Neprekinute slu cajne varijable

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Neprekinute slu cajne varijable"

Transcript

1 5 Neprekinute slu cjne vrijble Slu cjnevrijbleirzdiobe Funkcije neprekinutih slu cjnihvrijbli6 Rije senizdtci Zdtci z vje zbu 8 5 Slu cjne vrijble i rzdiobe U ovom ćemo poglvlju prou cvti slu cjne vrijble kojim je skup vrijednosti intervl (ogrni cen ili ne) u skupu relnih brojev Tkve slu cjne vrijble mogu poprimiti svku vrijednost unutr tog intervl S obzirom d mogućih vrijednosti im neprebrojivo mnogo, vjerojtnost relizcije svke od njih redovito će biti jednk nuli Po tome se ovkve slu cjne vrijble rzlikuju od diskretnih, gdje je tkv vjerojtnost bil pozitivn broj Pri prou cvnju neprekinutih slu cjnih vrijbli koristimo se prtom mtemti cke nlize Nizove brojev koji zdju rzdiobu zmijenit će reln funkcij, umjesto sum koristit ćemo tehnike integrlnog i diferencijlnog r cun Posebice, efiksno sredstvo u teorijskom i prkti cnom pogledu cinit će Fourierov i Lplceov trnsformcij Slu cjn vrijbl Zpo cnimo s definicijom, koj se minimlno rzlikuje od definicije diskretne slu cjne vrijble, u sebi uklju cuje i tu vrstu slu cjnih vrijbli Slu cjne vrijble i funkcij rzdiobe Nek je (, F, P ) vjerojtnosni prostor Preslikvnje X : R nzivmo slu cjn vrijbl kojezsvki R skup A = { : X( ) < } dog dj, dkle element lgebre F Skup { : X( ) < } ozn cvt ćemo krće s {X < } Funkcij rzdiobe slu cjne vrijble X je funkcij F : R [, ] definirn formulom F() := P ({X < }) (5)

2 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Funkcij rzdiobe (i njezin derivcij) bit će njv zniji pojm vezn uz slu cjnu vrijblu Poznvnjem funkcije rzdiobe, mo zemo u potpunosti opisti pripdnu slu cjnu vrijblu Upoznjmo se odmh s osnovnim svojstvim funkcije rzdiobe Funkcij rzdiobe Teorem 5 Nek je F funkcij rzdiobe slu cjne vrijble X On posjeduje svojstv: P ({ X < })=F( ) F( ), F je neopdjuć: < = F( ) F( ), lim F() =, lim F() =, F je neprekinut slijev: F( ) := lim F( ) =F(), R Dokz Nek je < Ond vrijedi F( )=P ({X < })=P ({X < } { X < }) = P ({X < })+P ({ X < }) = F( )+P ({ X < }) Nek je ponovo < Kko vrijedi {X < } {X < }, tvrdnj slijedi zbog monotonosti vjerojtnosti Nek je ( n ) po volji odbrn pdjući niz relnih brojev, lim n n = Ozn cimo A n = {X < n } Ond su A n pdjući skupovi: A A i vrijedi n= A n = Zto je, zbog svojstv neprekinutosti vjerojtnosti, lim F() = lim F( n)= lim P (A n)= n n Drug se tvrdnj dokzuje n isti n cin Tvrdnj ponovo slijedi iz neprekinutosti vjerojtnosti Nime, ko je ( n ) niz pozitivnih brojev koji opd prem nuli, ond je s A n = {X < n } definirn rstući niz skupov z koji vrijedi n= A n = {X < } p tvrdnj slijedi zbog neprekinutosti vjerojtnosti: F( ) =lim F( ) = lim F( n) n = lim P (A n)=p (A) =F(), R n

3 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE Sl 5 Grf funkcij rzdiob nekih slu cjnih vrijbli Koj se svojstv tih vrijbli mogu o citti iz ovog grf? Primjer 5 Slu cjn vrijbl X uzim vrijednosti,, s vjerojtnostim,, redom Odredimo funkciju rzdiobe vrijble X i ncrtjmo njezin grf Ako je, td dog dj {X < } im vjerojtnost te je F() =z tkve Z < vrijedi Z < vrijedi P (X < ) =P (X = ) = itd Tko dobivmo P (X < ) =P (X = )+P (X = ) = + = F() =,,, <,, <,, < b r y 6 b b r r Sl 5 Općenito, funkcij rzdiobe diskretne slu cjne vrijble s zkonom ( ) X p p p je stepenst funkcij s skokovim u to ckm,, Iznosi skokov su vjerojtnosti p, p,

4 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Sl 5 Grf funkcije rzdiobe diskretne slu cjne vrijble je stepenst funkcij U to ckm prekid neprekinut je slijev Iznos skokov jednk je vjerojtnosti s kojom slu cjn vrijbl poprim vrijednost u toj to cki Neprekinute slu cjne vrijble Upoznt ćemo sd drugu v znu klsu slu cjnih vrijbli Neprekinute slu cjne vrijble Gustoć rzdiobe Z slu cjnu vrijblu X k zemo d je neprekinut (kontinuirn) ko postoji nenegtivn funkcij f : R R tkv d vrijedi F() = f (t)dt (5) Funkcij f nziv se gustoć rzdiobe vjerojtnosti slu cjne vrijble X On nije nu zno neprekinut, no u to ckm neprekinutosti od f vrijedi f () = df() d (5) Dkko, funkcij rzdiobe neprekinute slu cjne vrijble je i sm neprekinut, jer je to funkcij gornje grnice integrl Zto vrijedi P (X = ) = F(+) F() = z svki R Stog su i svi dogdji { < X < }, { X < }, { < X }, { X } jednko vjerojtni Njihov se vjerojtnost r cun n n cin P ( < X < )=F( ) F( )= Funkcij gustoće pozitivn je funkcij s integrlom f (t)dt (5) f ()d = (55) Slik prikzuje neku funkciju rzdiobe i pripdnu gustoću

5 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 5 Sl 5 Rzlik vrijednosti funkcije rzdiobe jednk je vjerojtnosti d slu cjn vrijbl X poprimi vrijednost u tom intervlu Kod funkcije gustoće t je vjerojtnost predo cen povr sinom ispod grf funkcije Znmo d je funkcij rzdiobe neopdjuć funkcij s vrijednostim unutr intervl [, ] Stog ćemo neke formule zpisivti u skrćenom obliku Tko npr umjesto zpis pist ćemo krtko F() =,,, < <,,, F() =, < <, jerjetdnu zno F() =z if() =z Tko der, ko gustoću rzdiobe definirmo nekom formulom z [, b],td smtrmo d je vn tog intervl po definiciji jednk nuli N koncu, ko je funkcij F ili f definirn nekom formulom bez nznke podru cj definicije, td će to redovito biti citv R Jednolik rzdiob Opi simo sd jednostvnu, li vrlo v znu rzdiobu Prisjetimo se situcije koju smo imli kd je podru cje vrijednosti slu cjne vrijble S = {,, n }, bio diskretn skup Slu cjn vrijbl, koj je popriml vrijednosti unutr S s jednkim vjerojtnostim, opisivl je pokus birnj n sreću element skup S Td je vjerojtnost njezine relizcije bil P (X = k )=,zsvki k =,,n n Jsno je d povećnjem broj element u skupu S ove vjerojtnosti te ze k nuli Ako je n primjer S skup prirodnih brojev, mo zemo postviti pitnje: postoji li lgoritm kojim bi, s jednkom vjerojtno sću, birli neki prirodni broj Odgovor n ovo v zno pitnje je negtivn, tkv lgoritm ne postoji Nime, jsno je d bi vjerojtnost izbor svkog prirodnog broj morl biti jednk nuli, p je zbog svojstv ditivnosti vjerojtnosti P i vjerojtnost izbor bilo kojeg podskup skup prirodnih brojev jednk nuli Pretpostvimo sd d je skup S intervl [, b] To ck unutr tog intervl im beskon cno (neprebrojivo) mnogo Zmislimo postupk odbir n sreću nekog broj unutr tog intervl

6 6 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE N sreću odbrni broj Jednolik rzdiob K zemo d birmo n sreću broj unutr intervl [, b] ko je vjerojtnost d će on biti izbrn unutr nekog podintervl proporcionln duljini tog podintervl Z slu cjnu vrijblu koj uzim vrijednost ovko izbrnog broj k zemo d im jednoliku (uniformnu) rzdiobu n intervlu [, b] Nek X ozn cv tu slu cjnu vrijblu Prem definiciji, mor biti F() F() =P ( X < ) =K( ) X uzim vrijednost unutr intervl [, b] Zto je Odredimo njezinu funkciju rzdiobe P {X < } = = F(), = P { X < b} = F(b) F() =K(b ), i odvde je K = Tko dobivmo: b Jednolik rzdiob, lterntivn de nicij, rzdiob i gustoć Z slu cjnu vrijblu X k zemo d je jednoliko (uniformno) distribuirn n intervlu [, b], ko je zdn funkcijom rzdiobe odnosno funkcijom gustoće: F() =, b, b f () =, b b Pi semo X U(, b) Grfovi funkcije gustoće i pripdne funkcije rzdiobe izgledju ovko: b 6 f b 6 F Sl 55 Funkcij rzdiobe jednolike rzdiobe je fin n intervlu [, b] Gustoć jednolike rzdiobe konstntn je n tom intervlu Odtle i ime rzdiobi b

7 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 7 Primjer 5 Dvije to cke odbrne su n sreću unutr du zine duljine Definirjmo slu cjnu vrijblu Z ko udljenost me du njim Odredi funkciju rzdiobe vrijble Z Izbor dviju to ck i y unutr intervl [, ] ekvivlentn je izboru jedne to cke (, y) unutr kvdrt [, ] [, ] Vrijednost koju slu cjn vrijbl Z poprim, jednk je Z = y Vrijbl Z uzim vrijednosti iz intervl [, ] Pritom je z < z z < y < + z Zto će nejednkost y < z biti ispunjen kd se odbere to ck (, y) unutr podru cj G z Ztoje F(z) =P {Z < z} = m(g z )=z z, z Nezvisnost slu cjnih vrijbli 6y G z z Sl 56 y=+z y= z Pojm nezvisnosti slu cjnih vrijbli upoznli smo z vrijble diskretnog tip Tko smo ukzli i n kriterij nezvisnosti koji se provjerv preko mrginlnih rzdiob slu cjnog vektor Anlogne definicije i tvrdnje vrijedit će i z općenite slu cjne vrijble O tome će biti vi se rije ci u nstvku Z sd, zdovoljit ćemo se definicijom nezvisnosti, kriterije i dodtn svojstv mormo odlo ziti do poglvlj o slu cjnim vektorim De nicij nezvisnosti K zemo d su slu cjne vrijble X i Y nezvisne, ukoliko z sve intervle A, B iz skup R vrijedi P (X A, Y B) =P (X A)P (Y B) O cekivnje i disperzij Nek je X neprekinut s gustoćom f Njezino o cekivnje definir se n n cin E(X) = f()d (56) Ako ovj neprvi integrl ne konvergir, o cekivnje ne postoji Ozn cimo = E(X) Disperzij D(X) slu cjne vrijble X r cun se uz pomoć formul: D(X) =E[(X ) ]=E(X ) Dkle D(X) = ( ) f ()d = f ()d (57) Od svojstv o cekivnj i disperzije izdvojit ćemo smo njv znij:

8 8 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Svojstv o cekivnj i disperzije Z sve slu cjne vrijble X, Y i relne brojeve s, t vrijedi E(sX + ty) = se(x)+ te(y) (svojstvo linernosti o cekivnj) Z disperziju pk vrijedi Ako su X i Y nezvisne, ond vrijedi D(sX) =s D(X) E(XY) =E(X)E(Y), D(X + Y) =D(X)+D(Y) Ov ćemo svojstv dokzti nkndno Primjer 5 (Jednolik rzdiob) Izr cunjmo o cekivnje i disperziju jednolike rzdiobe Promotrit ćemo njprije, jednostvnosti rdi, jednoliku rzdiobu n intervlu [, ] Z nju je gustoć f () =,pimmo E(X) = D(X) = d = =, d = = = Ako Y im jednoliku rzdiobu n intervlu [, b],tdslu cjn vrijbl X = Y b im jednoliku rzdiobu n intervlu [, ] Obrtno, ko X im jednoliku rzdiobu n [, ], ond Y =(b )X + im jednoliku rzdiobu n intervlu [, b] O cekivnje ove slu cjne vrijble je E(Y) =E[(b )X + ] =(b )E(X)+ =(b ) + = + b, njezin disperzij D(Y) =D[(b )X + ] =(b ) D(X) = (b )

9 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 9 Primjer 5 N sreću odbiremo to cku T unutr kvdrt strnice Nek je vrijednost slu cjne vrijble X njmnj od udljenosti te to cke do strnic kvdrt Odredimo funkciju rzdiobe i o cekivnje od X G Sl 57 Odredimo njprije funkciju rzdiobe: F() =P {X < } = P {T G } = m(g ) m(s) = ( ) =, Gustoć rzdiobe je f () =, te o cekivnje iznosi E(X) = ( )d = Primjer 55 To cksebirnsreću unutr polukrug polumjer r Nek je X udljenost to cke do promjer Odredimo o cekivnje vrijble X Uovomprimjerunećemo r cunti funkciju rzdiobe, veććemo gustoću odrediti n temelju veze: f () =F () = lim F( + ) F() = lim P ( < X < + ) Z mle vrijedi stog f () = P ( < X < + ) = m( S) m(s) = r r Sl 58 Pri r cunnju povr sine S, prugu debljine mo zemo proksimirti prvokutnikom iste debljine Pritom je u cinjen pogre sk veli cine ( ), koj u limesu ne utje ce n funkciju f +Δ r S ΔS Odvde dobivmo funkciju gustoće: f () = r r, r Sd mo zemo izr cunti o cekivnje: E(X) = r r r d = r r r d(r )= r

10 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE RiemnnStieltjesov integrl Nek je F : R R monotono rstuć funkcij, neprekinut slijev Nek je g : [, b] R ogrni cen Izberimo bilo koju prticiju P = {,,, n } intervl [, b], = < << n = b Definirjmo integrlnu sumu n S(P, g, F) = g( i )[F( i ) F( i )] Ozn cimo s = m i i, i= RiemnnStieltjesov integrl, de nicij K zemo d je g RiemnnStieltjes integrbiln u odnosu n F, ko postoji limes integrlnih sum, neovisno o izboru prticije i to ck i [ i, i ] Tj limes nzivmo RiemnnStieltjesov integrl, ozn cvmo n sljedeći n cin: g()df() := lim S(P, g, F) Primijetimo d z F() = RiemnnStieltjesov integrl postje Riemnnov integrl Sd ćemo dovesti u vezu RiemnnStieltjesov i klsi cni Riemnnov integrl, z siroku klsu funkcij F v znih u primjenm Nek je F po dijelovim konstntn n intervlu [, b], s skokom iznos p u to cki c unutr tog intervl: { r, c F() = r + p, > c Izr cunjmo g()df(), z neku funkciju g, neprekinutu n intervlu [, b] Sl 59 Z bilo koju prticiju vrijedi F( i ) F( i )= z svki indeks i osim z onj z koji je i c < i, jer je funkcij F konstntn lijevo i desno od to cke c Zto

11 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE u integrlnoj sumi ostje smo jedn cln: S(P, g, F) =g( i )[F( i ) F( i )] = g( i ) p U limesu, kd,to ck i te zi k c Ztoje g()df() =g(c) p Općenito, ko F im skokove iznos p i uto ckm c i, z njezin Riemnn Stieltjesov integrl vrijedi n g()df() = g(c i ) p i Nek je sd F neprekinuto diferencijbiln funkcij Td, po teoremu srednje vrijednosti immo F( i ) F( i )=F ( i )( i i ),znekuto cku i i, i Integrln sum glsi n g( i )F ( i )( i i ) i= Limes ove integrlne sume o cito definir Riemnnov integrl i= g()f ()d RiemnnStieltjesov integrl, n cin r cunnj Ako F im skokove iznos p i uto ckm c i, z njezin RiemnnStieltjesov integrl vrijedi n g()df() = g(c i ) p i Ako je F neprekinuto diferencijbiln funkcij, ond vrijedi g()df() = i= g()f ()d Prem tome, kori stenjem RiemnnStieltjesovog integrl mi ćemo istovremeno pokrivti obje v zne klse slu cjnih vrijbli, diskretne i neprekinute slu cjne vrijble Tko, n primjer, o cekivnje neke slu cjne vrijble mo zemo izrziti formulom disperziju D(X) = Integrli su RiemnnStieltjesovi E(X) = df(), df() E(X)

12 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Primjer 56 Izr cunj o cekivnje slu cjne vrijble cij je funkcij rzdiobe zdn slikom: 6 F q Sl 5 Funkcij rzdiobe glsi,,, <, F() = +, <,, F im skokove iznos E(X) = Krkteristi cn funkcij = = uto ckm = i = Zto je df() F ()d + + d + + d + = 5 q F ()d + Svkoj slu cjnoj vrijbli X mo zemo pridru ziti krkteristi cnu funkciju To je funkcij relnog rgument s kompleksnim vrijednostim, : R C zdn formulom (t) := E(e itx )= e it df() (58) Osnovn svojstv krkteristi cne funkcije su Krkteristi cn funkcij jednozn cno odre duje rzdiobu: dvije rzli cite rzdiobe ne mogu imti istu krkteristi cnu funkciju Ako su X,,X n nezvisne, td je Vrijedi formul X ++X n (t) = X (t) Xn (t) (59) E(X r )= (r) () i r, r =,, (5)

13 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE ukoliko o cekivnje postoji Specijlno, E(X) = i (), D(X) = ()+ () (5) Ako je X krkteristi cn funkcij vrijble X, td vrijbl Y = + bx im krkteristi cnu funkciju e it X (bt) Primjer 57 Odredimo krkteristi cnu funkciju slu cjne vrijble jednoliko distribuirne n intervlu [, b] Gustoć ove rzdiobe je f () =, b Stog b (t) = e it f ()d = e it b d = eibt e it (b )it Uslu cju simetri cnog intervl [, ], krkteristi cn funkcij postje reln: (t) = eit e it ( + )it = sin t t Ako je X neprekinut slu cjn vrijbl, s gustoćom f, td njezin krkteristi cn funkcij iznosi (t) = e it f ()d (5) To je uprvo Fourierov trnsformcij funkcije f Stog će, ukoliko zdovoljv uvjet (t) dt <, vrijediti formul inverzije f () = (t)e it dt (5) Primjer 58 Odredi funkciju gustoće rzdiobe odredene krkteristi cnom funkcijom (t) =e t, t R Ov je funkcij psolutno integrbiln, stog će gustoć biti odreden formulom inverzije (5) f () = e it (t)dt = e it e t dt = ( ) e it e t dt + e it e t dt = ( e ( i+)t i + + e( i )t ) i = ( i + + ) = i + ( + ) Rzdiob s ovom gustoćom nziv se Cuchyjev rzdiob Zbog jedinstvenosti, zklju cujemo d je t e t krkteristi cn funkcij te rzdiobe

14 5 NEPREKINUTE SLU CAJNE VARIJABLE Lplceov trnsformcij Krkteristi cn je funkcij Fourierov trnsformcij gustoće Pri izboru trnsformcije gustoć pozitivne slu cjne vrijble, mo zemo koristiti i Lplceovu trnsformciju Ako je F funkcij rzdiobe pozitivne slu cjne vrijble X, ond je njezin LplceStieltjesov trnsformt f (s) =E(e sx )= e s df() (5) Ako je X neprekinut s gustoćom f, ond je f uobi cjeni Lplceov trnsformt funkcije f : f (s) = e s f ()d (55) Ako je pk X diskretn slu cjn vrijbl koj uzim vrijednosti u skupu {,,,}, td LplceStieltjesov trnsformt glsi f (s) = e sk p k = X (e s ) (56) k= Dkle, u ovom se slu cju Lplceov trnsformt podudr s funkcijom izvodnice u kojoj je rgument z zmijenjen s e s Derivcijom integrl po prmetru dobivmo d ds f (s) = ( )e s df() d ds f (s) = ( ) e s df() d n ds n f (s) = Odvde, stvljjući s =, slijedi E(X n )= ( ) n e s df() n df() =( ) n dn f (s) ds n (57) s= Singulrne slu cjne vrijble Do sd smo promtrli diskretne i neprekinute slu cjne vrijble Spomenimo d uz njih postoji i treć kls tzv singulrnih slu cjnih vrijbli, cij je funkcij rzdiobe neprekinut, no nemju gustoće Tkv se funkcij ne mo ze npisti u obliku f (t)dt Klsu singulrnih slu cjnih vrijbli ne susrećemo u primjenm, jer se njihov funkcij rzdiobe ne mo ze eksplicitno izrziti slu zeći se smo ogrni cenim brojem elementrnih funkcij (isklju cimo li grni cne procese) Definirjmo n intervlu [, ] funkciju F () F () = z F () = F () = F je neprekinut i fin n intervlim (, ), (, )

15 5 SLU CAJNE VARIJABLE I RAZDIOBE 5 Grf funkcije F ncrtn je n slici: 6 F Sl 5 U drugom korku svki od intervl [, ], [, ] podijelimo n tri dijel i definirmo neprekinutu funkciju F :, [ 9, 9 ], F () = F () = F () =, [, ],, [ 7 9, 8 9 ] N ostlim intervlim definirmo F d bude neprekinut i fin: 6 F Sl 5 Nstvimo ovj postupk Niz funkcij {F n } te zit će k funkciji F koj je neprekinut, neopdjuć, s vrijednostim u [, ] Pritom je F() =, F() = i F predstvlj funkciju rzdiobe neke slu cjne vrijble Derivcij funkcije F jednk je nuli svugdje gdje je F konstntn Duljin tkvih intervl se z svku funkciju F n povećv i iznosi = = tj F () = skoro svud i F se ne mo ze npisti u obliku postoji gustoć ove rzdiobe f (t)dt Stog ne Svk se funkcij rzdiobe F mo ze npisti u obliku F = p F + p F + p F, gdje je p k, p + p + p =, F, F, F su redom funkcije rzdiob diskretne, neprekinute i singulrne slu cjne vrijble

2.6 Nepravi integrali

2.6 Nepravi integrali 66. INTEGRAL.6 Neprvi integrli Definicij. Nek je f : [, R funkcij koj je Riemnn integrbiln n svkom podsegmentu [, ] od [,. Ako postoji končn es f() (.4) ond se tj es zove neprvi integrl funkcije f n [,

Διαβάστε περισσότερα

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi

= + injekcija. Rješenje 022 Kažemo da funkcija f ima svojstvo injektivnosti ili da je ona injekcija ako vrijedi Zdtk 0 (Anstzij, gimnzij) Provjeri je li funkcij f log( 5) + + injekcij Rješenje 0 Kžemo d funkcij f im svojstvo injektivnosti ili d je on injekcij ko vrijedi f ( ) f ( ) Dkle, funkcij je injekcij ko rzličitim

Διαβάστε περισσότερα

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i

4 INTEGRALI Neodredeni integral Integriranje supstitucijom Parcijalna integracija Odredeni integral i Sdržj 4 INTEGRALI 64 4. Neodredeni integrl........................ 64 4. Integrirnje supstitucijom.................... 68 4. Prcijln integrcij....................... 7 4.4 Odredeni integrl i rčunnje površine

Διαβάστε περισσότερα

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5

Rijeseni neki zadaci iz poglavlja 4.5 Rijeseni neki zdci iz poglvlj 4.5 Prije rijesvnj zdtk prisjetimo se itnih stvri koje ce ns prtiti tijekom njihovog promtrnj. Definicij: (Trigonometrij prvokutnog trokut) ktet nsuprot kut ϕ sin ϕ hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

IZVOD FUNKCIJE Predpostvimo d je unkcij deinisn u nekom intervlu, i d je tčk iz intervl, iksirn. Uočimo neku proizvoljnu tčku iz tog intervl,. Ov tčk može d se pomer levo desno, p ćemo je zvti promenljiv

Διαβάστε περισσότερα

1 Ekstremi funkcija više varijabli

1 Ekstremi funkcija više varijabli 1 Ekstremi funkcij više vrijbli Definicij ekstrem funkcije: Funkcij u = f(x 1, x 2,, x n ) im u točki T ( 1, 2,, n ) A) LOKALNI MINIMUM f( 1, 2,, n ) ko z svku točku T vrijedi nejednkost: T ( 1 + dx 1,

Διαβάστε περισσότερα

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler

Uvod Newton-Leibnizova formula Glavne metode integriranja. Integrali. Franka Miriam Brückler Integrli Frnk Mirim Brückler Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcije Koj je vez izmedu x 2 i 2x? Antiderivcij (primitivn funkcij) zdne funkcije f : I R (gdje je I otvoren intervl) je svk

Διαβάστε περισσότερα

4. Relacije. Teorijski uvod

4. Relacije. Teorijski uvod VI, VII i VIII dvoqs veжbi Vldimir Blti 4. Relije Teorijski uvod Podsetimo se n neke od pojmov veznih z skupove, koji su nm potrebni z uvođeƭe pojm relije. Dekrtov proizvod skup iniemo n slede i nqin:

Διαβάστε περισσότερα

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE

SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE SLUČAJNE PROMENLJIVE-FUNKCIJA RASPODELE Do sd smo već definisli skup Ω elementrnih dogđj Ako se elementrni dogđji ω mogu predstviti ko relni brojevi, ond se eksperiment može zmisliti ko izbor jedne promenljive

Διαβάστε περισσότερα

Primjene odreženog integrala

Primjene odreženog integrala VJEŽBE IZ MATEMATIKE Ivn Brnović Miroslv Jerković Lekcij 5 Primjen određenog integrl Poglvlje Primjene odreženog integrl. Povr²in rvninskog lik Z dni rvninski lik omežen krivuljm y = f(x) i y = g(x) te

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 2. ARITMETICKI I GEOMETRIJSKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. a n ti clan aritmetickog niza Mte Vijug: Rijesei zdci iz mtemtike z sredju skolu. ARITMETICKI I GEOMETRIJKI NIZ, RED, BINOMNI POUCAK. Aritmeticki iz Opci oblik ritmetickog iz: + - d Gdje je: prvi cl ritmetickog iz ti cl ritmetickog

Διαβάστε περισσότερα

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL

ELEKTROTEHNIČKI ODJEL MATEMATIKA. Neka je S skup svih živućih državljana Republike Hrvatske..04., a f preslikavanje koje svakom elementu skupa S pridružuje njegov horoskopski znak (bez podznaka). a) Pokažite da je f funkcija,

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2. Boris Širola

Matematika 2. Boris Širola Mtemtik 2 (. Riemnnov integrl) Boris Širol predvnj . Riemnnov integrl 3 Pretpostvimo d immo neku neprekidnu relnu funkciju f, definirnu n nekom segmentu; tj., nek je dn neprekidn funkcij f : [, b] R.

Διαβάστε περισσότερα

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata]

c = α a + β b, [sustav rješavamo metodom suprotnih koeficijenata] Zdtk (Tihomir, tehničk škol) c = 8 i. Rješenje Prikži vektor c ko linernu kombinciju vektor i b ko je = i + 3 j, b = 4 i 3 j, Nek su i b vektori i α, β relni brojevi. Vektor c = α + β b nzivmo linernom

Διαβάστε περισσότερα

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1

A MATEMATIKA Zadana je z = x 3 y + 1 A MATEMATIKA (.5.., treći kolokvij). Zdn je z 3 + os. () Izrčunjte ngib plohe u pozitivnom smjeru -osi. (b) Izrčunjte ngib pod ) u točki T(, ). () Izrčunjte z u T(, ). (5 bodov). Zdn je z 3 ln. () Izrčunjte

Διαβάστε περισσότερα

( ) p a. poklopac. Rješenje:

( ) p a. poklopac. Rješenje: 5 VJEŽB - RIJEŠENI ZDI IZ MENIKE LUID 1 1 Treb odrediti silu koj drži u rvnoteži poklopc B jedinične širine, zlobno vezn u točki, u položju prem slici Zdno je : =0,84 m; =0,65 m; =5,5 cm; =999 k/m B p

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA

OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRAVOKUTNOG TROKUTA OSNOVE TRIGONOMETRIJE PRVOKUTNOG TROKUT - DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ - VRIJEDNOSTI TRIGONOMETRIJSKIH FUNKIJ KUTOV OD - PRIMJEN N PRVOKUTNI TROKUT - PRIMJEN U PLNIMETRIJI 4.1. DEFINIIJ TRIGONOMETRIJSKIH

Διαβάστε περισσότερα

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije

1 Odredeni integral. Integrabilnost ograničene funkcije Odredeni integrl. Integrbilnost ogrničene funkcije Njprije uvedimo dvije pretpostvke. Prv, d je reln funkcij segment[, b] končne dužine ( < < b < + ). Definicij 2. Podjel segment [, b], u oznci P, je svki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II

FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II FURIJEOVI REDOVI ZADACI ( II deo Primer. Fukciju f ( = rzviti u Furijeov red segmetu [,] ztim izrčuti sumu red. ( Rešeje: Kko je f ( = = = f ( zkjučujemo d je fukcij pr. Koristimo formue: = f ( = + ( cos

Διαβάστε περισσότερα

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA

LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Mster rd LAPLASOVA TRANSFORMACIJA Snježn Mksimović Mentor: Akdemik dr Stevn Pilipović Novi Sd, pril 211. iii Sdržj Predgovor vi 1. Osnovn Lplce-ov trnsformcij 1 1.1. Egzistencij Lplce-ove trnsformcije...............

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu)

Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Funkcije dviju varjabli (zadaci za vježbu) Vidosava Šimić 22. prosinca 2009. Domena funkcije dvije varijable Ako je zadano pridruživanje (x, y) z = f(x, y), onda se skup D = {(x, y) ; f(x, y) R} R 2 naziva

Διαβάστε περισσότερα

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo

GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zadaci II deo GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA zdci II deo U sledećim zdcim ćemo korisii poznu grničnu vrednos: li i mnje vrijcije n i 0 n ( Zdci: ) Odredii sledeće grnične vrednosi: Rešenj: 4 ; 0 g ; 0 cos v) ; g) ; 4 ;

Διαβάστε περισσότερα

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x Zadatak (Darjan, medicinska škola) Izračunaj vrijednosti trigonometrijskih funkcija broja ako je 6 sin =,,. 6 Rješenje Ponovimo trigonometrijske funkcije dvostrukog kuta! Za argument vrijede sljedeće formule:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta

4. Trigonometrija pravokutnog trokuta 4. Trigonometrij prvokutnog trokut po školskoj ziri od Dkić-Elezović 4. Trigonometrij prvokutnog trokut Formule koje koristimo u rješvnju zdtk: sin os tg tg ktet nsuprot kut hipotenuz ktet uz kut hipotenuz

Διαβάστε περισσότερα

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА

ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА ТЕМПЕРАТУРА СВЕЖЕГ БЕТОНА empertur sežeg beton menj se tokom remen i zisi od ećeg broj utijnih prmetr: Početne temperture mešine (n izsku iz mešie), emperture sredine, opote hidrtije ement, Rzmene topote

Διαβάστε περισσότερα

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA

FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA FORMULE VEZANE UZ MATEMATIČKE KOLEGIJE PREDDIPLOMSKOG STUDIJA Vrijednoti inu i koinu π π π π ϕ 6 4 3 in ϕ 3 co ϕ 3 Trigonometrijke funkcije polovičnih rgument in x = co x co x = + co x Trigonometrijke

Διαβάστε περισσότερα

KUPA I ZARUBLJENA KUPA

KUPA I ZARUBLJENA KUPA KUPA I ZAUBLJENA KUPA KUPA Povšin bze B Povšin omotč M P BM to jet P B to jet S O o kupe Oni peek Obim onog peek O op Povšin onog peek P op Pimen pitgoine teoeme vnotn jednkotn kup je on kod koje je, p

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija

MATEMATIKA 2. seminari. studij: Prehrambena tehnologija i Biotehnologija MATEMATIKA seminri studij: Prehrmben tehnologij i Biotehnologij Sdržj Integrlni rčun funkcije jedne vrijble. Uvod................................. Odredeni (Riemnnov) integrl. Problem površine........

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011.

INTEGRALNI RAČUN. Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa. Lucija Mijić 17. veljače 2011. INTEGRALNI RAČUN Teorije, metodike i povijest infinitezimalnih računa Lucija Mijić lucija@ktf-split.hr 17. veljače 2011. Pogledajmo Predstavimo gornju sumu sa Dodamo još jedan Dobivamo pravokutnik sa Odnosno

Διαβάστε περισσότερα

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je

Ako je f neprekinuta funkcija, definirana na intervalu [a,b], tad postoji barem jedna točka ξ [a,b] za koju je Jednostvno, ili ne? Trpezn formul Neven Elezović, Zgreb Problem površine Teorem srednje vrijednosti Površin ispod grf pozitivne funkcije f jednk je odredenom - integrlu te funkcije, rčun se obično Newton-Leibnitzovom

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Integracija funkcija više promenljivih

Integracija funkcija više promenljivih Integrcij funkcij više promenljivih Drgn S. Djordjević Univerzitet u Nišu, Prirodno-mtemtički fkultet Niš, Srbij Februry 18, 216 ii Predgovor Predvnj su nmenjen studentim, koji polžu ispit iz predmet Mtemtičk

Διαβάστε περισσότερα

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su

VALJAK. Valjak je geometrijsko telo ograničeno sa dva kruga u paralelnim ravnima i delom cilindrične površi čije su ALJAK ljk je geometijsko telo ogničeno s dv kug u plelnim vnim i delom ilindične povši čije su izvodnie nomlne n vn ti kugov. Os vljk je pv koj polzi koz ente z. Nvno ko i do sd oznke su: - je povšin vljk

Διαβάστε περισσότερα

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi:

Elektrostatika. 1. zadatak. Uvodni pojmovi. Rješenje zadatka. Za pločasti kondenzator vrijedi: tnic:iii- lektosttik lektično polje n gnici v ielektik. Pločsti konenzto. Cilinični konenzto. Kuglsti konenzto. tnic:iii-. ztk vije mete ploče s zkom ko izoltoom ile su spojene n izvo npon, ztim ospojene

Διαβάστε περισσότερα

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost M086 LA 1 M106 GRP Tema: CSB nejednakost. 19. 10. 2017. predavač: Rudolf Scitovski, Darija Marković asistent: Darija Brajković, Katarina Vincetić P 1 www.fizika.unios.hr/grpua/ 1 Baza vektorskog prostora.

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012

Iskazna logika 3. Matematička logika u računarstvu. novembar 2012 Iskazna logika 3 Matematička logika u računarstvu Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia novembar 2012 Deduktivni sistemi 1 Definicija Deduktivni sistem (ili formalna teorija)

Διαβάστε περισσότερα

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta.

Cauchyjev teorem. Postoji više dokaza ovog teorema, a najjednostvniji je uz pomoć Greenove formule: dxdy. int C i Cauchy Riemannovih uvjeta. auchyjev teorem Neka je f-ja f (z) analitička u jednostruko (prosto) povezanoj oblasti G, i neka je zatvorena kontura koja čitava leži u toj oblasti. Tada je f (z)dz = 0. Postoji više dokaza ovog teorema,

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 1 dodatni zadaci

Matematička analiza 1 dodatni zadaci Matematička analiza 1 dodatni zadaci 1. Ispitajte je li funkcija f() := 4 4 5 injekcija na intervalu I, te ako jest odredite joj sliku i inverz, ako je (a) I = [, 3), (b) I = [1, ], (c) I = ( 1, 0].. Neka

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra 2 prvi kolokvij,

Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 1 2 3 4 5 Σ jmbag smjer studija Linearna algebra 2 prvi kolokvij, 7. 11. 2012. 1. (10 bodova) Neka je dano preslikavanje s : R 2 R 2 R, s (x, y) = (Ax y), pri čemu je A: R 2 R 2 linearan operator oblika

Διαβάστε περισσότερα

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču

PIRAMIDA I ZARUBLJENA PIRAMIDA. - omotač se sastoji od bočnih strana(najčešće jednakokraki trouglovi), naravno trostrana piramida u omotaču PIRAMIDA I ZARULJENA PIRAMIDA Slično ko i kod pizme i ovde ćemo njpe ojniti oznke... - oeležvmo dužinu onovne ivice - oeležvmo dužinu viine pimide - oeležvmo dužinu viine očne tne ( potem) - oeležvmo dužinu

Διαβάστε περισσότερα

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom:

Općenito, iznos normalne deformacije u smjeru normale n dan je izrazom: Otporost mterijl. Zdtk ZDTK: U točki čeliče kostrukije postvlje su tri osjetil z mjereje deformij prem slii. ri opterećeju kostrukije izmjeree su reltive ormle (dužiske deformije: b ( - b 3 - -6 - ( b

Διαβάστε περισσότερα

R A D N I M A T E R I J A L I

R A D N I M A T E R I J A L I Krmen Rivier R A D N I M A T E R I J A L I M A T E M A T I K A II. dio SPLIT 7. IV. FUNKCIJE 4.. POTREBNO PREDZNANJE 4.. REALNE FUNKCIJE JEDNE VARIJABLE 4.. INTERPOLACIJA 7 4.. NEKE OSNOVNE ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti.

Osnove elektrotehnike I parcijalni ispit VARIJANTA A. Profesorov prvi postulat: Što se ne može pročitati, ne može se ni ocijeniti. Osnove elektrotehnike I prcijlni ispit 3..23. RIJNT Prezime i ime: roj indeks: Profesorov prvi postult: Što se ne može pročitti, ne može se ni ocijeniti... U vzdušni pločsti kondenztor s rstojnjem između

Διαβάστε περισσότερα

Polinomijalna aproksimacija

Polinomijalna aproksimacija 1 Polinomijln proksimcij 1.1 Problem njbolje proksimcije Rzmotrimo ponovo problem u kojem je zdn tblic brojev x x 0 x 1 x x 3 x 4 x n y y 0 y 1 y y 3 y 4 y n (1.1) z koju treb nći funkciju f koju t tblic

Διαβάστε περισσότερα

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f

Odredjeni integral je granicna vrijednost sume beskonacnog broja clanova a svaki clan tezi k nuli i oznacava se sa : f x dx f x f x f x f x b a f Mte ijug: Rijeseni zdci iz vise mtemtike 8. ODREDJENI INTEGRALI 8. Opcenito o odredjenom integrlu Odredjeni integrl je grnicn vrijednost sume eskoncnog roj clnov svki cln tezi k nuli i ozncv se s : n n

Διαβάστε περισσότερα

Matematička analiza 4

Matematička analiza 4 Mtemtičk nliz 4 Drgn S. Dor dević 14.5.214. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Integrcij 7 1.1 Žordnov mer u R n....................... 7 1.1.1 Mer prvougonik u R 2................ 7 1.1.2 Mer n-intervl u R n..................

Διαβάστε περισσότερα

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F

SLIČNOST TROUGLOVA. kažemo da su slične ( sa koeficijentom sličnosti k ) ako postoji transformacija sličnosti koja figuru F prevodi u figuru F SLIČNOST TROUGLOV Z dve figure F i F kžemo d su slične ( s koefiijentom sličnosti k ) ko postoji trnsformij sličnosti koj figuru F prevodi u figuru F. Činjeniu d su dve figure slične obeležvmo s F F. Sličnost

Διαβάστε περισσότερα

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod

Neodreeni integrali. Glava Teorijski uvod Glv Neodreeni integrli. Teorijski uvod Nek je funkcij f :, b R. Definicij: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ f, b Teorem: ϕ- primitivn funkcij funkcije f ϕ+c- primitivn funkcij funkcije f Definicij: f

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1.

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I.1. TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE I I Odredi na brojevnoj trigonometrijskoj kružnici točku Et, za koju je sin t =,cost < 0 Za koje realne brojeve a postoji realan broj takav da je sin = a? Izračunaj: sin π tg

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI

Geodetski fakultet, dr. sc. J. Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 1 8. NIZOVI Geodetski fkultet, dr sc J Beb-Brkić Predvj iz Mtemtike 8 NIZOVI Pojm iz Nek je N skup prirodih brojev Prem ekom prvilu svki broj iz N zmijeimo ekim brojem:,,,, R Št smo dobili? Budući d je svkom elemetu

Διαβάστε περισσότερα

B I O M A T E M A T I K A

B I O M A T E M A T I K A Mterijli z predmet B I O M A T E M A T I K A Biologij Zorn Rkić Beogrd, 03. godine i S A D R Ž A J. UVOD. Skupovi. Funkcije 4.3 Relcije 6.4 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8.5 Kompleksni brojevi 7.6 Elementi

Διαβάστε περισσότερα

Integralni raqun. F (x) = f(x)

Integralni raqun. F (x) = f(x) Mterijl pripremio Benjmin Linus U mterijlu su e definicije, teoreme, dokzi teorem (rđenih n predvƭu i primeri. Dodo sm i neke done primere d bih ilustrovo prikznu teoriju. Integrlni rqun Definicij. Nek

Διαβάστε περισσότερα

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10.

α =. n n n Vježba 001 Koliko stranica ima pravilni mnogokut ako jedan njegov unutarnji kut iznosi 144? Rezultat: n = 10. Zdtk (Mrij, gimzij) Koliko stric im prvili mogokut ko jed jegov uutrji kut izosi 8? Rješeje Formul z veličiu jedog uutrjeg kut prvilog mogokut je: ( ) 8 α = ( ) 8 8 = / 8 = ( ) 8 8 = 8 6 8 8 = 6 7 = 6

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I K A 1

M A T E M A T I K A 1 Mterijli z predmet M A T E M A T I K A 1 Fizičk hemij Zorn Rkić Beogrd, 010 godine i S A D R Ž A J 1 UVOD 1 11 Skupovi 1 1 Funkcije 4 13 Relcije 6 14 Brojevi: celi, rcionlni i relni 8 15 Kompleksni brojevi

Διαβάστε περισσότερα

APROKSIMACIJA FUNKCIJA

APROKSIMACIJA FUNKCIJA APROKSIMACIJA FUNKCIJA Osnovni koncepti Gradimir V. Milovanović MF, Beograd, 14. mart 2011. APROKSIMACIJA FUNKCIJA p.1/46 Osnovni problem u TA Kako za datu funkciju f iz velikog prostora X naći jednostavnu

Διαβάστε περισσότερα

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti). PRAVA Prava je kao i ravan osnovni geometrijski ojam i ne definiše se. Prava je u rostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom aralelnim sa tom ravom ( vektor aralelnosti). M ( x, y, z ) 3 Posmatrajmo

Διαβάστε περισσότερα

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA

SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA SINUSNA I KOSINUSNA TEOREMA REŠAVANJE TROUGLA Sinusn terem glsi: Strnie trugl prprinlne su sinusim njim nsprmnih uglv. R sinβ sinγ Odns dužine strni i sinus nsprmng ugl trugl je knstnt i jednk je dužini

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

Izvodi i integrali necelog reda

Izvodi i integrali necelog reda UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU Ntš Durković Izvodi i integrli necelog red -mster rd- Mentor: Docent dr Snj Konjik Novi Sd, 2. Predgovor Frkcioni

Διαβάστε περισσότερα

Mera, integral i izvod

Mera, integral i izvod Mer, integrl i izvod Drgn S. Dor dević 3.1.2014. 2 Sdržj Predgovor 5 1 Uvod 7 1.1 Osnovni pojmovi......................... 7 1.2 Topološki prostori......................... 8 1.3 Metrički prostori.........................

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Tangenta i normala

1.4 Tangenta i normala 28 1 DERIVACIJA 1.4 Tangenta i normala Ako funkcija f ima derivaciju u točki x 0, onda jednadžbe tangente i normale na graf funkcije f u točki (x 0 y 0 ) = (x 0 f(x 0 )) glase: t......... y y 0 = f (x

Διαβάστε περισσότερα

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo

7 Odreženi integrali. Neka je funkcija f(x) definisana na intervalu [a, b]. Ako ovaj interval podelimo 7 Odreženi integrli 63 7 Odreženi integrli Nek je funkcij f(x) definisn n intervlu [, ]. Ako ovj intervl podeo n n delov tčkm = x < x < x

Διαβάστε περισσότερα

Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2.

Koliko sati toga dana je razina vode bila iznad 30 cm? A) 5 B) 6 C) 7 D) 9 E) 13 Rješenje: E. Rješenje: A A) 1 B) 2 C) 6 4 D) 3 4 E) 2. MATEMATIČKI KLOKAN S 6 700 000 sudionik u zemlji Europe, Amerike, Afrike i Azije Četvrtk,. ožujk 0. Trjnje 7 minut Ntjecnje z Student (IV. rzred SŠ) * Ntjecnje je pojedinčno. Rčunl su zbrnjen. * Svki zdtk

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Teorijske osnove informatike 1

Teorijske osnove informatike 1 Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. () Teorijske osnove informatike 1 9. oktobar 2014. 1 / 17 Funkcije Veze me du skupovima uspostavljamo skupovima koje nazivamo funkcijama. Neformalno, funkcija

Διαβάστε περισσότερα

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2

γ = 120 a 2, a, a + 2. a + 2 Zdtk (Slvi, gimnzij) Duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom Jedn kut iznosi Koliki je opseg trokut? Rješenje inči udući d duljine strni trokut čine ritmetički niz (slijed) s rzlikom,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Operacije s matricama

Operacije s matricama Linearna algebra I Operacije s matricama Korolar 3.1.5. Množenje matrica u vektorskom prostoru M n (F) ima sljedeća svojstva: (1) A(B + C) = AB + AC, A, B, C M n (F); (2) (A + B)C = AC + BC, A, B, C M

Διαβάστε περισσότερα

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi

NEKE POVRŠI U. Površi koje se najčešće sreću u zadacima su: 1. Elipsoidi. 2. Hiperboloidi. 3. Paraboloidi. 4. Konusne površi. 5. Cilindrične površi NEKE POVŠI U Pvrši kje se njčešće sreću u dcim su:. Elipsidi. Hiperlidi. Prlidi 4. Knusne pvrši 5. Cilindrične pvrši. Elipsidi Osnvn jednčin elipsid ( knnsk) je : + + = c, i c su dsečci n, i si. Presek

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva

Riješeni zadaci: Nizovi realnih brojeva Riješei zadaci: Nizovi realih brojeva Nizovi, aritmetički iz, geometrijski iz Fukciju a : N R azivamo beskoači) iz realih brojeva i ozačavamo s a 1, a,..., a,... ili a ), pri čemu je a = a). Aritmetički

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.)

Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 2009.) Numerička matematika 2. kolokvij (1. srpnja 29.) Zadatak 1 (1 bodova.) Teorijsko pitanje. (A) Neka je G R m n, uz m n, pravokutna matrica koja ima puni rang po stupcima, tj. rang(g) = n. (a) Napišite puni

Διαβάστε περισσότερα

1 Promjena baze vektora

1 Promjena baze vektora Promjena baze vektora Neka su dane dvije različite uredene baze u R n, označimo ih s A = (a, a,, a n i B = (b, b,, b n Svaki vektor v R n ima medusobno različite koordinatne zapise u bazama A i B Zapis

Διαβάστε περισσότερα

Priprema za ispit - RJEŠENJA

Priprema za ispit - RJEŠENJA Priprem z ispit - RJEŠENJA 1. Odredi duljinu strnie i kutove trokut ABC ko je = 16 m, = 11.2 m te + = 93⁰. = 16 m = 11.2 m + = 93⁰,,, =? Njprije ćemo izrčunti kut jer je = 180⁰ - ( + ) = 87⁰ No, sd znmo

Διαβάστε περισσότερα

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA

TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA TRIGONOMETRIJSKE FUNKCIJE OŠTROG UGLA Trignmetrij je prvitn predstvlj lst mtemtike kje se vil izrčunvnjem nepzntih element trugl pmću pzntih. Sm njen nziv ptiče d dve grčke reči TRIGONOS- št znči trug

Διαβάστε περισσότερα

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa,

Analitička geometrija i linearna algebra. Kartezijev trodimenzionalni pravokutni koordinatni sustav čine 3 međusobno okomite osi: Ox os apscisa, Alitičk geoetrij i lier lger Vektori KOORDINATNI SUSTAV Krteijev prvokuti koorditi sustv Krteijev trodieioli prvokuti koorditi sustv čie eđusoo okoite osi: O os pscis O os ordit O os plikt točk O ishodište

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Matematički osnovi Z transformacije

Matematički osnovi Z transformacije Mtemtiči osnovi Z trnsformcije Uvod u Z-trnsformciju: Z-trnsformcij i njen invern trnsformcij se u mtemtici rmtrju i rlog što ovve trnsformcije imju neposrednu primenu u eletrotehnici i to prvenstveno

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

7 Algebarske jednadžbe

7 Algebarske jednadžbe 7 Algebarske jednadžbe 7.1 Nultočke polinoma Skup svih polinoma nad skupom kompleksnih brojeva označavamo sa C[x]. Definicija. Nultočka polinoma f C[x] je svaki kompleksni broj α takav da je f(α) = 0.

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori

MATEMATIKA 2. Grupa 1 Rexea zadataka. Prvi pismeni kolokvijum, Dragan ori MATEMATIKA 2 Prvi pismeni kolokvijum, 14.4.2016 Grupa 1 Rexea zadataka Dragan ori Zadaci i rexea 1. unkcija f : R 2 R definisana je sa xy 2 f(x, y) = x2 + y sin 3 2 x 2, (x, y) (0, 0) + y2 0, (x, y) =

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić.

Matematika 2 PODSJETNIK ZA UČENJE. Ivan Slapničar Marko Matić. Ivn Slpničr Mrko Mtić Mtemtik 2 PODSJETNIK ZA UČENJE http://www.fesb.hr/mt2 Fkultet elektrotehnike, strojrstv i brodogrdnje Split, 2003. Sdržj 1 Neodredeni integrl 3 2 Odredeni integrl 5 3 Funkcije više

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nstvni mterijli nmijenjeni su studentim u svrhu lkšeg prćenj i boljeg rzumijevnj predvnj iz kolegij mtemtik. Ovi mterijli čine suštinu nstvnog grdiv p, uz obveznu literturu, mogu poslužiti studentim

Διαβάστε περισσότερα

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler

Redovi funkcija. Redovi potencija. Franka Miriam Brückler Franka Miriam Brückler Redovi funkcija 1 + (x 2) + 1 + x + x 2 + x 3 + x 4 +... = (x 2)2 2! + (x 2)3 3! + +... = sin(x) + sin(2x) + sin(3x) +... = x n, + + n=1 (x 2) n, n! sin(nx). Redovi funkcija 1 +

Διαβάστε περισσότερα

Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a

Kinematika materijalne toke. 3. dio a) Zadavanje krivocrtnog gibanja b) Brzina v i ubrzanje a Kinemik meijlne oke 3. dio ) Zdnje kiocnog gibnj b) Bzin i ubznje 1 Kiocno gibnje meijlne oke Položj meijlne oke u skom enuku emen možemo definii n slijedee nine: 1. Vekoski nin defininj gibnj (). Piodni

Διαβάστε περισσότερα

Uvod u teoriju brojeva

Uvod u teoriju brojeva Uvod u teoriju brojeva 2. Kongruencije Borka Jadrijević Borka Jadrijević () UTB 2 1 / 25 2. Kongruencije Kongruencija - izjava o djeljivosti; Teoriju kongruencija uveo je C. F. Gauss 1801. De nicija (2.1)

Διαβάστε περισσότερα

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A

M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Miloš Miličić M A T E M A T I Č K A A N A L I Z A Akdemsk miso Beogrd, 2012 Dr Miloš Miličić redovni profesor Držvnog univerzitet u Novom Pzru MATEMATIČKA ANALIZA Recenzenti Dr Ćeml Dolićnin redovni profesor

Διαβάστε περισσότερα

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike

REPETITORIJ MATEMATIKE za studente elektrotehnike REPETITORIJ MATEMATIKE z studente elektrotehnike Bojn Kovčić Luk Mrohnić Tihn Strmečki Tehničko veleučilište u Zgrebu Predgovor Ovj priručnik nmijenjen je studentim 1. godine stručnih studij elektrotehnike

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z.

Pismeni ispit iz matematike GRUPA A 1. Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj, zatim naći 4 z. Pismeni ispit iz matematike 06 007 Napisati u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku kompleksni broj z = + i, zatim naći z Ispitati funkciju i nacrtati grafik : = ( ) y e + 6 Izračunati integral:

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα