγμα

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις

Τεχνικές Προβλέψεων. Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & StrategyUnit Τεχνικές Προβλέψεων Προβλέψεις http://www.fsu.gr - lesson@fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς. -

2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς.  - ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ. ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΣΧΟΛΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΚΑΙ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4η ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΖΗΤΗΣΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΦΑΝΟΥΡΓΙΑΚΗΣ ΕΠΙΣΤΗΜΟΝΙΚΟΣ ΣΥΝΕΡΓΑΤΗΣ ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣ ΔΟΜΗ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΣ 1. Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΘΕΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Αριθμητικός Μέσος Εξομάλυνση Μοντελοποίηση. Συνδυασμός κάποιου μοντέλου και εξομάλυνσης. Διαχείριση Πληροφοριών 10.

ΣΥΝΘΕΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ. Αριθμητικός Μέσος Εξομάλυνση Μοντελοποίηση. Συνδυασμός κάποιου μοντέλου και εξομάλυνσης. Διαχείριση Πληροφοριών 10. ΣΥΝΘΕΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ Αριθμητικός Μέσος Εξομάλυνση Μοντελοποίηση Συνδυασμός κάποιου μοντέλου και εξομάλυνσης 10.1 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΣ ΜΕΣΟΣ Βασική έννοια στη Στατιστική Σημαντική για την κατανόηση προβλέψεων που βασίζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. 2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Τεχνικές Προβλέψεων. 2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2η Ενότητα Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Συστημάτων Προβλέψεων & Προοπτικής Forecasting System Unit Τεχνικές Προβλέψεων 2 η Ενότητα http://www.fsu.gr -

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η)

Στατιστική ΙΙΙ(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Στατιστική ΙΙΙ-(ΣΤΑΟ 230) Χρονολογικές Σειρες-Κινητοι Μέσοι, Αφελείς Μέθοδοι και Αποσύνθεση (εκδ. 2η) Γεώργιος Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης Στατιστική

Διαβάστε περισσότερα

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ

3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 3. ΣΕΙΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΤΕΛΕΣΤΗΣ ΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Πρόβλημα: Ένας ραδιοφωνικός σταθμός ενδιαφέρεται να κάνει μια ανάλυση για τους πελάτες του που διαφημίζονται σ αυτόν για να εξετάσει την ποσοστιαία μεταβολή των πωλήσεων

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Αποσύνθεση Χρονοσειράς Διάλεξη 2 Αποσύνθεση (Decomposition)

Διαβάστε περισσότερα

3η Ενότητα Προβλέψεις

3η Ενότητα Προβλέψεις ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα Προβλέψεις (Μέρος 4 ο ) http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία Χρονοσειράς Data and Adjustments

Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία Χρονοσειράς Data and Adjustments ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία Χρονοσειράς Data and Adjustments

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΝΑΥΤΙΛΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΝΑΥΤΙΛΙΑ Η ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ ΣΤΙΣ ΤΙΜΕΣ ΤΟΥ ΑΝΘΡΑΚΑ, ΤΟΥ ΠΕΤΡΕΛΑΙΟΥ, ΤΟΥ ΧΑΛΥΒΑ ΚΑΙ ΤΟΥ ΧΡΥΣΟΥ Δαμιανού Χριστίνα Διπλωματική

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1

Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ. Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 Προγραμματισμός Ζήτησης και Προμηθειών της ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης 1 4. Πρόβλεψη Ζήτησης στην ΕΑ Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο, Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης

Διαβάστε περισσότερα

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΕΧΝΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΕΨΕΩΝ& ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΑΘΗΜΑ ΠΡΩΤΟ-ΔΕΥΤΕΡΟ-ΣΤΑΣΙΜΟΤΗΤΑ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΚΥΚΛΙΚΗ ΤΑΣΗ ΧΡΗΣΙΜΟΙΟΡΙΣΜΟΙ Χρονολογική Σειρά (χρονοσειρά)

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης

Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης ΜΕΡΟΣ Βασικές Έννοιες Στατιστικής & Μέθοδοι Πρόβλεψης Εισαγωγή Περιγραφή μεθόδων πρόβλεψης Οι μέθοδοι προβλέψεων χωρίζονται σε 3 μεγάλες κατηγορίες Α. Με βάση τον ορίζοντα προγραμματισμού. βραχυπρόθεσμες.

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Παρακολούθηση Χρονοσειράς Διάλεξη 11

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Παρακολούθηση Χρονοσειράς Διάλεξη 11 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Παρακολούθηση Χρονοσειράς Διάλεξη 11 Παρακολούθηση (1 από

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ Διατμηματικό πρόγραμμα μεταπτυχιακών σπουδών ΥΔΡΑΥΛΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Δρ Βασίλειος Κιτσικούδης και Δρ Σπηλιώτης Μιχάλης ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΚΩΝ ΧΡΟΝΙΚΩΝ ΣΕΙΡΩΝ ΞΑΝΘΗ, 2015 Παραδείγματα από Τριβέλλα Θ.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 07 & ΔΙΑΛΕΞΗ 08 ΣΗΜΠΕΡΑΣΜΑΤΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 016-017 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Παίγνια Αποφάσεων 9 ο Εξάμηνο

Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα. Παίγνια Αποφάσεων 9 ο Εξάμηνο Λήψη αποφάσεων υπό αβεβαιότητα Παίγνια Αποφάσεων 9 ο Εξάμηνο Επιχειρηματική Αβεβαιότητα Αβεβαιότητα είναι, η περίπτωση η οποία τα ενδεχόμενα μελλοντικά γεγονότα είναι αόριστα και αδύνατον να υπολογιστούν

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Data and Adjustments Διάλεξη 5

Επιχειρηματικές Προβλέψεις: Μέθοδοι & Τεχνικές Data and Adjustments Διάλεξη 5 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Data and Adjustments Διάλεξη 5 Περιεχόμενα Example for the

Διαβάστε περισσότερα

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων

Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Διαγράμματα διασποράς (scattergrams) Συσχέτιση μεταξύ δύο συνόλων δεδομένων Η οπτική απεικόνιση δύο συνόλων δεδομένων μπορεί να αποκαλύψει με παραστατικό τρόπο πιθανές τάσεις και μεταξύ τους συσχετίσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος:

Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου. Ακαδημαϊκό έτος: Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων & Οργανισμών Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ 41 Αγορές Χρήματος & Κεφαλαίου Ακαδημαϊκό έτος: 2017 2018 Ασκήσεις 3 ης ΟΣΣ Άσκηση 1 η. Έστω οι προσδοκώμενες αποδόσεις και ο

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ

ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΚΑΙ ΜΟΝΤΕΛΑ ΠΡΟΒΛΕΨΗΣ ΖΗΤΗΣΗΣ Η δυνατότητα μιας επιχείρησης να προβλέπει με ακρίβεια τη ζήτηση των πελατών είναι εξαιρετικά σημαντική και συχνά χαρακτηρίζεται ως συγκριτικό πλεονέκτημα.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών

Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΦΥΣΙΚΗ Ανάλυση και Πρόβλεψη Χρονοσειρών Διπλωματική εργασία της Γεωργίας Μαργιά

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ

Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΑΓΙΟΥ ΝΙΚΟΛΑΟΥ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Εισαγωγή στη Στατιστική Μάθημα του Β Εξαμήνου ΜΕΡΟΣ IV:ΠΑΛΙΝΔΡΟΜΗΣΗ-ΤΑΣΗ- ΕΠΟΧΙΚΟΤΗΤΑ-ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ Παλινδρόμηση

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: βελτιστοποίηση χωρίς περιορισμούς Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 7-8 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο

5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο 5. ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ (GENERAL LINEAR MODEL) 5.1 Εναλλακτικά μοντέλα του απλού γραμμικού μοντέλου: Το εκθετικό μοντέλο Ένα εναλλακτικό μοντέλο της απλής γραμμικής παλινδρόμησης (που χρησιμοποιήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΛΕΞΗ8 η : Μέθοδοι και τεχνικές πρόβλεψης ζήτησης

ΔΙΑΛΕΞΗ8 η : Μέθοδοι και τεχνικές πρόβλεψης ζήτησης Διοίκηση Λειτουργιών ΔΙΑΛΕΞΗ8 η : Μέθοδοι και τεχνικές πρόβλεψης ζήτησης Δρ. Β. Ζεϊμπέκης (vzeimp@fme.aegean.gr) Τμήμα Μηχανικών Οικονομίας & Διοίκησης Πολυτεχνική Σχολή, Πανεπιστήμιο Αιγαίου Copyright

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis)

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΧΡΟΝΟΛΟΓΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ (Time-series Analysis) Δρ Ιωάννης Δημόπουλος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Μονάδων Υγείας και Πρόνοιας -ΤΕΙ Καλαμάτας Τι είναι η χρονολογική σειρά Χρονολογική σειρά ή Χρονοσειρά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς

Τεχνικές Προβλέψεων. Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων Προετοιμασία & Ανάλυση Χρονοσειράς http://www.fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Προβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής

Προβλέψεις. Γιώργος Λυμπερόπουλος. Γ. Λυμπερόπουλος - Διοίκηση Παραγωγής Προβλέψεις Γιώργος Λυμπερόπουλος 1 Προβλέψεις: Εισαγωγή Γιατί προβλέψεις; Έγκαιρος προγραμματισμός και λήψη αποφάσεων Προβλέψεις τίνος; Τμήμα πωλήσεων (μάρκετινγκ) Ζήτηση νέων και υφιστάμενων σειρών προϊόντων

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1 γ Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία

Γ. Πειραματισμός Βιομετρία Γενικά Συσχέτιση και Συμμεταβολή Όταν σε ένα πείραμα παραλλάσουν ταυτόχρονα δύο μεταβλητές, τότε ενδιαφέρει να διερευνηθεί εάν και πως οι αλλαγές στη μία μεταβλητή σχετίζονται με τις αλλαγές στην άλλη.

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ενότητα 6

ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ενότητα 6 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ Ενότητα 6: Διαχείριση και Πρόβλεψη Ζήτησης Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος)

Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) Στατιστικές Έννοιες (Υπολογισμός Χρηματοοικονομικού κινδύνου και απόδοσης, διαχρονική αξία του Χρήματος) 1. Ποιος είναι ο αριθμητικός μέσος όρος ενός δείγματος ετησίων αποδόσεων μιας μετοχής, της οποίας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 7. Τυχαίες Μεταβλητές και Διακριτές Κατανομές Πιθανοτήτων ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αναγνώριση Προτύπων Ι

Αναγνώριση Προτύπων Ι Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 1: Μέθοδοι Αναγνώρισης Προτύπων Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ...

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0. Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Ένα Πρόβλημα. Η επιδιωκόμενη ιδιότητα. Ένα χρήσιμο γράφημα. Οι υπολογισμοί. Η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων ... ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Ένα Πρόβλημα Δεδομένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάμηνο Μαθηματικών Έχει σχέση το με το ; Ειδικότερα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 3 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 3 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 9: Κατανομή t-έλεγχος Υποθέσεων Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D.

Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Βασίλειος Μαχαιράς Πολιτικός Μηχανικός Ph.D. Μη γραμμικός προγραμματισμός: μέθοδοι μονοδιάστατης ελαχιστοποίησης Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Σχολή Θετικών Επιστημών ΤμήμαΠληροφορικής Διάλεξη 6 η /2017 Τι παρουσιάστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών

Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Operations Management Διοίκηση Λειτουργιών Διδάσκων: Δρ. Χρήστος Ε. Γεωργίου xgr@otenet.gr 3 η εβδομάδα μαθημάτων 1 Το περιεχόμενο της σημερινής ημέρας Συστήµατα προγραµµατισµού, ελέγχου και διαχείρισης

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών

Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Εισαγωγή στην επιστήμη των υπολογιστών Υπολογιστές και Δεδομένα Κεφάλαιο 3ο Αναπαράσταση Αριθμών www.di.uoa.gr/~organosi 1 Δεκαδικό και Δυαδικό Δεκαδικό σύστημα 2 3 Δεκαδικό και Δυαδικό Δυαδικό Σύστημα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρα θέσης και διασποράς

Μέτρα θέσης και διασποράς Μέτρα θέσης και διασποράς Η επικρατούσα τιμή ως μέτρο κεντρικής τάσης Εύκολο στον υπολογισμό Επικρατούσα τιμή Η πιο συχνή ή η πιο συχνά εμφανιζόμενη τιμή σε ένα σύνολο τιμών 11, 3, 8, 2, 1, 5, 3, 7 Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο

Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Διοίκηση Ολικής Ποιότητας και Διαχείριση Περιβάλλοντος Ελληνικό Ανοικτό Πανεπιστήμιο Πρόγραμμα Σπουδών: Διοίκηση Επιχειρήσεων και Οργανισμών Ακαδημαϊκό Έτος 2006-07 2η ΟΣΣ Ευτύχιος Σαρτζετάκης, Αναπληρωτής

Διαβάστε περισσότερα

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης

Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης. Διάστημα εμπιστοσύνης Σφάλματα Μετρήσεων 4.45 Πίνακας 4.4 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Τιμές που Επίπεδο εμπιστοσύνης Διάστημα εμπιστοσύνης βρίσκονται εκτός του Διαστήματος Εμπιστοσύνης 0.500 X 0.674σ 1 στις 0.800 X 1.8σ 1 στις

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη:

Οι κλασσικότερες από αυτές τις προσεγγίσεις βασίζονται σε πολιτικές αναπαραγγελίας, στις οποίες προσδιορίζονται τα εξής δύο μεγέθη: 4. ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΑΠΟΘΕΜΑΤΩΝ ΥΠΟ ΑΒΕΒΑΙΑ ΖΗΤΗΣΗ Στις περισσότερες περιπτώσεις η ζήτηση είναι αβέβαια. Οι περιπτώσεις αυτές διαφέρουν ως προς το μέγεθος της αβεβαιότητας. Δηλαδή εάν η αβεβαιότητα είναι περιορισμένη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων

Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων Μοντέλα Διαχείρισης Αποθεμάτων 2 Εισαγωγή (1) Ο όρος απόθεμα αναφέρεται σε προϊόντα και υλικά που αποθηκεύονται από την επιχείρηση για μελλοντική χρήση Τα αποθέματα μπορεί να περιλαμβάνουν Πρώτες ύλες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνικές Προβλέψεων. 3η Ενότητα

Τεχνικές Προβλέψεων. 3η Ενότητα ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Μονάδα Προβλέψεων & Στρατηγικής Forecasting & Strategy Unit Τεχνικές Προβλέψεων 3η Ενότητα http://www.fsu.gr - lesson@fsu.gr

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος

Διαβάστε περισσότερα

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 8. Συνεχείς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)

Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis) Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης

Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Δ Ι Α Φ Ο Ρ Ι Κ Ο Σ Λ Ο Γ Ι Σ Μ Ο Σ Πεδίο Ορισμού Συνάρτησης 1 Τι πρέπει να γνωρίζω για τα πεδία ορισμού; Χωρίς πολλές φιλοσοφίες: όταν μιλάμε για το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς

Έλεγχος Υποθέσεων. Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Δρ. Αθανάσιος Δαγούμας, Επ. Καθηγητής Οικονομικής της Ενέργειας & των Φυσικών Πόρων, Πανεπιστήμιο Πειραιώς Η μηδενική υπόθεση είναι ένας ισχυρισμός σχετικά με την τιμή μιας πληθυσμιακής παραμέτρου. Είναι

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης

Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης 1 Έλεγχος υποθέσεων και διαστήματα εμπιστοσύνης Όπως γνωρίζουμε από προηγούμενα κεφάλαια, στόχος των περισσότερων στατιστικών αναλύσεων, είναι η έγκυρη γενίκευση των συμπερασμάτων, που προέρχονται από

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

Επιχειρησιακή Έρευνα I

Επιχειρησιακή Έρευνα I Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex

Διαβάστε περισσότερα

E [ -x ^2 z] = E[x z]

E [ -x ^2 z] = E[x z] 1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή

ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή 1 ΑΝΑΛΥΣΗ ΕΥΑΙΣΘΗΣΙΑΣ Εισαγωγή Η ανάλυση ευαισθησίας μιάς οικονομικής πρότασης είναι η μελέτη της επιρροής των μεταβολών των τιμών των παραμέτρων της πρότασης στη διαμόρφωση της τελικής απόφασης. Η ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών

Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Κεφάλαιο 5 Κριτήρια απόρριψης απόμακρων τιμών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται δύο κριτήρια απόρριψης απομακρυσμένων από τη μέση τιμή πειραματικών μετρήσεων ενός φυσικού μεγέθους και συγκεκριμένα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης

Στατιστική Ι. Ανάλυση Παλινδρόμησης Στατιστική Ι Ανάλυση Παλινδρόμησης Ανάλυση παλινδρόμησης Η πρόβλεψη πωλήσεων, εσόδων, κόστους, παραγωγής, κτλ. είναι η βάση του επιχειρηματικού σχεδιασμού. Η ανάλυση παλινδρόμησης και συσχέτισης είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική

ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΤΙ ΕIΝΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ; Διαδικασία εκτίμησης μελλοντικών καταστάσεων βασιζόμενη συνήθως σε ιστορικά στοιχεία

ΤΙ ΕIΝΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ; Διαδικασία εκτίμησης μελλοντικών καταστάσεων βασιζόμενη συνήθως σε ιστορικά στοιχεία ΤΙ ΕIΝΑΙ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ; Διαδικασία εκτίμησης μελλοντικών καταστάσεων βασιζόμενη συνήθως σε ιστορικά στοιχεία Πρόβλεψη μελλοντικών γεγονότων για: Σχεδιασμό, Οργάνωση και Έλεγχο των πόρων Λήψη επιχειρηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη

Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές. Διάλεξη Εισαγωγή στη Στατιστική- Κοινωνικές Στατιστικές Διάλεξη 13-3-2015 Υπολογισμός Σταθμικού Μέσου Αριθμητικού X weighted n 1 n 1 w i w X i i Παράδειγμα Υποψήφιος της Δ' Δέσμης πήρε στις εξετάσεις τους εξής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη

ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Αριάδνη Αργυράκη ΜΟΝΟΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΚΑΙ ΠΟΛΥΠΑΡΑΜΕΤΡΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Αριάδνη Αργυράκη ΣΤΑΔΙΑ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΙΚΩΝ ΓΕΩΧΗΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ 1.ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ: - Καθορισμός στόχων έρευνας - Ιστορικό περιοχής 2 4.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΕΣ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Ι - ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ....................................17 1.1 Προβλέψεις - Τεχνικές προβλέψεων και διοίκηση................................17 1.2 Τεχνικές προβλέψεων

Διαβάστε περισσότερα