Κεφάλαιο 3. Σχήμα 3.1 Δύο συναλλαγματικές με λήξεις σε 100 και 150 ημέρες.

Transcript

1 Κεφάλαιο. Ισοδυναμία γραμματίων.. Εισαγωγ Ας θεωρσουμε το αντίστροφο πρόβλημα της προεξόφλησης, έστω ότι κάποιος αγοράζει σμερα εμπορεύματα αξίας.00 για τα οποία υπογράφει συναλλαγματικ η οποία λγει σε 50 ημέρες από σμερα. Ας υποθέσουμε ότι το έτος είναι μικτό και το επιτόκιο εξωτερικς προεξόφλησης 0%. Είναι προφανές ότι η ονομαστικ αξία της συναλλαγματικς θα είναι μεγαλύτερη από τη σημεριν αξία της (παρούσα αξία). Έστω η παρούσα αξία της συναλλαγματικς και έστω η ονομαστικ αξία τότε η σχέση μεταξύ παρούσας και ονομαστικς αξίας στην εξωτερικ προεξόφληση χωρίς έξοδα είναι: A E A A A A Δηλαδ η ονομαστικ αξία της συναλλαγματικς είναι: A , 0 Μπορεί δηλαδ να πληρώσει σε 50 ημέρες αλλά θα πληρώσει.400. Τα ποσά.00 και.400 δεν είναι ίδια αλλά είναι οικονομικά ισοδύναμα σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Αν τώρα θεωρσουμε ότι θέλουμε να πληρώσουμε σε δύο συναλλαγματικές με λξεις σε 00 και 50 ημέρες από σμερα (Σχμα.), ας θεωρσουμε ότι η ονομαστικ αξία της πρώτης συναλλαγματικς είναι.00. Εδώ το άθροισμα των ονομαστικών αξιών των δύο συναλλαγματικών θα είναι μεγαλύτερο από.00 άρα η ονομαστικ αξία της δεύτερης συναλλαγματικς θα είναι μεγαλύτερη από.000. A.00 Σχμα. Δύο συναλλαγματικές με λξεις σε 00 και 50 ημέρες. Έστω, οι ονοματικές αξίες των δύο συναλλαγματικών, θα πρέπει οι παρούσες αξίες τους να έχουν άθροισμα.00. Δηλαδ.00

2 , ,64 Η ονομαστικ αξία της δεύτερης συναλλαγματικς είναι.6,64 και το άθροισμα των δύο ονομαστικών αξιών είναι.6,64 μικρότερο από.400 που βρκαμε προηγούμενα. Αυτό είναι λογικό και αναμενόμενο αφού η πρώτη συναλλαγματικ πληρώνεται 50 ημέρες πριν τη δεύτερη. Αν θέλουμε οι συναλλαγματικές να είναι ισόποσες δηλ. έχουμε ,0.00.8,0 Δηλαδ το ποσό κάθε δόσης είναι.8,0. Συνολικά θα πληρώσει.64,0. Περίπου όσα και στην προηγούμενη περίπτωση. Αντίστοιχα θα μπορούσε να ζητσει να πληρώσει το ποσό με τρεις ισόποσες συναλλαγματικές οι οποίες να λγουν σε 50, 00 και 50 ημέρες από σμερα (Σχμα.). Σχμα. Τρεις ισόποσες συναλλαγματικές με λξεις σε 50, 00 και 50 ημέρες Μια συνηθισμένη συναλλαγ στα καταστματα με ηλεκτρικά είδη είναι να αγοράσουμε μια ηλεκτρικ συσκευ (π.χ. ψυγείο) και να την πληρώσουμε με 6 8 ισόποσες δόσεις. Θέλουμε δηλαδ να μοιράσουμε ένα ποσό Κ σε συναλλαγματικές με ονομαστικές αξίες,,, k και λξη σε,,, k ημέρες από σμερα η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: k k k () k k k

3 k k Μπορούμε να λύσουμε την εξίσωση αυτ ως προς οποιαδποτε παράμετρο. Στο επόμενο παράδειγμα θα δούμε πως κάποιος μπορεί να πληρώσει την αγορά κάποιου είδους με ίσες μηνιαίες δόσεις, κάτι που συμβαίνει πολύ συχνά στην πράξη. Παράδειγμα Αγοράζει κάποιος μια ηλεκτρικ κουζίνα αξίας.00 και υπογράφει έξι ισόποσες συναλλαγματικές οι οποίες λγουν ανά μνα με πρώτη δόση σε μνα από σμερα. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία κάθε συναλλαγματικς. (Σχμα.) Η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: 66 6 έστω Χ η ονομαστικ αξία κάθε συναλλαγματικς τότε 6 X X ( 6) 6X 0,4X X 5,05 Άρα η ονομαστικ αξία κάθε συναλλαγματικς θα είναι 5. Δηλαδ ο αγοραστς θα πληρώσει επιπλέον 90. Σχμα. Έξι συναλλαγματικές Παρατηρσεις. Γενικά αν έχουμε k ισόποσες συναλλαγματικές και X η ονομαστικ αξία κάθε συναλλαγματικς (δηλαδ k X ), τότε η εξίσωση ισοδυναμίας () γράφεται: kx X k () k kx X άρα η ονομαστικ αξία κάθε συναλλαγματικς είναι: X k k Αν έχουμε ότι οι συναλλαγματικές λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα έστω τότε οι λξεις των συναλλαγματικών θα ταν,,,, k k

4 και η εξίσωση ισοδυναμίας () γράφεται: k kk () k k Στην περίπτωση που έχουμε ισόποσες συναλλαγματικές οι οποίες λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα τότε η εξίσωση ισοδυναμίας () γράφεται: kx X k k k X X kk k X X από όπου προκύπτει το ποσό κάθε δόσης 70 X 70 k k( k ) v Αφού λάβαμε υπόψη το άθροισμα k kk ( ) k Αντίστοιχα αν γνωρίζουμε το ποσό της δόσης μπορούμε να υπολογίσουμε τις λξεις λύνοντας την εξίσωση ισοδυναμίας ως προς kx 70 Xk( k ) Παράδειγμα Έστω έμπορος ο οποίος αγοράζει από προμηθευτ εμπορεύματα συνολικς αξίας ευρώ και υπογράφει πέντε συναλλαγματικές οι οποίες να λγουν ανά 0 ημέρες από σμερα. Έστω ότι οι τέσσερις πρώτες συναλλαγματικές έχουν ονομαστικ αξία.000 η κάθε μία. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία της πέμπτης συναλλαγματικς. Επιτόκιο 0%. Έχουμε: 0, 60, 90, 4 0, 5 50 και = = και ζητάμε την αξία της τελευταίας (5 ης ) συναλλαγματικς. Η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: A A A A 4 5

5 5 4A A ,9 50 Παράδειγμα Καταναλωτς αγοράζει σμερα (0 Μαΐου) από κάποιο πολυκατάστημα προϊόντα αξίας.500, θέλει να δώσει κάποιο ποσό για προκαταβολ και το υπόλοιπο ποσό να το εξοφλσει με τέσσερις συναλλαγματικές ονοματικς αξίας 00 οι οποίες θα λγουν στις 5 Ιουνίου, στις 5 Αυγούστου, στις 5 Οκτωβρίου και στις 0 Δεκεμβρίου του ίδιου έτους. Να βρεθεί το ποσό το οποίο πρέπει να πληρώσει για προκαταβολ. Έτος μικτό, επιτόκιο %. Θα βρούμε τις ημέρες από τη σημεριν ημερομηνία έως τις λξεις των συναλλαγματικών από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών. Έχουμε 0 Μαΐου 40, 5 Ιουνίου 76: 0 Μαΐου - 5 Ιουνίου ν=76-40=6, 4 Αυγούστου 6: 0 Μαΐου - 4 Αυγούστου ν=6-40=86, 5 Οκτωβρίου 88: 0 Μαΐου - 5 Οκτωβρίου ν=88-40=88, 0 Δεκεμβρίου 54: 0 Μαΐου - 0 Δεκεμβρίου ν4=54-40=4. Το άθροισμα των αξιών των συναλλαγματικών αυτών στις 0 Μαΐου θα είναι 4 4 X 4 X με 4 00 αντικαθιστούμε και έχουμε: 0, X X X.00 48,40 X.5,60 Δηλαδ η αξία των τεσσάρων συναλλαγματικών σμερα είναι.5,60. Άρα πρέπει να πληρώσει.500.5,60= 48,40. Παράδειγμα 4 Καταναλωτς αγοράζει σμερα (0 Μαΐου) από κάποιο πολυκατάστημα προϊόντα αξίας.000. Θέλει να ξεπληρώσει το χρέος του, με πέντε συναλλαγματικές ονοματικς αξίας 07 η καθεμία, οι οποίες θα λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα από σμερα, χωρίς να πληρώσει για προκαταβολ. Πότε πρέπει να γίνουν οι πληρωμές; Έτος μικτό, επιτόκιο %. Θέλουμε να βρούμε τις ημερομηνίες λξης των πέντε συναλλαγματικών. Αν η πρώτη λγει σε ημέρες από σμερα η δεύτερη θα λγει σε ημέρες από σμερα και οι επόμενες σε, 4, 5 ημέρες. Το άθροισμα των αξιών των συναλλαγματικών αυτών στις 0/05 είναι ίσο με.000. Δηλαδ,

6 με και,,,, άρα αντικαθιστούμε στην εξίσωση ισοδυναμίας και έχουμε: 0, ,05 5,8 μπορούμε να λάβουμε τον πλησιέστερο ακέραιο άρα ημέρες. Επομένως οι συναλλαγματικές λγουν στις ακόλουθες ημερομηνίες όπως προκύπτουν από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών. και φαίνονται στον πίνακα η η η 4 η 5 η Ημέρες από 0 Μαΐου Ημέρες από την αρχ του έτους Λξεις ν= =74 Ιουνίου ν=ν= =08 7 Ιουλίου ν=ν=0 40+0=4 0 Αυγούστου ν4=4ν=6 40+6=76 Οκτωβρίου ν5=5ν= =0 6 Νοεμβρίου Πίνακας. Λξης γραμματίων... Αντικατάσταση γραμματίων με ενιαίο γραμμάτιο.... Εύρεση της ονομαστικς του ενιαίου γραμματίου. Θα ξεκινσουμε με δύο απλά παραδείγματα όπου αντικαθιστούμε δύο γραμμάτια με ένα. Παράδειγμα 5 Έστω ότι κάποιος έμπορος έχει υπογράψει δύο γραμμάτια ονομαστικς αξίας.000 και.500 ευρώ τα οποία λγουν σε 50, 75 ημέρες από σμερα. Επιθυμεί να πληρώσει σμερα την εξόφληση των δύο γραμματίων. Να βρεθεί το ποσό που πρέπει να πληρώσει; Επιτόκιο 9%, έτος πολιτικό. Έστω η ονομαστικ αξία του νέου γραμματίου. Γνωρίζουμε την ονομαστικ αξία των δύο γραμματίων τα οποία θέλουμε να αντικαταστσουμε, θα πρέπει να βρούμε τις παρούσες αξίες τους σμερα και να τις προσθέσουμε ,09.447,60 65 Παράδειγμα 6

7 .500 Έστω ότι κάποιος έμπορος έχει υπογράψει δύο γραμμάτια ονομαστικς αξίας ευρώ τα οποία λγουν σε 50, και ημέρες από σμερα. Καθώς δυσκολεύεται να τα 50 πληρώσει επιθυμεί να τα αντικαταστσει με ένα γραμμάτιο το οποίο λγει σε ημέρες από σμερα. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία του νέου γραμματίου. Εποχ ισοδυναμίας η ημέρα αντικατάστασης, επιτόκιο 9%, έτος πολιτικό βλέπε (Σχμα.4). Σχμα.4 Γραμμάτια τους παραδείγματος Ο παραπάνω τύπος μας δίνει την ονομαστικ αξία του ενιαίου γραμματίου. Αντικαθιστούμε τα δεδομένα και έχουμε ,09.580, ,09 Παρατρηση. Μπορούμε επίσης να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση ισοδυναμίας και ως εξς (όπου 65 / / ανάλογα με το αν το έτος θεωρείται πολιτικό μικτό) Ανάλογα, αν είχαμε να αντικαταστσουμε περισσότερα από δύο γραμμάτια έστω Ρ το πλθος, ο τύπος που μας δίνει την ονομαστικ αξία του ενιαίου γραμματίου είναι: (4)

8 Στο παράδειγμα αυτό θεωρσαμε ότι τα γραμμάτια είναι ισοδύναμα τη χρονικ στιγμ της αντικατάστασης. Θα εξετάσουμε κατά πόσο θα άλλαζε το αποτέλεσμα αν τα γραμμάτια θεωρηθούν ισοδύναμα την ημερομηνία λξης του ενιαίου γραμματίου που καλείται και κοιν λξη. Τότε από την εποχ ισοδυναμίας έως τη λξη του πρώτου γραμματίου έχουμε t ημέρες, και από την εποχ ισοδυναμίας έως τη λξη του δεύτερου γραμματίου έχουμε t ημέρες. t t t t αν τώρα στον τελευταίο τύπο αντικαταστσουμε τα δεδομένα του παραδείγματος 6 έχουμε: ,05 65 Στην περίπτωση που εποχ ισοδυναμίας είναι η ημέρα υπολογισμού, βρέθηκε ότι η ονομαστικ αξία του ενιαίου γραμματίου είναι.577,05. Η διαφορά είναι πολύ μικρ ίση με,95. Το γενικό πρόβλημα της αντικατάστασης γραμματίων με ενιαίο γραμμάτιο μπορεί να διατυπωθεί ως εξς: Να αντικατασταθούν ρ γραμμάτια με ονομαστικές αξίες και λξεις ημέρες από την ημέρα υπολογισμού με ενιαίο γραμμάτιο ονομαστικς αξίας με λξη 65,,, ημέρες από την ημέρα υπολογισμού όταν εποχ ισοδυναμίας απέχει N ημέρες από την ημέρα υπολογισμού. Τότε η εποχ ισοδυναμίας απέχει N από τη λξη του ενιαίου γραμματίου και N ημέρες από τη λξη του κάθε γραμματίου προς αντικατάσταση. Η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: N N N N N N N N N N συνεπώς η ονομαστικ αξία του ενιαίου γραμματίου δίνεται από τη σχέση: γιατί: N N N N (5)

9 N N N N Ειδικ Περίπτωση Τώρα μπορούμε να δούμε σαν ειδικές περιπτώσεις της σχέσης (5) σχετικά με την εποχ ισοδυναμίας. N 0 (εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού) αυτ είναι η σχέση (4). N (εποχ ισοδυναμίας η κοιν λξη) N Ειδικ περίπτωση. Αν οι ονομαστικές αξίες των προς αντικατάσταση γραμματίων είναι ανάλογες των αριθμών,,,. Έστω X τότε και και X, X,, X X X X X αντικαθιστούμε στην γενικ εξίσωση ισοδυναμίας X N N Ειδικ περίπτωση. Αν οι ονομαστικές αξίες των προς αντικατάσταση γραμματίων είναι ίσες. Έστω X τότε και X X X X αντικαθιστούμε στη γενικ εξίσωση ισοδυναμίας X N N

10 Σημειώνεται ότι πρόκειται για ειδικ περίπτωση της προηγούμενης με. Επιπλέον, για εποχ ισοδυναμίας ίση με: την ημέρα υπολογισμού (δηλ. X την κοιν λξη (δηλ. N ) X N 0 ) Παράδειγμα 7 Έστω ότι κάποιος έμπορος έχει υπογράψει τρία γραμμάτια ονομαστικς αξίας ,.500 και ευρώ τα οποία λγουν στις 5 Ιουλίου, στις 5 Αυγούστου και στις 5 Σεπτεμβρίου. Καθώς δυσκολεύεται να τα πληρώσει επιθυμεί να τα αντικαταστσει με ένα γραμμάτιο το οποίο λγει στις Δεκεμβρίου. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία του νέου γραμματίου. Εποχ ισοδυναμίας η ημέρα αντικατάστασης (5 Ιουνίου), επιτόκιο 9%, έτος πολιτικό. Θα πρέπει να υπολογίσουμε από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών πόσες ημέρες είναι μεταξύ της σημερινς ημερομηνίας 5 Ιουνίου και των ημερομηνιών λξης των γραμματίων. 5 Ιουνίου 56, 5 Ιουλίου 96, 5 Αυγούστου 7, 5 Σεπτεμβρίου 58, Δεκεμβρίου Ιουνίου 5 Ιουλίου: ν=96-56=40, 5 Ιουνίου 5 Αυγούστου: ν=7-56=7, 5 Ιουνίου 5 Σεπτεμβρίου: ν=58-56=0, 5 Ιουνίου 5 Δεκεμβρίου: ν4=65-56=09. η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: , ,7.65,57 Θα μπορούσαμε να εφαρμόσουμε τη σχέση (): να βρούμε τα δύο αθροίσματα (Πίνακας.):

11 Πίνακας. και να αντικαταστσουμε: 4.055, , ,56 09 Παράδειγμα 8 Ο έμπορος «Χ» δε μπορεί να πληρώσει γραμμάτιο το οποίο λγει στις 6 Μαρτίου και το αντικαθιστά την η Μαρτίου με την αποδοχ των εξς γραμματίων: λξης 5 Απριλίου, λξης 6 Μαΐου και λξης Μαΐου. Ποια ταν η ονομαστικ αξία του γραμματίου αυτού, αν έχουμε επιτόκιο 0., έτος μικτό, προεξόφληση εξωτερικ και ημέρα υπολογισμού την κοιν λξη; Οι αντίστοιχες ημέρες από την η του έτους είναι: Μαρτίου 60, 6 Μαρτίου 75, 5 Απριλίου 05, 6 Μαΐου 4, Μαΐου 5. και αντιστοιχούν στις εξς ημέρες από την ημέρα υπολογισμού ( Μαρτίου): Μαρτίου 6 Μαρτίου: ν=75-60=5, Μαρτίου 5 Απριλίου: ν=05-60=45, Μαρτίου 6 Μαΐου: ν=4-60=74, Μαρτίου Μαΐου: ν=5-60=9. Η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: , , Παράδειγμα 9 Καταναλωτς έχει υπογράψει ισόποσα γραμμάτια ονομαστικς αξίας 500 σε ένα πολυκατάστημα για την αγορά ηλεκτρικών συσκευών με λξεις την η κάθε μνα. Σμερα στις 0 Μαΐου απομένουν πέντε γραμμάτια τα οποία θέλει να εξοφλσει. Να βρεθεί το ποσό το οποίο θα πληρώσει. Εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού, έτος πολιτικό και επιτόκιο 0%. Τα γραμμάτια λγουν την η Ιουνίου, την η Ιουλίου, την η Αυγούστου, την η Σεπτεμβρίου και την η Οκτωβρίου. Οι ημερομηνίες αυτές αντιστοιχούν σε 5, 8,, 44 και 74 ημέρες από την η του έτους. Η εποχ ισοδυναμίας (0 Μαΐου) απέχει 40 ημέρες από την η του έτους. Επομένως έχουμε:

12 και. Αντικαθιστούμε στη σχέση () και έχουμε: X Οι ονομαστικές αξίες είναι ίσες 65/ 650 και 5 X 500, το πλθος των γραμματίων είναι Συνεπώς θα πληρώσει: X X και... Εύρεση της λξης του ενιαίου γραμματίου Θα ασχοληθούμε με την περίπτωση που γνωρίζουμε την ονομαστικ αξία και τις λξεις των γραμματίων προς αντικατάσταση αλλά και την ονομαστικ αξία του ενιαίου γραμματίου και ζητάμε τη λξη του ενιαίου γραμματίου. Από τη γενικ εξίσωση ισοδυναμίας έχουμε: και λύνουμε ως προς : N N v N N Παράδειγμα 0 Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας.00 αντικαθιστά σμερα 0 Ιουνίου δυο γραμμάτια ονομαστικς αξίας 600 και 580 που λγουν στις 8 Αυγούστου και στις 8 Σεπτεμβρίου αντίστοιχα. Ποια θα είναι η λξη του γραμματίου αν το επιτόκιο είναι %, το έτος μικτό και εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού; Θα βρούμε πρώτα από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών σε ποια ημέρα από την αρχ του έτους αντιστοιχούν οι 0 Ιουνίου, 5 Αυγούστου και 0 Σεπτεμβρίου. 0 Ιουνίου 7, 8 Αυγούστου 0, 8 Σεπτεμβρίου 6. Εποχ ισοδυναμίας είναι η κοιν λξη δηλαδ στις 0 Ιουνίου, υπολογίζουμε πόσες ημέρες απέχουν από αυτν οι άλλες ημερομηνίες, και έχουμε: 0 Ιουνίου -????????: ν=??, 0 Ιουνίου - 8 Αυγούστου: ν=0-7=49, 0 Ιουνίου 8 Σεπτεμβρίου: ν=6-7=90. (6)

13 Η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: την οποία θα λύσουμε ως προς, άρα , Η λξη του ενιαίου γραμματίου πρέπει να είναι 8 ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας δηλαδ 7+8 = 89 ημέρες από την αρχ του έτους δηλαδ στις 6 Οκτωβρίου. Θα μπορούσαμε επίσης να είχαμε αντικαταστσει στη σχέση ().80 και /.000 και και πάλι βρίσκουμε: v Παράδειγμα Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας N αντικαθιστά δυο γραμμάτια ονομαστικς αξίας που λγουν σε 60 και 00 ημέρες από σμερα. Ποια θα είναι η λξη του ενιαίου γραμματίου αν το επιτόκιο εξωτερικς προεξόφλησης είναι % και το έτος μικτό; Έστω 60, 00 οι λξεις των δύο γραμματίων και ημέρες από σμερα η λξη του ενιαίου γραμματίου, τότε η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: εδώ ισχύει τα οποία απλοποιούνται από τα δύο μέλη της παραπάνω εξίσωσης και έχουμε: ( ) από την τελευταία εξίσωση απλοποιείται το κλάσμα / και έχουμε στην οποία αντικαθιστούμε τα γνωστά και έχουμε: Δηλαδ, σε 84 ημέρες από σμερα. Κατά τη λύση του προβλματος δεν χρειάστηκε το επιτόκιο και το αν το έτος είναι μικτό πολιτικό γιατί απλοποιθηκε το κλάσμα /. Το πρόβλημα αυτό είναι η εύρεση της μέσης λξης γραμματίων. Το οποίο διατυπώνεται γενικά ως εξς: Να βρεθεί η κοιν λξη ρ γραμματίων με ονομαστικές αξίες,,, και λξεις,,, ημέρες από την ημέρα υπολογισμού. Ισχύει και

14 αντικαθιστούμε στη σχέση (6) v v Στο παράδειγμα παρατηρούμε ότι η μέση λξη είναι ανάμεσα στις λξεις των δύο προς αντικατάσταση γραμματίων, πραγματικά. Επίσης το 84 βρίσκεται πιο κοντά στο 00 από ότι στο 60 αυτό γιατί η ονομαστικ αξία του δεύτερου γραμματίου είναι μεγαλύτερη από την ονομαστικ αξία του πρώτου. Λύστε το παραπάνω πρόβλημα με και, τι παρατηρείτε; Πραγματικά αν τα είναι διατεταγμένα ισχύει γράφοντας μια σειρά από ισοδύναμες ανισώσεις 0 η τελευταία ισχύει αφού όλα τα,,, είναι μεγαλύτερα από το παρενθέσεις θετικοί αριθμοί). Όμοια αποδεικνύεται ότι., θα αποδείξουμε το (και συνεπώς όλες οι Παράδειγμα Δύο γραμμάτια ονομαστικς αξίας Κ το καθένα λγουν μετά από 60 και 00 ημέρες. Τα γραμμάτια αντικαθίστανται με ενιαίο γραμμάτιο ονομαστικς αξίας Κ. Πότε πρέπει να λγει το ενιαίο γραμμάτιο; Διαφορετικά το πρόβλημα θα μπορούσε να διατυπωθεί ως εξς: Να βρεθεί η μέση λξη δύο γραμματίων ίσης ονομαστικς αξίας τα οποία λγουν σε 60 και 00 ημέρες από σμερα. Η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: ( ) για το συγκεκριμένο παράδειγμα έχουμε 80, δηλαδ ακριβώς στη μέση των λξεων των δύο γραμματίων. Διαφορετικά, θα μπορούσαμε να αντικαταστσουμε στον τύπο της μέσης λξης δύο γραμματίων, δηλαδ Εφαρμογ

15 Να βρεθεί η μέση λξη ρ γραμματίων με ίσες ονομαστικές αξίες και λξεις,,,, ημέρες από την ημέρα υπολογισμού. Αφού X το ενιαίο γραμμάτιο έχει ονομαστικ αξία αλλά και X X X Αντικαθιστούμε στον τύπο της μέσης λξης και έχουμε: X v X Δηλαδ αν τα γραμμάτια έχουν ίσες ονομαστικές αξίες η μέση λξη δίνεται σαν ο μέσος όρος των,,,,. Παράδειγμα Να βρεθεί η μέση λξη τριών γραμματίων που λγουν σε 0, 60 και 0 ημέρες αντίστοιχα, αν οι ονομαστικές τους αξίες είναι αντίστοιχα ανάλογες με τους αριθμούς 6, 4 και και το έτος μικτό. Οι ονομαστικές τους αξίες,, είναι ανάλογες με τους αριθμούς 6, 4, άρα ισχύει =X 6 4 έστω ότι κάθε τέτοιο πηλίκο είναι ίσο με X. Διαφορετικά μπορούσαμε να πούμε ότι οι ονομαστικές αξίες είναι ανάλογες κάποιου ποσού Χ και να γράψουμε = 6 X, 4 X, = X Επίσης ζητάμε τη μέση λξη άρα ισχύει: 6X 4X X X Η εξίσωση μέσης λξης γράφεται: 6X 4X X 6X 4X X = Εφαρμογ Να βρεθεί η μέση λξη ρ γραμματίων με ονομαστικές αξίες ανάλογες των αριθμών,,, και λξεις,,,, ημέρες από την ημέρα υπολογισμού. Για τις ονομαστικές αξίες ισχύει =X τότε

16 και και = X, X,, = X X X X X Αντικαθιστούμε στον τύπο της μέσης λξης και έχουμε X v X... Εύρεση του επιτοκίου στην αντικατάσταση Θα ασχοληθούμε με την περίπτωση που γνωρίζουμε όλα τα μεγέθη στην εξίσωση ισοδυναμίας και ζητάμε το επιτόκιο με το οποίο έγινε η αντικατάσταση. Από τη γενικ έχουμε: και αφού / N N N N N N N N Αν έχουμε εποχ ισοδυναμίας ίση με: την ημέρα αντικατάστασης ( N 0) έχουμε την κοιν λξη N έχουμε Παράδειγμα 4

17 Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας 000 που λγει μετά από 40 ημέρες αντικαθίσταται με τρία γραμμάτια ονομαστικών αξιών 50, 600 και 900 που λγουν μετά από 0, 50 και 70 ημέρες από σμερα αντίστοιχα. Να ευρεθεί το επιτόκιο αντικατάστασης. Έτος μικτό και εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού. Τα δεδομένα του προβλματος είναι:,,, ,, 40, , 0.000, η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: ( ) v ( ) Αν δεν θυμόμαστε τον τύπο που δίνει το μέσο επιτόκιο γράφουμε την εξίσωση ισοδυναμίας για το συγκεκριμένο πρόβλημα και καταλγουμε σε αυτόν. 0,57 Το επιτόκιο είναι 5%. Παράδειγμα 5 Ένας έμπορος που οφείλει δυο γραμμάτια.500 που λγει στις 4 Μαΐου και.700 που λγει στις Σεπτεμβρίου τα αντικαθιστά στις 0 Απριλίου με ένα γραμμάτιο.80 που λγει στις 5 Ιουνίου. Με ποιο κοινό επιτόκιο εξωτερικς προεξόφλησης έγινε η αντικατάσταση, αν το έτος είναι μικτό και εποχ ισοδυναμίας η 6 η Μαΐου. Οι ημέρες από την αρχ του έτους βρίσκονται από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών: 4 Μαΐου 4, 6 Μαΐου 46, 5 Ιουνίου 66, Σεπτεμβρίου 46. οι ονομαστικές αξίες των γραμματίων είναι: Η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: v ( ) ( )

18 Το επιτόκιο είναι 9,8%. ( ) v ( ) ,098 9,8% Εύρεση της ονομαστικς αξίας ενός από τα προς αντικατάσταση γραμματίου Παράδειγμα 6 Οφείλει κάποιος γραμμάτιο.000, που λγει 40 ημέρες από σμερα. Αντί αυτού μεταβιβάζει δύο γραμμάτια ονομαστικών αξιών 800 και.000, που λγουν αντίστοιχα μετά από 50 και 80 ημέρες και για το υπόλοιπο υπογράφει συναλλαγματικ λξης 0 ημερών. Ποια η ονομαστικ αξία της συναλλαγματικς αυτς, αν το επιτόκιο είναι 0,, το έτος μικτό, η προεξόφληση εξωτερικ και εποχ ισοδυναμίας: α) η ημέρα υπολογισμού β) η κοιν λξη. α). Εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού τότε θα είχαμε.000, 40,??, 0 800, 50,.000, 80, η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: λύνουμε ως προς την άγνωστη ονομαστικ αξία του πρώτου γραμματίου: ,99.00., β). Εποχ ισοδυναμίας η κοιν λξη τότε θα είχαμε.000, 0,??, 0 800, 0,.000, 40, και εξίσωση ισοδυναμίας , Παράδειγμα 7 Έμπορος πρέπει να πληρώσει στις 0 Ιουλίου ένα γραμμάτιο ονομαστικς αξίας και σε αντικατάσταση του υπογράφει τα εξς γραμμάτια: α) λξης 0 Ιουνίου, β) λξης 9 Αυγούστου και γ) ένα άλλο ακόμα λξης 8 Οκτωβρίου. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία του τρίτου γραμματίου, αν το επιτόκιο είναι 0,08, το έτος μικτό, η προεξόφληση εξωτερικ και εποχ ισοδυναμίας η κοιν λξη.

19 Αντιστοιχία ονομαστικών αξιών γραμματίων και λξης, ημέρες από την αρχ του έτους, ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας (κοιν λξη): Κ=5.000, 0 Ιουλίου 9 ν=0, Κ=4.500, 0 Ιουνίου 8 ν=8-9=-0, Κ=6.000, 9 Αυγούστου ν=-9=0, Κ=?, 8 Οκτωβρίου 8 ν=8-9=90. Εξίσωση ισοδυναμίας θα λύσουμε ως προς την ονομαστικ αξία του τρίτου γραμματίου 900, , , Εύρεση της λξης ενός από τα προς αντικατάσταση γραμματίου Παράδειγμα 8 Ένας έμπορος οφείλει ποσό που πρέπει να πληρωθεί στις 0 Ιουνίου. Έναντι της οφειλς του υπογράφει δυο γραμμάτια ίσα με το / του ποσού, που το πρώτο λγει στις 5 Απριλίου. Πότε λγει το δεύτερο γραμμάτιο, αν το επιτόκιο είναι 6%, το έτος μικτό και εποχ ισοδυναμίας η 0η Ιουνίου. Το γραμμάτιο που λγει στις 5 Απριλίου αντιστοιχεί σε 05 ημέρες από την η του έτους, ενώ το γραμμάτιο που λγει στις 0 Ιουνίου αντιστοιχεί σε 7 ημέρες από την η του έτους. Η λξη του ενιαίου γραμματίου συμπίπτει με την εποχ ισοδυναμίας άρα, ενώ το πρώτο γραμμάτιο αντιστοιχεί σε 66 0 ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας. Έστω ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας έως τη λξη του δεύτερου γραμματίου. Τότε η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: v 66 Δηλαδ 66 ημέρες μετά την εποχ ισοδυναμίας 7+66=7 και από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών προκύπτει ότι το δεύτερο γραμμάτιο πρέπει να λγει στις 5 Αυγούστου. Παράδειγμα 9 Οφείλει κάποιος στις 0 Αυγούστου ένα γραμμάτιο ονομαστικς αξίας.800 και για την εξόφληση του υπογράφει στις 0 Ιουλίου τα ακόλουθα γραμμάτια: α) 700 που λγει στις 5 Αυγούστου β) 600 που λγει στις 0 Σεπτεμβρίου και γ) 800. Να ευρεθεί η λξη του γραμματίου, όταν το επιτόκιο εξωτερικς προεξόφλησης είναι 4%, το έτος μικτό και εποχ ισοδυναμίας η κοιν λξη. Από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών οι ημερομηνίες αναφέρονται στις εξς ημέρες από την η του έτους: 0 Ιουλίου 0, 5 Αυγούστου 7, 0 Αυγούστου,

20 0 Σεπτεμβρίου ?? η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται ( ) ,4 Έχουμε λοιπόν 5 ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας άρα 5+0=45 από την αρχ του έτους και συνεπώς 45-65=88 ημέρες από την αρχ του επόμενου έτους. Δηλαδ στις 9 Μαρτίου του επόμενου έτους...6. Αντικατάσταση γραμματίων Το γενικό πρόβλημα της αντικατάστασης γραμματίων με q γραμμάτια μπορεί να διατυπωθεί ως εξς: Να αντικατασταθούν γραμμάτια με ονομαστικές αξίες,,, και λξεις ημέρες από την ημέρα υπολογισμού με q γραμμάτια με ονομαστικές αξίες X, X,, X q και λξεις n, n,, n q ημέρες από την ημέρα υπολογισμού. Η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται:,,, Xn X n X n X X X X X n X n n = X X X q q X X n Ειδικ Περίπτωση Αν είναι να αντικατασταθούν με ισόποσα γραμμάτια έχουμε X X X X q και η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται q q q X X Xn qx n Μπορούμε εύκολα να βρούμε την κοιν ονομαστικ αξία Χ

21 q X q n X q qn Ειδικ Περίπτωση Αν λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα n, n n, n n,, n ( q ) n και η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται q q X X n ( ) n n n X X X ( ) q q q Ειδικ Περίπτωση Αν λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα n, n n, n n,, n ( q ) n και είναι να αντικατασταθούν με ισόποσα γραμμάτια X X Xq X και η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται q q X X n ( ) n n n qx qx X ( ) q n nq( q ) X q q n n( q ) Xq Από την τελευταία σχέση μπορούμε να βρούμε είτε το X είτε το n. Παράδειγμα 0 Κάποιος έχει υπογράψει δυο γραμμάτια ονομαστικς αξίας 000 και 5000 τα οποία λγουν στις Μαΐου και Αυγούστου. Εμφανίζεται στον κομιστ την η Μαΐου (εποχ ισοδυναμίας) και του ζητά να πληρώσει με ισόποσα μηνιαία γραμμάτια που θα λγουν στο τέλος κάθε μνα από αυτό το μνα έως και τον Δεκέμβριο του ίδιου έτους. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία των γραμματίων. Έστω 000 και 5000 τα οποία θα αντικατασταθούν. Τα γραμμάτια που θα τα αντικαταστσουν είναι 8 και έστω X η ονοματικ τους. Xn X n X8n8 X X X8 Xn Xn Xn8 X X X

22 X 8X n n n 8 X 8 n n n Από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών βρίσκουμε τα και και έχουμε: 8, n 0 n 0 n 5 n 60 n 8 n n 9 n n X X X X.69 X.09,65 Παράδειγμα Σμερα, αποφασίζουμε την αντικατάσταση γραμματίων με ονομαστικές αξίες 800, 600 και 000 με αντίστοιχες λξεις σε 40, 70 και 89 ημέρες αντίστοιχα με νέα γραμμάτια συνολικς αξίας.40 από τα οποία το ένα λγει σε 80 μέρες και το άλλο σε 0 μέρες αντίστοιχα. Ποια η ονομαστικ αξία του καθενός αν έχουμε επιτόκιο 9% και εποχ ισοδυναμίας σε 80 μέρες από σμερα; Τα γραμμάτια τα οποία θέλουμε να αντικαταστσουμε είναι τα: και συνεπώς Έστω ότι τα δύο νέα γραμμάτια έχουν ονομαστικές αξίες 4, 5 τότε και έστω X 0 0 και συνεπώς X X X γράφουμε την εξίσωση ισοδυναμίας μετά από πράξεις Έχουμε / 0, , αντικαθιστούμε όλα τα δεδομένα X

23 X X X 70 Τώρα αντικαθιστούμε τις ποσότητες που υπολογίσαμε και έχουμε X 0, ,0005 0X X 70 Άρα οι ονομαστικές αξίες των δύο γραμματίων είναι: 4 70 και Παράδειγμα Γραμμάτια.000, και ευρώ που λγουν μετά από 0, 50 και 60 ημέρες αντίστοιχα, αντικαταστάθηκαν με δύο γραμμάτια και 6.00 που λγουν μετά από 40 και 80 ημέρες αντίστοιχα. Με ποιο επιτόκιο έγινε η αντικατάσταση; Εποχ ισοδυναμίας η μέρα υπολογισμού. Τα τρία γραμμάτια Αντικαθίστανται από τα δύο γραμμάτια Από την εξίσωση ισοδυναμίας έχουμε για το επιτόκιο: , Δηλαδ το επιτόκιο είναι 5,%. Για μεγαλύτερη ποικιλία ασκσεων δες: Αλεξανδρ (989), Αποστολόπουλο (996), Αποστολόπουλο (00), Βασιλάκη (005), Βόσκογλου (996), Καραπιστόλη (994), Κιόχο και Κιόχο (999), Κούγια και Γεωργίου (004), Οικονομόπουλο (00), Σφακιανό και Σφακιανό (00), Τσεβά (00), Φράγκο (007), Χουβαρδά (998), Zma και Brown (997)... Ασκσεις.. Λυμένες ασκσεις Άσκηση Αγοράζει κάποιος σμερα (5 Ιουνίου) εμπορεύματα αξίας.000 και κανονίζει να τα πληρώσει σε 5 ισόποσες δόσεις που θα λγουν στην πρώτη κάθε μνα αρχίζοντας από τον Αύγουστο. Να βρεθεί το ποσό της δόσης. Έτος πολιτικό και επιτόκιο 0%.

24 Θα πρέπει να υπολογίσουμε από τον πίνακα τοκοφόρων ημερών πόσες ημέρες είναι μεταξύ της σημερινς ημερομηνίας 5 Ιουνίου και των ημερομηνιών λξης των γραμματίων: 5 Ιουνίου 56, Αυγούστου, Σεπτεμβρίου 44, Οκτωβρίου 74, Νοεμβρίου 05, Δεκεμβρίου 5. 5 Ιουνίου Αυγούστου: ν=-56=57, 5 Ιουνίου Σεπτεμβρίου: ν=44-56=88, 5 Ιουνίου Οκτωβρίου: ν=74-56=8, 5 Ιουνίου Νοεμβρίου: ν4=05-56=49, 5 Ιουνίου Δεκεμβρίου: ν5=5-56=79. οι δόσεις είναι ισόποσες 4 5 X η εξίσωση ισοδυναμίας είναι: X X X X 4 X5 X X X X X X 0, 5X X X X X 60 Άσκηση Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας Κ πρέπει να πληρωθεί μετά από 60 ημέρες από σμερα. Συμφωνείται να γίνουν τέσσερα (4) γραμμάτια ονομαστικς αξίας /, / 4, / 8, / 8 τα οποία να λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα από σμερα. Να βρεθούν οι λξεις των τεσσάρων γραμματίων Το πρώτο γραμμάτιο θα λγει σε ημέρες από σμερα και τα επόμενα σε 64, 96 και 8 ημέρες από σμερα αντίστοιχα. Άσκηση Γραμμάτια ονομαστικς αξίας 800 και 900 ευρώ λγουν μετά από 80 και 80 ημέρες αντίστοιχα. Πόσες μέρες πριν τη λξη του πρώτου γραμματίου θα έχουν την ίδια παρούσα αξία; Ετσιο επιτόκιο 8%. Έστω ν ημέρες πριν τη λξη του πρώτου τότε η εποχ που τα δύο γραμμάτια είναι ισοδύναμα είναι 80-ν ημέρες από σμερα. Δηλαδ, το πρώτο γραμμάτιο λγει ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας, ενώ το δεύτερο γραμμάτιο λγει σε

25 80 (80 ) 00 ημέρες από την εποχ ισοδυναμίας. Την ημέρα ισοδυναμίας ισχύει ( 00 ) Τα δύο γραμμάτια έχουν την ίδια παρούσα αξία 00 ημέρες πριν τη λξη του πρώτου γραμματίου. Άσκηση 4 Έμπορος αγοράζει σμερα από κάποιο προμηθευτ εμπορεύματα αξίας.000. Έχει υπογράψει με τον προμηθευτ συναλλαγματικές ονομαστικς αξίας.500 και.800 με λξεις 40 και 80 μέρες από σμερα αντίστοιχα. Συμφωνεί με τον προμηθευτ να εξοφλσει όλο το χρέος του με τέσσερις συναλλαγματικές ίσης ονομαστικς αξίας οι οποίες θα λγουν σε 60, 90, 0 και 40 μέρες από σμερα. Αν έχουμε έτος μικτό επιτόκιο 8% και εποχ ισοδυναμίας τη μέρα υπολογισμού να βρεθούν οι αξίες των τεσσάρων συναλλαγματικών. Από τη μια πλευρά έχουμε τα μετρητά (μια οφειλ που δημιουργείται σμερα) και τις δύο συναλλαγματικές, οι οποίες λγουν σε, ημέρες από σμερα. Από την άλλη πλευρά έχουμε τις τέσσερις (4) συναλλαγματικές ίσης ονομαστικς αξίας Χ οι οποίες θα λγουν σε 60, 4 90, 5 0, 6 40 από σμερα. Η εξίσωση ισοδυναμίας γράφεται: X X 4 X X 5 X X 6 X X 7 κάνοντας πράξεις και αντικαθιστώντας έχουμε ( ) ( ) 4X X X 0,X 5.49,9 X X.45, Άσκηση 5 Γραμμάτιο πρέπει να πληρωθεί μετά από 80 ημέρες από σμερα. Συμφωνείται να γίνουν 4 ίσα γραμμάτια από.500 το καθένα, τα οποία να λγουν ανά ίσα χρονικά διαστματα από σμερα. Να βρεθούν οι λξεις των τεσσάρων γραμματίων. Επιτόκιο % και έτος μικτό. X( 4 ) Άσκηση 6 Σμερα, αποφασίζουμε την αντικατάσταση γραμματίων με ονομαστικές αξίες 800, 600 και.000 και με αντίστοιχες λξεις σε 40, 70 και 89 ημέρες αντίστοιχα με νέα γραμμάτια συνολικς αξίας.40 ευρώ από τα οποία το ένα λγει σε 80 μέρες και το άλλο σε 0 μέρες αντίστοιχα. Ποια η ονομαστικ αξία του καθενός αν έχουμε επιτόκιο 9% και εποχ ισοδυναμίας σε 80 μέρες από σμερα;

26 Τα γραμμάτια τα οποία θέλουμε να αντικαταστσουμε είναι τα:.000,, , 9, και συνεπώς Έστω ότι τα δύο νέα γραμμάτια έχουν ονομαστικές αξίες τότε και έστω X 0, ,, X,, X και συνεπώς X γράφουμε την εξίσωση ισοδυναμίας μετά από πράξεις 0,09 0, τώρα αντικαθιστούμε τις ποσότητες που υπολογίσαμε και έχουμε ( X ) 0, , X X 70 Άρα οι ονομαστικές αξίες των δύο γραμματίων είναι: 4 70, Άσκηση 7 Δύο γραμμάτια λγουν μετά 60 και 80 ημέρες αντιστοίχως, έχουν μέση λξη μετά 80 ημέρες, άθροισμα ονομαστικών αξιών ισοδύναμο με γραμμάτιο 0.000, το οποίο λγει μετά 0 ημέρες από σμερα. Να βρεθούν οι ονομαστικές αξίες των γραμματίων. Το έτος είναι μικτό και το επιτόκιο %. Έστω, οι ονομαστικές αξίες των δύο γραμματίων. Τα δυο γραμμάτια λγουν μετά από 60 και 80 ημέρες και έχουν μέση λξη μετά από 80 ημέρες, συνεπώς με 60, 80, 80 μετά από πράξεις καταλγουμε στην εξς σχέση μεταξύ των δύο ονομαστικών αξιών: 5 Επίσης έχουμε ότι το άθροισμα των ονομαστικών αξιών των δύο γραμματίων είναι ισοδύναμο με γραμμάτιο 0,000, το οποίο λγει μετά 0 ημέρες από σμερα, τότε 0 0, ,96 0 Άρα οι ονομαστικές αξίες των δύο γραμματίων είναι:.600, 0

27 Άσκηση 8 Γραμμάτια.000, και ευρώ που λγουν μετά από 0, 50 και 60 ημέρες αντίστοιχα, αντικαταστάθηκαν με δύο γραμμάτια και 6.00 που λγουν μετά από 40 και 80 ημέρες αντίστοιχα. Με ποιο επιτόκιο έγινε η αντικατάσταση; Εποχ ισοδυναμίας η μέρα υπολογισμού. Τα τρία γραμμάτια αντικαθίστανται από τα δύο γραμμάτια ,, , 5 80, Από την εξίσωση ισοδυναμίας έχουμε για το επιτόκιο: ( ) ( 4 5) ( ) ( )... Άλυτες ασκσεις ,05, δηλαδ 5.% Γραμμάτιο λξης στις 0 Αυγούστου, αντικαθιστά την 0η Ιουλίου τα εξς τρία γραμμάτια: λξης στις 0 Ιουλίου, λξης στις 9 Αυγούστου και λξης στις 8 Σεπτεμβρίου. Να βρεθεί η ονομαστικ αξία του νέου γραμματίου, αν το επιτόκιο είναι 0,0 εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού, έτος πολιτικό. ( 8.978). Οφείλουμε γραμμάτια.500,.000 και 4.000, που λγουν αντίστοιχα μετά από 4, 0 και 40 ημέρες. Τα γραμμάτια αυτά τα αντικαθιστούμε σμερα με ένα γραμμάτιο Να βρεθεί η λξη του γραμματίου αυτού. (0 ημέρες). Πότε πρέπει να λγει γραμμάτιο 6.000, το οποίο την η Σεπτεμβρίου το αντικαθιστούν δύο γραμμάτια: α).500 λξεως στις 0 Νοεμβρίου και β).500 λξεως στις Οκτωβρίου. Εποχ ισοδυναμίας: α) ημέρα υπολογισμού και β) η κοιν λξη. Επιτόκιο 9%. Έτος πολιτικό. 4. Να βρεθεί η μέση λξη τριών γραμματίων ονομαστικς αξίας 000, 00 και 000 ευρώ τα οποία λγουν σε 40, 80 και 4 ημέρες από σμερα αντίστοιχα. (ν=00 ημέρες). 5. Να βρεθεί η μέση λξη τεσσάρων γραμματίων που λγουν σε, 66, 88 και 0 μέρες αντίστοιχα, αν οι ονομαστικές τους αξίες είναι αντίστοιχα ανάλογες με τους αριθμούς 8, 6, 5 και και το έτος μικτό. (65 ημέρες). 6. Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας 5.000, λξης στις 0 Μαρτίου, αντικαθιστά τα εξς γραμμάτια: α) λξης στις 0 Απριλίου, β).000 λξης στις 0 Μαΐου και γ) ένα άλλο ακόμη, λξης στις 0 Ιουλίου. Ζητείται η ονομαστικ αξία του τελευταίου γραμματίου, αν έχουμε επιτόκιο 0%, έτος πολιτικό και εποχ ισοδυναμίας την 0 η Μαΐου του ιδίου έτους. 7. Γραμμάτιο ονομαστικς αξίας που λγει στις 4 Απριλίου, αντικαθίσταται την 0 η Μαρτίου από δύο γραμμάτια. Το πρώτο ονομαστικς αξίας.00 και λξης στις 9 Απριλίου και το δεύτερο ονομαστικς αξίας.750. Ποια θα είναι η λξη του δεύτερου γραμματίου, αν το επιτόκιο είναι 0,04, εποχ ισοδυναμίας η ημέρα υπολογισμού και έτος μικτό. 8. Γραμμάτιο.000 έπρεπε να πληρωθεί την 0 η Μαΐου. Για την εξόφληση του έγιναν τρία γραμμάτια: α) λξης στις 5 Απριλίου, β) λξης στις 0 Μαΐου και γ).000. Να βρεθεί η λξη του τρίτου γραμματίου.

28 Βιβλιογραφία Αλεξανδρς, Ν. (989). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Αποστολόπουλος, Θ. (996). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Αποστολόπουλος, Θ. (00). Οικονομικά μαθηματικά και στοιχεία τραπεζικών εργασιών. Εκδόσεις Αποστολόπουλος Θ. Βασιλάκης, Κ. (005). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Βόσκογλου, Μ. (996). Μαθηματικά για τον τομέα διοίκησης και οικονομίας. Μακεδονικές Εκδόσεις. Καραπιστόλης, Δ. (994). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Κιόχος, Π. & Κιόχος, Α. (999). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις INTERBOOS. Κούγιας, Γ. & Γεωργίου, Δ. (004). Χρηματοοικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Νέων Τεχνολογιών. Οικονομόπουλος, Γ. (00). Οικονομικά Μαθηματικά. Εκδόσεις Οικονομόπουλος Γ. Σφακιανός, Κ. & Σφακιανός, Π. (00). Οικονομικά Μαθηματικά με Οικονομικά Προγράμματα Υπολογιστών. Εκδόσεις INTERBOOS. Τσεβάς, Αναστάσιος (00). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Φράγκος, Χ. (007). Οικονομικά μαθηματικά. Εκδόσεις Σταμούλη. Χουβαρδάς, Β. (998). Οικονομικά μαθηματικά. Μακεδονικές Εκδόσεις. Zma, P. & Brown, R. (997). Outlne of Mathematcs of Fnance, Schaums nd edton. Εκδόσεις McGraw- Hll.